Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Transkript

1 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

2 Franz W. Peren Formelsammlung Wirtschaftsmathematik 2., überarbeitete Auflage

3 Franz W. Peren Fachbereich Wirtschaft Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sankt Augustin, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra e; detaillierte bibliogra sche Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Gabler Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013, 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikrover lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Gewidmet Reinger Classen. Ein unvergessener Freund.

5 Vorwort Diese Formelsammlung dient vornehmlich allen Studierenden und wirtschaftswissenschaftlich Wertschöpfenden, gleichwohl denen der Betriebswirtschaftslehre und der Volkswirtschaftslehre, den Wirtschaftsingenieuren oder den Wirtschaftspädagogen. Das vorliegende Buch gestaltet sich nach den Erfahrungen des Verfassers, der seine wirtschaftswissenschaftlichen Studien in 1981 an der Westfälischen Wilhelms-Universität zu Münster in Deutschland begann und als Professor der Betriebswirtschaftslehre die quantitativen Methoden bis dato lehrt und diese forschend in vielfältiger Art und Weise weiterentwickeln durfte vorwiegend in Deutschland an der Fachhochschule Bielefeld und der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, aber auch an der University of Victoria in Victoria, BC, Kanada, der Universitas Udayana in Denpasar, Bali, Indonesien, der Technická Univerzita v Košiciach in Košice, Slowakische Republik und der Columbia University in New York City, New York, USA. Die Formelsammlung soll nach bestem Wissen und Gewissen des Verfassers die mathematischen Inhalte formelhaft wiedergeben, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften global sowohl an den Universitäten und Hochschulen als auch in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis sinnvoll und notwendig sind. Dank schuldet der Verfasser vielen seiner wissenschaftlichen Mitarbeiter(innen), die an dieser Arbeit und an vielen anderen Projekten mit Kreativität, Wissen und Fleiß für ihn in den vergangenen mehr als 20 Jahren tätig waren. Allen voran danke ich Herrn Christian Stollfuß, der federführend diese Formelsammlung mit gestaltet hat. Besonderer Dank gebührt auch Shanti Alena Dewi, Verena Leisen, Markus Shakoor, Christina Pakusch und Sandra Bensberg. Für die vielen wertvollen Anregungen im Bereich der Wirtschaftsmathematik und Wirtschaftsstatistik danke ich besonders meinen geschätzten Kolleg(inn)en Friedrich Aumann und Dr. Andreas Grisar von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster, Prof. Dr. Rüdiger Bücker von der Fachhochschule Bielefeld, Prof. Dr. Félix Sekula von der Technická Univerzita v Košiciach sowie Prof. Dr. Reiner Clement, Prof. Dr. Oded Löwenbein und Prof. Dr. Wiltrud Terlau von der Hochschule Bonn-Rhein- Sieg. Bonn, im Oktober 2015 Franz W. Peren

6 IX 1 Mathematische Zeichen und Symbole 1 2 Logik 9 3 Arithmetik Mengen Allgemeines Mengenrelationen Mengenoperationen Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln Intervalle Zahlensysteme Elementare Rechenarten Elementare Grundlagen Termumformungen Summen- und Produktzeichen Potenten, Wurzeln Logarithmen Fakultät Binomialkoeffizient Folgen Definition Grenzwert einer Folge Arithmetische und geometrische Folgen Reihen Definition Arithmetische und geometrische Reihen 37

7 X 4 Algebra Grundbegriffe Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen mit einer Variablen Lineare Ungleichungen mit einer Variablen Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen Lineare Ungleichungen mit mehreren Variablen Nichtlineare Gleichungen Quadratische Gleichungen mit einer Variablen Kubische Gleichungen mit einer Variablen Biquadratische Gleichungen Gleichungen n-ten Grades Wurzelgleichungen Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Näherungsverfahren Regula falsi Newtonsches Verfahren Allgemeines Näherungsverfahren 61 5 Lineare Algebra Grundbegriffe Matrix Gleichheit/ Ungleichheit von Matrizen Transponierte Matrix Vektor Spezielle Matrizen und Vektoren 71

8 XI Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen 5.3 Die Inverse einer Matrix Einführung Bestimmung der Inversen unter Verwendung 86 des Gauß'schen Eliminationsverfahren 5.4 Der Rang einer Matrix Begriffsbestimmung Bestimmung des Ranges einer Matrix Die Determinante einer Matrix Begriffsbestimmung Berechnung von Determinanten Einige Eigenschaften von Determinanten Die Adjunkte einer Matrix Begriffsbestimmung Bestimmung der Inverse mit Hilfe der 100 Adjunktenmatix 6 Kombinatorik Einführung Permutationen Variationen Kombinationen 107

9 XII 7 Finanzmathematik Zinsrechnung Grundbegriffe Jährliche Verzinsung Unterjährliche Verzinsung Abschreibungen Grundbegriffe Lineare Abschreibung Degressive Abschreibung Leistungsabschreibung Rentenrechnung Grundbegriffe Endliche, gleichbleibende Renten Endliche, veränderliche Renten Ewige Rente Tilgungsrechnung Grundbegriffe Grundgleichungen der Tilgungsrechnung Annuitätentilgung Ratentilgung Tilgung mit Aufgeld Tilgungsfreie Zeiten Gerundete Annuitäten Unterjährliche Tilgung Kurs- und Effektivzinsrechnung Zinsschuld Annuitätenschuld Ratenschuld Beispielaufgabe Kursrechnung Beispielaufgabe Effektivzinsrechnung 173

10 XIII 7.6 Investitionsrechnung Grundbegriffe Finanzmathematische Grundlagen Methoden der dynamischen 180 Investitionsrechnung Statische Verfahren der Investitionsrechnung Optimierung linearer Modelle Lagrange-Methode Einführung Bildung der Lagrange-Funktion Bestimmung der Lösung Lineare Optimierung (LP- Ansatz) Einführung Aufstellen des LP-Ansatzes Graphische Bestimmung der Lösung Simplexverfahren Funktionen Einführung Verkettung von Funktionen Umkehrfunktion, inverse Funktion Klassifizierung von Funktionen Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Nichtrationale Funktionen Potenzfunktionen Wurzelfunktion Transzendente Funktionen 213

11 XIV 9.3 Eigenschaften reeller Funktionen Beschränktheit Symmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Transformationen Stetigkeit Pol Lücke Sprung Homogenität Periodizität Nullstellen Lokale Extrema Monotonie Krümmungsverhalten/ Wendepunkt Differentialrechnung Differentiation von Funktionen mit einer 247 unabhängigen Variablen Allgemeines Erste Ableitung elementarer Funktionen Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Differentiation von Funktionen mit 254 Parametern Kurvendiskussion Differentiation von Funktionen mit mehreren 261 unabhängigen Variablen Partielle Ableitungen (1. Ordnung) Partielle Ableitung (2. Ordnung) Lokale Extrema der Funktion Extrema mit Nebenbedingungen Differentiale für die Funktion 273

12 XV Sätze über differenzierbare Funktionen Mittelwertsatz der Differentialrechnung Verallgemeinerter Mittelwertsatz der 275 Differentialrechnung Satz von Rolle L' Hospitalsche Regel Schrankensatz der Differentialrechnung 11 Integralrechnung Einführung Das unbestimmte Integral Definition / Bestimmung der Stammfunktion Elementare Rechenregeln für das 284 unbestimmte Integral 11.3 Das bestimmte Integral Einführung Beziehung zwischen bestimmtem und 289 unbestimmtem Integral Spezielle Integrationstechniken Die partielle Intregration Integration durch Substitution Mehrfach-Integrale Integralrechnung bei ökonomischen 299 Problemstellungen Kostenfunktionen Umsatzfunktionen (= Erlösfunktion) Gewinnfunktionen 302

13 XVI 12 Elastizitäten Problemstellung und Begriff der Elastizität Bogenelastizität Punktelastizität Wirtschaftstheoretische Elastizitätsbegriffe Preiselastizität der Nachfrage Die Kreuzpreiselastizität Die Einkommenselastizität der Nachfrage 321 Anhang Aufzinsungsfaktoren 324 Abzinsungsfaktoren 358 Tilgungsfaktoren 332 Rentenbarwertfaktoren 336 Rentenendwertfaktoren 342 Annuitätenfaktoren 352 Literaturverzeichnis 361 Stichwortverzeichnis 365