Entscheidungsprobleme in der autoepistemischen Logik

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1 Entscheidungsprobleme in der autoepistemischen Logik Studienarbeit von Kaweh Djafari Naini Studiengang Mathematik mit Studienrichtung Informatik 3. Juni

2 Einleitung In dieser Studienarbeit geht es um drei Hauptprobleme, die in dem Kontext der autoepistemischen Logik entstehen, (1) das Entscheidungsproblem, ob eine Prämissenmenge Σ eine Stable Expansion besitzt, (2) das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene Formel in mindestens einer Stable Expansion vorkommt (brave reasoning), (3) das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene Formel in jeder Stable Expansion vorkommt (cautious reasoning). 2

3 1 Grundlagen 1.1 Orakel-Turing-Maschinen Die Polynomialzeit-Hierarchie ist wegen ihres engen Zusammenhanges zur Logik zweiter Stufe bekannt. Um die Komplexitatsklassen der Polynomialzeit-Hierarchie einführen zu können, benötigen wir den Begriff der Orakel-Turing-Maschinen. Definition 1.1. Sei Σ ein Alphabet und B Σ. Eine Orakel-Turing-Maschine M mit Orakel B ist eine Turing-Maschine (DTM, NDTM) mit einem zusätzlichen Band, dem so genannten Orakel-Band und 3 zusätzlichen Zuständen q ja, q nein, q?. Berechnungen und Konfigurationen von M sind wie üblich definiert, nur hat die Orakel-TM zusätzlich die Möglichkeit, Anfragen an das Orakel zu stellen. Dazu kann sie ein Wort w auf das Orakel-Band schreiben und dann in den Zustand q? gehen. Falls w B liegt, so geht die Maschine direkt in den Zustand q ja über; andernfalls in q nein. In jedem der beiden Fälle wird der Inhalt des Orakel-Bands gelöscht. Die Sprache B dient hier also als Orakel. Die Entscheidung, ob w B ist, ist atomar, d.h. sie benötigt nur einen Schritt. Dies kann hilfreich sein, falls die Komplexität von B höher ist als die Maschine M selbst berechnen kann, z.b. wenn M deterministisch und polynomiell zeitbeschränkt ist und B NP. [IP S] 1.2 Komplexitätsklassen definiert in Termen von Orakel-Turing- Maschinen 1. P NP = Das Entscheidungsproblem wird gelöst mit DTMs in Polynomialzeit und eine Orakel-Abfrage für die Entscheidung des Problems in NP. 2. NP NP = Das Entscheidungsproblem wird gelöst mit NDTMs in Polynomialzeit und eine Orakel-Abfrage für die Entscheidung des Problems in NP. 3. co-np NP = Das Komplement von dem Entscheidungsproblem wird gelöst mit NDTMs in Polynomialzeit und eine Orakel-Abfrage für die Entscheidung des Problems in NP. 1.3 Die polynomielle Hierarchie Definition 1.2. Wir definieren die Klassen p k, Σp k, Πp k der polynomielle Hierarchie wie folgt, und k 0, p 0 = Σ p 0 = Π p 0 = P p k+1 := PΣp k, Σ p k+1 := NPΣp k, Π p k+1 := co-npσp k. 3

4 1.4 Quantifizierte boolesche Formel Definition 1.3. Eine quantifizierte boolesche Formel (quantified boolean formula) besteht aus einem boolschen Ausdruck E(x) über 0, 1, x 1,..., x n und den booleschen Opertaoren (AND), (OR) und (NOT), bei dem alle Variablen quantifiziert sind: Q 1 x 1,..., Q n x n mit Q i {, }. Das Entscheidungsproblem QBF enthält alle wahren quantifizierten booleschen Formeln. In den QBF-Eingaben ist also die Anzahl der Quantorenwechsel nur durch die Anzahl der Variablen (minus 1) beschränkt. Somit ist QBF eine natürliche Verallgemeinerung von SAT k CIR 1. Satz 1.4. Das Erfüllbarkeitsproblem QBF ist PSPACE-vollständig. Beweis: Siehe [W 03]. Bemerkung 1.5. Wir verwenden später für unsere Reduktion das bekannteste Σ p 2-vollständige Problem Q von QBF 2,, wobei Q folgende Form hat: p 1... p n q 1... q n E, wobei p i und q j paarweise verschiedene aussagenlogische Variablen sind und E eine aussagenlogische Formel in p 1,..., p n, q 1,..., q n ist. Q ist genau dann erfüllt, wenn es eine Wahrheitswertbelegung für p 1,..., p n gibt, so dass für jede mögliche Erweiterung dieser Belegung auf q 1... q n, E wahr ist. Die Beobachtung des Entscheidungsproblems für QBF mit beschränktem Quantorenwechsel ergibt den folgenden Satz: Satz 1.6. Das Entscheidungsproblem von QBF k, ist Σ p k -vollständig und für QBF k, ist es Π p k -vollständig. Beweis: Siehe [CW ]. 1 SAT k CIR von SAT ist das erste Σ k-vollständiges Problem, so ist es auch eine naheliegende Verallgemeinerung von QBF, die sich als PSPACE-vollständig erweist. 4

5 2 Autoepistemische Logik Definition 2.1. (Autoepistemische Logik) Die Sprache der autoepistemischen Logik (autoepistemic logic), kurz L ae, besteht aus der Sprache L der klassischen Aussagenlogik mit den syntaktischen Operatoren,,,,,, und (wobei die Konstante für wahr und die Konstante für falsch ist) und einem modalen Operatoren L. Wir betrachten Formeln in der Form von LΦ, wobei Φ L ae. Der klassische =-relation in L würde für L ae wie folgt erweitert. Für Σ L ae und Φ L ae, gilt Σ = Φ gdw. Φ wahr ist, in jeder Intepretation in dem Σ wahr ist. L ist ein introspektiver Operator, d.h. ein Operator der sich auf die Theorie selbst bezieht. Intuitiv für eine Formel Φ mit einem Auftreten von L betrachten wir die Formel in der Form LΦ, was soviel bedeutet, wie Φ wird geglaubt oder Φ ist in der Wissenbasis (knowledge base) vorhanden. Allerdings sollte die Wissenbasis die Überzeugungsmengen (set of beliefs) enthalten, die ein Agent annehmen sollte. Beispiel 2.2. (Moore 1985) Hab ich eine ältere Schwester? Nun, wenn ich eine ältere Schwester hätte, würde ich daran glauben eine solche Schwester zu haben, dadurch dass ich sie gesehen habe, mit ihr gekämpft habe, usw. Einen solchen Glauben hab ich nicht. Deswegen muss ich keine ältere Schwester haben. Aufgrund eines fehlenden Glaubens in einer bestimmten Aussage (ich glaube nicht daran eine ältere Schwester zu haben), glaubt der Agent die Negation der Aussage (ich habe keine ältere Schwester). [N 94] Diese Schlussfolgerung geht davon aus, dass der Agent instropektive Fähigkeiten besitzt, d.h. er weiß sowohl über sein Wissen als auch über sein Nichtwissen Bescheid. Mit einem Modalen Operatoten L können die Aussagen wie folgt ausgedrückt werden, (1) ältereschwester(x) L Existiert(x) nichtexistiert(x) oder, (2) ältereschwester(x) L Existiert(x) Existiert(x). Definition 2.3. Eine Menge von autoepistemischen Prämissen, ist eine endliche Menge von Σ L ae. Notation 2.4. Sei L ae, dann gilt L( ) = {LΦ Φ }, = { Φ Φ }, = L ae. 2.1 Stable Expansions Definition 2.5. Eine Menge L ae ist eine Stable Expansion von Σ L ae gdw. die folgende Fixpunktgleichung erfüllt, = cons(σ L( ) L( )), wobei cons( ) = {Φ = Φ} L ae. 5

6 Die Stable Expansions sind Überzeugungsmengen, die ein Agent auf der Basis einer gegebenen Prämissenmenge annehmen sollte. Beispiel 2.6. (a) Die Menge {Lp p} hat zwei Stable Expansions. Eine Stable Expansion enthält Lp und p und die andere Lp und p. (b) Die Menge {Lp p, Lq p} hat drei Stable Expansions. Eine enthält ausschließlich alle Tautologien über L ae außer p und q. Eine enthält p, aber nicht q und die inkonsistente Expansion L ae. (c) Die Menge {Lq} hat keine Stable Expansion. 2.2 Finitary Characterization von Niemelä Da Expansions immer unendliche Mengen sind, benötigen rechnerische Methoden für das Lösen dieser Probleme eine Finitary Characterization (endliche Charakterisierung) für die Expansions von Σ. Es wurden 3 verschiedene Methoden für die Finitary Characterization von Expansions der autoepistemischen Theorie entwickelt. Diese benutzen alle den Kernel von Σ, z.b. Teilmengen aus (negativen oder nichtnegativen) Teilformeln von Σ-Formeln, die eins zu eins mit den Stable Expansions übereinstimmen. Niemelä benutzt modale Kerne, z.b Kerne die aus Formeln in der Form LΦ und LΦ bestehen. Definition 2.7. Sei Σ eine Prämissenmenge, dann ist Sf L (Σ) die Menge aller Teilformeln in der Form von LΦ für jede Formel von Σ. Außerdem ist Lbase (Σ) = Sf L (Σ) Sf L (Σ). Beispiel 2.8. Ist Σ = {L (Lp Lq), LLr}, dann ist Sf L (Σ) = {L (Lp Lq), LLr, Lp, Lq, LLr, Lr}. Definition 2.9. Für eine Prämissenmenge Σ ist eine Menge Λ Lbase (Σ) Σ-full gdw. die folgenden Bedingungen für jedes LΦ Sf L (Σ) gelten. (1) Σ Λ = Φ gdw. LΦ Λ. (2) Σ Λ = Φ gdw. LΦ Λ. Satz Für jede Prämissenmenge Σ gibt es eine eins zu eins Übereinstimmung zwischen den Stable Expansions von Σ und die Σ-full Mengen. Für die Expansion E gibt es eine entsprechende Σ-full Menge Λ, Λ = Lbase (Σ) ({LΦ Φ E} { LΦ Φ / E}) Die Stable Expansions entsprechen einer Σ-full-Menge Λ, bezeichnet mit SE Σ (Λ), wobei Λ der Kernel von SE Σ (Λ) genannt wird. Um zu untersuchen, ob eine Menge Λ = Lbase (Σ), Σ-full ist, reicht es die Bedingungen von Defintion 2.9 für jedes Element von Lbase (Σ) zu überprüfen. Da die aussagenlogische Untersuchung co-np-vollständig ist, erfordert sie eine NP-Oracle-Abfrage. Wenn Σ aus n Symbolen besteht, hat sie nicht mehr als n Teilformeln, es folgt Lbase (Σ) 2n. Also die Frage, ob Λ eine Σ-full Menge ist, kann mit einer polynomiellen Anzahl von Np-Oracle-Abfragen gelöst werden. Deshalb liegt dieses Problem in p 2. Um zu sehen, ob eine Menge Σ eine Stable Expansion besitzt, wird eine Teilmenge Λ Lbase(Σ) nichtdeterministisch erraten und geprüft, ob sie Σ-full ist. Daraus ergibt sich der folgende Satz: 6

7 Satz Das Entscheidungsproblem, ob eine Prämissenmenge Σ eine Stable Expansions besitzt, ist in Σ p 2. Sei Φ eine autoepistemische Formel und Sf q (Φ) die Menge der Quasi-Teilformeln von Φ, wobei Quasi-Teilformeln Formeln im gewöhnlichen Sinn sind, außer das die Formeln der Form LΨ keine weiteren Teilformeln haben. Mit Hilfe von Quasi-Teilformeln können wir bei einer gegebenen Prämissenmenge Σ und eine Σ-full Menge Λ überprüfen, ob eine Formel Φ die Stable Expansion SE Σ (Λ) beinhaltet. Satz Sei Σ eine Prämissenmenge, Λ eine Σ-full Menge und Φ L ae. Φ SE Σ (Λ) gdw. Σ Λ {LΨ LΨ Sf q (Φ) Ψ SE Σ (Λ)} { LΨ LΨ Sf q (Φ) Ψ / SE Σ (Λ)} = Φ Satz Das Entscheidungsproblem, ob eine Formel Φ in mindestens einer Stable Expansion von einer gegebenen Prämissenmenge Σ vorkommt, ist in Σ p 2. Satz Das Entscheidungsproblem, ob eine Formel Φ in jeder Stable Expansion von einer Prämissenmenge Σ vorkommt, ist in Π p 2. 7

8 3 Autoepistemische Logik: Entscheidungsprobleme Das folgende Lemma ist ein Hilfslemma für den Beweis von Theorem 3.2. Lemma 3.1. Sei Σ = {p 1 Lp 1,..., p n Lp n, LE}, dann gilt L ae Stable Expansion). (inkonsistente Beweis: (Beweis durch Widerspruch) Wäre = L ae, dann gilt = und nach Definition 2.5 erhalten wir = cons(σ L( )). Wir betrachten Σ L( ) und sehen, dass diese Menge von Formeln konsistent ist und für jedes Atom von L ae wahr ergibt. Σ L( ) wird also für diese Interpretation erfüllt. Also ist Σ L( ) konsitent, daraus folgt = cons(σ L( )) ist auch konsitent. Theorem 3.2. Das Entscheidungsproblem, ob eine Prämissenmenge Σ eine Stable Expansion besitzt, ist Σ p 2-vollständig. Beweis: Nach Satz 2.11 ist das Problem in Σ p 2. Wir zeigen die Σ p 2-härte, indem wir in Polynomialzeit eine Transformationsfunktion konstrurieren, die jede quantifizierte boolesche Formel Q aus QBF 2, in einer Menge von autoepistemischen Formeln Σ umwandelt, so dass gilt: Q wird erfüllt gdw. Σ eine Stable Expansion besitzt. Sei Q = p 1,..., p n q 1,..., q m E eine beliebige quantifizierte boolesche Formel aus QBF 2,. E ist eine aussagenlogische Formel bestehend aus p 1,..., p n, q 1,..., q m. Wir transformieren Q in die folgende Menge der autoepistemischen Formeln. Σ = {p 1 Lp 1,..., p n Lp n, LE}. Also gilt nach Lemma 3.1 L ae. Desweiteren gilt Σ und für 1 i n ist p i Lp i in. ist unter den Konsequenz-Operator (cons) abgeschlossen, es folgt für 1 i n, entweder p i oder p i. Der Kernel Λ von ergibt: Λ = {Lp i Lp i } { Lp i Lp i } {LE}. Da LE, folgt E und nach Satz 2.12 gilt Σ Λ = E. Das heißt, Σ Λ bestimmt einen Wahrheitswert für jedes p i aber lässt die Wahrheitswerte von q j durchaus unbestimmt, da Σ Λ kein Atom von q j beinhaltet. Wenn wir nun die Wahrheitskonstante für jedes p i in E, durch die entsprechende Wahrheitskonstante Σ Λ ermitteln, ist die resultierende Formel tautologisch (sonst würde sie ja nicht aus Σ Λ folgen). Es folgt, dass die quantifizierte boolesche Formel Q erfüllbar ist. Q ist erfüllbar. Es existiert folglich eine Wahrheitswertbelegung ν für die aussagenlogische Variablen p i... p n. Hierbei ist es nicht von Bedeutung, ob ν mit der aussagenlogische Variablen q i... q n erweitert wird. E ist mit der Wahrheitswertbelegung ν immer wahr. Sei Λ = {L pi ν (p i ) = wahr} { L pi ν (p i ) = falsch} {LE}. Wir zeigen nun, dass Λ eine 8

9 Σ-full Menge ist. Wir haben Sf L (Σ) = {Lp i 1 i n} {LE}, da Σ für 1 i n, p i Lp i beinhaltet. Daraus folgt (1) Lp i Λ gdw. Σ Λ = p i. (2) Lp i Λ gdw. Σ Λ = p i. (3) LE Λ gdw. Σ Λ = E. Also sind die Bedingungen von Definition 2.9 für jedes Element LΦ von Sf L (Σ) erfüllt. Es folgt Λ ist eine Σ-full Menge, so besitzt Σ nach Satz 2.11 eine Stable Expansion. Hierbei sind häufig nur die konsistenten Stable Expansions von einer Prämissenmenge Σ interessant. Korollar 3.3. Das Entscheidungsproblem, ob eine Prämissenmenge Σ eine konsistente Stable Expansion Σ besitzt, ist Σ p 2-vollständig. Beweis: Der Korollar folgt sofort aus dem Beweis von Lemma 3.1, da wir gezeigt haben, dass die erstellte Prämissenmenge Σ, L ae nicht als konsistente Stable Expansion enthält. Also besitzt Σ eine Stbale Expansion gdw. Σ eine konsistente Stable Expansion besitzt. Es folgen die Vollständigkeitsergebnisse für brave- und cautious reasoning. Theorem 3.4. Das Entscheidungsproblem, ob eine Formel Φ in mindestens eine Stable Expansion von einer Prämissenmenge Σ vorkommt, ist Σ p 2-vollständig. Beweis: Aufgrund von Satz 2.13 genügt es die Σ p 2-härte zu zeigen. Das erhalten wir trivial von Theorem 3.2, da jede Stable Expansion unter logischen Folgerungen abgeschlossen ist. Es folgt, dass in jeder Stable Expansion das Element vorkommt. Daraus folgt, dass Σ eine Stable Expansion besitzt gdw. die Tautologie ein Element von irgendeiner Stable Expansion ist. Daher ist das Existenzproblem für Stable Expansions polynomiell transformierbar in das Problem von brave reasoning. Also ist das Problem von brave reasoning Σ p 2-hart. Theorem 3.5. Das Entscheidungsproblem, ob eine Formel Φ in mindestens eine konsistente Stable Expansion von einer Prämissenmenge Σ vorkommt, ist Σ p 2-vollständig. Beweis: Wir zeigen zuerst, dass das Problem in Σ p 2 ist. Wir beobachten, dass für jede Σ- full Menge Λ gilt: SE Σ (Λ) = L ae gdw. Σ Λ inkonsistent ist. Also die Frage, ob Λ mit der inkonsistenten Expansion übereinstimmt, kostet eine NP-Orakel-Abfrage. Die Anzahl der Abfragen bleibt polynomiell in der Größe der Eingabe. Also ist das Problem in Σ p 2. Die Härte wird so ähnlich wie in dem Beweis von Theorem 3.2 gezeigt. Σ hat eine konsistente Stable Expansion gdw. ein Element von irgendeiner konsistenten Stable Expansion ist. Nach Korollar 3.3 wissen wir, dass das Entscheidungsproblem Σ p 2-vollständig ist. Theorem 3.6. Das Entscheidungsproblem, ob eine Formel Φ in jeder Stable Expansion von einer Prämissenmenge Σ vorkommt, ist Π p 2-vollständig. Beweis: Nach Satz 2.14 ist das Problem in Π p 2. Nun zeigen wir die Härte. Nach Korollar 3.3 ist das Existenzproblem von einer konsistenten Stable Expansion Σ p 2-vollständig. Das Komplement von dem Problem kann polynomiell in das Problem für cautious reasoning transformiert werden. Folglich hat eine Prämissenmenge keine konsistente Stable Expansion gdw. ein Element in jeder Stable Expansion ist. 9

10 4 Referenzen [IP S] www2.informatik.hu-berlin.de/logik/lehre/ss05/luk/skript/skript p ps. [W 03] I.Wegner Komplexitätstheorie, Grenzen der Effizienz von Algorithmen, Springer- Verlag Berlin Heidelberg, [CW ] Celia Wrathall [CRN] GEORG GOTTLOB, Christian Doppler, Complexity Results for Nonmonotonic Logics, Technische Universität Wien Vienna, Austria. [N94] DOV M. GABBAY, C. J. HOGGER and J.A ROBINSON Handbook of Logic in Artifical Intelligence and Logic Programming, Volume 3 Nonmonotonic Reasoning and Uncertain Reasoning, CLARENDON PRESS. OXFORD