EINFÜHRUNG IN DIE FINANZMATHEMATIK

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Dirk Pfeiffer
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1 EINFÜHRUNG IN DIE FINANZMATHEMATIK VON DR. A. FLECHSENHAAR OBERSTUDIENRAT IN FRANKFURT A. M. ZWEITE AUFLAGE BEARBEITET IN VERBINDUNG MIT DR. F. FLEEGE-ALTHOFF DIPL.-HL. IN MANNHEIM SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH

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3 Vorwort. Das vorliegende Buch war in erster Linie als Hilfsmittel für die Vorbereitung auf die Ers atzreifeprüfung gedacht; in der neuen Form ist es auch für höhere Handelsschulen und Wirtsc haft s 0 b er s c h u 1 e n bestimmt. Da es weiterhin ganz allgemein eine Einführung in die Finanzmathematik bieten soll, zumal für Studierende und die Arbeitsgemeinschaften der höheren Lehranstalten, gehen einzelne Abschnitte z. T. über die üblichen Anforderungen hinaus; jedoch können etwa zu weit führende Betrachtungen ohne Schaden für den inneren Zusammenhang übergangen werden. Mein Ziel war eine klare anschauliche Darstellung und die Entwicklung von Methoden, die es gestatten, von einem mög!ichs teinfachen Gesichtspunkt aus, verschiedenartige Anwendungen zu überblicken. Diesem Zwecke sollte vor allem die Einführung der Zeitgeraden in der Rentenrechnung und in der Versicherungsrechnung dienen. Zur Übung wurden zahlreiche A ufgaben beigefügt, die in der Neuauflage noch vermehrt und teilweise anders geordnet wurden. Die Auflösungen hierzu erscheinen demnächst in einem besonderen Heftchen. Nur geringe Änderungen haben die Abschnitte über Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Versicherungsrechnung erfahren. In der Zinseszins- und Rentenrechnung wurde dem TabeUenrechnen ein erheblich breiterer Raum gewährt. Es wurden Tabellen zu 3,5% und 5% beigefügt, damit ein Wechsel im Zinsfuß möglich ist. Neu hinzugekommen sind ferner die zusammengesetzte Reihe mit Anwendungen auf die veränderliche Rente sowie die mathematische Behandlung der Prozentrechnung im und auf Hundert. Da sich weiterhin gezeigt hatte, daß die sichere Beherrschung der Logarithmenrechnung nicht allgemein vorausgesetzt werden kann, wurden im Vorkursus die wichtigsten Sätze über Potenzen und Wurzeln in leicht faßlicher Form ohne Beweis und ausführlich die Logarithmenrechnung gebracht. Auch wurde an einigen Stellen der Lehrstoff etwas eingehender und damit verständlicher behandelt. a*

4 IV Vorwort Von einem Abschnitt über kaufmännisches Rechnen wurde auch diesmal abgesehen; ich empfehle wieder die im gleichen Verlag erschienene Neuausgabe von Fell e r - 0 der man n, Kaufmännische Arithmetik, bearbeitet von Kämpfe und Prater. Herr Dr. Fleege-Althoff hat das Manuskript durchgesehen und wertvolle Anregungen gegeben, die besonders der Brauchbarkeit des Buches für höhere Handelsschulen zugute kommen dürften. Hierfür sage ich ihm auch an dieser Stelle meinen verbindlichsten Dank. Ebenso bin ich Herrn Studienrat Re u te r in Frankfurt a. M. für das Mitlesen der Korrektur und wertvolle Vorschläge zu besonderem Danke verpflichtet. Frankfurt a. M., im November A. Flechsenhaar.

5 Inhal tsverzeichnis. A. Vorkursus. Seite 1. Potenzen. II. Wurzeln und Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 3 III. Logarithmen 5 I. Begriff des Logarithmus Sätze über das Rechnen mit Logarithmen 6 3. Kennziffer und Mantisse der Briggsschen Logarithmen Gebrauch der Logarithmentafel Rechnen mit Logarithmen I I IV. Reihen Einfache Zinsen II. Zinseszinsen.. III. Grundgleichung der Zinseszinsrechnung IV. Berechnung von Anfangskapital, Zinsfuß und Zeit V. Relativer Zinsfuß VI. Konformer(gleichwertiger)Zinsfuß B. Zinseszinsrechnung. Seite 1. Begriff der Reihe Arithmetische Reihe erster Ordnung 14 3 Geometrische Reihe Fallende unendliche geometrische Reihe. 15!;. Graphische Darstellung der Reihen Aufgaben über Reihen Zusammengesetzte Reihen 18 V. Prozentrechnung Prozente vom Hundert Prozente im Hundert Prozente auf Hundert 2I 22 VII. Graphische Darstellung VIII. Gebrochene Werte von n. 28 IX. Tabellen für die Zinseszinsrechnung X. Aufgaben. zur Zinseszinsrechnung mit Hilfe von Tabelle I und II XI. Aufgaben zur Zinseszinsrech- nungmithilfevonlogarithmen 3 I C. Rentenrechnung. I. Vorübung XVII. Tilgungsplan bei gegebener II. Zeitgerade Annuität (Tilgungsplan III) 52 III. Nachschüssige Rente. 36 XVIII. Anleihe mit Aufgeld IV. Vorschüssige Rente. 36 XIX. TiJgungsplan IV und V (An- V. Barwert leihe mit Aufgeld) XX. Aufgaben zur Tilgungsrech- VI. Abkürzende Bezeichnungen. 38 nung VII. Ewige Rente XXI. Anleihe-Kurse VIII. Kapital und Rente 39 XXII. AufgabenzurKursrechnung 59 IX. Tilgung einer Schuld XXIII. Graphische Darstellungen. 61 X. Beispiel einer Amortisation. 41 XXIV. Renten mit Ratenzahlun- XI. Plan für die Lösung von Auf- gen, die in geometrischer gaben Reihe anwachsen XII. Tabellen zur Berechnung von XXV. Renten mit Ratenzahlun- Renten gen, die in arithmetischer XIII. Aufgaben mit Benutzung der Reihe steigen oder fallen. 63 Tabellen XXVI. Die Ablösungsschuld des XIV. AufgabenzurRent;enrechnung Deutschen Reiches mitausmit Logarithmen losungsrecht XV. Tilgungsplan I lxxvii. Aufgaben über Renten mit XVI. Tilgung öffentlicher Anleihen veränderlichen Ratenzah- (Tilgungsplan II) lungen F 1 e eh sen ba a r, Finanzmathematik. 2. Auf}.

6 VI Inhaltsverzeichnis - Zeichenerklll.rungen D. Kombinatorik. Seite Selta I. Einführung in die Kombinatorik 67 IV. Kombinationen ohne Wie- II. Permutationen derholung III. Variationen ohne Wiederholung 6g V. Aufgaben zur Kombinatorik 70 E. Wahrscheinlichkeitsrechnung. I. Begriff der Wahrscheinlich- IX. Lottospiel keit X. Werfen einer Münze Grenzwerte von w XI. Aufgaben mit zwei Würfeln 79 III. Entgegengesetzte Wahr- XII. Lösung einiger Aufgaben. 79 scheinlichkeit XIII. Aufgaben mit dem Karten- IV. Historisches Beispiel für feh- spiel von 32 Karten lerhafteauszählungderfälle 72 XIV. Vermischte Aufgaben aus V. Vollständige oder totale derwahrscheinlichkeitsrech- Wahrscheinlichkeit nung VI. Zusammengesetzte Wahr- XV. Gesetz der großen Zahlen 83 scheinlichkeit XVI. Wahrscheinlichkeit apriori VII. Beispiel der zwei Urnen.. 75 und aposteriori VIII. Relative Wahrscheinlich- XVII. Wetten keit XVIII. Aufgaben zu XV-XVII F. Versicherungsrechnung. I. Arten der Versicherung. 86 II. Grundlagen d. Versicherung 86 III. Sterbetafeln. 87 IV. Lebens- und Sterbenswahrscheinlichkeit. 88 V. Arten der Versicherung auf das Leben einer Person. 89 VI. Mathematische Behandlung der Versicherungsaufgaben 90 VII. Vorübungen. 90 VIII. Aufgaben zur Lebens- und Sterbenswahrscheinlichkeit und zu den Vorübungen IX. Versicherung auf den Erlebens- oder Todesfall. X. Aufgaben zu den Versicherungen auf den Erlebens- oder Todesfall bei einmaliger Prämie 96 XI. Leibrenten. 97 XII. Jährliche Prämien 99 XIII. Aufgaben über j ährliche Prämien und Leibrenten. 100 XIV. Deckungskapital oder Prämienreserve 101 XV. Bruttoprämie. Gewinn. 103 XVI. Vermischte Aufgaben aus der Versicherungsrechnung XVII. Graphische Darstellungen aus der Versicherungsrechnung uo III Tabelle I-IV Sterbetafel. Zeichenerklärungen. Die kleinen griechischen Buchstaben: IX =a, alpha I, = i, iöta II =r, rho {J = b, beta " = k, kappa (j =s, sigma '1 =g, gamma 1 = I, lambda 1: = t, tau ij = d, delta p.=m, my v =y, ypsilon 2 == e, epsilon '11 =n, ny!p = ph, phi ~ =Z, zeta ~ = x, xy % = eh, chi 'Ij =e, eta 0=0, omikron 'l/j=ps, psi.a- = th, theta n=p, pi m=ö, ömega = bedeutet: ist gleich 5 < a < T 2 bedeutet 5 ist kleiner als a, - ist ungefähr gleich a ist kleiner als 12 < ist kleiner als a < 6 bedeutet a ist kleiner oder gl~ich 6 > ist größer als 00.. unendlich groß.

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