Modellieren und Simulieren

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1 Verwaltung und Analyse digitaler Daten in der Wissenschaft Modellieren und Simulieren Theorieteil Inhaltsverzeichnis 1 Simulation Sinn und Zweck in der Wissenschaft Historische Entwicklung der Methodik des Simulierens und Modellierens. 3 2 Modelle und Simulation Modell Simulation Hinweise zum Vorgehen Tabellenkalkulation als Simulationswerkzeug Zelladressen, Zellbezüge und Zellbereiche Absolute und relative Bezüge Bedingte Anweisung Grenzen der Tabellenkalkulation Literatur 9

2 Begriffe Arbeitsmappe Tabellenblatt Zeile Spalte Zelle Konstante Formel Funktion Zellformate Zellbezug Zelladresse Zellbereich Absoluter Bezug Relativer Bezug X-Y-Punkte-Diagramm Bedingte Anweisung Zielwertsuche Simulation Modell Autoren: Lukas Fässler, David Sichau Datum: 18 July 2018 Version: 1.1 Hash: d2eb005 Trotz sorgfältiger Arbeit schleichen sich manchmal Fehler ein. Die Autoren sind Ihnen für Anregungen und Hinweise dankbar! Dieses Material steht unter der Creative-Commons-Lizenz Namensnennung - Nicht kommerziell - Keine Bearbeitungen 4.0 International. Um eine Kopie dieser Lizenz zu sehen, besuchen Sie 2

3 1 Simulation Sinn und Zweck in der Wissenschaft Ein Ziel der Wissenschaft ist es, komplexe Systeme wie beispielsweise das Wetter, das Ökosystem See, das menschliche Gehirn oder die Volkswirtschaft eines Staates kennenzulernen und ihre Reaktionen auf gewisse Einflüsse vorhersagen zu können. Um mehr darüber zu erfahren, ist es nötig, das System im Experiment verschiedenen Bedingungen auszusetzen. Nicht immer ist es aber möglich, diese Experimente direkt am realen Objekt durchzuführen. Hat das zu untersuchende System beispielsweise die Grösse von Planeten oder ist es so klein wie Moleküle, dauern Veränderungen so lang wie gewisse Evolutionsprozesse oder so kurz wie Neuronenverschaltungen im Gehirn, bietet sich die Möglichkeit, die reale Welt in einem Computer-Modell abzubilden. Die Veränderungen eines solchen Modells, so dass durch die modellierte Zeit und der modellierte Raum beeinflusst werden, fallen unter den Begriff Simulation. 1.1 Historische Entwicklung der Methodik des Simulierens und Modellierens In den Naturwissenschaften gibt es verschiedene Methoden, die allein oder in verschiedenen Kombinationen zur Gewinnung neuer Erkenntnisse eingesetzt werden. Eine der wichtigsten ist die Methode der theoretischen Herleitung. Diese wurde schon ca. 600 Jahre vor Christus im antiken Griechenland entwickelt (unter anderem von Thales und Pythagoras). Über mehr als 2000 Jahre war die Theorie die vorherrschende wissenschaftliche Methodik in den Naturwissenschaften. Erst im 16. Jahrhundert nach Christus wurde in Europa mit Experimenten eine weitere naturwissenschaftliche Methodik entwickelt. Insbesondere Galileo Galilei trug zur Entwicklung dieser Methodik bei, zum Beispiel mit seinen Experimenten zum freien Fall im Jahre Ein weiteres Beispiel ist das Experiment von Otto von Guericke aus dem Jahre 1654, welches den Nachweis für den Luftdruck lieferte. Die Kupferstich-Darstellung in Abbildung 1 stellt das Experiment der Magdeburger Halbkugeln dar. Dabei werden zwei Halbkugeln dicht miteinander zu einer Kugel verbunden. Dann wird aus dem so entstandenen Hohlraum die Luft mit einer Pumpe entfernt, sodass ein Vakuum entsteht. Der von aussen wirkende Luftdruck presst nun die Halbkugeln so stark zusammen, dass sie auch mit grosser Kraft nicht getrennt werden können. Erst wenn das Vakuum durch einströmende Luft beendet wird, können die Halbkugeln getrennt werden. Wie in der Theorie geht auch ein Experiment von einer Fragestellung aus, wie zum Beispiel: Was hält die Kugeln zusammen? Im Vergleich zur Theorie liefert ein Experiment aber neue Daten. Mit dieser Frage wird ein Experiment geplant, wobei versucht wird, die äusseren Einflüsse zu eliminieren und nur die Faktoren, die von Interesse sind, kontrolliert zu verändern. Dadurch kann gezeigt werden, welche Faktoren einen Einfluss haben und wie diese sich auswirken. Im letzten Jahrhundert wurden die Naturwissenschaften um eine weitere methodologische Kategorie bereichert, welche zwischen Theorie und Experiment eingeordnet werden kann. 3

4 Abbildung 1: Kupferstich-Darstellung des Experiments von Otto von Guericke (1623). Diese Methode besteht aus der mathematischen Modellierung und Computer- Simulation. Das Advanced Scientific Computing Committee of the US National Science Foundation schreibt 1984: *Science is undergoing a structural transition from two broad methodologies to three namely from experimental and theoretical science to include the additional category of computational and information science. A comparable example of such change occurred with the development of systematic experimental science at the time of Galileo.* Eine der ersten Simulationen wurde 1946 im Zuge des Manhattan-Projektes von Ulam auf dem ersten elektronischen Universalrechner der Welt durchgeführt. Dabei war es möglich, mit Hilfe eines Computers verschiedene Designs einer Atombombe zu testen, indem die hydrodynamischen Gleichungen mit dem Computer gelöst wurden. Dies war notwendig, da Experimente dazu nur sehr schwierig durchzuführen waren, weil während eines Fusionsprozesses sehr hohe Temperaturen und Drücke notwendig sind. Mit dieser Simulation konnte das sogenannte Teller-Ulam-Design für eine Fusionsbombe entwickelt werden. Die Simulationen wurden erst durch die ersten universellen Rechner ermöglicht, wobei diese spezifisch für die Simulation entwickelt wurden. Diese enge Verknüpfung zwischen der Entwicklung der Computertechnik und Computer-Simulationen führte dazu, dass in den letzten Jahrzehnten immer schnellere Rechner entwickelt wurden, was wiederum grössere Simulationen ermöglichte. Diese Entwicklung führte zu vielen Durchbrüchen in der Forschung. So wurden die Begründer der Simulationsmethode Molecular Dynamics 2013 mit dem Nobelpreis für Chemie ausgezeichnet. Inzwischen ist es dank Computer-Simulationen möglich, das dynamische Verhalten von Proteinen mit weit über Atomen zu simulieren, was zu vielen neuen Erkenntnissen führte. 4

5 2 Modelle und Simulation 2.1 Modell Unter dem Begriff Modell versteht man eine Interpretation oder Abstraktion der realen Welt. Für Computer-Simulationen ist es notwendig, mathematische Modelle zu erstellen, bei denen eine Abstraktion der realen Welt in eine mathematische Notation notwendig ist. Da die Welt jedoch sehr komplex ist, werden beim Prozess der Modellbildung Annahmen und Vereinfachungen gemacht. Dies führt dazu, dass alle Modelle beschränkt sind, d.h. sie können die reale Welt nicht exakt abbilden. Daher wird oft davon gesprochen, ein Modell eines Systems zu erstellen. Unter dem Begriff System versteht man eine abgeschlossene Sammlung von Elementen, die miteinander verbunden sind. Beispiele für Systeme können die Welt, ein Fisch oder ein Protein sein. Da nur ein Ausschnitt der realen Welt modelliert wird, wird die Modellbildung vereinfacht. Mathematische Modelle wurden entwickelt, bevor es möglich war, diese auf einem Computer zu simulieren. Solche Modelle und ihr Verhalten im Detail zu verstehen, hat auch seine Grenzen. So kann das Verhalten von bestimmten mathematischen Modellen, wie zum Beispiel nichtlinearen dynamischen Modellen ohne Simulationen nicht vollständig analysiert werden. Ein weiteres Beispiel sind chaotische Modelle, bei denen der Zufall eine grosse Rolle spielt. Diese sind ohne Hilfe von Simulationen ebenfalls nicht abschliessend analysierbar. 2.2 Simulation Um Computer-Simulationen durchzuführen, ist die Zusammenarbeit von verschiedenen Fachgebieten und Disziplinen erforderlich. Das Modell muss mathematisch beschrieben werden, da es ansonsten nicht mit Hilfe der Informatik als Simulation umgesetzt werden kann. Zusätzlich zu Kenntnissen aus Mathematik und Informatik ist ein tiefes Verständnis der Disziplin, in der man simulieren möchte, unerlässlich. Denn ohne Wissen aus dieser Disziplin ist es schwierig, das Modell korrekt zu erstellen oder die Ergebnisse der Simulation zu interpretieren. Abbildung 2 zeigt, welche Fachdisziplinen bei welchen Bestandteilen einer Simulation mitwirken. Simulationen dienen dazu, das Verhalten von Systemen zu analysieren. Hierfür muss man zuerst ein mathematisches Modell dieses Systems erstellen. Dieses mathematische Modell kann dann als Simulation implementiert werden. Bei der Implementierung eines Modells wird dieses von der mathematischen Sprache in eine Notation umgewandelt, die ein Computer interpretieren kann. Dies kann eine Darstellung des Modells in einer Programmiersprache sein. Nachdem das mathematische Modell im Computer implementiert wurde, kann es simuliert werden. Dabei wird das mathematische Modell mit verschiedenen Eingabeparametern gestartet, um das Verhalten des Systems über eine Zeit zu analysieren. Eine Simulation wird also durch die Eingabeparameter und das implementierte mathematische Modell definiert. Die Simulation selbst wird vom 5

6 Reales System Modell Beschreibung Sprache Logik Mathematik Implementierung Simulation Rückschlüsse Beliebige Disziplin Grafik Statistik Programmierung Abbildung 2: Modellierung und Simulation realer Systeme. Computer automatisch durchgeführt, wobei die Ergebnisse protokolliert werden, sodass sie nachträglich analysiert werden können. Um das Verhalten des Systems visuell zu analysieren, kommen geeignete visuelle Darstellungen der Resultate zum Einsatz. Das Ziel von Simulationen kann sein, dass man mehr über das Verhalten des modellierten Systems verstehen oder verschiedene Strategien für die Funktionsweise des Systems vergleichen will. Nach der Durchführung einer Simulation ist es notwendig, die Daten der Simulation zu validieren. Eine Möglichkeit die Daten zu validieren, ist der Vergleich mit Daten, welche in Experimenten gewonnen wurden. Dieses Zusammenspiel ist in Abbildung 3 dargestellt. Die Datenvalidierung ist erforderlich, damit die Ergebnisse nicht falsch oder überinterpretiert werden und man die Grenzen der Simulation und des Modells erkennt. Die Methodik des Modellierens und Simulierens hat verschiedene Fehlerquellen, die nicht vernachlässigt werden dürfen. Die grösste Fehlerquelle liegt meist im Prozess der Modellbildung. Man darf nicht vergessen, dass ein Modell nur eine reduzierte Abbildung der Wirklichkeit ist. Daher kann ein Modell nur Aussagen über die Aspekte liefern, die bei der Modellbildung berücksichtigt wurden. Eine weitere Fehlerquelle ist die Implementierung des mathematischen Modells, da Computer Einschränkungen mit sich bringen. So ist zum Beispiel der Zahlenraum von Computern endlich, was zu verschiedenen numerischen Problemen führen kann. Die im Dezimalsystem endliche Zahl 0.2 führt zum Beispiel im Binärsystem zur periodischen Zahl , wodurch Rundungsfehler in den Rechnungen auftreten können. 6

7 Modell reale Welt Experiment Simulation Daten Vergleich Daten Vorhersagen Abbildung 3: Zusammenspiel von Simulation und Experiment. 3 Hinweise zum Vorgehen In diesem Kursmodul lernen Sie, wie Sie biologische Modelle unter Einsatz einer Tabellenkalkulation zu Simulationen umsetzen können. Die mathematische Modellierung steht dabei nicht im Zentrum und wird grösstenteils vorgegeben. Die Darstellung von Modellen mit einer Programmiersprache ist Inhalt eines weiteren Kursmoduls. 3.1 Tabellenkalkulation als Simulationswerkzeug In diesem Kurs werden Sie Simulationen mit Hilfe einer Tabellenkalkulation umsetzen. Unter Tabellenkalkulation versteht man das computergestützte Arbeiten mit Daten in tabellarischer Form. Die Grundlage eines Tabellendokumentes sind Tabellenblätter mit einer Anzahl von Zellen, die ähnlich den Spielen Schiffe versenken oder Schach in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Mehrere Tabellenblätter werden zu einer Arbeitsmappe zusammengefasst Zelladressen, Zellbezüge und Zellbereiche Um auf eine Zelle Bezug zu nehmen, werden ihre Koordinaten angegeben, bestehend aus Buchstaben und der Nummer der sich schneidenden Zeile und Spalte. Die Zelle in der 4. Spalte, 5. Zeile heisst z.b. D5. Zellbereiche können abgekürzt mit Doppelpunkt 7

8 (:) angegeben werden. Mit A1:B5 ist z.b. der Zellbereich A1 bis B5 gemeint (insgesamt also 10 Zellen). Zellen einer Tabellenkalkulation können folgende Elemente enthalten: Konstanten (z.b. 3) Formeln (z.b. =A1+A2+A3) Funktionen (z.b. =SUMME A1:A3). Formeln und Funktionen werden mit Gleichheitszeichen (=) eingeleitet Absolute und relative Bezüge Tabellenkalkulationen verwalten einen Bezug entweder absolut oder relativ zur Position der Zelle, die den Bezug verlangt. Beim absoluten Bezug wird die tatsächliche Adresse der Zelle gespeichert. Dies kann entweder mit Dollar-Zeichen (z.b. =$B$1) oder unter Angabe einer Zellbezeichnung erfolgen. Beim relativen Bezug wird die Distanz zur Zelle (gemessen in Zeilen und Spalten) gespeichert Bedingte Anweisung Unter Einsatz von bedingten Anweisungen kann eine Anweisung 1 oder Anweisung 2 ausgeführt werden, je nachdem, ob eine Bedingung erfüllt wird oder nicht. Die Funktion der bedingten Anweisung wird in der Tabellenkalkulation wie folgt geschrieben: =WENN(Bedingung; Anweisung 1; Anweisung 2) Zur Formulierung der Bedingung kommen relationale Operatoren zum Einsatz (siehe Tabelle 1). Operator Ausdruck Beschreibung > a > b grösser als < a < b kleiner als = a = b gleich <> a <> b ungleich >= a >= b grösser oder gleich <= a <= b kleiner oder gleich Tabelle 1: Relationale Operatoren in der Tabellenkalkulation. 8

9 3.1.4 Grenzen der Tabellenkalkulation Obwohl Tabellenkalkulationsprogramme universell einsetzbar sind und einen hohen Grad an Funktionalität aufweisen, sind ihnen Grenzen gesetzt. Zwei davon sind beispielsweise die Visualisierung mehrdimensionaler Daten oder die Verwaltung grösserer Datensammlungen, welche Sie in weiteren Kursmodulen kennen lernen werden. 4 Literatur Neuwirth, E., Arganbright, D. The Active Modeler: Mathematical Modeling with Excel. Thomson (2004). 9