Varianten endlicher Automaten

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1 Varianten endlicher Automaten

2 Varianten endlicher Automaten 2 Endliche Automaten mit λ-übergängen können aktuellen Zustand wechseln, ohne ein Zeichen zu lesen; sind praktisch (vereinfachen oft die Modellierung mit endlichen Automaten); sind äquivalent zu DEA s.

3 Varianten endlicher Automaten 3 Verallgemeinerte endliche Automaten lesen in jedem Schritt ein Wort statt eines Zeichens; sind nützlich für die Modellierung mit endlichen Automaten ( Abkürzen möglich); sind äquivalent zu DEA s.

4 Varianten endlicher Automaten 4 Minimale endliche Automaten Jeder DEA A kann in einen äquivalenten DEA Min(A) übersetzt werden, dessen Anzahl von Zuständen minimal ist. Min(A) ist bis auf Zustandsnamen eindeutig. Minimierungsverfahren kann benutzt werden, um zu entscheiden, ob zwei endliche Automaten äquivalent sind, d.h., ob sie dieselbe Sprache erkennen.

5 Definition von Programmiersprachen 5 Definition von Programmiersprachen Übliches Vorgehen beim Programmieren (im Kleinen) Texteditor Zeichenkette als Quellprogramm Compiler Zielprogramm ProgrammiererIn: Welche Form muss ein Text haben, um ein Programm zu sein? Computer: Wie unterscheidet der Compiler zwischen Texten, die Programme sind und die keine Programme sind?

6 Definition von Programmiersprachen 6 Grenzen endlicher Automaten Programme aller bekannten Programmiersprachen lassen sich nicht durch endliche Automaten erkennen (z.b. wegen der Klammerstrukturen) Endliche Automaten erkennen aber einzelne Konstrukte (Schlüsselwörter, Namen,... ) und erlauben lexikalische Analyse. Erkennung der Gesamtprogramme im Rahmen der Syntaxanalyse auf der Basis kontextfreier Grammatiken.

7 Kontextfreie Grammatiken

8 Kontextfreie Grammatiken 8 Kontextfreie Grammatiken sind eine Teilklasse der Chomsky-Grammatiken, die N. Chomsky in den 1950er Jahren ursprünglich zur Beschreibung natürlicher Sprachen eingeführt hat, formalisieren die Syntax von Programmier- und Markup-Sprachen (wie z.b. Java, C, HTML, LaTeX,... ), dienen als Eingabe für Parsergeneratoren (wie z.b. yacc oder JavaCC), beschreiben den strukturellen Aufbau von Dokumenten

9 Kontextfreie Grammatiken 9 Definition Kontextfreie Grammatik: G = (N, T, P, S) mit N: Menge nichtterminaler Zeichen, T : Menge terminaler Zeichen mit N T =, P N (N T ) : endliche Menge kontextfreier Produktionen S N : Startsymbol Schreibweise für Produktionen (A, u) P : A ::= u Abkürzung für A ::= u 1, A ::= u 2,... A ::= u k : A ::= u 1 u 2 u k

10 Kontextfreie Grammatiken 10 Beispiel G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S)

11 Kontextfreie Grammatiken 11 Ableitungen Direkte Ableitung: w = xay xuy = w p mit w, w, x, y, u, v (N T ), p = (A ::= u). Schreibweise: w w, P falls P eine Menge von Produktionen ist mit p P. Beispiel: asb S ::= asb a2 Sb 2

12 Kontextfreie Grammatiken 12 Ableitung (Iteration direkter Ableitungen) w 0 p1 w 1 p2 pn w n für w 0,..., w n (N T ) und Produktionen p 1,..., p n Schreibweisen: w 0 P P w n oder w 0 n P w n oder w 0 P w n, w falls p 1,..., p n P. w, falls P aus dem Kontext klar ist.

13 Kontextfreie Grammatiken 13 Beispiel G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S) S S ::= asb asb S ::= asb a2 Sb 2 S ::= asb a3 Sb 3 a 3 b 3 S ::= λ

14 Kontextfreie Grammatiken 14 Nullableitung für alle w (N T ). w 0 P w

15 Kontextfreie Grammatiken 15 Erzeugte Sprache G = (N, T, P, S): kontextfreie Grammatik Erzeugte Sprache L(G) = {w T S P w} Die von kontextfreien Grammatiken erzeugten Sprachen heißen kontextfreie Sprachen.

16 Kontextfreie Grammatiken 16 Beispiel: Wörter der Form a n b n G bracket0 = ({S}, {a, b}, {S ::= asb λ}, S) S λ, S asb ab S ::= λ S ::= asb S ::= λ S asb S ::= asb S ::= asb a2 Sb 2 a 2 b 2 S ::= λ S asb S ::= asb S ::= asb a2 Sb 2 S ::= asb a3 Sb 3 a 3 b 3 S ::= λ... S S ::= asb asb S ::= asb a2 Sb 2 L(G bracket0 ) = {a n b n n N}. S ::= asb a3 Sb 3 S ::= asb S ::= λ an b n

17 Kontextfreie Grammatiken 17 Wörter über A ({<word>}, A, P, <word>) mit den Produktionen für alle x A. <word> ::= λ x<word> Erzeugung von abc: <word> a<word> ab<word> abc<word> abc

18 Kontextfreie Grammatiken 18 Klammerstrukturen G bracket1 = ({S}, {[, ], <, >}, P bracket1, S) mit P bracket1 = {S ::=[S] <S > SS λ} S SS S[S] < S > [S] < SS > [S] < [S]S > [S] < []S > [S] < []S > [< S >] < []S > [<>] < [][S] > [<>] < [][] > [<>]

19 Kontextfreie Grammatiken 19 Wörter der Form a 2k b 3l G 2a3b = ({S, A, B}, {a, b}, P 2a3b, S) mit P 2a3b = {S ::= AB, A ::= a 2 A λ, B ::= b 3 B λ} Erzeugung von a 4 b 3 : S AB a 2 AB a 4 AB a 4 B a 4 b 3 B a 4 b 3 oder S AB Ab 3 B a 2 Ab 3 B a 2 Ab 3 a 4 Ab 3 a 4 b 3 L(G 2a3b )= {a 2k b 3l k, l N}

20 Kontextfreie Grammatiken 20 Reguläre Ausdrücke über I <reg > ::= empty lambda x (<reg > + <reg >) (<reg > <reg >) (<reg > ) für alle x I. <reg > (<reg > + <reg >) (lambda + <reg >) (lambda + (<reg >) ) (lambda + (a) )

21 Kontextfreie Grammatiken 21 Boolesche Ausdrücke <boolexp> ::= true false <var > ( <boolexpr >) (<boolexpr ><boolop><boolexpr >) <boolop> ::= <var > ::= b<cipherseq > <cipherseq > ::= <cipher > <cipher ><cipherseq > <cipher > ::=

22 Kontextfreie Grammatiken 22 Syntaktische Beschreibung von PASCALchen <prog > ::= <comp> <comp> ::= begin <stmtlist> end begin end <stmtlist> ::= <stmt> <stmt>; <stmtlist> <stmt> ::= <comp> <assign> <while> <assign> ::= <var > := <expr > <while> ::= while <var > <var > do <stmt> <expr > ::= 0 succ(<var >) pred(<var >).

23 Kontextfreie Grammatiken 23 <var > ::= X<nat> <nat> ::= <one nine><cipherseq > <cipherseq > ::= λ <cipher ><cipherseq > <cipher > ::= 0 <one nine> <one nine> ::=

24 Kontextfreiheitslemma 24 Kontextfreiheitslemma Sei G = (N, T, P, S) eine kontextfreie Grammatik, u n v eine Ableitung und P u = u 1 u 2 u k eine Zerlegung von u. Dann gibt es Ableitungen u i v = v 1 v k und n = k i=1 n i. n i P v i (i = 1,..., k), so dass

25 Fragestellungen 25 Sind kfg s kompositional? Fragestellungen Wie hängen endliche Automaten und kfg s zusammen? Ist für kfg s das Wortproblem schnell lösbar? (Wird in Theo 2 behandelt.) Was können kfg s nicht?

26 Übersetzung endlicher Automaten in (rechtslineare) Grammatiken 26 Übersetzung endlicher Automaten in (rechtslineare) Grammatiken A translator GRA(A) recognizer generator L(A) = L(GRA(A))

27 Übersetzung endlicher Automaten in (rechtslineare) Grammatiken 27 Konstruktion von GRA(A) Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein NEA. GRA(A) = (Z, I, P A, s 0 ) mit P A = {s ::= xs s d(s, x)} {s ::= λ s F } Satz L(A) = L(GRA(A)).