U x = U 0 10 L U. 20 [L U ] = db. I x = I 0 10 L I. 20 [L I ] = db. P x = P 0 10 L U. 10 [L P ] = db. Energie. E = W = lim

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1 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 1 von 15 1 Grundbegriffe 1.1 Einfaches Kommunikationsmodell 1.2 Pegel (Dezibel) Mit Dezibel (db) vergleicht man Leistungspegel, nicht Amplituden! Relative Pegel Spannungspegel Strompegel Leistungspegel Absolute Pegel U L U = 20 log x 10 U 0 I L I = 20 log x 10 I0 P L P = 10 log x 10 P 0 U x = U 0 10 L U 20 [L U ] = db I x = I 0 10 L I 20 [L I ] = db P x = P 0 10 L U 10 [L P ] = db dbw Leistungspegel mit Bezugsgrösse P 0 =1W = 0 dbw = 1W dbm Leistungspegel mit Bezugsgrösse P 0 =1mW = 0 dbm = 1mW dbv Spannungspegel mit Bezugsgrösse U 0 =1V = 0 dbv = (1V ) 2 /R ref dbµv Spannungspegel mit Bezugsgrösse U 0 =1µV = 0 dbµv = (1µV ) 2 /R ref Bei Spannungspegeln (dbv, dbµv) muss immer der Referenz-Widerstand (R ref ) berücksichtigt werden: In der HF-Technik üblich, R ref = 50Ω 0dBV = 20mW In der Telefonie üblich, R ref = 600Ω 0dBV = 1.67mW 1.3 Signalklassifizierungen Absoluter Werte des Signals sind irrelevant - Physikalische Dimension wird weggelassen. Signal x(t) wird auf x(t) 1 normiert. Leistung 1 P = lim T T T/2 T/2 x(t) 2 dt = 1 2π ( lim T ) X(jω) 2 T dω Energiesignal - Impuls bspw. Nachrichtensignal E < Energie E = W = lim T/2 T T/2 x(t) 2 dt = 1 2π X(jω) 2 dω Leistungssignal - Dauersignal bspw. Trägersignal E = und P < Aperiodisch x(t) x(t + n T ) Periodisch x(t) = x(t + n T ) mit Periodendauer T und n Z Deterministisch - mit vorbestimmten Verlauf x(t) = f(t) Stochastisch - ohne vorbestimmten Verlauf x(t) =?

2 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 2 von 15 Zeitkontinuierlich x(t) ist definiert t R Zeitdiskret x(t) nur definiert an Stellen x(n T ) mit Abtastintervall T und n Z Amplitudenkontinuierlich Quantisiert Analog - zeit- und amplitudenkontinuierlich Digital - zeitdiskret und quantisiert 2 LTI-Systeme S25 y(t) = T [x(t)] Operator T erzeugt aus dem Eingangssignal x(t) das Ausgangssignal y(t). Linearität und Zeitinvarianz gelten! Kausalität Ein System ist kausal, wenn jedes Ausgangsignal durch ein vorhergehendes Eingangsignal gebildet wird. 2.1 Schrittfunktion - unit step 0 für t < 0 1 u(t) = 2 (praxis) oder undef. (math.) für t = 0 1 für t > 0

3 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 3 von Impulsfunktion - dirac delta function 0 t 0 δ(t) = und δ(t) dt = 1 t = 0 du(t) dt = δ(t) 2.3 Impulsantwort S25-2.2B δ(t t 0 )f(t)dt = f(t 0 ) Siehe Signale & Systeme Zusammenfassung. 2.4 Verzerrungen S Amplitudenverzerrung Falls das Amplitudenspektrum H(ω) im gewünschten Frequenzband nicht konstant ist, resultieren Amplitudenverzerrungen Phasenverzerrung Falls das Phasenspektrum Θ h (ω) nicht linear von der Frequenz abhängig ist, resultieren Phasenverzerrungen. 2.5 Filter S27 Tiefpass - Lowpass Filter (LPF) Hochpass - Highpass Filter (HPF) Bandpass - Bandpass Filter (BPF) Bandsperre - Bandstop Filter (BSF) Ideale Filter sind nicht realisierbar, da sie akausal sind Bandbreite S28 Die Bandbreite ist nur für Tief- und Bandpassfilter definiert und bezieht sich auf das einseitige (reelle) Spektrum. LPF Die Bandbreite W B = 2πB eines LPF entspricht der Frequenz, bei der H(ω) gegenüber H(0) um 3dB gedämpft ist BPF Filterbandbreite W B = 2πB bei BPF entspricht der Differenz der (Kreis-) Frequenzen, bei denen Amplitudengang H(ω) gegenüber H(ω c ) um 3dB gedämpft ist Quadraturfilter S29 Ein Quadraturfilter ist ein Allpassfilter mit Phasendrehung um π 2 rad ( 90 ). e j π 2 ω > 0 H(ω) = e j = j sgn(ω) π 2 ω < 0 Dieses Filter ist technisch nur für einen beschränkten Bandbreitenbereich realisierbar Hilbert Transformation S29 Bewirkt eine 90 Phasendrehung des Signals x(t). ˆX(ω) = H(ω)X(ω) = [ j sgn(ω)]x(ω)

4 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 4 von 15 3 AM (Amplitudenmodulation) S43 Bei der Amplitudenmodulation ist die Amplitude des Trägersignals A(t) linear von der dem Nachrichtensignal m(t) abhängig. x c (t) = A(t) cos(w c t) 3.1 DSB(-SC): Doppelseitenband (Double-Sideband)-AM S44 Bei der Doppelseitenband-Amplitudenmodulation ist das untere Seitenband (Lower Sideband) sowie das obere Seitenband (Upper Sideband) präsent. Da der Träger im Spektrum nicht präsent ist, ist bei dieser Art von AM auch von DSB-SC (Double-Sideband Suppressed Carrier) die Rede. Die Bandbreite berechnet sich dadurch wie folgt: W B = 2w ω Modulation Bei der Doppelseitenband AM wird das Nachrichtensignal mit dem sinusförmigen Trägersignal multipliziert, wodruch sich dank dem Modulationssatz folgendes Spektrum ergibt. x DSB (t) = m(t) cos(w c t) X DSB = 1 2 M(ω ω c) M(ω + ω c) Demodulation Auswirkungen einer Phasenabweichung um φ: Das DSB-Signal wird mit einem sogenannten synchronen Demodulator oder koharänten Demodulator zurückgewonnen. Hierbei wird das DSB- Signal mit dem lokalen Träger multipliziert und anschliessend das Nachrichtensignal mittels einem Tiefpassfilter rausgefiltert. Weicht die Frequenz oder die Phase des lokalen Trägers von deren, des ursprünglichen Trägers ab, so ergeben sich Abschwächungen im demodulierten Nachrichtensignal. y T P (t) = 1 2 m(t) cos( φ) = 1 2m(t) cos(φ) Auswirkungen einer Frequenzabweichung um ω: y T P (t) = 1 2m(t) cos( ωt) 3.2 AM: Gewöhnliche(Ordinary)-AM S45 Die gewöhnliche AM wird generiert, indem man dem DSB-Signal ein grosses Trägersignal dazuaddiert Modulation x AM (t) = A C (1 + µ m(t)) cos(ω c t) X AM (ω) = 1 2 M(ω ω c) M(ω + ω c) + πa[δ(ω ω c ) + δ(ω + ω c ))] Die Bandbreite bleibt gleich wie bei DSB-AM, jedoch befindet sich nun ein grosser Teil der Signalleistung im Träger. Diese Art von AM hat sich v.a. in füheren Zeiten durchgesetzt, weil die Demodulation mit sehr wenig Aufwand realisiert werden kann.

5 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 5 von Demodulation Mit Enveloppen Detektor gering. Der Enveloppen Detektor braucht nur drei Bauteile, der Schaltungsaufwand ist also sehr Damit der Envelope Detektor korrekt funktioniert müssen R und C korrekt gewählt werden, es gilt: RC ω mµ In der Praxis genügt jedoch das Erfüllen der Bedingung 1 ω c 1 W M, wobei es sich bei W M um die Bandbreite des Nachrichtensignals handelt. Mit kohärentem (synchronen) Demodulator Ordinary AM kann auch mit dem kohärenten Demodulator demoduliert werden (siehe auch 3.1.2, (S. 4)) : y(t) = 1 2 (A + m(t)) = 1 2 m(t) + 1 2A mit nachfolgendem seriellem Kondensator (Hochpass). 1 µ Modulationsindex S46 Der Modulationsindex µ ist für AM wie folgt definiert. µ = minm(t)} A c Um eine Demodulation mit dem Envelope-Detektor zu ermöglichen, muss die Bedingung µ 1 erfüllt sein. Ist dies nicht der Fall (µ > 1) so spricht man von einer Übermodulation oder einem übermodulierten Träger, was in einer Envelope-Verzerrung resultiert. Anbei zwei Fälle zur Veranschaulichung dieser Problematik: Links (µ 1), Rechts (µ > 1 Übermodulation). = A m A c Effizienz / Wirkungsgrad S Unter der Effizienz η der gewöhnlichen AM versteht man das Verhältnis von der Signalleistung P s der beiden Seitenbänder zur Gesamtleistung P t des AM-Signals. P c = A2 c 2 und P t = A2 c 2 + µ2 A 2 c 4 = η = P s P t = P t P c P t = µ2 2 + µ 2 Die maximale Effizienz (bei µ = 100%) beträgt nur gerade η = 33%. Bei µ = 50% sind es noch bescheidene η = 11.1%.

6 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 6 von SSB: Einseitenband (Single-Sideband)-AM S47 Sowohl Gewöhnliche AM als auch DSB verschwenden Bandbreite, weil diese immer beide Seitenbänder übermitteln. Ist dies nicht der Fall - wird also nur ein Seitenband übertragen - so spricht man von Einseitenband-AM. Deren Vorteil liegt in der Reduktion der Bandbreite, was aber auch den Nachteil - Die Komplexität der Implementation - mit sich bringt Modulation Phasenverschiebung S Des weiteren bieter sich die Möglichkeit ein SSB-Signal mit Hilfe von 90 -Phasenschiebern zu generieren, siehe Quadraturfilter (S. 3) & Hilbertransformation (S. 3). Die Amplitude des SSB-Signals ist im Spektrum gleich hoch wie die des Nachrichtensignals. +: Lower Sideband; : Upper Sideband Frequenzdiskriminierung Demodulation Hierbei wird ein DSB-Signal mit einem Hoch- oder Tiefpass gefiltert, sodass ein SSB-Signal resultiert. Diese Methode ist in der Praxis unüblich, da sehr steile Filter benötigt werden. Die Amplitude des SSB-Signals ist im Spektrum halb so hoch wie die des Nachrichtensignals. Diese erfolgt wie bei DSB-AM (siehe auch 3.1.2, Modulation DSB-AM (S. 4)). 3.4 VSB: Restseitenband (Vestigial-Sideband)-AM) S Modulation Restseitenband-AM ist sozusagen die praktische Realisierung der Frequenzdiskriminierungsmethode bei SSB. Es wird ein DSB-Signal mit einem Restseitenbandfilter (sideband-shaping filter) gefiltert, wodurch schlussendlich das VSB-Singal resultiert mit etwa 1.25-facher Bandbreite von SSB. W V SB 1.25 W SSB Demodulation Auch diese Art von AM kann mit einem kohärenten Demodulator demoduliert werden (siehe auch 3.1.2, Modulation DSB-AM (S. 4)). Für eine verzerrungsfreie Demodulation ist erforderlich, dass H(ω + ω c ) + H(ω ω c ) = const für ω ω m max.

7 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 7 von QAM: Quadratur(Quadrature)-AM S Hierbei werden zwei orthogonale Träger (sin, cos) verwendet, sodass zwei Nachrichtensignale zusammen übertragen werden können. Dies ist zwar technisch aufwendiger, jedoch wird die Bandbreite doppelt genutzt. Bei der Demodulation muss darauf geachtet werden, dass der Demodulator synchronisiert ist. Ist dies nicht der Fall, so kann sich bei grösserer Phasenabweichung das andere Nachrichtensignal einschleichen. 4 Winkelmodulation (FM/PM) S68 Obwohl Winkel- und Frequenzmodulation - im Vergleich zu AM - komplexer ist und mehr Bandbreite benötigt hat es einen erheblichen Vorteil, welcher die vorhin genannten Nachteile kompensiert. Nämlich ist die Störanfälligkeit und das Rauschen kleiner als bei AM. Die Grundlage bietet der sinusförmige Träger, wessen Phase oder Frequenz je nach Amplitude des Nachrichtensignals moduliert wird. x c (t) = A cos(w c t + φ(t)) = A cos(θ(t)) PM φ(t) = k p m(t) FM dφ(t) t dt = k f m(t) φ(t) = k f t x P M (t) = A cos[w c t + k p m(t)] x F M (t) = A cos[w c t + k f t 0 m(λ)dλ + φ(t 0 ) m(λ)dλ] k p = Phasenhubkonstante [rad] k f = Frequenzhubkonstante [ rad s ] 4.1 Momentanfrequenz, Frequenzabweichung w i = dθ(t) dt = w c + dφ(t) dt ω = ω i ω c max ω i Momentanfrequenz, [ω i ] = rad s ω c Trägerfrequenz, [ω c ] = rad s ω maximale Frequenzabweichung, [ ω] = rad s θ(t) momentane Phasenabweichung, [θ(t)] = rad s 4.2 Klein- und Grosshub S Abhängig von der maximalen Phasenabeweichung sind zwei verschiedene Arten von Winkelmodulationnen zu unterscheiden. Kleinhub - NB (Narrowband) φ(t) max < 0.2 β < 0.2 D < 0.2 Grosshub - WB (Wideband) φ(t) max 1 β 1 D 1

8 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 8 von Einton (Sinusförmige)-Modulation (Sinusoidal Modulation) S Modulationsindex (Modulation Index) a m sin(ω m t) PM m(t) = β = ω k p a m = a m cos(ω m t) FM ω m Spektrum k f a m ωm PM FM x c (t) = A cos(ω c t + β sin(ω m t)) x c (t) = A β Modulationsindex (max. Phasenabw.), [β] = rad a m Amplitude des Nachrichtensignals, [a m ] = 1 n= J n (β) cos((ω c + nω m )t) J n (β) ist die Bessel Funktion erster Art n-ter Ordnung (Schaum S. 323f). Das Spektrum besteht aus dem Trägersignal plus einer unendlichen Anzahl Spektrallinien, wobei J n (β) sehr klein ist für grosse n. Für (β 1, Kleinhub) sind nur J 0, J 1 und J 1 relevant. Bei (β 1, Grosshub) existieren jedoch einige signifikante Seitenbänder Bandbreite Mit der Bedingung J n (β) 0, (n > β + 1) kann die Bandbreite approximativ berechnet werden. 98% der durschnittlichen Signalleistung sind in diesem Frequenzspektrum angesiedelt. 2ω m (k p a m + 1) PM, W B ω m W B 2(β + 1)ω m = β < 0.2 (NB) : W B 2ω m 2(k f a m + ω m ) FM, W B ω m Leistung S P = 1 2 A2 C 4.4 Willkürliche-Modulation (Arbitrary Modulation) S72-4.7B Anstelle von β verwenden wir für willkürliche Nachrichtensignale D für die Phasenabweichung. D = ω W M W B 2(D + 1)W M NB( (D 1)) : W B = 2W M WB( (D 1)) : W P M = 2 ω(prop. W M ); W F M = 2 ω(const.) D Modulationsindex = max. Phasenabw., [D] = rad W M Bandbreite des Nachrichtensignals ω Frequenzabweichung W B, W F M, W P M Bandbreite des winkelmodulierten Signals Bei Grosshub-FM bleibt die resultierende Bandbreite W F M bei ändernder Nachrichtenbandbreite W M gleich. Bei Grosshub- PM ändert sich diese BandbreiteW P M jedoch proportional zur Nachrichtenbandbreite W M. 4.5 Modulationsarten Auch bei der Modulation muss zwischen Klein- und Grosshub FM/PM unterschieden werden Kleinhub Modulation S72-4.8A Aus der trigonometrische Gleichung (cos(β + α) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) mit cos(α) 1, sin(α) α) ergibt sich: cos(β) α sin(β) cos(ω c t + k p m(t)) = cos(ω c t) k p m(t) sin(ω c t) Kleinhub-FM Modulator Kleinhub-PM Modulator

9 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 9 von Indirekte Grosshub Modulation S73-4.8B1 Bei dieser Methode wir zuerst ein Kleinhub-Signal erzeugt und dann mittels einem Frequenzmultiplikator in ein Grosshub- Signal gewandelt. x(t) = A cos[ω c t + Φ(t)] y(t) = A cos[nω c t + nφ(t)] Frequenzmultiplikation ist realisierbar mit nicht-linearen Bauteilen (Diode, Transistor, etc.) Direkte Grosshub Modulation S74-4.8B2 Dank der spannungsabhängigen Sperrschichtkapazität von Dioden (Varicap - Kapazitätsdiode, Dioden-Varaktor, MOS- Varaktor) ist es möglich spannungsabhängige Oszillatoren zu entwickeln. Diese VCOs (Voltage Controlled Oscialltor) können dann direkt ein Grosshub PM/FM Signal erzeugen. 4.6 Demodulation Die Demodulation von FM benötigt ein System, welches eine Ausgangsspannung proportional zur momentanen Frequenzabweichung erzeugt, solch ein System nennt man Frequenzdiskriminator. Auch PM kann so einfach demoduliert werden, indem am Ausgang des FM-Demodulators noch ein Integrator nachgeschalter wird Frequenzdiskriminator Idealer Frequenzdiskriminator PLL - Phase-Locked Loop Praktisch wird der Frequenzdiskriminator durch ein Differentiator mit nachgeschaltetem Envelope-Detektor realisiert. Bei einem PLL handelt es sich um einen phasengekoppelten Regelkreis. Dieser vergleicht die aktuelle Frequenz eines internen Oszillators (VCO) mit einer Referenzfrequenz. Sollte die interne Frequenz von der Referenzfrequenz abweichen, wird diese nachgeregelt. Aus der Steuerspannung für den internen Oszillator resultiert genau die Frequenzabweichung und somit auch das ursprünglich FM-modulierte Nachrichtensignal. 4.7 UKW Radio Das UKW Signal besteht primär aus zwei Audiosignalen: Dem Summen- (L+R) und dem Differenzsignal (L-R). Somit kann bei schlechtem Empfang nur Mono (L+R) und bei gutem Empfang Stereo (L/R) gehört werden. Zur Synchronisation mit dem Demodulator dient der 19kHz Pilot Ton. Mit RDS (Radio Data System) werden Digitale Daten wie z.b. Senderinformationen (Sendername, Uhrzeit,... ) mit einer Datenrate von bit/s übertragen. Spektrum des UKW Nachrichtensignals

10 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 10 von 15 5 Multiplexingverfahren Zeitmultiplex - Time Division Multiple Access (TDMA), GSM, DECT, ISDN Frequenzmultiplex - Frequency Division Multiple Access (FDMA), UKW-Radio Codemultiplex - Code Division Multiple Access (CDMA), UMTS, GPS Raummultiplex - Space Division Multiple Access (SDMA), Zellen der GSM-Basisstationen 5.1 FDM - Frequenzmultiplex (Frequency-Division Multiplexing) S52 Mit dieser Technik werden mehrer Modulierte Signale über ein Kanal gesendet. Die einzelnen Trägerfrequenzen sind so ausgelegt, dass sich die Signale im gemeinsamen Kanal nicht überlagern und kein Übersprechen stattfindet. Somit können die Nachrichtensignale unabhängig von den anderen wieder demoduliert werden. 5.2 TDM - Zeitmultiplex (Time-Division Multiplexing) S100 Bei TDM werden mehrere Nachrichtensignale über einen Kommunikationskanal gesendet, indem jedes einzelne Signal jeweils nur zu bestimmten Zeitintervallen gesendet wird. Diese Umschaltung erfolgt durch einen sogenannten Commutator. Zeitmultiplex ist das wichtigste Mutiplexingverfahren für Sprachübertragung inm Telekommunikationsnetz.

11 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 11 von 15 6 Digitale Uebermittlung analoger Signale S90 1. Abtastung(Sampler): Zeitdiskretisierung 2. Quantisierung(Quantizer): Amplitudendiskretisierung 3. Encoder(Codierung) Einige Vorteile der Digitalisierung: 100% Störungsfrei, Algorithem einfach auf Signal anwendbar, Verschlüsselung leicht gemacht. 6.1 Abtastung (Sampling) S Ein ideale Abtastung besteht theoretisch aus einer periodischen Abfolge von Dirac-Pulsen δ TS mit dem Abstand T s = 1 f s. Dieses Spektrum erhält man mittels der Fourier-Reihe. δ TS (t) = + n= δ(t nt S ) ω S δ ωs (jω) = ω S + n= δ(ω nω S ) Abtasttheorem - Nyquist Theorem Ein Nachrichtensignal muss mind. mit dem Doppelten seiner Eigenfrequenz abgetastet werden. Ansonsten können sich die Signale im Spektralbereich überlappen. Um dies zu verhindern wird ein sogenannter Anti- Aliasing Filter der Abtastung vorgeschaltet. f s 2f M f N = 2 B M f Nyq = fs 2 T N = 1 2 B M = 1 f N f s Samplingfrequenz, [f s ] = Hz f M Nachrichtenfrequenz, [f M ] = Hz B M Nachrichtenbandbreite, [B M ] = Hz f N Nyquistrate, [f N ] = Hz f Nyq Nyquistfrequenz, [f Nyq ] = Hz T N Nyquistintervall, [T N ] = s Handelt es sich bei dem Nachrichtensignal um ein Bandpasssignal, so kann mit einer noch kleiner Samplingfrequenz abgetastet werden, dies nennt man Subsampling. Vorgehen: 1. Alle möglichen n bestimmen (ganzzahlig). 2. Alle möglichen Frequenzintervalle für f s bestimmen. 1 n f u f u f l f s Samplingfrequenz, [f s ] = Hz f l Minimale (lower) Nachrichtenfrequenz, [f l ] = Hz f u Maximale (upper) Nachrichtenfrequenz, [f u ] = Hz n Subsampling-Faktor, ganzzahlig 2 f u f s 2 f l n n 1 Ein weiterer Begriff bezüglich Sampling ist das Oversampling, welches bei DACs (Digital-Analog Converter) angewendet wird. Hierbei interpoliert ein DSP zusätzliche Samples, um die Sample-Rate der D/A-Wandlung zu erhöhen. Folgende Vorteile resultieren daraus: Originalgetreueres Nachrichtensignal, kleinere Filtersteilheit notwendig.

12 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 12 von Natural Sampling S Signal mit Periodendauer T S wird für die Zeit d geschlossen. Amplitude ist bleibt während Sample nicht konstant Flat-Top Sampling - Sample & Hold S Das Sample hat die Breite d und bleibt über diese Zeit konstant. Anwendungsbeispiel: A/D-Wandler, Sample & Hold Schaltung. Das Spektrum des gesampelten Signals wird bei höheren Frequenzen gedämpft, dieses Phänomen wird als Aperture Effect bezeichnet. Dies kann mit entsprechenden Filtern wieder korrigiert werden. 6.2 Quantisierung (Quantizing) S Gleichförmig Kompressor µ-law A-Law Gleichförmige(Uniform) Quantisierung S93-5.4A = A m 2 n 1 = 2 A m L 2 q e 2 SNR = S N q = S q 2 e L = 2 n < qe 2 >= 2 12 = (2A m) 2 L 2 12 Intervallbreite L Anzahl Intervalle n Wortlänge der Samples, [Anzahl Bit] A m Amplitude des Nachrichtensignals q e Quantisierungsfehler < q 2 e > Quantisierungsrauschen SNR Signal-Geräusch Abstand, [SNR] = db SNR db = 10 log(snr) db n 6dB

13 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 13 von Ungleichförmige(Nonuniform) Quantisierung S95-9.5C Bei tiefen Nutzsignalen hat die gleichförmige Quantisierung den Nachteil einer schlechten SNR (Signal - Geräusch Abstand). Beihilfe schafft die Ungleichförmige Quantisierung z.b. bei Telefonie A-Law-(Europa) oder µ-law-codierung (USA, Japan)). Praktisch wird dies mit einem sogenannten Kompressor und einem nachgeschalteten gleichförmigen Quantisierer realsiert. ln(1 + µ x ) f µ Law (x) = sgn(x) ln(1 + µ) SNR µ Law 10 log 3L 2 [ln(1 + µ)] 2 f A Law (x) = A 1+ln A x 1 1+ln A SNR A Law 10 log wenn 0 x 1 A ln Ax + 1+ln A, wenn 1 A < x 1 3L 2 (1 + ln A) Codierung (Encoding) S Bandbreitenbedarf von PCM-Signalen S f s > 2 B m n = log 2 L R B = f s n > 2 n B m B eff > B P CM = 1 2 n f s > n B m f s Samplingrate, [f s ] = Hz n Bits pro Sample, ganzzahlig R B Bitrate des PCM-Signals, [R B ] = bit s B m Signalbandbreite, [B m ] = Hz B P CM Bandbreite PCM Signal, [B P CM ] = Hz Delta Modulation S = f s > dm(t) T s dt ( 3f 3 (SNR) 0 = 10 log s 8π 2 fmf 2 M < q 2 e >= 2 3 max ) db f s Samplingrate, [f s ] = Hz f m Signalfrequenz, [f m ] = Hz f M Grenzfrequenz des TP-Filters, [f M ] = Hz B m Signalbandbreite, [B m ] = Hz B P CM Bandbreite PCM Signal, [B P CM ] = Hz Schritthöhe < q 2 e > Quantisierungsrauschen Leitungscodierung S Je nach Anforderungen (DC-Freie Übertragung, Clock-Rückgewinnung, Störfestigkeit, Bandbreitenbedarf, Erkennung von Übertragungsfehlern) wird das zu übertragende Signal entsprechend codiert. Unipolar NRZ(Nonreturn-to-Zero) 1 = Puls, 0 = kein Puls Bipolar NRZ(Nonreturn-to-Zero) 1 = positiver Puls, 0 = negativer Puls Unipolar (RZ)Return-to-Zero 1 = Puls der wieder auf Null zurückspringt, 0 = kein Puls Bipolar RZ 1 = positiver Puls (kehrt wieder auf Null zurück), 0 = negativer Puls (kehrt wieder auf Null zurück) AMI (Alternate Mark Inversion) RZ 1 = Abwechslungsweise positiver und negatier Puls, 0 = kein Puls Split-Phase (Manchester) 1 = Positiver Puls mit anschliessend Negativem, 0 = Negativer Puls mit anschliessendem Positivem

14 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 14 von Pulse Shaping und ISI (Intersymbolic Interference) S A Da Übertragungskanäle in der Praxis keine idealen Eigenschaften (limitierte Bandbreite, Nichtlinearität, Verzerrungen) aufweisen, werden die - von uns als rechteckig angenommenen - Pulse verfälscht. Die Pulse werden verbreitert und überlappen benachbarte Pulse, sodass beim Empfänger eine Unterscheidung der verschiedenen Symbole schwer fällt. Das oben erwähnte Phänomen wird intersymbolic interference genannt. Abhilfe schafft ein passendes Filter, welches dem Übertragungskanal vorgeschaltet wird. Das Filter weist eine spezielle Impulsantwort auf, welche bei gleichmässigen Zeitabständen (Abtastzeiten) Null ist, ausser zum Zeitpunkt Null. Dadurch kann die ISI umgangen werden, wenn dann genau zu diesen Zeiten abgetastet wird. Raised-Cosine Filter S103 Dieses Filter schafft Abhilfe bei ISI. Obwohl dies auch mit einem Idealen Filter (Sinc-Frequenzgang) möglich wäre, wird ein Raised-Cosine mit folgenden Vorteilen eingesetzt: Raised-Cosine-Puls fällt schneller ab als Sinc-Puls Raised-Cosine ist zwar auch akausal, aber in der Praxis einfacher realisierbar f B = 1 + α 2T Hz 1 T = 2f B 1 + α f B benötigte Bandbreite, [f B ] = Hz 1 T Pulsrate, [ 1 T ] = Pulse pro Sekunde α roll-off-faktor, [α] = 1 h(t) = 1 ( ) [ ] sin W t cos αw t = T s W t 1 (2αW t/π) ω (1 α)w ( [ 1 H(ω) = 2 1 sin π 2αW ( ω W )]) (1 α)w ω (1 + α)w 0 ω > (1 + α)w Digitale Trägermodulation S Weil Binäre Nachrichtensignale selbst zu kleine Frequenzen aufweisen, sind sie nicht geeignet um z.b. über den Äther zu schicken. Abhilfe schafft die binäre Trägermodulation. ASK - Amplitude-Shift Keying A cos(ω c t) symbol 1 x c (t) = 0 symbol 0 FSK - Frequency-Shift Keying A cos(ω c1 t) symbol 1 x c (t) = A cos(ω c2 t) symbol 0 PSK - Phase-Shift Keying A cos(ω c t) symbol 1 x c (t) = A cos(ω c t + π) symbol 0

15 Nachrichtentechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 15 von 15 7 Übungsverzeichnis 7.1 Einführung Thema Hausübung Schaum Praktikum Dezibel 1.1, 1.2, 1.3 Fouriertransformierte 2.3, 2.4, 2.5, , 1.14, 1.15, 1.28 Komplexe Fourierreihe 2.1, , LTI-Systeme Thema Hausübung Schaum Praktikum LTI: Linearität und Zeitinvarianz 3.1, , 2.2 LTI: RL-Filter Amplitudenmodulation Thema Hausübung Schaum Praktikum DSB-SC OAM: Koharände Demodulation OAM: Spitzenwertdetektor QAM SSB-AM: Demodulation mit koharäntem Demodulator SSB-AM: Modulation mit Eintonsignal 5,1 3.7, Winkelmodulation - FM/PM Thema Hausübung Schaum Praktikum FM/PM: Bandbreite 6.5, , FM/PM: Bandbreitenänderung FM/PM: Frequenz- & Phasenabweichung FM/PM: Leistung des modulierten Signals FM/PM: Modulationsindex 6.6, , 4.11, 4.12 FM/PM: Momentanfrequenz PM: Nichtlinearität Multiplexverfahren Thema Hausübung Schaum Praktikum Multiplexing: Zeitmultiplex (TDM) Digitale Übermittlung analoger Signale Thema Hausübung Schaum Praktikum Delta-Modulation , 5.22, 5.23, ISI, Pulse-Shaping (Raised Cosine) PCM: Quantisierungsrauschen, SNR 8.4, , 5.16 PCM: Samplerate, Quantisierung, Bitrate PCM: Samplerate, Wortbreite, Bitdauer PCM: SNR und Bitrate einer CD PCM: Wortbreite 8.2, , 5.16 Quantisierung: Ungleichförmig: A-Law, µ-law; SNR 8.7, , Sampling: Basisbandsignale Sampling: Flat-top Sampling Sampling: Natural Sampling Sampling: Nyquist-Frequenz/-Rate/-Intervall Sampling: Subsampling 7.4, , 5.8 Sampling: Unterabtastung