Bemessungshilfen im Stahlbetonbau

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1 Bemessungshilfen im Stahlbetonbau Prof. Dr.-Ing. Alfons Goris und Prof. Dr.-Ing. Ulrich P. Schmitz Vorbemerkung Nachfolgend ist in einigen Ausschnitten das Kapitel 5 Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN der Bautabellen für Ingenieure wiedergegeben. Dabei sind insbesondere die Abschnitte aufgeführt, zu denen ergänzend programmgesteuerten Bemessungshilfen sinnvoll sind; sie sind in der hier vorliegenden Form ausnahmlos als Excel-Anwendungen erarbeitet. Hierzu gehören beispielweise die zeitraubende graphische Ermittlung der Endkriechzahlen und -schwindbeiwerte mit den Diagrammen nach DIN , der aufwändige Nachweis der Gesamtstabilität; weitere Bemessungshilfen betreffen die Bemessungen für Biegung, Längskraft, Querkraft, Torsion und die verformungsbeeinflussten Nachweise auf Biegung mit Längsdruck ( Knicksicherheitnachweis ). Die Nummerierung der nachfolgenden Abschnitte, Gleichungen und Tafeln wurde wie im gedruckten Beitrag der Bautabellen für Ingenieure gewählt; sie wurde in der digitalen Form bewusst beibehalten, um ein Nachschlagen im Buch für ergänzende Erläuterungen und Nachweise leicht zu ermöglichen (Gleichungsund Tafel-Nummern entsprechen der jeweiligen Seitenzahl in der gedruckten Fassung). Der fortlaufende Textbeitrag wurde von Alfons Goris, die Excel-Anwendungen von Ulrich P. Schmitz bearbeitet. Weitere Bemessungshilfen und wesentlich erweiterte Anwendungsmöglichkeiten finden sich in [5.84]. Hier ist außerdem der Normentext DIN vollständig wiedergegeben und die Anwendung auf die tragende Konstruktion eines Bürogebäudes mit alle wesentlichen Nachweisen Gesamtstabilität, Bemessung und bauliche Durchbildung der Deckenplatte, des Unterzuges, von Innen- und Randstützen, der Fundamente gezeigt. Die Ergebnisse der Excel-Anwendungen gelten jeweils nur für die dargestellte Nachweisführung. Zusätzlich sind weitergehende Regelungen Nachweise in den Grenzuzuständen der Gebrauchstauglichkeit, Mindest- und Höchstbewehrungsgrenzen u.a.m zu beachten, die nicht behandelt sind. Bei der Vielzahl von Daten, wie sie nachfolgend zu finden sind, sind einzelne Fehler trotz mehrerer Korrekturdurchgänge nicht auszuschließen. Für entsprechende Hinweise sind die Autoren dankbar. Für Folgefehler kann verständlicherweise keine Haftung übernommen werden. Die Darstellungen und Anwendungen gelten für Stahlbeton bis zu einer Festigkeitsklasse C50/60; für vorgespannte Bauteile, für hochfesten Beton und für Leichtbeton sind zusätzliche Regelungen zu beachten, die nur teilweise wiedergegeben sind. CD.1

2 1 Formelzeichen, Begriffe, Geltungsbereich 2 Bemessungsgrundlagen 2.1 Nachweisform und Sicherheitsbeiwerte Bemessungskonzept und Bemessungssituation Nachweis, dass bestimmte Zustände, sog. Grenzzustände, nicht überschritten werden. Man unterscheidet Grenzzustände der Tragfähigkeit (Bruch, Verlust des Gleichgewichts, Ermüdung) Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit (unzulässigeverformungen, Schwingungen, Rissbreiten) Anforderungen an die Dauerhaftigkeit. Bei den Nachweisen in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit werden drei Bemessungssituationen unterschieden: ständige Bemessungssituation (normale Nutzungsbedingungen des Tragwerks) Grund- vorübergehende Bemessungssituation (z. B. Bauzustand, Instandsetzungsarbeiten) kombination außergewöhnliche Bemessungssituation (z. B. Anprall, Erschütterungen) Grenzzustände der Tragfähigkeit Nachweis der Lagesicherheit Nachweis der Lagesicherheit nach DIN , 9.2; die Bemessungswerte der destabilisierenden Einwirkungen E d,dst dürfen die Bemessungswerte der stabilisierenden Einwirkungen E d,stb nicht überschreiten. E d,dst E d,stb Grenzzustand der Tragfähigkeit infolge von Bruch oder übermäßiger Verformung Bemessungswert der Beanspruchungen E d Der Bemessungswert der Beanspruchung ergibt sich in der Grundkombination E d = E [ Σ γ G,j G k,j γ P P k γ Q,1 Q k,1 Σ γ Q,i ψ 0,i Q k,i ] j 1 i > 1 Bemessungswerte des Widerstands (der Tragfähigkeit) R d Bei linear-elastischen Schnittgrößenermittlungen oder bei plastischen Berechnungen gilt: (31.1) Wird die Lagesicherheit durch Verankerungen bewirkt, wird Gl. (31.1) wie folgt modifiziert E d,dst E d,stb R d mit R d als Bemessungswert des Tragwiderstandes der Verankerung (hierfür ist Gl. (32.1) nachzuweisen). Gegen Versagen des Tragwerks durch Bruch oder übermäßige Verformungen muss nachgewiesen werden E d R d (32.1) mit E d als Bemessungswert der Beanspruchung (Schnittgröße...) und R d als Bemessungswert des Tragwiderstands (Materialfestigkeiten...). (32.2a) γ G,j Teilsicherheitsbeiwert für ständige Einwirkungen (s. Tafel 5.33a) γ P Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen infolge Vorspannung (s. Tafel 5.33a) γ Q Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkungen (s. Tafel 5.33a) G k,j charakteristische Werte der ständigen Einwirkungen P k charakteristischer Wert der Vorspannung als unabhängige Einwirkung Q k,1 ; Q k,i charakteristische Werte der ersten veränderlichen Einwirkung bzw. weiterer veränderlicher E. ψ 0, ψ 1, ψ 2 Kombinationsbeiwerte für seltene, häufige und quasi-ständige Einwirkungen (s. Tafel 5.33b) in Kombination mit R d = R (α f ck /γ c ; f yk /γ s ; f tk,cal /γ s ; f p0,1k /γ s ; f pk /γ s ) (32.5) α Abminderungsbeiwert zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkung u.a. (s. Abschn ) f ck charakteristischer Wert der Betonfestigkeit (s. Abschn ) f yk, f tk,cal charakteristischer Wert der Streckgrenze, der Zugfestigkeit des Betonstahls (s. Abschn ) f p0,1k, f pk charakteristischer Wert der 0,1%-Dehngrenze, der Zugfestigkeit des Spannstahls γ c, γ s Teilsicherheitsbeiwert für den Beton bzw. den Betonstahl oder Spannstahl nach Tafel 5.33c CD.2

3 Tafel 5.33a Teilsicherheitsbeiwerte γ F für Einwirkungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (DIN , Tab. A.3 und DIN , Tab. 1) ständige Einwirkung (G k ) veränderliche Einwirkung (Q k ) Vorspannung (P k ) γ 1) 4) G γ 2) 4) Q γ 3) P günstige Auswirkung 1,00 0 1,0 ungünstige Auswirkung 1,35 1,50 1,0 1) Sind günstige und ungünstige Anteile einer ständigen Einwirkung als eigenständige Anteile zu betrachten (z. B. beim Nachweis der Lagesicherheit), gilt γ G,sup = 1,1 (ungünstig) und γ G,inf = 0,9 (günstig). 2) Für Zwang darf bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung mit der Steifigkeit nach Zustand I und mit dem mittleren E-Modul E cm γ Q = 1,0 gesetzt werden. 3) Sofern Vorspannung als einwirkende Schnittgröße berücksichtigt wird. 4) Bei Fertigteilen dürfen in den Bauzustände für Biegung und Längskraft die Teilsicherheitsbeiwerte der ständige Einwirkung auf γ G = 1,15 und der veränderliche Einwirkung auf γ Q = 1,15 herabgesetzt werden. Tafel 5.33b Kombinationsbeiwerte ψ für Hochbauten (DIN , Tab. A.2; weitere Werte s. dort) Einwirkung Kombinationsbeiwerte ψ 0 ψ 1 ψ 2 Nutzlast: Kategorie A, B: Wohn-, Aufenthalts-, Büroräume 0,7 0,5 0,3 Kategorie C, D: Versammlungsräume; Verkaufsräume 0,7 0,7 0,6 Kategorie E: Lagerräume 1,0 0,9 0,8 Windlasten 0,6 0,5 0 Schneelasten Orte bis zu NN ,5 0,2 0 Orte über NN ,7 0,5 0,2 Temperatureinwirkungen (nicht für Brand!) 0,6 0,5 0 Baugrundsetzungen 1,0 1,0 1,0 Sonstige veränderliche Einwirkungen 0,8 0,7 0,5 Tafel 5.33c Teilsicherheitsbeiwert γ M für Baustoffeigenschaften (DIN , Tab. 2) Kombination Beton ( γ c ) Betonstahl, (γs ) unbewehrtes Bauteil Stahlbeton-/Spannbetonbauteil Spannstahl Grundkombination 1,80 1,50 5) 1,15 5) Bei Fertigteilen (werksmäßige Herstellung und ständige Überwachung) darf γ c = 1,35 gesetzt werden. Bei Festigkeitsklassen C55/67 bzw. LC55/60 ist γ c mit dem Faktor γ c = 1/(1,1 0,002 f ck ) 1 zu vergrößern Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit Der Bemessungswert der Beanspruchung E d darf den Nennwert des Gebrauchstauglichkeitskriteriums C d nicht überschreiten (DIN , 10.2 und 10.4): E d C d (34.1) Kombinationsregeln für Einwirkungen E d (Erläuterung der Formelzeichen s. Gl. (32.2)): seltene Kombination E d,rare = E [ Σ G k,j P k Q k,1 Σ ψ 0,i Q k,i ] j 1 i > 1 (34.2a) häufige Kombination E d,frequ = E [ Σ G k,j P k ψ 1,1 Q k,1 Σ ψ 2,i Q k,i ] j 1 i > 1 (34.2b) quasi-ständige Kombination E d,perm = E [ Σ G k,j P k Σ ψ 2,i Q k,i ] j 1 i 1 (34.2c) Bemessungswert des Gebrauchstauglichkeitskriteriums C d Als Kriterien gelten z. B. zulässige Spannungen, Rissbreiten und Verformungen (s. hierzu Abschn. 4.2) Dauerhaftigkeit Die Dauerhaftigkeit gilt als sichergestellt, wenn folgende Regeln nach DIN eingehalten werden: eine Mindestbetonfestigkeit je nach Expositionsklasse (s. Abschn. 5.1) eine Mindestbetondeckung c min und ein Vorhaltemaß c (s. Abschn. 5.1) die konstruktiven Regeln (s. Abschn. 5.4 u.a.) die Grenzzustände der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit (s. Abschn. 4.1 u. Abschn. 4.2) Beton nach DIN EN bzw. DIN und Bauausführung nach DIN CD.3

4 2.2 Ausgangswerte für die Bemessung Beton Die Festigkeitsklassen für Normalbeton werden durch das vorangestellte Symbol C gekennzeichnet. Der erste Zahlenwert bezeichnet die Zylinder-, der zweite die Würfeldruckfestigkeit (z. B. C30/37 mit f ck,cyl = 30 N/mm 2 und f ck,cube = 37 N/mm 2 ). Als charakteristischer Wert f ck für die Bemessung gilt die Zylinderdruckfestigkeit f ck,cyl. Die Betonkennwerte sind in Tafel 5.36 zusammengestellt Spannungs-Dehnungs-Linien 1) Für die Querschnittsbemessung Spannungs-Dehnungs-Linie bis C50/60 Gleichung der Parabel für die Bemessungsdruckspannungen σ c = ( ε c ε c2 ) f cd (35.2) f cd = α f ck /γ c mit α als Faktor zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkungen u.a.; hierfür gilt Normalbeton: α = 0,85 1) Für Beton sind andere idealisierte Spannungs-Dehnungs-Linien zulässig, wie z. B. die bilineare Spannungs-Dehnungs-Linie. Wenn die Dehnungsnulllinie im Querschnitt liegt, darf außerdem der rechteckige Spannungsblock angesetzt werden; falls die Querschnittsbreite zum gedrückten Rand hin abnimmt, ist f cd jedoch zusätzlich mit dem Faktor 0,9 abzumindern. bilineare σ -ε -Linie 1) rechteckiger Spannungsblock 1) Für die bilineare σ-ε-linie gilt α = 0,80. f ck 50 N/mm 2 χ = 0,95, k = 0,8 f f ck ck > 50 N/mm 2 χ = 1,05, 500 f k = 1,0 ck 250 Tafel 5.36 Mechanische Eigenschaften von Normalbeton bis C50/60 Excel-Anwendung (nach DIN , Abschn ; Spannungen und E-Moduln in N/mm 2 ) Normalbeton C 12/15 2) 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 Analytische Beziehung Druck- f ck Zylinderdruckf. f ck,zyl festigkeit f cm f cm = f ck + 8 N/mm 2 Zug- f ctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 f ctm = 0,30 f 2/3 ck festigkeit f ctk; 0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 f ctk;0.05 = 0,7 f ctm f ctk; 0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 f ctk;0.95 = 1,3 f ctm E-Modul E 3) c0m E c0m = (f ck +8) 1/3 E cm Dehnung ε c3 1,35 Gilt für die bilineare ε c3u 3,50 σ-ε-linie (s.o.) 2) Die Festigkeitsklasse C12/15 darf nur bei vorwiegend ruhenden Lasten verwendet werden. 3) E-Modul als mittlerer Tangentenmodul E c0m ; Zusammenhang zwischen Tagentenmodul E c0m und Sekantenmodul E cm s. u Elastische Verformungseigenschaften Die Angaben nach DIN , gelten als Richtwerte. Elastizitätsmodul: Der mittlere E-Modul E c0m gemäß Tafel 5.36 gilt für Beton im Alter von 28 Tagen mit quarzitischen Gesteinskörnungen (je nach Gesteinskörnung liegt der tatsächliche E-Modul um bis zu 20 % höher oder bis zu 30 % niedriger). Zusammenhang zwischen dem Sekantenmodul E cm und Tangentenmodul E c0 : E cm = α i E c0 mit α i = 0,8 + 0,2 (f cm /88) 1,0 (f cm in N/mm 2 ) CD.4

5 Querdehnzahl: Die Querdehnzahl darf i. Allg. zu 0 angenommen werden. Wärmedehnung: Die Wärmedehnzahl beträgt für Normalbeton α T = K 1 Die genannten Werte sind genauer zu ermitteln, wenn ein Tragwerk empfindlich auf Abweichungen reagiert. Weitere Erläuterungen und Berechnungsangaben s. DAfStb-H Kriechen und Schwinden Excel-Anwendung Einflüsse aus Kriechen und Schwinden können nach DIN , Abschn bzw. Abschn. 3.7 der Bautabellen für den Zeitpunkt t = Endkriechzahlen ϕ (, t 0 ) und Endschwindmaße ε cs, ermittelt werden. Eingangsparameter sind die wirksamen Bauteildicke 2 A c / u (A c Querschnittsfläche; u der Luft ausgesetzter Querschnittsumfang), die Betonfestigkeitsklasse und der Belastungszeitpunkt t 0. Voraussetzungen und Gleichungen zur rechnerischen Ermittlung s. Bautabellen, Abschn Betonstahl Nachfolgende Festlegungen gelten für Betonstabstahl, Betonstahl vom Ring (nach dem Richten) und für Betonstahlmatten im Bereich von -60 C bis +200 C. Schweißgeeignete Betonstähle und Einordnung in Duktilitätsklassen Kurz- Liefer- Ober- Nennstreck- Duktilität 1) zeichen form fläche grenze f yk N/mm BSt 500 S(A) Stab gerippt 500 normal BSt 500 S(B) Stab gerippt 500 hoch BSt 500 M(A) Matte gerippt 500 normal BSt 500 M(B) Matte gerippt 500 hoch 1) Für Betonstähle nach bauaufsichtlichen Zulassungsbescheiden sind die Duktilitätsmerkmale in der Zulassung geregelt (andernfalls gelten sie als normalduktil). Duktilitätsklassen Duktilitätsanforderungen: normale Duktilität (Kurzzeichen A): ε uk 25 ; ( f t / f y ) k 1,05 hohe Duktilität (Kurzzeichen B): ε uk 50 ; ( f t / f y ) k 1,08; f y / f yk 1,30 Hierin ist ε uk der charakteristische Wert der Dehnung bei Höchstlast, f t bezeichnet die Zugfestigkeit und f y die tatsächliche Streckgrenze. Spannungs-Dehnungs-Linie Für die Bemessung im Querschnitt sind zwei unterschiedliche Annahmen zugelassen: Linie I: Begrenzung der Stahlspannung auf f yk bzw. f yd = f yk / γ s und der Dehnung ε s auf ε su 25. Linie II: Der Anstieg der Stahlspannung zur Zugfestigkeit f tk bzw. f tk / γ s hin wird berücksichtigt; die Dehnung darf dann maximal ε su = 25 betragen, der Rechenwert der Zugfestigkeit ist mit f tk,cal = 525 N/mm 2 (bzw. f tk,cal /γ s ) festgelegt. Physikalische Eigenschaften Elastizitätsmodul: E s = N/mm 2 Wärmedehnzahl: α T = K 1 Spannungs-Dehnungs-Linie für die Querschnittsbemessung 2) 2) 2) Für die Querschnittsbemessung gilt: f tk = f tk,cal = 525 N/mm 2 ε uk = ε su = 25 CD.5

6 3 Schnittgrößenermittlung 3.1 Allgemeine Grundlagen 3.2 Imperfektionen Die Auswirkungen der Imperfektionen dürfen über eine Schiefstellung um den Winkel α a1 erfasst werden: α a1 = 1/(100 l ) 1/200 (im Bogenmaß) (42.1) mit l als Gesamthöhe h ges des Tragwerks in Metern. Beim Zusammenwirken von n lotrechten Baugliedern darf α a1 mit dem Faktor α n = (0,5 (1 + 1/n) 0,5 abgemindert werden (es dürfen nur die lotrechten Bauglieder berücksichtigt werden, die mindestens 70 % einer mittleren Längskraft im betrachteten Geschoss aufnehmen). Alternativ zur Schiefstellung nach Gl. (42.1) dürfen äquivalente Horizontalkräfte angesetzt werden (s. Abb.; es sind die beiden Alternativen Schiefstellung oder Ersatzhorizontalkräfte gleichzeitig dargestellt): n H j = Σ V ji α a1 (42.2) i=1 Waagerecht aussteifende Bauteile Waagerechte Bauteile sind für die Aufnahme einer zusätzlichen Horizontalkraft zu bemessen: H fd = (N bc + N ba ) α a2 (42.3) mit α a2 = 0,008 / 2 k und k als Anzahl der auszusteifenden Tragwerksteile im betrachteten Geschoss (α a2 im Bogenmaß). H fd ist als eigenständige Einwirkung zu betrachten und darf nicht durch Kombinationsfaktoren abgemindert werden (sie braucht nicht für die vertikalen aussteifenden Bauteile berücksichtigt zu werden.) 3.3 Räumliche Steifigkeit und Stabilität Grundsätzliches Unverschieblichkeit von Tragwerken Translationssteifigkeit von Tragwerken Tragwerke gelten als unverschieblich, wenn für beiden Hauptachsen y und z gilt: 1 1 E für 3 cm I m c (0, , m) (43) h 1 ges FEd für m 4 0, 6 h ges Gesamthöhe des Tragwerkes über OK Fundament bzw. Einspannebene m Anzahl der Geschosse F Ed Summe aller Vertikallasten F Ed,nj im Gebrauchszustand (d. h. γ F = 1), die auf die aussteifenden und auf die nicht aussteifenden Bauteile wirken E cm I c Summe der Nennbiegesteifigkeiten (Zustand I) aller vertikalen aussteifenden Bauteile, die in der betrachteten Richtung wirken. In den aussteifenden Bauteilen sollte die Betonzugspannung unter der maßgebenden Lastkombination des Gebrauchszustandes den Wert f ctm nicht überschreiten (E cm und f ctm s. Abschn ). Excel-Anwendung CD.6

7 Rotationssteifigkeit von Tragwerken mit aussteifenden Bauteilen Die Beurteilung der Rotationssteifigkeit erfolgt mit DIN , Abschn ) 1 h ges F j E I cm ω 2 Ed, j rj + 1 2,28 F j G cm I Ed, j T 2 rj 1 (0, 2 + 0, 1m) 1 0, 6 für m 3 für m 4 (45) Es sind: m Anzahl der Geschosse F Ed,j Vertikallast der Stütze j im Gebrauchszustand (d. h. γ F = 1) r j Abstand der Stütze j vom Schubmittelpunkt M des Gesamtsystems h ges Gesamthöhe des Tragwerks über Einspannebene der lotrechten aussteifenden Bauteile in m E cm I ω Summe der Nennwölbsteifigkeiten aller gegen Verdrehung aussteifenden Bauteile E cm I ω = Σ (E i I y,i y 2 Mmi + E i I z,i z2 Mmi + E i I ωi 2 E i I yz,i y Mmi z Mmi ) 2) I y,i ; I z,i Flächenmoment 2. Grades des aussteifenden Bauteils i I yz,i Flächenzentrifugalmoment des aussteifenden Bauteils i I ω,i Wölbflächenmoment 2. Grades des aussteifenden Bauteils i y Mmi ; z Mmi Abstände zwischen M und m i M Schubmittelpunkt (y 0 ; z 0 ) der zu einem Gesamtstab zusammengefassten lotrechten aussteifenden Bauteile i im Zustand I nach der Elastizitätstheorie (s. unten) m i Schubmittelpunkt des aussteifenden Bauteils i G cm Schubmodul in MN/m 2 ; G cm = E cm / [2(1+µ)] µ = 0 E cm /G cm = 2; µ = 0,2 E cm /G cm = 2,4 St. Venant sches Torsionsflächenmoment I T Koordinaten des Schubmittelpunktes M bei gleich hohen Aussteifungselementen 2) allgemein ΣEI yz,i = 0 und Σ (EI yz,i z i ) = 0, Σ (EI yz,i y i ) = 0 (ΣEI y,i y i ΣEI yz,i z i ) ΣEI z,i (ΣEI yz,i y i ΣEI z,i z i ) ΣEI yz,i y 0 = ΣEI y,i ΣEI z,i (ΣEI yz,i ) 2 (ΣEI y,i y i ΣEI yz,i z i ) ΣEI yz,i (ΣEI yz,i y i ΣEI z,i z i ) ΣEI y,i z 0 = ΣEI y,i ΣEI z,i (ΣEI yz,i ) 2 y 0 = (ΣI y,i y i ) / (ΣI y,i ) z 0 = (ΣI z,i z i ) / (ΣI z,i ) für E = const 1) Wenn eine große Anzahl von Vertikallasten F Ed,j der Stützen nach Lage und Größe gleichmäßig über den Grundriss verteilt sind, erhält man für Gebäude mit rechteckigem Grundriss (s. hierzu auch Brandt [5.14]): 1 h ges F Ed E cm 2 ( d I ω / 12 + c 2 ) 1 + 2,28 F Ed G cm 2 ( d I T / 12 + c 2 1 (0, , m) 1 0, 6 für m 3 für m 4 mit F Ed Summe aller Vertikallasten F Ed,j d Grundrissdiagonale in m (d 2 = L 2 + B 2 ; s. Skizze oben) c Abstand zwischen Schubmittelpunkt M und Grundrissmittelpunkt GrMp (s. Abb. oben) 2) Darstellung vereinfachend ohne materialbezogene Indizes c bzw. cm. ) CD.7

8 Beispiel Für das dargestellte Aussteifungssystem ist der Nachweis der Unverschieblichkeit zu erbringen. (Die Aussteifungselemente sind so angeordnet, dass der Rechengang umfassend gezeigt werden kann und stellt keine optimale Lösung dar (Zwängungen). Zur Lage von aussteifenden Wände s. z B. [5.13], [5.43].) Gesamthöhe und Anzahl Geschosse h ges = 24 m, n = 8 Beton C30/37; E cm MN/m 2 Deckenlasten (einschl. Unterzüge, Wände etc.) (g k +q k ) = 11,4 kn/m 2 a) Labilitätszahlen für Translation 2) Translation in z-richtung (Biegung um y) (E I y ) / F Ed / h tot F Ed = 8 11, ,0 10,0 = 36,48 MN I y = 54,18 m 4 (s. Tabelle unten) ( ,18) / 36,48 / 24,0 = 8,6 > 1 / 0,6 Unverschieblichkeit in z-richtung gegeben. b) Labilitätszahl α T für Torsion um die x M -Achse 2) Berechnung des Schubmittelpunkts M ( M*) des Gesamtstabes Bauteil I y,i I z,i I yz,i y 1) i z 1) i I y,i y i I z,i z i I yz,i y i I yz,i z i i m 4 m 4 m 4 m m m 5 m 5 m 5 m ,00 1,03 0 0,34 5,00 16,66 5, ,58 3,58 2,13 7,85 9,85 28,10 35,26 16,72 20,98 3 1, ,85 8,00 63, , ,00 0,15 0 0, Σ 54,18 6,21 2,13 75,20 40,65 16,72 20,98 1) Koordinaten des Schubmittelpunktes des Einzelbauteils i. Schubmittelpunktkoordinaten für M y 0 = {(75, ,98) 6,21 [( 16,72) 40,65] ( 2,13)} / [54,18 6,21 ( 2,13) 2 ] = 1,43 m z 0 = {(75, ,98) ( 2,13) [( 16,72) 40,65] 54,18} / [54,18 6,21 ( 2,13) 2 ] = 8,75 m Schubmittelpunktkoordinaten für M* bei Vernachlässigung von I yz,i y * 0 = 75,20/54,18 = 1,39 m; z * 0 = 40,65/6,21 = 6,55 m Berechnung der Labilitätszahl für Torsion um die x M -Achse 3) Bauteil I y,i I z,i y Mmi z Mmi I y,i y Mmi I z,i z Mmi I y,i y 2 Mmi I z,i z 2 Mmi I T,i i m 4 m 4 m m m 5 m 5 m 6 m 6 m ,00 1,03 1,77 3,75 86,73 3,86 153,51 14,48 0,12 2 3,58 3,58 6,42 1,10 22,98 3,94 147,55 4,33 0,07 3 1, ,42 0,75 61, ,75 0 0, ,60 36,57 8, , ,34 0,03 Σ 54,18 6, ,81 137,15 0,25 3) Bei Vernachlässigung von I yz,i und von I ω,i. I ω 2800 m 6 Bei gleichmäßiger Verteilung von F Ed,j erhält man mit d = 41,23 m und c = 18,94 m (vgl. Anm. vorher) (29000 / 2, 4) 0, , (41, ) 2,28 2, / +, 36, 48 (41,23 / , 94 Ausreichende Verdrehungssteifigkeit um die x-achse gegeben. 2) Darstellung vereinfachend ohne materialbezogene Indizes c bzw. cm. Translation in y-richtung (Biegung um z) (E I z ) / F Ed / h tot F Ed = 8 11, ,0 10,0 = 36,48 MN I z = 6,21 m 4 (s. Tabelle unten) ( ,21) / 36,48 / 24,0 = 2,9 > 1 / 0,6 = 1,7 Unverschieblichkeit in y-richtung gegeben. 2 Excel-Anwendung = 2, , = 2, 96 > 1, 7 ) CD.8

9 3.3.3 Lastaufteilung horizontaler Lasten auf gleich hohe aussteifende Bauteile Statisch bestimmte Aussteifungssysteme Die infolge von Horizontallasten z. B. aus Wind W auf die Scheiben entfallenden Kräfte werden allein aus den Gleichgewichtsbedingungen (rechnerisch oder graphisch) bestimmt. Voraussetzungen [5.13]: Drillsteifigkeiten der Einzelscheiben werden vernachlässigt. Berücksichtigung der Biegesteifigkeiten der Einzelscheiben nur in der Hauptrichtung Betrachtung der Decken als starre Scheiben. 1) 1) 1) 1) Excel-Anwendung Beispiele a) Rechnerische Lastaufteilung Die infolge W auf die Scheiben entfallenden Kräfte werden rechnerisch aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt: Lastfall W z : H 1,z = W z y 2 / l H 2,z = W z y 1 / l Lastfall W y : H 1,z = W y z 3 / l H 2,z = H 1,z = W y z 3 / l H 3,y = W y b) Graphische Lastaufteilung 1) Die infolge W auf die Scheiben entfallenden Kräfte S werden graphisch (z. B. nach Culmann) ermittelt. 1) Statisch unbestimmte Aussteifungssysteme Die nachfolgenden Gleichungen gelten ohne Berücksichtigung des Flächenzentrifugalmoments I yz, der Wölbsteifigkeiten I ω,i und der St. Venant schen Torsionssteifigkeit der Einzelelemente sowie der Torsionssteifigkeit G cm I T des Gesamtstabes (nach [5.13] etwa bei h ges [I T /((E cm /G cm ) I ω )] 0,5 0,5 zulässig). Lastanteile aus Translation (i = 1, 2... n) 2) n H y,i = (H y,m E I z,i ) / ( Σ E I z,i ) 1 n H z,i = (H z,m E I y,i ) / ( Σ E I y,i ) 1 Resultierende Lastanteile für Scheibe i (i = 1, 2... n) H y,i = H y,i + H y,i ; H z,i = H z,i + H z,i 1) Bei der Ermittlung von H max bzw. H min einer jeden Scheibe ist eine mögliche Exzentrizität des Windangriffs von ±10 % der entsprechenden Gebäudeseitenlänge zu berücksichtigen. Das erfordert eine Berechnung mehrerer Lastfälle. In den Beispielen wurde jeweils nur eine Laststellung von W behandelt. Lastanteil aus Rotation (i = 1, 2... n) 2) n H y,i = (M x,m E I z,i z Mmi ) / ( Σ E I ω ) 1 n H z,i = +(M x,m E I y,i y Mmi ) / ( Σ E I ω ) 1 Hierin sind: H y,m ; H z,m resultierende, auf den Schubmittelpunkt bezogene Horizontallast M x,m resultierendes, auf den Schubmittelpunkt bezogenes Torsionsmoment (Weitere Erläuterungen zur Lastaufteilung horizontaler Lasten bei statisch unbestimmten Systemen s. nachfolgendes Beispiel.) 2) Darstellung vereinfachend ohne materialbezogene Indizes c bzw. cm. CD.9

10 Beispiel 2) Excel-Anwendung Für das dargestellte Aussteifungssystem (siehe vorher) sind die auf die Scheiben 1 bis 4 entfallenden Lastanteile infolge H y,m und M x,m bzw. H z,m und M x,m gesucht. 1) 1) 1) s. Fußnote 1) Seite vorher Berechnung der Kennwerte für die Lastaufteilung 3) Bauteil I y,i I z,i y * Mmi z * Mmi I y,i y * Mmi I z,i z * Mmi I y,i y *2 Mmi I z,i z *2 Mmi i m 4 m 4 m m m 5 m 5 m 6 m ,00 1,03 1,73 1,55 84,77 1,60 146,65 2,47 2 3,58 3,58 6,46 3,30 23,13 11,81 149,40 38,99 3 1, ,46 1,45 61, , ,60 36,61 6, , ,54 Σ 54,18 6, I ω * ) Bei Vernachlässigung von I yz,i und I ω,i ; die Abstände y * Mmi und z* Mmi sind auf M* bezogen. a) Lastfall H y = H ym* = 100 kn M x,m* = 100 1,55 = 155 knm; M x,m* / I ω * = 155 / 2770 = 0,056 Lastanteile y-richtung z-richtung infolge i = infolge i = H y,i = 100 I z,i / 6,21 16,59 57, , H y,i = 0,056 I z,i z * Mmi 0,09 0,66 0 0,57 H z,i = +0,056 I y,i y * Mmi 4,74 1,29 3,44 0 ΣH y,i 16,68 56, ,33 ΣH z,i 4,74 1,29 3,44 0 Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen: ΣH y,i = 16, , ,33 = 100 kn 100 kn ΣH z,i = 4,74 + 1,29 + 3, = 0,01 kn 0 kn ΣM x,m* = ( 4,74) ( 1,73) + 1,29 6,46 + 3,44 38,46 [16,68 ( 1,55)+56,99 3,30+26,33 ( 6,40)]= 155,1 knm 155 knm b) Lastfall H z = H zm* = 100 kn M x,m* = ,61 = 1861 knm; M x,m* / I ω * = 1861 / 2770 = 0,672 Lastanteile y-richtung z-richtung infolge i = infolge i = H z,i = 100 I y,i / 54,18 90,44 6,61 2,95 0 H y,i = 0,672 I z,i z * Mmi 1,07 7,95 0 6,88 H z,i = 0,672 I y,i y * Mmi 56,9015,54 41,36 0 ΣH y,i 1,07 7,95 0 6,88 ΣH z,i 33,54 22,15 44,31 0 Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen: (Vorzeichenregelung s. Skizze oben) ΣH y,i = 1,07 7, ,88 = 0 kn 0 kn ΣH z,i = 33, , , = 100 kn 100 kn ΣM x,m* = 33,54 ( 1,73) + 22,15 6, ,31 38,46 [1,07 ( 1,55)+( 7,95) 3,30+6,88 ( 6,40)] = 1861,2 knm 1861 knm 2) Darstellung vereinfachend ohne materialbezogene Indizes c bzw. cm. CD.10

11 4 Bemessung 4.1 Grenzzustände der Tragfähigkeit Biegung und Längskraft Voraussetzungen und Annahmen Für die Bestimmung der Grenztragfähigkeit von Querschnitten gelten folgende Annahmen: Ebenbleiben der Querschnitte Dehnungen der Fasern eines Querschnitts verhalten sich wie ihre Abstände von der Dehnungsnulllinie. Vollkommener Verbund Dehnungen der im Verbund liegenden Bewehrung und des Betons, die sich in einer Faser befinden, sind gleich. Zugfestigkeit des Betons Sie wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht berücksichtigt. (Druck-)Spannungen im Beton Es gilt die σ-ε-linie der Querschnittsbemessung nach Abschn Spannungen im Betonstahl Sie werden aus den σ-ε-linien nach Abschn hergeleitet. Dehnungsverteilung im Beton Die Dehnungen des Normalbetons bis C50/60 sind am Druckrand auf ε c2u = 3,5 zu begrenzen. Bei vollständig überdrückten Querschnitten darf die Dehnung im Punkt C (s. Abb.) ε c2 = 2,0 betragen 1) (bei geringer Ausmitte mit e d /h 0,1 darf für Normalbeton auch ε c2 = 2,2 zugelassen werden). Dehnungsverteilung im Stahl Für Betonstahl gilt ε s 25, für Spannstahl gilt die Grenze für die Zusatzdehnung ε p (zusätzlich ist die Vordehnung ε (0) p im Spannstahl zu beachten). Versagen ohne Vorankündigung Ein Querschnittsversagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung muss vermieden werden. Hierfür reicht bei Stahlbetonbauteilen i. Allg. die Mindestbewehrung nach Abschn aus. Bei Spannbetonbauteilen wird die Forderung erfüllt alternativ durch eine Mindestbewehrung nach Abschn oder durch Kontrollmöglichkeiten (Monitoring oder andere zerstörungsfreie Prüfverfahren), wodurch die Unversehrtheit der Spannglieder überprüft werden kann. (Für unbewehrte Bauteile s. Abschn ) Schnittgrößen in der Schwerachse und versetzte Schnittgrößen Für verschiedene Bemessungsaufgaben müssen die auf die Schwerachse bezogenen Schnittgrößen in ausgewählte, versetzte Schnittgrößen umgewandelt werden. Die dargestellten Schnittgrößen sind jeweils identisch mit dem auf die Schwerachse bezogenen Moment M Ed und der entsprechenden Längskraft N Ed. 1) In vollständig überdrückten Platten von gegliederten Querschnitten ist die Dehnung in Plattenmitte ebenfalls auf ε c2 = 2,0 zu begrenzen; die Tragfähigkeit braucht jedoch nicht kleiner angesetzt zu werden als die des Stegquerschnitts mit der Höhe h und mit der o. g. Dehnungsverteilung. CD.11

12 Mittiger Zug oder Zugkraft mit kleiner Ausmitte Die Kraft greift innerhalb der Bewehrungslagen an, d. h., dass der gesamte Querschnitt gezogen ist und die einwirkende Kraft ausschließlich durch Bewehrung aufgenommen werden muss. Die Zugkraft wird nach dem Hebelgesetz aufgeteilt, wobei vereinfachend angenommen wird, dass in beiden Bewehrungslagen die Streckgrenze erreicht wird. N Ed z s2 + e A d s1 = f yd z s1 + z s2 N Ed z s1 e A d s2 = f yd z s1 + z s2 (72.1a) (72.1b) Beispiel Excel-Anwendung Zugstab mit Bemessungsschnittgrößen infolge von Biegung und Längskraft nach Abbildung. Es ist der Grenzzustand der Tragfähigkeit nachzuweisen. Bei Verwendung von Betonstahl BSt 500 erhält man: f yd = f yk /γ s = 500/1,15 = 435 MN/m 2 e d = M Ed / N Ed = 40 / 800 = 0,05 m < 0,20 m 0,800 0,20 + 0,05 A s1 = 10 4 = 11,5 cm 435 0,20 + 0,20 2 0,800 0,20 0,05 A s2 = 10 4 = 6,9 cm ,20 + 0,20 (Hinweis: Bei Zuggliedern ist stets ein Nachweis zur Begrenzung der Rissbreite zu führen; hierfür ist es häufig erforderlich, σ s f yd zu wählen.) Biegung (mit Längskraft) Der Nachweis der Tragfähigkeit erfolgt in der Regel in Form einer Bemessung. Für Querschnitte mit rechteckiger Druckzone und für Plattenbalken sind Bemessungshilfen in Form von Diagrammen und Nomogrammen vorhanden (s. Bautabellen für Ingenieure, Abschn. 6, Tafeln 1 bis 4; es gelten die dort angegebenen Annahmen und Voraussetzungen). Beispiel 1 Excel-Anwendung (Beispiel wird in Abschn Bauteile ohne Schubbewehrung fortgesetzt.) Für die dargestellte einfeldrige, einachsig gespannte Platte mit g k = 6,5 kn/m 2 und q k = 5,0 kn/m 2 ist die Biegebemessung (= Nachweis der Grenztragfähigkeit für Biegung) in Feldmitte durchzuführen. Bemessung: Baustoffe: C20/25: f ck = 20 MN/m 2 f cd = α f ck /γ c = 0,85 20/1,5 = 11,3 MN/m 2 BSt 500: f yk = 500 MN/m 2 f yd = f yk /γ s = 500 / 1,15 = 435 MN/m 2 Bemessungsmoment: M Ed = 0,125 (γ G g k + γ Q q k ) l 2 = 0,125 (1,35 6,50 + 1,50 5,00) 4,5 2 = 41,2 knm/m M Eds = M Ed = 41,2 knm/m (wegen N Ed = 0) µ Eds = M Eds / (b d 2 f cd ) = 41, / (1,0 0, ,3) = 0,113 ω = 0,120; σ sd = f yd = 435 (s. Abschn. 6, Tafel 2a) ζ = 0,94; z = ζ d = 0,94 0,18 = 0,169 m 1 1 A s = (ω b d f cd + N Ed ) = (0,120 1,0 0,18 11,3 + 0 ) σ sd 435 = 5, m 2 /m = 5,61 cm 2 / m CD.12

13 Beispiel 2 (wird unter Abschn Querkraft fortgesetzt) Excel-Anwendung/R+PB Ein einfeldriger Plattenbalken ist für die größte Biegebeanspruchung in Excel-Anwendung/PB Feldmitte zu bemessen. Es gelten die angegebenen charakt. Lasten. Baustoffe: C 30/37: f cd = α f ck /γ c = 0,85 30/1,5 = 17 MN/m 2 BSt 500: f yd = f yk /γ s = 500/1,15 = 435 MN/m 2 Bemessungsmoment: max M Ed = 0,125 (1, ,50 30) 7,5 2 = 791 knm mitwirkende Plattenbreite: (s. Bautabellen, S. 5.49) b eff = b w + 2 (0,2 b i + l 0 /10) = 0, (0,2 2,0 + 7,50 /10) = 2,60 m Bemessung: M Eds = M Ed = 791 knm µ Eds = M Eds / (b eff d 2 f cd ) = 0,791 / (2,60 0, ,0) = 0,064 ξ = 0,09 (s. Abschn. 6, Tafel 2a) x = ξ d = 0, cm < 15 cm d. h., Druckzone innerhalb der rechteckigen Platte, Bemessung als Rechteckquerschnitt ω = 0,0664 (s. Abschn. 6, Tafel 2a) A s = ω b eff d / (f yd /f cd ) = 0, / (435/ 17,0) = 35,8 cm 2 Alternativ ist auch eine Bemessung mit Tafel 4 möglich; hierbei wird mit b eff / b = 2,60/0,30 = 8,7 und h f /d = 15/53 = 0,28 für µ Eds = 0,064 (s. o.) ebenfalls ω = 0,0664 (nach Interpolation) abgelesen. Beispiel 3 Excel-Anwendung Für den dargestellten Trapezquerschnitt ist im Grenzzustand der Tragfähigkeit die erforderliche Bewehrung zu bestimmen. In der Betondruckzone wird näherungsweise eine rechteckförmige Spannungsverteilung entsprechend Abschn angenommen. Beanspruchung: M Ed = 70 knm Baustoffe: C 20/25: χ f cd = 0,95 (0,85 20 / 1,5) = 10,8 MN/m 2 (Eine Abminderung mit dem Faktor 0,9 entfällt, da der Querschnitt zum Druckrand hin breiter wird; s. Abschn ) BSt 500: f yd = 435 MN/m 2 Bemessung: Dehnungsverteilung ε c /ε s = 3,5/5,7 in (Annahme; s. unten) x = d ε c / ( ε c + ε s ) = 0,30 3,5 / (3,5+5,7) = 0,114 m Betondruckkraft F cd = A cc,red ( χ f cd ) A cc,red = 0,5 (b o +b k x ) (k x) = 0,5 (0,30+0,253) 0,8 0,114 = 0,0252 m 2 k = 0,8 (s. Abschn ) F cd = 0, ,8 = 0,272 MN Hebelarm z z = d a = 0,30 0,044 = 0,256 m (a Schwerpunktabstand der trapezförmigen reduzierten Druckzone vom oberen Rand) Identitätsbedingung M Ed F cd z 0,070 0,272 0,256 = 0,070 MNm Dehnungsverteilung richtig geschätzt Stahlzugkraft F sd = F cd = 0,272 MN (Gleichgewicht im Querschnitt bei reiner Biegung) Bewehrung ε s = 5,7 σ sd = f yd = 435 MN/m 2 A s = F sd / f yd = 0,272/435 = 6, m 2 = 6,3 cm 2 CD.13

14 Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte Die Gesamttragfähigkeit ergibt sich aus der Addition der Traganteile des Betons und Betonstahls. Bei zentrisch oder annähernd zentrisch belasteteten Querschnitten (e d /h 0,1) gilt ε c2 = 2,2 (vgl. Abschn ) und damit für die Stahlspannung σ sd = f yd. Beispiel 1 Excel-Anwendung Der dargestellte Querschnitt wird zentrisch auf Druck beansprucht; es ist die im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmbare Bemessungskraft N Rd gesucht. Baustoffe: C20/25; BSt 500 N Rd = F cd + F sd = b h (α f ck /γ c ) + (A s1 + A s2 ) σ sd = 0,30 0,40 (0,85 20 /1,5) + 2 6, = 1, ,548 = 1,908 MN (Bemessungsdruckkraft!) Exzentrisch belastete Stahlbetonstützen Die Bemessung für Längsdruck mit kleiner Ausmitte erfolgt häufig insbesondere im Zusammenhang mit Stabilitätsnachweisen mit Interaktionsdiagrammen für symmetrische Bewehrung. Der Anwendungsbereich dieser Diagramme geht allerdings über den Bereich Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte hinaus und erstreckt sich vom zentrischen Zug bis zum zentrischen Druck (s. Bautabellen für Ingenieure, Abschn , Tafel 5 bis 8 sowie Tafel 9 für zweiachsige Ausmitte). Beispiel 2 Excel-Anwendung Die dargestellte Stütze wird durch eine zentrische Druckkraft aus Eigenlasten und durch eine horizontal gerichtete veränderliche Einwirkung beansprucht. Gesucht ist die Bemessung am Stützenfuß, wobei die Stütze nur in der dargestellten Ebene ausweichen kann. Baustoffe C20/25; BSt 500 Belastungen G k,v = 900 kn; Q k,h = 100 kn Bemessungsschnittgrößen Wegen λ = 2 1,75 / (0,289 0,50) = 24 < 25 kann auf eine Untersuchung am verformten System verzichtet werden; d. h., es gelten die Regel bemessungsschnittgrößen (s. hierzu Abschn ). N Ed = γ G G k,v = 1,35 1) ( 900) = 1215 kn M Ed = γ Q Q k,h l = 1, , knm Bemessung d 1 /h = d 2 /h = 5/50 = 0,10; BSt 500 Tafel 5b ν Ed = N Ed / (b h f cd ) = 1,215 / (0,30 0,50 11,3) = 0,714 ω tot = 0,65 µ Ed = M Ed / (b h 2 f cd ) = 0,263 / (0,30 0, ,3) = 0,310 A s,tot = ω tot b h / (f yd / f cd ) = 0,65 0,30 0,50 /(435/11,3) = 25, m 2 = 25,3 cm 2 A s1 = A s2 = 12,7 cm 2 Beipiel 3 Excel-Anwendung Die im Beispiel 2 berechnete Stütze wird für eine geänderte Belastung aus Eigenlast bemessen. Im Übrigen gelten die zuvor gemachten Angaben. Belastung G k,v = 400 kn; Q k,h = 100 kn Bemessungsschnittgrößen N Ed = γ G G k,v = 1,00 1) ( 400) = 400 kn M Ed = γ Q Q k,h l = 1, , knm Bemessung ν Ed = N Ed / (b h f cd ) = 0,400 / (0,30 0,50 11,3) = 0,235 ωtot = 0,55 µ Ed = M Ed / (b h 2 f cd ) = 0,263 / (0,30 0, ,3) = 0,310 A s,tot = ω tot b h / (f yd / f cd ) = 0,55 0,30 0,50 /(435/11,3) 10 4 = 21,4 cm 2 A s1 = A s2 = 10,7 cm 2 1) Im Beispiel 3 wirkt im Gegensatz zum Beispiel 2 die Eigenlast günstig und darf daher nur mit γ G,inf = 1,0 multipliziert werden (vgl. Abschn ). CD.14

15 Biegung und Längskraft bei unbewehrten Betonquerschnitten Voraussetzungen und Annahmen (vgl. Abschn ): Ebenbleiben der Querschnitte Dehnungen der Fasern eines Querschnitts verhalten sich wie ihre Abstände von der Dehnungsnulllinie. Zugfestigkeit des Betons Sie darf im Allgemeinen nicht berücksichtigt werden. Spannungsverteilung im Beton Es gelten die σ-ε-linien der Querschnittsbemessung nach Abschn Duktiles Bauteilverhalten Ein Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung muss vermieden werden. Für stabförmige unbewehrte Bauteile mit Rechteckquerschnitt gilt diese Forderung als erfüllt, wenn die Ausmitte der Längskraft in der maßgebenden Einwirkungskombination des Grenzzustandes der Tragfähigkeit auf e d / h < 0,4 beschränkt wird (DIN , 5.3.2). Sicherheitsbeiwert Wegen der geringen Verformungsfähigkeit gilt als Teilsicherheitsbeiwert γ c = 1,80 in der Grundkombination γ c = 1,55 in der außergewöhnlichen Kombination. Betonfestigkeitsklassen Rechnerisch darf keine höhere Festigkeitsklasse als C35/45 oder LC20/22 ausgenutzt werden (DIN , 10.2). Nachweisprinzip Die äußeren Lasten und / oder Zwängungen müssen vom Querschnitt aufgenommen werden können. Dabei müssen mögliche Unsicherheiten bezüglich der Lage der Spannungsresultierenden, Öffnungen, Schlitze oder Aussparungen berücksichtigt werden. Allgemeine Nachweisbedingung: N Ed N Rd Bemessungswert der aufnehmbaren Längsdruckkraft für Rechteckquerschnitte Für Rechteckquerschnitte und Normalbeton erhält man unter Annahme des Parabel-Rechteck-Diagramms bei einachsiger Lastausmitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit als aufnehmbare Längskraft N Rd N Rd = f cd k A c f cd Bemessungswert der Betondruckfestigkeit (s. o.; vgl. auch Abschn ) A c Fläche des Betonquerschnitts e k Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung eines Klaffens der Fuge und der parabelförmigen Spannungs- d /h 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 k 1,0 0,778 0,584 0,389 0,195 verteilung in der Druckzone (s. nebenstehende Tafel). e d Lastexzentrizität; h Bauhöhe Bei der Ermittlung der Ausmitte e d von N Ed sind erforderlichenfalls auch Einflüsse nach Theorie II. Ordnung und von geometrischen Imperfektionen zu erfassen (s. Abschn ). Beispiel (s. a. Abschn ) Excel-Anwendung Rechteckquerschnitt mit Schnittgrößen N Gk = 300 kn sowie N Qk = 150 kn und M Qk = 30 knm. Es soll überprüft werden, ob der Querschnitt unbewehrt ausgeführt werden kann. Einflüsse aus Theorie II. Ordnung und Imperfektionen seien vernachlässigbar. Baustoffe: Beton C20/25 1) Einwirkende Schnittgrößen N Ed und Exzentrizität e N Gk, NQk d N Ed = γ G N Gk + γ Q N Qk = 1,00 0,300 1,50 0,150 = 0,525 MN M Qk M Ed = γ G M Gk + γ Q M Qk = 0 + 1,50 0,030 = 0,045 MNm e d = M Ed / N Ed = 0,045 / 0,525 = 0,086 m (s. nebenstehende Abb.) Nachweis eines duktilen Bauteilverhaltens e d = 0,086 m < 0,4 h = 0,4 0,40 = 0,16 m (erfüllt) h=40 Aufnehmbare Längsdruckkraft N Rd N Rd = f cd b h k b=30 e d / h = 8,6 / 40,0 = 0,215 k = 0,556 N Rd = 0,85 (20/1,8) 0,30 0,40 0,556 = 0,630 MN A c,eff Nachweis N Ed = 525 kn < N Rd = 630 kn Die Tragfähigkeit ist ohne Bewehrung gegeben. 1) Der Nachweis erfolgt im Rahmen des Beipiels nur mit γ G,inf = 1,0 (maßgebend für die ungünstigste Ausmitte e d /h der Längskraft); zusätzlich ist ein Nachweis für γ G,sup = 1,35 zu führen (ggf. für den Nachweis der Tragfähigkeit ungünstiger). CD.15

16 4.1.2 Querkraft Nachweisform Es ist nachzuweisen, dass der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft V Ed den Bemessungswert des Widerstandes V Rd nicht überschreitet. V Ed V Rd (76.1) Die Tragfähigkeit für Querkraft wird durch verschiedene Versagensmechanismen begrenzt; es gelten folgende Bemessungswerte der aufnehmbaren Querkraft: V Rd,ct aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bauteils ohne Schubbewehrung (Abschn ) V Rd,max Bemessungswert der Querkraft, die ohne Versagen des Balkenstegs ( Betondruckstrebe ) aufnehmbar ist (Abschn ) V Rd,sy Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Bauteils mit Schubbewehrung (ohne Versagen der Zugstrebe aufnehmbare Querkraft; Abschn ) Das dargestellte, stark vereinfachte Fachwerkmodell erläutert das Tragverhalten eines Stahlbetonträgers. Druck- und Zuggurt sind durch Fachwerkstäbe verbunden, wobei die Druckstrebenkraft V Rd,max durch die Betontragfähigkeit und die Zugstrebentragfähigkeit V Rd,sy durch die Schubbewehrung begrenzt ist. Bei V Ed V Rd,ct ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich (Balken und Platten mit b / h < 5 sind jedoch stets mit einer Mindestquerkaftbewehrung zu versehen). In Querschnitten mit V Ed > V Rd,ct ist die Querkraftbewehrung zu bemessen, sodass V Ed V Rd,sy ist (die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung ist zusätzlich zu beachten). Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft V Ed darf in keinem Querschnitt des Bauteils den Wert V Rd,max überschreiten. Bemessungswert V Ed der einwirkenden Querkraft Maßgebende Querkraft im Auflagerbereich (bei Balken und Platten mit gleichmäßig verteilter Belastung) unmittelbare (direkte) Stützung V Ed im Abstand 1,0 d vom Auflagerrand mittelbare (indirekte) Stützung V Ed am Auflagerrand Bauteile mit veränderlicher Höhe: Berücksichtigung der Querkraftkomponente der geneigten Gurtkräfte F cd und F sd (nachfolgend ist der Fall der Querkraftverminderung bei positiven Schnittgrößen dargestellt): V Ed = V Ed,0 V ccd V td (76.2a) V Ed,0 Grundwert der Bemessungsquerkraft 1) V ccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft F 1) cd parallel zu V Ed,0 V ccd = (M Eds / z) tan ϕ o (M Eds / d) tan ψ o M Eds = M Ed N Ed z s V td Querkraftkomponente von F sd parallel zu V Ed,0 V td = (M Eds / z + N Ed ) tan ϕ u (M Eds / d + N Ed ) tan ϕ u (M Eds wie vorher) V ccd und V td sind positiv, wenn sie bezogen auf dasselbe Schnittufer in Richtung von V Ed,0 weisen. 1) Erläuterung und Darstellung ohne Anordnung von Druckbewehrung. CD.16

17 Bauteile ohne Schubbewehrung (DIN , ) Auf Schubbewehrung darf i. Allg. nur bei Platten verzichtet werden. Dabei darf die Querkraft V Ed die Tragfähigkeit V Rd,ct nicht überschreiten. Außerdem muss an jeder Stelle V Rd,max (s. Abschn ) eingehalten werden (der Nachweis von V Rd,max erübrigt sich bei Platten ohne nennenswerte Längskräfte i. d. R.). Bemessungswiderstand V Rd,ct Der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit V Rd,ct ergibt sich aus: V Rd,ct = [0,10 η 1 κ (100 ρ l f ck ) 1/3 0,12 σ cd ] b w d (77.1) Hierin sind η 1 Tragfähigkeitsbeiwert; η 1 = 1,0 für Normalbeton η 1 = 0,40 + 0,60 (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m 3 ) κ = / d 2 Beiwert für den Einfluss der Nutzhöhe d (mit d in mm) b w kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone in mm (s. a. Abschn ) σ cd = N Ed /A c (in N/mm 2 ) mit N Ed als Längskraft infolge von Last oder Vorspannung (Druck negativ!) f ck charakteristische Betondruckspannung (in N/mm 2 ) ρ l Längsbewehrungsgrad ρ l = A sl / (b w d) 0,02 A sl Fläche der Längsbewehrung, die mindestens mit d über den betrachteten Querschnitt hinausgeführt und dort verankert wird (s. Skizze); Spannstahl im sofortigem Verbund darf angerechent werden direkte Lagerung Wenn die Betonzugspannung stets kleiner als f ctk;0,05 / γ c ist (γ c für unbewehrten Beton), darf die Querkrafttragfähigkeit in den auflagernahen Bereichen von Stahlbeton- und Spannbetonbauwerken unter vorwiegend ruhender Belastung wie folgt geführt werden: 2 I bw fctk;0.05 fctk;0.05 VRd,ct = α1 σ cd S γ c γ c (77.2) mit I Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts (Trägheitsmoment) S Flächenmoment 1. Grades des Querschnitts (Statisches Moment) f ctk;0.05 α 1 Betonzugfestigkeit nach Tafel 5.36, jedoch mit f ctk;0,05 2,7 N/mm 2 = l x / l bpd 1 bei Vorspannung mit sofortigem Verbund = 1 in den übrigen Fällen l x Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn der Verankerungslänge l bpd oberer Bemessungswert der Übertragungslänge (s. Bautabellen, Abschn ) Unbewehrte Bauteile Die Querkraft V Ed ist im ungerissenen (Rest-)Querschnitt zu berechnen. Ein Betonbauteil darf dabei als ungerissen angesehen werden, wenn es im Grenzzustand der Tragfähigkeit vollständig überdrückt ist oder die Hauptzugspannung im Beton den Wert 1,0 N/mm 2 nicht überschreitet. Für unbewehrte Betonbauteile mit einer kombinierten Beanspruchung aus Querkraft, Längskraft und Biegung gilt Gl. (77.2) mit α 1 = 1. Beispiel Excel-Anwendung Platte wie dargestellt bewehrt (s. Abschn ); gesucht ist der Tragfähigkeitsnachweis für Querkraft. Bemessungsquerkraft: V d,li = (1,35 6,5 + 1,5 5,0) 4,5 / 2 = 36,6 kn/m V Ed = 36,6 (0,08 + 0,18) 16,3 = 32,4 kn/m Bemessungslast Bemessung: V Rd,ct = 0,10 κ (100 ρ l f ck ) 1/3 b w d (σ cd = 0) Baustoffe: C20/25; BSt 500 κ = 2 (für d 200 mm) ρ l = 2,85 / (100 18) = 0,0016 V Rd,ct = 0,10 2 (0,16 20) 1/3 1,0 0,18 = 0,0531 MN/m = 53,1 kn/m > V Ed (s.o.) V Rd,max : ohne Nachweis (s. o.) CD.17

18 Bauteile mit Schubbewehrung Excel-Anwendung In Balken, Plattenbalken sowie bei einachsig gespannten Platten mit b / h < 5 ist stets eine Schubbewehrung anzuordnen, auch wenn rechnerisch keine Schubbewehrung erforderlich ist (Mindestschubbewehrung). Wenn die Querkraft V Ed den Widerstand V Rd,ct überschreitet, ist die Schubbewehrung zu bemessen: V Ed V Rd,max (Nachweis der Druckstrebe ) V Ed V Rd,sy (Nachweis der Zugstrebe ) Bemessungswiderstand V Rd,max. (cot ϑ + cot α) V Rd,max = α c f cd b w z (78.1) (1 + cot 2 ϑ) mit f cd = α f ck / γ c (Bemessungswert der Betondruckfestigkeit) α c = 0,75 η 1 mit η 1 = 1,0 für Normalbeton η 1 = 0,40 + 0,60 (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m 3 ) b w kleinste Stegbreite innerhalb der Zugzonenhöhe Bei verpressten Spanngliedern mit einer Durchmessersumme Σd h > b w / 8 im Steg ist b w zu ersetzen durch b w,nom = b w 0,5 Σd h für Beton C50/60 bzw. LC50/55 b w,nom = b w 1,0 Σd h für Beton C55/67 bzw. LC55/60 (d h äußerer Hüllrohrdurchmesser) z Wenn der Steg nicht verpresste Spannglieder oder Spannglieder ohne Verbund enthält, ist b w zu ersetzen durch b w,nom = b w 1,3 Σd h Hebelarm der inneren Kräfte, i. Allg. z 0,9 d, jedoch mit z d 2 c nom (mit c nom der Längsbewehrung in der Druckzone). Bei geneigten Spanngliedern muss in der vorgedrückten Zugzone Betonstahl zur Aufnahme der Längszugkräfte infolge Querkraft vorhanden sein. ϑ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. u.) α Winkel zwischen Schubbewehrung und Bauteilachse Bemessungswiderstand V Rd,sy V Rd,sy = a sw f yd z (cot ϑ + cot α) sin α (78.2) mit a sw = A sw /s w (Querschnitt der Schubbewehrung je Längeneinheit) ϑ Neigungswinkel der Druckstrebe; hierfür gilt (1,2 1,4 σ cd / f cd ) 2,0 (für Leichtbeton) 0,58 cot ϑ (1 V Rd,c / V Ed ) 3,0 (für Normalbeton) mit σ cd = N Ed /A c (σ cd als Druck negativ) V Rd,c = [η 1 β ct 0,10 f 1/3 ck (1 + 1,2 (σ cd / f cd ))] b w z (mit β ct = 2,4) Näherungsweise darf auch gesetzt werden: cot ϑ = 1,2 bei reiner Biegung sowie Biegung und Längsdruck cot ϑ = 1,0 bei Biegung und Längszug Bauteile aus Normalbeton mit lotrechter Schubbewehrung (α = 90 ) und ohne Längskraft (σ cd = 0) Bemessungswiderstand V Rd,max. V Rd,max = α c f cd b w z / (tan ϑ + cot ϑ) (78.3) Schubbewehrung a sw a sw = V Ed / ( f yd z cot ϑ) (78.4) Neigungswinkel ϑ 0,58 cot ϑ 1,2 / (1 0,24 f 1/3 ck b w z / V Ed ) 3,00 (Normalbeton, σ cd = 0) Näherungweise darf cot ϑ = 1,2 gesetzt werden (s. o.). Werte α c f cd und 0,24 f ck 1/3 für Normalbeton bis C50/60 Betonfestigkeitsklasse C 12/15 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 α c f cd in MN/m 2 5,10 6,80 8,50 10,6 12,8 14,9 17,0 19,1 21,2 0,24 f ck 1/3 in MN/m 2 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,79 0,82 0,85 0, Auflagernahe Einzellasten Der Querkraftanteil zur Ermittlung der Schubbewehrung für eine Einzellast im Abstand x 2,5 d vom Auflagerrand darf bei direkter Lagerung mit dem Beiwert β abgemindert werden: β = x /(2,5 d ) Beim Nachweis von V Rd,max darf die Abminderung jedoch nicht vorgenommen werden. CD.18

19 Anschluss von Druck- und Zuggurten Excel-Anwendung Die Schubkraft V Ed darf die Tragfähigkeiten V Rd,max und V Rd,sy nicht überschreiten. V Ed V Rd,max (79.1a) V Ed V Rd,sy (79.1b) Einwirkende Schubkraft V Ed V Ed = F d (79.2) F d Längskraftdifferenz in einem einseitigen Gurtabschnitt auf der Länge a v a v Abschnittslänge, in der die Längsschubkraft konstant angenommen werden darf, höchstens jedoch halber Abstand zwischen Momentennullpunkt und -höchstwert (bei Einzellasten nicht über die Querkraftsprünge hinausgehend) Tragfähigkeit V Rd,max und V Rd,sy Nachweis nach Abschn mit b w = h f und z = a v. Für eine lotrecht zur Fuge angeordnete Anschlussbewehrung und mit näherungsweise cot ϑ = 1 (Zuggurt) bzw. cot ϑ = 1,2 (Druckgurt). ergibt sich V Rd,max = α c f cd h f a v / (tan ϑ + cot ϑ) (79.3) a sw = V Ed / ( f yd a v cot ϑ ) (79.4) Kombinierte Beanspruchung durch Schub und Querbiegung: Bei einer Beanspruchung durch Schub und Querbiegung ist der größere erforderliche Stahlquerschnitt aus den beiden Beanspruchungsarten anzuordnen (DIN , ). Die Biegedruck- und -zugzone sind dabei mit je der Hälfte der erforderlichen Anschlussbewehrung getrennt zu betrachten (s. jedoch [5.22]). Beispiel zu Abschn und (Fortsetzung von Abschn ) Excel-Anwendung Nachweis der Querkrafttragfähigkeit für lotrechte Schubbewehrung und des Druckgurtanschlusses. Baustoffe: C30/37; BSt 500 Bemessungsquerkraft: V Ed,A = (1, ,50 30) 7,50/2 = 422 kn V Ed = 422 (0,10 + 0,53) 112,5 = 351 kn Bemessungslast Bemessungswiderstand V Rd,max V Rd,max = α c f cd b w z / (tan ϑ + cot ϑ) z 0,9 d = 0,9 0,53 = 0,48 m (< d 2c nom ; Annahme); α c f cd = 12,8 MN/m2 (s. vorher) cot ϑ 1,2 / (1 0,24 f 1/3 ck b w z / V Ed ) = 1,2 / (1 0,75 0,30 0,48 / 0,422) = 1,613 V Rd,max = 12,8 0,30 0,48 / (0, ,613) = 0,825 MN > V Ed = 0,422 MN Schubbewehrung a sw a sw = V Ed / (f yd z cot ϑ) cot ϑ = 1,613 (s. o.) = 0,351 / (435 0,48 1,613) = 10, m 2 /m = 10,4 cm 2 /m Nachweis für den Anschluss eines Druckgurts V Ed = F d F d F cd A ca / A cc F cd b a / b f = 1,235 1,15 / 2,60 = 0,546 MN F cd = M Ed / z = 0,593/ 0,48 = 1,235 MN (M Ed bei x = 1,88 m) b a = (2,60 0,30) / 2 = 1,15 m a v = 1,88 m halber Abstand zwischen M = 0 und M = M max V Rd,max = α c f cd h f a v / (tan ϑ + cot ϑ) = 12,8 0,15 1,88 / (0,83 + 1,2) = 1,775 MN > F d a sw = V Ed /( f yd a v cot ϑ) = 0,546 / (435 1,88 1,2) = 5, m 2 /m = 5,56 cm 2 /m Die Bewehrung ist je zur Hälfte auf der Plattenober- und -unterseite anzuordnen, eine vorhandene Bewehrung (aus Querbiegung) darf angerechnet werden (s. o.); die Mindestschubbewehrung ist zu beachten. CD.19

20 4.1.3 Torsion Excel-Anwendung Grundsätzliches Ein rechnerischer Nachweis der Torsionsbeanspruchung ist im Allgemeinen nur erforderlich, wenn das statische Gleichgewicht von der Torsionstragfähigkeit abhängt ( Gleichgewichtstorsion ). Wenn Torsion aus Verträglichkeitsbedingungen auftritt ( Verträglichkeitstorsion ), ist ein rechnerischer Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht erforderlich; es ist jedoch eine konstruktive Torsionsbewehrung (Mindestbewehrung) anzuordnen, gegebenenfalls sind rechnerische Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (Beschränkung der Rissbreite usw.) notwendig. Als Torsionsbewehrung sind geschlossene Bügel und über den Querschnittsumfang verteilte Längsstäbe anzuordnen. Bei polygonal begrenzten Querschnitten müssen sich Längsstäbe in den Ecken befinden. Nachweis bei reiner Torsion Der Torsionswiderstand wird unter Annahme eines dünnwandigen, geschlossenen Querschnitts bestimmt. Vollquerschnitte werden durch gleichwertige dünnwandige Querschnitte ersetzt. Die Wanddicke bzw. die Ersatzwanddicke des Hohlkastens ergibt sich aus t eff zweifacher Schwerpunktabstand der Längsbewehrung vom Rand, jedoch nicht größer als die vorhandene Wanddicke Hohlkastenquerschnitt zur Bestimmung der Torsionstragfähigkeit Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit T Ed T Rd,max (81.1a) T Ed T Rd,sy (81.1b) T Ed Bemessungswert des einwirkenden Torsionsmoments T Rd,max Bemessungswert des durch die Betondruckstrebe aufnehmbaren Torsionsmoments T Rd.sy Bemessungswert des durch die Bewehrung aufnehmbaren Torsionsmoments Druckstrebennachw.: T Rd,max = α c,red f cd 2 A k t eff / (cot ϑ + tan ϑ) (81.2) α c,red = 0,7 α c (mit α c nach Abschn ) Bei geschlossenen Bügeln an beiden Seiten der Begrenzungswände eines Kastenquerschnitts darf α c,red = α c angenommen werden. f cd Bemessungswert der Betonfestigkeit A k Fläche, die durch die Mittellinie u k eingeschlossen ist t eff Wandstärke des (Ersatz-)Hohlquerschnitts ϑ Druckstrebenneigung; für Torsion allein vereinfachend ϑ = 45 (s. u.) Zugstrebennachweis: T Rd,syw = 2 A k (A sw /s w ) f yd cot ϑ (Bügelbewehrung) (81.3a) T Rd,syl = 2 A k (A sl / u k ) f yd tan ϑ (Längsbewehrung) (81.3b) A sw, A sl Querschnittsfläche der Bügelbewehrung, der Torsionslängsbewehrung s w Abstand der Bügel in Trägerlängsrichtung u k Umfang der Fläche A k Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung f yd Kombinierte Beanspruchung Bei Beanspruchung aus Querkraft und Torsion wird die Neigung ϑ der Druckstrebe nach Abschn bestimmt; für V Ed ist jedoch der Schubfluss V Ed,T+V jedes Teilquerschnitts und für b w die effektive Wanddicke t eff einzusetzen. Die Schubkraft der Wand unter kombinierter Beanspruchung erhält man aus: V Ed,T+V = V Ed,T + V Ed t eff / b w (81.4) mit V Ed,T = T Ed z / (2 A k ) Mit dem gewählten Neigungswinkel ist dann der Nachweis sowohl für Querkraft als auch für Torsion zu führen. Vereinfachend darf jedoch auch die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von ϑ = 45 ermittelt werden und zu der nach Abschn ermittelten Querkraftbewehrung addiert werden. CD.20