Zuverlässigkeitsberechnung und vorbeugende Wartung von komplexen technischen Systemen mittels modifizierter Markov-Methode

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1 Disseraion Zuverlässigkeisberechnung und vorbeugende Warung von komplexen echnischen Sysemen miels modifizierer Markov-Mehode von Alexei Konnov Universiä Karlsruhe TH 7

2 Zuverlässigkeisberechnung und vorbeugende Warung von komplexen echnischen Sysemen miels modifizierer Markov-Mehode Zur Erlangung des akademischen Grades eines DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN DOKTORS DER NATURWISSENSCHAFTEN von der Fakulä für Informaik der Universiä Fridericiana zu Karlsruhe TH genehmige DISSERTATION von Diplom-Informaiker Alexei Konnov aus Karlsruhe Tag der mündlichen rüfung: 9..7 Erser Guacher: Universiäsprofessor Dr.-Ing. Heinz Wörn Zweier Guacher: rof. em. Dr.-Ing. Winfried Görke

3 Kurzfassung Die modernen echnischen Syseme besonders im Bereich Leiechnik und auomaisiere Seuerung werden immer komplexer. Von der einwandfreien Funkionaliä der Leiechnik hängen of nich nur der Berieb einer gesamen echnischen Anlage z. B. Krafwerk, sondern auch Menschenleben ab. Der Zwischenfall im schwedischen Kernkrafwerk Forsmark im Juli 6 ha deulich gezeig, dass die Bedeuung der Zuverlässigkeisanalyse solcher echnischen Syseme nich zu unerschäzen is. Bereis in der Enwicklungsphase eines echnischen Sysems werden miels Zuverlässigkeisanalyse mögliche Designfehler bzw. Schwachpunke endeck. Ein wichiger Teil der Zuverlässigkeisanalyse eines echnischen Sysems is die Zuverlässigkeisberechnung. Ziel dabei is es, aufgrund der Zuverlässigkeisparameer von Einzelkomponenen bzw. Baugruppen eines echnischen Sysems die Zuverlässigkeisparameer des gesamen Sysems uner gegebenen Beriebsbedingungen zu ermieln. Die klassische Zuverlässigkeisheorie beschreib zahlreiche Mehoden der Zuverlässigkeisberechnung. Die raxis dagegen zeig, dass bezogen auf die realen echnischen Syseme nur die Markov-Mehode bzw. Mehode der markovschen Minimalschnie als anwendbar bezeichne werden kann. Allerdings ha auch die klassische Markov-Mehode gewisse Nacheile. Besimme Ausfallaren z. B. Ausfall infolge gemeinsamer Ursache, die durch die Beriebsbesonderheien verursach werden, und zusäzliche Funkionaliä moderner Baugruppen z. B. Selbsdiagnose werden von der klassischen Markov-Mehode nich erfass. Im Rahmen der vorliegenden Disseraion wurde eine modifiziere Markov-Mehode enwickel, die sowohl den Fakor "Ausfall infolge gemeinsamer Ursache" als auch den Fakor "Diagnose-Aufdeckungsgrad" bei einer Zuverlässigkeisberechnung berücksichig. Dadurch wird die räzision der Berechnung gegenüber der klassischen Markov-Mehode wesenlich verbesser. Zunächs wurden die beiden neuen Fakoren einzeln unersuch. Ziel dabei is es, eine im Sinne der Theorie sochasischer rozesse mahemaisch korreke Definiion des jeweiligen Fakors zu formulieren. Die Auswirkung der neuen Fakoren auf die Zuverlässigkeisberechnung wurde mihilfe von diversen Modellen evaluier. Als Referenzmodell wurden die klassische Markov-Mehode und eine empirische Formel verwende. Anschließend wurden die neuen Fakoren und die klassischen Zuverlässigkeisparameer in einem modifizieren Markov-Modell zusammengefass. Das modifiziere Markov-Modell weis eine Allgemeingüligkei auf. Einerseis, falls die Fakoren "Ausfall infolge gemeinsamer Ursache" und "Diagnose-Aufdeckungsgrad" gleich Null sind, geh die modifiziere Markov- Mehode in die klassische Markov-Mehode über. Andererseis, besonders im Falle eines asymmerischen Sysems ein echnisches Sysem, besehend aus nich idenischen Komponenen oder Baugruppen, liefer die modifiziere Markov-Mehode wesenlich präzisere Ergebnisse als die empirische Formel. Aufgrund der präzisen Zuverlässigkeisberechnung bzw. Vorhersage is eine weigehende Kosenopimierung bereis in der Enwicklungs- bzw. Angebosphase eines echnischen Sysems möglich. In der Beriebsphase ermöglich eine präzise Zuverlässigkeisberechnung die Enwicklung einer opimalen und koseneffekiven Warungssraegie, indem z. B. eine korrigierende Warung Reparaur durch eine vorbeugende Warung ersez wird.

4 Danksagung Die vorliegende Arbei is während meiner Täigkei bei der Firma Siemens AG ensanden. Die wissenschafliche Bereuung erfolge durch die Fakulä für Informaik der Universiä Karlsruhe TH. Mein erser Dank geh an Herrn rof. Dr.-Ing. Heinz Wörn, Leier des Insius für rozessrechenechnik, Auomaion und Roboik, für die Bereuung der Arbei und die Übernahme des Haupberiches. Durch seine Iniiaive bekam ich, als Miarbeier des Insius, eine Möglichkei prakische Erfahrungen im Bereich echnischer Zuverlässigkei in verschiedenen Indusrieprojeken zu sammeln. Herrn rof. Dr.-Ing. Winfried Görke vom Insiu für Rechnerenwurf und Fehleroleranz an der Fakulä für Informaik danke ich rech herzlich für die Übernahme des Zweiberiches sowie seige Unersüzung und sachliche Kriik meiner Arbei. Seine spannenden Vorlesungen haben im Jahr 996 ersmals mein Ineresse am Thema Zuverlässigkei und Fehleroleranz erweck. Damals wusse ich noch nich, dass mein weieres Leben davon so sark gepräg wird. Bei Herrn Dipl.-Ing. Jürgen Herrmann, Leier von "Reliabiliy Consul" bei der Firma Siemens AG, möche ich mich besonders bedanken. Sein reiches prakisches und heoreisches Wissen zum Thema Zuverlässigkei und Sicherhei von echnischen Sysemen ha mir während meiner Arbei im besonderen Maße geholfen. Zahlreiche hefige aber auch konsrukive Diskussionen aufgrund der realen Aufgaben brachen mir manchmal mehr Wissen und Erfahrung als manch ein Lehrbuch. Der Firma Siemens AG, die mir die Ersellung dieser Arbei im Rahmen des Dokorandenprogramms ers ermöglich ha, bin ich zu einem besonderen Dank verpfliche. Allen Kolleginnen und Kollegen aus der L-Universiy Arbeisgruppe möche ich an dieser Selle Dank sagen. Sie haben alle auf ihre eigene Ar und Weise, z. B. durch die freundschafliche Arbeisamosphäre, zum Gelingen dieser Arbei beigeragen. Besonderer Dank gil hier Herrn Wolfgang Thiel, Leier der G L8, sowie Herrn Delef Raumann, Leier der L-Universiy, die ses für diese Arbei wichige adminisraive Unersüzung geleise haben.

5 Inhalsverzeichnis Einleiung.... Zuverlässigkei in der modernen Technik.... Moivaion und Ziele der Arbei....3 Gliederung der Arbei...3 Grundlagen...4. Auszug aus der Wahrscheinlichkeisheorie Definiionen und Begriffe Axiome der Wahrscheinlichkeisrechnung Bedinge Wahrscheinlichkei Wichigse Regeln der Wahrscheinlichkeisrechnung..... Zufallsvariablen und Vereilungsfunkionen Binomialvereilung oissonvereilung Weibullvereilung Exponenialvereilung Normalvereilung Sochasische rozesse Markov-rozess mi endlich vielen Zusänden Bezug auf die Markov-Mehode.... Auszug aus der Zuverlässigkeisheorie..... Definiionen und Begriffe Bedeuung der Zuverlässigkei Allgemeine Vorgehensweise bei der Zuverlässigkeisanalyse RAM Were und Kenngrößen Wichigse Vereilungen Weibullvereilung Exponenialvereilung Normalvereilung Zuverlässigkeisberechnung von komplexen Sysemen Zuverlässigkeisberechnung eines Einzelelemenes Serien- und arallelsrukuren Redundanz Syseme ohne Reparaur Reparierbare Syseme Insandhalungsanalyse Sraegie der vorbeugenden Warung Opimale Anzahl von Ersazeilen Wirschafliche Aspeke Auszug aus der Komplexiäsheorie Definiionen und Grundlagen Umfang, Aufwand und Komplexiä eines roblems Asympoische Noaion Schrankenfunkionen Rekursionen Allgemeine Mehode maser mehod Rekursionsbäume Sand der Forschung Verfahren der Zuverlässigkeisberechnung Verfahren der Markovschen rozesse...79

6 3.3 Verfahren der Minimalschnie Verfahren der Markovschen Minimalschnie Konzep der neuen Mehodik Anforderungen an die Mehodik der Zuverlässigkeisberechnung Vergleich mi dem Sand der Forschung Vergleich mi dem Sand der Technik Die modifiziere Mehodik im Deail Neuer Fakor: Ausfall infolge gemeinsamer Ursache Einfluss von CCF auf die Markov-Mehode Modell : nich konsane Ausfallraen Modell : Semi-Markov CCF: allgemeine Formel für die Ausfallrae CCF Beispiel: Markov-Mehode mi CCF Modell Modell Neuer Fakor: Diagnose-Aufdeckungsgrad Einfluss von DC auf die Markov-Mehode DC Fakor: Einzelkomponene DC Fakor: ein redundanes Sysem Beispiel: Markov-Mehode mi DC Modell Modell Modifiziere Übergangsmarix Kalkulaion der RAM Were nach neuer Mehodik rakischer Einsaz: rojek ACoRAM Ausgangssiuaion Ziele des rojekes Lösungseinsaz Zusammenfassung und Ausblick Appendix Abkürzungen Formelzeichen Modell von Kochs Lieraurverzeichnis...53

7 Abbildungsverzeichnis Abb. Basis der modifizieren Markov-Mehode...4 Abb. Relaive Häufigkei...7 Abb. 3 Binomialvereilung... Abb. 4 oissonvereilung...3 Abb. 5 Weibullvereilung...4 Abb. 6 Exponenialvereilung...5 Abb. 7 Normalvereilung...6 Abb. 8 Übergangswahrscheinlichkeien... Abb. 9 Zuverlässigkei und Kosen...7 Abb. Begriff "Dependabiliy"...8 Abb. Allgemeine rozedur der Zuverlässigkeisanalyse...9 Abb. Dependabiliy managemen...3 Abb. 3 Besandsfunkion...3 Abb. 4 Zeilicher Verlauf der Ausfallrae...36 Abb. 5 Weibullvereilung: R, F, f und...38 Abb. 6 Exponenialvereilung: R, F, f und...4 Abb. 7 Normalvereilung: R, F, f und...4 Abb. 8 Top-Down Aufsellung...4 Abb. 9 Aufsellung eines Zuverlässigkeisblockdiagramms...43 Abb. Seriensysem: Verlauf der Funkion R...47 Abb. arallelsysem: Verlauf der Funkion R...48 Abb. Vermische Syseme: Verlauf der Funkion R...49 Abb. 3 Kale Redundanz, sicherer Umschaler: Verlauf der Funkion R...5 Abb. 4 Kale Redundanz, realer Umschaler: Verlauf der Funkion R...5 Abb. 5 Majoriäsredundanz: Verlauf der Funkion R...5 Abb. 6 Kale, heiße Redundanz und Einzelelemen: R...53 Abb. 7 Kale, heiße Redundanz und Einzelelemen: f...53 Abb. 8 Kale, heiße Redundanz und Einzelelemen:...54 Abb. 9 Soforige Verfügbarkei: Einzelkomponene mi Reparaur...57 Abb. 3 Soforige Verfügbarkei: Einzelkomponene mi Reparaur 3, α-fakor...57 Abb. 3 Redundanz und Insandhalungsmaßnahmen...6 Abb. 3 Insandhalung...6 Abb. 33 Insandhalungsanalyse in der Enwicklungsphase, IEC Abb. 34 Vorbeugende und korrigierende Warung IEC Abb. 35 Vorbeugende Warung: Einsazprinzip, IEC Abb. 36 Lebenszyklus und Warung, IEC

8 Abb. 37 Θ-Noaion...7 Abb. 38 Ο-Noaion...7 Abb. 39 Ω-Noaion...7 Abb. 4 Rekursionsbaum, Schri...75 Abb. 4 Vollsändiger Rekursionsbaum...76 Abb. 4 Verfahren der Zuverlässigkeisberechnung...78 Abb. 43 Zusandsdiagramm einer reparierbaren Einhei...8 Abb. 44 Ermilung der Minimalschnie...85 Abb. 45 Ausfall-Logik...86 Abb. 46 Beriebslogik...87 Abb. 47 Beriebslogik: Elemene,, 3 sind sochasisch abhängig...88 Abb. 48 Markovsche Minimalschnie...9 Abb. 49 ACoRAM: Archiekur der Sofware...93 Abb. 5 Klassisches Markov-Modell...99 Abb. 5 Modell : nich konsane Ausfallraen... Abb. 5 Modell : Semi-Markov... Abb. 53 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...7 Abb. 54 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien bis Abb. 55 Modell, Versuch : Ausfallwahrscheinlichkeien...8 Abb. 56 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...9 Abb. 57 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien bis 4... Abb. 58 Modell, Versuch : Ausfallwahrscheinlichkeien... Abb. 59 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien... Abb. 6 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien bis 4... Abb. 6 Modell, Versuch 3: Ausfallwahrscheinlichkeien...3 Abb. 6 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...5 Abb. 63 Modell, Versuch : Ausfallwahrscheinlichkeien...5 Abb. 64 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...7 Abb. 65 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien bis Abb. 66 Modell, Versuch : Ausfallwahrscheinlichkeien...8 Abb. 67 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien...9 Abb. 68 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien bis Abb. 69 Modell, Versuch 3: Ausfallwahrscheinlichkeien... Abb. 7 DC Fakor: Zusandsgraph... Abb. 7 DC Fakor, Zusandsgraph: Einzelkomponene mi Selbsdiagnose...4 Abb. 7 DC Fakor: Ausfallwahrscheinlichkeien...5 Abb. 73 DC Fakor, Zusandsgraph: redundanes Sysem...7 Abb. 74 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...3

9 Abb. 75 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...3 Abb. 76 Modell, Versuch : Zusand, 3 sowie gesame Ausfallwahrscheinlichkei...3 Abb. 77 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien...3 Abb. 78 Modell, Versuch 3: Zusand, 3 sowie gesame Ausfallwahrscheinlichkei...33 Abb. 79 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...34 Abb. 8 Modell, Versuch : Zusandswahrscheinlichkeien...35 Abb. 8 Modell, Versuch : Zusand bis 5, gesame Ausfallwahrscheinlichkei...36 Abb. 8 Modell, Versuch 3: Zusandswahrscheinlichkeien...37 Abb. 83 Modell, Versuch 3: Zusand bis 5, gesame Ausfallwahrscheinlichkei...38 Abb. 84 CCF und DC Fakoren: Zusandsgraph...39 Abb. 85 Leiechnisches Sysem...44

10 Tabellenverzeichnis Tab. Operaionen der Ereignisalgebra...6 Tab. Geseze der Ereignisalgebra...6 Tab. 3 Axiome der Wahrscheinlichkeisrechnung...8 Tab. 4 Regeln der Wahrscheinlichkeisrechnung... Tab. 5 Eigenschafen einer Vereilungsfunkion... Tab. 6 Binomialvereilung... Tab. 7 oissonvereilung...3 Tab. 8 Weibullvereilung...4 Tab. 9 Exponenialvereilung...5 Tab. Normalvereilung...6 Tab. Bedingungen eines Markov-rozesses...8 Tab. Ableiungen eines Markov-rozesses...8 Tab. 3 Eigenschafen der Zusands- und Übergangswahrscheinlichkeien...9 Tab. 4 IEC Normen...3 Tab. 5 MIL Normen...3 Tab. 6 Andere Normen...3 Tab. 7 Begriffe der Zuverlässigkeisanalyse...5 Tab. 8 Bedeuung der Zuverlässigkei...6 Tab. 9 Fakoren der Zuverlässigkeisanalyse...8 Tab. rozedur der Zuverlässigkeisanalyse...3 Tab. Zuverlässigkeiskenngrößen...33 Tab. MTTF, MTBF, MTTR, MDT...34 Tab. 3 Sressfakoren...36 Tab. 4 Früh-, Zufalls- und Verschleißausfälle...37 Tab. 5 Weibullvereilung: Zuverlässigkeiseigenschafen...38 Tab. 6 Exponenialvereilung: Zuverlässigkeiseigenschafen...39 Tab. 7 Normalvereilung: Zuverlässigkeiseigenschafen...4 Tab. 8 Mehoden der Zuverlässigkeisanalyse...44 Tab. 9 Seriensysem: Zuverlässigkeiseigenschafen...46 Tab. 3 arallelsysem: Zuverlässigkeiseigenschafen...48 Tab. 3 Vermische Syseme...49 Tab. 3 Redundanzaren und deren Eigenschafen...5 Tab. 33 Nich reparierbare Syseme...55 Tab. 34 Aren der Verfügbarkei...56 Tab. 35 Reparierbares Einzelelemen...58 Tab. 36 Reparierbares Sysem ohne Redundanz...59

11 Tab. 37 Grundmodelle der reparierbaren Syseme...6 Tab. 38 Vorbeugende vs. korrigierende Warung...65 Tab. 39 Begriffe der Komplexiäsheorie...69 Tab. 4 Noaionseigenschafen...73 Tab. 4 Schrankenfunkionen...74 Tab. 4 Asympoische Grenze...74 Tab. 43 Zusandsraumverfahren...79 Tab. 44 Nezwerkverfahren...79 Tab. 45 Vor- und Nacheile der Markov-Mehode...83 Tab. 46 Vor- und Nacheile der Minimalschni-Mehode...88 Tab. 47 Vor- und Nacheile der Mehode der markovschen Minimalschnie...9 Tab. 48 Anforderungen an eine Mehode der Zuverlässigkeisberechnung...9 Tab. 49 Funkionaliä von Modulen...94 Tab. 5 Verschiedene Aren von Mehrfachausfällen...96 Tab. 5 Fakor CCF, Eigenschafen...98 Tab. 5 Modell : Eigenschafen... Tab. 53 Modell : Eigenschafen...3 Tab. 54 Modell, Versuch : Eingaben...7 Tab. 55 Modell, Versuch : Ergebnisse...7 Tab. 56 Modell, Versuch : Eingaben...9 Tab. 57 Modell, Versuch : Ergebnisse... Tab. 58 Modell, Versuch 3: Eingaben... Tab. 59 Modell, Versuch 3: Ergebnisse...3 Tab. 6 Modell : Fazi...4 Tab. 6 Modell, Versuch : Eingaben...4 Tab. 6 Modell, Versuch : Ergebnisse...6 Tab. 63 Modell, Versuch : Eingaben...6 Tab. 64 Modell, Versuch : Ergebnisse...6 Tab. 65 Modell, Versuch 3: Eingaben...8 Tab. 66 Modell, Versuch 3: Ergebnisse... Tab. 67 Modell : Fazi... Tab. 68 Fesgeselle und nich fesgeselle Ausfälle... Tab. 69 DC Fakor: Eigenschafen... Tab. 7 Modell, Versuch : Eingaben...9 Tab. 7 Modell, Versuch : Eingaben...3 Tab. 7 Modell, Versuch : Ergebnisse...3 Tab. 73 Modell, Versuch 3: Eingaben...3 Tab. 74 Modell, Versuch 3: Ergebnisse...33

12 Tab. 75 Modell, Versuch : Eingaben...34 Tab. 76 Modell, Versuch : Eingaben...35 Tab. 77 Modell, Versuch : Ergebnisse...36 Tab. 78 Modell, Versuch 3: Eingaben...37 Tab. 79 Modell, Versuch 3: Ergebnisse...37 Tab. 8 Modifiziere Übergangsmarix, Eigenschafen...4 Tab. 8 Kalkulaion der RAM Were...4 Tab. 8 rojek ACoRAM: Ziele...45 Tab. 83 rojek ACoRAM: Ergebnisse...46

13 Einleiung Seigende Größe und Komplexiä echnischer Anlagen, insbesondere elekronischer Anlagen, und die zum Teil exrem hohen Zuverlässigkeisanforderungen rücken die Nowendigkei zuverlässigkeisechnischer Analysen immer mehr in den Vordergrund ingenieurmäßiger Berachung. Um die Zuverlässigkei elekronischer Anlagen beureilen zu können, reichen qualiaive Überlegungen und verbale Beschreibungen nich aus. Es werden deshalb, besonders zum Vergleich verschiedener Sysemkonzepe, in Angeboen bzw. bei der Vergabe von Aufrägen und in Sicherheisanalysen immer häufiger quaniaive Zuverlässigkeisaussagen geforder, wozu eine wahrscheinlichkeisheoreisch unersüze Zuverlässigkeisanalyse nowendig is. In den vergangenen Jahrzehnen ha die Bedeuung der Zuverlässigkeisechnik sprunghaf zugenommen. Dies ha verschiedene Gründe. Beding durch wachsenden echnischen Forschri, seigendes Anspruchsdenken und die Nowendigkei, Kosen zu reduzieren, wurden in allen echnischen Bereichen die Anforderungen und der Aufgabenumfang immer größer. Beispiele dafür sind:. dauernde Beriebsbereischaf elekrische Energieversorgungssyseme, Kommunikaionssyseme, zenrale Leisyseme. keine Möglichkei zur Reparaur während des Beriebs Luf - und Raumfahr 3. die Überragung von Sicherheisfunkionen auf echnische Einrichungen Sicherheiseinrichungen in der Chemie und der Nuklearechnik 4. die Nowendigkei, echnische Anlagen aus wirschaflichen Gründen besser auszunuzen Maerialeinsparung, Verminderung von Reserven und Redundanzen Dadurch werden echnische Anlagen immer leisungssärker, größer und komplexer ausgeleg und der Auomaisierungsgrad wird immer mehr geseiger. Die Kehrseie des echnischen Forschries lieg darin, dass ein Versagen bzw. Ausfall der Technik of zu kaasrophalen Konsequenzen führ. Deswegen sind Enwicklung der heuigen echnischen Syseme ohne Zuverlässigkeisanalyse und Berieb der modernen Technik ohne ensprechende Sicherheis- und Warungskonzepe undenkbar.

14 . Zuverlässigkei in der modernen Technik Während bei der einfachen Technik früherer Jahrhundere eine hohe Zuverlässigkei durch Einfachhei und hohe Maerialreserven erziel wurde, kann bei heuigen roduken eine hohe Zuverlässigkei uner Berücksichigung wirschaflicher Gesichspunke nur durch ein gues Konzep, durch hohe Qualiä der eingesezen Bauseine und durch eine wohldurchdache Sysemsrukur erreich werden. Moderne Anlagen und besonders elekroechnische Anlagen sind aus vielen Bauseinen mi unerschiedlicher Abhängigkei Komplexiä aufgebau, wobei auch in Zukunf der Trend zu immer größeren Anlagen anhalen wird. Als Folge davon werden das Ausfallverhalen komplexer und die Auswirkungen von Ausfällen schwerwiegender. Besonders in der Enwicklungsphase dien die Zuverlässigkeisanalyse in erser Linie der rechzeiigen Erkennung und Beseiigung von Schwachsellen und der Durchführung von Vergleichssudien. Dabei beseh ein wichiger Teil der Zuverlässigkeisanalyse in der Unersuchung der Ausfallraen von Komponenen eines echnischen Sysems. Dies führ zur Berechnung der vorausgesagen Zuverlässigkei, die anhand der Srukur des echnischen Sysems und der Zuverlässigkeischarakerisiken ihrer Komponenen rechnerisch besimm wird.. Moivaion und Ziele der Arbei Ein komplexes echnisches Sysem z.b. Leiechnik von Siemens TX, CS7, ec. mi ihren Komponenen kann derzei im Beriebszusand durch koninuierliche Erfassung von Beriebsdaen überwach werden, indem regelmäßig einzelne Komponenen auf ihren Saus hin überprüf werden. Fehler durch den Ausfall von Baueilen oder Baugruppen Komponenen werden auf diese Weise fesgesell, können aber im Einzelfall nich prognosizier werden. Zurzei sind Fehlfunkionen oder das Versagen einer oder mehreren Komponenen ers nach dem Schadensereignis zu diagnosizieren. Es vergeh wervolle Zei zur Behebung des Schadens, was die Verfügbarkei deulich beeinrächig und somi rodukionsverlus bedeue. Hinzu komm, dass die Auswerung des Ausfalls ers nach dem Ereignis Ausfall der Komponene beginnen kann. Die Auswerung der Ausfälle oder das Beureilen der Versagensumsände erfolg vor Or. Eine Online-Rückkopplung der koninuierlich gewonnenen Daen Ausfallrae, Verfügbarkei, Warbarkei zum Anlagenherseller erfolg in der Regel nich. Ein online FAT field accepance es der Leiechnischen Komponenen is somi auch nich möglich. Um die genannen robleme lösen zu können, wurde im Juni 5 in Rahmen der Zusammenarbei zwischen L-Universiy und G L5 Siemens AG das rojek ACoRAM Auomaic Calculaion of Reliabiliy-Availabiliy-Mainainabiliy gesare s. Kapiel 6.

15 .3 Gliederung der Arbei Im zweien Kapiel dieser Arbei werden die Grundlagen, die die Basis der modifizieren Markov-Mehode bilden, kurzgefaß dargeleg und erläuer. Dabei lieg der Schwerpunk auf den nowendigen Begriffen, Mehoden und rinzipien, die späer in dieser Arbei verwende werden. Im Kapiel 3 wird der akuelle Sand der Forschung analysier. Dabei werden die am meisen verwendenden Mehoden der Zuverlässigkeisanalyse und Zuverlässigkeisberechnung von echnischen Sysemen sowie deren Vor- und Nacheile bezogen auf die prakische Anwendung ausführlich beschrieben. Im Kapiel 4 wird ein Vorschlag für eine modifiziere Mehodik der Zuverlässigkeisberechnung von echnischen Sysemen vorgesell und im darauf folgenden Kapiel im Deail erläuer. Kapiel 6 is dem prakischen Einsaz der modifizieren Markov-Mehode gewidme. Dabei werden die Ziele und Aufgaben des rojekes ACoRAM aus dem Bereich Leiechnik sowie die Ergebnisse der Anwendung der modifizieren Markov-Mehode dargeleg. Die Arbei schließ mi einer Zusammenfassung und einem Ausblick. 3

16 Grundlagen Die prakische Arbei bei der Firma Siemens AG im Bereich echnischer Zuverlässigkei Zuverlässigkeisanalyse und Zuverlässigkeisberechnung von komplexen echnischen Sysemen ha mir deulich gezeig, welch gravierende Unerschiede manchmal zwischen der Theorie und der raxis liegen können. Die Mehoden der Zuverlässigkeisberechnung, die sich sei Jahren in der Zuverlässigkeisheorie eablier haben, waren in der raxis enweder kaum anwendbar oder haben Ergebnisse geliefer, die im Durchschni um den Fakor,5 schlecher sind als die ensprechenden Messwere aus dem Feld. Außerdem sind gewisse Aspeke der realen echnischen Syseme, wie z. B. Selbsdiagnose von Baugruppen, von der Theorie nich erfass. Daher ensand eine Nowendigkei, eine Mehode der Zuverlässigkeisberechnung Markov- Mehode zu modifizieren. Die Grundlagen s. Abb. der modifizieren Markov-Mehode bilden die Wahrscheinlichkeisheorie uner anderem auch die Theorie sochasischer rozesse und die Zuverlässigkeisheorie allgemeine Vorgehensweise und diverse Mehoden für die Zuverlässigkeisanalyse. Außerdem werden die Haupalgorihmen der vorliegenden Mehodik mi Hilfe der Komplexiäsheorie analysier. Modifiziere Markov- Mehode Wahrscheinlichkeisheorie Zuverlässigkeisheorie Komplexiäsheorie Theorie sochasischer rozesse IEC, MIL, IEEE Algorihmenechnik Abb. Basis der modifizieren Markov-Mehode In den nachfolgenden Kapieln wird die Basis der modifizieren Markov-Mehode ausführlich beschrieben. 4

17 . Auszug aus der Wahrscheinlichkeisheorie Viele rozesse in der Naur und Technik unerliegen dem Zufall, d. h. es is unmöglich vorherzusagen, welchen Zusand so ein rozess für jeden Zeipunk annimm. Es zeig sich jedoch, dass man auch über solche Vorgänge quaniaive Aussagen machen kann, wenn man eine genügende Anzahl davon uner gleich bleibenden Bedingungen beobachen kann. Die Wahrscheinlichkeisrechnung liefer mahemaische Modelle für derarige zufällige Ereignisse in der objekiven Realiä. Während die Wahrscheinlichkeisheorie nur zeiunabhängige Ereignisse beschreib, befass sich die Theorie sochasischer rozesse mi den zeiabhängigen Ereignissen, wie sie in echnischen Sysemen aufreen. Zur ausreichenden Beureilung zeiabhängiger Ereignisse sind neben den Wahrscheinlichkeiskenngrößen weiere Kenngrößen nowendig. Die Theorie sochasischer rozesse liefer zur Bewerung zeiabhängiger Ereignisse u. a. die zusäzlichen Kenngrößen milere Häufigkei und milere Dauer... Definiionen und Begriffe Das mahemaische Modell eines Versuchs mi zufälligem Ergebnis wurde im Jahr 93 von A. Kolmogorov enwickel. Dabei wurde ein Begriff des Wahrscheinlichkeisraumes eingeführ. Der Wahrscheinlichkeisraum is ein Tripel [Ω, F, r]. Ω - eine Menge aller möglichen Versuchsereignisse, sie sell das sichere Ereignis dar. Die Elemene aus Ω werden auch Elemenarereignisse genann und mi ω bezeichne. F Ereignisfeld, ein Sysem von Teilmengen von Ω, für jede von welcher eine Wahrscheinlichkei r definier werden kann. Def. Wahrscheinlichkeisraum Ein solches Ereignisfeld F ha folgende Eigenschafen []:. Ω is Elemen von F. Mi A aus F lieg auch das Komplemen A in F 3. Wenn A, A, A n Elemene von F sind, so enhäl F auch deren Vereinigung A U A U U A n Daraus folg: 5

18 . Die leere Menge Ø Ω is ein Elemen von F. Mi A, A, A n aus F lieg auch der Durchschni A A A n in F Die Teilmengen von F bezeichne man als zufällige Ereignisse. Die wichigsen Operaionen mi Ereignissen sind folgende: Vereinigung Durchschni Komplemen Ein aus den Ereignissen A, A, A n zusammengesezes Ereignis, das dann einri, wenn mindesens eines der Ereignisse A, A, A n einri; es wird mi A U A U U A n bezeichne Ein aus den Ereignissen A, A, A n zusammengesezes Ereignis, das dann einri, wenn alle A, A, A n einreen; es wird mi A A A n bezeichne. A is komplemenär zu A, falls A U A Ω und A A Ø Tab. Operaionen der Ereignisalgebra Folgende Geseze sind für die Ereignisalgebra gülig: Kommuaivgesez A U A A U A A A A A Assoziaivgesez A U A U A 3 A U A U A 3 A A A 3 A A A 3 Disribuivgesez A U A A 3 A U A A U A 3 A A U A 3 A A U A A 3 Idempoenzgesez A U A A A A A De Morgan-Gesez A B A B A B A B Ideniäsgesez A A; A A Ω; A A A A B A B Tab. Geseze der Ereignisalgebra Der Begriff der Wahrscheinlichkei eines Ereignisses, also r{a}, basier auf dem Begriff der relaiven Häufigkei. [5] 6

19 Relaive Häufigkei: wenn ein Ereignis A in Folge von n saisisch idenischen Versuchen k mal aufgereen is, dann is die relaive Häufigkei von A gleich k/n. Def. Relaive Häufigkei Aus der raxis is bekann, dass die relaive Häufigkei k/n eines Ereignisses A bei der Wiederholung von n saisisch idenischen Versuchen anders ausfallen wird. Fak is, dass mi einer "genug großen" Anzahl n von Versuchen, die relaive Häufigkei k/n eines Ereignisses A immer weniger von einer fesen Zahl abweich. Die Abbildung s. Abb. zeig ein mögliches Ergebnis der relaiven Häufigkei beim Werfen einer homogenen Münze. Aus diesem Grund is es sinnvoll, die Wahrscheinlichkei eines Ereignisses als Grenzwer deren relaiver Häufigkei zu bezeichnen. Die saisische Wahrscheinlichkei eines Ereignisses: r{a} lim n k n Def. 3 Saisische Wahrscheinlichkei Es zeig sich, dass man die Klasse der zufälligen Ereignisse in der Regel so auswählen kann, dass einerseis keine mahemaischen Schwierigkeien bei der Einführung der Wahrscheinlichkei aufreen, andererseis alle in der raxis ineressierenden Ereignisse in der gewählen Klasse sind. k/n,9,8,7,6,5,4,3,, n Abb. Relaive Häufigkei 7

20 ... Axiome der Wahrscheinlichkeisrechnung Nach Kolmogorovschen rinzipien [5] berache man die Wahrscheinlichkei r{a} als eine Funkion auf dem Ereignisfeld F von Teilmengen von Ω, für die folgende Axiome gülig sind: Axiom : A F is r{a} Axiom : r{ω} Axiom 3: Sind die Ereignisse A, A, A n paarweise unvereinbar, so is r{u n n Ai} r{ Ai i i Tab. 3 Axiome der Wahrscheinlichkeisrechnung } Daraus folg:. r{ø}. r{a} r{b}, falls A B 3. r{ A } - r{a} 4. r{a}... Bedinge Wahrscheinlichkei Die Wahrscheinlichkei eines zufälligen Ereignisses A änder sich im Allgemeinen, wenn bereis bekann is, dass ein anderes zufälliges Ereignis B eingereen is. Die Wahrscheinlichkei von A uner der Bedingung, dass B mi r{b} bereis eingereen is, wird mi r{a B} bezeichne und als bedinge Wahrscheinlichkei definier. Bedinge Wahrscheinlichkei: r{ A B} r{ A B}, r{b} r{ B} Def. 4 Bedinge Wahrscheinlichkei Daraus folg auch die Muliplikaionsregel der Wahrscheinlichkeisrechnung: r{a B} r{b} r{a B} r{a} r{b A} Aus dem lezen Ausdruck folg die Definiion von unabhängigen Ereignissen. 8

21 Unabhängige Ereignisse: zwei zufällige Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, wenn das Einreen des einen die Wahrscheinlichkei für das Einreen des anderen nich beeinfluss. In anderen Woren r{a B} r{a} Def. 5 Unabhängige Ereignisse Die Muliplikaionsregel laue in diesem Fall: r{a B} r{a} r{b} Dies kann man auch auf n zufällige Ereignisse A, A, A n erweiern []. Die Ereignisse A, A,... A n heißen vollsändig oder sochasisch unabhängig, wenn für jedes k < k n und jede Auswahl i...i k {,...,n} gil r{ A i... A } r{ A }...r{ A } i k i i k Def. 6 Sochasisch unabhängige Ereignisse Auf dieser Basis is es möglich, den Saz von der oalen Wahrscheinlichkei zu formulieren. Es wird angenommen, dass ein sicheres Ereignis Ω sich als Summe von n paarweise unvereinbaren Ereignissen darsellen läss, also Ω A U A U U A n mi A i A j Ø für i j. Für ein beliebiges zufälliges Ereignis B gil dann: B A B U A B U U A n B Nach dem Addiionsaxiom folg heraus: n r{b} r{ B i Ai } Verwende man die Muliplikaionsregel, so wird der Saz der oalen Wahrscheinlichkei formulier. Saz der oalen Wahrscheinlichkei: n r{ B} r{ Ai}r{ B i Ai} Def. 7 Toale Wahrscheinlichkei Wenn die Wahrscheinlichkei a poseriori ermiel wird, dann gil die Formel von Bayes. Formel von Bayes: r{ Ai}r{ B Ai} r{ Ai B } n r{ A j}r{ B A j} j Def. 8 Formel von Bayes 9

22 ...3 Wichigse Regeln der Wahrscheinlichkeisrechnung In diesem Abschni werden die Grundregeln der Wahrscheinlichkeisrechnung in abellarischer Form zusammengefass. Addiion Ereignisse A und B sind unvereinbar r{a U B} r{a} r{b} Wenn A, A, A n paarweise unvereinbar sind, also A i A j Ø für i j r{a U A U U A n } r{ n i Ai } Muliplikaion Ereignisse A und B sind unabhängig r{a B} r{a} r{b} Addiion Ereignisse A und B sind beliebig r{a U B} r{a} r{b} - r{a B} Muliplikaion Ereignisse A und B sind beliebig, r{a} >, r{b} > r{a B} r{b} r{a B} r{a} r{b A} Wenn A, A, A n vollsändig unabhängig sind r{ A... An } r{ A}...r{ An } Toale Wahrscheinlichkei A, A, A n paarweise unvereinbar, also A i A j Ø für i j, und Ω A U A U U A n mi r{a i } > n r{ B} r{ Ai}r{ B i beliebiges Ereignis B Ai} für ein Formel von Bayes Wahrscheinlichkei a poseriori r{ Ai B } n r{ Ai}r{ B Ai} r{ A j}r{ B j A j} Tab. 4 Regeln der Wahrscheinlichkeisrechnung.. Zufallsvariablen und Vereilungsfunkionen Den Begriff einer Zufallsvariable kann man wie folg definieren [5]: Zufallsvariable: eine reelle Variable, die je nach dem Ausgang eines Versuchs, also in Abhängigkei vom Zufall, verschiedene Were annimm. Def. 9 Zufallsvariable

23 Auch für die echnischen Syseme sind die Zufallsvariablen anwendbar. Beispiele dafür sind die ausfallfreie Beriebszei einer Berachungseinhei, die Dauer einer Reparaur, die Anzahl defeker Baueile in einem Los usw. Eine Zufallsvariable wird in der Regel durch eine ensprechende Vereilungsfunkion charakerisier. Vereilungsfunkion: wenn X eine Zufallsvariable is, dann is Fx r{x < x} eine Vereilungsfunkion von X. Def. Vereilungsfunkion Die Vereilungsfunkion einer Zufallsvariable ha folgende Eigenschafen: [5]. lim F x, lim F x x x. Fx is monoon nich fallend, also für x < x gil Fx Fx 3. Fx is linksseiig seig 4. r{a X < b} Fb Fa Tab. 5 Eigenschafen einer Vereilungsfunkion In den nachfolgenden Kapieln werden die Vereilungsfunkionen der diskreen Kap.... und... und der seigen Kap Zufallsvariablen beschrieben. Diskree Zufallsvariable: eine Zufallsvariable, die nur endlich oder abzählbar unendlich viele Were x, x,..., mi der Wahrscheinlichkei p i r{x x i } annehmen kann. Die p i erfüllen die Bedingung Σp i. Für die Vereilungsfunkion einer diskreen Zufallsvariable gil: F x i x < x i p Seige Zufallsvariable: eine Zufallsvariable mi der Vereilungsfunkion vom Typ: x F x f y dy Def. Diskree und seige Zufallsvariable Ein weieres Charakerisikum einer seigen Zufallsvariable is die Vereilungsdichefunkion: x df x f x, für die gil F x dx f y dy und f y dy Def. Vereilungsdichefunkion

24 ... Binomialvereilung Binomialvereilung beschreib im Allgemeinen das Aufreen eines qualiaiven Merkmals in einer Sichprobe vom Umfang n mi Zurücklegen. Vereilungsfunkion r{ x k}, k i p i p i n i p p i ni Vereilungsdichefunkion s. Abb. 3; n, p.;.3;.5;.7;.9 Werebereich k,..., n; < p < Erwarungswer Ex np Varianz Varx np - p Eigenschafen p k r{k Erfolge in n unabhängigen Versuchen mi r{a} p} Tab. 6 Binomialvereilung Die Abb. 3 zeig den Verlauf der Binomialvereilung mi n und p..9 r,3 p. p.9,5, p.3 p.7 p.5,5,, n Abb. 3 Binomialvereilung

25 ... oissonvereilung Die oissonvereilung wird dann verwende, wenn die Ereignisse selen sind und die ensprechende Sichprobe groß is. Vereilungsfunkion r{ x k}, k i p i m pi e i! i m Vereilungsdichefunkion s. Abb. 4; m 3 [] Werebereich k,,... ; m > Erwarungswer Varianz Eigenschafen Ex m Varx m n k p p k nk np k! k e np r{ i Ereignisse in, ]} i i! e Tab. 7 oissonvereilung Die Abb. 4 zeig den Verlauf der oissonvereilung mi dem Erwarungswer m 3,3 r,5,,5,, n Abb. 4 oissonvereilung 3

26 ...3 Weibullvereilung In den 4er Jahren im Zusammenhang mi der Unersuchung von Werksoffermüdung wurde von W. Weibull eine oenzfunkion enwickel, die die zeiabhängige Ausfallrae beschrieb. Vereilungsfunkion Vereilungsdichefunkion F e β f β β e β s. Abb. 5; β 3 [] Werebereich, β > ; Erwarungswer Varianz Eigenschafen Γ β E Γ Γ β Var β Monoone Ausfallrae is - wachsend für β > - konsan für β - fallend für β < Tab. 8 Weibullvereilung Die Abb. 5 zeig den Verlauf der Weibullvereilung mi β 3. Die Achsen sind auf normier., f in,,9,8,7,6,5,4,3,, 3 Abb. 5 Weibullvereilung 4

27 ...4 Exponenialvereilung Die Exponenialvereilung ha eine wichige Eigenschaf: der Formparameer is konsan. Dies erleicher die Berechnungen bei einer Analyse von echnischen Sysemen wesenlich. Vereilungsfunkion Vereilungsdichefunkion F e f e s. Abb. 6; [] Werebereich > ; Erwarungswer Varianz Eigenschafen E Var Gedächnislos: r{τ > x τ > x } r{τ > } e Tab. 9 Exponenialvereilung Die Abb. 6 zeig den Verlauf der Exponenialvereilung. Die Achsen sind auf normier., f in,,9,8,7,6,5,4,3,, 3 Abb. 6 Exponenialvereilung 5

28 ...5 Normalvereilung Bei einer mahemaischen Analyse z. B. Zuverlässigkeisanalyse von echnischen Sysemen, wird die Normalvereilung ziemlich of verwende. Der Grund dafür lieg in der Tasache, dass die Vereilungsfunkion der Summe einer großen Anzahl saisisch unabhängigen Zufallsvariablen uner relaiv allgemeinen Bedingungen gegen eine Normalvereilung konvergier. [] Vereilungsfunkion Vereilungsdichefunkion xm σ F σ π f e σ π e m σ dx s. Abb. 7; m 3 h, σ 8 h [] Werebereich σ > ; - < m, < Erwarungswer E m Varianz Var σ Eigenschafen m F Φ, wobei Φ e dx σ π x Tab. Normalvereilung Die Abb. 7 zeig den Verlauf der Normalvereilung mi m 3 und σ 8 Sunden.,6 f,5,4,3,, Abb. 7 Normalvereilung 6

29 ..3 Sochasische rozesse Bei echnischen Sysemen häng das Einreen gewisser Ereignisse of von der Zei ab. Aus diesem Grund sprich man nich mehr von Ereignissen, sondern von Zusänden. Die bedeuendsen Zusände sind der Berieb man sag auch ein Sysem is inak und der Ausfall. Das Beriebs- und Ausfallverhalen läss sich durch sochasische rozesse beschreiben. Eine Definiion eines sochasischen rozesses wird wie folg formulier: [] Sochasischer rozess: eine Schar von Zufallsgrößen Zufallsvariablen ξ, ξ,..., die von der Zei abhängig sind. Für diese Zufallsvariablen wird angenommen, dass für n,,... und beliebige Were,..., n τ die n-dimensionale Vereilungsfunkionen Fx,...,x n ;,..., n r{ξ x,..., ξ n x n } exisieren und die Konsisenzbedingung sowie Symmeriebedingung erfüllen. Def. 3 Sochasischer rozess In anderen Woren, ein sochasischer rozess is eine Abbildung ξω, aus Ω x τ in die Menge der reellen Zahlen, die für jeden fesen nichzufälligen arameer τ eine Zufallsgröße ξ und für jedes fixiere ω Ω eine reelle Funkion ξ darsell. Aus dieser Definiion erkenn man zwei wichige Merkmale eines sochasischen rozesses: Zeibereich τ seig oder diskre, endlich oder unendlich und Zusandsraum Ω seig oder diskre. Weiere Eigenschafen eines sochasischen rozesses sind Nachwirkungsgrad Abhängigkei zwischen z. B. aufeinander folgenden Zusänden und die Invarianz des rozesses bezüglich der Zeiverschiebungen saionäre oder zeihomogene rozesse. [6, 7] Saionärer sochasischer rozess: ein rozess ξ heiß saionär, wenn sich die n-dimensionalen Vereilungsfunkionen zu beliebigen arameerweren,..., n τ n,,... bei Verschiebung dieser Were längs der arameerachse um einen beliebigen Wer a nich ändern. Fx,...,x n ; a,..., n a Fx,...,x n ;,..., n Dami sind alle Momene Eξ, Varξ usw. zeiunabhängig. Def. 4 Saionärer sochasischer rozess Das Fehlen einer Nachwirkung besag, dass die Wahrscheinlichkei des Einris einer besimmen Anzahl von Ereignissen in einem beliebigen Zeiabschni [ i, i mi i < i < nich davon abhäng, wie viele Ereignisse vor dem Zeipunk i aufgereen sind. [6, 7] Die Homogeniä besag, dass die Wahrscheinlichkei des Einris einer besimmen Anzahl von Ereignissen in einem beliebigen Zeiabschni [ i, i mi i < i < nur von der Länge, nich aber von der speziellen Lage des Zeiinervalls abhängig is. 7

30 ..3. Markov-rozess mi endlich vielen Zusänden Markovsche rozesse besizen eine signifikane Eigenschaf: jede wahrscheinlichkeisheoreische Aussage über den zukünfigen rozessablauf häng bei bekannem Wer in der Gegenwar nich vom rozessablauf in der Vergangenhei ab. [, 6] Markov-rozess: ein sochasischer rozess mi endlich vielen Zusänden is ein Markov-rozess, falls für n,,... und beliebige Zeipunke a> > n >...> τ und beliebige i, j, i...i n {,...,m} gil r{ ξ a Z ξ Z ξ Z... ξ Z } r{ ξ a Z ξ Z } j i Übergangswahrscheinlichkei: ij, a r{ξa Z j ξ Z i } Def. 5 Markov-rozess n i n i j i Diese Definiion mach deulich, dass ein Markov-rozess von zwei Bedingungen gepräg wird: [] Zusandsbedingung Ein Übergang von einem Zusand Z i in einen anderen Zusand Z i nur vom lezen Zusand Z i und nich von Zusänden davor, d. h. von Zusänden Z k mi k < i abhäng. Zeibedingung Ein Zusandsübergang im ausreichend kleinen Zeiinervall, nur vom Zeipunk und nich von weier zurückliegenden Zeipunken x < abhäng. Tab. Bedingungen eines Markov-rozesses Je nachdem, welche von diesen Bedingungen erfüll bzw. nich erfüll is, lassen sich die abgeleieen rozessypen definieren: [] rozessyp Zusandsbedingung Zeibedingung Homogener Markov- rozess Wird auomaisch durch die Zeibedingung erfüll, denn bei hinreichend kleinen d nur ein sochasischer Zusandsübergang aufreen kann. Erfüll Semi-Markov-rozess Erfüll Nich erfüll Nich-Markov-rozess Nich erfüll Wird auomaisch durch Zusandsbedingung nich erfüll. Tab. Ableiungen eines Markov-rozesses 8

31 Im Weieren werden nur zeihomogene Markov-rozesse berache. [6, 7] Ein Markov-rozess is dann zeihomogen, wenn die Übergangswahrscheinlichkeien ij, a unabhängig von sind, d. h. ij, a ij a Def. 6 Zeihomogener Markov-rozess Die Übergangswahrscheinlichkeien und die Zusandswahrscheinlichkeien eines zeihomogenen Markov-rozesses haben folgende Eigenschafen: [] Anfangszusand i r{ξ Z i } Zusandswahrscheinlichkei j r{ξ Z j } mi j,, m m j i i Übergangswahrscheinlichkei ij a m i ij ij a mi i,, m Übergangswahrscheinlichkei Falls ij differenzierbar sind: ij lim p ij für i j ii lim p i m p i p ij j j i mi i,, m r{mehr als ein Übergang in, ]} o, d. h. die Wahrscheinlichkei für mehr als einen Übergang in geh schneller gegen null, als. Tab. 3 Eigenschafen der Zusands- und Übergangswahrscheinlichkeien Man bezeichne p ij und p i als Übergangsraen mi der Bedeuung: p ij r{übergang von Z i nach Z j in, ]} p i r{ Z i wird verlassen in, ]} 9

32 ..3. Bezug auf die Markov-Mehode Bei der Zuverlässigkeisanalyse von echnischen Sysemen spiel die Markov-Mehode eine Schlüsselrolle. Markov-rozesse können zur Unersuchung des Zeiverhalens der reparierbaren Syseme eingesez werden, wenn alle aufreenden Zufallsgrößen unabhängig und exponeniell vereil gedächnislos sind. Bei der Modellierung is es nüzlich, die in einem Inervall, ] möglichen Übergänge und die dazugehörigen Übergangsraen p ij durch ein Diagramm abzubilden. Dieses Diagramm s. Abb. 8 is ein gericheer Graph mi den Zusänden Z,, Z m als Knoen und den Übergangswahrscheinlichkeien ij als Kanen. [] E E Z Z Z Abb. 8 Übergangswahrscheinlichkeien Die Abb. 8 zeig die möglichen Zusände Z, Z, Z eines redundanen Sysems mi zwei Komponenen E und E. Bezogen auf die Markov-Mehode werden die Übergangsraen p und p in diesem Fall als Ausfallraen bezeichne und durch und ersez. Die Übergangsraen p und p werden dann Reparaurraen genann und durch ersez Annahme: die Komponenen werden gleich schnell durch eine Reparaurmannschaf reparier. Wie die Abb. 8 darsell, läss sich ein sochasischer rozess durch den Tripel Zusand, Zusandsdauer, Zusandsübergang vollsändig kennzeichnen. Für die Zuverlässigkeisberechnung miels Markov-Mehode s. Abschni 3. werden dann die Wahrscheinlichkeien der Zusände Z Z aufgrund der Übergangsraen errechne.

33 . Auszug aus der Zuverlässigkeisheorie Verfahren zur Analyse der Zuverlässigkei werden für die Vorhersage, Bewerung und Verbesserung der Funkionsfähigkei, Verfügbarkei und Insandhalbarkei einer Einhei verwende. Zuverlässigkeisanalysen werden während der Konzep- und Definiionsphase, Enwurfs- und Enwicklungsphase, Beriebs- und Insandhalungsphase in verschiedenen Sysemebenen und Analyseiefen durchgeführ, um die Zuverlässigkei einer Einhei oder des Gesamsysems zu beureilen, zu besimmen und zu verbessern. Sie können auch dafür verwende werden, die Ergebnisse der Analyse mi den fesgelegen Anforderungen zu vergleichen. Zuverlässigkeisvorhersagen werden bei der lanung der Logisik und der Insandhalung verwende, um die Insandhalungshäufigkei und den Teileausch also vorbeugende Warung zu schäzen. Diese Schäzungen beeinflussen häufig wichige Kosenelemene des Lebenszyklus eines echnischen Sysems und sollen bei Unersuchungen sorgfälig angewende werden. Um aussagekräfige Ergebnisse zu erhalen, sollen bei Zuverlässigkeisanalysen alle zur Zuverlässigkei eines echnischen Sysems beiragenden Fakoren berache werden: Hardware, Sofware als auch menschliche und organisaorische Aspeke... Definiionen und Begriffe Die vorliegende Disseraion basier nich nur auf den heoreischen Quellen aus dem Bereich Zuverlässigkei, sondern im Wesenlichen auch auf den inernaionalen und indusriellen Normen. Die nachfolgenden Tabellen s. Tab. 4 - Tab. 6 schaffen einen Überblick über die normaiven Dokumenen, die verwende worden sind. Dependabiliy managemen IEC Dependabiliy managemen. ar : Dependabiliy programme managemen. IEC Dependabiliy managemen. ar : Dependabiliy programme elemens and asks. Specificaion IEC Dependabiliy managemen. ar 3: Applicaion guide. Secion 4: Guide o he specificaion of dependabiliy requiremens. redicion IEC resenaion of reliabiliy, mainainabiliy and availabiliy predicions.

34 IEC Elecronic componens Reliabiliy Reference condiions for failure raes and sress models for conversion. Design review IEC Formal design review. Analyical echniques IEC IEC IEC Dependabiliy managemen. ar 3: Applicaion guide. Secion : Analysis echniques for dependabiliy: Guide on mehodology. Analysis echniques for dependabiliy Reliabiliy block diagram mehod. Applicaion of Markov echniques. Reliabiliy sress screening IEC Dependabiliy managemen. ar 3-7: Applicaion guide Reliabiliy sress screening of elecronic hardware. IEC IEC Reliabiliy sress screening. ar : Repairable iems manufacured in los. Reliabiliy sress screening. ar : Elecronic componens. Sofware aspecs of dependabiliy IEC Dependabiliy managemen. ar 3: Applicaion guide. Secion 6: Sofware aspecs of dependabiliy. Mainainabiliy and mainenance suppor IEC Dependabiliy managemen. ar 3-: Applicaion guide Mainainabiliy. IEC Guide on mainainabiliy of equipmen. ar : Secions one, wo and hree Inroducion, requiremens and mainainabiliy programme. IEC Guide on mainainabiliy of equipmen. ar : Secion five Mainainabiliy sudies during he design phase. IEC IEC IEC Guide on mainainabiliy of equipmen. ar 3: Secions six and seven Verificaion and collecion, analysis and presenaion of daa. Guide on mainainabiliy of equipmen. ar 4: Secion eigh Mainenance and mainenance suppor planning. Guide on mainainabiliy of equipmen. ar 5: Secion four Diagnosic esing.

35 IEC Guide on mainainabiliy of equipmen. ar 6: Secion nine Saisical mehods in mainainabiliy evaluaion. Collecion and presenaion of dependabiliy daa IEC IEC IEC Dependabiliy managemen. ar 3: Applicaion guide. Secion : Collecion of dependabiliy daa from he field. Indusrial-process measuremen and conrol Evaluaion of sysem properies for he purpose of sysem assessmen ar 5: Assessmen of sysem dependabiliy resenaion and specificaion of reliabiliy daa for elecronic componens. Tab. 4 IEC Normen Die möglichen Sressfakoren und Randbedingungen, die bei der Zuverlässigkeisanalyse berücksichig werden müssen, sind in Miliary Handbook s. Tab. 5 ausführlich beschrieben. MIL-STD 756B MIL-STD 88C MIL-STD 69A MIL-HDBK 338B MIL-HDBK 7-F Reliabiliy Modelling and redicion Sysems Safey rogram Requiremens rocedures for performing failure mode Elecronic Reliabiliy Design Handbook RMA Reliabiliy redicion of Elecronic Equipmen Tab. 5 MIL Normen Außerdem sind während der Arbei auch die indusriebezogene Normen verwende s. Tab. 6. SN95 IEEE 35 Reliabiliy redicion of Elecronic Equipmen Siemens AG sandard Guide for General rinciples of Reliabiliy Analysis Tab. 6 Andere Normen Die nachfolgende Tabelle s. Tab. 7 fass die wichigsen Begriffe der allgemeinen rozedur der Zuverlässigkeisanalyse zusammen. Dami jegliche Fehlinerpreaion ausgeschlossen bleib, sind die Originaldefiniionen für Begriffe und Objeke der Zuverlässigkeisanalyse aus der Normenserie IEC 63 gegeben. 3

36 Dependabiliy collecive erm used o describe he availabiliy performance and is influencing facors: reliabiliy performance, mainainabiliy performance and mainenance suppor performance NOTE Dependabiliy is used only for general descripions in non-quaniaive erms. Reliabiliy performance abiliy of an iem o perform a required funcion under given condiions for a given ime inerval 3 Mainainabiliy performance abiliy of an iem under given condiions of use, o be reained in, or resored o, a sae in which i can perform a required funcion, when mainenance is performed under given condiions and using saed procedures and resources 4 Mainenance suppor performance abiliy of a mainenance organizaion, under given condiions, o provide upon demand, he resources required o mainain an iem, under a given mainenance policy 5 Dependabiliy managemen coordinaed aciviies o direc and conrol an organizaion wih regard o dependabiliy 6 Sysem se of inerrelaed or ineracing elemens NOTE In he conex of dependabiliy, a sysem will have a defined purpose expressed in erms of inended funcions; saed condiions of operaion/use 9--; defined boundaries. NOTE The srucure of a sysem may be hierarchical. 7 Iem, eniy any par, componen, device, subsysem, funcional uni, equipmen or sysem ha can be individually considered 8 Componen iem on he lowes level considered in he analysis 9 Life cycle ime inerval beween a produc s concepion and is disposal Allocaion procedure applied during he design of an iem inended o apporion he requiremens for performance measures for an iem o is sub-iems according o given crieria 4

37 Failure erminaion of he abiliy of an iem o perform a required funcion NOTE Afer failure he iem has a faul. NOTE Failure is an even, as disinguished from faul, which is a sae. Faul sae of an iem characerized by inabiliy o perform a required funcion, excluding he inabiliy during prevenive mainenance or oher planned acions, or due o lack of exernal resources NOTE A faul is ofen he resul of a failure of he iem iself, bu may exis wihou prior failure. Tab. 7 Begriffe der Zuverlässigkeisanalyse Die eigenliche rozedur der Zuverlässigkeisanalyse wird im Abschni... beschrieben.... Bedeuung der Zuverlässigkei Als "zuverlässig" bezeichne man im allgemeinen Sprachgebrauch ein echnisches Sysem, auf das man sich verlassen kann. Zum Beispiel, lau ADAC annensaisik, wurde Toyoa Corolla mehrmals als zuverlässigses Auo seiner Klasse bezeichne. Das bedeue aber nich, dass eine anne bei diesem Auo ausgeschlossen is, sondern dass die Wahrscheinlichkei einer anne wesenlich geringer is, als bei den anderen Marken. Deswegen wird im echnischen Bereich der Begriff "Zuverlässigkei" als eine quaniaive Größe im Sinne einer Wahrscheinlichkei aufgefass und verwende. Die echnischen Syseme werden immer komplexer und, was noch wichiger is, ein Ausfall von manchen echnischen Sysemen kann weigehende kaasrophale Konsequenzen haben. Aus diesen Gründen s. Tab. 8 is die Zuverlässigkei und Sicherhei von solchen echnischen Sysemen und Anlagen so bedeusam geworden. Lebenswichige Anlagen Außergewöhnlich euere Anlagen Das sind die Anlagen und echnischen Syseme, deren Ausfall Gesundhei und Leben von Menschen gefährden kann. Als Beispiel an der Selle können medizinische Anlagen oder Verkehrseuerungsanlagen erwähn werden. Das sind die Anlagen, deren Ausfall möglicherweise jahrelange Arbei zuniche machen kann. Zum Beispiel Raumfahranlagen, Saellien, Forschungsapparaur usw. 5

38 Anlagen mi hohem Komplexiäsgrad Lebensdauerprognosen Vermeidung von Reparauren Zuverlässiger heiß billiger Zuverlässiger heiß sicherer Späesens sei der Raumfahrechnik ha man begriffen und besäig gefunden, dass man komplexe Anlagen mi sehr vielen Bauelemenen nich für längere Zei funkionsfähig aufbauen kann, ohne ensprechende Maßnahmen zur Erhöhung der Zuverlässigkei zu ergreifen. Ein Kunde, der ein echnisches Sysem kauf egal ob es eine Waschmaschine oder ein Sysem für Compueromographie is, verlang nich nur Auskunf über die echnischen Kennwere. Er frag auch, wie lange solch ein Sysem uner gegebenen Randbedingungen seine Funkion erfüllen wird. Außerdem will der Kunde anhand der Zuverlässigkeiskenndaen die vorliegende Sysemkonzepion mi Webewerbsproduken vergleichen. Je zuverlässiger ein echnisches Sysem is, deso weniger Reparaurkosen und Sillsandzeien ensehen. Zum Beispiel, ein sehendes Fliessband bei einer Auohersellungsfabrik verursach große finanzielle Verluse. Geräekonzepionen, die infolge aufwendigerer Zuverlässigkeismaßnahmen in der Anschaffung zwar eurer waren, erweisen sich nach längerem Zeiraum infolge ausbleibender Reparauren preiswerer als die billigeren Alernaiven s. Abb. 9. Sicherheiseinrichungen finde man vor allem in Kernkrafwerken sowie in Seuerungssysemen für Flug-, Raum- und Bahnverkehr. Sicherheismaßnahmen verlängern nich unbeding die Lebensdauer eines echnischen Sysems, aber höhere Zuverlässigkei bedeue immer höhere Sicherhei. Tab. 8 Bedeuung der Zuverlässigkei Die Abb. 9 zeig die Relaion Kosen-Zuverlässigkei in Form des MTBF-Weres. [3] Dabei sell die blaue Kurve die Gesamkosen also Anschaffungs- sowie Insandhalungskosen eines Geräs dar. Aus dem Verlauf dieser Kurve kann man einen unk mi minimalen Kosen ermieln, der einem opimalen MTBF-Wer ensprich. 6