Entwurf zum Unterrichtsbesuch im Modul Mathematik Fachdidaktik und im Modul EBB1. Thema der Unterrichtseinheit: Kurvenscharen

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1 Dr. rer. nat. Frank Morherr Lehrer im Vorbereitungsdienst am Studienseminar III für Gymnasien in Oberursel Entwurf zum Unterrichtsbesuch im Modul Mathematik Fachdidaktik und im Modul EBB1 Thema der Unterrichtseinheit: Kurvenscharen Thema der Unterrichtsstunde: Übungsstunde zur Klausur über Rekonstruktionen und Kurvenscharen Fach: Mathematik Klasse: 11.11, 18 Schüler-16 Mädchen und 2 Jungen Schule: Burggymnasium Friedberg Raum: Computerraum (Naturwissenschaften) Datum: Zeit: 11:30-13:00 (UB 12:15-13:00) Ausbilder Fachdidaktik Mathematik: Herr Bermel Ausbilder EBB: Frau Gritschke Mentorin: Frau Schulze

2 Analyse der Lerngruppe Die Lerngruppe habe ich dieses Halbjahr von Herrn Schulze übernommen. Ich unterrichte sie in zwei Doppelstunden pro Woche, montags 5. und 6., donnerstags 7. und 8. Stunde. Die Lerngruppe war am Anfang insgesamt sehr schwach und wenig motiviert. Das hat sich etwas gebessert, das Niveau ist aber immer noch nicht sonderlich hoch. Der Anteil der SuS mit Migrationshintergrund ist groß, auch kommen einige aus dem Hauptschulzweig. Was die Disziplin und Lernbereitschaft angeht, gibt es oft große Probleme. Bei der Kontrolle der Hausaufgaben stellt sich meist heraus, dass nur etwas über die Hälfte die Hausaufgaben gemacht hat. Oft sind Sie auch nach den ersten richtigen Ansätzen nicht weiter gekommen. Die Schülerinnen, die sich noch am meisten mündlich beteiligen und von denen brauchbare Beiträge kommen, sind Gözde C. Lisa L., Marina P. und Nazuferin L.. Letztere hat sich in den letzten Wochen am stärksten entwickelt und trägt am meisten zum Unterricht und zu Hausaufgabenbesprechungen bei. Ich habe auch mit Ihrer Mutter gesprochen und Sie sagte, dass Sie Mathematik im Moment richtig interessant findet. Auch noch relativ rege beteiligen sich Sevgi P. Sajeel R. und Rashid S., wobei letzterer die Klasse wiederholt und in letzterer Zeit nicht nur in meinem Fach eher durch Abwesenheit glänzt. Kaum Beiträge kommen von Lynn H., Marie L. und Luisa V. Bei letzterer ist aber im Vergleich zum Anfang eine Besserung zu bemerken, auch im Verhalten. Ebenso eine erfreuliche Besserung sowohl im Verhalten, als auch im Interesse ist bei Lisa B. zu verzeichnen, wohl auch durch das relativ erfreuliche Klausurergebnis bedingt. Zwei zeigen reges Desinteresse bis Abwertung, Lisa E. und Cosima H., wobei erstere auch eher durch Abwesenheit glänzt und bei der Klausur bei einem Betrugsversuch erwischt wurde. Von der stillen Sorte ist Sabina M., Hazal T. und Fayza Y. Das größte Problem ist Sodaba K., auch wenn Sie zumindest immer da ist. Da sich bei dem letzten UB gezeigt hat, dass die Lerngruppe mit Gruppen, bzw. Partnerarbeit ganz gut zurecht kommt, habe ich auch diese Übungsstunde so angelegt, dass die SuS sich an verschiedenen Stationen in Gruppen gegenseitig beim Lösen der Aufgaben unterstützen können, aber auch alleine arbeiten können, wenn Sie das wollen. Allerdings habe ich es bisher noch nicht in dieser sehr offenen Form probiert. Außerdem werde bei Fragen auch ich unterstützend im Sinne der minimalen Hilfe eingreifen, da dies von den SuS gewünscht wurde. Weiteres hierzu im Stundenziel. Kurzer Überblick zum Lernstand Im ersten Halbjahr bei Herrn Schulze wurden alle bekannten Funktionen wie Polynome, Hyperbeln, Exponential-Funktionen, Logarithmus-Funktion und Winkelfunktionen wiederholt, außerdem Polynomdivision, Umkehrfunktion und Grenzwerte. Mit dem Ableiten wurde angefangen. Ich habe dann die Herleitung der Ableitungsregeln mit dem Differenzialquotienten wiederholt. Anschließend wurden Tangenten und Normalen an Graphen gelegt und berechnet, sowie die Schnittwinkel zwischen zwei Graphen. Anschließend wurde Monotonie und Krümmungsverhalten, sowie die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte durchgenommen. Auch Sattelpunkte kamen vor. In der darauf folgenden Stunde wurden Definitionsbereich, Wertebereich und Symmetrie besprochen und zum ersten Mal alles zu einer kompletten Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen zusammengefügt. Diese wurde dann sowohl im letzten UB in Gruppenarbeit geübt, als auch in darauffolgenden Stunden. Die Klausur hat auch gezeigt, dass die SuS mit diesem Schema ganz gut zurechtkommen. Dies üben Sie auch jetzt wieder bei den einparametrigen Kurvenscharen, wo das Ungewohnte des zusätzlichen Parameters auftritt und man zum Zusammenfassen des Ergebnisses nicht nur einen Taschenrechner, sondern formale Rechenfertigkeit benötigt. Die Kurvendiskussion selber macht hier aber geringe Schwierigkeiten. Nach der Klausur, die auch recht umfangreich war, aber nicht wiederholt werden musste, was bei diesem Kurs schon eine Seltenheit ist, haben wir uns zunächst allgemein mit der Gestalt ganzrationaler Funktionen zu verschiedenen Graden beschäftigt, sowohl dem Unendlichkeitsverhalten und damit, wie viel Nullstellen, Extremstelle und Wendestellen eine solche Funktion haben kann. Hierfür hatte ich schon beim Thema Kurvendiskussion an jede SuS eine eigene Kurvendiskussion verteilt, deren verschiedene Kurven zu verschiedenen Graden ich nachher gesammelt und bezüglich der Gestalt besprochen habe. Auch haben wir besprochen, wie das Berührverhalten einer Funktion mit der x-achse sich in der algebraischen Vielfachheit der Nullstelle

3 wiederspiegelt. Zum Übergang zu den Rekonstruktionen haben wir kurz Funktionen betrachtet, die von einem oder zwei Parametern abhängen und vorgeschriebene Eigenschaften erfüllen sollen. Es folgte ein relativ schneller Übergang zu Rekonstruktionen ganzrationaler Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades, sowohl mit Symmetrie als auch ohne. Hierzu wurden sowohl abstrakte Aufgaben, als auch zwei anwendungsbezogene gerechnet. Um den Schülern einen Sinn für den Realitätsbezug zu vermitteln, habe ich eine Doppelstunde dazu benutzt, um über die Anschlussbedingung gleicher Krümmung zur Vermeidung des Krümmungsrucks bei nicht stetiger Beschleunigung bei zusammenstoßenden Straßen oder Eisenbahnlinien zu reden. Konkret gerechnet wurde hierzu wenig, aber der Sinn und die Anwendung einer Klothoide wurde besprochen. Eine Rekonstruktionsaufgabe aus Mathematik Neue Wege, die keine eindeutige Lösung hatte, sondern eine einparametrige Kurvenschar, diente zum Übergang zu den einfachen (einparametrigen) Kurvenscharen. Hier sind wir bei der Bestimmung von Ortskurven der Extrema stehen geblieben, welche auch mit Geogebra am Computer visualisiert wurden. Für die folgenden Unterrichtsstunden bis zu den Ferien ist das noch fehlende zentrale Thema das der Extremwertaufgaben, welches zentral die Modellierung von Optimierungsproblemen enthält. Wenn ich es am Ende zeitlich schaffe, würde ich noch gerne Einhüllende von Geradenscharen betrachten (siehe auch hier Neue Wege). Anschauliche Beispiele sind hier Stickmuster, die Kaustik in der Kaffeetasse und Kühltürme als einschalige Rotationshyperboloide aus zwei Geradenscharen. Kurzer Überblick zum Stundenziel In der Doppelstunde am kommenden Donnerstag schreiben wir die zweite Klausur, daher soll diese Doppelstunde der weiteren Übung und Wiederholung und Vertiefung der Unterrichtsinhalte dienen. Normalerweise findet die Doppelstunde im Klassenraum O3 im Orgelbau statt. Aufgrund der Notwendigkeiten der Visualisierung von Kurvenscharen zum besseren Verständnis und der Darstellung von Ortskurven, sowie der Möglichkeit der Internetrecherche, habe ich mich entschieden, für diese Doppelstunde in den Computerraum zu gehen. In der ersten Stunde werde ich im Plenum die zwei Kurvenscharen aus der Hausaufgabe besprechen, welches wichtig, da klausurrelevant ist. Auch dafür lässt sich der Computer schon gut einsetzen. Außerdem haben die SuS noch Gelegenheit, weitere Verständnisfragen zum Klausurstoff zu stellen. Für die zweite Stunde habe ich verschieden Stationen mit weiteren Aufgaben zu den Klausurthemen vorbereitet. Die Schüler können sich dann selbstständig, in Einzelarbeit oder in Partner oder Gruppenarbeit sich mit den Aufgaben beschäftigen, die Sie noch üben wollen. Natürlich können Sie auch im Internet selbstständig noch Aufgaben suchen oder Aufgaben von einem von mir ausgeteilten Übungsblatt rechnen. Ich werde dann im Sinne der minimalen Hilfe helfend eingreifen, wo es noch Probleme gibt. Wichtig aber ist, dass die SuS zunächst selbstständig versuchen, die Aufgaben zu lösen, um die Klausursituation zu simulieren, und damit die SuS erkennen, wo Sie noch Schwierigkeiten haben. Falls jemand meint, nicht mehr üben zu müssen, so kann er an einer Station eine Internetrecherche über eines von zwei Themen durchführen. Das Ergebnis präsentiert er am Ende oder in der nächsten Stunde nach der Klausur entweder auf dem Computer oder als Plakat oder Folie. Wichtig zur Sicherung ist, dass alle Schüler Ihre eigene Rechnung und Ergebnisse auf einem Blatt festhalten. Die guten, richtigen und mehr oder weniger vollständigen Ergebnisse werden dann entweder noch präsentiert, oder ich kopiere Sie und verteile Sie am nächsten Tag an alle. Der Vorteil, davon, dass ich die Lösungen zunächst einsammele ist, dass ich eine Dokumentation der Arbeit der SuS habe, an der ich sehen kann, an welchen Stellen es noch Schwierigkeiten gibt. Je nachdem, wie es aussieht und ob bei den SuS der Wunsch besteht, werde ich mir am Dienstag eventuell noch die Stunde von einem Kollegen borgen, mit dem ich das schon abgesprochen habe, damit die SuS noch weiter üben können. Ein Museumsrundgang kann zum Teil stattfinden, aber er kann sicher nicht alle Lösungen abdecken. Falls Bedarf besteht, können alternativ auch Aufgaben im Plenum oder einem Teil der Lerngruppe besprochen werden. Die Kompetenzen die hier gefördert werden sind K5 (mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen), insbesondere auch durch das Rechnen mit Parametern, sowie K6 (Kommunizieren), durch die Partner und Gruppenarbeit. Die Rekonstruktionsaufgaben, in denen die Bedingungen erst anhand einer Skizze gefunden werden müssen, beinhalten den Modellierungsaspekt (K3). Ursprünglich wollte ich statt der Kurvenscharen die Extremwertaufgaben vorziehen und in die Klausur nehmen. Ich habe mich aber aus zwei Gründen dagegen entschieden. Erstens bildet die Behandlung der

4 Kurvenscharen eine Erweiterung der Kurvendiskussion, die auch für eine schwache Lerngruppe ein abarbeitbares Schema darstellt. Zweitens sind die Kurvenscharen abiturrelevant, da fast immer eine Kurvenschar im Abitur zu diskutieren ist und dieses Thema in der Oberstufe in der Regel nicht nochmals behandelt wird. Extremwertaufgaben sind für den Optimierungsaspekt und für Anwendungen extrem wichtig, aber kommen jetzt zeitlich bedingt erst nach der Klausur dran. Außerdem stellt das Aufstellen der Bedingungen eine erhebliche Schwierigkeit für schwache Schüler dar, zumal eine weitere Schwierigkeit über das Auflösen und Einsetzen der Nebenbedingung hinzukommt, welches die Klausur erschwert.

5 Station 1

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7 Station 2

8 Station 3

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10 Station 4

11 Station 5

12 Geplanter Tabellarischer Verlauf: Siehe unten. Literaturverzeichnis [1] Hessisches Kultusministerium (Hrsg.) (2010): Lehrplan Mathematik. Gymnasialer Bildungsgang der Jahrgangsstufen 5G bis 9G und gymnasialer Oberstufe, Wiesbaden. [2] Bigalke, Köhler: Mathematik 11, Cornelsen; 2005 [4] Jahnke, Wuttke (hrsg.): Gymnasiale Oberstufe Mathematik Analysis, Cornelsen; 2009 [5] Lergenmüller, Schmidt: (hrsg): Mathematik Neue Wege, Schroedel 2010 [6] Griesel, Postel: Elemente der Mathematik 11, Schroedel [7] Gerd Brenner u.a.: Fundgrube Methoden, Cornelsen Scriptor, Berlin 2005 [8] Wolfgang Mattes: Methoden für den Unterricht. 75 kompakte Übersichten für Lehrende und Lernende, Schönigh, Paderborn 2002 [9] Hilbert Meyer: Unterrichtsmethodik I+II (Theorie + Praxisband), Cornelsen Scriptor, Berlin 2005 [10] Leuders, Timo: Mathematikdidaktik. Praxishandbuch für die Sekundarstufe 1und 2. Cornelsen Verlag Scriptor, Berlin 2003 [11] Blum u.a.: Bildungsstandards konkret, Cornelsen Skriptor [12] Bülter, Helmut/Meyer, Hilbert: Was ist ein lernförderliches Klima? Voraussetzungen und Wirkungen, PÄD. 11/2004 [13] Albrecht, Achim: Lehrerverhalten im erziehenden Unterricht; PÄD. 9/2004 [14] Meyer,Pfiffner,Walter: Ein unterstutzendes Lernklima erzeugen; PÄD 11/07 [15] Helmke: Aktive Lernzeit optimieren: Was wissen wir über effiziente Klassenführung? ; PÄD. 5/07 [16] Nolting, Hans-Peter: Prävention von Unterrichtsstörungen. Unauffällige Einflussnahmen können viel bewirken, PÄD. 11/06 [17] Segelken, E. : Unterrichtsstörungen vorbeugen; PÄD 11/07 [18] Winkel, Rainer, II: Diagnostische und therapeutische Hinweise, in: Der gestörte Unterricht, Diagnostische und therapeutische Möglichkeiten; Baltmannsweiler 2005 [19] Ritter, Irmela: Unterrichtsstörungen. Die besondere Herausforderung, nicht nur für Berufseinsteiger; PÄD 6/2008 [20] Petersen, Susanne: Regeln und Rituale; PÄD 4/2002 [21] Helmke, A: Aktive Lernzeit optimieren: Was wissen wir über effiziente Klassenführung? ; PÄD. 5/2007

13 Geplanter Tabellarischer Unterrichtsverlauf (ändern) Phase/ Unterrichtsschritte 11:30 Einstieg in die Stunde 11:35 Einstieg in das Thema 11:37 Erarbeitungsphase Unterrichtsgeschehen Begrüßung der SuS, hinweisen auf den Unterrichtsbesuch der in der zweiten Stunde erfolgt Erläuterung des Stundenablaufs und der Methode Erinnerung an die in der letzten Stunde schon behandelten Kurvenscharen und den Begriff der Ortskurve Besprechung der zwei, oder eventuell auch nur einer, der gestellten klausurrelevanten Hausaufgaben. SoS rechnen vor, Lehrer übernimmt an den Stellen, an denen es Probleme gibt Didaktische Funktion/ Intendierte Kompetenzerweiterung/ Förderaspekte Begrüßung Transparenz SuS an das Schema erinnern, mit der Vorgehensweise vertrauter machen, die Berechnung und Bedeutung von Ortskurven festigen Sozialform/ Methode Frontal Frontal Lehrergespräch Frontal Schüler-Schüler-Gespräch und Lehrer-Schüler-Gespräch Material Tafel Tafel Währendessen Sicherung und graphische Darstellung 12:15 Aufstellen der Lernstationen SuS ergänzen, was Ihnen fehlt und zeichnen am Computer die Kurven Sicherung der Ergebnisse, Umgang mit Geogebra Schüler Computer, Tafel, Heft SuS wird Inhalt der Lernstationen erklärt. Transparenz Lehrer Vorbereitete Stationen

14 12:17-12:50 Einzel-/Partner-/ Gruppenphase 12:50 Sammlung und Sicherung Jeder SuS rechnet die Art von Aufgabe, in der er noch Übung braucht Lehrer greift helfend ein und beantwortet Fragen im Sinne der minimalen Hilfe SuS fragen, wie weit Sie gekommen sind, ob Sie noch weitere Übung benötigen und welche Fragen noch zur Klausur zu klären sind. Einsammeln der Arbeitsergebnisse Klärung, ob am nächsten Tag noch eine zusätzliche Übung stattfinden soll. SuS teilen sich selbständig die Arbeit auf und arbeiten miteinander, sehen dadurch, wo Sie noch Probleme haben Schließung von Lücken und Abfragen des Lernstandes Einzel-/Partner-/ Gruppenarbeit Frontal Arbeitsblätter, Computer, eventuell Folien und Plakate Tafel, von den SuS erstellte Plakate und Folien, wenn es Sinn macht 13:00 Stundenende Herunterfahren der Computer

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