Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen

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1 Institut für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Seminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2003/2004 Zuständiger Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Christian Wolff Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten : Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen A. Arten von Zinsoptionen B. Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen 1. Anforderungen an Bewertungsmodelle für Zinsoptionen a) Zinsoptionen im Vergleich zu Aktienoptionen b) Anforderungen aus den spezifischen Eigenschaften von Anleihen c) Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell 2. Klassifikation der Bewertungsmodelle C. Ausgewählte Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen I. Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen 1. Binominalmodell 2. Black-Scholes-Modell 3. Black-Modell 4. Eignung klassischer Modelle zur Bewertung von Zinsptionen II. Rendleman-Bartter-Modell III. Hull-White-Modell 1990 IV. Hull-White-Modell 1993 V. Heath-Jarrow-Morton D. Zusammenfassung der Ergebnisse

2 - 2 - Fragen A. Arten von Zinsoptionen a) Was ist eine Zinsoption? b) Erläutern Sie Funktionsweise und Einsatzmöglichkeiten von Caps, Floors und Collars. c) Was ist ein Caplet? d) Erläutern Sie, warum man einen Cap als eine Staffel von Kaufoptionen auf den Referenzzinssatz ansehen kann. Wie kann man einen Cap als eine Staffel von Verkaufsoptionen auf einen Zinstitel interpretieren? e) Nennen Sie weitere Finanzinstrumente, in denen Zinsoptionen vorkommen und erläutern Sie jeweils die Optionskomponente. B. Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen 1) Anforderungen an ein Bewertungsmodell für Zinsoptionen. a) Erläutern Sie Unterschiede zwischen Zins- und Aktienoptionen. b) Erläutern Sie Eigenschaften von Zinssätzen und Anleihekursen, die bei der Modellierung der Zeitstruktur der Zinssätze Berücksichtigung finden sollten? c) Diskutieren Sie Mean Reversion bei Zinssätzen. d) Welchen generellen Anforderungen muß ein Bewertungsmodell genügen? 2) Klassifikation der Bewertungsmodelle e) Klassifizieren Sie die Modelle zur Bewertung f) Erläutern Sie Ihre Klassifikation. Nehmen Sie zur Abgrenzung von Modellen mit partiellen und vollständigen Informationen sowie von Inversions- und Evolutionsmodellen Stellung. C. Ausgewählte Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen I. Klassische Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen 1) Binominalmodell a) Erläutern Sie den Wertebereich von europäischen und amerikanischen Kaufund Verkaufsoptionen. b) Erläutern Sie die Annahmen des Binominalmodells. c) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Risikoneutralität, Arbitragefreiheit und Duplikationsstrategie. Welche Rendite erwirtschaftet das Duplikationsportfolio? d) Leiten Sie das ein- und zweiperiodige Binominalmodell her und erläutern Sie alle wesentlichen Schritte. e) Warum enthält das Binominalmodell keine Wahrscheinlichkeiten? 2) Black-Scholes-Modell a) Erläutern Sie die Annahmen des Black-Scholes-Modells. b) Wie kann man das Black-Scholes-Modell aus dem Binominalmodell ableiten? c) Erläutern Sie, wie man das Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen auf Anleihen nutzen kann. d) Diskutieren Sie die Eignung des Modells zur Bewertung von Zinsoptionen?

3 - 3 - e) Bewerten Sie die folgende Kaufoption mit dem Black-Scholes-Modell: Basisgut: Eine Nullkuponanleihe mit einer Restlaufzeit von 9 Jahren. Der Rückzahlungsbetrag ist 100 Euro. Die Marktrendite für 9 jährige Nullkuponanleihen beläuft sich auf 7%. Basispreis: 60 Euro Optionsfrist: 3 Monate 3-Monats Zins: 4,3% p.a. (kontinuierlich) Volatilität: 17% f) Erläutern Sie die Reaktion des Optionspreises auf die Veränderung seiner Determinanten. 3) Black-Modell a) Wie können Sie Optionen auf Anleihen mit dem Black-Modell bewerten? b) Welche Unterschiede ergeben sich zum Black-Scholes-Modell? c) Diskutieren Sie die Eignung klassischer Modelle für die Bewertung von Zinsoptionen? II. Rendleman-Bartter-Modell a) Was versteht man unter einem stochastischen Prozess? b) Erläutern Sie die Markov-Eigenschaft. c) Was ist ein Wiener-Prozess? Erläutern Sie die Determinanten. d) Erläutern Sie den Ito-Prozess. e) Erläutern Sie die Grundidee des Rendleman-Bartter-Modells, indem Sie i) den Zinssatz beschreiben, dessen stochastischer Verlauf modelliert wird, ii) den kontinuierlichen Prozess darstellen, dem dieser Zinssatz folgt, iii) den Übergang zum zeitdiskreten Prozess darstellen, iv) auf die Entwicklung des Zinssatzes eingehen, v) den Zusammenhang zwischen Zinssatz und Anleihekurs darstellen und vi) den Zusammenhang zwischen Anleihekurs und Optionswert darlegen. f) Stellen Sie Zusammenhänge zwischen dem Rendleman-Bartter-Modell und Modellen zur Bewertung von Aktienoptionen her. g) Erläutern Sie das Rendleman-Bartter-Modell anhand einer Beispielrechnung. Sie möchten eine 2-jährige amerikanische Kaufoption auf eine 3-jährige Anleihe bewerten. i) Modellieren Sie die Entwicklung des einjährigen Zinssatzes (dt=1) über drei Jahre anhand eines Binomialbaums. Es sind folgende Daten gegeben. Kontinuierliche Drift M: 0,03 Standardabweichung S: 0,15 Der momentane kontinuierliche Zinssatz für einjährige Anlagen beträgt 8%.

4 - 4 - ii) Nehmen Sie an, daß die Anleihe, die der Kaufoption zugrunde liegt, folgende Daten aufweist: Restlaufzeit: Rückzahlungsbetrag: Kupon: 3 Jahre 1000 Euro 6% jeweils zum Jahresende Errechnen Sie an jedem Knoten des Binomialbaums aus i) die Anleihekurse. iii) Errechnen Sie den Wert der 2-jährigen amerikanischen Kaufoption zum heutigen Zeitpunkt, indem Sie rekursiv die Werte der Option, beginnend am Ende der Optionsfrist, ermitteln. Gehen Sie davon aus, daß der Basispreis der Option 970 Euro beträgt. Wie wird die Möglichkeit der frühzeitigen Ausübung der amerikanischen Option erfaßt? h) Wovon hängt die Qualität des Rendleman-Bartter-Modells ab? i) Diskutieren Sie die Eignung des Rendleman-Bartter-Modells zur Bewertung III. Hull-White-Modell (1990) a) Erläutern Sie den stochastischen Prozess für den kurzfristigen Zinssatz. Wie wird die Mean-Reversion-Eigenschaft des kurzfristigen Zinssatzes modelliert? b) Erläutern Sie das Hull-White-Modell (1990) anhand einer Beispielrechnung. Sie möchten eine 2-jährige amerikanische Kaufoption auf eine 3-jährige Nullkuponanleihe bewerten. i) Modellieren Sie die Entwicklung des einjährigen Zinssatzes (dt=1) anhand eines Trinomialbaums. Es sind folgende Daten gegeben: Langfristiges Niveau des kurzfristigen Zinssatzes: 15% Mean-Reversion-Rate a: 0,1 Der momentane Zinssatz für einjährige Anlagen beträgt 8% Standardabweichung : 0,014 Gehen Sie zunächst vom Betrachtungszeitpunkt 0 aus. - Bestimmen Sie zunächst die Veränderung der Zinssatzes dr. Ist dr vom Betrachtungszeitpunkt abhängig? - Bestimmen Sie die erwartete Zinsänderung und die Form der Verästelung. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen der Form der Verästelung und der Mean-Reversion-Eigenschaft des einjährigen Zinssatzes her. - Bestimmen Sie die drei einjährigen Zinssätze für die Anlageperiode, die in einem Jahr beginnt. - Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die Zinssätze. - Lösen Sie sich vom Betrachtungszeitpunkt 0 und entwickeln Sie den Trinomialbaum der Zinssätze für den Betrachtungszeitraum. ii) Zeigen Sie, wie man den Kurs der 3-jährigen Nullkuponanleihe mit einem Rückzahlungsbetrag von 100 Euro an den einzelnen Knoten des Trinomialbaums analytisch und rekursiv bestimmen kann.

5 - 5 - iii) Errechnen Sie den Wert der 2-jährigen amerikanischen Kaufoption zum heutigen Zeitpunkt, indem Sie rekursiv die Werte der Option, beginnend am Ende der Optionsfrist, ermitteln. Gehen Sie davon aus, daß der Basispreis der Option 75 Euro beträgt. Legen Sie die rekursiv ermittelten Kurse der Nullkuponanleihe zugrunde. Wie wird die Möglichkeit der frühzeitigen Ausübung der amerikanischen Option erfaßt? iv) Leiten Sie die jeweils erwarteten einjährigen Zinssätze ab. Wie ermittelt man hieraus die Zeitstruktur der Kassazinssätze? c) Warum unterscheiden sich analytische und rekursive Berechnung? d) Wovon hängt die Qualität des Hull-White-Modell (1990) ab? e) Diskutieren Sie die Eignung des Hull-White-Modell (1990) zur Bewertung IV. Hull-White-Modell (1993) a) Erläutern Sie die Grundidee des Hull-White-Modells (1993). Inwiefern stellt es eine Erweiterung des Modells von 1990 dar? b) Zeigen Sie, wie die Grundidee formal umgesetzt wird. c) Erläutern Sie das Hull-White-Modell (1993) anhand einer Beispielrechnung. Sie möchten eine 2-jährige amerikanische Kaufoption auf eine 3-jährige Nullkuponanleihe bewerten. i) Die folgende Zeitstruktur der Kassazinssätze ist am Markt beobachtbar: 0R 1 =8%, 0 R 2 =8,5% 0 R 3 =9% 0 R 4 =9,5% ( 0 R 1 ist der Zinssatz für Anlagen in 0 über eine Periode, 0 R 2 ist der Zinssatz für Anlagen in 0 über zwei Perioden...). Modellieren Sie die Entwicklung des einjährigen Zinssatzes (dt=1) anhand eines Trinomialbaums. Es sind ansonsten die gleichen Daten gegeben wie in Aufgabe III.b). ii) Zeigen Sie, wie man die den Kurs der 3-jährigen Nullkuponanleihe mit einem Rückzahlungsbetrag von 100 Euro an den einzelnen Knoten des Trinomialbaums analytisch und rekursiv bestimmen kann. iii) Errechnen Sie den Wert der 2-jährigen amerikanischen Kaufoption zum heutigen Zeitpunkt, indem Sie rekursiv die Werte der Option, beginnend am Ende der Optionsfrist, ermitteln. Gehen Sie davon aus, daß der Basispreis der Option 75 Euro beträgt. Legen Sie die rekursiv ermittelten Kurse der Nullkuponanleihe zugrunde. Wie wird die Möglichkeit der frühzeitigen Ausübung der amerikanischen Option erfaßt? iv) Leiten Sie die jeweils erwarteten einjährigen Zinssätze ab. Überprüfen Sie, ob sich die beobachtete Zeitstruktur der Kassazinssätze mit den modellierten Zinssätzen übereinstimmt, indem Sie die entsprechende Zeitstruktur aus den Modellwerten ermitteln. d) Wovon hängt die Qualität des Hull-White-Modells (1993) ab? e) Diskutieren Sie die Eignung des Hull-White-Modells (1993) zur Bewertung

6 - 6 - V. Heath-Jarrow-Morton-Modell a) Erläutern Sie die Grundidee des Heath-Jarrow-Morton-Modells. b) Wovon hängt die Qualität des Heath-Jarrow-Morton-Modells ab? c) Diskutieren Sie die Eignung des Heath-Jarrow-Morton-Modells zur Bewertung D. Zusammenfassung der Ergebnisse a) Vergleichen Sie die impliziten Zinsstrukturkurven der Modelle mit der realen Zinsstrukturkurve. Diskutieren Sie, welches Modell am geeignetsten für die Bewertung von Zinsoptionen ist. b) Diskutieren Sie die unterschiedlichen Bewertungen der in C. vorgestellten Modelle aus Sicht der Solvenzsicherung und Rechnungslegung.

7 - 7 - Literatur Hull, John [2001]# Optionen, Futures und andere Derivate, 4. Auflage, Wien, 2001, S , , Hull, John und Alan White (1990a)# Valuing derivative securities using the explicit finite difference methode. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25. Jg., 1990, S Hull, John und Alan White (1990b)# Pricing interest-rate derivative securities. In: Review of Financial Studies, 3. Jg., 1990, Nr. 4, S Hull, John und Alan White [1993]* One-Factor Interest-Rate Models and the Valuation of Interest-Rate Derivative Securities. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 28, 1993, No. 2, S Jurgeit, Ludwig [1989]# Bewertung von Optionen und bonitätsrisikobehafteten Finanztiteln: Anleihen, Kredite und Fremdfinanzierungsfazilitäten, Hamburg, 1989, S Rendleman, Richard J. und Brit J. Bartter [1980]# The Pricing of Options on Debt Securities. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis, Jg. 15, 1980, S * Grundlagenliteratur # wird ausgelegt