Beschreibende Statistik anhand realer Situationen

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1 Beschreibende Statistik anhand realer Situationen Paula Lagares Barreiro Frederico Perea Rojas-Marcos Justo Puerto Albandoz MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools CP DE - COMENIUS - C21 Universität Sevilla MaMaEuSch wurde unterstützt durch die EU mittels einer teilweisen Förderung im Rahmen des Socrates Programmes und einer teilweisen Förderung durch das Land Rheinland-Pfalz. Der Inhalt des Projektes reflektiert nicht notwendigerweise den Standpunkt der EU, noch unterliegt es irgendeiner Verantwortung seitens der EU.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zufall und Wahrscheinlichkeit Ziele Das Spiel Mus Zufällige Experimente Zufällige Ereignisse und Ereignisfelder Ergebnisse und zufällige Ereignisse Konsistente und inkonsistente Ereignisse Das sichere Ereignis Das unmögliche Ereignis Das Komplement eines Ereignisses Operationen an zufälligen Ereignissen Vereinigung: ein Ereignis oder das andere Durschnitt von Ereignissen: ein Ereignis und ein anderes Differenz von Ereignissen Eigenschaften der Operationen mit Ereignissen Wahrscheinlichkeit Einleitung Definition der Wahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten: empirische Wahrscheinlichkeit Laplace sche Regel: theoretische Wahrscheinlichkeit Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen. Baum Diagramme Ziehen mit Zurücklegen Ziehen ohne Zurücklegen Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Berechnung der Wahrscheinlichkeit in komplexeren Fällen Die bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen Totale Wahrscheinlichkeit Bayes sche Regel Antwort auf die anfängliche Frage

3 3 Eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zielsetzungen Beispiel Einleitung. Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Häufigkeits Cumulative Wahrscheinlichkeitsfunktionen Der Modus Der Erwartungswert Die Varianz Resümee der anfänglichen Frage Ein Beispiel einer diskreten Zufallsvariablen: die Binomialverteilung Ziele Beispiel Einleitung Der Erwartungswert Die Varianz Kontinuierliche Verteilungen: Normalverteilung Ziele Beispiel Einleitung

4 Kapitel 1 Zufall und Wahrscheinlichkeit Lassen Sie uns das Mus Spiel spielen. Die Karten sind ausgeteilt und es ist Zeit sich auf eine Wette einzulassen. Wir müssen bedenken, dass wir nicht alleine spielen sondern gegen andere Spieler antreten. Nervös betrachten wir die neuen Karten, die wir jedesmal bekommen. Welche Karte wird es sein? Sind meine Karten besser als die der anderen? Bevor wir beginnen werden wir uns die Spielregeln und das Ziel des Mus Spiels genauer ansehen. 1.1 Ziele Verständnis über das Konzept des zufälligen Experiments und dessen Unterscheidung von dem deterministischen. Erkennen eines zufälligen Ereignisses nach einem Experiment und Kenntnis über den Unterschied zwischen dem Ereignis und dem Ergebnis. Finden von speziellen Ereignissen: das unmögliche und das sichere Ereignis. Arbeiten mit dem zufälligen Ereignis und Interpretieren der Ergebnisse nach Betrachten von Vereinigung, Durchschnitt und Differenzen. Zuordnen eines einfachen zufälligen Ereignisses auf zwei Arten: von der relativen Häufigkeit und von der Laplace schen Formel. Verständnis über die bedingte Wahrscheilichkeit und deren Anwendung. Verständnis über die Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen und den Wahrscheinlichkeits- Rechenregeln. Arbeiten mit der totalen Wahrscheinlichkeit und der Baye schen Formel; deren Unterschiede und Anwendung der Rechenregeln. 3

5 1.2 Das Spiel Mus In dieser Klasse spielen wir ein einfaches Kartenspiel. Es spielen jeweils zwei pro Team gegen ein anderes Team. Auch wird in diesem Spiel nicht um Geld gespielt. Viel wichtiger ist der Spass. Bevor wir nun mit dem Spiel starten brauchen wir zunächst 40 Karten: Acht Asse Vier Vierer Vier Fünfer Vier Sechser Vier Siebener Vier Buben Vier Damen Vier Könige Die Karten werden gemischt und jeder Spieler bekommt zufällig 4 Karten. Folgende Optionen stehen zur Verfügung: Wenn man zwei gleiche Karten hat und die restlichen zwei sind unterschiedlich und unterscheiden sich von den ersten beiden, dann hat man ein Paar. Zum Beispiel ist dies ein Damenpaar: (Fünf, Dame, Dame, As). Wenn man drei gleiche Karten hat und sich nur die vierte unterscheidet, dann hat man ein Trio. Zum Beispiel: (Sechs, König, König, König)ist ein Königsdreier. Weisen die vier Karten zwei Paare auf dann hat man ein Doppel. Diese können verschieden oder gleich sein. Zum Beispiel sind: (As, König, König, As) und (As, As, As, As) zwei verschiedene Doppel. In diesem Spiel ist ein Doppel mehr wert als ein Trio und ein Trio ist wiederum besser als ein Paar. Sollte ein Spieler zwei Paare, zwei Trio oder zwei Doppel haben dann ist jener Spieler der Gewinner, der die höchsten Karten im Paar, im Trio oder im Paar aufweist. Die Karten werden wie folgt von unten nach oben beginnend bewertet: As, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Bube, Dame, König. Zum Beispiel gewinnt jener Spieler mit einem Doppel von Königen und Assen gegen jenen Spieler mit einem Doppel von Buben und Damen weil das höchste Paar vom ersten Spieler (Königs-Paar) mehr wert ist als das höchste Paar des zweiten Spielers (Damen-Paar). Deswegen ist auch ein Paar von Buben höher bewertet als ein Paar von Sechsen. Sollten zwei Spieler dasselbe Doppel, denselben Trio, dasselbe Paar von gleichen Karten haben, dann gewinnt jener Spieler dessen restliche Karte bzw. restliche Karten höherwertig sind. Haben zwei Spieler identische vier Karten, dann gewinnt jener Speiler, der die Karten als erster bekommen hat, d.h. der Spieler, der rechts vom Kartengeber sitzt. 4

6 Nehmen wir an vier Freunde spielen sehr oft dieses Spiel und haben bemerkt, dass ein Paar von Königen, ein Trio von Königen oder Assen und irgendwelche Doppel zu einer bestimten Zeit immer wieder vorkommen. Sie diskutieren nun welche Schritte für sie selbst am günstigsten wären. Was denken Sie darüber? Beantworten Sie die Frage jetzt noch nicht, sie wird in diesem Kapitel behandelt. 1.3 Zufällige Experimente Beispiel Stellen Sie sich folgende Situation vor: Die Karten des Spiels sind ausgeteilt. Wissen wir bereits vorher welche Karten wir bekommen haben? Wie Sie sehen können wir nicht mit Sicherheit sagen welche Karten wir bekommen haben, da wir sie nicht sehen. Wir können drei Könige und ein As oder vier Buben bekommen. Beide Möglichkeiten, und natürlich viele mehr, können auftreten. Die Tatsache, dass wir vorher nicht wissen können welche Karten wir bekommen heisst Zufälligkeit. In unserem Fall haben wir ein Experiment: Nehmen Sie vier Karten von dem Stapel. Es können dabei unterschiedlichste Kartenzusammenstellungen auftreten. Wir bezeichnen dieses Ereignis als zufälliges Ereignis. Wenn wir das Ergebnis eines Versuchs bereits im Voraus wissen, dann wird dies als bestimmtes Ereignis bezeichnet. Zum Beispiel: Lassen wir einen Stein in unserer Hand plötzlich los, dann wird er zu Boden fallen. Hier gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich dass der Stein zu Boden fällt. Zusammenfassend können wir also sagen, dass bei einem zufälligen Ereignis verschiedene Ergebnisse auftreten können, beim bestimmten Ereignis hingegen gibt es nur ein Endergebnis. Übung Beschreiben Sie zwei zufällige und zwei bestimmte Ereignisse. Definition (Zufälliges Ereignis) Ein zufälliges Ereignis ist ein Vorgang, der im Voraus nicht bekannt ist. 1.4 Zufällige Ereignisse und Ereignisfelder Haben wir das Konzept des zufälligen Experiments verstanden, dann werden wir uns sicherlich fragen welche Resultate möglich sind. Nachdem die Karten ausgeteilt wurden stehen eine Menge von möglichen Kartenkombinationen zur Verfügung. So können wir zum Beispiel folgende vier Karten bekommen (As, König, As, Bube) oder (Vier, König, Fünf, Sieben). Jede dieser Kombinationen wird als zufälliges Ereignis betrachtet. Wie vorhin als zufälliges Ereignis definiert beschreibt z.b. (As, Sieben, Bube, Sechs) ein zufälliges Ereignis. Die Summe aller zufälligen Ereignisse wird als Ereignisfeld bezeichnet und wir kürzen es mit E ab. In unserem Beispiel besteht das Ereignisfeld aus allen möglichen Ereignissen. Übung Lassen Sie uns folgendes zufälliges Ereignis genauer betrachten: Nehmen Sie eine Karte zufällig von dem Kartenstapel. Beschreiben Sie nun das Ereignisfeld dieses Experiments durch Auflisten aller möglichen zufälligen Ereignisse. 5

7 Definition (Ereignisfeld) Alle Ereignisse eines zufälligen Experiments werden im Ereignisfeld E zusammengefaßt. Jede Teilmenge eines Ereignisfeldes ergibt ein Ereignis Ergebnisse und zufällige Ereignisse Wir unterscheiden die verschiedenen Ergebnisse in zwei Gruppen: Ergebnisse und zufällige Ereignisse. Stellen Sie sich vor, Sie betrachten die erste Karte ihrer vier Karten und es ist eine As. Stellen sie sich folgende Ergebnisse vor: die erste Karte ist eine As die erste Karte ist weniger wert als die Sieben Sie werden sicherlich bemerken, dass zwischen diesen zwei möglichen Ereignissen ein gravierender Unterschied besteht. Im ersten Fall legen wir eine bestimmte Karte fest, während wir im zweiten Fall nur einschränken, d.h. die Karte könnte eine As, eine Vier, eine Fünf oder eine Sechs sein. Der zweite Fall (eine Karte weniger wert als Sieben zu ziehen) beschreibt also einen Versuch bei dem mehrere zufällige Ereignisse möglich sind. Zusammenfassend lässt sich aussagen, dass im ersten Fall ein einziges Ergebnis auftritt, während im zweiten Fall ein zufälliges Ereignis beschrieben wird. Im ersten Fall sprechen wir von einen Ergebnis und im zweiten Fall von einem zufälligen Ereignis. Definition Wir sagen, dass das Ergebnis eines zufälligen Ereignisses ein Ergebnis ist, wenn es aus nur einem einzigen Element des Ereignisfeldes besteht. Ansonsten bezeichnen wir dies als ein zufälliges Ereignis. Beispiel Überlegen Sie sich folgendes zufällige Experiment: Nehmen Sie von einem Kartenstapel zufällig eine Karte heraus. Das Ereignisfeld ist wie folgt: Karo As, Karo Zweier,..., Herz König Das Ziehen des Herz Königs ist ein Ergebnis. Aber wenn wir nun das Ziehen des Königs betrachten, dann ist dies ein zufälliges Ereignis, weil es vier Möglichkeiten gibt: Ziehen des Herz Königs, Ziehen des Karo Königs, Ziehen des Schell Königs und Ziehen des Pik Königs Konsistente und inkonsistente Ereignisse Lassen Sie uns zurückkehren zu unserem Kartenspiel. Jeder Spieler bekommt wiederum vier Karten. Wir wollen nun zwei zufällige Ereignisse betrachten: Ereignis A= Zwei von den vier Karten sind Könige Ereignis B= Zwei von den vier Karten sind Asse Ist es möglich, dass das Ereignis A und das Ereignis B zugleich eintreten? Ist es also möglich zwei Könige und gleichzeitig zwei Asse zu ziehen? Ja es ist möglich ein Doppel von Königen und Assen zu ziehen. Da nun das Ereignis A und das Ereignis B zur gleichen Zeit auftreten können bezeichnen wir sie als konsistente Ereignisse. Jedoch ist die Situation nicht immer so klar. Es gibt einen Anzahl an Ereignissen, die niemals gleichzeitig auftreten können. Stellen Sie sich folgende zwei Ereignisse vor: 6

8 Ereignis C = Drei von vier Karten sind Könige Ereignis D = Zwei von vier Karten sind Asse Und wir fragen uns wiederum: Ist es möglich, dass das Ereignis C und das Ereignis D gleichzeitig eintreten können? Ist es also möglich drei Könige und zwei Asse zu ziehen? Es ist unmöglich, da wir ja nur vier Karten ziehen! Das Ereignis C und das Ereignis D können also nicht im selben zufälligen Experiment vorkommen. Wir bezeichnen sie als inkonzistente Ereignisse. Übung Finden Sie ein Paar von konsistenten und ein Paar von inkonsistenten Ereignissen; diese müssen von den gegebenen Beispielen unterschiedlich sein, sollen aber demselben zufälligen Ereignis angehören. Definition Haben wir zwei zufällige Ereignisse in einem zufälligen Experiment, dann bezeichnen wir sie als konstistent, wenn sie gleichzeitig vorkommen können und als inkonsistent wenn sie niemals zur gleichen Zeit eintreten können Das sichere Ereignis Wir nehmen nun unseren Kartenstapel und teilen ihn in zwei Teile. In dem einen Teil befinden sich die Asse (acht Karten) und im anderen Teil die restlichen 32 Karten. Wir betrachten nun den Teil mit den Assen und ziehen willkürlich eine Karte. Können wir wissen welche Karte es sein wird? Ja wir können. Wir können annehmen, dass die Karte eine As ist. Dises Beispiel beschreibt ein sicheres Ereignis, ein Ereignis, dass mit Sicherheit eintritt. Übung Finden Sie nun in dem Mus Spiel ein sicheres Ereignis mit ihren vier Karten. Definition Ein sicheres Ereignis ist ein zufälliges Ereignis eines zufälligen Experiments, das immer eintritt. Jedes Ereignisfeld besteht aus dem sicheren Ereignis Das unmögliche Ereignis Jedoch können wir in demselben zufälligen Ereignis sicher sein, dass wir keine Sechs ziehen werden, weil der Kartenstapel ja nur aus Assen besteht. Das zufällige Ereignis eine Sechs zu ziehen ist daher ein unmögliches Ereignis. Übung Beschreiben Sie nun ein unmögliches Ereignis basierend auf dem Mus Spiel, mit vier Karten. Definition Wir sagen, ein zufälliges Ereignis ist ein unmögliches Ereignis, wenn es niemals vorkommt. 7

9 1.4.5 Das Komplement eines Ereignisses Nehmen wir wieder an, die Karten werden in zwei Stapel geteilt: im ersten Stapel befinden sich alle Könige und alle Asse (16 Karten) und im zweiten der Rest der Karten (24 Karten). Wir ziehen nun eine Karte vom ersten Stapel. Betrachten wir die Ereignisse: A= Die gezogene Karte ist eine As B= Die gezogene Karte ist ein König Die spezielle Eigenschaft dieser Ereignisse ist, dass das Ereignis A niemals eintreten kann wenn das Ereignis B eintritt, und umgekehrt kann auch das Ereignis B nicht eintreten wenn bereits A vorkommt. Eines der beiden Ereignisse kommt immer vor. Beide sind inkonsistente Ereignisse, d.h. sie können niemals gleichzeitig eintreten. Das eine Ereignis ist jeweils das Komplement des anderen Ereignisses. Übung Beschreiben Sie komlementäre Ereignisse nachdem Sie willkürlich eine Karte des Mus Spiels ziehen. Definition Zwei Ereignisse werden als Komplement bezeichnet, wenn sie inkonsistent sind (Sie können niemals gleichzeitig eintreten) und eines immer vorkommt. Wenn wir das Ereignis mit A bezeichnen dann wird das Komplement mit A oder A c bezeichnet. 1.5 Operationen an zufälligen Ereignissen Auf die selbe Weise wie wir mit Zahlen operieren (addieren, subtrahieren, multiplizieren,...) so operieren wir auch mit zufälligen Ereignissen. Die Operationen unterscheiden sich dadurch, dass bei zufälligen Ereignissen von Vereinigung, Durchschnitt und Differenz gesprochen wird Vereinigung: ein Ereignis oder das andere Wir wollen nun wieder an das Mus Speil denken, wo jeder Spieler 4 Karten bekommt. Das zufällige Ereignis ist also das willkürliche Ziehen von vier Karten aus dem Kartenstapel. Lassen Sie uns zwei mögliche Ereignisse dieses zufälligen Ereignisses beschreiben: A= Besitzen von zwei Königen B= Besitzen einer As Nehmen wir nun an, dass unsere Karten (As, Bube, Sieben, Sieben) sind. Ist nun das Ereignis A eingetreten? Nein, denn wir haben nicht zwei Könige unter unseren vier Karten. Ist das Ereignis B eingetreten? Ja, denn wir haben eine As unter unseren vier Karten. In diesem Fall sagen wir, dass das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt und schreiben A B. Haben wir nun zwei zufällige Ereignisse und eines der beiden oder sogar beide treten ein dann sprechen wir vona B. 8

10 Übung Wiederum haben wir das Mus Spiel im Hinterkopf und spielen mit vier Karten. Stellen sie sich folgende Ereignisse vor: A= Wir ziehen drei Könige B= Wir ziehen drei Asse Beschreiben Sie nun ausgehend von dieser Angabe das Ereignis A B. Definition Gegeben sei ein Ereignis A und ein Ereignis B. Wir definieren das Ereignis A oder B( und schreiben dafür A B) so, dass ein Ereignis der beiden oder sogar beide eintreten. Bemerkung: Sind beide Ereignisse gegeben, dann ist auch A B gegeben Durschnitt von Ereignissen: ein Ereignis und ein anderes Lassen Sie uns nun zwei neue zufällige Ereignisse betrachten, indem wir wieder vier Karten des Mus Spielstaplels ziehen. A= Ziehen von zwei Assen B= Ziehen von einer Sieben Stellen Sie sich vor wir erhalten folgende vier Karten: (As, König, Sieben, As). Ist nun das Ereignis A eingetreten? Ja, denn wir haben zwei Asse unter unseren Karten. Wie sieht es mit dem Ereignis B aus? Dieses ist auch eingetreten, da unsere dritte Karte eine Sieben ist. Beide Ereignisse A und B sind eingetreten. Wir bezeichnen diese Ereignis mit A B. Übung Denken Sie über folgende zufällige Ereignisse, nach dem Ziehen von vier Karten, nach: A= Ziehen von zwei Königen B= Ziehen von zwei Assen Beschreiben Sie nun ein Ereignis in welchem das Ereignis A B eintritt und ein anderes Ereignis in welchem A B eintritt. Definition Gegeben sei ein Ereignis A und ein Ereignis B. Das Ereignis A UND B ist definiert als ein zufälliges Ereignis, in welchem sowohl A als auch B eintritt. Wir schreiben A B. Beachten Sie: wenn der Durchschnitt zweier zufälliger Ereignisse das unmögliche Ereignis ( )ist dann sind die Ereignisse inkonstistent (siehe Definition der inkonstistenten Ereignisse). Wenn der Durchschnitt nicht das unmögliche Ereignis ist, dann sind die beiden Ereignisse konstistent Differenz von Ereignissen Wieder betrachten wir zwei neue Ereignisse: A= Ziehen von drei Buben B= Ziehen eines Königs 9

11 Nach dem Austeilen der Karten haben wir (Bube, As, Bube, Bube). Ist das Ereignis A eingetreten? Natürlich, wir haben ja drei Buben unter unseren vier Karten. Ist das Ereignis B auch eingetreten? Nein, denn in keiner unserer vier Karten läßt sich ein König finden. Wir sagen nun, dass das Ereignis A minus B eingetreten ist und schreiben A \ B. Immer wenn also ein Ereignis eintritt und ein anderes nicht dann sprechen wir von der Differenz von zwei Ereignissen. Übung Sehen wir uns nun folgendes Experiment genauer an: A= Wir habe zwei Asse B= Wir haben zwei Buben Versuchen Sie nun ein passendes Ereignis A \ B und ein passendes Ereignis B \ A zu beschreiben. Definition Gegeben sei ein Ereignis A und ein Ereignis B. Das Ereignis A \ B ist definiert als das Eintreten des Ereignisses A und das Nicht- Eintreten des Ereignisses B Eigenschaften der Operationen mit Ereignissen Die folgenden Eigenschaften sind von Bedeutung. Zuvor definieren wir das sichere Ereignis mit E und das unmögliche Ereignis mit. Das Ereignis A, B und C sind beliebige zufällige Ereignisse, Teilmengen des Ereignisfeldes und A c bezeichnet das Komplement des Ereignisses A. Vereinigung: A B = B A, A E = E, A = A, A A c = E Durchschnitt: A B = B A, A E = A, A =, A A c = Differenz: A \ B = A B c De Morgan sche Regel: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c Zusätzliche Eigenschaften: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 10

12 Kapitel 2 Wahrscheinlichkeit 2.1 Einleitung Im vorigen Kapitel haben wir das zufällige Ereignis genauer betrachtet und sind zum Schluss gekommen, dass wir hierbei keine Sicherheit über ein Ergebnis erhalten. In anderen Worten haben wir es mit einer Unsicherheit zu tun, die wir messen werden. Diese Zahl werden wir dann Wahrscheinlichkeit benennen. Nehmen wir zum Beispiel zufällig eine Karte vom Kartenstapel. Wir können im Voraus nicht vorhersagen welche Karte es sein wird. Jedoch wissen wir, dass im Stapel mehr Asse als Siebener sind und so wäre es naheliegend zu denken, dass die Wahrscheinlichkeit höher ist eine As als einen Siebener zu ziehen. So hat die As eine höhere Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden als die Sieben. In diesem Kapitl möchten wir uns näher mit den verschiedenen Techniken der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses beschäftigen. Übung Schreiben Sie zwei Ereignisse, basierend auf den Mus Spiel, zusammen von welchen Sie denken, dass sie unterschiedlich oft eintreten (verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben) und erklären Sie warum Definition der Wahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten: empirische Wahrscheinlichkeit Im obigen Teil definierten wir die Wahrscheinlichkeit als eine Zahl, die wir jedem Ereignis zuordnen. Mit dieser Zahl wollen wir auch die Häufigkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses beschreiben. Ein direkter Weg die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses zu bestimmen ist es eine Tabelle, in der die relativen Häufigkeiten des Ereignisses zu finden sind, anzusehen. Die Wahrscheinlichkeit wird als empirische Wahrscheinlichkeit bezeichnet da sie nach dem Experiment erst aufgestellt werden kann. Wenn also ein Experiment n mal durchgeführt wurde und wir sehen, dass in k Fällen das Ereignis eingetreten ist, dann bezeichnen wir dies mit A. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des 11

13 Ereignisses A ist also k n, und wir schreiben dafür P (A). D.h. also: P (A) = k n Beispiel Nehmen wir an wir ziehen wiederum Karten vom Kartenstapel, eine nach der anderen. Nachdem wir die Karte gesehen haben legen wir sie wieder zurück bevor wir die nächste ziehen. Schlussendlich erhalten wir folgende Häufigkeitstabelle: Karte Relative Häufigkeit As Vier Fünf Sechs Sieben Bube Dame König 200 Von dieser Tabelle können wir folgende Wahrscheinlichkeiten anlesen: P( Die Karte ist eine As )= = 0 19 P( Die Karte ist eine Vier )= = P( Die Karte ist eine Fünf )= = P( Die Karte ist eine Sechs )= = 0 12 P( Die Karte ist eine Sieben )= P( Die Karte ist ein Bube )= = P( Die Karte ist eine Dame )= = 0 09 P( Die Karte ist ein König )= = 0 19 Nehmen Sie an wir machen dies 1000 mal, dann erhalten wir folgende relative Häufigkeiten: Karte Relative Häufigkeit As Vier Fünf Sechs Sieben Bube Dame König 1000 Ausgehend von dieser Tabelle können wir auf folgende neue Wahrscheinlichkeiten schließen: P( Die Karte ist eine As )= = P( Die Karte ist eine Vier )= = P( Die Karte ist eine Fünf )= = P( Die Karte ist eine Sechs )= = P( Die Karte ist eine Sieben )= = P( Die Karte ist ein Bube )= = P( Die Karte ist eine Dame )= = P( Die Karte ist ein König )= =

14 Wenn wir verstanden haben, dass die Wahrscheinlichkeit einen Zahl ist, die jedem zufälligen Ereignis zugeschrieben wird, dann können wir sagen, dass das Ereignis die gezogene Karte ist ein König häufiger auftritt, bzw. eine höhere Wahrscheinlichkeit ausweist, als das Ereignis die gezogene Karte ist eine Sieben, da ja P(König) > P(Sieben). Das Ereignis die gezogene Karte ist ein Bube ist wahrscheinlicher als das Ereignis die gezogene Karte ist eine Dame,... Bemerkung Diese Möglichkeit der Wahrscheinlichkeitsbestimmung basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten. Jedem Ereignis wird eine Zahl zugeordnet (die Wahrscheinlichkeit) sodass bei mehrfachen Wiederholen des zufälligen Experiments die relativen Häufigkeiten des Ereignisses immer besser mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses übereinstimmen. Je mehr zufällige Experimente durchgeführt werden, desto besser stimmt die relative Häufigkeit mit der speziellen Zahl (Wahrscheinlichkeit) überein. Nehmen wir etwa 100 Karten wie im vorigen Beispiel, dann ist die Zuverlässlichkeit der Wahrscheinlichkeit nicht so hoch als wie wenn man 200 Karten gezogen hätte. Und zieht man Karten anstatt 1000 Karten, dann ist die Wahrscheinlichkeit näher an der wirklichen Wahrscheinlichkeit als bei 1000 Karten. In jedem Fall ist die Tabelle die man nach 1000 Durchführungen des Experiments erhält verlässlicher als jene nach 200 Durchführungen. Übung Führen Sie folgendes Experiment durch: Teilen sie 20 mal die Karten des Mus Spiels aus und nehmen Sie vier Karten ohne sie zuzückzulegen und notieren sie sich ob in jeder Austeilung: ein Paar, ein Trio, ein Doppel oder nichts davon aufgetreten ist. Machen Sie nun eine Tabelle wo Sie die relative Häufigkeiten des Experiments eintragen und bestimmen Sie dann die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Ereignisse (Paar, Trio, Doppel, nichts). Denken Sie, dass diese Wahrscheinlichkeiten zuverlässig sind? Warum? Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit einem anderen Zugang zur Wahrscheinlichkeit. Hier müssen wir nicht ein Experiment durchführen um auf die Wahrscheinlichkeiten zu kommen deshalb ist dieser Zugang oft einfacher als jener den wir zuvor besprochen haben (relative Häufigkeiten) Laplace sche Regel: theoretische Wahrscheinlichkeit Wie Sie gesehen haben ist die Wahrscheinlichkeit, über die relativen Häufigkeit definiert, oft zu langwierig. Ein Experiment muss öfters wiederholt werden um ein vernünfiges Ergebnis zu erzielen. Und selbst dann können wir nicht sicher sein die genaue Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Aus diesem Grund ist es nötig eine alternative, besser anwendbare Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einzuführen. Stellen wir uns folgendes Beispiel vor: Wir haben den Stapel mit Karten des Mus Spiels vor uns liegen und ziehen nun eine Karte. Wir wollen nun die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse wissen. Nun gut, logisch denken wir, dass der Kartenstapel ordentlich zusammengestellt ist und dass wir eine Karte mit der selben Wahrscheinlichkeit ziehen wie alle anderen Karten. Es sind also keine Karten fehlerhaft und so können wir irgendeine von den 40 Karten mit gleicher Wahrscheinlichkeit 13

15 ziehen. In diesem Fall sagen wir die Karten sind gleichwahrscheinlich. Ein anderes gleichwahrscheinliches Ergebnis wäre eine gewürfelte Nummer d.h. die Eins, Zwei,..., Sechs werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt. Ein anderes Beispiel ist das Münzenwerfen: Hier haben wir auch mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder Kopf oder Zahl, natürlich unter der Voraussetzung dass die Münze bzw. der Würfel nicht präpariert sind. Kehren wir nun zu unserem Ausgangsbeispiel dem Mus Spiel zurück. Wir haben 40 Karten, alle mit gleichem Gewicht, Form,... Unter den 40 Karten befinden sich 8 Asse und so schließen wir daraus, dass 40 Durchgängen die As 8 mal gezogen wurde. Dies ist jedoch sehr theoretisch und Sie werden bemerken, dass Sie nicht immer 8 Asse nach 40 Durchgängen erhalten (Sie können auch 3 oder 12 Asse ziehen, je nach Zufall). Die Tatsache aber, dass sich 8 Asse in dem Kartenstapel befinden gibt uns eine Idee, wie wahrscheinlich es sein kann eine As zu ziehen. 8 Wir sagen die Wahrscheinlichkeit eine As zu ziehen ist 40. Dies ist eine theoretische Wahrscheinlichkeit und wir müssen die Durchgänge wiederholen. In der Praxis erhalten wir natürlich nicht immer 8 Asse nach 40 Durchgängen. In diesem Fall, da wir gesamt 40 Karten haben kommen wir zu dem Schluss, dass hier 40 mögliche Ergebnisse auftreten können (wir können 40 verschiedene Karten vom Kartenstapel ziehen) und 8 Ergebnisse die wir anaysieren können, z.b. das Ziehen einer As, da sie 8 Möglichkeiten hat aufzutreten. Da wir nun die Konzepte eingeführt haben können wir zur Laplace schen Definition der Berechnung der Wahrscheinlichkeit übergehen: Definition Wenn alle Ergebnisse eines zufälligen Experiments gleich wahrscheinlich sind dann beschäftigen wir uns mit dem zufälligen Ereignis dieses zufälligen Experiments genannt A. Es gilt: Anzahl der Ergebnisse in A P (A) = Anzahl aller Ergebnisse Die Anzahl der Ereignisse in A ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses A. Diese Definition war die erste formale Definition in der Geschichte und geht zurück auf Pierre Simon de Laplace am Beginn des 19. Jahrhunderts. Nach dieser Erklärung können Sie folgende Übung bewältigen: Übung Berechnen Sie, unter Verwendung der Laplace schen Regel, die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens jeder Karte nach zufälligem Ziehen einer Karte vom Mus Spielkartenstapel. 2.2 Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen. Baum Diagramme In diesem Abschnitt möchten wir gerne einige neue und kompliziertere zufällige Experimente einführen. Anstatt immer nur eine Karte nach der anderen zu ziehen, ziehen wir nun mehrere Karten. Nach Studieren dieses Unterkapitels werden Sie im Stande sein alle verschiedenen Schritte im Mus Spiel zu analysieren. 14

16 2.2.1 Ziehen mit Zurücklegen Lassen Sie uns mit einer einfachen Situation beginnen. Wir ziehen zwei Karten vom Mus Spiel Kartenstapel, eine nach der anderen und mit Zurücklegen der Karte nachdem wir sie angesehen haben. Dieser Vorgang wird als SZiehen mit Zurücklegen bezeichnet. Bezeichnen wir A 1 mit dem Ereignis Die erste Karte ist ein König und A 2 mit dem Ereignis Die zweite Karte ist ein Bube. Wir können uns nun fragen wie hoch die Wahrscheinlichkeit des Eintretens beider Ereignisse zur selben Zeit ist; also die erste gezogene Karte ist ein König und die zweite gezogene Karte ist ein Bube. Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen skizzieren wir folgendes Diagramm, welches als Baum Diagramm bezeichnet wird: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein König und die zweite Karte ein Bube ist setzt sich zusammen als Multiplikation des Pfades welcher zum gewünschten Ergebnis führt (Produktregel): = 1 50 Wenn wir uns nur für beide Karten (König und Bube) interessieren und uns die Reihenfolge ihres Auftretens egal ist, dann haben wir entweder (König, Bube) oder (Bube, König). Sei B 1 das Ereignis Die erste Karte ist ein Bube und B 2 das Ereignis Die zweite Karte ist ein König. Für das Eintreten der Kombination (Bube, König) ist das Ereignis B 1 B 2 nötig. Aus demselben Grund wie vorhin, unter Verwendung eines ähnlichen Baumdiagramms, erhalten wir als Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von (Bube, König) = Um nun die Wahrscheinlichkeit für das Erhalten von Bube und König, ohne Rücksicht auf die Reihenfolge, zu berechnen müssen wir die Wahrscheinlichkeiten von vorhin addieren: (König, Bube) + (Bube, König ) (Additionsregel) Und wir erhalten = Übung In dem zufälligen Experiment von vorhin berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Asse sind. Zeichnen Sie auch ein passendes Baum Diagramm. Im folgenden Abschnitt befassen wir uns nun mit dem Fall, dass die Karten nach dem Ziehen und Ansehen nicht zurückgelegt werden. 15

17 2.2.2 Ziehen ohne Zurücklegen In dem zufälligen Experiment von vorhin haben wir die Karten nach dem Ansehen wieder zurückgelegt. Was passiert wenn wir die Karten nicht zurücklegen? Nun gut, die Sache ändert sich, aber die Begründung ist ähnlich. Das einzige was sich ändert ist die zweite Wahrscheinlichkeit, jene Wahrscheinlickeit beim zweiten Ziehen. Dies ist logisch den die Ausgangssituation ist in beiden Fällen die gleiche. Am Anfang ziehen wir immer aus 40 Karten. Beim zweiten Ziehen stehen uns in diesem Fall aber nur mehr 39 Karten zur Verfügung, da die erst Karte ja nicht zurückgelegt wird. Wenn wir wie oben zuerst einen König und dann einen Buben ziehen möchten dann ist das Baum Diagramm dasselbe. Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Ziehung ändert sich jedoch. Lassen Sie uns nun auch für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit einen König und einen Buben zu ziehen berechnen unter der Voraussetzung, dass wir die Karten nicht wieder zurücklegen. Dieses Vorgehen wird als Ziehen ohne zurücklegen bezeichnet. Das Baum Diagramm dieses Experiments sieht ähnlich aus wie das vorige: In diesem Fall haben wir die Wahrscheinlichkeit des Ziehens von (König, Bube) Beachten Sie, dass in diesem Fall der zweite Faktor 4 39 lautet, da wir beim zweiten Mal ja nur mehr 39 Karten zur Verfügung in denen 4 Buben zu finden sind. Auf einen vergleichbare Weise können wir auch die Wahrscheinlichkeit der Kombination (Bube, 4 König) berechnen. Sie ist: Und wiederum müssen wir nur die einzelen Wahrscheinlichkeiten miteinander addieren (Additionsregel) wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Ziehens eines Königs und eines Bubens, ohne 4 Rücksicht auf die Reihenfolge, berechnen möchten. Wir erhalten: = Übung Bearbeiten Sie dieselbe Übung wie zuvor nur unter der Voraussetzung dass ein SZiehen ohne zurücklegen vorliegt. 2.3 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Wir wollen nun eine abstraktere Definition der Wahrscheinlichkeit einführen. Die folgenden Grundprinzipien nehmen wir als wahr an und nennen sie Axiome. Die Axiome lauten: 16

18 1. Für jedes Ereignis A ist dessen Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 0 und 1. Es gilt: 0 P (A) 1 2. P (E) = 1, wobei E das sichere Ereignis bezeichnet. 3. Sind A und B zwei inkonsistente Ereignisse dann gilt: P (A B) = P (A) + P (B) Von diesen Axiomen ausgehend können wir eine beträchtliche Anzahl an Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit ableiten: 1. Bezeichnen wir A c als Komplement des Ereignisses A, dann gilt: P (A c ) = 1 P (A) Übung Beweisen Sie diese Eigenschaft mit Hilfe der Axiome. 2. Haben wir eine Reihe von Ereignissen A 1, A 2,..., A n, und sind diese paarweise inkonsistent (A i A j = i j), dann gilt: n P ( A i ) = i=1 n P (A i ) Als Spezialfall betrachten wir den Fall wenn die Reihe der Ereignisse A 1, A 2,..., A n n i=1 A i = E erfüllt, wobei E das sichere Ereignis ist. In diesem Fall sagen wir, dass die Reihe der Ereignisse A 1, A 2,..., A n eine vollständige Reihe von Ereignissen darstellt, und es gilt: n i=1 P (A i) = 1 3. Kann das Ereignisfeld in n Ergebnisse oder einzelne Ereignisse zerfallen, E = {x 1,..., x n }, dann gilt: i=1 P (x 1 ) + P (x 2 ) P (x n ) = n P (x i ) = 1 Spezialfall: Ist die Wahrscheinlichkeit in jedem einzelen Ereignis oder Ergebnis dasselbe, P (x i ) = 1/n, und das Ereignis A besteht aus k Ergebnissen, dann gilt: P (A) = k/n, welches die Laplace sche Regel darstellt. 4. Sind A und B zwei zufällige Ereignisse dann gilt: i=1 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Diese Eigenschaft trifft auch im Falle von drei Ereignissen zu, und wir erhalten: P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) 17

19 Beispiel Gehen Sie von folgenden Experiment aus: Wir ziehen vier Karten vom Mus Kartenstapel ohne diese wieder zurückzulegen. Zusätzlich notieren wir uns ob die gezogene Karte eine höhere Karte (Bube, Dame, König) ist oder nicht. Am Ende zählen wir die aufgetretenen höheren Karten zusammen. Denken Sie sich folgendes Ereignisfeld die Anzahl der höheren Karten, die wir gezogen haben (0,1,2,3 ó 4). a)beschreiben Sie das Ergebnis und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten. Die Ergebnisse lauten A i = wir haben i... Karten, i = 0, 1, 2, 3, 4 Da ja 16 höhere Karten im gesamten Kartenstapel existieren, wenden wir nun die Laplas sche Regel an. Die Wahrscheinlichkeit zufällig eine Karte vom Mus Spielkartenstapel zu ziehen ist = und die Wahrscheinlichkeit dass die Karte keine höhere Karte ist 40 = 3 5. Von diesen Berechnungen und der vorigen Erklärungen sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse folgend berechnet wird: P (A 0 ) = ( 3 5 )4, P (A 1 ) = (3 5 )3, P (A 2 ) = 6( 2 5 )2 ( 3 5 )2, P (A 3 ) = 4( 2 5 )3 3 5, P (A 4) = ( 2 5 )4 b)wenn B = Wir haben eine höhere Karte gezogen, berechnen Sie P (B). Es gilt dass B = A c 0,also, P (B) = P (A c 0) = 1 P (A 0 ) = 1 ( 3 5 )4 = c) C = Wir haben drei oder mehr höhere Karten gezogen C = A 3 A 4, also A 3 A 4 =. Es gilt P (C) = P (A 3 A 4 ) = P (A 3 )+P (A 4 ) = 4( 2 5 ) (2 5 )4 = 2.4 Berechnung der Wahrscheinlichkeit in komplexeren Fällen Die bedingte Wahrscheinlichkeit Wir teilen die Karten erneut. Es wird eine nach der anderen Karte ausgeteilt und wir erhalten unsere Karten nach der 4. Runde, der letzten Runde. Der erste Spieler hat einen König, der zweite Spieler hat eine As und der dritte Spieler hat einen Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine As erhalten? Wenden wir die Laplac sche Regel an dann beträgt die Wahrscheinlichkeit eine As zu haben 7 37, da ja bereits drei Karten ausgeteilt wurden und 37 Karten übrigbleiben und eine As ist bereits an den zweiten Spieler gegangen. Folglich befinden sich noch 7 Asse im Kartenstapel. Stellen Sie sich nun vor kein Spieler hätte eine As erhalten. Was hoch wäre dann die Wahrscheinlichkeit? In diesem Fall wären 8 Asse im Kartenstapel, folglich wäre die Wahrscheinlichkeit: Stellen Sie sich diesmal vor zwei Spieler hätten eine As bekommen. Wie hoch ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit eine As zu erhalten? Sie wäre Wie Sie sehen ändert sich der Wert der Wahrscheinlichkeit eine As zu erhalten ständig und hängt auch von den Karten, die unsere Rivalen erhalten haben ab. Also hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignises auch davon ab wieviel Infomationen wir vor dem Experiment erhalten. In diesem Fall ist die Information, die wir zuvor erhalten, die Spielkarten unserer Gegner, d.h. wir wissen welche Karten nicht im Stapel sein werden wenn wir an der Reihe sind. In diesen Fällen ist es sehr einfach die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Jedoch benötigen wir für schwierigere Fälle eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Lassen Sie uns nun zum vorhin erklärten Beispiel zurückkehren. Bezeichnen wir das Ereignis A mit Meine Karte ist eine As A und das Ereignis B mit Die ersten drei Spieler haben: einen 18

20 König, eine As bzw. einen Buben erhalten, dann müssen wir P (A) berechnen, wobei wir die Karten der anderen Spieler wissen, d.h. wir wissen, dass das Ereignis B eingetreten ist. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter Voraussetzung des Ereignisses B berechnen und schreiben A/B. Für die Berechnung wenden wir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit an, die lautet: P (A/B) = P (A B) P (B) Wir müssen also P (A B) und P (B) berechnen. Zur Berechnung von P (B) wenden wir das bereits kennengelernte Konzept Ziehen ohne zurücklegen an und erhalten: P (B) = 8 40 während es für das Eintreten von A B nötig ist dass die vier Spieler einen König, eine As, einen Buben und eine As erhalten. Die Wahrscheinlichkeit von A B ist P (A B) = Nun wenden wir die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an: P (A/B) = P (A B) P (B) = = 7 37 In diesem Fall hätten wir auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeit auskommen können, aber in anderen Fällen ist sie unumgänglich. Definition Wir schreiben das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung von B als A/B. Es gilt: P (A B) P (A/B) = P (B) Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen Lassen Sie uns nochmals die Erklärungen von vorhin und das Beispiel im Unterkapitel über die Baum Diagramme betrachten. Wenn Sie sich erinnern haben wir einige Operationen durchführen müssen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, nur es handelte sich eher um einen einfachen Fall. Überlegen Sie sich anstelle der zwei möglichen Ergebnisse (König oder nicht König im ersten Durchgang und Bube oder nicht Bube im zweiten Durchgang) drei Ergebnisse. Es wären dann neun Wahrscheinlichkeiten im Gesamten, wenn wir vier mögliche Ergebnisse nach jedem Durchgang hätten dann hätten wir 16 Wahrscheinlichkeiten nach dem zweiten Durchgang. Allgemein: Wenn wir n Ergebnisse in jedem Durchgang haben dann haben wir nach zwei Durchgängen n 2 Fälle zu untersuchen. Das ist sehr viel. Und das nur bei zwei Durchgängen. Wenn die Anzahl der Durchgänge 3 beträgt dann hätten wir n 3 mögliche Ergebnisse. Bei 4 hätten wir n 4,... Die Baum Diagramm Technik kommt hier nicht mehr zum Tragen denn bei grösseren Zahlen ist es fast unmöglich einen Baum zu zeichnen. 19

21 Es gibt einen einfacheren Weg die Wahrscheinlichkeit von diesen Ereignissen zu berechnen. Es bedarf jedoch zuvor noch einer Einführung eines neuen Konzepts: der Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen. Definition Gegeben sei ein zufälliges Experiment und zwei Ereignisse dieses Experiments, bezeichnet mit A und B. Wir erklären die beiden Ereignisse für unabhängig, wenn es für das Eintreten des einen Ereignisses nicht nötig ist, dass das andere Ereignis eintritt. In anderen Worten: Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig wenn die Wahrscheinlichkeit von A gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit A unter der Bedingung von B und umgekehrt ist. P (A/B) = P (A) and P (B/A) = P (B) Zwei Ereignisse A und B werden als unabhängig bezeichnet wenn die Wahrscheinlichkeit von A und B gleich dem Produnkt der Wahrscheinlichkeit von A und B ist. P (A B) = P (A) P (B) Dieses Erkenntnis wird häufig bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Wiederholung von zufälligen Experimenten angewendet. Also wenn wir ein zufälliges Ereignis n mal wiederholen und wir wissen, dass das Resultat nach einigen Malen unabhängig von den vorigen ist und wir zusätzlich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A i in jeder Wiederholung, i = 1,..., n, berechnen dann erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse. Es ist dies der Durchschnitt aller Ereignisse: A 1 A 2... A n, P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 )... P (A n ) Beispiel Ziehen wir zufällig zwei Karten von dem Mus Spiel mit zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten höhere Karten sind? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass keine Karte eine höhere Karte ist? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass eine der beiden Karten eine höhere Karte ist und die andere nicht? Bezeichnen wir das Ereignis Die erste Karte ist eine höhere Karte mit A und das Ereignis Die zweite Karte ist eine höhere Karte mit B, dann erhalten wir das Ereignis Beide Karten sind höhere Karten mit A B. Natürlich sind dies alles unabhängige Ereignisse, da wir ja Ziehen mit zurücklegen und sich daher auch die Ausgangsbedingungen bei jedem Durchgang nicht unterscheiden. Es gilt: P (A B) = P (A) P (B) = Das Ereignis Keine der beiden Karten ist eine höhere Karte wird auf folgende Weise durch die Ereignisse A und B repräsentiert: A c B c. Es sind auch dies zufällig Ereignisse daher wird die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse so berechnet: P (A c B c ) = P (A c ) P (B c ) = (1 P (A)) (1 P (B)) = Das Ereignis Eine Karte ist eine höhere Karte, die andere nicht wird auf folgende Weise durch die Ereignisse A und B repräsentiert: A c B und A B c. Es kann möglich sein, dass die erste Karte eine höhere Karte ist und die zweite nicht und umgekehrt. Das Ereignis das wir untersuchen 20

22 möchten ist die Vereinigung beider Ereignisse (A c B) (A B c ). Da sie unabhängige Ereignisse sind, Zerlegung wegen (A c B) (A B c ) A A c = (A c B) (A B c ) = ), kann die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses folgend berechnet werden: (P (A c B) (A B c )) = P ((A c B))+P ((A B c )) = P (A c ) P (B)+P (A) P (B c ) = Sie können nun erkennen welches der drei Ereignisse eher eintritt. Übung Überlegen Sie sich folgendes Experiment: Ziehen Sie willkürlich zwei Karten vom Kartenstapel mit zurücklegen. Sie legen die Karte also nachdem sie sie gesehen haben wieder zurück bevor Sie die nächste ziehen. Addieren Sie Werte der Karten im Mus Spiel. Beantworten Sie folgende Fragen: a) Beschreiben Sie das Ereignisfeld, das sichere und das unmögliche Ereignis des Experiments. b)berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Summe der Karten mit Wert 20. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Summe der Karten mit Wert sechs oder weniger als sechs. Übung Wiederholen Sie die Übung aber diesmal mit dem Konzept des Ziehens ohne zurücklegen, d.h. sie legen die Karte nicht wieder auf den Stapel zurück Totale Wahrscheinlichkeit Stellen Sie sich vor wir ziehen zwei Karten von Kartenstapel ohne diese zurückzulegen. Wir betrachten zunächst die erste und dann die zweite Karte. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist? Mit dem Wissen das wir bereits haben, können wir sagen, dass wenn die erste Karte ein König war die Wahrscheinlichkeit für die zweite Karte ein König zu sein gleich 7 39 ist. Ist jedoch die erste Karte kein König, dann ist die Wahrscheinlichkeit für die zweite Karte ein König zu sein gleich Hier wird deutlich, dass es von der ersten Karte abhängt mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte als zweite Karte gezogen wird. Im Teilkapitel über die bedingte Wahrscheinlichkeit haben wir vorteilhaft begonnen. Wir kannten nämlich die erste Karte. Nun wissen wir dies nicht mehr. Wie können wir dieses Problem nun lösen? Wir müssen in diesem Fall beide Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen. Die erste Karte kann also ein König oder irgendeine andere Karte sein. Lösung des Problems: Überlegen Sie sich folgende zufällige Ereignisse: 1. A 1 = Die erste Karte ist ein König 2. A 2 = Die zweite Karte ist ein König Wir wollen P (A 2 ) berechnen. WAlso werden wir sehen, ob das Ereignis A 1 eintritt oder nicht. Wie können wir das machen? Nunja wir werden einfach P (A 2 ) in verschiedene Wahrscheinlichkeiten aufteilen, die ein Rechnen erleichtern. Dazu werden wir auf die Operationen, die wir bei den zufälligen Ereignissen angewendet hatten, zurückgreifen. Wir nehmen an A 1 sei das Komplement des Ereignisses A 1, dann erhalten wir: A 1 A 1 = E, A 1 A 1 = 21

23 Weiters gilt: und: es gilt: A 2 = A 2 E = A 2 = (A 2 A 1 ) (A 2 A 1 ) (A 2 A 1 ) (A 2 A 1 ) = und P (A 2 ) = P (A 2 A 1 ) + P (A 2 A 1 ) Wenden wir nun die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an, dann erhalten wir: P (A 2 A 1 ) = P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) = P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) Jetzt können wir die zwei Wahrscheinlichkeiten leicht berechnen. Die Laplace sche Regel und die Techniken, die wir bei den Ziehungen ohne zurücklegen behandelt haben, ermöglichen uns ein Lösen und es ergibt sich: P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) = und P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) = =... = 0 2 Wie Sie an diesem Beispiel gesehen haben wurde die Wahrscheinlichkeit in zwei Summanden aufgeteilt. Im ersten Summanden setzen wir voraus, dass die erste Karte ein König ist, A 1, und im zweiten nehmen wir an die erste Karte ist kein König, A 1. Die Ereignisse A 1 und A 1 haben zwei wichtige Eigenschaften A 1 A 1 = y A 1 A 1 = E Diese Technik kann als allgemeingültige Regel benutzt werden: Haben wir eine Reihe inkonsistenter Ereignisse A 1, A 2,..., A n in Paaren (A i A j = i j), und gilt dass A 1 A 2... A n = E, (stimmen sie mit diesen Bedingungen übererein so ist diese Reihe eine komplette Reihe der Ereignisse), dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses S E gleich mit P (S) = P (A 1 ) P (S/A 1 ) + P (A 2 ) P (S/A 2 ) P (A n ) P (S/A n ) und diese Formel wird als Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Der schwierigste Teil des Anwendens der Formel über die Totale Wahrscheinlichkeit ist es eine geeignete Reihe von Ereignissen zu wählen. Eine schlecht gewählte Reihe von Ereignissen bringt noch größere Schwierigkeiten mit sich. Also ist es nötig geeignete Ereignisse herauszufinden, denn eine schlechte Wahl von Ereignissen einer kompletten Reihe von Ereignissen hilft nicht das Problem zu lösen. 22

24 Übung Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, in demselben Experiment wie am Anfgang dieses Kapitels, sodass die zweite Karte keine höhere Karte ist. Übung Lassen Sie uns mit folgender Übung fortfahren: Wir teilen drei Karten im Zuge des Mus Spiels aus. Berechnen Sie zuvor eine komplette Reihe von Ereignissen und wenden Sie die Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit darauf an, sodass die dritte Karte eine As ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Karte keine As ist? Vorschlag: Wählen Sie als komplette Reihe von Ereignissen die Anzahl der gezogenen Assen als die zwei ersten Karten Bayes sche Regel Lassen Sie uns zurückgehen auf das vorige Beispiel und dessen Situation. Wir haben zwei Karten ohne zurücklegen gezogen. Es stellt sich nun eine neue Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein König ist wobei wir bereits wissen, dass die zweite Karte ein König ist. Diese Frage klingt wie eine Fragen, die wir im vorigen Kapitel bereits behandeln hätten können. Es besteht aber ein bedeutender Unterschied: In diesem Fall haben wir ein Experiment bereits durchgeführt (wir haben die zweite Karte schon gesehen)und fragen uns nun welche Karte die erste war. Nennen wir die Eeignisse A 1 und A 2 wie zuvor, dann berechnen wir: P (A 1 /A 2 ) Wenden nun die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an und erhalten: P (A 1 /A 2 ) = P (A 1 A 2 ) P (A 2 ) Ändern wir nun den Nenner entsprechend der Formel für die Totale Wahrscheinlichkeit und wenden die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit im Zähler an, dann sehen wir: P (A 1 /A 2 ) = P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) P (A 2 /A 1 )P (A 1 ) + P (A 2 /A 1 )P (A 1 )) Diese Berechnung ist nun einfacher als jene im vorigen Kapitel. Es ergibt sich: P (A 1 /A 2 ) = = 7 39 Im Allgemeinen wird die Bayes sche Formel wie folgt angewandt: Gegeben sei eine vollständige Reihe von Ereignissen A 1, A 2,..., A n und ein Ereignis S. Wir möchten die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses A i berechnen wobei wir wissen, dass nachdem wir das Experiment durchgeführt haben das Ereignis S eintritt, d.h. wir werden P (A i /S) berechnen. Wegen vorhin gilt: P (A i /S) = P (A i S) P (S) = P (S/A i ) P (A i ) n i=i P (S/A i) P (A i ) 23