Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

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1 Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28 1

2 Übersicht In diesem Vortrag wollen wir wichtige Grundkonzepte eines effizienten Finanzmarktes kennenlernen; das berühmte Black-Scholes Modell vorstellen. 2

3 Angebot Allianz AG Kursstand am : S = 125 (Euro). Herr Meier bietet Ihnen dazu folgendes Geschäft an: Wenn der Kurs S T der Aktie der Allianz zum Zeitpunkt T =31. Dez 28 größer als K = 96 (Euro) ist, bekommen Sie von ihm die Differenz zu K ausgezahlt; wenn er kleiner ist, bekommen Sie nichts. Für dieses Angebot sollen Sie an Herrn Meier heute 7,9 Euro zahlen. Frage: Wollen Sie auf dieses Angebot eingehen? Ist 7,9 Euro ein fairer Preis? 3

4 Call-Option In der Finanzmathematik nennt man ein solches Geschäft eine Call-Option auf die Aktie der Allianz mit Strike K = 96 und Fälligkeitszeitpunkt T = 31. Dez 28. Die Call-Option liefert dann die Auszahlung C := max{s T K, } = (S T K) +. Folgende Situationen sind denkbar (bezeichne S t den Kurs der Aktie zum Zeitpunkt t): S T > K: S T K: S T K Auszahlung K 8 6 S T Auszahlung C=S T K> C= t.6.8 T t.6.8 T 1 4

5 Preis der Option? Die Frage lautet nun: Wieviel soll eine solche Option kosten (Preis der Option)? 5

6 Modellbildung Die Vorgehensweise zur Beantwortung der Frage ist typisch für die Mathematik: Abstraktion durch Modellbildung y allereinfachstes Marktmodell y einfaches Marktmodell y komplexeres Marktmodell y Marktmodell nahe an der Realität Erkennen der Lösung durch Abstraktion 6

7 Einfaches Marktmodell Unsere sehr vereinfachten Modellannahmen sind Börsenhandel nur zu 3 Zeitpunkten t =, 1, 2 möglich; T wird gleich 3 gesetzt. In diesen drei Zeitpunkten können wir Aktien (auch Anteile davon) zum aktuellen Kurs kaufen/ verkaufen (auch sog. Leerverkäufe möglich); Geld auf ein zinsloses Bankkonto einzahlen bzw. von dort abheben (auch zinslose Überziehung erlaubt). Einfache Kursbewegungen (nur rauf / runter ). 7

8 Binomialmodell S t+1 = (1 ±.2) S t p = 3/4 1-p = 1/4 125 p 1-p 15 1 p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p Auszahlung S 3 K K= Zeit 8

9 Preis dieser Option? Statistischer Ansatz: Wahrscheinlichkeitsverteilung von S 3 P [S 3 = 216] = P [S 3 = 144] = ( 3 3 ( 3 2 ( 3 P [S 3 = 96] = 1 ( 3 P [S 3 = 64] = Erwartungswert der Option ist E P [ (S3 K) +] = (216 96) ) ) ) ) p 3 = p 2 (1 p) = p(1 p) 2 = 9 64 (1 p) 3 = (144 96)27 64 = 7.9 9

10 Strategie und Vermögensprozess Stochastisches Modell: 8 Pfade, Ω = {ω 1,..., ω 8 } Strategie (x, y): x t = # Aktien zum Zeitpunkt t gekauft, bis t + 1 gehalten; y t = Betrag zum Zeitpunkt t auf dem Bankkonto. x t, y t : Ω R sind Funktionen vom Pfad, t =, 1, 2, jedoch x := x (ω 1 ) =... = x (ω 8 ) x 1 (ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) := x 1 (ω 1 ) =... = x 1 (ω 4 ) x 1 (ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 ) := x 1 (ω 5 ) =... = x 1 (ω 8 ) x 2 (ω 1, ω 2 ) := x 2 (ω 1 ) = x 2 (ω 2 ) x 2 (ω 3, ω 4 ) := x 2 (ω 3 ) = x 2 (ω 4 ) x 2 (ω 5, ω 6 ) := x 2 (ω 5 ) = x 2 (ω 6 ) x 2 (ω 7, ω 8 ) := x 2 (ω 7 ) = x 2 (ω 8 ) 1

11 Strategie und Vermögensprozess Vermögensprozess zur Strategie (x, y): Startvermögen (Startkosten) V = x S + y Vermögen entwickelt sich ohne Zu- und Abflüsse V t = x t 1 S t + y t 1 = x t S t + y t (Strategie finanziert sich selbst) Endvermögen V T = x T 1 S T + y T 1 (= x T S T + y T ) Rekursionsformel: V t z.b. = V t 1 + V t V } {{ t 1 = V } t 1 + x t 1 (S t S t 1 ) } {{ } V t V 3 (ω) = V 2 (ω) + x 2 (ω) S 3 (ω) S t 11

12 Replizieren der Option ( Hedging ) Die Idee zur Auffindung eines fairen Optionspreises ist nun: suche eine Strategie (x, y), die als Endvermögen V 3 genau die Auszahlung der Option hat (sog. Hedge-Strategie), also V 3 = (S 3 K) +. aus dem Vermögensprozess dieser Strategie leiten wir dann den fairen Optionspreis ab. Die Bestimmung der Hedge-Strategie geschieht durch Rückwärtsinduktion mittels Lösen von (einfachen) linearen 2 2 Gleichungssystemen. 12

13 Replizieren der Option ( Hedging ) Rückwärtsinduktion: erster Knoten oben rechts finde zuerst x 2 (ω 1, ω 2 ) =: a, y 2 (ω 1, ω 2 ) =: b. Durch Lösen von S 3 (ω 1 )a + b = C(ω 1 ) d.h. 216a + b = = 12 S 3 (ω 2 )a + b = C(ω 2 ) 144a + b = = 48, finden wir a = 1, b = 96 und V 2 (ω 1, ω 2 ) = = 84. Analog verfährt man mit den 5 anderen Knoten und erhält 13

14 Replizieren der Option ( Hedging ) S t+1 = (1 ±.2) S t Auszahlung ( 21 25, 72) (1, 96) 12 1 (.6, 48) 18 (1, 96) (1, 96) 8 (, ) S 3 K K= Zeit 14

15 Der faire Optionpreis Herr Meier muß als Preis π C für die Option verlangen π C = V = 33 Euro, ansonsten gibt es im Markt die Möglichkeit eines risikofreien Gewinns: π C > 33 = Herr Meier verkauft die Option und sichert die Auszahlung mit obiger Strategie (x, y) ab risikofreier Gewinn < π C 33 Euro π C < 33 = Sie kaufen die Option und handeln mit der Strategie ( x, y). risikofreier Gewinn < 33 π C Euro 15

16 Eine Möglichkeit (Strategie), einen risikofreien Gewinn zu erzielen, nennt man Arbitrage. In einem effektiven Finanzmarkt gibt es keine Arbitrage, der Markt ist arbitragefrei. you can t make money out of nothing, there is no free lunch 16

17 Das äquivalente Martingalmaß (EMM) Eine direkte Berechnung des Vermögens V t folgender wichtigen Beobachtung: (insbesondere V ) beruht auf erster Knoten oben rechts: = 18 qs 3(ω 1 ) + (1 q)s 3 (ω 2 ) = S 2 (ω 1, ω 2 ) und es ist auch = 84 qv 3(ω 1 ) + (1 q)v 3 (ω 2 ) = V 2 (ω 1, ω 2 ) u.s.w. (genauso für alle anderen Knoten). Damit ist eine Wahrscheinlichkeit Q auf Ω definiert: Q({ω}) = ( 1 2) 3, ω Ω, mit E Q (S 3 {ω 1, ω 2 }) = S 2 (ω 1, ω 2 ) E Q (C {ω 1, ω 2 }) = V 2 (ω 1, ω 2 ).. E Q (S 3 ) = S E Q (C) = V Damit ist der faire Optionspreis π C = V in der Tat der Erwartungswert der Auszahlung C = (S T K) +, allerdings bzgl. Q und nicht bzgl. der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit P!! 17

18 S t+1 = (1 ±.2) S t q = 1/2 1-q = 1/ q 1-q Binomialbaum mit EMM q 1-q q 1-q q 1-q q 1-q q 1-q Auszahlung S 3 K K=96 Zeit 18

19 Zusammenfassung (Definitionen) Im Einperiodenmodell, mit nur einer Aktie (+ event. Option) + Bankkonto (Zinsrate r = ), Ω beliebig Arbitrage: Strategie (x, y), x, y R, mit Vermögensprozess V (V = xs + y, V 1 = xs 1 + y) V =, V 1 und P [V 1 > ] > darf nicht sein in effizientem Markt (No Arbitrage) arbitragefreier (fairer) Preis π C für Option C, so dass es keine Arbitrage gibt mit Aktie, Option und Bankkonto. 19

20 Im Einperiodenmodell Zusammenfassung (Resultate) Fundamental Theorem : No Arbitrage Q P (q i > i) so dass E Q (S 1 ) = S 1 (ω 1 )q S 1 (ω n )q n = S. Q heißt äquivalentes risikoneutrales Maß oder auch EMM. Pricing Theorem: π C R arbitragefreier Preis für C π C = E Q (C) für Q EMM. 2

21 Übergang zum zeitstetigen Limes Zeithorizont = 1 (Jahr), Handelszeitpunkte: n k, k =, 1,..., n 1 Binomialmodell anpassen: S k+1 = (1 ± σ n n )S k, σ > fest n p p n = 1 2 (1 + µ σ n ), µ R fest Kurswerte S k n durch Streckenzüge verbunden S t, t [, 1] n=2 n= µ=2,σ=1 2 µ=2,σ=

22 Black-Scholes Modell n liefert als Aktienkursmodell das Black-Scholes Modell S t = S e σb t+(µ σ2 2 )t, t [, 1] B = (standard) Brownsche Bewegung and S = geometrische Brownsche Bewegung mit Drift µ and Volatilität σ. Insbesondere ln ( ) S1 S } {{ } log-return N ( µ σ2 2, ) σ2 and E P (S 1 ) = S e µ. 22

23 Black-Scholes Formel Das Black-Scholes Modell ist arbitragefrei; der arbitragefreie Preis einer Call-Option C = (S 1 K) + ist ( π C ln ( S K = S Φ σ ) + σ 2 2 ) ( ln ( S K K Φ σ ) σ 2 2 ), Φ = Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung 23

24 Beyond Black-Scholes Stochastische Volatilitätsmodelle (Volatilität zeitabhängig und zufällig) ds t = S t σ(t, S t ) db t Jump-Diffusion Modelle wobei L = Sprungprozess. ds t = S t σ(t, S t ) db t + S t v(t, S t ) dl t 24

25 Weiterführende Literatur zum Thema: M. Baxter, A. Rennie (1996). Financial Calculus: An introduction to derivate pricing, Cambridge University Press. T, Björk (24). Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford Finance Series. A. Irle (1998). Finanzmathematik, Teubner Studienbücher Mathematik. R. Jarrow, S. Turnbull (2). Derivative Securities, 2. Auflage, South- Western College Publishing. S.M. Ross (1999). An Introduction to Mathematical Finance: Options and other topics, Cambridge University Press. 25