2.4 Darstellung von Zeichen(ketten)

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1 2.4 Darstellung von Zeichen(ketten) ASCII (American Standard for Coded Information Interchange): Abbildungsvorschrift (Norm) zur binären Kodierung von Zeichen Umfasst Klein-/Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, Ziffern, und viele Sonderzeichen Kodierung erfolgt in einem Byte (256 Zeichen) Standard-ASCII-Code nutzt das erste Bit nicht (128 Zeichen). Spezielle normierte ASCII-Code- Erweiterungen nutzen auch das erste Bit. Darstellbare Zeichen 27

2 2.4 Darstellung von Zeichen(ketten) ASCII-Kunst: Kunstrichtung, die mit den Zeichen des ASCII-Zeichensatzes Bilder darstellt Quelle: 28

3 2.4 Darstellung von Zeichen(ketten) Unicode: The W3C was founded to develop common protocols to lead the evolution of the World Wide Web. The path W3C follows to making text on the Web truly global is Unicode. Unicode is fundamental to the work of the W3C; it is a component of W3C Specifications, from the early days of HTML, to the growing XML Family of specifications and beyond. Sir Tim Berners-Lee Web Inventor and Director of the World Wide Web Consortium (W3C) Kodiert praktisch Zeichen aller bekannten Schriftkulturen und Zeichensysteme Ziel: Verwendung unterschiedlicher und inkompatibler Kodierungen in verschiedenen Ländern oder Kulturkreisen beseitigen Version (April 2008): > Zeichen 29

4 2.4 Darstellung von Zeichen(ketten) Darstellung von Zeichenketten (Strings): Hintereinanderreihung der einzelnen Zeichen. Zur Identifikation des Endes werden zwei verschiedene Verfahren verwendet: Die Länge der Zeichenkette wird im ersten bzw. in den ersten zwei Bytes vor der eigentlichen Zeichenkette gespeichert Das Ende wird durch ein besonderes, nicht darzustellendes Zeichen gekennzeichnet. Beispiel: 0-Byte (alle Bits 0) In C/C++. 30

5 2.5 Kodierung Alle Informationen (Repräsentationen nach der Modellierung) müssen durch eine geeignete Kodierung rechnerintern dargestellt werden Kodierung (im allgemeinen Sinne): X: eine Menge der zu kodierenden Sachverhalte S: eine endliche Menge der zur Verfügung stehenden Symbole. Mit S* bezeichnen wir die Menge aller endlichen Folgen von Symbolen aus S: S* = { s 1 s n n 0; s i S, 1 i n } Die Elemente von S* heißen auch Worte über S Eine Kodierung von X über S ist eine injektive Funktion f : X S* Funktion f : A B von Menge A in Menge B heißt injektiv, wenn gilt: x, y A, x y f (x) f (y) 31

6 2.5 Kodierung Beispiel: N = Menge der natürlichen Zahlen, S = { }. Die unäre Kodierung (Strichdarstellung) ist die Funktion f : N S* die jeder Zahl n N die Folge S* zuordnet. f ist offensichtlich injektiv. n 32

7 2.5 Kodierung Beispiel: ASCII Code spezifiziert zuerst eine Abbildung f : X = { alle ASCII Zeichen } {0,, 127} Wenn man sich die Dezimalzahlen noch binär kodiert denkt, ist der ASCII Code eine Kodierung von X, X = 128, über dem Alphabet B = {0, 1}. f ASCII : X B 7 wobei B 7 (7-stellige Codes) eine echte Teilmenge von B* 33

8 2.6 Schichtenmodelle Information darstellen Interpretieren Manuell Repräsentation (mathematisch) kodieren dekodieren Repräsentation (rechnerintern) Maschinell V e r a r b e i t u n g An der Schnittstelle bieten uns Werkzeuge (z.b. Programmiersprachen) an, die Repräsentation auf einer höheren Ebene (ohne Kenntnisse rechnerinterner Details) anzugeben ( Schichten) 34

9 2.6 Schichtenmodelle Informatik-Systeme basieren typischerweise auf Schichtenmodellen, wo den höheren Schichten die Details der unteren Schichten verbogen bleiben und die Kommunikation durch Schnittstellen sichergestellt wird Beispiel: Compiler (Übersetzer) wandelt ein in einer höheren Programmiersprache geschriebenes Programm in ein semantisch äquivalentes Programm einer Machinensprache um Quelle: Wikipedia 35

10 2.6 Schichtenmodelle Zwischencode-Erzeugung: Viele moderne Compiler erzeugen einen Zwischencode, der relativ maschinennah sein kann und führen auf diesem Zwischencode z. B. Programmoptimierungen durch. Vorteilhaft, wenn mehrere Quellsprachen oder verschiedene Zielplattformen unterstützt werden sollen. Quelle: Wikipedia 36

11 2.6 Schichtenmodelle Quiz: X = { alle Programme in Java } S = { 0, 1 } Jeder Compiler ist eine Funktion f : X { alle Programme in irgendeiner Maschinensprache } (Teilmenge von S*) Ist ein Compiler eine Kodierung von X über S? Quelle: Wikipedia 37

12 2.6 Schichtenmodelle Beispiel: Betriebssysteme Je mehr Software-Schichten die Hardware umgeben, desto besser lässt sich die Anwendungsvielfalt und Schnittstelle zum Menschen hin optimieren. Durch diese Abstraktionsschichten wird ein Computer für den Menschen erst richtig bedienbar. 38

13 2.7 Information Informationstheorie: Vom amerikanischen Mathematiker Claude Elwood Shannon ( ) begründet Untersucht die Darstellung, die Speicherung, und den Austausch (Übertragung) von Informationen In der Informationstheorie versteht man unter Information ein rein technisches Maß, nur mit den formal darstellbaren Aspekten der Information ohne Aussagen zum Sinngehalt Zur Untersuchung von Nachrichten und deren Übertragung werden vorwiegend Methoden aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik verwendet 39

14 2.7 Information Der Informationsgehalt eines einzelnen Zeichens in einem System: wobei p i die Auftrittswahrscheinlichkeit des Zeichens z i ist. Falls das gesamte System (Datenquelle) S insgesamt n Symbole erzeugt, definiert man die Entropie als den gewichteten Durchschnitt der Informationsgehalte aller Symbole: Die Entropie gibt die theoretisch optimal mögliche Kodierung an, also in Bezug auf die Datenkompression die kleinst mögliche Codewortlänge 40

15 2.7 Information Beispiel: Grauwertbilder (256 Graustufen) Homogenes Bild (einziger Grauwert; p i =1 für bestimmtes i, sonst 0): Bild mit gleichmäßig verteilten Grauwerten (pi = 1/256): Jedes Pixel benötigt 1 Byte zur verlustfreien Speicherung 41

16 2.7 Information Beispiel: Binärbilder 0/1 gleich häufig; z.b. Schachbrettmuster: Der minimale Speicherbedarf beträgt also 1 Bit pro Pixel (vorausgesetzt, keine zusätzlichen Informationen über das Bild) 0/1 nicht gleich häufig, z.b. p 0 = 0.75 und p 1 = 0.25: Weniger als 1 Bit genügt zur verlustfreien Speicherung (Kompression) 42

17 2.7 Information Problem (Kodierungseffizienz): Kodierung von 2 m Zeichen (Ausgängen, Grauwerten, etc.) eines Systems (Experiments, Bildes, etc.). Entscheidend ist die durchschnittliche Anzahl benötigter Bits pro Zeichen: wobei l i die Länge des Codewortes für Zeichen z i Fall 1: Alle 2 m Zeichen haben identische Auftrittswahrscheinlichkeit p i =1/2 m Kodierung mit Codewörtern gleicher Länge (z.b. Binärcode, l i = m) erreicht das Optimum (d.h. gleich Entropie): 43

18 2.7 Information Fall 2: Die 2 m Zeichen haben ungleiche Auftrittswahrscheinlichkeiten Beispiel: m=2 Zeichen i p i Der Binärcode hat eine durchschnittliche Anzahl benötigter Bits pro Zeichen L avg = 2 Frage: Gibt es ein Kodierungsschema mit L avg < 2? 44

19 2.7 Information Huffman-Kodierung: Codewörter variabler Länge mit Eigenschaft Zeichen mit größerer Auftrittswahrscheinlichkeit kürzere Codewörter Fasse die beiden seltensten Zeichen zu einem Superzeichen zusammen, addiere dabei die betreffenden Wahrscheinlichkeiten Dann fahre mit den verbleibenden Zeichen, einschließlich dem Superzeichen, fort Repräsentiere den obigen Prozess mit einem binären Baum und markiere für jeden Knoten die beiden ausgehenden Kanten mit 0 und 1. Der Pfad von der Wurzel bis zu einem Blattknoten liefert das Codewort des entsprechenden initialen Zeichens. 45

20 2.7 Information Beispiel (fort.): m=2 Zeichen p i Huffman-Code

21 2.7 Information Dekodierung (eindeutig): Zeichen Huffman-Code Der Huffman-Code ist ein optimaler, eindeutig dekodierbarer Code Theorem: Sei H die Entropie einer Informationsquelle, die n Zeichen erzeugt. Für die mittlere Codewortlänge L avg jedes eindeutig dekodierbaren Codes gilt: L avg H. Der Huffman-Code ist unter allen Codes, die einen Codebaum verwenden, optimal. Anwendungen: gehört zu den populärsten Verfahren. Fax, 47

22 2.8 Boolesche Algebra Die nach George Boole ( ) benannte boolesche Algebra beschreibt eine abstrakte algebraische Struktur. Das wichtigste Beispiel bildet die zweielementige boolesche Algebra mit den Elementen 0 und 1, und den Verknüpfungen UND ( ), ODER ( ), und NICHT ( ). Breite Anwendungen hat diese Algebra in der Aussagenlogik, wo 0 als falsch und 1 als wahr interpretiert werden. Auch für digitale Schaltungen wird diese Algebra verwendet und als Schaltalgebra bezeichnet. Hier entsprechen 0 und 1 zwei Spannungszuständen in der Schalterfunktion von AUS und AN. 48

23 2.8 Boolesche Algebra Grundoperationen: 49

24 2.8 Boolesche Algebra Gesetze (Axiome): Kommutativgesetze: a b = b a; a b = b a Assoziativgesetze: (a b) c = a (b c); (a b) c = a (b c) Idempotenzgesetze: a a = a; a a = a Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c); a (b c) = (a b) (a c) Neutralitätsgesetze: a 1 = a; a 0 = a Extremalgesetze: a 0 = 0; a 1 = 1 Doppelnegationsgesetz (Involution): ( a) = a De Morgansche Gesetze: (a b) = a b; (a b) = a b Komplementärgesetze: a a = 0; a a = 1 Dualitätsgesetze: 0 = 1; 1 = 0 Absorptionsgesetze: a (a b) = a; a (a b) = a 50

25 2.8 Boolesche Algebra Sei A ein boolescher Ausdruck mit n Variablen. Die Wahrheitstabelle enthält alle möglichen Belegungen der Variablen von A und den zugehörigen Interpretationen von A. Beispiel: Beweis von (a b) = a b durch Wahrheitstabelle a b a b (a b) a b a b

26 Zusammenfassung 2.1 Zahlensysteme 2.2 Binärsystem im Rechner 2.3 Darstellung von Zahlen 2.4 Darstellung von Zeichen(ketten) 2.5 Kodierung 2.6 Schichtenmodelle 2.7 Information 2.8 Boolesche Algebra 52