Statistische Tolerierung

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1 Statistische olerierung Prozessorientierte Bauteil- und Montageoptimierung Bearbeitet von Bernd Klein. Auflage. Buch. XII, 5 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 7, x 4,5 cm Gewicht: 594 g Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 CARL HANSER VERLAG Bernd Klein Statistische olerierung Prozessorientierte Bauteil- und Montageoptimierung

3 5 Analyse von Grundproblemen bei der Verknüpfung mehrerer Maße Im Folgenden sollen anhand von einfachen Beispielen prinzipielle Montagesimulationen nachgebildet und deren Behandlung mit den Gesetzmäßigkeiten der Statistischen olerierung diskutiert werden. Es handelt sich dabei um speziell konstruierte Fälle, die jeweils einen bestimmten Effekt unter interagierenden Verhältnissen verdeutlichen sollen, und zwar symbolische Montage zweier rechteckig verteilter Passmaße, symbolische Montage zweier dreieckig verteilter Passmaße, symbolische Montage zweier normal- und dreieckig verteilter Passmaße, symbolische Montage zweier normalverteilter Passmaße, symbolische Montage von vier normalverteilten Passmaßen, exemplarische oleranzsynthese, symbolische Montage normalverteilter Passmaße mit Spiel und symbolische Montage zweier Passmaße mit Form- und Lagetoleranz. Man stelle sich vor, dass bei den diskutierten Beispielen zur symbolischen Montage zwei oder mehrere verschiedenartige Bauteile kombiniert werden, deren Maßverteilung den charakteristischen Fertigungsverteilungen unterliegen. In fast allen Fällen wurde C pk =, (entspricht ± 3σ) als untere zulässige Grenze der Prozessfähigkeit angenommen. In der Praxis ist dies meist für einfache Montagemaße gerechtfertigt. Über die Größe der Spannweite kann der C pk -Index beliebig angehoben werden. Zu beachten ist hierbei, dass die Einzelbauteile meist gröber spezifiziert werden können als die Gesamtfunktion (d. h. für M kann sinnvoll auch ± 4 σ gefordert werden), von der möglicherweise ein Funktionsausfall ausgeht. ± 3σ entspricht C pk =, ± 4σ entspricht C pk =,33 ± 5σ entspricht C pk =,67 ± 6σ entspricht C pk =,

4 46 5 Analyse von Grundproblemen bei der Verknüpfung mehrerer Maße 5. Symbolische Montage zweier rechteckig verteilter Passmaße Bauteil Bauteil M =8±,4 (statistisch) M =8±,5 (arithmetisch) M=3±,5 M =5±, Bild 5. Rechteckverteilte Passmaße Die Ergebnisverteilung von zwei beliebigen Rechteckverteilungen ist eine rapezverteilung. 5.. Parameter Die angedeuteten Bauteile weisen die folgenden Fertigungsgrößen auf: Nennmaße: Größe der oleranzfelder : Mittelwerte der Maße: N = 3 mm N = 5 mm =, mm =, mm = 3 mm = 5 mm Falls keine symmetrischen Abmaße vorliegen, sind die als Mittenwerte C i zu bilden.

5 5. Symbolische Montage zweier rechteckig verteilter Passmaße Kurzübersicht abelle 5. Verknüpfung zweier rechteckverteilter Passmaße tabellarische Ergebnisse Bezeichnung Formelzeichen Nennschließmaß N N = N + N Arithmetische oleranz n A A = i = + i= Formel Ergebnis Bemerkung 8 mm,3 = ±,5 mm Verteilungsmittelwert + 8 mm =ˆ N Fertigungsstreuung σ σ = i σ = i 5 8 σ =,887 mm σ =,5774 mm σ =,6454 mm σ /: Rechteckverteilung σ : rapezυ-verteilung Statistische oleranz S,853 mm = ±,4 mm Statistisch toleriertes Schließmaß M S M ± 8 ±,4 mm 5..3 Berechnungen a) Arithmetische oleranzrechnung Nennschließmaß N = N + N = 3mm + 5mm = 8mm Arithmetische oleranz A n = i i= = + = ± (,5mm +,mm) = ±,5mm b) Statistische oleranzrechnung Erwartungs- bzw. Verteilungsmittelwert + = 3mm + 5mm = 8mm

6 48 5 Analyse von Grundproblemen bei der Verknüpfung mehrerer Maße Hierbei ist angenommen, dass man in der Fertigung immer Mitte oleranz anstrebt. Der Verteilungsmittelwert ist insofern der Erwartungswert des Schließmaßes. c) Verteilungen Eine Rechteckverteilung drückt aus, dass jedes Maß mit der gleichen Wahrscheinlichkeit im oleranzraum vorkommt. In der herkömmlichen arithmetischen oleranzrechnung stellt dies der so genannte worst case (der insgesamt ungünstigste Fall ) dar. Das Ergebnis der Faltung von zwei Rechteckverteilungen mit ungleichen Spannweiten ist eine rapezverteilung. Die Auswertung über das Faltprodukt würde bei nur zwei Maßen das identische Ergebnis wie die reine oleranzaddition zeigen. Hier soll aber nach Möglichkeit ein statistischer Vorteil ausgenutzt werden, und zwar derart, dass die Spannweite des rapezes nur zu 99,73 % ausgenutzt wird. Dies ist etwa gleichbedeutend wie ± 3σ bei einer Normalverteilung. Umseitig ist der durchzuführende Faltprozess sichtbar gemacht worden. Zweckmäßig ist es hierbei, mit variablen oleranzgrenzen (a, b; c, d) zu operieren und diese dann zu spezialisieren. Hierbei ist es ausreichend, nur mit den absoluten oleranzgrenzfeldern (z. B. a =, b = ) zu kalkulieren, wodurch die Rechnung vereinfacht wird. Innerhalb der rapezspannweite kann dann die statistische oleranz abgesteckt werden. Bei einer Maßkette aus vielen Einzelmaßen lässt sich jedoch auch mit der insgesamt ungünstigen Rechteckverteilung ein kleiner Vorteilen herausholen. d) oleranzfelder und Faltung f(x) f(y) G u G o C / G u C / G o a b x c d y Bild 5. Zwei Rechteckverteilungen

7 5. Symbolische Montage zweier rechteckig verteilter Passmaße 49 Zur Berechnung des oleranzfeldes müssen die beiden bekannten Rechteckverteilungen überlagert werden. Dies geschieht durch eine sog. Faltoperation: Z = X Y f(z) /(d-c) P U a+c P O b+c a+d b+d = + z Um die weitere Rechnung zu vereinfachen, kann hier gesetzt werden: C = (a + b),5 C = (c + d),5 a =, b =,, c =, d =,. Bild 5.3 Faltergebnis der beiden Rechteckverteilungen Die Summenfunktion für den Bereich (a + c) z s (b + c) ist F ( z) ( a c), 7 z s + = = c ( b a)( d c) s s f(z) ( c z c( a + c) ) ( a z a( a + )) /(d-c) F(z) F S Anmerkung: F = % (Fläche unterhalb des rapezes) P U z=z =? S P O z F(z)=,35 % (einseitige Fehlerfläche) F S = %-,35 % = 99,73 % S Bild 5.4 Intervalldarstellung der Flächenanteile Der Vorteil besteht nun darin, dass über z s ein Wahrscheinlichkeitsbereich abgegrenzt werden kann. Für das eingegrenzte Intervall (a + c) z s (b + c) gilt somit mit den speziellen Werten: F ( zs ) ( z) =, 35 = b d zs = b d

8 5 5 Analyse von Grundproblemen bei der Verknüpfung mehrerer Maße Daraus folgt: z s = F( z) b d =, 35, mm, mm =, 73485mm und die statistische oleranz S = s z =,3mm,73485mm =,853mm e) Statistisch toleriertes Schließmaß S M ± = 8mm ±,4mm gegenüber dem ermittelten arithmetischen Schließmaß M = N A ± = 8 mm ±,5 mm Ein nahe liegender Schluss wäre, aus dieser geringen Differenz auf einen nur kleinen Vorteil durch die Statistische olerierung zu schließen. Wie zuvor schon ausgeführt wurde, werden größere Effekte aber erst sichtbar bei einer Vielzahl von Maßen oder bei Zugrundlegung von Normalverteilungen, wie die weiteren Beispiele zeigen sollen. 5. Symbolische Montage zweier dreieckig verteilter Passmaße M =8±,35 (statistisch) Bauteil Bauteil M=3±,5 M=5±, Bild 5.5 Dreieckig verteilte Passmaße Die Ergebnisverteilung von zwei beliebigen Dreieckverteilungen ist näherungsweise eine Normalverteilung.

9 5. Symbolische Montage zweier dreieckig verteilter Passmaße Parameter Die gewählten Fertigungsgrößen mögen wie folgt festgelegt sein: Nennmaße: Größe der oleranzfelder: Mittelwerte der Maße: N = 3 mm N = 5 mm =, mm =, mm = 3 mm = 5 mm 5.. Kurzübersicht abelle 5. Verknüpfung zweier dreieckig verteilter Passmaße tabellarische Ergebnisse Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß N N = N + N 8 mm Arithmetische oleranz n A A = i = + i= ±,5 mm Verteilungsmittelwert + 8 mm Fertigungsstreuung σ i σ i = 6 σ = i= σ i σ =,4 mm σ =,48 mm σ =,456 mm σ /: Dreieckverteilung σ : Normalverteilung Statistische oleranz S S = 6 σ,736 mm = ±,35 mm Für ± 3σ Statistisch toleriertes Schließmaß M S M ± 8 ±,35 mm

10 5 5 Analyse von Grundproblemen bei der Verknüpfung mehrerer Maße 5..3 Berechnungen a) Arithmetische oleranzrechnung Nennschließmaß N = N + N = 3 mm + 5 mm = 8 mm Arithmetische oleranz A n = i i= = + = ± (,5mm +,mm) = ±,5mm b) Statistische oleranzrechnung Verteilungsmittelwert + = 3mm + 5mm = 8mm Fertigungsstreuungen Für die zwei Dreieckverteilungen,mm =,mm σ = =,4mm σ = = =,48mm ergibt sich eine angenäherte Normalverteilung mit σ = σ i = = i= Statistische oleranz (,4mm) + (,48mm),456mm Gewöhnlich wird hier mit ± 3σ operiert, welches in der Statistik als natürliche Streuung bezeichnet wird. Damit ist S = 6 σ = 6,456mm =,736mm c) Statistisch toleriertes Schließmaß = ± S, M = 8mm ± 35mm