Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Rechengesetze und Rechenstrategien V / Rechenfakten automatisieren V8 06./ Entwicklung von Zahlen und Zahlsystemen V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 V 9.1 Schriftliches Addieren und Subtrahieren Quellen: Schipper u. a.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen und Kl. 3 Handbuch neu; Padberg: Arithmetik;Wittmann/Müller: Handbuch II 1 Begriff 2 Diskussionspunkte 3 Die schriftliche Addition 3.1 Erarbeitung 3.2 Übung 4 Die schriftliche Subtraktion 4.1 Ergänzen oder Abziehen? 4.2 Die Subtraktionsverfahren 4.3 Erarbeitung der Verfahren 2

3 1 Begriff Während beim halbschriftlichen Rechnen (gestütztes Kopfrechnen) die mehrstelligen Rechenzahlen immer als Ganzes überblickt und beim Rechnen (geschickt) zerlegt werden müssen (unter Berücksichtigung von Zahlbeziehungen und Gesetzmäßigkeiten), ist das schriftliche Rechnen ein Rechnen mit den Ziffern an den einzelnen Stellen ( Ziffernrechnen ). 3

4 Die Vereinfachung komplexer Rechnungen orientiert sich zwangsläufig an der durch die dezimale Schreibweise vorgegebenen Zahlraumstruktur. Die Techniken des Kopfrechnens und des halbschriftlichen Rechnens nutzen das Zerlegen in Stellenwerte. Ein geeignetes Rechenschema für das schriftliche Rechnen sollte die Stellenwertschreibweise gezielt und besonders geschickt ausnutzen. n. Baireuther Mathematikunterricht in den Klassen 3 und 4. Auer 4

5 Schriftliche Verfahren halbschriftlich = = wichtige Voraussetzungen: Kopfrechnen (Grundaufgaben) Einsichten in unser Stellenwertsystem (u.a. Bündelungsprinzip) 5

6 Der Grundgedanke eines effektiven Additionsverfahrens ist ganz einfach: Getrennte Addition in den einzelnen Stellen ergibt die Stellen des Ergebnisses. 6 6 H 13 Z 18 E wird nach dem Bündeln zur Ziffernfolge 748 vgl. ebenda 6

7 Nils, Kl. 3 Ich freu mich so, dass ich 1.-Schuljahr-Aufgaben rechnen darf. 7

8 Schriftliche Verfahren sind algorithmische Verfahren: Es wird nach feststehenden Regeln (Vorschriften) gerechnet (Normalverfahren). Im Gegensatz dazu spricht man beim halbschriftlichen Rechnen auch von heuristischem Vorgehen: Man kann die verschiedensten Rechenstrategien (und immer wieder neue und andere) entdecken. 8

9 2 Diskussionspunkte Die schriftlichen Verfahren zu den 4 Grundrechenoperationen werden in der Regel in den Klassenstufen 3 und 4 eingeführt. Das schriftliche Verfahren der Division ist ein sehr komplexes Verfahren. Es wird deshalb nur auf einer recht elementaren Niveaustufe betrachtet. Es ist angedacht, es in die Klassenstufe 5 zu verschieben. (vgl. Schipper 2009) Bei der schriftlichen Subtraktion ist die gegenwärtige Tendenz, das Abziehverfahren zu nutzen. Kinder mit Rechenstörungen sollten möglichst frühzeitig in den schriftlichen Verfahren unterwiesen werden. 9

10 Rahmenplan Grundschule (Rheinland-Pfalz) Kl. 3 10

11 Kernlehrplan Saarland (2009) Das schriftliche Rechenverfahren der Addition mit zwei und mehr Summanden beherrschen Das schriftliche Rechenverfahren der Subtraktion mit einem Subtrahenden beherrschen 11

12 Akzentverschiebungen nicht nur Rechentraining, auch Einsicht in die Verfahren gewinnen lassen auf besonders schwierige Rechenfälle verzichten der Kontroll- und Überschlagsrechnung mehr Bedeutung beimessen 12

13 3 Die schriftliche Addition seit KMK 1958 Form und Sprechweise vorgegeben international nur geringfügige Unterschiede, z. B. in Italien: 357+ gerechnet: 876= 7+6=

14 3.1 Erarbeitung des Verfahrens a. Veranschaulichung mit Mehrsystemblöcken in einer großen Stellenwerttafel mit Plättchen in der Stellenwerttafel mit dem Schulabakus 14

15 Darstellen mit Mehrsystemblöcken Darstellen beider Summanden 2. Addition der Einer: 6 Einer plus 3 Einer gleich 9 Einer. (9 Einer nach unten schieben) 3. Addition der Zehner mit Übertrag: 7 Zehner plus 5 Zehner gleich 12 Zehner; 1 Hunderter und 2 Zehner. (12 Zehner nach unten schieben; 10 Zehner in einen Hunderter wechseln) 4. Addition der Hunderter: 3 Hunderter plus 4 Hunderter plus 1 Hunderter gleich 8 Hunderter. (7 Hunderter nach unten schieben und den Übertrag-Hunderter dazunehmen) Quelle: Handbuch 3, Radatz/Schipper u. a. 15

16 Darstellen mit Rechenplättchen in der Stellenwerttafel = = Erklärung ausgehend vom halbschriftlichen Addieren (stellenweise) Quelle: Handbuch II, Müller/Wittmann 16

17 Erarbeiten mit dem Schulabakus Quelle: Wechselspiele, Johann/Matros 17

18 Atlas Mathematik 3 Wie haben Rechenmeister addiert? =? 1. Zahlen legen. 2. Plättchen zusammenschieben. 3. Je zehn Plättchen wechseln =

19 Atlas Mathematik 3 Wie kannst du schriftlich addieren? 1. Spaltenweise addieren. 2. Jeweils den Einer der Summe unter den Additionsstrich schreiben. 3. Jeweils den Zehner der Summe in die nächsthöhere Spalte übertragen. 19

20 Schreib- und Sprechweise 3 plus 6 gleich 9 5 plus 7 gleich 12; schreibe 2, übertrage 1 5 plus 3 gleich 8 Probe: Die andere Rechenrichtung zum nochmaligen Addieren wählen. Der Sprechrhythmus unterstützt das Verinnerlichen des Verfahrens. 20

21 Flexibilisierung Rechenrichtung verändern: mal von unten nach oben, mal von oben nach unten Rechenrichtung innerhalb einer Aufgabe ändern 21

22 c. Schwierigkeiten und Schülerfehler falsche Stellenzuordnung beim Abschreiben Fehler im Zusammenhang mit dem Übertrag Verwechseln der Operation 22

23 d. Erarbeitungsidee (in Anlehnung an Rechenwege ) Kassenbelege, Rechnungen mitbringen: Finde heraus, wie man so rechnen kann. Oder: Wer kann schon so rechnen? 23

24 Rechnen mit Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern Matheprofis Kl. 3 24

25 Matheprofis Kl. 3 25

26 Versuche, auch so zu rechnen: ; ; ; ; 1,43 + 3,07 ; 5,45 + 1,22 So rechneten die Kinder der Kl. 3b. Was fällt euch auf? 26

27 3.2 Übungen 27

28 Palindrome Palindrome sind Wörter, Sätze oder Ziffernfolgen, die von vorne und von hinten gelesen das Gleiche ergeben. OTTO ANNASUSANNA EIN ESEL LESE NIE BEI LIESE SEI LIEB 28

29 Auf folgende Weise erhält man mit der Zeit meistens ein Zahlenpalindrom (Drehwurm): Nimm eine Zahl: 76 Addiere dazu die Umkehrzahl: Addiere zum Resultat 143 wieder die Umkehrzahl: Bei diesem Beispiel gelingt ein Drehwurm schon nach 2 Schritten, manchmal dauert es viel länger. Untersuche die Zahlen 43, 54, 55,

30 Zahlenzüge in die Lokomotive: 3 voneinander verschiedene einstellige Zahlen (>0) z. B. 1,5,7 größte und kleinste Zahl bilden (751, 157) Differenz errechnen ( =594) davon (594) wieder größte und kleinste dreistellige Zahl bilden (954, 459) So fortfahren, so lange es geht Wer schafft den längsten Zug? 30

31 4 Die schriftliche Subtraktion 4.1 Ergänzen oder Abziehen? Das Ergänzen war bis vor ca. drei Jahren das Normalverfahren in der BRD (seit 1958). Das Abziehen ist gebräuchlich in den meisten anderen europäischen Ländern. Auch bei uns setzt es sich immer mehr durch. 31

32 Hintergrund Das Ergänzungsverfahren wurde 1913 für den gymnasialen Mathematikunterricht empfohlen - die sogenannte österreichische (süddeutsche) Methode Anpassung des Rechnens in der Volksschule an die gymnasiale Praxis, u. a. deshalb KMK- Beschluss 1958 für dieses Verfahren. 32

33 Vorteile des Ergänzens, die betont wurden: Sicherheit und Schnelligkeit des Verfahrens (vor allem bei Minuenden mit mehreren Nullen, bei mehreren Subtrahenden) nach Untersuchungen von Johnson

34 Kritik heute: - international wenig gebräuchlich - Einsicht in das Verfahren ist schwerer zu erwerben - schriftliche Subtraktion in Deutschland Höhepunkt bei Schülerfehlern 34

35 Abziehen Einer minus 8 Einer geht nicht. Ich entbündle einen Zehner und erhalte 10 Einer. ( Ich wechsle einen Zehner um in 10 Einer. ) 11 minus 8 ist gleich 3. 1 Zehner minus 7 Zehner geht nicht. Ich entbündle einen Hunderter und erhalte 10 Zehner. 11 minus 7 ist gleich minus 3 ist gleich 1. 35

36 mögliche Kurzform 5`2` minus 8 gleich minus 7 gleich 4. 4 minus 3 gleich 1. 36

37 Argumente für das Abziehverfahren einsichtsvoll zu erwerben Abziehen entspricht eher den kindlichen Vorstellungen vom Subtrahieren. Abziehen u.a. in: USA, Kanada, Niederlande, Großbritannien, Italien, Spanien, Portugal, Türkei, Japan, China, Finnland, Schweden, Indonesien, Israel,... In den neuen Lehrplänen werden diese Argumente berücksichtigt und eine Öffnung des Subtraktionsverfahrens wird empfohlen: Erarbeiten über das Ergänzen oder Abziehen ist möglich. Viele Schulen wählen das Abziehen. 37

38 Die Subtraktionsverfahren Sie unterscheiden sich nach der Rechenrichtung: Ergänzen oder Abziehen Sie unterscheiden sich nach der Art wie mit dem Übertrag umgegangen wird: Entbündeln (Wechseln, Borgen) oder Erweitern Hinzu kommt die Übertragstechnik Auffüllen. 38

39 a. Abziehverfahren (Minus-Sprechweise) 1) Abziehen mit Entbündeln (Wechseln, Borgen), norddeutsche Methode (das heute empfohlene Verfahren) `2 2-7 geht nicht. Ich wechsle einen Zehner in zehn Einer um: =5.... (s. Folien 33, 34) 39

40 die im Padberg empfohlenen Notationsformen: ausführliche Form Kurzformen 40

41 Nachteile des Abziehverfahrens mit Entbündeln: mehrere Nullen im Minuenden mehrere Subtrahenden Schreibweise nicht exakt Von 0 kann ich nichts entbündeln, von der nächsten und übernächsten Null auch nichts. Also wird ein Zehntausender in 10 Tausender gewechselt. Einer dieser Tausender wird in 10 Hunderter, einer dieser Hunderter in 10 Zehner und einer dieser Zehner in 10 Einer gewechselt. Nun kann ich 17-9 rechnen. An der Zehnerstelle stehen jetzt im Minuenden noch 9 Zehner, also

42 mehrere Subtrahenden (in Rheinland-Pfalz nicht gefordert) Zuerst muss in einem Überschlag geklärt werden, wie viele Zehner gewechselt werden müssen bzw. um wie viel erweitert werden muss. Erst dann kann die erste Rechnung durchgeführt werden. Man kann aber auch die Subtrahenden erst addieren. 42

43 2) Abziehen mit Erweitern Einerstelle: 4-9 geht nicht. Ich erweitere im Minuenden um 10 und im Subtrahenden an der nächsten Stelle um 1. (So wird die Konstanz der Differenz gewahrt.) Zehnerstelle: 2-8 geht nicht. Ich erweitere deshalb im Minuenden um 10 (um rechnen zu können) und im Subtrahenden der nächsten Stelle um 1 (um die Konstanz der Differenz zu wahren). Hunderterstelle: 8-5=3. 43

44 b. Ergänzungsverfahren (Plus-Sprechweise) 1) Ergänzen mit Erweitern (unser erlerntes Verfahren) _=2 geht nicht. Ich erweitere oben mit 10 Einern und unten mit 1 5 einem Zehner: 7+5=12... Konstanz der Differenz 44

45 2) Ergänzen mit Entbündeln (Wechseln, Borgen) _=2 geht nicht. Ich entbündele einen Zehner in zehn Einer. 7+5=12. (Es 5 sind noch 5 Zehner.)... 45

46 3) Ergänzen mit Auffüllen Auffüllen der Einer: Aus 479 wird 484 (+5 Einer). Übertrag: Aus 7 Zehnern werden 8. Auffüllen der Zehner: Aus 484 wird 524 (+4 Zehner). Übertrag: aus 4 Hundertern werden 5. Auffüllen der Hunderter: Aus 524 wird 824 (+ 3 Hunderter). Die Auffülltechnik füllt den Subtrahenden stellenweise so weit auf, dass er dem Minuenden gleichkommt. (Wenn nötig wird auch die nächste Stelle im Subtrahenden verändert.) Entspricht dem Herangehen an der Kasse. (Das Geld wird ergänzend herausgegeben, wobei man alle Stellen im Blick hat.) Quelle: Baireuther 46

47 4. 3 Erarbeitung der Verfahren Atlas Mathematik 3 Weg über die Vorerfahrungen Ausschnitte aus Mathematikus, Kl. 3 Denken und Rechnen Kl. 3 47

48 Weg über die Vorerfahrungen Wir haben schriftlich addiert. Wer kann sich denken, wie man schriftlich subtrahiert? Aufgaben vorgeben oder bilden lassen und Schüler probieren lassen. Überschlagt, kann das stimmen, was ihr gerechnet habt? Rechnet eure Beispiele vor. 48

49 Wie haben Rechenmeister subtrahiert? =? 1. Die erste Zahl legen = Wo nötig, Plättchen aus den höheren Spalten wechseln. 3. Plättchen der zweiten Zahl nach unten schieben. (Was oben liegen bleibt, ist das Ergebnis.) Atlas Mathematik 3 49

50 Wie kannst du schriftlich subtrahieren? 1. Wo nötig, vor der Subtraktion aus höheren Stellen wechseln. 2. Spaltenweise subtrahieren. Atlas Mathe 3 50

51 Berechne die Differenzen. Atlas Mathe 3 51

52 In die Lehrbücher geschaut 52

53 Neuere Schulbücher zeigen beim Subtrahieren verschiedene Verfahren. Mathematikus Kl. 3 Welches Verfahren zeigt das Buch zuerst? 53

54 Mathematikus Kl. 3 54

55 Primo Kl. 3 Subtrahieren so? 55

56 Primo Kl. 3 oder so? 56

57 Abziehen (Denken und Rechnen 2003) 57

58 Studienaufgabe zur Vorbereitung auf die Übung (Woche vom ) Sie wollen beim schriftlichen Subtrahieren das Abziehen mit Entbündeln erklären. Notieren Sie Ihre Erklärung an einem Beispiel. Sie wollen beim schriftlichen Subtrahieren das Abziehen mit Erweitern erklären. Notieren Sie Ihre Erklärung an einem Beispiel. 58