Inhaltsverzeichnis. 1 Simple Rekursion Sudokus Sudokus Erzwungene Ergänzung Boolesche Kandidatenliste 25

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1 APL Deutschland SUDOKU MIT APL Page of Urs Oswald November 00

2 Inhaltsverzeichnis Simple Rekursion -Sudokus -Sudokus 0 Erzwungene Ergänzung Page of Boolesche Kandidatenliste Zwang und Rekursion X- und Y-Zyklen 0

3 . Simple Rekursion Page of

4 Page of Simple Rekursion v SUDOKUrekEineL_prim nm;w;z;s;u;l;i;nmi v ι0 v initialisieren (~^/konformzsb nm)/0 ( /,nm=0)/unvollstaendig Leeres Feld? VOLLSTAENDIG: v, nm 0 Sonst: Verpacke nm in v UNVOLLSTAENDIG: w Moeglichkeiten nm (~w ι0)/ergaenzen Keine Moeglichkeit? 0 ERGAENZEN: (z s u) w w: Zeile, Spalte, Kandidatenvektor L ((ρu)ρloop),0 i LOOP: (0<ρv)/0 nur eine Loesung nmi nm nmi[z;s] u[i] v SUDOKUrekEineL_prim nmi L[i i+]

5 . -Sudokus Es gibt genau vollständige -Sudokus. Beweis: Wir setzen voraus, der erste Block sei wie folgt besetzt: sdk_0 Page of Dann muss die erste Zeile im Block (oben rechts) und enthalten, und die zweite Zeile und. Deshalb bleiben mögliche Fälle: sdk_0 sdk_0 sdk_0 sdk_0

6 -Sudokus Fall I Page of sdk_0 Betrachten wir Block (unten links). Die erste Spalte muss aus und, die zweite aus und gebildet werden. In jeder der beiden Spalten können die Zahlen unabhängig voneinander permutiert werden. Jeder Zustand von Block bestimmt eindeutig den Zustand von Block. Deshalb gibt es Möglichkeiten.

7 -Sudokus Fall II Page of sdk_0 In Block führen die Zeilen (, ) and (, ) zu einem Widerspruch, d.h. es gäbe keine Vervollständigung. Für die Zeilen und der vollständigen Vorlage bleiben deshalb nur die beiden Möglichkeiten (,,, ) und (,,, ). Vertauschen dieser beiden Zeilen führt zu Möglichkeiten.

8 -Sudokus Fall III Page of sdk_0 Dieser Fall ist analog zum Fall II. Es bestehen Möglichkeiten.

9 -Sudokus Fall IV Page of sdk_0 Dieser Fall ist analog zu Fall I. Es bestehen Möglichkeiten. Somit bestehen bei vorgegebenem erstem Block +++ = Möglichkeiten. Alle andern vollständigen Sudokus können durch eine Umbenennung (Permutation) der Zahlen,,, erhalten werden. Die Zahl der Permutationen von Elementen beträgt! =. Somit gibt es insgesamt vollständige Sudokus.! ( ) =

10 . -Sudokus Page 0 of Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis (in Enumerating possible Sudoku grids) haben unabhängig voneinander berechnet, dass die Zahl der -Sudokus beträgt (ungefähr 0 Trillionen).

11 -Sudokus Unter der Voraussetzung, dass wiederum der erste Block der Reihe nach durch die Zahlen bis belegt wird, zeigen sie durch leicht verständliche kombinatorische Überlegungen, dass es für die ersten Zeilen (!) + (!) = () = Page of Vervollständigungen gibt. Durch eine Kombination von gruppentheoretischen Überlegungen und roher Computergewalt erhalten sie dann anschliessend die genannte Zahl.

12 -Sudokus Die beiden Sudoku-Vorlagen Page of sdk_uo_empty 0 sdk_uo_full sind regelkonform, d.h. sie erfüllen die Zeilen-, Spalten- und Blockbedingung. Die leere Vorlage hat Vervollständigungen. Aus der zweiten Vorlage ergeben sich durch Umbenennung (Permutation) der Werte bis! = 0 verschieden aussehende, jedoch im Wesentlichen äquivalente Sudokus.

13 Page of -Sudokus - Minimalvorlage Wieviele Zellen müssen vorgegeben sein, damit die Vervollständigung eindeutig bestimmt ist? Gemäss dem Scientific American (Juni 00) ist sdk in dem Sinne minimal, als keine Vorlage mit weniger als besetzten Zellen bekannt ist mit eindeutiger Vervollständigung. Anders, als man erwarten könnte, erfordert die Vervollständigung dieser Vorlage nicht etwa besonders raffinierte Methoden. Mit der Auswertung einiger verdeckter Paare kommt man durch. Es ist auch eine Sudokuvorlage mit besetzten Stellen bekannt, welche bloss Vervollständigungen hat.

14 . Erzwungene Ergänzung Page of Die sieben Zwänge In ihrem Artikel A sudoku solver and generator stellen die Autoren Arten vor, Sudoku-Vorlagen zwangsweise zu ergänzen (constraint propagation). Jeder der Zwänge kann durch eine Elimination von Kandidaten dazu führen, dass in gewissen Zellen nur ein einziger Kandidat übrigbleibt, wodurch die Ergänzung eindeutig wird. gsf/sudoku/sudoku.html

15 Erzwungene Ergänzung Die Zwänge sind: F Forced cell: only one value possible. N Only cell: only one value in row/col/box. B Box claim: only value in row/col within a box. T Tuple: n exact or hidden n-tuples in row/col/box. X Singleton cycle: one or more weak edges (x-wing/swordfish). Requires B. Y Pair cycle: one optional non-pair vertex (xy-wing/coloring). W Row/col claim: classic n-row/col x-wing/swordfisch. Page of Bemerkungen Die Zwänge F und N sind dabei nichts anderes als der Fall T für n = ( Einzelgänger ). Die Fälle X und Y setzen das Auffinden von bestimmten Zyklen (geschlossenen Kantenzügen ) voraus.

16 Zwänge Verdecktes Paar in Block Page of sdk_diabolique_0

17 Zwänge Verdecktes Paar in Block Page of sdk_diabolique_0

18 Zwänge Offenes Tripel in Zeile Page of sdk_diabolique_0

19 Zwänge Offenes Tripel in Zeile Page of sdk_diabolique_0

20 Zwänge Offenes Quadrupel in Spalte Page 0 of sdk_ts0 00

21 Zwänge Offenes Quadrupel in Spalte Page of sdk_ts0 00

22 Zwänge Schwertfisch () Page of sdk_ssp_00

23 Zwänge Schwertfisch () Page of sdk_ssp_00

24 Zwänge Block-Wechselwirkung Page of sdk_nzz_00_de

25 . Boolesche Kandidatenliste Page of sdk klb_sdk 0

26 Zwänge Offenes Tripel Page of AnzahlKandidaten +/[]KLB[ ;;] BM (AnzahlKandidaten>0)^AnzahlKandidaten=+/[]KLB zz (=+/BM)/ιseite KLB [ ;zz;] KLB[ ;zz;] (,ρbm[zz;])ρbm[zz;]

27 Zwänge Häufigkeit der Zwangsmethoden Page of Es wurden ziemlich wahllos zusammengestellte Sudokuvorlagen mit den Zwangsmethoden FNBTW gelöst (soweit diese Methoden ausreichten). Offene Einzelgänger (erzwungene Zellen). % Verdeckte Einzelgänger 0. % Offene Paare. % Verdeckte Paare.0 % Schwertfisch (X-Swing). % Block-zu-Block-Wechselwirkung (Box Claim) 0. % Offene Tripel 0. % Verdeckte Tripel % Schwertfisch 0. % Offene Quadrupel 0.0 % Verdeckte Quadrupel % Offene oder verdeckte Quintupel % Total 00.0 %

28 Zwänge Erfolg der Zwangsmethoden Die Sudokuvorlagen, geordnet nach Schwierigkeitsgraden: Page of Sehr einfach (nur Ziffern eindeutig zu Blöcken) % Einfach (nur Einzelgänger) % Paare nötig % Tripel nötig % Auch Quadrupel und Quintupel helfen nichts % Total 00.0 %

29 . Zwang und Rekursion Zwei -Sudokus Page of Programm Bsp. Bsp. SUDOKUstackEineL_zwE. Sekunden > 00 Sekunden SUDOKUstackEineL_zwE. Sekunden 0. Sekunden SUDOKUstackEineL_zwE. Sekunden. Sekunden SUDOKUstackEineL_zwE. Sekunden. Sekunden SUDOKUstackEineL_zwE. Sekunden?

30 . X- und Y-Zyklen X-Zyklus vom Typ auf dem Kandidaten Page 0 of sdk_att_erg

31 X- und Y-Zyklen X-Zyklus vom Typ auf dem Kandidaten Page of sdk_att_erg

32 X- und Y-Zyklen Y-Zyklus Page of sdk_att_

33 X- und Y-Zyklen Y-Zyklus Page of sdk_att_

34 Page of /VORTRAEGE/apld0/apld0.tex 0. November 00