Entwicklung Protostellarer und Protoplanetarer Akkretionsscheiben. Diplomarbeit. Ileane V. Hinz geboren am in Kiel

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1 Entwicklung Protostellarer und Protoplanetarer Akkretionsscheiben Diplomarbeit Ileane V. Hinz geboren am in Kiel November 2008

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6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theoretischer und phänomenologischer Hintergrund Akkretionsscheiben Allgemein Grundgleichungen Viskosität Selbstgravitation Protoplanetare Akkretionsscheiben Planetenentstehung Gravitative Instabilität Kern-Akkretions-Modell Hill-Radius Migration Zeitskalen Entstehung des Protosterns und seiner zirkumstellaren Akkretionsscheibe Planetenbildung Zeitliche Begrenzung der Planetenbildung Simulation Modell Numerische Umsetzung Parameterwahl Simulationsreihen und Ergebnisse Erste Simulation Numerische Eekte Physikalische Eekte Viskosität Äuÿerer und Innerer Scheibenradius Scheibenmasse Zentralmasse Anfängliches Massenverhältnis bei gleicher Gesamtmasse Zusammenfassung und Ausblick Literatur 63 Anhang 65 Danksagung 77 2

7 1 Einleitung Die drei ältesten Fragen der Menschheit sind noch immer nicht beantwortet: Warum sind wir hier? Wie sind wir hier her gekommen? Sind wir einzigartig? Die Antwort auf die erste Frage wird vermutlich noch einige Zeit auf sich warten lassen. Für die Antwort auf die zweite und dritte Frage gibt es bereits wissenschaftliche Ansätze. In der Biologie wird im Hinblick auf die zweite Frage untersucht, unter welchen Bedingungen und auf welche Weise Leben entsteht und sich weiterentwickelt. In der Astronomie und Astrophysik schlieÿlich wird untersucht, ob es noch andere Planeten gibt, auf denen diese Bedingungen herrschen, oder ob andere Planetensysteme dem unseren in keiner Weise ähneln und das Leben hier ein reines Zufallsprodukt ist. Natürlich ist dabei auch interessant, wie und wo diese Planetensysteme entstehen, da dies Aufschluss darüber gibt, wie unser eigener Planet entstanden sein mag. Die Beobachtungszeit, die den Wissenschaftlern zur Entdeckung und Untersuchung weiterer Planetensysteme zur Verfügung steht, ist sehr begrenzt, zumal für die Beobachtung solch kleiner und lichtschwacher Objekte äuÿerst hohe Auösungen erforderlich sind. Die Natur der Zentralsterne der jeweiligen Planetensysteme ist den Untersuchungen wesentlich zugänglicher. Unter diesen Umständen wäre es von Vorteil, zu wissen, bei welcher Art von Sternen sich das Suchen nach Planeten überhaupt lohnt. In Sternentstehungsgebieten, wie beispielsweise dem Orionnebel, werden häug um sehr junge Sterne rotierende scheibenartige Gas- und Staubansammlungen - die protostellaren Scheiben - beobachtet, aus welchen nach heutiger Vorstellung Planetensysteme entstehen können und welche daher auch als protoplanetare Scheiben bezeichnet werden. Es wird davon ausgegangen, dass diese Scheiben zusammen mit ihren Zentralsternen entstehen und sich anschlieÿend wieder sehr schnell auösen, so dass sie folglich nur in Gebieten junger und neu entstehender Sterne zu nden sind. Es stellt sich nun die Frage, welche Eigenschaften diese jungen Sterne besitzen müssen, damit sich in ihrer Scheibe Planeten ausbilden können. Auf diese Eigenschaften kann sich dann vorläug bei der Suche nach Planetensystemen beschränkt werden. In dieser Arbeit wird der Einuss der Sternmasse auf die Planetenbildung untersucht. Mit Hilfe numerischer Rechnungen wird das Planetenwachstum in sich zeitlich entwickelnden protostellaren Scheiben simuliert und seine Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen betrachtet. In einigen bisher veröentlichten Simulationen des Planetenwachstums werden die Oberächendichten der Scheiben als zeitlich konstant oder nur leicht veränderlich angenommen. Wie sich in dieser Arbeit zeigt, ist der Einuss der zeitlichen Entwicklung der Scheibe, welche durch ihre Akkretion auf den Stern bestimmt wird, auf das in ihr ablaufende Wachstum von möglichen Planeten jedoch nicht unerheblich. 3

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9 2 Theoretischer und phänomenologischer Hintergrund In diesem Abschnitt wird eine Einführung in die Grundbegrie und eine Erläuterung der Mechanismen gegeben, welche bei der Betrachtung von Akkretionsscheiben (Kap. 2.1, 2.2) und Planetenentstehung (Kap. 2.3, 2.4) zum tragen kommen. 2.1 Akkretionsscheiben Als Akkretionsscheiben (lat.: accretio = Zunahme) werden Materiescheiben bezeichnet, welche dierentiell um ein Zentralobjekt beliebiger Natur rotieren und in welchen ein Materieuss in radialer Richtung, auf das Zentrum zu, existiert. In diesem Abschnitt werden nun einige Eigenschaften der Akkretionsscheiben beschrieben: In welchen Zusammenhängen sie zu nden sind (Kap ), wie man sie mathematisch betrachten kann (Kap ) und welche physikalischen Eekte bei ihrer Entwicklung eine Rolle spielen (Kap , 2.1.4) Allgemein In einer Akkretionsscheibe ndet ein nach innen gerichteter Massentransport bei gleichzeitigem nach auÿen gerichteten Drehimpulstransport statt. Die Quelle der elektromagnetischen Abstrahlung einer Akkretionsscheibe ist die freiwerdende Gravitationsenergie. Die Leuchtkraft wächst mit zunehmendem Massenuss und mit massereicheren oder kompakteren Zentralobjekten. Die Entstehung einer Akkretionsscheibe geht einher mit der Entstehung des Zentralobjektes in einer interstellaren Gas- und Staubwolke. Dabei formt sich durch die Zusammenarbeit von Gravitation, Turbulenzen und Drehimpulserhaltung eine Scheibenstruktur, deren Eigenschaften von der Natur ihrer Herkunftswolke sowie ihres Zentralobjektes abhängen. Der innere Radius s i der Scheibe beispielsweise, also die kleinstmögliche stabile Umlaufbahn um das Zentralobjekt, ist im Falle eines akkretierenden Sterns im Zentrum gleich dessen Radius R. Bendet sich im Zentrum ein Schwarzes Loch (Black Hole) der Masse M BH, so ist zumindest in der Schwarzschildmetrik die innerste stabile Bahn für ein Testteilchen erst beim Dreifachen des Schwarzschild-Radius R BH, also des Radius des Ereignishorizontes, des Schwarzen Lochs zu nden: s i = { R, Zentralstern 3 R BH = 6GM BH c 2, zentrales Schwarzes Loch. Hierbei ist G 6, cm3 die Gravitationskonstante und c cm g s 2 s die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Der Schwarzschild-Radius ist deniert als derjenige Abstand zum Zentrum eines Schwarzen Lochs, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit eines Testteilchens gleich der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Scheibenartige Strukturen aus Gas und Staub ndet man in den unterschiedlichsten Zusammenhängen im Universum. Zum Einen ndet man in galaktischen Zentren Akkretionsscheiben (Abb. 1), welche das Zentralobjekt mit Materie versorgen, zum Anderen weisen auch viele Galaxien im Ganzen Scheibenform auf, so zum Beispiel die Sombrero-Galaxie M104 im Sternbild Jungfrau (Abb. 2). 5

10 Abb. 1: Zentralbereich der Galaxie NGC 4261 im Sternbild Virgo; Quelle: [31] Abb. 2: Sombrero-Galaxie M104 im Sternbild Virgo (Hubble Space Telescope); Quelle: [32] Betrachten wir Systeme, deren Ausdehnungen ca. 7-8 Gröÿenordnungen unterhalb derer der Galaxien liegen, so treen wir auch in engen Doppelsternsystemen auf Akkretionsscheiben. Um eine der beiden Komponenten des jeweiligen Systems rotiert eine Scheibe, die aus von der anderen Komponente einströmender Materie besteht (Abb. 3). Abb. 3: (a) Röntgenaufnahme (NASA Chandra telescope) sowie (b) Illustration des Doppelsternsystems Mira (Omicron Ceti). Quellen: [33], [34] Bei diesem sogenannten halbgetrennten System hat die Ausdehnung der einen Komponente die sogenannte Roche-Grenze erreicht und es kann Materie dieser Komponente über den inneren Lagrange-Punkt zur anderen Komponente strömen. Hierbei verfehlt sie durch ihren Bahndrehimpuls bezüglich des akkretierenden Sterns ihr Ziel und landet nicht auf der Oberäche, sondern auf einer Umlaufbahn und es entsteht eine Akkretionsscheibe. Um die jungen T-Tauri-Sterne (massearme Protosterne) in Sternentstehungsgebieten, wie beispielsweise dem Orionnebel, ndet man ebenfalls Scheiben, welche protostellare oder protoplanetare Akkretionsscheiben genannt werden, da angenommen wird, dass dort aktuell Planetenbildung stattndet (Abb. 4). 6

11 Abb. 4: Orionnebel mit deutlich sichtbaren Scheiben um die jüngst entstandenen Sterne. Quellen: [35], [36], [37] Allgemein werden Akkretionsscheiben um Sterne als zirkumstellare Akkretionsscheiben bezeichnet. Letztendlich ndet man auch auf kleinster Skala um Planeten herum ausgedehnte Ringsysteme und in nahezu der selben Ebene natürliche Satelliten (Monde) (Abb. 5). 7

12 Abb. 5: (a) Saturn und (b) Uranus mit deutlich erkennbaren Ringsystemen und Planeten. Quellen: [38], [39], [40] Grundgleichungen Für die Behandlung scheibenförmiger Systeme bietet sich das zylindrische Koordinatensystem {s, z, ϕ} an, wobei die z-achse die Rotationsachse, s der Abstand eines Punktes zur Rotationsachse und ϕ der Azimutalwinkel ist (Abb. 6). Im Folgenden wird Rotationssymmetrie angenommen, so dass nur noch s und z und der sich daraus ergebende sphärische Radius r = s 2 + z 2 eine Rolle spielen. Abb. 6: Auf Scheiben angewandtes zylindrisches Koordinatensystem. Die vertikale Struktur der Scheiben wird vorerst vernachlässigt. In dem Fall ist es nützlich, die sogenannte (Ober-)Flächendichte Σ zu denieren. Sie gibt die Gesamtmasse in einer Säule unendlicher Höhe über einer Einheitsgrundäche an, also die in vertikaler Richtung integrierte 8

13 Volumendichte ρ: Σ(s) = ρ(s, z)dz. ˆ Massenerhaltung: Es werden nun geometrisch dünne Akkretionsscheiben (h(s) s) betrachtet. Wird angenommen, dass der Massentransport nur in radialer Richtung stattnden kann, also keine Materie aus vertikaler Richtung ein- oder abströmt, lässt sich eine einfache Kontinuitätsgleichung aufstellen. Dazu betrachtet man die s-ϕ-ebene einer Akkretionsscheibe, wie sie in Abb. 7 schematisch dargestellt ist. Abb. 7: s-ϕ-ebene einer Akkretionsscheibe. Der Ausschnitt zeigt einen Ring der Breite s beim Radius s. Die Materie ieÿt mit den Radialgeschwindigkeiten v s(s) und v s(s + s) in den Ring hinein bzw. aus ihm heraus, je nach Vorzeichen von v s. Die Masse M zwischen s und s ergibt sich mit den in Abb. 7 verwendeten Bezeichnungen zu M(s, t) = Σ(s, t) [ (s + s) 2 π s 2 π ] = Σ(s, t)π [ s 2 + 2s s + ( s) 2 s 2] s s 2π s s Σ(s, t). Am inneren Rand des Rings ist die Massenänderung δm innerhalb einer kurzen Zeit δt und entsprechend am äuÿeren Rand des Rings δm(s, t) = v s (s, t) 2πs Σ(s, t) δt δm(s + s, t) = v s (s + s, t) 2π(s + s) Σ(s + s, t) δt [ s s v s (s, t) 2πs Σ(s, t) + s ] s v s(s, t) 2πs Σ(s, t) δt, 9

14 wobei die Taylor-Entwicklung f(x+ x) f(x)+ x( f(x)/ x) für [ x x] verwendet wurde. Die Netto-Massenänderung des Rings innerhalb der Zeit δt ist also gegeben durch δ( M) δt = δ δm(s, t) δm(s + s, t) (2π s s Σ(s, t)) = δt δt = 2π s s (v s(s, t)sσ(s, t)). Die doppelt unterstrichenen Terme liefern im Grenzwert δt 0 die Kontinuitätsgleichung: Σ t = 1 s s (sv sσ). (1) ˆ Drehimpulserhaltung: Die Herleitung der Gleichung für die Drehimpulserhaltung geschieht nicht vollständig analog zur Herleitung des Massenerhalts und soll im folgenden kurz dargestellt werden 1. Man berechne die Massen, die Drehimpulse und die Energien folgender Situation: Betrachtet werden zwei benachbarte Ringe einer Akkretionsscheibe (der blaue und der dunkelgraue Ring in Abb. 8). Abb. 8: s-ϕ-ebene einer Akkretionsscheibe zur Herleitung der Drehimpulstransportgleichung. Der Ausdruck für v ϕ (s) sei bekannt und es gelte d(v ϕ /s)/ds = dω/ds 0, d.h. starre Rotation sei ausgeschlossen. Es existiere kein Netto-Massenuss durch die Scheibe, sondern nur stochastische Bewegungen durch Brown'sche Bewegung oder Turbulenzen. Man betrachte zwei 1 Die Berechnungen der Drehimpulse erfolgen hier nach Subramanian, Pujari & Becker (2004) [24]. In besagtem Artikel werden ergänzend die Unzulänglichkeiten der meisten anderen in der Literatur zu ndenden Herleitungen diskutiert. 10

15 Teilchen A und B bei den Radien s A und s B > s A mit s B s A = l s A, s B. Im folgenden interessiert nur die Radialkomponente ihrer Bewegung, welche einer Oszillation um die Radien s A bzw. s B mit der Amplitude l entspreche. Nun wird der Netto-Drehimpulstransport beim Radius s 0 = (s A + s B )/2 berechnet. Das Teilchen A oszilliert mit dieser Denition zwischen s min,a = s 0 3l/2 und s max,a = s 0 + l/2, sowie Teilchen B zwischen s min,b = s 0 l/2 und s max,a = s 0 + 3l/2. Die Radialgeschwindigkeiten der Teilchen verschwinden naturgemäÿ an ihren jeweiligen Umkehrpunkten. Obwohl Teilchen die Grenzäche bei s 0 passieren, bleibt nach Voraussetzung ein Netto-Massenuss aus. Darüber hinaus wird gefordert, dass die jeweiligen spezischen Energien und Drehimpulse der Teilchen erhalten bleiben. Mit anderen Worten: l hängt mit der (radialen) mittleren freien Weglänge der Teilchen zusammen. Wenn e die spezische Energie und j = s 2 ω der spezische Drehimpuls ist, so ist mit ω = e(s) = e kin (s) + e pot (s) = 1 GM 2 s GM s GM s 3 = 1 j 2 2 s 2 GM s Die Erhaltung der spezischen Drehimpulse und Energien setzt voraus, dass e(s min ) = e(s max ) = 1 2 j 2 s 2 min GM = 1 s min 2 Aufgelöst nach dem spezischen Drehimpuls ergibt sich: ( 2GM smin s max j = s min + s max ) 1 2 j 2 s 2 max. GM s max. Damit können nun die Ausdrücke für die Drehimpulse an den Punkten A und B hergeleitet werden:. ( j A = 1 + l ) 1 ( 2 1 3l ) 1 ( 2 1 l ) 1 2 GMs0 2s 0 2s 0 2s 0, ( j B = 1 l ) 1 ( l ) 1 ( l ) 1 2 GMs0 2s 0 2s 0 2s 0. Mit l s 0 und Vernachlässigung aller Terme, die nicht mindestens linear in l sind, erhält man j A = (GMs 0 ) 1 2 j B = (GMs 0 ) 1 2 ( 1 l ) 4s 0 ( 1 + l ) 4s 0,. Mit Hilfe einer weiteren Taylor-Entwicklung und wieder unter Berücksichtigung nur der mindestens linearen Terme ergibt sich mit ω = ω Kepler : ( s 2 0ω s 0 ± l ) ( (GMs 0 ) ± l ( 3 )) ( = (GMs 0 ) l ). 6 6s 0 2 4s 0 11

16 Dies wird in die beiden vorherigen Gleichungen eingesetzt. Ist die charakteristische Geschwindigkeit der Teilchenschwingung ṽ und die Oberächendichte Σ, so sind diese Oszillationen mit einem Netto-Drehimpulsuss G durch s 0 verknüpft: G = 2πsΣṽ(j A j B ) = 2πsΣṽ l 3 s2 0ω = 2πs 3 νσω, wobei ω = ω s und ν = ṽl/3 die kinematische Viskosität ist. Diese Gleichung zeigt, dass in einem realistischen Gas mit dierentieller Rotation (d.h. ω 0) eine Rotation ohne radialen Akkretions-Bewegungsanteil nicht möglich ist. G ist das Drehmoment, welches der äuÿere auf den inneren Ring ausübt. Jeder Ring in der Scheibe erfährt ein solches Drehmoment von jedem seiner benachbarten Ringe. Ist die Breite eines Ringes s = l, so ergibt sich netto G ( s + l 2 ) G ( s l 2 ) Taylor G(s) + l G 2 s ( G(s) l 2 Nun kann die Gleichung für die Drehimpulserhaltung aufgestellt werden: G s ) = G s l. t (s2 ωσ) = 1 s s (sv ss 2 ωσ) + 1 s s ω (sνs2 Σ). (2) s Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt den Drehimpulstransport durch Materieuss und entspricht damit der rechten Seite der Kontinuitätsgleichung. Der zweite Term gibt den Drehimpulstransport durch viskose Drehmomente wieder und ndet keine Entsprechung in der Kontinuitätsgleichung. ˆ Potential: Das gravitative Potential Φ ist als eine Funktion der Verteilung der Massendichte ρ durch die Poisson-Gleichung gegeben: Φ = 4πGρ. Hierbei ist der Laplace-Operator: X = div(grad X). In einem sphärischen System r, ϕ, θ ist Φ = Φ(r, ϕ, θ) und ρ = ρ(r, ϕ, θ). Im einfachsten Fall entsteht das Gravitationspotential durch einen spärisch symmetrischen Körper im Ursprung des Koordinatensystems. Dann ist nur noch der spärische Radius r als Koordinate relevant und die Poisson-Gleichung lautet: Φ = 1 r 2 r ( r 2 Φ r Im Falle einer Scheibe, reduziert sich Poisson's Gleichung in Zylinderkoordinaten zu 1 s s ( s Φ ) s wobei s und z wie in Abb. 6 deniert sind. ). + 2 Φ = 4πGρ, (3) z2 12

17 2.1.3 Viskosität Eine der gröÿten Unzulänglichkeiten der derzeitigen theoretischen Beschreibungen von Akkretionsscheiben ist der Mangel an detailliertem Wissen über die grundlegende Physik der Viskosität (Zähigkeit) in einer solchen Scheibe. Die Viskosität, die aus thermischer Bewegung resultiert, ist ziemlich gut verstanden, da sie umfangreich in Laboratorien untersucht werden konnte. Allerdings ist diese molekulare Viskosität um viele Gröÿenordnungen zu klein, um bei astrophysikalischen Bedingungen genügend kurze viskose Zeitskalen (τ visc = s 2 /ν mit s als radiale Koordinate im Zentralpotential) zu liefern, die nicht das Alter des Universums überschreiten. Man akzeptiert inzwischen eine Art turbulente Viskosität als einen ezienteren Mechanismus (Tscharnuter & Gail 2007 [27], Duschl et al [5]), nicht zuletzt da die Reynolds-Zahl im Scheibenuss für jede astrophysikalische Scheibe extrem hoch ist und dies allein schon sehr wahrscheinlich zu starken Turbulenzen führt, ungeachtet der eigentlichen Instabilitäten des jeweiligen Systems. Es herrscht noch groÿe Unsicherheit über die Art und Weise, eine solche turbulente Viskosität sinnvoll zu beschreiben, da noch keine maÿgebende physikalische Theorie zur Turbulenz existiert. Meist wird der sogenannte α-ansatz verwendet, der von Shakura (1972, [22]) und Shakura & Sunyaev (1973, [23]) eingeführt wurde. Hierbei ist die Viskosität ν als das Produkt der Druck- Skalenhöhe h in der Scheibe, der Schallgeschwindigkeit c s und einem Parameter α gegeben, der die gesamte unbekannte Physik enthält: ν = α h c s. Man interpretiert dies als eine Art isotrop turbulente Viskosität ν = ν t = l t v t, wobei l t eine (a priori unbekannte) Skalenlänge und v t eine (a priori unbekannte) charakteristische Geschwindigkeit der Turbulenz ist. Die sogenannte Magnetorotations-Instabilität (MRI, auch Balbus-Hawley- Instabilität), welche auf die Scherung des Magnetfeldes im dierentiell rotierenden Plasma der Akkretionsscheibe zurückzuführen ist, ist nach weitläuger Meinung der Ursprung der Turbulenzen, welche für diese Viskosität verantwortlich sind. Allerdings ist diese Vermutung noch nicht bestätigt und der Ursprung der Viskosität ist bisweilen unklar. Duschl et al.(2000, [5]) haben gezeigt, dass die klassische Shakura & Sunyaev α-beschreibung für den Koezienten der turbulenten Viskosität zu grundlegender physikalischer Inkonsistenz führt, sobald die Selbstgravitation der Scheibe mit einbezogen wird. Die Autoren schlagen eine Viskosität vor, die nur von rein mechanischen Gröÿen abhängt. Diese Annahme ist notwendig, um physikalische Unstimmigkeiten zu vermeiden und wird auÿerdem durch die Vorstellung motiviert, dass die Turbulenz hauptsächlich durch die (quasi-)keplersche Scherströmung in der Akkretionsscheibe entsteht und weniger durch ihre thermische Struktur. Wie bereits dargelegt, unter anderem von Lynden-Bell & Pringle (1974, [17]) und Thompson et al.(1977, [25]), sollte die hohe Reynolds-Zahl R = sv ϕ /ν Turbulenz und somit eine stetige Erhöhung der eektiven Viskosität verursachen, bis R näherungsweise auf seinen kritischen Wert R crit herabgefallen ist. R crit liegt typischerweise in der Gröÿenordnung Die zugehörige Viskosität ist also wobei β = 1/R die Bedingung ν = βsv ϕ, β 1 R crit 10 3 bis 10 2 erfüllt. Diese allgemeinere Parametrisierung der Viskosität, der sogenannte β-ansatz, schlieÿt die α- Darstellung als Grenzfall für dünne, sehr massearme Scheiben mit ein. 13

18 2.1.4 Selbstgravitation Bei geometrisch dünnen Akkretionsscheiben (h(s) s) unterscheidet man zwischen NSG-, KSGund FSG-Scheiben, je nach dem Verhältnis von Scheiben- und Zentralmasse: No self-gravity Keplerian self-gravity Full self-gravity NSG KSG FSG M disk M h s M h s M disk M M disk M Im NSG-Fall liefert die Masse der Scheibe einen vernachlässigbaren Beitrag zur gravitativen Beschleunigung der Materie. Der KSG-Fall existiert ausschlieÿlich für geometrisch dünne Scheiben. Dieser Fall ist hier besonders interessant, da die Massen vieler beobachteter protostellarer und protoplanetarer Systeme die KSG-Bedingung erfüllen. Hier wird die Keplerrotation um das Zentrum mit einem vertikalen Beschleunigungsanteil durch die lokale Massenverteilung überlagert. Im FSG-Fall wird zusätzlich zur vertikalen (KSG) auch die radiale Komponente der Beschleunigung durch die Scheibenmasse merklich beeinusst oder sogar dominiert. 2.2 Protoplanetare Akkretionsscheiben Die Planeten umlaufen die Sonne in nahezu einer einzigen gemeinsamen Ebene, weshalb es unwahrscheinlich ist, dass die Planeten von der Sonne eingefangene Körper sind. Es wird vielmehr davon ausgegangen, dass sie in einer Art Gas- und Staubscheibe um die Sonne herum, einer sogenannten Protoplanetaren Scheibe, entstanden sind. Wie bereits erwähnt, entsteht eine solche Scheibe gemeinsam mit ihrem Zentralobjekt, in diesem Falle mit dem Zentralstern. Wird in einer Molekülwolke, durch ein Anstoÿereignis wie beispielsweise eine nahegelegene Supernova oder auch die Kollision der Wolke mit einer zweiten Wolke oder einem Stern, zumindest lokal im verdichteten Kern das Jeans-Kriterium ( ) 3 ( 5kB T 2 3 M J Gµm H 4πρ 0 ) 1 2, bzw. ( 15kB T R J 4πGµm H ρ 0 erfüllt, so kollabiert der entsprechende Teil. Dabei ist µ das mittlere Molekulargewicht, ρ 0 die Dichte der Wolke (lokal), T die Temperatur, k B die Boltzmann-Konstante und M J bzw. R J die Mindestmasse bzw. der Mindestradius, um bei gegebener Dichte und Temperatur gravitativ instabil zu werden. Da M J (ρ 0 ) 1 2, wird die Jeansmasse mit steigender Dichte kleiner, so dass immer kleinere Substrukturen Jeans-instabil sind. Schlieÿlich werden die Wolkenfragmente optisch dick und die Temperatur steigt beim Kollaps derart, dass die Jeansmasse wieder zunimmt und die Fragmentation beendet. Das einzelne Wolkenfragment, dessen Masse nurmehr in der Gröÿenordnung stellarer Massen liegt, kollabiert weiter, bis der Druck ausreicht, um den Kollaps abzubremsen. So formt sich im Zentrum ein Protostern, auf den weiterhin Materie aus der umgebenden Wolke einströmt. Der Drehimpuls, den das Wolkenfragment vor dem gravitativen Kollaps besitzt, bleibt erhalten. Daher muss bei abnehmendem Radius des Kerns während des Kollapses, also bei abnehmendem Trägheitsmoment, die Winkelgeschwindigkeit steigen. Durch die entstehende Zentrifugalbeschleunigung und Stoÿwechselwirkungen wird der Einfall der Materie senkrecht zur Rotationsachse abgebremst und sie wird auf Keplerbahnen um den wachsenden Protostern geleitet. So formt sich aus der einströmenden Materie in ca Jahren (Dauer des Kollapses nach [4], [9]) eine Zirkumstellare Akkretionsscheibe (Abb. 9). 14 ) 1 2

19 Abb. 9: (a) leicht rotierender Teil einer Molekülwolke, lokale Instabilität, Kollaps beginnt, (b) Protostern bildet sich, Wolkenfragment acht ab, (c) Scheibe bildet sich um den Protostern, Bild (c) ist im Vergleich zu (a) in hundertfacher Vergröÿerung dargestellt. Dabei wird sehr ezient Drehimpuls vom Protostern weg nach auÿen transportiert. Nach dem Kollaps bendet sich der Groÿteil der Masse des ursprünglichen Wolkenfragments im Protostern (im heutigen Sonnensystem (SS) %), während die Scheibe nahezu den gesamten Drehimpuls (heutiges SS: %) beherbergt. Eine ähnliche Situation herrscht auch in den bis heute entdeckten extrasolaren Planetensystemen. Auch wenn die Scheibe bereits gebildet ist, fällt weiterhin sehr viel Materie aus der Wolke von allen Richtungen her in die Scheibe, weshalb in dieser Phase noch relativ hohe Temperaturen vorherrschen. Die heftigen Ausbrüche, die in einer Klasse von jungen Sternen, den FU-Orionis-Sternen (Fuors), beobachtet wurden, werden auf hierbei entstandene thermische Instabilitäten der Scheibe zurückgeführt (Hartmann & Kenyon 1996 [11]; Bell & Lin 1994 [2]; für eine alternative Erklärung siehe Herbig et al [13]). Der Einfall beim Kollaps geschieht mit Überschallgeschwindigkeit von typischerweise einigen 10 km s. Die vertikalen Bewegungen in der Scheibe sind jedoch um viele Gröÿenordnungen langsamer. Die einfallende Materie wird somit in einer Stoÿfront auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst. Diese bildet gewissermaÿen eine Hülle um die Akkretionsscheibe. Die Ausdehnung einer solchen Scheibe ist vergleichbar mit der des Sonnensystems ( 100 AU, 1 Astronomical Unit 1, km) und damit um 2 Gröÿenordnungen kleiner als der anfängliche verdichtete Kern des Molekülwolkenfragments ( 0.05 pc AU). Der Radius der Scheibe r disk nach ihrer Bildung durch den gravitativen Kollaps kann aus den Anfangsbedingungen des Wolkenfragments (Radius r 0, Masse M innen, Winkelgeschwindigkeit ω 0 ) abgeschätzt werden: r disk = ω 2 0 r2 0 2 G M innen. Dabei wird angenommen, dass die ursprüngliche radiale Geschwindigkeitskomponente des Wolkenfragments v r,0 = 0 ist, der Scheibenradius r disk r 0 ist und das Wolkenfragment während des gesamten Kollapses wie ein starrer Körper rotiert. Allgemein haben protoplanetare Scheiben Radien von 1 bis 100 AU bei Massen von 10 2 M. Bei einem Abstand von 1 AU vom Zentralstern herrschen, laut Infrarot-Spektralanalysen mit Modellrechnungen ohne SG, Temperaturen von 100 K (Beckwith et al [1]). Zusätzlich zu dem Materiezuuss aus der Wolke, existiert in den frühen Entwicklungsphasen ein Materieabuss in Form eines Jets entlang der Rotationsachse der Scheibe (Abb. 10). 15

20 Abb. 10: Schematische Edge-On Ansicht einer Protoplanetaren Akkretionsscheibe unmittelbar nach dem Kollaps. Die Gröÿe eines Pfeils symbolisiert die Stärke des jeweiligen Materieusses. In senkrechter Richtung wird der Einfall durch die Schockfront abgebremst. Protoplanetare Scheiben ndet man bei T-Tauri-Sternen, jungen Vor-Hauptreihensternen der Spektralklassen F-M mit sehr geringen Massen zwischen ca. 0,1 und 3 M (Sonnenmassen). Hubble Space Telescope Beobachtungen des Orion-Nebels (Abb. 4) haben ergeben, dass 56 der 110 Sterne, die heller sind als V = 21 mag, von Scheiben aus zirkumstellarem Gas und Staub umgeben sind ([4] Kap.12, Abs. Proplyds). Die Sterne sind jünger als 1 Myr und die Scheiben haben Massen, die wesentlich gröÿer sind als kg (Erdmasse M : kg). Den direkten Hinweis auf die Keplerrotation der Scheiben um ihre massearmen Zentralsterne haben Untersuchungen der Dopplerverschiebung von Spektrallinien im Infrarot (mm - µm; z.b.: 13 CO) mit Hilfe hochauösender Interferometer geliefert ([9], Kap.: Discs around young stars). Um die Akkretion nachzuweisen, wurde gezeigt, dass die breite spektrale Energieverteilung und die Korrelation zwischen Dopplerbreite der Absorptionscharakteristika und Wellenlänge durch eine Akkretionsscheibe zu erklären ist, dessen Emission aus viskoser Dissipation und in manchen Fällen aus Wiederabgabe der Strahlung des Zentralsterns resultiert ([9], Kap.: Discs around young stars). Die Materie aus der Scheibe wird allgemein mit Raten von 10 7 M yr auf das Zentralgestirn akkretiert, mit typischen Variationen um einen Faktor von 10 über Monate und Jahre und mit gelegentlichen Ausbrüchen (Fuor-Ausbrüche), bei denen die Rate innerhalb eines Jahres oder auch eines Jahrzehnts ansteigt auf etwa 10 4 M yr und anschlieÿend innerhalb einiger Jahrzehnte oder Jahrhunderte (FU Ori selbst sogar 10 3 yr) wieder absinkt. Jeder junge Stern durchlebt ungefähr 10 Fuor-Ereignisse und gegen Ende der Vor-Hauptreihen-Entwicklung häuge schwächere Ausbrüche. Auch wenn die genaue Ursache dieser Aktivitäten noch ungeklärt ist, so ist sicher, dass die Ausbruch-Zeitskala ein Maÿ für die Viskosität der Scheibe ist. Da die massereichen Sterne sehr schnell gebildet werden (siehe Kap. 2.4), sind sie in den frühen Phasen ihres Lebens noch vollständig von der lokal verdichteten Molekülwolke verdeckt und somit der direkten Beobachtung unzugänglich. Werden sie schlieÿlich sichtbar, ist keine Scheibe klar zu erkennen, entweder weil eine richtige Scheibe gar nicht erst gebildet wurde oder weil sie bereits durch dynamische Prozesse und/oder Winde zerstört wurde. 16

21 2.3 Planetenentstehung Planeten sind vorzugsweise bei metallreichen (Population I) Sternen anzutreen. Es scheint, als wären massearme Sterne mit Metallizitäten ähnlich der oder gröÿer als die unserer Sonne immer geeignet, ein Planetensystem entstehen zu lassen (siehe [4]). Folglich muss der Prozess der Bildung eines solchen Systems stabil sein und kein Ergebnis einer zufällig besonders günstigen Konstellation. Er muss sowohl die Entstehung besonders weit vom Zentralstern entfernter Planeten, als auch die derjenigen auf den innersten Orbits ermöglichen. Ein akzeptables Modell dieses Prozesses muss erklären, wieso beispielsweise ein so massearmer fester Planet wie Mars direkt neben einem Gasriesen wie Jupiter existiert. Zusätzlich ist die Existenz des extrem massearmen Asteroiden-Gürtels, des Kuiper-Gürtels und der Oortschen Wolke, sowie die der exotischen Hot Jupiters (sehr dicht am Stern existierende Gasriesen), welche in den meisten extrasolaren Planetensystemen zu nden sind, zu begründen. Die Bahn von 51 Peg b (ca. 0,46 M Jupiter ) um 51 Peg (ca. 1 M ) beispielsweise besitzt nur eine groÿe Halbachse von etwa AU. Das Modell muss plausibel darstellen können, wie ein Gasriese so dicht an seinem Stern entstehen und überleben kann, oder wie er dorthin kommen kann, wenn er wo anders entstanden sein sollte, zumal in unserem eigenen Sonnensystem keiner der Riesenplaneten der Sonne näher kommt als 5.2 AU. Mit dem gesuchten Modell müssen all die Planeten, Monde, Asteroiden, Kuiper-Belt Objekte und Kometen unseres Sonnensystems spätestens bis heute, also innerhalb 4.57 Gyr, fertig ausgebildet werden können. Im frühen Sonnennebel, zu der Zeit als sich die Planeten gebildet haben, muss ein Temperaturgradient existiert haben, da eine deutliche Änderung der chemischen Zusammensetzung vom Zentrum des Systems nach auÿen zu erkennen ist. In den meisten Planetenentstehungsgebieten besteht durch die genügend hohe Gasdichte eine thermische Kopplung zwischen den Gas- und Staubteilchen. In den optisch dünnen Regionen stellt sich zwischen ihnen eine Gleichgewichtstemperatur T abhängig von der Leuchtkraft L des Sterns ein, dessen radialer Verlauf wie folgt beschrieben werden kann (Hayashi 1981 [12]): ( a ) 1 ( ) 1 2 L 4 T = 280 K. 1AU L Dabei ist L die Leuchtkraft der Sonne und a der radiale Abstand vom Zentralstern. Der Temperaturverlauf für ein Gleichgewichtsmodell des Sonnennebels ist in Abb. 11 dargestellt. Wasser-Eis konnte auÿerhalb von ca. 5 AU aus dem Nebel kondensieren und Methan-Eis ab ca. 30 AU. Für sonnenähnliche Sterne ist deren Leuchtkraft grob proportional zur vierten Potenz ihrer Masse: L M 4. Die Grenze für die Wasser-Eis-Kondensation, welche bei einer Temperatur von T 170 K liegt, wird als snowline a snow bezeichnet und ist aus dem Ausdruck für den Temperaturverlauf ableitbar (Ida & Lin 2004 [14]): wobei M die Masse der Sonne ist. ( ) 1 ( ) L 2 2 M a snow = 2, 7 AU 2, 7 AU, L M 17

22 Abb. 11: Ein Gleichgewichtsmodell des Temperaturverlaufs im frühen Sonnennebel. Die Platzierung der Planeten und Zwergplaneten bezeichnet deren heutige Position. Quelle: [4] Fig Planeten entstehen zeitgleich mit ihrem Zentralstern aus ein und demselben Nebel. Nachdem der Nebel (zumindest lokal) gravitativ kollabiert ist und sich die Protoplanetare Akkretionsscheibe um den jungen Protostern herum herausgebildet hat, ndet, wie oben erwähnt, noch weiterer Materieeinfall aus der Molekülwolke auf die Scheibe statt. Im Laufe der Zeit ebbt der Einfall ab. Die Akkretionsscheibe tritt dann in eine eher ruhige, kontinuierliche Entwicklungsphase ein. Diese ist vom auswärts gerichteten Drehimpulstransport und von der langsamen Akkretion der Scheibenmaterie durch den Protostern bestimmt. Durch den Staub, der etwa 1 % der Gesamtmasse der Scheibe ausmacht, bleibt die Scheibe optisch dick. Während dieses Entwicklungsabschnitts (siehe Kap. 2.4) setzt nach gängiger Vorstellung der Prozess der Planetenbildung ein, für dessen Verständnis es zwei unterschiedliche Ansätze gibt: Gravitative Instabilität (Gravitational Instability) und das Kern-Akkretions(-Gas-Einfang)-Modell (Core-Accretion(-Gas-Capture)-Model). Ein Vergleich der beiden Modelle ist von Matsuo et al. (2007, [18]) durchgeführt worden und wird in den beiden folgenden Abschnitten zusammengefasst Gravitative Instabilität Analog zur Sternentstehung handelt es sich hierbei um ein top-down-modell. Bereiche der Scheibe, in denen eine gröÿere Dichte herrscht, könnten in sich selbst zusammenfallen. Wenn sich dort dann die Materie anhäuft, steigt der gravitative Einuss des entsprechenden Bereiches auf seine Umgebung und zusätzliche Materie wird auf den neu entstehenden Planeten akkretiert. Durch diesen Mechanismus könnten auch um die Protoplaneten herum Akkretionsscheiben gebildet werden, in denen wiederum Monde und Ringsysteme entstehen können. Die Bildung eines Gasriesen dauert auf diese Weise nur etwa Jahre (Matsuo et al [18]). Dieses Modell erscheint sehr einfach, weist aber bei seiner Anwendung auf beobachtete Systeme diverse Ungereimtheiten auf. Zum Einen besteht das Problem, dass die Lebensdauer des Sonnennebels nicht ausgereicht hätte, Objekte wie Uranus und Neptun ihre heutigen Massen erreichen zu lassen. Es müsste viel zu viel Materie auf einmal kollabieren, als dass die Auskühlungsprozesse eektiv genug wären, um die heutige Konsistenz der Eisriesen zu erhalten. Des Weiteren begründet dieses Modell weder die groÿe Anzahl kleiner Objekte, welche in unserem Sonnensystem und höchst wahrscheinlich auch in anderen anzutreen sind (Debris Disks), noch die Abhängigkeit der Bildung eines Plane- 18

23 tensystems von der Metallizität. Es liefert keine Erklärung für die Massenverteilung extrasolarer Planeten und die groÿe Bandbreite der Dichten und Kern-Durchmesser der Planeten. Hinzu kommt, dass auf diese Weise Planetenbildung nur in sehr massereichen Scheiben möglich ist oder nur durch relativ starke Störung ( lokale Verdichtung) in massearmen Scheiben ausgelöst werden kann. Die Bedingung, bei der solch eine Scheibe gravitativ instabil wird, lässt sich wie folgt formulieren (Matsuo et al [18]): Q = Σ crit Σ gas c sω k πgσ gas < 1. Q ist der Toomre-Q-Parameter (Toomre 1964 [26]), c s die isotherme Schallgeschwindigkeit, ω k die Keplersche Winkelgeschwindigkeit, Σ crit die in Bezug auf die gravitative Instabilität kritische und Σ gas die Gas-Oberächendichte. Überschreitet Σ gas den Wert von Σ crit, so wird die Scheibe gravitativ instabil Kern-Akkretions-Modell Dieses bottom up-modell wird im Allgemeinen bevorzugt. In der ersten Phase bleiben die ursprünglich (sub-)µm groÿen Partikel durch zufällige gegenseitige inelastische Stöÿe im turbulenten Trägergas aneinander haften. Dies ist der Prozess der Koagulation. Er sorgt dafür, dass die Staubteilchen zu Körpern von km-gröÿe, den sogenannten Planetesimalen, heranwachsen. Sie besitzen ausreichend Masse, um durch ihre Gravitationswirkung kleinere Körper aufzusammeln. Auf diese Weise bildet sich ein Ensemble von ungefähr mondgroÿen Protoplaneten. Aus den Protoplaneten entstehen groÿe Gesteinskerne. Gröÿere Objekte wachsen schneller und hören dann auch schneller auf zu wachsen (runaway growth). Wenn die Kerne alle kleineren Planetesimale in ihrer feeding-zone aufgesammelt haben (Gap-Opening), stoppt ihr Wachstum und sie haben ihre Isolationsmasse (isolation mass) erreicht (Ida & Lin 2004 [14]). Wenn ein Kern massereich genug ist, vergröÿert sich seine feeding-zone. Der Anstieg der Relativgeschwindigkeit von Planetesimalen und Kern verringert jedoch den eektiven Wechselwirkungsquerschnitt des Kerns, so dass sich sein Wachstum verlangsamt. Folglich ist die Wachstumszeitskala eine steigende Funktion der Kernmasse. Die feeding-zone kann auch noch zusätzlich durch radiale Streuung des Kerns an kleinen Planetesimalen (Migration Kap ) erweitert werden. Wenn die Kerne Gröÿen von 10 bis 100 km erreicht haben, schlieÿt sich die Phase des oligarchischen Wachstums (oligarchic growth stage) an, während der die feeding-zone ca. 10 R H breit ist (R H ist der Hill-Radius Kap ). Anschlieÿend erreichen auch die groÿen Kerne ihre Isolationsmasse. Wachsen die Gesteinskerne bis über ca. 10 Erdmassen an, so reicht ihre Gravitation aus, den hydrostatischen Druck des umliegenden Gases zu überwinden. So kann der Kern groÿe Mengen an Gas akkretieren und sich zu einem Gasplaneten entwickeln. Massereiche Gesteinskerne können sich nur im mittleren und äuÿeren Scheibenbereich bilden. Im inneren Scheibenbereich ( 4 AU im SS) steht nicht ausreichend festes Material für die Bildung von Gesteinskernen 10 M zur Verfügung (snowline). Aus den kleinen Gesteinskernen entstehen in der vierten und letzten Phase der Planetenbildung die terrestrischen Planeten. Die Zeit, innerhalb der sich aus den vorhandenen Protoplaneten die planetengroÿen terrestrischen Körper bilden können, ist im inneren Bereich der Scheibe länger als die typische Lebensdauer von protoplanetaren Scheiben, welche wiederum maximal 10 7 Jahre beträgt (Haisch et al [10]). Dann hat der Wind des T-Tauri-Sterns das Gas der Scheibe vollständig verdrängt (Shu et al [30]). Nahe gelegene O- und B-Sterne vermögen den Auösungsprozess der Scheibe durch ihre UV-Strahlung zu beschleunigen (Matsuyama et al [19]). Es verbleibt dann eine Scheibe, bei der die Zwischenräume der Planeten noch stark vom Trümmerschutt der Planetenbildung gefüllt sind. Die Scheibe wird aber nach und nach davon entleert, indem er entweder auf die groÿen Objekte stürzt (Sonne, Planeten) oder auf ungebundene bzw. zumindest stark elliptische Bahnen um den Stern 19

24 gezwungen wird (Oortsche Wolke). Die Sonne hat derweil die Hauptreihe im Hertzsprung-Russell Diagramm (HRD) erreicht und ist dann ein voll ausgebildeter, wasserstobrennender Stern. Dieses Modell erklärt die Existenz vieler kleiner, wie auch einiger sehr groÿer Objekte in ein und demselben Planetensystem. Auch die Entstehung von Monden kann hiermit leicht begründet werden. Sie können sowohl durch Zusammenstoÿ eines groÿen Planetesimals mit dem Kern, als auch selbst unter eigener Gravitation um den Planeten herum entstanden oder von ihm eingefangen worden sein. Durch das heftige Bombardement der Kerne durch Planetesimale kommt es auch zu den Kratern, die auf allen terrestrischen Körpern des Sonnensystems zu nden sind. Im Folgenden wird ausschlieÿlich von diesem Modell ausgegangen Hill-Radius In der jungen Protoplanetaren Akkretionsscheibe ist es kleinen Staubteilchen möglich, zufällig zusammenzustoÿen und aneinander haften zu bleiben. Konnten sich dabei beachtlich groÿe Objekte entwickeln, so beginnen sie, gravitativen Einuss auf die Materie in ihrer Umgebung auszuüben. Um diesen Einuss der wachsenden Planetesimale quantitativ beschreiben zu können, hat man den Hill-Radius R H (oder auch Roche lobe Radius (Ida & Lin 2004 [14])) deniert. Er ist der Bahnradius eines Testteilchens, welches den Planetesimalen der Masse M mit derselben Umlaufzeit umrundet, wie dieser seinen Zentralstern der Masse M (Ida & Lin 2004 [14]): ( ) 1 M 3 R H = s. 3M s ist der Bahnradius des Planetesimals um den Stern. Kommt ein Teilchen bis auf einen Hill-Radius an einen Planetesimalen heran und besitzt dabei eine genügend kleine Relativgeschwindigkeit zu ihm, so kann es gravitativ eingefangen werden. Akkretiert ein Objekt Materie, so vergröÿert sich auch sein Hill-Radius Migration Ohne das Konzept der Migration lieÿen sich mit dem Kern-Akkretions-Modell die groÿen Massen der Gas- und Eisriesen in unserem Sonnensystem nicht erklären. An Jupiters heutiger Position beispielsweise hätte in der jungen Scheibe die Dichte nicht ausgereicht, um seine heutige Kernmasse zu erreichen, nachdem er seinen Einussbereich geleert hat. Saturn hätte dort auÿen nicht annähernd so viel Gas akkretieren können, wie er heute besitzt. Migration erlaubt es dem Planeten, sich radial durch die Scheibe zu bewegen und zusätzliche Materie aufzusammeln, ohne dabei eine bedeutende Lücke in der Scheibe zu schaen. Die sogenannten Hot Jupiters in Exoplanetensystemen müssen weiter auÿen zu entstehen begonnen haben und während ihres Wachstums nach innen migriert sein. Nach innen gerichtete Migration kann durch gravitative Drehmomente zwischen dem Planeten und der Scheibe auftreten (Typ I). Anfängliche Abweichungen von der axialen Symmetrie verursachen Dichtewellen in der Scheibe. Gravitative Wechselwirkungen zwischen diesen Wellen und einem wachsenden Planeten führen zu nach auÿen gerichtetem Drehimpulstransport und gleichzeitigem nach innen gerichteten Massentransport. Dieser Mechanismus ist proportional zur Masse. Akkretiert der Planet Materie, wird er immer schneller in Richtung seines Zentralsterns bewegt. Auf diese Weise können sogar einige Planeten innerhalb 1 bis 10 Myr in ihren Stern hineinstürzen. Migration kann auch durch die Viskosität in der Scheibe hervorgerufen werden (Typ II). Teilchen weiter auÿen mit geringerer Bahngeschwindigkeit werden durch Stöÿe mit schnelleren Teilchen auf geringfügig kleineren Orbits beschleunigt. Dadurch verlieren Letztere etwas von ihrer 20

25 kinetischen Energie und fallen spiralartig nach innen. Dieser Migrationsprozess dominiert, wenn eine Lücke in der Scheibe entstanden ist. Ein Planet kann ebenfalls nach auÿen wandern. Dazu kommt es, wenn Planetesimale an ihm nach innen gestreut werden. Ob ein Planet nach innen oder nach auÿen wandert, entscheidet die Dichteverteilung von Staub und Gas sowie die Menge und Verteilung der Planetesimale. Es wird angenommen, dass Jupiter ca. 0.5 AU weiter auÿen und Saturn 1 AU weiter innen entstanden ist. Auf dem Weg zu ihrer heutigen Bahn, passierten sie einen Punkt, an dem die Umlaufzeit des Saturn genau doppelt so lang war, wie die des Jupiter, so dass ihr gravitativer Einuss auf andere Objekte zweimal pro Umlauf an denselben Punkten addiert wurde. Daraus resultierten signikante Störungen der Bahnen der Asteroidengürtel-Objekte und der Kuiper- Belt Objekte und es kam etwa 700 Myr nach der Entstehung der inneren Planeten und unseres Mondes zu dem starken Bombardement, dessen Spuren auf der Oberäche des Mondes zu nden sind. Jupiter hat nicht nur Saturn, sondern auch Uranus und Neptun zur Auswärtsmigration gezwungen. Auch sie haben ihre Kerne in Bereichen höherer Dichte gebildet. Weil sie jedoch sehr weit nach auÿen gewandert sind, haben sie nur wenig zusätzliches Gas akkretieren können und sind nun eher Eisriesen als Gasriesen ([4], Kap.: The Process of Migration). 21

26 2.4 Zeitskalen Dieses Kapitel dient der Übersicht über die in den vorherigen Kapiteln beschriebenen Abläufe und ihre Zeitskalen. Abb. 12: Zeitliche Übersicht über die Scheibenentwicklung und die Planetenbildung. β Pictoris-Scheiben sind Debris- Scheiben (Trümmer-Scheiben) um weniger junge Sterne. Sie bestehen aus den Gesteins-Überresten der Planetenentstehung, nachdem jegliches Gas verogen ist und/oder weggeblasen wurde (siehe folgende Kapitel) Entstehung des Protosterns und seiner zirkumstellaren Akkretionsscheibe Abb. 13: Theoretische Entwicklung während des Kollapses für Molekülwolken von 0.05, 0.1, 0.5, 1, 2 und 10 M. Quelle: Wuchterl & Tscharnuter 2003 [29] Hat der Kollaps einer Molekülwolke eingesetzt, so braucht es ca Jahre, um eine Protosonne umgeben von einer Akkretionsscheibe aus der Nebelmaterie entstehen zu lassen (Abb. 13). Ein solcher Kollaps ist durch die Freifall-Zeitskala charakterisiert: 3π t = ( ) 1 2, 32Gρ 0 22

27 unabhängig vom ursprünglichen Radius der Wolke. Ist die Dichte ρ 0 des Nebels anfänglich homogen, so vollzieht sich der Kollaps überall gleichschnell. Mit der Beendung des Kollapses und der Bildung eines quasistatischen Protosterns bei Erreichen der sogenannten Hayashi-Linie im Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) wird die Entwicklung nun von der Kelvin-Helmholtz Zeitskala bestimmt: t KH = E g L. E g ist die Energie, die während des Kollapses abgestrahlt wird. Die protostellare Entwicklung geht sehr viel langsamer vonstatten als der Freifall-Kollaps (t t KH ). Ein System mit einer Masse von 1 M braucht 40 Myr, um quasi-statisch von der Hayashi-Linie zur Hauptreihe im FHD zu kontrahieren, bei welcher schlieÿlich die Kernfusion im Inneren des Sterns einsetzt Planetenbildung Die ältesten Meteoriten sind Gyr alt, während die Sonne mit 4.57 Gyr nur unwesentlich älter ist. Die Planetenbildung beginnt also unmittelbar nach der Protosternentstehung. Ein fester Kern formt sich und erreicht im Falle eines entstehenden Gasriesen eine Masse von 10 Erdmassen, gefolgt von der Ansammlung einer beträchtlichen Menge an Gas. Während die Planeten wachsen, können sie durch Viskositätseekte und Gezeitenwechselwirkung mit der Scheibe radial migrieren. Typische Zeitskalen, welche bisher aus diesem Entstehungsmodell errechnet wurden, reichen von 10 6 bis zu 10 7 Jahren (Haisch, Lada & Lada 2001 [10]), abhängig von der Akkretionsrate fester Materie und der Staub-Oberächendichte der Scheibe. Die massereichsten Sterne verlieren ihre Scheiben in wesentlich kürzeren Zeiten (< 2-3 Myr; Haisch, Lada & Lada 2001 [10]). Das konkurrierende Modell der gravitativen Instabilität sagt für Riesenplaneten eine viel kürzere Entstehungsdauer von gerade mal 10 3 Jahren voraus, allerdings nur in einer relativ massereichen Scheibe mit M disk 0.1 M innerhalb eines Radius von 20 AU Zeitliche Begrenzung der Planetenbildung Zum Einen ist die Zeit, die für die Planetenbildung zur Verfügung steht, durch die Akkretion der Scheibe auf den Stern begrenzt. Zum Anderen setzt ungefähr mit der zentralen Kernfusion (H He) des Sterns - also mit seinem Erreichen der Hauptreihe - je nach Sternmasse 10 5 bis 10 7 Jahre nach dem Kollaps der Wolke die starke T-Tauri Aktivität, die FU-Orionis Aktivität und damit erheblicher Massenverlust ein. Die T-Tauri Aktivität zeichnet sich durch schnelle (Gröÿenordnung: einige Tage) ungleichmäÿige Variationen in der Leuchtkraft, signikanten Massenverlust von ca M yr, eine zeitweise höhere Akkretionsrate und einen allgemein äuÿerst instabilen Zustand aus. Die FU-Orionis Aktivitäten sind extreme Spezialfälle der T-Tauri-Ereignisse mit folgenden Eigenschaften: abrupter Anstieg der Akkretionsrate von der Gröÿenordnung 10 4 M yr und der Leuchtkraft um 4 mag für Jahrzehnte, Instabilitäten in der Akkretionsscheibe, Ausbrüche und starke Hochgeschwindigkeits-Winde mit Geschwindigkeiten von 300 km s. Das bedeutet, dass die molekulare Restmaterie, sowohl Gas als auch Staub, welche noch nicht auf einen Planetesimalen oder Planeten akkretiert ist, innerhalb von maximal 10 Myr weggeblasen wird. Damit ist dann jede Gasakkretion und die Bildung von Riesenplaneten denitiv beendet. Die Lebensdauer des zentralen Protosterns, also die Zeit zwischen Kollaps und Erreichen der Hauptreihe, ist das Fenster, in dem die Planeten entstehen müssen, da die Scheibe nur in der Zeit eine relativ ruhige Akkretionsphase durchlebt. Wie bereits erwähnt ist ihre Dauer von der Zentralmasse abhängig. 23

28 Jeder Protostern benötigt, abhängig von seiner Masse, eine bestimmte Zeit für seine Vor- Hauptreihen-Kontraktion. In der folgenden Tabelle sind diese Zeiten für ein klassisches Modell und eine Zusammensetzung von X=0.68, Y=0.30 und Z=0.02 (X ˆ= H, Y ˆ= He, Z ˆ= schwerere Elemente) aufgelistet. Die Abb. 14 zeigt die Entwicklung im Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD). Initial mass / M contraction time / Myr Tabelle 1: Vorhauptreihen Kontraktionszeiten ([4], table 12.1) Abb. 14: Klassische Vorhauptreihen-Entwicklung, berechnet für eine Zusammensetzung von X=0.68 Y=0.30 Z=0.02. Quelle: [4], gure 12.11, Original: Bernasconi & Maeder 1996 [3] Anschlieÿend sammeln die Planeten nur noch den Rest der Planetesimale in ihrem Einussbereich aus der Scheibe. Die Mond- und Marsoberäche müssen sich beispielsweise einige 100 Myr nach dem Kollaps des Sonnennebels verfestigt haben. Die Mondoberäche berichtet von einem späten heftigen Ensemble von Einschlägen etwa 700 Myr nachdem der Mond erstarrt ist. 24

29 3 Simulation Ziel dieser Arbeit ist es, den Einuss verschiedener Anfangsbedingungen auf die zeitliche Entwicklung einer protoplanetaren Scheibe und somit auch auf das in ihr ablaufende Planetenwachstum zu untersuchen. Zu diesem Zweck wird ein Modell aufgestellt, welches sowohl die Scheibenentwicklung als auch die Wachstumsraten der Planeten beinhaltet. Anschlieÿend wird die Entwicklung des Systems mit Hilfe numerischer Methoden simuliert und die Ergebnisse werden ausgewertet. 3.1 Modell Das hier verwendete Modell basiert auf den Grundgleichungen, welche in Kap vorgestellt wurden. Zusätzlich zu der bereits erwähnten Annahme einer dünnen, rotationssymmetrischen Scheibe, wird nun auch Symmetrie zur s-ϕ-ebene angenommen. Materieeinfall aus der umgebenden Wolke, sowie Materieverlust durch Jets werden vernachlässigt. Aus der Kontinuitätsgleichung (1) und der Drehimpulserhaltung (2) lassen sich die Radialgeschwindigkeit und die Entwicklungsgleichung für die Oberächendichte herleiten. Nach Anwendung der Produktregel auf Gleichung (2) erhält man s 2 ω Σ t + s2 Σ ω t + s2 ω 1 (sσv s ) + (sσv s ) 1 (s 2 ω) 1 s s s s s ( sνσs 2 ω ) = 0. s s Laut Gleichung (1) kann man nun (sσv s )/ s durch s( Σ/ t) ersetzen. Anschlieÿend wird nach sσv s aufgelöst und dies wieder in Gleichung (1) eingesetzt: ( Σ t = 1 ( ) ) s sνσs 2 ω s s 3 Σ ω t. s s v s = (s 2 ω) s Ersetzt man oben umgekehrt s( Σ/ t) durch (sσv s )/ s, ergibt sich v s : ( ) s sνσs 2 ω s Σs 3 ω t sσ (s2 ω) s ν ist die Viskosität und hier durch den β-ansatz (Kap ) beschrieben. Die Selbstgravitation wird hier bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit ω mit einbezogen: G(Mc + M d (s)) ω(s) = s 3. In dieser Monopolnäherung wird die Masse der Scheibe innerhalb des jeweiligen Radius M d (s) mit der Sternmasse M c zusammen von der Scheibenmaterie als Punktmasse im Mittelpunkt der Scheibe gesehen. M d (s) ergibt sich einfach aus der Oberächendichte: M d (s) = s 0 2πs Σ(s )ds. Die Akkretionsrate der Materie auf den Zentralstern ist durch das sogenannte Eddington- Limit begrenzt [21]. Die freiwerdende Gravitationsenergie der akkretierten Materie wird abgestrahlt und der Strahlungsdruck wirkt weiterer einfallender Materie entgegen. Das Eddington- Limit, also die höchste mögliche Akkretionsrate, ist erreicht, wenn die Strahlungskraft und die Gravitationskraft auf ein Testteilchen entgegengesetzt gleich groÿ sind. Ist das Zentralobjekt kein Schwarzes Loch, so wird hier diese Grenze folgendermaÿen formuliert (cgs-einheiten): ( ) g cm2 dmc 2, s = 3 R, dt Edd GM 25.

30 wobei R der Radius des Zentralobjektes ist. Für Schwarze Löcher im Zentrum wird die Grenze anders deniert. Allerdings spielt dieser Fall für diese Arbeit keine Rolle, da wir es hierbei nur mit stellaren Zentralobjekten zu tun haben. Es interessiert nun die Entwicklung von Protoplaneten in einer solchen Scheibe. Dabei wird zunächst nur die Phase des oligarchischen Wachstums der gröÿten Planetesimale zu kleinen Protoplaneten und das Wachstum dieser Protoplaneten selbst betrachtet, da diese Zeitskalen die Entwicklung dominieren. Zur mathematischen Beschreibung des Wachstums eines Protoplaneten nach dem Kern-Akkretionsmodell gibt es verschiedene Ansätze. Hier wird sich einer Entwicklungsformel bedient, die von Kornet, Wolf & Różyczka (2007, [16]) verwendet wurde. Sie beinhaltet nur rein gravitatives Aufsammeln von Materie. Es werden keine Exzentrizitäten in den Planetesimalbahnen beachtet, keine groÿen Protoplaneten zu einem verschmolzen und die Protoplaneten migrieren nicht durch die Scheibe. Die Entwicklungsformel für die Masse der Protoplaneten lautet: M p = C 1 C cap R p R H ω kepler Σ solid. t M p ist die Masse, R p der Radius und R H der Hill-Radius des Protoplaneten. Für die Berechnung des Radius R p aus der Masse M p wird die Dichte des festen Materials hier als ρ p = 3, 3 g cm angenommen. Der Wert von C 1 ist nach Papaloizou & Terquem (1999, [20]) 81π/32. Die Gröÿe C cap 3 beschreibt die Zunahme des eektiven Einfang(Capture)-Radius des Planeten relativ zu seinem echten Radius R p. Ab ca. 5 Erdmassen hat der Planet eine merkliche Atmosphäre angesammelt, welche daraufhin zusätzlich mit den Planetesimalen wechselwirkt und den eektiven Radius des Planeten vergröÿert. Der Verlauf von C cap wird folgendermaÿen genähert: 1, M p 5 M C cap = lineare Steigung, 5 M < M p < 15 M. 5, M p 15 M Σ solid ist der Staubanteil der Oberächendichte Σ der Scheibe. Das Verhältnis von Staub- zu Gasanteil ist nach Kokubo & Ida (2002, [15]), basierend auf Hayashi (1981, [12]), gegeben durch: Σ solid Σ gas = f ice f gas, wobei f ice = { 1 ; s asnow 4,2 ; s > a snow, f gas = 240 und a snow die Grenze für die Wasser-Eis-Kondensation (snowline, Kap. 2.3) ist. So ergibt sich für die Staub-Oberächendichte: Σ ; s a snow Σ solid =. 4, 2 244, 2 Σ ; s > a snow In dieser Arbeit werden nun groÿe Planetesimale von ca bis 10 5 M (ca. 20 km Radius) in die sich entwickelnde zirkumstellare Scheibe eingebettet. Die Planetenbildungszeit wird also durch die Akkretion der Scheibe auf den Zentralstern begrenzt. 26

31 3.2 Numerische Umsetzung Zur 1-D Simulation der zeitabhängigen Entwicklung achsensymmetrischer, geometrisch dünner Akkretionsscheiben wird eine Version des disk_evolution Fortran90/95-Codes für Linux (September 2007) von Wolfgang J. Duschl modiziert und verwendet. Der Code bedient sich eines radialen logarithmischen Gitters, welches am Rand des physikalisch interessanten Bereiches noch um viele Gröÿenordnungen weiter ausgedehnt wird, um Einüsse des äuÿeren numerischen Randes auf die physikalischen Lösungen im interessanten Bereich zu vermeiden. Die Details zum Code sind im Anhang zu nden. 3.3 Parameterwahl Um zu untersuchen, wie sich die Scheibe und das Planetenwachstum bei verschiedenen Anfangsbedingungen verhält, muss zunächst in Erfahrung gebracht werden, in welchem Parameterbereich man sich überhaupt nur bewegen darf, ohne die Gröÿenordnung Protoplanetarer Scheiben zu verlassen. Dafür stehen diverse Publikationen mit Beobachtungsmaterial zur Verfügung. In Kap. 2 werden die wichtigsten Gröÿenordnungen bereits im Zusammenhang erwähnt, hier sollen sie noch einmal in der Reihenfolge der Eingabe-Datei zusammengefasst werden. Die Gitterpunktzahl wird in den Simulationen auf 50 festgelegt (s. Kap. 4.2). Da die Dauer der Vorhauptreihen-Entwicklungen sich im Bereich von 10 5 bis 10 7 Jahren be- ndet, werden Ausgabe-Intervalle von 10 3 und 10 5 Jahren, je nach Gesamtzeit, gewählt. Die CFL-Zahl muss 1 sein. Wird sie auf 1 gesetzt, so haben die Zeitschritte ihre maximal sinnvolle und stabile Länge ausgereizt. Sie sollten aber nach Möglichkeit kürzer sein als die kürzeste Zeit, die ein beliebiges Masseteilchen der Scheibe braucht, um mit seiner Radialgeschwindigkeit den Weg von einem zum nächsten Gitterpunkt zurückzulegen. Hier wird die CFL-Zahl auf 0.5 gesetzt, so dass die Zeitschritte immer höchstens halb so lang sind, wie sie sein dürften. Der β-parameter einer von Natur aus geometrisch dünnen, sehr massearmen Protostellaren bzw. Protoplanetaren Scheibe liegt im Bereich von Er wird hier zwischen 0,001 und 0,005 variiert (s. Kap ). Der innere Scheibenradius R min und der Radius des Zentralsterns R sind hier identisch. Sie bleiben während der Simulation konstant, müssen also mit Bedacht gewählt werden. Die Entwicklung des Systems geht so schnell vonstatten, dass der Zentralstern innerhalb zu vernachlässigender Zeit fast die gesamte Masse des Systems akkretiert hat. Der Radius dieses Sterns und damit auch der innere Radius der Scheibe wird also auf die Gesamtmasse (M d,init + M,init ) bezogen. Nach der Masse-Radius-Relation [7] für Hauptreihen-Sterne kann er mit M = M R = R abgeschätzt werden: R M 0,6, also M = X M R = X 0,6 R, für M > M R M, also M = X M R = X R, für M < M Je nach Literatur liegt der Exponent auch gelegentlich bei 0,75. Realistische Radien Protoplanetarer Scheiben liegen bei einer charakteristischen Gröÿenordnung von einigen 10 bis einigen 100 AU (1 AU= cm). Hier wird zwischen 50 und 1000 AU variiert (s. Kap ). Die Gesamtzeit richtet sich nach der Vorhauptreihen-Entwicklungszeit, diese wiederum nach der Masse des Zentralsterns bei Erreichen der Hauptreihe (HR). Nahezu die gesamte Masse des Systems wird auf den Zentralstern akkretiert, also ist M,HR (M,init + M disk,init ). Die zugehörige Vorhauptreihenzeit kann mit den Werten aus Kap , Tab. 1 (s. Abb. 15) abgeschätzt werden. 27

32 Abb. 15: Vorhauptreihen-Entwicklungszeit abhängig von der Masse des Sterns nach Tab.1. Typische Massen von Sternen mit Protoplanetaren Scheiben oder Planetensystemen liegen zwischen 0,1 und 3 M. Um den Übergang zwischen Sternen mit Planeten und solchen ohne zu untersuchen, wird die Zentralmasse hier zwischen 0,5 und 10 M variiert (Kap ). Die Scheiben um derartige Sterne haben typischerweise Massen von M disk 0, 01M (Kap ). Jeder kleine Protoplanet bekommt die gleiche Anfangsmasse zugewiesen und zwar g bzw g (Kap. 4.1). 28

33 4 Simulationsreihen und Ergebnisse Die Standard-Eingabeparameter jeder Simulation sind die folgenden: Parameter Wert number of grid points 50 print intervall 10 5 yr β visc 0,001 log 10 (r min ) 11,6259 (1 R ) log 10 (r max ) 15,1749 (100 AU) log 10 (r ) 11,6259 (1 R ) max time yr initial M central 1 M initial M disk 0,01 M Es werden in späteren Simulationsreihen immer nur ein bis zwei Parameter variiert, wobei die anderen ihren Standardwert beibehalten. In den Plots sind die Eingabeparameter als Überschrift und Legende zu nden. 4.1 Erste Simulation Diese erste Simulation wurde mit den Standardwerten durchgeführt. Abb zeigen die Plots der nur zeitabhängigen Ausgabegröÿen, während Abb die zeitliche Entwicklung der radiusabhängigen Gröÿen darstellt. In Abb. 16 ist zu sehen, wie sich die Scheibenmasse und die Masse des Zentralsterns mit der Zeit verändern. Das Verhältnis von M d zu M c ist innerhalb der ersten 2,5 Myr von 0,01 auf 0,002 und nach ca. 20 Myr auf 0,001 herabgefallen. Dies lässt vermuten, dass die Hauptphase des Planetenwachstums nach den ersten 10 6 Jahren beendet ist. Im Vergleichsplot der Akkretionsrate mit ihrem Eddington-Limit (Abb. 17, rechts) ist zu sehen, dass sie für diese Anfangsparameter 6 Gröÿenordnungen unterhalb des Limits liegt. Die Numerischen Massenverluste (Abb. 18, links) betragen beim Standard-Parametersatz nur 0,02%. Hier liegt die Masse der Scheibe weit unterhalb der Zentralmasse, daher bleibt der SG- Radius unverändert am Auÿenrand (Abb. 18, rechts). Abb. 16: Links: Zeitentwicklung von Zentralmasse und Scheibenmasse bei Standardparametern, Rechts: Zeitentwicklung des Massenverhältnisses von Scheibe zu Zentralstern. 29

34 Abb. 17: Links: Verhalten der Akkretionsrate mit der Zeit, Rechts: Akkretionsrate und zugehöriges Eddingtonlimit. Abb. 18: Links: Gesamtmasse des Systems inklusive Eddington- und Auÿenrand-Verluste, nimmt dieser Wert ab, so geschieht dies durch numerische Eekte, Rechts: SG-Radius. Die Winkelgeschwindigkeit, und somit auch die viskose Zeitskala, scheinen hier zeitlich konstant zu sein, da die Masse der Scheibe und damit auch die Änderung der Masse innerhalb eines bestimmten Radius sehr klein ist (Abb. 19). In der Ausgabedatei kann man die Änderung von ω ablesen. Innerhalb von 40 Myr beträgt sie gerademal 1% innen und nur 0,1% auÿen. Die Umlaufzeiten im Innenbereich der Scheibe bis ca. 7 AU liegen zwischen 0,001 und 3,5 Jahren: die Gröÿenordnung des inneren Sonnensystems. Die viskose Zeitskala liegt im Bereich von einem Jahr innen bis zu 10 5 Jahren auÿen. Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit nicht ändert, so auch nicht die Azimutalgeschwindigkeit. Sie liegt bei cm s (Abb. 20). Abb. 21 zeigt die Radialgeschwindigkeit und ihre Änderung mit der Zeit, sowie mit prozentualer Zentralmassenänderung. Im Innenbereich der Scheibe ändert sie sich nach Verlassen der Initialform nicht mehr. Dort fällt die Materie mit konstanten 1,5 km s auf das Zentralobjekt. Der riesige Initial-Peak am Auÿenrand der Scheibe, existiert aufgrund des dortigen steilen Abfalls der anfänglichen Oberächendichte. Mit der Zeit und der Abachung von Σ verläuft er sich allerdings recht schnell nach auÿen. 30

35 Abb. 19: Links: Radialverteilung der Winkelgeschwindigkeit zu unterschiedlichen Zeiten. Rechts: Radialverteilung der viskosen Zeitskala zu unterschiedlichen Zeiten. Keine zeitliche Änderung, daher ist nur die zuletzt geplottete Kurve zu sehen. Abb. 20: Links: Änderung der Radialverteilung der Azimutalgeschwindigkeit mit der Zeit, Rechts: mit prozentualer Zentralmassenänderung. Wie in Abb. 19 keine zeitliche Änderung. Abb. 21: Links: Änderung der Radialverteilung der Radialgeschwindigkeit mit der Zeit, Rechts: mit prozentualer Zentralmassenänderung. 31

36 In KSG-β-Scheiben ist nach Duschl et al. (2000) v s = 3 2 βv ϕ. Demnach müsste hier v s /v ϕ = 0, Im interessanten Innenbereich der Scheibe ist dies bis auf den innersten Bereich (1 AU), wo der Wert bis auf 0,009 hoch steigt, auch der Fall (Abb. 22). Abb. 22: Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit. Die Abb. 23 lässt die zeitliche Entwicklung der Oberächendichte mitverfolgen. Bereits nach den ersten 5 Myr ist ihr Wert um zwei Gröÿenordnungen abgefallen. Bei der Entwicklung verformt sich Σ in den ersten Zeitschritten dergestalt, dass innen ein starker Dichteanstieg und auÿen ein starker Abfall stattndet. Anschlieÿend fällt Σ überall gleichschnell ab und verbreitert sich nach auÿen. In Abb. (23, rechts) ist zu sehen, dass selbst bei nur noch verbleibenden 0,6 M d,init in der Scheibe, die Flächendichte innen immernoch höher ist als zu Beginn der Simulation. Abb. 23: Links: Zeitentwicklung der Oberächendichte. Rechts: Oberächendichte bei prozentualer Abnahme der Scheibenmasse. 32

37 Ausgehend von den Werten für die Oberächendichte Σ und der Lage der snowline, wurde die Staub-Oberächendichte Σ solid berechnet und ist in Abb. 24 zu sehen. Ebenso die Wachstumsraten der Protoplaneten, die zusätzlich immer noch von der Masse des Protoplaneten im letzten Zeitschritt abhängen. Obwohl sich die Masse des Zentralsterns leicht ändert, verschiebt dies die snowline bei diesen Massen nur unwesentlich. Abb. 24: Links: Zeitliche Entwicklung der Staub-Oberächendichte. Die angegebene Zeit ist Scheibenzeit, nicht die Zeit seit Einsetzen des Planetenwachstums. Die rote Kurve zeigt hier die Initialwerte und die Legende gibt an, zu welcher Scheibenzeit das Wachstum eingeleitet wurde. Rechts: Zeitliche Entwicklung der Wachstumsraten der Protoplaneten. Schlieÿlich zeigt Abb. 25 die resultierenden Protoplanetenmassen. Die Vermutung, dass die Hauptphase des Wachstums nach den ersten 10 6 Jahren beendet ist, bestätigt sich. Bei verschiedenen Startmassen ist eine Konvergenz der Massenzunahme gegen dieselbe Gröÿenordnung zu erkennen. Die groÿen Unterschiede macht die Wahl, welche Anfangsmasse man verwendet schätzungsweise nur, bei den sehr begrenzten Entwicklungszeiten (< 10 6 yr) höherer Zentralmassen. Von den erforderlichen 10 M, um erwähnenswerte Mengen an Gas zu akkretieren und sich gegebenenfalls zu einem Gasriesen zu entwickeln, sind die Planeten, die mit diesem Standard- Parametersatz entstehen, noch einige Gröÿenordnungen entfernt. Abb. 25: Links: Zeitentwicklung der Massen der Protoplaneten. Die angegebene Zeit ist wieder Scheibenzeit. Rechts: Vergleich der Massenentwicklung der Protoplaneten einmal mit Anfangsmassen von g und einmal von g. Dies ist ein älteres Ergebnis, bei dem die Planeten noch gleichzeitig mit der Scheibe beginnen, sich zu entwickeln. 33

38 4.2 Numerische Eekte Der wichtigste numerische Eekt, der in den folgenden Simulationsreihen auftritt, ist der Ein- uss der gewählten Anzahl an Gitterpunkten (GP). Um ihn abschätzen zu können, wurde die Simulation mit dem Standard-Parametersatz mit 25 und 100 GP wiederholt. Die Vergleiche mit Initialwerten und Werten nach 40 Myr sind in Abb zu nden. Abb. (26, links) zeigt das Massen-Budget für verschiedene GP-Zahlen. Bei 50 GP sind es, wie im Kapitel Erste Simulation bereits festgestellt wurde, 0,02% Massenverlust. Mit nur 25 GP kommt man auf ganze 0,1%, wohingegen es bei 100 GP nur 0,006% Verlust sind. In Abb. (26, rechts) ist zu sehen, wie der Initialwert der Scheibenmasse bei weniger GP zu einem höheren Wert springt. Der Grund hiefür liegt in den Anfangs-Randbedingungen auÿerhalb der Scheibe begründet (Kap. 4.4). Dieser Plot stammt aus einer älteren Simulationsreihe, bei welcher durch einen unglücklichen Zufall ein R max von AU verwendet wurde. Dies sollte dennoch einen Eindruck der Gröÿenordnung dieses Eektes liefern. Trotz der Tatsache, dass die Oberächendichte wesentlich geringer ist und deshalb sehr viel weniger Masse dazuaddiert werden würde, verstärkt den Eekt der Sachverhalt der viel geringeren GP-Zahl bei einer viel weiter ausgedehnten Scheibe. Wie dem auch sei, hier liegt dieser Eekt 4 Gröÿenordnungen unterhalb des Wertes der Scheibenmasse und kann gegenüber dem Verlust der Gesamtmasse vernachlässigt werden. Dieser macht sich in der Entwicklung der Zentralmasse deutlich bemerkbar (Abb. 27, links). Die Unterschiede in M central sind von derselben Gröÿenordnung wie die der Gesamtmassen. Bei der viskosen Zeitskala treten keine Unterschiede oder Variationen mit der Zeit auf (Abb. 27, rechts), also werden auch ω und v ϕ für unterschiedliche GP-Zahlen gleich und zeitlich konstant sein. Im radialen Geschwindigkeitsprol (Abb. 28) klingen die äuÿeren unerwünschten Randbedingungen für 25 GP viel zu langsam ab. In Abb. 29 sind Σ und Σ solid für verschiedene GP-Zahlen aufgetragen. Vom Maximalwert her unterscheiden sie sich nicht sonderlich, jedoch ist der innere Rand für weniger GP weiter auÿen, da ein solcher Gitterpunkt die Mitte seiner Zelle darstellt und der innere Rand der Scheibe dem inneren Rand der Zelle des innersten GP entspricht. Auÿen und an der snowline sind die Übergänge bei 50 und 100 GP wesentlich steiler. Die Auswirkungen all dieser Unterschiede auf das Endergebnis der Planetenmassen ist in Abb. 30 zu nden. Bei 25 GP erreichen die Massen ca. 41% der Massen mit 100 GP, bei 50 GP immerhin ca. 75%. Abb. 26: Links: Das Massen-Budget für verschiedene GP-Zahlen. Rechts: Scheibenmassen aus einer älteren Simulationsreihe mit vielen verschiedenen GP-Zahlen, hier ist R max AU. 34

39 Abb. 27: Links: Zeitentwicklung der Zentralmassen für verschiedene GP-Zahlen. Rechts: Viskose Zeitskala für verschiedene GP-Zahlen. Abb. 28: Links: Radialgeschwindigkeit, Rechts: Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit für unterschiedliche GP-Zahlen. Abb. 29: Links: Oberächendichte und Rechts: Staub-Oberächendichte für verschiedene GP-Zahlen. 35

40 Abb. 30: Links: Wachstumsraten und Rechts: Massen der Protoplaneten für verschiedene GP-Zahlen. Die Berechnungen mit 100 GP dauern viel zu lange mit 4-5 Tagen pro Simulation. Bei 25 ist der numerische Fehler zu groÿ, aber die Ergebnisse mit 50 Gitterpunkten kommen denen mit 100 schon sehr nahe (Konvergenz). Mit 50 GP dauert eine Simulation mit den Standardwerten bis 40 Myr ca. 10 Stunden, was deutlich weniger ist als mit 100 GP, für Parameter-Studien jedoch an der Grenze des verkraftbaren Zeitaufwandes. Wie bereits in Kap. 4.4 angemerkt, wurde in den Simulationsreihen zwecks Zeitersparnis Σ nicht durch Akkretion von Materie auf die Protoplaneten geändert und anstelle von ω kepler wurde in der Berechnung der Planetenmassen hier ω verwendet. Anhand einiger ausgewählter Testsimulationen, kann gezeigt werden, dass es im hier gewählten Parameterraum so gut wie keinen Unterschied macht, die Änderungen der Ergebnisse liegen drei Gröÿenordnungen unter ihrem Wert. In Modell 2 wurde die Änderung von Σ mit einkalkuliert, indem nach jedem Schritt die auf den Protoplaneten akkretierte Masse von der Ringmasse des jeweiligen Gitterpunktes abgezogen, und die Oberächendichte anschlieÿend neu berechnet wurde. G M In Modell 3 wurde nun auch noch ω kepler = c verwendet. s 3 Abb. 31 zeigt die Ergebnisse für verschiedene GP-Zahlen, Abb. 32 und 33 die Ergebnisse für zwei Simulationen mit sehr groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse für zwei verschiedene Gesamtmassen. Bei Ersteren taucht überhaupt keine sichtbare Änderung der Ergebnisse auf. Bei Letzteren gibt es eine kleine sichtbare Änderung der Planetenmassen am Auÿenrand der Scheibe zwischen Modell 2 und 3, obwohl die Staub-Oberächendichte scheinbar gleich ist. Die Kreisfrequenz ω weicht bei diesen Massenverhältnissen also bereits von der Keplerschen Kreisfrequenz ω kepler durch einen kleinen Selbstgravitations-Eekt, zumindest im Auÿenbereich der Scheibe, ab. Da hier die Änderung von Σ durch Planetenwachstum anscheinend keine Rolle spielt, entstehen auf diese Weise, mit diesem Modell, auch keine gaps in der Scheibe. Eventuell ändert sich das, wenn die Exzentrizität der Planetesimale, die auf die Protoplaneten fallen, einberechnet wird und somit deren eektive Einfangradien steigen (siehe Ausblick). 36

41 Abb. 31: Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe für die drei Modelle bei unterschiedlichen GP-Zahlen. Abb. 32: Gesamtmasse 2 M, Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe für die drei Modelle bei groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse. Abb. 33: Gesamtmasse 10 M, Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe für die drei Modelle bei groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse. 37

42 Ein weiterer numerischer Eekt entsteht aus den Anfangsverteilungen der verschiedenen Gröÿen. Es wurde bereits erwähnt, dass dieser Eekt für die Planetenmassen weitgehend vermieden wurde, indem deren Wachstum erst gestartet wurde, nachdem die Initialform von Σ verossen war. Abb. 34 und 35 zeigen alte Beispiele, ohne das Wachstums-Delay. Abb. 34: Gesamtmasse 1 M, Links: Wachstumsrate der Protoplaneten Rechts: Massen der Protoplaneten. Das Wachstum wurde bereits bei t=0 gestartet, so dass die Initialform von Σ einen sichtbaren Einuss auf die Planetenmassen hat. Abb. 35: Gesamtmasse 10 M, Links: Wachstumsrate der Protoplaneten Rechts: Massen der Protoplaneten. Wieder wurde das Planetenwachstum bei t=0 gestartet, allerdings sind hier, mit 30 Myr, für 10M zu lange Zeiten betrachtet worden. Die Verformung besteht aber auch schon bei 5 Myr. 38

43 4.3 Physikalische Eekte In den folgenden Simulationsreihen wurden verschiedene physikalische Parameter variiert und ihr Einuss auf die Scheibenentwicklung und das Planetenwachstum untersucht. In den radialen Vergleichs-Plots sind die Verteilungen für den Zeitpunkt des Erreichens der Hauptreihe (durchgezogene Linien), sowie die Initialverteilung (gepunktete Linien) vertreten Viskosität Der β-parameter ist ein Maÿ für die Viskosität (Zähigkeit) der Scheibe. In dieser Simulationsreihe wird er zwischen 0,001 (niedrige Viskosität) und 0,005 (hohe Viskosität) variiert (Abb ). ω ist für alle β gleich und ändert sich auch nicht mit der Zeit, also ändert sich die viskose Zeitskala nur antiproportional zu β (Abb. 36). Bei höheren Viskositäten (β = 0,005) ndet zwar die Entwicklung (Abb. 38) deutlich schneller statt (kürzere viskose Zeitskala) und es herrschen viel höhere Radialgeschwindigkeiten, aber numerische Auÿenrandprobleme, z.b. bei v s /v ϕ, verwischen sich wesentlich schlechter (Abb. 37). In Abb. 39 ist zu erkennen, dass für Scheiben mit höherer Viskosität geringeres Planetenwachstum möglich ist. Für das Extrembeispiel β = 0, 005 wurde einzeln die Zeitentwicklung der Protoplaneten dargestellt. Nach den ersten 10 6 Jahren passiert so gut wie nichts mehr. Die Scheibe ist akkretiert, nach auÿen verlaufen und für das Planetenwachstum praktisch weg. An den Plots der Zeitentwicklung von Σ und Σ solid in Abb. 40 kann beobachtet werden, dass die Werte nach 1 Myr bereits um zwei bis drei Gröÿenordnungen gefallen sind. Die Radialverteilung von Σ verändert sich für unterschiedliche β nicht bei gleichem M d (Abb. 41, kleine Unterschiede resultieren aus Ungenauigkeiten bei der Rundung für die Ausgabe). Dies ist analytisch nachvollziehbar, wenn man Σ/ M d betrachtet: Σ t = 1 s s ( s ( )) sνσs 2 ω s = 1 s (s 2 ω) s s Der Massenuss am inneren Rand der Scheibe ist: M d = 2π ( s s 5 βωσ ω ) s t Daraus ergibt sich: (s 2 ω) s Σ = Σ M d t / M d t ( s. ( s 5 βωσ ω )) (s 2 ω) s In Σ/ M d lässt sich β sofort herauskürzen, also ist die Änderung von Σ mit der Änderung der Scheibenmasse unabhängig von β. Die Wahl von β wirkt sich nur auf die Zeitskala der Entwicklung aus.. s. 39

44 Abb. 36: Links: Viskose Zeitskala für verschiedene β. Rechts: Winkelgeschwindigkeit für verschiedene β. Abb. 37: Links: Radialgeschwindigkeit für verschiedene β. Rechts: Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit für verschiedene β. Abb. 38: Links: Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse für verschiedene β. Rechts: Entwicklung der Oberächendichte für verschiedene β. 40

45 Abb. 39: Links: Massen der Protoplaneten für verschiedene β im Vergleich. Rechts: Zeitentwicklung der Protoplaneten für den Extremfall β = 0, 005. Abb. 40: Links: zeitliche Entwicklung der Oberächendichte und Rechts: Staub-Oberächendichte für den Extremfall β = 0, 005. Abb. 41: Entwicklung der Oberächendichte mit prozentualer Abnahme der Scheibenmasse Links: β = 0, 001. Rechts: β = 0, 005 im Vergleich. 41

46 4.3.2 Äuÿerer und Innerer Scheibenradius Nun soll der Einuss der Ausdehnung der anfänglichen Scheibe untersucht werden. Zunächst wird der Auÿenradius R max variiert. Die Scheibenmasse nimmt für kleinere Radien deutlich schneller ab (Abb. 42, links), obwohl weniger numerischer Massenverlust zu verzeichnen ist (Abb. 42, rechts). Sie akkretiert also deutlich schneller auf das Zentralobjekt und/oder verströmt nach auÿen. Dies liegt darin begründet, dass die anfängliche Oberächendichte Σ für kleinere Scheiben wesentlich höher ist als bei einer gröÿeren der gleichen Masse. Ein gröÿerer Radius hat sofort eine geringere Oberächendichte zur Folge. Deshalb wurde zum Vergleich in einer Simulation mit 10-fachem Auÿenradius eine Scheibenmasse M d mit 100- fachem Wert gewählt (Abb , aquamarine Kurven), damit sich der gleiche Startbetrag für Σ (Abb. 44) ergibt. Da diese Scheibe eine Masse von 1M besitzt, musste die Maximalzeit für die Planetenentwicklung für diese Scheibe auf 25 Myr anstatt 40 Myr verkürzt werden. Die Kreisfrequenz ω, die viskose Zeitskala τ ν und damit auch v ϕ haben hier für alle Scheiben die gleiche radiale Startverteilung (Abb. 43) und ändern sich mit der Zeit für verschieden ausgedehnte Scheiben nicht. Die Scheibe mit der 100-fachen Masse allerdings entwickelt sich mit der Zeit zu höheren Kreisfrequenzen und damit zu kürzeren Zeitskalen, da die Änderung der Zentralmasse mit der Zeit durch Akketion der Scheibe hier nicht mehr zu vernachlässigen ist. Immerhin ist das Massenverhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse zu Beginn der Entwicklung 1. Die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 44, links) in der Scheibe mit 1M im Zentrum und 1M Scheibenmasse bei 1000 AU Auÿenradius sind gröÿer als in der zugehörigen Scheibe gleicher Oberächendichte aber geringerer Gesamtmasse mit 1M im Zentrum und 0,01M Scheibenmasse bei 100 AU Auÿenradius. In den anderen Scheiben mit gröÿeren Radien und geringerer Oberächendichte bleiben sie gleich bis zum jeweiligen numerischen Innenrand. Die hohen Radialgeschwindigkeiten in der angepassten Scheibe nehmen auch einen breiteren Radius ein, als bei den anderen Scheiben. Durch den Beitrag der Scheibenmasse zur Gravitationskraft wird bereits Materie sehr weit auÿen in der Scheibe nach innen gezogen, um dort durch die erhöhte Oberächendichte noch schneller auf das Zentralobjekt zu fallen. Trotz der hohen Anfangs-Oberächendichte in der Scheibe mit 50 AU Auÿenradius, ist sie am Ende der betrachteten 40 Myr diejenige mit der geringsten (Abb. 44, rechts). So auch bei der Staub-Oberächendichte und der Wachstumsrate für Protoplaneten (Abb. 45). Die Wachstumsraten der Protoplaneten zu diesem Zeitpunkt nehmen mit gröÿeren Scheibenradien und geringerer Dichte zu. Allerdings reicht oensichtlich bei der Scheibe mit 1000 AU Ausdehnung und 0,01M Scheibenmasse die Initial-Oberächendichte nicht mehr aus, um in der verfügbaren Zeit zumindest gröÿere Planetenmassen zu erreichen als die 100 AU-Scheibe (Abb. 46, links). Es muss also zu jeder Initial-Scheibenmasse einen zugehörigen Maximalwert des Initial-Scheibenradius geben, bis zu welchem die erreichten Planetenmassen durch die verlangsamte Akkretion gröÿer werden. Bei gröÿeren Werten wäre dann die Oberächendichte zu Beginn der Entwicklung zu gering. Durch weitere Simulationsreihen lieÿe sich für dieses Modell die Masse-Radius Abhängigkeit für maximale Planetenmassen feststellen. Eventuell existiert eine gemeinsame minimale Initial-Oberächendichte, welche die Scheibe besitzen muss. Obwohl die angepasste Scheibe mit 1M eine deutlich kürzere Entwicklungszeit zur Verfügung hat, erreichen ihre Protoplaneten Massen im Erdmassenbereich (Abb. 46, rechts). Schlieÿlich liegt die Hauptphase des Planetenwachstums bei den anderen Scheiben innerhalb der ersten 10 6 Jahre, da sie so schnell akkretiert werden. Diese Scheibe jedoch hat eine Haupt-Wachstumsphase von Jahren, wie in Abb. (47, rechts) zu erkennen ist. Bei dieser Abbildung handelt es sich um einen Vergleich der zeitlichen Entwicklungen der Planetenmassen von Scheiben gleicher Masse (1M ) aber mit unterschiedlicher Ausdehnung nach innen und auÿen. Ganz links wurde 42

47 der innere Scheibenradius (1,516R ) nach der Masse-Radius-Relation für Hauptreihensterne an die Gesamtmasse und spätere Endmasse des Zentralsterns (2M ) angepasst, wobei der Auÿenrand der Scheibe bei 100 AU belassen wurde. In der Mitte ist der Auÿenrand ebenfalls 100 AU, dafür ist der Innenrand bei nur 1R. Durch diese für astrophysikalische Verhältnisse minimale Vergröÿerung der Scheibe, sind die resultierenden Planetenmassen um nahezu eine Gröÿenordnung angestiegen. Die Anfangsbedingungen des rechten Bildes unterscheiden sich von denen des mittleren Bildes durch eine Verzehnfachung des Radius des äuÿeren Scheibenrandes. Die Endergebnisse der Planetenmassen nach 25 Myr unterscheiden sich hierbei nur geringfügig, jedoch ndet das Wachstum in der Scheibe mit dem gröÿeren Auÿenradius deutlich langsamer statt. Schätzungsweise wird das Maximum der bei dieser Scheibenmasse möglichen Planetenmassen für eine Scheibe mit einem Auÿenradius zwischen 100 und 1000 AU erreicht, ebenso wie bei den Scheiben mit 0,01M. Abb. 42: Links: Zeitliche Entwicklung der Massen und Rechts: des Massen-Budgets von Scheiben verschiedener Ausdehnung bei gleicher Startmasse. Abb. 43: Links: Winkelgeschwindigkeit und Rechts: viskose Zeitskala in Scheiben verschiedener Ausdehnung. Die Aquamarinen Kurven zeigen die Werte für die Scheibe, deren Masse an den gröÿeren Radius angepasst wurde. 43

48 Abb. 44: Links: Radialgeschwindigkeiten und Rechts: Oberächendichte nach Erreichen der Hauptreihe für Scheiben unterschiedlicher Ausdehnung. Abb. 45: Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Wachstumsrate der Protoplaneten nach Erreichen der Hauptreihe für Scheiben unterschiedlicher Ausdehnung. Abb. 46: Links: In verfügbarer Zeit (40 Myr) erreichte Planetenmassen, Rechts: inklusive der Planetenmassen für die angepasste Scheibe nach 25 Myr. 44

49 Abb. 47: Vergleich der zeitlichen Entwicklungen der Planetenmassen von Scheiben gleicher Masse (1M ) und unterschiedlicher Ausdehnung nach innen und auÿen. Links: Innenradius an 2M Gesamtmasse angepasst. Mitte: Innenradius an 1 M anfängliche Sternmasse angepasst, Auÿenradius mit Standardwert. Rechts: Auÿenradius auf 10-fachen Standardwert vergröÿert Scheibenmasse Nachdem im vorherigen Abschnitt ein Eindruck davon gewonnen wurde, wie sich die anfängliche Oberächendichte auf das Planetenwachstum auswirkt, wird dieser Aspekt hier genauer untersucht. Diesmal wird der Auÿenradius der Scheibe allerdings konstant gehalten und nur die Scheibenmasse variiert. Die Simulationsreihe wurde einmal für einen Zentralstern von einer M und einmal für einen von zwei M durchgeführt. Der innere Radius der Scheibe wurde wieder nach der Masse-Radius-Relation für Hauptreihensterne an die jeweilige Anfangsmasse des Zentralsterns angepasst. Die Begrenzungen der Entwicklungzeiten wurden aus der Vorhauptreihen- Entwicklungszeit eines Sterns der Gesamtmasse des betrachteten Systems bestimmt. Dabei bekommt eine Gesamtmasse von 1 M 40 Myr, eine Masse von 2 M 25 Myr, 3 M 8 Myr und 4 M 4 Myr zugeschrieben. Die Ergebnisse sind in den Abbildungen zur Anschauung gebracht. Die viskose Zeitskala (Abb. 48) ist für die höheren Scheibenmassen, also die höheren Anfangs- Oberächendichten, wie erwartet kürzer als für niedrigere. Das Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse spielt dabei oensichtlich eine gröÿere Rolle, denn für die schmalere Scheibe mit 1,516 M Innenradius wäre eigentlich ein deutlicherer Unterschied zwischen den viskosen Zeitskalen verschiedener Scheibenmassen zu erwarten gewesen. Da sich jedoch ein 2 M -Stern im Zentrum bendet, wird die Dierenz sogar geringer. Für die Azimutal- (Abb. 49) und Radialgeschwindigkeiten (Abb. 50) ist die anfängliche Verteilung für alle Scheibenmassen gleich. Ab ca. M d,init = 0, 1M c,init ist die Vergröÿerung der Zentralmasse durch Akkretion der Scheibenmasse nicht mehr zu vernachlässigen und die Geschwindigkeiten steigen mit der Zeit an. Wieder ist der Unterschied bei beiden Geschwindigkeiten deutlicher für die kleinere Zentralmasse. Obwohl durch höhere Oberächendichten schneller akkretiert wird, reicht hier das Initial-Σ (Abb. 51) aus, um gröÿere Planeten hervorzubringen (Abb. 53). Auÿerdem kann man in Abb

50 erkennen, dass bei den gröÿten Anfangs-Scheibenmassen die Selbstgravitation dazu beiträgt, das Verlaufen der Scheibe nach auÿen abzubremsen. Dadurch wird die Scheibe nach innen gestaucht und die Oberächendichte zusätzlich erhöht, was ebenfalls zum Planetenwachstum beiträgt. Die Erhöhung der möglichen Planetenmassen mit Erhöhung der anfänglichen Scheibenmasse sollte so lange stattnden, bis bei zu hohen Gesamtmassen die zeitliche Begrenzung des Planetenwachstums in dessen Hauptphase fällt. Abb. 48: Viskose Zeitskala in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. Abb. 49: Azimutalgeschwindigkeit in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. 46

51 Abb. 50: Radialgeschwindigkeit in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. Abb. 51: Oberächendichte in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. Abb. 52: Wachstumsrate von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. 47

52 Abb. 53: Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M. Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M. Für Scheiben mit an die Gesamtmasse angepassten Innenradien allerdings scheint es keinen solchen Umkehrpunkt zu geben (Abb. 54). Die erhöhte Dichte durch die (nur wenige Sonnenradien) schmaleren Scheiben vermag die Akkretion dermaÿen zu beschleunigen, dass die Planeten bei gröÿeren Anfangs-Scheibenmassen nur geringere Massen erreichen. Es liegt hier nicht an der Beschränkung der Zeit zusammen mit der Tatsache, dass das Wachstum eventuell sehr langsam vorangeht. Genaueres dazu ist in Kap zu nden. Abb. 54: Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe. Der Zentralstern hat jeweils eine Startmasse von ca. 0,1M. Die Zeitbegrenzung bezieht sich, wie immer, auf die Gesamtmasse und auch der Innenrand der Scheibe wurde an den Radius eines Hauptreihensterns mit der jeweiligen Gesamtmasse angeglichen. 48

53 4.3.4 Zentralmasse Dieser und der folgende Teil dieser Arbeit sind für den beobachtenden Astronomen wahrscheinlich von besonderem Interesse, da es hier um die Auswirkungen der Massen der Zentralsterne auf das Planetenwachstum geht. Schlieÿlich ist die Suche nach extrasolaren Planeten von nicht unerheblichem Aufwand. Es wäre demnach lohnend zu wissen, bei welchen stellaren Massen Planetensysteme zu erwarten sind. Der Einuss der Zentralsternmasse auf das Planetenwachstum wird hier mit und ohne an die Gesamtmasse angepassten Innenradius untersucht. Die Abb zeigen die Ergebnisse für die verschiedenen Gröÿen nach Erreichen der Hauptreihe (HR). Die maximale Entwicklungszeit wird auch hier aus der Vorhauptreihenentwicklungszeit (Tab 1, Abb. 15) bestimmt. Wie erwartet ist die viskose Zeitskala τ ν (Abb. 55, links; τ ν = s 2 /ν Kap ) für die Scheiben um massereicheren Sternen deutlich kürzer als für solche, die masseärmere Sterne im Zentrum aufweisen. Aufgrund der niedrigen Scheibenmassen, ndet keine sichtbare zeitliche Änderung von τ ν statt und somit auch nicht für die Winkelgeschwindigkeit ω (Abb. 56). Diese ist um die höheren Zentralmassen sichtlich gröÿer und eine Umlaufperiode erreicht für 10 M Tiefstwerte von ca. 0,0003 Jahre bei nicht angepasstem Innenrand. Wird der innere Radius an die Sternmasse angepasst, so werden bei höheren Massen geringere Spitzenwerte erreicht, da die Scheibe weiter auÿen abgeschnitten wird. Die eigentlichen Werte bei jedem Radius, ω(s), unterscheiden sich kaum von denen in den Scheiben mit unangepasstem Radius. Die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 57) werden ebenfalls gröÿer mit höherer Zentralmasse. Ebenso wie bei ω, wird auch hier mit der Anpassung der Radien eine Verringerung der Spitzenwerte durch Abschneiden hervorgerufen. Durch die erhöhte Oberächendichte allerdings, werden die eigentlichen Werte der Radialgeschwindigkeiten, v s (s), erhöht, so dass dennoch die Scheiben mit den höchsten Zentralmassen die höchsten Radialgeschwindigkeiten aufweisen. Die Akkretionsrate steigt mit höherer Zentralmassen merklich an, wie in Abb. (55, rechts) zu erkennen ist. Sehr deutlich lässt sich in dieser Abbildung die Auswirkung der verkürzten Entwicklungszeit für gröÿere Massen beobachten. Für die Scheiben mit Zentralsternen von 1 und 2 M ist oensichtlich genügend Zeit vorhanden, um in den relativ stabilen Massenbereich unterhalb von 0,001 M zu gelangen, obwohl ihre Akkretionsraten am geringsten sind. In diesen Scheiben würden dann auch mit mehr Zeit die Planeten kaum höhere Massen erreichen. Bei höheren Zentralmassen, wird dagegen die Entwicklung mitten in der Haupt-Akkretionsphase abgebrochen. Dieser Eekt ist auch in Abb. 58 zu nden, in welcher sich die Werte für die Oberächendichte der Scheibe um 1 M am Ende der Entwicklung kaum von denen der Scheibe um 2 M unterscheiden, während die Werte der anderen deutlich darüber liegen. Die Angfangs-Oberächendichte Σ init der Scheiben mit angepasstem Innenradius ist nur geringfügig höher als die derjenigen mit R = 1R, da die Scheiben sehr massearm sind. Auch beim direkten Vergleich von Abb. (58, links) mit Abb. (58, rechts) ist nur ein minimaler Unterschied der jeweils zur gleichen Zentralmasse gehörenden Verteilungen von Σ(HR-Ankunft) zu erkennen. In Abb. (58, links) sind sie wie erwartet etwas höher, da die Akkretion in Abb. (58, rechts) durch die leicht höhere Initialdichte beschleunigt wird. Gleiches gilt natürlich auch für die Staub-Oberächendichte Σ solid in Abb. 59. Hier kann man sehen, wie die snowline von der Masse des Zentralsterns abhängt. Trotz der geringen Unterschiede zwischen den Flächendichten für angepasste und unangepasste Innenradien, sieht das Ergebnis für die maximal erreichten Planetenmassen (Abb. 60) deutlich verschieden aus. Bei den unangepassten Radien, also den niedrigeren Flächendichten, ist bei einem Zentralstern von 2 M die Planetenmasse ca. 1,5 mal so groÿ wie bei den angepassten. Der Eekt ist eigentlich sogar noch gröÿer, da hier bei angepassten Radien automatisch die Gitterpunkte enger sind als bei den unangepassten. Aus Kap. 4.2 ist bekannt, dass ein engeres 49

54 Gitter eine höhere Planetenmasse berechnet. Für verschiedene Zentralmassen und gleichem Innenradius ändert sich die Radialverteilung von Σ nicht bei prozentualer Abnahme der Scheibenmasse, abgesehen von kleinen Rundungsdierenzen, die bei der Auswahl der Ausgabewerte entstehen. Dies ist voraussichtlich nicht mehr der Fall, wenn das Eddington-Limit oder die Selbstgravitation eine Rolle spielen. In Abb. 61 ist der Verlauf für eine Zentralmasse von 1 M und für eine von 10 M zu sehen. Wie in Kap für β, gibt es vermutlich eine Lösung für Σ/ M d, die bei Vernachlässigung der Scheibenmasse, also bei Verwendung von ω kepler, unabhängig von der Zentralsternmasse M c wird. Abb. 55: Links: Viskose Zeitskala und Rechts: zeitliche Entwicklung der Massen von Scheiben der Anfangsmasse 0,01M bei Innenradien von 1 R um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Abb. 56: Azimutalgeschwindigkeiten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien. 50

55 Abb. 57: Radialgeschwindigkeiten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien. Abb. 58: Oberächendichten von Scheiben der Anfangsmasse 0,01M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien. Abb. 59: Staub-Oberächendichten von Scheiben der Anfangsmasse 0,01M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien. 51

56 Abb. 60: Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien. Abb. 61: Entwicklung der Oberächendichten mit prozentualer Abnahme der Masse von Scheiben mit der Anfangsmasse 0,01 M Links: bei einem Zentralstern mit 1 M und Rechts: bei einem Zentralstern mit 10 M Anfängliches Massenverhältnis bei gleicher Gesamtmasse In dieser abschlieÿenden Simulationsreihe wird die Auswirkung der anfänglichen Massenverteilung des Systems auf die resultierenden Planetenmassen untersucht. Es wird für verschiedene Gesamtmassen zwischen 0,5 und 10 M mit angepassten Innenradien jeweils eine Reihe von Simulationen mit unterschiedlichen Startwerten von M d /M c durchgeführt. In den vorherigen Abschnitten wurde beobachtet, dass erhöhte Scheibenmassen zu erhöhten Oberächendichten und damit zu höheren Akkretionsraten führen. Allerdings lässt eine niedrigere Zentralmasse die Akkretionsraten wieder sinken. In diesem Abschnitt ist beides gleichzeitig der Fall und es ist von Interesse, welcher Eekt ausschlaggebend ist. Die numerischen Massenverluste (Abb. 62, links) sind bei allen Gesamtmassen für die höheren anfänglichen Scheibenmassen gröÿer als für die niedrigeren. Sie liegen bei ganzen 1-2%. Die Entwicklung der Scheiben hin zu stabileren Massenverhältnissen geschieht sehr schnell. Innerhalb der ersten 2 Myr ist M d /M c bei allen initialen Massenverhältnissen und allen betrachteten Gesamtmassen auf 0,2 gesunken (Abb. 62, rechts). Bei den Simulationsreihen mit einer Gesamt- 52

57 masse von 10 M wurde zusätzlich eine Simulation mit vergröÿertem Auÿenradius durchgeführt, in welcher die Entwicklung wie erwartet deutlich langsamer vonstatten geht. In Abb. (63, links) ist anhand des Beispiels mit der Gesamtmasse von 10 M zu erkennen, dass bei den höchsten Massenverhältnissen M d /M c die Akkretionsrate ebenfalls am höchsten ist. Sie beginnt allerdings, im Vergleich mit der Rate bei kleineren Start-Scheibenmassen, mit einem niedrigeren Wert und nimmt zunächst langsamer zu, was vermutlich in der geringeren Start-Zentralmasse begründet liegt. In den ersten Zeitschritten wird die Materie der Scheibe hauptsächlich durch ihre Selbstgravitation dazu veranlasst von auÿen nach innen zu ieÿen. Erst wenn die Oberächendichte innen dadurch genügend angestiegen ist und das Zentralobjekt bereits einen kleinen Teil der Scheibe akkretiert hat, steigt die Akkretionsrate merklich an und erreicht ihre Spitzenwerte. In Abb. (63, rechts) ist zum Vergleich der zeitliche Verlauf des SG- Radius (Kap. 4.4) dargestellt. Für keinen der betrachteten Fälle wird das Eddington-Limit für die Akkretionsrate überschritten. Die höchste hier beobachtete Akkretionsrate bei den Startwerten M c = 0, 2 M und M d = 9, 8 M nähert sich dem Limit gerade bis auf ca. zwei Gröÿenordnungen (Abb. 64). Die Beschränkung der Akkretionsrate durch den gleichzeitigen Massenabuss aufgrund der Abstrahlung freiwerdender Gravitationsenergie ist also für Systeme mit Gesamtmassen von nur einigen M nicht von Bedeutung. Die Azimutalgeschwindigkeiten v ϕ sind anfänglich bei höherem M d /M c geringer, nähern sich mit der Zeit aber sehr schnell der gleichen Radialverteilung (Abb. 65, links). Gleiches gilt für die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 65, rechts) und umgekehrt für die viskose Zeitskala (Abb. 66, links). Die Initialwerte von v ϕ in den Scheiben mit den höchsten Massenverhältnissen zum Zentralstern weisen weit auÿen eine leichte Erhöhung auf, welche sich vom Wert her an die Geschwindigkeiten am Ende der Entwicklung anpasst. Dies ist durch den Einuss der Selbstgravitation zu erklären. In der Scheibe höherer Anfangsmasse, sieht ein Teilchen, das sich weit auÿen bendet, bereits zu Beginn der Entwicklung die Gesamtmasse von der Scheibe und dem Stern im Zentrum. Bei der viskosen Zeitskala (Abb. 66, links) ist dieser Eekt ebenfalls deutlich zu erkennen. In Abb. (66, rechts) ist für drei verschiedene Gesamtmassen zu den jeweiligen anfänglichen Massenverhältnissen die Oberächendichte Σ nach Erreichen der Hauptreihe zu sehen. Tatsächlich ist, trotz höchsten Initial-Flächendichten und numerischen Verlusten, bei den gröÿten M d /M c die Oberächendichte immer die höchste. Zusätzlich sind die Abstände zwischen den entwickelten Σ der verschiedenen Anfangsbedingungen auf der logarithmischen Skala gleich denen der initialen Σ. Die kleine Zentralmasse verlangsamt die Akkretion also nur so viel, wie die erhöhte Ober- ächendichte sie beschleunigt. Die Eekte gleichen sich aus und das lässt darauf schlieÿen, dass für höhere Anfangsmassen bei gleichen Gesamtmassen das mögliche Planetenwachstum stärker begünstigt wird. Diese Schlussfolgerung bewahrheitet sich (zumindest in dem hier verwendeten Modell), betrachtet man Abb. 67. Dort sind sich die am Ende der Vorhauptreihen-Entwicklung erreichten Planetenmassen für verschiedene Massenverhältnisse bei jeweils gleicher Gesamtmasse gegenüber gestellt. Je höher das anfängliche Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse ist, desto massereichere Planeten können erreicht werden. Dabei ist auch eine Abhängigkeit von der Gesamtmasse zu erkennen. In Abb. 68 sind für jede der betrachteten Gesamtmassen die jeweils maximal erreichten Planetenmassen im direkten Vergleich dargestellt. Gröÿere Gesamtmassen bei den gleichen Auÿenradien und sogar einem weiter auÿen liegenden Innenrand akkretieren schneller und lassen somit nur geringeres Planetenwachstum zu. Ab ca. 3 M Gesamtmasse spielt dann noch zusätzlich die verkürzte Vorhauptreihen-Zeit eine Rolle. Bei einer Gesamtmasse von 10 M wurde getestet, ob mit einem erweiterten Auÿenrand, wie in Kap , deutlich höhere Planetenmassen erzielt werden können. Dies ist mit 1000 AU Auÿenradius allerdings nur geringfügig der Fall. Hier bietet sich an, die Simulationsreihe mit den je Scheibenmasse für das Planetenwachstum idealen Auÿenradien, auf deren Existenz in Kap hingewiesen wurde, zu wiederholen. 53

58 Den Beweis, dass diese Tendenz für die Gesamtmassen bis 3 M nicht hauptsächlich an der stärker begrenzten Entwicklungszeit liegt, erbringt Abb. 69, welche die zu den Maximalwerten je Gesamtmasse gehörende Zeitentwicklung der Planetenmassen zeigt. Bis einschlieÿlich dem Fall einer Gesamtmasse von 2 M, würden die Planeten selbst bei einer um 40 Myr verlängerten Entwicklungszeit nicht bedeutend massereicher werden, bei höheren Gesamtmassen dagegen doch. Die erhöhte Akkretionsrate ist also für den Abfall der maximalen Planetenmassen bei Gesamtmassen bis 2 M ausschlaggebend, wobei ihr Einuss bereits ab 1M stark abnimmt. Die Ergebnisse für 1 bis 4 M liegen in einem Übergangsbereich, in welchem die erhöhte Akkretionsrate nicht mehr und die begrenzte Entwicklungszeit noch nicht so groÿen Einuss haben. Sie liegen in Abb. (68, rechts) auf einer relativ abgeachten Geraden, welche zu gröÿeren Gesamtmassen hin an etwas steilere und zu kleineren hin an deutlich steilere Verläufe angrenzt. Zu gröÿeren Massen hin fehlen hier allerdings Zwischenwerte, um genauere Schlüsse ziehen zu können. Bei einer Gesamtmasse von 0,5 M wird im Maximalfall bei den Planetenmassen knapp die 5 M für zusätzlichen Anstieg der Wachstumsrate durch angesammelte Atmosphäre überschritten. Bei keinem der betrachteten Fälle ist ein Kern entstanden, der die für nennenswerte Gas- Akkretion benötigten ca. 10 M besitzt. Allerdings gilt bei allen hier gewonnenen Ergebnissen zu bedenken, dass die Planeten nur etwa 75% der Massen erreicht haben, die sich bei einer Simulation mit 100 Gitterpunkten ergeben hätte. Damit würden sie jedoch noch immer nicht die Massen gasakkretierender Planetenkerne erreichen. Vermutlich ergäben sich deutlich höhere Planetenwachstumsraten mit Aussicht auf Gasriesenbildung, wenn die möglichen Exzentrizitäten der auf die Protoplaneten einfallenden Planetesimale, beispielsweise genähert durch einen Faktor im eektiven Einfangradius des Protoplaneten, mit einbezogen oder auch Kollisionen und Verschmelzungen der gröÿten Planetesimale zugelassen würden. In keinem der betrachteten Fälle entstehen auÿerhalb der snowline Planeten, deren Masse die der innerhalb von ihr gelegenen übersteigt. Obwohl in der Initialverteilung auÿerhalb der snowline jeweils eine höhere Staub-Oberächendichte herrscht als innerhalb, entwickelt die Scheibe innerhalb sehr kurzer Zeit einen so steilen Dichteabfall nach auÿen, dass die Staub-Flächendichte dort nurmehr ein lokales Maximum besitzt. Somit liefert diese Entwicklungssimulation eine Unterstützung der Theorie nach auÿen gerichteter Migration massereicher Planeten. 54

59 Abb. 62: Zeitverlauf von Links: Massenbudget und Rechts: Scheiben- zu Zentralmasse für verschiedene Start- Massenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M. 55

60 Abb. 63: Zeitlicher Verlauf von Links: Scheibenmasse und Rechts: SG-Radius für verschiedene Startverteilungen einer Gesamtmasse von 10 M. Abb. 64: Zeitlicher Verlauf von Links: Akkretionsrate und Rechts: Akkretionsrate im Vergleich mit dem Eddington-Limit für höchstes betrachtetes Massenverhältnis von Scheibe zu Zentralstern bei einer Gesamtmasse von 10M. 56

61 Abb. 65: Links: Azimutal- und Rechts: Radialgeschwindigkeit bei Erreichen der HR für verschiedene Start- Massenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M. 57

62 Abb. 66: Links: Viskose Zeitskala und Rechts: Oberächendichte bei Erreichen der HR für verschiedene Start- Massenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M. 58

63 Abb. 67: Erreichte Planetenmassen bei Ankunft auf der HR für verschiedene Start-Massenverhältnisse und in der Reihenfolge abnehmender Gesamtmassen. 59

64 Abb. 68: Maximal erreichte Planetenmassen je Gesamtmasse bei Erreichen der HR Links: Radial und Rechts: Maxima abhängig von der Gesamtmasse, verglichen mit der Vorhauptreihen-Entwicklungszeit je Gesamtmasse. 60