Aufbau und Entstehung unseres Planetensystems

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1 Vorlesung im WS 2007/08 von H.-P. Gail & W. M. Tscharnuter Aufbau und Entstehung unseres Planetensystems Übungsaufgabe: Wachstum der terrestrischen Planeten 24. Oktober 2007 Zusammenfassung Das Wachstum der terrestrischen Planeten durch sukzessive Anlagerung von Planetesimalen soll auf der Basis einer einfachen Wachstumsgleichung studiert werden. Dafür ist die Wachstumsgleichung mit einem einfachen numerischen Verfahren zu integrieren. 1 Wachstum der terrestrischen Planeten In der protoplanetaren Akkretionsscheibe entsteht ca Jahre nach der Entstehung des Sterns ein Schwarm von Planetesimalen von einigen km Durchmessern, die eine dünne, rotierende Scheibe innerhalb der protoplanetaren Akkretionsscheibe bilden. Die Mitglieder des Schwarms laufen auf Keplerbahnen um die Sonne um. Durch die wechselseitige, gravitative Störung der Bahnen haben die Bahnen der einzelnen Körper kleine Exzentrizitäten, die zur Überschneidung von Bahnen und daraus resultierenden gelegentlichen Zusammenstößen führen. Bei den Zusammenstößen vereinigen sich die Körper im allgemeinen zu größeren Körpern. Allmählich entstehen in dem Schwarm auch einzelne Körper, die deutlich größer sind als die meisten anderen. Wenn in dem Schwarm das Ausreißerwachstum eines einzelnen dieser größeren Körper begonnen hat, dann sammelt dieser alle kleineren Planetesimale aus einem gewissen Bereich seiner Umgebung auf und wächst rasch auf Planetengröße an. Im Prinzip besteht dieses Wachstum aus einer Serie diskreter Einschlagereignisse großer Planetesimale und Protoplaneten auf dem entstehenden Planeten. In dieser Form kann der Wachstumsprozeß bei einer Modellrechnung allerdings nur nur mit komplizierten Methoden berechnet werden. Man beschreibt ihn stattdessen oft vereinfacht als einen kontinuierlichen Prozeß, in dem über die diskreten Einzelereignisse der Massenzunahme gemittelt ist, und verwendet für das Massenwachstum eine Gleichung für die mittlere Massenzunahme pro Zeiteinheit. Diese Gleichung werden wir jetzt formulieren. 2 Grundgleichungen 2.1 Gleichung für die mittlere Massenzunahme Wenn ρ pl die Massendichte des Planetesimalschwarms in der Umgebung der Bahn des entstehenden Planeten und u pl die mittlere Geschwindigkeit der Planetesimale relativ zum entstehenden Planeten ist, dann ist seine mittlere Massenzunahme pro Zeiteinheit durch Einfang von Planetesimalen = σ ρ pl u pl. (1) M Pl ist die momentane Masse des Planeten und σ der Einfangquerschnitt des Planeten für Planetesimale. Es wird angenommen, daß der Planet alles Material aus der Akkretionsscheibe aus einer Zone zwischen den Radien r i und r a aufsammelt. Als Grenzen r i und r a kann man jeweils den halben Abstand zum nächsten Planeten annehmen, da die Planeten bei ihrem Wachstum wahrscheinlich alle kleineren Körper aufsammeln, deren Bahnen im Mittel näher zu dem jeweiligen Planeten verlaufen als zum Nachbarn. Der Bereich der Akkretionsscheibe zwischen r i und r a wird als die Fütterungszone des Planeten bezeichnet. Zur Vereinfachung wird angenommen, daß die Dicke h der Planetesimalscheibe in der Fütterungszone konstant ist. Das Volumen, aus dem der Planet die Planetesimale aufsammelt, ist dann V = π(r 2 a r2 i ) h. (2) 1

2 Abbildung 2: Vertikale Komponente der Bewegung in der Scheibe Bei einer dünnen Scheibe (z r) gilt einfach Abbildung 1: Fütterungszone Die Endmasse des Planeten, wenn alle Planetesimale aufgesammelt sind, sei M e. Die Masse der Planetesimale im Volumen V ist dann M e M Pl. Für die Massendichte des Planetesimalschwarms setzt man deswegen ρ pl = M e M Pl π(r 2 a r 2 i ) h. () Das setzt zum ersten voraus, daß die vorhandene Masse zu jedem Zeitpunkt gleichmäßig über den Bereich V verteilt ist. Zum zweiten ist vorausgesetzt, daß der Planetesimalschwarm keine anderweitigen Verluste erleidet, also keine Streuung aus der Akkretionsscheibe heraus und keine Auswanderung in die Fütterungszone benachbarter Planeten. Mit diesen Voraussetzungen gilt d v z = GM r z. (6) M ist die Masse des Protosterns, r der radiale Abstand des betrachteten Körpers zum Stern und z seine Höhe über der Mittelebene der Scheibe. Multiplikation mit v z = dz/dt und Integration liefert v 2 z = GM r z 2 + C mit einer Integrationskonstanten C. Für die z- Geschwindigkeit in der Mittelebene der Scheibe gilt dann vz,0 2 = C und deswegen v 2 z = v 2 z,0 GM r z 2. (7) Die vertikale Bewegung hat einen Umkehrpunkt, in dem v z = 0 ist. Der Abstand H des Umkehrpunkts zur Mittelebene der Scheibe ergibt sich zu = σ M e M Pl π(r 2 a r2 i ) h u pl. (4) H 2 = r GM v 2 z,0. (8) 2.2 Dicke der Planetesimalscheibe Die Dicke der Planetesimalscheibe kann durch die nachfolgende Überlegung bestimmt werden: Man geht von der Gleichung für die Bewegung der Planetesimale vertikal zur Mittelebene der Scheibe aus. In den späten Phasen der Entwicklung einer protoplanetaren Scheibe ist darin nur noch so wenig Masse enthalten, daß die Bewegung der Planetesimale, ausgenommen während der seltenen nahen Begegnungen zweier Körper aus dem Planetesimalschwarm, durch das Gravitationsfeld des Sterns bestimmt wird. In diesem Fall gilt d v z = GM z. (5) (r 2 + z 2 ) /2 Wir mitteln jetzt über eine große Schar von Planetesimalen im Abstand r vom Protostern. Die mittlere Dicke der Planetesimalscheibe ist r h pl = 2 H = 2 vz,0 2, (9) GM wobei... die Mittelung über viele Planetesimale bedeutet. Für die Umlaufzeit P des Planeten im Abstand r von der Sonne gilt 2π P = GM r (10) und damit h pl = P π v 2 z,0. (11) 2

3 der Bahnbewegung im Schwerpunktsystem l = mv p (14) E kin = 1 2 mv2. (15) Im Punkt des geringsten Abstands beim Vorbeiflug des Planetesimals am Planeten gilt (dort ist die Richtung der Bahngeschwindigkeit senkrecht zur Verbindungslinie der Mittelpunkte von Planetesimal und Planet) l = mv 0 r 0 (16) Abbildung : Streuung eines Planetesimals an einem Protoplaneten Wenn man annimmt, daß die Pekuliargeschwindigkeiten der Planetesimale relativ zu einer Kreisbahngeschwindigkeit im Mittel isotrop verteilt sind, dann gilt im Mittel v 2 x,0 = v 2 y,0 = v 2 z,0 und für den Betrag u der mittleren Geschwindigkeit gilt Es folgt u 2 pl = v2 x,0 + v2 y,0 + v2 z,0 = v2 z,0. h pl = P π Einsetzen in (4) ergibt u 2 pl = σ M e M Pl (r 2 a r 2 i ) (12) P. (1) In dieser Näherung fallen die Dicke der Planetesimalscheibe und die mittlere Pekuliargeschwindigkeit u der Planetesimale relativ zur Kreisbahngeschwindigkeit des Planeten aus der Gleichung heraus. Es gehen nur die Umlaufperiode P und die Masse M e des Planeten ein, die bekannt sind, und die Grenzen r a und r i der Fütterungszone, die sich einigermaßen realistisch schätzen lassen. 2. Einfangquerschnitt Zur Bestimmung des Einfangquerschnitts betrachtet man die Streuung eines Planetesimals am Planeten. In großer Entfernung vom Planeten gilt für die kinetische Energie und den Relativdrehimpuls E kin = 1 2 mv2 0 GM Pl r 0. (17) Wegen der Energie- und Drehimpulserhaltung sind l und E während der ganzen Bewegung konstant. Elimination von l und E zwischen den vorangehenden Gleichungen ergibt v 0 = p r 0 v (18) sowie eine quadratische Gleichung für r 0 Deren Lösung ist r 0 = GM Pl v 2 r GM Pl v 2 r 0 p 2 = 0. (19) (GMPl ) p 2. (20) v Die Planetesimale treffen den Planeten streifend, wenn r 0 = R planetesimal + R Pl R Pl. (21) Letzteres gilt, weil Planetesimale immer viel kleiner als der Planet sind. Der kritische Stoßparameter p 0 für einen streifenden Stoß ist demnach ( p 2 0 = RPl GM ) Pl R Pl v 2. (22) Für alle Stoßparameter p < p 0 schlägt ein Planetesimal auf dem Planeten auf. Der Stoßquerschnitt für Planetesimal-Planet-Stöße ist deswegen πp 2 0. Die Geschwindigkeiten v der Planetesimale vor der Streuung sind die Partikulargeschwindigkeiten der Planetesimale relativ zur Kreisbahngeschwindigkeit des Planeten. Über die Verteilung dieser Geschwindigkeiten muß noch gemittelt werden. Da die genaue Verteilung der Geschwindigkeiten nicht bekannt ist, ersetzen wir näherungsweise den Mittelwert von 1/v 2 durch die Größe 1/u 2 pl. Für den Stoßquerschnitt des Planeten mit Planetesimalen ergibt sich auf diese Weise σ = πrpl 2 (1 + 2θ) (2)

4 mit dem sog. Safronoff-Parameter θ = GM Pl R Pl u 2. (24) pl Das mittlere Geschwindigkeitsquadrat u 2 pl im Planetesimalschwarm wird in der Phase, in der die Planetenentstehung begonnen hat, durch die Streuung der Planetesimale am Planeten bestimmt. Safronoff hat gezeigt, daß θ Werte im Bereich < θ< 6 annimmt. Für Zwecke der Modellrechnung zur Entstehung von Planeten wird meistens vereinfachend ein fester Wert von θ = 4 angenommen. 2.4 Wachstum eines Planeten Wenn kleine Planetesimale auf einem Planeten aufschlagen, dann wird fast deren gesamte Masse an den Planeten angelagert. Ein kleiner Teil der Trümmerstücke, die beim Aufschlag auf dem Planeten entstehen, wird zwar auf Entweichgeschwindigkeit beschleunigt und verläßt den Planeten, aber deren Massenanteil ist unbedeutend und wird vernachlässigt. Der Stoßquerschnitt (2) kann mit dem Einfangquerschnitt identifiziert werden. Der Massenzuwachs des Planeten pro Zeiteinheit durch Einfang von Planetesimalen ist dann = πr 2 Pl (1 + 2θ) M e M Pl (r 2 a r2 i ) P. (25) Der Radius R Pl des Planeten ist durch seine Masse M Pl und seine Zusammensetzung bestimmt. Wenn er eine konstante Massendichte ρ Pl hat, dann gilt M Pl = 4π ρ Pl R Pl. (26) Wird R Pl auf diesem Wege aus der Masse M Pl bestimmt, dann ist (25) eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die Masse des Planeten M Pl als Funktion der Zeit. Sie kann mit jeder einfachen Integrationsmethode numerisch gelöst werden, da dabei keine besonderen numerischen Schwierigkeiten auftreten. Tatsächlich ist die Dichte eines Planeten nicht konstant. Durch den zunehmenden Druck im Planeteninneren bei zunehmender Planetenmasse wird die Materie im Planeten stark komprimiert, sodaß die mittlere Dichte zunimmt. Der Radius des Planeten muß, genau genommen, durch eine Modellberechnung seines inneren Aufbaus parallel zur Integration der Gleichung (25) bestimmt werden. Diese Komplikation wird in der Regel aber vermieden und ein konstanter Mittelwert für ρ Pl verwendet, beispielsweise die Dichte des fertigen Planeten. Angesichts der sonstigen starken Approximationen, auf denen das Wachstumsmodell (25) beruht, ist diese zusätzliche Näherung wohl ausreichend genau. Parameter, die in die Wachstumsgleichung eingehen, sin e, P, ρ Pl, θ und die Grenzen der Fütterungszone r i und r a. Die entsprechenden Daten für die terrestrischen Planeten sind in Tab. 1 zusammengestellt. Die Periode P folgt aus dem mittleren Abstand a zur Sonne und (10). Als Grenzen der Fütterungszone sind jeweils der halbe Abstand zum nächsten Planten gesetzt. Die Innengrenze der Fütterungszone bei Merkur ist geschätzt und die Außengrenze bei Mars ist aus dem hypothetischen Bahnradius eines Planeten in der Asteroidenzone bestimmt (Titius-Bode-Reihe). 2.5 Anfangsbedingung Die allererste Phase des Wachstums eines Protoplaneten kann mit der vereinfachten Gleichung nicht berechnet werden, da einige wesentliche Effekte nicht berücksichtigt sind, die das allererste Wachstum bestimmen. Man startet die Rechnung bei einem kleinen Körper mit beispielsweise M 0 = kg. (27) Es bleibt dann offen, wie lange der Körper gebraucht hat, um diese Größe zu erreichen. Genauere Modelle, die alle Effekte berücksichtigen, zeigen, daß diese erste Wachstumsphase etwa Jahre dauert. Das ist kurz im Vergleich zur Zeitdauer des Anwachsens zur endgültigen Größe. Lösungsmethode Die Gleichung (25) soll numerisch gelöst werden 1. Dazu kann jedes beliebige Standardverfahren zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung verwendet werden, da die Gleichung keine besonderen Komplikationen aufweist, z.b. ein Runge-Kutta Integrator..1 Ein einfacher Integrator Wenn zur Lösung keine fertige Bibliotheksroutine verwendet werden soll 2, dann kann man das System z.b. sehr einfach mit der Adams-Bashforth Methode lösen, die sehr einfach zu realisieren ist. Der Grundgedanke ist folgender: Man betrachtet diskrete Zeitpunkte t k mit k = 0, 1, 2,.... Der erste Punkt t 0 = 0 1 Bei konstanter mittlerer Dichte ρ Pl kann auch analytische Lösung gefunden werden, aber ρ Pl ist im allgemeinen nicht konstant 2 Eine ausführliche Beschreibung von Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme für praktische Anwendungen findet man in Press et al. [1] 4

5 Tabelle 1: Parameter zur Lösung der Wachstumsgleichung für die terrestrischen Planeten Planet M e ρ Pl a r i r a kg gcm AE AE AE Merkur Venus Erde Mars Asteroiden 2.8 entspricht dem Anfangszeitpunkt, an dem die Integration der Gleichungen begonnen werden soll. Dort ist die Masse M Pl = M 0 durch die Anfangsbedingung (27) vorgegeben. Die Werte von M Pl zu den diskreten Zeitpunkten t k werden als M k bezeichnet. Wenn man die Werte M k bis zum diskreten Zeitpunkt t k kennt, dann kann man den Wert zum Zeitpunkt t k+1 wie folgt berechnen: Aus der Taylorentwicklung ergibt sich für M k+1 M k+1 = M k + k k ist der Zeitschritt k +O( k ). (28) k = t k+1 t k. (29) Die erste Ableitung dm/dt zum Zeitpunkt t k ist durch die rechte Seite der Differentialgleichung (25) für M gegeben, kann also aus dem Funktionswert M k zum Zeitpunkt t k berechnet werden. Die zweite Ableitung verschafft man sich, indem man folgende Taylorentwicklung für dm/dt verwendet = + k 1 1 +O( 2 k 1 ). (0) dm/dt zum Zeitpunkt t k 1 mußte schon beim letzten Integrationsschritt berechnet werden, ist also bekannt. k 1 ist der Zeitschritt von t k 1 nach t k. Man hat dann näherungsweise = 1 + O( k 1 ). (1) k 1 Wenn sämtliche höheren Terme als Terme zweiter Ordnung in der Taylorentwicklung vernachlässigt werden, erhalten wir somit folgende Näherung zur Berechnung von M k+1 : = rk M k+1 = M k + k 1 (2) k k 2 () rk Alle Terme auf der rechten Seite sind bekannt oder können berechnet werden. Damit erhält man sofort den neuen Funktionswert zum Zeitpunkt t k+1. Dieser Integrator wird für die Differentialgleichung (25) verwendet. Dieses Verfahren liefert natürlich keine wirklich exakten Werte, weil die höheren Terme der Taylorentwicklung vernachlässigt wurden. Die vernachlässigten Terme werden aber schnell sehr klein (proportional zu O( k )), wenn die Schritte k kleiner werden. Bei Verwendung genügend kleiner Zeitschritte werden die Abweichungen zwischen der numerisch berechneten Lösung und der exakten Lösung ausreichend klein, sodaß die numerische Lösung praktisch als die Lösung des Problems betrachtet werden kann. Das hier beschriebene Verfahren benötigt nur eine Berechnung der rechten Seiten der Differentialgleichungen pro Zeitschritt. Man muß nur den Wert der rechten Seite dm/dt, die zum Zeitpunkt t k berechnet wurde, für den nächsten Schritt von t k nach t k+1 aufbewahren. Der Wert unseres Index k in Gl. () hat sich beim Übergang zum nächten Zeitpunkt um eins erhöht, d.h. die mit k indizierten Größen im vorherigen Zeitpunkt entsprechen den mit k 1 indizierten Größen zum neuen Zeitpunkt. Man kann deswegen den im letzten Schritt berechneten Wert von dm/dt als den Wert für dm/dt zum Zeitpunkt t k 1 im Integrator () verwenden, während die Ableitung dm/dt zum neuen Zeitpunkt r k neu zu berechnen ist. Ein Problem ergibt sich nur für k = 0, weil dort keine Werte für die Ableitungen zum Zeitpunkt r k 1 in Gleichung (1) vorhanden sind. Man muß im 5

6 ersten Punkt dann zunächst einen Schritt mit () unter Vernachlässigung der zweiten Ableitung und mit einer sehr kleinen Schrittweite durchführen. Man erhält an dem neuen Zeitpunkt t 1 = r 0 + einen Hilfswert M 1 und berechnet mit diesem und M 0 nach Gl. (1) die zweite Ableitung zum Zeitpunkt t 0. Erst ab dem Zeitpunkt t 1 berechnet man dann die zweite Ableitung zum Zeitpunkt t k nach Gl. (1) aus den Ableitungen zu den Zeitpunkten t k un k 1..2 Schrittweitensteuerung Es bleibt noch offen, wie die Zeitpunkte t k gewählt werden. Diese dürfen nicht zu groß sein, damit die Vernachlässigung der höheren Terme in den Taylorentwicklungen zu keinen wesentlichen Fehlern führt. Eine bewährte Strategie ist hier folgende : Man wählt die Schrittweite derart, daß sich der Funktionswert um einen bestimmten Faktor δ ändert; z.b. M k+1 = (1 + δ)m k. Einen Schätzwert für die erforderliche Schrittweite erhält man aus Gl. (), wenn dort der Term für die zweite Ableitung weggelassen wird. Es folgt = δ M k. (4) In jedem Schritt kann die erforderliche Zeitschrittweite für den nächsten Schritt hieraus geschätzt werden. Wenn der neue Wert für deutlich größer als der letzte verwendete Wert ausfällt, sollte man allerdings den neuen Wert auf das etwa 1.1-fache des letzten Werts begrenzen, um beispielsweise in der Umgebung eines Extremums (dort verschwindet die Ableitung) eine unpassende Vergrößerung der Schrittweite zu vermeiden. Für δ kann man zunächst einen Wert von δ = 0.05 verwenden. Ob dieser Wert klein genug ist, kann man dadurch kontrollieren, daß man die Rechnung mit einem nur halb so großen Wert von δ wiederholt. Die Lösung sollte sich dadurch nicht wesentlich verändern; sonst war der Wert von δ noch zu groß. Literatur [1] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. (199) Numerical Recipes in C, 2. Auflage (Cambridge University Press) Man kann für die Steuerung der Schrittweiten genauere Methoden entwickeln, die aber für die Zwecke dieser Übung zu kompliziert sind 6