Aufbau und Entstehung unseres Planetensystems

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1 Vorlesung im WS 2007/08 von H.-P. Gail & W. M. Tscharnuter Aufbau und Entstehung unseres Planetensystems Übungsaufgabe: Innerer Aufbau terrestrischer Planeten 24. Oktober 2007 Zusammenfassung Der Aufbau der terrestrischen Planeten wird im wesentlichen durch das hydrostatische Gleichgewicht der Materie, durch sie Selbstgravitation der Materie im Planeten und durch die Eigenschaften von Materie unter sehr hohem Druck beschrieben. Es soll ein vereinfachtes Modellprogramm für die Lösung der Aufbaugleichungen unter Verwendung realistischer Zustandsgleichungen für Materie bei sehr hohen Drucken entwickelt Die damit berechneten Modelle sollen mit den Daten der terrestrischen Planeten im Sonnensystem verglichen werden 1 Aufbau der terrestrischen Planeten Als terrestrische Planeten werden in unserem Sonnensystem die vier Körper Meur, Venus, Erde und Mars bezeichnet. Die wesentlichen gemeinsame Memale dieser vier Körper sind 1. eine Zusammensetzung, die von den schwerflüchtigen Elementen der kosmischen Elementmischung sta dominiert wird, und 2. ein Radius von mindestens mehreren tausend Kilometern. Alle anderen Körper im Sonnensystem sind entweder deutlich kleiner oder sie haben eine wesentlich andere Zusammensetzung. Die beiden genannten Eigenschaften bestimmen bereits weitgehend den inneren Aufbau der Körper. Die relative Häufigkeit der schwerflüchtigen Elemente in der kosmischen Elementmischung bedingt, daß Silikatmineralien sowie Eisen und Eisenlegierungen die Hauptbestandteile der Planetenkörper bilden. Die Größe der Radien und die dementsprechend großen Massen bedingen, daß unter dem Einfluß des sehr hohen Drucks im Planeteninneren die Materie sta komprimiert wird. Die zunehmende Kompression des Materials zum Zentrum hin hat einen staen Einfluß auf die Massenverteilung im Inneren des Planeten und muß deswegen bei Modellen für den inneren Aufbau berücksichtigt Eine Modellberechnung erfordert deswegen, daß die Zustandsgleichungen von Eisen und den in Frage kommenden Mineralien bis hin zu sehr hohen Drukken bekannt sind. Die Planetenkörper waren bereits ab einem sehr frühen Zeitpunkt auf Grund der Aufheizung durch Zerfälle langlebiger Radioisotope einiger Elemente sta aufgeheizt und in großen Teilen auch geschmolzen. Im geschmolzenen Zustand sind die einzelnen Materieelemente im Planetenkörper frei gegeneinander verschiebbar. Aber auch im festen Zustand sind bei hoher Temperatur und sehr hohem Druck bei lang anhaltender Einwiung von Scheräften die Materieelemente frei gegeneinander verschiebbar, d.h., auch feste Materie verhält sich unter solchen Bedingungen wie eine sehr zähe Flüssigkeit. Bei kleinen Körpern, wenn der Druck nicht extrem hoch ist, gilt dies aber nicht. Unter der Einwiung der Eigengravitation nimmt deswegen ein nichtrotierender großer Planetenkörper Kugelgestalt an; kleinere Körper und die Oberflächenschichten eines großen Körpers können dagegen, wenn sie nicht geschmolzen sind, irreguläre Gestalt haben. Die Abweichungen von der idealen Kugelgestalt im Oberflächenbereich großer Körper kann bei der Berechnung von Modellen des inneren Aufbaus der Planeten vernachlässigt Bei rotierenden Körpern kommen zur gravitativen Anziehung noch die Zentrifugal- und Corioliskräfte hinzu, die zu einer Deformation der Körper führen. Da alle Planeten rotieren, sind auch bei allen Abweichungen von der idealen Kugelgestalt festzustellen. Keiner der terrestrischen Planeten rotiert allerdings so rasch, daß dies zu einer staen Deformation führen würde. Für die meisten Zwecke 1

2 kann der Einfluß der Rotation auf den Aufbau des Planeteninneren vernachlässigt und deswegen eine Kugelgestalt angenommen Die Änderung der Dichte fester Minerale und Metalle und ihrer Schmelzen mit der Temperatur ist relativ klein und die Variation der Temperatur zwischen der Oberfläche und dem Zentrum ist bei terrestrischen Planeten nicht sehr groß. Deswegen kann bei Modellrechnungen in vielen Fällen der Effekt der Wärmeausdehnung der Materialien vernachlässigt Die Temperatur wird bei solchen Modellberechnungen dann einfach als konstant angesetzt. Für realistische Modelle ist das allerdings nicht mehr möglich. Da die Hauptbestandteile des Materials der terrestrischen Planeten metallisches Eisen und Silikatmineralien nicht mischbar sind und das spezifische Gewicht beider Substanzklassen sehr unterschiedlich ist, sind die Planeten in einen Eisenkern und einen Silikatmantel differenziert. Der Eisenkern kann teils aufgeschmolzen, teils fest sein. Im Silikatmantel kann das Material ebenfalls in geschmolzener oder fester Form vorliegen. Wegen melicher Dichteunterschiede zwischen geschmolzenem und festem Material müssen diese Unterschiede im Prinzip berücksichtigt werden, bei einfachen Modellen, wie den hier zu konstruierenden, werden diese Unterschiede aber vernachlässigt. In den Bereichen, in denen feste Mineralien vorliegen, gibt es bei variierendem Druck bei bestimmten Drucken (und Temperaturen) unstetige Phasenübergänge zwischen verschiedenen Mineralstrukturen mit sehr unterschiedlichen Dichten. Solche Effekte müssen berücksichtigt werden, wenn die genaue Struktur des Mantels interessiert. Hier soll von solchen Details abgesehen Es wird also folgendes einfache Planetenmodell betrachtet: Ein sphärisch symmetrischer Planet, der aus einem Eisenkern und und einem Silikatmantel mit jeweils einheitlicher Zusammensetzung besteht. Die Druckverteilung im Inneren des Planeten wird durch die Selbstgravitation des Planetenmaterials bestimmt. Die Kompression des Materials bei hohem Druck soll durch Verwendung einer geeigneten Zustandsgleichung für Materie unter sehr hohem Druck berücksichtigt Es sollen Modelle für die terrestrischen Planeten im Sonnensystem berechnet werden und die Modelle sollen mit dem Radius und dem Trägheitsmoment der terrestrischen Planeten verglichen Für genauere Modelle liefern seismische Untersuchungen wesentlich detailliertere Informationen über den Aufbau der Planeten als nur die, die im Radius und dem Trägheitsmoment enthalten sind. Einfache Zweizonenmodelle, wie Sie hier konstruiert werden sollen, sind nur von begrenzter Genauigkeit, können aber bereits die wesentlichen Eigenschaften terrestrischer Planeten reproduzieren. Darüber hinausgehende Verbesserungen erfordern auch die Modellierung des Temperaturverlaufs im Planeten, die in dieser Aufgabe nicht vorgesehen ist. 2 Grundgleichungen In einem sphärisch symmetrisch aufgebauten Planeten hängen alle physikalischen Variablen nur vom radialen Abstand r vom Massenzentrum ab. Die Grundgleichungen für den Aufbau eines Planeten im hydrostatischen Gleichgewicht ohne Berücksichtigung der Temperaturschichtung und der Rotation sind: (1) Die hydrostatische Druckgleichung d r = ρ g. (1) Hierin ist P der Druck, ρ die Massendichte der Materie und g die lokale Schwerebeschleunigung. (2) Die Gleichung für die gravitative Wechselwiung der verschiedenen Teile des Körpers g = GM r r 2. (2) Hier ist G die Gravitationskonstante und M r die innerhalb einer Kugel vom Radius r enthaltene Masse. Für diese gilt M r = 4π r 0 dr r 2 ρ(x ). (3) Diese Gleichung wird auch in der differentiellen Form d M r d r = 4πr2 ρ (4) verwendet. (3) Eine Zustandsgleichung der Form ρ = ρ(p, T, X i ), (5) wobei X i die Massenanteile der verschiedenen Komponenten sind, die in dem Materialgemisch im Planeten voommen. Eine Abhängigkeit von der Temperatur T wird hier ganz vernachlässigt. Eine Abhängigkeit von der Zusammensetzung X i wird nur in der Form berücksichtigt, daß im Kern und im Mantel unterschiedliche Zustandsgleichungen verwendet 2

3 Die Gleichungen (1), (2), (4) und (5) bilden zusammen ein geschlossenes Differentialgleichungssystem zur Berechnung von P, ρ und M r als Funktion des Abstands r vom Massenzentrum. Dessen Lösung beschreibt den inneren Aufbau des Planeten. Nur in sehr einfachen Fällen kann dieses Gleichungssystem analytisch gelöst werden; einen solchen Fall werden wir gleich angeben. Für reale Planeten muß das Differentialgleichungssystem numerisch gelöst Die Lösung eines Differentialgleichungssystems ist erst durch die Vorgabe von Anfangsbedingungen festgelegt. Im vorliegenden Fall sind dies folgende: (1) Am äußeren Rand des Planeten R pl verschwindet der Druck P(R pl ) = 0. (6) Das stellt eine gewisse Idealisierung aus zweierlei Gründen dar. Zum einen haben die meisten der hier betrachteten Planeten über dem festen Planetenkörper noch eine gasförmige Atmosphäre und teils auch noch einen flüssigen Ozean, deren Druck an der Basis nicht verschwindet. Dieser ist aber im Vergleich zu den Drucken, die im festen Planetenkörper herrschen, so gering, daß er völlig vernachlässigt werden kann. Zum anderen ist kein Planet eine perfekte Kugel. Seine Oberfläche ist reich strukturiert und seine Form weicht von der idealen Kugelform ab, was die Angabe eines konkreten Wertes für den Radius R pl erschwert. Nur ein mittlerer Radius läßt sich definieren, an dem die Randbedingung vorgeschrieben wird, aber dessen Definition bleibt bis zu einem gewissen Grade immer etwas willkürlich. (2) Im allgemeinen wünscht man Modelle zu einer vorgegebenen Gesamtmasse M pl des Planeten zu konstruieren. Die Masse M r innerhalb einer Kugel mit dem Radius r nimmt dann am äußeren Rand R pl den Wert M Rpl = M pl (7) an. (3) Im allgemeinen ist der Radius R pl nicht von vorneherein bekannt. Dieser kann aber durch eine weitere Bedingung festgelegt Aus der Definition (3) ergibt sich im Zentrum des Planeten die notwendige Bedingung lim M r = 0. (8) r 0 Man muß also eine solche Lösung des Differentialgleichungssystems suchen, welche die Bedingungen (6) und (7) und zusätzlich im Zentrum die Bedingung (8) erfüllt. Bei einer vorgegebenen Masse M pl gelingt dies nur für einen bestimmten Wert des Radius R pl, der deswegen durch die Bedingung (8) bestimmt wird. Man hat es hier mit einem Problem zu tun, bei dem die Anfangs- bzw. Randbedingungen, die die Lösung des Differentialgleichungssystems festlegen, an einer Stelle vorgeschrieben werden, die nicht von vorneherein bekannt ist. Diese Stelle wird erst zusammen mit der Lösung bestimmt; ein solches Problem wird als Problem mit einem freien Rand bezeichnet. Es bleibt noch festzulegen, wie die Aufteilung in Kern und Mantel vorgenommen werden soll. Dieses Problem betrachten wir erst später. 3 Konstante Dichte Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn die Dichte ρ im Planeten konstant ist. Dann läßt sich eine analytische Lösung angeben. Das hat durchaus auch eine praktische Anwendung: für relativ kleine Körper (bis ca km Größe) stellt dies wegen der geringen Kompressibilität von Festkörpern eine gute Näherung dar. Für solche Körper interessieren wir uns hier zwar nicht, aber der Fall stellt einen guten Testfall für das numerische Rechenverfahren dar, mit dem der Aufbau großer Körper berechnet werden soll. Die numerisch berechnete Lösung muß im Fall ρ = const mit der analytischen Lösung übereinstimmen. Wenn nicht, dann enthält das Rechenprogramm einen Fehler. Bei konstanter Dichte ρ folgt aus der Differentialgleichung (4) durch einfache Integration M r = 4π 3 ρr3 + A (9) mit einer Integrationskonstanten A. Die Integrationskonstante A ergibt sich aus der Bedingung (8) zu A = 0. Bei vorgegebener Masse M pl des Planeten folgt aus der Randbedingung (7) Der Radius des Planeten ist also M Pl = 4π 3 ρr3 pl. (10) R pl = ( ) 1 3Mpl 3. (11) 4π ρ Er ist hier durch die Bedingungen (7) und (8) eindeutig bestimmt. Man kann M r jetzt folgendermaßen schreiben M r = M pl r 3 R 3 pl. (12) 3

4 Das ist im vorliegenden Fall die Lösung der Differentialgleichung (4), welche die beiden Bedingungen (7) und (8) erfüllt. Die Druckgleichung (1) lautet damit Integration liefert d r = GM pl Rpl 3 ρ r. (13) P = GM pl 2R 3 pl ρ r 2 + B mit einer Integrationskonstanten B. Diese Integrationskonstante wird durch die Randbedingung (6) festgelegt Es folgt 0 = GM pl 2R 3 pl P(r) = GM pl 2R pl ρ ρr 2 pl + B. ( ) 1 r2 Rpl 2. (14) Bei konstanter Dichte ergibt sich also ein parabolischer Dichteverlauf. Das Modell mit konstanter Dichte hängt nur von den beiden Parametern ρ und M pl. Die Dichte ρ ist im vorliegenden Fall auch gleich der mittleren Dichte der Materie im Planeten. Für die terrestrischen Planeten sind Werte für M pl und ρ in Tabelle 2 angegeben. 4 Numerische Lösung der Aufbaugleichungen Ein erster Schritt zur Entwicklung eines Modellprogramms für den Aufbau terrestrischer Planeten kann darin bestehen, die Gleichungen zuerst für den Fall konstanter Dichte numerisch zu lösen und die erzielte numerische Lösung mit der analytischen Lösung (12) und (14) für diesen Fall zu vergleichen. Es sind die beiden Differentialgleichungen = GM r d r r 2 ρ (15) d M r = 4π ρ r 2, (16) d r beginnend bei einem Radius R pl, einwärts bis r = 0 zu lösen. Zur praktischen Berechnung ist es vorteilhaft, statt der Variablen r die Variable v = r 3 einzuführen. Das Differentialgleichungssystem lautet dann = GM r ρ (17) d v 3v 4/3 d M r d v = 4π ρ 3. (18) In der zweiten Gleichung wird mit der Einführung der Variablen v die rechte Seite konstant und in der ersten Gleichung hängt die rechte Seite weniger sta von der unabhängigen Variablen ab. Das wit sich günstig auf die Genauigkeit der numerisch berechneten Lösung aus. Zunächst beschränkt man sich auf den Fall, daß der Radius R pl nach Gl. (11) bekannt ist, sodaß der Anfangspunkt der Integration fest vorgegeben ist. Anschließend erweitert man das Lösungsverfahren derart, daß der Radius R pl aus der Bedingung (8) bestimmt wird. Zur numerischen Lösung der Aufbaugleichungen kann jedes beliebige Standardverfahren zur numerischen Lösung eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen verwendet werden, z.b. ein Runge- Kutta Integrator, da das System keine besonderen Probleme bei der numerischen Lösung bereitet. Wenn zur Lösung keine fertige Bibliotheksroutine verwendet werden soll 1, dann kann man das System z.b. sehr einfach mit der Adams-Bashforth Methode lösen, die sehr einfach zu realisieren ist. Der Grundgedanke ist folgender: Man betrachtet diskrete Radiuspunkte r k mit k = 0, 1, 2,.... Der erste Punkt r 0 = R pl entspricht dem Anfangspunkt, an dem die Integration der Gleichungen begonnen werden soll. Dort sind die Werte von M r0 = M pl und P(r 0 ) = 0 durch die Anfangsbedingungen vorgegeben. Die Werte von M r bzw. P(r) an den diskreten Radien r k werden mit M k bzw. P k bezeichnet. Wenn man die Werte M k und R k bis zum diskreten Radius r k kennt, dann kann man deren Werte am Radius r k+1 wie folgt berechnen: Aus der Taylorentwicklung ergibt sich z.b. für P k+1 P k+1 = P k + k d v k ist der Radiusschritt k d 2 P dv 2 +O( 3 k). (19) k = r 3 k+1 r 3 k. (20) Es ist zu beachten, daß im hier betrachteten Problem k < 0 ist, weil wir von außen nach innen bei der Integration fortschreiten. Die erste Ableitung dp/dv an der Stelle r k ist durch die rechte Seite der Differentialgleichung (15) für P gegeben, kann also aus den Funktionswerten P k und M k an der Stelle r k berechnet Die zweite Ableitung verschafft man sich, indem man 1 Eine ausführliche Beschreibung von Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme für praktische Anwendungen findet man in Press et al. [1] 4

5 folgende Taylorentwicklung für dp/dv verwendet d v = d 2 P d v + k 1 1 dv 2 + O( 2 k 1 ). (21) dp/dv an der Stelle r k 1 mußte schon beim letzten Integrationsschritt berechnet werden, ist also bekannt. k 1 ist der Radiusschritt von 1 3 nach 3. Man hat dann näherungsweise d 2 P d v d v 1 dv 2 = + O( k 1 ). (22) k 1 Wenn sämtliche höheren Terme als Terme zweiter Ordnung in der Taylorentwicklung vernachlässigt werden, erhalten wir somit folgende Näherung zur Berechnung von P k+1 : P k+1 = P k + k d v k d 2 P dv 2. (23) Alle Terme auf der rechten Seite sind bekannt oder können berechnet Damit erhält man sofort den neuen Funktionswert am Punkt r k+1. Dieser Integrator wird für die Differentialgleichung (17) und analog für die Differentialgleichung (18) verwendet. Dieses Verfahren liefert natürlich keine wilich exakten Werte, weil die höheren Terme der Taylorentwicklung vernachlässigt wurden. Die vernachlässigten Terme werden aber schnell sehr klein (proportional zu O( 3 k )), wenn die Schritte k kleiner Bei Verwendung eines genügend dichten Gitters von Punkten r k werden die Abweichungen zwischen der numerisch berechneten Lösung und der exakten Lösung ausreichend klein, sodaß die numerische Lösung praktisch als die Lösung des Problems betrachtet werden kann. Das hier beschriebene Verfahren benötigt nur eine Berechnung der rechten Seiten der Differentialgleichungen pro Radiusschritt. Man muß nur die Werte der rechten Seiten dp/dv bzw. dm r /dv, die an der Stelle r k berechnet wurden, für den nächsten Schritt von r k zu r k+1 aufbewahren und sie dort im Integrator (23) als die Werte für dp/dv bzw. dm r /dv an der Stelle r k 1 verwenden, während die Ableitungen dp/dv und dm r /dv für den neuen Punkt r k neu zu berechnen sind. Ein Problem ergibt sich nur für k = 0, weil dort keine Werte für die Ableitungen an der Stelle r k 1 in Gleichung (22) vorhanden sind. Man muß im ersten Punkt dann zunächst einen Schritt mit (23) unter Vernachlässigung der zweiten Ableitung und mit einer sehr kleinen Schrittweite durchführen. Man erhält an der neuen Stelle r 1 = r 0 + Hilfswerte P 1, M 1 und berechnet mit diesen un 0, M 0 Fehler der Integration r/r pl Abbildung 1: Genauigkeit der Integration der Druckgleichung bei Verwendung von 20, 40 und 80 Punkten. Für M pl und ρ wurden die Daten für die Erde verwendet nach Gl. (22) die zweiten Ableitungen im Punkt r 0. Erst ab dem Punkt r 1 berechnet man dann die zweite Ableitung an den Stellen r k nach Gl. (22) aus den Ableitungen an den Stellen r k und r k 1. Es bleibt noch offen, wie die Punkte r k gewählt Für das vorliegende Problem kann man z.b. einfach den Radiusbereich zwischen r = 0 und r = R pl in K gleichlange Intervalle der Länge k = R pl K (24) aufteilen. Man hat dann K+1 Radiuspunkte r k mit k = 0,...,K, die durch r k = k K R pl (25) gegeben sind (So einfach kann man es sich aber nur hier machen, andere Probleme erfordern ausgeklügeltere Strategien zur Wahl der Radiuspunkte r k ). Abbildung 1 vergleicht das Ergebnis der Integration der Differentialgleichungen unter Verwendung von 20, 40 und 80 Punkten mit der exakten analytischen Lösung. Für die Variable M r ist das Ergebnis der numerischen Berechnung exakt, da die rechte Seite der Differentialgleichung im gegenwärtigen Fall eine Konstante ist; das Ergebnis ist deswegen gar nicht erst mit der exakten Lösung verglichen. Für die Variable P ist die relative Abweichung der numerischen Lösung von der exakten analytischen Lösung (14) dargestellt. Bei Verwendung von 40 Punkten sind die Abweichungen von der exakten Lösung deutlich kleiner als 1%, trotz des relativ einfachen Verfahrens zur Berechnung. Bei noch größerer Anzahl von Punkten wird die Lösung noch genauer. Eine Genauigkeit von besser als 1% kann für 5

6 viele praktische Zwecke als ausreichend betrachtet Höhere Genauigkeiten auch bei kleinerer Punktzahl können bei Bedarf mit aufwendigeren Verfahren (siehe z.b. Press et al. [1]) ohne weiteres erreicht 5 Berechnung des Planetenradius Im Fall konstanter Dichte ist der Planetenradius bekannt. Davon haben wir im vorangehenden Testprogramm Gebrauch gemacht. Bei Berücksichtigung der Kompressibilität der Materie gilt das nicht mehr. Man muß dann den Radius schätzen und die Differentialgleichungen von dem geschätzten Radius R pl einwärts bis r = 0 integrieren. Im Gegensatz zum Fall ρ = const ist dann bei r = 0 die Bedingung (8) nicht mehr automatisch (im Rahmen der Rechengenauigkeit) erfüllt. Durch Variation des Radius R pl muß derjenige Wert für R pl gefunden werden, mit dem M r = 0 bei r = 0 erfüllt ist. Ein solches Verfahren soll jetzt unter Verwendung einer vereinfachten Zustandsgleichung implementiert Wegen der geringen Kompressibilität fester Materie kann bis zu relativ großen Drucken angenommen werden, daß der (isotherme) Kompressionsmodul K T = ρ P ρ (26) konstant ist. Die Dichte hängt dann vom Druck in folgender Weise ab ρ = ρ(0) + ρ ) (1 P P = ρ(0) + PKT. (27) Die Dichte ρ(0) ist die Dichte beim Druck P = 0, die wegen der geringen Kompressibilität mit der Dichte beim Normaldruck P = 1 bar identisch ist. Für große Planeten ist die Zustandsgleichung nicht genau genug, aber für kleinere Körper (Mond, Asteroiden) ist das eine akzeptable Näherung. Typische Werte des Kompressionsmoduls für Mineralien sind von der Größenordnung K T = Pa bis K T = Pa. Um für die Testrechnung die Kompression der Materie klein zu halten, wählt man am besten zunächst einen größeren Wert von K T = Pa. Für die Dichte ρ(0) unkomprimierter Mineralien setzt man für die folgenden Testrechnungen ρ(0) = 3500 kgm 3. Als Startschätzung für R pl kann man beispielsweise den Radius aus dem Modell mit konstanter Dichte verwenden. Eine Einwärtsintegration zeigt, daß bei einem Modell mit der Masse der Erde die Funktion M r bei r = 0 nur auf den Wert 0.32M pl abgefallen ist. Wir müssen also den Radius vergrößern, damit M r noch kleiner werden kann. Eine Testrechnung mit einem um 10% vergrößerten Radius zeigt z.b., daß der Wert M r bei r = 0 schon deutlich kleiner geworden ist, und bei einem um 20% größeren Anfangsradius ist er bereits negativ geworden, d.h. dieser Radius ist also bereits zu groß. Der korrekte Radius muß also irgendwo zwischen beiden Werten liegen. Fassen wir den Wert von M r bei r = 0 als eine Funktion F(R) des geschätzten Radius R auf, dann ist der physikalisch korrekte Wert des Radius eine Nullstelle der Funktion F(R). Die Aufgabe besteht also darin, diese Nullstelle zu finden. Das kann auf unterschiedliche Weise bewestelligt Im Folgenden beschreiben wir, wie diese Nullstelle durch ein Intervallschachtelungsverfahren gefunden werden kann 2. Man muß zunächst zwei Radien R 1 und R 2 finden, von denen einer F(R 1 ) > 0 und der andere F(R 2 ) < 0 erfüllt. Dann geht man folgendermaßen vor: 1. Man berechnet die Funktion F(R) am Mittelpunkt R m = 1 2 (R 1 + R 2 ) zwischen R 1 und R 2 2. Wenn F(R m ) < 0 ist, dann ersetzt man R 2 durch R m. Das neue Intervall zwischen R 1 und R 2 ist nur halb so weit und erfüllt wieder F(R 1 ) > 0 und F(R 2 ) < 0 3. Wenn F(R m ) > 0 ist, dann ersetzt man R 1 durch R m. Das neue Intervall zwischen R 1 und R 2 ist nur halb so weit und erfüllt wieder F(R 1 ) > 0 und F(R 2 ) < 0 4. Man testet, ob R 2 R 1 klein genug geworden ist, sodaß der Radius mit der erwünschten Genauigkeit (z.b. 1 km) ermittelt ist. 5. Wenn nicht, dann zurück zu Nr. 1. Dieses Verfahren funktioniert ziemlich problemlos. Allerdings darf man die Genauigkeitsforderung nicht zu hoch schrauben, da die Integration der Differentialgleichungen auch nur eine begrenzte Genauigkeit hat. 6 Kern und Mantel Die Zusammensetzung der Planeten ist nicht homogen. Sie sind in einen Silikatmantel und einen Eisenkern differenziert. Dies zeigt sich deutlich, wenn 2 Andere mögliche Verfahren sind z.b. in Press et al. [1] beschrieben 6

7 man das Trägheitsmoment C für einen homogen aufgebauten Körper berechnet. Dieses ist als C = 8π 3 R 0 dr ρr 4 (28) definiert. Das reduzierte Trägheitsmoment ist C C red = M pl Rpl 2. (29) Für eine homogene Massenverteilung ist C red = 2 5. Für die terrestrischen Planeten ist C red < 0.4 (siehe Tabelle 2), d.h. die Masse ist stäer zum Zentrum konzentriert als bei der homogenen Kugel. Die Massenanteile des Eisenkerns und des Silikatmantel an der Gesamtmasse eines Planeten sind im Prinzip durch die Zusammensetzung des Materials in der protoplanetaren Akkretionsscheibe festgelegt, aus dem die Planeten entstehen. Die Zusammensetzung dieses Materials in Bezug auf die schwerflüchtigen Elemente ist praktisch überall in der Akkretionsscheibe die gleiche, außer in einer relativ schmalen Zone im innersten Bereich, in dem die Silikate und das Eisen anfangen zu verdampfen. Von daher gesehen sollte der Massenanteil des Eisenkerns immer der gleiche sein. Praktisch können aber Unterschiede dadurch entstehen, daß bereits differenzierte Körper bei Zusammenstößen einen Teil ihres Silikatmantels verlieren. Das ist vor allem für die Protoplaneten relevant, aus deren Vereinigung die terrestrischen Planeten entstanden sind, aber auch die Planeten selbst können noch relativ spät in ihrer Entwicklung Zusammenstöße mit großen Körpern erleiden. Die Entstehung des Erdmonds wird beispielsweise auf ein solches Ereignis zurückgeführt. Auch kann es sein, daß die Differenzierung nur unvollständig abgelaufen ist. Dadurch wird der Massenanteil des Eisenkerns und ein verbleibender Eisenanteil des Mantels von der Vorgeschichte des Planeten abhängig und kann nicht vorhergesagt werden; die Masse des Eisenkerns ist deswegen ein freier Parameter bei der Modellberechnung, der durch Anpassung des berechneten Trägheitsmoments C red an dessen gemessenen Wert festgelegt werden muß. Bei der Berechnung der Zustandsgleichung ρ(p) müssen im Silikatmantel und im Eisenkern zwei verschiedene Zustandsgleichungen verwendet Für die Erweiterung des Modellprogramms auf eine Kern-Mantel-Struktur kann wieder die vereinfachte Zustandsgleichung (27) mit konstantem Kompressionsmodul verwendet Für die Koeffizienten können folgende Werte verwendet werden: ρ [g/cm 3 ] r/r pl Abbildung 2: Dichteverlauf im Erdinneren in einem Modell mit Eisenkern und Silikatmantel mit der vereinfachten Zustandsgleichung mit konstantem Kompressionsmodul. Für die Gesamtmasse und die Masse des Eisenkerns wurden die Daten der Erde verwendet. In der Modellrechnung wurden 101 Gitterpunkte verwendet. Der Anstieg nahe bei r=0 ist eine Folge der Annahme konstanten Kompressionsmoduls; tatsächlich nimmt dieser mit zunehmendem Druck ab ρ(0) kgm 3 K T Pa Silikatmantel Eisenkern Diese entsprechen etwa den Werten der Materialien für Erdmodelle im Bereich nicht zu staer Kompression (z.b. Zhaov & Trubitsyn [4]). Alles was bei der Modellrechnung getan werden muß ist, daß bei der Berechnung der Zustandsgleichung getestet wird, ob die Massenkoordinate M r außerhalb der Massenkoordinate des Eisenkerns liegt oder nicht, und daß dann die entsprechende Variante der Zustandsgleichung verwendet wird. Abbildung 2 zeigt das Ergebnis für einen Planeten mit der Masse der Erde und der angenommen Kernmasse entsprechend aktuellen Modellen für den Aufbau der Erde. Bei dieser Modellberechnung wurden keine Maßnahmen ergriffen, damit von den verwendeten Gitterpunkten die Grenze zwischen dem Mantel und dem Kern genau reproduziert wird. Falls das für wichtig gehalten wird, muß eine entsprechende Automatik für die Wahl der Schrittweiten programmiert werden, die abfragt, ob die Grenze überschritten wurde, und die wenn dies der Fall ist den Schritt mit einer passend gewählten Schrittweite wiederholt, damit der Endpunkt des Schritts genau auf die Grenze fällt. Die benötigte Schrittweite v 7

8 Tabelle 1: Koeffizienten der analytischen Approximation (31) für die Dichte als Funktion des Drucks für verschiedene Substanzen Substanz ρ(0) c n kgm 3 kg m 3 Pa n Fe Silikat (Perovskit) H 2 O (Eis) kann man nach Gl. (18) wie folgt bestimmen: v = r 3 r 3 k = 3 4πρ k M. (30) Hier ist r k der Stützpunkt unmittelbar oberhalb der Kern-Mantel-Grenze, r der Radius der Grenze und M = M core M k die Massendifferenz zur Grenze 7 Realistische Zustandsgleichungen Als letzter Schritt der Entwicklung des Modellprogramms für terrestrische Planeten müssen realistische Zustandsgleichungen implementiert Bis zu Drucken von ca. 200 Kbar sind diese heutzutage für die relevanten Materialien im Labor vermessen worden. Für höhere Drucken müssen sie mit theoretischen Überlegungen über das Verhalten von Materie bei extrem hohen Drucken extrapoliert Eine Ausfürliche Diskussion des Problems findet man in Zhaov & Trubitsyn [4]. Eine neue Zusammenstellung der Zustandsgleichungen, die bei der Modellierung terrestrischer Planeten verwendet werden können, findet man in Seager et al. [2] (siehe auch Valencia et al. [3]). Hieraus entnehmen wir die Zustandsgleichungen für Silikate und für Eisen. Seager et al. [2] geben eine relativ einfache Approximation für die Variation der Dichte als Funktion des Drucks an, die bis zu Drucken von P = bar anwendbar ist: ρ = ρ(0) + cp n. (31) Die Dichte ρ(0) ist die Dichte bei Normaldruck. Die Genauigkeit dieser Approximation der wesentlich komplizierteren Zustandsgleichungen, die sich aus den besten bekannten experimentellen Daten und Theorien ergeben, ist besser als 10%, meistens besser als 3%. Das ist für die Zwecke dieser Übungsaufgabe ausreichend. Die Koeffizienten sind für die in Frage kommenden Materialien in Tabelle 1 angegeben: Eisen: Die Daten beziehen sich auf eine feste Hochdruckmodifikation von Eisen, sog. ǫ-eisen. Der Eisenkern ist zum größten Teil flüssig und nur zum Teil fest. Für flüssiges Eisen ist die Dichte ρ(0) ca. 10% niedriger, aber ohne Berechnung der Temperaturschichtung können die feineren Details der Struktur des Eisenkerns nicht im Modell berücksichtigt Silikat: Die Daten beziehen sich auf eine Hochdruckmodifikation von Silikat mit der Zusammensetzung MgSiO 3. Bei der Erde tritt diese erst im unteren Mantel auf (Tiefe > 900 km), im äußeren Mantel überwiegt eine weniger Dichte Modifikation. Ohne Berücksichtigung der Temperaturstruktur kann der Übergang zwischen beiden Modifikationen nicht im Modell berücksichtigt Eis: Dies nur ist angegeben für den Fall, daß Experimente mit Planeten mit einer dicken Eisschicht gemacht Literatur [1] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. (1993) Numerical Recipes in C, 2. Auflage (Cambridge University Press) [2] Seager, S., Kuchner, M., Dier-Majumder, C. A., Militzer, B. 2007, Mass-Radius relationships for Solid Exoplanets. astroph: v1 [3] Valencia, D., Sasselov, D. D., O Connel, R. J. 2007, Radius and Structure Models of the First Super-Earth Planet. Astrophysical J., 656, [4] Zhaov, V. N., Trubitsyn, V. P. 1978, Physics of Planetary Interiors (ed. W. B. Hubbard) (Tucson: Pachart Publishing House) 8

9 Einige wichtige Daten Tabelle 2: Daten für die terrestrischen Planeten Größe Einheit Meur Venus Erde Mars Masse kg Radius km Mittlere Dichte kgm C/MR Kernmasse kg M c /M tot Kernradius km R c /R Größe Symbol Dimension Wert Gravitationskonstante G dyn cm Gravitationskonstante G N m 2 kg Druckeinheiten: Die Standardeinheit des Drucks in SI-Einheiten ist das Pa. Oft werden Drucke auch in der Einheit 1 bar = 10 5 Pa angegeben. In astronomischen Publikationen werden fast ausschließlich cgs-einheiten verwendet. Die entsprechende Druckeinheit ist 1 dyn cm 2 = 0.1 Pa. In manchen älteren Publikationen findet sich als Druckeinheit auch die Atmosphäre. Es ist 1 atm = Pa. 9