Elementare und Analytische Geometrie

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1 Mathematisches Institut Elementare und Analytische Geometrie Skript zur gleichnamigen Vorlesung von Professor Herbert Koch im Sommersemester 2012 Clemens Kienzler, Herbert Koch Stand vom 6. Juli Die Vorlesung ist der zweite Teil des Moduls Elemente der Mathematik.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Organisation Literatur Grundlagen nach Euklid und Hilbert I. Axiome der Inzidenz II. Axiome der Anordnung III. Axiome der Kongruenz IV: Das Parallelenaxiom Streckenarithmetik Ähnlichkeit V: Archimedisches Axiom und Axiom der Vollständigkeit Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen Analytische Geometrie Der Flächeninhalt Elementargeometrische Figuren Das Dreieck Kreise Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene Winkeldefekt und Flächeninhalt Eine analytische Behandlung des Poincaré-Modells Kegelschnitte und Quadriken Regelmässige Vielecke und komplexe Zahlen Vielecke

3 Einführung 1. Vorlesung am 3. April Einführung Unter den ersten Quellen sind der ägyptische Papyrus Rhind und der ägyptische Papyrus Moskau, die Aufgaben zur Berechnung von Flächen von Rechtecken, Dreiecken und Trapezen und dem Volumen eines Pyramidenstumpfes enthalten. Motive kamen sicher vom Vermessen diverser Objekte, der Verwaltung, der Konstruktion der Pyramiden und der Darstellung geometrischer Objekte. Beeindruckend ist die Vermessung des Erdumfangs durch Eratosthenes (um v Chr. ). In Euklids ( v Chr. ) Elementen findet sich der Versuch, den abstrahierten mathematischgeometrischen Inhalt systematisch und deduktiv zu ordnen. Hilbert [4] greift die Frage nach den Grundlagen der Geometrie wieder auf und formuliert ein Axiomensystem für die Geometrie, auf das wir zunächst aufbauen. Wie in der Analysis versucht das Axiomensystem die mathematische Struktur unabhängig von Anschauung und inhaltlichen Vorstellungen herauszuarbeiten. Dadurch wird eine belastbare Argumentation möglich. Interessanterweise ist die mathematische Struktur schon von Dreiecken ungewöhnlich reichhaltig - so gibt es viele Aufgaben der Mathematikolympiade, die Fragen nach Dreiecken stellen. Im Kapitel über Elementargeometrie werden wir derartigen Fragen nachgehen. Wie auch in anderen Bereichen der Mathematik ergaben sich aus der Strukturorientierung sehr dynamische Entwicklungen, die auch zeigen, das die Formalisierung nicht zu einer Vernachlässigung der inhaltlichen Vorstellungen geführt hat. So erkannte man im 18. Jahrhundert, dass das Parallelenaxiom unabhängig von den übrigen Axiomen war. In der Vorlesung werden wir die auf Lobatschewski zurückgehende hyperbolische Geometrie kennenlernen. Die hyperbolische Geometrie ist der Modellfall eines Raumes mit negative Krümmung. Riemann ( ) entwickelte die Differentialgeometrie mit dem Krümmungstensor als wesentlicher Größe. Um die Jahrhundertwende gab es in der Physik nach großen Erfolgen grundsätzliche offene Fragen, wie z.b. nach der Bedeutung der Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen. Einstein interpretierte die Graviationskraft als eine geometrische Größe - der Kern der allgemeinen Relativitätstheorie. Inzwischen ist die allgemeine Relativitätstheorie selbst für alltägliche technische Anwendungen relevant: Eine Ortsbestimmung mittels GPS erfordert eine so genaue Zeitmessung, dass die Auswirkung der Masse der Erde auf die Geschwindigkeit der Uhr berücksichtigt werden muß. Inhalte der Vorlesung sind Grundlagen der Geometrie, Elementargeometrie ( elementar bezieht sich auf den verwendeten mathematischen Apparat, es wäre völlig falsch elementar mit trivial gleichzusetzen), analytische Geometrie (in der die Interpretation der Ebene und des Raumes als 2 bzw 3 dimensionaler Vektorraum im Vordergrund steht) und Symmetrien und Gruppen (meistens Kongruenzabbildungen). 2

4 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Mathematik betreiben heißt immer auch Probleme lösen. Dieser Aspekt wird vor allem in den Übungsgruppen und den Projekten eine wichtige Rolle spielen. 1.1 Organisation Die Vorlesung ist jeweils Dienstags von Uhr. Die Übungen sind Donnerstags zum selben Zeitpunkt. Die Klausur findet voraussichtlich am 7.7. statt. Voraussetzung ist eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen, was 50% der Punkte der Hausaufgaben und eine erfolgreiche Bearbeitung eines Projekts, jeweils in beiden Semestern, einschließt. 1.2 Literatur Agricola [1], Hilbert [5], Hilbert und Cohn-Vossen [5], Schupp [7] und Struve [8]. 2 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Wir betrachten eine Menge P, deren Elemente wir Punkte nennen, eine Menge G, deren Elemente wir Geraden nennen, und eine Menge E, deren Elemente wir Ebenen nennen. Punkte bezeichnen wir typischerweise mit großen Buchstaben, Geraden mit kleinen Buchstaben, und Ebenen mit griechischen Buchstaben. 2.1 I. Axiome der Inzidenz Wir betrachten Inzidenzen (enthalten sein, liegen auf/ liegen in) I PG P G, I PE P E, I GE G E und sagen z.b., A liegt auf a oder a enthält A, falls (A, a) I PG. Wir fordern dass aus (A, a) I PG P G und (a, α) I GE G E folgt: (A, α) I PE P E. Anders ausgedrückt: Liegt A auf a und a in α, so liegt auch A in α. I.1 Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte. Zu je zwei verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, die diese zwei Punkte enthält. Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. I.2 Jede Ebene enthält mindestens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte. Zu drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese enthält. Es gibt vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen. I.3 Wenn zwei verschiedene Punkte in einer Ebene liegen, so liegt auch die Gerade, die durch diese Punkte bestimmt ist, in der Ebene. Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt enthalten, so enthalten sie auch einen zweiten gemeinsamen Punkt. 1 Satz Zwei verschiedene Geraden haben einen oder keinen Punkt gemeinsam. Zwei Ebenen haben keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam. Eine Ebene und eine nicht in ihr enthaltenen Gerade haben keinen oder einen Punkt gemeinsam. 3

5 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2 Satz Zu einer Geraden und einem nicht auf ihr liegenden Punkt gibt es genau eine Ebene, die beide enthält. Zu zwei Geraden mit genau einem gemeinsamen Punkt gibt es genau eine Ebene, die die Geraden enthält. Bemerkung: Der vierdimensionale Raum genügt diesen Axiomen nicht. 2.2 II. Axiome der Anordnung Die Anordnung wird beschrieben durch eine Menge A P P P von Tripeln (A, B, C) von Punkten, die paarweise verschieden sind und jeweils auf einer Geraden liegen. Ist (A, B, C) A so sagen wir B liegt zwischen A und C. Die Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die zwischen A und B liegen. A und B heißen Endpunkte und sind selbst nicht Element von AB. II.1 Liegt B zwischen A und C, so liegt B auch zwischen C und A. II.2 II.3 II.4 Zu zwei verschiedenen Punkten A und B gibt es einen Punkt, der zwischen A und B liegt, und einen Punkt C, so dass B zwischen A und C liegt. Liegen die drei paarweise verschiedenen Punkte A, B, C auf der Geraden g, so liegt genau einer der drei Punkte zwischen den beiden anderen Punkten. (Pasch) Seien A, B, C drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte, a eine Gerade in der zu A, B, C gehörenden Ebene, die keinen der drei Punkte enthält, aber einen Punkt aus AB. Dann enthält a entweder einen Punkt aus BC oder einen Punkt aus CA, aber nicht beides. 3 Lemma Zwischen je zwei verschiedenen Punkten einer Geraden gibt es unendlich viele Punkte auf der Geraden. 4 Satz Seien vier paarweise verschiedene Punkte auf der Geraden g gegeben. Dann können sie so mit A, B, C, D bezeichnet werden, dass B sowohl zwischen A und C als auch zwischen A und D liegt, und C sowohl zwischen B und D als auch zwischen A und D liegt. Siehe Moore [6] und [2]. Behauptung: Liegt B zwischen A und C, sowie C zwischen A und D, so liegt C auch zwischen B und D. Wir beweisen die Behauptung. Es liege B zwischen A und C, und C zwischen A und D. Dann folgt 1) D liegt nicht zwischen B und C. 4

6 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2) B liegt zwischen A und D. 3) B liegt nicht zwischen C und D. Daraus folgt die Behauptung: einer der drei Punkte B, C, D liegt nach Axiom II.3 in der Mitte. Nach der ersten Aussage ist das nicht D, nach der dritten Aussage auch nicht B, also liegt C zwischen B und D. Beweis der drei Aussagen: Sei E ein Punkt, der nicht auf der Geraden g liegt (geht wegen Axiom I.1). Wir wählen einen Punkt F aus CE und betrachten das Dreieck BCE und die Gerade a, die A und F enthält. Sie schneidet EB nach Axiom II.4, und zwar in einem Punkt G auf AF (Anwendung von II.4 auf ACF). In BC ist das nicht möglich, da laut Voraussetzung B zwischen A und C. Wir führen die Annahme D liegt zwischen B und C zu einem Widerspruch. Denn dann würde DF sowohl BC wie auch CE schneiden, und es würde selbst von CG geschnitten werden, sagen wir in einem Punkt H zwischen F und D. Dann scheidet CH (da C zwischen A und D liegt) die drei Seiten des Dreiecks ADF jeweils in inneren Punkten - ein Widerspruch zu II.4. E G H F A B D C Der Punkt C kann hier nicht geometrisch korrekt gezeichnet werden, da die Skizze eine unmögliche Konfiguration zeigt. Wir beweisen die zweite Aussage. Nach der ersten kann A nicht zwischen B und D liegen (C zwischen D und A, A zwischen D und B, B zwischen A und C: Vertauschen den Buchstaben unmöglich nach der ersten Aussage). Wäre D zwischen A und B, so folgt nach der ersten Aussage, dass keiner der drei Punkte zwischen den anderen beiden liegen kann - ein Widerspruch. Also liegt B zwischen A und D. Wir beweisen die dritte Aussage. Sei E ein Punkt nicht auf g. Wir wählen einen Punkt F auf EC. Da F zwischen E und C liegt, und C zwischen A und D schneidet die durch A und F bestimmte Gerade das Dreieck ECD in einem Punkt G zwischen E und D. Nun liegt F zwischen A und G. Da B zwischen A und C liegt und F zwischen AG schneidet die Gerade durch B und G CF in einem Punkt H. Da auch F zwischen C und E liegt, liegt nach der bewiesenen Aussage H zwischen C und E. Falls B zwischen C und D liegt, so schneidet die Gerade durch B und H alle Seiten des Dreiecks DCE in inneren Punkten - ein Widerspruch zu II.4. 5

7 Grundlagen nach Euklid und Hilbert E G F H A B C D Beweis des Satzes. Der Satz folgt aus den folgenden Aussagen: i) Falls B zwischen A und C und C zwischen B und D, so sind B und C zwischen A und D. ii) Falls C zwischen A und D und zwischen B und D liegt, so liegt weder C noch D zwischen A und B. A liegt genau dann zwischen B und C wenn A zwischen B und D liegt. iii) Falls B und C zwischen A und D liegen, so liegt weder A noch D zwischen B und C. B liegt genau dann zwischen A und C wenn C zwischen B und D liegt. Diese Aussagen wiederum folgen aus der Behauptung. Diesen Teil des Beweises führe ich nicht aus. Die Punkte, die auf g liegen, können nun anhand eines Punktes in zwei Teilmengen auf der einen bzw anderen Seite dieses Punktes geteilt werden. Das folgt aus Satz 4 und ist der Inhalt des folgenden Lemmas. 5 Lemma Sei g eine Gerade und O und A zwei verschiedene Punkte auf g. Wir definieren B = { B B liegt auf g, B liegt zwischen O und A oder B = A oder A liegt zwischen O und B } und C := {C C liegt auf g} ({O} B). Sind die Punkte D und E beide Element von B, oder sind beide Element von C, so ist O DE. Ist D B und E C so ist O DE. 6

8 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2. Vorlesung am 10. April Satz Jede Gerade a auf einer Ebene α trennt die nicht auf ihr liegenden Punkte von α in genau zwei nichtleere Teilmengen, so dass die Strecke AB in einer der Teilmengen liegt, falls A und B in ihr liegen, und AB einen Punkt von a enthält, wenn A und B in verschiedenen Teilmengen liegen. Sei E ein Punkt, der nicht auf der Geraden a liegt. Sei A ein Punkt auf der Geraden, und F ein Punkt auf der durch E und A definierten Geraden, so dass A zwischen E und F liegt. Zu zeigen ist: Ist B ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, so enthält genau eine der Strecken BE und BF einen Punkt der Geraden g. Dadurch teilen wir die Punkte in zwei Klassen ein. Da diese Aussage für jede Konfiguration gilt erhalten wir die Aussage: Seien C und D nicht auf g liegende Punkte. Falls keine der Strecken CE und DE einen Punkt auf g enthalten betrachten wir das Dreieck CDF. Die Strecken CF und DF enthalten jeweils einen Punkt von g nach der Behauptung, also enthält die Strecke CD nach Axiom II.4 keinen Punkt von g. Enhält CE einen Punkt von g, DE aber nicht, so enthält mit der gleichen Argumentation CD einen Punkt von g. Beweis der Behauptung: Wir betrachten das Dreieck BEF. Die Gerade g schneidet einen Inneren Punkt von EF, also schneidet sie genau eine der Strecken BE oder BF. Daraus folgt die Aussage. Ein Streckenzug ist ein System von Strecken A 1 A 2, A 2 A 3 bis A n 1 A n. Auch die Punkte A i sind Element des Streckenzugs. Ein Streckenzug heißt Polygon, falls A n = A 1. Die Punkte A i heißen Ecken des Polygons. Ein Polygon heißt einfach, falls alle Ecken verschieden sind, keine Strecke eine Ecke enthält, und keine zwei Strecken gemeinsame Punkte enthalten. 7 Satz Jedes einfache Polygon in einer Ebene teilt die Ebene in ein Inneres I und ein Äußeres A, so daß jeder Streckenzug von A I nach B A mindestens einen Punkt mit dem Polygon gemeinsam hat. Liegen A und B beide im Inneren oder beide im Äußeren, so existiert ein Streckenzug von A nach B, der keinen gemeinsamen Punkt mit dem Polygon hat. Es gibt eine Gerade, deren Punkte alle im Äußeren enthalten sind. Eine Gerade, deren Punkte alle im Inneren enthalten sind, gibt es nicht. Hilbert schreibt: Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir ohne erhebliche Schwierigkeiten zu dem Satz 7. Ich finde den Beweis nicht einfach. Eine Referenz ist [2]. 7

9 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2.3 III. Axiome der Kongruenz Die Kongruenz wird beschrieben durch eine Äquivalenzrelation von Strecken bzw einer Teilmenge K (P P) (P P) von Quadrupeln von Punkten. Wir sagen AB ist kongruent zu A B falls (A, B, A, B ) K. Wir schreiben dann AB A B. III.1 III.2 III.3 Sind A, B zwei verschiedene Punkte auf der Geraden a und A ein Punkt auf einer Geraden a, dann gibt es genau einen Punkt B auf einer gegebenen Seite von a, so dass AB kongruent ist zu A B. Es gilt stets, dass AB kongruent zu AB und zu BA ist. Ist AB kongruent zu A B und A B kongruent zu A B so ist AB kongruent zu A B. Seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf a, A B und B C zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf a. Sind AB und A B sowie BC und B C kongruent, so sind auch AC und A C kongruent. Sei α eine Ebene, O ein Punkt auf α und h und k von O ausgehende Halbstrahlen, die nicht auf einer Geraden liegen. (Deren Existenz kann mit Hilfe der bisherigen Axiome sichergestellt werden.) Dieses System bezeichen wir mit Winkel (h, k) = (k, h). O heißt Scheitel, h und k heißen Schenkel des Winkels. Die Halbstrahlen h und k teilen die Ebene in zwei Teile analog zu Satz 7. Eine Komponente ist dadurch ausgezeichnet, dass jede Strecke, die zwei Punkte dieser Komponente verbindet, ganz in dieser Komponenten liegt. Diese Komponente nennen wir das Innere des Winkels. Die Teilmenge K W von Paaren von Winkeln beschreibt kongruente Winkel. Sind A,B, C Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen, so bezeichnen wir mit ABC den offensichtlichen Winkel mit Scheitel B. III.4 III.5 III.6 Es sei (h, k) ein Winkel in der Ebene α und a eine Gerade in der Ebene α. Sei h ein Halbstrahl auf a, der von einem Punkt O ausgeht. Wir wählen eine Seite von a in α aus. Dann gibt es in α genau einen Halbstrahl k ausgehend von O auf der angegebenen Seite, so dass (h, k) (h, k ). Jeder Winkel ist zu sich selbst kongruent. Ist (h, k) kongruent zu (h, k ) und (h, k ) zu (h, k ), so ist (h, k) kongruent zu (h, k ). Gelten für die Dreiecke ABC und A B C die Kongruenzen AB A B, AC A C, BAC B A C so gilt auch ABC = A B C und ACB A C B ) 8

10 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 8 Bemerkung 1) Ist AB kongruent zu A B, so ist A B kongruent zu AB. 2) Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben, und deren nicht gemeinsame Schenkel eine Gerade bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamen Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt rechter Winkel. 3) Zwei Dreiecke ABC und A B C heißen kongruent, wenn AB A B, BC B C, AC A C und A A, B B C C. Hier bezeichnet A den Winkel mit Scheitel A und den durch AB und AC definierten Schenkeln. 4) Erster Kongruenzsatz für Dreiecke. Wenn für zwei Dreiecke die Kongruenzen gelten so sind die Dreiecke kongruent. AB = A B AC A C A A Nach Axiom III.6 sind die entsprechenden Winkel kongruent. Es bleibt zu zeigen: BC B C. Wir führen eine Beweis durch Widerspruch und führen die Annahme BC ist nicht äquivalent zu B C zum Widerspruch. Denn dann würde ein Punkt D auf B C existieren mit BC = B D und jeweils zwei Seiten der Dreieck ABC und A B D sind jeweils kongruent. Der Winkel mit Scheitel in B ist kongruent und nach Axiom III.6 sind alle Winkel kongruent. Nach Axiom III.5 folgt B A C B A D, was nicht möglich ist, da nach Axiom III.4 ein Winkel nur auf eine Art abgetragen werden kann. C D C A B A B 5) Zweiter Kongruenzsatz für Dreiecke. Wenn in zwei Dreiecken je eine Seite und zwei anliegende Winkel kongruent sind, so sind die Dreiecke kongruent. Sei AB A B, A = A und B = B. Wir zeigen BC B C da daraus nach dem ersten Kongruenzsatz die Behauptung folgt. Es gibt einen Punkt D auf dem durch B und C definierten Halbstrahl mit BC B D. Dann sind nach dem ersten Kongruenzsatz ABC und A B D kongruent, und damit B A D B A C, was nur sein kann wenn A und D sowie A und C auf einem Halbstrahl liegen. Da zwei verschiedene Geraden höchstens einen Punkt gemeinsam haben folgt C = D. 9

11 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 6) Wenn zwei Winkel kongruent sind, so sind auch ihre Nebenwinkel kongruent. Die Winkel ABC und (g, h ) seien kongruent, B liege zwischen A und dem Punkt D. Bezeichne den Scheitel von g h mit B und wähle Punkte A, C und D auf den Schenkeln so dass A B AB, C B CB D B DB Da nach Voraussetzung die eingeschlossenen Winkel kongruent sind folgt mit dem ersten Kongruenzsatz die Kongruenz der Dreiecke, insbesondere AC A C BAC B A C. Nach Axiom III.3 ist AD A D und nach dem ersten Kongruenzsatz sind CAD und C A D kongruent und insbesondere CD C D, ADC A D C und nach Axiom III.6 in den Dreiecken BCD und B C D folgt die Kongruenz der Nebenwinkel. C A B D 7) Scheitelwinkel sind kongruent. Dies folgt direkt aus der Kongruenz der Nebenwinkel. 8) Es gelte (h, k) (h, k ). Sei l ein vom Scheitel des ersten Winkels ausgehender Halbstrahl im Innern des Winkels. Dann gibt es einen analogen Halbstrahl l im Inneren des zweiten Winkels mit (h, l) (h, l ), (k, l) (k, l ). Wir bezeichnen die Scheitel mit O und O und bestimmen Punkte A, B, A und B auf den entsprechenden Schenkeln so dass OA O A OB O B Nach dem ersten Kongruenzsatz sind die Dreiecke OAB und O A B kongruent. Die Gerade AB schneide l in C (Nach Axiom II.2 existiert D so, dass O zwischen D und A liegt. Die 10

12 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Gerade l schneidet AD genau in O, also schneidet sie nach Axiom II.4 entweder AB oder DB. Da der Strahl nach Voraussetzung im Innern verläuft kann l DB nicht schneiden.) Wir bestimmen einen Punkt C nach Axiom III.1 auf A B mit A C AC. Wir behaupten: O C bestimmt den gesuchten Halbstrahl. Nach Axiom III.3 folgt BC B C und entsprechende Teildreiecke sind kongruent. Dann gilt das aber auch für die Winkel. 9) Seien h,k, l und h, k und l je drei von einem Punkt ausgehende Halbstrahlen wie oben. (h, l ) (h, l), (l, k) (l, k ) = (h, k) (h, k ). Wir bezeichnen die Scheitel mit O und O und Punkte A auf h B auf k und C auf l sowie A B und C so dass die analogen Strecken kongruent sind und C zwischen A und B und C zwischen A und C liegen. Nach dem ersten Kongruenzsatz sind die Dreiecke OAC und O A C sowie OCB und O C B kongruent, also auch die Strecken AC und A C sowie CB C B. Nach Axiom III.3 folgt AB A B und OAB = O A B. Da zusätzlich OA O A folgt nach dem ersten Kongruenzsatz die Kongruenz der Dreiecke OAB und O A B und damit auch die behauptete Kongruenz der Winkel. 10) Sind zwei Winkel kongruent, und ist einer von ihnen ein rechter Winkel, so gilt dies auch für den zweiten Winkel. 11) Rechte Winkel sind kongruent. Der Winkel BAD sei zu seinem Nebenwinkel CAD kongruent, und genauso B A D C A D. Es existiert D auf der selben Seite wie D von BC mit CAD C A D. Entweder liegt D auf dem durch A und D definierten Halbstrahl - dann sind wir fertig, oder im Innern von CAD, oder im Innern von BAD. Wir nehmen den zweiten Fall an - der dritte geht analog. Da der Winkel CAD ein rechter Winkel ist folgt BAD CAD. Dann gibt es aber nach Punkt 8 einen Punkt D im Inneren von BAD mit BAD CAD BAD (da CAD ein rechter Winkel ist) woraus nach Axiom III.4 D = D = D folgt. D D D B A C 11

13 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 3. Vorlesung am 17. April ) Seien zwei Winkel AOB und A O B gegeben. Dann können wir den zweiten Winkel an OA auf der Seite von B abtragen. Es existiert also ein Punkt D mit AOD A O B. Liegt D im Innern des Winkels AOB so sagen wir A O B < AOB, liegt B im Innern von AOD so sagen wir AOB < A O B. 13) Die Winkel eines Dreiecks nennen wir auch Innenwinkel, ihre jeweiligen Nebenwinkel entsprechend die jeweils zugehörigen Außenwinkel. Ein Außenwinkel eines Dreieck ist größer als jeder der beiden gegenüberliegenden Innenwinkel. Beweis siehe Übungsaufgabe 4. 14) Sei α eine Ebene, a eine Gerade und A ein Punkt in α, der nicht auf a liegt. Dann existiert genau eine Gerade b in α, die A enthält, und die senkrecht auf a ist. Wir wählen zwei Punkte BC auf a und tragen die Winkel ABC auf der anderen Seite ab, und dann die Strecke BA und definieren so den Punkt A. Wir behaupten: Die durch A und A gegebene Gerade schneidet a senkrecht in einem Punkt D. Nach dem ersten Kongruenzsatz sind die Dreiecke BDA und BDA kongruent, also ist BDA BDA. Die Gegenwinkel sind also gleich, und wir haben rechte Winkel konstruiert. Sei b eine zweite derartige Gerade, die mit a einen Punkt D enthält, und die a im rechten Winkel schneidet. Ist D = D, so hat das Dreieck DD A zwei rechte Winkel, und ein Außenwinkel stimmt mit dem gegenüberliegenden Innenwinkel überein. Das kann nach 13 nicht sein. Daraus folgt die Eindeutigkeit. 15) Zu A = B gibt es einen Punkt C zwischen A und B mit AC CB. Die Senkrechte b zu der durch A und B definierten Geraden durch C enthält alle Punkte D, für die AD BD gilt, und alle derartigen Punkte liegen auf dieser Senkrechten. 16) Wir definieren einen Kreis durch zwei Punkte O und A in einer Ebene α als die Menge aller Punkte P in α mit OP OA. Zu jedem Winkel (h, k) gibt es eine Winkelhalbierende. Jeder Punkt der Winkelhabierenden ist Mittelpunkt eines Kreises, der mit h und k jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat. Umgekehrt liegt jeder derartige Punkt auf der Winkelhalbierenden. 17) Eine Gerade und eine Kreis haben höchsten zwei gemeinsame Punkte. Dies folgt aus dem Axiomen III.1 wenn O auf der Geraden liegt. Wir betrachten den Fall wenn O nicht auf der Geraden liegt. Seien C und D zwei Punkte, die auf dem Kreis und der Geraden liegen. Sei O der wie oben gespiegelte Punkt. Dann haben C und D den gleichen Abstand vom Schnitt von a und der durch O und O definierten Geraden. Dann kann es keinen dritten gemeinsamen Punkt geben. 12

14 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 18) Zwei nichtidentische Kreise in einer Ebene α haben höchsten zwei gemeinsame Punkte. Seien O und O die Mittelpunkte mit O = O da sonst nichts zu zeigen ist. Seien C und D zwei gemeinsame Punkte. Die durch sie definierte Gerade schneidet die Verbindung von O und O senkrecht. Da aber zu einem Punkt und einer Geraden genau ein Lot existiert müssen alle gemeinsamen Punkte auf dieser Geraden liegen und die Aussage folgt aus der analogen Aussage für Gerade und Kreis. 19) Dritter Kongruenzsatz für Dreiecke. Seien ABC und A B C Dreiecke mit AB A B, BC B C, AC A C. Dann sind die Dreiecke kongruent. Es genügt diese Aussage für ABC und ABC zu zeigen, wobei C und C auf der selben Seite der Gerade durch A und B liegen. Nach 18 müssen Schnittpunkte auf unterschiedlichen Seiten liegen, also folgt C = C. Eine Figur ist eine endliche Anzahl von Punkten. Liegen diese in einer Ebene, so nennen wir die Figur eben. Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sich die Punkte so einander zuordnen lassen, dass entsprechende Strecken und Winkel jeweils kongruent sind. 9 Satz Sei n eine natürliche Zahl größer oder gleich 2. Sind (A 1, A 2,..., A n ) und (B 1, B 2..., B n ) kongruente ebene Figuren, und ist P ein Punkt in der Ebene der ersten Figur, so existiert ein Punkt P in der Ebene der zweiten Figur so dass (A 1,... A n, P) und (B 1,... B n, P ) kongruent sind. P ist eindeutig, falls die Punkte A 1,..., A n nicht auf einer Geraden liegen. Wir beginnen mit n = 2. Ist P auf der durch A 1 und A 2 definierten Geraden so folgt die Aussage direkt aus den Axiomen. Im anderen Fall tragen wir einen Winkel ab und verwenden den ersten Kongruenzsatz. Dafür hatten wir zwei Möglichkeiten. Nun betrachten wir drei Punkte und nehmen zunächst an, dass diese nicht auf einer Geraden liegen. Dann wenden wir die erste Aussage auf A 1, A 2 und P an, wobei wir durch A 3 eine Seite ausgewählt haben und daher nur ein Punkt in Frage kommt. Wir müssen nun zeigen: A 3 P B 3 P. Der Rest folgt mit dem dritten Kongruenzsatz. A 3 P A 1 A 2 Nun ist nach Annahme A 2 A 1 A 3 B 2 B 1 B 3 und nach Konstruktion A 2 A 1 P B 2 B 1 P, also auch PA 1 A 2 P B 1 B 2 (Vorsicht Fallunterscheidung). Nach Voraussetzung gilt A 1 A 3 B 1 B 3 13

15 Grundlagen nach Euklid und Hilbert und nach Konstruktion A 1 P B 1 P. Also ist nach dem ersten Kongruenzsatz A 1 PA 3 kongruent zu B 1 P B 3 und damit A 3 P B 3 P. Liegen alle drei Punkte auf einer Geraden so wählen wir eine Seite aus. Wir erhalten das volle Resultat mit Hilfe der vollständigen Induktion. 10 Satz Sind (A 1, A 2,..., A n ) und (B 1, B 2..., B n ) kongruente Figuren, und ist P ein Punkt, so existiert ein Punkt P so dass (A 1,... A n, P) und (B 1,... B n, P ) kongruent sind. P ist eindeutig, falls es vier Punkte unter den A i gibt, die nicht in einer Ebene liegen. Ohne Beweis. 2.4 IV: Das Parallelenaxiom Sei α eine Ebene, a eine Gerade in α, A ein Punkt in α aber nicht in a. Wähle eine Gerade c, die durch A geht, und die a in einem Punkt B schneidet. Dann gibt es eine Gerade b durch A mit gleichen Gegenwinkeln. Die Geraden a und b können nach dem Außenwinkelsatz keinen Schnittpunkt haben: Hätten sie einen Schnittpunkt C, dann wäre ein Außenwinkel kongruent zu einem gegenüberliegenden Innenwinkel. Das Parallelenaxiom fordert nun, dass es höchstens eine derartige Gerade gibt. IV Zu einer Geraden a in der Ebene α und einem Punkt A in α, der nicht auf a liegt, existiert genau eine Gerade durch A, die keinen gemeinsamen Punkt mit a hat. B D O F E O A C DO C ist Stufenwinkel zu COE. FO B ist Wechselwinkel zu COE. 11 Satz Werden zwei parallele Geraden (zwei sich nicht schneidende Geraden) von einer dritten Geraden geschnitten (d.h. sie enthalten jeweils gemeinsame Punkte), so sind Winkel und Wechselwinkel kongruent. Oben haben wir Geraden mit kongruenten Wechselwinkeln konstruiert. Diese können sich nicht schneiden. Nach dem Parallelenaxiom IV ist diese Gerade eindeutig durch den gemeinsamen Punkt bestimmt. 14

16 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 12 Satz Die Winkelsumme im Dreieck ist die Summe zweier rechter Winkel. Die Winkel im Dreieck sind kongruent zu Wechselwinkeln. Zwei Wechselwinkel und ein Winkel addieren sich auf zur Summe zweier rechter Winkel. 13 Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt O. Der Schnittpunkt heißt Umkreismittelpunkt. Es gilt AO BO CO. Seien A, B, C drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte. Nach Axiom I.2 gibt es genau eine Ebene α die diese drei Punkte enthält. Die Aussage bezieht sich auf diese Ebene. Nach 8.15 gibt es genau einen Punkt D zwischen A, B mit AD DB. Nach 8.14 existiert genau eine Gerade c, die die durch A und B definierte Gerade im Punkt D senkrecht schneidet. Ersetzen von A durch C führt auf die Mittelsenkrechte a zwischen B und C, die BC in einem Punkt D schneidet. Seien nun die Geraden a und c parallel. Wäre a zudem parallel zu der Geraden, die AB enthält, so wäre auch c parallel zu dieser Geraden. Das kann aber nicht sein, da c diese Gerade laut Konstruktion schneidet. Wäre umgekehrt a nicht parallel zur Geraden, die AB enthält, und nennen wir den Schnittpunkt E, dann hätte das Dreieck D BE zwei rechte Winkel, und damit würde ein Außenwinkel mit einem gegenüberliegenden Innenwinkel übereinstimmen. Das ist ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz. a und c müssen also einen Schnittpunkt haben, den wir O nennen. Dann sind die Dreiecke AOD und BOD (mit zwei kongruenten Seiten und dem kongruenten eingeschlossenen Winkel) nach dem ersten Kongruenzsatz kongruent, und damit OA OB. Genauso erhalten wir OB OC, und somit auch OA OC. Mit 8.15 folgt dann, dass O auf der Mittelsenkrechten von AC liegen muss. Es gilt der Peripheriewinkelsatz. 14 Satz Sei α eine Ebene, K ein Kreis mit Mittelpunkt O, auf dem die verschiedenen Punkte A, B, C liegen. Der Winkel AOB ist kongruent zum Doppelten des Winkels ACB. Insbesondere: Sind C und C auf dem Kreis und der selben Seite der durch A und B definierten Geraden, so folgt ACB AC B. Eine vollständig rigorose Fassung der Aussage erfordert eine Fallunterscheidung: Liegen O und C auf verschiedenen Seiten der durch A und B gegebenen Geraden, ist also der Peripheriewinkel ACB größer als ein rechter Winkel, dann ist die Summe aus dem Zentralwinkel AOB und dem Doppelten des Peripheriewinkels kongruent zum Vierfachen des rechten Winkels. Anschaulich bedeutet das, dass wir in diesem Fall einfach den größeren der beiden möglichen Zentralwinkel betrachten. 15

17 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Wir behandeln nur den Fall, dass O und C auf der gleichen Seite der durch AB definierten Geraden in der Ebene liegen, und überlassen den anderen Fall dem Leser. Es genügt, die Aussage für den speziellen Fall zu betrachten, dass O zwischen B und C liegt. Ansonsten führen wir einen weiteren Punkt D auf dem Kreis ein, der C gegenüberliegt, und wenden den Spezialfall zweimal an. Sei also O zwischen B und C, und C und O auf der gleichen Seite. Wir zeigen: AOB ist kongruent zum Doppelten des Winkels BCA. Die Dreiecke AOC und AOB sind jeweils gleichschenklig, und nach dem dritten Kongruenzsatz kongruent zu den Dreiecken, die durch Vertauschen zweier Ecken entstehen. Damit sind die Basiswinkel ACO und CAO kongruent. Der Winkel AOC ist Nebenwinkel zu AOB, d.h. die Summe ist die Summe zweier rechter Winkel. Aufgrund Satz 12 ist die Summe der Winkel im Dreieck AOC auch die Summe zweier rechter Winkel, also ist AOB die Summe der kongruenten Winkel OAC und OCA. Daraus folgt die Aussage. Der Satz von Thales ist ein Spezialfall. 15 Satz Liegt in der Situation von Satz 14 O zwischen A und B und ist C ein beliebiger Punkt auf dem Kreis, so ist der Winkel ACB ein rechter Winkel. 16

18 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 4. Vorlesung am 24. April 2012 Es gilt auch die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes. Wie oben wäre für eine vollständige Formulierung eine Fallunterscheidung notwendig. 16 Satz Seien A und B auf einem Kreis um O, C nicht auf der durch A und B gegebenen Geraden, aber in der selben Ebene und so, dass BOA kongruent ist zum Doppelten von ACB. Dann folgt, dass C auf dem selben Kreis liegt. Sind A, B, C und D vier Punkte in einer Ebene, C und D nicht auf der durch A und B definierten Geraden, aber auf der selben Seite von ihr und mit ACB ADB, so liegen die vier Punkte auf einem Kreis. Sei O der Umkreismittelpunkt des Dreieck ABC. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist BO A kongruent zum Doppelten von BCA, also laut Voraussetzung kongruent zu BOA. Wir nehmen an, weder O noch O liegt auf der Geraden durch A und B. Diese Fälle sind einfacher. Die Dreieck ABO und ABO sind gleichschenklig, also sind jeweils die Basiswinkel kongruent, und da nach Konstruktion AOB AO B ist aufgrund der Winkelsumme im Dreieck ABO ABO BAO BAO. Da auch AB AB sind nach dem zweiten Kongruenzsatz die Dreiecke ABO und ABO kongruent. Überprüfen der Mehrdeutigkeit zeigt dass O und O auf der gleichen Seite von AB liegen, und damit folgt O = O. Für die zweite Aussage nennen wir den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC wieder O. Dann ist ADB nach Voraussetzung kongruent zu ACB, das Doppelte ist nach dem Peripheriewinkelsatz kongruent zu AO B, und nach der ersten Aussage liegt D auf dem Kreis. Wir betrachten nun vier verschiedene Punkte A, B, C D auf einem Kreis D C A B Für diese 4-Punkt Konfigurationen gilt: 17 Satz Sind vier Punkte A, B, C und D auf einem Kreis, so addieren sich gegenüberliegende Winkel zum Doppelten des rechten Winkels. 17

19 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Umgekehrt: Ist im Viereck ABCD die Summe zweier gegenüberliegender Winkel das Doppelte des rechten Winkels, so liegen die vier Punkte auf einem Kreis. Sei O der Kreismittelpunkt. Ist O AC dann folgt die Aussage sofort. Sei also O AC. Dann liegt einer der Punkte B und D auf der selben Seite von AC wie O, während der andere auf der anderen Seite liegt. OBdA seien B und O auf der selben Seite. Wegen des Peripheriewinkelsatz ist das Doppelte des Winkels ABC kongruent zu AOC, und das Vierfache des rechten Winkels ist kongruent zur Summe aus dem Winkel AOC und dem Doppelten des Winkels ADC. Daraus folgt die Behauptung. Für die Umkehrung sei O der Umkreismittelpunkt von ABC. Die Summe von ABC und ADC sei kongruent zu zwei rechten Winkeln. OBdA seien wieder B und O auf der selben Seite von AC. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist dann das Doppelte von ABC kongruent zu AO C. Auf Grund der Voraussetzung folgt daraus, dass das Vierfache des rechten Winkels kongruent ist zur Summe aus AO C und dem Doppelten des Winkels ADC. Das genau benötigen wir als Voraussetzung der Anwendung des umgekehrten Peripheriewinkelsatzes auf die Punkte A, B und D, da D auf der Seite der durch A und B gegebenen Geraden liegt, auf der O nicht liegt. Damit liegt D auf dem Umkreis. 2.5 Streckenarithmetik Wir folgen R. Hartshorne [3]. Die Kongruenzrelation definiert eine Äquivalenzrelation auf den Strecken, es gilt 1) AB AB 2) AB A B A B AB 3) AB A B und A B A B impliziert AB A B. Die Äquivalenzklasse einer Strecke AB ist die Menge aller zu AB kongruenten Strecken. Eine Äquivalenzklasse ist durch jedes Element eindeutig bestimmt, und wir schreiben (AB) für die zu AB gehörende Äquivalenzklasse. Wir bezeichen Äquivalenzklassen außerdem mit s, t etc. Wir definieren nun eine Addition auf den Äquivalenzklassen. Seien s und t gegeben. Wir fixieren eine Gerade a und einen Punkt O auf a. Zu EF s und GH t gibt es nach Axiom III.1 Punkte A und B auf a so dass A zwischen O und B und OA EF, AB GH. Die Summe der Äquivalenzklassen s und t definieren wir dann als die Äquivalenzklasse, deren Vertreter OB ist. Es gilt 1) Die Definition der Summe ist unabhängig von den Vertretern. 18

20 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2) s + t = t + s 3) (s + t) + u = s + (t + u) 4) Für s und t gilt genau eine der Alternativen s = t. Es gibt genau ein u mit s + u = t (falls s < t). Es gibt genau ein u mit s = t + u (falls t < s). Der Beweis dieser Aussagen erfordert einen korrekten Umgang mit dem Formalismus, aber es gibt keine Überraschungen. Wir wenden uns nun der Definition des Produkts zu. Seien wieder s und t gegeben. Wir fixieren eine Äquivalenzklasse, die wir 1 nennen. Nun wählen wir ein rechtwinkliges Dreieck ABC wobei AB 1 und BC s mit rechtem Winkel in B. An DE t tragen wir einen rechten Winkel bei E ab, und bei D auf der selben Seite von DE den Winkel BAC. Den Schnittpunkt der beiden neuen Schenkel nennen wir F, so dass wir ein zweites rechtwinkliges Dreieck DEF mit rechtem Winkel in E, DE t und BAC EDF erhalten. Das Produkt von s und t ist dann als die Äquivalenzklasse von EF definiert. Ein Spezialfall ist: F C A = D B E mit rechtwinkligen Dreiecken ABC und AEF, AB 1, BC s, AE t. Das Produkt ist die Äquivalenzklasse von EF. Wir bekommen ähnliche Aussagen wie für die Summe, sie sind aber nicht mehr offensichtlich. 1) Das Produkt hängt nur von den Äquivalenzklassen und nicht von den Vertretern ab. 2) s 1 = s 3) s t = t s 4) s (t u) = (s t) u 5) Für jedes s existiert genau ein t mit s t = 1 6) s (t + u) = s t + s u. 19

21 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Zur Frage der Wohldefiniertheit betrachten wir zwei Dreiecke ABC und A B C mit rechtem Winkel in B und B, AB A B 1 und BC B C s. Dann sind nach dem ersten Kongruenzsatz die Dreiecke kongruent, und damit AC A C und A A. Mit D E t erhalten wir dann ein Dreieck D E F mit D E DE, E E und D A A und somit EF E F. Die Äquivalenzklasse hängt also nicht von der Wahl der Dreiecke ab. Zum Beweis von s1 = s betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit AB 1 und BC s. Die Aussage folgt aus BC BC. Zum Nachweis des Kommutativgesetzes konstruieren wir die folgende Figur (konstruieren meint einen Existenzbeweis - siehe Übungsaufgabe 6) mit BAC BDF und BAD BCF. Da die zu A und B gehörende Gerade sowohl vom von C kommenden Schenkel als auch vom von D kommenden Schenkel in F geschnitten wird gilt t s = s t. C s 1 B st = ts A t F D Für das Assoziativgesetz argumentieren wir ähnlich. Die Existenz der multiplikativen Inversen folgt aus der Konstruktion zweier Dreiecke ABC und A B C mit rechtem Winkel in B bzw B, wobei BC s, AB, A B 1 und B A C BCA. Nennen wir die zu B C gehörende Äquivalenzklasse t, so folgt st = 1. Für das Distributivgesetz betrachten wir F C E A B D Wie bei den Zahlbereichserweiterungen im letzten Semester erhalten wir: 20

22 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 18 Satz Sei a eine Gerade und O und A zwei verschiedene Punkte auf der Geraden. Dann können wir auf den Punkten der Geraden eine Addition und Multiplikation definieren, die die Punkte der Geraden zu einem geordneten Körper macht, mit 0 = O und 1 = A. Ein geordneter Körper ist ein Körper mit dem Ordnungsaxiom. Sei K dieser angeordnete Körper. Im kartesischen Produkt K 3 können wir Punkte, Geraden und Ebenen als Mengen von Punkten definieren mit der offensichtlichen Inzidenz-, Zwischen- und Kongruenzrelation. 19 Satz Sei O ein Punkt. Es existieren senkrecht aufeinander stehende Geraden a, b, c durch O. Ohne Beweis. 20 Satz Seinen O, a, b und c senkrecht aufeinander stehende Geraden, A ein Punkt auf a und g und h in O beginnende Halbstrahlen auf b und c. Dann existiert genau eine bijektive Abbildung von K 3 auf alle Punkte, die die geometrischen Strukturen erhält, und die (0, 0, 0) auf O, (1, 0, 0) auf A, (0, 1, 0) und (0, 0, 1) auf einen Punkt B in g und C in h ab mit OA OB OC. Ohne Beweis. Beachte schließlich, dass der Quotient (AB) : (CD) ein Element des Körpers ist, der nicht von der Wahl der 1 abhängt. 21

23 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 5. Vorlesung am 8. Mai Ähnlichkeit Wir sagen, die Strecken AB, CD und A B und C D sind proportional, wenn (AB) : (CD) = (A B ) : (C D ). Es ist offensichtlich, dass der Quotient zweier Äquivalenzklassen von Strecken eine Zahl in K ist, die nicht von der Wahl der 1 abhängt. Das ist der Ausgangspunkt für die Definition der Ähnlichkeit. 21 Definition Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn alle entsprechenden Winkel kongruent und Äquivalenzklassen entsprechender Strecken proportional sind. 22 Satz (WWW) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn je zwei entsprechende Winkel kongruent sind. Nach Definition der Streckenmultiplikation ist das Verhältnis Ankathede zu Hypotenuse in rechtwinkligen Dreiecken mit kongruenten Winkeln gleich. Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit O und die Fusspunkte des Lotes auf die Seiten mit E, F und G. Da O der Mittelpunkt des Innenkreises ist folgt OE OF OG. Wir erhalten 6 rechtwinklige Dreiecke. Der Vergleich der Quotienten zeigt die Behauptung. 23 Satz Im Dreieck ABC sei B zwischen A und B, und C zwischen A und C, und die durch B und C definierte Gerade sei parallel zu BC. Dann folgt (AB ) : (AB) = (AC ) : (AC). Umgekehrt folgt aus der Gleichheit die Parallelität der Geraden. Aus der Parallelität folgt die Kongruenz entsprechender Winkel ABC und AB C. Nach Satz WWW folgt die Proportionalität der Seiten. Sei nun D ein Punkt auf AC so dass AB, AB sowie AC und AD proportional sind. Die Parallele zu BC durch B trifft AC in einem Punkt C. Dann folgt (AD) : (AC) = (AB ) : (AB) = (AC ) : (AC) und D = C. Damit folgt die Parallelität. 24 Satz (SSS) Sind drei entsprechende Seiten der Dreiecke ABC und A B C proportional, so sind die Dreiecke ähnlich. Wir konstruieren ein zu A B C kongruentes Dreieck im Dreieck ABC, und es genügt, die Aussage in der Situation von (23) zu beweisen. Aus der Parallelität folgt die Kongruenz der Winkel, und nach Satz AAA die Ähnlichkeit der Dreiecke. 22

24 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 25 Satz (SWS) Haben die zwei Dreiecke ABC und A B C kongruente Winkel BAC B A C und proportionale Seiten (AB) : (AC) = (A B ) : (A C ) so sind die Dreiecke ähnlich. Der Beweis bleibt dem Leser überlassen. Es gilt folgende Version des Satzes von Pythagoras. 26 Satz Sei ABC ein Dreick mit rechtem Winkel BCA. Dann gilt (BC)(BC) + (AC)(AC) = (AB)(AB) 27 Satz Es gilt die Dreiecksungleichung: (AC) (AB) + (BC) mit Gleichheit genau dann wenn B zwischen A und C liegt. Wir bezeichnen den Fußpunkt der Projektion von C auf die durch A und B definierte Gerade mit D. Nach dem Satz des Pythagoras gilt (BD) (BC) mit Gleichheit genau dann wenn D = C. Die Aussage folgt nun für D mit der Streckenarithmetik. 28 Satz Zu einem Punkt P und einer Geraden a existiert genau ein Punkt A auf a, für den (AP) (A P) für alle Punkte A auf a. Wir nennen (AP) den Abstand von A und a. Liegt P auf a so wählen wir A = P. Falls nicht existiert genau eine Ebene, die a und P enthält. In dieser fällen wir das Lot. Nach der Dreiecksungleichung genügt der Fusspunkt der gewünschten Ungleichung. Auch die Eindeutigkeit folgt aus der Dreiecksungleichung. 2.7 V: Archimedisches Axiom und Axiom der Vollständigkeit In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass die Axiome I-III gelten, aber nicht notwendigerweise das Parallenaxiom. Wir beginnen mit dem Archimedischen Axiom. Wir betrachten eine Gerade a mit den verschiedenen Punkten O und A. Aus diesen Punkten läßt sich mit Hilfe der Axiome ein Maßstab entwickeln. Sei B ein Punkt auf der Geraden, so dass A zwischen O und B liegt. Nach dem Kongruenzaxiom Axiom III.1 können wir Punkte A i auf g finden mit A 1 = A, A 0 = O, und A i A i+1 OA. 23

25 Grundlagen nach Euklid und Hilbert V.1 Es gibt ein n so dass B zwischen A und A n liegt. (Archimedes) V.2 Zu je zwei disjunkten Halbstrahlen auf einer Geraden existiert ein Punkt auf der Geraden, der in keinem der Halbstrahlen liegt. (Vollständigkeit nach Dedekind) Erinnerung: Der Ausgangspunkt liegt nicht auf dem Halbstrahl. Mit diesen Axiomen ist der Körper im letzten Abschnitt gleich (isomorph zu) dem Körper der reellen Zahlen. Wir können die Zuordnung zu den reellen Zahlen mit dem Prinzip der Wechselwegnahme definieren. Seien EF und GH Strecken. Wir definieren den Quotienten durch (EF) : (GH) (die Klammer bezeichnet die Äquivalenzklasse). Alternativ wählen wir drei Punkte O, A und B auf der Geraden a, wobei A und B auf dem selben Halbstrahl liegen und OA EF, OB GH. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es auch eine kleinste Zahl n, für die entweder B = A n, oder B zwischen A n und A n+1. Wir wollen den zwei Punkten OB einen Abstand zuordnen. Dazu gehen wir wie beim Euklidschen Algorithmus vor und setzen c 0 = n. Ist B = A n so definieren wir den Abstand OB = n. Im anderen Fall definieren wir A als den Punkt zwischen O und A mit OA A n B und B = A. Wir wiederholen die Konstruktion und erhalten c 1. Das Verfahren kann abbrechen, oder auch nicht. Wir definieren die reelle Zahl OB = c c c 2... Offensichtliche Variationen ergeben eine analoge Definition für alle Punkte auf dem Halbstrahl. Mit Hilfe von Axiom III.1 erhalten wir einen Abstandsbegriff für alle Punkte: Seien C und D Punkte auf der Geraden b. Dann existiert nach Axiom III.1 genau ein Punkt B auf dem Halbstrahl mit CD OB. Wir definieren CD = OB. Der Radius eines Kreises ist eine reelle Zahl. 29 Satz Ein Kreis und eine Gerade haben genau dann zwei gemeinsame Punkte, wenn der Radius größer als der Abstand von Gerade und Mittelpunkt ist. Sie haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn der Radius gleich dem Abstand ist (in diesem Fall nennen wir die Gerade Tangente), und keinen gemeinsamen Punkt sonst. Zwei Kreise haben genau dann zwei gemeinsame Punkte, wenn der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe und kleiner als die Differenz der Radien ist. Zwei Kreise unterschiedlicher Radien haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn der Abstand der Mittelpunkte gleich der Summe oder gleich der Differenz der Radien ist. Zwei Kreise mit gleichem Radius haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn der Abstand der Mittelpunkte gleich der Summe der Radien ist, und liegen übereinander, wenn der Abstand der Mittelpunkte gleich der Differenz der Radien ist. Zwei Kreise haben genau dann keinen gemeinsamen Punkt, wenn keiner der zuvor genannten Fälle eintritt. 24

26 Grundlagen nach Euklid und Hilbert Enthalten der Kreis und die Gerade einen gemeinsamen Punkt, so ist der Abstand maximal die Länge des Intervalls von Mittelpunkt O zum Schnittpunkt. Ist der Abstand gleich der Länge der Strecke so haben wir einen rechten Winkel, und aufgrund der Dreiecksungleichung gibt es keine weiteren Schnittpunkt. Sei nun der Abstand größer als der Radius und P der Punkt, der den Abstand realisiert. Wir wählen einen Punkt auf der Geraden mit Abstand größer als der Radius (Archimedes), der eine Seite auszeichnet. Nun gibt es eine Menge von Punkten auf dieser Seite mit Streckenlänge größer als der Radius, und eine zweite mit Punkten B die auf der anderen Seite liegen, oder (OB) < (OP). Nach dem Vollständigkeitsaxiom gibt einen einen Punkt C auf der Geraden mit (OC) gleich dem Radius. Nach Bemerkung gibt es einen zweiten Schnittpunkt. Im Fall zweier Kreise gehen wir analog vor. Zum Nachweis der Existenz führen wir eine Hilfsgerade ein, die senkrecht zur ersten Geraden ist. A B O 30 Satz Ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r zerteilt die Punkte der Ebene, in der er liegt, ohne den Kreis selbst in ein Inneres ((OA) < r) und ein Äußeres (mit (OA) > r). Jede Strecke mit Endpunkten im Inneren liegt im Innern. Jede Strecke mit einem Punkt im Inneren und einem Punkt im Äusseren enthält einen Punkt des Kreises. Zu je zwei Punkten im Äusseren gibt es einen Streckenzug im Äusseren des Kreises. Aus dem Satz von Pythagoras (und der Definition des Abstands) folgt die Aussage: Jede Strecke mit Endpunkten im Inneren liegt im Inneren. Jede Strecke zwischen einem Punkt A im Inneren und einem Punkt B im Äußeren liegt auf einer Geraden, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, und zwar je einer auf jeder Seite von A. Eine weitere Anwendung des Satzes von Pythagoras stellt sicher, dass dieser Schnittpunkt zwischen A und B liegt. Die letzte Aussage wird durch eine fast explizite Konstruktion bewiesen. 25

27 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 2.8 Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen Wir identifizieren im Folgenden Geraden und Ebenen mit den Mengen ihrer Punkte. 31 Definition Seien (P, G, E) und (P, G, E ) zwei Systeme von Punkten, Geraden und Ebenen, die beide alle Axiome erfüllen. Eine Ähnlichkeitsabbildung von (P, G, E) nach (P, G, E ) ist eine Abbildung, die Punkte auf Punkte, Geraden auf Geraden und Ebenen auf Ebenen abbildet, und zwar so, dass die Inzidenzrelationen, die Zwischenrelationen, und Kongruenzrelationen erfüllt bleiben. 32 Bemerkung 1) Eine Ähnlichkeitsabbildung ist durch die Abbildung auf den Punkten eindeutig festgelegt. 2) Jede Ähnlichkeitsabbildung bildet Dreiecke auf Dreiecke mit gleichen Seitenverhältnissen ab. 3) Jede Ähnlichkeitsabbildung ist durch vier Punkte A, B, C, D, die nicht auf einer Ebene liegen, und deren Bilder A, B, C und D eindeutig bestimmt. Umgekehrt gibt es zu derartigen Punkten mit (AC) : (AB) = (A C ) : (A B ), (AD) : (AB) = (A D ) : (A B ), (BC) : (AB) = (B C ) : (A B ), (BD) : (AB) = (B D ) : (A B ), (CD) : (AB) = (C D ) : (A B ) genau eine Ähnlichkeitsabbildung. 4) Jede Ähnlichkeitsabbildung ist bijektiv auf den Punkten. Die Umkehrabbildung definiert wieder eine Ähnlichkeitsabbildung. 5) Eine Kongruenzabbildung ist eine Ähnlichkeitsabbildung von (P, G, E) auf sich selbst, die Strecken auf kongruente Strecken abbildet. 6) Wir definieren Ähnlichkeitsabbildungen und Kongruenzabbildungen auf Ebenen analog. 7) Translationen. Sei α eine Ebene und O und A verschiedene Punkte in α. Wir definieren eine Translation φ A in α und im Raum folgendermaßen: Sei B ein Punkt auf der Geraden durch O und A. Dann tragen wir OA an B in die Richtung des Halbstrahls von O nach A ab. Liegt B in der Ebene, aber nicht auf der Geraden, dann liegt A auf einer Seite von der Geraden von O nach B. Wir tragen erst den Winkel BOA im Punkt B in Richtung der Seite von A ab, und dann OA in B in die gleiche Richtung. Die Abbildung bildet Strecken auf kongruente Strecken ab. Sie ist eine Translation. Die Abbildung A φ A ist injektiv und definiert eine kommutative Gruppenstruktur auf den Punkten von α, nachdem wir O ausgewählt haben. Wir erhalten eine Vektorraumstruktur auf den Punkten der Ebene, und genauso im Raum. 26