In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln.

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1 2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. Strecken Kongruenz. Definition. Eine Strecken Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie (P, G, E) ist jede eziehung A CD zwischen Strecken A, CD, die alle Axiome III.1-III.3 der Strecken Kongruenz erfüllen. Axiom-Gruppe 3: Axiome der Strecken Kongruenz. Axiom III.1. Seien g,g G zwei Geraden und A,,A P Punkte mit A, g und A g. Dann gibt es P mit A A, für Strecken. Axiom III.2. A A und A A, dann A A, für Strecken. Axiom III.3. Seien g,g G zwei Geraden. Weiter seien A,C Strecken auf g und A, C Strecken auf g mit Dann gilt A < X > und < X > C, für kein X P A < X > und < X > C, für kein X P. A A und C C AC A C Winkel und Winkel Kongruenz. Der Umgang mit Winkeln hat seine eigenen Schwierigkeiten. Man muss auch sorgfältig unterscheiden zwischen einem Winkel per se und seinem Maß. Hier geht es nur um die Definition von Winkeln und ihren elementaren Eigenschaften - nicht darum wie man sie mißt. Um Winkel zu definieren brauchen wir die folgenden beiden Zerlegungssätze: Satz 1. Sei g G eine Gerade und A P ein Punkt mit A g. Dann zerlegt A die Gerade g in zwei Halbgeraden in dem Sinne, dass zwei Punkte, C P genau dann in verschiedenen Halbstrahlen liegen, wenn < A > C. eweis. Klar. Satz 2. Sei α E eine Ebene und g G eine Gerade mit g α. Dann zerlegt g die

2 2 Hilbertsche Geometrie II 9 Ebene α in zwei Halbebenen in dem Sinne, dass zwei Punkte,C P genau dann in verschiedenen Halbebenen liegen, wenn es einen Punkt A P gibt mit A g und < A > C. g, C liegen in der gleichen und,c in verschiedenen Halbebenen eweis. Klar. emerkung. Man sagt auch, liegen auf der gleichen Seite von g und,c liegen auf verschiedenen Seiten von g. Definition. Ein Winkel ist eine Paar (h, k) von Halbstrahlen, die auf verschiedenen Geraden einer Ebene α E liegen und einen gemeinsamen Punkt 0 haben. ezeichnung. Der durch das Paar (h,k) bestimmte Winkel wird mit (k, h) bezeichnet. Aeusseres des Winkels k Schenkel (h,k) = Winkel Inneres des Winkels (h,k) oder mit Scheitel h Schenkel ezeichnungen am Winkel Die Halbstrahlen h,k heißen Schenkel des Winkels und der Punkt 0 heißt Scheitel des Winkels. Seine h,k die Geraden die die Halbstrahlen h bzw. k enthalten. Dann liegen die Punkte der Halbgerade h alle in einer der beiden Halbebenen von k und ebenso für die Punkte von k. Das Innere des Winkels (h,k) besteht aus allen Punkten der Ebene α die sowohl in der Halbebene von h liegen die k enhalten als auch in der Halbebene von k die h enthalten. Alle anderen Punkte liegen im Äußeren des Winkels.

3 10. Geometrie Definition. Eine Winkel Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie (P, G, E) ist jede eziehung (h, k) (m, n) zwischen Winkeln (h, k), (m, n), die alle Axiome III.4-III.5 der Winkel Kongruenz erfüllen. Axiom-Gruppe 3: Axiome der Winkel Kongruenz. Axiom III.4. Es sei ein Winkel (h,k) in einer Ebene α E und eine Gerade g G in einer Ebene α E sowie eine bestimmte Seite von g in α gegeben. Es sei h einen Halbstrahl der Geraden g, der vom Punkte O ausgeht. Dann gibt es in der Ebene α genau einen Halbstrahl k, so daß (h,k) (h,k ) und zugleich alle inneren Punkte des Winkels (h,k ) auf der Seite von a liegen. Jeder Winkel ist sich selbst kongruent. D.h. (h,k) = (h,k ) und (h,k) = (h,k). Axiom III.5. Wenn für zwei Dreiecke AC und A C gelten, so ist auch stets die Kongruenz erfüllt. A A, AC A C, AC A C AC A C. die Kongruenzen Definitionen. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben, und deren nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel, welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel. Nebenwinkel Scheitelwinkel Rechter Winkel

4 Kongruenz Sätze für Dreiecke. 2 Hilbertsche Geometrie II 11 Im folgenden leiten wir drei Kongruenzsätze aus den Axiomen her. Definition. Zwei Dreiecke AC und A C AC A C ), wenn heißen kongruent (ezeichnung: A A, AC A C, C C A A,, C C. Satz 12. (1. Kongruenzsatz: SWS) ( A A, A A, AC A C, ) AC A C. C C D A A eweis von Satz 12 eweis. Nach Axiom III.5 gilt Es bleibt also zu zeigen: und C C. ehauptung. C C. Angenommen C C gilt nicht. es gibt einen Punkt D C auf der Geraden C mit C D. AC A D....Axiom III.5, angewandt auf die beiden Dreiecke AC und A D. AC A D und AC A C.... (Voraussetzung) Widerspruch.....(nach Axiom III.4 kann jeder Winkel an einem gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden).

5 12. Geometrie Satz 13. (2. Kongruenzssatz: WSW) ( A A, A A, ) AC A C. eweis. Ebenso. Satz 14. (Gleichheit von Nebenwinkeln) Sei AC ein Winkel mit Nebenwinkel CD und sei A C mit Nebenwinkel C D. Dann gilt AC A C CD C D. C C A D eweis von Satz 14 A D eweis. Es gibt Punkte A,C,D P auf den durch gehenden Schenkeln mit A A, C C, D D....(Axiom II.1) AC A C...(Satz 12) AC A C und AC A C....(Definition von Kongruenz von Dreiecken) Weiter ist AD A D...(Axiom III.3) CAD C A D... (Satz 12) CD C D und ADC A D C.... (Definition von Kongruenz von Dreiecken) CD C D....(Axiom III.5 angewandt auf die Dreiecke CD und C D ) Dies beweist Satz 14.

6 2 Hilbertsche Geometrie II 13 Satz 15. (Winkel Addition und Subtraktion) Es seien h,k,l und h,k,l je drei von einem Punkte O bzw. O ausgehende und in einer Ebene α bzw. α liegende Halbstrahlen. h,k und h,k mögen gleichzeitig entweder auf derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten von l bzw. l liegen. Dann gilt: ( (h,l) (h,l ) und (k,l) (k,l ) ) (h,k) (h,k ). K K k H k H h h 0 l L 0 l L eweis zu Satz 15 eweis. O..d.A. liege h, k auf der gleichen Seite von l. Somit liegt (nach Voraussetzung) auch h,k auf der gleichen Seite von l. (Der andere Fall folgt dann durch Anwendung von Satz 14 aus diesem Fall). Entweder verläuft h im Winkel (k, l) oder k im Winkel (h, l). O..d.A. liege h im Winkel (h,l). Wähle auf den Schenkeln k,k,l,l die Punkte K,K,L,L so, dass OK O K und OL O L Dann sieht man leicht, dass h die Strecke KL in einem Punkt H schneidet. Es gibt H auf h mit OH O H... (Axiom III.1) OLH O L H, OLK O L K, LH L H, LK L K...(Satz 12 für OLH und O L H bzw. OLK und O L K ) OKL O K L. H liegt auf L K (dies folgt aus den beiden ersten Winkelkongruenzen, denn, jeder Winkel kann an einen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden (Axiom III.4) und H und K liegen, nach Voraussetzung, auf derselben Seite von l ). HK H K... (Axiom II.3 und der beiden genannten Streckenkongruenzen) (h,k) (h,k )... (Axiom II.5, und OK O K, HK H K und OKL O K L )

7 14. Geometrie Satz 16. (Winkel Teilung) Sei (h,k) ein Winkel in der Ebene α und (h,k ) ein Winkel in der Ebene α mit (h,k) (h p rime,k ). Weiter sei l ein Halbstrahl in α, der vom Scheitel des Winkels (h,k) ausgeht und in seinem Innern verläuft. Dann gibt es genau einen Halbstrahl l α α, der vom Scheitel des Winkels (h,k ) ausgeht und in seinem Innern so verläuft, dass (h,l) (h,l ) und (h,k) (k,l ). eweis. Wie eweis von Satz 15. Den folgenden Satz brauchen wir für den 3. Kongruenzsatz. Satz 17. (Winkel Vergleichung) Seien Z 1,Z 2 P zwei Punkte, die in verschiedenen Halbebenen einer Geraden XY liegen. Dann gilt: ( XZ 1 XZ 2 und Y Z 1 Y Z 2 ) XY Z 1 XY Z 2.. X Z Z 1 2 Y eweis zu Satz 17 eweis. Die Dreiecke Z 1 XZ 2 und Z 1 Y Z 2 sind gleichschenklig XZ 1 Z 2 XZ 2 Z 1 und Y Z 1 Z 2 Y Z 2 Z 1....(Axiom II.5 und III.5) XZ 1 Y XZ 2 Y....(nach Satz 15) XY Z 1 XY Z (Axiom III.5) (Hier haben wir haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass X bzw. Y nicht auf Z 1 Z 2 liegen. Dien anderen Fälle erledigen sich sogar noch einfacher).

8 Satz 18. (3. Kongruenzsatz: SSS) 2 Hilbertsche Geometrie II 15 ( A A, C C, AC A C ) AC A C. C C 0 " A A eweis zu Satz 18 eweis. Wir tragen den Winkel AC an den Halbstrahl A C in A nach beiden Seiten an. Auf dem Schenkel der mit auf der gleichen Seite von A C liegt, wählen wir den Punkt 0 so, dass A 0 A; und auf dem anderen freien Schenkel sei so gewählt, dass A A. C 0 C und C C.... (Satz 12) A A 0, C 0 C und A A, C... (Axiom III.2) die Vorausetzungen von Satz 17 treffen sowohl auf A C und A 0 C als auch auf A C und A C zu A C 0 A C und A C A C.... (Satz 17) Halbstrahl A 0 stimmt mit Halbstrahl A überein.... (nach Axiom III.4) kann jeder Winkel an einer Ebene nur auf eine Weise angetragen werden kann) der zu AC kongruente an A C nach der betreffenden Seite angetragene Winkel ist der Winkel A C. Satz 18...(Satz 12, AC A C und den vorausgesetzten Streckenkongruenzen)

9 16. Geometrie Anhang. Euklidische Geometrie. Definition. Eine Hilbertsche Geometrie (P, G, E) heißt Euklidische Geometrie, wenn sie neben allen Axiomen der Gruppen 1-3 auch alle Axiome der Gruppen 4 und 5 erfüllt. Gruppe 4: Axiome der Parallelen. Axiom IV. Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a: dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft und a nicht schneidet. Gruppe 5: Axiome der Stetigkeit. Axiom V.1. (Axiom des Messens) Seien A, und C,D irgendwelche Strecken, so gibt es eine Anzahl n derart, daß das n-malige Hintereinander-Abtragen der Strecke CD von A aus, auf den durch gehenden Halbstrahl über den Punkt hinausführt. Axiom V.2. (Lineare Vollständigkeit) Das System der Punkte einer Geraden mit seinen Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen ist keiner solchen Erweiterung fähig, bei welcher die zwischen den vorigen Elementen bestehenden eziehungen sowie auch die aus den Axiomen I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz und Axiom V.1 erhalten bleiben.