Fehler- und Ausgleichsrechnung

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1 40 Carl von Ossezky Unversä Oldenburg - Fakulä V- Insu für Physk Prakkum m Modul Physk I für Suderende der Umwelwssenschafen Fehler- und Ausglechsrechnung Schwore: Messgröße, Messwer, Messergebns, Messunscherhe, sysemasche und zufällge Fehler, absolue und relave Fehler, Häufgkesverelung, Dchefunkon, Gaußkurve, Melwer, Sandardabwechung, Varanz, mlerer quadrascher Fehler, Größfehler, Fehlerforpflanzungsgesez, lneare Regresson. Leraur: // BIPM : Evaluaon of measuremen daa Gude o he expresson of uncerany n measuremen (GUM), 008 hp:// // DIN 39-3 : Grundlagen der Messechnk - Tel 3: Auswerung von Messungen ener enzelnen Messgröße, Messunscherhe, 996 /3/ DIN 39-4: Grundlagen der Messechnk - Tel 4: Auswerung von Messungen, Messunscherhe, 999 /4/ NIST 3 Techncal Noe 97: Gudelnes for Evaluang and Expressng he Uncerany of NIST Measuremen Resuls, 994 (hp://physcs.ns.gov/pubs/gudelnes/tn97/n97s.pdf) /5/ TAYLOR, J. R.: Fehleranalyse, VCH Verlagsgesellschaf mbh, Wenhem /6/ YOUNG, H. D.: Sascal Treamen of Expermenal Daa, McGraw-Hll, New York u.a. Enleung In enem Hörsaal wrd en Expermen zur Besmmung der Erdbeschleungung g durchgeführ. Ene Kugel wrd n enem Magnehaler gehalen. Nach dem Enschalen des Magneen fäll de Kugel und rff auf ene Plaform. Für das Durchfallen der Srecke s benög se de Ze. Durch Messung der Messgrößen s und läss sch de Messgröße g besmmen: s () g = De Apparaur se so gebau, dass bem Loslassen der Kugel und bem Aufreffen auf de Plaform jewels en Lchblz ausgelös wrd. Der Ze zwschen den beden Lchblzen wrd von den Suderenden m Hörsaal m ener Soppuhr gemessen. Nemand wrd erwaren, dass alle de gleche Ze messen. De enzelnen Messwere werden vonenander abwechen. Das leg zum enen an der ndvduellen Reakonsfähgke der Suderenden, zum anderen an Gang- oder Kalbrerunerscheden zwschen den enzelnen Soppuhren. Ebenso komm es zu unerschedlchen Messweren, wenn mehrere Personen de Srecke s messen, denn das Anlegen und Ablesen des Maßsabs wrd ndvduell unerschedlch sen. Hnzu komm, dass der Maßsab selbs nur ene begrenze Kalbrergenaugke aufwes. Daraus ergeben sch folgende Fragen: BIPM: Bureau Inernaonal des Pods e Mesures DIN: Deusches Insu für Normung e.v. 3 NIST: Naonal Insue of Sandards and Technology des Uned Saes Deparmen of Commerce - Technology Admnsraon.

2 4 () Welche Were sollen für s und zur Berechnung von g n Gl. () engesez werden? () We berückschg man de Tasache, dass de enzelnen Messwere für s und vonenander abwechen und dass de Messgeräe nur über ene begrenze Genaugke verfügen? (3) We verlässlch s der Wer für g, den man aus den Messweren errechne? De Anworen auf dese Fragen lauen: Zu (): Aus den enzelnen Messweren muss nach fesgelegen Regeln jewels en Messergebns für s und ausgerechne werden. De Messergebnsse für s und werden n Gl. () engesez und lefern en Messergebns für g. Zu (): Zu den Messergebnssen für s und müssen nach fesgelegen Regeln Messunscherheen ausgerechne werden. Dese Messunscherheen lefern en sassches Maß für de Abwechungen der enzelnen Messwere vonenander. Se snd so bemessen, dass ene weere Messung von s oder m ener defneren Wahrschenlchke en Ergebns lefer, das jewels nnerhalb des Inervalls Messergebns ± Messunscherhe leg. Zu (3): Aus den Messergebnssen und Messunscherheen für s und muss nach fesgelegen Regeln ene Messunscherhe für g ausgerechne werden. Ene weere Messung von g nach dem glechen Messverfahren wrd dann m ener defneren Wahrschenlchke en Ergebns lefern, das nnerhalb des Inervalls Messergebns ± Messunscherhe leg. Bede Größen zusammen blden schleßlch das vollsändge Messergebns für de Messung der Größe g. De oben erwähnen Regeln haben nernaonale Gülgke. Se snd für alle denkbaren Anwendungen n elchen Normen und Anleungen sehr ausführlch beschreben (sehe z.b. // - /4/). Darüber hnaus gb es ene Rehe von umfangrechen Büchern, de sch desem Thema wdmen (z.b. /5/und /6/). Es würde den Rahmen deser Anleung sprengen, wenn dese Regeln her m Deal weder gegeben würden. Wr werden uns deshalb darauf beschränken, enge Grundlagen darzusellen und das Handwerkszeug berezusellen, das m Prakkum für de Berechnung von Messergebnssen und Messunscherheen benög wrd. Dreke und ndreke Messung Im beracheen Bespel lassen sch de Messgrößen s und drek messen, nämlch m enem Maßsab und ener Soppuhr. Man sprch n enem solchen Fall von enem dreken Messverfahren. De Messgröße g wrd n dem Bespel ndrek gemessen, nämlch über den Umweg der Messung von s und, aus deren Messergebnssen en Messergebns für g gewonnen wrd. In enem solchen Fall sprch man von enem ndreken Messverfahren. 3 Hnwes zur Nomenklaur Nach // soll m Konex der Messung ener Messgröße von Messergebns und Messunscherhe gesprochen werden. Im physkalschen Allag ha sch des jedoch bslang weng durchgesez. Velmehr wrd sa des Begrffs Messunscherhe velfach der Begrff Fehler verwende. Deshalb s auch eher von Fehlerrechnung de Rede, als von Berechnung von Messunscherheen. Oder von Fehlerbalken sa von Balken der Messunscherhe. Wr werden n desem Tex bede Begrffe, Fehler und Messunscherhe, verwenden.

3 4 4 Möglche Fehleraren 4. Sysemasche Fehler Sysemasche Fehler ensehen be ener Messung z.b. durch unvollkommene Messgeräe, durch unvermedbare Umwelenflüsse auf de Messung oder auch durch Wahl enes ungeegneen Messverfahrens. Wr wollen des an engen Bespelen aus dem Prakkum verdeulchen: () Unvollkommene Messgeräe: Herzu zählen z.b. en Oszlloskop m dejuserer Zeablenkenhe, en Velfachmessgerä m Nullpunkfehler, ene dejusere elekronsche Waage, usw. Das Unangenehme an desen Mängeln s, dass man se zum Tel während der Messung nch erkenn. Im Gegenel: der abgelesene Messwer (z.b. 7,5 µs, 47 Ω, 5,389 g) äusch de Genaugke vor, de man von Geräen deses Typs erware. Es beseh also egenlch ken Grund, das Ergebns zu bezwefeln. () Enfluss der Umwel: En Bespel dafür s de Temperaurabhänggke von Messgeräen. In der Regel snd dese Abhänggkeen quanav bekann. Man kann se dann den Geräehandbüchern ennehmen und be der Auswerung der Messung berückschgen. (3) Ungeegnee Messverfahren: Wenn man de Masse enes Magneen m ener elekronschen Waage besmmen wll, merk man schnell, dass das Messergebns offenschlch unsnng s. Da das Magnefeld auf de Mechank der Waage enwrk, s das Messverfahren ungeegne; man muss ene andere Waage benuzen. Erheblch schwerger s es bespelswese zu beurelen, ob der nnerhalb ener elekrschen Schalung gemessene Srom n unzulässger Wese durch de Beschalung und den Innenwdersand des Messgeräs beenfluss wrd. Her seh man dem Messergebns nch auf den ersen Blck an, ob es rchg oder falsch s. Man kann sch also.allg. nch darauf verlassen, dass man schon merk, wenn man das falsche Messverfahren ensez. Velmehr muss beres be der Planung des Expermens gründlch überleg werden, welches Messverfahren geegne s. Sysemasche Fehler lassen sch nemals völlg ausschleßen. Se beenflussen das Messergebns n ener ganz besmmen Ar und Wese - hner den Fehlern seck Sysem. Das bedeue nsbesondere, dass man den Enfluss deser Fehler auf das Messergebns auch durch häufge Wederholung der Messung nch verrngern kann. Is jedoch das Ausmaß des sysemaschen Fehlers bekann (z.b. der Nullpunkfehler enes Ohmmeers, der Temperaurgang enes Versärkers oder der Kalbrerfehler enes Drucksensors), kann man hn be der Angabe des Messergebnsses berückschgen. 4. Zufällge Fehler Zufällge Fehler beenflussen das Ergebns ener Messung auf ene unvorhersehbare und unkonrollerbare, eben auf ren zufällge Ar und Wese. Ursachen für zufällge Fehler, we se m Prakkum aufreen, können z.b. sen: () De Zufällgke, m der en Naurprozess abläuf, we z.b. der radoakve Zerfall oder de Emsson von Phoonen aus ener Lchquelle. Se führ z.b. dazu, dass de während ener Messze gemessene Anzahl von Eregnssen zufällg schwank. () De Soppuhr, de je nach Reakonsze mal zu früh, mal zu spä gedrück wrd. (3) Der Maßsab oder der Messscheber, an dem mal en zu großer, mal en zu klener Wer abgelesen wrd. (4) Das elekronsche Rauschen enes Messversärkers, das zu Schwankungen der Ausgangsspannung führ. Zufällge Fehler führen mmer dazu, dass das Messergebns mal n der enen, mal n der anderen Rchung vom wahren Wer abwech (zum Begrff des wahren Weres sehe Kap. 5). Wrd de Messung mehrmals wederhol, halen sch de Abwechungen n beden Rchungen de Waage. Wäre das nch der Fall, so wären de beobacheen Fehler nch ren zufällg. De Konsequenzen aus deser Aussage lassen sch so zusammenfassen: legen kene Erfahrungen m enem besmmen Messverfahren vor, so sag en enzger Messwer m Prnzp gar nchs aus. Der Messwer

4 43 kann zufällg mehr oder wenger sark nach oben oder unen vom wahren Wer abwechen. Ers durch häufge Wederholung der Messung oder aufgrund zurücklegender Erfahrungen m dem Messverfahren bekomm man en Gefühl dafür, um welchen Wer herum enzelne Messwere schwanken und man kann beurelen, welche Aussagekraf n enem solchen Messwer seck. In den nächsen Kapeln werden dese Zusammenhänge quanav m Hlfe von Formeln beschreben. 5 De Häufgkesverelung von Messweren Wr wollen annehmen, dass ene Messgröße, ewa de Ze, de en Körper brauch, um von A nach B zu gelangen, N-mal gemessen wurde 4. Es legen also N Messwere vor, de nach den Gesezen des Zufalls vonenander abwechen. De Frage s: welche deser Messwere kommen dem wahren Wer am nächsen? Um dese Frage zu beanworen, muss man unersuchen, ob besmme Messwere deulch häufger vorkommen als andere, und wenn ja welche. Denn man darf m Rech erwaren, dass es dese häufgsen, d.h. wahrschenlchsen Messwere snd, de dem wahren Wer am nächsen kommen. Man el deshalb de N Messwere, de m Berech zwschen mn und max legen, n j Klassen m der Klassenbree en und ordne der Klasse ( =,,..., j) den Messwerberech () ( ) + < + mn mn zu 5. Jeder Klasse wrd ene Ze zugeordne, de der Me des jewelgen Zenervalls ensprch. Nun wrd für jede Klasse de Zahl der Messwere pro, n( ), de n deser Klasse legen, n Form enes Balkens über der zugehörgen Ze aufgeragen. Man erhäl auf dese Wese en Balkendagramm, dem man ennehmen kann, we häufg de enzelnen Messwere vorgekommen snd (Abb. ). Abb. : Häufgkeskurve von Messweren. De Bree enes Zenervalls (Balkens) s. Abb. : Häufgkeskurve (Dchefunkon) der Gauß- oder Normalverelung (Gaußkurve). De Enhüllende deses Dagramms, n( ), heß Häufgkeskurve der Messwere. Ensprechend hrer Defnon s der Flächennhal uner der Häufgkeskurve mmer glech der Gesamzahl der Messwere N. Frage : 4 De folgenden Überlegungen gelen glechermaßen für jede physkalsche Messgröße. De Größe (Ze) den her nur als Bespel. 5 Dazu en Bespel: De Messwere mögen m Berech zwschen mn = 0,4 s und max =,3 s legen, de Ablesegenaugke der Uhr berage 0, s. De Messwere werden daher n nsgesam j = (,3-0,4)/0, = 9 Klassen engeel, de jewels en Zenervall von = 0, s Bree repräseneren.

5 44 - Welche Enhe ha de Größe n( ) m gewählen Bespel? We laue de (sehr enfache!) Bezehung zwschen der Messwerhäufgke pro, n( ), und der Zahl der Messwere n ener Klasse, m( )? - We laue de Glechung zur Berechnung von N aus der Häufgkeskurve n( )? De Erfahrung lehr, und de auf CARL FRIEDRICH GAUß (Abb. 3) zurückgehende Theore kann das begründen, dass für N und 0 (und dam ) de Häufgkeskurve n() für Messwere, de unabhängg vonenander gewonnen wurden und de m zufällgen Fehlern behafe snd, ene ganz charakerssche Form ha: De Form ener Gaußschen Glockenkurve oder kurz Gaußkurve (Abb. ). Man sprch dann auch davon, dass de Messwere gaußverel oder normalverel seen. Abb. 3: CARL FRIEDRICH GAUß ( ) 6 Der Flächennhal uner der Gaußkurve s wederum glech der Gesamzahl der Messwere N. Es s jedoch üblch, hn auf den Wer zu normeren. We weer unen noch erläuer wrd, brng man dam zum Ausdruck, dass de Wahrschenlchke, enen Messwer m gesamen Wereberech von - bs + zu fnden, glech s 7. Der Verlauf der auf den Flächennhal normeren Gaußkurve s gegeben durch: (3) ( ) = σ m n ( )d n () e σ π = wobe der Melwer und σ de Sandardabwechung der Gaußkurve s. Das Quadra der Sandardabwechung, σ, heß Varanz. An den Sellen = ± σ ha de Gaußkurve hre Wendepunke. De Größen und σ haben große praksche Bedeuung: - Der Melwer s der Wer, be dem n() en Maxmum ha. Deser Wer würde also be ener Messrehe m unendlch velen Enzelmessungen am häufgsen vorkommen. Er sell som das wahrschenlchse Ergebns der Messung dar. M anderen Woren: ene Messrehe lefer ne enen wahren, sondern mmer nur enen wahrschenlchsen Wer. 6 Bldquelle: GELLERT, W. e al. [Eds.]: Klene Enzyklopäde Mahemak, VEB Bblographsches Insu, Lepzg, Im beracheen Bespel s de Ze de Messgröße, deren realer Wereberech nur m Inervall 0 legen kann. Formal gesehen erschen es dann falsch oder mndesens unsnng, den Wereberech bs nach - auszudehnen. Jedoch s n der Praxs der Anel des Inegrals aus Gl. (3) m Berech - < 0 so klen ( 0), dass er vernachlässg werden kann. Deshalb werden aus Gründen der mahemaschen Verenfachung de Grenzen des Werebereches auf ± fesgeleg.

6 45 - De Sandardabwechung σ s en Maß für de Sreuung der Messwere um den Melwer. Je größer de Sreuung, je größer also σ, deso breer wrd de Häufgkeskurve (be glech blebendem Flächennhal), umso wenger deulch heb sch also en Messwer von den übrgen ab. Frage : - Berechnen und zechnen Se m Hlfe von Malab n() gem. Gl. (3) m Zenervall,5 s 3,5 s für =,5 s sowe a) σ = 0, s und b) σ = 0, s. Sellen Se bede Kurven n enem Dagramm dar (Malab-Befehl hold on). Gl. (3) laue n Malab-Noaon: n = (/(sgma*sqr(*p)))*exp(- (( - _quer).^)/(*sgma^)) Wr wollen nun so un, als ob wr unser Expermen so durchgeführ häen, dass de Bedngungen N und 0 annähernd erfüll waren, dass also de Häufgkeskurve für de Messwere näherungswese durch ene Gaußkurve gem. Gl. (3) gegeben s. Dann kann man durch Inegraon von n() ausrechnen (man muss also nch zählen!), we vele Messwere z.b. n dem Zenervall [ σ, + σ], also m Berech ± σ legen: Wr wssen, dass alle N Messwere m Zenervall [-, + ] legen müssen. Aufgrund der Normerung des Flächennhals uner der Gaußkurve auf den Wer (s. Gl. (3)) bedeue das: (4) n ( )d = N 00% aller Messwere, Für das gesuche Inervall [ - σ, + σ] ergb sch: (5) ( ) + + σ ( )d e d 0, 683 0, ,3% σ n = N σ σσ π σ aller Messwere. Wer des nachrechnen möche, se gewarn: das Inegral über de Gaußkurve gem. Gl. (3) läss sch nch analysch, sondern nur numersch lösen! Es s n Tabelle (Kap..5) angegeben. Is also de Häufgkeskurve der Messwere durch ene Gaußkurve gegeben (wovon wr n der Praxs fas mmer ausgehen werden), so legen mmer rund 68,3 % aller Messwere m Berech ± σ (Abb. 4). Für den Berech ± σ erhäl man mmer enen Wer von rund 95,5 % (Abb. 4), für den Berech ± 3σ mmer enen Wer von rund 99,7 %. Im Laborjargon heß es dann häufg: 68 % aller Messwere legen m σ-berech um den Melwer, 95 % m σ-berech und 99 % m 3σ-Berech. In der Praxs lassen sch de Bedngungen N und 0 naürlch nch enhalen. Dadurch wrd der Berech größer, n dem z.b. 68,3 % aller Messwere legen. ± σ s n desem Fall durch ± pσ zu ersezen, wobe der Wer der Größe p von N abhäng und sch m Hlfe der Sask berechnen läss (z.b. p =,3 für N = 3, p =,5 für N = 5, p =,06 für N = 0 und p für N ). Für de Auswerung von Messungen m Prakkum werden wr das jedoch nch berückschgen.

7 46 Abb. 4: Flächenanele uner ener Gaußkurve m der auf normeren Gesamfläche. Oben: Flächenanel m Berech ± σ, unen: Flächenanel m Berech ± σ. 6 Melwer und Sandardabwechung Im vorgen Kapel wurde erläuer, dass man uner den dor genannen Annahmen über das Ergebns ener enzelnen Messung (enen Messwer) aus ener Messrehe folgende Aussage machen kann: Das Ergebns ener Enzelmessung leg m ca. 68 % Wahrschenlchke m Berech ± σ. Für de Praxs sell sch nun de Frage, we man und σ ermel. Da man m realen Expermen weder de Bedngung N noch de Bedngung 0 enhalen kann, muss man herausfnden, we man aus nur endlch velen Messweren (ener so genannen Schprobe) de besen Schäzwere, kurz: de Beswere, für und σ ausrechne. Wr verzchen auf de heoresche Herleung zur Berechnung der Beswere und geben m Folgenden nur de Ergebnsse an. 6. Melwer Wrd ene Messgröße, ewa de Ze, N-mal gemessen, so s der Beswer für den Melwer, der sch m Falle N ergeben würde, das arhmesche Mel der Messwere : (6) N N = = 6. Sandardabwechung der Enzelmessung Als Beswer für de Sandardabwechung σ der Enzelmessung ergb sch: N σ = N = (7) ( )

8 47 Des läss sch plausbel machen: De Sandardabwechung der Enzelmessung sell en Maß für de Sreuung der Messwere um den Melwer dar. De Abwechung 8 enes enzelnen Messweres von s durch de Dfferenz gegeben (sehe Abb. 5). Würde man das arhmesche Mel deser Dfferenzen als Maß für de Sreuung ansezen, so würde sch herfür als dreke Folge aus der Defnon des Melweres mmer en Wer Null ergeben, da sch posve und negave Dfferenzen gegenseg aufheben. De Informaon über de vorhandene Sreuung der Messwere gnge also verloren. Um das zu verhndern, werden de Dfferenzen zunächs quadrer: ( ) Dadurch werden alle Größen posv. Danach wrd das arhmesche Mel deser Quadrae geblde und schleßlch daraus de Wurzel gezogen. De Tasache, dass be Bldung des arhmeschen Mels nch durch N, sondern durch N - geel wrd, läss sch aus ener dealleren sasschen Analyse begründen, de nsbesondere auf de Unerschede zwschen Schprobe und Grundgesamhe engeh. Wr wollen des her jedoch nch weer verefen, zumal für großes N de Abwechung zwschen /N und /(N - ) nur wnzg s > 0 / s < Abb. 5: Zur Veranschaulchung der Sandardabwechung. Aufgeragen snd 3 Messwere der Ze über der Nummer der Messung. s der Melwer der. Für = 5 und = 5 snd de Abwechungen zwschen und exemplarsch engezechne. De Sandardabwechung σ der Enzelmessung wrd auch als Fehler (Unscherhe) der Enzelmessung oder gem. Gl. (7) als mlerer quadrascher Fehler (engl. rms error, rms = roo-mean-square) bezechne. 6.3 Sandardabwechung des Melweres In der Praxs s de Sandardabwechung σ der Enzelmessung ofmals nch de wesenlche Größe. Es neresser nämlch nch so sehr, m welcher Wahrschenlchke en enzelner Messwer m Berech ± σ leg. Vel wchger s de Frage, we verlässlch bzw. reproduzerbar der Melwer s, der m ener Messrehe gefunden wurde und der das Messergebns ener Messung darsell. Anders ausgedrück: m welcher Wahrschenlchke würde das Messergebns ener weeren Messrehe, also en zweer Mel- 8 nach // heß dese Größe Messabwechung.

9 48 wer, n enem vorgegebenen Inervall um den ersen herum legen? Um dese Frage beanworen zu können, benög man analog zur Sandardabwechung der Enzelmessung ene Angabe über de Sandardabwechung des Melweres σ. Nehmen wr an, wr haben ene Messrehe m N Messweren nsgesam M-mal wederhol, so dass anschleßend M Melwere vorlegen (j =,,..., M). Man kann nun zegen, dass für M de Häufgkeskurve deser Melwere der Messrehen weder ene Gaußkurve s m der Sandardabwechung σ j. In der Praxs wrd man de Messrehe nch M-mal wederholen wollen, um de Sandardabwechung des Melweres, σ, zu ermeln. Velmehr s es das Zel, aus ener Messrehe m N Messweren den Beswer für σ zu ermeln. Deser ergb sch zu: N σ σ = = N N( N ) = (8) ( ) Dam kann man über den Melwer deser enen Messrehe, der das Messergebns darsell, folgende Wahrschenlchkesaussage machen: Das Messergebns ener weeren Messrehe wrd m ca. 68 % Wahrschenlchke m Berech ± σ legen. Ferner gl: De Sandardabwechung σ des Melweres s de n Kap. genanne Messunscherhe, de zusammen m dem Messergebns (dem Melwer) als vollsändges Messergebns ener Messrehe zur Besmmung ener Messgröße angegeben wrd. Se wrd häufg auch als Fehler des Melweres bezechne. Man seh aus Gl. (7), dass m zunehmender Zahl N der Messwere de Sandardabwechung σ der Enzelmessung nahezu glech bleb. Das erkenn man auch n Abb. 5. Durch Hnzufügen weerer Messwere n das Dagramm änder sch nchs an der Sreuung der Messwere um den Melwer. Dagegen läss sch aus Gl. (8) ablesen, dass de Sandardabwechung σ des Melweres, also de Messunscherhe, m zunehmendem N mmer klener wrd: De Messunscherhe nmm m / N ab. Im Prnzp könne man se also belebg klen machen, wenn nur of genug gemessen wrd. In der Praxs wrd man jedoch nur so of messen, bs de Messunscherhe ener vorher fesgelegen Genaugkesanforderung genüg. Dabe muss jedoch mmer N 4 engehalen werden, da andernfalls kene Sandardabwechung nach Gl. (7) angegeben werden kann. Des folg aus sasschen Überlegungen, auf de her nch weer engegangen werden kann. Zusammenfassend läss sch feshalen: Das Ergebns ener Messrehe wrd mmer n der Form ± σ angegeben. De Messunscherhe σ (der Fehler des Melweres) nmm m zunehmender Zahl N der Messwere um den Fakor / N ab. Solange kene anderen Angaben gemach werden, wrd en Messergebns der Ar = (00,6 ±,) s mmer we folg nerpreer: Messergebns (Melwer) 00,6 s, Messunscherhe (Sandardabwechung des Melweres), s.

10 Absoluer und relaver Fehler De Größe σ sell den absoluen Fehler des Messergebnsses dar, de Größe σ / den relaven Fehler, der n der Regel n Prozen angegeben wrd. Im Prakkum werden wr uns überwegend auf de Angabe absoluer Fehler beschränken. 7 Größfehler der Enzelmessung Ofmals komm es vor, m Prakkum sehr häufg, dass der Wer ener Messgröße a nch m Hlfe ener Messrehe, sondern nur durch ene Enzelmessung besmm wrd, we z.b. be ener Längenmessung. In desem Fall wrd m Prakkum sa des Melweres das Ergebns der Enzelmessung und sa der Sandardabwechung des Melweres der Größfehler a angegeben. Des s der größmöglche Fehler, der be der Enzelmessung der Größe nsgesam aufreen kann. Er muss nach vernünfgen Überlegungen abgeschäz werden. Wrd bespelswese de Länge ener Srecke m enem Maßsab gemessen, so wrd man be sorgfälger Messung de Ablesegenaugke des Maßsabs als Größfehler annehmen. Se beräg z.b. be enem Meallmaßband 0,5 mm, be enem Messscheber 0, mm oder 0,05 mm und be ener Bügelmessschraube 0,0 mm. 8 Genaugkesangaben De Genaugke, m der en Messergebns für de Messgröße a angegeben werden kann, d.h. de Anzahl der sgnfkanen Sellen, s durch de Messunscherhe lmer, also durch de Sandardabwechung σ a des Melweres bzw. durch den Größfehler a ener Enzelmessung. σ a und a werden m Bassprakkum auf maxmal zwe sgnfkane Sellen gerunde! 9 Der Melwer bzw. der Enzelmesswer s dann so zu runden, dass sene leze sgnfkane Selle de gleche Größenordnung ha we de leze sgnfkane Selle von σ bzw. von a. Dazu Bespele: Ene durch Rechenoperaonen oder de Zahl der Sellen ener elekronschen Uhr vorgeäusche Genaugke der Ar = 90,467 s s schlchweg falsch, wenn der Größfehler der Zemessung z.b., s beräg. In desem Fall müsse es (gerunde) rchg heßen: = (90,5 ±,) s. Ebenso falsch s ene Angabe der Ar R = (83,6 ±,64) Ω; her müsse es wegen der Beschränkung auf sgnfkane Sellen für de Messunscherhe heßen R = (83,6 ±,6) Ω. De Sgnfkanz ener Selle s unabhängg von hrer Größenordnung (Sellung n Bezug auf den Dezmalpunk). Folgende Angaben enhalen demnach jewels zwe sgnfkane Sellen: 8,8 0,8 0,08 0,008 usw. Das erkenn man besonders deulch, wenn man zur empfohlenen Darsellung m Zehnerpoenzen übergeh, also für de genannen Zahlen schreb:,8 0,8 0 0,8 0 -,8 0 -, Bem Runden sell sch de Frage, we m der Zffer 5 umzugehen s. Nehmen wr als Bespel de Zahl 4,35, de auf zwe Sellen hner dem Komma gerunde werden soll. Möglch wäre de Rundung auf 4,3 oder auf 4,4. Es gl de Regel so zu runden, dass de leze Zffer der gerundeen Zahl gerade s. Im Bespel würde also auf den Wer 4,4 aufgerunde. Dagegen würde de Zahl 4,5 auf den Wer 4, 9 Des bedeue, dass de Messunscherhe m ener Genaugke von ca. % angegeben wrd. Ene bessere Genaugke s m den Geräen m Prakkum nch zu errechen! a

11 50 abgerunde. Hner deser Regel seck de Überlegung, dass be ener Dvson durch gerundee und ungerundee Zahl den glechen gerundeen Zahlenwer ergeben. Für de genannen Bespelen gl: 4,35 : =,0675,07 und ebenso 4,4 : =,07 4,5 : =,065,06 und ebenso 4, : =,06 9 Fehlerforpflanzung, zusammengeseze Messgrößen Es komm häufg vor, dass be enem Expermen nch de gemessene Größe (drekes Messergebns) selbs neresser, sondern ene heraus berechnee Größe (ndrekes Messergebns, s. Kap. ). Nehmen wr als Bespel noch enmal de Schwerebeschleungung g nach Gl. (), de von den Messgrößen s und abhäng: s g = Weere Bespele snd de Dche ρ enes Körpers, de ene Funkon der Messgrößen Masse m und Volumen V s: (9) m ρ = V oder de Kapazä C enes Plaenkondensaors m Vakuum, de von den Messgrößen Fläche A und Absand d der Plaen abhäng. M der elekrschen Feldkonsanen ε 0 gl: (0) C = ε0 A d Für all dese Bespele wrd deulch, dass der Fehler der gesuchen Größe aus den Fehlern der enzelnen Messgrößen berechne werden muss. We das geh, wrd n den folgenden Kapeln beschreben. 9. Wahrschenlchser Fehler ener zusammengesezen Messgröße Wrd das Messergebns für ene Messgröße y aus den Messergebnssen für mehrere gaußverele Messgrößen berechne, für de Melwere und Sandardabwechungen aus Messrehen gewonnen wurden, so wrd der wahrschenlchse Fehler für y m dem gaußschen Fehlerforpflanzungsgesez berechne, das wr nun formuleren wollen. Wr wollen annehmen, dass de gesuche Größe y von den Messgrößen a, b, c, usw. abhäng: () y = f ( a, b, c,...) De Messwere für de Messgrößen a, b, c,... seen gaußverel und sollen sch gegenseg nch beenflussen, d. h. m sasschen Snne unabhängg vonenander sen. Für de Messgrößen mögen Melwere a, b, c,... und de Sandardabwechungen der Melwere σa, σ, σ c,... vorlegen. Dann s der Beswer y B der gesuchen Messgröße y derjenge Wer, der sch ergb, wenn y aus den Melweren (Beswer- b 0 en) a, b, c,... berechne wrd: () y = f ( a, b, c,...) B 0 Der Index B seh für Beswer.

12 5 Das s plausbel. De Sandardabwechung σ y B von y B s durch das gaußsche Fehlerforpflanzungsgesez (veranschaulch n Kap. 9.) gegeben, das laue: (3) y y y y B a b c ya yb yc a b c B B B σ = σ + σ + σ +... : = De Ausdrücke y/ a, y/ b, usw. n Glechung (3) snd de parellen Ableungen von y nach den Größen a, b, c,... Se geben an, we sch y änder, wenn man nur a, oder nur b, oder nur c usw. verändern und de jewels anderen Größen konsan halen würde. Mahemasch: Man lee y jewels nach ener der Größen a, b, c,... ab und berache de anderen Größen dabe als Konsanen. Der Index B be den parellen Ableungen gb an, dass man de Zahlenwere der parellen Ableungen jewels für de Beswere (Melwere) a, b, c,... der Messgrößen a, b, c,... berechnen muss. Als Bespel für de Berechnung von parellen Ableungen nehmen wr nochmals Gl. () für de Schwerebeschleungung g, de von den Größen s und abhäng. De parelle Ableung von g nach s s: g = s und de parelle Ableung von g nach : g 4 s = 3 9. Veranschaulchung des Fehlerforpflanzungsgesezes Zur Veranschaulchung des Fehlerforpflanzungsgesezes berachen wr als Bespel erneu de Schwerebeschleungung g nach Gl. (). Wr haben es also m ener Funkon zu un, de von den zwe Varablen s und abhäng. Gl. () laue dann m y := g, a := s und b := : s g= f s, = (4) ( ) In Abb. 6 s g als Funkon von s und n enem 3D-Plo dargesell, n dem de lneare Abhänggke der Schwerebeschleungung von s und de rezprok-quadrasche Abhänggke von deulch wrd. M Blck auf Abb. 6 berachen wr de enzelnen Summanden n Glechung (3) enmal näher und grefen bespelhaf den zween heraus: De zu besmmende Größe y (her g) häng uner anderem von der Messgröße b (her ) ab. Änder sch b, so änder sch auch y. De parelle Ableung y/ b gb an, we groß dese Änderung s, d.h. we groß de Segung der Funkon y = f(a, b, c,...) als Funkon von b s, wenn man de übrgen Größen a, c,... als konsan annmm. Im beracheen Bespel ergb sch: y g 4 s (5) : = = 3 b Da dese Segung nch überall glech s (m Bespel änder se sch gem. Gl. (5) m -3 ), s es snnvoll, se an der Selle a, b, c,... (her s, ) zu berechnen, de auch für de Berechnung des Besweres y B (her g B) maßgeblch s. Deshalb seh n Gl. (3) der Index B: ( y/ b) B.

13 5 Abb. 6: Zur Veranschaulchung des Fehlerforpflanzungsgesezes Nun muss man für den herausgegrffenen Term noch wssen, we groß de Änderung von y B s, der durch den Fehler σ hervorgerufen wrd. Aus den Grundlagen der Dfferenalrechnung s bekann, dass dese b Änderung durch das Dfferenal (6) y g 4 s y : = σ her: g = σ = σ b b 3 b B B gegeben s. Auf gleche Wese kann man de Fehler (7) y g y : = σ her: g = σ = σ a a s s s a s B B y (8) yc : = σ c (her ohne Belang) c B usw. besmmen, de alle zum Gesamfehler, d.h. zur Sandardabwechung σ y B von y B beragen. Es s daher enleuchend, se zur Berechnung von σ y B aufzuadderen. Da jedoch de enzelnen Fehler gem. Gl. (6) - (8) posv und negav sen können, können se sch elwese oder sogar ganz aufheben und dam enen zu klenen Gesamfehler suggereren. Um das zu vermeden, s es vernünfg, de Enzelfehler zunächs zu quadreren (dadurch werden alle Beräge posv) und anschleßend aus der Summe der Quadrae de Wurzel zu zehen. Durch dese geomersche (quadrasche) Addon der Enzelfehler wrd der Gesamfehler klener als de Summe der Enzelfehler. Dam wrd berückschg, dass sch de Enzelfehler der vonenander unabhänggen Größen a, b, c usw. nch alle glechsnng m Endergebns nederschlagen, sondern sch gegenseg wengsens elwese kompenseren. Man sprch deshalb vom wahrschenlchsen Fehler. 9.3 Größfehler ener zusammengesezen Messgröße Wr wollen nun den Fall berachen, dass de Größen a, b, c usw. z. B. kene zufällgen Fehler aufwesen oder hre Fehler zum Tel nch aus Messrehen gewonnen wurden. Lezeres komm n der Praxs (auch m Prakkum) rech häufg vor, wenn nämlch Messergebnsse für de Messgrößen a, b, c usw. mndesens

14 53 zum Tel aus Enzelmessungen gewonnen wurden, für de nur de jewelgen Größfehler a, b, c usw. vorlegen. In enem solchen Fall wrd für de zusammengeseze Messgröße y sa der Sandardabwechung nach Gl. (3) der Größfehler y B angegeben. Er ergb sch aus der ungünsgsen, d. h. arhmeschen (lnearen) Addon aller Enzelfehler und s gegeben durch: y y y (9) yb = a+ b+ c+...: = ya + yb + yc +... a b c B B B Dabe snd für de Größen a, b, c,... de Größfehler bzw. Sandardabwechungen enzusezen. Bs auf de Beragssrche sell Gl. (9) das oale Dfferenal von y B dar. Wenn nch ausdrücklch en anderer Hnwes erfolg, soll m Prakkum für zusammengeseze Messgrößen mmer der Größfehler angegeben werden. 0 En konkrees Bespel M enem so genannen mahemaschen Pendel kann de Erdbeschleungung g besmm werden. Das mahemasche Pendel, das sch n der Praxs nur annähernd realseren läss, beseh m Idealfall aus ener punkförmgen Masse, de an enem masselosen Faden derar aufgehäng wrd, dass se ohne äußere Sörenflüsse (nsbesondere Rebung) pendeln kann. Für Pendelausschläge um enen klenen Wnkel α uner ca. 5 s α snα anα (α m Bogenmaß!) und es gl n guer Näherung folgender Zusammenhang zwschen der Schwngungsdauer T des Pendels, der Fadenlänge l und der Erdbeschleungung g: l (0) T = π bzw. g 4π l g = T Durch Messung von l und T s es also möglch, g zu besmmen. Schon vor Begnn der Messung kann man sagen, welche sysemaschen Fehler aufreen werden: - Engegen der Theore s de Masse nch punkförmg und der Faden nch masselos. Welchen Enfluss des auf de Messung ha, läss sch nur schwer angeben. Man muss versuchen, durch Verwendung enes sehr dünnen Fadens und ener Masse m klener räumlcher Ausdehnung dem mahemaschen Pendel möglchs nahe zu kommen und erware, dass de verblebenden Fehler so klen gegenüber den Messunscherheen der Messgrößen l und T snd, dass se vernachlässg werden können. - Das Pendel kann nch völlg rebungsfre aufgehäng werden. Man muss sch deshalb be der Aufhängung so vel Mühe geben, dass der Fehler durch Rebung klen gegenüber den Messunscherheen s. Be der Vorbereung des Expermens muss man darauf achen, dass sowohl de Uhr zur Messung von T als auch der Maßsab zur Messung von l kalbrer snd, um sysemasche Fehler durch unzulänglche Messgeräe auszuschleßen. Außerdem muss man de Fadenlänge l so groß wählen, dass de Messung be Pendelausschlägen uner ca. 5 erfolgen kann, wel Glechung (0) nur dann n guer Näherung gl. Nach desen Vorbereungen kann de Messung begnnen. Es s bekann, dass man den Enfluss zufällger Fehler auf de Messunscherhe mnmeren kann, wenn möglchs of gemessen wrd. Glechzeg erkenn man, dass ene mehrmalge Messung der Länge l gar nchs brng. Denn wenn man den Maßsab sorgfälg anleg und ables, änder sch an dem abgelesenen Wer auch be mehrmalger Wederholung nchs. Dennoch s naürlch auch der abgelesene Wer für l m enem Fehler behafe: Zum enen ha der Maßsab selbs roz Kalbrerung nur ene besmme Genaugke, zum anderen kann man hn nur m ener

15 54 endlchen Genaugke anlegen und ablesen. Das Ergebns der Längenmessung kann man dann folgendermaßen feshalen: = ± ; z.b. l = ( ± ) () l L L wobe L der abgelesene Wer und L dessen Größfehler s.,5580 0, 000 m De Perodendauer T wrd m ener Soppuhr gemessen, deren Gangungenaugke vernachlässgbar klen se. Das Saren und Soppen der Uhr häng von der Reakonsfähgke der BenuzerIn ab und unerleg dam zufällgen Schwankungen, deren Enfluss auf de Messunscherhe des Messergebnsses durch häufge Messung mnmer werden kann. Nach nsgesam N Messungen, de de Messwere T lefern, laue das Ergebns der Zemessung: () T T σt = ± ; z.b. T = ( ± ) 3, 0 0,00 s wobe T der arhmesche Melwer der Messwere T nach Gl. (6) und dam der Beswer für T s und σ de Sandardabwechung des Melweres nach Gl. (8). T Der Beswer g B für g s also gem. Gl. (0): (3) g B 4π L = ; m Bespel T g B 4π,5580 m m = = 9,80 s ( 3, 0 s) Da L nch aus ener Messrehe ermel wurde, wrd nch de Sandardabwechung nach Gl. (3) berechne, sondern der Größfehler g B nach Gl. (9). Es ergb sch: g g (4) gb = L+ σt l T B B Zunächs werden de Beräge der parellen Ableungen an den Sellen der Beswere B ermel, her also für de Were L und T : (5) g 4π 4π 4π = = = =... l T T ( 3,0 s) LT, LT, g 8π l 8π L 8π,5580 m = = = =... T T T ( 3,0 s) LT, LT, Glechung (5) lefer nach Ensezen der Zahlwere für L und T zwe Zahlen, de gemäß Glechung (4) m zwe anderen Zahlen, nämlch L und σ, mulplzer und anschleßend adder werden müssen, um den gesuchen Wer g B zu erhalen: T

16 55 (6) 4π 8π L gb = L+ σ 3 T T T 4π 0,000 m 8π,5580 m m = + 0,00 s = 0,069 3 s ( 3, 0 s) ( 3,0 s) Be der Angabe des Zahlenweres muss de Rundung auf zwe sgnfkane Sellen beache werden. Zusammengefass laue das vollsändge Messergebns: m g = g ± g = 9,80 ± 0,069 s (7) B B ( ) Da n desem Bespel beres en Leraurwer für g vorleg, der für de egene geographsche Lage n geegneen Tabellenwerken nachschlagen werden kann, muss deser Wer m dem Messergebns verglchen werden. Leg der Leraurwer für g m Berech g B ± g B, so beende man das Expermen m der Fessellung, dass ene gue Überensmmung m Rahmen der Messgenaugke errech wurde. Leg jedoch der Leraurwer außerhalb des Berechs g B ± g B, so s de Wahrschenlchke relav groß, dass de Messung durch enen sysemaschen Fehler verfälsch wurde. Sa des absoluen Fehlers g B des Messergebnsses g B kann man auch den relaven Fehler ε g für g B angeben: g (8) ε B g = g also: L σ (9) ε g = + T L T B Deser Glechung kann man ennehmen, dass sch der relave Fehler von T, σ T / T, doppel, der relave Fehler von L, L/L, jedoch nur enfach m Ergebns nederschläg. Soll des kompenser werden, so darf der relave Fehler von T nur halb so groß werden we der relave Fehler von L. Das läss sch durch ene ausrechende Anzahl von Messungen der Perodendauer mmer errechen (s. Gl. (8)) und solle beres be der Planung des Expermens berückschg werden. Sehe z.b. hp://

17 56 Anhang. Lneare Regresson, Ausglechsgeraden.. Ausglechsgeraden der Form y = ax + b Es komm n der Praxs rech häufg vor, dass zwe Größen x und y lnear vonenander abhängen, d.h. se snd über ene Geradenglechung menander verknüpf: y = ax + b. Zel der Messung s es dann ofmals, de Größen a und b zu ermeln. Nehmen wr als Bespel den zelchen Verlauf der Geschwndgke v be ener glechmäßg beschleungen Bewegung: v() = a + v 0 m a: Beschleungung, : Ze und v 0: Anfangsgeschwndgke. Wr messen v() (abhängge Varable) be besmmen Vorgabeweren von (unabhängge Varable), um enen Wer für de Beschleungung a und de Anfangsgeschwndgke v 0 zu erhalen. Tragen wr gem. Abb. 7 de Messwere v() über auf, so erwaren wr, dass de engezechneen Messpunke auf ener Geraden legen, deren Segung dem gesuchen Wer für a und deren v-achsabschn dem gesuchen Wer für v 0 ensprch. Wollen wr dese Gerade n das Dagramm der Messwere enzechnen, so sellen wr fes, dass es mehrere Segungen und Achsabschne gb, be denen de Messwere mehr oder wenger gu geroffen werden. Welche Parameer snd aber nun de rchgen? Dese Frage läss sch weder nur m Snne ener Wahrschenlchkesaussage beanworen. Wr wollen de Anwor m Folgenden geben. Wr kehren zurück zu unserer Funkon y = ax + b. We n der Praxs häufg der Fall, geben wr N Were der Größe x vor, zu denen wr N Messwere der Größe y besmmen. De Fehler der Vorgabewere von x seen zu vernachlässgen, de Fehler der Messwere von y seen zufällg verel. Wr behaupen, dass de Beswere A und B für de Parameer a und b der Geradenglechung dann gefunden wurden, wenn de Summe der Quadrae der verkalen Absände der Messwere von der durch A und B besmmen Ausglechsgeraden mnmal s, wenn also gl: N (30) y ( Ax B) = + Mnmum Frage 3: - We läss sch deser Ansaz begründen? Abb. 7: Wo leg de bese Ausglechsgerade durch de roen Messwere? M Hlfe der Dfferenalrechnung läss sch ene Lösung für de n Gl. (30) dargeselle Forderung relav enfach besmmen. Man fnde für A und B (Summaon jewels von bs N):

18 57 (3) A = N( x ) ( x ) N( xy) ( x)( y) (3) N( x ) ( x) ( y )( x ) ( x y )( x ) B = Naürlch snd auch dese Beswere m Fehlern behafe, de wr nun suchen. De fehlerbehafeen Größen n Gl. (3) und (3) snd de y. Für de Varanz der y ergb sch als Beswer (s. Gl. (7)): y Ax B y σ = + N (33) ( ) wobe de Dvson durch (N - ) ansa durch (N - ) darauf zurückzuführen s, dass de Beswere A und B n de Berechnung der Größe σ y enfleßen. Wende man nun de Fehlerforpflanzung auf Gl. (3) und (3) an und sez für σ y Gl. (33) en, so fnde man als Beswere für de Sandardabwechungen von A und B (D s ene n Gl. (36) defnere Hlfsgröße): (34) σ A = ND (35) σ B = D x m (36) ( Ax + B y ) D = N N ( x ) ( x ) Im Prakkum wrd de Sofware Orgn für dese Berechnungen engesez. Se lefer de gesuchen Daen durch en paar Mausklcks ( Analyse Anpassen Lnearer F). Rechnen Se de Parameer von Ausglechsgeraden nemals zu Fuß aus, das wäre vel zu zeaufwändg!.. Ausglechsgeraden der Form y = ax + b m vorgegebenem b In der Praxs komm es auch vor, dass Messwere durch ene lneare Funkon y = ax + b menander verknüpf snd, für de der Achsabschn b fes vorgegeben s. Als Bespel se das OHMsche Gesez U = RI genann: mss man de Spannung U als Funkon des Sromes I, so ergb sch als Ausglechsgerade durch de Messwere ene Gerade durch den Ursprung (b = 0) m der Segung R. De Bedngung für de Berechnung des Besweres A der Segung a der Ausglechsgeraden laue analog zu Gl. (30) n desem Fall: N (37) [ ] y Ax = Mnmum und man fnde m Hlfe der Dfferenalrechnung für A und m Hlfe der Fehlerforpflanzung für σ A: x y (38) A = x

19 58 (39) σ A = ( y Ax) ( N ) x Um ensprechende Berechnungen m Orgn durchzuführen, muss m Fenser Lneare Anpassung der Haken m Feld Feser Schnpunk m der Y-Achse gesez und der Zahlenwer für b engeragen werden...3 Ausglechsgeraden der Form y = ax + b m vorgegebenem a Auch der umgekehre Fall, n dem de Segung a der Ausglechsgeraden fes vorgegeben s und nur der Achsabschn b der Ausglechsgeraden gesuch wrd, komm gelegenlch vor. De Bedngung für de Berechnung des Besweres B von b laue weder analog zu Gl. (30): N (40) y ( ax B) = + Mnmum wobe desmal nur B en freer Parameer für de Besmmung des Mnmums s. Für B und σ B ergb sch n desem Fall: (4) (4) B = y a x N σ = + N N ( ) ( ax B y ) B Um ensprechende Berechnungen m Orgn durchzuführen, muss m Fenser Lneare Anpassung der Haken m Feld Fese Segung gesez und der Zahlenwer für a engeragen werden.. Lnearserungen M Hlfe rech elemenarer mahemascher Umformungen lassen sch ofmals nchlneare Zusammenhänge von Messgrößen lnearseren, so dass es möglch wrd, auch n solchen Fällen de lneare Regresson zur Besmmung von Besweren für gesuche Größen anzuwenden. So wrd z.b. aus enem Poenz-Zusammenhang der Form: (43) y = bx a durch enfaches Logarhmeren der lneare Zusammenhang (Geradenglechung): (44) log y = log b + a log x also y = b + ax y b x Be solchen logarhmeren Zusammenhängen muss enes beache werden: der Logarhmus ener physkalschen Größe y, de durch das Produk aus Zahlenwer mal Enhe gegeben s, läss sch nch drek blden, da der Logarhmus ener Enhe kenen Snn mach. Deshalb müssen solche Größen per Dvson durch hre Enhe zunächs dmensonslos gemach werden, ehe Umrechnungen der Ar Gl. (43) nach Gl. (44) erfolgen dürfen. Dazu en Bespel: aus dem ohmschen Wdersand R wrd r = R/Ω, aus der Spannung U wrd u = U/V, aus der Sromsärke I wrd = I/A und dam aus dem ohmschen Gesez R = U/I de modfzere Form r = u/, das n logarhmerer Form laue: log r = log u log.

20 59 Tragen wr gem. Gl. (44) y über x doppel-logarhmsch auf (also log y über log x), so erhalen wr als bese Ausglechskurve durch de Messwere ene Gerade m dem Achsabschn log b und der Segung a. De Beswere für a und log b deser Geraden fnden wr m Hlfe der lnearen Regresson, de wr n desem Fall auf Gl. (44) anwenden müssen. Logarhmeren mach auch aus enem exponenellen Zusammenhang der Form: (45) y = be ax enen lnearen Zusammenhang: (46) ln y = ln b + ax ln e = ln b + ax Tragen wr n desem Fall y über x halb-logarhmsch auf, so erhalen wr auch her als bese Ausglechskurve ene Gerade, für deren Achsabschn ln b und Segung a wr m Hlfe der jez auf Gl. (46) angewanden lnearen Regresson de Beswere fnden. Be Verwendung von Logarhmenpaperen s zu beachen, dass dese mmer für den dekadschen Logarhmus (log, Bass 0) ausgeleg snd. In Gl. (46) haben wr es aber m dem naürlchen Logarhmus (ln, Bass e) zu un. Werden daher Größen auf grafschem Wege enem Dagramm auf Logarhmenpaper ennommen oder sollen berechnee Größen dor engeragen werden, müssen se geegne umgerechne werden (Ernnerung: log x = ln x/ln 0; ln x = log x/log e). Im Prakkum wrd zur Berechnung der Parameer von Ausglechgeraden n logarhmeren Dagrammen de Sofware Orgn engesez. Dazu muss m Fenser Lneare Anpassung der Haken m Feld Schenbarer F gesez werden. Frage 4: - Das exponenelle Schwächungsgesez I ( x ) I ( µ x ) = exp 0 beschreb de Schwächung der Inensä I ener Srahlung bem Durchgang durch ene Maereschch der Dcke x. I 0 s de Anfangsnensä der Srahlung an der Selle x = 0 und µ en maeralabhängger Abschwächungskoeffzen ([µ] = /m). Skzzeren Se I(x) n lnearer und halblogarhmscher Darsellung (Abszsse x jewels lnear). We läss sch aus dem halb-logarhmschen Dagramm der Abschwächungskoeffzen µ gewnnen?.3 Korrelaon Gelegenlch, wennglech m Bassprakkum eher selen, muss unersuch werden, ob en vermueer lnearer Zusammenhang zwschen zwe Größen x und y asächlch exser, ob de beden Größen also menander korreler snd. Nch mmer seh man es dem Dagramm der Messwere an, ob de engeragenen Messwere gu auf ener Geraden legen oder nch. In jedem Fall sell sch de Frage: we gu s gu genug, um de Hypohese, x und y seen menander korreler, nch verwerfen zu müssen? De quanave Anwor auf dese Frage lefer de Berechnung des Korrelaonskoeffzenen r. Er s gegeben durch: (47) r = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) Der F heß schenbar, wel de Daen m Orgn-Arbesbla weerhn n hrer ursprünglchen, lnearen Form vorlegen. Nur m Dagramm, das dem F zu Grunde geleg wrd, erschenen de Daen logarhmer, wenn für de Skalerung der ensprechenden Achsen als Ar log0, log oder ln gewähl wurde.

21 60 wobe x und y de arhmeschen Melwere der Messwere von x und y snd. Der Korrelaonskoeffzen kann nur Were zwschen - und + annehmen. Für de Beurelung der Frage, ob zwe Größen menander korreler snd, s der Berag von r maßgebend. Für r = snd de Größen perfek menander korreler, für r = 0 snd se unkorreler. Für alle Were dazwschen lassen sch Wahrschenlchkesaussagen machen, de zusäzlch von der Zahl N der durchgeführen Messungen abhängen. Für N = 0 und r 0,8 s bespelswese de Wahrschenlchke P, dass de Größen unkorreler snd, P = 0,5 %. Aus Tabelle (Kap..5) können für weere Kombnaonen von N und r de zugehörgen Wahrschenlchkeen abgelesen werden..4 Fehler gewcheer Melwere Ene Messgröße h werde n M Messungen (Nr. =,...,M) uner jewels veränderen Bedngungen gemessen. Das Ergebns der enzelnen Messungen habe zu den Messergebnssen h und den Messunscherheen σ geführ. Zel s nun, aus den M Weren h en Endergebns für de gesuche Größe h zu berechnen. Im enfachsen Fall wäre des das arhmesche Mel der h. Dabe blebe jedoch unberückschg, dass de h uner Umsänden rech unerschedlche Messunscherheen σ aufwesen können, wel bespelswese de errechbare Messgenaugke nch für alle Messrehen de gleche war. In solchen Fällen berechne man sa des arhmeschen Mels der h enen gewcheen Melwer h g. Snd g de Gewche, m denen de Enzelwere h be der Berechnung von h g berückschg werden sollen, so gl be Summaon von bs M: (48) h g hg = g In der Regel wähl man als Gewche de Rezprokwere der Varanzen: (49) g = σ Dann erhäl man be Anwendung der Fehlerforpflanzung auf Gl. (48) für de Messunscherhe σ g des gewcheen Melweres be Summaon von bs M: (50) σ g hg = σ = h σ Frage 5: - We gelang man zu desem Resula? Was ergb sch für σ g m spezellen Fall g = cons. =?

22 6.5 Tabellen Tabelle : Prozenuale Wahrschenlchke dafür, dass zwe Messgrößen, de N-mal gemessen wurden und enen Korrelaonskoeffzenen r r b aufwesen, unkorreler snd (nach //). r b 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 N , ,6, ,0 3, 0, ,3,7 0, ,8 3,6,0 0, ,7,4 0, ,,6 0, ,8 3,9, 0, , 3,0 0,8 0, ,9,3 0,5 0, ,8,8 0, ,9,4 0, ,, 0, ,5 0,8 0, ,0,9 0,7 0, ,,5 0,5 0, ,8, 0, ,9 0,5 0, ,0,7 0, ,0, 0, ,5 0,6 0 r b 0 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 N ,0 3,4,3 0,4 0, ,4,0 0,6 0, ,7 3,7, 0,3 0, ,5,5 0,7 0, ,9,7 0,4 0, ,6, 0,

23 6 Tabelle : Were der Inegrale P(a) über de Gaußfunkon (error-funcon) als Funkon des Parameers a für belebge Were von Melwer und Sandardabwechung σ (aus //; beache den Fakor 00 gegenüber Gl. (5) ff.): + aσ 00 Pa ( ) = e σ π aσ ( ) σ Exemplarsch marker: P(a =,00) = 68,7, P(a =,00) = 95,45, P(a = 3,00) = 99,73 a 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,00 0,80,60,39 3,9 3,99 4,78 5,58 6,38 7,7 0, 7,97 8,76 9,55 0,34,3,9,7 3,50 4,8 5,07 0, 5,85 6,63 7,4 8,9 8,97 9,74 0,5,8,05,8 0,3 3,58 4,34 5,0 5,86 6,6 7,37 8, 8,86 9,6 30,35 0,4 3,08 3,8 3,55 33,8 34,0 34,73 35,45 36,6 36,88 37,59 0,5 38,9 38,99 39,69 40,39 4,08 4,77 4,45 43,3 43,8 44,48 0,6 45,5 45,8 46,47 47,3 47,78 48,43 49,07 49,7 50,35 50,98 0,7 5,6 5,3 5,85 53,46 54,07 54,67 55,7 55,87 56,46 57,05 0,8 57,63 58, 58,78 39,35 59,9 60,47 6,0 6,57 6, 6,65 0,9 63,9 63,7 64,4 64,76 65,8 65,79 66,9 66,80 67,9 67,78,0 68,7 68,75 69,3 69,70 70,7 70,63 7,09 7,54 7,99 7,43, 7,87 73,30 73,73 74,5 74,57 74,99 75,40 75,80 76,0 76,60, 76,99 77,37 77,75 78,3 78,50 78,87 79,3 79,59 79,95 80,9,3 80,64 80,98 8,3 8,65 8,98 8,30 8,6 8,93 83,4 83,55,4 83,85 84,5 84,44 84,73 85,0 85,9 85,57 85,84 86, 86,38,5 86,64 86,90 87,5 87,40 87,64 87,89 88, 88,36 88,59 88,8,6 89,04 89,6 89,48 89,69 89,90 90, 90,3 90,5 90,70 90,90,7 9,09 9,7 9,46 9,64 9,8 9,99 9,6 9,33 9,49 9,65,8 9,8 9,97 93, 93,8 93,4 93,57 93,7 93,85 93,99 94,,9 94,6 94,39 94,5 94,64 94,76 94,88 95,00 95, 95,3 95,34,0 95,45 95,56 95,66 95,76 95,86 95,96 96,06 96,5 96,5 96,34, 96,43 96,5 96,60 96,68 96,76 96,84 96,9 97,00 97,07 97,5, 97, 97,9 97,36 97,43 97,49 97,56 97,6 97,68 97,74 97,80,3 97,86 97,9 97,97 98,0 98,07 98, 98,7 98, 98,7 98,3,4 98,36 98,40 98,45 98,49 98,53 98,57 98,6 98,65 98,69 98,7,5 98,76 98,79 98,83 98,86 98,89 98,9 98,95 98,98 99,0 99,04,6 99,07 99,09 99, 99,5 99,7 99,0 99, 99,4 99,6 99,9,7 99,3 99,33 99,35 99,37 99,39 99,40 99,4 99,44 99,46 99,47,8 99,49 99,50 99,5 99,53 99,55 99,56 99,58 99,59 99,60 99,6,9 99,63 99,64 99,65 99,66 99,67 99,68 99,69 99,70 99,7 99,7 3,0 99,73 3,5 99,95 4,0 99,994 4,5 99,9993 5,0 99,99994