Die Fouriertransformation und ihre Eigenschaften

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1 De Fourerransormaon und hre Egenschaen Klene Formelsammlung zusammengesell von Pro. Dr. ajana Lange Fachberech Elekroechnk Fachhochschule Merseburg Inhal: Fourerrehe und Fourernegral ransormaon enger wchger Elemenarunkonen Wchge Egenschaen der Fourer-ransormaon 995

2 De Fourerransormaon und hre Egenschaen Fourerrehe und Fourernegral Perodsche Zeunkonen können durch de Fourerrehe dargesell werden: m () = cos( π + ϕ ) u A = = ; -Perode des Orgnalsgnals d.h. als Summe von unendlch velen Cosnus-Funkonen unerschedlcher Amlude A, Frequenz = und Phasenverschebung ϕ : (F-) u () A cos( π ) A 3 cos( π 3 ) A 5 cos( π 5 ) er: u () A cos( π ) A cos( π3 ) A cos( π5 ) = M ( π + ϕ ) ( π + ϕ ) A ( ) A e j e j + cos π + ϕ = jϕ jϕ Ae j π Ae = e + e!! C jπ erhäl man de äquvalene komlexe Form der Fourer-Rehe: m C () cos( π ϕ) u = A + = Ce = A e j = ϕ und C sowe C = A cos( ϕ ) = C A e j = ϕ ür jπ (F-) Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

3 De erodsche Funkon u () wrd also endeug durch de komlexen Fourerkoezenen C beschreben und kann olglch durch dese ersez werden: u () =/ C = A / -5 5 C = A / C -3 = A 3 / C = A / C 5 = A / C 3 = A / 3 Zeberech Bld-/bzw- Frequenzberech De Darsellung m Frequenzberech wrd auch Sekrum bzw. her dskrees Lnensekrum genann. Au Grund der Egenschaen der Fourer-ransormaon (nsbesondere Derenaonssaz (F-5) und Inegraonssaz (F-5)) gesale sch de mahemasche Behandlung von Prozessen be hrer Darsellung m Bldberech o bedeuend enacher als m Zeberech. De komlexen Fourer-Koezenen C werden aus der erodschen Orgnalunkon u () we olg besmm: C = + / / () jπ u e d; = (F-3) Im allgemenen sez sch ene erodsche Funkon aus unendlch velen Cosnus-Funkonen zusammen. Das bedeue, daß das Sekrum unendlch vele Lnen enhäl: u () U Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

4 Da =, wrd der Absand zwschen den Frequenzen = deser Cosnus-Funkonen um so gernger, je größer de Perode der Orgnalunkon m Zeberech s. u () U u () U M erhäl man schleßlch ene aerodsche Funkon m Zeberech und en konnuerlches Sekrum m Bldberech: u() aerodsche U() Funkon U M bzw. = erhäl man som ür aerodsche Zeunkonen das Fourernegral: C u () ( ) e jπ U e jπ = lm = d = ( ) U In Analoge zu (F-3) läß sch de Sekralunkon U( ) aus der Orgnalunkon u () we olg besmmen: ( ) = ( ) jπ U u e d (F-4) (F-5) Der Zusammenhang zwschen der Zeunkon (Orgnalunkon) u () und der Frequenzunkon (Bldunkon) U( ) soll durch olgende Symbolk ausgedrück werden: u U () ( ) Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

5 ransormaon enger wchger Elemenarunkonen Recheckunkon: S-Funkon: u() U U() U 3 U, / u () =, sons ( ) U = U ( π ) ( π ) sn " "! s ( π ) Dreeckunkon: S -Funkon: u() U() U U U 3 U u () = +, sons ( + ), U ( ) ( ) ( ) U U sn π, = ( π ) " "! s ( π ) Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

6 Gaußunkon: Gaußunkon: u() U() U U U U B π () ( ) u = Ue U = Ue π ; B Drac-Funkon (Soß-Funkon): Konsane: u() U() U. δ() U () δ () ( ) u = U U = U Beache Denon der Drac-Funkon: () ür ; δ() δ d = Doelsoß: Cosnus-Funkon: u() U() U U U.δ(+ ).δ(- ) - + ( δ δ ) U( ) Ucos ( π ) () ( ) ( ) u U = + + = ; = Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

7 Soßolge: Soßolge: u() Fläche der Söße = A U() Fläche der Söße = A + () = δ( ν ) ( ) = δ( ν ) + u A U A ν =- µ =- ; = Anmerkung: Augrund der Symmereegenschaen der Fourer-ransormaon n hrer Denon nach (F-4) und (F-5) gelen de ransormaonsbezehungen ür gerade Funkonen auch dann, wenn deren Argumene ausgeausch werden. Besel: S-Funkon: Recheckunkon: u() U B U() U B 3 B B B Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

8 Wchge Egenschaen der Fourer-ransormaon: (a) Wenn u () U ( ) und k ene ze- und requenzunabhängge Konsane s, dann gl: () ( ) k u k U (F-6) (b) Wenn u () U ( ) und u () U ( ), dann gl: () () ( ) ( ) u + u U + U (F-7) (c) De Fläche uner der Frequenzunkon U( ) s glech dem Wer der Zeunkon u () be = : ( = ) = ( ) = ( ) u u U d (F-8) (d) De Fläche uner der Zeunkon u () s glech dem Wer der U be = : Frequenzunkon ( ) ( = ) = ( ) = ( ) U U u d (F-9) (e) Ähnlchkessaz: Wenn u () U( ) u() ua ( ),5 - -, so gl: a U, m a >, reell a U(),5 - - B (F-) u(a) a=,5 - - U(/a) a,5 - - B Beache: Wenn a >, so Sauchung m Zeberech und Sreckung m Bldberech. Wenn a <, so Sreckung m Zeberech und Sauchung m Bldberech. Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

9 () Wenn u () U ( ) und u () U ( ), dann gl ür de Falungen: () () = () () = ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u τ u τ dτ U U ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U ς U ς dς u u (g) Verschebungssaz: Wenn u () U( ) ( ) ( ), so gl: u U e j π + () j π ( ) u e U (F-) (F-) (F-3) (h) Derenaonssaz: Wenn u () U( ), so gl: () du d ( jπ ) u( ) ( jπ ) U( ) ( ) du d () Inegraonssaz: Wenn u () U( ), so gl: (F-4) (F-5) u d U + jπ ( τ) τ ( ) δ( ) (j) Abasung und Perodzerung: De Perodzerung ener Funkon se we olg dener: Zeberech: () () aerodsche Funkon u() { } ( ) u = P u = u m m= erodzere Funkon u () (F-6) Bldberech: U ( ) = P{ U} = u( ν ) ν= (F-7) Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

10 De Abasung ener Funkon se we olg dener: Zeberech: () () { } () δ( ) u = A u = u n a n= (F-8) ursrünglche Funkon abgeasee Funkon u() U u a() U Bldberech: ( ) ( ) { } ( ) δ ( µ ) Ua = A U = U µ = (F-9) Wenn u () U( ), so gl: () () { } { ( )} ( ) u = P u A U = U m = a (F-) u() U() U / u () U () a U =/ d.h. de Perodzerung ener Funkon m Zeberech ühr zur Abasung hrer Fourerransormeren m Bldberech. Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

11 Wenn u () U( ), so gl: () () { } { ( )} ( ) u = A u P U = U m = a (F-) u() U U() U / u a() U U () U / =/ d.h. de Abasung ener Funkon m Zeberech ühr zur Perodzerung hrer Fourerransormeren m Bldberech. Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC

12 Aus (F-) und (F-) olg aber auch, daß de Abasung und Perodzerung ener Funkon m Zeberech zur Perodzerung und Abasung hrer Fourerransormeren m Bldberech ühr: () { ()} { ( )} ( ) m { ()} { ()} { } { } u = A u P U = U = a { } { ( ) } ( ) Pu = PAu APU = AU m = a (F-) Orgnalunkon m Zeberech: u() U Sekrale Dche der Orgnalunkon U() U / Abasung er Orgnalunkon m Zeberech: u a() U Perodzerung der sekralen Dche m Bldberech: U () U / =/ Perodzerung der abgeasen Funkon m Zeberech: Abasung der erodzeren sekralen Dche m Bldberech: P{u a()} U A{U ()} U =/ =/ / Pro. Dr. ajana Lange Formelsammlung Fourerransormaon Fourerransormaon.DOC