Berechnungsgrundsätze

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1 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 1 Berechnungsgrundsätze Jede rotierende elektrische Maschine besteht aus zwei konzentrisch zueinander angeordneten und gegeneinander verdrehbaren Bauteilen (Bild.9-1a). Die Zuordnung der Bauteile 1 und in Bild.9-1 in Ständer (Stator) und Läufer (Rotor) erfolgt ausschließlich in Bezug auf die Umgebung und kann gegeneinander vertauscht werden. Bild.9-1: Ausgangsanordnung für eine rotierende elektrische Maschine (a), Funktionsprinzip über zwei Spulen (c), über eine Spule und magnetische Unsymmetrie (d) Damit eine elektromechanische Energiewandlung stattfinden kann, müssen entweder zwei Spulen (Bild.9-1c) und/oder eine Spule und eine magnetische Unsymmetrie (Reluktanz, Permanentmagnete, Bild.9-1d) vorhanden sein. Die Berechnung einer elektrischen Maschine erfolgt immer über das magnetische Feld (Bild.9-), welches sich aus der Geometrie, den speisenden Strömen und den Arbeitspunkten der magnetischen Materialien bestimmen lässt. Bild.9-: Magnetisches Feld einer Maschine

2 .9 Berechnungsgrundsätze Seite Einteilung der Felder Die im Allgemeinen dreidimensional ausgebildeten Felder einer elektrischen Maschine werden zur Vereinfachung der Berechnung durch Bildung geeigneter "Schnitte" in zweidimensionale Felder zerlegt (Bild.9-3). Die Schnitte erfolgen immer senkrecht zur Stromrichtung. Bild.9-3: Zerlegung des Feldes einer Maschine durch Schnitte senkrecht zur Stromrichtung, a: Querschnitt, b: Längsschnitt, Aufteilung in Nutz- und Streufeld. Weiterhin wird zwischen nutzbringenden, d.h. drehmomentbildenden Feldern (Nutzfeld, Hauptfeld, Luftspaltfeld) und Streufeldern in der Maschine unterschieden, die zwar das Betriebsverhalten (induzierte Spannungen) beeinflussen, jedoch nicht unmittelbar auf das Drehmoment wirken. Die wichtigsten Streuflüsse sind Nut- und Zahnkopfstreuung Stirnkopfstreuung Schrägungsstreuung (Kapitel Asynchronmaschine) Doppelt verkettete Streuung (Kapitel Drehfeldwicklungen)

3 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 3 Beschreibung des Luftspaltfeldes Die klassische Beschreibung des Luftspaltfeldes geht davon aus, dass die Feldlinien des magnetischen Flusses den Luftspalt ausschließlich senkrecht durchdringen. Das Feld kann eindimensional über seine Radialkomponente beschrieben werden. Im Bereich der Nuten ist das Feld jedoch zweidimensional, was insbesondere dazu führt, dass der Fluss über eine Polteilung im Vergleich zu einem glatten Luftspalt kleiner ist. Bild.9-4: Fiktive Vergrößerung des Luftspaltes zur Berücksichtigung der Nutung in der eindimensionalen Feldberechnung Die Reduzierung des Flusses bei genutetem Luftspalt wird in der eindimensionalen Feldberechnung durch eine fiktive Vergrößerung der geometrischen Luftspaltweite δ g berücksichtigt. Das Verhältnis zwischen geometrischer Luftspaltweite δ g und ideeller Luftspaltweite δ wird als Carterfaktor k C bezeichnet: δ = k c δ g (.9-1) Unter der Annahme einer unendlich tiefen, parallelflankigen Nut ergibt sich über "Konforme Abbildung": τ n kc = (.9-) 4 s s s τ n δ g arctan + ln cos arctan π δ g δ g δ g Die Carterfaktoren der Läufer- und Ständernutung werden miteinander multipliziert: δ = kc1 kc δ g. (.9-3)

4 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 4 Im Längsschnitt (Bild.9-5) ist erkennbar, dass der Luftspaltfluss seitlich aus der Maschine herausstreut. Zur Berücksichtigung dieses zusätzlichen Flusses schlägt man auf jeder Seite einmal die Luftspaltlänge zu und erhält als ideelle Eisenlänge: l l (.9-4) i = e + δ g l' e δ g Bild.9-5: Verteilung des Luftspaltfeldes im Stirnbereich einer Maschine Die Vergrößerung der Eisenlänge ist nur bei Motoren mit relativ großem Luftspalt wichtig. Kühlschlitze können in ähnlicher Form berücksichtigt werden: l' e δg l i = Z( l e + δ g ) (.9-5) Z: Zahl der Blechpakete l' e l e δ g l i = l e l e k c + + ( l e + δ g ) (.9-6)

5 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 5 Magnetischer Kreis Der magnetische Spannungsabfall im Eisen der Maschine kann näherungsweise über den magnetischen Kreis berücksichtigt werden. Bild.9-7:Magnetischer Kreis am Beispiel einer 4-poligen Asynchronmaschine Im Leerlauf der Maschine schließt sich der magnetische Fluss Φ auf dem zur Achse 0-5 (Bild.9-7) symmetrischen Weg über 0-1: Läuferrücken (zugehörige magnetische Feldstärke H R), 1-: Läuferzahn ( H Z), -3: Luftspalt ( H L ), 3-4: Ständerzähne ( Z1 H ), H ). 4-5: Ständerrücken ( R1 Der zugehörige magnetische Spannungsabfall V berechnet sich aus der Multiplikation der als abschnittsweise konstant angenommenen Feldstärke mit der Länge des Abschnitts. Die Summe aller magnetischen Spannungsabfälle ergibt die magnetische Umlaufspannung, die nach früherem gleich der Durchflutung Θ (~NI ) ist: V M = HR lr R1 + HZ hn + HLδ + HZ1hN 1 + HR1l = Θ (.9-7)

6 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 6 Fasst man die magnetischen Spannungsabfälle im Eisen V Fe zusammen, so lässt sich der gesamte Amperewindungsbedarf zur Magnetisierung der Maschine durch den des Eisens und des Luftspalts ausdrücken: Θ = V +. (.9-8) L V Fe Um eine möglichst hohe Ausnutzung des Materials zu erreichen, wird in real ausgeführten Maschinen die Flussdichten im Eisen Bˆ Fe bis auf etwa T erhöht, d. h. deutlich gesättigt. Darüber hinaus steigt wegen der nichtlinearen Kennlinie der Amperewindungsbedarf in unzulässiger Weise an (Kupferverluste, Leistungsfaktor!). Unter der Annahme, dass Nutbreite in etwa gleich der Zahnbreite ist, erreicht man bei Bˆ Z = 1.5L. 1T im Zahn im Luftspalt etwa Bˆ L = 0.7L1T, was einer mittleren Flussdichte von B = Bˆ = T. (.9-9) π L, m L L 6 Im Rücken (Joch) beschränkt man sich mit Rücksicht auf den langen Magnetisierungsweg auf B J 1.L1. 6T. Durch den magnetischen Spannungsabfall im Eisen verringert sich der Fluss im Luftspalt um den Faktor VL + VFe ks =. (.9-10) V L Wie schon bei der Einführung des Carterfaktors kann diese Verringerung des Flusses durch eine fiktive Vergrößerung des Luftspaltes berücksichtigt werden. Der Ersatzluftspalt unter Berücksichtigung der Nutenschlitze und des magnetischen Spannungsabfalls im Eisen δ = δ k (.9-11) gkc1k c S ist bei gut ausgenutzten Maschinen in etwa 1.5 bis 3-fach größer als der geometrische Luftspalt.

7 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 7 Eine genaue Berechnung des Sättigungsfaktors ist nur mit Hilfe numerischer Feldberechnungsprogramme zu erreichen. Sie können z. B. auch die magnetische Entlastung der Zähne über die Nuten, die Erhöhung des Jochflusses durch die Nutstreuung und die magnetische Vergrößerung der Nutschlitze durch die extreme Sättigung der Zahnecken im Schlitzbereich die Entlastung des Rotorrückens durch die Welle etc. berücksichtigen. Bild.9-8: Mit FE berechnetes Feldbild einer 4-poligen Asynchronmaschine und zugehörige Normalkomponente des Luftspaltfeldes

8 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 8 Spannungsinduktion durch Luftspaltfelder Die Spannungsgleichung einer Spule im magnetischen Feld lautet gemäß Kapitel Physikalische Grundlagen d u = Ri + Ψ (.9-1) dt mit der induzierten Spannung d e = Ψ. (.9-13) dt Für eine in Nuten konzentrierte Spule ergibt sich die Verkettung mit dem Luftspaltfluss zu Ψ = NΦ Sp, (.9-14) mit Φ Sp als den die Spule durchdringenden Fluss (Bild.9-9). Bild.9-9: Berechnung des magnetischen Flusses durch eine Spule bei gegebener Flussdichteverteilung

9 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 9 Der Fluss Φ Sp kann bei gegebener Feldverteilung im Luftspalt aus dem Integral über die Normalkomponente der Flussdichte berechnet werden: y x z xsp + Φ Sp = li B( x) dx = li B( x) dx, (.9-15) x 1 x y z Integrationsgrenzen aus Bild.9-9. Sp Für die induzierte Spannung muss die zeitliche Änderung des mit der Spule verketteten Flusses berechnet werden. Diese Änderung des Spulenflusses kann von der zeitlichen Änderung der Flussdichte B( t) oder von der Bewegung einer Spule in räumlich veränderlicher Flussdichte B( x) oder von beidem herrühren B( x, t). Für die mathematische Beschreibung eines solchen Vorgangs ist ein Koordinatensystem notwendig, das die Verschiebung eines Läufers in Bezug auf einen Ständer erlaubt (Bild.9-10). Bild.9-10: Einführung eines beweglichen Koordinatensystems x L des Läufers in Bezug auf das Koordinatensystem x S des Ständers. a: rotationssymmetrischer Ständer, b: Ständer mit ausgeprägten Polen. Für den Fall, dass sich der Läufer mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ergibt sich zwischen den Koordinatensystemen der Zusammenhang x = x + vt + ϑ 0 (.9-16) S L mit ϑ 0 als Verschiebung zum Zeitpunkt t = 0.

10 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 10 Durch Einführung der Polteilung τ p = π p ergibt sich für die Umfangsgeschwindigkeit v = πn = pτ n und (.9-16) geht über in p x = x + pτ nt + ϑ, (.9-17) S L p 0 alle Größen in rad., p : Polzahl und n : Drehzahl. Das totale Differential von Gleichung (.9-13) zur Berechnung der aufgrund des Luftspaltfeldes induzierten Spannung e δ, Sp kann bei expliziter Abhängigkeit des Flusses vom Spulenort xsp( t) und der Zeit t in zwei partielle Differentiale aufgespalten werden: e N d Φ X t t Sp( Sp( ), ) Sp Sp dxsp δ, Sp = = N Φ Φ N. (.9-18) dt t x Sp ; dt v Bild.9-11: Änderung des Spulenflusses bei Verschiebung der Spule um x Sp.

11 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 11 Die Änderung des Flusses Φ Sp bei Verschiebung der Spule um X Sp ergibt sich nach Bild.9-11 zu L NM y y = l B( x + ) B( x ) O QP Φ Sp i Sp Sp xsp Gleichung (.9-18) geht damit über in L NM F I HG K J F HG Sp y y eδ, Sp = N Φ livn B xsp + B xsp t I K JO QP (.9-19). (.9-0) Der erste Summand wird häufig als transformatorisch induzierte Spannung, der zweite Summand als rotatorisch induzierte Spannung bezeichnet. Spannungsinduktion durch Streufelder Zusätzlich zum Luftspalt werden insbesondere über das Stirnkopffeld und das Nutenquerfeld weitere Spannungen in eine Spule induziert (Bild.9-3): dψs dψ N esp = eδ, Sp + eσ = eδ, Sp. (.9-1) dt dt Die Flussverkettungen des Stirnstreufeldes Ψ S und des Nutenstreufeldes Ψ N können über die jeweiligen Induktivitäten ausgedrückt werden: Ψ Ψ S N = L i, S = L i, N (.9-) L S : Stirnstreuinduktivität, L N : Nutstreuinduktivität.

12 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 1 Stirnkopfstreuung: Die genaue Berechnung des Streufeldes im Stirnraum einer Maschine ist wegen des 3-dimensionalen Feldproblems außerordentlich problematisch. Auch ist die genaue Position der einzelnen Drähte bei Träufelwicklungen meist nicht bekannt. Bild.9-1: Zweidimensionaler Feldausschnitt aus dem Stirnraum einer ASM mit Käfigläufer Man behilft sich auch heute noch mit stark vereinfachten Näherungsformeln, wobei versucht wird, den Einfluss der Geometrie (magnetischer Leitwert λ ) von dem der Wicklung zu trennen.

13 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 13 Die von R. Richter angegebene und noch heute sehr verbreitete Formel für die Stirnstreuung eines Stranges einer dreisträngigen Drehstromwicklung (Asynchronmaschine, Synchronmaschine) lautet: w L = l S µ λ. (.9-3) S1 0 S1 p w: Serienwindungszahl pro Strang, p: Polpaarzahl,l S : mittlere Länge des Stirnkopfes (eine Seite), λ S1 : Stirnstreuleitwert ( 0.35) Die Stirnstreuung eines Ringsegments einer Käfigwicklung (Ringstreuung bei der Asynchronmaschine) wird näherungsweise nach πr LR = µ 0λ S (.9-4) Z berechnet, wobei r: mittlerer Radius des Kurzschlussringes, Z : Rotornutzahl und der Rotorstirnstreuleitwert λ S 0.37 ist. Nut- und Zahnkopfstreuung: Bild.9-13: Aufteilung des Feldes einer Wicklung, die in Nuten angeordnet ist. Die Berechnung des Streufeldes einer Nut lässt sich auf ein zweidimensionales Feldproblem reduzieren. Damit können zu ihrer Berechnung vorteilhaft numerische Feldberechnungsprogramme eingesetzt werden.

14 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 14 Die Nutstreuinduktivität eines Statorstranges berechnet sich analog der Stirnstreuung aus der Multiplikation eines Wicklungs- und eines Geometrianteils: 0 w LN = l eµ ( λn + λ Z ). (.9-5) pq q: Nuten pro Pol und Strang (Lochzahl), λ N : Nutstreuleitwert, λ Z : Zahnkopfstreuleitwert. Für die Käfigwicklung einer Asynchronmaschine: = µ l ( λ + λ ). (.9-6) L N 0 e N Z Stehen numerische Programme nicht zur Verfügung, so lässt sich der Nutstreuleitwert λ N für gebräuchliche Nutformen aus den von Nürnberg angegebenen Näherungsformeln berechnen. Bild.9-14 Nutstreuleitwerte λ N nach Nürnberg für gebräuchliche Nutformen, k 1, k : siehe Bild.9-15.

15 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 15 Bild.9-15: Korrekturfaktoren k 1 und k für eine dreisträngige Drehstromwicklung mit 60 Zonenbreite in Abhängigkeit von der relativen Spulenweite Bild.9-16: Leitwert der Zahnkopfstreuung nach Vogt

16 .9 Berechnungsgrundsätze Seite 16 Übung: Spannungsinduktion durch Luftspaltfelder Gegeben ist eine typische Anordnung in einer elektrischen Maschine: Zwei konzentriert in Nuten liegende Spulen jeweils in Ständer und Läufer, welche durch einen Luftspalt mit der Weite δ g getrennt sind. Die Spulenweite y entspricht im Ständer und Rotor der Polteilung τ p der Maschine. Die positive Richtung der Flussdichte zeige vom Rotor zum Stator. In der Rotorspule fließt ein sinusförmiger Strom i = I cosω t. 1. Geben Sie allgemein den Zusammenhang zwischen Stator- und Rotorkoordinatensystem an. Für die weitere Rechnung betrage die Polpaarzahl p = 1!. Stellen Sie die Durchflutungsverteilung im Luftspalt grafisch dar. 3. Entwickeln Sie die Durchflutungsverteilung in eine Fourierreihe. 4. Geben Sie die Grundwelle der Flussdichte im Luftspalt an. 5. Stellen Sie das Wechselfeld nach 4. als zwei gegenläufige Drehfelder dar. 6. Berechnen Sie die in die Statorspule induzierte Spannung a) allgemein b) für den Spezialfall ω = 0 c) für den Spezialfall v = 0.