Elektrische Maschinen und Antriebe

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1 Elektrische Maschinen und Antriebe Vorlesungsinhalt 1. Einleitung. Drehfelder in elektrischen Maschinen. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern 4. Sannungsinduktion in Drehstrommaschinen 5. Die Schleifringläufer-Asynchronmaschine 6. Die Kurzschlussläufer-Asynchronmaschine 7. Antriebstechnik mit der Asynchronmaschine 8. Die Synchronmaschine 9. Erregereinrichtungen und Kennlinien 10. Gleichstromantriebe /1

2 . Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern /

3 Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /

4 Wellen versus Schwingungen Periodische Welle: eine Größe ändert sich räumlich und zeitlich eriodisch Schwingung: nur zeitlich eriodische Änderung Wechselstrom je Strang i(t): ist Schwingung Feldverteilung B (x,t) im Luftsalt ist Welle i W i U i V ~ B (x,t) t = 0 Phasenfolge U, V, W m =, q = /4

5 Grund- und Oberwellen Treenförmige Luftsalt-Feldwelle B (x,t) kann als (unendliche) Summe von Grund- und Oberwellen dargestellt werden = FOURIER-Reihe m =, q = i V = i W = - i U / ~ B (x,t) 5. Oberwelle: Sinuswelle mit Wellenlänge = / 5 /5 Grundwelle: Sinuswelle mit Wellenlänge =

6 Grundwelle: Drehwelle versus Wanderwelle Drehwelle: x ist Ständer-Umfangskoordinate (rotierende Maschine) Wanderwelle: x ist Ständer-Längskoordinate (Linearmaschine) x B x t Bˆ 1 (, ) 1cos f t Wellengeschwindigkeit: Mitbewegter Beobachter sieht konstante Phase: Argument des cos( ) = Konst. x f t Konst. ˆ x Welle in Gegen-Richtung: B 1( x, t) B 1cos( f t) x ( Konst. ft) syn /6 v dx dt d dt ( Konst. ft) f f syn v

7 Drehwelle im Kraftwerksgenerator m / s cm Beisiel: f = 50 Hz: v syn in m/s so groß wie die Polteilung in cm: v syn Zweioliger Turbogenerator ( = ) in kalorischem Kraftwerk: n syn = 000/min: a) Bohrungsdurchmesser d si = 1. m, Polteilung = 1./ = 1.88 m = 188 cm b) v syn = 188 m/s = 676 km/h = Umfangsgeschwindigkeit des Läufers, der synchron mit der Drehwelle läuft (Synchronmaschine!) f = 50 Hz: m / s cm v syn uelle: Wikiedia /7

8 Wechselfelder stehende Wellen Stehendes Feld (Wechselfeld): Ändert die Lage der Knoten (Nullstellen) und Bäuche (Maxima) nicht, ulsiert aber in der Amlitude. Zeit t = 0: Maximum bei x = 0 hat Amlitudenwert t = T/8: Bˆ 1 /, t = T/4: Null, B t = T/: Bˆ1 usw. Bˆ1 ˆ x 1( x, t) B 1cos cos(f t) /8

9 Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern - Unterscheide Schwingungen und Wellen! - Unterscheide stehende und wandernde (drehende) Wellen! - Das Luftsaltfeld ist eine Drehwelle mit ausgerägter Sinus-Grundwelle - Für die elektromechanische Energiewandlung wird nur die Grundwelle genützt /9

10 Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /10

11 FOURIER-Reihe: Eine eriodische Funktion V() mit der Periode kann in eine unendliche Summe von sinusförmigen Funktionen dargestellt werden. Ordnungszahlen: Amlituden:, FOURIER-Reihe: Ermittlung von Grund- und Oberwellen V ( ) V Mittelwert: 0 ˆ, a cos( ) V, b sin( ) 1,,,... Magnetische Sannungen der Luftsaltfelder: a) KEIN UNIPOLAR-Fluss: V 0 = 0 b) Funktion V abszissensymmetrisch: KEINE geraden Ordnungszahlen c) Funktion V gerade Funktion Nullunkt so gelegt, dass V() = V(-): KEINE Sinus-Terme 1,,,... ˆ 1 1 V, a V ( ) cos( ) d, b V ( ) sin( ) d V0 V ( ) d 0 x 0 0 x /11

12 Eigenschaften des magnetischen Drehfelds B im Luftsalt B ( ) 0 V ( )/ Beisiel: q =, m =, ungesehnte Sulen, t = 0 V( ) V( ) V ( ) Gerade Funktion! Mittelwert ist Null! V 0 0 / = : PASST NICHT! -/ 0 / x / Abszissensymmetrie: V( ) V ( ) V ( ), a cos( ) 1,5,7,... Weil das Luftsaltfeld von einer m = -strängigen Wicklung erregt wird, treten keine durch teilbaren Ordnungszahlen auf! /1

13 Luftsaltfeldkurve einer ungesehnter Sule (q = 1) Magnetische Sannung V c (x) ist Rechteckfunktion, Nut-Durchflutung: 1-Schicht-Wicklung: = N c i c, -Schicht-Wicklung: = N c i c Umfangswinkel: x / Beisiel: Vierolige Maschine: Halber Umfang = in "mechanischen Graden", sind aber zwei Polteilungen x =, daher =, in "elektrischen Graden" -Schicht-Wicklung: = N c i c B ( ) 0V c( )/ 1-Schicht-Wicklung: = N c i c /1

14 Mechanische versus elektrische Gradzählung Beisiel: = 4: / el m el x 0 0 x = 60 elektrisch Eine Wellenlänge el = 60 elektrisch Umfang der Maschine m = 60 mechanisch Umfang der Maschine = 60 mechanisch el / m /14

15 FOURIER-Reihe des Felds ungesehnter Sulen (q = 1) x / ˆ, cos( ) 1,,5,... V c ( ) Vc c, 1 4 Θ Θ 4 Vc ( )cos( ) d Vc ( )cos( ) d cos( ) d sin 0 c, Θ 4 Vc ( )cos( ) d sin 0 0 / V c ( ) Vc ( ) Abszissensymmetrie V c ( ) V c ( ) gerade Funktion 1,, 5,... 1,, 5, ,, 5,... /15

16 FOURIER-Reihe des Felds ungesehnter Sulen (q = 1) 4 / 1/5 vˆc, 1 1, x / ˆ, cos( ) 1,,5,... V c ( ) Vc ˆ c, V, 5, 7,... Θ 4 sin sin 1,-1,1,-1,... -1/7-1/ vˆ c, Θ c, 1 sin / 1/5-1/7 /16

17 FOURIER-Reihe des Felds gesehnter Sulen (q = 1) W W Beisiel: -Schichtwicklung q = 1, W/ = /, m = c, Vc ( )cos( ) d W 0 Θ 1, Θ cos( ) d, 5,... Vergleich zu ungesehnten Sulen: Amlituden um den "Sehnungsfaktor" k, kleiner: 4 W sin k, W sin /17

18 Sehnungsfaktor k, W sin Beisiel: W/ = 5/6 (q = ): = 1: k 1 = 0.966, = 5: k 5 = 0.59 Sonderfall: Ungesehnte Sulen: W/ = 1 k, W sin sin W 5 Sehnung W/ = 0.8: k sin sin 0.8 sin( ) 0, 5 Minimaler Oberwellengehalt = OPTIMALE Sehnung! /18

19 Feldkurve einer Sulengrue q > 1 Beisiel: -Schichtwicklung q =, W/ = 1, m = Amlitude: q / bei q = : Amlitude ist +U+U -U-U +U+U Zonen des Strangs U m q 6 /m = / Zonenbreite : /m = / 0 Nullunkt des Felds einer Sule Nullunkt des Felds einer Sulengrue, verschoben um /(m. q) /19

20 FOURIER-Reihe des Felds einer Sulengrue q > 1 Magnetische Sannung einer ungesehnten Sulengrue: = 1,, 5,... gr, 0 V "Zonenfaktor sin( ) k m d, q sin( ) mq gr q ( )cos( ) d 4 sin sin( ) m q sin( ) mq Sonderfall: q = 1: k d, = 1 Beisiel: q =, W/ = 1, m = = 1: k d1 = = : k d = q / W = 0 /0

21 V(x) mit Windungszahl je Strang N Zweischicht-Wicklung ungesehnt: qθ N qn i c i c c c qn a c i a aic i c N i gr, N i 4 sin k d, Einschicht-Wicklung (stets ungesehnt): qθ qnci c qn a c aic N i gr, N i 4 sin k d, N c i c Zweischicht-Wicklung gesehnt: ˆ i 4 W Vgr, N sin kd, /1

22 FOURIER-Reihe: Feld des Wicklungsstrangs q > 1, W/ 1 FOURIER-Reihe der Kurve V strang () eines Wicklungsstrangs: Strangstrom ˆ i 4 Vstrang, N k, kd,, 1,, 5,... i I cos( t) Die magnetische Sannungsverteilung ist eine Summe stehender, ulsierender Wellen ( Wechselfeld ). strang N 1, k, kd, I, 1,, 5,... V strang (, t) strang, cos( ) cos( t) 1,,5,... "Wicklungsfaktor" k k k w,, d, /

23 Beisiele gängiger Drehstrom-Wicklungen Sehnungs-, Zonen- und Wicklungsfaktoren für ungesehnte -strängige Drehstrom- wicklungen mit 6, 1 und 18 Nuten je Polaar / Beisiel 1: / = 6, q = 1, W/ = 1: elektrische erregte Synchron-Lichtmaschine (1-olig), TRANSRAPID-Wanderfeldwicklung für ele. erregten Synchron-Linearmotor Eine Sehnung W/ = / mindert alle Amlituden gleichartig (siehe folgende Tabelle): Sie wird daher in der Praxis bei q = 1 nicht eingesetzt. Beisiel : / = 1, q =, W/ = 1: Perm.erregte Synchronmaschine im Hybridauto (Toyota Prius II), 8-olig Die Sehnung W/ = 5/6 mindert selektiv Amlituden: Sie wird in der Praxis häufig eingesetzt, aus Kostengründen aber erst bei größeren E-Maschinen. Beisiel : / = 18, q =, W/ = 7/9: Vierolige Käfigläufer-Asynchronmaschine uelle: Siemens AG, Deutschland /

24 Beisiel: Sehnungs-, Zonen- und Wicklungsfaktoren Gesehnte -Schicht-Drehstromwicklungen mit 6, 1 und 18 Nuten je Polaar / (Angabe in Tabelle ohne durch teilbare Harmonische!) A B C q = 1, W/ = / q =, W/ = 5/6 q =, W/ = 7/9 / = 6 / = 1 / = 18 k, k d, k w, k, k d, k w, k, k d, k w, Sehnungs- und Zonenfaktor SCHWÄCHEN bestimmte Oberwellenamlituden AB. Der Wicklungsfaktor ist eine PERIODISCHE Funktion der Ordnungszahl. /4

25 Einlegen von Formsulen als Zweischichtwicklung in einen vieroligen Stator (Asynchron-Windgenerator) Wickelkof = 7 Nuten 7 Sulen m = Stränge Statorblechaket Sulenenden = 4 Pole q = 6 Nuten ro Pol und Strang m q 46 7 /5 uelle: Winergy Deutschland

26 FOURIER-Reihe des Felds einer Drehstromwicklung Wechselfeld je Strang: Je um / räumlich versetzt (Stränge U, V, W). Die drei Stränge werden durch um je T/ hasenversetzte Sinuswechselströme geseist V V V U V W (, t) strang, cos( ) cos( t) (, t) strang, cos( ( / )) cos( t / ) (, t), cos( ( 4 / )) cos( t 4 / ) strang -te Oberwelle Wechselfeld je Strang in gegen- und mitlaufende Drehwellen zerlegt mit trigono- 1 metrischem Summensatz cos cos cos( ) cos( ) ˆ strang, Vstrang, VU (, t) cos( t) cos( t) ˆ strang, Vstrang, VV (, t) cos( t ) cos( t ) 4 4 ˆ strang, Vstrang, 4 4 VW (, t) cos( t ) cos( t ) /6

27 Stehendes ulsierendes Feld als Summe zweier gegenläufiger Wanderwellen Stehendes ulsierendes Feld: Summe zweier gegenläufiger Wanderwellen: V U V U (, t) cos( ) cos( t) (, t) cos( t) cos( t) -v -v -v + +v +v +v /7

28 Grundwelle des Luftsaltfelds = 1 Summenwirkung der drei Wechselfelder U, V, W: V (, t) ( V z. B.: = 1: Grundwelle: V V Mit (, t) V (, t) V (, t)) U V W 1,,5,... 1,,5,... (, t) (, t) (, t) ˆ,1 V cos( t) 4 cos( t ) ˆ,1 8 V cos( t ) strang strang,1 U1 t cos( ) strang,1 strang,1 V1 t V cos( ) cos( cos( ) strang strang,1 W1 t Summe ist Drehwelle: ( Grundwelle ) 4 8 ) cos( ) 0, t cos( ) folgt: V ˆ 1( x, t) Vstrang, 1 cos( t) V (, t) Im B e j A e j ( 4 /) A B C B 0V / Re C e 0 j ( 8 /) /8

29 /9 Oberwellen des Luftsaltfelds > 1 (1) t t, ) cos( ) cos( ) cos( c b a d Summieren der MIT- und GEGEN-Felder je Oberwellen-Ordnungszahl = = 5 = : : : c b a 7 5 cos 0 0 cos 0 0 : a a d GEGEN MIT GEGEN MIT GEGEN MIT

30 Oberwellen des Luftsaltfelds > 1 () Summenwirkung der drei Wicklungsstränge für > 1: V (, t) V ˆ 5(, t) Vstrang, 5 cos(5 t) V ˆ 7(, t) Vstrang, 7 cos(7 t) V9 (, t) Für =, 9, 15,... (Ordnungszahlen, die durch drei teilbar sind), ist die Summenwirkung der drei Stränge stets Null: Die mit- und gegenlaufenden Teildrehwellen löschen einander aus. Für = 7, 1, 19,... löschen sich die drei gegenlaufenden Teilwellen aus, die drei mit-laufenden Teildrehwellen addieren sich gleichhasig. Diese Oberwellen laufen MIT der Grundwelle = 1. Für = 5, 11, 17,... löschen sich die drei mitlaufenden Teilwellen aus, die drei gegen-laufenden Teildrehwellen addieren sich gleichhasig. Diese Oberwellen laufen GEGEN die Grundwelle. /0

31 Feld-Summenwirkung der drei Stränge Eine dreisträngige Drehfeldwicklung, geseist von einem symmetr. Drehstromsystem, erregt eine treenförmige Durchflutungsverteilung V(x,t), die in Grund- und Oberwellen zerlegt werden kann. Es treten nur ungerade, nicht durch teilbare Ordnungszahlen = 1, 5, 7, 11, 1, 17, 19,... auf. Summenwirkung der drei Wicklungsstränge: V ˆ (, t) Vstrang, cos( t) Strangfeldamlitude x / = Drehfeldamlitude! Allgemein: Summenwirkung der m Wicklungsstränge: m V ˆ (, t) Vstrang, cos( t) Strangfeldamlitude. m/ = Drehfeldamlitude! /1

32 Ordnungszahl der Oberwellen des Luftsaltfelds V ( x, t) V 5 ˆ5 1 5x cos( x cos( t) 5x cos( t) t) 7 7x cos( t) V 11 ˆ11 11 x cos( t) 11 x cos( t ) 1 1x cos( t)... V ( x, t) 1, 5,7, 11,1,... x cos( t) Strangzahl m: meist m = : = 1, -5, 7, -11, 1, -17,... 1 m g g 0, 1,,, g 1, 5,7, 11,1,... /

33 Grund- und Oberwellen des Luftsaltfelds V ( x, t) V 1,... ( x, t) 1,... m N k w, I x cos( t) B ( ) 0 V ( )/ m = : = 1, -5, 7, -11, 1, -17,... Strangzahl m: meist Vorzeichenbehaftete Ordnungszahl: Die Umlaufgeschwindigkeiten der Oberwellen sinken mit 1/ : 1 mg g 0, 1,,,... v, f / syn Amlituden, bezogen auf Grundwelle: v syn /5 v syn /11 v syn /1 v syn / 7 Bˆ Bˆ 1 Fe v syn 1 f 1 k k w w1 /

34 Grund- und Oberwellenamlituden des Luftsaltfelds Amlituden, bezogen auf Grundwelle: q = 1, W/ = /, / = Bˆ Bˆ 1 Fe 1 k k Bˆ / Bˆ 1 q =, W/ = 5/6, / = w w1 (%), unterstrichen: Nutharmonische q =, W/ = 7/9, / = 18 Nutharmonische Oberwellen: Haben denselben Wicklungsfaktor wie Grundwelle! 1 ( / ) g g 1,,, g 11 g 118 g /4

35 Beisiel: Ständer-Luftsaltfeld: Grund- und Oberwellen Beisiel: m =, q =, Sehnung 5/6 Sule Grundwelle Unterschicht Oberschicht Beisiel: i U = - i V = - i W Nutharmonische Oberwellen Oberwellen: Amlitude, Wellenlänge, Geschwindigkeit: sinken mit steigender Ordnungszahl /5

36 Beisiel: FOURIER-Sektrum: Grund- und Oberwellen Bˆ Bˆ 1 1 k k w w1 Beisiel: m =, q =, Sehnung 5/ mg 1 6g 1, 5, 7, 11, 1, g 0, 1,,,... 17, 19,, 5, 9, 1, Nutharmonische: Wicklungsfaktor gleich wie bei Grundwelle! 1 ( / ) g 11g 11, 1,, 5,... g 1,,, /11 1/1 1/ 1/ /6

37 Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen - Ordnungszahl einer Welle = Wellenlängenzahl ro Polaar - Dreisträngige Wicklungen: Es treten nur ungeradzahlige, nicht durch teilbare Ordnungszahlen auf - Die Wellenamlitude ist roortional zu Wicklungsfaktor/Ordnungszahl k w / - Negative Ordnungszahlen = gegen die Grundwelle laufende Oberwellen - Nutharmonische Oberwellen haben relativ große Amlitude: Amlitude ~ 1/Ordnungszahl (~ 1/) /7

38 Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /8

39 Gleichstromerregtes Polradfeld Luftsaltfeld H : Zweioliges Polrad (Läufer) einer Schenkelol-Synchronmaschine, Läuferdurchflutung N fpol. I f, (N fpol : Sulenwindungszahl ro Pol) Luftsalt vergrößert sich zu den Pollücken als Funktion der Umfangskoordinate (x) H r x = x r : Rotorfeste Umfangskoordinate Berechnung der Radialkomonente B des Luftsaltfelds mit Durchflutungssatz: H ds N I V H ( x) H H ( x) C fpol Fe : C-Anteil im Eisen Im Eisen: Fe : H Fe = 0 f f B Fe Fe ( x) 0 H ( x) 0 V f ( x) /9

40 Feldkurve ist abszissensymmetrische Funktion r r : nur Oberwellen mit ungeradzahliger Ordnung FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern Feldkurve z. B. als FOURIER-Cosinus-Reihe: 1,, 5, 7, 9,... Form der Feldkurve ist durch Funktion (x) ( = Kontur des Polschuhs) bestimmt; hier auch durch teilbare Ordnungszahlen! B B ( ) B ( ) ( ) r Bˆ 1,,5,... cos( ) r r r : Rotorfester Umfangswinkel /40

41 Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern - Einsträngige gleichstromerregte Läuferwicklung = = stehende ( ruhende ) Feldwelle bzgl. Läufer-Koordinatensystem r - FOURIER-Reihenentwicklung der Feldkurve muss i. A. numerisch erfolgen - Dominante Grundwelle = 1, Oberwellen > 1 unerwünscht, weil Läuferoberwellen induzieren Ständerwicklung höherfrequent /41