Die Entfernung des Mondes und die Gestalt der Erde Zwei internationale Beobachtungsprojekte im Rahmen des Internationalen Jahres der Astronomie

Transkript

1 Die Entfernung des Mondes und die Gestalt der Erde Zwei internationale Beobachtungsprojekte im Rahmen des Internationalen Jahres der Astronomie Udo Backhaus Didaktik der Physik Frühjahrstagung Bochum 2009 Fakultät für Physik, Universität Duisburg-Essen, Universitätsstrasse 2, Essen Mit den Projekten The Distance to the Moon und The Position of the Sun and the Shape of the Earth wollen wir versuchen, Menschen auf der ganzen Welt anzuregen, auf die Bewegungen von Sonne und Mond über den lokalen Horizont zu achten und ihre Veränderung im Laufe einiger Wochen bewusst wahrzunehmen. Die expliziten Projektaufgaben bestehen darin, zu fest vereinbarten Zeitpunkten (24. April bzw. 30./31. Mai) die Position der Sonne über dem Horizont mit einem Schattenstab so genau wie möglich zu messen bzw. den Mond vor dem Hintergrund des Sternenhimmels mit einfachen Digitalkameras zu fotografieren. Der Vergleich der international gewonnenen Ergebnisse wird die Gestalt der Erde und die Entfernung des Mondes sichtbar und messbar machen. 1 Allgemeine Ziele Die Hauptziele des Internationalen Jahres der Astronomie 2009 [3] sind 1. to increase scientific awareness among the general public through the communication of of scientific results in astronomy and related fields, as well as the process of research and critical thinking that leads to these results, 2. to promote widespread access to the universal knowledge of fundamental science through the excitement of astronomy and sky-observing experiences, 3. to empower astronomical communities in developing countries, 4. to support and improve formal and informal science education in schools as well as through science centres, planetariums and museums, to develop educational material and to distribute it all over the world, 5. to facilitate new networks and strengthen existing ones, 6. to improve the gender-balanced representation of scientists at all levels and 7. to facilitate the preservation and protection of the world s cultural and natural heritage of dark skies. Die hier zu beschreibenden Projekte fühlen sich insbesondere den Zielen 1, 2 und 4 verpflichtet. Sie sollen insbesondere zu einer Verringerung der Diskrepanz beitragen, die zwischen dem, was Menschen wissen (bzw. zu wissen glauben), und dem, was sie selbst erfahren, durchdacht und verstanden haben, besteht, die Aufmerksamkeit auf Vorgänge am Himmel richten, die mit bloßen Augen leicht zu beobachten sind, die Erfahrung vermitteln, dass sich astronomische Vorgänge oft erst bei langfristiger Beobachtung erweisen, und etwas von der Faszination vermitteln, Teil eines internationalen Netzwerkes zu sein, das an einem gemeinsamen Ziel arbeitet.

2 2 Grundlagenmaterial, Messergebnisse und Anleitungen und Hilsmittel zu ihrer Auswertung sollen via Internet allen Beteiligten und einer breiten internationalen Öffentlichkeit zugänglich gemacht werden. 2 Sonnenposition und Erdgestalt 2.1 Der Lauf der Sonne Der tägliche Lauf der Sonne beeinflusst entscheidend unser Leben. Trotzdem sind die meisten Menschen nur wenig oder gar nicht mit ihm vertraut. Es ist das Ziel dieses Projektes, die Teilnehmer zu veranlassen, den Lauf der Sonne am Himmel bewusst wahrzunehmen und mit den damit verbundenen Phänomenen (z. B. der Bewegung von Schatten, der Tageslänge, den Jahreszeiten, den Auf- und Untergangspunkten der Sonne am Horizont und der Beziehung zwischen der (lokalen) Sonnenzeit und der Zonenzeit (MEZ)) vertraut zu werden. Dabei werden sie Phänomene wahrnehmen, die durch die Drehung der Erde, durch die Neigung ihrer Achse und durch ihren jährliche Lauf um die Sonne verursacht werden. Abbildung 1: Morgendlicher Sonnenlauf und zugehörige Schattenspur Die Sonne geht am östlichen Horizont auf, erreicht ihre größte Höhe im Süden (im Norden, wenn man auf der Südhalbkugel lebt) und geht in westlicher Richtung unter. Die Veränderung aller Schatten auf der Erde hängt eng mit diesem Sonnenlauf zusammen: Morgens haben alle Bäume, Häuser,... lange Schatten, die nach Westen zeigen, mittags zeigen die kürzesten Schatten nach Norden (Süden) usw. Dieser Umstand eröffnet die Möglichkeit, den Sonnenlauf zu beobachten, ohne direkt in die Sonne zu blicken: Wenn man den Sonnenlauf verfolgt, indem man den Schatten immer desselben Objektes beobachtet und aufzeichnet, dann kann man seine Veränderung im Laufe von Tagen, Wochen und Monaten bemerken. 2.2 Die Gestalt der Erde Durch die Beobachtung und Messung von Schatten wird es zusätzlich möglich, die eigenen Beobachtungen mit denen von Beobachtern zu vergleichen, die weit entfernt leben. Auf diese Weise kann man bemerken, dass an entfernten Orten zu derselben Zeit die Sonne anders am Himmel steht, als man selbst beobachtet. Abbildung 2: Der Stand der Sonne über drei Städten auf der Erde von innen und außen betrachtet Da alle Beobachter dieselbe Sonne beobachten, deren Licht überall auf der Erde parallel auftrifft, beweist diese Feststellung, dass die Horizonte der verschiedenen Beobachter unterschiedliche Orientierung haben müsssen: Wir leben nicht auf einer flachen Scheibe! Natürlich weiß heutzutage jedes Kind, dass die Erde eine Kugel ist. Aber ist jedes Kind (und auch jeder Erwachsene!) wirklich überzeugt davon? Wissen sie Argumente für diese Aussage? Tatsächlich ist es schwierig, Erfahrungen zu machen, die die Kugelgestalt der Erde beweisen oder zumindest zeigen, dass sie abgerundet ist. Auch wenn Satelliten uns Fotografien übermitteln, die die Erde als runde Scheibe zeigen: Zeigen diese Bilder wirklich eine Kugel? Und, noch wichtiger: Zeigen sie wirklich unsere Heimat? Dieses Projekt bietet die Möglichkeit, durch eigene Beobachtungen die Erde als Kugel zu erfahren. Die Teilnehmer können darüber hinaus mit ihren eigenen Messdaten dazu beitragen, den Erdradius recht genau zu bestimmen und zu beweisen, dass dieser Radius überall auf der Erde denselben Wert hat. Das heißt, sie werden durch internationale Zusammenarbeit beweisen: Die Erde ist tatsächlich eine (fast perfekte) Kugel!

3 3 2.3 Das Projekt Grundidee Wenn Menschen von verschiedenen Orten der Erde aus gleichzeitig zur Sonne sehen, werden sie die Sonne an verschiedenen Stellen ihres Himmels beobachten. Wenn man weiß, dass die Erde eine Kugel ist, kann man das leicht verstehen. Umgekehrt ist es möglich, die Erdgestalt zu bestimmen, indem man von verschiedenen Orten aus gleichzeitig den Winkel zwischen dem auftreffenden Sonnenlicht und der Erdoberfläche misst. Abbildung 3: Messung der Sonnenposition mit einem Schattenstab Die Teilnehmer werden die Position der Sonne messen, das heißt, die Himmelsrichtung, in der sie gegen Süden (bzw. gegen Norden)steht, indem sie die Spitze des Schattens eines senkrechten Stabes (eines Gnomons ) markieren. Im Prinzip kann man zwar auch einen spitzen Bleistift als Gnomon verwenden. Wegen der Unschärfe dieses Schattens ist es aber besser, statt einer Spitze ein Loch zu verwenden. Natürlich ist die Sonne nur von den Orten auf der Erde aus gleichzeitig zu sehen, die auf der Tagseite der Erde liegen. Der Zeitpunkt ist deshalb so gewählt, dass sich Menschen aus möglichst vielen Ländern an dem Projekt beteiligen können. Der Hauptzeitpunkt des Projektes ist 24. April 2009 um 6.47 Uhr UT. Abbildung 2 zeigt rechts, wie die Erde zu diesem Zeitpunkt von der Sonne aus, aussieht. Um die Form der ganzen Erde vermessen zu können und auch den Menschen, die sich zu diesem Zeitpunkt auf der Nachtseite der Erde befinden, die Teilnahme am Projekt zu ermöglichen, werden die Messungen an zwei weiteren Zeitpunkten wiederholt. Abbildung 4: Die Grundidee des Projektes Die Grundidee des Projektes geht auf Eratosthenes zurück ([5]): Misst man an zwei Orten auf demselben Längenkreis am selben Tag die Mittagshöhe der Sonne, kann man den zu den beiden Orten gehörenden Zentralwinkel berechnen und daraus den Erdumfang ableiten, wenn die Entfernung zwischen den Orten bekannt ist (Abb. 4). Die zugehörige Mathematik ist sehr einfach. Allerdings sind die Voraussetzungen sehr speziell: Beide Orten müssen auf demselben Längenkreis liegen, und die Messung muss mittags erfolgen. An diesem Projekt sollen sich möglichst viele Menschen an der Messung beteiligen können. Außerdem soll sich die Kugelgestalt der Erde dadurch erweisen, dass sich auf beliebige Bögen auf der ganzen Erdoberfläche immer derselbe Erdradius ergibt. Durch diese Verallgemeinerung des Verfahrens wird das Problem dreidimensional und die zugehörige Mathematik schwieriger. Der Algorithmus wird im Anhang beschrieben Messverfahren Bei der Messung werden folgende Punkte zu beachten sein: Die Ebene, auf der der Schatten aufgefangen und markiert werden soll, muss exakt horizontal, der Stab exakt vertikal sein. Auf diese Ebene wird ein Koordinatensystem aufgezeichnet. Eine seiner Achsen muss so genau wie möglich nach Norden (Süden) ausgerichtet sein. Die genaue Nord-Süd-Richtung sollte möglichst bereits an den Tagen zuvor bestimmt worden sein. Notfalls kann sie aber auch am Projekttag selbst gefunden werden.

4 4 Die Schattenspitze muss genau zum Projektzeitpunkt markiert werden. 3 Die Mondentfernung Für eine vereinfachte Auswertung soll zusätzlich die Schattenlänge und die genaue Uhrzeit des lokalen Mittags gemessen werden. Zu diesem Zeitpunkt kreuzt die Schattenspitze die Nord-Südlinie. Das Messergebnis wird zusammen mit den geografischen Koordinaten des Beobachtungsortes an eine zentrale Datenseite übermittelt Evaluation Die wesentlichen Punkte des Auswertungsverfahrens sind: Durch Vergleich jedes einzelnen Ergebnisses mit dem momentanen subsolaren Punkt, zum Projektzeitpunkt Bangalore in Indien, wird automatisch ein Wert für den Erdradius berechnet. Abbildung 6: Im Laufe eines Tages/einer Nacht laufen Sonne und Mond gemeinsam über den Himmel. Mit diesem Projekt sollen die Teilnehmer angeregt werden, auf den täglichen/nächtlichen Lauf (Abb. 4) des Mondes über den Horizont, seine Veränderung im Laufe eines Monats und die damit einhergehende Änderung der Phasengestalt des Mondes (Abb. 7) zu achten. Dabei soll ihnen auch der Lauf des Mondes üner den Sternenhimmel auffallen. Um einen eigenen Wert für den Erdradius zu erhalten, muss das eigene Messergebnis mit denen anderer Beobachter verglichen werden. Der zugehörige Algorithmus ist etwas kompliziert (s. Anhang). Deshalb wird ein kleines Programm zur Verfügung gestellt, das die Arbeit übernehmen kann. Mit den selbst gemessenen Mittagsergebnissen ist eine vereinfachte Auswertung möglich. Abbildung 5: Ausrüstung zur Messung der Sonnenposition; die zu verwendende Funkuhr ist nicht zu sehen Abbildung 7: Die Änderung der abendlichen Mondpositionen im Laufe von zwei Wochen 3.1 Grundidee des Projektes Die diesem Projekt zugrunde liegende Idee wurde von Martin Wagenschein [6] eindrucksvoll beschrieben. Ein ähnliches Projekt wurde bereits 2000/01 durchgeführt [4]. Wenn man nachts mit dem Auto fährt und der Mond am Himmel zu sehen ist, dann fährt der Mond, wie alle Sterne, perfekt mit: Er scheint unendlich weit entfernt zu sein. Ziel dieses Projektes ist es, sichtbar und erfahrbar zu machen, dass der Mond nicht unendlich weit von der Erde entfernt ist. Durch Vergleich von Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Orten der Erde aus aufgenommen werden, soll seine Entfernung bestimmt werden. Dazu soll der Mond am 30./31. Mai 2009 um 12.00, 17.00, 20.00, und Uhr UT von möglichst vielen

5 5 Orten der Erde aus im Sternbild Löwe so fotografiert werden, dass auf den Bildern neben dem Mond mindestens noch Regulus und Saturn zu erkennen sind. Der Zeitpunkt ist ein Kompromiss aufgrund sich gegenseitig widersprechender Kriterien: Der Mond soll von möglichst vielen Menschen auf der Erde gleichzeitig beobachtbar sein. Das heißt, er soll möglichst voll sein. Dann ist er aber auch besonders hell. Der Mond soll möglichst lichtschwach sein, damit auf Fotos neben dem Mond auch Sterne oder Planeten zu erkennen sind. Der Mond soll deshalb nahe bei hellen Sternen und/oder Planeten stehen. Durch Vergleich der dabei entstehenden Bilder soll sichtbar werden, dass der Mond für Beobachter an verschiedenen Orten der Erde an verschiedenen Stellen vor dem Sternenhintergrund am Himmel steht. Abbildung 8 zeigt eine entsprechende Simulation. 2. Zum Projektzeitpunkt und 15 min vorher und nachher sollen jeweils drei Bilder mit unterschiedlichen Belichtungszeiten aufgenommen werden. Vielleicht ist es geschickt, zwei Bilder direkt nacheinander aufzunehmen: eins mit kurzer Belichtungszeit für den Mond, das andere mit längerer Belichtungszeit für die Bezugsobjekte, und diese Bilder anschließend zu überlagern 3. Jeder Teilnehmer misst die Pixelkoordinaten des Mondes und der Bezugsobjekte auf seinem Bild selbst aus. Dafür wird ein Programm zur Verfügung gestellt. Das Bild, die geografischen Koordinaten des Beobachtungsortes und die Pixelkoordinaten werden dann an eine zentrale Datenseite übermittelt. 4. Die Ergebnisse werden dann automatisch in Form von Tabellen veröffentlicht. Mit ihnen wird es für die Teilnehmer möglich sein, die eigenen Ergebnisse mit denen anderer Beobachter an weit entfernten Orten zu kombinieren, um auf diese Weise einen eigenen Wert für die Mondentfernung abzuleiten. 5. Alle gemessenen Positionen werden in Form einer, hoffentlich dichten, Punktwolke als Punkte in ein Referenzfoto eingetragen. Abbildung 8: Der Mond, am 30. Mai 2009 um Uhr UT gleichzeitig fotografiert von Essen (Deutschland) and Windhoek (Namibia) 3.2 Messverfahren 1. Der Mond soll mit einfachen Digitalkameras fotografiert werden. Um seine Position möglichst genau messen zu können, sollte die Brennweite des Zoomobjektivs möglichst groß eingestellt werden. Die Äquivalentbrennweite muss allerdings kleiner als 135mm sein, damit die Bezugsobjekte, Saturn und Regulus, noch auf das Bild passen. Abbildung 9 Ergebnis eines Mondprojektes ([4]) vorangegangenen 6. Es wird ein Programm zur Verfügung gestellt werden, mit dem Kombinationen beliebiger Messwerte genau ausgewertet werden können. Eine Kurzform des zugehörigen Algorithmus [2] befindet sich im Anhang.

6 6 3.3 Auswertung 4 Anhang 4.1 Algorithmus zur Berechnung des Erdradius [1] Introduction The program sunalgorithm uses two positions of the sun above the local horizon simultaneously measured by two distant observers. It needs the following inputs: Two positions of the sun above the horizon (azimuths A i and altitudes h i ) which have been simultaneously measured by two distant observers. The distance between the observation sites. Usually, it will have been determined via internet. The momentary declination δ of the sun. It can be determined by oneself by measuring the sun s altitude at noon (see fig. 10): δ = ϕ +(h culm 90 ) (north) δ = ϕ (h culm 90 ) (south) The spherical triangle S NP O i The north pole NP, the sub-solar point S and one of the sites O i form a spherical triangle on the earth s surface (see the left picture in fig. 11). In this triangle, the sides a and b and the angle α are known: 90 -deltas S γ NP β 90-h 90-phi α A O S C 90-h1 γ O1 90-h2 c O2 Abbildung 11: left: Finding the observer s position O relative to the sub-solar point S. The point of observation and the corresponding azimuth A of the sun fix the direct way to the subsolar point a great circle (an orthodrome). right: The great circles leading the observers to the sub-solar point intersect there with an angle γ. It allows to calculate the opposite side c of the spherical triangle which corresponds, as a central angle at the geocentre C, to the linear distance between the observers. side a = π δ S b = π 2 h i c = π 2 ϕ i angle α = π A i β = λ i γ The longitude λ i of the site is measured relatively to the sub-solar point S. The observer s geographical position can be calculated in the following way: Step 1 Calculation of the angle β with the law of sines: Abbildung 10: The relation between the geographical latitude ϕ of the observation site, the sun s declination δ S and its altitude h culm at noon for the northern (left) and the southern hermisphere (right) Otherwise, it must be calculated with an astronomical computer program. The program must not be informed about the geographical positions of the observers! The procedure performed by the program is described in the following sections. sin β = sin α sin a sin b Step 2 Calculation of the side c with one of the analogies of Neper: tan c 2 cos α β 2 = tan a + b 2 cos α + β 2 As the result of these steps applied to both sites, the relative positions of the sites and the subsolar point are known.

7 The spherical triangle O 1 S O 2 In order to derive a measure of the earth radius from the (linear) distance between the sites we have to calculate the corresponding central angle, that means the side c of the spherical triangle O 1 S O 2 (see fig , right). But up to now, we only know the other two sides of this triangle and no angle. Therefore, we must first determine the angle γ at S. In order to find this angle, we represent the two azimuthal directions e Ai first in the local rectangular coordinate systems e Ai = cos A i e ϕi sin A i e λi and, finally, in the same rectangular system (x, y, z) in which the unit vectors can be written as follows: The earth s radius With the side c and the linear distance we have got the values of a central angle and the corresponding arc length on the earth s surface. Therefore, the earth s radius R E is R E = c or R E = 180 (if c is expressed in degrees) c π The program sunalgorithm exactly executes the algorithm described here. 4.2 Berechnung der Mondentfernung Das hier beschriebene Verfahren wird in [2] ausführlich dargestellt. Dort werden auch Vereinfachungen diskutiert. e λi = ( sin λ i, cos λ i, 0) e ϕi = ( sin ϕ i cos λ i, sin ϕ i sin λ i, cos ϕ i ) e ri = (cos ϕ i cos λ i, cos ϕ i sin λ i, sin ϕ i ) The normal vector n of one of the great circles leading from the observers to S is e 1 Observer 1 r 1 r M Moon n = e r e A = ( e λ e ϕ ) e A = e A ( e λ e ϕ ) = ( e A e ϕ ) e λ +( e A e λ ) e ϕ The normal vectors can, therefore, be written as n i = cosa i e λi sin A i e ϕi. The angle of intersection γ equals the angle between these normal vectors: cos γ = n 1 n 2 Now, in the triangle two sides ( π 2 h 1 and π 2 h 2) and the angle γ between them are known and the side opposite to γ can be calculated: cos c =sinh 1 sin h 2 +cosh 1 cos h 2 cos γ r 2 e 2 Observer 2 Abbildung 12: Zur Berechnung des Schnittpunktes der beiden Sichtlinien Wenn r der (carthesische) Ortsvektor eines Beobachters ist und e die Richtung, in der er den Mond sieht, dann muss sich der Mond irgendwo auf der Geraden befinden, die durch r + λ e, λ > 0 beschrieben werden kann. Wenn zwei Beobachter den Mond gleichzeitig anvisieren, dann muss sich der Mond am Schnittpunkt der beiden Sichtlinien befinden. Es muss also gelten: r 1 + λ e 1 = r 2 + µ e 2, λ, µ > 0 Das sind drei Gleichungen mit nur zwei zu bestimmenden Unbekannten λ und µ! Anders als in einer Ebene werden sich die beiden Geraden nur bei exakten Messungen schneiden. Andernfalls verfehlen

8 8 sie einander ( windschiefe Geraden ). Wegen immer auftretender Messfehler wird also obiges Gleichungssystem niemals lösbar sein. Aus diesem Grunde sind wir gezwungen, statt des Schnittpunktes die Stelle der größten Annäherung zwischen den beiden Geraden zu berechnen. Das heißt, wir suchen nach zwei Punkten P 1 = r 1 +λ 1 e 1 und P 2 = r 2 + µ 2 e 2 auf den Geraden, deren Verbindungsvektor senkrecht auf beiden Geraden steht: ( P 1 P 2 ) e 1 = 0, ( P 1 P 2 ) e 2 = 0 Das ist ein System zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten λ 1 und µ 2. Eine einfache Umformung führt auf die folgenden Gleichungen λ 1 + µ 2 = ( r 2 r 1 ) ( e 2 e 1 ), 1 e 1 e 2 λ 1 µ 2 = ( r 2 r 1 ) ( e 2 + e 1 ), 1+ e 1 e 2 aus denen die gesuchten Parameter leicht zu berechnen sind: λ 1 = 1 2 ((λ 1 + µ 2 )+(λ 1 µ 2 )), µ 2 = 1 2 ((λ 1 + µ 2 ) (λ 1 µ 2 )) Die Entfernung des Mondes ergibt sich dann schließlich zu r M r 1 + λ 1 e 1 r 2 + µ 2 e 2 (1) Als Maß für die Genauigkeit des Ergebnisses kann man den Abstand P 1 P 2 der beiden Sichtlinien nehmen. Literatur [1] Backhaus, U.: Algorithm for the calculation of the earth s radius, IYA2009/programs/sunalgorithm.zip [2] Backhaus, U.: Über den Zusammenhang zwischen geometrischer Parallaxe und Entfernung des Mondes, IYA2009/IYAParallaxe.pdf [3] IYA2009, Goals and Objectives, about/goals/ [4] Simultaneously Photographing of the Moon and Determining its Distance, -essen.de/ backhaus/moonproject.htm [5] Wagenschein, M.: Mathematik aus der Erde (Geo-metrie), Archiv/W-154.htm [6] Wagenschein, M. Wie weit ist der Mond von uns entfernt? (1962), in: Naturphänomene sehen und verstehen, 2. korrigierte Auflage, Klett: Stuttgart 1988, ( -essen.de/ backhaus/astromaterialien/ Literatur/WagenscheinWieweitistderMond vonunsentfernt.pdf)