8 Hohlleiter. Hohlleiter Quasioptische Ableitung der Felder der Hohlleiterwellen

Transkript

1 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln 74 8 ohllit ohllit dinn im Fqunbich wischn G und G u Übtagung von lktischn Bandpaßsignaln höh Listung. insat in Snd- und mpfangsanlagn im G Bich, Richtfunkstckn, bi Antnnn, Rada, Mikowllntchnik, Mßtchnik usw. In Schaltungn wid in dism Fqunbich di Mikostip und Stiplin Tchnik (Dickfilm und Dünnfilmtchnik auf Substat) ingstt. Bi d Übtagung mit d Koaiallitung wid bi hohn Fqunn di Dämpfung (und di damit vbundnn Vungn ds Signals) u goß. Auch sind wgn d klinn Wllnläng bi konvntionlln Kabln usätlich u TM-Wll höh Wllntpn (Modn ) möglich. Di ohlittchnik ist aufwndig und tu. s wdn Standad-Rchtckhohllit und fü Spialanwndungn Rundhohllit vwndt. ohllit sind Bandpaß-Übtagungssstm, d.h. di Litung übtägt st ab in gwissn untn Gnfqun, di von dn Quschnitts-Abmssungn ds ohllits abhängn. Auch nach obn gibt s in Gn fü dn Btib, di daduch ustand kommt, daß ab in gwissn obn Gnfqun usätlich u dm ausbitungsfähign Gundwllntp noch wit Wllntpn anggt wdn könnn, di in indutig Signalübtagung vhindn wüdn. Standad- Rchtckhohllit mit inm Sitnvhältnis von b/a 1,4 gibt s fü twa 1 aninand gnnd Fqunbänd mit Abmssungn von cm bis mm und in lativn Bandbit von twa 5 %,. B. X-Band mit a 1,4 cm fü 8-1 G ( 1 -Mod). Bi dn bish bhandltn Litungn (Zwidaht, Koaiallitung, Stiplin und Mikostiplitung) fü dn Fqunbich bis G (fü Stiplin und Mikostiplitung bis 1 G) wud di ngi in Fom von TM-Wlln bw. Quasi-TM -Wlln (Stiplin und Mikostiplitung) übtagn. Dis Wllnfo sind in ohllitn nicht mh ausbitungsfähig. s gibt jdoch hi infach Gundwllntpn, di j nach Bdingungn inln od auch gmischt anggt wdn könnn. Wlln, bi dnn di lktischn Fldstäkkomponntn tansvsal u Ausbitungsichtung vlaufn, di ab in Ausbitungsichtung Fldstäkkomponntn bsitn, wdn T- Wlln od -Wlln gnannt. Wlln, bi dnn di magntischn Fldstäkkomponntn tansvsal u Ausbitungsichtung vlaufn, di ab in Ausbitungsichtung Fldstäkkomponntn bsitn, wdn TM- Wll od -Wlln gnannt. Di Dämpfung d Wlln folgt üb Wandstomvlust. Mist sind di ohllitwänd aus politm Mssing gftigt. Di Innnwänd könnn auch vsilbt od vgoldt (ab 4 G) sin. 8.1 Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln Di ignschaftn d ohllitwlln kann man sich wi folgt aus dnn in bnn Wll ablitn: Di ohllitwll gibt sich, wnn in bn Wll schäg u ohllitachs in dn ohllit infällt und üb Rflionn an dn Wändn witglitt wid. Dis ist nu fü gan bstimmt Winkl möglich. lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

2 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln 75 T- Wlln. Man btacht unächst di Rflion d bnn Wll an in Mtallwand, wobi Wand und schäg infall. An d Mtallwand ist tang. Dswgn fäht di Wll bi d Rflion inn Phasnspung von π. In d Abb. sind fü inn gwissn Zitpunkt di Wllnfontn d infallndn d flktitn Wll fü +ma und -ma ingichnt. Man knnt, daß sich im Abstand cosϕ duch Üblagung d infallndn und flktitn Wll fü Auslöschung gibt. Insbsond siht man das an d Üblagung d positivn Wllnfont d infallndn Wll, di dot mit d ngativn Wllnfont d flktitn Wll usam tifft. Di Wllnläng in Ausbitungsichtung btägt sinϕ Bim Voanschitn d Zit vschibt sich das in d Abb. gichnt Bild nach chts. infallnd Wll Wllnbg +ma / dau snkcht Wllntal - ma Wllntal - ma Wllnbg +ma fl. Wll / φ Mtall-Wand Vo d Wand gibt sich in Wllnfld, das im Abstand von / /cosϕ Knotn aufwist ( ) und sich mit d Phasngschwindigkit : c v ph ω f f ϕ ϕ π π da sinϕ sin sin lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl nach chts fotpflant. Di Phasngschwindigkit ist di Ausbitungsgschwindigkit d sich di Phasnfontn in monochomatischn Wll ausbitn. Si ist jdoch nicht di Signalausbitungsgschwindigkit. Di Gschwindigkit, mit d Signal übtagn wdn, ist klin als di Lichtgschwindigkit und duch di Ausbitungsgschwindigkit ggbn, mit d sich di üllkuv in Schwbung aus wi Schwingungn mit ng bnachbatn Fqunn f- f/ und f+ f/ fotbwgt. Dis Gschwindigkit, di sog. Guppn-Gschwindigkit, gibt sich (sih Übungsaufgab Baltt 5 N.1 f) u

3 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln v g c sinϕ 76 Bi snkchtm infall (ϕ ) gibt sich vo d Wand in sthnd Wll ohn ngitanspot nach chts. in Witlitung d ngi von links nach chts folgt nu fü < ϕ <π/. /sinϕ. >. Bingt man im Abstand a m m 1,, 3,... vo d Wand in wit paalll Mtallwand an, so wid das Wllnfld nicht gstöt und di Wll kann duch Rflion in dm Kanal witglitt wdn. Man kann di Wll usätlich duch wi snkcht Wänd paalll u - bn bgnn ( stht ja snkcht u disn Wändn, so daß di Randbdingungn tang automatisch füllt ist). D Abstand kann blibig gwählt wdn, in d Pais wid twa halb so goß wi di Abstand d andn Wänd gwählt: b,4 a ). Daduch wid di Wll jtt gan im ohllit mit dm Quschnitt Aab witglitt. Wllnbg +ma Wllntal - ma () infallnd Wll Mtall-Wand m ( /) a φ Mtall-Wand Fü m 1 gibt sich di Gundmod, di T 1 od 1 -Mod, mit tansvsal lktisch Fldstäk und in Magntfldstäk, di auch in Komponnt in Ausbitungsichtung hat. Di -Fldstäk qu u Ausbitungsichtung ( in - Richtung) vaiit dabi nach in Sinusfunktion (() sin ( a)) üb in halb Piod. Fü m,3,.. gbn sich wit möglich Wllnfo (T, T m - Modn ), di duch Aninandstn d fü m1 bschibn Wllnfom in Richtung ntsthn. Di lktisch Fldstäk vaiit in Richtung nach in Sinusfunktion üb in, bw. 1 ½Piodn. Di T Mod hat auf d älft d ohllitbit (in d Mitt ds ohllits) in Knotnbn d lktischn Fldstäk, di T 3 bsitt wi Knotnbnn, in bi 1/3 und in wit bi /3 d ohllitbit. T- Modn : D st Ind gibt di Zahl d -Bäuch in -Richtung und d wit, di Zahl d Bäuch in -Richtung an. lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

4 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln 77 Aus d Bdingung, daß ϕ π gibt sich di Wllnläng, unthalb d kin Ausbitung mh möglich ist, und damit in Foml fü di ohllitwllnläng als Funktion d Btibswllnläng ( Fifldwllnläng ) und d Gnwllnläng: ochpaß a m cosϕ a < : g ( ϕ ) m m c f > f g ( ochpaß) a sinϕ 1 cos ϕ 1 g g fg f In d folgndn Abb. ist di Fldvtilung d T 1 Wll, d Gundmod, gichnt. - und sthn lokal jwils snkcht aufinand : Di -Fldlinin-Bündl sind duch ingfömig - Fldlininbündl umschlossn : T1 - Fldvtilung bwgt sich mit Phasngschw. c/sinφ nach chts b Knotn Mtall-Wand () a Bauch Mtall-Wand Di folgnd Abbildung igt di Wandstöm bw. di Wandstomdicht fü di T 1 Mod. Di Wandstomdicht gibt sich aus d Tangntialkomponnt d magntischn Fldstäk an d lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

5 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln 78 Wandobfläch. D Wandstom vläuft paalll u Wandobfläch, ist ab snkcht u magntischn Fldstäkkomponnt ointit. Man knnt, daß d Wandstom auf d Bodn- und Dckwand in d Mitt in Ausbitungsichtung d Wll flißt, wähnd um Rand hin snkcht dau flißt (Qustöm). Dis Stom schlißt sich insits üb di Sitnwänd und andsits üb dn Vschibungsstom in d Mitt ds ohllits, dot wo di -Fldstäk maimal ist. Aus d Bchnung d Wandstöm (Flächnintgal üb di Wandstomdicht) läßt sich di Dämpfungskonstant d ohllitwll mittln. Fü di 1 -Wll (Rchtck) gibt sich: 1+ a 1 b a α κ d s Z b 1 a Als Funktion d Fqun fällt di Dämpfungskonstant unächst, duchläuft dann in Minimum bi f/f g und nimmt fü f >> f g wgn ds Skinffkts popotional u Wul aus d Fqun u. Dswgn wid d Rchtckhohllit mit a b st ab in Fqun von 1,3 f g btibn. Bis u in Fqun von f 1,8 f g (f g c / g ; g a) ist nu di T 1 Mod ausbitungsfähig Btibsbich Rchtckhohllit mit a b: c /,6a < f < c /3,6 a Bi ohlohwlln kann di Dfinition von Stom und Spannung nicht mh wi bi TM-Wlln vognom wdn. Man dfinit hi di Spannung üb di maimal lktisch Fldstäk (bi T 1 in d Mitt ds ohllits) und dn Stom üb di maimal Tangntialkomponnt ds magntischn Flds. Dann läßt sich fü Stom und Spannungswlln längs d Litung in ähnlichs Bild wi bi dn TM-Wlln auf d Koaiallitung ntwfn, nu daß hi d Mittllit fhlt. Duch in analog Btachtung wi si ingangs angstllt wud, lassn sich auch di Wllnfo fü TM n -Wllntpn ablitn und vanschaulichn. Dabi läßt auf in mtallisch Wand in lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

6 ohllit Quasioptisch Ablitung d Fld d ohllitwlln 79 bn Wll, dn magntisch Fldstäk paalll u Wand ointit ist, unt schägm Winkl infalln. Di ignschaftn d flktitn Wll gbn sich aus d Randbdingung nom. aus M Pottl [5] Richtkoppl aus M Pottl [5] lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

7 ohllit Ablitung d Fld fü di Gundmod im Rchtckhohllit 8 8. Ablitung d Fld fü di Gundmod im Rchtckhohllit Di Fld fü di T 1 -Mod im Rchtckhohlit solln nun dikt aus dn Mawll schn Glichungn unt dn ggbnn Randbdingungn bstimmt wdn. b a jωt jωt (,,, t) (,, ), (,,, t) (,, ) ot jωµ ot jωε... infachst Ansat : (,, ) (, ) also ot jωµ ( + ) ot 1 jωµ jωµ jωµ jωε + jωε jωε Wllnglichung fü : lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

8 ohllit Ablitung d Fld fü di Gundmod im Rchtckhohllit 81 Lösungsansat: + + ω µ ε (, ) $ sin π a π π j ß instn in Wllnglichung : ( ) π + + ω ω j a c c π π π π a a a 1 a -Fld : instn in Induktionsgst (1. Mawll sch Gl. s.o.) a j ß (, ) $ π sin j g a $ sin π a j ß j ωµ $ π a j ß sin ωµ Z a j ß Z Z $ π sin mit 1 a $ π π j ß cos jωµ a a $ π π j cos a a ωµ j $ π Z a a j ß cos j ß lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

9 ohllit Ablitung d Fld fü di Gundmod im Rchtckhohllit 8 (, ) $ sin π a j ß j $ π a sin j ß j ωµ $ π a j ß sin ωµ Z $ π a j ß Z Z sin mit 1 a $ π π j ß cos jωµ a a $ j π cos π a a ωµ j $ π Z a a j ß cos j ß di folgndn Bild sind aus Sinnma [11] ntnom: lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

10 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn Modn in Rchtck- und Rundhohllitn Zu gnaun Bhandlung d Vilahl möglich Wlln in ohllitn muß man üb di infühnd ggbn anschaulich Dastllung hinausghn und di gigntn Lösungn d Mawll schn Glichungn unt dn ggbnn Randbdingungn aufsuchn. Innhalb d ohllit ist di Stomdicht S und s gibt auch kin Ladungn bw. Raumladungsdicht ρ. Bi dn mistn Anwndungn ist das Inn d ohllit ohn Dilktikum : ε 1. Di Wänd mögn unächst blibig gut Litfähigkit bsitn. Aufgund d Ähnlichkit d Mawll schn Glichungn findt man, daß s dual Fld gbn muß. Vtauscht man nämlich in dn Mawll schn Glichungn (s.u.) das lktisch Fld mit dm magntischn Fld und vtauscht auch noch di lktisch Fldkonstant mit d magntischn, so wdn di Mawll schn Glichungn in sich slbst übgfüht. Daaus gibt sich: Ist in Lösung fü und bkannt, so sind auch di duch di Tansfomation und - ugtn Fld Lösungn d Mawll schn Glichungn ( dabi ist in dn Ausdückn fü di dualn Fld ε duch µ und µ duch ε u stn). Dis füht u d intilung in di Gund- ohllitmodn mit tansvsalm lktischn Fld (T Wlln) und solchn mit tansvsalm magntischn Fld (TM Wlln). Dis Wlln habn jwils magntisch Fldstäkkomponntn bw. lktisch Fldstäkkomponntn in Ausbitungsichtung (- Wlln, -Wlln). jωt jω t (,,, t) (,, ), (,,, t) (,, ) ε ε ε µ µ ot jωµ ot jωε div div D Lösungswg gstaltt sich unt Vwndung d in Kap..7 ingfühtn Potntial ϕ und A wi folgt: 1.) Lösung d Wllnglichung fü das Vkopotntial unt dn ggbnn Randbdingungn und d Annahm, daß A nu in Komponnt in Ausbitungsichtung d Wll hat. A (,, A) A + ω µ ε A Dabi ist d Laplac Opato in dn gigntn Koodinatn.. Bchnung d TM- Wlln- Fld (-Wlln) : 1 ota µ jωa gadϕ Das lktisch Potntial kann aufgund d Lonbdingung duch das Vktopotntial stt wdn. lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

11 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 84 diva + jωεµϕ gad( diva) jωa jωεµ 3. Bchnung d T-Wlln (-Wlln) aufgund d Dualität 1 ota ε gad( diva) jωa jωεµ Rchtckhohllit A A(,, ) wobi: TM-Wlln: T-Wlln: Randbdingungn : A A A A ω π ω µε c Fifldwllnlä ng A A 1 1 µ jωεµ tan g, 1 A 1 A µ jωεµ 1 A + j ωεµ 1 A 1 A ε jωεµ 1 A 1 A ε jωεµ 1 A + j ωεµ an dn Wä ndn nom Lösungsansat: Podukt aus Funktionn, di nu von in Koodinat abhängn (Spaationsansat): A(,, ) X ( ) Y( ) Z( ) A A ingstt in di Wllnglichung lift das fü jd Funktion in unabhängig Diffntialglichung: lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

12 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 85 d X d Y YZ + XZ + d Z XY + XYZ d d d 1 d X 1 d Y 1 d Z X d Y d Z d D st Tm hängt nu von ab, d wit nu von und d ditt nu von. Di obig Glichung kann dshalb nu bsthn wnn all di Tm konstant und sind. Di di spät noch näh u bstimdn Konstantn nnnn wi -, - und -. 1 d X 1 d Y 1 d Z X d Y d Z d Allgmin Lösungn: X ( ) A cos + A sin 1 Y( ) B cos + B sin 1 j + j 1 Z( ) C + C Fü di hinlaufnd Wll gbn sich vi möglich Lösungsansät: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j A (,, ) A cos B cos C j 1 A (,, ) A sin B sin C j A (,, ) A cos B sin C j A (,, ) A sin B cos C Bstimmung von,, aus dn Randbdingungn: fü und b fü und a mπ nπ ; ; a a m 1,,, 3... n 1,,, 3,... in Wllnglichung gibt Wt fü m n π a π + b g m n π + a π π : b g g π π + π g lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

13 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 86 1 g mit, g m n + a b Bchnt man aus dn Potntialn nach d ingangs bschibnn Voschift di Fld, so findt man, daß nu fü wi d obign vi Ansät di damit haltnn Fld di Randbdingungn fülln, nämlich ( m) mπ TM - Wlln: A a nπ b C ( m) j sin sin TM-Wlln: T-Wlln: T - Wlln: A mπ a nπ cos cos b C ( ) ( ) j m a n $ π π b sin sin j( ω t ) j m $ π a π nb cos sin g, m, n j m a n $ π π sin cos b g, m, n j ωε m a n $ π π sin cos b g, m, n j m $ ωε π a π nb cos sin g, m, n m a n $ π π b cos cos j m $ π a π nb sin cos g, m, n j m a n $ π π cos sin b g, m, n j ωµ m a n $ π π cos sin b g, m, n j( ω t ) $ j ωµ m π a π sin cos nb g, m, n j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) j( ω t ) lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

14 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 87 inig Bild aus Ramo[7] lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

15 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn Rundhohllit Anwndung bi Antnnn.B. wnn ikula polaisit Wll u Antnn gfüht wdn muß. T n -Wll hat tm ging Dämpfung wgn d gingn Dämpfung bi Rsonaton Di Lösung d Wllnglichung in Zlindkoodinatn füht auf di sog. Zlindfunktionn, von dnn uns di Bssl-Funktionn bits bkannt sind. (Abb...) ϕ a Di Modn wdn duch di Knotnflächn in d Winklfunktion (Ind m) und d Radialfunktion ( Ind n) gknnichnt. TM-Wlln: ( ) Randbdingungn n bi a Jm ( a ) Di l.t Nullstll d m-tn Bsslfunktion wid mit j bichnt: J ( a) J ( j ) lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl m g, m g, j m 1,, 3,... n 1,, 3,... a g, j $ Jm a cos( m ϕ) j j $ J m a ' cos( m ϕ) j n j $ J a ϕ sin( m ϕ) Z ϕ TM Z Z j( ω t ) g, g, TM ϕ TM ωε j( ω t ) m j ( ω t )

16 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 89 T-Wlln : i ist di Randbdingungn tang bi a u fülln.das füht auf J' m ( a) Di l.t Nullstll d Ablitung d n-tn Bsslfunktion wid mit j nl bichnt: J ' ( a) J ( j' ) aus Ramo [7]: m g, m g, j' m 1,, 3,... n 1,, 3,... a g, j $ ' Jm a cos( m ϕ) j m j $ ωµ ' Jm a sin( m ϕ) $ j ωµ ϕ J' Z ϕ T Z T Z g, g, T ωµ ϕ j( ω t ) m j( ω t ) j' a cos( m ϕ) j( ω t ) lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

17 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 9 lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl

18 ohllit Modn in Rchtck- und Rundhohllitn 91 lktomagntisch Wlln Pof. D. Cl