Alfred Böge. Technische Mechanik

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2 Alfred Böge Technische Mechanik

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4 Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge

5 Alfred Böge Technische Mechanik Statik Dynamik Fluidmechanik Festigkeitslehre 9., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, Arbeitsplänen, 15 Lehrbeispielen und 47 Übungseinheiten Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge, Walter Schlemmer und Wolfgang Weißbach STUDIUM

6 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur. Auflage unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 1., überarbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , unveränderte Auflage , vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage , durchgesehene Auflage , überarbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , verbesserte Auflage 1990., überarbeitete und erweiterte Auflage , neu bearbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , überarbeitete Auflage , überarbeitete und erweiterte Auflage , überarbeitete Auflage , verbesserte Auflage , überarbeitete und erweiterte Auflage 011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011 Lektorat: Thomas Zipsner Imke Zander Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettmeier, Barbing Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: Stürtz GmbH, Würzburg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN

7 V Vorwort zur 9. Auflage Dieses Lehrbuch für Studierende an Fach- und Fachhochschulen ist Hauptteil des Lehr- und Lernsystems TECHNISCHE MECHANIK von Alfred Böge mit der umfangreichen Aufgabensammlung, dem Lösungsbuch und der Formelsammlung mit einem Anhang Mathematik. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt. Die linke Spalte enthält den ausführlichen Lehrtext mit hervorgehobenen Sätzen und Regeln. In der rechten Spalte stehen dazu Beispiele mit Zeichnungen und mathematischen Entwicklungen. Ûbungen schließen jeden größeren Lernabschnitt ab. Lehrbeispiele zeigen die Form schriftlicher Arbeiten in Studium und Beruf. Arbeitspläne machen die Lösungsverfahren durchschaubar und erleichtern ihre Anwendung. Die am Ende eines Lernabschnitts im Raster angegebenen Aufgabennummern beziehen sich auf die Aufgabensammlung. Das Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien Technik, Fachoberschulen Technik, Bundeswehrfachschulen und in Bachelor-Studiengängen bewährt. In Ústerreich wird damit an den Höheren Technischen Lehranstalten gearbeitet. Die vorliegende Auflage enthält folgende Ønderungen: 1. Das zeichnerische Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte in Fachwerken (Cremonaplan) wird nicht mehr verwendet. Die Stabkräfte werden mit dem ausführlich behandelten Knotenschnittverfahren berechnet.. Das Kapitel Hydrodynamik wurde vollständig überarbeitet. Didaktische Grundlagen sind jetzt die mit ausführlichen Ûbungen erfassten Lehrinhalte zu den drei Erhaltungssätzen für Masse, Energie und Impuls. Die Inhalte der vier Bücher des Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik sind aufeinander abgestimmt. Die aktuellen Auflagen sind: Lehrbuch Aufgabensammlung Lösungsbuch. Formelsammlung 9. Auflage 0. Auflage 15. Auflage. Auflage. Bedanken möchte ich mich beim Lektorat Maschinenbau des Vieweg+Teubner Verlages, insbesondere bei Frau Imke Zander und den Herren Thomas Zipsner und Stefan Kreickenbaum für ihre engagierte und immer förderliche Zusammenarbeit bei der Realisierung der vorliegenden Auflage. Für Zuschriften steht die -Adresse zur Verfügung. Braunschweig, Januar 011 Alfred Böge

8 VII Inhaltsverzeichnis 1 Statik in der Ebene Grundlagen Die Aufgaben der Statik Physikalische Größen in der Statik Die Kraft F Das Kraftmoment oder Drehmoment M Das Kräftepaar Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers Freiheitsgrade im Raum Freiheitsgrade in der Ebene Gleichgewicht des Körpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Der Parallelogrammsatz für Kräfte Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kräften (Kräftereduktion) Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kräfte F 1 und F Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kräfte Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte Das Freimachen der Bauteile Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflächen- und Volumenkräfte Seile, Ketten, Riemen Zweigelenkstäbe Berührungsflächen (ebene Stützflächen) Rollkörper (gewölbte Stützflächen) Einwertige Lager (Loslager) Zweiwertige Lager (Festlager) Dreiwertige Lager Ûbungen zum Freimachen Die Grundaufgaben der Statik Zentrales und allgemeines Kräftesystem Die zwei Hauptaufgaben Die zwei Lösungsmethoden Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kräftesystem Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe)

9 VIII Inhaltsverzeichnis Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung Ûbungen zur dritten und vierten Grundaufgabe Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe), der Momentensatz Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Ûbung zur Stützkraftberechnung Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung Herleitung der Systemgleichungen Zusammenstellung der Systemgleichungen Beschreibung des Programmlaufs zur Stützkraftberechnung Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem (Getriebewelle) Statik der ebenen Fachwerke Gestaltung von Fachwerkträgern Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger Das Knotenschnittverfahren Das Ritter sche Schnittverfahren

10 Inhaltsverzeichnis IX Schwerpunktslehre Begriffsbestimmung für Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt 75. Der Flächenschwerpunkt Flächen haben einen Schwerpunkt Schwerpunkte einfacher Flächen Schwerpunkte zusammengesetzter Flächen Rechnerische Bestimmung des Flächenschwerpunkts Ûbungen zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts Der Linienschwerpunkt Linien haben einen Schwerpunkt Schwerpunkte einfacher Linien Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzüge) Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts Guldin sche Regeln Volumenberechnung Oberflächenberechnung Ûbungen mit den Guldin schen Regeln Gleichgewichtslagen und Standsicherheit Gleichgewichtslagen Stabiles Gleichgewicht Labiles Gleichgewicht Indifferentes Gleichgewicht Standsicherheit Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Ûbung zur Standsicherheit Reibung Grunderkenntnisse über die Reibung Gleitreibung und Haftreibung Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft Ermittlung der Reibungszahlen m, und m Der Reibungskegel Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben Reibung auf der schiefen Ebene Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall) Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Zugkraft F wirkt waagerecht

11 X Inhaltsverzeichnis 3.3. Halten des Körpers auf der schiefen Ebene (. Grundfall) Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Haltekraft F wirkt waagerecht Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall) Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Schubkraft F wirkt waagerecht Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene Reibung an Maschinenteilen Prismenführung und Keilnut Zylinderführung Lager Reibung am Tragzapfen (Querlager) Reibung am Spurzapfen (Längslager) Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung Schraube und Schraubgetriebe Bewegungsschraube mit Flachgewinde Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde Befestigungsschraube mit Spitzgewinde Ûbungen zur Schraube Seilreibung Grundgleichung der Seilreibung Aufgabenarten und Lösungsansätze Ûbungen zur Seilreibung Bremsen Backen- oder Klotzbremsen Bandbremsen Scheiben- und Kegelbremsen Rollwiderstand (Rollreibung) Fahrwiderstand Ûbungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand Rolle und Rollenzug Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) Lose Rolle Rollenzug Ûbung zum Rollenzug

12 Inhaltsverzeichnis XI 4 Dynamik Allgemeine Bewegungslehre Größen und v; t-diagramm, Ordnung der Bewegungen Ûbungen mit dem v; t-diagramm Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung Freier Fall und Luftwiderstand Freier Fall ohne Luftwiderstand Luftwiderstand F w Freier Fall mit Luftwiderstand Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung Zusammengesetzte Bewegungen Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung Ûberlagerungsprinzip Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen Bewegungen Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Die Drehzahl n Die Umfangsgeschwindigkeit v u Richtung der Umfangsgeschwindigkeit v u Umfangsgeschwindigkeit v u und Drehzahl n Zahlenwertgleichungen für die Umfangsgeschwindigkeit Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit w Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit Zahlenwertgleichung für die Winkelgeschwindigkeit Baugrößen und Größen der Bewegung in Getrieben Ûbersetzung i (Ûbersetzungsverhältnis) Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen

13 XII Inhaltsverzeichnis 4.3. Winkelbeschleunigung a Der Drehwinkel im w; t-diagramm Die Tangentialbeschleunigung a T Arbeitsplan zur Kreisbewegung (Vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Das Trägheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton sches Axiom Masse, Gewichtskraft und Dichte Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton sches Axiom Die gesetzliche und internationale Einheit fürdiekraft Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz Prinzip von d Alembert Arbeitsplan zum Prinzip von d Alembert Ûbungen zum Prinzip von d Alembert Impuls (Bewegungsgröße) und Impulserhaltungssatz Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Arbeit W einer konstanten Kraft F Zeichnerische Darstellung der Arbeit W Federarbeit W f (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer veränderlichen Kraft Ûbungen mit der Größe Arbeit Leistung P Wirkungsgrad h Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen Dreharbeit W rot (Rotationsarbeit) Drehleistung P rot (Rotationsleistung) Zahlenwertgleichung für die Drehleistung P rot Wirkungsgrad, Drehmoment und Ûbersetzung Ûbungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Ûbersetzung bei Drehbewegung Energie Energie, Begriffsbestimmung und Einheit Potenzielle Energie E pot und Hubarbeit W h Kinetische Energie E kin und Beschleunigungsarbeit W a Spannungsenergie E s und Formänderungsarbeit W f Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge Ûbungen zum Energieerhaltungssatz

14 Inhaltsverzeichnis XIII 4.8 Gerader zentrischer Stoß Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß Merkmale des geraden zentrischen Stoßes Elastischer Stoß Unelastischer Stoß Schmieden und Nieten Rammen von Pfählen, Eintreiben von Keilen Wirklicher Stoß Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung Trägheitsmoment J und Trägheitsradius i Definition des Trägheitsmoments Ûbung zum Trägheitsmoment Verschiebesatz (Steiner scher Satz) Reduzierte Masse m red und Trägheitsradius i Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung Kinetische Energie E rot (Rotationsenergie) Energieerhaltungssatz für Drehung Fliehkraft Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft Ûbungen zur Fliehkraft Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen Mechanische Schwingungen Begriff Ordnungsbegriffe Die harmonische Schwingung Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung Auslenkung-Zeit-Gesetz Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Beschleunigung-Zeit-Gesetz Die Graphen der harmonischen Schwingung Zusammenstellung der wichtigsten Größen und Gleichungen der harmonischen Schwingung Rückstellkraft F R, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung Das Schraubenfederpendel Rückstellkraft F R und Federrate R Periodendauer T des Schraubenfederpendels Das Torsionsfederpendel Federrate R, Rückstellmoment M R und Periodendauer T... 53

15 XIV Inhaltsverzeichnis Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten J aus der Periodendauer Das Schwerependel (Fadenpendel) Schwingung einer Flüssigkeitssäule Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz Dämpfung Energieminderung durch Dämpfung Energiezufuhr Die erzwungene Schwingung und Resonanz Das Amplituden-Frequenz-Diagramm Festigkeitslehre Grundbegriffe Die Aufgabe der Festigkeitslehre Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kräftesystems Spannung und Beanspruchung Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) Die fünf Grundbeanspruchungsarten Zugbeanspruchung (Zug) Druckbeanspruchung (Druck) Abscherbeanspruchung (Abscheren) Biegebeanspruchung (Biegung) Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung Die zusammengesetzte Beanspruchung Bestimmen des inneren ebenen Kräftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten Das allgemeine innere Kräftesystem Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten Ûbungen zum Schnittverfahren Beanspruchung auf Zug Spannung Erkennen des gefährdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen Profilstäbe mit Querbohrung Zuglaschen Zugschrauben

16 Inhaltsverzeichnis XV Herabhängende Stäbe oder Seile Ketten Elastische Formänderung (Hooke sches Gesetz) Verlängerung Dl und Dehnung e Querdehnung e q Poisson-Zahl m Das Hooke sche Gesetz Wärmespannung Formänderungsarbeit W f Reißlänge Beanspruchung auf Druck Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Flächenpressung Begriff und Hauptgleichung Flächenpressung an geneigten Flächen Flächenpressung am Gewinde Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz sche Gleichungen) Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern Ûbungen zur Flächenpressung Beanspruchung auf Abscheren Spannung Elastische Formänderung (Hooke sches Gesetz für Schub) Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung) Definition der Flächenmomente. Grades Herleitungsübung Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte Axiale Flächenmomente. Grades symmetrischer Querschnitte Axiale Flächenmomente. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner scher Verschiebesatz) Erste Herleitung des Steiner schen Satzes Zweite Herleitung des Steiner schen Satzes

17 XVI Inhaltsverzeichnis Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente. Grades Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte Beanspruchung auf Torsion Spannungsverteilung Herleitung der Torsions-Hauptgleichung Formänderung bei Torsion Formänderungsarbeit W f Beanspruchung auf Biegung Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt Herleitung der Biege-Hauptgleichung Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen Freiträger mit Einzellast Freiträger mit mehreren Einzellasten Freiträger mit konstanter Streckenlast (gleichmäßig verteilte Streckenlast) Freiträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Stützträger mit Einzellast Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten Stützträger (Kragträger) mit konstanter Streckenlast Stützträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Träger gleicher Biegespannung Allgemeine Anformungsgleichung Achsen und Wellen Biegefeder mit Rechteckquerschnitt Konsolträger mit Einzellast Konsolträger mit Streckenlast Formänderung bei Biegung Krümmungsradius, Krümmung Allgemeine Durchbiegungsgleichung Neigungswinkel der Biegelinie Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung Beanspruchung auf Knickung Grundbegriffe Elastische Knickung (Eulerfall)

18 Inhaltsverzeichnis XVII Unelastische Knickung (Tetmajerfall) Arbeitsplan für Knickungsaufgaben Knickung im Stahlbau Vorschriften Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstäben Herleitung einer Entwurfsformel Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis Zusammengesetzte Knickstäbe Zusammengesetzte Beanspruchung Zug und Biegung Druck und Biegung Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen Biegung und Torsion Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung s v Vergleichsmoment M v Ûbung zu Biegung und Torsion Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm Einflüsse auf die Festigkeit des Bauteils Beanspruchungsart und Festigkeit Temperatur und Festigkeit Belastungsart und Festigkeit Gestalt und Dauerfestigkeit Spannungsbegriffe Nennspannung Úrtliche Spannung Zulässige Spannung Berechnungen im Buch Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau Dauerbruchsicherheit Sicherheit S D bei ruhender Belastung Sicherheit S D bei dynamischer Belastung Ûbungen zur Dauerfestigkeit Fluidmechanik Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) Eigenschaften der Flüssigkeiten Hydrostatischer Druck (Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung) Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz

19 XVIII Inhaltsverzeichnis Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes Hydraulischer Hebebock Druckkraft auf gewölbte Böden Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht Hydraulische Presse Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Schwerkraft Kommunizierende Röhren Bodenkraft Seitenkraft Auftriebskraft Schwimmen Gleichgewichtslagen schwimmender Körper Stabilität eines Schiffes Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) Ûbersicht Erhaltungssätze der Strömung Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) Energieerhaltungssatz (Bernoulli sche Gleichung) Horizontale Strömung (Strömung ohne Höhenunterschied) Nichthorizontale Strömung (Strömung mit Höhenunterschied) Anwendung der Bernulligleichung Impulserhaltungssatz Strömung in Rohrleitungen Sachwortverzeichnis

20 Inhaltsverzeichnis XIX Arbeitspläne Arbeitsplan zum Freimachen Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Kräfte... 9 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Kräfte Arbeitsplan zum Momentensatz Arbeitsplan zum Seileckverfahren Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte Arbeitsplan zum 3-Kräfte-Verfahren Arbeitsplan zum 4-Kräfte-Verfahren Arbeitsplan zum Knotenschnittverfahren Arbeitsplan zum Ritter schen Schnittverfahren Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung Arbeitsplan zur Kreisbewegung Arbeitsplan zum Prinzip von d Alembert Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente. Grades Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung Arbeitsplan für Knickungsaufgaben Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis Lehrbeispiele Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkräfte Reibung in Ruhe und Bewegung v; t-diagramm Prinzip von d Alembert Wirkungsgrad Nietverbindung im Stahlhochbau Nietverbindung im Stahlbau Zugbolzen Torsionsstabfeder Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) Knickung im elastischen Bereich Knickung im unelastischen Bereich Berechnung einer Getriebewelle

21 XX Inhaltsverzeichnis Ûbungen Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte Ûbungen zum Freimachen Ûbung zur Rechnerischen Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) Ûbung zur Zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Ûbung zur Rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe) Ûbung zur Zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte (vierte Grundaufgabe) Ûbung zur dritten und vierten Grundaufgabe Ûbung zur Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe) Ûbungen zur Zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe) Ûbung zur Rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte (siebte Grundaufgabe) Ûbung zur Stützkraftberechnung Ûbung zur Zeichnerischen Ermittlung von unbekannten Kräften (achte Grundaufgabe) 48 Ûbung zum Systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung (Herleitung des Systems) Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung Ûbungen zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts Ûbungen mit den Guldin schen Regeln Ûbung zur Standsicherheit Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung Ûbungen zur Schraube Ûbungen zur Seilreibung Ûbungen zum Roll- und Fahrwiderstand Ûbung zum Rollenzug Ûbungen mit dem v; t-diagramm Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz Ûbungen zum Prinzip von d Alembert Ûbungen mit der Größe Arbeit Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Ûbungen zum Energieerhaltungssatz Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß Ûbung zum Trägheitsmoment Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung Ûbungen zur Fliehkraft Ûbungen zum Schnittverfahren Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Ûbungen zur Flächenpressung Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte

22 Inhaltsverzeichnis XXI Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 315 Ûbungen zur Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen Ûbung zu Biegung und Torsion Ûbungen zur Dauerfestigkeit Ûbungen zur Hydrostatik Ûbungen zur Hydrodynamik Tabellen Tabelle 3.1 Reibzahlen m 0 und m Tabelle 4.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Tabelle 4. Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung Tabelle 4.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Tabelle 4.4 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung Tabelle 4.5 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmoment. Grades) Tabelle 5.1 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung Tabelle 5. Polare Flächenmomente. Grades I p und Widerstandsmomente W p für Torsion Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l 0 für Euler sche Knickung und Tabelle 5.4 Tetmajergleichungen Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Tabelle 5.5 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau Tabelle 5.6 Zulässige Spannungen im Kranbau Tabelle 5.7 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl Tabelle 5.8 Festigkeitswerte für Stähle Tabelle 5.9 Festigkeitswerte für Gusseisen

23 XXII Inhaltsverzeichnis Das griechische Alphabet Alpha A a Beta B b Gamma G g Delta D d Epsilon E e Zeta Z z Eta H h Theta Q J Jota I i Kappa K j Lambda L l My M m Ny N n Xi X x Omikron O o Pi P p Rho R r Sigma S s Tau T t Ypsilon Y u Phi F j Chi C c Psi Y w Omega W w

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25 1 1 Statik in der Ebene Formelzeichen und Einheiten 1) A m,cm,mm Flächeninhalt, Fläche, Oberfläche A, q m,cm,mm Querschnittsfläche, Querschnitt b m, cm, mm Breite d, D m, cm, mm Durchmesser e l Euler sche Zahl (, ) F N ¼ kgm s, kn Kraft. Bestimmte Kräfte werden durch Indizes unterschieden, z. B. F r resultierende Kraft ¼ Resultierende, F R Reibungskraft, F N Normalkraft, F q Querkraft, F A Stützkraft im Lagerpunkt A usw. F G g N ¼ kgm,kn m s s h m, cm, mm Höhe, Tiefe l m, cm, mm Länge jeder Art, Abstände M Nm Kraftmoment, Drehmoment Gewichtskraft. F G ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen für die Gewichtskraft Fallbeschleunigung Normfallbeschleunigung g n ¼ 9,80665 ms M T, T Nm Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zulässig m kg, g Masse 1 n min ¼ Drehzahl, Umdrehungsfrequenz min 1 P W, kw Leistung r m, cm, mm Radius, Halbmesser, Abstand s m, cm, mm Weglänge, Kurvenlänge, Wanddicke V m 3,cm 3,mm 3 Volumen, Rauminhalt v m s, km h, m min W J ¼ Nm Arbeit Geschwindigkeit x, y m, cm, mm Wirkabstände der Einzelkräfte (und -flächen oder -linien), Koordinaten x 0, y 0, z 0 m, cm, mm Schwerpunktabstände a, b, g rad, ebener Winkel h l Wirkungsgrad m l Reibungszahl r Reibungswinkel 1) Alle in diesem Buch verwendeten Einheiten für physikalische Größen sind Einheiten des Système International d Unités (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 (Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen). A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _1, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

26 1 Statik in der Ebene 1.1 Grundlagen Die Aufgaben der Statik An technischen Bauteilen greifen Belastungskräfte an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, Winddruck, Gasdruck, Zahnkräfte, Riemenkräfte, Zerspanungswiderstände, Reibungswiderstände usw. Mit den Verfahren der Statik werden die Stützkräfte ermittelt, die den Körper im Gleichgewicht halten. Man sagt auch: Das angreifende Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht. Die Ermittlung der Stützkräfte, auch Auflagerkräfte genannt, ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden Kräfte bekannt, können die Abmessungen der Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre festgelegt werden: Die Ergebnisse der Statik sind die Grundlage der Festigkeitsrechnung. Bei allen folgenden Untersuchungen in der Statik werden die Körper als unverformbar angesehen (Statik der starren Körper). Festlager A Stützkraft F gesucht A l 1 l Belastung F 1 F bekannt l F G Eigengewichtskraft bekannt Loslager B Stützkraft F gesucht B Belastungskräfte und Stützkräfte Gegeben: F 1, F, F G, l, l 1, l Gesucht: F A, F B Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager werden auf Seite 15 erläutert. Beispiel: Erst wenn alle an einer Getriebewelle angreifenden Kräfte bekannt sind, können Wellenund Lagerdurchmesser bestimmt werden Physikalische Größen in der Statik Die wichtigsten Größen der Statik sind die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in Newton (N), Dekanewton (dan), Kilonewton (kn) oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben wird; das Kraftmoment M der Kraft F, das in Newtonmeter (Nm) oder Newtonmillimeter (Nmm) angegeben wird. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bauteils, dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes Kraftmoment als Biegemoment M b, ein tordierendes (verdrehendes) Kraftmoment als Torsionsmoment M T bezeichnet. Das Newton ist die gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) für die Kraft F: 1daN¼ 10 N; 1 kn ¼ 10 3 N ¼ 1000 N 1MN¼ 10 6 N ¼ N Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer Kraft F und einer Länge l. Daher ist die SI- Einheit des Kraftmoments das Newtonmeter (Nm): 1Nm ¼ 10 3 Nmm 1 knm ¼ 10 3 Nm 1 MNm ¼ 10 6 Nm

27 1.1 Grundlagen Die Kraft F Kräfte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Körper lässt sich nur dann genau angeben, wenn drei Bestimmungsstücke bekannt sind: der Betrag der Kraft, z. B. F ¼ 18 N, die Wirklinie WL und der Richtungssinn. Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch durch einen Pfeil dargestellt. Die Länge des Pfeils gibt über den festgelegten Kräftemaßstab M K den Betrag (die Größe) der Kraft an. Die Wirklinie zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer festgelegten Bezugsachse die Kraft wirkt (Richtungswinkel). Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungssinn. Eine Kraft, die auf einen Körper dieselbe Wirkung ausübt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wirkende Kräfte F 1 und F, nennt man die Resultierende F r dieser Kräfte: Größen, die erst durch ihren Betrag und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete Größen), heißen Vektoren, z. B. Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Größen, bei denen zur eindeutigen Bestimmung die Angabe ihres Betrags genügt, heißen Skalare (nicht gerichtete Größen), z. B. Wärme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leistung. Lage Betrag starre, ebene Scheibe, in ihrer Ebene verschiebbar Kraft F Richtungssinn Wirklinie der Kraft = Verschieberichtung Lageplan mit eingezeichneter Kraft F = 18 N N Kräftemaßstab M K = 1 mm (1mm=1N) ^ Die Resultierende F r ist eine gedachte Ersatzkraft für mehrere Einzelkräfte. Will man eine genaue Angabe über die Wirkung mehrerer Kräfte auf einen Körper machen, z. B. darüber, in welche Richtung er sich verschiebt, muss die Resultierende des Kräftesystems bekannt sein. Die Schubkraft F s mit dem Angriffspunkt A s bewegt den skizzierten Wagen mit der Geschwindigkeit v nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird durch die auf der selben Wirklinie WL liegende gleich große Zugkraft F z ¼ F s (Angriffspunkt A z ) erzielt: Kräfte sind linienflüchtige Vektoren. Für sie gilt der WL von F F F s A s F r v F 1 WL von F 1 WL der Resultierenden = Verschieberichtung F z = Fs A z WL Längsverschiebungssatz Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den starren Körper ändert. Die Kraft F s (Schubkraft) ¼ F z (Zugkraft) kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL von A s nach A z verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Körper ändert (Längsverschiebungssatz).

28 4 1 Statik in der Ebene Das Kraftmoment oder Drehmoment M Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem Wirkabstand l von einem beliebigen Bezugspunkt D heißt Kraftmoment M ¼ Fl. Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmoment sind statisch gleichwertig. Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand l ist der rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Abstand. Kraftmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das Vorzeichen angegeben. Drehsinn ( ) Bezugspunkt D l F WL von F Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den Punkt D: M ¼ Fl M ¼ Fl (þ) ¼ Linksdrehsinn ( ) ¼ Rechtsdrehsinn M F l Nm N m Das Kräftepaar Wirken zwei gleich große, gegensinnige Kräfte auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand l (? zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Kräfte ein Kräftepaar. Ist der Körper frei beweglich, so dreht ihn das Kräftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben (Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Drehstabfeder), denn die Resultierende des Kräftepaars ist gleich null. Die Drehwirkung eines Kräftepaares bezeichnet man als sein Drehmoment M. Wirklinien Drehsinn des Körpers Wirkabstand l Das Kräftepaar erzeugt ein Drehmoment M, die Resultierende ist F r ¼ 0. l F Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand ist der senkrecht zu den Wirklinien gemessene Abstand. Drehmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l M ¼ Fl M=Fl M F l Nm N m Kräftepaar am Fahrradlenker Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das Vorzeichen angegeben. (þ) ¼ Linksdrehsinn ( ) ¼ Rechtsdrehsinn

29 1.1 Grundlagen Ûbungen zur Berechnung von Drehmomenten 1. Ûbung: Für die Tretkurbelwelle eines Fahrrads sollen die Drehmomente M 1, M, M 3 in den drei skizzierten Stellungen berechnet werden. In allen Stellungen wirkt die Kraft F 1 rechtwinklig nach unten. In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, in Stellung 3 vertikal. Stellung liegt zwischen beiden Stellungen. Wie verändert sich das Drehmoment mit fortschreitender Kurbeldrehung? l = 0 3 F F 1 F = 150 N 1 F 1 Stellung 3 Stellung l = 80 mm l = 00 mm 1 Stellung 1 Lösung: Als Folge der Kraft F 1 an der Tretkurbel tritt im Tretkurbellager eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft F auf. Beide bilden ein Kräftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es ergibt sich als Produkt aus der Kraft F 1 und ihrem jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F. Die Drehmomente M 1 und M haben Rechtsdrehsinn. Sie erhalten daher das negative Vorzeichen. M 1 ¼ F 1 l 1 ¼ 150 N 0, m ¼ 30 Nm M ¼ F 1 l ¼ 150 N 0,08 m ¼ 1 Nm M 3 ¼ F 1 l 3 ¼ 150 N 0m¼ 0 Das Drehmoment fällt von seinem Maximalwert in der horizontalen Stellung bis auf null in der vertikalen Stellung der Tretkurbel.. Ûbung: Die Kraft F 1 wirkt jetzt unter dem Winkel a ¼ 45 auf die horizontal liegende Tretkurbel. Wie groß ist nun das Drehmoment M an der Tretkurbelwelle? l F = 45 l = 00 mm 1 F = 150 N 1 Lösung: Der Wirkabstand l zwischen den Wirklinien der Kräfte F 1 und F ist jetzt kleiner geworden als vorher in der Stellung 1. Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmoment M. Es erhält das negative Vorzeichen, weil es Rechtsdrehsinn besitzt. l ¼ l 1 sin a l ¼ 0, m sin 45 l ¼ 0,141 m M ¼ F 1 l ¼ 150 N 0,141 m M ¼ 1,15 Nm Aufgaben Nr. 1 8

30 6 1 Statik in der Ebene Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers Jeder frei bewegliche starre Körper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt oder dreht. Diese Bewegungen heißen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). Die Bewegungsmöglichkeiten, die ein Körper hat, nennt man seine Freiheitsgrade Freiheitsgrade im Raum y Ein Körper, der im Raum frei beweglich ist, kann sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines räumlichen Koordinatensystems verschieben (T (x), T (y), T (z) ). Er kann sich außerdem um jede der drei Achsen drehen (R (x), R (y), R (z) ). Daraus folgt: Ein im Raum frei beweglicher starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade. T (x) T (z) T (y) R (y) R (z) R (x) T (z) T (x) x Jede beliebige Bewegung im Raum lässt sich auf diese sechs Freiheitsgrade zurückführen. z T (y) T (x), T (y), T (z): Translation in Richtung der drei Achsen R (x), R (y), R (z): Rotation um die drei Achsen Freiheitsgrade in der Ebene y Ein Körper, der nur in einer Ebene frei beweglich ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koordinatensystems verschieben (T (x), T (z) ) und um die Achse y drehen (R (y) ). Daraus folgt: T (x) R (y) T (z) T (x) x Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Körper hat drei Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung in der Ebene lässt sich auf diese drei Freiheitsgrade zurückführen. z T (z) Gleichgewicht des Körpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzelkraft, die Ursache einer Drehung ist ein Kräftepaar. Daraus folgt: Beachte: Die Drehwirkung eines Kräftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet. Wird ein Körper verschoben, muss eine Kraft F wirken, wird er gedreht, muss ein Kraftmoment M wirken, wird er verschoben und gedreht, müssen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wirken. F F 1 S F Verschiebung Drehung

31 1.1 Grundlagen 7 Umgekehrt lässt sich auch schließen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Körper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden ist, wenn er sich nicht dreht. Körper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen sich auch durch Kräfte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkräfte und Gegenkraftmomente erzeugt. Keine Verschiebung: F ¼ 0 Keine Drehung: M ¼ 0 Beispiel: Fräsmaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, obwohl über das Werkstück Kräfte in den Schraubstock eingeleitet werden. Alle Kräfte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fällen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Kräfte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Kräfte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Körper so verhält, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment. Keine Verschiebung: SF ¼ 0 Keine Drehung: SM ¼ 0 S (Sigma) bedeutet: Summe aller..., d. h. die Summe aller Kräfte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null. Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Körpers in der Ebene bezogen ergibt: Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte in Richtung der x-achse gleich null ist, die Summe aller Kräfte in Richtung der y-achse gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die z-achse gleich null ist. SF x ¼ 0 SF y ¼ 0 SM ðzþ ¼ 0 M (z) Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet man unbekannte Kräfte und Kraftmomente. z F y y F x x Nach dem Trägheitsgesetz gilt das für alle Körper, deren Bewegungszustand sich nicht ändert. Demnach ist ein Körper in drei Fällen im Gleichgewicht: wenn er ruht (Geschwindigkeit v ¼ 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender Geschwindigkeit bewegt (v ¼ konstant) und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) umläuft (n ¼ konstant). Beachte: Ruhelage und gleichförmig geradlinige oder rotierende Bewegung sind gleichwertige Zustände, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. Die Ûberlegungen zum Trägheitsgesetz stammen von dem italienischen Physiker Galileo Galilei ( ).

32 8 1 Statik in der Ebene Der Parallelogrammsatz für Kräfte Der Parallelogrammsatz 1) ist die wichtigste statische Grundoperation für das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten Größen (Vektoren). Dazu gehören neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Kräfte F Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kräften (Kräftereduktion) Kräfte sind linienflüchtige Vektoren, d. h. zwei Kräfte F 1 und F können auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden F r zusammengesetzt werden. Man nennt dies eine geometrische (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kräftereduktion. Parallelogrammsatz Die Resultierende F r (Ersatzkraft) zweier in einem Punkt A angreifender Kräfte F 1 und F ist die Diagonale des Kräfteparallelogramms. Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen V, Flächen A usw. sind keine gerichteten Größen. Ihre Beträge können algebraisch addiert und subtrahiert werden. Kräfte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln. A F 1 Resultierende F r F Geometrische Addition der Kräfte F 1 und F zur Resultierenden F r Einfacher ist es, die Kräfte nach Betrag und Richtungssinn maßstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kräftedreieck (Krafteck, Kräftezug). SO A oder A F 1 F F r F r F 1 E E Im Krafteck ist die Resultierende F r die Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. SO F Kräftedreiecke als Ersatz für das Kräfteparallelogramm Der Betrag der Resultierenden F r zweier Kräfte F 1 und F, mit dem eingeschlossenen Winkel a, lässt sich mit dem Kosinussatzes berechnen. Für den Winkel b wird der Sinussatz angewandt. p F r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F 1 þ F þ F 1 F cos a b ¼ arcsin F 1 sin a F r 1) Böge, A.; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen; Vieweg þ Teubner 008

33 1.1 Grundlagen Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kräfte F 1 und F Das Kräfteparallelogramm lässt sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL zweier gesuchter Kräfte F 1, F zeichnen. Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL1 und WL der gesuchten Kräfte F 1, F parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maßstäblich aufgezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Kräfteparallelogramm. A F 1 Fcos WL von F 1 F F F cos Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten F 1, F E WL von F 1 Die Beträge der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Für F 1 gilt der Sinussatz; die Gleichung für F lässt sich aus dem gestrichelt gezeichneten Kräftezug ablesen. Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Lösungen möglich. F 1 ¼ F sin b sin a A F E F 3 F F 1 F 1 F ¼ F cos b F 1 cos a F F 1 F Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten F x und F y einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus. y F = F sin y F F x = F cos F y x Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kräfte F 1 und F Für die gegebene Kraft F sollen die beiden parallelen Kräfte F 1 und F ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Abständen l 1 und l die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F. Zum Verständnis für die Lösung dieser Aufgaben ist der später erläuterte Momentensatz erforderlich (1..5.1, Seite 38): Fl 1 ¼ F ðl 1 þ l Þ und Fl ¼ F 1 ðl 1 þ l Þ l 1 l F 1 F F Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen für die Beträge der Kräfte F 1 und F. l F 1 ¼ F l 1 þ l l 1 F ¼ F l 1 þ l

34 10 1 Statik in der Ebene Ûbungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte 1. Ûbung: Zwei Kräfte F 1 ¼ kn und F ¼ 3kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel a ¼ 10 zueinander. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden F r, b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F 1 und F r. Lösung: a) der Betrag der Resultierenden lässt sich zeichnerisch durch maßstäbliches Aufzeichnen des Kräfteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F 1 und F r wird mit dem Sinussatz berechnet: sin b sin ð180 aþ ¼ F F y F r A F 1 F 180 p F r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F 1 þ F þ F 1 F cos a qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r ¼ ð knþ þð3knþ þ kn3 kncos 10 F r ¼,646 kn ; sin ð180 aþ ¼sin a b ¼ arcsin F sin ð180 aþ ¼ 79,1 F r F r. Ûbung: Für das skizzierte Lager einer Getriebewelle wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen die Stützkraftkomponenten F Ax ¼ 5089 N und F Ay ¼ 471 N berechnet. Zur Bestimmung der Lagerabmessungen soll die Stützkraft (Lagerkraft) F A berechnet werden. Beachte: Die Stützkraftkomponenten können in den Lagermittelpunkt verschoben werden. Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten F Ax und F Ay (Längsverschiebungssatz von Seite 3), x z F Ax Lösung: y A y y F Ay F A x Lager Welle x z b) Betrag der Lagerkraft F A, F Ay c) Richtungswinkel a zwischen der positiven x-achse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft F A. A F Ax qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F A ¼ F Ax þ F Ay ¼ ð5089 þ 471 Þ N F A ¼ 5111 N Aufgaben Nr a ¼ arctan F Ay F Ax ¼ arctan 471 N 5089 N ¼ 5,9 x

35 1.1 Grundlagen Das Freimachen der Bauteile Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflächen- und Volumenkräfte F Ax F 1 F F Ay Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Kräfte zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die Stützkräfte (Lagerkräfte), die eine Getriebewelle oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. Die Lösungen solcher Aufgaben können nur dann richtig sein, wenn tatsächlich alle am Bauteil (Getriebewelle, Drehkran, Winkelhebel, Schraube usw.) angreifenden Kräfte in die Untersuchung einbezogen wurden. F B Beispiel: F 1, F bekannte Kräfte, F Ax, F Ay, F B gesuchte Stützkräfte Hinweis: Wird etwa die tatsächlich wirkende Stützkraftkomponente F Ax nicht in die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ¼ 0), dann wird die Lösung falsch. Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile mit Oberflächenkräften, die man sich im Mittelpunkt M der Berührungsfläche angreifend denkt, wie im Fall der beiden zusammengepressten Bauteile 1 und. Oberflächenkräfte heißen auch äußere Kräfte. Tatsächlich verteilt sich jede Oberflächenkraft mehr oder weniger gleichmäßig auf die Flächenteilchen der Berührungsfläche (siehe Abschnitt 5.5, Seite 88 Flächenpressung). Auf jede Berührungsfläche eines Körpers wirkt die von ihr ausgeübte Oberflächenkraft von dem anderen Körper zurück (Aktion ¼ Reaktion). Es ist also F 1, (Kraft F von 1 auf ) gleich F,1 (Kraft F von auf 1). A F 1 F 1 1 F,1 F 1, M Außer den Oberflächenkräften können noch Volumenkräfte wirken, die man sich im Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) M des homogenen Körpers angreifend denkt. Die wichtigste und immer wirkende Volumenkraft ist die Gewichtskraft F G. Eine andere Volumenkraft ist die durch Magnete erzeugte Kraft. Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkräften ist das Vorhandensein eines Feldes, z. B. des Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. Volumenkräfte heißen daher auch Feldkräfte. F G M Schwerefeld Hinweis: Ob die Gewichtskraft F G beim Freimachen berücksichtigt wird, hängt davon ab, ob ihre Wirkung im Verhältnis zu den Wirkungen der anderen Kräfte groß oder klein ist.

36 1 1 Statik in der Ebene Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden Kräfte richtig erfasst zu haben, geht jeder statischen Untersuchung das Freimachen voraus. Hinweis: Statt Freimachen wird auch die Bezeichnung Freischneiden verwendet, weil man das Bauteil mit einem gedachten Schnitt von den angrenzenden Bauteilen trennt. Freimachen heißt: Man nimmt die Nachbarbauteile, die das freizumachende Bauteil berühren, Stück für Stück weg und bringt dafür an den Berührungsstellen diejenigen Kräfte an, die von den weggenommenen Bauteilen auf das freigemachte Bauteil wirken. Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen geben die folgenden Beispiele. Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil schematisiert ohne die angrenzenden Teile aufzeichnen.. Die Angriffspunkte aller Kräfte und die Wirklinien dieser Kräfte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf den freigemachten Körper eintragen. Für die zeichnerische Lösung maßstäblich zeichnen (Lageplan), für die rechnerische Lösung genügt die Lageskizze Seile, Ketten, Riemen Seile und ähnliche flexible Bauteile können nur Zugkräfte in Seilrichtung ausüben oder aufnehmen. Zugkräfte wirken stets weg vom Angriffspunkt am freigemachten Bauteil. (Regel 1) Beispiel: Der Kranhaken soll freigemacht werden. Seilkraft F Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Körper ausüben kann. Es ist gleichgültig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft. Gewichtskraft F G freigemachter Kranhaken Man nimmt den angehängten Zylinder weg und ersetzt ihn im Berührungspunkt durch die Gewichtskraft F G. Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F ¼ F G.

37 1.1 Grundlagen Zweigelenkstäbe Zweigelenkstäbe können Zug- oder Druckkräfte aufnehmen, deren Wirklinie die Verbindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen. (Regel ) Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; er kann gerade oder gekrümmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenkstäbe dürfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen verbunden sein und keine Kräfte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Kräfte können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss. Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstütze) stützt eine Plattform ab. Zweigelenkstab Plattform Druck Zug Wirklinie Zug Druck freigemachter Stab Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkräfte auf. Er könnte aber auch Zugkräfte aufnehmen, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst Berührungsflächen (ebene Stützflächen) Berührungsflächen können Normalkräfte und Tangentialkräfte aufnehmen. Normalkräfte wirken stets hin auf die Berührungsfläche am freigemachten Bauteil. (Regel 3) Berühren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft F N. Ihre Wirklinie steht immer rechtwinklig auf der Berührungsfläche. Die Tangentialkraft F T wird durch Reibung (Reibkraft F R ) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. Ihre Wirklinie liegt immer in der Berührungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft F N. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fällen erkennen, wenn alle übrigen Kräfte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft F T ¼ Reibkraft F R wirkt der Bewegung entgegen, die durch die übrigen Kräfte verursacht wird oder verursacht werden könnte. Beispiel 1: Ein prismatischer Körper liegt auf einer waagerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe. F N F G freigemachter Körper Gewichtskraft F G und Normalkraft F N haben gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Beispiel : Der gleiche Körper liegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe. F = F T R F G F N freigemachter Körper Gewichtskraft F G und Normalkraft F N allein können nicht im Gleichgewicht sein. Der Körper würde abwärts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft F T ¼ Reibkraft F R daran hindern würde.

38 14 1 Statik in der Ebene Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Berührungsfläche gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft F T ¼ Reibkraft F R. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibkraft F R entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fällen ist das langsamere Bauteil eine ruhende Unterlage. Beispiel 3: Der Körper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben. F F T = FR v F N F F N F G F T = FR Kräfte vom Gleitkörper auf die Unterlage freigemachter Körper Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung. Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, so tritt auch bei waagerechter Berührungsfläche eine Reibkraft F R auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich. Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft F, hatten Gewichtskraft F G und Normalkraft F N eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 3 anders: F und F T ¼ F R bilden ein rechtsdrehendes Kräftepaar. Bei Gleichgewicht stellt sich dann das linksdrehende Kräftepaar aus F G und F N ein. Die Kraftmomente M beider Kräftepaare sind gleich groß und gegensinnig (SM ¼ 0) Rollkörper (gewölbte Stützflächen) Rollkörper können Radialkräfte und Tangentialkräfte aufnehmen. Die Radialkräfte wirken immer auf den Berührungspunkt am freigemachten Körper. (Regel 4) Beispiel: Eine Rolle ruht auf einer waagerechten Ebene und stützt eine waagerecht liegende Platte ab. A F ra Zwischen Rollkörper und Unterlage wirkt eine Radialkraft F r. Ihre Wirklinie verläuft durch den Berührungspunkt und den Rollkörpermittelpunkt. B F rb freigemachte Rolle Die Bezeichnungen Radialkraft und Normalkraft sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf der Berührungstangente. Eine Tangentialkraft F T tritt am ruhenden Rollkörper nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Berührungsflächen (siehe Regel 3, Seite 13). Ihre Wirklinie ist die Tangente an den Rollkörper im Berührungspunkt und steht darum immer rechtwinklig zur Wirklinie der Radialkraft. Die Berührungspunkte A und B liegen rechtwinklig übereinander. Die Radialkräfte F ra und F rb haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft.

39 1.1 Grundlagen Einwertige Lager (Loslager) Einwertige Lager (Loslager) können nur eine rechtwinklig zur Stützfläche wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt (eine Unbekannte). (Regel 5) F N F F N freigemachtes Gleitlager Einwertige Lager werden für Träger auf zwei Stützen verwendet, um die Wärmeausdehnung in Längsrichtung nicht zu behindern, z. B. an Brückenträgern und Wellen. Bei zweifach gelagerten Trägern muss ein Lager ein Loslager sein. F N F freigemachtes Kugellager Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) können eine beliebig gerichtete Kraft aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten F x und F y. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, Betrag unbekannt (zwei Unbekannte). (Regel 6) Beispiel 1: Träger auf zwei Stützen F B B Belastung F F A F x F y Träger auf zwei Stützen, Wellen und Achsen erhalten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzulässige Längsverschiebung zu verhindern. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe: Verschiebt man die Stützfläche des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiwertigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit. freigemachter Träger Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft F B rechtwinklig zur Stützfläche. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe). Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft F A ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten F x und F y und legt den Richtungssinn für die spätere Rechnung nach Augenschein fest. Der zunächst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten F x und F y wird bei der späteren Berechnung durch ein positives Vorzeichen bestätigt. Ein negatives Vorzeichen für F x oder F y zeigt den entgegengesetzten Richtungssinn an.

40 16 1 Statik in der Ebene Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebeebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Kräfte aus jeder beliebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits auf Seite 15 ( ) erläutert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn unter Berücksichtigung der übrigen Kräfte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen. Beispiel : Tür mit Halslager A und Spurlager B A B F A Schwerpunkt S F Bx S F G F By Lageskizze der freigemachten Tür Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist einwertig. Den Stützhaken bei A wegnehmen: Die Tür dreht nach rechts. Folglich muss F A nach links wirken. Den Stützhaken bei B wegnehmen: Die Tür dreht nach links. F Bx wirkt also nach rechts. Wellen sollen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkräfte über Wälz- oder Gleitlager auf das Gehäuse übertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet. Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten F x und F y. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte Komponente F x wird allein vom Festlager B aufgenommen (F x ¼ F Bx ), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Gehäuse verschiebbar. Es kann nur Normalkräfte aufnehmen, hier die Lagerkraft F A. Die Stützkräfte F A, F Bx und F By werden später mit Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ¼ 0 (siehe Abschnitt , Seite 44) berechnet. Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager B A F A A F y F y Zahnkraftkomponenten F x F x Lageskizze der freigemachten Welle B F By B F Bx Beachte: Außer F x und F y wirkt noch die Umfangskraft F z in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 370).

41 1.1 Grundlagen Dreiwertige Lager Dreiwertige Lager können eine beliebig gerichtete Kraft und ein Kraftmoment aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten, das Kraftmoment durch den Momentendrehpfeil. Wirkungsanalyse: Wirklinie und Betrag der Lagerkraft unbekannt, Betrag des Kraftmoments (Einspannmoment) unbekannt (drei Unbekannte). (Regel 7) Beispiel: Eingespannter Freiträger M=F l y F Ax = Fx A Mauerwerk Einspannmoment F Ay = Fy l l F y F x F F Lageskizze des Freiträgers Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung für die richtige zeichnerische und rechnerische Lösung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan: Arbeitsplan zum Freimachen: Lageskizze des freizumachenden Bauteils zeichnen. Kraftangriffspunkte (Berührungspunkte mit den Nachbarbauteilen) festlegen. Wirklinien aller Kräfte nach den Regeln 1 bis 7 für das Freimachen einzeichnen. Richtungssinn für alle Kraftpfeile nach den Regeln 1 bis 7 festlegen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

42 18 1 Statik in der Ebene Ûbungen zum Freimachen 1. Ûbung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest gestützt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft F G belastet. Die Leiter soll nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die häufig Schwierigkeiten macht. B F G A Aufgabenskizze Lösung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte A und B markiert. Das sind die Berührungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. Außerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft F G eingezeichnet. B F G A Lageskizze der Leiter mit Lagerpunkten und gegebener Kraft Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stützkräfte F A und F B einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig. Beachte: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stützkraft bekannt. Diese ist eine Normalkraft. Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Kräfte übertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft übertragen, wenn die Reibung nicht berücksichtigt wird. A Bewegungsprobe: keine Lageveränderung bei Parallelverschiebung des einwertigen Lagers. Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstück um B ergibt Lageveränderungen der Leiter in jeder Richtung. Das Lager ist zweiwertig und überträgt eine beliebig gerichtete Stützkraft mit x- und y-komponenten. B Lageveränderung bei beliebiger Verschiebung des zweiwertigen Lagers. Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollständige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stützkraft F B an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es können nur ihre x- und y-komponenten eingetragen werden. Das ist für die zeichnerische oder rechnerische Lösung solcher Aufgaben ausreichend.? F Bx B F G A F A Lageskizze der F B F By freigemachten Leiter?

43 1.1 Grundlagen 19. Ûbung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil trägt er ein Werkstück, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft F G belastet. Der Schwenkarm des Kranes soll nach dem Arbeitsplan von Seite 17 freigemacht werden. A B Last F G Aufgabenskizze Lösung: Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zunächst wieder ohne Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. F A A 1. Schritt F G In diesem Fall ist die von dem Werkstück hervorgerufene Gewichtskraft F G bereits mit Angriffspunkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird. F Bx B F By Lageskizze des freigemachten Schwenkarms Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Festlager). Die Kraftangriffspunkte A und B einzeichnen.. Schritt Die Bewegungsprobe für beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht. 3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft F A liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerfläche vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten der Spurlagerkraft F B werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet. Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkräfte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft F A verhindert dies. Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fällt außerdem nach unten. Beides müssen die Lagerkraftkomponenten F Bx und F By verhindern. 4. Schritt Auf der Wirklinie der Halslagerkraft F A einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen nach rechts gehindert werden kann. Auf der horizontalen Wirklinie von F Bx einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von F By einen nach oben gerichteten Kraftpfeil einzeichnen.

44 0 1 Statik in der Ebene 3. Ûbung: Der aufwärts fahrende Wagen eines Schrägaufzugs soll freigemacht werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst müsste es z. B. heißen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen. S A B Zugseil Aufgabenskizze Lösung: Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schräg stehenden Betriebslage, und zwar zunächst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. Gewichtskraft F G S F T F 1. Schritt F r F T F r Lageskizze des freigemachten Wagens Hier muss die Gewichtskraft F G berücksichtigt werden, sonst könnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Kräfte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingehängt, die Räder berühren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens.. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Räder als Kraftangriffspunkte kennzeichnen. Die Gewichtskraft F G wirkt immer auf der Lotrechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, denn dort ist ein Seil weggenommen. Die Räder werden nach Regel 4 (Seite 14) für Rollkörper freigemacht. Da der Wagen rollt, wirken an beiden Rädern Radial- und Tangentialkräfte. 3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirklinie der Gewichtskraft F G zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkräfte verlaufen durch die Berührungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkräfte rechtwinklig dazu. Die Gewichtskraft F G wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkräfte F r sind auf die Räder zu gerichtet. Die Tangentialkräfte F T versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn. 4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: F G nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, F r nach links oben und F T der Bewegung des Wagens entgegen nach links unten. Aufgaben Nr. 9 8

45 1. Die Grundaufgaben der Statik 1 1. Die Grundaufgaben der Statik 1..1 Zentrales und allgemeines Kräftesystem Unter einem Kräftesystem versteht man beliebig viele Kräfte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. Ein zentrales Kräftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kräftesystems. Nach dem Längsverschiebungssatz können alle Kräfte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt verschoben werden. Ein zentrales Kräftesystem kann einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen. Ein allgemeines Kräftesystem besteht aus Kräften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander haben. Allgemeine Kräftesysteme können genauso wie zentrale Kräftesysteme einen Körper verschieben. Sie können ihn aber außerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen. F A F 3 F A A 3 F 3 F 1 F 4 Zentrales Kräftesystem F 1 A 1 A4 A 5 F 5 F 4 Allgemeines Kräftesystem 1.. Die zwei Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem sind alle Kräfte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. Um eine Aussage über die Wirkung des Kräftesystems auf ein Bauteil machen zu können (z. B. Verschiebung), müssen die resultierende Kraft F r und das resultierende Kraftmoment M r ermittelt werden.. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Kräfte bekannt. Um eine Festigkeitsrechnung an einem Bauteil ausführen zu können, müssen die noch unbekannten Kräfte ermittelt werden. F 1 F F r? F 3 F r? F r? F r? F? Ax F 1 F? Ay bekannt: F 1, F, F 3 gesucht: F r, M r F F 3 F? B bekannt: F 1, F, F 3 gesucht: F Ax, F Ay, F B

46 1 Statik in der Ebene 1..3 Die zwei Lösungsmethoden Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei Weise lösbar: rechnerisch und zeichnerisch. Die rechnerische Lösung erfordert a) eine unmaßstäbliche Lageskizze, die alle Kräfte als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen Längenmaße und Winkel insbesondere die zwischen den Wirklinien der Kräfte und einer Bezugsachse enthalten muss, und b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems, das aus der Lageskizze entwickelt wird. Die zeichnerische Lösung erfordert a) einen maßstäblich aufgezeichneten Lageplan, der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) mit allen, ebenfalls maßstäblich eingezeichneten Wirklinien darstellt, und b) einen Kräfteplan, der alle Kräfte maßstabs- und richtungsgerecht enthält. Hinweis: Bei der rechnerischen Lösung kann man analytisch vorgehen (analytische Methode) oder Kraftecke trigonometrisch auswerten. Zur analytischen Lösung legt man die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und arbeitet mit ihren Komponenten (x- und y-komponenten). Meist wird das Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ¼ 0für ebene Kräftesysteme entwickelt. Hinweis: Lageplan und Kräfteplan werden stets auf einem Blatt aufgezeichnet. Längen- und Kräftemaßstab werden so gewählt, dass die Pläne nicht zu klein werden. Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und daraus wird der Kräfteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan entwickelt. Zeichnen Sie immer zwei getrennte Pläne Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kräftesystem Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) Ûbung: Ein zentrales Kräftesystem besteht aus den Kräften F 1 ¼ 15 N, F ¼ 40 N und F 3 ¼ 30 N. Die zugehörigen Richtungswinkel sind a 1 ¼ 30, a ¼ 135 und a 3 ¼ 80. Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden F r und ihr Richtungswinkel a r nach der analytischen Methode, d. h. durch Kräftezerlegung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier Quadranten I, II, III und IV. II F = 40 N 3 +y x F x A F3x III F 3y y F y F 1y F = 30 N 3 I F = 15 N 1 1 F 1x +x Richtungswinkel: IV 1 = 30 = = 80 Vorüberlegung: Der rechnerischen Lösung dieser Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten in Richtung der Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. Als Bezugswinkel für die Wirklinie der Kräfte wird immer der Winkel a verwendet, den die Kraft Aufgabenskizze y F Ay A F A F Ax x

47 1. Die Grundaufgaben der Statik 3 mit der positiven x-achse einschließt, und zwar im positiven Linksdrehsinn von 0 bis þ360 (Richtungswinkel). Man erhält dann Berechnungsgleichungen, die immer wieder in derselben Form gebraucht werden können. Den Richtungssinn der Kraftkomponenten F x und F y zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im Ergebnis an. Das negative Vorzeichen für eine x-komponente zeigt den Richtungssinn nach links, für eine y-komponente nach unten an. Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel a geneigten Kraft sind: F x ¼ F cos a F y ¼ F sin a Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schließt die Kraft F ¼ 40 N mit der positiven x-achse den Richtungswinkel a ¼ 135 ein. Dazu liefert der Rechner: F x ¼ F cos a ¼ 40 N cos 135 ¼ 8,8 N F y ¼ F sin a ¼ 40 N sin 135 ¼þ8,8 N Die Kraftkomponente F x wirkt nach links, F y wirkt nach oben. Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten werden in der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe n steht für den Index 1,, 3,... der Kräfte F und ihrer Richtungswinkel a. Die x-komponenten F nx sind die Produkte aus den Kraftbeträgen F n und dem Kosinus der Richtungswinkel a n. Bei den y-komponenten tritt an die Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. F nx ¼ F n cos a n Berechnung der x-komponenten F ny ¼ F n sin a n Berechnung der y-komponenten Die Summe der x-komponenten der Einzelkräfte ist die x-komponente F rx der gesuchten Resultierenden (F rx ¼ SF nx ). Gleiches gilt für die y-komponente F ry der Resultierenden (F ry ¼ SF ny ). F rx ¼ SF nx F rx ¼ F 1 cos a 1 þf cos a þ...þf n cos a n x-komponente der Resultierenden F r Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum Beispiel a ¼ 135, braucht man sich nicht um den Richtungssinn der Komponenten zu kümmern. Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei der Addition mit. F ry ¼ SF ny F ry ¼ F 1 sin a 1 þf sin a þ...þf n sin a n y-komponente der Resultierenden F r Weil die beiden Komponenten F rx und F ry rechtwinklig aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag F r der Resultierenden berechnet werden, denn F r ist die Diagonale des rechtwinkligen Kraftecks aus F rx, F ry und F r. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r ¼ F rx þ F ry Betrag der Resultierenden F r

48 4 1 Statik in der Ebene Der Richtungswinkel a r der Resultierenden kann nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man braucht erst den spitzen Winkel b r, den die Wirklinie der Resultierenden F r mit der x-achse einschließt. Es ist gleichgültig, in welchem Quadranten die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel b r kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion ermittelt werden, denn die beiden Katheten F rx und F ry sind jetzt bekannt. Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf nur mit den Beträgen gerechnet werden. Je nach Lage der Resultierenden F r im rechtwinkligen Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Richtungswinkels a r. F r liegt im I. Quadranten: In diesem Fall ist der Richtungswinkel a r gleich dem spitzen Winkel b r zwischen der positiven x-achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F r liegt nur dann im I. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: F rx! positives Vorzeichen ðf rx 0Þ F ry! positives Vorzeichen ðf ry 0Þ F r liegt im II. Quadranten: Der spitze Winkel b r liegt zwischen der negativen x-achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F r liegt nur dann im II. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: F rx! negatives Vorzeichen ðf rx < 0Þ F ry! positives Vorzeichen ðf ry 0Þ II +y F ry (+) F ry x +x F rx ( ) r tan b r ¼ jf ryj jf rx j y 0 b r ¼ arctan jf ryj jf rx j I a r ¼ b r r F r x a r ¼ arctan jf ryj jf rx j F r r II y x 0 a r ¼ 180 b r r a r ¼ 180 arctan jf ryj jf rx j Hinweis: Die Größen F ry und F rx stehen in sogenannten Betragsstrichen, d. h. es sind nur die Beträge (ohne Vorzeichen) einzusetzen. F r liegt im III. Quadranten: Der spitze Winkel b r liegt zwischen der negativen x-achse und der wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F r liegt nur dann im III. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: F rx! negatives Vorzeichen ðf rx < 0Þ F ry! negatives Vorzeichen ðf ry < 0Þ x F r r r III y 0 a r ¼ 180 þ b r a r ¼ 180 þ arctan jf ryj jf rx j

49 1. Die Grundaufgaben der Statik 5 F r liegt im IV. Quadranten: Der spitze Winkel b r liegt zwischen der positiven x-achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F r liegt nur dann im IV. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: r y 0 r IV F r x F rx! positives Vorzeichen F ry! negatives Vorzeichen ðf rx 0Þ ðf ry < 0Þ a r ¼ 360 b r a r ¼ 360 arctan jf ryj jf rx j Lösung: Zu berechnen ist die Resultierende F r des gegebenen Kräftesystems. Zuerst werden die gegebenen Beträge der Kräfte F 1, F und F 3 und ihre Richtungswinkel a 1, a und a 3 aufgeschrieben. Gegeben: F 1 ¼ 15 N a 1 ¼ 30 F ¼ 40 N a ¼ 135 F 3 ¼ 30 N a 3 ¼ 80 Zur Berechnung der Komponenten F rx und F ry der Resultierenden F r werden die Produktsummen gebildet. Die gegebenen und berechneten Größen können auch in eine Tabelle eingetragen werden. Durch Addition der Spalten für F nx und F ny erhält man die beiden Komponenten F rx und F ry der Resultierenden F r. F rx ¼ð15 cos 30 þ 40 cos 135 þ þ 30 cos 80 Þ N F rx ¼ 10,08 N F ry ¼ð15 sin 30 þ 40 sin 135 þ þ 30 sin 80 Þ N F ry ¼þ6,4 N n F n a n F nx ¼ F n cos a n F ny ¼ F n sin a n 1 15N 30 þ1,99 N þ 7,50 N 40 N 135 8,8 N þ8,8 N 3 30 N 80 þ 5,1 N 9,54 N F rx ¼ 10,08 N F ry ¼þ 6,4 N Der Betrag der Resultierenden wird mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. F r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F rx þ F ry ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 10,08 NÞ þð6,4 NÞ F r ¼ 11,855 N

50 6 1 Statik in der Ebene Die x-komponente F rx der Resultierenden hat das negative Vorzeichen, die y-komponente F ry hat das positive Vorzeichen. Die Resultierende F r liegt also im II. Quadranten. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels a r der Resultierenden fest. a r ¼ 180 arctan jf ryj jf rx j a r ¼ 180 arctan 6,4 N 10,08 N a r ¼ ,76 a r ¼ 148,4 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageskizze mit allen gegebenen Kräften unmaßstäblich in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Gegebene Kraftbeträge F 1 ; F ; F 3...und Richtungswinkel a 1 ; a ; a 3...aufschreiben. Richtungswinkel von der positiven x-achse von 0 bis 360 im Linksdrehsinn festlegen. Mit den Kraftbeträgen und Richtungswinkeln die Komponenten F rx und F ry der Resultierenden F r berechnen. Betrag der Resultierenden F r aus den Komponenten F rx und F ry berechnen (Pythagoras). Aus den Vorzeichen für die Komponenten F rx und F ry den Quadranten für die Resultierende F r feststellen. Richtungswinkel a r der Resultierenden F r berechnen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) Ûbung: Das gleiche zentrale Kräftesystem wie in der vorhergehenden Aufgabe soll nun zeichnerisch reduziert werden. Zur Ermittlung der Resultierenden F r und ihres Richtungswinkels a r muss maßstäblich in einem Lageplan und in einem Kräfteplan gearbeitet werden. Die Aufgabenskizze zeigt die gegebenen Kräfte, nachdem sie auf ihren Wirklinien in den gemeinsamen Zentralpunkt A verschoben wurden. x II III F = 40 N 3 y y A F = 15 N 1 1 Richtungswinkel: 1 = 30 = = 80 F 3 = 30 N IV I x Aufgabenskizze

51 1. Die Grundaufgaben der Statik 7 Lösung: Zuerst wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage dafür ist ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kräftesystems ist. Durch diesen Zentralpunkt werden mit den gegebenen Richtungswinkeln a 1 ¼ 30, a ¼ 135 und a 3 ¼ 80 die Wirklinien aller gegebenen Kräfte gelegt. Je genauer im Lageplan die Winkel angetragen sind, desto genauer wird das Ergebnis. WL von F y F r x x F 4 3A y WL von F 3 r = 148 WL von F 1 1 Lageplan Für den Kräfteplan wird ein Anfangspunkt A festgelegt und durch ihn eine Parallele zu einer der drei Kräfte (hier F 3 ) gezeichnet. Der Kräfteplan wird weiterentwickelt, indem in gleicher Weise durch Parallelverschiebung die übrigen Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht und richtungsgemäß sich so aneinander reihen, dass sich ein fortlaufender, offener Kräftezug mit dem Endpunkt E ergibt. F F 1 E F r A F 3 Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 10 N cm ð1 cm¼b 10 NÞ Die Resultierende F r ist die Verbindungslinie zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des Kräftezugs. Ihr Richtungssinn weist vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Aus der Länge der Verbindungslinie von A nach E kann mit Hilfe des festgelegten Kräftemaßstabs der Betrag der Resultierenden berechnet werden. Die Resultierende wird nun aus dem Kräfteplan parallel in den Zentralpunkt A des Lageplans verschoben und der Richtungswinkel a r abgelesen. Jetzt steht fest, wie sich der Körper unter der Einwirkung der gegebenen Kräfte verhält, d. h. ob und in welcher Richtung er sich verschiebt. Zugleich erkennt man, welche zusätzliche Kraft (hier F 4 ) im Zentralpunkt A wirken müsste, wenn Gleichgewicht hergestellt werden soll. Aufgaben Nr Gemessen wird für F r : L r ¼ 1, cm Damit wird F r ¼ L r M K ¼ 1, cm 10 N cm F r ¼ 1 N. Im Lageplan wird der Richtungswinkel gemessen: a r ¼ 148. Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 1 N unter einem Winkel von 148 zur positiven x-achse nach links oben. Unter der Wirkung der Kräfte F 1, F und F 3 verschiebt sich der Körper unter 148 zur positiven x-achse so nach links oben, als ob eine Kraft von 1 N allein auf ihn einwirken würde. Um den Körper im Gleichgewicht zu halten, müsste man auf der Wirklinie von F r mit 1 N nach rechts unten ziehen (im Lageplan gestrichelt eingezeichnete Gleichgewichtskraft F 4 ).

52 8 1 Statik in der Ebene Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden: Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräftemaßstab M K in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinander reihen. Anfangs- und Endpunkt des Kräftezuges verbinden, Richtungssinn eintragen. Resultierende F r in den Zentralpunkt des Lageplans übertragen. Ergebnisse abmessen (Betrag und Richtungswinkel). 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Ûbung: Dasselbe Kräftesystem wie in der ersten und zweiten Grundaufgabe mit den bekannten Kräften F 1, F und F 3 soll jetzt durch zwei Kräfte (F 4 und F 5 ) ins Gleichgewicht gesetzt werden. Die Kräfte F 4 und F 5 sind nach der analytischen Methode zu ermitteln. Lösung: Man zeichnet eine unmaßstäbliche Lageskizze mit allen Kräften. Für die Kräfte F 4 und F 5 ist nur die Lage ihrer Wirklinien im rechtwinkligen Achsenkreuz (a 4 ¼ 15, a 5 ¼ 60 ) bekannt. Für den Richtungssinn der beiden Kräfte F 4 und F 5 wird folgende Richtungsannahme festgelegt (Richtungsregel): Der Richtungssinn einer gesuchten Kraft wird beliebig festgelegt. x F = 40 N 3 y y Aufgabenskizze F 3 F 5y F 4y y A WL von F 5 5 F = 30 N 3 F 5 F = 15 N 1 1 WL von F x Richtungswinkel: 1 = 30 = = 80 4 = 15 5 = 60 F 1 1 F 4 4 x A F 5x F 4x x Ob die Richtungsannahme richtig oder falsch war, stellt sich bei der späteren Rechnung heraus: Haben die gesuchten Kräfte ein positives Vorzeichen, war die Richtungsannahme richtig. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Richtungsannahme falsch war. Diese Kraft wirkt in Wirklichkeit in entgegengesetzter Richtung. y F 3 F nx = Fn cos n F ny = Fn sin n Lageskizze zur rechnerischen Lösung (angenommener Richtungssinn für F 4 und F 5 im I. Quadrant)

53 1. Die Grundaufgaben der Statik 9 Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen sind: Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte in x-richtung und die Summe aller Kräfte in y-richtung gleich null ist. Setzt man die Summe aller Kräfte oder Kraftkomponenten in beiden Richtungen des rechtwinkligen Koordinatensystems gleich null, erhält man ein Gleichungssystem (I und II), das nach den beiden Unbekannten F 4 und F 5 aufgelöst werden kann. Der Betrag für F 5 hat ein negatives Vorzeichen, das heißt, der angenommene Richtungssinn war falsch. Der errechnete Betrag ist richtig, nur wirkt die Kraft im entgegengesetzten Sinn als angenommen. (Pfeilrichtung im Lageplan umkehren) Hat die zuerst errechnete Kraft ein Minus-Vorzeichen (hier F 5 ), muss es in der weiteren Rechnung mitgeführt werden. Um Gleichgewicht zu erreichen, muss auf den vorgegebenen Wirklinien die Kraft F 4 mit 16,76 N nach rechts oben, die Kraft F 5 mit 1,1 N nach links unten wirken. I. SF x ¼ 0 ¼ SF nx þ F 4 cos a 4 þ F 5 cos a 5 II. SF y ¼ 0 ¼ SF ny þ F 4 sin a 4 þ F 5 sin a 5 Beide Gleichungen nach F 4 aufgelöst und gleichgesetzt ergibt eine Gleichung für F 5 : I. F 4 ¼ SF nx F 5 cos a 5 cos a 4 II. F 4 ¼ SF ny F 5 sin a 5 sin a 4 SF nx sin a 4 F 5 cos a 5 sin a 4 ¼ ¼ SF ny cos a 4 F 5 sin a 5 cos a 4 F 5 ðcos a 5 sin a 4 sin a 5 cos a 4 Þ¼ ¼ SF ny cos a 4 SF nx sin a 4 F 5 ¼ SF ny cos a 4 SF nx sin a 4 cos a 5 sin a 4 sin a 5 cos a 4 (SF ny ¼ 6,4 N von Seite 5) F 5 ¼ 6,4 N cos 15 ð 10,08 NÞsin 15 cos 60 sin 15 sin 60 cos 15 F 5 ¼ 1,1 N Mit F 5 kann nun F 4 nach Gleichung I bestimmt werden (Minus-Vorzeichen mitnehmen): F 4 ¼ SF nx F 5 cos a 5 cos a 4 (SF nx ¼ 10,08 N von Seite 5) ð 10,08 NÞ ð 1,1 NÞcos 60 F 4 ¼ cos 15 F 4 ¼ 16,76 N Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: Lageskizze mit allen gegebenen und gesuchten Kräften zeichnen, dabei den Richtungssinn der gesuchten Kräfte nach der Richtungsregel annehmen. Gleichgewichtsbedingungen ansetzen (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0). Gleichungssystem auflösen und unbekannte Kräfte berechnen. Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen Richtungssinn umkehren. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

54 30 1 Statik in der Ebene Lehrbeispiel: Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems Gegebene Kräfte und Winkel nach Tabelle. n F n a n F nx ¼ F n cos a n F ny ¼ F n sin a n 1 0N 0 þ18,794 N þ 6,840 N 40N 75 þ10,353 N þ38,637 N 3 50 N ,301 N þ5,0 N 4 80 N 70 80,0 N 5 45 N 90 þ15,391 N 4,86 N 6 35 N 350 þ34,468 N 6,078 N F rx ¼þ35,705 N F ry ¼ 57,886 N II +y I F F 3 r x F 1 +x F 6 III F4 F 5 IV F rx ¼ SF nx ¼ F 1x þ F x þ F 3x þ...þ F 6x ¼þ35,705 N F ry ¼ SF ny ¼ F 1y þ F y þ F 3y þ...þ F 6y ¼ 57,886 N y F r Lageskizze Nun kann F r berechnet werden: F r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F rx þ F ry ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðþ35,705 NÞ þð 57,886 NÞ ¼ 68,01 N F rx hat ein positives Vorzeichen, F ry ein negatives Vorzeichen. Damit liegt die Gleichung zur Berechnung des Richtungswinkels a r fest: a r ¼ 360 arctan jf ry j jf rx j ¼ 360 arctan 57,866 N 35,705 N ¼ 301,7

55 1. Die Grundaufgaben der Statik 31 Lehrbeispiel: Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems +y F F x +x F 6 F F 1 Gegebene Kräfte und Winkel wie im vorhergehenden Lehrbeispiel: Kräfte Richtungs- spitzer Winkel winkel a zur x-achse F 1 ¼ 0 N a 1 ¼ 0 b 1 ¼ 0 F ¼ 40 N a ¼ 75 b ¼ 75 F 3 ¼ 50 N a 3 ¼ 150 b 3 ¼ 30 F 4 ¼ 80 N a 4 ¼ 70 b 4 ¼ 90 F 5 ¼ 45 N a 5 ¼ 90 b 5 ¼ 70 F 6 ¼ 35 N a 6 ¼ 350 b 6 ¼ 10 F 4 y Lösung: Die Wirklinien der Kräfte F 1...F 6 werden unter den gegebenen Winkeln in den Lageplan eingezeichnet. Anschließend werden im Kräfteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien die Kräfte F 1...F 6 in beliebiger Reihenfolge maßstabsgerecht aneinander gereiht. Die Resultierende F r ist dann der Pfeil vom Anfangspunkt A der ersten Kraft zum Endpunkt E der letzten Kraft. Lageplan +y Kräfteplan F 3 F g WL Kräftemaßstab: WL 3 3 WL 1 x +x 4 5 r 6 1 WL 6 M K ¼ 5 N cm ð1 cm¼b 5 NÞ A F 4 F 1 r F WL 4 WL 5 F r Ergebnis: F r ¼,7 cm 5 N cm ¼ 67,5 N b r ¼ 58 y F 5 F r F 6 E Damit sind die Resultierende F r ¼ 67,5 N und b r ¼ 58 bestimmt und F r kann in den Lageplan übertragen werden. (Die Gleichgewichtskraft F g ist gleich F r, nur entgegengesetzt gerichtet.)

56 3 1 Statik in der Ebene Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung Ûbung: Dieselben Gleichgewichtskräfte F 4 und F 5 wie in der vorhergehenden Aufgabe (dritte Grundaufgabe) sollen nun zeichnerisch ermittelt werden (Betrag und Richtungssinn). Auch hier sind die Wirklinien bekannt: F 4 und F 5 schließen mit der positiven x-achse die Winkel a 4 ¼ 15 und a 5 ¼ 60 ein. x F = 40 N 3 y y Aufgabenskizze A WL von F 5 F = 15 N 1 1 F = 30 N 3 5 WL von F 4 4 x Richtungswinkel: 1 = 30 = = 80 4 = 15 5 = 60 Vorüberlegung: Ein Körper kann nur dann im Gleichgewicht sein, wenn die Resultierende aller an ihm wirkenden Kräfte gleich null ist. Das bedeutet, dass im Kräfteplan Anfangspunkt und Endpunkt des Kräftezuges zusammenfallen. Es ergibt sich ein geschlossener Kräftezug. Lösung: Wie in der zweiten Grundaufgabe wird ein Lageplan gezeichnet. Grundlage ist auch hier wieder ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Schnittpunkt der Zentralpunkt A des Kräftesystems ist. Durch diesen Punkt legt man die Wirklinien aller Kräfte, also auch die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskräfte F 4 und F 5. x WL von F 4 WL von F WL von F 5 y y A WL von F 3 F 5 WL von F 1 F 4 x Lageplan mit allen Wirklinien

57 1. Die Grundaufgaben der Statik 33 Für den Kräfteplan wird der Anfangspunkt A und der Kräftemaßstab festgelegt. Man legt eine Parallele zu einer der Wirklinien der bekannten Kräfte durch den Anfangspunkt A des Kräfteplans und zeichnet dort die entsprechende Kraft mit der maßstabsgerechten Länge ein (z. B. F 1 ). In gleicher Weise wird mit den übrigen bekannten Kräften verfahren, und man erhält wieder einen offenen Kräftezug von A nach E 0. Zur Wirklinie einer der beiden unbekannten Kräfte F 4 oder F 5 wird eine Parallele durch den Punkt E 0 des Kräfteplans gelegt, die dort den Kräftezug fortsetzen soll. Zur Wirklinie der anderen unbekannten Kraft wird eine Parallele durch den Anfangspunkt A des Kräftezugs gezeichnet. Die beiden zuletzt gezeichneten Linien schneiden sich in einem Punkt. Sie bilden dadurch gemeinsam mit den gegebenen Kräften ein geschlossenes Krafteck. F 5 F 3 F E F r Einbahnverkehr = Gleichgewicht! F 6 A=E F 4 F 1 Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 10 N cm ð1 cm¼b 10 NÞ Ist der Kräftezug F 1, F, F 3 (in beliebiger Reihenfolge) aufgezeichnet, kann er mit F 4 (dünne Linie nach rechts oben) oder F 5 (dicker Kraftpfeil nach links unten) fortgesetzt werden. Die letzte noch verbleibende Kraft muss dann in den Anfangspunkt A zurücklaufen (Kraftpfeil F 4 nach rechts oben oder dünne Linie nach links unten). Nur dann wird die Resultierende gleich null. Der Schnittpunkt der Parallelen zu den Wirklinien von F 4 und F 5 bestimmt im Kräfteplan die Länge der Kraftpfeile F 4 und F 5. Mit Hilfe des Kräftemaßstabs werden die Beträge der beiden Kräfte berechnet. Gemessen wird: F 4 ¼ 1,66 cm 10 N cm ¼ 16,6 N F 5 ¼ 1,5 cm 10 N cm ¼ 1,5 N Der Richtungssinn ergibt sich aus der Notwendigkeit, dass der fortlaufende Kräftezug in seinen Anfangspunkt zurückkehrt. Alle Kräfte müssen im Sinn eines Einbahnverkehrs aneinander gereiht werden. Ergebnis: Um die Kräfte F 1, F, F 3 im Gleichgewicht zu halten, müssen auf ihren vorgegebenen Wirklinien die Kraft F 4 mit 16,6 N nach der Einbahnverkehrs -Regel nach rechts oben und die Kraft F 5 mit 1,5 N nach links unten wirken. Die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung lautet also: Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn sich das Krafteck schließt. Hinweis: Diese Bedingung gilt auch für allgemeine Kräftesysteme, allerdings kommt dann noch eine weitere Bedingung hinzu: Neben dem Krafteck muss sich auch das Seileck schließen. Das Seileckverfahren wird auf Seite 41 beschrieben.

58 34 Nachüberlegung: Die in den Kräfteplan eingezeichnete Kraft F r ist die Resultierende der Kräfte F 1 :::3. Die Kraft F 6 ist diejenige Einzelkraft, mit der das Gleichgewicht hergestellt werden könnte. 1 Statik in der Ebene Hinweis: Eigentlich war nur die Aufgabe zu lösen, eine gegebene Kraft F 6 in zwei Komponenten mit gegebenen Wirklinien zu zerlegen. Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: Lageplan mit den Wirklinien aller Kräfte einschließlich der unbekannten winkelgetreu in ein rechtwinkliges Achsenkreuz einzeichnen. Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte maßstäblich aneinander reihen. Die Wirklinie der einen unbekannten Kraft aus dem Lageplan parallel in den Endpunkt des Kräftezugs im Kräfteplan verschieben, die der anderen unbekannten Kraft in den Anfangspunkt. Beträge der unbekannten Kräfte abmessen. Richtungssinn nach der Einbahnverkehrs -Regel festlegen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

59 1. Die Grundaufgaben der Statik Ûbung zur dritten und vierten Grundaufgabe In einer unsymmetrischen prismatischen Nut liegt eine Walze. Sie wird in ihrem höchsten Punkt mit einer vertikal wirkenden Kraft F 1 ¼ 800 N belastet. Die Stützkräfte an ihren Auflagepunkten sollen zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Die Gewichtskraft der Walze soll vernachlässigt werden. = 50 Walze F = 800 N 1 = 0 Aufgabenskizze a) Zeichnerische Lösung Um alle auf die Walze wirkende Kräfte zu erkennen, muss sie freigemacht werden. Nach der Regel 4 (Seite 14) wirken auf die Walze an den Auflagepunkten nur Radialkräfte. Im Lageplan der freigemachten Walze mit den drei Kräften F 1, F und F 3 ist zu erkennen, dass der Walzenmittelpunkt als gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirklinien der Zentralpunkt des Kräftesystems ist. F 3 WL WL 1 F 1 F WL 3 Lageplan 1. Schritt Aus den Kräften F 1, F und F 3 wird nun ein geschlossenes Krafteck gezeichnet und dazu im Kräfteplan die bekannte Kraft F 1 maßstäblich und mit dem richtigen Richtungssinn eingetragen. Durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Kräfte F und F 3 aus dem Lageplan in den Kräfteplan wird das geschlossene Krafteck konstruiert. Dabei ergibt sich entweder das dick oder das dünn ausgezogene Dreieck; beide sind richtig. Einbahnverkehr = Gleichgewicht! (WL ) F F 3 (WL 3) (WL 3) F 1 (WL ). Schritt 3. Schritt Aus der Länge der Kraftpfeile F und F 3 werden mit Hilfe des festgelegten Kräftemaßstabs die Beträge der beiden Kräfte berechnet. Der Richtungssinn der Kräfte F und F 3 ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden geschlossenen Kräftezugs ( Einbahnverkehrs -Regel). Kräfteplan mit geschlossenem Krafteck Kräftemaßstab: M K ¼ 400 N ð1cm¼b 400 NÞ cm Gemessen wird: 4. Schritt F ¼ 1,65 cm 400 N cm ¼ 660 N F 3 ¼ 0,7 cm 400 N cm ¼ 88 N Ergebnis: 5. Schritt Die Stützkraft am rechten Auflagepunkt wirkt mit 660 N nach links oben, die am linken mit 88 N nach rechts oben.

60 36 1 Statik in der Ebene b) Rechnerische Lösung nach der analytischen Methode Die Lageskizze der freigemachten Walze mit den angreifenden Kräften F 1, F und F 3 wird gezeichnet, die zugehörigen Richtungswinkel a 1, a und a 3 werden berechnet und in die Skizze eingetragen. 1 y F F Schritt x F = 800 N 1 Richtungswinkel: 1 = 70 = = 40 Nun werden die beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen für das zentrale Kräftesystem mit den Kräften aus der Lageskizze angesetzt.. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F 1 cos a 1 þ F cos a þ F 3 cos a 3 II. SF y ¼ 0 ¼ F 1 sin a 1 þ F sin a þ F 3 sin a 3 Der Ansatz ergibt ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten F und F 3, das nach den Regeln der Gleichungslehre gelöst wird, hier z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren. 3. Schritt F 3 ¼ F 1 cos a 1 F cos a cos a 3 ¼ F 1 sin a 1 F sin a sin a 3 F 1 cos a 1 sin a 3 F cos a sin a 3 ¼ F 1 sin a 1 cos a 3 F sin a cos a 3 F ðsin a cos a 3 cos a sin a 3 Þ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sin ða a 3 Þ ¼ F 1 ð cos a 1 sin a 3 sin a 1 cos a 3 Þ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sin ða 3 a 1 Þ F ¼ F 1 sin ða 3 a 1 Þ sin ða a 3 Þ ¼ 800 N sin ð40 70 Þ sin ð Þ ¼ 65,17 N F 3 ¼ F 1 cos a 1 F cos a cos a 3 ¼ 800 N cos 70 65,17 N cos 110 cos 40 ¼ 91,18 N Da beide Kräfte ein positives Ergebnis haben, war der angenommene Richtungssinn richtig. Die Kraft F wirkt nach links oben, die Kraft F 3 nach rechts oben. 4. Schritt

61 1. Die Grundaufgaben der Statik 37 c) Rechnerische Lösung nach der trigonometrischen Methode Ergeben sich bei der Lösung von Statikaufgaben Hinweis: Ûber die trigonometrische Auswertung von Kraft-Dreiecken beliebiger Form Kraftecke in Dreiecksform, kann deren trigonometrische Auswertung der einfachere Lösungsweg sprochen werden, wenn die erforderlichen tri- sollte eingehender im Fach Mathematik ge- sein. Bei rechtwinkligen Kraft-Dreiecken reichen gonometrischen Kenntnisse vorhanden sind. die Winkelfunktionen aus, bei schiefwinkligen Kraft-Dreiecken, wie in der vorliegenden Aufgabe, sind darüber hinaus der Sinussatz oder der Kosinussatz erforderlich. Wie bei jeder Lösung nach der trigonometrischen Methode wird auch hier zuerst eine unmaßstäbliche Krafteckskizze gezeichnet. In diese werden alle Winkel sowie die Kräfte als Seitenlängen des Dreiecks eingetragen. Der noch fehlende Winkel d ergibt sich hier aus der Bedingung, dass die Winkelsumme b þ g þ d ¼ 180 betragen muss: d ¼ 180 ðb þ gþ ¼110. F 1 F = 0 = 50 =180 ( + ) = 180 ( ) = = 110 F 3 Krafteckskizze Da alle drei Winkel und eine Seite des Dreiecks bekannt sind, können mit dem Sinussatz die beiden noch fehlenden Seitenlängen berechnet werden. Das sind hier die Kräfte F und F 3. F 3 sin g ¼ F sin b ¼ F 1 sin d Sinussatz mit den Bezeichnungen aus der Krafteckskizze Aus der Gleichung F 3 =sin g ¼ F 1 =sin d erhält man die noch unbekannte Kraft F 3. Auf dem gleichen Weg erhält man aus F =sin b ¼ F 1 =sin d die noch fehlende Kraft F. F 3 ¼ F 1 F ¼ F 1 sin g sin d ¼ 800 N sin 0 sin 110 ¼ 91,18 N sin b sin d ¼ 800 N sin 50 sin 110 ¼ 65,17 N Der Richtungssinn der Kräfte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks ( Einbahnverkehr ). Aufgaben Nr

62 38 1 Statik in der Ebene 1..5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fünfte Grundaufgabe), der Momentensatz Ûbung: Für das in der Lageskizze dargestellte Kräftesystem soll die Resultierende nach Betrag, Lage und Richtungssinn rechnerisch ermittelt werden. Die Wirklinien der Kräfte liegen parallel, weil dieser Fall die größere praktische Bedeutung hat und der Lösungsgang übersichtlicher wird. Vorüberlegung: Betrag und Richtungswinkel der Resultierenden werden auf dieselbe Weise berechnet wie in der ersten Grundaufgabe. Damit erhält man zugleich Klarheit über die Verschiebewirkung des Kräftesystems. Die Resultierende muss aber auch die gleiche Drehwirkung wie das Kräftesystem haben. Davon hängt ihre Lage ab. Diese Erkenntnis ist im Momentensatz festgelegt: F = 15 N 1 F rx ¼ SF nx F = 40 N qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r ¼ F rx þ F ry l = 0,5 m 1 l = 0,3 m l = 0, m 3 F = 10 N 3 F ry ¼ SF ny D F = 0 N 4 b r ¼ arctan jf ryj jf rx j I 0 Das Kraftmoment M r der Resultierenden, bezogen auf einen beliebigen Punkt D, ist gleich der Summe der Kraftmomente der Einzelkräfte in Bezug auf denselben Punkt. D F r M r ¼ M 1 þ M þ M 3 þ...þ M n F r l 0 ¼ F 1 l 1 þ F l þ F 3 l 3 þ...þ F n l n Momentensatz Beachte: Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einsetzen (links þ, rechts ) Lösung: In eine unmaßstäbliche Lageskizze werden alle gegebenen Kräfte und alle bekannten Abstandsmaße eingetragen. Für den Momentensatz wird der Momentenbezugspunkt D festgelegt und zwar zweckmäßig auf der Wirklinie einer gegebenen Kraft, weil deren Kraftmoment dann null wird und nicht in die Rechnung eingeht. Betrag und Richtungssinn der Resultierenden F r lassen sich dann nach der Lageskizze berechnen. Da hier alle Wirklinien parallel sind, braucht man nur die algebraische Summe aller Kräfte zu ermitteln. F 1 F F r l 1 l F 3 l 0 l 3 D F 4 F r ¼ SF y ¼ F 1 F þ F 3 F 4 F r ¼ 15 N 40 N þ 10 N 0 N F r ¼ 65 N Das Minuszeichen bedeutet hier: F r wirkt nach unten

63 1. Die Grundaufgaben der Statik 39 Erst dann wird die Resultierende mit dem ermittelten Richtungssinn in die Lageskizze eingetragen, und zwar auf einer Wirklinie, deren Lage man unter Berücksichtigung der gegebenen Kräfte nach Gefühl annimmt (hier zwischen den Wirklinien von F und F 3 ). Die tatsächliche Lage der Resultierenden wird mit dem Momentensatz bestimmt. Der Bezugspunkt D ist auf der Wirklinie der Kraft F 4 festgelegt. Dann wird das Kraftmoment der Kraft F 4 gleich null, weil ihr Wirkabstand l 4 gleich null ist. Beachte: Die Festlegung der WL von F r ist willkürlich; sie hätte hier auch rechts vom Bezugspunkt D eingezeichnet werden können. þ M r ¼þM 1 þ M M 3 M 4 F r l 0 ¼ F 1 l 1 þ F l F 3 l 3 0 Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung (þ und ) kennzeichnen den Drehsinn der Kraftmomente, sie haben also nichts mit dem Richtungssinn der Kräfte zu tun. l 0 ¼ F 1l 1 þ F l F 3 l 3 F r 15 N 0,5 m þ 40 N 0,3 m 10 N 0, m l 0 ¼ 65 N l 0 ¼ 0,69 m Ergibt sich der Abstand l 0 positiv wie in diesem Fall, dann ist die Wirklinie der Resultierenden richtig in den Lageplan eingezeichnet. Ist er negativ, liegt die Wirklinie im errechneten Abstand auf der anderen Seite des Bezugspunkts D. Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 65 N in einem Abstand von 0,69 m links vom Bezugspunkt D rechtwinklig nach unten. Arbeitsplan zum Momentensatz: Lageskizze mit den gegebenen Kräften zeichnen. 1. Schritt Resultierende und gegebenenfalls ihren Neigungswinkel berechnen. Resultierende in die Lageskizze einzeichnen (Lage der Wirklinie annehmen). Momentensatz aufstellen und die Gleichung nach l 0 auflösen.. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

64 40 1 Statik in der Ebene Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren Ûbung: Ein gegebenes allgemeines Kräftesystem soll reduziert werden, d. h. seine Resultierende F r ist nach Betrag, Lage und Richtungssinn zu bestimmen. Der nebenstehende maßstäbliche Lageplan enthält auch die Kräfte maßstabsgerecht, d. h. die Länge der Kraftpfeile entspricht den Beträgen der Kräfte. F 4 F 5 F 3 F 1 F Vorüberlegung: Da die Wirklinien der Kräfte keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, kann man auch nicht voraussagen, wo die Wirklinie der Resultierenden liegt. Das ist neu gegenüber dem zentralen Kräftesystem (siehe 1..4., Seite 6). Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten: Hinweis: Ein allgemeines Kräftesystem hat keinen Zentralpunkt. a) Wiederholte Parallelogrammkonstruktion Man fasst zwei Kräfte maßstäblich zu einer Zwischenresultierenden zusammen, diese wieder mit einer günstig liegenden dritten Kraft zur nächsten Zwischenresultierenden und so fort, bis sämtliche Kräfte schrittweise durch Parallelogrammzeichnungen erfasst sind und damit die Gesamtresultierende des Kräftesystems gefunden worden ist. Im nebenstehenden Beispiel wurde F 1 und F zur Zwischenresultierenden F r1,, diese dann mit F 3 zur neuen Zwischenresultierenden F r1,,3 zusammengesetzt und so fort. Man erhält am Ende maßstäblich den Betrag, den Richtungssinn und die Lage der Gesamtresultierenden F r. Auch jede andere Reihenfolge würde zum selben Ergebnis führen: Die Reihenfolge der Kräfte ist beliebig. Das Verfahren ist umständlich und versagt ganz, wenn die Kräfte sich nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften. Gerade dieser Fall kommt aber in der Technik häufig vor, so dass meist das folgende Verfahren benutzt wird. F 4 F 4 F 4 F r 1,,3,4 F 3 F 5 F 5 F 3 F 5 F 5 F r 1,,3 F 1 F r 1,,3,4 F r F F r1, F r 1,,3 F r 1, Wirklinie der Gesamtresultierenden F r

65 1. Die Grundaufgaben der Statik 41 b) Das Seileckverfahren Ûbung: Für das dargestellte Kräftesystem soll die Resultierende F r nach Betrag, Lage und Richtungssinn zeichnerisch ermittelt werden. Die drei gegebenen Kräfte F 1 ¼ 55 N, F ¼ 5 N und F 3 ¼ 40 N sind im Lageplan maßstäblich gezeichnet. F = 5 N Lageplan F = 55 N 1 F = 40 N 3 Lösung: Aus dem Lageplan entwickelt sich in der bekannten Weise durch Parallelverschiebung der Wirklinien der Kräfte F 1...F 3 der Kräfteplan. Wie in der zweiten Grundaufgabe werden die drei Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstäblich und richtungsgemäß aneinander gereiht und die Resultierende F r als Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten Kraft bis zum Endpunkt der letzten Kraft eingezeichnet. Damit sind Betrag, Richtungssinn und Richtungswinkel der Resultierenden bekannt. Ihre Lage kann aber nur im Lageplan bestimmt werden. F 1 F F 3 A Fr E Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 5 N cm ð1 cm¼b 5 NÞ Gemessen wird: F r ¼ 4,5 cm; das entspricht einer Kraft F r ¼ 11,5 N, die nach unten gerichtet ist. Der Kunstgriff beim Seileckverfahren besteht darin, dass man im Kräfteplan jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt, und zwar so, dass sich alle Komponenten in einem Punkt dem Pol P treffen. Dabei kann der Pol P beliebig gewählt werden. Es wird F 1 ersetzt durch S0 und S1 S 1 Polstrahl S 0 S 1 F 1 zerlegt in die Komponenten S 0 und S 1, F zerlegt in die Komponenten S 1 und S, F 3 zerlegt in die Komponenten S und S 3. Die Teilkräfte S 1 und S 1, S und S... sind jeweils gleich groß und gegensinnig. Sie heben sich also auf. Damit bleiben nur noch Anfangsund Endkomponente S 0 und S 3 im Kräfteplan übrig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden F r. In gleicher Weise geht man im Lageplan vor. F ersetzt durch S1 und S F 3 ersetzt durch S und S3 S F r S 3 S Pol P erweiterter Kräfteplan

66 4 1 Statik in der Ebene Man zerlegt, ohne Berücksichtigung des Betrags, die Kraft 9 F 1 wieder in S 0 und S 1 auf WL 1; = ðrichtungen F wieder in S 1 und S auf WL ; aus dem ; F 3 wieder in S und S 3 auf WL 3; KräfteplanÞ und zwar so, dass die Wirklinien der Komponenten S 1 und S 1 bzw. S und S zusammenfallen. Zerlegungspunkt I ist beliebig, die folgenden ergeben sich. Es heben sich also auch im Lageplan S 1 und S 1, S und S wieder auf. Ûbrig bleiben nur noch die Komponenten S 0 und S 3. Dies sind die Komponenten der Resultierenden F r (siehe Kräfteplan). Der Schnittpunkt ihrer Wirklinien muss ein Punkt der Wirklinie der Resultierenden sein (S). Damit ist auch deren Lage am Körper bestimmt. Die Kräfte S 0, S 1, S 1, S,... im Kräfteplan werden als Polstrahlen bezeichnet, im Lageplan dagegen als Seilstrahlen. Bei der praktischen Arbeit mit dem Seileckverfahren zeichnet man Pol- und Seilstrahlen nur als einfache Gerade, also ohne Pfeile, und bezeichnet sie mit 0, 1,,... (siehe Lehrbeispiel Seite 43). Der Linienzug, gebildet durch die Schnittpunkte der Teilkräfte (I, II, III...), heißt Seileck, weil ein zwischen den Kräften ausgespanntes Seil im Gleichgewicht ist und in den einzelnen Seilabschnitten die Seilkräfte S 0, S 1 usw. auftreten. Arbeitsplan zum Seileckverfahren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen. S 1 I WL 1 F 1 ersetzt durch S und S 0 1 Seilstrahl S 0 WL F r S S von III S 3 nach S verschoben F r WL II WL 3 F ersetzt durch S und S 1 S0 III S 1 S S 3 F 3 ersetzt durch S und S 3 von I nach S verschoben Ergebnis: Die Resultierende wirkt mit 11,5 N auf der gefundenen Wirklinie nach unten. Beachte: Zu jedem Seilstrahlenschnittpunkt I, II, III... im Lageplan gehört ein Polstrahlendreieck im Kräfteplan. Es müssen immer die richtigen Seilstrahlen auf der richtigen Wirklinie zum Schnitt gebracht werden, also S 0 und S 1 auf WL1, S 1 und S auf WL usw. Die zusammengehörigen Seilstrahlen zeigt der Kräfteplan. I II F 1 F F 3 III 1. Schritt Einzelkräfte durch Krafteckzeichnung zu F r vereinigen. Pol P beliebig wählen und Polstrahlen im Kräfteplan zeichnen. Seilstrahlen im Lageplan zeichnen (durch Parallelverschiebung der Polstrahlen aus dem Kräfteplan); Anfangspunkt I beliebig. Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt bringen. Schnittpunkt S der Seilzugenden ergibt die Lage der WL von F r im Lageplan. Betrag und Richtungssinn zeigt der Kräfteplan.. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Aufgaben Nr. 7 8

67 1. Die Grundaufgaben der Statik 43 Lehrbeispiel: Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier Parallelkräfte a) Die Kräfte sind parallel, gleichsinnig, gleich groß: F 1 l l l 1 WL Fr F 0 F 1 1 F r F P Lösung: 1) F r ¼ F 1 þ F Die Wirklinie der Resultierenden liegt auf halbem Abstand zwischen den Kräften. 0 F r b) Die Kräfte sind parallel, gleichsinnig, ungleich groß: l Lösung: 1) F1 WL Fr l 1 l 0 1 F F 1 Fr F r F 0 1 P F r ¼ F 1 þ F Die Wirklinie der Resultierenden teilt den Abstand l im umgekehrten Verhältnis der Kräfte F 1 und F. c) Die Kräfte sind parallel, gegensinnig, ungleich groß: WL Fr l 1 l F 0 F 1 F r P F r 1 1 F 1 F 0 Lösung: 1) F r ¼ F 1 F Beachte: Die Wirklinie der Resultierenden liegt nicht zwischen den beiden Wirklinien von F 1 und F. d) Die Kräfte sind parallel, gegensinnig, gleich groß: l F F 0 F 1 P 1 F1 l 1 1 neues Kräftepaar 0 Lösung: 1) F r ¼ F 1 F ¼ 0 Die Zusammensetzung des Kräftepaars liefert keine Resultierende, sondern zwei gleich große gegensinnig parallele Kräfte (0 und ) mit anderer Lage und anderem Abstand: Ein Kräftepaar kann nur durch ein anderes ersetzt und beliebig verschoben werden. 1) siehe auch: Arbeitsplan, Seite 4

68 44 1 Statik in der Ebene Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen im allgemeinen Kräftesystem lauten: I: SF x ¼ 0 II: SF y ¼ 0 III: SM ðdþ ¼ 0 Der Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte (oder Komponenten) in Richtung der x-achse gleich null ist, die Summe aller Kräfte (oder Komponenten) in Richtung der y-achse gleich null ist und die Summe aller Kraftmomente, bezogen auf einen beliebigen Punkt D gleich null ist. Ûbung: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F ¼ 30 kn belastet. Die Stützkräfte im Halslager A und im Spurlager B sollen berechnet werden. l = 3,6 m 1 A l = 3m F=30kN Lösung: In die (unmaßstäbliche) Lageskizze des freigemachten Wanddrehkrans werden alle auf den Körper einwirkenden Kräfte eingezeichnet, auch die noch unbekannten. Man beginnt mit den nach Betrag, Wirklinie und Richtungssinn bekannten Kräften. Das ist hier nur die lotrecht nach unten wirkende Belastungskraft F ¼ 30 kn. Der Wanddrehkran wird durch ein Loslager (Halslager A) und ein Festlager (Halslager B) in seiner Funktionsstellung gehalten. Von der Loslagerkraft F A ist nur die Wirklinie bekannt (waagerecht, parallel zur x-achse). Der Richtungssinn muss angenommen werden, z. B. in positiver x-richtung (nach rechts) oder negativer (nach links). Dabei bietet es sich an, den Richtungssinn nach physikalischem Empfinden anzunehmen, hier also in negativer x-richtung (nach links). War der angenommene Richtungssinn falsch, zeigt sich bei der Rechnung ein negativer Betrag. Dieser Fall wird hier für das Halslager A angenommen. Für die Festlagerkraft F B im Sprunglager B trägt man die Komponenten F Bx und F By (jeweils in positiver Richtung) in die Lageskizze ein. Bei der Rechnung weist dann ein negativer Betrag auf den entgegengesetzten Richtungssinn hin. l1 B Lager A F A F Bx F B F A Lager B FBy D l Aufgabenskizze y F x Lageskizze des freigemachten Drehkrans (mit nach Rechnung korrigiertem Richtungssinn von F A )

69 1. Die Grundaufgaben der Statik 45 Anhand der Lageskizze werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Man erhält ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten F A, F Bx und F By, das mit den Regeln der Gleichungslehre schrittweise nach diesen Größen aufgelöst wird. Das negative Vorzeichen bei F A ¼ 5 kn zeigt, dass F A nicht nach rechts, sondern nach links wirkt. Das negative Vorzeichen ( 5 kn) wird beibehalten. Es ergibt sich richtig F Bx ¼þ5 kn. Den Momentenbezugspunkt D für Gleichung III legt man in den Schnittpunkt möglichst vieler unbekannter Kräfte. Dadurch haben diese Kräfte keine Drehwirkung und erscheinen nicht in der Momentengleichgewichtsbedingung. In den meisten Fällen enthält dann diese Gleichung nur eine Unbekannte, die sofort berechnet werden kann: Die Momentengleichung (III) ist meist der Schlüssel zur Lösung. Wichtig ist außerdem die Erkenntnis, dass auch jeder Punkt außerhalb der Bauteile als Bezugspunkt benutzt werden kann, wenn dadurch die Rechnungen einfacher werden. Aus den Komponenten F Bx und F By berechnet man die Stützkraft F B als Resultierende wie in der ersten Grundaufgabe. Falls erforderlich, wird der Richtungswinkel ihrer Wirklinie über die Tangensfunktion ermittelt. Beachte: Auch gegen die (richtige) Vorstellung F A wirkt nach links, bleibt es bei der Regel: positives Vorzeichen annehmen. I: SF x ¼ 0 ¼ F A þ F Bx II: SF y ¼ 0 ¼ F þ F By III: SM ðdþ ¼ 0 ¼ F A l 1 Fl III: F A ¼ Fl l 1 ¼ 30 kn 3m ¼ 5 kn 3,6 m I: F Bx ¼ F A ¼ ð 5 knþ ¼5 kn II: F By ¼ F ¼ 30 kn Ergibt sich eine negative Kraft (d. h. mit Minus-Vorzeichen), wie hier die Kraft F A, dann bedeutet das, dass sie dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt. Die Kräfte F Bx und F By ergeben sich aus der Rechnung positiv (d. h. mit Plus-Vorzeichen). Das bedeutet, dass in der Lageskizze ihr Richtungssinn richtig angenommen wurde. Beachte: Das Minus-Zeichen bei der Kraft F A muss bei der weiteren Auflösung des Gleichungssystems mitgeführt werden. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F B ¼ F Bx þ F By ¼ ð5 knþ þð30 knþ F B ¼ 39,051 kn a ¼ arctan jf Byj 30 kn ¼ arctan jf Bx j 5 kn ¼ 50, Ergebnis: Im Lager A wirkt eine Kraft von 5 kn nach links, im Lager B eine Kraft von 39 kn nach rechts oben. Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte: Lageskizze des freigemachten Bauteils mit allen Kräften zeichnen; Richtungssinn der unbekannten Kräfte nach der Richtungsregel (Seite 8) annehmen. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und auswerten. Falls erforderlich, Richtungssinn der unbekannten Kräfte in der Lageskizze korrigieren. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt

70 46 1 Statik in der Ebene Nachtrag: Dieselbe Aufgabe kann auch nach folgender Methode gelöst werden. Zur Erläuterung wird die Lageskizze übernommen. Die Loslagerkraft F A ist jetzt mit tatsächlichem Richtungssinn eingezeichnet (linksdrehend). Zur Erinnerung: Die beiden gesuchten Lagerkräfte F A und F B wurden mit den beiden Kraftund einer Momentengleichgewichtsbedingung berechnet (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM () ¼ 0). Jetzt wird gezeigt, dass die Auswertung eines Gleichungssystems mit drei Momentengleichgewichtsbedingungen um drei Bezugspunkte zu denselben Ergebnissen führt. Die Bezugspunkte wählt man so aus, dass sie mit Längenmaßen leicht beschreibbar sind und nicht auf einer Geraden liegen, z. B. nach der Lageskizze mit SM (I) ¼ 0, SM (II) ¼ 0, SM (III) ¼ 0. Gleichungssysteme dieser Art werden als statisch äquivalent bezeichnet. Damit steht ein weiteres rechnerisches Gleichungssystem zur Bestimmung unbekannter Gleichgewichtskräfte zur Verfügung: l1 F A F Bx II I F By l y III F x Lageskizze I: SM ðiþ ¼ 0 ¼ F A l 1 Fl II: SM ðiiþ ¼ 0 ¼ F Bx l 1 Fl III: SM ðiiiþ ¼ 0 ¼ F Bx l 1 F By l I: F A ¼ Fl l 1 II: F Bx ¼ Fl l 1 ¼ ¼ Gegeben: F ¼ 30 kn l 1 ¼ 3,6 m l ¼ 3m 30 kn 3m ¼ 5 kn 3,6 m 30 kn 3m ¼ 5 kn 3,6 m III: F By ¼ F Bxl 1 5 kn 3,6 m ¼ ¼ 30 kn l 3m Hinweis: Auf diese Weise berechnet man beim Ritter schen Schnittverfahren unbekannte Stabkräfte in Fachwerken (Seite 73). Ein Körper befindet sich auch dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller einwirkenden Kraftmomente auf drei beliebige Punkte gleich null ist. Einschränkung: Die ausgewählten Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen (Geradenregel). l Zur Geradenregel: Mit der Bedingung SM (I) ¼ 0 ist für eine beliebige ebene Kräftegruppe noch kein Gleichgewicht sichergestellt, weil eine durch den Bezugspunkt (I) selbst wirkende Resultierende den Körper in Kraftrichtung verschiebt. Gleiches gilt für SM (II) ¼ 0 und SM (III) ¼ 0; hier wird eine durch (I und II) wirkende Resultierende nicht erfasst. Erst wenn die drei gewählten Bezugspunkte keine gemeinsame Gerade haben, ist Gleichgewicht erreicht und es können unbekannte Gleichgewichtskräfte berechnet werden Ûbung zur Stützkraftberechnung Der skizzierte federbelastete Winkelhebel wird F von einem Festlager (zweiwertig) und einem Loslager (einwertig) im Ruhezustand gehalten. In der gezeichneten Hebelstellung beträgt die Spannkraft der Zugfeder F ¼ 1 kn. Mit Hilfe der drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Festlager Loslager sollen die Stützkräfte in den beiden l 1 Lagerpunkten ermittelt werden. Aufgabenskizze l 3

71 1. Die Grundaufgaben der Statik 47 Die Lageskizze wird mit allen am Winkelhebel angreifenden Kräften und deren Komponenten in x- und y-richtung gezeichnet. Das sind Belastungskraft F mit F x ¼ F cos a und F y ¼ F sin a Loslagerkraft F L mit F Lx ¼ F L sin b und F Ly ¼ F L cos b Festlagerkraft F F mit F Fx ¼ F F cos g und F Fy ¼ F F sin g. Die Loslagerkraft F L wirkt als Normalkraft rechtwinklig zur Stützfläche des Loslagers. Damit liegt der Richtungssinn durch die Loslagerkonstruktion fest. Der Richtungssinn der Festlagerkraft F F ist nicht bekannt und wird nach der Richtungsregel von Seite 8 festgelegt (Annahme hier: F F wirkt im ersten Quadranten, also nach rechts oben). Mit den Bezeichnungen aus der Lageskizze werden nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Der Drehpunkt D für den Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung wird wieder in den Festlagerpunkt D gelegt, weil Gleichung III dann nur eine Unbekannte enthält (F L ). Aus der Momentengleichgewichtsbedingung SM ðdþ ¼ 0 erhält man den Betrag der Loslagerkraft F L ¼ 188,1 N. Die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 löst man nach F Fx ¼ F F cos g und F Fy ¼ F F sin g auf und berechnet diese Komponenten der Festlagerkraft. Die Rechnung ergibt für beide Kraftkomponenten F Fx und F Fy das negative Vorzeichen und zeigt damit, dass der Richtungssinn der Festlagerkraft F F falsch angenommen wurde. Die Komponenten F Fx und F Fy stehen rechtwinklig aufeinander, so dass mit dem Satz des Pythagoras der Betrag der Festlagerkraft F F berechnet werden kann. Die Lageskizze zeigt, dass der Winkel g aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Komponenten F Fx und F Fy über die Arcus-Tangensfunktion berechnet werden kann. FF sin D Fsin F F l 3 FF cos l l 1 F Fcos Gegeben: F ¼ 1 kn, a ¼ 0, b ¼ 50 l 1 ¼ 10 mm, l ¼ 40 mm l 3 ¼ 30 mm y FL sin FL cos F L x Lageskizze I: SF x ¼ 0 ¼ F cos a F L sin b þ F F cos g II: SF y ¼ 0 ¼ F sin a þ F L cos b þ F F sin g III: SM ðdþ ¼ 0 ¼ F sin al F cos al 3 þ F L cos bl 1 F L ¼ Fðl 3 cos a l sin aþ ¼ 188,1 N l 1 cos b I: F F cos g ¼ F cos a þ F L sin b ¼ F Fx F Fx ¼ N cos 0 þ 188,1 N sin 50 F Fx ¼ 795,6 N (falsche Richtungsannahme) II. F F sin g ¼ F sin a F L cos b ¼ F Fy F Fy ¼ ð1 000 N sin 0 þ 188,1 N cos 50 Þ F Fy ¼ 46,9 N (falsche Richtungsannahme) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ F Fx þ F Fy qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ ð795,6 NÞ þð46,9 NÞ F F ¼ 90,5 N g ¼ arctan jf Fyj 46,9 N ¼ arctan jf Fx j 795,6 N g ¼ 30,19

72 48 1 Statik in der Ebene Zeichnerische Ermittlung von unbekannten Kräften (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Für diese Aufgabe stehen zwei Lösungsverfahren zur Verfügung. Hinweis: Für alle Verfahren müssen wieder ein Lageplan und ein Kräfteplan maßstäblich gezeichnet werden. a) Das 3-Kräfte-Verfahren (Gleichgewicht von 3 nicht parallelen Kräften) Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sich die Wirklinien der Kräfte in einem Punkt schneiden und das Krafteck sich schließt. Hinweis: Das 3-Kräfte-Verfahren ist nicht anwendbar bei parallelen Wirklinien. Dann bleibt allein die rechnerische Lösung (siehe Seite 44). Ûbung: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F ¼ 30 kn belastet. Er hat oben ein einwertiges Halslager A und unten ein zweiwertiges Spurlager B. Die Kräfte F A und F B in diesen beiden Lagern sollen zeichnerisch ermittelt werden. Vorüberlegung: Im Lageplan des Wanddrehkranes erkennt man die Kräfte: Belastung F: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; l = 3,6 m A B l =3m F=30kN 1Aufgabenskizze l Halslagerkraft F A : Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt (einwertiges Lager), Richtungssinn angenommen; Spurlagerkraft F B : Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt (zweiwertiges Lager); F B wird zunächst durch die Komponenten F Bx und F By ersetzt und mit angenommenem Richtungssinn eingezeichnet. l 1 F A F Bx? WL F, bekannt A F By? WL F, bekannt WL FB ist noch unbekannt? F Lageplan Ist die Wirklinie von F B nicht bekannt, kann kein Kräfteplan gezeichnet werden. Dann lassen sich auch die Beträge von F A und F B nicht ermitteln. Zuerst muss man die Wirklinie von F B finden.

73 1. Die Grundaufgaben der Statik 49 Werden gedanklich die Kräfte F A und F, deren Wirklinien bekannt sind, zur Resultierenden F r zusammengefasst, hat man es wieder mit nur zwei Kräften zu tun. Angriffspunkt der Resultierenden F r ist der Punkt S, der Schnittpunkt der Wirklinien der Kräfte F A und F. Die Resultierende F r kann mit der Lagerkraft F B nur dann im Gleichgewicht stehen, wenn beide Kräfte auf gleicher Wirklinie liegen und ihr Krafteck geschlossen wird. Also muss die Wirklinie der Lagerkraft F B ebenfalls durch den Punkt S gehen. (Lager A) (Lager B) F B F r r B gemeinsame WL von F und F F A S ist der gemeinsame Schnittpunkt der Kräfte F, FA und FB F F B F r Krafteck Lösung: Wie bei jeder zeichnerischen Lösung wird erst der Lageplan mit allen bekannten Wirklinien maßstäblich aufgezeichnet. Nach der Vorüberlegung wird im Lageplan die Wirklinie der Spurlagerkraft F B festgelegt. Dazu bringt man die Wirklinien der Kräfte F und F A zum Schnitt. Ihr Schnittpunkt S ist ein Punkt der Wirklinie von F B. Der andere Punkt ist der Lagerpunkt B selbst. Eine Gerade, durch die Punkte B und S gelegt, muss die Wirklinie der Spurlagerkraft F B sein. F A B F B WL FA WL F B F WL F S Lageplan Längenmaßstab: M L ¼ 1,5 m cm ð1 cm¼b 1,5 mþ Nachdem nun alle Wirklinien bekannt sind, wird der Kräfteplan gezeichnet. Man legt den Kräftemaßstab fest und verschiebt zuerst die gegebene Kraft F parallel aus dem Lageplan. Dann wird das Krafteck mit den parallel verschobenen Kräften F A und F B auf genau die gleiche Weise geschlossen wie bei der vierten Grundaufgabe (Seite 3). F F A F B F Bx Einbahnverkehr = Gleichgewicht F By Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 15 kn cm ð1 cm¼b 15 knþ Aus der Länge der Kraftpfeile werden wieder mit Hilfe des Kräftemaßstabs die Beträge der Kräfte F A und F B berechnet. Dasselbe gilt für die Komponenten F Bx und F By der Spurlagerkraft. Der Richtungssinn der gesuchten Kräfte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks nach der Einbahnverkehrs -Regel. Den Neigungswinkel der Spurlagerkraft entnimmt man dem Lageplan oder dem Kräfteplan. Zum Schluss wird der Richtungssinn der gefundenen Kräfte in den Lageplan übertragen. Gemessen wird: F A ¼ 1,7 cm 15 kn ¼ 5,5 kn cm F B ¼,6 cm 15 kn ¼ 39 kn cm Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss im Halslager eine Kraft von 5,5 kn waagerecht nach links, im Spurlager eine Kraft von 39 kn nach rechts oben wirken.

74 50 1 Statik in der Ebene Arbeitsplan zum 3-Kräfte-Verfahren: Lageplan mit freigemachtem Bauteil zeichnen und darin Wirklinien der Belastung und der einwertigen Lagerkraft festlegen. Bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen. Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt verbinden; damit sind alle Wirklinien bekannt. Krafteck mit einer bekannten Kraft beginnen und mit den unbekannten Kräften schließen. Richtungssinn in den Lageplan übertragen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt Aufgaben Nr b) Das 4-Kräfte-Verfahren (Gleichgewicht von 4 nicht parallelen Kräften) Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Kräfte eine gemeinsame Wirklinie haben die Culmann sche Gerade und das Krafteck sich schließt. Hinweis: Das 4-Kräfte-Verfahren ist nicht anwendbar bei mehr als zwei parallelen Kräften. Dann bleibt nur die rechnerische Lösung (siehe Seite 44). Ûbung: Ein gerader Stab hat an seinen beiden Enden zwei frei drehbare Rollen A und B, die sich an einer vertikalen und einer abwärts geneigten Fläche reibungsfrei abstützen. Der Stab würde durch die Kraft F 1 ¼ 50 N nach unten verschoben werden, wenn ihn nicht die waagerecht gespannte Zugfeder in der skizzierten Ruhelage festhielte. Die Federkraft F und die Stützkräfte F A, F B an den Rollen sollen zeichnerisch ermittelt werden. Vorüberlegung: Der Lageplan des freigemachten Rollstabs zeigt die Kräfte: Belastung F 1 : Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Federkraft F : Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Zugfeder überträgt nur Zugkräfte in Spannrichtung); Stützkraft F A : Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkörper); Stützkraft F B : Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkörper). 0,6 m 0, m 0, m 0, m F A Rolle A WL F, bekannt 0,4 m Zugfeder WL F, bekannt 1 F = 50 N 1 15 Aufgabenskizze Rolle B WL F, bekannt A F 1 F B F B WL F, bekannt Lageplan

75 1. Die Grundaufgaben der Statik 51 Es wirken also vier Kräfte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Für drei von ihnen müssen nur noch die Beträge ermittelt werden. Werden nun wieder (wie beim 3-Kräfte-Verfahren) gedanklich je zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammengefasst, z. B. die Kräfte F 1 und F A zu F r1,a und die Kräfte F und F B zu F r,b, hat man es wiederum mit nur zwei Kräften zu tun. Diese beiden Resultierenden können nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein. Die auf der gemeinsamen Culmann schen Geraden wirkenden Resultierenden F r1,a und F r,b müssen natürlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. Welche beiden Kräfte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgültig. Man kann z. B. auch die Kräfte F 1 und F zur Resultierenden F r1, und F A und F B zur Resultierenden F ra; B zusammenfassen. Das ergibt dann zwar eine andere Lage der Culmann schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung für die Anwendbarkeit des 4-Kräfte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. (Rolle A) F 1 I F A Culmannsche Gerade F r1,a F r,b F B (Rollstab) II F F r,b F r1,a (Rolle B) Krafteck F B FrA,B (Rolle A) II F A F I (Rollstab) F ra,b F r1, F 1 (Rolle B) F r1, Krafteck Culmannsche Gerade Lösung: Man zeichnet im maßstäblichen Lageplan des Rollstabs die Wirklinie der gegebenen Kraft F 1 ein. Nach den Regeln für das Freimachen der Bauteile (hier Regeln 1 und 4, Seite 1 und 14) werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskräfte F, F A und F B ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringt man je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. F 1 und F A im Schnittpunkt I und F und F B im Schnittpunkt II. Jetzt wird die Culmann sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte eingezeichnet. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden F r1,a und F r,b. F A WL F1 I F WL FA Culmannsche Gerade F 1 II WL F B F B Lageplan Längenmaßstab: M L ¼ 0, m cm ð1 cm¼b 0, mþ WL F

76 5 1 Statik in der Ebene Im Kräfteplan wird zuerst die gegebene Kraft F 1 maßstäblich und richtungsgemäß gezeichnet. Dann überträgt man die Culmann sche Gerade vom Lage- in den Kräfteplan, lässt sie durch Anfangsoder Endpunkt von F 1 laufen und schließt dieses Krafteck durch die zugehörige Kraft F A. Das Krafteck zeigt die Kräfte F 1, F A und ihre Teilresultierende F r1,a. Die gleichgroße Teilresultierende F r,b hat entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kräften F und F B wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kräftezug aus F 1, F, F B und F A geschlossen. Aus der Länge der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des Kräftemaßstabes die Beträge der Gleichgewichtskräfte berechnet. Den Richtungssinn der Kräfte F, F B und F A findet man aus der Bedingung des fortlaufenden Kräftezugs, d. h. der Umfahrungssinn beim Einzeichnen der Pfeilspitzen muss, von F 1 ausgehend, beibehalten werden ( Einbahnverkehr ). Einbahnverkehr = Gleichgewicht F B F F r,b Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 0 N ð1cm¼b 0 NÞ cm Gemessen wird: F ¼,65 cm 0 N cm ¼ 53 N F A F r1,a F A ¼ 1,95 cm 0 N cm ¼ 39 N F B ¼,6 cm 0 N cm ¼ 5 N Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss die Feder mit 53 N nach links ziehen. An der Rolle A wirkt die Stützkraft F A mit 39 N nach rechts und an der Rolle B die Stützkraft F B mit 5 N nach rechts oben. F 1 Arbeitsplan zum 4-Kräfte-Verfahren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen und darin die Wirklinien der Belastung und der Stützkräfte festlegen. Wirklinien von je zwei Kräften zum Schnitt bringen. Gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Teilresultierenden (¼ Culmann sche Gerade) verbinden. Kräfteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft anfangen. Kräfteplan mit der Culmann schen Geraden und den Wirklinien der anderen Kräfte schließen. Beachte: Die Kräfte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teil-Dreieck im Kräfteplan. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt Aufgaben Nr

77 1. Die Grundaufgaben der Statik Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung Dieser Abschnitt sollte erst dann bearbeitet werden, wenn die rechnerische Ermittlung von Stützkräften an zweifach gelagerten Bauteilen sicher beherrscht wird. Die Lehrinhalte dieses Lösungsverfahrens zur Stützkraftberechnung eignen sich gut für ein abschließendes Statik-Projekt mit Gruppenarbeit. Die Bezeichnung systemanalytisch soll darauf hinweisen, dass Kräfte und geometrische Größen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfasst und mathematisch allgemein gültig verarbeitet werden. Mit den drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0undSM ¼ 0 soll ein Gleichungssystem entwickelt werden, mit dem die Stützkräfte (Fest- und Loslagerkräfte) bei beliebiger Lageranordnung automatisiert berechnet werden können. Für die Anzahl der Belastungskräfte F gibt es keine Beschränkung, auch nicht für ihre Lage zueinander. Vorausgesetzt wird nur, dass die Körper (Träger, Kran, Hebel usw.) durch ein Festlager und ein Loslager gehalten werden, wie der Winkelhebel in der vorhergehenden Aufgabe. Gleichungssysteme dieser Art sind Bausteine für die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Techniker für seine Arbeit in der Praxis erstellen kann Herleitung der Systemgleichungen Das gesuchte Gleichungssystem soll am Winkelhebel aus der vorhergehenden Ûbungsaufgabe entwickelt werden. Dann stehen Vergleichsdaten zur Verfügung. Festlager l 3 F 1 1 Loslager Ûbung: Neben der Bemaßung des Hebels ist die Belastungskraft F 1 mit dem Richtungswinkel a 1 gegeben. Zu berechnen sind: Festlagerkraft F F und deren Komponenten F Fx, F Fy und die Loslagerkraft F L. Wichtig ist noch die Erkenntnis, dass bei allen Aufgaben dieser Art der Richtungswinkel a L der Loslagerkraft F L bekannt sein muss: Die Loslagerkraft F L steht immer rechtwinklig auf der Auflagerfläche (siehe Seite 15). l l 1 Aufgabenskizze Gegeben: F 1 ¼ 1 kn, a 1 ¼ 0, b ¼ 50 l 1 ¼ 10 mm, l ¼ 40 mm ¼ 30 mm l 3 Lösung: Die Lageskizze des freigemachten Winkelhebels wird in den ersten Quadranten eines rechtwinkligen Achsenkreuzes eingezeichnet. Aus den gegebenen Maßen lassen sich die Koordinaten der Kraftangriffspunkte berechnen: x 1 und y 1 für die Kraft F 1, x F und y F für den Festlagerpunkt PF und x L, y L für den Loslagerpunkt PL. Alle gegebenen Größen werden in einer Tabelle zusammengefasst. y I. Quadrant F 1y F L y = y PF F Fx F Fy P n y 1 x F x 1 x L F 1 F 1x F L 1 L PL x Lageskizze

78 54 1 Statik in der Ebene Tabelle der gegebenen Größen (Index n steht für 1,, 3, usw.) n F n in N a n in x n in mm y n in mm Koordinaten des x F ¼ 0 Festlagerpunkts y F ¼ Koordinaten des x L ¼ 10 mm 3 Loslagerpunkts y Zeilen für mehr als eine gegebene Kraft, L ¼ 0 4 z. B. bei n ¼ 5fürF 1, F, F 3, F 4, F 5 Richtungswinkel a L ¼ der Loslagerkraft F L fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} Als erstes werden die Gleichungen für die Momente M der gegebenen Kraft F 1 in Bezug auf den Festlagerpunkt PF ermittelt. Diese Gleichungen sollen für beliebig viele gegebene Kräfte F n mit beliebigen Richtungswinkeln a n zwischen 0 und 360 gelten, ebenso für beliebig geformte Bauteile, d. h. für beliebige Lagen der Kraftangriffspunkte P n. P n x n < xf y n > yf y F n n II F n y F x n F n Fn sin n P n n Fn cos n x n > xf I y n > yf y n PF (Momentendrehpunkt) F n x P n x n < xf III y n < yf n x F Pn IV n x n > xf y n < yf Dazu wird nach dem Lageschema der Festlagerpunkt PF in den Ursprung eines rechtwinkligen Achsenkreuzes mit den vier Quadranten gelegt. Die Untersuchung, die gut in Gruppenselbstarbeit durchführbar ist, führt zu dem folgenden Gleichungssystem in Abhängigkeit von der jeweiligen Koordinatenbedingung: Lageschema für die Kraftangriffspunkte P n, bezogen auf den Momentendrehpunkt (Festlagerpunkt PF). Beachte: Damit der Klammerausdruck für die Koordinatendifferenz in den folgenden Gleichungen immer einen positiven Wert hat, wird er in Betragsstriche gesetzt. Es wird also immer mit dem Absolutwert der Differenz gerechnet. Für Kräfte F n, deren Angriffspunkt P n in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten liegt, gilt Gleichung (I): M xn ¼ F n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼þF n sin a n jðx n x F Þj Gilt für x n x F und y n y F (Koordinatenbedingung) (I) Für Kräfte F n, deren Angriffspunkt P n in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten liegt, gilt Gleichung (II): M xn ¼ F n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼ F n sin a n jðx n x F Þj Gilt für x n < x F und y n y F (Koordinatenbedingung) (II)

79 1. Die Grundaufgaben der Statik 55 Für Kräfte F n, deren Angriffspunkt P n in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten liegt, gilt Gleichung (III): M xn ¼þF n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼ F n sin a n jðx n x F Þj Gilt für x n < x F und y n < y F (Koordinatenbedingung) (III) Für Kräfte F n, deren Angriffspunkt P n in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten liegt, gilt Gleichung (IV): M xn ¼þF n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼þF n sin a n jðx n x F Þj Gilt für x n x F und y n < y F (Koordinatenbedingung) (IV) Zur Lösung einer Aufgabe ist zuerst die zutreffende Koordinatenbedingung herauszusuchen. Damit kann die für diesen Fall gültige Gleichung der vier Gleichungen (I)...(IV) festgelegt werden. Zur Gliederung der Lösung wird dieser Schritt als Abfrage bezeichnet (siehe auch Seite 61). Nach der Lageskizze (Seite 53) führt die Abfrage 1 zu x n ¼ x 1 > x F und y n ¼ y 1 > y F (40 mm > 0 und 30 mm > 0). Ein Vergleich der vier Koordinatenbedingungen zeigt, dass mit Gleichung (I) zu rechnen ist. Die Rechnung ergibt M x1 ¼ 8,19 Nm (rechtsdrehend) für das Moment der x-komponente F 1x. Die y-komponente F 1y bewirkt das linksdrehende Moment M y1 ¼þ13,68 Nm. Der Drehsinn ist richtig, wie die Lageskizze zeigt (Seite 53). M x1 ¼ N cos 0 jð30 0Þj mm M x1 ¼ 8 190,8 Nmm ¼ 8,19 Nm M y1 ¼þ1 000 N sin 0 jð40 0Þj mm M y1 ¼þ13 680,8 Nmm ¼þ13,68 Nm Greifen mehr als eine Belastungskraft am Körper an (F 1, F, F 3...), muss der Rechnungsgang entsprechend häufig durchlaufen werden. Für jede Kraft wird festgestellt, welche der vier Gleichungen (I)...(IV) gilt (Abfrage 1). Danach werden die Momente M x1, M y1, M x, M y, M x3, M y3... berechnet. In einem Rechnerprogramm sorgt eine Programmschleife mit Abfrage für die Wiederholung des Rechengangs (siehe Seite 61). Der weitere Rechnungsgang vereinfacht sich, wenn die statischen Momente der Einzelkräfte M xn, M yn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF (Festlagerpunkt) zu einem resultierenden Gesamtmoment M g addiert werden. M g ¼ SM xn þ SM yn M g ¼ M x1 þ M x þ...m y1 þ M y þ... Beachte: Diese Gleichung hat nur den Zweck, die Rechnung bei mehreren Kräften F n zu vereinfachen.

80 56 Neben den Belastungskräften F n wirkt immer noch die Loslagerkraft F L drehend in Bezug auf den Festlagerpunkt PF. Deren statisches Moment ist M L ¼ M xl þ M yl. Die vier Gleichungen (I)...(IV) gelten für jede Kraft, die auf den Körper wirkt, also auch für die Loslagerkraft F L mit ihren Komponenten F Lx ¼ F L cos a L und F Ly ¼ F L sin a L : Mit der Koordinatenbedingung wird als gültige Gleichung für die Aufgabe Gleichung (I) ermittelt. Damit sind alle Gleichungen erfasst, die für die Momentengleichgewichtsbedingung SM ðpfþ ¼ 0 erforderlich sind. Da x L ¼ 10 mm > x F ¼ 0 und y L ¼ 30 mm > y F ¼ 0 ist, liegt der Loslagerpunkt PL im ersten Quadranten, und es gelten die Gleichungen (I): M xl ¼ F L cos a L jðy L y F Þj M yl ¼þF L sin a L jðx L x F Þj 1 Statik in der Ebene Die Gleichungen werden für die weitere Entwicklung gebraucht. Da F L noch nicht bekannt ist, kann M L an dieser Stelle auch noch nicht berechnet werden. SM ðpfþ ¼ 0 SM ðpfþ ¼ M g þ M xl þ M yl ¼ 0 M g ¼ M x1 þ M y1 þ...m xn þ M yn (I) Aus der Momentengleichgewichtsbedingung SM ðpfþ ¼ 0 wird nun eine Gleichung für die Loslagerkraft F L entwickelt. Je nach Lage des Loslagerpunkts PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF ergeben sich vier Gleichungen: Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten, gilt für die Berechnung von M xl und M yl die Gleichung (I). Damit ergibt sich die Gleichung (V): Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten, gilt für die Berechnung von M xl und M yl die Gleichung (II). Damit ergibt sich die Gleichung (VI): SM ðplþ ¼ 0 ¼ M g þ M xl þ M yl F L ¼? M g þ M xl þ M yl ¼ 0 M g þ½ F L cos a L jðy L y F ÞjŠ þ þ½þf L sin a L jðx L x F ÞjŠ ¼ 0 M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þj cos a L jðy L y F Þj (V) Gilt für x L x F und y L y F (Koordinatenbedingung) M g þ M xl þ M yl ¼ 0 M g þ½ F L cos a L jðy L y F ÞjŠ þ þ½ F L sin a L jðx L x F ÞjŠ ¼ 0 M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þj cos a L jðy L y F Þj (VI) Gilt für x L < x F und y L y F (Koordinatenbedingung)

81 1. Die Grundaufgaben der Statik 57 Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten, gilt für die Berechnung von M xl und M yl die Gleichung (III). Damit ergibt sich die Gleichung (VII): Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten, gilt für die Berechnung von M xl und M yl die Gleichung (IV). Damit ergibt sich die Gleichung (VIII): Eine Abfrage im Lösungsgang hat das Ziel, die gültige Gleichung aus (V)...(VIII) herauszufinden. Richtgrößen für die Auswahl der richtigen Gleichung sind die Koordinaten x L, y L, x F, y F (siehe Lageskizze, Seite 53). Fehlerwarnung: Der ausgerechnete Betrag für die Loslagerkraft F L muss immer positiv sein. Ist der Betrag negativ, muss der Richtungswinkel a L überprüft werden. Meist wurde sein Betrag um 180 falsch angenommen. Bis zu diesem Lösungsstand wurde nur die Momentengleichgewichtsbedingung genutzt und damit die Loslagerkraft F L berechnet. Jetzt fehlt noch die Berechnung der Festlagerkraft F F und deren Richtungswinkel a F. Dazu stehen die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 zur Verfügung. Es werden also die gleichen Lösungsschritte wie bei der üblichen Bearbeitung dieser Aufgabenart verwendet. M g þ M xl þ M yl ¼ 0 M g þ½þf L cos a L jðy L y F ÞjŠþ þ½ F L sin a L jðx L x F ÞjŠ ¼ 0 M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þjþcos a L jðy L y F Þj Gilt für x L < x F und y L < y F (Koordinatenbedingung) M g þ M xl þ M yl ¼ 0 M g þ½þf L cos a L jðy L y F ÞjŠ þ þ½þf L sin a L jðx L x F ÞjŠ ¼ 0 (VII) M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þjþcos a L jðy L y F Þj Gilt für x L x F und y L < y F (Koordinatenbedingung) (VIII) In der Aufgabe ist x L ¼ 10 mm > x F ¼ 0 und y L ¼ y F ¼ 0 Damit gilt für die Berechnung der Loslagerkraft F L die Gleichung (V) mit x L > x F und y L ¼ y F. Da nur eine äußere Kraft F 1 am Winkelhebel angreift, ist die Momentensumme M g ¼ M x1 þm y1 ¼ 8,19 Nmþðþ13,68 NmÞ M g ¼ 14,51 Nm. M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þj cos a L jðy L y F Þj ð 14,51 NmÞ F L ¼ sin 140 jð0,1 0Þ mj cos 140 jð0 0Þ mj F L ¼ 188,1 N Bisher verwendet: Momentengleichgewichtsbedingung III. SM ðpfþ ¼ 0 SM xn þ SM yn þ M xl þ M yl ¼ 0 Noch verwendbar: Kräftegleichgewichtsbedingung: I. SF x ¼ 0 SF n cos a n þf L cos a L þf F cos a F ¼ 0 II. SF y ¼ 0 SF n sin a n þ F L sin a L þ F F sin a F ¼ 0

82 58 1 Statik in der Ebene Greifen mehrere Belastungskräfte F n am Körper an, werden die Summenausdrücke in Gleichung (IX) gesondert berechnet. Man erhält damit die Resultierenden der x-komponenten F rx und der y-komponenten F ry. In einem Rechnerprogramm wird eine solche Summierung mit einer von F 1 bis F n laufenden Schleife durchgeführt. In der Aufgabe greift nur die Kraft F 1 ¼ 1000 N als Belastungskraft an. SF n cos a n ¼ F 1 cos a 1 þf cos a þ...¼f rx SF n sin a n ¼ F 1 sin a 1 þf sin a þ...¼f ry (IX) Eingesetzt in die Kräftegleichgewichtsbedingungen: I. F rx þ F L cos a L þ F F cos a F ¼ 0 II. F ry þ F L sin a L þ F F sin a F ¼ 0 F rx ¼ F 1 cos a 1 F rx ¼ N cos 0 ¼ 939,7 N F ry ¼ F 1 sin a 1 F ry ¼ N sin 0 ¼ 34 N Die Ausdrücke für F F cos a F und F F sin a F aus den Gleichungen I. und II. (oben rechts) sind die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten der Festlagerkraft F F in x- und y-richtung. Der Betrag der Festlagerkraft F F kann daher mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. I. F F cos a F ¼ F Fx ¼ ðf rx þ F L cos a L Þ II. F F sin a F ¼ F Fy ¼ ðf ry þ F L sin a L Þ F Fx ¼ ðf rx þ F L cos a L Þ F Fy ¼ ðf ry þ F L sin a L Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ F Fx þ F Fy (X) (XIa) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ ½ ðf rx þ F L cos a L ÞŠ þ½ ðf ry þ F L sin a L ÞŠ (XIb) Für die Aufgabe mit dem Winkelhebel wird F rx ¼ 939,7 N F ry ¼ 34 N F L cos a L ¼ 188,1 N cos 140 ¼ 144,1 N F L sin a L ¼ 188,1 N sin 140 ¼þ10,9 N qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ ½ ð939,7 N þð 144,1 NÞÞŠ þ ½ ð34 N þ 10,9 NÞŠ F F ¼ 90,5 N

83 1. Die Grundaufgaben der Statik 59 Den Abschluss dieses allgemein gültigen Lösungsverfahrens bilden die Gleichungen, mit denen der Richtungswinkel a F der Festlagerkraft F F berechnet werden kann. Hierzu gelten die Ûberlegungen aus dem Abschnitt und die dort hergeleiteten Beziehungen. Zunächst muss der spitze Winkel b F zwischen der Wirklinie von F F und der x-achse des Achsenkreuzes berechnet werden. b F ¼ arctan jf Fyj jf Fx j (XII) Je nach Lage der Festlagerkraft F F im Achsenkreuz gelten dann die in Abschnitt hergeleiteten Beziehungen zur Berechnung des Richtungswinkels a F der Festlagerkraft. Die richtige Auswahl aus den vier Gleichungen erfordert also noch eine Abfrage 3. Richtgrößen sind hier die Beträge der Festlagerkomponenten F Fx und F Fy. Für die Aufgabe wird nach Gleichung (X): F Fx ¼ ð939,7 N þ 188,1 N cos 140 Þ¼ 795,6 N F Fy ¼ ð34 N þ 188,1 N sin 140 Þ¼ 46,9 N b F ¼ arctan jf Fyj 46,9 N ¼ arctan jf Fx j 795,6 N ¼ 30,19 Nach Abschnitt gilt für F Fx 0 und F Fy 0: a F ¼ b F F Fx < 0 und F Fy 0: a F ¼ 180 b F F Fx < 0 und F Fy < 0: a F ¼ 180 þ b F F Fx 0 und F Fy < 0: a F ¼ 360 b F (XIII) (XIV) (XV) (XVI) Gilt für die Komponenten der Festlagerkraft F Fx < 0 und F Fy < 0, dann ist der Winkel a F mit Gleichung (XV) zu berechnen. a F ¼ 180 þ b F ¼ 10,19

84 60 1 Statik in der Ebene Zusammenstellung der Systemgleichungen Abfrage 1 Abfrage Koordinatenbedingung Momentenbedingung der Kräfte F n Loslagerkraft FL x n ; x L x F y n ; y L y F M xn ¼ F n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼þF n sin a n jðx n x F Þj (I) F L ¼ M g sin a L jðx L x F Þj cos a L jðy L y F Þj (V) x n ; x L < x F y n ; y L y F M xn ¼ F n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼ F n sin a n jðx n x F Þj (II) M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þj cos a L jðy L y F Þj (VI) x n ; x L < x F y n ; y L < y F M xn ¼þF n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼ F n sin a n jðx n x F Þj (III) M g F L ¼ sin a L jðx L x F Þj þ cos a L jðy L y F Þj (VII) x n ; x L x F y n ; y L < y F M xn ¼þF n cos a n jðy n y F Þj M yn ¼þF n sin a n jðx n x F Þj (IV) F L ¼ M g sin a L jðx L x F Þj þ cos a L jðy L y F Þj (VIII) Resultierendes Moment M g ¼ SM xn þ SM yn Festlagerkraft F F F rx ¼ F 1 cos a 1 þ F cos a þ... F ry ¼ F 1 sin a 1 þ F sin a þ... F Fx ¼ ðf rx þ F L cos a L Þ F Fy ¼ ðf ry þ F L sin a L Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ F Fx þ F Fy qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ ½ ðf rx þ F L cos a L ÞŠ þ½ ðf ry þ F L sin a L ÞŠ (IX) (X) (XIa) (XIb) Abfrage 3 Richtungswinkel a F b F ¼ arctan jf Fyj jf Fx j (XII) für F Fx 0 und F Fy 0: a F ¼ b F (XIII) für F Fx < 0 und F Fy 0: a F ¼ 180 b F (XIV) für F Fx < 0 und F Fy < 0: a F ¼ 180 þ b F (XV) für F Fx 0 und F Fy < 0: a F ¼ 360 b F (XVI)

85 1. Die Grundaufgaben der Statik Beschreibung des Programmlaufs zur Stützkraftberechnung Der Ûbungsablauf zeigt, wie ein Rechnerprogramm gegliedert sein muss. Nach dem Programmstart folgt die Aufforderung zur Eingabe der Kraftbeträge F n, der Richtungswinkel a n und der Koordinaten x n, y n für die Angriffspunkte sämtlicher Kräfte. Es folgt eine Programmschleife für die Anzahl der gegebenen Kräfte und Duchläufe. Für z. B. F 1...F 6 ist der Anfangswert n ¼ 1, der Endwert n ¼ AZ (Anzahl) ¼ 6. Die anschließende Programmverzweigung enthält die Abfrage 1 zur Lage der Kräfte F n zur Festlagerkraft F F : x n x F und y n y F usw., siehe Gleichungen (I)...(IV). Danach erfolgt die Zuweisung der gültigen Gleichung und die Berechnung der Momente M xn und M yn. Nach dem letzten Schleifendurchlauf (n ¼ AZ) werden die Momente M xn und M yn zum Gesamtmoment M g addiert: M g ¼ M x1 þ M x þ...þ M y1 þ M y þ... Es folgt eine zweite Programmverzweigung mit den Abfragen nach der Lage der Loslagerkraft F L zur Festlagerkraft F F, entsprechend den Gleichungen (V)...(VIII). Nach dem Ergebnis der Abfrage wird die gültige Gleichung zugewiesen und ausgerechnet (F L ¼...). Anschließend werden nach den Gleichungen (IX) und (X) die Teilresultierenden F rx, F ry der Belastungskräfte F n und die Komponenten F Fx und F Fy der Festlagerkraft F F berechnet. Mit Gleichung (XIa) oder (XIb) kann nun die Festlagerkraft F F berechnet werden. Mit Gleichung (XII) wird der spitze Winkel b F der Festlagerkraft F F zur x-achse berechnet. Nach dem Ergebnis der Abfrage 3 weist das Programm eine der Gleichungen (XIII)...(XVI) zu, mit der dann der Richtungswinkel a F der Festlagerkraft F F berechnet wird.

86 6 1 Statik in der Ebene Ûbung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung Die Skizze zeigt den Klapptisch einer Biegepresse mit der üblichen Bemaßung. 1) Der Tisch wird durch den Hydraulikkolben um das Festlager geschwenkt. Für die skizzierte waagerechte Tischlage sind zu berechnen: a) die Koordinaten der Kraftangriffspunkte und der Richtungswinkel a L der Loslagerkraft F L (Kolbenkraft), b) der Betrag der Loslagerkraft F L, c) der Betrag der Festlagerkraft F F im Schwenklager, d) der Richtungswinkel a F der Festlagerkraft F F. Lösung: a) Die Rechnung wird einfacher, wenn das rechtwinklige Achsenkreuz so gelegt wird, dass sich nur positive Koordinaten für die Kraftangriffspunkte ergeben. Legt man die x-achse in den tiefsten Kraftangriffspunkt (Loslagerkraft F L ), wird die y-koordinate y L ¼ 0. y F 1 = 1 kn Hydraulikkolben y1 x 1 1 F 1 x L F L y = 0 L x F 500 L Schwenklager k Aufgabenskizze F y F Lageskizze des frei gemachten Klapptisches F 1 ¼ N, a 1 ¼ 70, x 1 ¼ 0,5 m, y 1 ¼ 0,1 m x F ¼ 1m,y F ¼ 0,1 m, x L ¼ 0,7 m, y L ¼ 0 a K ¼ arctan 0,3 m 0,5 m ¼ 30,96 a L ¼ 180 a K ¼ 149,04 F F x b) Die Lageskizze zeigt, dass x 1 < x F und y 1 ¼ y F ist (Abfrage 1). Folglich gilt zur Berechnung der Komponentenmomente M x1 und M y1 die Gleichung (II). Wegen jðy 1 y F Þj ¼ 0 und cos 70 ¼ 0 ist auch M x1 ¼ 0. Die Summe beider Teilmomente ist das Gesamtmoment M g ¼ M x1 þ M y1. M x1 ¼ F 1 cos a 1 jðy 1 y F Þj ¼ N cos 70 jð0,1 0,1Þ mj M x1 ¼ 0 M y1 ¼ F 1 sin a 1 jðx 1 x F Þj ¼ N sin 70 jð0,5 1Þ mj M y1 ¼þ6000 Nm M g ¼ M x1 þ M y1 ¼ 0 þðþ6000 NmÞ ¼þ6000 Nm M g 1) Aufgabe 91 aus der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik

87 1. Die Grundaufgaben der Statik 63 Für die Berechnung der Loslagerkraft F L gelten M g F L ¼ die Gleichungen (V)...(VIII). sin a L jðx L x F Þj þ cos a L jðy L y F Þj Nach der Lageskizze ist x L < x F und y L < y F.Die Loslagerkraft F L ist also mit Gleichung (VII) zu berechnen (Abfrage ). ðþ6 000 NmÞ F L ¼ ð sin 149,04 jð0,7 1Þ mjþ cos 149,04 jð0 0,1 mjþ F L ¼ N c) Nach Gleichung (IX) werden die Komponenten F rx und F ry berechnet. Natürlich ist die Komponente F rx ¼ 0, denn die Kraft F 1 wirkt in y-richtung, hat also keine Komponente in x-richtung. Jetzt lassen sich mit Gleichung (X) die Komponenten F Fx und F Fy der Festlagerkraft F F berechnen. Wie bei allen Rechnungen muss auch hier auf die exakte Vorzeichenmitnahme geachtet werden. Mit den Komponenten der Festlagerkraft kann nach einer der Gleichungen (XIa) oder (XIb) der Betrag der Festlagerkraft F F berechnet werden. Da die Komponenten bereits bestimmt sind, wird die Gleichung (XIa) verwendet. F rx ¼ F 1 cos a 1 ¼ N cos 70 F rx ¼ 0 F ry ¼ F 1 sin a 1 ¼ N sin 70 F ry ¼ N F Fx ¼ ðf rx þ F L cos a L Þ F Fx ¼ ð0þ4 991 N cos 149,04 Þ F Fx ¼ N F Fy ¼ ðf ry þ F L sin a L Þ F Fy ¼ ð N þ N sin 149,04 Þ F Fy ¼ 856,4 N qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F F ¼ F Fx þ F Fy q F F ¼ F F ¼ N ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð1 430 NÞ þð 856,4 NÞ d) Zum Schluss wird der Richtungswinkel a F der Festlagerkraft F F ermittelt. Erforderlich ist dazu der spitze Winkel b F, den die Wirklinie der Festlagerkraft mit der x-achse einschließt. Es gilt die Gleichung (XII). Bestimmungsgleichung für den Richtungswinkel a F ist wegen F Fx > 0undF Fy < 0 die Gleichung (XVI), ausgewählt durch die Abfrage 3. b F ¼ arctan jf Fyj jf Fx j j 856,4 Nj b F ¼ arctan j1 430 Nj ¼,9 a F ¼ 360 b F ¼ 360,9 a F ¼ 357,71 Aufgaben Nr und

88 64 1 Statik in der Ebene 1..7 Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem (Getriebewelle) Das folgende Beispiel eines räumlichen Kräftesystems soll zeigen, dass mit den Kenntnissen aus der Statik in der Ebene auch kompliziertere Probleme gelöst werden können. Die skizzierte Getriebezwischenwelle trägt die beiden schräg verzahnten Stirnräder und 3. Diese übertragen das Antriebsmoment M 1 des Rades 1 über die Getriebezwischenwelle auf das Stirnrad 4. Die dabei auftretenden Zahnkraftkomponenten Tangentialkraft F t, Radialkraft F r und Axialkraft F a sind bekannt, ebenso die Längen l und die Wälzkreisradien r. Mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0 und SM ¼ 0 sollen die Gleichungen zur Berechnung der Stützkräfte F A und F B in den beiden Lagern entwickelt werden. Hierbei wird der Versatzwinkel a berücksichtigt. Die Gleichungen gelten daher für jede beliebige Lage des Zahneingriffs des Räderpaars 3 und 4. In die Skizze des räumlichen Achsenkreuzes werden die Stützkraftkomponenten F Ax, F Ay, F Bx und F By eingetragen. Als Richtungssinn für die noch unbekannten Stützkraftkomponenten F Ax, F Ay, F Bx, F By wird, wie immer, die positive Achsenrichtung gewählt. Der Richtungssinn der Radialkräfte F r, der Tangentialkräfte F t und der Axialkräfte F a ergibt sich aus Getriebekonstruktion und Betriebsart (Schrägstirnräder, Zahneingriffspunkte, Versatzwinkel, Drehmomentenrichtung). Am Radmittelpunkt M werden parallel zu den Zahnkraftkomponenten F t und F a zwei gleich große gegensinnige Kräfte F t und F a angebracht und F r nach unten verschoben. Damit ergeben sich die Drehmomente M a und M t und in M die Kräfte F t, F a und F r. Die Drehmomente der beiden Kräftepaare wirken drehend, die Zahnkräfte verschiebend auf die Welle. Am Rad 3 lässt sich das gleiche Vorgehen wegen des Versatzwinkels a nicht gut darstellen. Das Untersuchungsergebnis muss unter Berücksichtigung des Versatzwinkels a grundsätzlich das gleiche sein. Antrieb A y r l l 1 l l 3 M 1 F a x Rad 4 z Rad 1 F r F t Rad Rad 3 F r3 F a3 F t3 r 3 Abtrieb B Versatzwinkel Aufgabenskizze zur Getriebezwischenwelle (Indizes: r für radial, t für tangential, a für axial) F Ax F A y r F Ay M a l l 1 l l 3 F a F a x F t F r F t F t M F a F r F r3 z M t gewähltes Achsenkreuz F t3 F a3 r 3 F Bx F B F By Lageskizze 1 der freigemachten Getriebewelle Hinweis: Das Anbringen von zwei gleich großen gegensinnigen Kräften (z. B. F t ) ändert am Kräftesystem nichts, zeigt aber, welche Wirkung die Einzelkraft in Bezug auf den gewählten Punkt (M ) hat. Das (gestrichene) Kräftepaar wirkt drehend, die Einzelkraft (F t ) schiebend (biegend). F a

89 1. Die Grundaufgaben der Statik 65 Vor dem Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Stützkräfte wird untersucht, mit welcher Winkelfunktion die Zahnkräfte am Stirnrad 3 zu berechnen sind. Die Lageskizze gibt darüber Aufschluss: In y-richtung gilt F t3y ¼ F t3 sin a F r3y ¼ F r3 cos a In x-richtung gilt F t3x ¼ F t3 cos a F r3x ¼ F r3 sin a Eine Ûberprüfung mit anderen Zahneingriffspunkten zeigt, dass diese Gleichungen für alle Versatzwinkel a zwischen 0 und 360 gelten. Der Wirkabstand der Axialkraft F a3 bezogen auf den Radmittelpunkt M 3 beträgt r 3 cos a. Rad 3 F r3x E r 3 F r3 F t3 F F r3y t3y y F t3x M 3 Lageskizze für die Zahnkräfte am Rad 3 (E Eingriffspunkt, a Versatzwinkel) y x x z y r3 cos F a3 z Begonnen wird mit den Gleichgewichtsbedingungen für die in der z, y-ebene wirkenden Kräfte und Kraftmomente. In y-richtung wirken die gesuchten Stützkräfte F Ay und F By, deren Richtungssinn wie immer in positiver y-richtung angenommen wird (siehe Seite 8). Der Richtungssinn der Axialkräfte F a und F a3 wird der Aufgabenskizze entnommen. Er richtet sich nach der Drehrichtung der Stirnräder. Nicht zu vergessen ist, dass durch den Versatz um den Winkel a auch die Tangentialkraft F t3 eine y-komponente hat (F t3 sin a, siehe Lageskizze der Zahnkräfte am Rad 3. y A F Ay r l l 1 l l 3 F a y F r Fr3 cos x z Ft3 sin B r3 cos F a3 F a F By Lageskizze 3 der Welle für den Kraftangriff in der z, y-ebene Beachte: In der z, y-ebene liegen auch die Axialkräfte F a und F a3. Diese haben eine Kippwirkung auf die Welle (rechtsdrehend) und beeinflussen damit die Stützkraftkomponenten F Ay und F By. z Man beginnt mit der Momentengleichgewichtsbedingung um den Lagerpunkt B: SM ðbþ ¼ 0 ¼ F Ay l F a r þ F r ðl l 1 Þ ðf r3 cos a þ F t3 sin aþ l 3 F a3 r 3 cos a F Ay ¼ F ar þ F r ðl l 1 Þ ðf r3 cos a þ F t3 sin aþ l 3 F a3 r 3 cos a l (1)

90 66 Um direkt eine Gleichung für die andere Stützkraftkomponente F By zu bekommen, wird die Momentengleichgewichtsbedingung noch einmal angesetzt, diesmal um den Lagerpunkt A: 1 Statik in der Ebene Beachte: Die Kräftegleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 wird dann zur Kontrolle der voraufgegangenen Rechnung benutzt. SM ðaþ ¼ 0 ¼ F r l 1 þðf r3 cos a þ F t3 sin aþðl 1 þ l ÞþF By l F a r F a3 r 3 cos a F By ¼ F rl 1 ðf r3 cos a þ F t3 sin aþðl 1 þ l ÞþF a r þ F a3 r 3 cos a l () Zur Kontrolle: SF y ¼ 0 ¼ F Ay F r þ F r3 cos a þ F t3 sin a þ F By (3) Aus der Kräftegleichgewichtsbedingung in z-richtung ergibt sich: SF z ¼ 0 ¼ F a F a3 F a F a ¼ F a F a3 (4) Nun werden die Gleichgewichtsbedingungen für die in der z, x-ebene wirkenden Kräfte und Kraftmomente entwickelt. Aus der Lageskizze 4 ist abzulesen: SM ðbþ ¼ 0 ¼ F Ax l þ F t ðl l 1 Þþ þðf t3 cos a F r3 sin aþ l 3 F Ax ¼ F tðl l 1 ÞþðF t3 cos a F r3 sin aþ l 3 l SM ðaþ ¼ 0 ¼ F t l 1 þðf r3 sin a F t3 cos aþðl 1 þ l ÞþF Bx l (5) Die Axialkraft F a ist die Differenz der beiden Axialkräfte F a und F a3. Sie wird entweder in A oder in B von einem Festlager aufgenommen. x A F Ax l l 1 l l 3 y F t Fr3 sin x z Ft3 cos B z F Bx Lageskizze 4 der Welle für den Kraftangriff in der z, x-ebene F Bx ¼ F tl 1 ðf r3 sin a F t3 cos aþðl 1 þ l Þ l (6) Zur Kontrolle: SF x ¼ 0 ¼ F Ax F t þ F r3 sin a F t3 cos a þ F Bx (7)

91 1. Die Grundaufgaben der Statik 67 Die Stützkraftkomponenten F Ax und F Ay stehen rechtwinklig aufeinander, ebenso F Bx und F By. Mit dem Lehrsatz des Pythagoras lassen sich daher die Stützkräfte F A und F B berechnen. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F A ¼ F Ax þ F Ay qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F B ¼ F Bx þ F By (8) (9) Die Gleichungen (1), (), (5) und (6) werden in die Gleichungen (8) und (9) eingebracht. Dann stehen zwei direkt auswertbare Gleichungen für die Stützkräfte zur Verfügung. Hinweis: Für die Ermittlung des Biegemomentenverlaufs werden die Stützkraftkomponenten F Ax, F Bx und F By gebraucht, für die Lagerberechnung die resultierenden Stützkräfte F A und F B. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F A ¼ 1 l ½F t ðl l 1 Þþl 3 ðf t3 cos a F r3 sin aþš þ þ½f r ðl l 1 Þ F a r l 3 ðf r3 cos a þ F t3 sin aþ F a3 r 3 cos aš sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F B ¼ 1 l ½F t l 1 ðl 1 þ l ÞðF r3 sin a F t3 cos aþš þ þ½f r l 1 ðl 1 þ l ÞðF r3 cos a þ F t3 sin aþþf a r þ F a3 r 3 cos aš (10) (11) Berechnungsbeispiel: Für die Getriebezwischenwelle aus der Aufgabenskizze (Seite 64) sollen die Stützkräfte berechnet werden. Aus dem Getriebeentwurf sind alle erforderlichen Längen und Zahnkräfte des Schrägstirnradgetriebes bekannt, ebenso die Wälzkreisradien r und r 3 sowie der Versatzwinkel a. Gegeben: F r ¼ 081 N F t3 ¼ 586 N l ¼ 0 mm F r ¼ 784 N F r3 ¼ 956 N l 1 ¼ 70 mm F a ¼ 558 N F a3 ¼ 693 N l ¼ 100 mm ¼ 50,5 mm ¼ 40,6 mm l 3 ¼ 50 mm r r 3 Versatzwinkel a ¼ 0 Gesucht: F Ax, F Bx, F Ay, F By, F A, F B, F a Die Auswertung der entwickelten Gleichungen (1)...(9) führt zu folgenden Ergebnissen: F Ax ¼ 006,6 N F Bx ¼ 660,4 N F Ay ¼ 61,3 N F By ¼ 33,3 N F A ¼ 007,5 N F B ¼ 670,6 N F a ¼ 135 N Kontrolle: SF x ¼½006,6 081 þ 956 sin cos 0 þ 660,4Š N ¼ 0 SF y ¼½61,3 784 þ 956 cos 0 þ 586 sin 0 þð 33,3ÞŠ N ¼ 0

92 68 1 Statik in der Ebene 1.3 Statik der ebenen Fachwerke Gestaltung von Fachwerkträgern Fachwerkträger sind aus Profilstäben zusammengesetzte Tragkonstruktionen (Biegeträger), z. B. für Brücken, Krane, Dachbinder, Gerüste. Sie haben einen geringeren Materialaufwand als Vollwandträger und erscheinen durch ihre Netzkonstruktion optisch leichter. Nachteilig ist die arbeitsintensivere Fertigung. Fachwerkträger sind meist in zwei oder mehr parallelen Ebenen aufgebaut. Jede Trägerebene wird dann als ebenes Fachwerk angesehen. Die äußere Form eines Fachwerkträgers kann frei gestaltet werden. Geometrisches Element des Fachwerks ist der Dreiecksverband. Das Dreieck ist die einfachste starre Figur. Durch Ansetzen solcher Dreiecksverbände werden die verschiedenen Fachwerksformen (z. B. parallelgurtig, trapezförmig) als Streben- oder Pfosten-Streben-Fachwerk entwickelt. Der Obergurt kann parallel zum Untergurt laufen, aber auch z. B. dem Biegemomentenverlauf des Trägers angepasst werden. Siehe dazu Festigkeitslehre, Abschnitte 5.9.7, Seite 33 und , Seite 348. Unter den skizzierten Fachwerksformen in der rechten Spalte stehen in Klammern die Angaben für die Anzahl der Knoten k (z. B. k ¼ 11) und die Anzahl der Stäbe s des Fachwerks (z. B. s ¼ 19). Diese Größen werden im folgenden Kapitel zum Ansatz der Gleichgewichtsbedingungen für die statische Bestimmtheit des Trägers gebraucht. Die Profilstäbe werden untereinander im so genannten Knoten mit Knotenblechen verbunden, wobei sich die Profil-Schwerachsen möglichst im Knotenpunkt schneiden sollen. Damit wird das Einleiten von größeren Biegemomenten in die Verbindung vermieden und die Knotenpunkte können als Gelenkpunkte für Zweigelenkstäbe angesehen werden (siehe Statik, , Seite 13). Der Knoten kann genietet, geschraubt, geschweißt oder z. B. bei Leichtmetallprofilen geklebt sein. Dreiecksverband Festlager Untergurt Obergurt 1 16 Strebe Knoten 18 Streben-Fachwerkträger, parallelgurtig (k ¼ 11 Knoten, s ¼ 19 Stäbe) Dreiecksverband Loslager Strebe (Diagonale) Pfosten Pfosten-Streben-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf trapezförmig angepasst (k ¼ 18 Knoten, s ¼ 33 Stäbe) Dreiecksverband Polygon-Fachwerkträger, Biegemomentenverlauf angepasst (k ¼ 7 Knoten, s ¼ 11 Stäbe) Knotenpunkt Geschraubter Knoten Profilstab Profilschwerachse Knotenblech

93 1.3 Statik der ebenen Fachwerke Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger Der skizzierte einfachste Fachwerkträger besteht aus den drei Stäben 1,, 3, die in Dreiecksform in den Knoten I, II und III miteinander verbunden sind. Øußere Kräfte F dürfen nur über die Knoten in das Tragwerk eingeleitet werden (Kraft F in Knoten II). Im Festlager A und Loslager B ist der Träger mit den drei Auflagerkräften F Ax, F Ay und F B wie üblich statisch bestimmt abgestützt (statisches Gleichgewicht, siehe z. B. Abschnitt , Seite 44). Beim Vollwandträger sind damit die Gleichgewichtsbetrachtungen abgeschlossen. Beim Fachwerkträger dagegen muss zusätzlich die Verschiebbarkeit der Stäbe gegeneinander untersucht werden. Man unterscheidet daher zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit. F Ax A I F Ay 1 II F Knoten 3 III Knotenpunkt B F B Freigemachter einfachster Fachwerkträger (Stabdreieck, Dreiecksverband) k ¼ 3 Knoten, s ¼ 3 Stäbe Ist k die Anzahl der Knoten für das ganze System, so ist wegen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0 die Anzahl der zur Verfügung stehenden Gleichgewichtsbedingungen k. Ist s die Anzahl der unbekannten Stabkräfte, dann ist mit den drei Lagerkräften F Ax, F Ay, F B die Anzahl der unbekannten Kräfte s þ 3. Bei einem statisch bestimmten System muss die Anzahl der Lösungsgleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten sein, hier also k ¼ s þ 3. Es ist üblich, diese Gleichung nach der Anzahl s der erforderlichen Profilstäbe aufzulösen und als Bedingung für die innere statische Bestimmtheit die Gleichung s ¼ k 3 zu verwenden. Der skizzierte Fachwerkträger mit vier Knoten (k ¼ 4) und vier Stäben (s ¼ 4) ist in der eingezeichneten Drehrichtung beweglich (Gelenkviereck), für Kraftübertragungen daher ungeeignet. Enthält ein Fachwerk ein solches Stabsystem, nennt man es statisch unbestimmt. Die Bedingung für statische Bestimmtheit ist hier mit k ¼ 4 Knoten und s ¼ 4 Stäben nicht erfüllt (s ¼ 4 < k 3 ¼ 5). Aus dem statisch unbestimmten Fachwerk wird ein statisch bestimmtes erst bei Hinzunahme eines fünften Stabes: s ¼ 5 ¼ 4 3. k ¼ Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen (hier 3 Knoten ¼ 6 Gleichgewichtsbedingungen) s þ 3 ¼ Anzahl unbekannter Kräfte (hier s þ 3 ¼ 3 þ 3 ¼ 6 unbekannte Kräfte) k ¼ s þ 3 s ¼ k 3 Bedingung für die innere statische Bestimmtheit (mit s ¼ k 3 ¼ 3 3 ¼ 6 3 ¼ 3 Stäbe hier erfüllt) A I 1 II k=4 s=4 4 (5) 3 IV B Bewegliches Fachwerk, statisch unbestimmt (Gelenkviereck): s < 4 3 ¼ 5 III

94 70 1 Statik in der Ebene Die skizzierten vier Fachwerke mit 6 Knoten sollen mit Hilfe der Bedingung für statische Bestimmtheit untersucht werden. Fachwerk a) ist mit einem Fest- und einem Loslager sowie mit s ¼ 9 Stäben äußerlich und innerlich statisch bestimmt ( k 3 ¼ 6 3 ¼ 9). Fachwerk b) ist wie a) äußerlich statisch bestimmt, jedoch innerlich statisch unbestimmt, weil bei k 3 ¼ 6 3 ¼ 9 die Stabzahl s ¼ 8 < 9 ist. Fachwerk c) ist wie a) und b) äußerlich statisch bestimmt, innerlich mit s ¼ 10 Stäben jedoch statisch unbestimmt. Fachwerk d) ist zwar wie a) innerlich statisch bestimmt, mit einem Fest- und zwei Loslagern jedoch äußerlich statisch unbestimmt. k 3=9;s=9 k 3=9;s=8 a) b) k 3=9;s=10 k 3=9;s=9 c) d) Beispiele für die statische Bestimmtheit Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger Die Verfahren zur Ermittlung der Stabkräfte werden am Beispiel des gezeichneten Fachwerkträgers erläutert (Knotenschnittverfahren und Ritter sches Schnittverfahren). Der Träger besteht aus den Obergurtstäben 1, 4, 8, 11, den Untergurtstäben, 6, 10, den Pfosten oder Vertikalen 3, 9 und den Schrägen oder Diagonalen 5 und 7. Belastet wird der Träger mit den Vertikalkräften F 1 ¼ 4kN,F ¼ kn und F 3 ¼ 3kN. Es ist immer zweckmäßig, zuerst aus der Trägerbelastung und den Abmessungen die Auflagerkräfte zu bestimmen. Mit den rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0 und SM ¼ 0 ergibt sich: F A ¼ 4,75 kn und F B ¼ 4,5 kn. F A I F 1 = 4 kn F =kn F 3 =3kN 1 II IV III 6 V m m m m 7 8 VI VII F B m Aufgabenskizze Hinweis: Der Trägeristäußerlich und innerlich statisch bestimmt. s ¼ 7 3 ¼ 11 Stäbe. SF x ¼ 0; keine waagerechten Kräfte vorhanden. SF y ¼ 0 ¼þF A F 1 F F 3 þ F B SM ðiþ ¼ 0 ¼ F 1 m F 4m F 3 6m þ F B 8m F B ¼ F 1 mþf 4mþF 3 6m ¼ 4,5 kn 8m F A ¼ F 1 þ F þ F 3 F B ¼ 4,75 kn

95 1.3 Statik der ebenen Fachwerke Das Knotenschnittverfahren Zur Berechnung der Stabkräfte werden alle sieben Knoten mit einem Rundschnitt freigemacht. Außer den am jeweiligen Knoten wirkenden Belastungs- oder Stützkräften bringt man anstelle der Stäbe 1 bis 11 die dort wirkenden Stabkräfte F S an. Alle Stabkräfte werden zunächst als Zugkräfte angesehen, das heißt: alle Stabkraftpfeile sind von den Knotenpunkten weggerichtet. Die an jedem Knotenpunkt wirkenden Kräfte bilden ein zentrales Kräftesystem, das mit den Gleichungen aus Kapitel , Seite 8 berechnet wird. I II IV VI VII III V Für jeden Knotenpunkt stehen die beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 zur Berechnung von zwei unbekannten Stabkräften zur Verfügung. Wurden vorher die Auflagerkräfte F A und F B berechnet, liegen meistens dort die Ausgangsknoten für den Berechnungsgang, wie hier im Beispiel die Knoten I und VII mit den zwei unbekannten Stabkräften F S1 und F S am Knoten I und F S10 und F S11 am Knoten VII. Von den anschließenden Knoten sucht man sich denjenigen mit maximal zwei unbekannten Stabkräften heraus und erhält nacheinander alle Stabkräfte des Fachwerkträgers. Häufig ist dieses schrittweise Vorgehen einfacher als das Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems. Das Knotenschnittverfahren kann auch zeichnerisch durchgeführt werden. Die entsprechenden Skizzen der Kräftepläne zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Stabkräfte wurden daher mit aufgenommen. Sie stehen rechts neben den Skizzen der freigemachten Knoten. Zur Lagebestimmung der schrägen Stabkräfte als Zugkräfte wird der Winkel a als spitzer Winkel zur x-achse verwendet. Es gelten dann die Beziehungen F Sx ¼ F S cos a für die x-komponente und F Sy ¼ F S sin a für die y-komponente der Stabkraft F S (siehe , Seite 9). Der Winkel a beträgt hier 45. Die vorher berechneten Stützkräfte betragen F A ¼ 4,75 kn, F B ¼ 4,5 kn. Im Knoten I greifen außer der bereits ermittelten Stützkraft F A ¼ 4,75 kn nur noch die beiden Stabkräfte F S1 und F S an, die nun berechnet werden können: Für Knoten I gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S1 þ F S cos a II. SF y ¼ 0 ¼ F A F S sin a I. und II. F S ¼ F S1 =cos a ¼ F A =sin a und mit cos a=sin a ¼ 1=tan a F S1 ¼ F A =tan a ¼ 4,75 kn=1 ¼ 4,75 kn (Druckstab) F S ¼ F A =sin a ¼þ6,7 kn (Zugstab) y F A I F S1 x F S F S1 I F S F A

96 7 1 Statik in der Ebene Für Knoten II gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S1 þ F S4! F S4 ¼ F S1 ¼ 4,75 kn (Druckstab) II. SF y ¼ 0 ¼ F 1 F S3! F S3 ¼ F 1 ¼ 4 kn (Druckstab) Hinweis zum Kräfteplan: Die Stabkraft F S1 (Druckkraft) drückt von rechts nach links wirkend auf den Knoten I. Im Kräfteplan II muss F S1 als Druckkraft auf den Knoten II nach rechts wirken. F S1 y II F 1 F S4 F S3 x F S3 F S4 II F S1 F 1 Für Knoten III gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S6 þ F S5 cos a F S cos a II. SF y ¼ 0 ¼ F S3 þ F S sin a þ F S5 sin a II. F S5 ¼ð F S3 F S sin aþ=sin a ¼ 1,06 kn (Druckstab) I. F S6 ¼ F S cos a F S5 cos a ¼þ5,5 kn (Zugstab) F S y III F S3 F S5 F x S6 F S3 F S5 F S III F S6 Für Knoten IV gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S8 þ F S7 cos a F S4 F S5 cos a II. SF y ¼ 0 ¼ F F S7 sin a F S5 sin a II. F S7 ¼ð F F S5 sin aþ= sin a ¼ ¼ 1,77 kn (Druckstab) I. F S8 ¼ F S4 þ F S5 cos a F S7 cos a ¼ ¼ 4,5 kn (Druckstab) y F S4 IV F S5 F F S8 F S7 x F S5 F S7 IV F S4 F S8 F Für Knoten V gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S10 cos a F S6 F S7 cos a II. SF y ¼ 0 ¼ F S9 þ F S10 sin a þ F S7 sin a I. F S10 ¼ 0 ¼ðF S6 þ F S7 cos aþ= cos a ¼ ¼þ6,01 kn (Zugstab) II. F S9 ¼ 0 ¼ F S7 sin a F S10 sin a ¼ 3kN (Druckstab) y F S6 F S9 F S7 F S10 FS7 V F S6 V x F S9 F S10 Für Knoten VI gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S11 F S8! F S11 ¼ F S8 ¼ 4,5 kn (Druckstab) II. SF y ¼ 0 ¼ F 3 F S9! F S9 ¼ F 3 ¼ 3 kn (Druckstab) F S8 y F 3 VI F S9 F S11 x FS9 F S11 VI F S8 F3

97 1.3 Statik der ebenen Fachwerke 73 Für Knoten VII gilt: I. SF x ¼ 0 ¼ F S11 F S10 cos a! F S10 ¼ F S11 =cos a ¼þ6,01 kn (Zugstab) II. SF y ¼ 0 ¼ F B F S10 sin a! F B ¼ F S10 sin a ¼þ4,5 kn (Kontrollrechnung) F S11 F S10 y VII F B x F S10 VII F S11 F B Arbeitsplan zum Knotenschnittverfahren Lageskizze des freigemachten Fachwerkträgers zeichnen, Stäbe mit arabischen Ziffern, Knotenpunkte mit römischen Ziffern kennzeichnen. Stützkräfte berechnen (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ¼ 0), siehe Kapitel Jeden einzelnen Knoten durch Rundschnitt freimachen, die Stabkräfte als Zugkräfte eintragen und bezeichnen (F S1, F S,...). Hinweis: Alle Stabkraftpfeile sind von den Knotenpunkten weggerichtet. Alle am Knoten wirkenden Kräfte in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen, für schräge Kräfte die spitzen Richtungswinkel zur x-achse berechnen. Mit den beiden Gleichgewichtsbedingungen für zentrale Kräftesysteme (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0) die Stabkräfte berechnen. Mit dem Knoten mit nur unbekannten Stabkräften beginnen. Hinweis: Negative Beträge müssen mit diesem Vorzeichen in Folgerechnungen übernommen werden. Stabkräfte in eine Tabelle für Zug und Druck eintragen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Das Ritter sche Schnittverfahren (rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einzelner Stabkräfte) Nach Ritter können an statisch bestimmten Fachwerkträgern einzelne Stabkräfte rechnerisch ermittelt werden, z. B. F S4, F S5 und F S6. Dazu wird der Träger mit dem Ritter schen Schnitt x x in die beiden Teile (a) und (b) zerlegt und an einem der beiden Teile (a) das Gleichgewicht wieder hergestellt. Die Stützkräfte müssen bei diesem Verfahren vorher ermittelt worden sein: F A ¼ 4,75 kn, F B ¼ 4,5 kn. I F A F 1 = 4 kn F =kn F 3 =3kN II a x 4 5 IV VI b III x 6 V m m m m Lageskizze des Fachwerkträgers mit Ritter schem Schnitt x x VII F B m

98 74 1 Statik in der Ebene Nach den Regeln des Freimachens werden in den drei Stabquerschnitten die unbekannten Stabkräfte F S4, F S5 und F S6 als Zugkräfte angebracht. Das am Trägerteil (a) angreifende Kräftesystem aus den drei Stabkräften F S4, F S5, F S6, der Belastungskraft F 1 und der Stützkraft F A muss im Gleichgewicht sein. Nach Ritter werden zur Berechnung der unbekannten Stabkräfte die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen nach Seite 46 angesetzt. Der Ritter sche Schnitt darf daher auch nur drei Fachwerkstäbe treffen. Die drei Momenten-Bezugspunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen (siehe Seite 46). Knotenpunkt III bietet sich als erster Bezugspunkt an, weil er Schnittpunkt zweier unbekannter Kräfte ist (F S5 und F S6 ) und sich damit eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ergibt. Die Momenten-Gleichgewichtsbedingung SM ðiiiþ ¼ 0 liefert direkt die Stabkraft F S4 ¼ 4,75 kn (Druckstab). Als zweiter Bezugspunkt wird der Knotenpunkt IV gewählt. Er ist Schnittpunkt der Stabkräfte F S4 und F S5 und liefert wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten, der Stabkraft F S6 ¼þ5,5 kn (Zugstab). Dritter Bezugspunkt kann I oder II sein. Mit SM ðiþ ¼ 0 wird F S5 ¼ 1,06 kn (Druckkraft). In manchen Fällen wird die Rechnung einfacher, wenn der Lösungsansatz mit den üblichen drei Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ðþ ¼ 0 aufgestellt wird. l = l=m I F 1 = 4 kn x 4 II F A = 4,75 kn a 5 III 6 x 1 8 m =,83 m l=m F S4 F S5 F S6 Kräftesystem am abgeschnittenen Trägerteil (a) SM ðiiiþ ¼ 0 ¼ F S4 l F A l IV l=m F S4 ¼ F Al ¼ F A ¼ 4,75 kn l Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft F S4 dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt: Stab 4 ist also ein Druckstab. SM ðivþ ¼ 0 ¼ F 1 l F A l þ F S6 l F S6 ¼ F A l F 1 l ¼ F A F 1 ¼ 5,5 kn l SM ðiþ ¼ 0 ¼ F S6 l þ F S5 l 1 F 1 l F S5 ¼ F 1l F S6 l l 1 ¼ ðf 1 F S6 Þl ¼ 1,06 kn l 1 Ergebnis: Stab 4 ist ein Druckstab mit 4,75 kn Stab 5 ist ein Druckstab mit 1,06 kn Stab 6 ist ein Zugstab mit 5,5 kn Arbeitsplan zum Ritter schen Schnittverfahren Stützkräfte ermitteln (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ðþ ¼ 0). Fachwerk durch einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf höchstens drei Fachwerkstäbe treffen, sie dürfen keinen gemeinsamen Knoten haben. Lageskizze des abgeschnittenen Trägerteils zeichnen, dabei Stabkräfte als Zugkräfte annehmen. Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen SM ðþ ¼ 0 aufstellen und auswerten: positives Ergebnis beim Zugstab, negatives beim Druckstab. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

99 75 Schwerpunktslehre.1 Begriffsbestimmung für Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt Man denkt sich einen ebenen Blechabschnitt in drei Teilkörper zerlegt und durch eine Symmetrieebene mit den Teilflächen A 1, A und A 3 in zwei gleichdicke Scheiben geschnitten. Auf jeden der drei Teilkörper wirkt die Erdanziehung mit den parallelen Teil-Gewichtskräften F G1, F G und F G3 lotrecht nach unten. Ihre Summe die Resultierende ist die Gewichtskraft des Blechabschnitts F G ¼ F G1 þ F G þ F G3. Die Wirklinie dieser Resultierenden heißt Schwerlinie, weil auf ihr die Gewichtskraft oder Schwerkraft des Körpers wirkt. Symmetrieebene des Körpers = Schwerebene WL der Gewichtskraft F G1 F G1 Teilfläche A 1 WL 1 der Gewichtskraft Teilfläche A Teilfläche F A 3 F G G F G3 Schwerpunkt S Gewichtskraft F G F G3 F G Dreht man den Körper in der Symmetrieebene in eine beliebige andere Lage, erhält man eine zweite Wirklinie der Gewichtskraft (zweite Schwerlinie, WL). Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft F G für jede Körperlage und heißt Schwerpunkt S. Alle durch den Schwerpunkt gehenden Geraden oder Ebenen werden Schwerlinie oder Schwerebene genannt. Jede Symmetrielinie ist eine Schwerlinie, jede Symmetrieebene ist eine Schwerebene. Irgendwo auf ihnen liegt der Schwerpunkt. Für komplizierte Körper wird die Lage des Schwerpunkts durch Versuche ermittelt. Für einfacher aufgebaute Körper kann man sie mit Hilfe der in der Statik gewonnenen Erkenntnisse bestimmen: Man ermittelt die Wirklinie der Gewichtskraft aus den parallelen Teilgewichtskräften rechnerisch mit dem Momentensatz (Seite 38), zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (Seite 40), und zwar für zwei zueinander rechtwinklige Lagen. In der gezeichneten Lage wird die erste Wirklinie (WL1) der Gewichtskraft F G ermittelt. Zur Bestimmung der zweiten Wirklinie (WL) muss man sich den Körper um 90 im Uhrzeigersinn gedreht vorstellen. Es wäre auch jede andere Winkeldrehung möglich, jedoch nicht so zweckmäßig. Im Schwerpunkt S gestützt oder aufgehängt, bleibt der Körper in jeder beliebigen Lage in Ruhe, er befindet sich also im Gleichgewicht. Beachte: Hat der Körper eine Symmetrielinie, so liegt damit schon eine Schwerlinie fest. Man braucht dann nur noch die zweite, rechtwinklig dazu stehende Schwerlinie zu bestimmen. Beachte: Der Schwerpunkt ist derjenige körperfeste Punkt, durch den in jeder Lage des Körpers die Resultierende der Gewichtskräfte aller Einzelteilchen hindurchgeht. A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

100 76 Schwerpunktslehre. Der Flächenschwerpunkt..1 Flächen haben einen Schwerpunkt Es soll der Lösungsansatz zur Schwerpunktsbestimmung für eine dünne, symmetrische Blechscheibe mit Hilfe des Momentensatzes entwickelt werden. Dazu denkt man sich die Scheibe aus zwei Teilstücken mit den Teilflächen A 1 und A und der Dicke s zusammengesetzt. Der Schwerpunkt muss auf der Symmetrielinie x liegen. Man braucht nur noch den Schwerpunktsabstand x 0 von der rechten Blechkante zu bestimmen. y Teilfläche A 1 Teilfläche A S S 1 S 0 F G F G1 F G x 1 x 0 x s x Die Teilgewichtskräfte F G1 und F G berechnet man aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte r ihres Werkstoffs und der Fallbeschleunigung g. Das Volumen der Teilstücke wird aus den Teilflächen A 1, A und der Blechdicke s bestimmt. F G1 ¼ m 1 g ¼ V 1 rg F G ¼ m g ¼ V rg V 1 ¼ A 1 s und V ¼ A s folglich ist F G1 ¼ A 1 srg und F G ¼ A srg Die Gewichtskraft F G der ganzen Blechscheibe berechnet man in gleicher Weise mit der Gesamtfläche A ¼ A 1 þ A. F G ¼ F G1 þ F G ¼ðA 1 þ A Þ srg F G ¼ Asrg Dann wird der Momentensatz aufgestellt (Seite 38). Für die Gewichtskräfte setzt man die oben gefundenen Beziehungen ein und entwickelt daraus eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand x 0, aus der sich die Blechdicke s, die Dichte r und die Fallbeschleunigung g herauskürzen. Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage auch mit den Teilflächen und der Gesamtfläche ermittelt werden kann. Auch Flächen haben also einen Schwerpunkt. Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts ist z. B. für die Berechnung von Flächenmomenten zweiten Grades in der Festigkeitslehre erforderlich. Momentensatz: þf G x 0 ¼þF G1 x 1 þ F G x Vorzeichen beachten. Linksdrehsinn ist positiv. Asrgx 0 ¼ A 1 srgx 1 þ A srgx x 0 ¼ ða 1x 1 þ A x Þ srg ¼ A 1x 1 þ A x Asrg A Ax 0 ¼ A 1 x 1 þ A x þþa n x n ¼ SA n x n Momentensatz für Flächen Beachte: Für die Flächenmomente Ax sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links þ, rechts ). Die Flächenmomente Ax heißen nach DIN 1304 Flächenmomente 1. Grades.

101 . Der Flächenschwerpunkt 77.. Schwerpunkte einfacher Flächen Dreieck Der Schwerpunkt der Dreieckfläche liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Seitenhalbierende S h Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h 3 y 0 Parallelogramm Der Schwerpunkt der Parallelogrammfläche liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. S Diagonale y 0 h Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h Trapez Man trägt an die Seite a die Seite b an und umgekehrt. Damit kann die Strecke AB gezeichnet werden. Durch eine Gerade verbindet man die Mitten der Seiten a und b miteinander. Der Schnittpunkt ist der Flächenschwerpunkt. Schwerpunktsabstände Kreisausschnitt Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h 3 a þ b a þ b y 0 0 ¼ h 3 a þ b a þ b y 0 ¼ 3 Rs b Halbkreisfläche: y 0 ¼ 4R 3p ¼ 0,444 R Viertelkreisfläche: y 0 ¼ 4 p ffiffiffiffiffi R 3p ¼ 0,600 R A h a a S b y 0 y 0 a b Die Seite a kann auch nach rechts an die Seite b, und die Seite b nach links an die Seite a angetragen werden. Radius R Bogen b Sehne s S Mittelpunkt M Bogenlänge Sehnenlänge y 0 b ¼ Ra =57,3 s ¼ R sin a b B Sechstelkreisfläche: y 0 ¼ R p ¼ 0,6366 R Kreisringstück Schwerpunktsabstand (Winkel a in Grad einsetzen) y 0 ¼ 38,197 ðr3 r 3 Þ sin a ðr r Þ a R r S M y 0

102 78 Schwerpunktslehre Kreisabschnitt Schwerpunktsabstand y 0 ¼ s3 1A Bogenhöhe h Radius R Bogen b S Sehne s Fläche A y 0 Sehnenlänge Flächeninhalt Bogenhöhe M s ¼ R sin a Rðb sþþsh A ¼ h ¼ R sin ða=þ..3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flächen..3.1 Rechnerische Bestimmung des Flächenschwerpunkts Der Schwerpunkt zusammengesetzter Flächen wird mit dem Momentensatz für Flächen nach..1 bestimmt. Ist die Fläche unsymmetrisch, muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. Man zerlegt die Fläche in Teilflächen mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck A 1 und ein Quadrat A, und zeichnet die Teil-Schwerpunkte S 1 und S ein. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt, und zwar möglichst so, dass alle Flächenmomente den gleichen Drehsinn erhalten. Man wählt hier die rechte untere Ecke der Fläche und legt durch diesen Punkt ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Aus den gegebenen Abmessungen berechnet man die Teilflächen A 1 und A, ihre Schwerpunktsabstände x 1, x von der y-achse und y 1, y von der x-achse und die Gesamtfläche A S Teilfläche A Teilfläche A 1 x S 1 x 1 y y y1 A 1 ¼ 80 mm 60 mm ¼ mm A ¼ 40 mm 40 mm ¼ mm A ¼ A 1 þ A ¼ mm x 1 ¼ 30 mm x ¼ 80 mm y 1 ¼ 40 mm y ¼ 0 mm x Aus..1 ist bekannt, dass die Flächeninhalte wie Gewichtskräfte behandelt werden können. Das wird durch vertikal nach unten und horizontal nach rechts gerichtete Pfeile in den Teilschwerpunkten angedeutet. Den Gesamtschwerpunkt S legt man an eine beliebige Stelle und trägt die beiden Pfeile A für die Gesamtfläche und die Schwerpunktsabstände x 0 und y 0 ein. A S A A x A 1 x 1 x 0 A y A 1 y y 1 y 0 x

103 . Der Flächenschwerpunkt 79 Mit Hilfe der vertikalen Flächenpfeile kann man nun den Momentensatz für Flächen bezogen auf den Punkt 0 aufstellen. Dabei muss man auf den Momentendrehsinn achten. In diesem Fall sind alle Momente linksdrehend. Sie erhalten das positive Vorzeichen. Aus dem Momentensatz entwickelt man eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand x 0 und berechnet ihn daraus. Momentensatz: þax 0 ¼þA 1 x 1 þ A x x 0 ¼ A 1x 1 þ A x A x 0 ¼ mm 30 mm þ mm 80 mm mm x 0 ¼ 4,5 mm Die vertikale Schwerlinie hat einen Abstand x 0 ¼ 4,5 mm von der y-achse. Zur Ermittlung der waagerechten Schwerlinie stellt man noch einmal den Momentensatz für den Bezugspunkt 0 auf, diesmal mit den waagerechten Flächenpfeilen. Daraus berechnet man den Abstand y 0 des Schwerpunkts S von der x-achse auf die gleiche Weise wie vorher den Abstand x 0. Bei diesem Ansatz sind alle Momente rechtsdrehend, also negativ. Mit dem Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist der Schwerpunkt S der Gesamtfläche bestimmt. Momentensatz: Ay 0 ¼ A 1 y 1 A y y 0 ¼ A 1y 1 þ A y A y 0 ¼ mm 40 mm þ mm 0 mm mm y 0 ¼ 35 mm Die waagerechte Schwerlinie hat einen Abstand y 0 ¼ 35 mm von der x-achse. Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts: Fläche in Teilflächen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen. Momentenbezugspunkt 0 festlegen. Gesamtschwerpunkt mit angenommener Lage sowie Schwerpunktsabstände x 0 und y 0 einzeichnen. Teilflächen, Gesamtfläche und Teilschwerpunktsabstände berechnen. Momentensatz für zwei zueinander senkrechte Achsen aufstellen, Momentendrehsinn beachten. Nach x 0 und y 0 auflösen und Schwerpunktsabstände ausrechnen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt

104 80 Schwerpunktslehre..3. Ûbung zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts 1. Ûbung: Für die skizzierte zusammengesetzte Fläche soll die Lage des Schwerpunkts rechnerisch bestimmt werden Lösung: Die Fläche muss in drei Teilflächen mit bekanntem Schwerpunkt zerlegt werden: in die Halbkreisfläche A 1, die Rechteckfläche A und die Quadratfläche A 3. Dann werden die Schwerpunktsabstände x 1, x und x 3 eingezeichnet. Als Momentenbezugspunkt 0 wird der Schnittpunkt zwischen Symmetrielinie und Halbkreisachse gewählt. Nun legt man den Gesamtschwerpunkt S in der Lage fest, in der man ihn vermutet, und trägt den Schwerpunktsabstand x 0 in die Skizze ein. A 3 S 3 y A A 1 S 0 S 1 x 0 x x 3 x 1 x 1. Schritt. Schritt 3. Schritt Dann führt man die Rechnung in drei weiteren Schritten aus: 4. Schritt Zuerst werden die Teilflächen, die Gesamtfläche und die Teilschwerpunktsabstände berechnet. A 1 ¼ p 8 ð70 mmþ ¼ 1 93 mm A ¼ 600 mm A 3 ¼ 400 mm A ¼ A 1 þ A þ A 3 ¼ 93 mm x 1 ¼ 0,444 R ¼ 0, mm ¼ 14,9 mm x ¼ 10 mm x 3 ¼ 30 mm Jetzt wird der Momentensatz für den Bezugspunkt 0 aufgestellt. Das Moment der Teilfläche A 1 ist rechtsdrehend, also negativ. Die Momente der anderen Teilflächen sind positiv. þax 0 ¼ A 1 x 1 þ A x þ A 3 x 3 5. Schritt Den Momentensatz löst man nach x 0 auf und beachtet dabei sorgfältig die Vorzeichen. Die Rechnung ergibt einen negativen Wert für x 0. Das bedeutet, dass der Drehsinn für das Moment der Gesamtfläche falsch angenommen wurde (siehe Momentensatz für Kräfte, , Seite 38), d. h. der Schwerpunkt S liegt nicht links, sondern rechts vom Bezugspunkt 0. Die zweite Schwerlinie braucht man nicht zu ermitteln. Es ist die waagerechte Symmetrielinie. x 0 ¼ A 1x 1 þ A x þ A 3 x 3 A mm3 x 0 ¼ 93 mm ¼ 3,6 mm 6. Schritt Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 3,6 mm rechts vom Halbkreismittelpunkt. Beachte: Ergibt sich ein negativer Schwerpunktsabstand, dann liegt der Schwerpunkt auf der anderen Seite des Bezugspunkts.

105 . Der Flächenschwerpunkt 81. Ûbung: Aus einer Rechteckfläche sind ein kleineres Rechteck und eine Kreisfläche symmetrisch ausgespart. Der Schwerpunkt der Gesamtfläche soll rechnerisch bestimmt werden. Lösung: Die Gesamtfläche ist aus drei Teilflächen entstanden: Von der großen Rechteckfläche A 1 wurden die Kreisfläche A und die kleine Rechteckfläche A 3 fortgenommen. A und A 3 werden als negative Flächen bezeichnet A = A 1 A A 3 1. Schritt In der Skizze kennzeichnet man die Teilfläche A 1 durch einen nach rechts gerichteten Pfeil, die negativen Teilflächen A und A 3 durch nach links gerichtete Pfeile. Die Schwerpunktsabstände y 1, y und y 3 werden eingetragen. Als Momentenbezugspunkt 0 wählt man einen Punkt auf der oberen Rechteckseite. Man kann sich dann bei der Annahme des Gesamtschwerpunkts S nicht irren; er muss unterhalb des Bezugspunkts liegen. In die Skizze trägt man den Abstand y 0 und für die Gesamtfläche A einen nach rechts gerichteten Pfeil ein. Die Rechnung wird wieder mit der Berechnung der Teilflächen, der Gesamtfläche und der Teilschwerpunktsabstände begonnen. y 3 y 0 y 1 y y 0 A S S 1 S S 3 A 3 A 1 A x. Schritt 3. Schritt 4. Schritt A 1 ¼ 4800 mm, A ¼ 314 mm A 3 ¼ 800 mm A ¼ A 1 A A 3 ¼ mm y 1 ¼ 30 mm; y ¼ 0 mm; y 3 ¼ 50 mm Beim Aufstellen des Momentensatzes für den Bezugspunkt 0 muss man bei der Festlegung des Drehsinns die eingezeichneten Pfeilrichtungen beachten. Die negativen Flächen wirken wie negative Kräfte. Der Drehsinn ihrer Momente ist entgegen dem der positiven Flächen gerichtet. Der Momentensatz wird nun nach y 0 aufgelöst, und der Schwerpunktsabstand wird aus der entwickelten Gleichung ausgerechnet. Das positive Ergebnis zeigt, dass der Schwerpunkt S auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen wurde. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie der Fläche. 5. Schritt þay 0 ¼þA 1 y 1 A y A 3 y 3 Beachte: Für negative Flächen (Aussparungen) kehrt sich der Momentendrehsinn um. 6. Schritt y 0 ¼ A 1y 1 A y A 3 y 3 A y 0 ¼ mm mm mm mm y 0 ¼ 6,5 mm Ergebnis: Der Schwerpunkt S liegt auf der Symmetrielinie 6,5 mm unterhalb der oberen Rechteckseite. Aufgaben 01 19

106 8 Schwerpunktslehre.3 Der Linienschwerpunkt.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt Wie in..1 geht man wieder von der Schwerpunktsbestimmung für einen Körper aus. Es wird ein zweifach abgekanteter Stab untersucht. Er hat auf der ganzen Länge den gleichen Querschnitt A. Man stellt sich den Stab in drei gerade Teilstücke mit den Teillängen l 1, l, l 3 zerlegt vor. Der ganze Stab ist symmetrisch in Bezug auf die eingezeichnete x-achse. Die Teilgewichtskräfte F G1, F G, F G3 berechnet man aus dem Volumen der Teilstücke, der Dichte ihres Werkstoffes und der Fallbeschleunigung. Das Volumen der Teilstücke wird aus ihren Teillängen l 1, l, l 3 und der Querschnittsfläche A berechnet. Die Gewichtskraft F G des ganzen Stabes berechnet man in gleicher Weise mit der Gesamtlänge l ¼ l 1 þ l þ l 3. Dann wird der Momentensatz nach (Seite 38) aufgestellt, die für die Gewichtskräfte gefundenen Beziehungen eingesetzt und daraus eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand x 0 entwickelt. Die Fläche A, die Dichte r und die Fallbeschleunigung g kürzen sich wieder heraus. Das Ergebnis zeigt, dass die Schwerpunktslage auch mit den Teillängen und der Gesamtlänge ermittelt werden kann. Auch Linien haben also einen Schwerpunkt. Man muss ihn z. B. als Schnittkantenschwerpunkt bei der Konstruktion von Stanzwerkzeugen bestimmen. l l = l 1 3 S S F G1 F G S 3 FG F G3 x 1 = x3 x 0 x F G1 ¼ m 1 g ¼ V 1 rg ¼ Al 1 rg F G ¼ m g ¼ V rg ¼ Al rg F G3 ¼ m 3 g ¼ V 3 rg ¼ Al 3 rg y Querschnittsfläche A x 0 F G ¼ F G1 þ F G þ F G3 ¼ðl 1 þ l þ l 3 Þ Arg F G ¼ Alrg þf G x 0 ¼þF G1 x 1 þ F G x þ F G3 x 3 Alrgx 0 ¼ Al 1 rgx 1 þ Al rgx þ Al 3 rgx 3 x 0 ¼ ðl 1x 1 þ l x þ l 3 x 3 Þ Arg larg x 0 ¼ l 1x 1 þ l x þ l 3 x 3 l lx 0 ¼ l 1 x 1 þ l x þþl n x n ¼ Sl n x n Momentensatz für Linien Beachte: Für die Linienmomente lx sind die Vorzeichen entsprechend dem Drehsinn einzusetzen (links þ, rechts )..3. Schwerpunkte einfacher Linien Gerade Linie (Strecke) Der Schwerpunkt einer Strecke liegt auf ihrer Mitte. l x 0 = S l l Schwerpunktsabstand y 0 ¼ l

107 .3 Der Linienschwerpunkt 83 Dreiecksumfang Die Dreiecksseiten werden halbiert und das Hilfsdreieck ABC gezeichnet. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt des darin einbeschriebenen Kreises. Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h a þ b a þ b þ c b B S y 0 a A h h C c Parallelogrammumfang Der Schwerpunkt des Parallelogrammumfangs (Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid) liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h S y 0 h Kreisbogen Schwerpunktsabstand y 0 ¼ Rs b S b s Halbkreisbogen: y 0 ¼ R p ¼ 0,6366R Viertelkreisbogen: y 0 ¼ p ffiffiffi R ¼ 0,9003R p Sechstelkreisbogen: y 0 ¼ 3 R p ¼ 0,9549R R M Bogenlänge Sehnenlänge y 0 b ¼ Ra =57,3 s ¼ R sin a.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzüge) Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts Für Linienzüge wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz für Linien nach.3.1 bestimmt. Bei unsymmetrischen Linienzügen muss man die Lage für zwei Schwerlinien bestimmen. Im Ûbrigen gelten die gleichen Regeln wie für den Momentensatz für Flächen (siehe Seite 76). Man zerlegt den Linienzug in Teillinien mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken l 1, l 3 und einen Halbkreisbogen l, und zeichnet die Teilschwerpunkte S 1, S, S 3 ein. Die Lage des Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei symmetrischen Linienzügen wählt man dafür zweckmäßig einen Punkt auf der Symmetrielinie. Bogenlänge l R=0mm S S x y x 1 = x3 S 3 x 0 Symmetrielinie 0 = Schwerlinie S 1 l 1 = 50 mm

108 84 Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges berechnet man die Längen der Teillinien l 1, l, l 3, ihre Schwerpunktsabstände x 1, x, x 3 von der y-achse und die Gesamtlänge l ¼ l 1 þ l þ l 3. Schwerpunktslehre l 1 ¼ l 3 ¼ 50 mm l ¼ pr ¼ p 0 mm ¼ 6,8 mm l ¼ l 1 þ l þ l 3 ¼ 16,8 mm x 1 ¼ 5 mm x 3 ¼ 5 mm x ¼ l 1 þ 0,6366R ¼ ¼ 50 mm þ 0, mm ¼ 6,7 mm Der Momentensatz für Linien liefert nun wieder eine Bestimmungsgleichung für den Schwerpunktsabstand x 0, aus der man x 0 berechnet. Das Ergebnis ist positiv, folglich wurde der Gesamtschwerpunkt auf der richtigen Seite des Bezugspunktes 0 angenommen. Das war auch nicht anders zu erwarten, weil der Bezugspunkt an das Ende des Linienzuges gelegt worden war. Die zweite Schwerlinie ist die Symmetrielinie des Linienzuges. Momentensatz: þlx 0 ¼þl 1 x 1 þ l x þ l 3 x 3 x 0 ¼ l 1x 1 þ l x þ l 3 x 3 l x 0 ¼ 1 50 mm þ mm þ 1 50 mm 16,8 mm x 0 ¼ 39,5 mm Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie 39,5 mm links vom rechten Ende des Linienzuges. Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts: Linienzug in Teillinien mit bekanntem Schwerpunkt zerlegen. Momentenbezugspunkt 0 festlegen. Gesamtschwerpunkt S mit angenommener Lage und den Schwerpunktsabständen x 0, y 0 einzeichnen. Teillängen, Gesamtlänge und Teilschwerpunktsabstände berechnen. Momentensatz für zwei zueinander rechtwinklige Achsen aufstellen, Momentendrehsinn beachten. Nach x 0 und y 0 auflösen und Schwerpunktsabstände ausrechnen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Aufgaben Nr. 0 38

109 .4 Guldin sche Regeln 85.4 Guldin sche Regeln.4.1 Volumenberechnung Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner Profilfläche um seine Symmetrieachse. Bei einer Drehung erzeugt die Profilfläche das Volumen des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. Das kleine Flächenteilchen D A erzeugt das Ringvolumen DV ¼ px DA. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck SDAx ist die Momentensumme aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse (siehe..1 Momentensatz für Flächen), und damit gleich dem Moment Ax 0 der ganzen Profilfläche A. Daraus ergibt sich die Guldin sche Volumenregel: Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung..4. Oberflächenberechnung Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil beteiligt. Die kleine Teillänge Dl erzeugt bei einer Drehung die Ringfläche D A ¼ p x Dl. Die Summe aller Teilflächen ist die Mantelfläche A. Der Summenausdruck SDlx ist die Momentensumme aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse (siehe.3.1 Momentensatz für Linien) und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l. Daraus ergibt sich die Guldin sche Oberflächenregel: Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Ringvolumen V Symmetrieachse Drehachse = x 0 x S = Flächenschwerpunkt A A = erzeugende Fläche (Profilfläche) V ¼ SDV ¼ Spx DA ¼ psdax SDAx ¼ Ax 0. Setzt man Ax 0 in die erste Gleichung ein, dann wird V ¼ pax 0. Darin ist das Produkt px 0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profilfläche bei einer Umdrehung zurücklegt. V ¼ A px 0 Volumen A Profilfläche x 0 Schwerpunktsabstand der Profilfläche von der Drehachse nach..3.1 Symmetrieachse Ringfläche A Linienschwerpunkt S Drehachse = x x 0 l l = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) A ¼ SDA ¼ Spx Dl ¼ psdlx SDlx ¼ lx 0. Setzt man lx 0 in die erste Gleichung ein, dann wird A ¼ plx 0. Darin ist das Produkt px 0 der Weg, den der Schwerpunkt S der Profillinie bei einer Umdrehung zurücklegt. Oberfläche A ¼ l px 0 Mantelfläche l Länge der Profillinie x 0 Schwerpunktsabstand der Profillinie von der Drehachse nach

110 Ûbungen mit den Guldin schen Regeln 1. Ûbung: Der Rauminhalt der Kugel Lösung: Die erzeugende Profilfläche ist eine Halbkreisfläche mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x 0 ¼ 4r=3p von der Drehachse (siehe..).. Ûbung: Der Rauminhalt des Kegels Lösung: Die erzeugende Fläche ist ein Dreieck mit der Höhe h, der Grundlinie r und dem Schwerpunktsabstand x 0 ¼ r=3 von der Drehachse. 3. Ûbung: Die Oberfläche der Kugel Lösung: Die Profillinie ist ein Halbkreisbogen mit dem Radius r und dem Schwerpunktsabstand x 0 ¼ r=p von der Drehachse (siehe.3.). 4. Ûbung: Die Mantelfläche des Kegels Lösung: Die erzeugende Linie ist die Mantellinie mit der Länge s und dem Schwerpunktsabstand x 0 ¼ r= von der Drehachse. V ¼ A px 0 ¼ pr 4r p 3p ¼ 4 3 pr3 V ¼ 4 3 pr3 V ¼ A px 0 ¼ rh p r 3 ¼ 1 3 pr h V ¼ p 3 r h A ¼ l px 0 ¼ pr p r p ¼ 4pr A ¼ 4pr A ¼ l px 0 ¼ s p r ¼ prs A ¼ prs Schwerpunktslehre Aufgaben Nr Gleichgewichtslagen und Standsicherheit.5.1 Gleichgewichtslagen Die Lage des Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen: Stabiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei einer Lageänderung gehoben wird. Hierbei entsteht immer ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper wieder in die Ausgangslage zurückführt Labiles Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei schon kleiner Lageänderung gesenkt wird. Hierbei entsteht immer ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper immer weiter aus der Ausgangslage herausführt Indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn der Schwerpunkt S bei kleinster Lageänderung weder gehoben noch gesenkt wird. Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende Kraftmomente. F G Schwerpunktsweg Schwerpunktsweg S D =Drehpunkt D S S F G Schwerpunktsweg F G S S Schwerpunktsweg Schwerpunktsweg F G F G D S=D S Schwerpunktsweg F G FG

111 .5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit Standsicherheit.5..1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Das Kippen eines Körpers soll untersucht werden: Der skizzierte Körper steht frei beweglich auf einer F rauen horizontalen Standfläche. Die waagerecht wirkende Kraft F greift im Abstand a so hoch von der Standfläche an, dass der Körper nicht nach rechts wegrutscht. Bei genügend großer Kraft F A wird der Körper eine Drehbewegung um die Körperkante K (Kippkante) ausführen: Der Körper kippt. Im Augenblick des Ankippens wirkt das (rechtsdrehende) Kippmoment M k ¼ Fa um die Kippkante K. M k ¼ Fa Zugleich wirkt dem Kippmoment M k entgegengerichtet (linksdrehend) das Standmoment M s ¼ F G b M s ¼ F G b, das den Körper in der Ruhelage zu halten sucht. Der Körper wird nicht kippen, solange das Standmoment M s größer ist als das Kippmoment M k. Der Sicherheitsgrad gegen das Kippen wird durch das Verhältnis beider Momente ausgedrückt. Dieses Momentenverhältnis nennt man die Standsicherheit S. a WL der Resultierenden S Standfläche F G S ¼ M s ¼ F G b M k Fa Standsicherheit f b B C Kippkante K Kippmoment Standmoment S > 1 sicherer Stand S ¼ 1 Kippgrenze S < 1 kippen Ist S ¼ 1, also F G b ¼ Fa, so geht die Resultierende F r der beiden Kräfte durch die Kippkante K (keine Drehung). Der Körper befindet sich gerade noch im Gleichgewicht. Je mehr sich Punkt B dem Punkt A nähert, umso größer ist die Standsicherheit (S > 1). Fällt B mit A zusammen, ist die Standsicherheit unendlich groß. Wandert Punkt B über die Kippkante K hinaus auf Punkt C, so ist S < 1 und der Körper kippt um. Es kann notwendig sein, die Untersuchung zur Standsicherheit für mehrere Kippkanten durchzuführen, z. B. bei beladenen Fahrzeugen und Kränen (siehe Ûbung). Beim Berechnen von M s und M k addiert man die Kraftmomente jeweils mit positivem Vorzeichen, im Gegensatz zur sonst üblichen Vorzeichenregel (siehe Ûbung). Eine Betrachtung der geometrischen Verhältnisse zeigt: Die Abstände f und a verhalten sich zueinander wie die Kräfte F und F G. f a ¼ F und daraus a ¼ ff G F G F Diesen Ausdruck in die Standsicherheitsgleichung eingesetzt, ergibt: S ¼ M s M k ¼ F G b Fa ¼ b f Standsicherheit Beachte: Die Standsicherheit S hat immer das positive Vorzeichen.

112 Ûbung zur Standsicherheit Die Skizze zeigt einen drehbaren Mobilkran mit den Längen l 1 ¼ 1,8 m, l ¼,5 m, l 3 ¼ 7 m und l 4 ¼ 0,9 m, gemessen von der vertikalen Bezugsachse durch den Kippkantenpunkt A. Die Standsicherheit für den unbelasteten Kran um den Kippkantenpunkt A und für den belasteten Kran um B F soll in beiden Fällen mindestens 1,5 betragen. F G1 G3 A l 4 l 3 l 1 l B Schwerpunktslehre F G Die Gewichtskräfte F G1 und F G sind bekannt, die erforderliche Gewichtskraft F G3 soll ermittelt werden: F G1 ¼ 100 kn, F G ¼ 50 kn. Außerdem sind die Achslasten F A und F B für beide Fälle zu berechnen. Gegeben: l 1 ¼ 1,8 m, l ¼,5 m, l 3 ¼ 7m,l 4 ¼ 0,9 m F G1 ¼ 100 kn, F G ¼ 50 kn S min ¼ 1,5 Gesucht: Erforderliche Gewichtskraft F G3, Achslasten F A und F B. Lösung: Für den unbelasteten Mobildrehkran ist die Gewichtskraft F G ¼ 0. Der Kran kann um die Hinterachse (A) kippen mit dem Kippmoment F G3 l 4. Standmoment ist dann das rechtsdrehend wirkende Kraftmoment F G1 l 1. Im umbelasteten Zustand darf F G3 höchstens 133,3 kn betragen, jede größere Gewichtskraft F G3 führt zu einer kleineren Standsicherheit S. S ¼ M s M k ¼ F G1 l 1 F G3 l 4 F G3 ¼ F G1 l 1 Sl 4 ¼ 100 kn 1,8 m ¼ 133,3 kn 1,5 0,9 m Für den belasteten Mobildrehkran enthält die Standsicherheitsgleichung die Kraftmomente für alle drei Gewichtskräfte. Der Kran kann um die Vorderachse (B) kippen durch das rechtsdrehend wirkende Kippmoment M k ¼ F G ðl 3 l Þ. Im belasteten Zustand muss die Gewichtskraft F G3 mindestens 78,7 kn betragen, wenn die Standsicherheit S mindestens 1,5 betragen soll. Jede größere Gewichtskraft F G3 > 78,7 kn führt zu einer größeren Standsicherheit S. Die Gewichtskraft F G3 darf also zwischen 78,7 kn und 133,3 kn betragen. S ¼ M s ¼ F G1ðl l 1 ÞþF G3 ðl þ l 4 Þ M k F G ðl 3 l Þ SF G ðl 3 l Þ¼F G1 ðl l 1 ÞþF G3 ðl þ l 4 Þ F G3 ¼ SF Gðl 3 l Þ F G1 ðl l 1 Þ l þ l 4 1,5 50 kn ð7,5þ m 100 kn ð,5 1,8Þ m F G3 ¼ ð,5 þ 0,9Þ m F G3 ¼ 78,7 kn Aufgaben Nr

113 89 3 Reibung 3.1 Grunderkenntnisse über die Reibung Möchte man den Reitstock einer Drehmaschine auf dem Drehmaschinenbett verschieben, spürt man einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft ist die Reibungskraft. Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen, spricht man von Ruhe- oder Haftreibung, im anderen Fall von Gleitreibung. Dabei steht meistens einer der beiden Körper still (Reitstockverschiebung auf dem Bett). Durch Versuche bekommt man einige Grunderkenntnisse über die wichtigsten Gesetze der Reibung: a) Man setzt ein Wägestück von der Masse m ¼ 5 kg auf eine fest stehende Tischplatte, legt eine Schlinge darum und misst mit einer Federwaage die parallel zur Tischebene erforderliche Verschiebekraft F bei konstanter Geschwindigkeit (a). Sie ist notwendig, um die zwischen beiden Körpern wirkende Reibungskraft F R zu überwinden. Man erkennt: Die Reibungskraft F R ist eine in der Berührungsfläche wirkende Tangentialkraft. Sie versucht den schnelleren Körper (das Wägestück) zu verzögern, den langsameren oder stillstehenden Körper (den Tisch) dagegen zu beschleunigen. Die Kupplung ist ein gutes Beispiel dafür. Bewegen sich beide Körper gegensinnig zueinander, dann wirkt die Reibungskraft auf beide verzögernd. b) Verschiebt man einen Körper mit anderer Grundfläche, aber gleichem Werkstoff und gleicher Masse m ¼ 5 kg in gleicher Weise, so stellt sich an der Federwaage die gleiche Kraftanzeige ein. Man erkennt: Die Reibungskraft F R ist unabhängig von der Größe der Gleitfläche. Man kann diese merkwürdige Erscheinung damit erklären, dass auch glatte, ebene Flächen nur in drei Punkten aufliegen. c) Verdoppelt man die Masse auf 10 kg, so verdoppelt sich auch die Gewichtskraft F G und damit auch die Normalkraft F N zwischen beiden Körpern. An der Federwaage stellt sich jetzt die doppelte Verschiebekraft ein, d. h. es muss jetzt mit 0 N statt vorher mit 10 N gezogen werden. Man erkennt: Die Reibungskraft F R ist proportional der Normalkraft F N, mit der die beiden Flächen aufeinander gedrückt werden. d) Benutzt man für das Wägestück eine andere Unterlage, z. B. eine Hartfaserplatte, so stellt sich auch eine andere Verschiebekraft, also auch eine andere Reibungskraft ein. Man erkennt: Die Reibungskraft ist abhängig von den Werkstoffen der beiden aufeinander gleitenden Körper. A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _3, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

114 90 3 Reibung e) Schon bevor das Wägestück aus der Ruhe in die Bewegung gebracht wird, zeigt die Federwaage eine Kraft an, die von null bis zu einem Höchstwert ansteigt, der größer ist, als die Reibungskraft F R zwischen gleitenden Flächen. Man erkennt: Auch zwischen ruhenden Körpern kann eine Reibungskraft wirken. Man nennt sie die Haftreibungskraft F R0. Sie kann größer werden als die Gleitreibungskraft F R. f) Durch weitere Versuche kann man noch zu folgenden Erkenntnissen kommen: Bei nicht allzu großer Gleitgeschwindigkeit ist die Reibungskraft F R unabhängig von der Gleitgeschwindigkeit zwischen beiden Flächen. Auch ein rollender Körper wird durch eine Kraft abgebremst, die man den Rollwiderstand nennt. Er ist erfahrungsgemäß kleiner als die Gleit- oder Haftreibungskraft. Innerhalb bewegter (strömender) Flüssigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf. Auch sie versucht, die schnelleren Strömungsfäden zu verlangsamen und die langsameren zu beschleunigen. 3. Gleitreibung und Haftreibung 3..1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft Ein Körper drückt mit seiner Gewichtskraft F G ¼ Normalkraft F N auf eine horizontale Gleitfläche und wird durch die Kraft F mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bewegt. Beim Verschieben muss die Gleitreibungskraft überwunden werden. Sie wirkt immer tangential in der Berührungsfläche. Den Richtungssinn findet man aus folgender Ûberlegung: freigemachter Körper Die Reibungskraft versucht, den schnelleren Körper zu verzögern, den langsameren (oder stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. Ruhen beide Körper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibungskraft. Der Kräfteplan zeigt die vier miteinander im Gleichgewicht stehenden Kräfte. Die eingezeichnete Diagonale ist die Resultierende aus der Normalkraft F N und der Reibungskraft F R, die als Ersatzkraft F e bezeichnet werden kann. Man sieht, dass mit zunehmender Reibungskraft F R der Winkel r zwischen Normalkraft F N und Ersatzkraft F e größer wird und dass die Reibungskraft der Tangensfunktion dieses Winkels proportional ist. Man nennt ihn den Reibungswinkel r. Seine Tangensfunktion wird als Reibungszahl m bezeichnet. Kräfte auf die Gleitfläche Hinweis: Das Kippproblem durch die Kräftepaare F G, F N und F, F R bleibt hier unbeachtet, siehe dazu tan r ¼ F R F N ) F R ¼ F N tan r Reibungszahl m ¼ tan r Kräfteplan

115 3. Gleitreibung und Haftreibung 91 Aus diesen Beziehungen erhält man eine Gleichung zur Berechnung der Reibungskraft F R. Ruhen beide Körper aufeinander, kann die Haftreibungskraft von null bis auf einen Höchstwert anwachsen, der größer ist als F R. Dann ist aber auch der Reibungswinkel größer als r. Man bezeichnet ihn als den Haftreibungswinkel r 0. Seine Tangensfunktion ist die Haftreibungszahl m 0. Sie ist größer als die Gleitreibungszahl m, weil die Oberflächenrauigkeiten im Ruhezustand ineinander eindringen können und dadurch zusätzliche Haftwirkung entsteht. Wie oben erhält man eine Gleichung zur Berechnung der maximalen Haftreibungskraft F R0 max. Die Reibungszahlen m und m 0 sind kleiner als eins. Folglich sind F R und F R0 max immer ein Bruchteil der Normalkraft F N. Reibungskraft ¼ Normalkraft Reibungszahl F R ¼ F N m Reibungskraft Haftreibungszahl m 0 ¼ tan r 0 m 0 > m, weil r 0 > r Beachte: Reibungszahlen können nur durch Versuche ermittelt werden (siehe 3..). Sie sind unterschiedlich auch bei gleichartigen Bedingungen (Werkstoff, Schmierzustand, Rautiefen) durch nicht erfassbare Einflüsse. Angegebene Werte sind immer nur Richtwerte. maximale Haftreibungskraft ¼ Normalkraft Haftreibungszahl F R0 max ¼ F N m 0 Tabelle 3.1 Reibungszahlen m 0 und m (Klammerwerte sind die Gradzahlen für r 0 und r) 1) maximale Haftreibungskraft Werkstoff Haftreibungszahl m 0 Gleitreibungszahl m trocken gefettet trocken gefettet Stahl auf Stahl 0,15 (8,5) 0,1 (5,7) 0,15 (8,5) 0,01 (0,6) Stahl auf Gusseisen (GJL) oder CuSn-Leg. 0,19 (10,8) 0,1 (5,7) 0,18 (10,) 0,01 (0,6) Gusseisen (GJL) auf Gusseisen (GJL) 0,16 (9,1) 0,1 (5,7) Holz auf Holz 0,5 (6,6) 0,16 (9,1) 0,3 (16,7) 0,08 (4,6) Holz auf Metall 0,7 (35) 0,11 (6,3) 0,5 (6,6) 0,1 (5,7) Lederriemen auf Gusseisen (GJL) 0,3 (16,7) Gummiriemen auf Gusseisen (GJL) 0,4 (1,8) Textilriemen auf Gusseisen (GJL) 0,4 (1,8) Bremsbelag auf Stahl 0,5 (6,6) 0,4 (1,8) Lederdichtungen auf Metall 0,6 (31) 0, (11,3) 0, (11,3) 0,1 (6,8) 1) Die angegebenen Reibungszahlen sind Mittelwerte für praktisch auftretende Streubereiche, z. B. m Stahl ¼ 0,14...0, Ermittlung der Reibungszahlen m und m 0 Zur Ermittlung der Reibungszahlen benutzt man eine Schiefe Ebene mit verstellbarem und ablesbarem Neigungswinkel. Schiefe Ebene ist die übliche Bezeichnung für geneigte Ebenen mit dem Ebenenwinkel a 6¼ 0. Der Prüfkörper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene solange in Ruhe, bis der Neigungswinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r 0 ist. Liegt die Ebene unter dem Reibungswinkel r, dann gleitet der Körper nach dem Anstoßen mit gleich bleibender Geschwindigkeit abwärts.

116 9 In beiden Fällen ist der Prüfkörper im Gleichgewicht; es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft F N und Gewichtskraft F G ist beim Gleiten der Reibungswinkel r, denn F G ist die Gegenkraft der Ersatzkraft F e. Eine Betrachtung der geometrischen Verhältnisse zeigt, dass der Reibungswinkel r im Krafteck gleich dem Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist. Man braucht beim Versuch also nur den Neigungswinkel der schiefen Ebene abzulesen. Seine Tangensfunktion ist die Reibungszahl m (oder m 0 ). Zum gleichen Ergebnis kommt man auch mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als x-achse legt man die Richtung der schiefen Ebene fest und zerlegt die Gewichtskraft in ihre Komponenten F G sin r und F G cos r. Dann müssen beim gleichförmigen Abwärtsgleiten die Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 erfüllt sein. Die Gleichungsentwicklung zeigt, dass der Tangens des Neigungswinkels gleich der Reibungszahl m ist, also ist auch der Neigungswinkel gleich dem Reibungswinkel r. Versuche mit verändertem Neigungswinkel a lassen erkennen, dass der Körper solange in Ruhe bleibt, solange a r 0 ist. Der Bereich zwischen den Winkeln null und r 0 heißt Selbsthemmungsbereich. freigemachter Prüfkörper tan r ¼ F R F N ¼ m Krafteck tan r 0 ¼ F R0 max F N ¼ m 0 Lageskizze I. SF x ¼ 0 ¼ F G sin r þ F R II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos r F G sin r ¼ F R ¼ F N m; F G cos r ¼ F N F G sin r F G cos r ¼ F N m ¼ m ¼ tan r F N Wenn a r 0 ist, dann ist auch tan a tan r 0 tan a m 0 3 Reibung Selbsthemmungsbedingung 3..3 Der Reibungskegel Ist die Reibungszahl m 0 und damit der Reibungswinkel r 0 bekannt, kann der so genannte Reibungskegel gezeichnet werden. Man dreht dazu eine um den Reibungswinkel r 0 gegen die Wirklinie der Normalkraft F N geneigte Gerade um die Pfeilspitze von F G. Der Körper bleibt solange in Ruhe, wie die Resultierende F r aller äußeren Kräfte innerhalb des Reibungskegels liegt. Jede Mantellinie des Reibungskegels ist eine Wirklinie der aus Haftreibungskraft F R0 max und der Normalkraft (hier F G ¼ F N ) zusammengesetzten Ersatzkraft F e.

117 3. Gleitreibung und Haftreibung 93 Lehrbeispiel: Reibung in Ruhe und Bewegung Aufgabenstellung: Zwei Körper a und b mit den Gewichtskräften F G1 und F G liegen übereinander auf einer ebenen Unterlage. In den beiden Gleitflächen sind die Reibungszahlen: m 0I ¼ 0,19 m I ¼ 0,17 m 0II ¼ 0,1 m II ¼ 0,11 Körper b I II F G1 = 5 N F G = 4 N Körper a F a) Wie groß muss F werden, damit der Ruhezustand gerade aufgehoben wird? Wie verhält sich Körper b? Lösung: F R0I max größte Reibungskraft, die Körper a auf b in Richtung von F ausübt, bevor Gleiten eintritt. F G1 F R0Imax F R0II max größte Reibungskraft, die den Körper b am Verschieben in Richtung von F hindert. I II FürKörper b gilt: SF y ¼ 0 ¼ F G1 F G þ F N ; F N ¼ F G1 þ F G F R0 II max Körper b F F G SF x ¼ 0 ¼ F R0I max F R0II max N F R0I max ¼ F G1 m 0I ¼ 5 N 0,19 ¼ 9,88 N Lageskizze F R0II max ¼ F N m 0II ¼ðF G1 þ F G Þm 0II ¼ 76 N 0,1 ¼ 9,1 N Erkenntnis: Die Reibungskraft in der Ebene II ist kleiner. Der Ruhezustand wird hier zuerst aufgehoben. Die Kraft F muss sein: F ¼ F R0II max ¼ 9,1 N Körper a bleibt zu b in Ruhe, sie gleiten gemeinsam auf der Unterlage. b) Wie groß muss F sein, wenn a schon in Bewegung ist und weitergleiten soll, während b festgehalten wird? I F RI F N F G1 F Körper a Lösung: SF y ¼ 0 ¼ F G1 þ F N SF x ¼ 0 ¼ F F RI F N ¼ F G1 F ¼ F RI ¼ F N m I ¼ F G1 m I F ¼ 5 N 0,17 ¼ 8,84 N Lageskizze Mit F 8,84 N bleibt a in Bewegung. c) Was geschieht, wenn beim Vorgang in Aufgabe b) der Körper b plötzlich losgelassen wird? F G1 I II F R0 II max FN F G F RI Körper b F RI ¼ Reibungskraft von Körper a auf b beim Gleiten ausgeübt¼ Mitnahmekraft. F RI ¼ 8,84 N siehe b) F R0II max ¼ Reibungskraft, die Körper b auf seiner Unterlage am Verschieben hindert. F R0II max ¼ 9,1 N siehe a) F R0II max > F RI Lageskizze Beim Loslassen bleibt Körper b in Ruhe.

118 94 3 Reibung 3..4 Ûbungen zur Lösung von Reibungsaufgaben Reibungsaufgaben können zeichnerisch oder rechnerisch gelöst werden. Es werden dazu dieselben, aus der Statik bekannten Verfahren, benutzt. Nur muss man jetzt schon beim Freimachen auch die Reibungskräfte (Tangentialkräfte) mit berücksichtigen. Bei jeder rechnerischen Lösung wird schon im Lösungsansatz die Reibungskraft durch das Produkt aus Normalkraft und Reibungszahl ersetzt: F R ¼ F N m. Dann ergeben sich wieder Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten, die in der bekannten Weise aufgelöst werden. 1. Ûbung: Die skizzierte Backenbremse wird mit der Kraft F ¼ 00 N angezogen. Die Reibungszahl beträgt m ¼ 0,5. Abmessungen: l ¼ 700 mm l 1 ¼ 50 mm l ¼ 100 mm d ¼ 300 mm Für Rechtsdrehung der Bremsscheibe sollen rechnerisch ermittelt werden: Reibungskraft F R, Normalkraft F N auf die Bremsbacke, Lagerkraft F D im Drehpunkt D des Bremshebels, Bremsmoment M. Aufgabenskizze Lösung: Man zeichnet die Lageskizzen des freigemachten Bremshebels und der freigemachten Bremsscheibe. Zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz wirken an jedem Flächenteilchen Teil-Normalkräfte und Teil-Reibungskräfte. Die resultierende Normalkraft F N und die entsprechende resultierende Reibungskraft F R greifen am oberen Berührungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsklotz an. Die Normalkraft F N wirkt bezogen auf den Bremshebel in y-richtung nach oben, bezogen auf die Bremsscheibe entgegengesetzt nach unten. Die Reibungskraft F R wirkt bezogen auf den Bremshebel und bei rechtsdrehender Bremsscheibe nach rechts, bezogen auf die Bremsscheibe nach links. Beim Festlegen des Richtungssinns der Reibungskraft F R muss immer sorgfältig überlegt werden. Ein falscher Richtungssinn für die Reibungskraft führt zu falschen Ergebnissen der folgenden Rechnungen.

119 3. Gleitreibung und Haftreibung 95 Begonnen wird mit den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Bremshebel. Als Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung wird der Hebeldrehpunkt D gewählt: SM ðdþ ¼ 0. Aus Gleichung III kann man die Normalkraft F N berechnen. Mit F R ¼ F N m erhält man dann die Reibungskraft F R. F R zffl} ffl{ I: SF x ¼ 0 ¼ F N m FDx II: SF y ¼ 0 ¼ F N F F Dy III: SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 þ F N ml Fl l III. F N ¼ F l 1 þ ml 700 mm F N ¼ 00 N ð50 þ 0,5 100Þ mm ¼ 466,7 N F R ¼ F N m ¼ 33,3 N Mit den Gleichungen I und II erhält man Berechnungsgleichungen für die Lagerkraftkomponenten F Dx und F Dy und damit auch für F D. I. F Dx ¼ F N m ¼ 33,3 N II. F Dy ¼ F N F ¼ð466,7 00Þ N ¼ 66,7 N qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F D ¼ F Dx þ F Dy ¼ 354,3 N Das Bremsmoment M ist das statische Moment des Kräftepaares, das aus den beiden Reibungskräften gebildet wird. M ¼ F R d ¼ 33,3 N 0,15 m ¼ 35 Nm. Ûbung: Für dieselbe Bremse wie in der ersten Ûbung sollen die unbekannten Kräfte zeichnerisch ermittelt werden, jedoch für eine Linksdrehung der Bremsscheibe. Lösung: Man zeichnet den Lageplan des Bremshebels. Damit ist maßstäblich die Lage der Angriffspunkte aller am Bremshebel angreifenden Kräfte bekannt. Es sind drei Angriffspunkte. Man löst daher die Aufgabe nach dem 3-Kräfteverfahren (1..4.3, Seite 8). Die Wirklinie der Kraft F kann man gleich einzeichnen. Am Punkt R greift die nach links wirkende Reibungskraft F R an, ebenso die nach oben wirkende Normalkraft F N. Punkt D ist der Angriffspunkt der Lagerkraft F D, deren Wirklinie noch gefunden werden muss. Bei allen Reibungsaufgaben dieser Art, bei denen die Reibungszahl m bekannt ist, muss man sich immer als Erstes fragen, wie die Wirklinie der Ersatzkraft F e einzuzeichnen ist. Mit der Reibungszahl m ist immer auch der Reibungswinkel r ¼ arctan m bekannt. Er beträgt hier r ¼ arctan 0,5 ¼ 6,6. Lageplan Längenmaßstab M L ¼ 150 mm cm (1 cm ¼b 150 mm)

120 96 3 Reibung Entsprechend dem Richtungssinn von F R und F N wirkt die Ersatzkraft F e nach links oben. Damit ist die Lage der Wirklinie WL F e gefunden. Man bringt nun WL F e und WL F zum Schnittpunkt S und hat damit auch die Lage der Wirklinie WL F D der gesuchten Lagerkraft. Den Kräfteplan beginnt man mit dem Aufzeichnen der gegebenen Kraft F. Durch Anfangs- und Endpunkt von F werden Parallelen zu den Wirklinien WL F e und WL F D im Lageplan gezeichnet. Damit hat man die Längen der Kraftpfeile für die Ersatzkraft F e und für die Lagerkraft F D. Der Richtungssinn ergibt sich aus der Bedingung des fortlaufenden Kräftezugs ( Einbahnverkehr ) für das geschlossene Krafteck. Kräfteplan Kräftemaßstab: M K ¼ 00 N cm (1 cm ¼b 00 N) Die horizontale Komponente der Ersatzkraft F e ist die Reibungskraft F R, die vertikale Komponente ist die Normalkraft F N. Auf gleiche Weise findet man die Komponenten F Dx und F Dy der Lagerkraft F D. Die Multiplikation der abgemessenen Pfeillängen mit dem festgelegten Kräftemaßstab M K ergibt die Beträge für die gesuchten Kräfte. Man misst ab: F D ¼ 3cm00 N cm ¼ 600 N F Dx ¼ 1,75 cm 00 N cm ¼ 350 N F Dy ¼,5 cm 00 N cm ¼ 500 N F N F R ¼ 3,5 cm 00 N cm ¼ 700 N ¼ 1,75 cm 00 N cm ¼ 350 N Bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe betrug die Reibungskraft F R ¼ 33,3 N. Bei Linksdrehung ist sie größer: F R ¼ 350 N. Folglich ist bei Linksdrehung auch das Bremsmoment M größer als bei Rechtsdrehung der Bremsscheibe. M (Rechtsdrehung) ¼ 35 Nm d M (Linksdrehung) ¼ F R ¼ 350 N 0,15 m ¼ 5,5 Nm

121 3. Gleitreibung und Haftreibung Ûbung: In der skizzierten Stellung lehnt eine Leiter von der Länge l an der senkrechten Wand. Mit dem waagerechten Boden schließt sie den Neigungswinkel a ein. Neben l und a sind die Reibungszahlen m A und m B in den Stützpunkten A und B bekannt. Eine Person mit der Gewichtskraft F G besteigt die Leiter. Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Form h ¼ f (l, a, m A, m B, F G ) für die Steighöhe h, bei der die Leiter zu rutschen beginnt. Aufgabenskizze Lösung: Man zeichnet die Lageskizze der freigemachten Leiter im Zustand des Rutschbeginns. Im Stützpunkt A wirkt die vertikale Wand mit der Normalkraft F NA nach rechts auf die Leiter und die Reibungskraft F RA ¼ F NA m A nach oben. In B wirkt die Normalkraft F NB nach oben, die Reibungskraft F RB ¼ F NB m B nach links auf die Leiter. Man kann nun die drei Gleichgewichtsbedingungen für das ebene Kräftesystem ansetzen und auswerten. Lageskizze der freigemachten Leiter bei Rutschbeginn Mit dem richtigen Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen wird der physikalische Sachverhalt in Bezug auf die Leiter vollständig erfasst. Daher kürzt man die nun erforderlichen algebraischen Rechnungen zur Ermittlung der gesuchten Gleichung für die Steighöhe h ab. I. SF x ¼ 0 ¼ F NA F NB m B II. SF y ¼ 0 ¼ F NA m A þ F NB F G l 1 III. SF ðbþ ¼ 0 ¼ F NA l sin a z} { h F NA m A l cos a þ F G tan a

122 98 Es stehen drei voneinander unabhängige Gleichungen für die drei unbekannten Größen h, F NA und F NB zur Verfügung. Das Gleichungssystem ist lösbar. Wichtigste Erkenntnis der Entwicklung: Die Gewichtskraft F G fällt heraus. Die Steighöhe h ist nur abhängig von der Leiterlänge l, dem Neigungswinkel a und den Reibungszahlen, dagegen nicht von der Gewichtskraft. Aus I. F NB ¼ F NA eingesetzt in II.: m B II. F NA m A þ F NA F NA m A þ 1 m B F G ¼ 0 m B ¼ F G F G 3 Reibung F NA ¼ m A þ 1 eingesetzt in III.: m B h F G tan a ¼ F G l m A þ 1 ðsin a þ m A cos aþ m B h ¼ l tan a m A þ 1 m B ðsin a þ m A cos aþ Ein numerisches Beispiel mit l ¼ 4m, a ¼ 60, m A ¼ m B ¼ 0, ergibt die Steighöhe h ¼ 1,87 m. Beispiel: m A ¼ m B ¼ 0, l ¼ 4m;a ¼ 60 Zur Sicherheit wird hier mit der Gleitreibungszahl m A ¼ m B ¼ 0, gerechnet. h ¼ 4mtan 60 0, þ 1 ðsin 60 þ 0, cos 60 Þ 0, h ¼ 1,87 m Die zeichnerische Lösung der Aufgabe wird am Beispiel einer Zylinderführung vorgeführt. (Abschnitt 3.4., Seite 114). Aufgaben Nr

123 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Reibung auf der schiefen Ebene Reibungsbetrachtungen an vielen Maschinenteilen (z. B. Schraube, Schnecke, Keil) lassen sich auf die Reibungsverhältnisse eines Körpers auf der schiefen Ebene zurückführen. Man unterscheidet drei Grundfälle, je nachdem, ob der Körper auf der schiefen Ebene nach oben oder nach unten verschoben oder gehalten werden soll. Es werden die Fälle anhand von Aufgaben mit unterschiedlicher Wirklinie der Verschiebekraft untersucht. Die Lösung sucht man auf analytischem Weg mit den beiden rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0). Anschließend wertet man das unmaßstäblich gezeichnete Krafteck (Krafteckskizze) trigonometrisch aus. Auf eine maßstäbliche zeichnerische Lösung wird verzichtet. Sie ist hier umständlich und wegen der meist kleinen Reibungswinkel ungenau, z. B. ist fürm ¼ 0,1 der Reibungswinkel r ¼ 5,7 (siehe Seite 91). Den Körper stellt man sich sehr flach vor, so dass er nicht kippen kann. Dann können die Kräfte als zentrales Kräftesystem behandelt werden. Diese Vereinfachung ist technisch zulässig, und sie hilft, das Reibungsproblem besser zu erkennen. Die mathematischen Bedingungen werden einfacher, weil dann keine Kräftepaare berücksichtigt werden müssen Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall) Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Ein Körper liegt auf einer schiefen Ebene, die unter dem Ebenenwinkel a zur Waagerechten geneigt ist. Die Zugkraft F wirkt unter dem Zugwinkel b zur Waagerechten. Der Körper wird durch die Kraft F mit gleichbleibender Geschwindigkeit nach oben gezogen. Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Zugkraft F entwickelt werden. Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers mit der Gewichtskraft F G und ihren Komponenten F G sin a und F G cos a, der Zugkraft F und deren Komponenten F sin g und F cos g, der Normalkraft F N und der Reibungskraft F R ¼ F N m. Die Reibungskraft F R bremst den Körper gegenüber der ruhenden schiefen Ebene. Sie wirkt daher der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen nach links unten. Die x-achse des rechtwinkligen Achsenkreuzes legt man in Richtung der schiefen Ebene. Dann wird die Lageskizze mit den Kraftkomponenten übersichtlicher, und es ergeben sich einfachere rechnerische Beziehungen. Den Winkel b a bezeichnet man mit dem griechischen Buchstaben g. Gegeben: F G, a, b, m Gesucht: F ¼ f (F G, a, b, m) Aufgabenskizze 1. Schritt Lageskizze

124 100 Aus der Lageskizze können die beiden Gleichgewichtsbedingungen abgelesen werden. Man löst Gleichung II nach der Normalkraft F N auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die neue Gleichung I wird nach der Zugkraft F aufgelöst. Damit erhält man die gesuchte Beziehung F ¼ f (F G, a, g, m) und mit g ¼ b a F ¼ f (F G, a, b, m) Diese Gleichung sieht recht kompliziert aus. Aber sie gilt auch für den allgemeinen Kraftrichtungsfall. Bei technischen Geräten wirkt die Kraft F meist parallel (Schrägaufzug) oder waagerecht (Schraube) zur schiefen Ebene. Die Zugkraftgleichung wird dann einfacher.. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F cos g F G sin a F R II. SF y ¼ 0 ¼ F N þ F sin g F G cos a F R ¼ F N m 3. Schritt II. F N ¼ F G cos a F sin g I. SF x ¼ 0 ¼ F cos g F G sin a ðf G cos a F sin gþ m fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} F N F cos g þ F sin gm ¼ F G sin a þ F G m cos a F ¼ F G sin a þ m cos a cos g þ m sin g sin a þ m cos a F ¼ F G cos ðb aþþmsin ðb aþ Zugkraft beim Aufwärtszug 3 Reibung Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lösung: Man zeichnet wieder die Lageskizze. Sie unterscheidet sich von der vorhergehenden nur durch die Richtung der Zugkraft F. Sie wirkt jetzt in Richtung der schiefen Ebene, das heißt, der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a. Man schreibt die allgemein gültige Zugkraftgleichung auf und ersetzt darin den Zugwinkel b durch den Ebenenwinkel a: ðb ¼ aþ. Im Nenner ist cos ða aþ ¼cos 0 ¼ 1, sin ða aþ ¼sin 0 ¼ 0. Damit erhält man die spezielle Gleichung für den Fall, dass die Zugkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. Weil in Ûbungsaufgaben und Klausuren häufig die Herleitung der Zugkraftgleichung für den speziellen Fall verlangt wird, entwickelt man die Gleichung noch einmal mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0. Das ist auch eine Kontrolle des Ergebnisses der vorhergehenden Entwicklung aus der allgemeinen Zugkraftgleichung. 1. Schritt Lageskizze. Schritt sin a þ m cos a F ¼ F G cos ðb aþþmsin ðb aþ sin a þ m cos a F ¼ F G cos ða aþ þ m sin ða aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 0 F ¼ F G ðsin a þ m cos aþ F ¼ f (F G, a, m) 3. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F F G sin a F N m II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a ) F N ¼ F G cos a Der Ausdruck für F N wird in I. eingesetzt: I. SF x ¼ 0 ¼ F F G sin a F G cos am F ¼ F G ðsin a þ m cos aþ

125 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 101 Trigonometrische Lösung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers mit der Gewichtskraft F G, der Verschiebekraft F, der Normalkraft F N und der Reibungskraft F R. Lageskizze 1. Schritt In der Krafteckskizze zeichnet man zuerst die Normalkraft F N (unmaßstäblich) in Normalenrichtung zur schiefen Ebene und schließt rechtwinklig zu ihr die Reibungskraft F R in beliebiger Länge an (dünne Pfeile). Beide werden zur Ersatzkraft F e zusammengefasst. Dann schließt man das Krafteck, indem in den Anfangspunkt der Kraft F e die Gewichtskraft F G und in ihren Endpunkt die Kraft F gelegt wird. Den Reibungswinkel r trägt man zwischen der Normalkraft F N und der Ersatzkraft F e, den Ebenenwinkel a der schiefen Ebene zwischen der Normalkraft F N und der Gewichtskraft F G ein. Krafteckskizze. Schritt Beachte: Zwischen F N und F e liegt immer der Reibungswinkel r, zwischen F N und F G liegt immer der Ebenenwinkel a der schiefen Ebene, zwischen F R und F e liegt immer der Winkel 90 r. Nun wird der Sinussatz für die Kräfte F und F G und die ihnen gegenüber liegenden Winkel nach der Krafteckskizze angesetzt und daraus eine Gleichung für die Kraft F entwickelt. Man erkennt, dass die Kraft F von der Gewichtskraft F G, dem Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r abhängig ist. 3. Schritt F sin ða þ rþ ¼ F G sin ð90 rþ ¼ F G cos r Beachte: sin ð90 rþ ¼cos r F ¼ F G sin ða þ rþ cos r F ¼ f (F G, a, r) Man entwickelt die Gleichung mit Hilfe des Additionstheorems sin ða þ bþ ¼sin a cos b þ cos a sin b weiter und erhält sie wieder in der Form mit der Reibungszahl m. Wird der Körper aus der Ruhe nach oben in Bewegung gesetzt, tritt im Krafteck an die Stelle der Reibungskraft F R die Haftreibungskraft F R0 max und an die Stelle des Reibungswinkels r der Haftreibungswinkel r 0. Beide Gleichungen gelten auch für diesen Fall, nur muss r durch r 0 und m durch m 0 ersetzt werden. 4. Schritt sin ða þ rþ ¼sin a cos r þ cos a sin r sin a cos r þ cos a sin r F ¼ F G cos r F ¼ F G sin a cos r sin r þ cos a cos r cos r Hierin ist sin r cos r ¼ tan r ¼ m F ¼ F G ðsin a þ m cos aþ F ¼ f (F G, a, m)

126 10 Nachbetrachtung: Beide Gleichungen sind Funktionsgleichungen. Sie zeigen die Abhängigkeit der gesuchten Kraft F von den Einflussgrößen F G, a, r und m: F ¼ f ðf G, a, rþ oder F ¼ f ðf G, a, mþ Man erkennt: Die Kraft F wird umso größer, je größer die Gewichtskraft F G des Körpers ist, je größer der Ebenenwinkel a ist und je größer der Reibungswinkel r oder die Reibungszahl m ist. Sie erreicht einen Höchstwert, wenn der Ebenenwinkel a ¼ 90 r ist Zugkraft F wirkt waagerecht Analytische Lösung: Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Zugkraft F soll diesmal waagerecht wirken. Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung für das Verständnis von Schraubgetrieben (Spindelpresse) und für die Berechnung von Befestigungsschrauben. Auch hier wird zunächst vom allgemeinen Fall ausgegangen, bei dem die Zugkraft F unter einem beliebigen Zugwinkel b zur Waagerechten wirkt. Man setzt in der allgemein gültigen Zugkraftgleichung den Zugwinkel b ¼ 0, denn die Wirklinie der Zugkraft F soll waagerecht liegen. Für die trigonometrischen Funktionen im Nenner gilt cos ð aþ ¼cos a und sin ð aþ ¼ sin a. Damit erhält man die spezielle Gleichung für den Fall, dass die Zugkraft F waagerecht wirkt. Es soll auch für diesen Fall die Zugkraftgleichung mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 hergeleitet werden. Gleichung II löst man nach der Normalkraft F N auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. Die Endgleichung stimmt mit der vorhergehenden überein. Die Diskussion der ersten Gleichung zeigt: Die Kraft F ist der Gewichtskraft F G proportional; sie wächst mit dem Ebenenwinkel a und dem Reibungswinkel r, denn die Summe a þ r wird größer und damit auch ihre Sinusfunktion, während cos r kleiner wird; den Höchstwert erreicht F, wenn a ¼ 90 r ist, denn dann wird sin ða þ rþ ¼1, die Kraft F ist größer als F G und nimmt bei zunehmendem Ebenenwinkel wieder ab, bis sie bei a ¼ 90 genauso groß ist wie die Gewichtskraft, weil sin ð90 þ rþ ¼cos r. 1. Schritt Lageskizze. Schritt sin a þ m cos a F ¼ F G cos ðb aþþmsin ðb aþ sin a þ m cos a F ¼ F G cos ð0 aþ þ m sin ð0 aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} cos a sin a sin a þ m cos a F ¼ F G F ¼ f ðf G, a, mþ cos a m sin a 3. Schritt F R z} { I. SF x ¼ 0 ¼ F cos a F N m F G sin a II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a F sin a F N ¼ F G cos a þ F sin a I. SF x ¼ 0 ¼ F cos a F G sin a ðf G cos a þ F sin aþ m Fðcos a m sin aþ ¼F G ðsin a þ m cos aþ F ¼ F G sin a þ m cos a cos a m sin a 3 Reibung

127 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 103 Häufiger wird die Gleichung mit dem Reibungswinkel r anstelle der Reibungszahl m gebraucht, zum Beispiel beim Schraubengewinde. Zur Umwandlung der Gleichung wird eingesetzt: Reibungszahl m ¼ tan r ¼ sin r cos r (siehe Abschnitt 3..1, Seite 90) Wird nun Zähler und Nenner auf den gemeinsamen Nenner cos r gebracht, erhält man mit den entsprechenden Additionstheoremen die gesuchte Gleichung mit dem Reibungswinkel r. Mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Lösung kann man diese Gleichung direkt aus der Krafteckskizze ablesen. Trigonometrische Lösung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers. Die Krafteckskizze wird wieder mit der Normalkraft F N begonnen, an die man rechtwinklig die Reibungskraft F R (nach links unten) anschließt. Beide werden durch die Ersatzkraft F e ersetzt. Dann schließt man das Krafteck aus F e, F G und F und trägt die Winkel a und r ein. Das Krafteck ist ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem man die Gleichung für die Verschiebekraft F ablesen kann. Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der Körper aus der Ruhe nach oben angezogen wird, wenn r durch r 0 ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die Verschiebekraft F größer wird mit zunehmender Gewichtskraft F G, zunehmendem Ebenenwinkel a und zunehmendem Reibungswinkel r. Ist a ¼ 0, dann ist die Verschiebekraft F gleich der Reibungskraft F R. Wächst der Neigungswinkel gegen a ¼ 90 r, geht die Verschiebekraft F gegen unendlich, d. h. schon bevor der Ebenenwinkel a ¼ 90 erreichen wird, ist eine Verschiebung nicht mehr möglich. sin a þ sin r cos r cos a F ¼ F G cos a sin r cos r sin a sin a cos r þ cos a sin r cos r F ¼ F G cos a cos r sin a sin r cos r F ¼ F G sin ða þ rþ cos ða þ rþ F ¼ F G tan ða þ rþ F ¼ F G tan ða þ rþ 4. Schritt F ¼ f ðf G, a, rþ Lageskizze Krafteckskizze 1. Schritt. Schritt 3. Schritt F ¼ f ðf G, a, rþ Ist a ¼ 0, wird tan ða þ rþ ¼tan r ¼ m, und damit F ¼ F G m. Bei waagerechter Ebene ist F G ¼ F N, folglich auch F ¼ F N m ¼ F R. Ist a ¼ 90 r, dann ist tan ða þ rþ ¼tan ð90 r þ rþ und tan 90 ¼1. Dann wird F ¼ F G 1¼1.

128 104 3 Reibung 3.3. Halten des Körpers auf der schiefen Ebene (. Grundfall) Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel Die geometrischen Größen sind die gleichen wie in den vorhergehenden Untersuchungen. Der Körper steht gerade vor dem Abgleiten und soll durch die Kraft F auf der schiefen Ebene in Ruhestellung gehalten werden. Die entsprechende Gleichung soll mit Hilfe der beiden Kraft-Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 gefunden werden. Man zeichnet wieder die Lageskizze des freigemachten Körpers mit der x-achse des Achsenkreuzes in Richtung der schiefen Ebene. Im Gegensatz zum 1. Grundfall (Verschieben nach oben) wirkt hier die maximale Haftreibungskraft F R0 max ¼ F N m 0 am Körper nach rechts oben. Sie versucht, ihn in der Ruhelage zu halten. Die dann noch erforderliche Haltekraft F ist mit Sicherheit kleiner als die Zugkraft zum Aufwärtsziehen im 1. Grundfall. Wegen der Ruhelage des Körpers gilt als Reibungszahl die Haftreibungszahl m 0, nicht die (kleinere) Gleitreibungszahl m. Gegeben: F G, a, b, m 0 Gesucht: F ¼ f ðf G, a, b, m 0 Þ Aufgabenskizze 1. Schritt Lageskizze. Schritt Aus der Lageskizze liest man die beiden Gleichgewichtsbedingungen ab und geht dann genau so vor wie im 1. Grundfall. Ein Vergleich zeigt, dass sich die beiden Gleichungssysteme nur durch den Richtungssinn der Reibungskraft unterscheiden. I. SF x ¼ 0 ¼ F cos g F G sin a þ F R0 max F R0 max ¼ F N m 0 II. SF y ¼ 0 ¼ F N þ F sin g F G cos a Gleichung II löst man nach der Normalkraft F N auf und setzt diesen Ausdruck in Gleichung I ein. II. F N ¼ F G cos a F sin g 3. Schritt Diese neue Gleichung I löst man nach der Haltekraft F auf und erhält damit die gesuchte Beziehung F ¼ f ðf G, a, g, m 0 Þ und mit g ¼ b a F ¼ f ðf G, a, b, m 0 Þ I. SF x ¼ 0 ¼ F cos g F G sin a þ þðf G cos a F sin gþ m fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 0 F N Fðcos g m 0 sin gþ ¼F G ðsin a m 0 cos aþ sin a m F ¼ F 0 cos a G cos g m 0 sin g

129 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 105 Sieht man sich dazu die entsprechende Gleichung im 1. Grundfall (Seite 100) an, erkennt man, dass sich beide Gleichungen nur durch die Vorzeichen der m 0 -Glieder unterscheiden. Die einzelnen Glieder selbst sind gleich. sin a m F ¼ F 0 cos a G cos ðb aþ m 0 sin ðb aþ F ¼ f ðf G, a, b, m 0 Þ Haltekraft F bei ruhendem Körper Es ist noch zu überlegen, ob und wie die Haltekraft F sich ändert, wenn der Körper mit konstanter Geschwindigkeit abwärts gleitet. Da die Reibungskraft ihren Richtungssinn nach rechts oben beibehält, gibt es nur eine Ønderung in der Gleichung für die Haltekraft F: An die Stelle der Haftreibungszahl m 0 tritt die Gleitreibungszahl m. Da m < m 0 ist, muss die Haltekraft F beim gleichförmigen Abwärtsgleiten größer sein als beim Halten des Körpers, weil die Gleitreibungskraft kleiner ist als die Haftreibungskraft. 4. Schritt sin a m cos a F ¼ F G cos ðb aþ msin ðb aþ Haltekraft F beim gleichförmigen Abwärtsgleiten Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lösung: Man zeichnet die Lageskizze und geht dann wieder so vor wie in auf Seite 100. Haltekraft F und Haftreibungskraft F R0 max wirken parallel zur schiefen Ebene nach rechts oben. Der Zugwinkel b ist gleich dem Ebenenwinkel a. Das ist die Ønderung des physikalischen Sachverhalts gegenüber dem allgemeinen Fall. Den neuen Sachverhalt bringt man in die allgemeine Haltekraftgleichung (siehe oben) ein. Dort ersetzt man den Zugwinkel b durch den Ebenenwinkel a: (b ¼ a). Im Nenner ist wieder cos ða aþ ¼cos 0 ¼ 1 sin ða aþ ¼sin 0 ¼ 0 F ¼ F G F ¼ F G sin a m 0 cos a cos ðb aþ m 0 sin ðb aþ cos ða aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 sin a m 0 cos a 1. Schritt Lageskizze. Schritt m 0 sin ða aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 0 Damit erhält man die spezielle Gleichung für den Fall, dass die Haltekraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. F ¼ F G ðsin a m 0 cos aþ F ¼ f ðf G, a, m 0 Þ

130 106 Zur Kontrolle wird noch auf direktem Weg die Haltekraftgleichung entwickelt. Dazu setzt man die beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 an, die man aus der Lageskizze ablesen kann. Das Ergebnis stimmt mit der vorher entwickelten Gleichung überein. F R0 max 3. Schritt zffl} ffl{ I. SF x ¼ 0 ¼ F þ F N m 0 F G sin a II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a ) F N ¼ F G cos a Der Ausdruck für F N wird in I. eingesetzt: I. SF x ¼ 0 ¼ F þ F G cos am 0 F G sin a F ¼ F G ðsin a m 0 cos aþ 3 Reibung Trigonometrische Lösung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Die maximale Haftreibungskraft F R0 max wirkt dann der zu erwartenden Bewegungsrichtung des Körper entgegen nach rechts oben. In der Krafteckskizze wird wieder zuerst die Normalkraft F N gezeichnet und rechtwinklig daran die Haftreibungskraft F R0 max. Beide fasst man zur Ersatzkraft F e zusammen. Dann schließt man das Krafteck aus F e, F und F G. Die Winkel a und r 0 werden wie in der vorigen Aufgabe in die Krafteckskizze eingetragen: a zwischen F N und F G und r 0 zwischen F N und F e. Dann setzt man wieder den Sinussatz an und entwickelt daraus die Gleichung für die Kraft F. Aus der Gleichung erkennt man, dass die erforderliche Haltekraft F größer wird mit zunehmender Gewichtskraft F G und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner bei zunehmendem Haftreibungswinkel r 0. Das ist leicht zu erklären, denn die Haftreibungskraft unterstützt die Kraft F. Lageskizze Krafteckskizze 1. Schritt. Schritt 3. Schritt F sin ða r 0 Þ ¼ F G sin ð90 þ r 0 Þ ¼ F G cos r 0 Beachte: sin ð90 þ r 0 Þ¼cos r 0 F ¼ F G sin ða r 0 Þ cos r 0 F ¼ f ðf G, a, r 0 Þ Mit Hilfe des Additionstheorems sin ða r 0 Þ¼sin a cos r 0 cos a sin r 0 findet man auch die zweite Form der Funktionsgleichung für die Kraft F. Beide Gleichungen gelten auch für den Fall, dass der Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r 0 durch r und m 0 durch m ersetzt wird. F ¼ F G ðsin a m 0 cos aþ 4. Schritt F ¼ f ðf G, a, m 0 Þ Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F größer als in der Ruhe, weil die unterstützende Reibungskraft kleiner ist.

131 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 107 Nachbetrachtung: Aus der ersten Gleichung kann man erkennen, dass bei reibungsfreier Auflage des Körpers (r 0 ¼ 0) die Haltekraft F gleich der Abtriebskomponente der Gewichtskraft F G sin a wird. Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r 0, dann wird die Haltekraft F gleich null. Nur die Haftreibungskraft F R0 max hält den Körper fest. Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel r 0, dann ergibt die Gleichung einen negativen Wert für die Haltekraft F. Das bedeutet, dass die Kraft entgegen dem angenommenen Richtungssinn wirken muss. Um aus der Ruhe in die Bewegung überzugehen, muss der Körper abwärts geschoben werden. Für r 0 ¼ 0 wird die Winkeldifferenz a r 0 ¼ a und cos r 0 ¼ 1, und es wird sin ða 0Þ F ¼ F G ¼ F G sin a 1 Für r 0 ¼ a wird sin ða r 0 Þ¼sin 0 ¼ 0. Dadurch erhält der ganze Quotient den Wert null, es wird sin ðr F ¼ F 0 r 0 Þ 0 G ¼ F G ¼ 0 cos r 0 cos r 0 Für a < r 0 wird die Winkeldifferenz a r 0 und damit auch ihre Sinusfunktion negativ. Dadurch ergibt sich für F ein negativer Wert. Erkenntnis: Ist der Ebenenwinkel a r 0, bleibt der Körper von selbst auf der schiefen Ebene liegen. a r 0 Selbsthemmungsbedingung Haltekraft F wirkt waagerecht Analytische Lösung: Zunächst wird die allgemeine Gleichung (Seite 105) für den speziellen Fall der waagerecht wirkenden Haltekraft F umgeschrieben. Dann entwickelt man aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen die Haltekraftgleichung. Anschließend wird die Krafteckskizze wieder trigonometrisch ausgewertet. 1. Schritt Lageskizze Die Haltekraft F soll waagerecht von links nach rechts wirken. Dann gilt für den Zugwinkel (Haltewinkel) b ¼ 0. Diese Bedingung bringt man in die allgemeine Gleichung ein. Da nach wie vor der Körper gerade vor dem Abgleiten stehen soll, muss wieder die Haftreibungszahl m 0 eingesetzt werden.. Schritt sin a m F ¼ F 0 cos a G cos ðb aþ m 0 sin ðb aþ sin a m F ¼ F 0 cos a G cos ð0 aþ m 0 sin ð0 aþ Mit b ¼ 0 wird im Nenner cos ð aþ ¼cos a sin ð aþ ¼ sin a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine waagerecht wirkende Haltekraft F. F ¼ F G sin a m 0 cos a cos a þ m 0 sin a F ¼ f ðf G, a, m 0 Þ

132 108 Es soll auch hier wieder die Haltekraftgleichung aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 entwickelt werden. Man kommt zum gleichen Ergebnis wie im vorhergehenden Fall. Gleitet der Körper gleichförmig abwärts, ist an Stelle der Haftreibungszahl m 0 die Gleitreibungszahl m in die Gleichung einzusetzen. Wegen m < m 0, ist die Haltekraft F größer als beim ruhenden Körper. Trigonometrische Lösung: Man zeichnet die Lageskizze des freigemachten Körpers. Er ist gerade an der Grenze zwischen Ruhe und Bewegung nach unten. Folglich wirkt die maximale Haftreibungskraft F R0 max der zu erwartenden Bewegungsrichtung entgegen nach rechts oben. Die Krafteckskizze beginnt man wieder mit der Normalkraft F N, schließt rechtwinklig nach rechts oben die Haftreibungskraft F R0 max an und fasst beide zur Ersatzkraft F e zusammen. Das Krafteck wird mit F G und F geschlossen, die Winkel a und r 0 werden eingetragen. Aus dem Krafteck liest man die Gleichung für die Haltekraft F ab. Die Gleichung gilt auch für den Fall, dass der Körper gleichförmig abwärts gleitet, wenn r 0 durch r ersetzt wird. Nachbetrachtung: Die Gleichung zeigt, dass die erforderliche Haltekraft F größer wird mit zunehmender Gewichtskraft F G und zunehmendem Ebenenwinkel a. Sie wird kleiner mit zunehmendem Haftreibungswinkel r 0, weil die Haftreibungskraft jetzt die Haltekraft unterstützt. Ist der Ebenenwinkel a gleich dem Haftreibungswinkel r 0, dann wird die Haltekraft F gleich null, d. h. es liegt Selbsthemmung vor. Ist der Ebenenwinkel a kleiner als der Haftreibungswinkel r 0, dann ergibt sich eine negative Haltekraft F, der Körper muss nach unten geschoben werden. 3. Schritt F R0 max zffl} ffl{ I. SF x ¼ 0 ¼ F cos a þ F N m 0 F G sin a II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a F sin a F N ¼ F G cos a þ F sin a Der Ausdruck für F N wird in I. eingesetzt: I. SF x ¼ 0 ¼ F cos a þ þðf G cos a þ F sin aþ m 0 F G sin a F ¼ F G sin a m 0 cos a cos a þ m 0 sin a F ¼ F G tan ða r 0 Þ F ¼ f ðf G, a, r 0 Þ Lageskizze Krafteckskizze 3 Reibung 1. Schritt. Schritt 3. Schritt Beachte: Beim Abwärtsgleiten ist die erforderliche Haltekraft F größer als in Ruhe. Wird der Haftreibungswinkel r 0 größer, dann wird die Winkeldifferenz a r 0 kleiner, also auch ihre Tangensfunktion. Das ergibt aber auch einen kleineren Betrag für die Haltekraft F. Für a ¼ r 0 wird tan ða r 0 Þ¼tan 0 ¼ 0, und damit F ¼ F G tan ðr 0 r 0 Þ¼F G 0 ¼ 0. Für a < r 0 wird die Winkeldifferenz und damit auch ihre Tangensfunktion negativ. Dadurch ergibt sich für die Haltekraft F ein negativer Betrag.

133 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall) Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel Im 1. Grundfall wurde der Körper auf der schiefen Ebene nach oben gezogen, im. Grundfall im Ruhezustand gehalten (oder herabgelassen). Im 3. Grundfall wird der Körper unter der Wirkung der Schubkraft F gleichförmig nach unten verschoben. Die Schubkraft F wirkt unter dem Schubwinkel b zur Waagerechten. Gesucht ist die Gleichung zur Berechnung der Schubkraft F. Analytische Lösung: Als Erstes wird wieder die Lageskizze des freigemachten Körpers gezeichnet. Die Reibungskraft F R ¼ F N m wirkt der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen nach rechts oben. Sie versucht, den Körper abzubremsen wie im. Grundfall. In der Lageskizze führt man den Winkel g ¼ b a ein. Das vereinfacht die weitere algebraische Entwicklung. Gegeben: Gesucht: Aufgabenskizze F G, a, b, m F ¼ f ðf G, a, b, mþ 1. Schritt Lageskizze Aus der Lageskizze liest man wieder die beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0undSF y ¼ 0ab. Für die Reibungskraft wird F R ¼ F N m eingesetzt. Gleichung II wird nach F N aufgelöst und dieser Ausdruck in Gleichung I eingesetzt. Diese neue Gleichung I löst man nach der Schubkraft F auf. Das ist die Beziehung F ¼ f ðf G, a, g, mþ Setzt man dann wieder g ¼ b a ein, erhält man die gesuchte Beziehung in der Form F ¼ f ðf G, a, b, mþ Nachbetrachtung: Ein Vergleich der Schubkraftgleichung mit der Haltekraftgleichung auf Seite 106 zeigt, dass sie fast übereinstimmen. Bis auf die Vorzeichen im Nenner sind alle Glieder im Zähler und im Nenner gleich. Rechnet man die Kraft F mit gleichen Größen für beide Gleichungen aus, dann sind die Zahlenwerte gleich. Nur die Vorzeichen sind verschieden. Das muss so sein, denn die beiden Lageskizzen unterscheiden sich nur durch den Richtungssinn der Kraft F.. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F N m F cos g F G sin a II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a F sin g 3. Schritt II. F N ¼ F G cos a þ F sin g I. SF x ¼ 0 ¼ðF G cos a þ F sin gþ m F G sin a F cos g F sin gm F cos g ¼ F G sin a F G cos am sin a m cos a F ¼ F G m sin g cos g sin a m cos a F ¼ F G m sin ðb aþ cos ðb aþ F ¼ f ðf G, a, b, mþ Schubkraft F beim gleichförmigen Abwärtsgleiten Nennervergleich: N S ¼ m sin ðb aþ cos ðb aþ in der Schubkraftgleichung N H ¼ cos ðb aþ m sin ðb aþ in der Haltekraftgleichung N S ¼ð 1ÞN H

134 110 3 Reibung Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Analytische Lösung: Als Erstes zeichnet man wieder die Lageskizze. Die Schubkraft F wirkt jetzt parallel zur schiefen Ebene in negativer x-richtung. Das gilt auch für die Gewichtskraftkomponente F G sin a. Entgegengesetzt zur Schubkraftrichtung wirkt die Reibungskraft F R ¼ F N m. Rechtwinklig zur schiefen Ebene wirkt in negativer y-richtung die Gewichtskraftkomponente F G cos a, in positiver y-richtung die Normalkraft F N. Da die Schubkraft parallel zur schiefen Ebene wirken soll, wird der Schubwinkel b gleich dem Ebenenwinkel a. Entsprechend schreibt man die allgemeine Schubkraftgleichung von Seite 109 um. Im Nenner ist dann sin ða aþ ¼ sin 0 ¼ 0 cos ða aþ ¼cos 0 ¼ 1. Damit erhält man die spezielle Gleichung für den Fall, dass die Schubkraft F parallel zur schiefen Ebene wirkt. Bis auf das Vorzeichen stimmt auch diese Gleichung mit der entsprechenden Haltekraftgleichung in (Seite 105) überein, wenn dort m 0 durch m ersetzt wird. Wie gewohnt findet man die Schubkraftgleichung auch mit Hilfe der beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0. sin a m cos a F ¼ F G m sin ðb aþ cos ðb aþ F ¼ F G sin a m cos a m sin ða aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 0 F ¼ F G sin a m cos a 1 F ¼ F G ðm cos a sin aþ cos ða aþ fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 1. Schritt Lageskizze. Schritt F ¼ f ðf G, a, mþ 3. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F N m F F G sin a II. SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a ) F N ¼ F G cos a I. SF x ¼ 0 ¼ðF G cos aþ m F F G sin a F ¼ F G ðm cos a sin aþ Es soll nun die Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Dazu ersetzt man die Reibungszahl m durch den Tangens des Reibungswinkels. Den Klammerausdruck bringt man auf den Hauptnenner cos r. Mit Hilfe des Additionstheorems sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aþ wird die gesuchte Gleichungsform gefunden. m ¼ tan r ¼ sin r cos r F ¼ F G sin r cos a cos r sin a cos r F ¼ F G sin ðr aþ cos r 4. Schritt F ¼ f ðf G, a, rþ

135 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene Schubkraft F wirkt waagerecht Analytische Lösung: Man geht wieder von der Lageskizze aus. Die Schubkraft F wirkt jetzt waagerecht. Dieses Kräftesystem wirkt zum Beispiel am Gewindegang einer Schraubenverbindung, wenn sie gelöst wird. 1. Schritt Lageskizze Bei waagerechter Schubkraftrichtung ist der Schubwinkel b ¼ 0. Entsprechend schreibt man wieder die allgemeine Schubkraftgleichung um. Mit b ¼ 0 wird im Nenner sin ð aþ ¼ sin a cos ð aþ ¼cos a Damit ergibt sich die spezielle Gleichung für eine waagerecht wirkende Schubkraft F. Diese Gleichung muss sich auch ergeben, wenn man die beiden Gleichgewichtsbedingungen SF x ¼ 0 und SF y ¼ 0 auswertet. Es soll auch diese Schubkraftgleichung in die Form mit dem Reibungswinkel r gebracht werden. Diese Form ist bei Untersuchungen der Reibungsverhältnisse am Gewindegang gebräuchlich. Man ersetzt zunächst die Reibungszahl m durch den Tangens des Reibungswinkels m ¼ tan r ¼ sin r cos r Zähler und Nenner bringt man auf den Hauptnenner cos r und erhält die beiden Additionstheoreme sin r cos a cos r sin a ¼ sin ðr aþ sin r sin a cos r cos a ¼ cos ðr aþ Diese Schubkraftgleichung unterscheidet sich von der Haltekraftgleichung in nur durch die Winkelvorzeichen. Das ist verständlich, denn Schubkraft und Haltekraft haben entgegengesetzten Richtungssinn.. Schritt sin a m cos a F ¼ F G m sin ðb aþ cos ðb aþ sin a m cos a F ¼ F G m sin a cos a fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ð 1Þðm sin a þ cos aþ F ¼ F G m cos a sin a m sin a þ cos a F ¼ f ðf G, a, mþ 3. Schritt I. SF x ¼ 0 ¼ F N m F G sin a F cos a II. SF y ¼ 0 ¼ F N þ F sin a F G cos a F N ¼ F G cos a F sin a I. SF x ¼ 0 ¼ðF G cos a F sin aþ m F G sin a F cos a F sin amþ F cos a ¼ F G cos am F G sin a F ¼ F G m cos a sin a m sin a þ cos a sin r cos r F ¼ F G ¼ 1 zffl} ffl{ cos r cos a sin a cos r sin r cos r sin a þ cos a cos r cos r sin r cos a cos r sin a cos r F ¼ F G sin r sin a þ cos r cos a cos r sin ðr aþ F ¼ F G cos ðr aþ F ¼ F G tan ðr aþ 4. Schritt F ¼ f ðf G, a, rþ

136 11 3 Reibung Ûbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene 1. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene (Rutsche) sollen Werkstücke nach dem Anstoßen mit konstanter Geschwindigkeit abwärts gleiten. Der Ebenenwinkel der Rutsche ist verstellbar. Die Gleitreibungszahl beträgt m ¼ 0,3. Welcher Ebenenwinkel a muss eingestellt werden? Lösung: Da keine Zug- oder Schubkraft wirkt (F ¼ 0) und Gleichgewicht vorhanden ist (v ¼ konstant), muss die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft F G sin a gleich der Reibungskraft F R ¼ F N m sein (SF x ¼ 0). Die Normalkraft F N ist gleich der Gewichtskraftkomponente F G cos a (SF y ¼ 0). Daraus ergibt sich der gesuchte Ebenenwinkel a ¼ arctan m. Das sind die Ûberlegungen zur Ermittlung der Gleitreibungszahl m in Abschnitt 3.. (Seite 91). Man hätte auch jede der in Abschnitt hergeleiteten Gleichungen zur Lösung ansetzen können, z. B. die Schubkraftgleichung aus Abschnitt (Seite 110). Da keine Zug- oder Schubkraft wirken soll, muss in dieser Gleichung F ¼ 0 gesetzt werden. Ist das Produkt zweier Faktoren gleich null, muss einer der beiden gleich null sein. Da die Gewichtskraft F G nicht null sein kann, muss der Faktor m cos a sin a ¼ 0 sein. Damit ergibt sich auch hier a ¼ arctan m ¼ 16,7.. Ûbung: Die Werkstücke auf der Rutsche aus der 1. Ûbung befinden sich zunächst in Ruhelage. Welche Kraft muss kurzzeitig parallel zur Rutsche auf ein Werkstück wirken, um es in Bewegung zu setzen? Die Schubkraft F ist als Vielfaches der Gewichtskraft F G anzugeben. Die Haftreibungszahl beträgt m 0 ¼ 0,5. Lösung: Für die Lage der Kräfte am Werkstück gilt die Lageskizze von Seite 110 und damit auch die dort hergeleitete Gleichung. Statt der Gleitreibungszahl m gilt die Haftreibungszahl m 0. Aufgaben Nr Gegeben: Gleitreibungszahl m ¼ 0,3 Gleitgeschwindigkeit v ¼ konstant Keine Zug- oder Schubkraft (F ¼ 0) Gesucht: Ebenenwinkel a F G sin a ¼ F R ¼ F N m F G cos a ¼ F N F G sin a ¼ F G cos am sin a cos a ¼ m ¼ tan a a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7 Nach Seite 110 ist die Schubkraft F ¼ F G ðm cos a sin aþ 0 ¼ F G ðm cos a sin aþ m cos a sin a ¼ 0 sin a ¼ m cos a ) sin a cos a ¼ tan a ¼ m a ¼ arctan m ¼ arctan 0,3 a ¼ 16,7 Gegeben: Haftreibungszahl m 0 ¼ 0,5 Ebenenwinkel a ¼ 16,7 Schubwinkel b ¼ Ebenenwinkel a Gesucht: Schubkraft F ¼ f ðf G Þ Nach Seite 110 gilt mit m ¼ m 0 die Schubkraftgleichung F ¼ F G ðm 0 cos a sin aþ Damit wird F ¼ F G ð0,5 cos 16,7 sin 16,7 Þ F ¼ 0,19 F G

137 3.4 Reibung an Maschinenteilen Reibung an Maschinenteilen Prismenführung und Keilnut Der Bettschlitten einer Werkzeugmaschine wird durch die vertikal wirkende Belastung F in eine unsymmetrische Prismenführung gedrückt und von der Verschiebekraft F V auf den Führungsflächen gleichförmig verschoben. Es wird hier davon ausgegangen, dass zwischen den beiden Führungsflächen unterschiedliche Reibungszahlen auftreten. Es soll eine Gleichung zur Berechnung der Verschiebekraft F V entwickelt werden. Man bringt an einer beliebigen Querschnittsscheibe des Schlittens alle wirkenden Kräfte an und schreibt dazu die Gleichgewichtsbedingungen in Richtung der drei Achsen eines räumlichen Achsenkreuzes auf. Gleichung II löst man nach F N auf und schreibt damit Gleichung I um. In gleicher Weise wird mit Gleichung III verfahren. Dort erweitert man sin a 1 mit cos a =cos a. Man löst nun Gleichung III nach F N1 auf und setzt diesen Ausdruck in die Gleichung I ein. Daraus erhält man die gesuchte Gleichung für die Verschiebekraft F V. Die symmetrische Prismenführung ist ein Sonderfall mit a 1 ¼ a ¼ a. Da man auch gleiche Reibungszahlen für beide Gleitflächen annehmen kann, erhält man eine einfache Beziehung für die Verschiebekraft F V. Nach den Gesetzen der Trigonometrie ist sin a ¼ sin a cos a. In diesem Fall ist es üblich, mit der Keilreibungszahl m 0 ¼ m=sin a zu arbeiten. Darin ist a der halbe Keilwinkel. Die Gleichung für die Keilreibungszahl zeigt, dass Keilnuten größere Reibungskräfte übertragen können als Ebenen (m 0 > m). Daher können Keilriemen größere Umfangskräfte (Drehmomente) übertragen als Flachriemen. Gegeben: Belastung F Reibungszahlen m 1, m Winkel a 1, a Gesucht: F V ¼ f ðf, m 1, m, a 1, a Þ I: SF z ¼ 0 ¼ F N1 m fflffl{zfflffl} 1 þ F Nm F V fflffl{zfflffl} F R1 F R II. SF x ¼ 0 ¼ F N1 cos a 1 F N cos a III.SF y ¼ 0 ¼ F N1 sin a 1 þ F N sin a F cos a 1 II. F N ¼ F N1 cos a cos a 1 I. F V ¼ F N1 m 1 þ m cos a cos a III.F ¼ F N1 sin a 1 þ cos a 1 sin a cos a cos a sin a 1 cos a þ cos a 1 sin a F ¼ F N1 cos a sin ða 1 þ a Þ ¼ F N1 cos a I. F V ¼ Fcos a sin ða 1 þ a Þ F V ¼ F m 1 cos a þ m cos a 1 sin ða 1 þ a Þ F V ¼ f ðf, m 1, m, a 1, a Þ cos a 1 m 1 þ m cos a für a 1 ¼ a und m 1 ¼ m wird m cos a m cos a F V ¼ F ¼ F sin a sina cos a ¼ F m sin a F V ¼ Fm 0 ¼ F R m 0 ¼ m sin a Keilreibungskraft Keilreibungszahl Beachte: Kleiner Winkel a ergibt große Keilreibungszahl, großer Winkel a kleine Keilreibungszahl. Beispiel: Normalkeilriemen haben Keilwinkel (Rillenwinkel) von 3,34,36 und 38.

138 114 3 Reibung 3.4. Zylinderführung Zylinderführungen an bewegten Maschinenteilen (Pressenstößel, Ziehschlitten) sollen reibungsarm führen und nicht klemmen. In manchen Fällen wird aber verlangt, dass die Führung klemmt, z. B. bei Bohrmaschinentischen, um auch im ungeklemmten Zustand sicheren Halt zu gewährleisten. Man muss also wissen, unter welchen Bedingungen eine Zylinderführungsbuchse klemmt. Aufgabe: Eine im Abstand l 1 von der Führungsmitte wirkende Kraft F versucht, eine Führungsbuchse von der Länge l zu verschieben. Unter welcher Bedingung klemmt die Buchse? Zeichnerische Untersuchung: Man zeichnet einen Lageplan und trägt zuerst die Kraft F auf ihrer Wirklinie ein. Die Buchse wird rechtsherum kippen und legt sich links oben im Punkt 1 und rechts unten im Punkt an den Zylinder an. Dort zeichnet man die Normalkräfte F N1 und F N (auf die Buchse zu gerichtet) ein. Die Kraft F versucht, die Buchse nach unten zu verschieben. Die Reibungskräfte F R1 und F R werden mit entgegengesetztem Richtungssinn eingezeichnet (nach oben gerichtet). Man fasst gedanklich die Normal- und Reibungskräfte zu ihren Ersatzkräften zusammen. Ihre Wirklinien können nach 3..3 (Seite 9) nur innerhalb des Reibungskegels liegen, weil die Reibungskraft nie über den Betrag F N tan r anwachsen kann. Nun ist Gleichgewicht (Klemmen) nur möglich, wenn sich die beiden Ersatzkräfte mit der Kraft F in einem Punkt schneiden (siehe Seite 8, 3-Kräfte-Verfahren). Dieser Punkt kann aber nur in der Ûberdeckungsfläche A der beiden Reibungskegel liegen, weil die Wirklinien der Ersatzkräfte nicht außerhalb der Reibungskegel liegen können. Folglich lautet die zeichnerische Klemmbedingung: Eine Zylinderführung klemmt, wenn die Wirklinie der Resultierenden aller Verschiebekräfte durch die Ûberdeckungsfläche der beiden Reibungskegel geht. Zylinderführungen haben immer ein Passungsspiel. Bei exzentrisch angreifender Verschiebekraft kippt (verkantet) die Buchse gegen den Führungszylinder. Betrachtet man beide als absolut starre Körper (keine Verformung), dann legt sich die Buchse an zwei im Längsschnitt diagonal gegenüberliegenden Punkten des Zylinders an. Dort treten Normal- und Reibungskräfte auf. Lageplan Im Lageplan sind die Reibungskegel für die Gleitreibung eingezeichnet. Die Reibungskegel für die Haftreibung haben einen größeren Kegelwinkel, nämlich r 0. Ihre Ûberdeckungsfläche A reicht also noch weiter nach links. Man kann dann bei klemmender Buchse die Wirklinie der Kraft F bis an die Grenze der Ûberdeckungsfläche nach links verschieben, ohne dass die Buchse zu gleiten beginnt. Wird sie aber durch irgendeinen Umstand in Bewegung gesetzt, dann verklemmt sie sich nicht wieder, denn jetzt treten wieder die Reibungskegel für Gleitreibung auf, und die Wirklinie der Kraft F liegt dann im weißen Feld außerhalb der Ûberdeckungsfläche. Hinweis: Diese Klemmbedingung gilt auch für andere Führungsquerschnitte mit gegenüberliegenden Führungsflächen, z. B. für die Flachführung mit seitlichen Führungsflächen.

139 3.4 Reibung an Maschinenteilen 115 Rechnerische Untersuchung: Man zeichnet eine Lageskizze und stellt dafür die drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf (siehe Lageplan, Seite 114). Aus der ersten Gleichung erkennt man, dass die Normalkräfte F N1 und F N gleich groß sind. Da beide Flächen die gleiche Reibungszahl m haben, sind auch die beiden Reibungskräfte F R gleich groß. Die Entwicklung der Gleichungen II und III ergibt die rechnerische Klemmbedingung: Eine Zylinderführung klemmt, wenn die Führungslänge l ml 1 ist. Hierin ist l 1 der Wirkabstand der Verschiebekraft von der Führungsmitte. Ist l > ml 1, dann gleitet die Führungsbuchse, und zwar umso leichter, je größer die Führungslänge l ist. I. SF x ¼ 0 ¼ F N F N1 II. SF y ¼ 0 ¼ F R1 þ F R F III.SM ðþ ¼ 0 ¼ F N1 l F R1 d Fðl 1 d=þ I. F N1 ¼ F N, daraus folgt: F N1 m ¼ F N m ) F R1 ¼ F R II. F ¼ F N1 m; in III. eingesetzt: III.F N1 l F N1 md F N1 mðl 1 d=þ ¼ ¼ 0j: F N1 l md ml 1 þ md= ¼ 0 l ml 1 Klemmbedingung Beachte: Die Klemmbedingung ist unabhängig vom Betrag der Verschiebekraft F. Aufgaben Nr Lager 1) Reibung am Tragzapfen (Querlager) Der Tragzapfen einer Welle belastet das Lager mit der Kraft F und verursacht dadurch eine gleichgroße Normalkraft F N. Versucht das Wellendrehmoment den ruhenden Zapfen zu drehen, wirkt zunächst die Haftreibungskraft F R0 max ¼ F N m 0 mit ihrem Reibungsmoment der Drehung entgegen. Man nennt diesen Zustand Anlaufreibung. Die Reibungszahl beträgt dann m 0 ¼ 0,1...0,5. Beim Anfahren tritt Mischreibung auf. Die Reibungszahl verringert sich von m 0 auf die Tragzapfenreibungszahl, kurz Zapfenreibungszahl m ¼ 0,01...0,1. Erst bei höheren Gleitgeschwindigkeiten bildet sich zwischen Zapfen und Lager ein tragfähiger Schmierfilm mit Flüssigkeitsreibung. Die Zapfenreibungszahl sinkt dann weiter auf m ¼ 0,00...0,01. Beispiel für die Veränderung der Zapfenreibungszahl m: Schmierung: Úl Werkstoff: Welle aus Stahl, Lager aus Rotguss Anlaufreibung: m 0 ¼ 0,14 Mischreibung: m ¼ 0,0...0,1 Flüssigkeitsreibung: m ¼ 0, ,006 1) Genauere Untersuchungen in Roloff/Matek: Maschinenelemente

140 116 3 Reibung Lagerkraft F und Normalkraft F N sind praktisch gleich groß. Darum wird die Lagerreibungskraft unmittelbar aus der Lagerkraft berechnet. F R ¼ F m Lagerreibungskraft Die Lagerreibungskraft erzeugt ein dem Wellendrehmoment entgegengerichtetes Reibungsmoment M R. Dreht sich der Zapfen im Lager mit der Umfangsgeschwindigkeit v (Gleitgeschwindigkeit) oder der Winkelgeschwindigkeit w, solässt sich die Reibungsleistung P R berechnen, entweder als Produkt aus Reibungskraft F R und Umfangsgeschwindigkeit v oder als Produkt aus Reibungsmoment M R und Winkelgeschwindigkeit w. M R ¼ F R r ¼ F mr P R ¼ F R v P R ¼ M R w Reibungsmoment P R F R M R r v w m W ¼ Nm s N Nm m m s rad s ¼ 1 s Reibung am Spurzapfen (Längslager) Beim Spurzapfen fällt die Wirklinie der Belastung F mit der Drehachse der Welle zusammen. Die Normalkraft verteilt sich gleichmäßig über die Stirnfläche des Zapfens. Dasselbe gilt für die Reibungskraft. Man berechnet die Reibungskraft F R aus der Belastung F und der Spurzapfenreibungszahl m: F R ¼ Fm. Die Reibungszahlen für Quer- und Längslager werden aus Versuchen bestimmt. Die Spurzapfenreibungszahl ist außer von Schmierung und Werkstoffpaarung noch von der Bauart abhängig. Die Skizze zeigt einen Ringspurzapfen. Für den Wirkabstand der Reibungskraft von der Drehachse wird der mittlere Radius r m ¼ðr 1 þ r Þ= gesetzt und damit das Reibungsmoment M R berechnet. Der Reibungsradius r m ¼ðr 1 þ r Þ= ist ein Näherungswert, der für praktische Berechnungen ausreichend genau ist. Vom Vollspurzapfen hat die Lagerfläche keine mittlere Aussparung. Dann ist r m ¼ r =. M R ¼ F R r m ¼ F mr m F R ¼ F m Reibungskraft Ringspurzapfen r m ¼ r 1 þ r Reibungsmoment Die Reibungsleistung P R berechnet man genauso wie beim Tragzapfen, z. B. als Produkt aus dem Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit. P R ¼ M R w Reibungsleistung

141 3.4 Reibung an Maschinenteilen Ûbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 1. Ûbung: Eine Welle belastet ihre beiden Querlager mit je einer Kraft F ¼ 3800 N. Der Zapfendurchmesser beträgt 50 mm, die Drehzahl 3600 min 1, die Zapfenreibungszahl 0,006. Gegeben: Belastung F ¼ 3800 N Zapfendurchmesser d ¼ 0,05 m Drehzahl n ¼ 3600 min 1 Zapfenreibungszahl m ¼ 0,006 Reibungsmoment M R sind zu berechnen. und Reibungsleistung P R Gesucht: M R, P R Lösung: Das Reibungsmoment wird aus Belastung, Zapfenreibungszahl und Zapfenradius ermittelt. Als Belastung muss man hier beide Lagerkräfte, also F, einsetzen. Aus dem Reibungsmoment und der Winkelgeschwindigkeit kann man die Reibungsleistung errechnen. Die Winkelgeschwindigkeit wird vorher aus der Drehzahl ermittelt.. Ûbung: Ein Ringspurlager wird mit F ¼ 1 kn belastet. Der Innenradius der Lagerfläche beträgt r 1 ¼ 10 mm, der Außenradius r ¼ 40 mm, die Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,0. Die Drehzahl beträgt 000 min 1. Reibungsmoment und Reibungsleistung sind zu berechnen. M R ¼ F mr ¼ 3800 N 0,006 0,05 m M R ¼ 1,14 Nm w ¼ pn ¼ p 3600 min 1 w ¼ 619 rad rad ¼ 377 min s P R ¼ M R w ¼ 1,14 Nm 377 rad s ¼ 430 Nm s P R ¼ 430 W ¼ 0,43 kw Gegeben: Belastung F ¼ 1 kn ¼ N Spurzapfenreibungszahl m ¼ 0,0 ¼ 10 Innenradius r 1 ¼ 10 mm Außenradius r ¼ 40 mm Drehzahl n ¼ 000 min 1 Gesucht: M R, P R Lösung: Man ermittelt zunächst den Wirkabstand r m der Reibungskraft und dann mit der Belastung F und der Spurzapfenreibungszahl das Reibungsmoment. Die Reibungsleistung wird wieder als Produkt aus Reibungsmoment M R und Winkelgeschwindigkeit w ¼ pn berechnet. r m ¼ r 1 þ r 10 mm þ 40 mm ¼ ¼ 5 mm M R ¼ F mr m ¼ N m M R ¼ Nm ¼ 6Nm P R ¼ M R pn ¼ 6Nmp000 min 1 P R ¼ Nm min ¼ 1 75 Nm ¼ 1,57 kw s Aufgaben Nr

142 Schraube und Schraubgetriebe Bewegungsschraube mit Flachgewinde Das Anziehen (Heben der Last) und Lösen (Senken der Last) einer Bewegungs- oder Befestigungsschraube entspricht dem Hinaufschieben und Herabziehen eines Körpers auf einer schiefen Ebene durch eine waagerechte Umfangskraft F u (siehe Seiten 10 und 111). Alle Kräfte werden auf einen Punkt im Längsschnitt der Schraube mit dem Flankenradius r bezogen. Es soll hier von dem Normalfall ausgegangen werden, dass das Gewinde selbsthemmend ist. Dann ist der Reibungswinkel r größer als der Steigungswinkel a. Im Bild ist der abgewickelte Gewindegang als schiefe Ebene dargestellt. Die Basislänge ist der Flankenumfang pr, die Höhe die Gewindesteigung P. Beim Anziehen (Heben) wirkt die Umfangskraft F u waagerecht nach rechts und die Reibungskraft F R nach links unten, beim Lösen (Senken) haben beide umgekehrten Richtungssinn. Aus den Kraftecken ergeben sich dieselben Gleichungen für die Umfangskraft wie bei der schiefen Ebene für die Verschiebekraft. F u ¼ F tan ðr þ aþ für das Anziehen und F u ¼ F tan ðr aþ für das Lösen Die Winkel sind hier nur deswegen vertauscht, weil für die Entwicklung r > a (Selbsthemmung) angenommen wurde. 3 Reibung F Schraubenlängskraft ¼ Vorspannkraft F u Umfangskraft, angreifend am Flankenradius r F R Reibungskraft im Gewinde F N Normalkraft zwischen Schraube und Mutter a Steigungswinkel der mittleren Gewindelinie Kräfte beim Anziehen (Heben) Lösen (Senken) Es ist üblich, die Gleichungen in der Form zu schreiben, wie man sie von der schiefen Ebene her kennt. Beim Rechnen sollte jedoch immer der kleinere Winkel vom größeren abgezogen werden, um immer einen positiven Tangenswert zu erhalten. Die Frage, ob die Last mit der errechneten Kraft F u gesenkt oder am Absinken gehindert werden muss, wird durch einen Vergleich der Winkel a und r beantwortet. F u ¼ F tan ða rþ (þ) für Heben, ( )für Senken Umfangskraft Ist r < a, heißt das: keine Selbsthemmung, die Last muss mit F u am Absinken gehindert werden. Ist r > a, heißt das: Selbsthemmung, die Last muss mit F u gesenkt werden.

143 3.4 Reibung an Maschinenteilen 119 Die Umfangskraft F u wirkt im Abstand r (Flankenradius) von der Schraubenlängsachse. Sie erzeugt das beim Heben oder Senken zu überwindende Gewindereibungsmoment M RG. M RG ¼ F u r ¼ Fr tan ða rþ (þ) für Heben, ( ) Senken Gewindereibungsmoment Der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes beim Heben ist das Verhältnis der Nutzarbeit W n zur aufgewendeten Arbeit W a. Bezieht man beide Arbeiten auf eine Schraubenumdrehung, dann ist die Nutzarbeit das Produkt aus Schraubenlängskraft F und Steigungshöhe P (Hubarbeit). Die aufgewendete Arbeit ist das Produkt aus Umfangskraft F u und Flankenumfang pr. Bei r ¼ a beginnt der Bereich der Selbsthemmung. Dann ist der Wirkungsgrad h ¼ tan r=tan r. Da die Steigungswinkel meist klein sind, kann tan r ¼ tan r gesetzt werden. Man erkennt, dass an der Selbsthemmungsgrenze der Wirkungsgrad h tan r= tan r ¼ 0,5 wird. h ¼ W n W n ¼ FP W a ¼ F u pr W a FP h ¼ F u pr P F u ¼ F tan ða þ rþ und ¼ tan a pr In die Ansatzgleichung eingesetzt ergibt das: tan a h ¼ tan ða þ rþ Wirkungsgrad für Schraubgetriebe Beachte: Ist der Wirkungsgrad des Schraubgetriebes h 0,5, liegt Selbsthemmung vor Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde Bei Spitz- oder Trapezgewinde mit dem Flankenwinkel b wirkt die Normalkraft F 0 N nicht in derselben Ebene wie die Längskraft F, die Umfangskraft F u und die Reibungskraft F R, sondern sie ist um den halben Flankenwinkel gegen diese Ebene geneigt. Um Gleichgewicht zu halten, muss die Normalkraft F 0 N größer sein als F N beim Flachgewinde. Dann ist auch die Reibungskraft F R größer. Damit man trotzdem mit denselben Gleichungen wie beim Flachgewinde arbeiten kann, fasst man den Quotienten m=cos ðb=þ zur Reibungszahl m 0 zusammen. Für Spitz- und Trapezgewinde gelten dieselben Gleichungen wie für das Flachgewinde, wenn man statt der Reibungszahl m die Reibungszahl m 0 ¼ m=cos ðb=þ und für den Reibungswinkel r den Reibungswinkel r 0 einsetzt. F N F 0 N ¼ cos ðb=þ F R ¼ F 0 N m ¼ F N cos ðb=þ ; m ¼ F m N cos ðb=þ m Setzt man cos ðb=þ ¼ m0, dann wird F R ¼ F N m 0 : Für metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 ist b ¼ 30 und damit m 0 ¼ 1,04 m, für metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ist b ¼ 60 und damit m 0 ¼ 1,15 m. Der Reibungswinkel r 0 wird aus der Reibungszahl m 0 ermittelt: tan r 0 ¼ m 0 ) r 0 ¼ arctan m 0 :

144 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde Bei Schraubverbindungen mit Befestigungsschrauben wird eine Längskraft F in der Schraube erst dann erzeugt, wenn Mutter und Schraubenkopf fest auf den zu verbindenden Teilen aufliegen. Die Erfahrung lehrt, dass das Anzugsmoment M A aus Handkraft F h und Schlüsselradius l mit fortschreitender Drehung der Mutter zunimmt. Gleichzeitig wächst auch die Vorspannkraft F in der Schraube. Das kennt man aus der Praxis: Bei zu starkem Anziehen wächst die Schraubenlängskraft F so stark an, dass die Schraube zerreißt. 3 Reibung r a ¼ 0,7d ¼ 1,4r Wirkabstand der Auflagereibungskraft, mit d ¼ Gewindenenndurchmesser (d ¼ r). Im Bild wurde die gesamte Schraubenlängskraft F auf Schraubenkopf und Mutter in jeweils F/ aufgeteilt. In Wirklichkeit entsteht durch die Längskraft eine Oberflächenkraft auf den Auflageflächen von Kopf und Mutter (siehe , Seite 11). Dem Anzugsmoment M A wirken in der Schraubverbindung zwei Kraftmomente entgegen: das Gewindereibungsmoment M RG (wie bei der Bewegungsschraube) und das Auflagereibungsmoment M Ra an der Auflagefläche der Mutter. Das Auflagereibungsmoment ergibt sich aus der Auflagereibungskraft F Ra und ihrem Wirkabstand r a von der Schraubenmitte. Für Sechskantschrauben wird r a ¼ 0,7d angenommen (d ¼ Gewindenenndurchmesser, z. B. für M10: d ¼ 10 mm). Das Gewindereibungsmoment ergibt sich aus den gleichen Ûberlegungen wie bei der Bewegungsschraube mit Spitzgewinde oder mit Flachgewinde. M RG ¼ Fr tan ða r 0 Þ Gewindereibungsmoment bei Stahl auf Stahl (trocken) ist bei metrischem ISO-Gewinde r 0 9 M Ra ¼ F Ra r a ¼ Fm a r Auflagereibungsmoment a m a Reibungszahl an der Auflagefläche (bei Stahl auf Stahl ist m a 0,15) M A ¼ M RG þ M Ra M A ¼ Fr tan ða r 0 ÞþFm a r a M A ¼ F½r tan ða r 0 Þþm a r a Š (þ) für Anziehen, ( )für Lösen Die Summe dieser beiden Momente ist gleich dem Anzugsmoment. Aus dieser Erkenntnis kann man eine Gleichung für das Anzugsmoment M A beim Anziehen und Lösen einer Schraubverbindung in Abhängigkeit von der Schraubenlängskraft F entwickeln. Anzugsmoment

145 3.4 Reibung an Maschinenteilen Ûbungen zur Schraube 1. Ûbung: Mit der skizzierten Spindelpresse soll eine größte Druckkraft von F ¼ 40 kn auf die Werkstücke übertragen werden. Am Handrad sollen beidhändig je 300 N Umfangskraft wirken. Das Trapezgewinde Tr 40 7 hat nach der Formelsammlung den Flankendurchmesser d ¼ 36,5 mm und den Steigungswinkel a ¼ 3,49. Der Spindelkopf ist im Druckteller in Wälzlagern geführt, so dass die Reibung dort vernachlässigt werden darf. Berücksichtigt wird daher nur die Reibung im Gewinde. Als Gewindereibungszahl wird m 0 ¼ 0,1 angenommen. Für die gegebenen Daten soll der erforderliche Handraddurchmesser D ermittelt werden. Gegeben: Schraubenlängskraft F ¼ N Handkraft beidhändig je F H ¼ 300 N Gewindeflankendurchmesser d ¼ 36,5 mm Steigungswinkel a ¼ 3,49 Gewindereibungszahl m 0 ¼ 0,1 Gesucht: Erforderlicher Handraddurchmesser D Lösung: Ausgangsgleichung für die Lösung der Aufgabe ist die Gleichung für das Gewindereibungsmoment M RG. Die Größen F, d und a sind bekannt. Der Gewindereibungswinkel r 0 kann aus der Gewindereibungszahl ermittelt werden. Bei Gleichgewicht während des Drückvorgangs ist das Gewindereibungsmoment M RG gleich dem Drehmoment am Handrad M H ¼ F H D. Setzt man alle Größen in die Ausgangsgleichung ein, dann kann daraus eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Handraddurchmessers D entwickelt werden. Nach der Rechnung ist ein Durchmesser von D ¼ 394 mm erforderlich, wenn eine Druckkraft von 40 kn mit der Spindelpresse erzeugt werden soll. M RG ¼ F d tan ða þ r0 Þ r 0 ¼ arctan m 0 M RG ¼ M H ¼ F H D F H D ¼ F d tan ða þ r0 Þ D ¼ F F H d tan ða þ arctan m0 Þ D ¼ N 36,5 mm 300 N D ¼ 394 mm 5,71 zfflfflfflfflffl} fflfflfflfflffl{ tan ð3,49 þ arctan 0,1Þ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 9,

146 1. Ûbung: Die skizzierte Schraubenverbindung soll mit zwei Befestigungsschrauben eine Zugkraft von 18 kn allein durch Reibung zwischen den Stahlplatten übertragen. Die Schrauben werden durch die Schraubenlängskräfte nur auf Zug beansprucht. Abscherbeanspruchung darf nicht auftreten. Für die Reibungskräfte zwischen den Stahlplatten wird aus Sicherheitsgründen mit der Gleitreibungszahl von m St/St ¼ 0,15 gerechnet (Tabelle 3.1, Seite 91). Für den Entwurf der Schraubenverbindung sollen ermittelt werden: a) das erforderliche Metrische ISO-Gewinde für eine zulässige Zugspannung s z zul ¼ 150 N=mm. b) das erforderliche Anzugsmoment für die Schrauben, wenn für die Reibungszahl an der Mutterauflage mit m a ¼ 0,15 und für den Reibungswinkel im Gewinde mit r 0 ¼ 9 gerechnet wird (siehe Formelsammlung). Lösung: a) Die freigemachte Platte zeigt, dass je Druckfläche die halbe Zugkraft F durch die Reibungskraft F R ¼ F/ aufgenommen werden muss. Aus der Definitionsgleichung für die Reibungskraft F R ¼ F N m und bei n ¼ Schrauben erhält man die Normalkraft F N, die jede Schraube aufzubringen hat. Das ist zugleich die Längskraft der Schraube. Aus der Zughauptgleichung erhält man eine Gleichung für den erforderlichen Spannungsquerschnitt A S der Schraube. Die Formelsammlung liefert damit das erforderliche Metrische ISO- Gewinde und die Gewindedaten. b) Man hat jetzt alle Größen zur Berechnung des erforderlichen Anzugsmoments M A für die Schraubenverbindung ermittelt: Jede Schraube muss mit dem Drehmoment von 119 Nm angezogen werden. Das geschieht mit einem Drehmomentschlüssel (siehe Lehrbeispiel Verdrehwinkel im Abschnitt Torsion, Seite 36). Reibungsschlüssige Schraubenverbindung Gegeben: Zugkraft F ¼ N Anzahl der Schrauben n ¼ zulässige Zugspannung s zzul ¼ 150 N=mm Gleitreibungszahl m ¼ 0,15 Reibungszahl der Mutterauflage m a ¼ 0,15 Reibungswinkel im Gewinde r 0 ¼ 9 Gesucht: a) Schraubengewinde b) Anzugsmoment M A F R ¼ F N ¼ ¼ N F N ¼ F R nm ¼ N ¼ N 0,15 A Serf ¼ F N N ¼ ¼ 00 mm s z zul 150 N=mm Gewählt: Schraube M0 mit A S ¼ 45 mm Gewindenenndurchmesser d ¼ 0 mm Steigungswinkel a ¼,48 Flankendurchmesser d ¼ 18,376 mm d M A ¼ F N tan ða þ r0 Þþm a r a r a ¼ 0,7 d (siehe Abschnitt ) 18,376 mm M A ¼ N tan ð,48 þ 9 Þþ þ 0,15 0,7 0 mm M A ¼ Nmm ¼ 119 Nm 3 Reibung Aufgaben Nr

147 3.4 Reibung an Maschinenteilen Seilreibung Grundgleichung der Seilreibung Ein einfacher Versuch soll die Erfahrungen aus dem Berufsalltag bestätigen: Nach Skizze legt man um einen fest stehenden zylindrischen Körper ein dünnes Seil (Band, Faden). Beide Seilenden belastet man mit Wägestücken gleicher Masse m (Skizze a)). Das Seil befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). Daran ändert sich auch dann nichts, wenn man eines der beiden Seilenden durch kleine Wägestücke der Masse Dm zusätzlich zugbelastet (bis kurz vor den Rutschvorgang). Ursache dafür ist die zwischen Seil und Mantelfläche des Zylinders herrschende Seilreibungskraft F R. Sie ist die Summe der kleinen Reibungskräfte DF R ¼ m DF N, die verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfläche wirken: F R ¼ SDF R. Eine Berechnungsgleichung für die größere Seilzugkraft F 1 findet man wegen der verschieden großen Teil-Reibungskräfte DF R nur mit Hilfe der höheren Mathematik (Differenzial- und Integralrechnung). Das hat zuerst Euler 1) getan, später auch Eytelwein ), nach dem auch heute noch die Gleichung F 1 ¼ F e ma benannt wird. Die Gleichung bestätigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft F 1 wächst (linear) mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft F und (exponential) mit dem Produkt aus Reibungszahl m und Umschlingungswinkel a. Der Umschlingungswinkel a muss mit der Einheit rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, wenn der Winkel in Grad vorliegt. Häufig wird die Anzahl der Umschlingungen (Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen. a) Versuchsanordnung b) Lageskizze des Seils F 1 ¼ F þ SDF R F 1 ¼ F þ F R Beachte: F 1 ist immer die größere der beiden Seilkräfte: F 1 > F. F 1 ¼ F e ma Seilzugkraft (Eytelwein sche Gleichung zur Seilreibung) e ¼, heißt Euler sche Zahl Daraus ergibt sich für die Seilreibungskraft F R ¼ F 1 F ¼ F ðe ma 1Þ ¼F 1 e ma 1 e ma a ¼ a p 360 Umrechnungsbeziehung (Grad in rad) Beachte: a ¼ 360 ¼ p rad ¼ eine volle Windung 1) Leonard Euler ( ), Mathematiker und Physiker ) Johann Albert Eytelwein ( ), Ingenieur

148 Aufgabenarten und Lösungsansätze Bei allen Seilreibungsaufgaben liegt ein Seil um einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Verständnis einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich als Beobachter auf den Zylinder und versucht von dort aus, den Richtungssinn der Seilreibungskraft F R zu bestimmen. Es ist dann gleichgültig, ob der Zylinder fest steht oder ob er sich um seine Achse dreht. Zum Richtungssinn von F R siehe Seite 90 Gleitreibung und Haftreibung. 3 Reibung Der Zylinder ist je nach Aufgabe a) ein (fest stehender) Pfahl, z. B. beim Anlegen von Schiffen (1. Ûbung), b) ein (umlaufender) Spillkopf beim Verschieben von Eisenbahnwaggons oder von Schiffen (. Ûbung), c) eine (umlaufende) Riemenscheibe (3. Ûbung), d) eine (umlaufende) Seiltrommel bei Kränen, e) eine (umlaufende) Bremsscheibe bei Bandbremsen. Hat man den Richtungssinn der Seilreibungskraft F R gefunden, weiss man auch, welche der beiden Zugkräfte an den Seilenden die größere Seilkraft F 1 ist. Sie ist immer der Seilreibungskraft F R entgegengerichtet. SF ðin SeilrichtungÞ ¼ 0 F 1 þ F R þ F ¼ 0 F 1 ¼ F R þ F ¼ F e ma Seilzugkraft F 1 > F gilt immer Ûbungen zur Seilreibung 1. Ûbung: Beim Anlegen eines Lastkahns wird das Befestigungsseil mehrfach um den Befestigungspfahl (Poller) geschlungen. Die Reibungszahl zwischen Poller und Seil soll m ¼ 0,4 betragen, die Handkraft am (losen) Seilende 300 N. Ermittelt werden soll die maximale Haltekraft für den Lastkahn, wenn das Halteseil a) zweimal und b) viermal um den Poller geschlungen wird und bei Belastung nicht rutschen soll. Gegeben: Kleinere Seilzugkraft F ¼ 300 N (Handkraft) Gleitreibungszahl m ¼ 0,4 Umschlingungswinkel a a ¼ Vollwinkel a b ¼ 4 Vollwinkel Gesucht: Seilzugkräfte F 1a, F 1b Lösung: Nach dem Zeichnen der vereinfachten Lageskizze für die Kräfte am Seil in Seilrichtung (F 1, F, F R ) berechnet man zunächst die Umschlingungswinkel a a und a b mit der Einheit Radiant (rad). Das ist einfach, weil der Winkel für eine Umdrehung das Produkt p rad ist (Vollwinkel ¼ p rad). a a ¼ p rad ¼ 4p rad a b ¼ 4 p rad ¼ 8p rad

149 3.4 Reibung an Maschinenteilen 15 Mit den Umschlingungswinkeln a a ¼ 4p rad und a b ¼ 8p rad sowie der Haltekraft F ¼ 300 N ¼ 0,3 kn und der Reibungszahl m ¼ 0,4 können die maximal zulässigen Seilzugkräfte F 1a und F 1b berechnet werden. Man erkennt, dass durch die Verdopplung des Umschlingungswinkels die maximal zulässige Seilzugkraft auf das 15-fache wächst. F 1a ¼ F e maa 0,4 4p ¼ 0,3 kn e F 1a ¼ 45,7 kn F 1b ¼ F e ma b 0,4 8p ¼ 0,3 kn e F 1b ¼ 6968,3 kn F 1b ¼ 15 F 1a Beachte: Die e ma -Werte werden mit der ln x- oder e x -Taste eines Taschenrechners ermittelt.. Ûbung: Bei Spillanlagen zum Verschieben von Waggons im Ausbesserungs- oder Verladebetrieb der Bahn wird der skizzierte Spillkopf durch einen Elektromotor angetrieben. Das Stahlseil wird am Waggon eingehängt, mehrfach um den Spillkopf geschlungen und mit dem freien Ende von Hand angezogen. Für eine maximale Zugkraft F 1 ¼ kn und die Reibungszahl m ¼ 0,1 soll für drei volle Seilwindungen die erforderliche Handkraft ermittelt werden. Gegeben: Seilzugkraft F 1 ¼ 000 N Reibungszahl m ¼ 0,1 Umschlingungswinkel a ¼ 3 p rad ¼ 6p rad Gesucht: Kleinere Seilzugkraft F (Handkraft) Lösung: Mit der ln x- oder e x -Taste des Taschenrechners wird e ma ¼ e 0,1 6p ¼ 6,586 ermittelt und gleich in den Quotienten 000/6,586 eingebracht. Die Handkraft beträgt F ¼ 303,7 N. F 1 ¼ F e ma ) F ¼ F 1 e ma F ¼ 000 N e 0,16p ¼ 303,7 N

150 16 3. Ûbung: Ein Elektromotor treibt nach Skizze über ein Flachriemengetriebe eine Arbeitsmaschine an. Die auf der Motorwelle mit Formschlussverbindung (Passfeder) fest sitzende Riemenscheibe 1 (Radius r 1 )läuft rechtsdrehend mit der Drehzahl n 1 und dem Drehmoment M 1 um. Antriebswelle 1 und die (nicht gezeichnete) Abtriebswelle haben einen festen Wellenabstand. Die erforderliche Riemenvorspannung wird daher mit einer Spannrolle am (ablaufenden) Leertrum aufgebracht und nicht, wie beim Spannwellenbetrieb, durch Verschieben des Antriebsmotors auf Spannschienen. Gegeben: Euler sche Gleichung F 1 ¼ F e m0a Haftreibungszahl m 0 Umschlingungswinkel a Radius der Riemenscheibe r 1 Riemenvorspannkraft F V ¼ F 3 Reibung Gesucht ist eine Gleichung für das maximal übertragbare Motordrehmoment M 1 in Abhängigkeit von der Riemenvorspannkraft F V. Gesucht: Maximal übertragbares Drehmoment M 1 ¼ f ðf V, r 1, m 0, aþ Lösung: Das Drehmoment M 1 an der Motorscheibe wird durch Seilreibung auf das (auflaufende) Lasttrum des Riemengetriebes übertragen. Die Reibungskraft ist die Seilreibungskraft F R. Sie wirkt am Scheibenradius r 1. Die Seilreibungskraft F R ist die Differenz der beiden Seilzugkräfte F 1 und F. M 1 ¼ F R r 1 ¼ðF 1 F Þ r 1 Die Vorspannkraft F V ist die Seilzugkraft F am Leertrum des Flachriemens. Man ersetzt daher die Seilzugkraft F 1 durch die Eytelweingleichung F 1 ¼ F e m 0 a und erhält die gesuchte Beziehung M 1 ¼ f ðf V, r 1, m 0, aþ. Da das größtmögliche Drehmoment ermittelt werden soll, ist statt der Gleitreibungszahl die Haftreibungszahl einzusetzen. M 1 ¼ðF 1 F Þ r 1 ¼ðF e m 0 a F Þ r 1 M 1 ¼ F r 1 ðe m 0 a 1Þ ¼F V r 1 ðe m 0 a 1Þ Beachte: Ein Drehmoment M kann nur bei Riemenvorspannung übertragen werden: Das übertragbare Drehmoment M ist der Vorspannkraft proportional. Aufgaben Nr

151 3.4 Reibung an Maschinenteilen Bremsen Backen- oder Klotzbremsen Bei der Backenbremse bestimmt die Lage des Bremshebeldrehpunkts D die Wirkungsweise der Bremse. Sie kann für eine Drehrichtung der Bremsscheibe selbsthemmend oder für beide Drehrichtungen gleichbleibend sein. a) Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D Der Bremshebel ist in D zweiwertig drehbar gelagert. Er wird freigemacht skizziert. Die Bremskraft F am Bremshebelende ruft zwischen Scheibe und Backe die Normalkraft F N hervor. Wirkt an der Bremsscheibenwelle ein Drehmoment, so ruft es ein entgegengerichtetes Bremsmoment M aus Reibungskraft F R ¼ F N m und Scheibenradius r hervor: M ¼ F R r ¼ F N mr. Die Skizze zeigt Normalkraft F N und Reibungskraft F R ¼ F N m, wie sie bei Rechtslauf auf die Bremsbacke wirken. Bei Linkslauf kehrt die Reibungskraft F R ihren Richtungssinn um. Bei Gleichgewicht am Bremshebel müssen die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Setzt man in den Gleichungen F R ¼ F N m ein, so erhält man aus Gleichung III eine Bestimmungsgleichung für die erforderliche Bremskraft F. Das Bremsmoment M wird aus M ¼ F R r ¼ F N mr berechnet. Mit der nach F N aufgelösten Bremskraftgleichung lässt sich dann eine Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M entwickeln. Die Gleichung für die Bremskraft zeigt, dass bei Linkslauf mit zunehmender Ûberhöhung l des Drehpunkts die Klammerdifferenz immer kleiner wird und gegen null geht. Das bedeutet, dass die Bremskraft schließlich null wird. Dann hält die Reibungskraft allein die Bremsscheibe fest, und es liegt Selbsthemmung vor. Bei Rechtslauf ist Selbsthemmung nicht möglich. Aus der Gleichung für die Bremskraft F ergibt sich ferner, dass bei Linkslauf und gleichbleibender Bremskraft F die Bremswirkung größer ist als bei Rechtslauf. Die Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt ist also dann besonders geeignet, wenn nur in einer Richtung gebremst wird, z. B. als Hubwerksbremse an Hebezeugen. Lageskizze Lageskizze des Bremshebels bei Rechtslauf der Bremsscheibe Gleichgewichtsbedingungen nach Lageskizze: I. SF x ¼ 0 ¼ F N m F Dx II. SF y ¼ 0 ¼ F N F Dy F III.SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 þ F N ml Fl SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 þ F R l Fl (Rechtslauf) SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 F R l Fl (Linkslauf) F ¼ F N ðl 1 ml Þ l M ¼ Flmr ðl 1 ml Þ Bremskraft Bremsmoment (þ) bei Rechtslauf, ( ) bei Linkslauf Selbsthemmung bei Linkslauf tritt ein, wenn l 1 ml ¼ 0 wird, denn dann wird das Bremsmoment unendlich groß. l 1 ml Selbsthemmungsbedingung In der Gleichung für die Bremskraft F ist der Klammerausdruck für Linkslauf (l 1 ml ) kleiner als für Rechtslauf (l 1 þ ml ). Wenn in beiden Fällen die Bremskraft F gleich groß ist, dann bedeutet das, dass bei Linkslauf eine größere Normalkraft und dadurch eine größere Reibungskraft auftritt.

152 18 b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D Der Bremshebeldrehpunkt D liegt bei dieser Bremse auf derselben Seite der Reibungskraftwirklinie wie die Bremsscheibe. Auch hier muss beim Abbremsen die Momentengleichgewichtsbedingung S M ¼ 0fürden Bremshebel erfüllt sein. Setzt man wieder in beide Gleichungen für die Reibungskraft F R ¼ F N m ein, dann ergibt sich daraus die Bestimmungsgleichung für die Bremskraft F fast in der gleichen Form wie bei der Bremse mit überhöhtem Drehpunkt, nur die Vorzeichen in der Klammer sind vertauscht. Das bedeutet, dass beide Bremsen die gleiche Bremswirkung haben, nur für jeweils umgekehrten Drehsinn. Mit M ¼ F R r ¼ F N mr erhält man wieder die Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M. Auch hier ist Selbsthemmung unter den gleichen Bedingungen wie vorher möglich, aber bei Rechtslauf. Auch diese Backenbremse ist daher besonders für eine Bremsrichtung geeignet. c) Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D Hier liegt der Bremshebeldrehpunkt auf der Wirklinie der Reibungskraft F R, die als Tangentialkraft an der Bremsscheibe angreift. Dadurch hat die Reibungskraft F R in Bezug auf den Hebeldrehpunkt weder bei Rechts- noch bei Linkslauf ein Kraftmoment. Sie fällt beim Aufstellen der Momentengleichgewichtsbedingung SM ðdþ ¼ 0 aus der Gleichung heraus. Aus der Gleichung für die Bremskraft F ist zu sehen, dass F nur noch von der Normalkraft F N und dem Verhältnis der beiden Hebelarme l 1 und l abhängig ist, und dass für beide Drehrichtungen die Bremswirkung gleichbleibend ist. Auch hier erhält man mit M ¼ F R r ¼ F N mr die Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M. Die Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt ist besonders dann geeignet, wenn für beide Drehrichtungen gleiche Bremswirkung verlangt wird, z. B. bei Fahrwerkbremsen. SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 F R l Fl (Rechtslauf) SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 þ F R l Fl (Linkslauf) F ¼ F N ðl 1 ml Þ l M ¼ Flmr ðl 1 ml Þ Bremskraft Bremsmoment ( ) bei Rechtslauf, (þ) bei Linkslauf Selbsthemmung tritt bei Rechtslauf ein, wenn l 1 ml ¼ 0 wird. l 1 ml Selbsthemmungsbedingung SM ðdþ ¼ 0 ¼ F N l 1 Fl bei Rechtslauf und Linkslauf F ¼ F N l 1 l M ¼ Flmr l 1 Bremskraft Bremsmoment 3 Reibung Lageskizze Beachte: Da bei einer Bremse l 1 nicht gleich null werden kann, ist Selbsthemmung hier nicht möglich.

153 3.4 Reibung an Maschinenteilen 19 d) Doppelbackenbremse mit festen Bremsbacken Die Bremskraft an der skizzierten Doppelbackenbremse wird durch eine Druckfeder erzeugt. Die erforderliche Lüftermechanik zum Lösen der Bremse ist nicht gekennzeichnet. Die beiden Bremsklötze A und B sind fest mit den beiden symmetrischen Bremshebeln verbunden. Bremsen mit beweglichen Backen z. B. nach DIN (Handbuch Maschinenbau, Abschnitt Fördertechnik). Man beginnt die Untersuchung der Bremse bei Rechtslauf der Bremsscheibe mit der Lageskizze des oberen Bremshebels und bekommt den gleichen Fall wie unter b) Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt (1. Schritt). Schemaskizze einer Doppelbackenbremse 1. Schritt Lageskizze des oberen Bremshebels Wie unter b) lässt man auch hier die Stützkraft F C im Hebeldrehpunkt C außer Acht und schreibt nur die Momentengleichgewichtsbedingung SM ðcþ ¼ 0 auf. Daraus entwickelt man wie unter b) eine Bestimmungsgleichung für die Bremskraft F (. Schritt).. Schritt SM ðcþ ¼ 0 ¼ F NA l 1 F NA ml Fl (Rechtslauf) F NA ðl 1 ml Þ¼Fl F ¼ F NA ðl 1 ml Þ l Bremskraft Die Reibungskraft F RA ¼ F NA m an der Bremsbacke A erzeugt das Bremsmoment M A ¼ F RA r ¼ F NA mr. Man löst die Bremskraftgleichung nach F NA auf und entwickelt die Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M A (3. Schritt). Fl F NA ¼ ðl 1 ml Þ ; M A ¼ Flmr ðl 1 ml Þ M A ¼ F NA mr 3. Schritt Bremsmoment M A Das Bremsmoment M A ist das von der Reibungskraft F RA an der oberen Bremsbacke erzeugte Teilmoment. Es muss nun auf dem gleichen Weg das zweite Teilmoment, das Bremsmoment M B, durch Freimachen des unteren Bremshebels ermittelt werden. Beachte: Es wurde beim Freimachen des Systems systematisch und exakt vorgegangen: oberen Bremshebel mit Bremsbacke A skizzieren, die Druckfeder gedanklich wegnehmen und dafür die Federkraft F eintragen usw. So geht man auch beim unteren Bremshebel vor.

154 130 Man arbeitet nach der gleichen Gliederung wie bei der Untersuchung des oberen Bremshebels und beginnt mit der Lageskizze des unteren Bremshebels (1. Schritt). 3 Reibung 1. Schritt Lageskizze des unteren Bremshebels Im. Schritt liest man wieder die Momentengleichgewichtsbedingung SM ðdþ ¼ 0 aus der Lageskizze ab und schreibt sie auf. Daraus entwickelt man erneut eine Bestimmungsgleichung für die Bremskraft F (. Schritt). SM ðdþ ¼ 0 ¼ F NB l 1 F NB ml þ Fl (Rechtslauf) F NB ðl 1 þ ml Þ¼Fl F ¼ F NB ðl 1 þ ml Þ l Bremskraft. Schritt Durch die Reibungskraft F RB wird das zweite Teil- Bremsmoment M B ¼ F RB r ¼ F NB mr erzeugt. Man löst im 3. Schritt die Bremskraftgleichung nach F NB auf und entwickelt damit die Bestimmungsgleichung für das Bremsmoment M B (3. Schritt). Fl F NB ¼ ðl 1 þ ml Þ M B ¼ Flmr ðl 1 þ ml Þ M B ¼ F NB mr 3. Schritt Bremsmoment M B Ein Vergleich der Gleichungen für F NA und F NB zeigt, dass die Normalkraft F NA größer ist als F NB, weil der Nenner in der Gleichung für F NA kleiner ist als der Nenner bei F NB. F NA > F NB, weil ðl 1 ml Þ < ðl 1 þ ml Þ; wegen F NA > F NB ist auch F RA > F RB und M A > M B Das gesamte auf die Bremsscheibe wirkende Bremsmoment M der untersuchten Doppelbackenbremse ist die Summe der beiden Teilmomente M A und M B. M ¼ M A þ M B Gesamt-Bremsmoment Die hier entwickelten Gleichungen gelten nur für Doppelbackenbremsen mit Bremsbacken, die fest mit dem Bremshebel verbunden sind. Beachte: Sollen die Stützkräfte F C und F D ermittelt werden, müssen jeweils alle drei Gleichgewichtsbedingungen angesetzt werden, z. B. für Lager D: SF x ¼ 0 ¼ F Dx F NB m SF y ¼ 0 ¼ F Dy þ F F NB SM ðdþ ¼ 0 (siehe oben,. Schritt) Aufgaben Nr

155 3.4 Reibung an Maschinenteilen Bandbremsen Bei der Bandbremse wird die Bremswirkung durch Seilreibung (Bandreibung) erzielt. Für die Spannkräfte F 1 und F an den Bandenden und für die Reibungskraft F R gelten die Beziehungen aus Bei der einfachen Bandbremse ist ein Bandende am Bremshebeldrehpunkt D befestigt, das andere am Bremshebel. Durch die Hebelkraft F wird das Band gespannt, und bei Drehung der Bremsscheibe entstehen in den Bandenden infolge der Seilreibung unterschiedliche Spannkräfte F 1 und F. F 1 ¼ F e ma F R ¼ F 1 F ¼ F ðe ma 1Þ ¼F 1 ðe ma 1Þ e ma Die Kräfte F 1, F und F R wirken bei Rechtslauf in den eingezeichneten Richtungen auf das Bremsband. Am Bremshebel herrscht Momentengleichgewicht (Ruhe). Bezieht man die Kraftmomente auf den Hebeldrehpunkt, dann hat die Kraft F 1 kein Moment. Die Spannkraft F wird also von der Hebelkraft F und den Hebellängen l und l 1 bestimmt. Nach den Gesetzen der Seilreibung kann man aus der Kraft F die Bandreibungskraft F R ¼ Bremskraft an der Bremsscheibe ermitteln. Sie wirkt im Abstand r von der Bremsscheibenmitte und erzeugt das Bremsmoment M ¼ F R r. Lageskizze des Bremshebels SM ðdþ ¼ 0 ¼ F l 1 Fl ; F ¼ F l l 1 F R ¼ F ðe ma 1Þ ¼F l ðe ma 1Þ l 1 M ¼ F R r ¼ Fr l l 1 ðe ma 1Þ Bremsmoment Bei Linkslauf wechseln F 1 und F ihre Angriffspunkte. Für die gleiche Bremswirkung wäre dann eine erheblich größere Hebelkraft F erforderlich. Die einfache Bandbremse wird darum nur für einen Drehsinn verwendet, z. B. für Hubwerke als Haltebremse (Bauaufzüge). Aus der Gleichung erkennt man, dass das Bremsmoment vergrößert werden kann durch größere Hebelkraft F, größeren Scheibenradius r,größere Hebellänge l, kleineren Bandabstand l 1, größere Reibungszahl m und größeren Umschlingungswinkel a. Selbsthemmung ist nicht möglich. Neben der einfachen Bandbremse gibt es noch die Summenbremse mit gleich großem Bremsmoment M in beiden Drehrichtungen und die Differenzbremse für einen Drehsinn des Bremsmomentes. Beachte: Funktionsskizzen für Summen- und Differenzbremse sowie die Formeln für das Bremsmoment findet man in: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik. Aufgaben Nr

156 13 3 Reibung Scheiben- und Kegelbremsen a) Scheibenbremsen Gebaut werden Ein- und Mehrscheibenbremsen (Lamellenbremsen). Die Bremsscheibe der skizzierten Einscheibenbremse sitzt drehfest auf der Bremswelle. Die beiden Bremsbacken werden durch Druckfedern im gehäusefesten Hydraulikzylinder an die Bremsscheibe gepresst. Mit Flüssigkeitsdruck wird die Bremse gelöst (Lüften). Die Einscheibenbremse wird zunehmend im Hebezeugbau verwendet, auch an Stelle der Bandbremse (gute Wärmeableitung). b) Kegelbremsen Die drehfest mit der Bremswelle verbundene Bremsscheibe mit Außenkegel wird durch Federkraft axial gegen den gehäusefesten Innenkegel gepresst und hydraulisch oder elektromagnetisch abgelöst (Lüften der Bremse). Durch die Kegelreibfläche kann das gleiche Bremsmoment wie bei der Einscheibenbremse mit kleinerer Bremskraft erzeugt werden (kleinere Konstruktionsmaße). c) Bremskraft und Bremsmoment Für die Bremskraft F und für das Bremsmoment M kann man zwei Gleichungen entwickeln, die für Scheiben- und Kegelbremsen gelten. Wie bei jeder Bremse ist das Bremsmoment M das Produkt aus der Reibungskraft F R ¼ F N m und dem zugehörigen Reibungskraftradius (M ¼ F R r ¼ F N mr). Bei der Scheibenbremse ist die Bremskraft F zugleich die Normalkraft F N ¼ F. Dagegen ist bei der Kegelbremse F ¼ F N sin a, wie die Krafteckskizze zeigt. Damit erhält man die beiden Bestimmungsgleichungen für F und M. F Msin a rzm M Frzm sin a Bremskraft Bremsmoment z Anzahl der Reibungsflächen z ¼ 1 bei Kegelbremsen z ¼ bei Einscheibenbremsen a Kegelwinkel a ¼ 90 bei Scheibenbremsen a 0 bei Kegelbremsen

157 3.4 Reibung an Maschinenteilen Rollwiderstand (Rollreibung) Betrachtet man einen Rollkörper und seine Unterlage als absolut starre Körper, dann ist Rollen nur infolge der tangential wirkenden Haftreibungskraft möglich. Sonst müsste der Rollkörper auf der Unterlage gleiten. Tatsächlich drückt sich der Rollkörper etwas in die Unterlage ein, und er verformt sich auch selbst geringfügig. Es kann hier also nicht mehr von echter Reibung gesprochen werden, sondern man muss sich den Rollvorgang als ein fortwährendes Kippen über die Kante D vorstellen (siehe.5., Seite 87). Bei gleichförmiger Rollbewegung herrscht Gleichgewicht. Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erhält man eine Gleichung für die Rollkraft F. Wegen der geringen Eindrücktiefe kann in dieser Gleichung der Kippabstand l gleich dem Rollradius r gesetzt werden. Die Rollkraftgleichung zeigt, dass die Rollkraft F mit zunehmendem Rollradius r kleiner wird. Den Abstand f bezeichnet man als Hebelarm der Rollreibung. Er ist abhängig vom Werkstoff der Unterlage und des Rollkörpers und wird gewöhnlich in cm angegeben. Aus diesem Grund setzt man in die Gleichung auch den Rollradius r zweckmäßig in cm ein Fahrwiderstand Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf horizontaler Fahrbahn fortbewegt, sind Widerstände zu überwinden: der Luftwiderstand, der Rollwiderstand, der Widerstand durch Lagerreibung. Die beiden letzten fasst man zum Fahrwiderstand F w zusammen. Bei horizontaler Fahrbahn ist die erforderliche Zugkraft F z gleich dem Fahrwiderstand (ohne Luftwiderstand). Bei geneigter Fahrbahn ist zusätzlich die Hangabtriebskraft F a ¼ F G sin a zu überwinden. a ist der Neigungswinkel der Fahrbahn zur Waagerechten. Wirklicher Rollkörper Freigemachter starrer Rollkörper SM ðdþ ¼ 0 ¼ F G f Fl ; l r f F, F G f r F ¼ F G Rollkraft r N cm cm Die Gewichtskraft steht hier für die Belastung der Radachse. Beachte: Große Räder oder Kugeln rollen leichter als kleinere. Werte für den Hebelarm der Rollreibung: Für Gusseisen und Stahl auf Stahl ist f 0,05 cm, für gehärtete Stahlrollen und -kugeln auf gehärteten Laufringen (Wälzlager) ist f 0, ,001 cm. F w ¼ F N m f Fahrwiderstand F N gesamte Normalkraft (Anpresskraft des Fahrzeugs an allen Rädern). Bei horizontaler Fahrbahn ist die Normalkraft F N gleich der Gewichtskraft F G des Fahrzeugs. m f Fahrwiderstandszahl; sie wird durch Versuche ermittelt. Erfahrungswerte für m f : Eisenbahn 0,005 Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 Kraftfahrzeug auf Asphalt 0,05 Drahtseilbahn 0,01

158 134 Damit sich die Räder drehen, muss die Haftreibungskraft F R0 max zwischen Rädern und Fahrbahn größer sein als der Fahrwiderstand F w. Daraus ergibt sich die Rollbedingung m 0 m f.beim 0 < m f gleiten die Räder auf der Fahrbahn. Für die Rollbewegung ist erforderlich, dass F R0 max F w,d.h.f N m 0 F N m f ist. m 0 m f Rollbedingung 3 Reibung Ûbungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand 1. Ûbung: Die Laufachse einer Lokomotive mit zwei Rädern von 1,1 m Durchmesser hat 1, t Masse. Sie soll durch eine in Achsmitte angreifende Kraft F auf waagerechten Schienen in gleichförmiger Bewegung gehalten werden. Der Hebelarm der Rollreibung beträgt 0,05 cm. Wie groß sind die erforderliche Rollkraft F und der Rollwiderstand F roll? Lösung: Man kann die Rollkraft F mit der in entwickelten Gleichung bestimmen. Der Rollwiderstand F roll ist hier gleich der Rollkraft F.. Ûbung: Der Tisch einer Werkzeugmaschine läuft auf einer Zylinderrollenführung. Er belastet die Rollen mit einer Kraft F 1 ¼ 1800 N. Rollen und Führungsschienen sind gehärtet. Die Rollen haben 18 mm Durchmesser. Welche Kraft muss aufgebracht werden, um den Tisch zu verschieben? Lösung: Man darf alle Kräfte auf eine Rolle beziehen, denn ob an 100 Rollen je ein Hundertstel der Kräfte wirkt oder an einer Rolle alle Kräfte, ist gleichgültig. Die Gewichtskräfte der Rollen können vernachlässigt werden, denn sie sind klein gegenüber der Belastung F 1. Rollwiderstand tritt an der unteren und an der oberen Führungsschiene auf. Die Verschiebekraft F am Tisch hat ihre Gegenkraft im Rollwiderstand F roll oben, folglich ist F ¼ F roll. Das Rollmoment F d ist gleich dem Lastmoment F 1 f.für unterschiedliche Werkstoffe ist statt f die Summe ðf 1 þ f Þ einzusetzen. Gegeben: Durchmesser d ¼ r ¼ 1,1 m Masse m ¼ 1, 10 3 kg Hebelarm f ¼ 0,05 cm Gesucht: Rollkraft F, Rollwiderstand F roll f F ¼ F G r ¼ mg f r F ¼ 1, 10 3 kg 9,81 m s m 5, m F ¼ 10,7 N ¼ F roll Gegeben: Belastung F 1 ¼ 1, N Hebelarm f ¼ 10 5 m (nach 3.4.7) Rollendurchmesser d ¼ m Gesucht: Verschiebekraft F F roll d ¼ Fd ¼ F 1 f f F ¼ F 1 d ¼ F f 1 r ¼ F 1 f r F ¼ 1, m N m ¼ N

159 3.4 Reibung an Maschinenteilen Ûbung: Eine Kugel von 0 mm Durchmesser liegt auf einer schiefen Ebene. Bei welchem Neigungswinkel a beginnt die Kugel zu rollen, wenn der Hebelarm der Rollreibung f ¼ 0,1 cm beträgt? Gegeben: Durchmesser d ¼ 0 mm Hebelarm f ¼ 0,1 cm Gesucht: Neigungswinkel a Lösung: Die Kugel beginnt dann zu rollen, wenn die Wirklinie der Gewichtskraft F G durch die Kippkante D geht (siehe.5.). Die Rollkraft ist dann die Komponente F G sin a, die Belastung die Komponente F G cos a. Das linksdrehende Kraftmoment F G sin ar ist gleich dem rechtsdrehenden Kraftmoment F G cos a f. Damit ist der Lösungsansatz gefunden. Die Diskussion der Gleichung tan a ¼ f =r lässt erkennen, dass mit zunehmendem Kugelradius r die Tangensfunktion und damit der Neigungswinkel kleiner wird: Große Rollkörper rollen leichter als kleine. 4. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug mit 1100 kg Masse wird auf einer waagerechten Asphaltstraße gleichförmig geschoben. Wie groß ist der zu überwindende Fahrwiderstand F w? F G sin ar ¼ F G cos a f F G sin a F G cos a ¼ f r tan a ¼ f r a ¼ arctan f 0,1 cm ¼ arctan r 1cm ¼ 5,71 Gegeben: Masse m ¼ 1, kg Fahrwiderstandszahl m f ¼ 0,05 (siehe 3.4.8) Gesucht: Fahrwiderstand F w Lösung: Man berechnet den Fahrwiderstand F w aus der Normalkraft F N und der Fahrwiderstandszahl m f. Die gesamte Normalkraft an den vier Rädern ist bei waagerechter Fahrbahn gleich der Gewichtskraft F G ¼ Masse m Fallbeschleunigung g. Die Fahrwiderstandszahl entnimmt man den Erfahrungswerten (3.4.8). F w ¼ F N m f ¼ F G m f ¼ mgm f F w ¼ 1, kg 9,81 m s F w ¼ 70 kgm s ¼ 70 N 5. Ûbung: Ein Güterzug fährt auf waagerechter Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse der angehängten Wagen beträgt 1000 t. Wie groß ist der Fahrwiderstand F w der angehängten Wagen? Gegeben: Masse m ¼ 1000 t ¼ 10 6 kg Fahrwiderstandszahl m f ¼ 0,005 Gesucht: Fahrwiderstand F w

160 136 Lösung: Die Ûberlegungen zur Lösung dieser Aufgabe sind die gleichen wie in der 4. Ûbung. Lediglich die Beträge der Masse und der Fahrwiderstandszahl wurden geändert. Da die Zugkraft am Zughaken der Lokomotive nur den Fahrwiderstand zu überwinden hat, sind Zugkraft F z und Fahrwiderstand gleich groß. 6. Ûbung: Derselbe Güterzug wie in der 5. Ûbung wird eine Steigung 1:100 gleichförmig bergauf gezogen. Wie groß ist jetzt die erforderliche Zugkraft F z? Lösung: Man orientiert sich über die Kräfteverhältnisse anhand einer Lageskizze. Ob man dabei den ganzen Zug betrachtet oder nur einen Wagen mit der Masse m ¼ 1000 t, ist gleichgültig. Man erkennt: Da Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft F N ¼ F G cos a. Außerdem muss die Zugkraft F z gleich der Summe aus Fahrwiderstand F w und Hangabtriebskraft F G sin a sein. Zuerst wird der Steigungswinkel a aus seiner Tangensfunktion ermittelt. Der Winkel ist so klein, dass man in der weiteren Rechnung sin a ¼ tan a ¼ 0,01 und cos a ¼ 1 setzen darf. Dann setzt man die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte in Richtung der Steigung an (x-kräfte) und löst schrittweise nach F z auf. Die Gleichung F z ¼ mgðm f þ sin aþ zeigt, dass der Steigungswinkel a die Zugkraft stark beeinflusst. Hier ist sin a ¼ 4m f, d. h. die Hangabtriebskraft F G sin a ist viermal so groß wie der Fahrwiderstand F w. F w ¼ F N m f ¼ F G m f ¼ mgm f F w ¼ 10 6 kg 9,81 m, s F w ¼ 4, kgm s ¼ N F w ¼ F z ¼ 4,53 kn Gegeben: Dieselben Größen wie in Ûbung 5; zusätzlich Steigung 1:100, das heißt, der Tangens des Steigungswinkels beträgt 1/100, tan a ¼ 0,01 Gesucht: Zugkraft F z Lageskizze a ¼ arctan 0,01 ¼ 0,573 ¼ 34,4 0 3 Reibung SF x ¼ 0 ¼ F z F w F G sin a F z ¼ F w þ F G sin a ¼ F N m f þ F G sin a F z ¼ F G cos am f þ F G sin a ¼ ¼ F G ðm f cos a þ sin aþ F z ¼ mgðm f cos a þ sin aþ cos a ¼ 0, gesetzt: F z ¼ mgðm f þ sin aþ F z ¼ 10 6 kg 9,81 m ð0,005 þ 0,01Þ s F z ¼ 1, N ¼ 1,6 kn Aufgaben Nr

161 3.4 Reibung an Maschinenteilen Rolle und Rollenzug Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) Die Achse der festen Rolle liegt räumlich fest. Ohne Reibung wäre die Zugkraft F im Seil gleich der Gewichtskraft F G (F ¼ F G ). Infolge der Zapfenreibung (siehe Seite 115) ist beim Heben der Last die Zugkraft jedoch immer größer als die Gewichtskraft (F > F G ). Aber auch ohne Berücksichtigung der Zapfenreibung wäre F > F G, denn die Reibung zwischen den einzelnen Drähten des Seils macht das Seil biegesteif. Dadurch weicht der auflaufende Seilstrang um die seitliche Auslenkung e 1 nach außen. Der ablaufende Seilstrang schmiegt sich um e an die Rolle nach innen an. Dadurch vergrößert sich der Wirkabstand der Gewichtskraft F G vom Rollendrehpunkt D auf den Betrag r þ e 1, während sich der Wirkabstand der Zugkraft F auf r e verringert. F G F r r z Gewichtskraft Zugkraft Rollenradius Zapfenradius Zur Gleichgewichtsbetrachtung skizziert man die Lageskizze des Systems Rolle/Seil. Der geringfügige Unterschied zwischen e 1 und e lässt es zu, mit der Auslenkung e ¼ e 1 ¼ e zu rechnen. Die Rolle dreht sich beim Heben der Last mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w rechts herum. Linksdrehend wirkt dann das Reibungsmoment M R ¼ F R r z ¼ F N mr z ¼ðF G þ FÞ mr z. Erläuterungen zum Reibungsmoment M R siehe Abschnitt , Seite 116. Lageskizze für Lastheben Für die Reibungsbetrachtung am Rollenbolzen oder -zapfen kann die Zugkraft F ungefähr gleich der Gewichtskraft F G gesetzt werden (F F G ). Das Reibungsmoment wird dann M R ¼ F G mr z. Legt man den Momentendrehpunkt D auf die Wirklinie der noch unbekannten Normalkraft F N (Lagerkraft) in den Rollenmittelpunkt, so führt die algebraische Entwicklung zu einer Gleichung für die Zugkraft F. SF y ¼ 0 ¼ F G þ F N F F N ¼ F G þ F SM ðdþ ¼ 0 ¼ F G ðr þ eþ Fðr eþþm R F G ðr þ eþ Fðr eþþf G mr z ¼ 0 Fðr eþ ¼F G ðr þ e þ mr z Þ F ¼ F G r þ e þ mr z r e Zugkraft an der festen Rolle beim Lastheben

162 138 Der Wirkungsgrad h ist das Verhältnis von Nutzarbeit W n zur aufgewendeten Arbeit W a. Die Nutzarbeit W n ist hier das Produkt aus der Gewichtskraft F G und dem Hubweg s, also W n ¼ F G s (Hubarbeit). Entsprechend gilt für die aufgewendete Arbeit W a ¼ Fs. Kraft- und Lastweg sind gleich groß (s 1 ¼ s ¼ s). Nutzarbeit W n h f ¼ ¼ F Gs aufgewendete Arbeit W a Fs h f ¼ F G F! F ¼ F G h f 3 Reibung Mit den beiden Ausdrücken für die Zugkraft F stehen also zwei voneinander unabhängige Gleichungen mit zwei Unbekannten (F und h f )zurverfügung. Die Gleichsetzungsmethode führt hier am einfachsten zu einer Gleichung für den Wirkungsgrad h f der festen Rolle. F ¼ F G r þ e þ mr z ¼ F G h f r e r e h f ¼ r þ e þ mr z Wirkungsgrad der festen Rolle Wie die Gleichung zeigt, ist der Wirkungsgrad h f abhängig vom Rollenradius r, vom Zapfenradius r z, von der Zapfenreibungszahl m und von der Auslenkung e. Die Größen r und r z sind konstruktiv festgelegt, dagegen können Zapfenreibungszahl m und Auslenkung e nur angenommen werden. Dabei ist die Festlegung eines Auslenkungsbetrages am schwierigsten. Eine Rechnung mit bestimmten Beträgen von r, r z und m, bei e ¼ 0; 0,5 mm; 1 mm und mm zeigt die geringe Abhängigkeit des Wirkungsgrades h f vom Auslenkungsbetrag e. Es ist daher berechtigt, mit einem Mittelwert h f ¼ 0,95 zu rechnen. Berechnungsbeispiel: Für r ¼ 00 mm, r z ¼ 30 mm und m ¼ 0,15 sowie e 1 ¼ 0; e ¼ 0,5 mm; e 3 ¼ 1 mm und e 4 ¼ mm liefert die Wirkungsgradgleichung: h f1 ¼ 0,957 0,96 für e 1 ¼ 0 h f ¼ 0,95 0,95 für e ¼ 0,5 mm h f3 ¼ 0,948 0,95 für e 3 ¼ 1mm h f4 ¼ 0,938 0,94 für e 4 ¼ mm Lose Rolle Die Last mit der Gewichtskraft F G hängt an der Achse der losen Rolle und verteilt sich daher auf zwei Seilstränge. Der eine Strang ist z. B. an der Auslegerspitze eines Drehkrans befestigt, am anderen Strang greift die Zugkraft F an. War bei der festen Rolle ohne Reibungsverluste F ¼ F G,soist bei der losen Rolle F ¼ F s ¼ F G /. Die aufgewendete Arbeit ist W a ¼ Fs 1, die Nutzarbeit W n ¼ F G s. Ohne Reibungsverluste sind beide Beträge gleich groß, also Fs 1 ¼ F G s. Mit F ¼ F G / wird dann F G s 1 / ¼ F G s, also auch s 1 ¼ s. Der Kraftweg s 1 ist doppelt so groß wie der Lastweg s. Lageskizze für Lastheben

163 3.4 Reibung an Maschinenteilen 139 Wie bei der festen Rolle stellt man die Gleichgewichtsbedingungen nach der Lageskizze auf. Auch hier wird angenommen, dass die seitliche Auslenkung am auf- und am ablaufenden Seilstrang gleich groß ist (e 1 ¼ e ¼ e). Den Momentendrehpunkt D legt man auf die Wirklinie der Seilkraft F s, weil die Entwicklung der Momentengleichgewichtsbedingung dann zu einer Gleichung mit nur einer Unbekannten führt (Zugkraft F). SF y ¼ 0 ¼ F s F G þ F F G ¼ F s þ F r zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ SM ðdþ ¼ 0 ¼ F G ðr þ eþ M R þ F ðr e þ r þ eþ M R ¼ F R r z ¼ F N mr z ¼ F G mr z Fr ¼ F G ðr þ eþþf G mr z ¼ F G ðr þ e þ mr z Þ F ¼ F G r þ e þ mr z r Zugkraft an der losen Rolle beim Lastheben Auch bei Berücksichtigung der Reibung gilt für den Kraftweg s 1 ¼ s. Allerdings bleibt nicht mehr F ¼ F G /. Mit der Nutzarbeit W n ¼ F G s und der aufgewendeten Arbeit W a ¼ Fs 1 ¼ F s erhält man wie bei der festen Rolle eine Gleichung für den Wirkungsgrad h l der losen Rolle und daraus eine Gleichung für die Zugkraft F. Wie bei der festen Rolle verfügt man auch hier über zwei voneinander unabhängigen Gleichungen für die Zugkraft F, die man gleichsetzen und nach dem Wirkungsgrad h l auflösen kann. h l ¼ W n W a ¼ F G s F s h l ¼ F G F! F ¼ F G h l F ¼ F G ¼ F G r þ e þ mr z h l r r h l ¼ r þ e þ mr z Wirkungsgrad der losen Rolle Ein Vergleich der beiden Gleichungen für die Wirkungsgrade h l und h f zeigt, dass der Zähler in der Wirkungsgradgleichung für die lose Rolle größer ist als der Zähler in der Gleichung für die feste Rolle. Dagegen ist der Nenner bei h l kleiner als bei h f. Folglich ist der Wirkungsgrad h l der losen Rolle größer als der Wirkungsgrad h f der festen Rolle (h l > h f ). Zählervergleich: r > r e Nennervergleich: r þ e þ mr z < r þ e þ mr z folglich ist h l > h f Das wird rechnerisch bestätigt mit den für die feste Rolle angenommenen Größen (siehe Seite 138). Für praktische Rechnungen verzichtet man jedoch auf unterschiedliche Beträge für die Wirkungsgrade der festen und der losen Rolle. Man rechnet mit h f ¼ h l ¼ h ¼ 0,96 für Gleitlagerung der Rolle und h ¼ 0,98 für Wälzlagerung. Für r ¼ 00 mm, r z ¼ 30 mm, m ¼ 0,15 und e ¼ 1 mm wird der Wirkungsgrad für die lose Rolle: r h l ¼ r þ e þ mr z 00 mm h l ¼ ð00 þ 1 þ 0,15 30Þ mm h l ¼ 0,973 > h f ¼ 0,948

164 140 3 Reibung Rollenzug Rollenzüge sind Ûbersetzungsmittel zwischen Last und Kraft. Sie bestehen aus einer Kombination fester und loser Rollen, die in Flaschen (Kloben) gelagert sind. Die Rollen können untereinander oder auch nebeneinander liegen 1). Das eine Seilende ist mit einer Flasche verbunden, am anderen Ende greift die Zugkraft F an. Zur statischen Analyse des skizzierten Rollenzuges beim Heben der Last wird die untere Flasche freigemacht. Der Schnitt x x trifft hier vier tragende Seilstränge. Für alle Rollen soll der Wirkungsgrad gleich groß sein (h f ¼ h l ¼ h). Mit den für feste und lose Rollen entwickelten Gleichungen ist dann F 1 ¼ hf, F ¼ hf 1 ¼ h F, F 3 ¼ hf ¼ h 3 F und F 4 ¼ h 4 F. Damit kann die Kräftegleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 aufgestellt werden. Der Ausdruck ð1 þ h þ h þ h 3 Þ lässt sich algebraisch vereinfachen. Es ist 1 þ h þ h þ h 3 1 h4 ¼ 1 h Der Beweis lässt sich durch Polynomdivision führen, indem man 1 h 4 durch 1 h dividiert. Der spezielle Fall mit vier tragenden Seilsträngen kann leicht auf beliebige Konstruktionen mit n tragenden Seilsträngen erweitert werden. Als Exponent steht dann n statt 4 in der Zugkraftgleichung des Rollenzugs. Von den Lasten, die mit Rollenzügen bewegt werden sollen, ist meistens die Masse m in kg bekannt. Aus diesem Grund wird nach F G ¼ mg die Zugkraftgleichung mit der Masse m geschrieben (Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s ). Eine Beziehung zwischen dem Kraftweg s 1 und dem Lastweg s lässt sich wie bei der losen Rolle mit der Nutzarbeit W n ¼ F G s und der aufgewendeten Arbeit W a ¼ Fs 1 herleiten. Ohne Reibungsverluste ist auch hier W n ¼ W a, und die Gewichtskraft F G ist gleich dem n-fachen der Zugkraft F (F G ¼ nf oder F ¼ F G /n). Beispielsweise ist bei der losen Rolle F G ¼ F, weil n ¼ tragende Seilstränge vorhanden sind. Lageskizze der unteren Flasche SF y ¼ 0 ¼ F 1 þ F þ F 3 þ F 4 F G hf þ h F þ h 3 F þ h 4 F ¼ F G Fðh þ h þ h 3 þ h 4 Þ¼F G 1 F ¼ F G h þ h þ h 3 þ h 4 ¼ F 1 G hð1 þ h þ h þ h 3 Þ 1 h F ¼ F G hð1 h 4 Þ ¼ mg 1 h hð1 h 4 Þ 1 h F ¼ mg hð1 h n Þ Zugkraftgleichung für Rollenzüge mit n tragenden Seilsträngen beim Lastheben (mg ¼ F G ) W n ¼ W a F G s ¼ Fs 1 nfs ¼ Fs 1 s 1 ¼ ns (F G ¼ nf) Weggleichung für Rollenzüge mit n tragenden Seilsträngen 1) Praktische Ausführung siehe Handbuch Maschinenbau (Abschnitt Fördertechnik)

165 3.4 Reibung an Maschinenteilen 141 Mit der Weggleichung s 1 ¼ ns kann nun wie bei den Rollen eine Wirkungsgradgleichung für den Rollenzug entwickelt werden. Ausgangsgleichung ist die allgemeine Wirkungsgradgleichung h r ¼ W n =W a mit der Nutzarbeit W n ¼ F G s und der aufgewendeten Arbeit W a ¼ Fs 1 ¼ Fns. Auch hier liegen wieder zwei voneinander unabhängige Gleichungen für die Zugkraft F vor, die gleichgesetzt und nach dem Wirkungsgrad h r des Rollenzuges aufgelöst werden können. Darin steht mit h der Wirkungsgrad der einzelnen Rolle, wobei zwischen fester und loser Rolle nicht unterschieden wird (h f ¼ h l ¼ h ¼ 0,96). h r ¼ W n W a ¼ F G s Fs 1 ¼ F G s nfs h r ¼ F G nf! F ¼ F G nh r F ¼ F G 1 h ¼ F G nh r hð1 h n Þ h r ¼ hð1 hn Þ nð1 hþ Wirkungsgrad h r des Rollenzuges für n tragende Seilstränge h Wirkungsgrad einer Rolle Die folgende Tabelle gibt Werte für den Wirkungsgrad h r in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge an. Obere Zeile für Gleitlagerung mit h ¼ 0,96, untere Zeile für Wälzlagerung mit h ¼ 0,98. n h r 0,960 0,941 0,9 0,904 0,886 0,869 0,85 0,836 0,80 0,804 h r 0,98 0,97 0,961 0,951 0,94 0,93 0,93 0,914 0,905 0, Ûbung zum Rollenzug Mit dem auf Seite 140 skizzierten Rollenzug soll ein Werkstück von 900 kg Masse auf eine Höhe von 7 m gehoben werden. Zu berechnen ist a) die Zugkraft F im Seil beim Heben, b) die Länge s 1 des ablaufenden Seilstrangs Gegeben: Masse m ¼ 900 kg Anzahl der tragenden Seilstränge n ¼ 4 Lastweg s ¼ 7m Rollenwirkungsgrad h ¼ 0,96 Gesucht: Zugkraft F, Ablauflänge s 1 Lösung: a) Die Zugkraft F beim Lastheben wird mit der Zugkraftgleichung für Rollenzüge für n ¼ 4 tragende Seilstränge berechnet. b) nach der Weggleichung für Rollenzüge ist der Kraftweg s 1 (Ablauflänge) n mal so groß wie der Lastweg s, hier also 4-mal so groß. F ¼ mg 1 h hð1 h n Þ F ¼ 900 kg 9,81 m s 1 0,96 0,96 ð1 0,96 4 Þ F ¼ 44 kgm s ¼ 44 N s 1 ¼ ns ¼ 4 7m¼ 8 m

166 14 4 Dynamik Formelzeichen und Einheiten 1) A m,cm,mm Flächeninhalt, Fläche a m Beschleunigung (a t Tangentialbeschleunigung, a n Normalbeschleunigung) s D i m, mm Trägheitsdurchmesser ¼ i d m, mm Durchmesser, allgemein E J ¼ Nm ¼ Ws Energie (E p potenzielle Energie, E k kinetische Energie) F N Kraft (F T Tangentialkraft, F N Normalkraft) F G N Gewichtskraft (F Gn Normgewichtskraft) f 1 s Frequenz, Periodenfrequenz; f ¼ 1 T g m s Fallbeschleunigung (g n Normfallbeschleunigung ¼ 9,80665 m/s ) h m Fallhöhe, Höhe allgemein i 1 Ûbersetzungsverhältnis (Ûbersetzung) i m, mm Trägheitsradius ¼ D i J kg m Trägheitsmoment, Zentrifugalmoment k 1 Stoßzahl l m, mm Länge allgemein M Nm, Nmm Kraftmoment, Drehmoment m kg Masse; m 0 längenbezogene Masse in kg/m n 1 s ¼ 1 s 1, min ¼ min 1 Umdrehungsfrequenz, Drehzahl P W, kw Leistung R N m, N mm Federrate r m, mm Radius s m, mm Weglänge T s Periodendauer, Schwingungsdauer T N Trägheitskraft T ¼ ma t s, min, h Zeit V m 3,cm 3,mm 3 Volumen, Rauminhalt v m s Geschwindigkeit W J ¼ Nm ¼ Ws Arbeit z 1 Anzahl der Umdrehungen a, b Winkel allgemein a 1 s ¼ rad s ¼ s Winkelbeschleunigung h 1 Wirkungsgrad m 1 Reibungszahl l, Reibungszahl r kg dm 3, kg m 3 Dichte r m, mm Krümmungsradius j rad Drehwinkel w 1 s ¼ rad s ¼ s 1 Winkelgeschwindigkeit 1) siehe Fußnote Seite 1 A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _4, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

167 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Allgemeine Bewegungslehre Größen und v, t-diagramm, Ordnung der Bewegungen In der Bewegungslehre entwickelt man Gleichungen, mit denen sich die Ortsveränderung von Körpern und Körperpunkten beschreiben und berechnen lassen. Die Ursache der Ortsveränderung, also die einwirkenden Kräfte und Kraftmomente, werden in der Bewegungslehre nicht untersucht. Die Bewegungslehre wird auch als Kinematik bezeichnet. Beispiel: Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine wird aus der Ruhelage heraus beschleunigt. Die Abmessungen aller Bauteile, die diese Bewegung in den Stößel einleiten, hängen vom Betrag der Beschleunigung ab. Folglich muss dieser Betrag berechnet werden. Man kann Längenabschnitte und Zeitabschnitte messen. Die Länge des Weges, den ein Körper (oder ein Punkt dieses Körpers) durchläuft, nennt man Wegabschnitt und benutzt dafür das Kurzzeichen Ds. Ebenso spricht man vom Zeitabschnitt Dt, wenn man z. B. die Anzahl Sekunden (s) angibt, die während der Ortsveränderung vergangen sind. Hinweis: Wege (Wegabschnitte) werden mit dem Buchstaben s bezeichnet (von lat. spatium), Zeiten (Zeitabschnitte) mit dem Buchstaben t (lat. tempus). Der griechische Buchstabe Delta (D) steht für Differenz, weil Weg- und Zeitabschnitte Differenzen von Längen und Zeiten sind: Ds ¼ s s 1 Dt ¼ t t 1 Gesprochen wird Delta-es und Delta-te, also nicht etwa Delta mal s. Die Vorstellung wird klarer und das Verständnis wird erleichtert, wenn man sich immer nur auf einen Punkt des bewegten Körpers konzentriert. Beispiel: Bei der umlaufenden Schleifscheibe beobachtet man die Bewegung eines Schleifkornes am Scheibenumfang. Wegabschnitt Ds und Zeitabschnitt Dt sind so genannte Basisgrößen; sie können direkt gemessen werden. Die zugehörigen Einheiten sind die Basiseinheiten Meter (Kurzzeichen m) und Sekunde (Kurzzeichen s). Geschwindigkeit v (lat. velocitas) und Beschleunigung a (lat. acceleratio) sind die aus den Basisgrößen abgeleiteten Größen der Bewegung. Man unterscheidet daher Basisgrößen und abgeleitete Größen. Zusammenstellung der Größen der Bewegung und ihrer Einheiten: Wegabschnitt Ds in m Zeitabschnitt Dt in s Geschwindigkeit v Beschleunigung a (Verzögerung) in m s in m s Beachte: Das Zeichen für Beschleunigung und Verzögerung ist der Buchstabe a.

168 144 Die Bewegungen eines Körperpunktes kann man zeitlich oder/und räumlich ordnen. Zeitliche Ordnung (Bewegungszustand): 1. gleichförmige Bewegung,. ungleichförmige Bewegung (beschleunigte oder verzögerte Bewegung). Räumliche Ordnung (Bewegungsbahn): 1. geradlinige Bewegung,. krummlinige Bewegung. Spezialfall der krummlinigen Bewegung ist die Kreisbewegung (Bewegung auf einer Kreisbahn). 4 Dynamik Beispiele: Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen sind meist geradlinig gleichförmige Bewegungen. Der freie Fall ohne Luftwiderstand ist eine geradlinig ungleichförmige Bewegung (beschleunigte Bewegung). Ein Punkt am Umfang einer Schleifscheibe bewegt sich krummlinig gleichförmig (gleichförmig auf einer Kreisbahn). Beim Auslaufen einer Schleifscheibe bewegt sich ein Schleifkorn krummlinig ungleichförmig (verzögert auf einer Kreisbahn). Kennzeichen der ungleichförmigen Bewegung ist die Beschleunigung oder die Verzögerung. Beim beschleunigt bewegten Körper nimmt die Geschwindigkeit fortwährend zu, beim verzögert bewegten Körper nimmt sie laufend ab. Kurz sagt man: Bei der ungleichförmigen Bewegung ist immer v 6¼ konstant. Von besonderer Bedeutung sind die Fälle, in denen die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabschnitten Dt gleich groß bleibt (konstante Zu- oder Abnahme). Man spricht dann von einer gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung. Die zeitliche Ordnung von Bewegungen lässt sich am besten im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-diagramm) erkennen: Ûber der Zeitachse t wird von links nach rechts fortschreitend die Geschwindigkeit v aufgetragen. Man unterscheidet drei Fälle und benutzt als Kriterium die Veränderung von Geschwindigkeit v und Beschleunigung oder Verzögerung a: v ¼ konstant gleichförmige Bewegung À a ¼ 0 v 6¼ konstant a 6¼ 0 v 6¼ konstant a ¼ konstant ungleichförmige Bewegung gleichmäßig beschleunigte ðverzögerteþ Bewegung ` Beispiele: Freier Fall ohne Luftwiderstand ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, senkrechter Wurf nach oben ist eine gleichmäßig verzögerte Bewegung. Der Stößel der Waagerecht-Stoßmaschine dagegen bewegt sich ungleichmäßig beschleunigt und verzögert. Beachte: Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit v 6¼ konstant (nicht konstant), die Beschleunigung (Verzögerung) dagegen a ¼ konstant ist. Beispiel: freier Fall und senkrechter Wurf. v, t-diagramm für gleichförmige und ungleichförmige Bewegung

169 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Ûbungen mit dem v, t-diagramm 1. Das v, t-diagramm für den freien Fall ohne Luftwiderstand soll skizziert werden: Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, denn die Beschleunigung ist konstant. Sie heißt Fallbeschleunigung (g ¼ 9,81 m/s ). Die Geschwindigkeit nimmt in jeder Zeiteinheit um den gleichen Betrag Dv ¼ konstant zu. Die v-linie ist also eine ansteigende Gerade. Der freie Fall mit Luftwiderstand wird im Abschnitt behandelt (Seite 156). v, t-diagramm des freien Falls (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant; g ¼ 9,81 m/s ). Das v, t-diagramm für den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand mit anschließendem freien Fall soll skizziert werden: Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verzögerung ebenso groß wie die Beschleunigung während des freien Falls (g ¼ 9,81 m/s ), und sie bleibt auch konstant. Der senkrechte Wurf ist demnach nichts anderes als der umgekehrt betrachtete freie Fall. Anfangsgeschwindigkeit v 0 und Endgeschwindigkeit v t sind daher gleich groß. v 0 ist die Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0, v t ist die Geschwindigkeit bei der Rückkehr zur Abwurfstelle. Die v-linie schneidet die t-achse. Von dort an hat die Geschwindigkeit entgegengesetzten Richtungssinn. Beachte: Wird nichts anderes gesagt, sollen diese Bewegungsarten ohne Luftwiderstand behandelt werden. v, t-diagramm des senkrechten Wurfs nach oben mit anschließendem freiem Fall (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant) 3. Das v, t-diagramm für den senkrechten Wurf nach unten soll skizziert werden: Wie beim freien Fall (Ûbung 1.) ist die v-linie eine ansteigende Gerade. Da der Körper schon eine Anfangsgeschwindigkeit v 0 besitzt, wird die Gerade um den Betrag von v 0 parallel verschoben eingezeichnet. Nach dem Zeitabschnitt Dt besitzt der Körper die Endgeschwindigkeit v t, die um die Geschwindigkeitszunahme Dv ¼ v t v 0 größer ist als v 0. Der Bewegungsablauf vor dem Erreichen der Anfangsgeschwindigkeit v 0 wurde nicht eingetragen. v, t-diagramm des senkrechten Wurfs nach unten (v 6¼ konstant; a ¼ g ¼ konstant)

170 146 4 Dynamik 4. Das v, t-diagramm der Stößelbewegung einer Waagerecht-Stoßmaschine soll skizziert werden: Der Stößel bewegt sich ungleichförmig, denn er muss erst beschleunigt und dann verzögert werden (Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind null). Im Unterschied zum freien Fall ist diese ungleichförmige Bewegung jedoch nicht gleichmäßig beschleunigt oder verzögert, sondern ungleichmäßig. Es ist also a 6¼ konstant. Der Größtwert der Geschwindigkeit liegt in Hubmitte (v max ). 5. Ein Körper wird aus der Ruhelage heraus während Dt 1 ¼ 5 s gleichmäßig beschleunigt und erreicht die Geschwindigkeit v ¼ 1 m/s, die er während Dt ¼ 10 s beibehält. Anschließend wird die Bewegung während Dt 3 ¼,5 s gleichmäßig bis zur Ruhelage verzögert. Das v, t-diagramm des Bewegungsvorganges ist maßstäblich zu zeichnen und daraus das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a, t-diagramm) zu entwickeln: Im v, t-diagramm ist die v-linie während des Zeitabschnitts Dt 3 steiler geneigt als während des Zeitabschnitts Dt 1 (a > a 1 ). v, t-diagramm eines Stößelhubes der Waagerechtstoßmaschine (v 6¼ konstant; a 6¼ konstant) v, t-diagramm Beachte: Die v-linien sind idealisierte Kurven. Kurvenknicke als Ûbergänge sind in der Praxis nicht möglich. Auch wenn man die Beschleunigung a 1, a 3 noch nicht berechnen kann, sagt die Tatsache Dt 1 ¼ Dt 3, dass a 3 ¼ a 1 sein wird. Während des Zeitabschnitts Dt ist keine Beschleunigung vorhanden (a ¼ 0). 6. Das v, t-diagramm für die Bewegung eines Schleifkorns soll skizziert werden, wenn die Schleifscheibe nach dem Abschalten des Antriebs gleichmäßig verzögert ausläuft: Die v-linie ist eine von v 0 bis auf v t ¼ 0 abfallende Gerade. Eine Gerade deshalb, weil gleichmäßige Verzögerung vorausgesetzt wurde. Aus dem v, t-diagramm entwickeltes a, t-diagramm v, t-diagramm für eine auslaufende Schleifscheibe (v 6¼ konstant; a ¼ konstant) Aufgaben Nr

171 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff Die folgenden Gesetzmäßigkeiten gelten unabhängig von der Bahn des Körperpunktes, also für geradlinige und krummlinige Bewegungen. Zur Vereinfachung stellt man sich erst einmal eine gerade Bahn vor. Man beobachtet die Bewegung des Werkzeugträgers einer Drehmaschine bei eingeschaltetem Längsvorschub, oder die Bewegung des Tisches einer Fräsmaschine. Mit Bandmaß und Stoppuhr kann man feststellen, dass sich Werkzeugträger oder Tisch in gleichen Zeitabschnitten Dt immer um den gleichen Wegabschnitt Ds verschoben haben. Das ist das Kennzeichen der gleichförmigen Bewegung: Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann gleichförmig, wenn er in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten Dt immer gleiche Wegabschnitte Ds zurücklegt. Dividiert man den durchlaufenen Wegabschnitt Ds durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man die Geschwindigkeit v: Die Geschwindigkeit v eines gleichförmig bewegten Körpers ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor; mehrere Geschwindigkeiten dürfen also nur geometrisch addiert werden. Beispiel: Man kann feststellen, dass sich der Fräsmaschinentisch nach jeweils 10 s um 30 mm verschoben hat. Der Zeitabschnitt beträgt Dt ¼ 10 s. Der Wegabschnitt beträgt Ds ¼ 30 mm. Exakt gleichförmig ist eine Bewegung nur dann, wenn auch in beliebig kleinen Zeitabschnitten, z. B. in jeder millionstel Sekunde, die durchlaufenen Wegabschnitte gleich groß bleiben. v ¼ Ds Dt v Ds Dt m/s m s Grundgleichung der gleichförmigen Bewegung Bewegt sich ein Körper nicht gleichförmig, erhält man mit der Definitionsgleichung der Geschwindigkeit v ¼ Ds=Dt seine Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit v m. Die Einheit für die Geschwindigkeit v ergibt sich aus ihrer Definitionsgleichung. Man braucht also nur für die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Größen die Einheiten einzusetzen. Die Klammern sollen darauf hinweisen, dass nur die Einheit der Größe benutzt werden soll. Beispiel: Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine durchläuft einen Hub von 0,6 m in 1,5 s. Dann ist v m ¼ Ds Dt ¼ 0,6 m 1,5 s ¼ 0,4 m s ¼ 0,4 m m ¼ min min ðvþ ¼ ðsþ ðtþ ¼ Weg-Einheit Zeit-Einheit Beispiele: ðvþ ¼ ðsþ ðtþ ¼ m s ¼ ms 1 ; ðvþ ¼ ðsþ ðtþ ¼ mm min

172 148 4 Dynamik Die Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) sind gesetzliche Basiseinheiten. Zur Umrechnung von m/s in km/h oder umgekehrt braucht man nur 1 km ¼ 1000 m ¼ 10 3 m und 1h¼ s ¼ 3, s einzusetzen. Umrechnungszahl für diesen Fall ist demnach 3,6. 1 km h ¼ m 3, s ¼ 1 m 3,6 s 1 km h ¼ 1 m 3,6 s 1 m s ¼ 3,6 km h Umrechnungsbeziehung Bewegungsabläufe werden leichter überschaubar, wenn man sie zeichnerisch im rechtwinkligen Achsenkreuz erfassen. Auch im einfachen Fall der gleichförmigen Bewegung erkennt man schon Gesetzmäßigkeiten, die später bei der ungleichförmigen Bewegung helfen, schwierigere Aufgaben zu lösen. Das gilt vor allem für das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-diagramm). Hinweis: Auf der waagerechten Achse trägt man immer die Zeit t auf. Die vertikale Achse trägt entweder den Weg s, die Geschwindigkeit v oder die Beschleunigung a: Weg-Zeit-Diagramm (s, t-diagramm), Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-diagramm), Beschleunigung-Zeit-Diagramm (a, t-diagramm). Im Weg-Zeit-Diagramm erhält man bei gleichförmiger Bewegung für die Weglinie eine ansteigende Gerade, weil in gleichen Zeitabschnitten (z. B. Dt ¼ 1 s) gleiche Wegabschnitte zurückgelegt werden (z. B. Ds ¼ 5 m). Eine steilere Gerade würde zeigen, dass der Körper in gleichen Zeitabschnitten Dt größere Wegabschnitte Ds durchläuft, das heißt, die Geschwindigkeit v wäre größer. s, t-diagramm der gleichförmigen Bewegung Die Weg-Linie im s, t-diagramm ist immer die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit Dt und Ds als Katheten. Man erkennt: Der Tangens des Neigungswinkels a der Weg-Linie entspricht dem Zahlenwert der Geschwindigkeit v (tan a ¼b v). tan a ¼b v ¼ Ds Dt ¼ konstant Man darf nicht schreiben v ¼ tan a, sondern nur v ¼b tan a (v entspricht tan a), denn es handelt sich um Größen verschiedener Art, wie schon die verschiedenen Einheiten zeigen. v besitzt die Einheit m/s, der Tangens eines Winkels dagegen die Einheit Eins (Verhältnisgröße aus zwei Längen). Beispiel: v 1 ¼ 0,5 m s ¼b tan a 1; a 1 ¼ arctan 0,5 ¼ 6,6 Dieser Winkel tritt im s, t-diagramm aber nur dann auf, wenn auf den beiden Achsen die Länge für eine Zeiteinheit und für eine Wegeinheit gleich ist (gleicher Maßstab).

173 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 149 Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erhält man bei gleichförmiger Bewegung für die Geschwindigkeits-Linie eine zur t-achse parallele Gerade, weil zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v gleich groß ist (v ¼ konstant). Die Geschwindigkeits-Linie begrenzt mit Dt und v eine Rechteckfläche A, deren Inhalt sich aus dem Produkt v Dt ergibt. Das ist aber zugleich der von einem Körper mit der Geschwindigkeit v durchlaufene Weg, denn aus v ¼ Ds=Dt wird Ds ¼ v Dt: Geschwindigkeit v in m/s Geschwindigkeits-Linie Fläche A = v t=weg s Zeit t in s t v, t-diagramm der gleichförmigen Bewegung v Die Fläche A unter der Geschwindigkeitslinie im v, t-diagramm entspricht dem Wegabschnitt Ds (A ¼b Ds). Kurz: Diagrammfläche ¼b Wegabschnitt. Fläche A ¼b Weg Ds ¼ v Dt Beachte: Fläche A ¼b Wegabschnitt Ds gilt immer. Daher skizziert man grundsätzlich zuerst das v, t-diagramm für den Bewegungsvorgang. Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm erhält man bei gleichförmiger Bewegung für die Beschleunigungslinie eine auf der t-achse liegende Gerade, weil zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung a ¼ 0 ist. Das muss so sein, weil v ¼ konstant voraussetzt, dass sich der Körper weder beschleunigt noch verzögert. Das a, t-diagramm hat daher nur bei beschleunigter (verzögerter) Bewegung Bedeutung. a, t-diagramm der gleichförmigen Bewegung Aufgaben Nr Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff Wird ein Körper beschleunigt oder verzögert (Auto beim Anfahren oder Bremsen), dann ändert sich seine Geschwindigkeit. Es ist also v 6¼ konstant, im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung. Daher darf man nicht mit v ¼ Ds=Dt rechnen, weil man damit nur die gedachte mittlere Geschwindigkeit erhält (Durchschnittsgeschwindigkeit). In Anlehnung an die Definition der gleichförmigen Bewegung muss hier gesagt werden: Beachte: Die gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung ist der wichtigste Sonderfall der ungleichförmigen Bewegung. Da die folgenden Gesetze sowohl für die beschleunigte als auch für die verzögerte Bewegung gelten, spricht man im allgemeinen Fall nur von einer beschleunigten Bewegung.

174 150 Ein Körper oder Körperpunkt bewegt sich dann ungleichförmig, wenn er in gleichen beliebig kleinen Zeitabschnitten Dt ungleiche Wegabschnitte Ds zurücklegt. v ¼ Ds=Dt ergibt nur die mittlere Geschwindigkeit. Annähernd genau erhält man die Momentangeschwindigkeit v, wenn man den Wegabschnitt Ds für einen außerordentlich kleinen Zeitabschnitt Dt misst. Zum Beispiel ist für Ds ¼ m und Dt ¼ 10 6 s: v ¼ Ds Dt ¼ m 10 6 s ¼,5 m s 4 Dynamik Ein anschauliches Beispiel einer ungleichförmigen Bewegung ist neben der Bewegung des Stößels der Waagerecht-Stoßmaschine die Bewegung des Kolbens im Zylinder des Verbrennungsmotors. Beide Bewegungen sind sogar noch ungleichmäßig beschleunigt und verzögert. In gleichen Zeitabschnitten, gekennzeichnet durch den gleichförmig umlaufenden Kurbelzapfen, legt der Kolben in der Nähe der Totpunkte nur kleine Wegabschnitte zurück. Dazwischen legt der Kolben in gleichen Zeitabschnitten größere Wegabschnitte zurück. An den Umkehrpunkten (Totpunkten) steht der Kolben einen Augenblick still, seine Geschwindigkeit ist dann null. Bewegung des Kolbens im Zylinder Kennzeichen der beschleunigten oder verzögerten Bewegung (der ungleichförmigen Bewegung) ist die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit v, also eine Geschwindigkeitsänderung Dv. Wie Ds und Dt ist auch Dv eine Differenz, nämlich die Differenz zweier Momentangeschwindigkeiten, z. B. Dv ¼ v v 1 oder Dv ¼ v t v 0. Ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt (verzögert), dann ist die Geschwindigkeitsänderung gleichbleibend (Dv ¼ konstant). Daher muss die Geschwindigkeitslinie im v, t-diagramm eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. Wird ein Körper aus der Ruhelage heraus gleichmäßig beschleunigt, so dass er nach Dt ¼ 6 s eine Momentangeschwindigkeit v t ¼ 9m=s besitzt, dann beträgt seine Geschwindigkeitszunahme in jeder Sekunde Dv ¼ 1,5 m=s. Beschleunigungsbegriff, dargestellt im v, t-diagramm

175 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 151 Offenbar ist der Quotient aus der Geschwindigkeitszunahme und dem zugehörigen Zeitabschnitt ein Maß dafür, wie schnell eine bestimmte Momentangeschwindigkeit erreicht wird: Die Beschleunigung a eines gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Körpers ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung Dv und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Beschleunigung ist ein Vektor; mehrere Beschleunigungen dürfen also nur geometrisch addiert werden. Gleichmäßig beschleunigt oder verzögert heißt, dass die Beschleunigung oder Verzögerung konstant bleibt (a ¼ konstant). Im a, t-diagramm muss die Beschleunigungslinie eine zur t-achse parallele Gerade sein, so wie die Geschwindigkeitslinie im v, t-diagramm bei gleichförmiger Bewegung. Die Einheit für die Beschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung für die Größe. Mit den gesetzlichen Basiseinheiten Meter (m) und Sekunde (s) erhält man als Einheit das Meter je Sekundequadrat. Man möchte nun nachweisen, dass im Hinblick auf die Fläche unter der Geschwindigkeits-Linie im v, t-diagramm das Gleiche gilt wie für die gleichförmige Bewegung: Die Geschwindigkeit v ändert sich von v 0 ¼ 0am Anfang, auf v t am Ende des Zeitabschnittes Dt. Weil die Geschwindigkeitsänderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit zu v m ¼ðv 0 þ v t Þ= ¼ v t =, und der zurückgelegte Weg zu Ds ¼ v m Dt ¼ v t Dt=. Das entspricht aber auch dem Flächeninhalt der Dreiecksfläche unter der v-linie: In jedem v, t-diagramm entspricht die Fläche A unter der Geschwindigkeitslinie dem Wegabschnitt Ds (A ¼b Ds). Mit dieser Erkenntnis kann man nun einen Lösungsplan entwickeln, der alle zur Lösung erforderlichen Gleichungen liefert. Geschwindigkeitsänderung Dv a ¼ zugehöriger Zeitabschnitt Dt a ¼ Dv Dt Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung a, t-diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung m ðaþ ¼ ðvþ ðtþ ¼ s s ¼ m s ¼ ms v v 0 = 0 0 A= s= t Mittlere Geschwindigkeit v m Fläche A ¼b Weg Ds Gilt für jede Bewegung a Dv Dt m s v 0 + vt Beachte: Man braucht nur die Grundgleichung a ¼ Dv=Dt im Kopf zu haben; alle anderen Gleichungen können aus dem v, t-diagramm abgelesen werden. m s s t t m v m v = v t

176 15 4 Dynamik Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung v; t-diagramm aufzeichnen Man muss sich klar sein, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende v-linie) oder verzögert ist (fallende v-linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verläuft. Danach skizziert man das v, t-diagramm (unmaßstäblich). Als Beispiel betrachtet man eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit (v 0 6¼ 0). Grundgleichung aufstellen Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung für die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt. Auch die erweiterte Form mit den speziellen Bezeichnungen aus dem v, t-diagramm wird aufgeschrieben: hier also mit Dv ¼ v t v 0. Weggleichungen aufstellen Man weiß, dass die Fläche A unter der v-linie dem Wegabschnitt Ds entspricht. Je nach Flächenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen für Ds, zunächst ohne Rücksicht darauf, ob für die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden: In der Praxis muss man häufig alle Größen der Bewegung bestimmen. Gleichungen auswerten Grundgleichung und Weggleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es genügen dann meistens die Grundgleichung und eine der Weggleichungen zur Lösung. Hier nimmt man an, es sei Dt ¼ f ðv 0, a, DsÞ 1) gesucht, also v 0, a, Ds gegeben und der Zeitabschnitt Dt die gesuchte Größe. Benutzt man die Gleichsetzungsmethode, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Weggleichung nach v t auflösen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erhält man eine gemischt-quadratische Gleichung. v v 0 v 0 v-linie v 0 + vt A= s= t a ¼ Dv Dt ¼ v t v 0 Dt t vt 1. Schritt t. Schritt 3. Schritt Ds ¼ v 0 þ v t Dt (Trapezfläche) Dv Dt Ds ¼ v 0 Dt þ ; Dv ¼ v t v 0 (Rechteckfläche þ Dreieckfläche) Dv Dt Ds ¼ v t Dt ; Dv ¼ v t v 0 (Rechteckfläche Dreieckfläche) a ¼ v t v 0 Dt Ds ¼ v 0 þ v t 4. Schritt ) v t ¼ v 0 þ a Dt (Grundgleichung) Dt ) v t ¼ Ds v 0 Dt (erste Weggleichung) v 0 þ a Dt ¼ Ds v 0 Dt ðdtþ þ v 0 Ds Dt a a ¼ 0 Dt 1; ¼ v r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 a v 0 þ Ds a a Dt ¼ f ðv 0, a, DsÞ 1) 1) Die Schreibweise Dt ¼ f ðv 0, a, DsÞ heißt: Dt ist eine Funktion von v 0, a, Ds ðist abhängig von v 0, a, DsÞ

177 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 153 Tabelle 4.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall ohne Luftwiderstand: Für die Beschleunigung a wird die Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgt g n ¼ 9,80665 m/s. Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s gerechnet. Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, t-diagramme Einheiten Ds Dt v 0, v t a, g m s m s m s v 0 v-linie Δs = v t Δ t Δt v t Beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (v 0 ¼ 0) t Δv v 0 v 0 v-linie Δs = v 0 + v t Δt Δt v t Beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (v 0 6¼ 0) t Beschleunigung a (Definition) Beschleunigung a (bei v 0 ¼ 0) Beschleunigung a (bei v 0 6¼ 0) Endgeschwindigkeit v t (bei v 0 ¼ 0) Endgeschwindigkeit v t (bei v 0 6¼ 0) Wegabschnitt Ds (bei v 0 ¼ 0) Geschwindigkeitszunahme Dv a ¼ in m Zeitabschnitt Dt s a ¼ v t Dt ¼ v t Ds ¼ Ds ðdtþ a ¼ v t v 0 Dt v t ¼ a Dt ¼ ¼ v t v 0 Ds p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a Ds v t ¼ v 0 þ Dv ¼ v 0 þ a Dt p v t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 0 þ a Ds Ds ¼ v t Dt ¼ aðdtþ ¼ v t a Wegabschnitt Ds (bei v 0 6¼ 0) Zeitabschnitt Dt (bei v 0 ¼ 0) Ds ¼ v 0 þ v t Dt ¼ v 0 Dt þ aðdtþ Ds ¼ v t v 0 a Dt ¼ v t a ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ds a Zeitabschnitt Dt (bei v 0 6¼ 0) Dt ¼ v t v 0 ¼ v r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 a a v 0 þ Ds a a

178 154 4 Dynamik Tabelle 4. Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch für den senkrechten Wurf nach oben ohne Luftwiderstand: Für die Verzögerung a wird die Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgtg n ¼ 9,80665 m/s. Alle Aufgaben des Buches wurden mit g ¼ 9,81 m/s gerechnet. Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v, t-diagramme Einheiten Ds Dt v 0, v t a, g m s m s m s v0 v v-linie Δs = v 0 Δ t 0 Δt t verzögerte Bewegung ohne Endgeschwindigkeit (v t ¼ 0) v0 v Δs = v 0 + v t Δt 0 Δt v-linie Δv vt verzögerte Bewegung mit Endgeschwindigkeit (v t 6¼ 0) t Verzögerung a (Definition) Verzögerung a (bei v t ¼ 0) Verzögerung a (bei v t 6¼ 0) Anfangsgeschwindigkeit v 0 (bei v t ¼ 0) Endgeschwindigkeit v t Wegabschnitt Ds (bei v t ¼ 0) Geschwindigkeitsabnahme Dv a ¼ in m Zeitabschnitt Dt s a ¼ v 0 Dt ¼ v 0 Ds ¼ Ds ðdtþ a ¼ v 0 v t ¼ v 0 v t Dt Ds p v 0 ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a Ds v t ¼ v 0 Dv ¼ v 0 a Dt p v t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 0 a Ds Ds ¼ v 0 Dt ¼ aðdtþ ¼ v 0 a Wegabschnitt Ds (bei v t 6¼ 0) Zeitabschnitt Dt (bei v t ¼ 0) Dt ¼ v 0 a ¼ Zeitabschnitt Dt (bei v t 6¼ 0) Ds ¼ v 0 þ v t Dt ¼ v 0 Dt aðdtþ Ds ¼ v 0 v t a rffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ds a Dt ¼ v 0 v t a ¼ v r 0 a ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 0 Ds a a

179 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 155 Lehrbeispiele: v,t-diagramm v Wagen B Aufgabenstellung: Zwei Wagen A und B fahren mit einer Geschwindigkeit von 75 km/h im Abstand von 0 m hintereinander. Der vordere Wagen A bremst plötzlich mit einer Verzögerung von 3,5 m/s. Wie viele Sekunden nach dem Bremsen von A fährt B auf? Wie groß ist dann die Geschwindigkeit des Wagens A? Δs =0m Wagen A Δt v Δv v 1 t Lösung: Das v, t-diagramm zeigt die Bewegungen als Geraden. Die Flächen darunter entsprechen den zurückgelegten Wegen. Im Zeitpunkt t des Einholens hat B einen 0 m längeren Weg als A zurückgelegt, dann ist der Abstand auf null gesunken. Diesem Weg Ds ¼ 0 m entspricht die schraffierte Diagrammfläche. Dv Dt Ds ¼ a Dt Dt Ds ¼ a ¼ Dv ) Dv ¼ a Dt eingesetzt Dt ¼ aðdtþ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ds 0 m Dt ¼ ¼ u p t a 3,5 m ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 11,43 s ¼ 3,38 s s v ¼ v 1 a Dt ¼ 0,83 m s 3,5 m s 3,38 s ¼ 9,0 m s ¼ 3,4 km h v Δt Aufgabenstellung: Zwei Wagen A und B fahren im Abstand von 5 m mit der gleichen Geschwindigkeit von 36 km/h hintereinander. Der vordere Wagen A bremst plötzlich. Wie groß darf die Reaktionszeit Dt beim Fahrer des Wagens B höchstens sein, damit er nicht auffährt? Die Bremsverzögerung ist für beide Wagen gleich. Wagen A Δs=5m Wagen B Δt v t Lösung: Das v, t-diagramm zeigt, dass B bis zum Stillstand einen längeren Weg zurücklegt als A. Der Unterschied darf nicht mehr als 5 m betragen. Dieser Wegdifferenz Ds ¼ 5 m entspricht die schraffierte Diagrammfläche. Ds ¼ v Dt ¼ 5m Dt ¼ Ds v ¼ 5m 10 m ¼ 0,5 s s Der Betrag der Bremsverzögerung hat keinen Einfluss auf die Größe der schraffierten Fläche und damit auch nicht auf die Reaktionszeit Dt, solange für beide Wagen die Bremsverzögerung gleich groß ist.

180 156 4 Dynamik Freier Fall und Luftwiderstand Bei der Behandlung des freien Falls im Unterricht tritt immer die Frage auf, welchen Einfluss der Luftwiderstand auf den Bewegungsablauf hat. Bislang war es kaum üblich, neben den physikalischen (Widerstandsbeiwert, Geschwindigkeit) auch die mathematischen Zusammenhänge näher zu erläutern und Berechnungen durchzuführen. Mit den Rechnern lassen sich heute die Berechnungsgleichungen leicht auswerten. Aus diesem Grund wird der freie Fall mit Luftwiderstand ausführlicher behandelt Freier Fall ohne Luftwiderstand Fällt ein Körper im Vakuum frei abwärts, z. B. in einer luftleer gepumpten Glasröhre, dann wirkt auf ihn allein die Schwerkraft F G (Gewichtskraft). Alle Körper fallen dann gleich schnell. Sie werden mit der Fallbeschleunigung g gleichmäßig beschleunigt, beim senkrechten Wurf nach oben mit g gleichmäßig verzögert. Beachte: Die Fallbeschleunigung g wird mit zunehmendem Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt kleiner. In Erdnähe gilt die Normfallbeschleunigung g ¼ 9,80665 m/s. In der Technik wird mit g ¼ 9,81 m/s gerechnet. Für den freien Fall und für den senkrechten Wurf gelten die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung und damit auch die Gleichungen und v, t-diagramme in den Tabellen 4.1 und 4. (Seite 153, 154). Beispiel: Für die Endgeschwindigkeit v t eines frei fallenden Körpers gilt nach Tabelle 4.1 mit a ¼ g: v t ¼ g Dt (Dt Zeitabschnitt) Luftwiderstand F w Auf jeden in ruhender Luft bewegten Körper, z. B. auf ein fahrendes Auto, wirkt unter anderem auch der Luftwiderstand F w bremsend. F w ¼ c w r L A p v Luftwiderstand Versuche haben ergeben, dass der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit v des Körpers wächst. Er nimmt linear zu mit der Luftdichte r L und mit dem Anströmquerschnitt A p des Körpers (Projektionsfläche). Außerdem beeinflusst die Körperform den Luftwiderstand. Dieser Einfluss wird durch den Luftwiderstandsbeiwert c w berücksichtigt. Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert: c w ¼ 0, für Kugeln c w ¼ 0,3...0,4 für Pkw Dichte r L ¼ 1,19 kg/m 3 bei 0 C und Luftdruck 1000 mbar.

181 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Freier Fall mit Luftwiderstand Auf den frei fallenden Körper wirkt die Gewichtskraft F G lotrecht nach unten. Entgegengesetzt dazu wirkt der Luftwiderstand F w. Dadurch verringert sich die Geschwindigkeitszunahme des Körpers immer mehr, bis der Gleichgewichtszustand mit F w ¼ F G erreicht ist und die Geschwindigkeit v ¼ konstant bleibt. Der Körper hat dann die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s erreicht. F G ¼ F w mg ¼ c wr L A p v s sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mg v s ¼ c w r L A p (1) Stationäre Sinkgeschwindigkeit v s m g r L A p c w m s kg m s kg m 3 m 1 Mit Hilfe der Gleichgewichtsbetrachtungen nach d Alembert (siehe Seite 194) findet man eine Gleichung für den momentanen Bewegungszustand des fallenden Körpers im beliebigen Zeitpunkt (t). Solange der Körper beschleunigt fällt (a > 0), wirkt in Richtung des Luftwiderstandes F w auch die d Alembert sche Trägheitskraft T. Es gilt die Gleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 unter Einschluss der Trägheitskraft T ¼ ma. Nach d Alembert freigemachter Körper beim Fallen. vðtþ ist die Fallgeschwindigkeit im Zeitpunkt (t). SF y ¼ 0! T þ F w F G ¼ 0; T ¼ ma ma þ F w mg ¼ 0j: m a þ F w m g ¼ 0 () Aus Gleichung () lässt sich über eine Differenzialgleichung eine Berechnungsgleichung für den Betrag der Momentangeschwindigkeit vðtþ im Zeitpunkt (t) entwickeln. vðtþ ¼v s tan h t t s (3) Momentangeschwindigkeit vðtþ, v s m s t, t s s Mit dieser Gleichung (3) kann für beliebige Zeiten t die Momentangeschwindigkeit vðtþ berechnet werden. Die in Gleichung (3) enthaltene stationäre Sinkgeschwindigkeit v s hat man vorher mit Gleichung (1) ermittelt. Wie v s ist auch die Größe t s eine Konstante. Sie ist abhängig von der Masse m, dem Luftwiderstandsbeiwert c w, der Luftdichte r L, der Projektionsfläche A p und der Fallbeschleunigung g. Gleichung (4) wurde nur zu dem Zweck aufgestellt, die Berechnung von vðtþ zu vereinfachen. Man bezeichnet t s als Zeitkonstante, weil sie die Zeiteinheit Sekunde hat, wie eine Einheitenprobe zeigt. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi m t s ¼ c w r L A p g (4) Zeitkonstante t s m c w r L A p g kg m s kg 1 m m 3 s Beachte: Bei der Auswertung der Gleichungen (3) und (5) wird vorausgesetzt, dass die Luftdichte r L und die Fallbeschleunigung g während des Bewegungsablaufs konstant bleiben.

182 158 Gleichung (3) lässt sich mit dem Rechner leicht auswerten, wenn vorher die Konstanten v s (Sinkgeschwindigkeit) und t s berechnet wurden. Neu ist die Hyperbelfunktion tanh (Tangens Hyperbolicus). Aber man braucht den Hyperbelfunktionswert nur genauso zu behandeln wie die Kreisfunktionswerte sin, cos und tan. Der Taschenrechner hat dazu die Taste hyp. 4 Dynamik Beispiel: Für einen Winkel von 30 sind mit dem Taschenrechner die Funktionswerte tan und tanh zu ermitteln. Lösung: Man stellt den Rechner auf den RAD-Modus ein (Bogenmaß). Dann ergibt tan ð30 p=180þ ¼ 0,57735 tanh ð30 p=180þ ¼ 0,48047 Mit Hilfe der höheren Mathematik kann aus Gleichung (3) eine Gleichung für die vom fallenden Körper zurückgelegte Wegstrecke sðtþ entwickelt werden (Gleichung (5)). Darin ist ln cosh der natürliche Logarithmus der Hyperbelfunktion cosh. sðtþ ¼v s t s ln cosh t t s (5) Momentanwegstrecke sðtþ v s t, t s m m s s Zum Abschluss der Untersuchungen des freien Falls mit Luftwiderstand werden die Gleichungen (3) und (5) ausgewertet und die Graphen vðtþ und sðtþ konstruiert und diskutiert. Man rechnet mit dem Taschenrechner oder schreibt ein einfaches PC-Programm. Damit ist dann auch das Zeichnen der Graphen möglich. Kontrollwerte: vðþ ¼17,04 m=s sðþ ¼18,3 m vð4þ ¼5, m=s sð4þ ¼61,9 m vð6þ ¼7,77 m=s sð6þ ¼115,4 m Das Diagramm enthält neben den Kurven vðtþ und sðtþ auch den Graphen für den freien Fall im Vakuum. Dieser Graph vðtþ ¼g t ist eine ansteigende Gerade (siehe Seite 153). Am Graphen vðtþ für den freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes sieht man, dass mit der Zeit t der Geschwindigkeitszuwachs laufend kleiner wird, bis die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s ¼ 8,7 m/s erreicht ist. Beim Graphen vðtþ ¼ g t dagegen bleibt der Geschwindigkeitszuwachs konstant Dv ¼ g ¼ 9,81 m=s. Gegeben: Zeitabschnitte t ¼ s Masse m ¼ 1kg Luftwiderstandsbeiwert c w ¼ 0, (Kugel) Luftdichte r L ¼ 1,19 kg/m 3 Projektionsfläche A p ¼ 0,1 m Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s Graphen vðtþ und sðtþ für den freien Fall

183 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Ûbungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung Es muss konsequent nach dem vorher erarbeiteten Lösungsplan vorgegangen werden, auch wenn es in einigen Fällen nicht notwendig erscheint. 1. Ûbung: Ein Auto wird aus der Geschwindigkeit v 0 ¼ 100 km/h gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. Die Bremsverzögerung soll a ¼ 6 m/s betragen (Notbremsung). Es ist eine Gleichung für den Bremsweg Ds zu entwickeln und daraus Ds zu berechnen. Gegeben: v 0 ¼ 100 km h ¼ 100 m 3,6 s ¼ 7,78 m s a ¼ 6 m s Gesucht: Ds ¼ f ðv 0 ; aþ Lösung: Die v-linie im skizzierten v, t-diagramm ist eine von v 0 ¼ Dv abfallende Gerade. Mit v 0 und Dt begrenzt sie eine Dreieckfläche, die dem Bremsweg Ds entspricht. v = v 0 v 0 A= s t t 1. Schritt Die Grundgleichung wird in allgemeiner und spezieller Form aufgeschrieben. a ¼ Dv Dt ¼ v 0 Dt. Schritt Die Weggleichung wird aus dem v, t-diagramm abgelesen (Dreieckfläche). Ds ¼ v 0 Dt 3. Schritt Zum Schluss entwickelt man mit Hilfe der Einsetzungsmethode aus Grund- und Weggleichung die gesuchte Beziehung Ds ¼ f ðv 0 ; aþ und berechnet daraus den Bremsweg Ds. Die Gleichung für Ds steht auch in Tabelle 4. (Seite 154). Die Einheit der gesuchten Größe ergibt sich aus den Einheiten der gegebenen Größen. In vielen Fällen kommt es in der Technik nicht nur auf den Betrag einer Größe an, sondern man will auch wissen, in welcher Weise die beteiligten Größen voneinander abhängen. a ¼ v 0 Dt ) Dt ¼ v 0 a Ds ¼ v 0 Dt v 0 v 0 ¼ a ¼ v 0 Ds ¼ v 0 a ¼ 7,78 Ds ¼ f ðv 0 ; aþ 4. Schritt a m s 6 m ¼ 64,3 m s Beispiel: Die Beziehung Ds ¼ f ðv 0 ; aþ sagt aus: Der Bremsweg für Autos wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

184 160. Ûbung: Ein Fahrzeug beschleunigt in 5 s auf 40 km/h, fährt dann 50 s lang mit dieser Geschwindigkeit und bremst in 4 s bis zum Stillstand. Es ist der Gesamtweg für diesen Bewegungsvorgang zu bestimmen. Gegeben: Dt 1 ¼ 5s Dt ¼ 50 s Dt 3 ¼ 4s Dv ¼ 40 km h ¼ 40 3,6 Gesucht: Ds ¼ f ðdt 1 ; Dt ; Dt 3 ; DvÞ 4 Dynamik m s ¼ 11,11 m s Lösung: In das v, t-diagramm wird eingetragen: Eine ansteigende Gerade über dem Zeitabschnitt Dt 1, daran anschließend die zur t-achse parallele v-linie über Dt und abschließend die fallende Gerade über Dt 3. v 0 v A 1 A A 3 t 1 t t 3 t 1. Schritt Dann stellt man die Grundgleichungen für alle drei Bewegungsabschnitte auf. a 1 ¼ Dv Dt 1 ; a ¼ 0; a 3 ¼ Dv Dt 3. Schritt Die von den v-linien begrenzte Gesamtfläche wird in drei Teilflächen zerlegt: A 1 ¼b Beschleunigungsweg Ds 1 (Dreieck), Ds 1 ¼ Dv Dt 1 (Dreieckfläche) A ¼b Weg Ds mit Dv ¼ konstant (Rechteck), Ds ¼ Dv Dt (Rechteckfläche) 3. Schritt A 3 ¼b Verzögerungsweg Ds 3 (Dreieck). Ds 3 ¼ Dv Dt 3 (Dreieckfläche) Damit hat man die Weggleichungen und auch die gesuchte Bestimmungsgleichtung für Ds. Nun kann der Gesamtweg berechnet werden. Ds ¼ Ds 1 þ Ds þ Ds 3 Ds ¼ Dv Dt 1 þ Dv Dt þ Dv Dt 3 4. Schritt Auch wenn nicht alle Grundgleichungen gebraucht werden, schreibt man sie auf, denn die Aufgabenstellungen in der Praxis sind immer umfangreicher, als das hier darzustellen möglich ist. Meistens wird man für alle Größen Gleichungen entwickeln müssen. Dt 1 Ds ¼ Dv þ Dt þ Dt 3 Ds ¼ f ðdt 1 ; Dt ; Dt 3 ; DvÞ Ds ¼ 11,11 m ð,5 s þ 50 s þ sþ s Ds ¼ 605,5 m

185 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Ûbung: Ein Autofahrer fährt mit 10 km/h. Er sieht ein Hindernis, bremst nach kurzer Reaktionszeit mit einer Verzögerung von 5 m/s und kommt 160 m nach dem Erblicken des Hindernisses zum Stehen. Gesucht werden die Reaktionszeit Dt R (vom Wahrnehmen des Hindernisses bis zum Ansprechen der Bremse) und der dabei durchfahrene Weg Ds R. Gegeben: Gesucht: v ¼ 10 km h ¼ 33,33 m s a ¼ 5 m s Ds ¼ 160 m Dt R ¼ f ðv, a, DsÞ Ds R ¼ f ðv, a, DsÞ Lösung: Die Gesamtzeit Dt setzt sich zusammen aus der Reaktionszeit Dt R und der Verzögerungszeit Dt V. Entsprechend ist der Gesamtweg Ds ¼ Ds R þ Ds V. Dabei muss man beachten, dass während der Reaktionszeit Dt R die Geschwindigkeit v konstant bleibt. Ds R entspricht einer Rechteckfläche, Ds V der Dreiecksfläche. v s R s V v 0 t R t V t 1. Schritt Das bedeutet auch, dass man in die Grundgleichung den Zeitabschnitt Dt V einsetzen muss. a ¼ Dv Dt ¼ v Dt V. Schritt Ds ¼ Ds R þ Ds V Ds ¼ v Dt R þ v Dt V 3. Schritt Im 4. Schritt wird wieder die Gleichsetzungsmethode angewandt, indem die Grundgleichung und die Weggleichung nach Dt V aufgelöst und die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt werden. Daraus erhält man Dt R ¼ f ðv, a, DsÞ. a ¼ v ) Dt V ¼ v Dt V a Ds ¼ v Dt R þ v Dt V a Ds v Dt R ¼ av 4. Schritt ) Dt V ¼ ðds v Dt RÞ v Dt R ¼ 1,467 s Dt R ¼ f ðv; a; DsÞ Die Bestimmungsgleichung für Ds R entwickelt man wieder aus Grund- und Weggleichung, benutzt also nicht den vorher berechneten Wert für Dt R,umDs R ¼ v Dt R zu berechnen. Nur mit der Bestimmungsgleichung Ds R ¼ f ðv, a, DsÞ hat man einen Ûberblick über die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen den gegebenen Größen und dem Reaktionsweg. Man bekommt damit auch die Möglichkeit, eine echte Probe vorzunehmen. Auf gleiche Weise ergibt sich für Ds R ¼ Ds v a Ds R ¼ f ðv, a, DsÞ Ds R ¼ 48,9 m Probe: Ds R ¼ v Dt R ¼ 33,33 m 1,467 s ¼ 48,9 m s

186 16 4 Dynamik 4. Ûbung: Von einem Turm wird ein Stein fallen gelassen. Der Aufschlag des Steines auf den Boden wird oben nach Dt ¼ 5,3 s gehört. Die als konstant angenommene Schallgeschwindigkeit in der Luft beträgt v s ¼ 333 m/s. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Turmhöhe h ¼ f ðdt; v s ; gþ entwickelt und damit h berechnet werden. Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 m s Gesucht: v s ¼ 333 m s ; h ¼ f ðdt; v s ; gþ Dt ¼ 5,3 s Lösung: Man unterteilt die Gesamtzeit Dt vom Fallbeginn bis zum Höreindruck in die Fallzeit Dt f und die Schallzeit Dt s.während der Fallzeit Dt f ist die v-linie eine von 0 bis v e ansteigende Gerade (freier Fall mit Aufschlaggeschwindigkeit ¼ Endgeschwindigkeit v e ). Da der Schall mit konstanter Geschwindigkeit v s nach oben steigt, verläuft die v-linie während der Schallzeit Dt s waagerecht (gleichförmige Bewegung). Stein und Schall müssen den gleichen Weg zurücklegen: v 0 e f v = g t Aufschlag t f t A 1 = sf t s Höreindruck vs A = ss 1. Schritt t Turmhöhe h ¼ Fallweg Ds f ¼ Schallweg Ds s. Im v, t-diagramm muss demnach die Dreieckfläche A 1 gleich der Rechteckfläche A sein. In den Nenner der Grundgleichung wird aus der Bedingung Dt ¼ Dt f þ Dt s ) Dt f ¼ Dt Dt s eingesetzt. Die Weggleichung für die Turmhöhe h findet man aus der Dreieckfläche A 1 ¼b v e Dt f = und der Rechteckfläche A ¼b v s Dt s. Beide Flächen sind gleich groß. a ¼ g ¼ Dv Dt ¼ v e ¼ Dt f h ¼b A 1 ¼ A h ¼ Ds f ¼ Ds s h ¼ v e Dt f ¼ v s Dt s v e Dt Dt s. Schritt 3. Schritt Grund- und Weggleichung löst man nach der Endgeschwindigkeit v e auf und setzt die gefundenen Ausdrücke gleich. Aus der zweiten Weggleichung (h ¼ v s Dt s ) setzt man für die Schallzeit Dt s ¼ h=v s und schreibt den Klammerausdruck ðdt h=v s Þ in der dreigliedrigen Form Dt h ¼ Dt Dt v s h v s þ h v s 4. Schritt v e ¼ gðdt Dt s Þ¼ h h ¼ Dt f Dt Dt s h gðdt Dt s Þ¼ Dt Dt s h ¼ g ðdt Dt sþ für Dt s ¼ h eingesetzt: v s h ¼ g Dt h v s

187 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 163 Abschließend wird die Gleichung auf die Normalform gebracht und nach h aufgelöst. Das ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Turmhöhe h. h ¼ g Dt h Dt þ h v s v s h h v s 1 þ g Dt þ v s Dt ¼ 0 g v s Von den beiden berechneten Beträgen für die Turmhöhe kann nur h ¼ 119,7 m richtig sein, wie die Auswertung der Gleichung h ¼ v s Dt s (3. Schritt) mit h 1 ¼ 6017 m ergibt: Schallzeit Dt s ¼ h m ¼ v s 333 m ¼ 78,1 s s Bei dieser Turmhöheh 1 wäre die Schallzeit Dt s größer als die Gesamtzeit: Dt s ¼ 78,1 s > Dt ¼ 5,3 s. h 1; ¼ v s 1 þ g Dt g v s sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v s 1 þ g Dt v s Dt g v s h ¼ f ðdt, v s, gþ h 1 ¼ 6017 m h ¼ 119,7 m Aufgaben Nr Zusammengesetzte Bewegungen Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung Beim Kopieren eines Kegelstumpfes auf der Drehmaschine soll die Meißelspitze vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E wandern. Der Drehmeißel wird dabei gleichzeitig vom Bettschlitten mit dem Längsvorschub s l und vom Planschlitten mit dem Planvorschub s p geradlinig bewegt. Zwei Einzelbewegungen überlagern sich hier zu einer resultierenden (zusammengesetzten) Bewegung: Eine zusammengesetzte Bewegung entsteht durch Ûberlagerung von Einzelbewegungen. Zusammengesetzte Bewegung Die Einzelbewegungen können gleichförmig oder ungleichförmig sein; sie können in beliebiger Richtung zueinander verlaufen.

188 164 4 Dynamik Ûberlagerungsprinzip Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der Meißelspitze auch, wenn man von A ausgehend zunächst den Längsvorschub allein laufen lässt, bis Punkt B erreicht ist, und dann anschließend mit dem Planvorschub bis E fährt. Auch in umgekehrter Reihenfolge wird das Ziel erreicht: Geometrische Addition von Wegen Man findet den Ort eines Körperpunktes bei zusammengesetzter Bewegung, indem man die Einzelbewegungen gedanklich nacheinander ausführt. Die Reihenfolge ist beliebig. Zur Lösung von Aufgaben setzt man die für die Einzelbewegung gültigen Gesetze an (siehe waagerechter Wurf, Seite 166). Das Ûberlagerungsprinzip wird in der Technik häufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung eines Biegeträgers, der durch beliebig viele Kräfte belastet wird. Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre, Abschnitt , die 5. Ûbung, Seite Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Soll ein Körper oder Körperpunkt von A nach E gelangen, dann kann diese Ortsveränderung auf verschiedene Weise ablaufen. Der kürzeste Weg wird durch den Ortsvektor s gekennzeichnet. Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Ortsvektoren s x, s y kommt man von A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten Ortsvektoren s 1, s. Wie alle Vektoren sind auch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren Betrag (z. B. s ¼ 4 m), durch ihre Richtung (z. B. a ¼ 30 ) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt von A nach E). Das Gleiche gilt für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen: Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete Größen). Sie werden rechnerisch und zeichnerisch behandelt wie Kräfte, also geometrisch addiert. Geometrische Addition von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Wie bei Kräften gilt der Parallelogrammsatz; Längs- und Parallelverschiebungssatz sowie Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn (siehe Statik).

189 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen Bewegungen 1. Ûbung: Der Laufkran in einer Gießerei fährt mit der Geschwindigkeit v 1 ¼ 10 m/min. Gleichzeitig bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung die Laufkatze mit v ¼ 40 m/min. Es soll die Geschwindigkeit der an der Laufkatze hängenden Last und der Neigungswinkel a des Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt werden. Lösung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit v r ist die Resultierende aus diesen beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kräften, mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erkennt man, dass sich der Neigungswinkel a über die Tangensfunktion bestimmen lässt. Lageskizze v r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 1 þ v ¼ 10 m þ m 40 min min v r ¼ 16,491 m min ¼,108 m s a ¼ arctan v v 1 ¼ arctan 40 m min 10 m ¼ 18,4 min. Ûbung: Ein Boot überquert vom Punkt A aus einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt v 1 ¼ 30 km/h und liegt unter dem Winkel a ¼ 30 zur Stromrichtung. Durch die Strömungsgeschwindigkeit v ¼ 10 km/h wird das Boot aus seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das gegenüberliegende Ufer im Punkt B. Zu bestimmen sind: a) die resultierende Geschwindigkeit v r des Bootes, b) der Winkel b, c) die Strecke l. Lösung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck aus v 1, v, v r und trägt die Winkel ein. Nach dem Parallelogrammsatz muss die resultierende Geschwindigkeit v r vom Anfangspunkt der zuerst gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten Geschwindigkeit (hier v ) gerichtet sein. Ûber den Kosinussatz berechnet man dann v r. Natürlich kann auch die zeichnerische Lösung allein oder zusätzlich angefertigt werden. p v r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 1 þ v v 1 v cos a v r ¼ 1,918 km h Lageskizze Geschwindigkeitsskizze

190 166 Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren v 1 und v r entwickelt. Der Richtungswinkel b der resultierenden Geschwindigkeit v r ist die Winkelsumme a þ d. Zum Schluss findet man über die Tangensfunktion die gesuchte Strecke l. sin a ¼ sin d ) sin d ¼ v sin a v r v v r 10 km d ¼ arcsin h 1,918 km sin 30 ¼ 13,187 h b ¼ a þ d ¼ 43,187 l ¼ l 1 tan b ¼ 480 m tan 43,187 ¼ 511,4 m 4 Dynamik Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Ein Körper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler Unterlage in x-richtung mit konstanter Geschwindigkeit v 0. Sobald die Kugel die Unterlage verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des freien Falls. Der gleichförmigen Bewegung in x-richtung überlagert sich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-richtung. Wie man später aus der Weggleichung sehen wird, ist die Wurfbahn eine Parabel. Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im v, t-diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen ab. v0 v A = s = v t x x 0 x Das v, t-diagramm für die Horizontalbewegung des Körpers beim waagerechten Wurf ist das typische Diagramm für die gleichförmige Bewegung mit v 0 ¼ v x ¼ konstant und dem Flächeninhalt A x ¼b s x ¼ v 0 t x. Das v, t-diagramm für die Vertikalbewegung ist das typische Diagramm für den freien Fall ohne Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit (v y ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen werden: A y ¼b h ¼ v y t x =. Damit stehen alle Gleichungen zur Verfügung, die für einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden. Es ist also nur eine Frage der mathematischen Geschicklichkeit, wie schnell eine Lösung gefunden wird. Zwei Ûbungen sollen den Weg zeigen. 0 t x t v g= v y tx vytx A y = h = 0 t x t s x ¼ v 0 t x v y Weggleichung (Wurfweite) g ¼ v y t x v y ¼ gt x Grundgleichung h ¼ v yt x ¼ v y g ¼ gt x Weggleichungen (Fallhöhe)

191 4.1 Allgemeine Bewegungslehre Ûbung: Von einem h ¼ 80 m über der Auftreffebene liegenden Punkt wird ein Körper mit v 0 ¼ 97 m/s horizontal abgeschossen. Gesucht wird die Wurfweite s x. Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 m s h ¼ 80 m v 0 ¼ 97 m s Gesucht: s x ¼ f ðv 0, h, gþ Lösung: Für die horizontale (gleichförmige) Bewegung gilt die Weggleichung s x ¼ v 0 t x. Der freie Fall (die vertikale Bewegung) wird durch die Weggleichungen für die Fallhöhe erfasst. Die hier zweckmäßigste ist die Gleichung h ¼ gt x =, weil sie nicht die zusätzliche Unbekannte v y enthält. horizontale vertikale Bewegung Bewegung s x ¼ v 0 t x h ¼ gt x sffiffiffiffiffiffi t x ¼ s x h t x ¼ v 0 g Beide Gleichungen löst man nach t x auf, setzt sie gleich und erhält die Bestimmungsgleichung s x ¼ f ðv 0, h, gþ, nach der s x berechnet wird. sffiffiffiffiffiffi h s x ¼ v 0 g s x ¼ f ðv 0, h, gþ s x ¼ 97 m vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u 80 m t s 9,81 m s s x ¼ 1 199,4 m. Ûbung: Man möchte sich nun Klarheit darüber verschaffen, wie die Wurfbahn beim waagerechten Wurf aussieht. Zunächst wird die allgemeine Beziehung für die Wurfbahn gesucht, d. h. es muss eine Funktionsgleichung für die Fallhöhe h in Abhängigkeit von der Wurfweite s x gefunden werden. Diese Beziehung wurde für die vorhergehende Ûbung schon entwickelt, sie braucht nur umgestellt zu werden. Fallbeschleunigung g und horizontale Geschwindigkeit v 0 sind konstante Größen, so dass man den Quotienten g=v 0 als Konstante k einsetzen kann. Damit hat man die gesuchte Funktionsgleichung in der übersichtlichsten Form. Sie zeigt, dass die Fallhöhe h beim waagerechten Wurf mit dem Quadrat der Wurfweite wächst. Als Wurfbahn ergibt sich damit eine Parabel ( y ¼ kx ). Trägt man h als y-wert und s x als x-wert in einem Koordinatensystem auf, erhält man die allgemeine Form y ¼ kx der Parabel. Aus der obigen Ûbung wird übernommen: sffiffiffiffiffiffi h s x ¼ v 0 ¼ f ðv 0, h, gþ g Nach Quadrieren und Umstellen folgt daraus: h ¼ g v s h Fallhöhe x g Fallbeschleunigung 0 v 0 horizontale h ¼ f ðg; v 0 ; s x Þ Geschwindigkeit Wurfweite g v 0 ¼ konstant ¼ k h ¼ ks x s x Gleichung der Wurfbahn beim waagerechten Wurf (Wurfparabel)

192 168 4 Dynamik Mit der Funktionsgleichung h ¼ ks x soll die Wurfparabel punktweise berechnet werden, z. B. für die horizontale Geschwindigkeit v 0 ¼ 3 m/s. Zunächst wird die Konstante bestimmt: k ¼ m g 9,81 v ¼ s ¼ 0, m m s Damit berechnet man für die Wurfweiten s x ¼ 1 m, m und 3 m die zugehörigen Fallhöhen h und trägt diese Beträge in die Wertetabelle ein. Die zueinander gehörenden Werte von s x und h sind die Koordinaten jeweils eines Punktes der Wurfbahn, die man damit aufzeichnen kann. Wurfparabel für den waagerechten Wurf Wertetabelle s x h 1 m 0,545 m m,18 m 3 m 4,905 m Die resultierende Geschwindigkeit v r lässt sich für jeden Bahn- und Zeitpunkt aus dem Geschwindigkeitsdreieck berechnen (Pythagoras). qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v r ¼ v 0 þ v y qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v r ¼ v 0 þðgtþ Geschwindigkeit v r nach der Wurfzeit t Der Geschwindigkeitsvektor v r liegt auf der Tangente T des jeweiligen Bahnpunktes, z. B. Punkt B. p v r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 0 þ gh Geschwindigkeit v r nach der Fallhöhe h Der Winkel a des Vektors v r tan a ¼ v y =v 0. ergibt sich aus a ¼ arctan v y v 0 Richtungswinkel a a ¼ arctan gt v 0 Aufgaben Nr

193 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 169 b) Schräger Wurf (ohne Luftwiderstand) Beim schrägen Wurf wird ein Körper mit der Abwurfgeschwindigkeit v 0 unter dem Steigungswinkel a 0 abgeworfen. Seine Wurfbahn ist wie beim waagerechten Wurf eine Parabel. Liegen Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe, sind Abwurf- und Auftreffgeschwindigkeit v 0 gleich groß, ebenso deren Winkel a 0. Voraussetzung: kein Luftwiderstand. Man zerlegt den Geschwindigkeitsvektor v 0 in die beiden Komponenten v 0x und v 0y. Es gilt auch hier das Ûberlagerungsprinzip: Der gleichförmigen Horizontalbewegung mit v 0x ¼ konstant ist die gleichmäßig beschleunigte und dann verzögerte Vertikalbewegung mit v 0y 6¼ konstant überlagert. Die Vertikalbewegung ist schon bekannt. Es ist der senkrechte Wurf mit anschließendem freien Fall. Das zeigt auch das v, t-diagramm c), das bereits bekannt ist (Seite 153): Die Vertikalkomponente v y der Abwurfgeschwindigkeit v 0 nimmt von v 0y laufend bis auf null ab (wenn h max erreicht ist), um dann wieder bis auf v 0y ¼ v 0y zuzunehmen. Für die weiteren Rechnungen hat das Vorzeichen (entgegengesetzter Richtungssinn) keine Bedeutung. a) s, h-diagramm (Wurfparabel) b) v, t-diagramm der Horizontalbewegung c) v, t-diagramm der Vertikalbewegung Beachte: Es ist v 0x ¼ v 0 cos a 0 v 0y ¼ v 0 sin a 0 Es werden die v, t-diagramme ausgewertet: Die Grundgleichung (1) schreibt man mit den speziellen Bezeichnungen. Diagramm b) liefert die Weggleichung () für die Wurfweite als Funktion der Zeit t. v 0 und a 0 sind Konstante. g ¼ Dv ¼ v 0y v y t x t x s x ¼ v 0 cos a 0 t x () (1) Grundgleichung Weggleichung (Wurfweite) Diagramm c) liefert die Weggleichungen für die Vertikalbewegung. Das sind die Gleichungen für die Wurfhöhe h in Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten v (3) und von der Zeit t (4) und (5). Für die letzte Form der Gleichung (3) wird aus (1) für t x ¼ðv 0y v y Þ=g eingesetzt. Das Binom ergibt ðv 0y þ v y Þðv 0y v y Þ¼v 0y v y. h ¼ v 0y þ v y t x ¼ v 0y v y g (3) h ¼ v y t x þ g t x (4) h ¼ v 0 sin a 0 t x g t x (5) Weggleichungen (Wurfhöhe) Beachte: v 0y ¼ v 0 sin a 0

194 170 4 Dynamik Zur Konstruktion der Wurfbahn muss man wie beim waagerechten Wurf die Abhängigkeit der Wurfhöhe h von der Wurfweite s x kennen, also eine Funktionsgleichung für h entwickeln, in der die Zeit t nicht erscheint. Dazu löst man die Gleichung s x ¼ v 0 cos a 0 t x nach t x auf und setzt den gefundenen Ausdruck in die Gleichung für die Wurfhöhe h ¼ v 0 sin a 0 t x gt x = ein (Gleichung (5)). Damit erhält man h ¼ f ðs x, g, v 0, a 0 Þ. Die Größen g, v 0, tan a 0 und cos a 0 sind konstante Größen. Mit den beiden Konstanten k 1 ¼ tan a 0 und k ¼ g=v 0 cos a 0 erhält man die Funktionsgleichung in der zweckmäßigsten Form für die punktweise Berechnung der Wurfparabel. Es werden nun noch einige häufig gebrauchte Gleichungen entwickelt: Die Steigzeit t s erhält man aus der Gleichung v y ¼ v 0 gt (siehe v, t-diagramm c) und der Ûberlegung, dass im Scheitelpunkt der Wurfparabel die Geschwindigkeit in y-richtung v y ¼ 0 ist (Richtungsumkehr der senkrechten Teilbewegung). Die Scheitelhöhe h max ist der Weg der verzögerten Bewegung in vertikaler Richtung während der Steigzeit t s (Dreieckfläche im v, t-diagramm c). Für t s wird die in Gleichung (8) entwickelte Beziehung eingesetzt. Die gesamte Wurfzeit T bis zum Aufschlag ist das Doppelte der Steigzeit (immer unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes). Die größte Wurfweite s max erhält man mit der Wurfzeit T. Dann ist s max ¼ v 0x T ¼ v 0 cos a 0 T. Für T wird der vorher entwickelte Ausdruck eingesetzt und für sin a 0 cos a 0 ¼ sin a 0 (siehe Handbuch Maschinenbau). Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit v 0 hängt s max nur noch vom Steigungswinkel a 0 ab. Da der Sinus eines Winkels nicht größer als 1 werden kann, wird der Maximalwert für die größte Wurfweite dann erreicht, wenn sin a 0 ¼ 1 ist. Das ist der Fall, wenn a 0 ¼ 90 und damit der Steigungswinkel a 0 ¼ 45 beträgt. s x s x ¼ v 0 cos a 0 t x ) t x ¼ v 0 cos a 0 h ¼ v 0 sin a 0 t x gt x s x gs x h ¼ v 0 sin a 0 v 0 cos a 0 v 0 cos a 0 g h ¼ s x tan a 0 v 0 cos s x (6) a 0 h ¼ f ðs x, g, v 0, a 0 Þ h ¼ k 1 s x k s x (7) Gleichung der Wurfbahn beim schrägen Wurf (Wurfparabel) v y ¼ v 0y gt x v 0y ¼ v 0 sin a 0 t x ¼ t s v y ¼ v 0 sin a 0 gt s ¼ 0 t s ¼ v 0 sin a 0 g h max ¼ v 0y t s ¼ v 0 sin a 0 t s h max ¼ v 0 sin a 0 g T ¼ v 0 sin a 0 g (8) Steigzeit (9) Scheitelhöhe (10) Wurfzeit s max ¼ v 0 cos a 0 T ¼ v 0 cos a 0 v 0 sin a 0 g s max ¼ v 0 sin a 0 g (11) größte Wurfweite Größter Wert für s max bei a 0 ¼ 45, weil dann sin a 0 ¼ sin 90 ¼ 1 ist. Beachte: Die hier entwickelten Gleichungen gelten auch für den waagerechten Wurf, wenn in den Gleichungen a 0 ¼ 0 gesetzt wird. Der waagerechte Wurf ist also nur ein Sonderfall des schrägen Wurfs.

195 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 171 Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen Bahnpunkt P 1 nach dem Zeitabschnitt t x, ist die Resultierende der momentanen Vertikalgeschwindigkeit v y ¼ v 0 sin a 0 gt x (v, t-diagramm c), Seite 169) und der konstanten Horizontalgeschwindigkeit v 0x ¼ v 0 cos a 0. Man erhält die Momentangeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit v 0, dem Steigungswinkel a 0, dem Zeitabschnitt t x und der Fallbeschleunigung g. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ v 0x þ v y v 0x ¼ v 0 cos a 0 ; v y ¼ v 0 sin a 0 gt x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ ðv 0 cos a 0 Þ þðv 0 sin a 0 gt x Þ (1) Geschwindigkeit vðtþ Beachte: In dieser Gleichung muss für den Winkel a 0 immer der spitze Winkel zur positiven x-achse eingesetzt werden (siehe Wurfparabel Seite 169). Soll der Zeitabschnitt t x in Gleichung (1) aus der Wurfhöhe h ermittelt werden, hilft die Gleichung (5) weiter: Man formt die Gleichung zur Normalform einer gemischt quadratischen Gleichung um. Danach stellt man die Lösungsformel für t x1/ auf und schreibt die endgültige Form mit v 0y ¼ v 0 sin a 0. Mit der Weggleichung () ist dann auch der Wegabschnitt s x zu berechnen. h ¼ v 0y t x g t x (Gleichung (5)) t x v 0y g t x þ g h ¼ 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t x1= ¼ v 0y g v 0y h g g sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t x1= ¼ v 0 sin a 0 v 0 sin a 0 h g g g Zeitabschnitt t x ðhþ (13) Beim Berechnen des Zeitabschnitts t x nach Gleichung (13) ergeben sich zwei Werte t x1 und t x. Beide Werte sind richtig, denn die Wurfparabel (Seite 169) schneidet eine Höhenlinie in den beiden Punkten P 1 und P. Die zugehörigen Zeitabschnitte sind die berechneten Werte t x1 und t x. Beispiel: Ein Körper wird mit v 0 ¼ 100 m/s unter a 0 ¼ 60 abgeworfen. Die Rechnung nach (13) mit h ¼ 300 m ergibt (aus Platzgründen ohne Einheiten geschrieben): 100 sin 60 t x1 ¼ s 9,81 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 100 sin ,81 9,81 t x1 ¼ 1,9 s t x ¼ 4,73 s Den momentanen Richtungswinkel a an der Wurfparabel im s, t-diagramm a) auf Seite 169 erhält man aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Kosinusfunktion. cos a ¼ v 0x v ¼ v 0 cos a 0 v a ¼ arccos v 0 cos a 0 v (14)

196 17 4 Dynamik 1. Ûbung: Das s; h-diagramm, Bild a), zeigt die Wurfparabel eines schrägen Wurfs, bei dem die Abwurfebene (Punkt E 1 ) nicht zugleich Auftreffebene ist. Diese liegt um die Fallhöhe h E tiefer (Punkt E ). Gegeben: Abwurfgeschwindigkeit v 0 ¼ 10 m/s Abwurfwinkel a 0 ¼ 50 Fallhöhe h E ¼ m Gesucht: Gesamtzeit t, Wurfweite s, Auftreffgeschwindigkeit v E, Auftreffwinkel a E, Teilzeit t E und Teilweg s E. Lösung: Es sollte nicht versucht werden, die bereits hergeleiteten Gleichungen für die symmetrische Wurfparabel (Seite 169) auf den vorliegenden Fall anzuwenden. Das führt leicht zu Fehlern. Daher skizziert man für jeden speziellen Fall, so wie hier, die zugehörigen v, t-diagramme b) und c) und wertet die Diagramme wie gewohnt aus. Gegenüber den Diagrammen, Seite 169, braucht man nur die v x - und die v y -Linie bis zum Auftreffpunkt E zu verlängern. a) s; h-diagramm (Wurfparabel) b) v, t-diagramm der Horizontalbewegung c) v, t-diagramm der Vertikalbewegung Wurfzeit t und Teilzeit t E : Die gesamte Wurfzeit t setzt sich zusammen aus der Wurfzeit T nach Gleichung (10) und der Teilzeit t E für den Teilweg s E und für die Fallhöhe h E. Eine Gleichung für die Teilzeit t E erhält man mit der Weggleichung h E nach dem v, t-diagramm c). Darin entspricht die Trapezfläche A ¼b Fallhöhe h E ¼ v 0y t E þ gt E =. Die gemischt-quadratische Gleichung liefert eine Beziehung für die Teilzeit t E. A ¼b h E ¼ v 0y t E þ g t E t E þ g v 0y t E g h E ¼ 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t E1= ¼ v 0y g v 0y þ h E g g Mit v 0y ¼ v 0 sin a 0 erhält man s t E1= ¼ v ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 sin a 0 v 0 sin a 0 þ h E g g g Teilzeit (15) Mit v 0 ¼ 10 m/s, a 0 ¼ 50 und h E ¼ m erhält man als physikalisch sinnvolle Teilzeit t E ¼ t E1 ¼ 0,8 s. Mit Gleichung (10) bekommt man die Gesamtzeit t ¼ T þ t E ¼ v 0 sin a 0 =g þ t E. 10 m=s sin 50 t E1 ¼ 9,81 m=s s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 10 m=s sin 50 9,81 m=s þ m 9,81 m=s t E1 ¼ 0,8 s; t E ¼ 1,7896 s 10 m=s sin 50 t ¼ 9,81 m=s þ 0,8 s ¼ 1,79 s

197 4.1 Allgemeine Bewegungslehre 173 Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen zu können, werden die beiden Gleichungen (10) und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst. Man erhält dann die Gleichung (16). Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein physikalisch sinnvolles Ergebnis. t 1= ¼ T þ t E1= ¼ v 0 sin a 0 þ t E1= g t 1= ¼ v 0 sin a 0 g v 0 sin a 0... g sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t 1= ¼ v 0 sin a 0 v 0 sin a 0 þ h E g g g Gesamtzeit (16) Auftreffgeschwindigkeit v E : Sie ist die Resultierende aus der Horizontalgeschwindigkeit v 0x ¼ v 0 cos a 0 und der Vertikalgeschwindigkeit v y, die sich nach Bild c) Seite 17 zusammensetzt aus: v 0y ¼ v 0 sin a 0 und gt E. v E ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v 0x þ v y v 0x ¼ v 0 cos a 0 ; v y ¼ v 0y þ gt E v y ¼ v 0 sin a 0 þ gt E qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v E ¼ ðv 0 cos a 0 Þ þðv 0 sin a 0 þ gt E Þ Auftreffgeschwindigkeit (17) Rechnung aus Platzgründen ohne Einheiten: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v E ¼ ð10 cos 50 Þ þð10 sin 50 þ 9,81 0,8Þ v E ¼ 11,8 m s Der Auftreffwinkel a E kann mit Gleichung (14) berechnet werden, wenn man für v ¼ v E einsetzt. a E ¼ arccos v 0 cos a 0 v E a E ¼ m cos 50 ¼ arccos s 11,8 m s Wurfweite s und Teilweg s E : Der Teilweg s E ist nach Bild b) Seite 17 aus s E ¼ v 0x t E ¼ v 0 cos a 0 t E zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung (11) kann eine Gleichung für s entwickelt werden. s E ¼ v 0 cos a 0 t E (18) s E ¼ 10 m=s cos 50 0,8 s ¼ 1,466 m s ¼ v 0 sin a 0 þ s E (19) g s ¼ ð10 m=sþ sin 100 9,81 m=s þ 1,466 m ¼ 11,5 m Kontrolle: Nach Bild b) ist s ¼ v 0x t ¼ v 0 cos a 0 t mit t nach Gleichung (16). s ¼ v 0 cos a 0 t (0) s ¼ 10 m s cos 50 1,79 s ¼ 11,5 m

198 174 4 Dynamik. Ûbung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem Winkel a 0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit v 0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 0 m über dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung des Abstandes s x ¼ f ða 0 ; v 0 ; hþ des Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt und damit s x berechnet werden. Gegeben: a 0 ¼ 30 v 0 ¼ 5 m s h ¼ 0 m a ¼ g ¼ 9,81 m s Gesucht: s x ¼ f ða 0 ; v 0 ; hþ Lösung: Es werden als Erstes wieder die beiden v, t-diagramme für die Horizontal- und die Vertikalbewegung skizziert. Während des Zeitabschnitts t x wird die Strecke s x mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente v 0x ¼ v 0 cos a 0 zurückgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt fällt die Dachpfanne im freien Fall um die Höhe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente (Vertikalgeschwindigkeit) von v 0y ¼ v 0 sin a 0 um Dv ¼ gt x auf v y. v0y v 0x gt x v x v y s x = v0x tx h=v t + 0y x t x gtx v y t t a) siehe auch v, t-diagramm b) Seite 17 b) siehe auch v, t-diagramm c) Seite 17 v, t-diagramm der Horizontalbewegung a) und der Vertikalbewegung b) Der Vergleich der beiden v, t-diagramme mit den Diagrammen b) und c) auf Seite 17 zeigt vollständige Ûbereinstimmung des Bewegungsvorgangs zwischen den Punkten E 1 und E der Parabel. Man kann also ohne Bedenken die dort entwickelten Gleichungen verwenden. Für die vorliegende Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung mit Gleichung (18). sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t x ¼ v 0 sin a 0 v 0 sin a 0 þ þ h g g g s x ¼v 0 cos a 0 t x Nur die positive Lösung für t x ist sinnvoll. Der Ausdruck für t x (nach Gleichung (15)) wird in die Gleichung für s x eingesetzt. Man hat damit die gesuchte Beziehung s x ¼ f ða 0 ; v 0 ; hþ gefunden. Der Aufschlagpunkt liegt um s x ¼ 7,71 m von der Hausmauer entfernt. " s x ¼ v 0 cos a 0 v 0 sin a 0 þ g sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 v 0 sin a 0 þ þ h 5 g g (1) s x ¼ 7,71 m Aufgaben Nr

199 4. Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Die bisher behandelten Gesetze gelten für geradlinige und krummlinige Bewegungen, also auch für die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel für die Bewegung eines Schleifkorns auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt, weil für diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und geometrische Größen eingeführt wurden. Das gilt beispielsweise für die Begriffe Drehzahl, Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Ûbersetzung Die Drehzahl n Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstückspanner einer Drehmaschine, Schleifscheibe usw.) mit Kreide eine Markierung an, kann die Anzahl der Umdrehungen gezählt werden. Sie werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise z ¼ 5 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man die Drehzahl n der Scheibe: Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl z der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen. Mit 1 min ¼ 60 s kann leicht umgerechnet werden. Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U steht nur für die Zahl 1, so dass in der Technik die Einheit für die Drehzahl n auch mit der Eins geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise ðmin 1 Þ. Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors entspricht einer Auf- und Abwärtsbewegung (Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit ermittelt man daher die Zeit für eine Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit): Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht sich immer auf den ganzen umlaufenden Körper, z. B. auf den Rotor eines Elektromotors. Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen Punkte bewegen, ist noch unbekannt. Anzahl Umdrehungen z n ¼ Zeitabschnitt Dt n ¼ z Dt Beispiel: n ¼ 1500 U min ¼ 1500 U 60 s ¼ 5 U s Beispiel: n ¼ 1500 U min ¼ ¼ 1500 min 1 min U min ¼ 1 min ¼ min 1 Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der kürzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine Schwingung periodisch wiederholt. Siehe auch Seite T ¼ Drehzahl n n z Dt U min ¼ 1 min ¼ min 1 U min Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Kehrwert der Drehzahl n. T ¼ 1 n T n min, s min 1,s 1

200 176 4 Dynamik 4.. Die Umfangsgeschwindigkeit v u Umfangsgeschwindigkeit v u ist die Bezeichnung für die Geschwindigkeit eines Umfangspunktes im Abstand r von der Drehachse eines umlaufenden Körpers auf seiner Kreisbahn. Drehbewegung um eine Drehachse Bei gleichförmiger Drehbewegung ist die Umfangsgeschwindigkeit v u der Quotient aus Wegund Zeitabschnitt. Bei der ungleichförmigen Drehbewegung ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt die mittlere Umfangsgeschwindigkeit v um (Durchschnittsgeschwindigkeit) Richtung der Umfangsgeschwindigkeit v u Man stellt sich den Umfangspunkt B als Körper vor, der an einem Faden um die Drehachse A umläuft. Wird der Faden in einer der eingezeichneten Stellungen los gelassen, bewegt sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz mit der momentanen Umfangsgeschwindigkeit v u geradlinig fort und zwar in Richtung der jeweiligen Tangente an seine Kreisbahn: Richtung der Umfangsgeschwindigkeit Die Umfangsgeschwindigkeit v u ist immer tangential gerichtet; sie ist eine Tangentialgröße Umfangsgeschwindigkeit v u und Drehzahl n Der Wegabschnitt Ds eines umlaufenden Umfangspunktes wird durch den Kreisumfang ausgedrückt. Bei z Umdrehungen wird damit Ds ¼ prz.mit z=dt ¼ n erhält man die übliche Gleichung zur Berechnung der Umfangsgeschwindigkeit. v u ¼ Ds Dt ¼ prz Dt v u ¼ pr z Dt v u ¼ prn v u r n m U m s s ¼ 1 s ¼ s 1 m min m U min ¼ 1 1 ¼ min min Bei der gleichförmigen Drehbewegung ist die Drehzahl n ¼ konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit v u eines Umfangspunktes dagegen ändert sich, wie die Gleichung zeigt, mit dem Radius r: Je größer der Radius, umso größer ist auch v u. Man sagt auch: v u wächst proportional mit dem Radius (v u r). Beispiel: Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Umfangspunktes B, der doppelt so weit vom Scheibenmittelpunkt entfernt liegt wie Punkt A? Lösung: v ub ¼ pr B n r B ¼ r A v ub ¼ p r A n ¼ pr A n ¼ v ua

201 4. Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Zahlenwertgleichungen für die Umfangsgeschwindigkeit Für Rechnungen an Werkzeugmaschinen wird die Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit v meist in m/min gebraucht (Richtwerttabellen), wobei der Durchmesser d ¼ r in mm eingesetzt werden soll. Man rechnet dann mit einer auf diese Einheiten zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Für Schleifscheiben würden sich mit der obigen Zahlenwertgleichung zu große Zahlenwerte ergeben. Man arbeitet dort mit der Einheit m/s und muss daher im Nenner noch den Faktor 60 aufnehmen. Man entwickelt aus der Größengleichung dann eine Zahlenwertgleichung, wenn häufig mit denselben Einheiten gerechnet wird. v ¼ pdn 1000 Schnittgeschwindigkeit v an Drehmaschinen, Fräsmaschinen usw. v ¼ pdn v d n m mm min 1 min v d n m s mm min 1 Schnittgeschwindigkeit v für Schleifscheiben Beachte: Beim Rechnen mit Zahlenwertgleichungen darf man die Einheiten nicht mitschreiben Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit Ein Rad vom Radius r rollt ohne zu gleiten (also schlupffrei) auf seiner Unterlage. Ein Umfangspunkt P besitzt die Umfangsgeschwindigkeit v u ¼ prn. Die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes M parallel zur Unterlage wird mit der Mittelpunktsgeschwindigkeit v M bezeichnet. Es soll geklärt werden, in welchem Verhältnis v u und v M zueinander stehen. Bei einer Umdrehung rollt der Radumfang pr ab, bei z Umdrehungen z-mal so viel, also legt der Radmittelpunkt M den Wegabschnitt Ds ¼ prz zurück. Damit ergibt sich seine Geschwindigkeit v M ¼ prz=dt. Das aber ist genau die Gleichung für die Umfangsgeschwindigkeit v u : Umfangs- geschwindigkeit v u ¼ prz ¼ prn Dt Mittelpunktsgeschwindigkeit v M ¼ prz ¼ prn Dt Beim schlupffrei rollenden Rad sind Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit gleich groß. v M ¼ v u Beachte: v M ist bezogen auf die Unterlage, v u dagegen bezogen auf den Radmittelpunkt M. Das rollende Rad kippt laufend um den jeweiligen Stützpunkt A. Die momentane Geschwindigkeit v der Radpunkte auf dem gedachten Durchmesser AMP wächst linear von v A ¼ 0 auf v M ¼ v u und weiter auf v P ¼ v M ¼ v u.

202 178 4 Dynamik 4..6 Die Winkelgeschwindigkeit w Die Umfangsgeschwindigkeit v u kennzeichnet immer nur den Bewegungszustand eines einzelnen Punktes, denn v u ist vom Radius abhängig (v u r). Körperpunkte auf unterschiedlichen Radien legen bei jeder Umdrehung verschieden große Wege zurück. Für alle Punkte ist aber der überstrichene Drehwinkel Dj gleich groß. Deshalb hat man für umlaufende Teile eine vom Radius unabhängige Größe definiert, die Winkelgeschwindigkeit w (Omega): Die Winkelgeschwindigkeit w eines gleichförmig umlaufenden Körpers ist der Quotient aus dem überstrichenen Drehwinkel Dj und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Alle Punkte eines rotierenden Körpers haben im gleichen Zeitpunkt gleiche Winkelgeschwindigkeit, nicht aber gleiche Umfangsgeschwindigkeit. Dreht sich der Körper nicht gleichförmig, dann erhält man mit dieser Definitionsgleichung die mittlere Winkelgeschwindigkeit w m (Durchschnitts-Winkelgeschwindigkeit). Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit w ergibt sich aus den gewählten Einheiten für den Drehwinkel und dem Zeitabschnitt oder aus der gewählten Einheit für die Drehzahl n. Als Einheit für den Drehwinkel benutzt man nicht die Einheit Grad (obgleich grundsätzlich möglich), sondern die Einheit Radiant (Kurzzeichen: rad). Wie Umdrehung U ist auch Radiant rad eine Umschreibung für die Zahl Eins. Statt rad/s kann man immer auch 1/s schreiben, ebenso: statt U/min auch 1/min. w ¼ Dj Dt ¼ pz Dt w ¼ pn w Dj z Dt n rad s ¼ 1 s Grundgleichung der gleichförmigen Drehbewegung Beispiel: Beim ungebremsten Auslaufen braucht eine Drehspindel 60 U und 90 s bis zum Stillstand. Dann ist w m ¼ Dj Dt ¼ pz ¼ p60 Dt 90 s ¼ 4 3 p rad rad ¼ 4,19 s s ðwþ ¼ ðjþ ðtþ ¼ rad s ¼ 1 s ¼ s 1 ðwþ ¼ðpÞðnÞ ¼ rad min ¼ 1 min ¼ min 1 Umrechnungen: p rad ¼ 360 rad 1 s 1 rad ¼ 180 p 57,3 Beispiel: w ¼ 90 rad s ¼ 90 1 ¼ 90 s 1 s 1 s ¼ s Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit Aus den nun bekannten Gleichungen für die Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit kann man v u ¼ wr sofort die gegenseitige Abhängigkeit erkennen. Die Winkelgeschwindigkeit w ¼ p n ist in der Gleichung für v u ¼ prnenthalten. v u ¼ prn ¼ pnr ¼ wr v u w r m s 1 s ¼ rad s m

203 4. Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 179 Man kann den Zusammenhang zwischen v u und w auch zeichnerisch darstellen. Bei gleichförmiger Drehung ist n ¼ konstant, also auch w ¼ pn ¼ konstant, und die jeweilige Umfangsgeschwindigkeit der einzelnen Umfangspunkte hängt vom Radius r ab. Man sagt auch: v u ist proportional r (v u r). Aus der zeichnerischen Darstellung ergibt sich, dass die Zahlenwerte der Umfangsgeschwindigkeit auf dem Einheitskreis und der Winkelgeschwindigkeit gleich groß sind. Zusammenhang zwischen Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit Zahlenwertgleichung für die Winkelgeschwindigkeit Da die Drehzahl n in der Technik meist in U/min ¼ 1/min angegeben wird, für die Winkelgeschwindigkeit w aber die Einheit rad/s ¼ 1/s üblich ist, arbeitet man gern mit der entsprechend zugeschnittenen Zahlenwertgleichung. Man erhält die Zahlenwertgleichung für w, indem man in die Größengleichung w ¼ pn die Umrechnungszahl aus 1 min ¼ 60 s aufnimmt und die Zahlenwerte kürzt. Mit p=30 1=10 erhält man eine Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit w und Drehzahl n, mit der schnell überschlägig gerechnet werden kann oder genaue Rechnungen kontrolliert werden können (Stellenzahlkontrolle). w ¼ p n 60 ¼ p n 30 w ¼ pn 30 w n 10 ¼ 0,1n 4..8 Baugrößen und Größen der Bewegung in Getrieben Getriebe übertragen eine Drehbewegung von einer Antriebswelle A auf eine Abtriebswelle B, meist bei gleichzeitiger Ønderung der Drehzahl n und damit auch der Winkelgeschwindigkeit w. Beim Riemengetriebe treibt ein Flach- oder Keilriemen durch Kraftschluss (nicht durch Formschluss wie beim Zahnradgetriebe) beide Scheiben mit gleicher Umfangsgeschwindigkeit v u ¼ v u1 ¼ v u Der geringfügige Schlupf wird vernachlässigt. Beispiel: Für n ¼ 1500 min 1 wird w ¼ pn 30 ¼ p rad ¼ s s n ¼ 1500 min 1 ) w 150 s 1 w 1 s v u1 ¼ v u pr 1 n 1 ¼ pr n pd 1 n 1 ¼ pd n ) n 1 ¼ d n d 1 n 1 min ¼ min 1 Riemengetriebe Beim Riemengetriebe verhalten sich Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Scheibendurchmesser. n 1 n ¼ w 1 w ¼ d d 1 d 1 und d sind die Baugrößen Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Baugrößen.

204 180 4 Dynamik Werden die beiden Scheiben aneinander gepresst, entsteht das Reibradgetriebe. Verzahnt man beide Scheiben, hat man ein Zahnradgetriebe, das die Drehbewegung durch Formschluss (Zähne) und daher schlupflos überträgt. Hier rollen die beiden (gedachten) Teilkreise aufeinander ab (Teilkreisdurchmesser d 1, d ). Für den Teilkreisdurchmesser kann das Produkt aus Zähnezahl und Modul gesetzt werden. Daher können die Teilkreisdurchmesser d 1, d auch durch die Zähnezahlen z 1, z ausdrückt werden. Beim Zahnradgetriebe verhalten sich die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Teilkreisdurchmesser und Zähnezahlen. Zahnradgetriebe v u1 ¼ v u pd 1 n 1 ¼ pd n d ¼ zm pz 1 mn 1 ¼ pz mn n 1 ¼ w 1 ¼ d ¼ z d 1, d, z 1, z sind die Baugrößen n w d 1 z 1 Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Baugrößen. Das folgende Bild zeigt die geometrischen Größen am geradverzahnten Stirnrad (ohne Profilverschiebung). Wichtigste Größe ist der Modul m, weil alle anderen Größen darauf bezogen werden. Sind Modul m und Zähnezahl z eines Zahnrades bekannt, können alle anderen Maße des Zahnrades berechnet werden. d Teilkreis- ¼ mz d b Grundkreis- ¼ d cos a d a Kopfkreis- ¼ d þ m d f Fußkreis- ¼ d,5m p Teilung ¼ s þ w ¼ pm m Modul ¼ p=p (genormt nach DIN 780 von 0, mm) a Eingriffswinkel (0 ) s Zahndicke ¼ p/ w Lückenweite ¼ p/ h a Zahnkopfhöhe ¼ 1m h f Zahnfußhöhe ¼ 1,5 m E L Eingriffslinie 4..9 Ûbersetzung i (Ûbersetzungsverhältnis) Der Begriff Ûbersetzung i ist festgelegt als Verhältnis (Quotient) von Antriebsdrehzahl n an zu Abtriebsdrehzahl n ab. Da sich die Baugrößen eines Getriebes umgekehrt wie die Drehzahlen und Winkelgeschwindigkeiten verhalten, kann man die Ûbersetzung i auch mit den Baugrößen ausdrücken. i ¼ n an ¼ n 1 ¼ w 1 n 1 ¼ w 1 =p n ab n w n ¼ w =p i ¼ n 1 n ¼ w 1 w ¼ d d 1 ¼ z z 1 Aufgaben Nr

205 4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 181 Besteht ein Zahnradgetriebe aus mehreren hintereinander geschalteten Räderpaaren, also auch aus mehreren Einzelübersetzungen, dann lässt sich aus den Einzelübersetzungen i 1 ; i ; i 3... die Gesamtübersetzung i ges bestimmen: Die Gesamtübersetzung i ges ist immer das Produkt der Einzelübersetzungen. Aus der Definition für i ¼ n an /n ab ergibt sich: Mehrfach- Ûbersetzung i > 1 ) Übersetzung ins,,langsame i < 1 ) Übersetzung ins,,schnelle i ges ¼ n an n ab ¼ i 1 i i 3... i n 4.3 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Drehbewegung Man versteht die Gesetze und Diagramme und auch das Verfahren zum Lösen von Aufgaben der Kreisbewegung leicht, wenn man sich der entsprechenden Gesetze erinnert, die in der allgemeinen Bewegungslehre entwickelt wurden. Denn das gilt grundsätzlich auch hier, nur muss jede Größe der allgemeinen Bewegung durch die entsprechende Kreisgröße ersetzt werden. Das nennt man den Analogieschluss Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen Allgemeine Größe mit Definitionsgleichung Einheit Kreisgröße mit Definitionsgleichung Einheit Zeitabschnitt Dt s Zeitabschnitt Dt s Wegabschnitt Ds m Drehwinkel Dj rad ¼ 1 Geschwindigkeit (v ¼ konstant) v ¼ Ds m Winkelgeschwindigkeit Dt s (w ¼ konstant) w ¼ Dj rad Dt s ¼ 1 s Geschwindigkeitsänderung Dv ¼ a Dt m Winkelgeschwindigkeitsänderung rad s Dw ¼ a Dt s ¼ 1 s Beschleunigung a ¼ Dv m Winkelbeschleunigung (Grundgleichung) Dt s a ¼ Dw rad (Grundgleichung) Dt s ¼ 1 s v, t-diagramm je nach Aufgabenstellung: w, t-diagramm je nach Aufgabenstellung: v v Δv=a Δt v-linie Δv = α Δ t v-linie v 0 A= Δs= v + v 0 t Δt v t v 0 A= Δϕ = v0 + vt Δt v t 0 Δt Beachte: Die Fläche A unter der v-linie entspricht dem Wegabschnitt Ds. t 0 Δt t Beachte: Die Fläche A unter der w-linie entspricht dem Drehwinkel Dj.

206 18 4 Dynamik 4.3. Winkelbeschleunigung a Bei der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Kreisbewegung muss die Ønderung der Winkelgeschwindigkeit Dw konstant bleiben (Dw ¼ konstant), wie im allgemeinen Fall Dv ¼ konstant war (Seite 150). Die Winkelgeschwindigkeitslinie im w, t-diagramm muss eine ansteigende oder abfallende Gerade sein. Wird ein Körper aus der Ruhelage heraus drehend gleichmäßig beschleunigt, so dass er nach Dt ¼ 6 s eine Momentan-Winkelgeschwindigkeit w t ¼ 9 rad=s besitzt, dann beträgt seine Winkelgeschwindigkeitszunahme in jeder Sekunde Dw ¼ 1,5 rad=s. Entsprechend der Beschleunigung a im allgemeinen Fall hat man für die Kreisbewegung die Winkelbeschleunigung a als Vergleichsgröße festgelegt: Die Winkelbeschleunigung a eines gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Körpers ist der Quotient aus der Winkelgeschwindigkeitsänderung Dw und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Winkelbeschleunigung ist ein Vektor. Vergleiche diese Definition mit Seite 151. Die Einheit der Winkelbeschleunigung a ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung für die Größe, hier also Radiant je Sekundequadrat (beachte: rad ¼ 1) Der Drehwinkel im w, t-diagramm Es muss noch nachgewiesen werden, dass für den Drehwinkel Dj im w, t-diagramm das Gleiche gilt wie für den Wegabschnitt Ds im v, t-diagramm (vergleiche mit Seite 151). Die Winkelgeschwindigkeit w ändert sich von w 0 ¼ 0 am Anfang auf w t am Ende des Zeitabschnittes Dt. Weil die Winkelgeschwindigkeitsänderung konstant ist, ergibt sich die mittlere Winkelgeschwindigkeit zu w m ¼ðw 0 þ w t Þ= und der überstrichene Drehwinkel zu Dj ¼ w m Dt ¼ w t Dt=. Das entspricht dem Flächeninhalt der Dreieckfläche unter der w-linie. Winkelbeschleunigung a, dargestellt im w, t-diagramm Hinweis: Vergleiche das w, t-diagramm mit dem v, t-diagramm auf Seite 150. Winkelgeschwindigkeitsänderung Dw a ¼ zugehöriger Zeitabschnitt Dt a ¼ Dw Dt Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Kreisbewegung rad ðaþ ¼ ðwþ ðtþ ¼ s s ¼ rad s ¼ 1 s ¼ s v v 0 =0 a Dw Dt rad s ¼ 1 rad s s ¼ 1 s s A= Δϕ = v0 + vt Δt v m 0 m v = v 0 t Δt Mittlere Winkelgeschwindigkeit w m

207 4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 183 In jedem w, t-diagramm entspricht die Fläche A unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem überstrichenen Drehwinkel Dj (A ¼b Dj). Fläche A ¼b Drehwinkel Dj Gilt für jede Drehbewegung Die Tangentialbeschleunigung a T Wird ein Körper drehend mit der Winkelbeschleunigung a bewegt, werden alle Körperpunkte in jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit der Tangentialbeschleunigung a T beschleunigt. Wie jede Beschleunigung ist auch a T ein Verhältnis von Geschwindigkeitsänderung und Zeitabschnitt. Hier handelt es sich um die Zunahme der Umfangsgeschwindigkeit Dv u ¼ Dw r. Damit ist über a T ¼ Dv u =Dt ¼ Dw r=dt ¼ ar die Verbindung zwischen Tangential- und Kreisgröße hergestellt. Das wurde auch schon für v u und w nachgewiesen (Seite 178, 4..7). a T ¼ Dv u Dt Zusammenhang zwischen Tangentialgrößen und Kreisgrößen ¼ Dw r Dt ¼ ar Tangentialgrößen (Umfangsgeschwindigkeit v u und Tangentialbeschleunigung a T ) ergeben sich aus den Kreisgrößen durch Multiplikation mit dem Radius r. a T ¼ ar a T a r m s rad s ¼ 1 s m Arbeitsplan zur Kreisbewegung (vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) w, t-diagramm aufzeichnen Als Erstes wird geprüft, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende w-linie) oder verzögert ist (fallende w-linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verläuft. Danach skizziert man das w, t-diagramm (unmaßstäblich). Als Beispiel wird eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit (w 0 6¼ 0) betrachtet. Δv v 0 v v-linie A= Δϕ = v0 + vt Δt vt 0 t Δt 1. Schritt

208 184 4 Dynamik Grundgleichung aufschreiben Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt. a ¼ Dw Dt ¼ w t w 0 Dt. Schritt Drehwinkelgleichungen aufschreiben Es ist bekannt, dass die Fläche A unter der w-linie dem überstrichenen Drehwinkel Dj entspricht. Je nach Flächenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen mit Dj, zunächst ohne Rücksicht darauf, ob für die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden. In der Praxis werden häufig alle Größen der Bewegung verlangt. Dj ¼ w 0 þ w t Dt 3. Schritt (Trapezfläche) Dw Dt Dj ¼ w 0 Dt þ ; Dw ¼ w t w 0 (Rechteckfläche þ Dreieckfläche) Dw Dt Dj ¼ w t Dt ; Dw ¼ w t w 0 (Rechteckfläche Dreieckfläche) Gleichungen auswerten Grundgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es genügen dann meistens die Grundgleichung und eine der Drehwinkelgleichungen zur Lösung. Angenommen es ist die Funktionsgleichung Dt ¼ f ðw 0, a, DjÞ gesucht. Dann sind w 0, a, Dj gegebene Größen. Der Zeitabschnitt Dt ist die gesuchte Größe. Wird die Gleichsetzungsmethode benutzt, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Drehwinkelgleichung nach w t auflösen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erhält man hier eine gemischtquadratische Gleichung (siehe Tabelle 4.3, Seite 185). Die analoge Gleichung wurde in (Seite 15) entwickelt. 4. Schritt Hinweis: Lösung nach dem Einsetzungsoder Gleichsetzungsverfahren. a ¼ w t w 0 ) w t ¼ w 0 þ a Dt Dt (Grundgleichung) Dj ¼ w 0 þ w t Dt ) w t ¼ Dj w 0 Dt (erste Drehwinkelgleichung) w 0 þ a Dt ¼ Dj w 0 Dt w 0 þ a Dt ¼ Dj Dt Dt a ðdtþ þ w 0 a Dt 1, ¼ w 0 a Dt ¼ f ðw 0, a, DjÞ Dj Dt a ¼ 0 r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w 0 þ Dj a a Aufgaben Nr

209 4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 185 Tabelle 4.3 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung v mit den Bezeichnungen der nebenstehenden w, t-diagramme. Einheiten Dj Dt w 0, w t a r v u a T rad rad rad s m m m s s s s v-linie vt Δϕ = vt 0 Δt t Beschleunigte Kreisbewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (w 0 ¼ 0) Δv v0 v v-linie Δϕ = v0 + vt Δt vt 0 Δt t Beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (w 0 6¼ 0) Winkelbeschleunigung a (Definition) Winkelbeschleunigung a (bei w 0 ¼ 0) Winkelbeschleunigung a (bei w 0 6¼ 0) Winkelgeschwindigkeitszunahme Dw a ¼ in rad Zeitabschnitt Dt s a ¼ w t Dt ¼ w t Dj ¼ Dj ðdtþ a ¼ w t w 0 Dt ¼ w t w 0 Dj Tangentialbeschleunigung a T Endwinkelgeschwindigkeit w t (bei w 0 ¼ 0) Endwinkelgeschwindigkeit w t (bei w 0 6¼ 0) Drehwinkel Dj (bei w 0 ¼ 0) a T ¼ ar ¼ Dw Dt r ¼ Dv u Dt p w t ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a Dj w t ¼ w 0 þ Dw ¼ w 0 þ a Dt p w t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w 0 þ a Dj Dj ¼ w t Dt ¼ aðdtþ ¼ w t a Drehwinkel Dj (bei w 0 6¼ 0) Zeitabschnitt Dt (bei w 0 ¼ 0) Dj ¼ w 0 þ w t Dt ¼ w 0 Dt þ aðdtþ Dj ¼ w t w 0 a Dt ¼ w t a ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dj a Zeitabschnitt Dt (bei w 0 6¼ 0) Dt ¼ w t w 0 ¼ w rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 a a w 0 þ Dj a a

210 186 4 Dynamik Tabelle 4.4 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tabelle gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden w, t-diagramme. v v v-linie Δv Einheiten Dj Dt w 0, w t a r v u a T rad s rad s rad s m m s m s v0 v-linie v0 Δt Δϕ = 0 Δt t Verzögerte Kreisbewegung ohne Endgeschwindigkeit (w t ¼ 0) v0 Δϕ = v0 + vt Δt vt 0 Δt t Verzögerte Kreisbewegung mit Endgeschwindigkeit (w t 6¼ 0) Winkelverzögerung a (Definition) Winkelverzögerung a (bei w t ¼ 0) Winkelverzögerung a (bei w t 6¼ 0) Tangentialverzögerung a T Winkelgeschwindigkeitsabnahme Dw a ¼ in rad Zeitabschnitt Dt s a ¼ w 0 Dt ¼ w 0 Dj ¼ Dj ðdtþ a ¼ w 0 w t Dt ¼ w 0 w t Dj a T ¼ ar ¼ Dw Dt r ¼ Dv u Dt Anfangswinkelgeschwindigkeit w 0 (bei w t ¼ 0) Endwinkelgeschwindigkeit w t Drehwinkel Dj (bei w t ¼ 0) p w 0 ¼ a Dt ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a Dj w t ¼ w 0 Dw ¼ w 0 a Dt p w t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w 0 a Dj Dj ¼ w 0 Dt ¼ aðdtþ ¼ w 0 a Drehwinkel Dj (bei w t 6¼ 0) Dj ¼ w 0 þ w t Dj ¼ w 0 w t a Zeitabschnitt Dt (bei w t ¼ 0) Dt ¼ w 0 a ¼ Zeitabschnitt Dt (bei w t 6¼ 0) Dt ¼ w 0 w t a rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dj a Dt ¼ w 0 Dt aðdtþ ¼ w r 0 a ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w 0 Dj a a

211 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) Das Trägheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton sches Axiom Nach den Gesetzen des freien Falls und der Bewegung der Körper auf der schiefen Ebene fand Galilei das Trägheits- oder Beharrungsgesetz, das später von Newton formuliert wurde: Galileo Galilei, ital. Mathematiker und Physiker, Isaac Newton, engl. Physiker, Begründer der Mechanik, Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe (v ¼ 0) oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung (v ¼ konstant), solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. Diese Körpereigenschaft heißt Trägheit oder Beharrungsvermögen. Beachte: Auch die Umkehrung gilt: Wirkt keine resultierende Kraft, dann ist auch v ¼ 0 oder v ¼ konstant. Ruhezustand und gleichförmig geradlinige Bewegung sind gleichwertig. In beiden Fällen wirkt keine resultierende Kraft (Betonung auf resultierende Kraft). Galilei leitete das Trägheitsgesetz gedanklich von seinen Erkenntnissen bei den Bewegungsvorgängen auf der schiefen Ebene ab: Aus der Höhe h rollt der Körper K von A nach O reibungsfrei herab. Bei O angekommen, p hat er eine bestimmte Geschwindigkeit (v ¼ ffiffiffiffiffiffiffi gh ). Leitet man den Körper von O aus auf die verschieden geneigten Bahnen OB oder OC, so wird er wieder genau bis zur Höhe h emporsteigen. Trägheitsgesetz Bleibt der Körper jedoch auf der horizontalen Bahn OD, wirkt jetzt keine zur Bahn parallele Komponente der Gewichtskraft auf ihn. Dann ist SF ¼ 0, d. h. die Gewichtskraft F G ist gleich der Stützkraft F N (Normalkraft). Wegen SF ¼ 0 und damit F res ¼ 0 muss der Körper mit konstanter Geschwindigkeit v auf seiner horizontalen Bahn geradlinig in Bewegung bleiben. Beachte: Ist die Summe aller Kräfte gleich null (SF ¼ 0), dann heißt das auch, dass keine resultierende Kraftwirkung vorhanden ist, also F res ¼ 0.

212 188 Die Zustände Ruhe und gleichförmig geradlinige Bewegung heißen auch Gleichgewichtszustände des Körpers, weil keine resultierende Kraft auf den Körper wirkt: 4 Dynamik Beispiel: Ein Körper, der mit v ¼ konstant eine schiefe Ebene abwärts gleitet, ist genauso im Gleichgewicht wie der auf horizontaler Ebene ruhende Körper: Ein Körper befindet sich dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller an ihm angreifenden äußeren Kräfte gleich null ist (SF ¼ 0). Man kann den vorstehenden Satz auch umkehren und sagen: Es wirkt immer dann eine resultierende Kraft F res auf einen Körper, wenn sich sein Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmig geradlinige Bewegung) ändert: Die resultierende Kraft F res ist die Ursache jeder Bewegungsänderung (nach Betrag und Richtung). Eine Bewegungsänderung liegt nicht nur dann vor, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit ändert (v 6¼ konstant), sondern auch dann, wenn sich ihre Richtung ändert, wie bei der gleichförmigen Bewegung eines Körpers auf der Kreisbahn (siehe Fliehkraft 4.9.7, Seite 41). Man findet auf der Erde keine Möglichkeit, einen Körper ohne äußere Kraftwirkung in gleichförmiger Bewegung zu halten, weil niemals die Reibungswiderstände der Bewegung (Unterlage, Wasser, Luft) ausgeschaltet werden können. Dadurch kommt jeder Körper, der sich bewegt, früher oder später zur Ruhe, wenn die Triebkraft fehlt, z. B. auch eine Stahlkugel, die über die Eisfläche eines Sees gestoßen wird. Rollwiderstand und Luftreibung ergeben hier eine bewegungsändernde resultierende Kraftwirkung, durch die die Kugel verzögert wird Masse, Gewichtskraft und Dichte Aus der Erfahrung weiß man, dass der Trägheitswiderstand eines Körpers umso größer ist, je mehr Materie er enthält. Umso größer muss auch die resultierende Kraft F res sein, wenn sein Bewegungszustand geändert werden soll. Beispiel: Das Beschleunigen (oder Abbremsen) eines Güterwagens erfordert eine erheblich größere resultierende Kraft als die gleiche Bewegungsänderung eines Fahrrades. Gleiche Bewegungsänderung heißt hier gleiche Beschleunigung a.

213 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 189 Als ein Maß für die Menge an Materie (z. B. Luftmenge, Wassermenge, Stahlmenge) wurde die Masse m eingeführt. Sie ist damit auch zugleich ein Maß für die Trägkeit des Körpers. Die gesetzliche und internationale Einheit der Masse m ist das Kilogramm (kg). 1 Gramm (g) ¼ 10 3 kg; 1000 g ¼ 1kg 1 Tonne (t) ¼ 10 3 kg; 1000 kg ¼ 1t Jeder Körper auf der Erde oder auf einem anderen Planeten unterliegt der Schwerkraft (Massenanziehungskraft). Diese Kraft nennt man Gewichtskraft (Formelzeichen: F G ). Sie kann mit der Federwaage am frei aufgehängten Körper gemessen werden. Die Masse m eines Körpers und seine Gewichtskraft F G sind zwei physikalische Größen verschiedener Art, man darf sie nicht miteinander verwechseln. Daher sollen beide Größen noch klarer voneinander abgegrenzt werden: Ein z. B. 1-kg-Wägestück (man sollte nicht Gewichtsstück sagen) behält überall auf der Erde auch auf anderen Planeten seine Materiemenge und damit auch die gleiche Trägheit. Dagegen ändert sich die Gewichtskraft F G des Wägestückes von der Masse m ¼ 1 kg bei jedem Ortswechsel. Das liegt an der Fallbeschleunigung g, die sich mit dem Ort ändert. Beispielsweise ist die Gewichtskraft des Kilogrammstücks auf der Sonnenoberfläche etwa 8mal so groß wie auf der Erde, während sie auf dem Mond nur etwa 1/6 der Erd-Gewichtskraft beträgt. Auch auf der Erde selbst bleibt die Gewichtskraft F G eines Körpers nicht überall gleich groß, weil sich die Fallbeschleunigung g bis zu 0,5% ändert, wenn man sie einmal an den Polen und zum anderen am Øquator misst. Zu internationalen Vergleichen hat man eine Normfallbeschleunigung g n festgelegt. Die zur Normfallbeschleunigung gehörende Gewichtskraft heißt Normgewichtskraft F Gn. Beachte: Viel Materie ¼ große Masse m ¼ große Trägheit. Wenig Materie ¼ kleine Masse m ¼ kleine Trägheit. Die Masse kann durch Wägung mit der Hebelwaage gemessen werden. Als gesetzliche Basiseinheit wurde dazu das Kilogramm (kg) eingeführt, dessen internationaler Kilogramm-Prototyp (ein Platin-Iridiumzylinder) im Internationalen Büro für Maße und Gewichte in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird. In DIN 1304 (Allgemeine Formelzeichen) wird F G als Formelzeichen für die Gewichtskraft empfohlen. Ein Körper hat viele physikalische Eigenschaften. Sie werden durch Größen verschiedener Art beschrieben, z. B. die Temperatur T, diewärmeleitfähigkeit l, und auch die Masse m und die Gewichtskraft F G. Die Gewichtskraft F G ändert sich mit dem Ort, die Masse m dagegen bleibt überall dieselbe. Hinweis: Den formalen Zusammenhang zwischen Masse m, Gewichtskraft F G und Fallbeschleunigung g zeigt das dynamische Grundgesetz für Gewichtskräfte auf Seite 191 unten. Beispiele: Normfallbeschleunigung (international festgelegt): g n ¼ 9,80665 m/s Fallbeschleunigung in Øquatornähe gä ¼ 9,78049 m/s Fallbeschleunigung in Polnähe g p ¼ 9,831 m/s

214 190 Die Masse m eines Körpers ist eine unveränderliche Größe, sie wird in kg gemessen. Die Masse ist ein Skalar. Die Gewichtskraft F G eines Körpers ist eine vom Ort abhängige Größe, sie wird in Newton (N) gemessen (siehe 4.4.4, Seite 19). Die Gewichtskraft ist (wie jede Kraft) ein Vektor. Die Aussage von der Unveränderlichkeit der Masse m eines Körpers gilt uneingeschränkt nur in der klassischen Mechanik. Das ist der Bereich für Geschwindigkeiten v, die wesentlich kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit c ¼ km/s. In der relativistischen Mechanik mit Geschwindigkeiten v in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit c ist die Masse m eines Körpers abhängig vom Geschwindigkeitsverhältnis v/c. Solche Fälle treten in der Technik nicht auf. Die Dichte r einer Materie ist der Quotient aus der Masse m und dem zugehörigen Volumen V. Die Einheit der Dichte ist daher auch der Quotient aus einer Masseneinheit und einer Volumeneinheit. Neben der Einheit kg/m 3 sind für die Dichte auch alle Einheiten zulässig, die als Quotient aus einer zulässigen Masseneinheit und einer zulässigen Volumeneinheit gebildet werden. Beispiel: Für einen Körper von der Masse m ¼ 1kg (z. B. das 1-kg-Wägestück) wird mit der Federwaage die Gewichtskraft F G ¼ 9,81 N festgestellt: In Erdnähe verhalten sich die Zahlenwerte der Masse m in kg und der Gewichtskraft F G in N etwa wie 1:10. Beachte: Masse m und Gewichtskraft F G sind Größen verschiedener Art. Die relativistische Mechanik geht auf Einsteins Relativitätstheorie zurück. Hier gilt für die Masse m eines Körpers: m 0 m 0 Ruhemasse m ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 v v Geschwindigkeit des Körpers c c Lichtgeschwindigkeit Beispiel: Für einen Körper mit der Masse m ¼ 1000 kg und der Geschwindigkeit v ¼ 0,9 c wird die Masse m 0 m ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 0,9 c ¼ c Dichte r ¼ Masse m Volumen V r ¼ m V Beispiele: kg kg dm 3; cm 3; r m V kg m 3 kg m 3 g cm 3 4 Dynamik 1000 kg ¼ 94 kg 0, Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton sches Axiom Nach dem Trägheitsgesetz wird ein Körper dann beschleunigt, verzögert oder zu einer Richtungsänderung gezwungen, wenn auf ihn eine resultierende Kraft F res wirkt, d. h. wenn sich bei der zeichnerischen oder rechnerischen Zusammenfassung aller äußeren Kräfte (Kräftereduktion) eine resultierende Kraft F res ergibt. Lageskizze Kräfteplan Der Körper wird durch F res ¼ F z F R (Zugkraft minus Reibungskraft) in horizontaler Richtung beschleunigt.

215 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 191 Newton entdeckte, dass der Betrag der resultierenden Kraft F res von der Masse m des Körpers und von der Beschleunigung a (oder Verzögerung a) abhängt. Jeder Versuch bestätigt dieses wichtigste Gesetz der Dynamik: Die drei Newton schen Axiome: Trägheitsgesetz, Dynamisches Grundgesetz, Wechselwirkungsgesetz (actio gleich reactio). Die auf einen Körper von der Masse m einwirkende konstante resultierende Kraft F res ist gleich dem Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung (Verzögerung) a des Körpers. resultierende Kraft F ¼ Masse m Beschleunigung res a F res ¼ ma Dynamisches Grundgesetz F res m a N ¼ kg m s kg m s Die Krafteinheit N (Newton) wird im folgenden Abschnitt erläutert. Man erkennt, dass das Trägheitsgesetz (erstes Newton sches Axiom) im dynamischen Grundgesetz enthalten ist, denn für F res ¼ 0 ist auch a ¼ 0, d. h. der Körper wird weder beschleunigt noch verzögert. Hinweis: Ist ein Produkt gleich null, dann muss einer der Faktoren null sein; bei F res ¼ ma ¼ 0 kann nur a ¼ 0 sein, weil m ¼ 0 nicht möglich ist. Bei a ¼ 0 ruht der Körper oder er bewegt sich geradlinig gleichförmig (v ¼ konstant). Beide Zustände sind gleichwertig. Der frei fallende Körper wird mit der Fallbeschleunigung g in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt (beim senkrechten Wurf entsprechend verzögert). Die auf den Körper einwirkende resultierende Kraft ist die Gewichtskraft F G ¼ F res. Damit kann die Gewichtskraft F G eines Körpers aus seiner Masse m (auf der Hebelwaage gewogen) und der örtlichen Fallbeschleunigung g bestimmt werden. Vielfach kann man mit g ¼ 10 m/s rechnen. In diesem Buch und in der Aufgabensammlung wurde mit g ¼ 9,81 m/s gerechnet. Für F res wird die Gewichtskraft F G und für die Beschleunigung a die Fallbeschleunigung g in das dynamische Grundgesetz eingesetzt: Gewichtskraft F ¼ Masse m Fallbeschleunigung G g F G ¼ mg Dynamisches Grundgesetz für Gewichtskräfte F G m g N ¼ kg m s kg m s Die Normgewichtskraft F Gn ist das Produkt aus der Masse m und der Normfallbeschleunigung g n (siehe Seite 189). F Gn ¼ mg n Normgewichtskraft

216 19 4 Dynamik Die gesetzliche und internationale Einheit für die Kraft Die Einheit einer physikalischen Größe erhält man immer über die Definitionsgleichung für die jeweilige Größe. Für die Kraft F ist die Definitionsgleichung das dynamische Grundgesetz F res ¼ ma. Die Einheit der Masse m ist gesetzlich und international als die Basiseinheit Kilogramm kg festgelegt worden. Die Einheit für die Beschleunigung a liegt ebenfalls mit Meter je Sekundequadrat m/s fest. Also muss die Krafteinheit das Produkt dieser beiden Einheiten sein: ðfþ ¼ðmÞðaÞ ðfþ ¼kg m s ¼ kg m s ¼ Newton ðnþ 1N¼1 kg m s ¼ 1kgms Die Form kg m s wird als Potenzprodukt von Basiseinheiten bezeichnet, hier der Basiseinheiten kg, m, s (Kilogramm, Meter, Sekunde). 1 Newton (N) ist diejenige resultierende Kraft, die einem Körper von der Masse m ¼ 1kgdie Beschleunigung a ¼ 1 m/s erteilt. Zur Veranschaulichung: Hängt man eine 100-g-Tafel Schokolade an einem Faden auf, dann beträgt die Zugkraft im Faden etwa 1 Newton. Als Krafteinheit ist das Newton natürlich auch die Einheit der Gewichtskraft F G Ûbungen zum dynamischen Grundgesetz 1. Ûbung: Ein Mann stellt sich auf die Waage. Der Zeiger bleibt bei 75 kg stehen. Welche physikalische Bedeutung hat diese Anzeige?. Ûbung: An einem Kranhaken hängt ein Körper von der Masse m ¼ 000 kg. Er soll beim Heben mit 0,3 m/s beschleunigt werden. Welche Zugkraft F z hat das Seil aufzunehmen? Lösung: Man zeichnet die Lageskizze (Körper freigemacht). Beschleunigung a und Geschwindigkeit v werden in Klammern eingetragen, um sie deutlich von den Kräften zu unterscheiden. Dann zeichnet man die Kräfteskizze. Aus der Statik ist bekannt, dass die Resultierende vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E der äußeren Kräfte zeigt (statischer Teil der Aufgabe): Im ersten Schritt verschafft man sich am freigemachten Körper Klarheit über den Richtungssinn der resultierenden Kraft F res. Der Mann besitzt die Masse m ¼ 75 kg und damit die Normgewichtskraft: F Gn ¼ mg n ¼ 75 kg 9,80665 m s F Gn ¼ 735,5 kg m s ¼ 735,5 N Gegeben: m ¼ 000 kg a ¼ 0,3 m s g ¼ 9,81 m s Gesucht: Seilkraft F z Lageskizze Kräfteskizze 1. Schritt Hinweis: Als positiven Richtungssinn legt man den Richtungssinn von F res fest, weil dann a immer positiv wird: F res ¼ F z F G ¼ F z mg

217 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 193 Nachdem man die Beziehung für die resultierende Kraft F res gefunden hat, setzt man sie in die Gleichung für das dynamische Grundgesetz ein (kinetischer Teil der Aufgabe): Im zweiten Schritt setzt man F res mit dem Produkt ma gleich; bei mehreren Teilkörpern gleicher Beschleunigung muss die Gesamtmasse m ges eingesetzt werden. In manchen Aufgaben ist die Beschleunigung a nicht direkt gegeben, sondern muss erst aus anderen Größen bestimmt werden (kinematischer Teil der Aufgabe): Im dritten Schritt ermittelt man nach (Seite 15) eine Beziehung für die Beschleunigung a, wenn sie nicht schon gegeben ist. Zum Schluss braucht man nur noch alle statischen, kinetischen und kinematischen Lösungsansätze algebraisch auszuwerten: Im vierten Schritt bestimmt man aus den entwickelten Gleichungen die unbekannten Größen nach den mathematischen Gesetzen. 3. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug von der Masse m ¼ 1000 kg soll auf horizontaler Bahn auf einer Strecke von 100 m bis zum Stillstand abgebremst werden. Die Geschwindigkeit beträgt 7 km/h, der Fahrwiderstand (Summe aller Reibungswiderstände) des Fahrzeugs beträgt F w ¼ 500 N. Zu bestimmen ist die Bremskraft F b. Lösung: Man fertigt als Erstes wieder die Skizze des freigemachten Körpers an (Lageskizze): Gewichtskraft F G und Normalkraft F N wirken in y-richtung (SF y ¼ 0). In x-richtung werden Bremskraft F b und Fahrwiderstand F w nach links wirkend eingetragen. Man nimmt an, dass sich das Fahrzeug von links nach rechts bewegt. Die Verzögerung a ist dann nach links gerichtet, ebenso wie die resultierende Kraft F res, die sich nach der Kräfteskizze als Summe von F b und F w ergeben muss (SF x 6¼ 0). Das Ergebnis des ersten Schrittes ist also F res ¼ F b þ F w. F res ¼ F z mg ¼ ma. Schritt 3. Schritt In der vorliegenden Aufgabe ist die Beschleunigung a ¼ 0,3 m/s schon bekannt. F res ¼ ma ¼ F z mg 4. Schritt F z ¼ maþ mg ¼ mða þ gþ F z ¼ 000 kg 0,3 m s þ 9,81 m s F z ¼ 0 0 kg m s ¼ 0, kn Gegeben: Gesucht: Lageskizze m ¼ 1000 kg Ds ¼ 100 m v ¼ 7 km h ¼ 7 3,6 F w ¼ 500 N F b (Bremskraft) m s ¼ 0 m s 1. Schritt Kräfteskizze (zwei Möglichkeiten gezeichnet)

218 194 Im zweiten Schritt wird wieder F res und das Produkt ma gleichgesetzt. Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung a zu bestimmen (kinematischer Lösungsteil). Dazu wird der schon bekannte Lösungsplan nach 4.1.5, Seite 15 benutzt, der hier verkürzt wiedergegeben wird: v; t-diagramm, Grundgleichung, Weggleichung, Auswertung der Gleichungen (a ¼ v = Ds). Es kann die gefundene Gleichung für a in die weitere Rechnung übernommen werden oder es wird der Betrag berechnet. Im letzten Schritt wertet man die entwickelten Gleichungen aus und stellt die Gleichung F b ¼ f ðm, v, Ds, F w Þ auf, mit der man dann noch den Betrag der Bremskraft berechnet. Vor dem Rechnen sollte immer wieder geprüft werden, ob die Einheiten stimmen : Da rechts vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, müssen beide die gleiche Einheit führen. Das erste Glied hat die Einheit kg m/s ¼ N, die gleiche Einheit wie das zweite Glied. F res ¼ F b þ F w ¼ ma. Schritt a ¼ Dv Dt ¼ v Dt ) Dt ¼ v 3. Schritt a v Ds ¼ v Dt v ¼ a ¼ v v a m a ¼ v 0 Ds ¼ s 100 m ¼ m s A= Δs Δt F b þ F w ¼ ma F b þ F w ¼ m v Ds F b ¼ mv Ds F w F b ¼ f ðm, v, Ds, F w Þ F b ¼ 4 Dynamik Δv =v 0 t 4. Schritt 1000 kg 400 m s 500 N ¼ 1500 N 100 m Prinzip von d Alembert Das d Alembert sche Prinzip führt zu einem Lösungsverfahren für Dynamikaufgaben, das die meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste Aufgaben durchsichtig macht. Der Grundgedanke des d Alembert schen Prinzips ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Kräfteskizzen zu den beiden letzten Ûbungen betrachtet werden. In beiden Fällen erhält man sofort einen geschlossenen Kräftezug, wenn man nur den Richtungssinn der resultierenden Kraft F res umkehrt. Das ist der Kunstgriff, der die Möglichkeit schafft, die zeichnerischen und rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe wird eine Statikaufgabe gemacht. Man möchte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn von F res umgekehrt werden darf und welche Bedeutung das hat. d Alembert, französischer Gelehrter, Beachte: Auch das Prinzip von d Alembert beruht auf dem dynamischen Grundgesetz. a) Kräftepläne zum dynamischen Grundgesetz b) Kräftepläne zum d Alembert schen Prinzip (geschlossen)

219 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 195 Nach dem dynamischen Grundgesetz wird jeder Körper in Pfeilrichtung der resultierenden Kraft beschleunigt. F res ist also ausschließlich dazu erforderlich, die dem Körper innewohnende Trägheit zu überwinden. Die Trägheit äußert sich als eine Kraft, die sich der Beschleunigung widersetzt. Diese Trägheitskraft T ist immer genauso groß wie F res, aber von entgegengesetztem Richtungssinn. Wächst F res (Beschleunigung a wird größer), dann wächst in gleichem Maß auch die Trägheitskraft T, denn F res ist nur deshalb aufzubringen, weil T vorhanden ist und umgekehrt. Hinweis: Man wählt für die Trägheitskraft das Zeichen T, weil es sich nicht um eine äußere Kraft handelt: Der Körper bringt sie aus sich heraus hervor. Die Trägheitskraft T wird durch die Masse m des Körpers hervorgerufen, daher wird sie immer im Körperschwerpunkt S angetragen. Weil beide Kräfte F res und T immer gleich groß sind, auf gleicher Wirklinie liegen und entgegengesetzten Richtungssinn haben, muss ihre geometrische Summe gleich null sein. F res T ¼ 0 Da der Betrag von F res nach dem dynamischen Grundgesetz gleich ma ist, darf man auch für die Trägheitskraft T ¼ ma setzen. Trägheitskraft T ¼ ma Resultierende Kraft F res und Beschleunigung a (Verzögerung) haben immer gleichen Richtungssinn. Die Trägheitskraft T wirkt der resultierenden Kraft F res entgegen. Folglich gilt auch: Die Trägheitskraft T ist immer der Beschleunigung a (oder Verzögerung a) entgegengesetzt gerichtet. Ist der Richtungssinn der Beschleunigung a (Verzögerung) bekannt, kennt man auch den Richtungssinn von T ¼ ma: entgegengesetzt zu a. Werden jetzt noch einmal die beiden Kräftepläne betrachtet, dann erkennt man mit d Alembert: Wird ein Körper beschleunigt (verzögert), so kann man durch Einführung der Trägheitskraft T ¼ ma für den Körper die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzen, um damit unbekannte Größen zu bestimmen. Beachte: Mit Hilfe des Prinzips von d Alembert wird aus einer Ungleichgewichtsaufgabe eine Gleichgewichtsaufgabe, die nach den Gesetzen der Statik zeichnerisch oder rechnerisch gelöst werden kann.

220 196 4 Dynamik Arbeitsplan zum Prinzip von d Alembert Körper freimachen (Lageskizze) Beschleunigungsrichtung eintragen Trägheitskraft T ¼ ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigung eintragen (im Schwerpunkt angreifend) Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Trägheitskraft T ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt Wie beim Lösen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein, zusätzlich nach dem Lösungsplan (Seite 15) die Beschleunigung (Verzögerung) a zu bestimmen. Aufgaben Nr Ûbungen zum Prinzip von d Alembert 1. Ûbung: Wie groß muss die Anzugskraft F des Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse m ¼ 1000 kg mit der Beschleunigung a ¼ 1,6 m/s nach oben befördert werden soll? Gegeben: Gesucht: m ¼ 1000 kg a ¼ 1,6 m s g ¼ 9,81 m s F ¼ f ðm, a, gþ Lösung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei äußere Kräfte an: Die Anzugskraft F im Seil und die Gewichtskraft F G. Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf zu achten, dass Trägheitskraft T und Beschleunigung a immer entgegengesetzten Richtungssinn erhalten. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt Im vierten Schritt können entweder die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier also SF y ¼ 0, oder es wird das geschlossene Krafteck zur zeichnerischen Lösung entwickelt. Hier wird die Funktionsgleichung F ¼ f ðm, a, gþ aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 gewonnen und die zeichnerische Lösung skizziert. SF y ¼ 0 ¼ F F G T F F G T ¼ 0 F mg ma ¼ 0 F ¼ mðg þ aþ F ¼ f ðm, a, gþ 4. Schritt F ¼ 1000 kgð9,81 þ 1,6Þ m ¼ 11,41 kn s

221 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 197 Lehrbeispiel: Prinzip von d Alembert Aufgabenstellung: Ein Lkw fährt mit v ¼ 60 km/h. Er ist mit einem Kessel beladen, der nur gegen seitliches Rollen gesichert ist. Reibungszahlen zwischen Kessel und Lkw : m 0 ¼ 0,3; m ¼ 0,5 Masse des Kessels m ¼ 8000 kg. a) Welcher kürzeste Bremsweg ist möglich, ohne dass die Last ins Rutschen kommt? Lösung: (a ) F R0 max = FN m0 F G = mg T=ma F N Soll kein Rutschen auftreten, so muss unter Berücksichtigung der Trägheitskraft T sein: SF y ¼ 0 ¼ F N F G F N ¼ F G SF x ¼ 0 ¼ F R0 max þ T F R0 max ¼ T ¼ ma F R0 max ¼ F N m 0 ¼ F G m 0 ¼ mg m 0 a ¼ F R0 max m ¼ mg m 0 m ¼ m 0 g ¼ 0,3 9,81 m s ¼,943 m s Lageskizze v Dem Weg Ds entspricht im v, t-diagramm eine Dreieckfläche. Damit erhält man die Weggleichung Ds ¼ v Dt=, in die aus der Grundgleichung für den Zeitabschnitt Dt ¼ v=a eingesetzt wird : Ds ¼ v Dt a ¼ v Dt ) Dt ¼ v a eingesetzt v A=Weg s t t a ¼ Dv Dt ¼ v Dt Ds ¼ v Dt v v Ds ¼ a ¼ v a 60 m 3,6 s Ds ¼,943 m ¼ 47,193 m s Der Bremsweg darf nicht kleiner als 47,193 m sein. b) Der Lkw wird gleichmäßig gebremst und kommt nach 5 m zum Stehen. Wie groß ist die Kraft F, die der Kessel auf die Stirnwand ausübt? Lösung: (a ) T=ma F R = FNm F N F G = mg Lageskizze F a ¼ v Ds ¼ v Dt Ds ) Dt ¼ Dt v eingesetzt 60 m a ¼ v Ds ¼ 3,6 s 5 m ¼ 5,556 m s SF y ¼ 0 ¼ F N F G F N ¼ F G ¼ mg SF x ¼ 0 ¼ T F F R F ¼ T F R ¼ ma F N m F ¼ ma mgm ¼ mða gmþ F ¼ 8000 kg ð5,556 9,81 0,5Þ m kg m ¼ 4 88 s s F ¼ 4 84 N 4,8 kn Die Kraft auf die Stirnwand beträgt 4,8 kn.

222 198 4 Dynamik. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a ¼ 30 zur Horizontalen liegt ein Körper von der Masse m 1. Ûber Seil und Rolle ist er mit einem zweiten Körper von der Masse m ¼ 1,5m 1 verbunden. Die Reibungszahl beträgt m ¼ 0,. Rolle und Seil sind masselos und reibungsfrei gedacht. Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die beiden Körper? Gegeben: m 1 m ¼ 1,5m 1 a ¼ 30 m ¼ 0, g ¼ 9,81 m s Gesucht: a ¼ f ðm, m, a, gþ Lösung: Man schneidet das Seil gedanklich durch und fertigt für beide Körper die Lageskizze an. Da Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sein sollen, muss die Seilkraft F an jeder Stelle des Seils gleich groß sein; man braucht also nicht zwischen F 1 und F zu unterscheiden Schritt Lageskizze Lageskizze für Körper 1 für Körper Aus der zweiten Gleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 für Körper 1 folgt F N ¼ F G1 cos a. Diesen Ausdruck braucht man für die Reibungskraft F R ¼ F N m ¼ F G1 cos am in der Gleichgewichtsbedingung SF x ¼ 0, die nach F auflöst wird. Für F G1 setzt man m 1 g ein, für die Trägheitskraft T 1 ¼ m 1 a. 4. Schritt SF x ¼ 0 ¼ F F R F G1 sin a T 1 SF y ¼ 0 ¼ F N F G1 cos a ) F N ¼ F G1 cos a F ¼ F R þ F G1 sin a þ T 1 ¼ F N m þ F G1 sin a þ T 1 F ¼ F G1 cos amþ F G1 sin a þ T 1 F ¼ m 1 gm cos a þ m 1 g sin a þ m 1 a F ¼ m 1 ðgm cos a þ g sin a þ aþ Für den Körper ist nur die Gleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 anzusetzen. Daraus findet man eine zweite Gleichung für die Seilkraft F. SF y ¼ 0 ¼ F þ T F G ; F ¼ m g m a ¼ m ðg aþ T ¼ m a Zum Schluss werden beide Gleichungen für die Seilkraft F einander gleich gesetzt. Als Vereinfachung bietet sich hier an, mit dem Verhältnis der beiden Massen zu arbeiten. Man setzt also k ¼ m /m 1 und löst die Gleichung nach der gesuchten Beschleunigung a auf. m 1 ðgm cos a þ g sin a þ aþ ¼m ðg aþ m m 1 ¼ gm cos a þ g sin a þ a ¼ k g a kg ka ¼ gð m cos a þ sin aþþa að1 þ kþ ¼gðk m cos a sin aþ a ¼ g a ¼ f ðk, g, m, aþ k m cos a sin a k þ 1

223 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 199 Bei dem gegebenen Neigungswinkel von 30 ergibt sich eine Beschleunigung a ¼ 3,44 m/s. Verkleinert man den Neigungswinkel a, dann ändert sich auch die Beschleunigung, und zwar müsste sie nach der Erfahrung größer werden. Für a ¼ 0würde z. B. sin a ¼ 0und m cos a ¼ 0, 1 ¼ 0, und damit a ¼ 1,3g=,5 ¼ 5,101 m=s. Aufgaben dieser Art kann man auch lösen, ohne die beiden Körper voneinander zu trennen. Trotzdem sollten vorher die Lageskizzen wie oben angefertigt werden, damit die Gewichtskraftkomponenten klar erkannt und tatsächlich alle Kräfte erfasst werden. a ¼ 9,81 m s 1,5 0, cos 30 sin 30 1,5 þ 1 a ¼ 3,44 m s a) Man kann dabei nach Bild a) vorgehen und danach die Gleichgewichtsbedingung SF x ¼ 0 ansetzen. Am einfachsten wird der Ansatz zur Lösung, wenn man beide Körper sofort zu einem zusammenfasst (m ges ¼,5m) Bild b). Das ist richtig, weil beide Körper der gleichen Beschleunigung unterliegen. Aber auch hier sollte man von den beiden Lageskizzen der ersten Lösung ausgehen, um klare Verhältnisse zu schaffen. Das gilt vor allem für den richtigen Ansatz für die Reibungskraft F R ¼ F N m, worin F N durch F G1 cos a ersetzt werden muss Schritt b) Ansatz nach Lageskizze b): 4. Schritt SF x ¼ 0 ¼ F G T F G1 sin a F N m F G1 ¼ mg; F G ¼ 1,5mg F N ¼ F G1 cos a ¼ mgcos a 1,5mg,5ma mgsin a mgcos am ¼ 0 1,5g,5a g sin a gm cos a ¼ 0,5a ¼ gð1,5 m cos a sin aþ ¼0 a ¼ g,5 ð1,5 m cos a sin aþ ¼3,44 m s 3. Ûbung: Ein Transportband soll die Last von der Masse m nach oben befördern. Das Band ist unter dem Winkel a ¼ 0 zur Waagerechten geneigt. Die Haftreibungszahl beträgt m 0 ¼ 0,4. Gegeben: a ¼ 0 m 0 ¼ 0,4 g ¼ 9,81 m s Gesucht ist die höchstzulässige Bandbeschleunigung a max, bei der ein Rutschen der Last gerade noch vermieden wird. Gesucht: a max ¼ f ða, m 0, gþ

224 00 4 Dynamik Lösung: Die Lageskizze enthält alle am Körper angreifenden Kräfte einschließlich der Trägheitskraft T ¼ ma max. Da der Körper nach rechts oben beschleunigt wird, wirkt die Trägheitskraft T nach links unten. Die Haftreibungskraft F R0 max nimmt den Körper nach oben mit. Sie muss also den entsprechenden Richtungssinn erhalten. Nach der Lageskizze werden die beiden Gleichgewichtsbedingungen für das zentrale Kräftesystem angesetzt. Aus SF y ¼ 0 findet man die Beziehung für die Normalkraft F N,für F G wird wie üblich das Produkt aus Masse m und Fallbeschleunigung g eingesetzt, ebenso für T ¼ ma max. Damit erhält man die gesuchte Gleichung und kann a max berechnen. Lageskizze Schritt 4. Schritt SF x ¼ 0 ¼ F R0 max F G sin a T SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a ) F N ¼ F G cos a F R0 max ¼ F N m 0 ¼ F G cos am 0 ¼ mgm 0 cos a SF x ¼ 0 ¼ mgm 0 cos a mgsin a ma max a max ¼ gðm 0 cos a sin aþ a max ¼ 0,33 m s a ¼ f ða, m 0, gþ Bisher wurden die Aufgaben mit Hilfe der rechnerischen (analytischen) Gleichgewichtsbedingungen gelöst. Natürlich kann diese Aufgabe auch trigonometrisch gelöst werden. Man beginnt die Krafteckskizze mit F N und F R0 max, die man zu F e zusammensetzt, um damit das geschlossene Krafteck aus F e, T und F G zu zeichnen. Krafteckskizze Nun wird der Sinussatz angesetzt und dabei beachtet, dass man für sin ð90 r 0 Þ den Funktionswert cos r 0 einsetzen kann. Die Gewichtskraft F G wird durch F G ¼ mg ausgedrückt, ebenso die Trägheitskraft T durch T ¼ ma max. Die Gleichung wird durch die Masse m dividiert und nach a max aufgelöst. Die Rechnung führt zum gleichen Ergebnis, obwohl die Gleichung eine andere Form besitzt. Es wird hier gezeigt, wie die erste Gleichung in die zweite überführt werden kann. Dazu ersetzt man zunächst die Haftreibungszahl m 0 durch den Tangens des Reibungswinkels. Zur Vereinfachung schreibt man a max ¼ a. T sin ðr 0 aþ ¼ F G sin ð90 r 0 Þ ¼ F G cos r 0 ma max sin ðr 0 aþ ¼ mg cos r : m 0 a max ¼ g sin ðr 0 aþ cos r a max ¼ 0,33 m 0 s a max ¼ f ða, r 0, gþ a ¼ gðm 0 cos a sin aþ m 0 ¼ tan r 0 ¼ sin r 0 cos r 0 sin r a ¼ g 0 cos a sin a cos r 0

225 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 01 Die beiden Glieder in der Klammer bringt man auf den Hauptnenner cos r 0, indem sin a mit 1 ¼ cos r 0 =cos r 0 erweitert wird. Dadurch erhält man über dem Bruchstrich einen zweigliedrigen Ausdruck, der nach den trigonometrischen Regeln durch sin ðr 0 aþ ersetzt werden kann (siehe Handbuch Maschinenbau: Additionstheoreme, Summenformeln). Das Ziel ist erreicht. sin r a ¼ g 0 cos a sin a cos r 0 cos r 0 cos r 0 a ¼ g sin r 0 cos a cos r 0 sin a cos r 0 a ¼ g sin ðr 0 aþ cos r fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 0 zweite Form ¼ gðm 0 cos a sin aþ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} erste Form Impuls (Bewegungsgröße) und Impulserhaltungssatz Es ist möglich das dynamische Grundgesetz in eine andere Form zu bringen. Dazu schreibt man für die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders für Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt. F res ¼ ma a ¼ Dv Dt F res ¼ m Dv Dt Dt F res Dt ¼ m Dv Dt ¼ t t 1 Dv ¼ v v 1 F res ðt t 1 Þ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} Dt ¼ m ðv v 1 Þ fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} Dv gilt für F res ¼ konstant Das Produkt aus der resultierenden äußeren Kraft F res und dem Zeitabschnitt Dt heißt Kraftstoß. Das Produkt aus der Masse m eines Körpers und seiner Geschwindigkeit v wird als Impuls oder Bewegungsgröße bezeichnet: F res Dt mv Kraftstoß der resultierenden Kraft Impuls (Bewegungsgröße) des Körpers Die Ønderung des Impulses eines Körpers ist gleich dem Kraftstoß der resultierenden Kraft während des betrachteten Zeitabschnitts Dt. Der Impuls ist ein Vektor. F res Dt ¼ mv mv 1 Ist die Resultierende F res aller äußeren Kräfte gleich null (kräftefreies System), dann ist auch der Kraftstoß F res Dt gleich null: Bei F res ¼ 0 bleibt der Impuls eines Körpers unverändert (mv ¼ konstant). F res Dt ¼ mv mv 1 ¼ 0 mv ¼ mv 1 ¼ konstant Impulserhaltungssatz Der Impulserhaltungssatz wird beim physikalischen Vorgang Stoß und in der Hydrodynamik angewendet (siehe 4.8, Seite 3).

226 0 4 Dynamik Ûbung: Ein Hobelmaschinentisch mit Werkstück besitzt die Masse m ¼ kg. Er wird aus einer Schnittgeschwindigkeit von 80 m/min in 0,5 s bis zum Stillstand gleichmäßig abgebremst. Wie groß muss die Bremskraft F b sein, wenn von Reibungskräften abgesehen wird? Gegeben: Gesucht: m ¼ kg v ¼ 80 m min ¼ Dt ¼ 0,5 s F b ¼ f ðm, v, DtÞ m s Lösung: Ohne Berücksichtigung der Reibungskraft ist F res ¼ F b. Da die Endgeschwindigkeit v t ¼ 0 sein soll, ist Dv ¼ v 0 v t ¼ v 0 0 ¼ v 0 ¼ v, womit sich sofort die Gleichung für die Bremskraft F b ¼ f ðm, v, DtÞ ergibt. Aufgaben Nr F res ¼ F b F b Dt ¼ m Dv F b ¼ mv Dt F b ¼ f ðm, v, DtÞ Dv ¼ v 14, kg 80 F b ¼ 60 0,5 s F b ¼ 3900 N m s 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Arbeit W einer konstanten Kraft F Soll der skizzierte Wagen längs eines Weges s gezogen (oder geschoben) werden, muss dazu eine Kraft F in Richtung des Weges wirken. Ihren Betrag kann man z. B. mit einer Federwaage messen. Zunächst wird angenommen: Die Kraft F wirkt exakt in Richtung des Weges, also nicht etwa schräg nach oben oder unten, und ihr Betrag bleibt während des Vorgangs gleich groß (F ¼ konstant). Um den physikalischen Aufwand bei solchen Vorgängen vergleichen zu können, hat man den Begriff der Arbeit W geschaffen: Die Arbeit W einer konstanten Kraft F ist das Produkt aus Kraft F und Verschiebeweg s (Arbeit gleich Kraft mal Weg). Die Arbeit ist ein Skalar. Die Einheit für die Arbeit erhält man aus der Definitionsgleichung W ¼ Fs. Die gesetzliche und internationale Einheit der Arbeit W ist das Joule J. Kraftwirkung längs eines Weges ist die Arbeit W Hinweis: Im Unterschied z. B. zur elektrischen Arbeit spricht man bei Kräften auch von mechanischer Arbeit. W ¼ Fs Definitionsgleichung der mechanischen Arbeit W F s Nm ¼ J N m 1Nm¼ 1J¼ 1Ws Nm Newtonmeter Ws Wattsekunde ðwþ ¼ðFÞðsÞ ¼Nm ¼ ¼ kg m kg m s m ¼ s ¼ J Die Einheit Joule wurde nach dem Physiker J. P. Joule ( ) benannt. Aussprache: dschul.

227 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 03 1 Joule (Kurzzeichen J) ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft 1 Newton (1 N) in Richtung der Kraft um den Weg 1 m verschoben wird (1 J ¼ 1 Nm). Im Ergebnis einer Rechnung wird nicht mehr das Newtonmeter (Nm) als Einheit eingesetzt, sondern das Joule (J). Es wurde für die mechanische Arbeit, die elektrische Arbeit, die Wärmemenge und die Energie die gleiche Einheit festgelegt, das Joule (J), weil es sich um physikalische Größen gleicher Art handelt. 1 Joule ðjþ ¼1Nm¼ 1 kg m s ¼ 1m kg s Zur Veranschaulichung: Hebt man eine 100-g-Tafel Schokolade 1 m hoch, dann hat man an der Tafel die Arbeit von etwa 1 Joule aufgebracht. Beispiel: Ein Auto wird mit der konstanten Kraft F ¼ 300 N parallel zur Fahrbahn gezogen. Der Verschiebeweg beträgt s ¼ 15 m. Dann gilt für die mechanische Arbeit: W ¼ Fs ¼ 300 N 15 m ¼ Nm ¼ J Bei schräg am Körper angreifenden Kräften werden häufig Fehler gemacht. Zur Berechnung der aufgebrachten Arbeit W darf man in solchen Fällen nur die Kraftkomponente einsetzen, die tatsächlich Arbeit verrichtet. Das ist immer nur die in Bewegungsrichtung fallende Kraftkomponente, hier die Kraft F cos a. Die zweite Komponente F sin a drückt den Körper auf seine Unterlage, ohne ihn zu verschieben. Mit ihr wird also keine Arbeit im Sinn der Begriffsbestimmung aufgebracht: Fallen Kraft- und Wegrichtung nicht zusammen, muss mit der Kraftkomponente gerechnet werden, die in die Bewegungsrichtung fällt. Arbeit W einer schräg wirkenden Kraft (W ¼ F cos a s) W ¼ F cos as mechanische Arbeit bei schräg angreifender Kraft Welche Winkelfunktion zu benutzen ist (sin oder cos ) hängt von der Lage des Winkels ab (siehe 1. Ûbung, Seite 05) Zeichnerische Darstellung der Arbeit W Wird die Kraft F über dem Weg s in einem rechtwinkligen Achsenkreuz aufgetragen, so erhält man das Kraft-Weg-Diagramm (F, s-diagramm). Bei konstanter Kraft F ist die Kraftlinie eine zur s-achse parallele Gerade. Die Fläche A unter der Kraftlinie ist dann ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A ¼ Fs, und man erkennt: In jedem F, s-diagramm entspricht die Fläche A unter der Kraftlinie der von der Kraft F aufgebrachten Arbeit W. F Kraft F Kraft-Linie (F-Linie) Fläche A = Arbeit W denn A = Fs = W s Weg s F; s-diagramm (Arbeitsdiagramm) bei konstanter Kraft F Fläche A ¼b Arbeit W ¼ Fs

228 04 4 Dynamik Das ist eine wichtige Erkenntnis, denn es ist jetzt möglich auch die Arbeit W einer veränderlichen Kraft F zu berechnen. Das entspricht dem Vorgehen zur Bestimmung des Wegabschnitts bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung im v, t-diagramm. Man zerlegt in solchen Fällen die Gesamtfläche in berechenbare Teilflächen (Rechtecke, Trapeze, Dreiecke) und erhält die Gesamtarbeit als Summe der Teilarbeiten. F 1 Kraft F s 1 A 1 F-Linie A A 3 A 4 Arbeit W = A +A +A +A s s 3 s 4 Gesamtweg F Weg s F, s-diagramm einer veränderlichen Kraft F Federarbeit W f (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer veränderlichen Kraft Wichtigstes Beispiel für die Arbeit einer veränderlichen Kraft ist die zur Formänderung einer Feder aufzubringende Arbeit W f (Federkraft). Bei den meisten Federn steigt die zur Formänderung erforderliche Kraft von null gleichmäßig (linear) an. Die Kraftlinie ist eine ansteigende Gerade; sie heißt auch Federkennlinie. Angenommen, eine schon vorgespannte Schraubenzugfeder soll um Ds verlängert werden. Dann steigt die dazu erforderliche Zugkraft von F 1 auf F an. Die Fläche unter der Federkennlinie hat Trapezform, das heißt, die Federarbeit kann aus W f ¼ðF 1 þ F Þ Ds= berechnet werden. Meistens ist die Federrate R der Feder bekannt, oder sie wird durch einen Versuch bestimmt 1) : ΔF F 1 Federkraft F a s 1 s F = 0 0 F-Linie A=W f F 1 Δs F Federweg s Federarbeit (Formänderungsarbeit) W f beim Spannen einer Schraubenzugfeder R ¼ Federkraft F Federweg s Federrate ) F Die Federrate R gibt an, welche Kraft F für einen Federweg s ¼ 1 mm erforderlich ist. Formal exakter: Die Federrate ist im elastischen Bereich der Proportionalitätsfaktor zwischen Federkraft F und Federweg (Verformungsweg) s einer Feder: F ¼ Rs. Mit der Federrate R ¼ F 1 =s 1 ¼ F =s und daraus F 1 ¼ Rs 1 sowie F ¼ Rs kann man eine Gleichung für die Federarbeit W f entwickeln, in der nur die Federrate R und die Federwege s 1, s enthalten sind. Wie die Entwicklung zeigt, ergibt sich das Binom ðs þ s 1 Þðs s 1 Þ¼s s 1. R ¼ DF Ds ¼ F 1 s 1 ¼ F s ¼... W f ¼ F 1 þ F W f ¼ Rs 1 þ Rs Ds ðs s 1 Þ W f ¼ R ðs þ s 1 Þðs s 1 Þ Federarbeit R F s N mm N mm 1) Versuch in A. Böge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, Viewegþ Teubner 008 ) Bezeichnung Federrate R nach DIN 089, Nov. 9

229 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 05 Setzt man in Rechnungen die Federrate in N/mm und den Federweg s in mm ein, erhält man die Federarbeit W f in Nmm. W f ist die Arbeit, die an einer um s 1 vorgespannten Feder verrichtet werden muss, um sie auf die Strecke s weiter zu verformen. W f ¼ R ðs s 1 Þ W f R s Nm N mm mm 1Nm¼ 1000 Nmm ¼ 1J Federarbeit Ûbungen mit der Größe Arbeit 1. Ûbung: Ein Wagen von der Masse m ¼ 400 kg soll auf eine um h ¼,4 m höher liegende Rampe gebracht werden: a) mit Hilfe eines Krans, b) durch Verschieben auf einer unter a ¼ 30 geneigten Fahrbahn. Im Fall b) soll die Verschiebekraft F parallel zur schiefen Ebene wirken. Die Reibung soll unberücksichtigt bleiben (geringe Rollreibung). Für beide Fälle ist die aufzubringende Arbeit W zu bestimmen. Lösung: a) Bei Kranen und anderen Senkrechtfördergeräten spricht man von Hubarbeit W h. Da hier die Seilkraft F gleich der konstanten Gewichtskraft F G ¼ mg zu überwinden ist, gilt W h ¼ F G h ¼ mgh. Wichtig ist die Erkenntnis, dass für horizontale Bewegungen des Krans mit der Last keine Hubarbeit aufgebracht werden muss, weil keine Höhendifferenz zu überwinden ist (Dh ¼ 0). Gegeben: Masse m ¼ 400 kg Höhe h ¼,4 m Winkel a ¼ 30 Gesucht: Hubarbeit W h W h ¼ F G h ¼ mgh Hubarbeit W h F G m h g J ¼ Nm N kg m m s W h ¼ mgh ¼ 400 kg 9,81 m s,4 m W h ¼ 9 417,6 Nm ¼ 9 417,6 J b) Man beginnt mit der Skizze des freigemachten Wagens (Lageskizze) und entwickelt daraus die Krafteckskizze. Schon hier erkennt man, dass die Verschiebekraft F gleich der Gewichtskraftkomponente F G sin a ist. Diese Komponente heißt auch Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft F G. Zu Ûbungszwecken werden noch einmal die beiden Gleichgewichtsbedingungen angesetzt (Achsenkreuz um a zur Waagerechten gedreht). Lageskizze Krafteckskizze SF x ¼ 0 ¼ F F G sin a ) F ¼ F G sin a SF y ¼ 0 ¼ F N F G cos a

230 06 4 Dynamik Mit F ¼ F G sin a hat man die in Wegrichtung fallende Verschiebekraft (Kraft- und Wegrichtung müssen zusammenfallen). Der Verschiebeweg s kann mit Hilfe der Sinusfunktion aus der Hubhöhe h bestimmt werden (s ¼ h=sin a). sin a ¼ h s s ¼ h sin a Da auch hier die Verschiebekraft konstant ist, gilt die einfache Beziehung: Arbeit ist gleich Kraft mal Weg. Die Rechnung führt zum gleichen Ergebnis wie im Fall des Krans ( sin a kürzt sich heraus). Das heißt: Es ist gleichgültig, auf welchem Weg eine Last auf eine höhere Ebene gebracht wird. Immer ist dazu die Hubarbeit W h ¼ Gewichtskraft F G mal Hubhöhe h erforderlich. Horizontale Verschiebungen einer Last haben keinen Einfluss auf die Hubarbeit. W ¼ Fs ¼ F G sin a h sin a W ¼ F G sin a h sin a ¼ F G h ¼ mgh W ¼ mgh ¼ 9417,6 J (wie vorher) Beachte: Beim Verschieben einer Last auf einer schiefen Ebene wird nichts an mechanischer Arbeit gespart. Zwar wird die Verschiebekraft umso kleiner, je kleiner der Neigungswinkel a der schiefen Ebene ist, umso größer wird dann jedoch der Verschiebeweg. Das Produkt aus beiden ist immer wieder gleich der Hubarbeit.. Ûbung: In eine Vorrichtung sollen Schrauben- Druckfedern eingebaut werden, deren Federrate vorher zu R ¼ 80 N/mm ermittelt worden ist. Jede Feder soll nach dem Einbau unter einer Vorspannkraft F 1 ¼ 400 N stehen. Sie wird dann um weitere 1 mm zusammengedrückt. Nach dem skizzierten Federdiagramm sind zu bestimmen: a) der Vorspannweg s 1 nach dem Einbau, b) die maximale Federkraft F, c) die Federarbeit W f beim Betriebshub. Lösung: a) Die Federrate R ist der Quotient aus Federkraft und Federweg, also bekommt man aus R ¼ F 1 /s 1 den Vorspannweg s 1. b) Auf gleiche Weise findet man die maximale Federkraft F. Es darf nur nicht der falsche Federweg einsetzt werden: Zur Federkraft F gehört der Federweg s. Gegeben: Federrate R ¼ 80 N mm Vorspannkraft F 1 ¼ 400 N Ds ¼ 1 mm Gesucht: Vorspannweg s 1 Federkraft F Federarbeit W f R ¼ F 1 s 1 ¼ F s ¼... s 1 ¼ F 1 R ¼ 400 N 80 N ¼ 5mm mm F ¼ Rs (nicht etwa ¼ R Ds) F ¼ 80 N 17 mm ¼ 1360 N mm

231 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 07 c) Die Federarbeit während des Hubes findet man mit den entsprechenden Größen als Trapezfläche unter der Federkennlinie. Wird die früher hergeleitete Gleichung mit der Federrate R benutzt, darf nicht ðs s 1 Þ¼ðDsÞ gesetzt werden. Natürlich kann man auch eine Funktionsgleichung W f ¼ f ðr, F 1, DsÞ für die ursprünglich gegebenen Größen entwickeln. W f ¼ F 1 þ F Ds ¼ Nmm oder: W f ¼ R ðs s 1 Þ¼ 80 N ð89 5Þ mm mm W f ¼ 10,56 Nm ¼ 10,56 J W f ¼ F 1 þ R Ds W f ¼ f ðr, F 1, DsÞ Federarbeit 3. Ûbung: Ein Werkstück von der Masse m ¼ 10 kg soll auf horizontaler Bahn durch die Kraft F mit konstanter Geschwindigkeit v um den Weg s R ¼ m verschoben werden. Die Kraft F greift unter dem Winkel a ¼ 30 zur Horizontalen an. Die Gleitreibungszahl zwischen Werkstück und Unterlage beträgt m ¼ 0,5. Gesucht wird eine Gleichung für die Reibungsarbeit W R und deren Betrag. Lösung: Zunächst wird festgelegt, was unter Reibungsarbeit zu verstehen ist: Gegeben: Gesucht: Masse m ¼ 10 kg Reibungszahl m ¼ 0,5 Winkel a ¼ 30 Weg s R ¼ m Reibungsarbeit W R ¼ f ðm, g, m, a, s R Þ Reibungsarbeit W R ist das Produkt aus der konstanten Reibungskraft F R und dem Reibungsweg s R. Die erste Aufgabe besteht darin, eine Beziehung für die Normalkraft F N zu entwickeln. Man erhält sie aus den Gleichgewichtsbedingungen für das freigemachte Werkstück, indem sowohl SF x ¼ 0 als auch SF y ¼ 0 nach F aufgelöst wird und dann die beiden Gleichungen gleichgesetzt werden: F N m=cos a ¼ðF N F G Þ=sin a : Beim Auflösen nach F N ergibt sich der Quotient sin a=cos a, der durch tan a ersetzt wird. Mit der Beziehung für die Normalkraft F N erhält man die gesuchte Funktionsgleichung W R ¼ f ðm, g, m, a, s R Þ. Die Reibungsarbeit W R ist die beim Verschieben des Werkstücks erforderliche Arbeit. Sie wandelt sich in Wärme um. Das Endergebnis schreibt man mit der Einheit Joule (J), weil dies die gesetzliche Einheit für die Arbeit ist (1 Nm ¼ 1J). W R ¼ F R s R W R ¼ F N ms R SF x ¼ 0 ¼ F cos a F N m Reibungsarbeit SF y ¼ 0 ¼ F N F G F sin a m F ¼ F N cos a ¼ F N F G sin a F G F N ¼ 1 m tan a ¼ mg 1 m tan a mg W R ¼ F R s R ¼ F N ms R ¼ 1 m tan a ms R W R ¼ f ðm, g, m, a, s R Þ 10 kg 9,81 m W R ¼ s 0,5 m 1 0,5 tan 30 W R ¼ 57,3 Nm ¼ 57,3 J

232 08 4 Dynamik Diskussion der Gleichung für die Reibungsarbeit W R Bei der nummerischen Auswertung der Gleichung können sich positive oder negative Werte oder null ergeben. Das richtet sich nach dem Wert des Nenners 1 m tan a. Die Reibungszahl m ist immer positiv mit technisch brauchbaren Werten m > 0 < 0,5. Das gilt auch für Winkelwerte von a 0 < 90. Negative Werte für die Reibungsarbeit W R können sich bei großen m- und großen a-werten ergeben (physikalisch unbrauchbar). Wird der Nenner null, dann ist die Reibungsarbeit W R unendlich groß. Das System ist selbsthemmend Leistung P Ist die mechanische Arbeit W, die zur Ortsveränderung eines Körpers erforderlich ist bekannt, dann ist damit noch nichts über die Zeit ausgesagt, in der diese Arbeit verrichtet wird. Gerade das aber muss man in der Technik wissen, weil zeitlich geplant werden muss. Es wurde daher die in der Zeiteinheit (1 s) verrichtete Arbeit als besondere Größe festgelegt: Die Leistung P ist der Quotient aus der verrichteten Arbeit W und der dazu erforderlichen oder verwendeten Zeit t (Leistung gleich Arbeit durch Zeit). Die Leistung ist ein Skalar. Die gesetzliche und internationale Einheit der Leistung P ist das Watt W: 1 Watt (Kurzzeichen W) ist gleich der Leistung, bei der während der Zeit 1 s die Arbeit 1 J umgesetzt wird. Mit der Gleichung P ¼ W/t berechnet man die mittlere Leistung während eines Zeitabschnittes t, denn es ist unbekannt, ob in der dritten Sekunde ebenso viel Arbeit verrichtet worden ist wie in der zwölften Sekunde. Das Endergebnis wird mit der Einheit Watt (W) geschrieben, weil dies die gesetzliche Einheit für die Leistung ist (1 Nm/s ¼ 1 W). Siehe auch Vorsatzzeichen (Vorsätze) am Ende des Buches. Bei 1 > m tan a ergeben sich positive Werte für die Reibungsarbeit (W R > 0). Das ist der übliche Fall. Bei 1 ¼ m tan a liegt Selbsthemmung vor (W R!1). Bei 1 < m tan a ergeben sich physikalisch unbrauchbare Werte für die Reibungsarbeit (W R < 0). Beispiel: Zum Heben einer Last ist eine Hubarbeit W h ¼ J erforderlich. Zur Planung muss man wissen, ob diese Arbeit mit den vorhandenen Geräten in einer Stunde oder in einer Minute geleistet werden kann. Arbeit W P ¼ zugehörige Zeit t Definitionsgleichung der Leistung P ¼ W P W t t J s ¼ Nm ¼ W J ¼ Nm s s Mittlere Leistung während der Zeit t 1 J s ¼ 1 Nm ¼ 1W s Die Einheit Watt wurde nach dem englischen Erfinder der ersten brauchbaren Dampfmaschine J. Watt ( ) benannt. 1W¼1 J s ¼ 1 Nm ¼ 1m kg s 3 s Beispiel: Ein Kran hebt einen Körper von der Masse m ¼ 600 kg auf h ¼ 5mHöhe. Der Vorgang dauert 100 s. Die Hubgeschwindigkeit v ändert sich dabei mehrfach. P h ¼ W h t ¼ mgh 600 kg 9,81 m ¼ s 5m t 100 s ¼ 94,3 J s ¼ 94,3 W P h ¼ 94,3 Nm s P h ¼ 0,94 kw mittlere Leistung.

233 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 09 Sind die Arbeitsbeträge je Sekunde verschieden groß, dann gilt das auch für die Leistungen. Das kann zwei Ursachen haben: Entweder ist die Kraft F, welche die Arbeit verrichtet, nicht konstant, oder es werden in gleichen Zeiten verschiedene Wege zurückgelegt, d. h. die Geschwindigkeit v ist nicht konstant. Es kann auch beides zugleich der Fall sein. Aus der Definitionsgleichung für die Leistung P ¼ W/t kann eine Gleichung für die Momentanleistung entwickelt werden, die unbeschränkt angewendet werden kann, also nicht nur bei konstanter Arbeit. Mit der Arbeitsdefinition W ¼ Fs und der Gleichung für die konstante Geschwindigkeit v ¼ s/t erhält man: P ¼ W ¼ Fs ¼ F s t t t ¼ Fv Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v Beachte: Wie bei der mechanischen Arbeit W Kraft- und Wegrichtung übereinstimmen müssen, so müssen auch bei der mechanischen Leistung die Wirklinien von Kraft F und Geschwindigkeit v zusammenfallen. P ¼ Fv Die Leistung P ist das Produkt aus der Verschiebekraft F und der Verschiebegeschwindigkeit v (Leistung gleich Kraft mal Geschwindigkeit). Momentanleistung P F v W ¼ Nm ¼ J s s N m s Man prägt sich die Definitionen der beiden technisch wichtigen Größen Arbeit W und Leistung P besser ein, wenn man sie untereinander stehend vor Augen hat. Man erkennt: W enthält nicht die Zeit t; P dagegen ist geschwindigkeits- und daher zeitabhängig. Entsprechend den speziellen Bezeichnungen für die mechanischen Arbeitsformen kennzeichnet man auch die Leistung. Arbeit W ¼ Kraft F Weg s Leistung P ¼ Kraft F Geschwindigkeit v W ¼ Fs P ¼ Fv W P F s v J W N m m s Beispiele: Hubleistung P h ¼ Hubarbeit W h Zeit t Reibungsleistung P R ¼ Reibungsarbeit W R Zeit t Wirkungsgrad h Kein technischer Vorgang läuft verlustfrei ab. Ein Teil der aufgebrachten Arbeit (oder Leistung) geht für den eigentlichen Zweck verloren. In technischen Maschinen und Vorrichtungen ist das vor allem die Reibungsarbeit (oder Reibungsleistung) infolge der unvermeidlichen Reibung zwischen den Maschinenteilen. Die Reibungsarbeit wird dabei in Wärme umgewandelt, spürbar in der Temperaturerhöhung des festen, flüssigen oder gasförmigen Körpers. Beispiel: Die Reibung in den Lagern eines Getriebes erwärmt Welle und Lagerteile, ebenso wie die Reibung zwischen den Zahnflanken die Zahnräder erwärmt. Das Úl erwärmt sich und muss im Rücklauf gekühlt werden. Durch Konvektion und Strahlung geht ein Teil der Wärme an die umgebende Luft über.

234 10 4 Dynamik Zur Beurteilung der Verluste in Maschinen, in einzelnen Maschinenteilen und Vorrichtungen hat man den Wirkungsgrad definiert: Der Wirkungsgrad h ist das Verhältnis der Nutzarbeit W n (Nutzleistung P n ) zur aufgewendeten Arbeit W a (aufgewendeten Leistung P a ). Es ist üblich, die aufgewendete Leistung P a als Antriebsleistung zu bezeichnen und mit dem Index 1 zu kennzeichnen (P a ¼ P an ¼ P 1 ). Die Nutzleistung P n wird als Abtriebsleistung mit P bezeichnet. Meistens setzt man nicht die Arbeiten, sondern die Leistungen ins Verhältnis. Am Beispiel eines einfachen Getriebes soll untersucht werden, wie sich der Gesamtwirkungsgrad h ges einer Anlage aus den Einzelwirkungsgraden zusammensetzt. Die Antriebsleistung P an ¼ P 1 wird durch die Lagerverluste in den Lagern 1 und vermindert auf h Lg1, P 1. Das ist zugleich die neue Antriebsleistung, die in den Zahneingriff einfließt und dort verringert wird auf h Lg1, h z P 1. Dieser Leistungsbetrag wiederum wird in den Lagern 4 und 5 auf h Lg1, h z h Lg4, 5 P 1 reduziert. Das ist die Abtriebsleistung P ab ¼ P. Mit der Ausgangsgleichung h ¼ P /P 1 erhält man abschließend die Beziehung für den Gesamtwirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad h ges einer Maschine, einer Anlage oder eines physikalischen Vorgangs ist das Produkt der Einzelwirkungsgrade. Der Wirkungsgrad wird nicht nur als Dezimalzahl angegeben, z. B. h ¼ 0,86, sondern auch als Prozentzahl, z. B. h ¼ 86%. Nutzarbeit W n h ¼ < 1 aufgewendete Arbeit W a h ¼ W n W a ¼ P n P a ¼ P P 1 < 1 Hinweis: Die Wirkungsgraddefinition gilt für alle technischen Vorgänge, also auch z. B. für wärmetechnische und chemische Vorgänge. Allein wegen der immer vorhandenen Reibungswiderstände kann der Wirkungsgrad niemals den Wert 1 erreichen. 1,, 4, 5 Leistungsverluste durch Reibungsleistung in den Lagern (Lagerverluste) 3 Leistungsverlust zwischen den Zähnen (Zahnverluste) h ges ¼ P ab P an ¼ h Lg1, h z h Lg4, 5 ¼ P P 1 h ges ¼ h 1 h h 3... h n ¼ P ab ¼ P < 1 P an P 1 Gesamtwirkungsgrad Beispiele für Wirkungsgrade: Gleitlager h ¼ 0,98 (98%) Verzahnung h ¼ 0,98 (98%) E-Motor h ¼ 0,9 (90%) Ottomotor h ¼ 0,5 (5%) Aufgaben Nr

235 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Ûbungen mit den Größen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 1. Ûbung: Beim Zerspanen auf einer Drehmaschine wird mit dem Schnittkraftmessgerät die Schnittkraft F c ¼ 5000 N gemessen. Werkstückdrehzahl und -durchmesser ergeben eine Schnittgeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) von v u ¼ 60 m/min. Der Gesamtwirkungsgrad h ges der Drehmaschine vom Elektromotor bis zur Zerspanungsstelle z wird mit 78% angenommen. Es ist die Antriebsleistung P mot für den Motor zu bestimmen. Lösung: Das Schnittkraftmessgerät zeigt nur geringe Schwankungen für den Betrag der Schnittkraft F c an, es kann also F c ¼ konstant angenommen werden. Ebenso ist v u ¼ konstant. Die Wirklinien von Kraft und Geschwindigkeit decken sich (Tangente), so dass die Schnittleistung aus P c ¼ F c v u berechnet werden kann. Aus der allgemeinen Beziehung h ¼ P ab /P an erhält man die erforderliche Motorleistung P mot. Sie muss natürlich größer sein als die Schnittleistung (P mot > P c ). Bei allen Aufgaben dieser Art wird in Zukunft aber nicht schrittweise vorgegangen, sondern man geht von der Definitionsgleichung für den Wirkungsgrad aus und bestimmt daraus die gesuchte Größe.. Ûbung: Ein Kran hebt eine Last von der Masse m ¼ t mit einer Hubgeschwindigkeit v ¼ 0,5 m/s. Der Antriebsmotor entnimmt dabei dem Netz die Leistung P netz ¼ 7 kw, sein Wirkungsgrad beträgt h mot ¼ 0,9. Es ist der Wirkungsgrad h anlage der restlichen Maschinenteile vom Motorritzel bis zum Kranhaken zu bestimmen. Lösung: Hier geht man von der Gleichung für den Gesamtwirkungsgrad h ges ¼ h mot h anlage aus. Für P ab und P an werden dann die speziellen Größen mit den allgemeinen Bezeichnungen eingesetzt und nach der gesuchten Größe aufgelöst, hier also nach h anlage. Gegeben: Schnittkraft F c ¼ 5000 N Schnittgeschwindigkeit v u ¼ 60 Gesamtwirkungsgrad h ges ¼ 0,78 Gesucht: Antriebsleistung P mot m min Die Schnittleistung P c beträgt: P c ¼ F c v u ¼ 5000 N 1 m s P c ¼ Nm ¼ 5000 J s s ¼ 5000 W P c ¼ 5kW P ab h ges ¼ P c P an P mot P mot ¼ P c ¼ 5kW h ges 0,78 ¼ 6,41 kw h ges ¼ P ab P an ¼ P c P mot ¼ F c v u P mot P mot ¼ F c v u h ges Gegeben: Gesucht: 5000 N 1 m ¼ s ¼ 6,41 kw 0,78 m ¼ t v ¼ 0,5 m s P netz ¼ 7kW h mot ¼ 0,9 h anlage h ges ¼ P ab ¼ P h ¼ h P an P mot h anlage netz h anlage ¼ mgv P h ¼ mgv P netz h mot (Hubleistung) 000 kg 9,81 m s h anlage ¼ 0,5 m s 7000 Nm ¼ 0,779 0,9 s

236 1 4 Dynamik 4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen Ebenso wie im Abschnitt (Seite 181) werden hier die Kreisgrößen den allgemeinen Größen gegenüber gestellt (Analogieverfahren). Dabei erkennt man die Gleichartigkeit einander entsprechender Größen und Gleichungen und kommt zu besserem Verständnis. Wer die Definitionen der allgemeinen Größen kennt, hat dann auch sofort die Definitionen der entsprechenden Kreisgrößen zur Hand, und er wird beim Lösen von Aufgaben sicherer sein. Vor allem ist die Erkenntnis wichtig, dass der Kraft F (Verschiebekraft) im allgemeinen Fall das Drehmoment M bei der Kreisbewegung entspricht (F ¼b M). Allgemeine Größe mit Definitionsgleichung Einheit Kreisgröße mit Definitionsgleichung Einheit Zeit t s Zeit t s Verschiebeweg s m Drehwinkel j rad Verschiebegeschwindigkeit (v ¼ konstant) v ¼ s t m s Winkelgeschwindigkeit (w ¼ konstant) w ¼ j t Verschiebekraft F N Drehmoment M ¼ F T r Nm Arbeit W ¼ Fs Nm ¼ J Dreharbeit W rot ¼ Mj ¼ F T r j Nm ¼ J rad s Leistung P ¼ W t ¼ Fv Nm ¼ W s Drehleistung P rot ¼ W rot t ¼ Mw Nm ¼ W s F; s-diagramm je nach Aufgabenstellung: M; j-diagramm je nach Aufgabenstellung: F M F-Linie M-Linie F 1 A=W= F 1 + F s F M 1 A=W = rot M 1 + M f M 0 s s 0 f f Beachte: Die Fläche A unter der F-Linie entspricht der Arbeit W Beachte: Die Fläche A unter der M-Linie entspricht der Dreharbeit W rot

237 4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung Dreharbeit W rot (Rotationsarbeit) An einer Kurbel oder Kurbelwelle wirkt die konstante Kraft F T in tangentialer Richtung. Man spricht daher auch von Tangentialkraft oder Umfangskraft. F T dreht hier die Kurbel rechts herum und verrichtet über dem Drehweg s die Dreharbeit W rot ¼ F T s. Mit der Anzahl der Umdrehungen z kann man für den Drehweg s ¼ prz schreiben und hat damit schon eine auf Kreisgröße bezogene Gleichung für die Dreharbeit W rot. W rot ¼ F T s W rot ¼ F T prz W rot F T s, r z Nm ¼ J N m 1 Das Produkt aus Tangentialkraft F T und Wirkabstand r (Radius) ist das Drehmoment M. Das Produkt p z ist schon aus der Drehbewegung bekannt als Drehwinkel j ¼ p z. Damit erhält man die der allgemeinen Definition W ¼ Fs entsprechende Definitionsgleichung für die Dreharbeit W rot. F T r ¼ Drehmoment M (Kraftmoment) pz ¼ Drehwinkel j W rot ¼ F T s ¼ Mj W rot M j Nm ¼ J Nm rad ¼ 1 Rotationsarbeit Zeichnerisch stellt sich die Dreharbeit W rot im M; j-diagramm als Fläche unter der M-Linie dar. Man erkennt hier wieder die Entsprechung zur Fläche unter der F-Linie im F; s-diagramm (siehe 4.5., Seite 03): In jedem M; j-diagramm entspricht die Fläche A unter der M-Linie der Rotationsarbeit W rot des Drehmoments M. Arbeitsdiagramm für die Drehbewegung Ist das Drehmoment M nicht konstant, sondern steigt es linear an, dann gelten die gleichen Diagramme und Gleichungen wie auf der Seite 04, wenn darin für die Federkraft F das Drehmoment M und für den Federweg s der Drehwinkel j einsetzt wird. An die Stelle der in (Seite 04) behandelten Schraubenzugfeder tritt die Torsionsstabfeder. Beispiel: Das Drehmoment in der Torsionsstabfeder eines Autos steigt linear von 10 Nm auf 50 Nm an. Dabei wird die Feder um 30 verdreht. Die Federarbeit beträgt dann nach Seite 04: W f ¼ M 1 þ M j ¼ W f ¼ 96,9 J ð10 þ 50Þ Nm 30 p 180

238 14 4 Dynamik Drehleistung P rot (Rotationsleistung) Wie bei der Herleitung der Gleichung für die Dreharbeit geht man auch hier von der Tangentialkraft F T aus. In jedem Augenblick sind die Tangentialkraft F T und die Umfangsgeschwindigkeit v u gleichgerichtet. Dann gilt die allgemeine Beziehung: Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit. Mit den speziellen Bezeichnungen gilt demnach P ¼ F T v u. Nach Abschnitt 4..7 (Seite 178) kann für die Umfangsgeschwindigkeit v u das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden. Das Produkt aus Tangentialkraft FT und Radius r ist wieder das Drehmoment M. Damit erhält man die der allgemeinen Definition P ¼ F v entsprechende Definitionsgleichung für die Drehleistung P rot (F ¼b M und v ¼b w, siehe 4.6.1, Seite 1). Mit den kohärenten Einheiten Newton N, Meter m und Sekunde s erhält man als kohärente Einheit für die Leistung P das Watt W. P rot ¼ F T v u v u ¼ r w ¼ r pn P rot ¼ F T r w ¼ F T prn F T r ¼ Drehmoment M P rot ¼ Mw ¼ M pn P rot F T v u Nm m ¼ W N s s P rot M w n Nm ¼ W Nm rad s s ¼ 1 s Drehleistung 1 s ¼ s Zahlenwertgleichung für die Drehleistung P rot Auf den Leistungsschildern der Motoren ist nicht die Winkelgeschwindigkeit w, sondern die Drehzahl n angegeben (in U=min ¼ min 1 ). Soll diese Drehzahl unmittelbar in die Leistungsgleichung eingesetzt werden, muss sie durch 60 dividiert werden. Die Leistung ergibt sich dann in der Einheit Watt. Um Kilowatt kw zu bekommen, muss noch durch 1000 dividiert werden (1 kw ¼ 1000 W). Fasst man den Quotienten von p=ð Þ ¼1=9 550 zusammen, ergibt das die in der Technik übliche Zahlenwertgleichung für die Drehleistung P rot. Wie jede Zahlenwertgleichung gilt sie nur für die eingetragenen Einheiten. Auf den Leistungsschildern steht neben der Motordrehzahl n auch die zur Verfügung stehende Leistung P. Aus beiden Angaben kann mit der nach M aufgelösten Gleichung das verfügbare Drehmoment in Nm berechnet werden (siehe auch Festigkeitslehre, Torsionsbeanspruchung). P rot ¼ Mn P rot ¼ Mn P rot ¼ Mn 9550 p ¼ Mn p Zahlenwertgleichung M ¼ 9550 P rot n Zahlenwertgleichung P rot M n kw Nm min 1 M P rot n Nm kw min 1

239 4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung Wirkungsgrad, Drehmoment und Ûbersetzung Eine wichtige Beziehung zwischen Wirkungsgrad h, Drehmoment M und Ûbersetzung i erhält man, wenn von der Definitionsgleichung für den Wirkungsgrad ausgegangen wird und man für die Leistung P ¼ Mw oder P ¼ M pn einsetzt. Es kann damit beispielsweise der Wirkungsgrad eines Getriebes berechnet werden, wenn man vorher An- und Abtriebsmoment gemessen und die Ûbersetzung an Hand der Baugrößen (z. B. Zähnezahl) bestimmt hat. h ¼ P ab ¼ P ¼ M w ¼ M pn P an P 1 M 1 w 1 M 1 pn 1 w ¼ n ¼ 1 (siehe 4..9, Seite 180) w 1 n 1 i h ¼ M 1 M 1 i M Abtriebsmoment, M ¼ M 1 ih M 1 Antriebsmoment Ûbungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Ûbersetzung bei Drehbewegung 1. Ein Werkstück von m ¼ 100 kg Masse soll 10 m hoch gehoben werden. Es steht eine Winde mit dem Kurbelradius r ¼ 400 mm zur Verfügung. Die Handkraft (Tangentialkraft) an der Kubel soll 60 N betragen. Es soll die Anzahl z der Kurbelumdrehungen bestimmt werden, wenn von Verlusten abgesehen wird. W h ¼ mgh erforderliche Hubarbeit W rot ¼ F T prz ¼ W h (Hubarbeit ¼ F T prz ¼ mgh Dreharbeit) m z ¼ mgh 100 kg 9,81 F T pr ¼ s 10 m 60 N p 0,4 m ¼ 65,05 U. Der Flanschmotor eines Getriebes gibt bei n ¼ 880 min 1 eine Leistung von 18 kw ab. Das Getriebe hat eine Ûbersetzung von i ¼ 40 und einen geschätzten Wirkungsgrad von h ¼ 0,7. Welches Drehmoment steht an der Abtriebswelle des Getriebes zur Verfügung? M 1 ¼ 9550 P 1 18 ¼ 9550 Nm ¼ 59,69 Nm n M ¼ M 1 ih ¼ 59,69 Nm 40 0,7 M ¼ Nm Hinweis: Ohne Berücksichtigung des Wirkungsgrades hätte sich ergeben: M ¼ M 1 i ¼ 59,69 Nm 40 ¼ Nm 3. Ein E-Motor gibt am Wellenstumpf ein Drehmoment von 16 Nm ab bei einer Drehzahl von 800 min 1. Das Wattmeter zeigt hierbei eine elektrische Leistungsaufnahme von 5,6 kw an. Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors? Hier wird schrittweise gelöst, um Größengleichungen und Zahlenwertgleichungen nicht miteinander zu vermischen. P mot ¼ P ab ¼ P rot ¼ Mn 9550 P ab ¼ 4,69 kw ¼ P mot ¼ kw 9550 h mot ¼ P ab ¼ P mot 4,69 kw ¼ P an P netz 5,6 kw ¼ 0,838 Aufgaben Nr

240 16 4 Dynamik Lehrbeispiel: Wirkungsgrad Aufgabenstellung: Welche Last kann mit der skizzierten Handwinde gehoben werden? F h d Trommel Trommelwelle T Gegebene Größen: Handkraft F h ¼ 150 N Handkurbelradius r k ¼ 350 mm Gesamtwirkungsgrad h ¼ 0,6 Trommeldurchmesser d t ¼ 180 mm Trommelraddurchmesser d ¼ 490 mm Ritzeldurchmesser d 1 ¼ 70 mm F G d 1 Kurbelwelle K Lösung: Die Handkraft F h soll in jeder Kurbelstellung tangential (im rechten Winkel zum Radius) angreifen. Der Seildurchmesser kann vernachlässigt werden. Getriebe sollen meist das Drehmoment von Welle zu Welle ändern. Ûbersetzungen ins Langsame vergrößern das Abtriebsmoment, Ûbersetzungen ins Schnelle verkleinern es. Ûbersetzung i ¼ Antriebsdrehzahl n an Abtriebsdrehzahl n ab oder i ¼ n k n t ¼ d d 1 i ¼ Beachte: Die Baugrößen (d 1,d ) verhalten sich umgekehrt wie die Drehzahlen (n k Drehzahl der Kurbelwelle, n t Drehzahl der Trommelwelle). 490 mm ¼ 7 (Ûbersetzung ins Langsame, weil i > 1 ist) 70 mm Für Ûbersetzung i und Drehmoment M gilt: i ¼ M M 1 h ¼ M t M k h M t ¼ M k ih ¼ F h r k ih M t ¼ 150 N 0,35 m 7 0,6 M t ¼ 0,5 Nm M t Trommeldrehmoment M k Kurbeldrehmoment Das Drehmoment M t der Trommelwelle T ist: M t ¼ F G d t daraus F G ¼ M t d t fürf G ¼ mg eingesetzt und nach der Masse m aufgelöst: m ¼ M t d t g kg m 0,5 m ¼ s 0,18 m 9,81 m ¼ 50 kg Last s

241 4.7 Energie Energie Energie, Begriffsbestimmung und Einheit Unter bestimmten Bedingungen sind feste Körper, Flüssigkeiten und Gase in der Lage, von sich aus Arbeit zu verrichten. Das ist immer dann der Fall, wenn an ihnen selbst vorher eine Arbeit aufgebracht wurde. Die im Körper gespeicherte Arbeit kann dann abgerufen werden: Die im Körper gespeicherte Arbeitsfähigkeit heißt Energie E des Körpers. Kurz: Energie gleich Arbeitsfähigkeit. Die Energie ist wie die Arbeit ein Skalar, mehrere Energiebeträge dürfen also algebraisch addiert werden. Nach dem Ursprung des Arbeitsvermögens der Körper unterscheidet man drei mechanische Energiearten: die potenzielle Energie (Höhenenergie), die kinetische Energie (Bewegungsenergie) und die Spannungsenergie (Verformungsenergie) elastischer Körper. Darüber hinaus gibt es noch andere Energiearten, z. B. Wärmeenergie, chemische Energie (in allen Brennstoffen), Atomenergie, Druckenergie, elektrische Energie, Strahlungsenergie (z. B. von der Sonne). Die verschiedenen Energiearten können ineinander überführt werden. Man spricht dann von Energieumwandlung, meint aber damit nicht nur die Umwandlung von einer Energieart in eine andere, sondern auch die Umwandlung von Energie in mechanische Arbeit und umgekehrt. Bei jeder technischen Energieumwandlung treten Verluste auf. Das heißt nicht, dass Energie verschwindet, man meint damit nur, dass ein Teil der Anfangsenergie für den beabsichtigten technischen Zweck verloren geht. Beispiele: Der herabfallende Bär eines Fallhammers verformt das Schmiedestück, verrichtet also Verformungsarbeit (Formänderungsarbeit). Ein fahrendes Auto prallt auf ein Hindernis. Es verrichtet Formänderungsarbeit. Eine vorher gespannte Schraubenfeder hebt ein Werkstück. Sie verrichtet Hubarbeit. Beispiele: Der Bär des Fallhammers hatte in seiner oberen Ruhelage potenzielle Energie (Höhenenergie, Energie der Lage). Das fahrende Auto besaß vor dem Aufprall kinetische Energie (Bewegungsenergie). Gespannte Federn aller Art besitzen Spannungsenergie (Verformungsenergie). Beispiele: Die chemische Energie im Brennstoff wird in Wärme umgewandelt, ebenso die Strahlungsenergie der Sonne. Jede Reibung erzeugt Wärme: Reibungsarbeit wird in Wärme umgewandelt (Temperaturerhöhung der Maschinenteile). Bei technischen Vorgängen ist der Arbeitsaufwand immer größer als der Nutzen. Diese Tatsache führte zur Festlegung des Begriffes Wirkungsgrad (siehe 4.5.6, Seite 09).

242 18 Bei der Energieumwandlung in Maschinen treten Energieverluste hauptsächlich dadurch auf, dass sich ein Teil der Energie über die Reibungsarbeit in Wärmeenergie umwandelt. Dass Energie nicht verloren geht, sondern nur von der einen in die andere Form übergeht, ist schon seit über hundert Jahren bekannt und konnte bis heute nur bestätigt werden. Es gilt der Satz von der Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz): Die Summe aller im Universum vorhandenen Energien bleibt erhalten (konstant); Energie kann weder aus Nichts gewonnen werden noch geht sie verloren. Energie kann nur umgewandelt werden. 4 Dynamik Hinweis: Die bei der Umwandlung von Reibungsarbeit in Wärme auftretende Temperaturerhöhung der Teile ist technisch nicht mehr nutzbar. Mayer und Helmholtz haben diesen wichtigen Erfahrungssatz um 1840 unabhängig voneinander gefunden. Alle Versuche haben ihn bis heute bestätigt. Der Energieerhaltungssatz muss auch für technische Vorgänge gelten, wenn man sie sich abgeschlossen vorstellt: Man spricht dann von einem abgeschlossenen System und meint damit ein von äußeren Kräften freies System. Da Energie die Fähigkeit der Körper ist, Arbeit zu verrichten, müssen Energie- und Arbeitseinheit gleich sein. Die Einheit der Energie und der Arbeit ist das Joule (J), siehe 4.5.1, Seite 0. 1J¼ 1Nm¼ 1Ws¼ 1 kg m s ¼ 1m kg s 4.7. Potenzielle Energie E pot und Hubarbeit W h Wird ein Körper von der Masse m um die Höhe h gegenüber einer Bezugsebene gehoben, dann ist dazu die Hubarbeit W h ¼ F G h ¼ mgh erforderlich (siehe Seite 05). Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit, mit der er nun an einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Er kann z. B. über Seil und Rolle einen anderen Körper heben. potenzielle Energie E pot ¼ Hubarbeit W h E pot ¼ F G h ¼ mgh E pot, W h F G m g h J ¼ Nm N kg m s m potenzielle Energie (Höhenenergie) Besitzt der Körper schon die potenzielle Energie E pot1 ¼ mgh 1 gegenüber der um h 1 tiefer liegenden Bezugsebene, dann ist zum weiteren Heben auf die Höhe h die Hubarbeit W h ¼ mgðh h 1 Þ erforderlich. Das ist zugleich die Ønderung der potenziellen Energie des Körpers: W h ¼ DE pot ¼ E pot E pot1. W h ¼ mgðh h 1 Þ¼DE pot Ønderung der potenziellen Energie

243 4.7 Energie Kinetische Energie E kin und Beschleunigungsarbeit W a Wird ein Körper, z. B. ein Auto, aus dem Stillstand auf die Geschwindigkeit v gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen Grundgesetz die resultierende Kraft F res ¼ ma erforderlich. F res wirkt dabei in Bewegungsrichtung auf dem Weg s, verrichtet also am Körper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit W a ¼ F res s genannt wird. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit, mit der der Körper nun an einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Da nur solche Körper diese Energieart besitzen, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, spricht man von Bewegungsenergie oder kinetischer Energie E kin. F res ¼ ma ¼ m Dv Dt ; F res s ¼ m v Dt s F res s ¼ m v v Dt Dt F res s ¼ m v ¼ W a Dv ¼ v gesetzt Δv =v kinetische Energie E kin ¼ Beschleunigungsarbeit W a v s= v Δ t 0 Δt t E kin ¼ m E kin, W a m v v m J ¼ Nm kg s kinetische Energie (Bewegungsenergie) Besitzt ein Körper schon die Geschwindigkeit v 1 und wird durch F res auf dem Wegabschnitt s auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, dann wird für s nicht v Dt= (wie oben) eingesetzt, sondern ðv v 1 Þ=a (Tabelle 4.1, Seite 153). Damit erhält man eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit W a in der allgemeinen Form. W a gibt dann zugleich die Ønderung der kinetischen Energie des Körpers an: W a ¼ DE kin ¼ E kin E kin1. F res s ¼ mas ¼ W a s ¼ v v 1 a W a ¼ ma v v 1 a v1 W a ¼ m ðv v 1 Þ¼DE kin v s= v v 1 a 0 Δt Ønderung der kinetischen Energie v t Spannungsenergie E s und Formänderungsarbeit W f Wird eine vorher unverformte Feder gespannt, dann ist dazu die Formänderungsarbeit oder Federarbeit W f erforderlich (siehe 4.5.3, Seite 04). Aus dem Federdiagramm (F; s-diagramm) liest man dafür W f ¼ Fs= ¼ Rs = ab, mit R als Federrate. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit, mit der die gespannte Feder nun an einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Diese Energie wird Spannungsenergie E s genannt. Besitzt die Feder schon die Spannungsenergie E s1, weil sie mit F 1 vorgespannt worden ist, dann ist zum weiteren Spannen die Federarbeit W f ¼ðF 1 þ F Þ s= ¼ Rðs s 1 Þ= erforderlich. Das ist zugleich die Ønderung der Spannungsenergie in der Feder: W f ¼ DE s ¼ E s E s1. F F A=E = s Fs R = s 0 s s Spannungsenergie E s ¼ Federarbeit W f E s ¼ Fs ¼ R s Spannungsenergie W f ¼ F 1 þ F s ¼ R ðs s 1 Þ¼DE s Ønderung der Spannungsenergie W f, E s F s R J ¼ Nm N m N m

244 0 4 Dynamik Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge Ein Körper der Masse m, zunächst durch die Sperre S in Ruhe gehalten, wird nach seiner Freigabe durch eine Zugfeder die schiefe Ebene abwärts gezogen. Er durchläuft den Weg s vom Anfangspunkt (A) des Vorganges bis zum Endpunkt (E), wo die Feder gerade entspannt ist, also noch nicht zusammengedrückt wird. In (A) besitzt der Körper die Anfangsenergie E A ¼ E pot ¼ mgh gegenüber der um h tiefer liegenden Bezugsebene BE. Am Ende des Vorganges ist E pot ¼ 0 geworden; dafür besitzt der Körper die Endenergie E E ¼ E kin ¼ mv =. Nach dem Energieerhaltungssatz müssten die beiden Energiebeträge gleich groß sein (E E ¼ E A ). Das kann hier nicht sein, weil der Körper auf dem Weg s sowohl Arbeit aufgenommen als auch abgegeben hat: Aufgenommen hat der Körper die zugeführte Federarbeit W zu ¼ W f ¼ Rs =. Abgegeben hat der Körper die abgeführte Reibungsarbeit W ab ¼ W R ¼ F R s. Die Energieumwandlung durch Zu- und Abfuhr mechanischer Arbeit kann man in das Schema der Energiebilanz eintragen und danach den Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge aufstellen, so wie er künftig beim Lösen von Aufgaben angewandt wird: Beachte: Es wäre ein Fehler zu meinen, die Arbeit der Abtriebskomponente der Gewichtskraft F G sin a mit aufnehmen zu müssen: Der Arbeitsbetrag F G sin as ist die beim Heben um die Höhe h vorher aufgenommene potenzielle Energie E pot ¼ mgh (siehe 4.5.4, Seite 05, 1. Ûbung). Schema der Energiebilanz Energieerhaltungssatz Die Energie E E am Ende eines Vorgangs ist gleich der Energie E A am Anfang des Vorgangs, vermehrt um die während des Vorgangs zugeführte Arbeit W zu und vermindert um die während des Vorgangs abgeführte Arbeit W ab. E E ¼ E A þ W zu W ab Energie am Ende des Vorgangs ¼ Energie am Anfang des Vorgangs þ zugeführte Arbeit abgeführte Arbeit

245 4.7 Energie Ûbungen zum Energieerhaltungssatz 1. Ûbung: Ein Waggon von der Masse m ¼ kg rollt aus der Geschwindigkeit v ¼ 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei wirkt ein Fahrwiderstand F w ¼ 80 N. Wie lang ist der Ausrollweg s? Gegeben: Gesucht: m ¼ kg v ¼ 1,8 m s F w ¼ 80 N Ausrollweg s Lösung: Am Ende des Vorgangs ruht der Körper auf der Bezugsebene, das heißt, seine Endenergie ist null (E E ¼ 0). Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische Energie E A ¼ mv =. Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die Arbeit des Fahrwiderstands W ab ¼ F w s abgeführt. E E ¼ E A W ab 0 ¼ m v F w s s ¼ mv F w s ¼ f ðm; v; F w Þ Aus dem Energieerhaltungssatz findet man damit auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und den Betrag für den Ausrollweg s kg 3,4 m s ¼ s 80 kg m ¼ 31,4 m s. Ûbung: Die Skizze zeigt das Schema einer Sackrutsche. Die Reibungszahl zwischen Sack und Rutsche soll m ¼ 0,3 betragen. Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes am Ende der schiefen Ebene. Lösung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann nur kinetische Energie sein, denn der Körper besitzt dort die Geschwindigkeit v, und der Höhenunterschied zur Bezugsebene BE ist null geworden (E pot ¼ 0). Am Anfang besaß der Körper nur potenzielle Energie, denn er ruhte in der Höhe h. Abgeführt wird nur die Reibungsarbeit W R ¼ F R s.für die Reibungskraft wird F R ¼ F N m und für die Normalkraft F N ¼ F G cos a ¼ mgcos a eingesetzt. E E ¼ E A W ab kinetische Energie ¼ potenzielle Energie Reibungsarbeit E kin ¼ E pot W R m v ¼ mgh F R s m v ¼ mgh mgcos amsj : m v ¼ gh gms cos a

246 Da der Weg s nicht gegeben ist, wird s ¼ l= cos a eingesetzt (l ist gegeben). Dadurch kürzt sich auch cos a heraus und man findet die einfachste Gleichung für die Endgeschwindigkeit v ¼ f ðg; h; m; lþ. Man erkennt, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit des Sackes unabhängig von seiner Masse m ist. Das gilt für alle auf einer schiefen Ebene ohne zusätzliche äußere Kraftwirkung gleitenden Körper. v ¼ gh gm l cos a cos a v ¼ gðh mlþ p v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðh mlþ v ¼ f ðg, h, m, lþ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 9,81 m ð m 0,3 6mÞ s v ¼ 1,98 m s 4 Dynamik 3. Ûbung: Welcher Hubarbeit W h oder potenziellen Energie E pot oder Wärme (Wärmemenge) Q entspricht die kinetische Energie eines Autos von 1500 kg Masse, das mit 160 km/h fährt? Gegeben: Gesucht: m ¼ 1500 kg v ¼ 160 km h ¼ 160 3,6 E kin m s Lösung: a) Die kinetische Energie eines Fahrzeuges wächst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit. Eine Verdoppelung der Fahrzeuggeschwindigkeit hat also eine Erhöhung der kinetischen Energie auf das Vierfache zur Folge. b) Eine Vorstellung von den Folgen eines Aufpralls aus dieser Geschwindigkeit erhält man, wenn die Fallhöhe h berechnet wird, die dieser Energie entspricht. E kin ¼ m kg 160 m v ¼ 3,6 s E kin ¼ ,5 Nm ¼ ,5 J E kin ¼ E pot ¼ W h ¼ Q ¼ ,5 J E kin ¼ E pot ¼ mgh kg m h ¼ E ,5 kin mg ¼ s kg 9,81 m ¼ 100,67 m s c) Da E kin auch gleich der Wärme Q ist, kann man eine entsprechende wärmetechnische Rechnung durchführen. Die Wärme Q zum Erwärmen eines Stoffes ist gleich dem Produkt von Masse m, spezifischer Wärmekapazität c und Temperaturdifferenz DT (siehe Böge/Eichler, Physik): Die kinetische Energie des Autos würde ausreichen (bei h ¼ 1), die Temperatur von 10 kg Wasser (10 l) umdt ¼ 35,4 K zu erhöhen. Q ¼ mcdt Q m c DT J ¼ Nm kg J kg K K DT ¼ Q mc ¼ ,5 J J 10 kg 4 186,8 kg K DT ¼ 35,4 K ¼ 35,4 C Aufgaben Nr

247 4.8 Gerader zentrischer Stoß Gerader zentrischer Stoß Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß Der physikalische Vorgang Stoß liegt dann vor, wenn sich zwei Körper während eines sehr kleinen Zeitabschnitts Dt berühren und dabei ihren Bewegungszustand ändern. Bei Berührung wirken an den Berührungsflächen gleich große Normalkräfte (Wechselwirkungsgesetz). Während der Berührungszeit Dt erfahren also beide Körper den gleichen Kraftstoß F Dt (siehe 4.4.9, Seite 01). Dadurch verringert sich der Impuls mv des einen Körpers um denselben Betrag, um den der Impuls des anderen Körpers zunimmt, und man erkennt: Die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) beider Körper bleibt in jedem Augenblick des Stoßes konstant. Da die Massen beider Körper unverändert bleiben, v 1, v bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen c 1, c Körpers kleiner, die des anderen größer wird Merkmale des geraden zentrischen Stoßes Durch den Berührungspunkt beider Körper bei Stoßbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet darauf im Berührungspunkt eine Normale, die Stoßnormale. Sie ist die Wirklinie der beiden Normalkräfte, die während des Stoßes zwischen beiden Körpern wirken. Verläuft die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper, dann spricht man von zentrischem Stoß. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, dann liegt exzentrischer Stoß vor. Liegen die Geschwindigkeitsvektoren v 1 und v beider Körper beim Stoßbeginn parallel zur Stoßnormalen, dann spricht man von geradem Stoß. Bewegt sich einer der Körper oder auch beide nicht parallel zur Stoßnormalen, dann liegt schiefer Stoß vor. Beim geraden zentrischen Stoß verläuft die Stoßnormale durch beide Körperschwerpunkte. Beide Körper bewegen sich in Richtung der Stoßnormalen. Beachte: Ønderung des Bewegungszustandes heißt Ønderung der Geschwindigkeit der Körper nach Betrag oder Richtung oder auch nach beiden gleichzeitig. Beachte: Werden die beiden Körper als ein System betrachtet, dann sind die Normalkräfte beim Stoß innere Kräfte dieses Systems. Da während des Stoßes keine äußeren Kräfte auf die beiden Körper wirken, handelt es sich um ein kräftefreies System nach 4.4.9, dessen gesamter Impuls auch während des Stoßes konstant bleibt. m 1 v 1 þ m v ¼ m 1 c 1 þ m c Impulserhaltungssatz für zwei Smv ¼ Smc Körper m 1, m Massen beider Körper Geschwindigkeiten vor dem Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß Beachte: Die Lage der Normalkräfte im Berührungspunkt bestimmt, ob zentrischer oder exzentrischer Stoß vorliegt. Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten v 1 und v bestimmt, ob gerader oder schiefer Stoß vorliegt. Beispiel für geraden zentrischen Stoß: Zusammenstoß von Kegelkugeln auf der Rücklaufbahn. Eine weitere Unterteilung der Stoßarten ist notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten der Körper: Man unterscheidet elastischen, unelastischen und wirklichen Stoß.

248 4 4 Dynamik Elastischer Stoß Elastische Körper verformen sich beim Stoß federnd. Nach dem Stoß ist die Verformung vollständig zurückgegangen. Auch die Verluste infolge äußerer und innerer Reibung werden vernachlässigt. Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn auf gemeinsamer Bahn. Stößt die schnellere Kugel mit der Masse m 1 und der Geschwindigkeit v 1 auf die langsamere Kugel mit der Masse m und der Geschwindigkeit v, so wird beim Stoß die schnellere Kugel verzögert und die langsamere Kugel beschleunigt. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c 1, c beider Kugeln nach dem Stoß wird der gesamte Stoßvorgang in zwei Abschnitte unterteilt. Erster Stoßabschnitt (Zusammendrücken) Er beginnt mit der Berührung der Kugeln und endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (l min ) geworden ist (siehe F; s-diagramm). Dabei verformen sich die Kugeln. Die Formänderungsarbeit W 1 wird der kinetischen Energie der schnelleren Kugel entzogen. Am Ende des ersten Stoßabschnitts besitzen beide Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c. Zweiter Stoßabschnitt (Entspannen) Er beginnt beim Abstandsminimum l min der Kugelmittelpunkte und endet mit der Trennung der Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos an die Kugel abgegeben (E ¼ E 1 ). Kugel 1 ändert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf c 1 und Kugel von c auf c. Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der gleiche Kraftstoß wie beim Zusammendrücken. Folglich ist für jede der beiden Kugeln die Geschwindigkeitsänderung in beiden Stoßabschnitten gleich groß: v 1 c ¼ c c 1 und c v ¼ c c. Aus dieser Erkenntnis kann eine Gleichung für die Geschwindigkeit c 1 der Kugel 1 nach dem Stoß entwickelt werden; in gleicher Weise erhält man die entsprechende Gleichung für die Kugel. Merkmale des elastischen Stoßes: Keine bleibende Formänderung nach dem Stoß, vollständige Trennung der Körper voneinander nach dem Stoß, verlustfreier Energieaustausch. Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) konstant: vor dem nach dem ersten Stoß Stoßabschnitt zfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflffl{ m 1 v 1 þ m v ¼ m 1 c þ m c c ¼ m 1v 1 þ m v m 1 þ m Für Kugel 1 gilt: v 1 c ¼ c c 1 daraus folgt: Geschwindigkeit beider Körper am Ende des ersten Stoßabschnitts c 1 ¼ c v 1 ¼ m 1v 1 þ m v m 1 þ m v 1 ¼ ðm 1v 1 þ m v Þ ðm 1 þ m Þ v 1 m 1 þ m ¼ m 1v 1 þ m v m v 1 m 1 þ m ¼ ðm 1 m Þ v 1 þ m v m 1 þ m c 1 ¼ ðm 1 m Þ v 1 þ m v m 1 þ m c ¼ ðm m 1 Þ v þ m 1 v 1 m 1 þ m Geschwindigkeiten beider Körper nach dem Stoß

249 4.8 Gerader zentrischer Stoß 5 Da ein kräftefreies System vorausgesetzt wird (es wirken keine äußeren Kräfte), gilt neben dem Impulserhaltungssatz auch der Energieerhaltungssatz (4.7.1, Seite 18). Energieerhaltungssatz für den elastischen Stoß: E Ende des Stoßes ¼ E Anfang des Stoßes 1 ðm 1c 1 þ m c Þ¼ 1 ðm 1v 1 þ m v Þ Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der kinetischen Energien beider Körper bei horizontaler Bewegung konstant. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes und des Impulserhaltungssatzes kann man eine weitere wichtige Beziehung herleiten: Beim elastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit (Differenz der Geschwindigkeiten v 1 und v ) nicht geändert. Der umgeformte Energieerhaltungssatz wird durch den Impulserhaltungssatz dividiert: m 1 ðv 1 c 1 Þ m 1 ðv 1 c 1 Þ ¼ m ðc v Þ m ðc v Þ v 1 þ c 1 ¼ c þ v v 1 v ¼ c c 1 Sonderfälle des geraden zentrischen Stoßes elastischer Körper: Beim elastischen Stoß zweier Körper mit gleichen Massen tauschen die Körper ihre Geschwindigkeiten aus. Beim elastischen Stoß eines Körpers gegen eine starre Wand, prallt er mit gleicher Geschwindigkeit zurück. Beim elastischen Stoß eines Körpers sehr großer Masse m 1 gegen einen ruhenden Körper kleiner Masse m erhält der ruhende Körper die doppelte Geschwindigkeit des stoßenden Körpers (c ¼ v 1 ). Aus der Gleichung von Seite 4: c 1 ¼ ðm 1 m Þ v 1 þ m v m 1 þ m ergibt sich mit m 1 ¼ m ¼ m: c 1 ¼ ðm mþ v 1 þ mv m þ m c 1 ¼ mv m ¼ v und analog c ¼ v 1 m ¼1; v ¼ 0; m 1 vernachlässigt c 1 ¼ m v 1 þ m 0 ¼ v 1 m c 1 ¼ v 1 m 1 > m ; v ¼ 0; m vernachlässigt c ¼ m 1 0 þ m 1 v 1 m 1 ¼ v 1 c ¼ v 1 Bewegen sich die beiden Körper auf der Stoßnormalen aufeinander zu, so erhalten die Geschwindigkeiten v 1 und v und damit auch die Impulse beider Körper entgegengesetzte Vorzeichen (der Impuls ist ein Vektor). Beim Stoß kehrt dann entweder einer der beiden Körper seine Bewegungsrichtung um, oder beide. Auch für diesen Fall gelten für die Geschwindigkeiten c, c 1 und c die entwickelten Gleichungen. Man erkennt die Richtungsumkehr eines Körpers daran, dass seine Geschwindigkeit nach dem Stoß ein anderes Vorzeichen hat als vor dem Stoß.

250 6 4 Dynamik Unelastischer Stoß Unelastische Körper verformen sich beim Stoß plastisch, d. h. sie erhalten eine bleibende Formänderung. Es wird also angenommen, dass keiner der beiden Körper federt. Erster Stoßabschnitt Er verläuft wie beim elastischen Stoß. Beide Körper besitzen am Ende des ersten Stoßabschnitts die gemeinsame Geschwindigkeit c. Die Formänderungsarbeit wurde jedoch nicht als Spannungsenergie gespeichert, sondern in Wärme umgesetzt. Da auch hier ein kräftefreies System vorliegt, bleibt wie beim elastischen Stoß der Gesamtimpuls erhalten, und für die Geschwindigkeit c gilt dieselbe Beziehung wie beim elastischen Stoß. Merkmale des unelastischen Stoßes: bleibende Formänderung nach dem Stoß, keine Trennung der Körper voneinander nach dem Stoß. F 1. Stoßabschnitt E 1 = ΔW v 1 > v c s Zweiter Stoßabschnitt Er entfällt, weil ohne gespeicherte Spannungsenergie auch kein Kraftstoß mehr auftritt, sobald beide Körper die gemeinsame Geschwindigkeit c erreicht haben. Beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit c weiter: Beim unelastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit zu null. Ein Teil der kinetischen Energie wird über die Formänderungsarbeit DW in Wärme umgesetzt. Der Energieverlust der Körper (¼ Formänderungsarbeit DW) wird aus dem Energiesatz berechnet, in den der Ausdruck für die Geschwindigkeit c (Seite 4) einzusetzen ist. Energieerhaltungssatz für den unelastischen Stoß: 1 ðm 1 þ m Þ c ¼ 1 ðm 1v 1 þ m v Þ DW DW ¼ 1 ½m 1v 1 þ m v ðm 1 þ m Þ c Š c ¼ m 1v 1 þ m v m 1 þ m eingesetzt und umgeformt ergibt: DW ¼ 1 m 1 m ðv 1 v Þ W m v m 1 þ m J kg m s Energieabnahme beim unelastischen Stoß Dieser Energie- Verlust ist für einige technische Anwendungsfälle von großer Bedeutung: das Schmieden und Kaltumformen von Werkstücken, das Nieten und das Rammen Schmieden und Nieten Hierbei soll die aufgebrachte Energie der Formänderung dienen. Die verbleibende kinetische Energie der Körper nach dem Stoß muss niedrig gehalten werden. Beim Schmieden ist der angestrebte technische Nutzen die Formänderung des Werkstücks. Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass zum Nieten ein Hammer kleiner Masse und als Gegenhalter ein Körper großer Masse zweckmäßig sind. Formänderungsarbeit DW h ¼ kinetische Energie E 1 vor dem Stoß

251 4.8 Gerader zentrischer Stoß 7 Der Schlagwirkungsgrad h ist dann das Verhältnis zwischen der Formänderungsarbeit DW und der kinetischen Energie E 1 ¼ m 1 v 1 = des Hammerbärs beim Stoßbeginn. Amboss und Werkstück haben die gemeinsame Masse m und ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß ist v ¼ 0. Die Wirkungsgradgleichung zeigt: Je größer die Ambossmasse m im Verhältnis zur Bärmasse m 1 wird, umso größer wird der Wirkungsgrad h. Tatsächlich verformt sich der Bär elastisch. Er springt also nach dem Schlag geringfügig zurück. Dadurch wird der Wirkungsgrad verringert. h ¼ m 1 m ðv 1 v Þ ðm 1 þ m Þ m 1 v 1 h ¼ m m 1 þ m ¼ 1 1 þ m 1 m ¼ m ðv 1 v Þ ðm 1 þ m Þ v 1 v ¼ 0 Wirkungsgrad beim Schmieden Hinweis: Bei normalen Maschinenhämmern ist die Masse der Schabotte (¼ Amboss mit Unterbau) etwa zwanzigmal so groß wie die Masse des Bärs. Der Schmiedevorgang ist nur annähernd ein unelastischer Stoß Rammen von Pfählen, Eintreiben von Keilen Hier wird keine Formänderung angestrebt. Vielmehr sollen beide Körper nach dem ersten Stoßabschnitt eine möglichst große gemeinsame Geschwindigkeit c besitzen, um den Widerstand der Unterlage gegen das Eindringen zu überwinden. Beim Rammen ist der angestrebte technische Nutzen eine möglichst große kinetische Energie E beider Körper nach dem Stoß (genauer: nach dem 1. Stoßabschnitt, weil der Untergrund durch plastische Verformung nachgibt). Der Schlagwirkungsgrad h ist darum hier das Verhältnis zwischen der kinetischen Energie E bei Stoßende und der kinetischen Energie E 1 bei Stoßbeginn. Auch hier ist die Geschwindigkeit des einzurammenden Pfahles (Körper ) v ¼ 0. Die entwickelte Gleichung zeigt, dass der Wirkungsgrad umso größer wird, je größer die Masse m 1 des Bärs oder Hammers gegenüber der Masse m des Pfahles oder Keiles ist. Tatsächlich federn aber beide Körper beim Schlag. Dadurch wird der Wirkungsgrad kleiner. Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass beim Rammen und Eintreiben ein schwerer Bär oder Hammer wirksamer ist als ein leichter. h ¼ kinetische Energie E bei Stoßende kinetische Energie E 1 bei Stoßbeginn ðm 1 þ m Þ c h ¼ m 1 v 1 c ¼ m 1v 1 þ m v m 1 þ m v ¼ 0 h ¼ ðm 1 þ m Þ m 1 v 1 m 1 v 1 ðm 1 þ m Þ ¼ m 1 m 1 þ m h ¼ 1 1 þ m m 1 Wirkungsgrad beim Rammen Beachte: Das Rammen ist nur annähernd ein unelastischer Stoß Wirklicher Stoß Wirkliche Körper sind weder vollkommen elastisch noch vollkommen unelastisch, so dass ihr Verhalten zwischen den beiden in und behandelten Grenzfällen liegt. Die Aussagen für elastischen und unelastischen Stoß lassen sich für den wirklichen Stoß kombinieren. Merkmale des wirklichen Stoßes: Ein Teil der Formänderungsarbeit W 1 verwandelt sich infolge der inneren Reibung in Wärme Q ¼ DE und wird nicht zurückgegeben. Es kann bleibende Formänderung auftreten (geringer als beim unelastischen Stoß). Trennung der Körper nach dem Stoß.

252 8 4 Dynamik Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit. Die Formänderungsarbeit wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollständig zurückgegeben, sondern teilweise in Wärme umgewandelt. Die für den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen lassen sich für den wirklichen Stoß weiterentwickeln, wenn als Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten die Stoßzahl k eingeführt wird. Die Stoßzahl k hängt von der Werkstoffpaarung ab und wird durch Fallversuche ermittelt. Beim Fallversuch fällt eine Kugel aus dem einen Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null (v ¼ 0 und c ¼ 0). Die Fallhöhe h und die Rücksprunghöhe h 1 werden gemessen. Daraus wird mit den Gesetzen des freien Falls und des Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet. F 1. Stoßabschnitt E > E v 1 > v k ¼ c c 1 v 1 v c. Stoßabschnitt Wärme ΔQ = ΔE c < c 1 Definitionsgleichung der Stoßzahl Stoßzahlen: k ¼ 1 elastischer Stoß k ¼ 0 unelastischer Stoß k ¼ 0,35 Stahl bei 1100 C k ¼ 0,7 Stahl bei 0 C k ¼ 0 ð c 1Þ v 1 0 rffiffiffiffi h 1 k ¼ h ¼ c 1 v 1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffi gh pffiffiffiffiffiffiffi 1 h 1 ¼ gh h Die Rückprallgeschwindigkeit c 1 der Kugel ist der Aufprallgeschwindigkeit v 1 entgegengerichtet und muss deshalb mit negativem Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt werden. s Auch für den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz für kräftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz die Beziehung für c eingesetzt, die man aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung eine Gleichung für die Geschwindigkeit c 1 des Körpers 1 nach dem wirklichen Stoß. Durch Vertauschen der Indizes erhält man die entsprechende Gleichung für die Geschwindigkeit c des Körpers. m 1 v 1 þ m v ¼ m 1 c 1 þ m c c ¼ kðv 1 v Þþc 1 eingesetzt ergibt: c 1 ¼ m 1v 1 þ m v m ðv 1 v Þ k m 1 þ m c ¼ m 1v 1 þ m v þ m 1 ðv 1 v Þ k m 1 þ m Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß Werden die so entwickelten Beziehungen für c 1 und c in die Gleichung für den Energieerhaltungssatz des wirklichen Stoßes E ¼ E 1 DW eingesetzt, dann erhält man nach einer längeren Entwicklung die Gleichung für den Energieverlust DW beim wirklichen Stoß. E ¼ E 1 DW 1 ðm 1c 1 þ m c Þ¼ 1 ðm 1v 1 þ m v Þ DW DW ¼ 1 m 1 m ðv 1 v Þ ð1 k Þ m 1 þ m Energieverlust beim wirklichen Stoß

253 4.8 Gerader zentrischer Stoß Ûbungen zum geraden zentrischen Stoß 1. Ûbung: Ein beladener Waggon von 80 t Masse stößt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s auf einen Waggon von 15 t Masse, der ihm mit einer Geschwindigkeit von 1,8 m/s entgegenkommt. Welche Geschwindigkeit c haben beide nach dem ersten Stoßabschnitt und mit welchen Geschwindigkeiten c 1, c fahren sie nach dem Stoß weiter, wenn elastischer Stoß angenommen wird? Lösung: Da sich beide Waggons aufeinander zu bewegen, muss die eine Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen bekommen. Man wählt dafür die Geschwindigkeit v des kleineren Körpers, da die Erfahrung lehrt, dass meistens der Körper mit größerer Masse seine Bewegungsrichtung beibehält. Der Betrag für die gemeinsame Geschwindigkeit c hat ein positives Vorzeichen, also gleichen Richtungssinn wie v 1 (kein Vorzeichenwechsel), aber entgegengesetzten Richtungssinn wie v (Vorzeichenwechsel). Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c 1 und c setzt man in die Gleichungen aus (Seite 4) den Betrag der Geschwindigkeit v mit negativem Vorzeichen ein. Beide Geschwindigkeiten c 1 und c ergeben sich positiv, d. h. Waggon 1 behält seine Bewegungsrichtung bei, Waggon läuft rückwärts weiter. Zusammenfassend kann gesagt werden: Waggon läuft nach dem Stoß in entgegengesetzter Richtung mit erhöhter Geschwindigkeit weiter, Waggon 1 wird langsamer, behält aber seine Bewegungsrichtung bei.. Ûbung: Der Bär eines Fallhammers wiegt 1000 kg und seine Schabotte 5000 kg. Der Bär trifft mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s auf das Werkstück. Die Stoßzahl beträgt k ¼ 0,5. Zu berechnen sind: der Schlagwirkungsgrad h und die prozentuale Verteilung der Gesamtenergie am Schlagende auf Bär, Schabotte und Werkstück. Die Massen von Amboss und Werkstück können vernachlässigt werden. Gegeben: m 1 ¼ 80 t v 1 ¼ 1 m s Gesucht: m ¼ 15 t v ¼ 1,8 m s Geschwindigkeiten c, c 1 und c Die gemeinsame Geschwindigkeit c nach der ersten Stoßperiode beträgt: c ¼ m 1v 1 þ m v m 1 þ m 80 t 1 m c ¼ s þ 15 t 1,8 m s 80 t þ 15 t ¼ 0,5579 m s c 1 ¼ ðm 1 m Þ v 1 þ m v m 1 þ m ð80 15Þ t 1 m c 1 ¼ s þ 15 t 1,8 m s 80 t þ 15 t c 1 ¼ 0,1158 m s c ¼ ðm m 1 Þ v þ m 1 v 1 m 1 þ m ð15 80Þ t 1,8 m þ 80 t 1 m c ¼ s s 80 t þ 15 t c ¼,9158 m s Gegeben: Bärmasse m 1 ¼ 1000 kg Schabottemasse m ¼ 5000 kg Auftreffgeschwindigkeit v 1 ¼ 6 m/s Stoßzahl k ¼ 0,5 Gesucht: Wirkungsgrad h, prozentuale Verteilung der Energie auf Bär, Werkstück und Schabotte.

254 30 4 Dynamik Lösung: Den Wirkungsgrad berechnet man aus Nutzen und Aufwand beim Schlag. Der Nutzen besteht hierbei in der dem Werkstück zugeführten Verformungsarbeit. Das ist der Energieverlust DW beim Stoß. Als Aufwand wird die Energie E 1 beider Körper unmittelbar vor dem Stoß eingesetzt. Das ist die kinetische Energie des Bärs, da die Schabotte mit Amboss und Werkstück ruht. Der errechnete Wirkungsgrad sagt aus, dass die Anfangsenergie zu 7,11% in Verformungsarbeit umgesetzt wird. Der Rest verbleibt als kinetische Energie nach dem Stoß in beiden Körpern. Es werden zunächst die Geschwindigkeiten c 1 und c der Körper nach dem Stoß berechnet. Die Geschwindigkeit c 1 enthält ein negatives Vorzeichen, d. h. sie ist der positiv in die Rechnung eingesetzten Geschwindigkeit v 1 entgegengerichtet (Vorzeichenwechsel ¼ Rückprall des Bärs). Die Geschwindigkeit c der Schabotte nach dem Stoß bestimmt man am einfachsten aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl k. In die Gleichung für c muss c 1 mit seinem Minus- Zeichen eingesetzt werden. Nun ist es möglich die kinetischen Energien E B für den Bär und E S für die Schabotte nach dem Stoß zu berechnen. Die Energiebilanz zeigt, dass fast 0% der aufgewendeten Energie durch den Rückprall des Bärs nicht in Verformungsarbeit umgesetzt werden; eine Folge des halbelastischen Stoßes mit der Stoßzahl 0,5. Der Schlagwirkungsgrad wird dadurch beträchtlich verschlechtert. Aufgaben Nr DW ¼ m 1m ðm 1 þ m Þ ðv 1 v Þ ð1 k Þ DW ¼ 103 kg kg 36 m kg s 0,75 DW ¼ 1 980,77 Nm ¼ 1, J E 1 ¼ m 1v 1 h ¼ DW E kg 36 m ¼ s ¼ 1, J ¼ 1, J 1, ¼ 0,711 J c 1 ¼ m 1v 1 þ m v m ðv 1 v Þ k m 1 þ m ; v ¼ 0 c 1 ¼ m 1v 1 m v 1 k m 1 þ m 10 3 kg 6 m c 1 ¼ s kg 6 m s 0, kg 6 m c 1 ¼ s 75 m s ¼,6538 m 6 s k ¼ c c 1 v 1 v ¼ c c 1 v 1 mit v ¼ 0 c ¼ kv 1 þ c 1 c ¼ 0,5 6 m s þ,6538 m ¼þ0,346 m s s E B ¼ m 1c kg,6538 m ¼ s E B ¼ 351,33 Nm ¼ 3, J E S ¼ m 5 10 c 3 kg 0,346 m ¼ s E S ¼ 1498,18 Nm ¼ 1, J Energiebilanz: Körper Energie in J % Bär 351,33 19,56 Schabotte 1498,18 8,3 Werkstück 1980,77 7,11 E ,8 99,99

255 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Wie in der Bewegungslehre sollen auch hier die hergeleiteten Gleichungen und die wichtigsten Erkenntnisse sofort mit den entsprechenden Gleichungen der Dynamik für die geradlinige Bewegung verglichen werden (Analogiebetrachtung). Damit kommt man über Bekanntes leichter zum Verständnis des Neuen Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung Das dynamische Grundgesetz F res ¼ mader geradlinigen Bewegung gilt auch für jede Teilmasse Dm des beschleunigt umlaufenden Körpers. Für die resultierende Kraft F res setzt man hier die (kleine) Tangentialkraft DF T ein. Gleichsinnig gerichtet ist die Tangentialbeschleunigung a T. Damit wird aus F res ¼ ma nach (Seite 191) das dynamische Grundgesetz für die Teilmasse DF T ¼ Dma T. Resultierende Tangentialkraft DF T und Tangentialbeschleunigung a T der Teilmasse Dm Multipliziert man das dynamische Grundgesetz für die Teilmasse Dm mit dem Radius r, dann steht links vom Gleichheitszeichen mit DF T r ¼ DM das Teil-Drehmoment der Tangentialkraft F T in Bezug auf die Drehachse A des beschleunigt umlaufenden Körpers. Außerdem wird nach (Seite 183) für die Tangentialbeschleunigung a T ¼ ar eingesetzt (a Winkelbeschleunigung). Es wird nun die Summe aller Teil-Drehmomente SDM gebildet. Dann steht auf der linken Gleichungsseite das resultierende Drehmoment M res, was der resultierenden Kraft F res bei der geradlinigen Bewegung entspricht (M res ¼b F res ). Auf der rechten Seite der Gleichung darf die konstante Winkelbeschleunigung a vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der restliche Summenausdruck SDm n r n wird als Trägheitsmoment J bezeichnet. Das muss man gesondert behandeln (4.9., Seite 3). Damit ist das dynamische Grundgesetz für die Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse gefunden. F res ¼ ma DF T ¼ Dma T jr DF T r ¼ Dma T r DM ¼ Dma T r DM ¼ Dm arr ¼ Dmr a SDM ¼ SDm n r n a M res ¼ SDm n r n a (Index n heißt natürliche Zahl, also 1,, 3,...) M res ¼ a SDm n r n fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} J M res ¼ a J Das Trägheitsmoment J kann nach DIN 1304 auch als Massenmoment. Grades bezeichnet werden. Gleichungen für das Trägheitsmoment verschiedener Körper siehe Seite 34.

256 3 4 Dynamik Das auf einen Körper vom Trägheitsmoment J einwirkende resultierende Drehmoment M res ist gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment J und der Winkelbeschleunigung a (Winkelverzögerung) des Körpers. Der Vergleich mit dem dynamischen Grundgesetz F res ¼ ma zeigt: Das resultierende Drehmoment entspricht der resultierenden Kraft (M res ¼b F res ), das Trägheitsmoment entspricht der Masse des Körpers (J ¼b m) und die Winkelbeschleunigung entspricht der Beschleunigung (a ¼b a). resultierendes Drehmoment M res M res ¼ Ja ¼ Trägheitsmoment J beschleuni- Winkelgung a Dynamisches Grundgesetz für Drehung M res ¼b F res J ¼b m a ¼b a F res ¼ ma M res ¼ Ja M res J a kg m Nm ¼ kg m rad s s siehe auch 4.3.1, Seite 181 und 4.6.1, Seite Trägheitsmoment J und Trägheitsradius i Definition des Trägheitsmomentes In der Herleitung des dynamischen Grundgesetzes für die Drehung eines Körpers entstand der Summenausdruck SDm n r n,dermitträgheitsmoment J bezeichnet wird: Multipliziert man jede Teilmasse Dm eines Körpers mit dem Quadrat ihres Abstands von der Drehachse, dann ergibt die Summe dieser Produkte das Trägheitsmoment J dieses Körpers. M res ¼ asdm n r n ¼ a J J ¼ Dm 1 r 1 þ Dm r þ Dm 3 r 3 þ...þ Dm n r n J ¼ SDm n r n J Dm r kg m kg m Die Einheit des Trägheitsmoments J ergibt sich wie gewohnt aus der Definitionsgleichung: Mit den kohärenten Einheiten kg und m erhält man hier das Kilogramm-Meterquadrat (kg m ). Natürlich kann auch mit jedem anderen Produkt aus einer gesetzlichen Masseneinheit und dem Quadrat einer gesetzlichen Längeneinheit gerechnet werden. Mit Hilfe der Gesetze der Integralrechnung hat man für geometrisch einfache Körper die Berechnungsgleichungen für das Trägheitsmoment entwickelt (siehe Tabelle 4.5, Seite 34). Für kompliziertere Körper bestimmt man das Trägheitsmoment z. B. durch Schwingungsversuche (siehe Fußnote Seite 04). ðjþ ¼ðmÞðr Þ ðjþ ¼kg m Beispiel: J ¼ 0,004 kg m ¼ 0, g 10 6 mm J ¼ gmm ¼ gcm ¼ g cm Beispiel: Für einen Kreiszylinder wird in Bezug auf seine Längsachse mit m ¼ 10 kg und r ¼ 00 mm nach Tabelle 4.5, Seite 34: J x ¼ 1 mr ¼ 1 10 kg ð0, mþ ¼ 0, kg m

257 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Ûbung zum Trägheitsmoment Das Verständnis für die Berechnungsgleichungen in Tabelle 4.5 (Seite 34) wird vertieft, indem mit Hilfe der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment J ¼ SDm n r n eine Gleichung entwickelt wird, die für den Kreiszylinder gilt. Für die x-achse des Kreiszylinders muss man nach Tabelle 4.5 die Gleichung J x ¼ rpr 4 h= finden (r ist die Dichte des Stoffs). Man löst zunächst den Kreiszylinder in drei Teilkörper auf (Dm 1, Dm, Dm 3 ) und legt deren mittlere Radien r 1, r, r 3 in Abhängigkeit vom Radius r fest, denn das sind die Radien, mit deren Quadrat die Teilmassen Dm 1, Dm, Dm 3 zu multiplizieren sind (J x ¼ SDm n r n ). Die Teilmassen selbst erhält man nach 4.4. (Seite 188) als Produkt aus Dichte r, Fläche A und Dicke h. A 1 ¼ p 10 r ¼ pr A ¼ p 6 10 r p 10 r ¼ pr A 3 ¼ p r p 6 10 r ¼ pr Die Summierung der Produkte SDm n r n ¼ J x ergibt in der Rechnung vor dem Produkt rpr 4 h den Faktor 1/,17, während die exakte Berechnung zu dem Faktor 1/,00 führen würde, wie die Tabelle 4.5 (Seite 34) zeigt. Wenn die sehr grobe Aufteilung des Kreiszylinders schon zu dieser Annäherung führt, dann ist anzunehmen, dass eine Unterteilung in 6 oder 1 Teilkörper fast genau den exakten Faktor 1/,00 ergibt. Dm 1 ¼ ra 1 h ¼ rhpr Dm ¼ ra h ¼ rhpr Dm 3 ¼ ra 3 h ¼ rhpr Dm 1 r 1 ¼ rhpr r ¼ rpr 4 4 h Dm r ¼ rhpr r ¼ rpr 4 h Dm 3 r 3 ¼ rhpr r ¼ rpr 4 h SDm n r n ¼ rpr4 h ¼ 1,17 rpr4 h J x ¼ 1,17 rpr4 h exakt nach Tabelle 4.5: J x ¼ 1,00 rpr4 h

258 34 4 Dynamik Tabelle 4.5 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmoment. Grades) Art des Körpers Rechteck, Quader Kreiszylinder Trägheitsmoment J (J x um die x-achse; J z um die z-achse; J 0 um die 0-Achse) J x ¼ 1 1 mðb þ h Þ¼ 1 1 rhbsðb þ h Þ bei geringer Plattendicke s ist J z ¼ 1 1 mh ¼ 1 1 rbh3 s; J 0 ¼ 1 3 mh ¼ 1 3 rbh3 s Würfel mit Seitenlänge a: J x ¼ J z ¼ m a 6 J x ¼ 1 mr ¼ 1 8 md ¼ 1 3 rpd4 h ¼ 1 rpr4 h J z ¼ 1 16 m d þ 4 3 h ¼ 1 64 rpd h d þ 4 3 h Hohlzylinder Kreiskegel Zylindermantel Hohlzylinder mit Wanddicke s ¼ðD dþ= sehr klein im Verhältnis zum mittleren Durchmesser d m ¼ðD þ dþ= J x ¼ 1 mðr þ r Þ¼ 1 8 mðd þ d Þ¼ 1 3 rphðd4 d 4 Þ J x ¼ 1 rphðr4 r 4 Þ J z ¼ 1 4 m R þ r þ 1 3 h J x ¼ 3 10 mr Kreiskegelstumpf: J x ¼ 3 10 m R5 r 5 R 3 r 3 ¼ 1 16 m D þ d þ 4 3 h J x ¼ 1 4 md m ¼ 1 4 rpd m 3 hs J z ¼ 1 8 m d m þ 3 h ¼ 1 8 rpd m hs d m þ 3 h Kugel J x ¼ 5 mr ¼ 1 10 md ¼ 1 60 rpd5 ¼ 8 15 rpr5 Hohlkugel (Kugelschale) Wanddicke s ¼ðD dþ= sehr klein im Verhältnis zum mittleren Durchmesser d m ¼ðD þ dþ= Ring J x ¼ J z ¼ 1 6 md m ¼ 1 6 rpd m 4 s J z ¼ m R þ 3 4 r ¼ 1 4 m D þ 3 4 d J z ¼ 1 16 rp Dd D þ 3 4 d ¼ 1 4 md 1 þ 3 4 " # d D

259 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Verschiebesatz (Steiner scher Satz) Die Berechnungsgleichungen für Trägheitsmomente J in Tabelle 4.5 (Seite 34) wurden für die Schwerachsen der Körper entwickelt, so wie bei der Herleitung der Gleichung J x ¼ 0,5rpr 4 h für den Kreiszylinder. Diese Gleichungen gelten also für den Fall, dass die Körperschwerachse zugleich Drehachse ist. Decken sich Körperschwerachse x x und Drehachse 0 0 (Bezugsachse) nicht, wie z. B. beim Kurbelzapfen (Kreiszylinder) auf der Kurbelscheibe, dann muss man das Trägheitsmoment J 0 des Teilkörpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die parallele Drehachse 0 0 nach dem Verschiebesatz von Steiner bestimmen. Das ist das gleiche Verfahren wie z. B. bei der Biegebeanspruchung in der Festigkeitslehre, wenn die Flächenschwerachse der Teilfläche nicht zugleich Biegeachse der ganzen Fläche ist (siehe 5.7.6, Seite 31). Zur Herleitung des Verschiebesatzes geht man von der uneingeschränkt gültigen Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment aus, hier bezogen auf die Drehachse 0 0. Der Abstand der Teilmasse Dm von der Bezugsachse beträgt jetzt l þ r n, wie die Skizze der Kurbelscheibe zeigt. In Tabelle 4.5 (Seite 34) sind die x-achsen und die z-achsen Schwerachsen der Körper. J x ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen auf die Schwerachse x x usw. x x Schwerachse des Kreiszylinders 0 0 Drehachse (Bezugsachse) r n zu Dm n gehöriger Radius Dm n beliebige Teilmasse l Abstand Schwerachse-Drehachse (Bezugsachse) J 0 ¼ Summe aller Teilmassen mal Abstandsquadrat J 0 ¼ SDm n ðl þ r n Þ J 0 ¼ SDm n ðl þ lr n þ r n Þ J 0 ¼ l SDm fflfflfflffl{zfflfflfflffl} n þ lsdm n r n þ SDm fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} n r fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} n 1: Glied : Glied 3: Glied Das erste Glied der gefundenen Gleichung führt zum Produkt ml, weil SDm ¼ m ¼ Masse des Kurbelzapfens ist. Das zweite Glied wird null, weil SDm n r n ¼ 0 ist. SDm n r n ist die Summe der statischen Momente aller Teilmassen bezogen auf die Schwerachse des Körpers. Diese Momentensumme ist gleich null (siehe Momentensatz und Schwerpunktslehre). Das dritte Glied erkennt man sofort: Es ist das Trägheitsmoment J x des Teilkörpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die eigene Schwerachse (J x ¼ J s nach Tabelle 4.5). l SDm n ¼ l m ¼ ml l SDm n r n ¼ l 0 ¼ 0 SDm n r n ¼ J x ¼ J s J s ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen auf die eigene Schwerachse. Es kann J x, J z oder J 0 nach Tabelle 4.5 sein.

260 36 4 Dynamik Damit kann man den Verschiebesatz formulieren: Das Trägheitsmoment J 0 für eine Drehachse 0 0 ist gleich dem Trägheitsmoment J s für die parallele Schwerachse s s des Körpers, vermehrt um das Produkt aus der Masse m des Körpers und dem Abstandsquadrat l der beiden Achsen. Eine der beiden parallelen Achsen muss immer Schwerachse sein. J 0 ¼ J s þ ml Verschiebesatz J 0, J s m l kg m kg m Sind die Trägheitsmomente J s1, J s, J s3 mehrerer Teilkörper auf eine zu den Teilschwerachsen parallele Drehachse 0 0 zu beziehen, dann ist immer das Produkt m 1 l 1, m l, m 3 l 3 hinzuzufügen. Decken sich die Schwerachsen der Teilkörper mit der Drehachse, dann werden die Produkte ml gleich null, d. h. man darf dann (aber nur dann) die Trägheitsmomente einfach addieren (für Bohrungen subtrahieren). J 0 ¼ J s1 þ m 1 l 1 þ J s þ m l þ... Verschiebesatz Beachte: Bei Bohrungen werden J s und auch ml für die Bohrung negativ. J 0 ¼ J s1 þ J s þ J s3 þ...þ J sn (gilt nur für l 1 ¼ 0; l ¼ 0; l 3 ¼ 0...l n ¼ 0) Ûbung: Die im Abstand l ¼ 00 mm um eine Drehachse 0 rotierende Kugel hat den Radius r ¼ 10 mm und die Dichte r ¼ 8,6 g/cm 3.Essoll das Trägheitsmoment J 0 für die Drehachse bestimmt werden. Lösung: Der Verschiebesatz wird angesetzt. Für das Trägheitsmoment J s der Kugel in Bezug auf die eigene Schwerachse findet man in Tabelle 4.5 (Seite 34) die Beziehung J x ¼ð=5Þ mr ¼ J s. Aus der Mathematik ist die Gleichung für das Kugelvolumen bekannt. Außerdem weiß man, dass m ¼ Vr ist (4.4., Seite 190). Für die Ausrechnung wird hier als Masseneinheit g, und als Längeneinheit cm benutzt. Mit 1 g ¼ 10 3 kg und 1 cm ¼ 10 4 m kann abschließend leicht umgerechnet werden. J 0 ¼ J s þ ml m ¼ 4 3 pr3 r (Kugelmasse) J s ¼ 5 mr (nach Tabelle 4.5, Seite 34) J 0 ¼ 5 mr þ ml ¼ m 5 r þ l J 0 ¼ 4 3 pr3 r 5 r þ l J 0 ¼ g cm ¼ 14,4 kg cm J 0 ¼ 14, kg m

261 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Reduzierte Masse m red und Trägheitsradius i Reduzierte Masse m red eines Körpers ist eine in beliebigem Abstand r von der Drehachse gedachte Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das gleiche Trägheitsmoment J s besitzt, wie die verteilte Masse m des ursprünglichen Körpers. Dabei kann man sich die reduzierte Masse m red als sehr dünnen Hohlzylinder, als Kugel, als Punkt usw. denken. Manche Rechnungen und Ûberlegungen werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes r für die reduzierte Masse erhält man dafür einen anderen Betrag, denn es muss immer von der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment ausgegangen werden, in diesem Fall also von J s ¼ m red r. Beispiel: Gesucht ist die reduzierte Masse m red für einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man sich die Masse m auf den Zylinderumfang reduziert denkt. Im nebenstehenden Beispiel soll die Masse m des Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen werden (r bleibt gleich groß). Dann ergibt sich aus J s ¼ m red r die reduzierte Masse m red ¼ J s =r ¼ m=. J s ¼ mr m red ¼ J s r ¼ mr r ¼ m Man erhält demnach die reduzierte Masse m red, indem das Trägheitsmoment J s des ursprünglichen Körpers durch das Quadrat des gewählten Radius dividiert wird. J s ¼ m red r m red ¼ J s m red Ersatzmasse r (reduzierte Masse) Trägheitsradius i eines Körpers ist derjenige Abstand von der Drehachse, in dem man sich die Masse m des Körpers als reduzierte Masse umlaufend vorstellen muss, ohne dass sich das ursprüngliche Trägheitsmoment J s des Körpers ändert. Nach der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment muss mit Masse m und Trägheitsradius i jetzt J s ¼ mi gelten. Daraus lässt sich der Trägheitsradius bestimmen. J s ¼ mi rffiffiffiffi J s i ¼ m J s gegebenes Trägheitsmoment m gegebene Masse i gesuchter Trägheitsradius Aufgaben Nr

262 38 4 Dynamik Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung Ûbung: Durch einen Bremsversuch soll das Trägheitsmoment J einer Scheibenkupplung bestimmt werden. Die Kupplung besitzt die Masse m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes Bremsmoment von 0 Nm in 5 s von n 1 ¼ 800 min 1 auf n ¼ 1345 min 1 abgebremst. Gegeben: Gesucht: M res ¼ 0 Nm Dt ¼ 5 s w 1 ¼ pn 1 30 rad ¼ 93, s rad ¼ 140,8 s w ¼ pn 30 J s ¼ J ¼ f ðm res, Dt, w 1, w Þ Lösung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt man die Winkelbeschleunigung a definitionsgemäß durch a ¼ Dw=Dt ¼ðw 1 w Þ=Dt und löst die Gleichung nach J auf. In der Ausrechnung wird die Einheit Nm für das resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten (1 N ¼ 1 kgm/s ) ersetzt. M res ¼ Ja ¼ J Dw Dt ¼ J w 1 w Dt J ¼ M res Dt w 1 w J ¼ kg m 0 s 5 s ð93, 140,8Þ rad s J ¼ f ðm res, Dt, w 1, w Þ ¼ 3,8 kg m Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung Das dynamische Grundgesetz für Drehung kann in eine andere Form gebracht werden, mit der sich bestimmte Aufgaben einfacher lösen lassen. Dazu schreibt man für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders für Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 01). Das Produkt aus dem resultierenden äußeren Drehmoment M res und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß. Das Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird als Drehimpuls oder Drall bezeichnet: M res ¼ Ja a ¼ Dw Dt M res ¼ J Dw Dt Dt M res Dt ¼ J Dw M res ðt t 1 Þ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} Dt ¼ J ðw w 1 Þ fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} Dw Dt ¼ t t 1 Dw ¼ w w 1 gilt für M res ¼ konstant M res Dt Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes Jw Drehimpuls (Drall) des Körpers Die Ønderung des Drehimpulses eines Körpers ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes während des betrachteten Zeitabschnitts. Der Drehimpuls ist ein Vektor. M res Dt ¼ Jw Jw 1

263 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 39 Ist das resultierende Drehmoment M res aller äußeren Drehmomente gleich null (momentfreies System), dann ist auch der Momentenstoß M res Dt gleich null: M res Dt ¼ Jw Jw 1 ¼ 0 Bei M res ¼ 0 bleibt der Drehimpuls eines Körpers unverändert (Jw ¼ konstant). Ein Vergleich der voranstehenden Entwicklungen mit den Herleitungen zum Impuls bei geradliniger Bewegung (4.4.9, Seite 01) zeigt deutlich die strukturelle Ûbereinstimmung der Gesetze der geradlinigen Bewegung und der Drehbewegung (Analogie) Kinetische Energie E rot (Rotationsenergie) Man geht auf die gleiche Weise vor wie im Abschnitt 4.7.3, Seite 19: Wird ein Körper, z. B. eine Schwungscheibe, aus dem Stillstand heraus auf die Winkelgeschwindigkeit w gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen Grundgesetz das resultierende Drehmoment M res ¼ Ja erforderlich (4.9.1, Seite 31). M res dreht den Körper um den Drehwinkel Dj, verrichtet also am Körper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit W a ¼ M res Dj. Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit, mit der der Körper, z. B. das Schwungrad, an einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Da nur solche Körper diese Energieart besitzen, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit w drehen, spricht man von Rotationsenergie E rot. Mit der bisherigen Kenntnis der einander entsprechenden Größen der geradlinigen und der Drehbewegung hätte man die Gleichung für die Rotationsenergie sofort aufschreiben können. Besitzt ein Körper schon die Winkelgeschwindigkeit w 1 und wird er durch M res über dem Drehwinkel Dj auf die Winkelgeschwindigkeit w gebracht, dann wird für Dj ¼ðw w 1 Þ=a eingesetzt (Tabelle 4.3, Seite 185). Damit erhält man eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit W a in der allgemeinen Form. W a gibt dann zugleich die Ønderung der Rotationsenergie des Körpers an (DE rot ¼ E rot E rot 1 ). Vergleiche mit Seite 19. Jw ¼ Jw 1 ¼ konstant Impulserhaltungssatz für Drehung M res ¼ Ja ¼ J Dw Dt Dw ¼ w gesetzt M res Dj ¼ J w Dt Dj M res Dj ¼ J w Dt w Dt M res Dj ¼ J w ¼ W a Rotationsenergie E ¼ Beschleunigungsarbeit W rot a E rot ¼ J w Rotationsenergie Masse m ¼b Trägheitsmoment J Geschwindigkeit v ¼b Winkelgeschwindigkeit w E kin ¼ m v ) E rot ¼ J w M res Dj ¼ Ja Dj Dj ¼ w w 1 a M res Dj ¼ Ja w w 1 a W a ¼ J ðw w 1 Þ¼DE rot Ønderung der Rotationsenergie E rot, W a J w J ¼ Nm kg m rad s

264 40 4 Dynamik Energieerhaltungssatz für Drehung Der Energieerhaltungssatz für technische Vorgänge nach Abschnitt 4.7.5, Seite 0, muss auch für die Drehbewegung gelten. Energieerhaltungssatz Die Rotationsenergie E rot E am Ende eines Vorgangs ist gleich der Rotationsenergie E rot A am Anfang des Vorgangs, vermehrt um die während des Vorgangs zugeführte Arbeit W zu und vermindert um die während des Vorgangs abgegebene Arbeit W ab. E rot E ¼ E rot A þ W zu W ab Rotationsenergie am Ende des Vorgangs ¼ Rotationsenergie am Anfang des Vorgangs þ zugeführte Arbeit abgeführte Arbeit Ûbung: Eine Schleifscheibe von d 1 ¼ 500 mm Durchmesser und der Masse m ¼ 5 kg wird bei einer Drehzahl n ¼ min 1 ausgeschaltet und läuft in 387 s aus. Der Lagerdurchmesser beträgt d ¼ 50 mm. Gesucht wird die mittlere Reibungszahl m in den beiden Gleitlagern der Schleifscheibenwelle. Lösung: Bei diesem Auslaufversuch zur Bestimmung der Reibungszahl in den Lagern ist E rot E ¼ 0, denn am Ende des Vorgangs ruht die Scheibe. Ebenso ist W zu ¼ 0, weil keine Arbeit zugeführt wird. Dagegen wird während des Vorgangs Reibungsarbeit W R abgeführt (Reibungsarbeit der Reibungskraft F N m). Anfangsenergie ist die Rotationsenergie E rot ¼ Jw =, mit J ¼ mr = nach Tabelle 4.5, Seite 34. Für r muss man ðd 1 =Þ einsetzen. Beim Auslaufen wird demnach die gesamte Anfangsenergie durch die Reibungsarbeit aufgezehrt (E rot ¼ W R ). E rot E ¼ E rot A þ W zu W ab 0 ¼ J w þ 0 W R W R ¼ M R Dj; Dj ¼ w Dt v v Δf = vδt 0 Δt t M R ¼ F N m d ¼ mgm d ; F N ¼ F G ¼ mg W R ¼ mgm d w Dt J w ¼ W R ; J ¼ 1 mr ¼ 1 m d m d 1 4 w ¼ mgm d w Dt 4 mw d 1 4 w ¼ gmd Dt Aufgaben Nr m ¼ d 1 w 4gd Dt m ¼ 0,051

265 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) Fliehkraft Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft Nach dem Trägheitsgesetz bewegt sich jeder Körper mit konstanter Geschwindigkeit (v ¼ konstant) auf geradliniger Bahn weiter, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. Dann bleibt also nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektors erhalten (z. B. v ¼ 4 m/s), sondern auch Richtung und Richtungssinn. Soll sich ein Körper auf einer kreisförmigen Bahn bewegen, dann kann zwar der Betrag der Geschwindigkeit v u (Umfangsgeschwindigkeit) gleich groß bleiben (v u ¼ konstant), aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich laufend. Es soll nun der Betrag der zum Mittelpunkt M gerichteten Zentripetalbeschleunigung a z bestimmt werden: Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleibt der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit gleich groß, also v u1 ¼ v u ¼ v u, jedoch hat sich ihre Richtung auf dem Weg von P 1 nach P geändert. In beiden Punkten ist v u tangential gerichtet. Der Kreisbogen _ P 1 P muss entsprechend der Grundgleichung für die gleichförmige Bewegung gleich v u Dt sein, also _ P 1 P ¼ v u Dt. Der Radius des Kreises wird mit r s bezeichnet, um schon hier deutlich zu zeigen, dass immer die Umlaufbahn des Massenschwerpunkts eines Körpers zu betrachten ist. Man zeichnet sich nun die beiden Geschwindigkeitsvektoren in den beiden Punkten P 1 und P heraus (Parallelverschiebung) und bezeichnt die Endpunkte der Geschwindigkeitspfeile mit P 0 1 und P0. Aus der Øhnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke kann die Verhältnisgleichung herausgelesen werden. Für sehr kleine Zeitabschnitte Dt kann man _ P 0 1 P0 ¼ P0 1 P0 setzen. Die Richtungsänderung der beiden Geschwindigkeitsvektoren v u1, v u ist der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Dv. Damit wird die Verhältnisgleichung entsprechend umgeschrieben. Beachte: Wichtig ist für die folgende Betrachtung, dass jeder Körper ohne äußere Einflüsse von sich aus bestrebt ist, die gerade Bewegungsbahn beizubehalten. Beachte: Auch bei gleichförmiger Kreisbewegung muss der umlaufende Körper dauernd in Richtung zum Mittelpunkt hin abgelenkt werden: Das ist ein Beschleunigungsvorgang und es gilt F res ¼ ma. _ P 1 P r s Tangente M n( ω) r s _ P 0 1 ¼ P0 v u _ P 1 P ¼ v u Dt P 0 1 P0 ¼ Dv v u Dt r s ¼ Dv v u Δϕ P 1 a z M v u Δϕ P v u1 Normale a z P 1 v u1 s=vu t P v u v=v u v u1, denn v u1 + v = vu

266 4 Löst man die Gleichung nach Dv=Dt auf, und beachtet, dass jeder Quotient aus einer Geschwindigkeitsänderung und dem zugehörigen Zeitabschnitt eine Beschleunigung darstellt, dann erhält man die Gleichung für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung a z. Eine zweite Form findet man, indem nach 4..7 (Seite 178) für v u ¼ r s w eingesetzt wird. Die Zentripetalbeschleunigung a z ist zum Drehmittelpunkt gerichtet. Dv Dt ¼ a z ¼ v uv u r s a z ¼ v u r s ¼ r s w ¼ vu r s a z v u r s w m s Zentripetalbeschleunigung Beachte: r s ist der Radius des Kreises, auf dem der Schwerpunkt des Körpers umläuft. m s 4 Dynamik m rad s Ursache jeder Beschleunigung ist nach dem dynamischen Grundgesetz immer eine resultierende Kraft F res ¼ ma. Diese Kraft heißt hier Zentripetalkraft F z. Sie steht nach d Alembert im Gleichgewicht mit der entgegengesetzt gerichteten Trägheitskraft des Körpers, die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft heißt. Diese Kräfte haben Bedeutung bei Fliehkraftreglern, Kreiselpumpen, Unwuchten, Schleudergussverfahren, Kurvenfahrten von Fahrzeugen usw. F res ¼ ma F res ¼ F z a ¼ a z F z ¼ ma z ¼ mr s w ¼ m v u Zentripetalkraft F z m a z r s w v u N ¼ kgm m kg m rad m s s s s r s Ûbungen zur Fliehkraft 1. Ûbung: Eine Rennstrecke soll in einer Kurve vom Radius r s ¼ 400 m eine Geschwindigkeit von v ¼ 80 km/h ermöglichen, ohne dass an den Reifen seitliche Reibungskräfte abgestützt werden müssen. Dazu muss der Neigungswinkel a der Fahrbahn so groß werden, dass die Resultierende aus Fliehkraft F z und Gewichtskraft F G in Normalenrichtung auf der Fahrbahn steht. Welchen Neigungswinkel a muss die Fahrbahn erhalten? Lösung: Der Neigungswinkel a der Fahrbahndecke zur Horizontalen tritt auch im Krafteck auf, und zwar zwischen Gewichtskraft F G und Resultierender F res. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Neigungswinkel a der Fahrbahn unabhängig ist von der Masse m des Fahrzeugs, jedoch nicht von der Fallbeschleunigung g. tan a ¼ F z F G ¼ tan a ¼ v gr s a ¼ arctan v gr s m v u r s mg v u ¼ v gesetzt 80 m 3,6 s a ¼ arctan 9,81 m ¼ 57 s 400 m

267 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 43. Ûbung: Ein Lieferwagen mit der Masse m ¼ 1000 kg fährt mit v ¼ 80 km/h durch eine nicht überhöhte Kurve vom Radius r s ¼ 55 m. Der Fahrzeugschwerpunkt S liegt h ¼ 0,65 m über der Fahrbahndecke, die Spurweite der Räder beträgt l ¼ 1, m. Als Haftreibungszahl wird m 0 ¼ 0,6 angenommen. Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve kippt oder rutscht. Lösung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende Moment F z h (Kippmoment) kleiner ist als das rechtsdrehende F G l= (Standmoment). Auch hier zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabhängigkeit von der Masse m des Wagens. Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade noch) nicht. Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe der an den vier Rädern angreifenden Reibungskräfte kleiner ist, als die nach links wirkende Fliehkraft F z. Diese Bedingung wird überprüft, indem man die Gleichung nach der Haftreibungszahl m 0 auflöst. Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibungszahl m 0 ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht ( m 0 ¼ 0,6 < 0,915). F z h F G l v h g l r s 80 m 0,65 m 3,6 s 55 m 5,836 < 5,886 F R0 max F z F z ¼ m v r s F G ¼ mg 9,81 m s 0,6 m mgm 0 m v r s m 0 v gr s 80 m 3,6 s m 0 9,81 m ¼ 0,915 s 55 m 0,6 < 0, Ûbung: Ein dünner Ring von der Dichte r läuft mit der Winkelgeschwindigkeit w (Umfangsgeschwindigkeit v u ) um. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung s z im Schnitt A B des Ringes hergeleitet werden. Lösung: Für den geschnittenen Ring muss in der gezeichneten Stellung SF x ¼ 0 sein, d. h. im Flächenschwerpunkt beider Querschnitte greift die Normalkraft F N ¼ F z = als innere Kraft an. Diese Normalkraft F N erzeugt die Zugspannung s z ¼ F N =A ¼ F z =A (A ¼ Querschnittsfläche). s z ¼ F z A ¼ mr sw A m ¼ Vr ¼ prar r s ¼ r p Schwerpunktsabstand des Halbkreisbogens

268 44 Die Fliehkraft F z ist eine Trägheitskraft (siehe d Alembert, 4.4.6, Seite 194), d. h. sie greift im Schwerpunkt der Halbkreislinie mit dem Radius r an: r s ¼ r=p. Es muss zwischen r und r s unterschieden werden. Man sieht, dass die Zugspannung s z unabhängig von der Querschnittsfläche A des dünnen Ringes ist. Dreht sich der dünne Ring mit einer Umfangsgeschwindigkeit von 36 m/s, und besitzt er eine Dichte von 7850 kg/m 3, dann beträgt die Zugspannung s z 10 N=mm. prar r s z ¼ p w A s z ¼ r w r s z ¼ v u r s z r w v u r N m m rad s 1 N m ¼ 10 6 N mm s z ¼ v u r ¼ 36 m kg 7850 s m 3 s z ¼ 10, N m ¼ 10,17 N mm 4 Dynamik m s kg m 3 Aufgaben Nr Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen Geradlinige (translatorische) Bewegung Drehende (rotatorische) Bewegung Größe Definitionsgleichung Einheit Größe Definitionsgleichung Einheit Zeit t Basisgröße s Zeit t Basisgröße s Verschiebeweg s Basisgröße m Drehwinkel j j ¼ b r rad Masse m Basisgröße kg Trägheitsmoment J J ¼ S Dmr kgm Geschwindigkeit v (v ¼ konstant) v ¼ Ds Dt m s Winkelgeschwindigkeit w (w ¼ konstant) w ¼ Dj Dt rad s Arbeit W W¼ Fs J Dreharbeit W rot W rot ¼ Mj ¼ F T r j J Leistung P Elastische Verformung (geradlinig) Beschleunigung a P ¼ W ¼ Fv W Drehleistung P rot P rot ¼ W rot ¼ Mw t t F ¼ Rs N Elastische M ¼ Rj W ¼ 1 Verformung Rs J (kreisförmig) W ¼ 1 Rj a ¼ Dv Dt m s Winkelbeschleunigung a a ¼ Dw Dt Beschleunigungskraft F res ¼ ma N Beschleunigungs- M res ¼ Ja Nm F res moment M res kinetische E kin ¼ m Energie E kin v J Rotationsenergie E rot ¼ J E rot w J W Nm J rad s mv ¼ konstant Impulserhaltungssatz Impulserhaltungssatz Jw ¼ konstant

269 4.10 Mechanische Schwingungen Mechanische Schwingungen Begriff Schwingung ist eine auch im Alltag bekannte Bewegungsform von Körpern oder Masseteilchen, die sich am Ort um eine Ruhe- oder Nulllage herum bewegen (pendeln, schwingen), z. B. hin und her bei allen Pendeln wie Uhrenpendel, Fadenpendel, Federpendel. Brücken schwingen bei Belastung, ebenso eine Blattfeder oder (drehend) eine Torsionsstabfeder am Auto, aber auch Masseteilchen in einer Flüssigkeit oder Elektronen in der Atomhülle schwingen. Man spricht von elektrischen Schwingungen (Schwingkreis), optischen und akustischen (Ton-) Schwingungen. In diesem Kapitel werden nur mechanische Schwingungen behandelt; unterteilt in den kinematischen Bereich mit der Frage nach den Veränderungen der Bewegungsgrößen Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und in den kinetischen Bereich mit der Frage nach den Kräften F und Kraftmomenten M Ordnungsbegriffe Der Pendelkörper (Schwinger) einer Uhr führt eine freie Schwingung aus, wenn er ohne Antrieb nie zur Ruhe käme. Tatsächlich tritt immer Reibung auf und es kommt zu gedämpften Schwingungen. Die Reibung entzieht dem Schwinger (Kugel, Pendel) Energie, die Auslenkung (Größtwert: Amplitude) wird immer kleiner. Wird dem Schwinger von außen Energie zugeführt, spricht man von erzwungener Schwingung. Ist dabei die zugeführte Energiemenge durch Regelung so dosiert, dass die Schwingung gerade aufrecht erhalten bleibt, nennt man das eine erzwungene selbsterregte Schwingung (mechanisches Uhrwerk) Die harmonische Schwingung Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung Läuft der Punkt P auf dem Radius r gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit w um, dann entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn eine Aufund Abwärtsbewegung des projizierten Punktes auf der Projektionswand. Die so entstandene Bewegung heißt harmonische Schwingung. Gesucht werden die Gesetzmäßigkeiten zur Berechnung von Auslenkung y, Geschwindigkeit v y und Beschleunigung a y des schwingenden Punktes P. Die gefundenen Gleichungen sind die Gleichungen der harmonischen Schwingung P 7 r Auslenkung y 3 ω = konst. 6 M 5 4 -y 1(3) Nulllage 0,8(4) 7(5) 6 Projektionsebene

270 46 4 Dynamik Auslenkung-Zeit-Gesetz Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w von 0 bis 1. Der Radius r hat dabei den Drehwinkel Dj überstrichen. Die zugehörige momentane Auslenkung y von der Mittellage (Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius r (y ¼ r sin Dj). Wird nach 4..6 (Seite 178) w ¼ Dj=Dt und daraus Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz y ¼ r sin ðwtþ. Für Dt schreibt man verkürzt t und bezeichnet den Klammerausdruck als Omega-t. 1 P y 0 r Δϕ M ω y ¼ r sin Dj y ¼ r sin ðw DtÞ y ¼ r sin ðwtþ Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Punkt P läuft mit der tangential gerichteten konstanten Umfangsgeschwindigkeit v u um. Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit v y des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors v u zeigt, ist v y die Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit v u : v y ¼ v u cos Dj. Für die Umfangsgeschwindigkeit v u kann nach 4..7 (Seite 178) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden (v u ¼ wr). -0 v y 1 Δϕ Δϕ v u M ω v y ¼ v u cos Dj v y ¼ rw cos ðwtþ v y ¼ rw sin p wt Beachte: Es ist cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also cos ðwtþ ¼ sin ðp= wtþ Beschleunigung-Zeit-Gesetz Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch der gleichförmig umlaufende, wird in jedem Augenblick zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt. Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung a z (siehe , Seite 41). Die momentane Beschleunigung des Punktes P in der Projektionsebene ist die Sinuskomponente a y ¼ a z sin Dj. Die Beschleunigung a y ist immer der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen a y Δϕ a z ω a y ¼ a z sin Dj a y ¼ rw sin ðwtþ a y ¼ yw

271 4.10 Mechanische Schwingungen Die Graphen der harmonischen Schwingung Werden mit den entwickelten Bewegungsgesetzen für gleiche Zeitabschnitte Dt (z. B. Dt ¼ 10 s) die Auslenkung y, die Geschwindigkeit v y und die Beschleunigung a y im rechtwinkligen Achsenkreuz über der Zeitachse t aufgetragen, erhält man die folgenden Kurven: a) Für die Auslenkung-Zeit-Linie (y; t-linie) gilt das zuvor entwickelte Auslenkung-Zeit-Gesetz y ¼ r sin Dj ¼ r sin ðwtþ. Der Radius r ist eine Konstante, folglich ist die y; t-linie eine Sinuskurve mit positivem Richtungssinn für die Auslenkung y im Drehwinkelbereich Dj und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich Dj b) Für die Geschwindigkeit-Zeit-Linie (v; t-linie) gilt das zuvor entwickelte Geschwindigkeit- Zeit-Gesetz v y ¼ v u cos Dj ¼ rw cos ðwtþ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w sind Konstante, folglich ist die v; t-linie eine Kosinuskurve mit positivem Richtungssinn für die Geschwindigkeit v y im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 90 sowie zwischen 70 und 360 und negativem Richtungssinn im Drehwinkelbereich zwischen Dj c) Für die Beschleunigung-Zeit-Linie (a y ; t-linie) gilt das zuvor entwickelte Beschleunigung- Zeit-Gesetz a y ¼ a z sin Dj ¼ rw sin ðwtþ. Radius r und Winkelgeschwindigkeit w sind Konstante, folglich ist die a y ; t-linie eine Sinuskurve mit negativem Richtungssinn für die Beschleunigung a y im Drehwinkelbereich zwischen 0 und 180 und positivem Richtungssinn zwischen 180 und a) v y Δϕ y P 7 b) r Δϕ r Δϕ 6 v u 6 M v x M ω 3 ω = konst y y=rsin Δϕ =rsin( ωt) y y max = r t y max = - r v y π v y = vu cos Δϕ = r ω cos ( ωt) = r ω sin( + ωt) v y max = vu v y max = vu v y v ymax= -vu t a y a =-a sin Δϕ=-r ω sin ( ωt) =-y ω y z 1 a x 0 Δϕ 8 a y a z 7 c) 6 r ω a y a y max =-az a y max = a z t

272 48 4 Dynamik Zusammenstellung der wichtigsten Größen und Gleichungen der harmonischen Schwingung Periode (Schwingung) ist ein Hin- und Hergang; eine Schwingung entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn (siehe ). Auslenkung y (Elongation) ist die momentane Entfernung des schwingenden Punktes von der Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage). Amplitude A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung aus der Nulllage. A ist konstant bei ungedämpfter Schwingung. y -y 0 A T= 1 f A Zeit t Periodendauer T (Schwingungsdauer) ist die Zeit für eine volle Schwingung. Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl z der Perioden und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt, also die Anzahl der Perioden je Sekunde. Die Frequenz f hat die Einheit 1/s und die Bezeichnung Hertz 1) (Hz). Kreisfrequenz w ergibt sich aus w ¼ pf ¼ pz=dt, sie ist also die schon bekannte Winkelgeschwindigkeit w (nach DIN 1304). Phase Dj ist der Winkel im Bogenmaß, den der umlaufende Punkt im Zeitabschnitt Dt durchläuft. T ¼ Dt z f ¼ z Dt ¼ 1 T ¼ w p w ¼ pf ¼ p T Dj ¼ w Dt ¼ pf Dt ¼ pz Mit den festgesetzten Größen können die hergeleiteten Bewegungsgesetze für die harmonische Schwingung neu geschrieben werden. Dazu setzt man für den Radius r die Amplitude A und für die Kreisfrequenz w ¼ pf ¼ pz=t ein. y, A t, T w, f v y a y m s 1 s m s m s Aufgaben Nr y ¼ A sin ðwtþ ¼A sin ðpf tþ y ¼ A sin pt T v y ¼ Aw cos ðwtþ ¼Aw cos ðpf tþ v y ¼ Aw cos pt T a y ¼ Aw sin ðwtþ ¼ Aw sin ðpf tþ a y ¼ Aw sin pt T ¼ yw 1) Heinrich Hertz, deutscher Physiker,

273 4.10 Mechanische Schwingungen Rückstellkraft F R, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen für die harmonische Schwingung entwickelt und in zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kräftegleichungen für den harmonisch schwingenden Körper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung ausgegangen werden. Aus Kapitel 4.9.7, Seite 41, ist die Zentripetalkraft F z ¼ mrw bekannt, die den Körper der Masse m auf der Kreisbahn hält und immer zum Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit w konstant, gilt das auch für die Zentripetalkraft F z und für deren Komponenten F x ¼ F z cos Dj und F y ¼ F z sin Dj. Die Komponente F y ist die in Schwingungsrichtung wirkende Rückstellkraft F R ¼ F y ¼ F z sin Dj. Sie ist immer der Auslenkung y entgegen zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des Drehwinkels Dj lässt sich durch die Auslenkung y und die Amplitude A ausdrücken (sin Dj ¼ y=a), sodass sich für die Rückstellkraft F R ¼ F z y=a ergibt. Darin sind Zentripetalkraft F z (gleichförmige Drehung) und Amplitude A ¼ r ¼ konstante Größen. Damit ist auch der Quotient F z /A konstant. m F x = Fz cos Δϕ F z F y 0 0 M F z Nulllage ω F y = Fz sin Δϕ y Δϕ r=a F y ¼ F R ¼ F z sin Dj ¼ F z y=a F R ¼ F z A y Δϕ F z ¼ konstant ¼ Richtgröße D A Diese Größe wird in der Schwingungslehre als Richtgröße D bezeichnet. Die Rückstellkraft F R ist demnach der momentanen Auslenkung y proportional (F R y). Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung führte bei der gleichförmigen Kreisbewegung zu den Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung. Die kinetische Untersuchung hat gezeigt, dass die Rückstellkraft F R linear von der Auslenkung y abhängig ist. Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen bestätigt, liegt eine harmonische Schwingung vor: Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Rückstellkraft F R dem linearen Kraftgesetz in der Form F R y ¼ Dy folgt. F R ¼ Dy F R ¼ Dy F R y Kriterium für die harmonische Schwingung

274 50 4 Dynamik Das Schraubenfederpendel Rückstellkraft F R und Federrate R Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder wird mit einem Körper der Masse m belastet, sodass sie sich um Ds dehnt. In dieser Ruhelage (Nulllage 0 0) ist die Federspannkraft F S gleich der Gewichtskraft F G des Körpers (F S ¼ F G ), wie der frei gemachte Körper zeigt. Δs y Umkehrpunkt 0 Ebene der Ruhelage m 0 -y Umkehrpunkt F = 0 R Wird der Körper um die Amplitude A ¼ y max nach unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er um die Ruhelage 0 0 mit der Amplitude A weiter (reibungsfrei betrachtet). Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelkörpers zieht die Feder mit der Federkraft F S nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als Zugfeder. Die Rückstellkraft F R ist immer die resultierende Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft F S und Gewichtskraft F G : F R ¼ F S F G. 0 y -y A=y max v = 0 y 0 F S F G F = F F R S G F R F G F S Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als Druckfeder auf den Pendelkörper. Gewichtskraft F G und Federspannkraft F S sind gleich gerichtet (beide nach unten). Dann ist die Rückstellkraft F R die algebraische Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft: F R ¼ F G þ F S. y A=y max v = 0 y 0 0 F S F G F S F G F R F = F + F R S G Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkörpers in beliebigen Zwischenstellungen kann zu keinem anderen Ergebnis führen: -y F R ¼ F S F G

275 4.10 Mechanische Schwingungen 51 Die Rückstellkraft F R beim Federpendel ist die Resultierende aus Federspannkraft F S und Gewichtskraft F G des Pendelkörpers (Summe oder Differenz). Nach Kapitel (Seite 04) ist die Federrate R 1) der Quotient aus Federkraft F S und zugehörigem Federweg Ds, also diejenige Kraft, die erforderlich ist, die Feder um eine Längeneinheit zu dehnen oder zu verkürzen. F ¼ Federkraft F S Federweg Ds R F S Ds N mm N mm Zur Klärung der Frage, ob für das Federpendel das lineare Kraftgesetz der harmonischen Schwingung aus dem vorhergehenden Kapitel gilt, werden zwei Pendelstellungen untersucht. Stellung a), unterhalb der Nulllinie F R ¼ F S F G ¼ Rs R Ds s ¼ y þ Ds F R ¼ Rðy þ Ds DsÞ ¼Ry Stellung b), oberhalb der Nulllinie F R ¼ F G þ F S ¼ R Ds þ Rs s ¼ y Ds F R ¼ R Ds þ Rðy DsÞ ¼Ry Δs a y F R 0 a y v y F R 0 F G =RΔs y s a) b) F S=RS F G =RΔs F S=RS v y s Δs y Beachte: Für die Schraubenfeder gilt F R ¼ Ry, folglich ist die Federrate R gleich der Richtgröße D. In beiden Fällen ist die Rückstellkraft F R der Auslenkung y proportional (R ist eine Konstante) und damit gilt: F R ¼ Dy ¼ Ry F R D, R y N N m m Das Federpendel schwingt harmonisch, denn es gilt das lineare Kraftgesetz. In der Maschinenbautechnik (z. B. Pressen- und Vorrichtungsbau) reicht zur federnden Kraftübertragung häufig eine Einzelfeder nicht aus. In diesem Fall werden je nach Verwendungszweck zwei oder mehr Federn in Parallel- oder Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) angeordnet. Für die konstruktiven Berechnungen braucht man dann die Federrate des ganzen Federsystems, die so genannte resultierende Federrate R 0, deren Betrag von der Art der Federschaltung abhängt. 1) Versuch in A. Böge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, Viewegþ Teubner 008 Bezeichnung Federrate R nach DIN 089, Nov. 9

276 5 4 Dynamik Parallelschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier parallel geschalteter Einzelfedern mit bekannten Federraten R 1 und R. Wird das Federsystem von s ¼ 0 auf den Federweg s 0 gedehnt, gilt für die resultierende Federkraft F 0 ¼ F 1 þ F,für den resultierenden Federweg dagegen s 0 ¼ s 1 ¼ s. Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate R 0 bei Parallelschaltung entwickelt werden: R 0 ¼ F 0 s 0 ¼ F 1 þ F s 0 ¼ F 1 s 1 þ F s ¼ R 1 þ R R 0 ¼ R 1 þ R R 0 ¼ R 1 þ R þ...þ R n Federrate bei Parallelschaltung von n Federn Reihenschaltung Das Diagramm zeigt die Federkennlinien zweier in Reihe (hintereinander) geschalteter Einzelfedern mit den Federraten R 1 und R. Wird das Federsystem von F ¼ null auf die Federkraft F ¼ F 0 ¼ F 1 ¼ F belastet, gilt für den resultierenden Federweg s 0 ¼ s 1 þ s. Mit diesen Bedingungen kann eine Gleichung zur Berechnung der resultierenden Federrate R 0 bei Reihenschaltung entwickelt werden: R 0 ¼ F 0 ¼ F 0 s 0 s 1 þ s 1 ¼ s 1 þ s 1 ¼ s 1 þ s ¼ 1 þ 1 R 0 F 0 F 1 F R 1 R 1 R 0 ¼ 1 R 1 þ 1 R þ...þ 1 R n Federrate bei Reihenschaltung von n Federn R 0 ¼ R 1 R R 1 þ R gilt nur für zwei Federn Periodendauer T des Schraubenfederpendels Die Rückstellkraft F R ist immer die resultierende Kraft F res und es gilt das dynamische Grundgesetz F res ¼ ma. Bei der harmonischen Schwingung ist für die momentane Beschleunigung a ¼ a y und nach (Seite 46) a y ¼ yw einzusetzen. F R ¼ ma y ; a y ¼ yw ; w ¼ p T F R ¼ myw

277 4.10 Mechanische Schwingungen 53 Das dort vorhandene negative Vorzeichen entfällt, da nur der Absolutbetrag interessiert. Die Periodendauer T ist unabhängig von der Amplitude A. Sie ist umso größer, je größer die Masse m des Pendelkörpers und je kleiner die Federrate R ist, d. h. je weicher die Feder ist. Aus der Gleichung für die Schwingungsdauer kann auch eine neue Beziehung für die Berechnung der Federrate der Schraubenfeder entwickelt werden. Aufgaben Nr F R ¼ m 4p T rffiffiffiffi m T ¼ p R R ¼ m 4p T y ¼ Ry ¼ D F R m T R N kg s R, D m T N m kg s N m Das Torsionsfederpendel Federrate R, Rückstellmoment M R und Periodendauer T Wird der in Ruhelage an einem Stahldraht hängende Körper um den Drehwinkel Dj verdreht, beschreibt jedes Teilchen eine Kreisbewegung. Zur Ûberleitung von der geradlinigen in die kreisförmige Bewegung wird das Analogieverfahren F R ¼b M R benutzt. Die Beziehung für die Kreisbewegung bekommt man, indem in die bekannte Beziehung der Δϕ y ¼b Dj geradlinigen Bewegung die entsprechenden Größen der Kreisbewegung eingesetzt werden. Beim R ¼ Rückstellmoment M R Drehwinkel Dj Torsionsfederpendel entspricht der Rückstellkraft F R das Rückstellmoment M R, der Auslenkung y der Drehwinkel Dj. Auch für die Torsionsbeanspruchung des tordierten Drahtes gilt das Nm rad R ¼ M R M R R j Dj Nm rad Hooke sche Gesetz, sodass die Gleichung für die Federrate R mit den entsprechenden Größen festgelegt werden kann. Das Rückstellmoment M R ändert seinen Betrag M R ¼ R Dj kreisförmige Pendelbewegung proportional mit dem Drehwinkel Dj (M R Dj) (wie beim Schraubenfederpendel die Rückstellkraft F R mit der Auslenkung y), sodass man fest- F R ¼ Ry geradlinige Pendelbewegung stellen kann: Für das Torsionsfederpendel gilt ein lineares Momentengesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.

278 l 54 Eine Gleichung für die Periodendauer T beim Torsionsfederpendel erhält man mit der Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel im vorhergehenden Kapitel Das Trägheitsmoment J beim Torsionsfederpendel entspricht der Masse m des Pendelkörpers. rffiffiffi J T ¼ p R Torsionsfederpendel 4 Dynamik rffiffiffiffi m T ¼ p R Schraubenfederpendel Beachte: J ist das Trägheitsmoment bezogen auf die Drehachse (siehe Kapitel 4.9., Seite 3) Auch beim Torsionsfederpendel ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude A. Sie ist umso größer, je größer das Trägheitsmoment J und je kleiner die Federrate R ist Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten J aus der Periodendauer Kupplungsscheiben, Zahnräder, Wellen und Schwungscheiben müssen im Betrieb beschleunigt und verzögert werden. Den erforderlichen Berechnungen liegt das dynamische Grundgesetz für die Rotation M res ¼ Ja zugrunde (siehe 4.9.1, Seite 31). Dazu muss das Trägheitsmoment J des umlaufenden Bauteils bekannt sein. Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass das Trägheitsmoment J aus fertigen Formeln berechnet werden kann (siehe Tabelle 4.5, Seite 34). Dann wird das Trägheitsmoment J experimentell auf folgende Weise bestimmt: Ein geometrisch einfacher Rotationskörper K 1 von bekanntem oder berechenbarem Trägheitsmoment J 1 wird an einen Torsionsstab von bekanntem Durchmesser d und bekannter Länge l gehängt. Körper K 1 d r h Prüfkörper K mit unbekanntem J Benutzt man als Körper K 1 z. B. eine Kreisscheibe, kann nach Tabelle 4.5 das Trägheitsmoment J 1 berechnet werden. Für den p Körper ffiffiffiffiffiffiffiffiffi K 1 gilt für die Periodendauer T 1 ¼ p J 1 =R. Steckt man beide Prüfkörper auf, dannpgilt ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi für die Periodendauer T ¼ p ðj 1 þ J Þ=R. Darin ist R die in beiden Fällen gleiche Federrate des Torsionsstabs. J 1 ¼ 1 rpr4 h r Stahl ¼ 7, kg=m 3 T 1 ¼ 4p J 1 R T ¼ 4p J 1 þ J R J r r, h kg m kg m 3 m

279 4.10 Mechanische Schwingungen 55 Durch Division beider Gleichungen ergibt sich eine Gleichung für das unbekannte Trägheitsmoment J, in der neben dem berechneten Trägheitsmoment J 1 nur noch die Periodendauer T 1 und T steht, die man experimentell bestimmt. T 1 T ¼ J 1 J 1 þ J J ¼ J 1 T T 1 T 1 Aufgaben Nr Das Schwerependel (Fadenpendel) Auch hier wird als Erstes untersucht, ob die Rückstellkraft F R der Auslenkung (hier dem Bogen s) proportional ist, denn nur dann gilt das lineare Kraftgesetz als Voraussetzung für eine harmonische Schwingung. Die Auslenkung s lässt sich aus der Pendellänge l und dem Winkel a bestimmen. Da für kleine Winkel (a < 14 ) der Arcus gleich dem Sinus gesetzt werden kann (arc a ¼ sin a), ist s ¼ l arc a ¼ l sin a und daraus sin a ¼ s=l. h y FG cos α l α s α F R = F G sin α F G α max v 0 Die Rückstellkraft F R ist die Sinuskomponente der Gewichtskraft F G des Pendelkörpers. Sie ändert sich laufend mit dem Winkel a. Masse m, Fallbeschleunigung g und Pendellänge l sind für ein bestimmtes Pendel gleich bleibende Größen, d. h. es ist auch der Quotient mg=l eine Konstante. Sie ist die schon bekannte Richtgröße D: Auch für das Schwerependel gilt das lineare Kraftgesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor. F R ¼ F G sin a ¼ mgsin a sin a ¼ s l eingesetzt ergibt F R ¼ mgsin a ¼ mg l F R ¼ Ds F R D s, l m g s D ¼ mg l N N m m kg m s Einschränkung: Die Auslenkung muss klein sein. Allerdings beträgt der Fehler bei a ¼ 14 nur ca. 1%. Die Periodendauer T für das Schwerependel erhält man, wenn in die Gleichung p für das Schraubenfederpendel T ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi m=r für die Federrate R ¼ Richtgröße D ¼ mg=l eingesetzt wird. rffiffiffiffi rffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi m m ml T ¼ p ¼ p ¼ p R D mg

280 56 4 Dynamik Beim Schwerependel ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude s und von der Masse m des Pendelkörpers. sffiffiffiffi l T ¼ p g T l g s m m s Am selben Ort, also bei gleicher Fallbeschleunigung g, verhalten sich die Quadrate der Periodendauer verschiedener Pendel wie ihre Pendellängen l. Aufgaben Nr T 1 T ¼ l 1 l Schwingung einer Flüssigkeitssäule In Ruhe steht die Flüssigkeit in Höhe der Nulllinie 0 0. Hebt man z. B. durch Ansaugen die Flüssigkeitssäule auf der einen Seite um die Höhe h,muss sie auf der anderen Seite um den gleichen Betrag sinken. h 0 h h 0 l Rohrquerschnitt A Die Rückstellkraft F R ist die resultierende Gewichtskraft F G der überstehenden Flüssigkeitssäule mit dem Volumen V ¼ A h. Fläche A, Dichte r und Fallbeschleunigung g sind konstante Größen, die man wieder zu einer Richtgröße D zusammenfassen kann. Damit ist nachgewiesen, dass auch bei der schwingenden Flüssigkeitssäule im U-Rohr die Rückstellkraft F R der Auslenkung h proportional ist. F R ¼ F G ¼ Vrg ¼ A hrg D ¼ Arg F R ¼ Dh F R D A r g h N N m m kg m 3 m s m Für die schwingende Flüssigkeitssäule gilt das lineare Kraftgesetz und damit die Gesetzmäßigkeit der harmonischen Schwingung. Die Periodendauer T für die schwingende Flüssigkeitssäule erhält man wieder, indem in die Gleichung für pdas ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Schraubenfederpendel T ¼ p m=r für die Federrate R ¼ Richtgröße D ¼ A r g eingesetzt wird. Außerdem wird für die Masse m ¼ Vr ¼ Alr eingesetzt. Dann gilt: rffiffiffiffi rffiffiffiffi m m T ¼ p ¼ p R D sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Alr T ¼ p Arg

281 4.10 Mechanische Schwingungen 57 Die Periodendauer T ist unabhängig von der Amplitude h und von der Masse m ðdichte rþ der Flüssigkeit. sffiffiffiffiffi l T ¼ p g T l g s m m s Ein Vergleich mit der Gleichung für die Periodendauer des Schwerependels zeigt, dass die Periodendauer T f der Flüssigkeitssäule mit der Periodendauer T S eines Schwerependels übereinstimmt, dessen Länge l s gleich der halben Länge l der Flüssigkeitssäule ist. Aufgaben Nr Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule Physikalische Größe Schrauben- Federpendel Torsionsfederpendel Schwerependel Schwingende Flüssigkeitssäule Federrate R (Richtgröße D) d4 G R ¼ 8D m3 i f R ¼ I pg ¼ pd4 G l 3 l D ¼ mg l D ¼ Arg Rückstellkraft F R und Rückstellmoment M R F R ¼ R y M R ¼ R Dj F R ¼ Ds F R ¼ Dh Periodendauer T rffiffiffiffi m T ¼ p R rffiffiffi J T ¼ p R sffiffiffiffi l T ¼ p g sffiffiffiffiffi l T ¼ p g G ¼ Schubmodul, d ¼ Draht- oder Stabdurchmesser, D m ¼ mittlerer Windungsdurchmesser, i f ¼ Anzahl der Windungen, l ¼ Pendellänge, s ¼ Auslenkung des Pendelkörpers, h ¼ Auslenkung der Flüssigkeitssäule, I p ¼ polares Flächenmoment. Grades nach Tabelle 5. (Seite 310), J ¼ Trägheitsmoment nach Tabelle 4.5 (Seite 34) Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz Dämpfung Durch die Gleitreibung in den Gelenken und Führungen, durch Luft- oder Flüssigkeitsreibung wird die Bewegung eines schwingenden Körpers gebremst. Neben dieser äußeren Reibung steht die innere, die Reibung der Teilchen im Körper selbst. Ergebnis: Die Schwingung wird gedämpft. y a b A wird kleiner T bleibt erhalten Auslenkung-Zeit-Diagramm für ungedämpfte (a) und gedämpfte Schwingung (b) t

282 58 4 Dynamik Energieminderung durch Dämpfung Durch die Reibung wird dem schwingenden Körper Energie in Form von Reibungsarbeit entzogen (siehe 4.5.4, Seite 05). Beispiel Schwerependel: Der Pendelkörper schwingt nicht bis zur Ausgangshöhe zurück, die Amplitude verringert sich von A auf A 1, der Winkel von a auf a 1 und die abgeführte Reibungsarbeit W R entspricht der Höhendifferenz Dh, was mit dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 0) nachgewiesen werden kann. Was für das Schwerependel gilt, kann bei allen Schwingungsvorgängen beobachtet werden: m A α α 1 A 1 Δh h W E ¼ W A W ab W ab ¼ W A W E W ab ¼ mgh mgðh DhÞ W ab ¼ mgdh ¼ Reibungsarbeit W R BE Durch Dämpfung wird die Amplitude A jeder mechanischen Schwingung immer kleiner, weil sich die Energie des Schwingers laufend um die Reibungsarbeit W R vermindert. Soll die Dämpfung überwunden werden, muss dem schwingenden System dauernd Energie zugeführt werden. Aufgabe Nr Energiezufuhr Ursache jeder Dämpfung ist die dauernde Energieumwandlung in Reibungsarbeit. Den umgewandelten Energiebetrag muss man immer wieder ersetzen, wenn die Amplitude unverändert bleiben oder der Schwingungsvorgang überhaupt in Gang gehalten werden soll. Das kann z. B. durch periodisches Anstoßen des Schwingers geschehen, aber im richtigen Augenblick, damit der Schwingungsvorgang nicht gestört wird. Die Energiezufuhr wird daher am besten durch die Eigenschwingung des schwingenden Systems gesteuert. Das nennt man Selbststeuerung oder Rückkopplung, wie z. B. bei der Pendeluhr durch Anker und Steigrad. Das Steigrad wird durch die Uhrfeder angetrieben, ruckt bei jeder Pendelschwingung um einen Zahn weiter und gibt dabei einen Energiebetrag über den Anker an das Pendel ab (Arbeit wird zugeführt). Anker Steigrad Pendel

283 4.10 Mechanische Schwingungen 59 Die Frequenz des periodisch wirkenden äußeren Erregers heißt Erregerfrequenz f, die Frequenz des Schwingers nach einmaligem Anstoßen ist die Eigenfrequenz f Die erzwungene Schwingung und Resonanz Der Erreger (Oszillator) 1), z. B. Motor mit Exzenter zwingt der Schraubenfeder mit dem anhängenden Körper der Masse m, dem Resonator ) Schwingungen mit der Erregerfrequenz f auf. Dabei soll die Masse des Resonators klein sein gegenüber der Masse des Erregers, damit die Schwingungen des Resonators nicht auf den Erreger zurückwirken. Wählt man zunächst die Frequenz f der erzwungenen Schwingung sehr klein gegenüber der Frequenz f 0 der Eigenschwingung, macht der Resonator genau die Bewegung der Führungsstange mit. Mit wachsender Erregerfrequenz f werden die Amplituden des Resonators immer größer. Die Erregerschwingung läuft der Eigenschwingung etwa um eine Viertelperiode voraus. Bei fehlender Dämpfung würden dann die Amplituden des Resonators unendlich groß und das System würde zerstört werden. Das sind die in der Technik gefürchteten Resonanzkatastrophen, z. B. bei Brücken, Schiffen, Maschinenfundamenten. Wächst die Erregerfrequenz f weiter (f > f 0 ), werden die Amplituden des Resonators wieder kleiner, die Bewegung wird ungeordnet, bis schließlich ein kaum merkliches Zittern die kleinsten Amplituden anzeigt. m Schnur Erreger (Oszillator) Führungsstange Mitschwinger (Resonator) n e Beachte: Kleine Frequenz f heißt geringe Anzahl Schwingungen je Sekunde. Bei f < f 0 bewegen sich Führungsstange und Mitschwinger (Resonator) fast wie ein starrer Körper. Die Amplitude des Resonators wird umso größer, je mehr sich die Erregerfrequenz f der Eigenfrequenz f 0 des Mitschwingers nähert (unterkritischer Bereich). Bei Resonanz (f ¼ f 0 ) wird die Amplitude am größten (kritischer Bereich). Im überkritischen Bereich (f > f 0 ) verringert sich die Amplitude mit zunehmender Erregerfrequenz. 1) Oszillator: Gerät zur Erzeugung von Schwingungen ) Resonator: Körper, der vom Erreger zum Schwingen angeregt wird (Mitschwinger)

284 60 4 Dynamik Das Amplituden-Frequenz-Diagramm Ûber der Erregerfrequenz f (als Vielfaches der Eigenfrequenz f 0 ) ist die Vergrößerungszahl V Z als Verhältnis der Amplitude der erzwungenen Schwingung zur Amplitude des Erregers aufgetragen. Kurve a gilt für die dämpfungsfreie Schwingung, Kurve b für schwache, Kurve c für stärkere und Kurve d für sehr starke Dämpfung des Resonators. Man erkennt, dass das Maximum mit zunehmender Dämpfung nach links rückt, also zu Frequenzen f < f 0. Die bei f ¼ f 0 auftretende Resonanz ist im Maschinenbau von größter Bedeutung. Vor allem bei Kraft- und Arbeitsmaschinen und Getrieben mit schnell laufenden Wellen zeigen sich durch kleine Ungleichförmigkeiten Schwingungen, die etwa die Frequenz der Drehzahl (oder eines Vielfachen davon) haben. Stimmt die Frequenz f eines Antriebsmotors mit der Eigenfrequenz f 0 der umlaufenden Teile eines Getriebes überein, kann es zu Resonanzschwingungen mit großer Amplitude kommen, die zerstörende Wirkung haben. Die Resonanzdrehzahl einer Maschine heißt kritische Drehzahl, die möglichst schnell durchfahren werden muss, d. h. man muss möglichst im über- oder im unterkritischen Drehzahlbereich arbeiten, um Bruch oder auch nur Verminderung der Lebensdauer zu vermeiden. V z d c a b f=f 0 f=f 0 Resonanzstelle Erregerfrequenz f Beispiel: Die Gehäuseteile eines großen Walzwerkgetriebes sind durch Passstifte miteinander verbunden. Diese lösen sich durch Schwingungen: das Getriebe fällt aus, die Produktion steht vorübergehend still. Aufgaben Nr

285 61 5 Festigkeitslehre Formelzeichen und Einheiten 1) A mm,cm,m Fläche, A M Momentenfläche a mm Abstand b mm Stabbreite d mm Stabdurchmesser d 0 mm ursprünglicher Stabdurchmesser d 1 mm Durchmesser des geschlagenen Nietes ¼ Nietlochdurchmesser Dd mm Durchmesserabnahme oder -zunahme E N mm Elastizitätsmodul e 1 mm Entfernung der neutralen Faser von der Druckfaser e mm Entfernung der neutralen Faser von der Zugfaser F N Kraft, Belastung, Last, Tragkraft F 0 N m Belastung der Längeneinheit, Streckenlast F K N Knickkraft (nach Euler) f mm Durchbiegung G N mm Schubmodul H mm Gesamthöhe eines Querschnitts h mm Höhe allgemein, Stabhöhe I mm 4,cm 4 axiales Flächenmoment. Grades I a, I x, I y mm 4 auf die Achse a, x oder y bezogenes Flächenmoment. Grades I p mm 4 polares Flächenmoment. Grades I s mm 4 Flächenmoment. Grades, bezogen auf die Schwerachse des Querschnitts I xy mm 4 Zentrifugal- oder Fliehmoment I I, I II mm 4 Hauptflächenmoment. Grades i mm Trägheitsradius l (L) mm Stablänge nach der Dehnung oder Stauchung l 0 (L 0 ) mm ursprüngliche Stablänge (Ursprungslänge) Dl mm Längenzunahme oder -abnahme l r km Reißlänge M Nmm, Nm Drehmoment, Moment einer Kraft, Kraftmoment M b Nmm, Nm Biegemoment M T Nmm, Nm Torsionsmoment n 1 min ¼ min 1 Drehzahl P W, kw Leistung 1) siehe Fußnote Seite 1 A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _5, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

286 6 5 Festigkeitslehre p fflfflfflffl{zfflfflfflffl} N mm Flächenpressung R N mm, N m Federrate R e (s S ) Streckgrenze N R m (s B ) Zugfestigkeit R mm p0, 0,-Dehngrenze r mm Radius s mm Stabdicke, Blechdicke DT K, C Temperaturdifferenz V mm 3,m 3 Volumen W Nm ¼ J ¼ Ws Arbeit, Formänderungsarbeit W mm 3 axiales Widerstandsmoment W p mm 3 polares Widerstandsmoment für Kreis- und Kreisringquerschnitt W t mm 3 Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte W x, W y mm 3 auf die x- oder y-achse bezogenes Widerstandsmoment a l 1 K ¼ 1 C Längenausdehnungskoeffizient a 0 1 Anstrengungsverhältnis d % Bruchdehnung, Bruchstauchung e 1 Dehnung, Stauchung, e ¼ Dl l 0 e q 1 Querdehnung, e q ¼ Dd d 0 J C Temperatur in Grad Celsius (1 C ¼ 1K) l 1 Schlankheitsgrad l 0 1 Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze) m 1 Poisson-Zahl, m ¼ e q e v 1 Sicherheit gegen Knicken v 1 Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen r mm Biegeradius, Krümmungsradius der elastischen Linie s s b s d s E s K s l s P s z fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} N mm Normalspannung allgemein (Druck, Zug, Biegung, Knickung) Biegespannung Druckspannung Spannung an der Elastizitätsgrenze Knickspannung Lochleibungsdruck Spannung an der Proportionalitätsgrenze Zugspannung s zul s Entwurf t t a fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} N mm zulässige Normalspannung (s bzul, s d zul, s K zul, s zzul ) Entwurfsspannung Schubspannung allgemein, Tangentialspannung (Schub, Abscheren, Torsion) Abscherspannung, t a ¼ F A t s Schubspannung, t s ¼ c F A t t Torsionsspannung j rad Biege- oder Verdrehwinkel

287 5.1 Grundbegriffe Grundbegriffe Die Aufgabe der Festigkeitslehre Man betrachtet die technische Zeichnung einer Getriebewelle. Sie enthält sämtliche zur Herstellung nötigen Maße. Beispielsweise sieht man sofort, dass der linke Lagerzapfen 30 mm Durchmesser und 16 mm Länge haben soll. Wie ist der Konstrukteur, der die Welle entworfen hat, gerade auf diese Maße gekommen? Es soll seinen Ûberlegungen bei der Gestaltung der Welle einmal nachgegangen werden. Technische Zeichnung einer Getriebewelle Der Konstrukteur kennt das Drehmoment M, das von der Welle übertragen werden soll. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden sämtliche an der Welle angreifenden Kräfte ermittelt. Das sind die am Zahn angreifenden Umfangskräfte F u und Radialkräfte F r sowie die an den Lagerzapfen angreifenden Stützkräfte F A und F B mit den Komponenten F Ay, F Az und F By, F Bz. Damit ist die Belastung der Welle bekannt. Nach einer Reihe gegebener Bedingungen werden die Abstände l, l 1, l festgelegt. Der Werkstoff wird gewählt. Von diesem sind die wichtigsten Festigkeitswerte aus Tabellen oder Diagrammen greifbar. Jetzt beginnen die Ûberlegungen der Festigkeitslehre. Belastungsskizze einer Getriebewelle F u1, F u Umfangskräfte, F r1, F r Radialkräfte, F Ay, F Az, F By, F Bz Komponenten der Stützkräfte F A, F B, M Drehmoment

288 64 5 Festigkeitslehre Die Welle darf nicht brechen. Sie darf sich aber auch nicht derart stark verformen (durchbiegen, verdrehen), dass das Getriebe klemmt oder durch starken Verschleiß vorzeitig unbrauchbar wird, z. B. durch eine unzulässig hohe Kantenpressung in den Lagern. Kantenpressung im Lager infolge der Durchbiegung Die von außen auf ein Bauteil einwirkenden Kräfte wie beispielsweise die Umfangskräfte am Zahnrad, die Stützkräfte in den Lagern und die Gewichtskräfte nennt man äußere Kräfte. Sie rufen im Werkstoffgefüge die inneren Kräfte hervor, die dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. Bevor die Maße für ein Bauteil festgelegt werden können, müssen Betrag, Richtung und Richtungssinn der inneren Kräfte bekannt sein, z. B. die inneren Kräfte im Querschnitt x x eines Zahnrades oder eines Hebezeugträgers. Øußere Kräfte rufen innere Kräfte hervor 5.1. Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kräftesystems Die erste und wichtigste Arbeit beim Lösen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Kräfte die Bauteile zu übertragen haben. Denn von der Art des inneren Kräftesystems hängt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z. B. 150 N), ihre Richtung (z. B. waagerecht, senkrecht, in Richtung der x-achse) und ihr Richtungssinn (z. B. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden ist. Das gilt auch für innere Kräfte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstücke für jede innere Kraft ermittelt werden, heißt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel Schritt für Schritt vorgeführt. Das stabförmige Bauteil mit der Querschnittsfläche A wird durch die Federkräfte F ¼ 50 N belastet (äußere Kräfte). Der Stab befindet sich im Gleichgewicht, das heißt, die beiden Zugkräfte sind gleich groß (von gleichem Betrag). Sie wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt gerichtet. a F = 50 N b I Zugfederbelasteter Rundstab (a), freigemacht (b) x x A II F = 50 N

289 5.1 Grundbegriffe 65 Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle x x quer zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen die beiden Teilstücke I und II. Der Werkstoffzusammenhang ist damit aufgehoben und eine Kraftübertragung vom Schnittufer I zum Schnittufer II nicht mehr möglich: Die beiden Teilstücke werden durch die äußeren Kräfte nach links und rechts gerissen. Im Schnittflächenschwerpunkt SP wird nun eine Normalkraft F N angebracht, die den Restkörper wieder ins Gleichgewicht zurückversetzt. Damit ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der Querschnittsfläche (kurz: Schnittfläche) im unbeschädigten Zustand übertragen wurde. Den Betrag der von einem Schnittufer zu übertragenden inneren Kraft liefern die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Für jedes Stabteil muss die Summe aller Kräfte gleich null sein (Kraftmomente wirken hier nicht). Schnittverfahren: Im Schnittflächenschwerpunkt SP werden diejenigen Kräfte und Kraftmomente angebracht, die den abgeschnittenen Teilkörper in das Gleichgewicht zurückversetzen. Diese inneren Kräfte und Kraftmomente hat der Querschnitt zu übertragen. Zugfederbelasteter Rundstab getrennt in Teilstücke I und II und mit inneren Kräften versehen. für Teilstück I: für Teilstück II: F þ F N ¼ 0 F N þ F ¼ 0 F N ¼ F ¼ 50 N F N ¼ F ¼ 50 N Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: Die untersuchte Querschnittsfläche hat eine in Normalenrichtung auf die Schnittfläche wirkende innere Kraft F N ¼ 50 N zu übertragen. Beachte: Normalkräfte F N stehen rechtwinklig auf der Schnittfläche, Querkräfte F q dagegen liegen in der Schnittfläche. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion ¼ Reaktion) von Newton müssen die inneren Kräfte und Kraftmomente beider Schnittufer gleich groß sein (von gleichem Betrag), jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben Spannung und Beanspruchung Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen hat, mit F N ¼ 300 N gefunden wurde. Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark beansprucht. Das hängt offenbar davon ab, wie viele Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt sind, z. B. 60 mm oder nur 6 mm. Als Maß für die Höhe der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der Flächeneinheit übertragen werden muss, z. B. von 1 mm oder von 1 cm. Spannung als innere Kraft je Flächeneinheit; wegen der einfacheren Rechnung wurde ein Rechteckquerschnitt gewählt. Beachte: Der Werkstoff wird durch innere Kräfte beansprucht, derkörper wird durch äußere Kräfte belastet.

290 66 Wird vorausgesetzt, dass jedes Flächenteilchen eines Querschnitts gleichmäßig an der Kraftübertragung beteiligt ist, dann ist der Quotient aus der inneren Kraft (z. B. F N ¼ 300 N) und der Querschnittsfläche (z. B. A ¼ 6mm ) ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs. Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (z. B. Newton) und einer Flächeneinheit (z. B. mm ) sein: Die Spannung ist vorstellbar als die pro Flächeneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Flächeneinheit. Statt Spannung sagt man auch mechanische Spannung. Ûbung: Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabes von 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft F N ¼ 50 N zu übertragen. Es soll die Beanspruchung des Werkstoffs bestimmt werden. Die Rechnung zeigt, dass jeder Quadratmillimeter eine innere Kraft von 7,07 N zu übertragen hat. Beispiel: Mit F N ¼ 300 N und A ¼ 6mm beträgt das Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs 50 N/mm. Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter des Querschnitts überträgt eine Kraft von 50 N. Man sagt: Die Spannung beträgt 50 Newton pro Quadratmillimeter. innere Kraft Spannung ¼ Querschnittsfläche Einheit der Spannung ¼ N mm 5 Festigkeitslehre Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als Einheit der mechanischen Spannung das Newton pro Quadratmillimeter verwendet. Lösung: Bei d ¼ 3 mm Durchmesser beträgt die Querschnittsfläche A ¼ pd pð3 mmþ ¼ ¼ 7,069 mm 4 4 Damit ergibt sich die zu übertragende Spannung ¼ F N A ¼ 50 N 7,069 mm ¼ 7,07 N mm Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) Nicht immer liegt die Wirklinie der äußeren Kraft in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig (quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden inneren Kräfte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: Steht eine innere Kraft in Normalrichtung auf dem Querschnitt A, dann heißt sie Normalkraft F N, liegt die innere Kraft dagegen im Querschnitt A, dann nennt man sie F N A F N F q F q A Querkraft F q. Normalkraft F N Querkraft F q

291 5.1 Grundbegriffe 67 Die beiden inneren Kräfte, die Normalkraft F N und die Querkraft F q, stehen rechtwinklig aufeinander, also auch die aus ihnen zu berechnenden Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten zu unterscheiden. Wird die Spannung aus einer inneren Normalkraft F N berechnet, dann heißt sie Normalspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben s (Sigma) bezeichnet. Wie die Normalkraft F N muss auch die von ihr herrührende Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art treten als Zugspannung z. B. in Kettengliedern, als Druckspannung z. B. in Pleuelstangen auf. Die Normalspannung s, hervorgerufen durch die Normalkraft F N, steht rechtwinklig auf der Querschnittsfläche. 1mm Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft F q berechnet, dann heißt sie Schubspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben t (Tau) bezeichnet. Wie die Querkraft F q muss auch die von ihr herrührende Schubspannung in der Querschnittsfläche liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung z. B. in Scherstiften auf. Normalspannung σ = F N A N in mm A Querschnittsfläche in mm Schubspannung τ = FN Normalkraft in N ( zum Schnitt) Fq A N in mm A Querschnittsfläche in mm Die Schubspannung t, hervorgerufen durch die Querkraft F q, liegt in der Querschittsfläche. 1mm F Querkraft in N q ( zum Schnitt) Die fünf Grundbeanspruchungsarten Am stabförmigen Bauteil lassen sich die Beanspruchungsarten am einfachsten erkennen. Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.) eingesetzt. Die Berechnungsgleichungen in den gerasterten Rechtecken werden später hergeleitet Zugbeanspruchung (Zug) Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und II voneinander zu entfernen: Der Stab wird verlängert (gedehnt). Die innere Kraft F N steht rechtwinklich auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung s z (Zugspannung). F A Stabachse s z = F N N in A mm Beispiele für Zugbeanspruchung: Seile, Ketten, Zuganker, Turbinenschaufeln und Luftschrauben infolge der Fliehkräfte, Zugstäbe in Fachwerkträgern. F

292 68 5 Festigkeitslehre Druckbeanspruchung (Druck) Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zu bringen: Der Stab wird verkürzt. Die innere Kraft F N steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung s d (Druckspannung). Bei schlanken Stäben besteht die Gefahr des Ausknickens. Diese Beanspruchungsart wird als Sonderfall Knickung behandelt (5.10, Seite 350). Die Beanspruchung der Berührungsflächen von zwei aufeinander gepressten Bauteilen heißt Flächenpressung (5.5, Seite 87). F A Stabachse s d = F N N in A mm F F Stabachse ausgeknickt F s K = E p l Beispiele für Druckbeanspruchung: Kolbenstangen, Druckspindeln, Säulen, Lochstempel, Nähmaschinennadeln, Knickstäbe im Stahlhochbau und Kranbau Abscherbeanspruchung (Abscheren) Beim Scherschneiden wirken zwei gleich große gegensinnige Kräfte F auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Das entstehende Kräftepaar wird erst in Abschnitt (Seite 94) in die Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt die innere Querkraft F q ¼ F die Schubspannung t. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart heißt sie Abscherspannung t a. Stabachse F Schneidspalt u beim Scherschneiden F A t a = F q N in A mm Beispiel für Abscherbeanspruchung: In gescherten (Scherschneiden) und gestanzten Werkstücken, in Nieten, Schrauben, Bolzen, Schweißnähten Biegebeanspruchung (Biegen) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander schräg zu stellen: Der Stab wird gebogen. Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment M b, in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittfläche wirkt, entsteht die Normalspannung s (Biegespannung s b ¼ Zug- und Druckspannung). In den Gleichungen s b ¼ M b =W und t t ¼ M T =W p erscheinen die Größen W und W p. Sie heißen Widerstandsmomente und werden in einem besonderen Abschnitt (5.7, Seite 30) behandelt. M b F F F Stabachse F s b = M b N in W mm M b Beispiele für Biegebeanspruchung: Biegeträger im Stahlhochbau und Kranbau, Wellen, Achsen, Drehmaschinenbetten, Spindeln von Arbeitsmaschinen, Kranhaken.

293 5.1 Grundbegriffe Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht (tordiert). Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment M T, in der Schnittfläche wirkt, entsteht die Schubspannung t (Torsionsspannung t t ). F F M T Stabachse t t = M T W in p F F N mm M T Beispiele für Torsionsbeanspruchung: Getriebewellen, Torsionsstabfedern, Schraubenfedern, Schrauben, Kurbelwellen Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung Aus dem Kurzzeichen für die Spannung (s oder t) s z erkennt man, ob es sich um eine rechtwinklig (in s z zul Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende Normalspannung (Kurzzeichen s) oder um eine s d im Querschnitt liegende Schubspannung (Kurzzeichen t) handelt. s d zul s b Die Beanspruchungsart, also Zugbeanspruchung, s b zul Druckbeanspruchung, Abscherbeanspruchung, Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung t a wird mit einem Index gekennzeichnet. t a zul Eine Einführung in den Begriff der zulässigen t t Spannung steht im Abschnitt 5.1 (Seite 374). t t zul Vorläufig wird die zulässige Spannung für alle Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe Aufgabensammlung Technische Mechanik ). Zugspannung zulässige Zugspannung Druckspannung zulässige Druckspannung Biegespannung zulässige Biegespannung Abscherspannung zulässige Abscherspannung Torsionsspannung zulässige Torsionsspannung Die zusammengesetzte Beanspruchung Die meisten Bauteile werden durch die äußeren Kräfte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur Stabachse ergeben immer zusammengesetzte Beanspruchung. Auch hierbei gibt das Schnittverfahren Aufschluss. Im beliebigen Schnitt x x müssen zur Herstellung des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die inneren Kräfte F N und F q sowie das Biegemoment M b angebracht werden. Der Vergleich mit den fünf Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug-, Abscherund Biegebeanspruchung. Zusammengesetzte Beanspruchung durch eine schräg zur Stabachse wirkende Einzelkraft F

294 70 5 Festigkeitslehre Bestimmen des inneren ebenen Kräftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten Für die fünf Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten einfache Gleichungen, die später gründlich entwickelt werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, die bei den verschiedenartigen Belastungen in den Bauteilen entstehen. Den Schlüssel zum Verständnis liefert immer das Schnittverfahren. Dazu ist es erforderlich, die folgenden Ûbungen gewissenhaft durchzuarbeiten. Die Ûbungen eignen sich sehr gut zur Gruppenarbeit: Jede Gruppe erarbeitet eine Ûbung oder einen Ûbungsschritt. Zur Einführung in das Schnittverfahren wird das allgemeine innere Kräftesystem untersucht. Zugbeanspruchung: s z ¼ F N A ¼ Normalkraft Querschnittsfläche Druckbeanspruchung: s d ¼ F N A ¼ Normalkraft Querschnittsfläche Biegebeanspruchung: s b ¼ M b W ¼ Biegemoment axiales Widerstandsmoment Abscherbeanspruchung: t a ¼ F q A ¼ Querkraft Querschnittsfläche Torsionsbeanspruchung: t t ¼ M T Torsionsmoment ¼ W p polares Widerstandsmoment Das allgemeine innere Kräftesystem Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines Bauteils das folgende innere Kräftesystem zu übertragen haben: eine normal auf der Schnittfläche stehende innere Kraft F N, sie erzeugt die Normalspannung s (Zugoder Druckspannung s z, s d ); eine in der Schnittfläche liegende innere Kraft F q (Komponenten F qx, F qy ), sie erzeugt die Schubspannung t; ein normal auf der Schnittfläche wirkendes Biegemoment M b (Komponenten M bx, M by ), es erzeugt die Normalspannung s (Biegespannung s b ); ein in der Schnittfläche liegendes Torsionsmoment M T, es erzeugt die Schubspannung t (Torsionsspannung t t ). z x M F F qx F qy y y M y = Mby M z = MT F N x M x = Mbx Das allgemeine innere Kräftesystem z In nicht leicht durchschaubaren Fällen (z. B. Kurbelwelle) ist es zweckmäßig, diese vier statischen Größen in der Schnittfläche anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am abgeschnittenen Bauteil die inneren Kräfte und Momente zu bestimmen. Meist wird es genügen, wenn durch Hinzufügen von inneren Kräften und Kraftmomenten das abgeschnittene Bauteil Schritt für Schritt ins Gleichgewicht gesetzt wird. Dafür stehen die folgenden Ûbungen.

295 5.1 Grundbegriffe 71 Da diese Ûbungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall müssen zuerst die äußeren Kräfte und Kraftmomente mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten Øußere Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen (zeichnerisch oder rechnerisch). Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren Beanspruchung untersucht werden soll. In den Schnitt Normalkraft F N, Querkraft F q und Kraftmomente M b und M T so einzeichnen, dass der Restkörper wieder im Gleichgewicht steht. Beträge der inneren Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kräftesystems mit den Angaben im Abschnitt festlegen. Spannungen nach Abschnitt berechnen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Aufgaben Nr Ûbungen zum Schnittverfahren 1. Ûbung: Durch die Last F wird ein Seil (Kette, Draht) belastet. Man macht das Seil frei und zerlegt es durch den Schnitt x x in Teil I und II. Der betrachtete Restkörper ist wieder im Gleichgewicht, wenn man im Schnitt die normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche wirkende innere Kraft F N ¼ F ¼ 4000 N anbringt (SF y ¼ 0). Der Vergleich mit den Angaben im Abschnitt ergibt, dass Zugbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung s z (Zugspannung) auf. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Zug-Hauptgleichung s z ¼ F N =A. Inneres Kräftesystem beim Seil

296 7 5 Festigkeitslehre. Ûbung: Das innere Kräftesystem im Querschnitt x x eines Stützträgers soll bestimmt werden. Zunächst müssen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkörper die Stützkräfte F A und F B berechnet werden. Die Rechnung ergibt für die Stützkraft F A ¼ 0 kn ¼ N für die Stützkraft F B ¼ 40 kn ¼ N Man sieht sich die Teilstücke an, und wählt zunächst Teil I. Soll sich der Restkörper I nicht mehr verschieben, muss im Schnitt eine nach unten wirkende innere Kraft F q ¼ F A ¼ N angebracht werden (SF y ¼ 0). Nun bilden F q und F A jedoch ein Kräftepaar, das den Restkörper rechtsdrehend belastet. Folglich bringt man im Schnitt ein linksdrehendes, normal zur Fläche wirkendes Biegemoment M b ¼ F A l 1 ¼ Nm an, das die Drehung verhindert (SM ðspþ ¼ 0). Auf diese Weise kann auch der Restkörper II untersucht werden. Man erkennt: Waagerecht wirkende Kräfte sind nicht vorhanden. Die im Schnitt wirkende innere Kraft F q ¼ N ergibt nach Abschnitt Abscherbeanspruchung mit Schubspannung t a (Abscherspannung). Ihr Betrag wird bestimmt durch die Abscher-Hauptgleichung t a ¼ F q =A. Außer der inneren Querkraft F q hat der Querschnitt noch ein Biegemoment M b zu übertragen. Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment M b durch ein Kräftepaar erzeugt. Die Teilkräfte dieses Kräftepaares stehen hier normal zur Fläche und ergeben nach Abschnitt Biegebeanspruchung mit der Normalspannung s b. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Biege-Hauptgleichung s b ¼ M b =W. Stützträger, freigemacht SM ðaþ ¼ 0 ¼ F B l Fl F B ¼ F l 4m ¼ 60 kn ¼ 40 kn l 6m SF y ¼ 0 ¼ F A F þ F B F A ¼ F F B ¼ 0 kn Stützbalken geschnitten und mit innerem Kräftesystem versehen. Die inneren Kräftesysteme in I und II sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Biegemoment und Kräftepaar

297 5.1 Grundbegriffe Ûbung: Durch das Anziehen soll in der Schraubenspindel der skizzierten Schraubzwinge eine Längskraft F ¼ 3000 N entstehen. Diese Kraft wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Es soll für die willkürlich gelegten Schnitte x x und y y das innere Kräftesystem und die dort vorhandenen Beanspruchungsarten festgelegt werden. Schraubzwinge mit äußerer Belastung F a) Schnitt x x Die Kraft F würde Schnittteil I nach rechts verschieben. Daher muss man im Schnitt die innere Kraft F q ¼ F ¼ 3000 N anbringen (SF x ¼ 0). Øußere Kraft F und innere Kraft F q ergeben nun aber ein Kräftepaar, das den Körper mit dem rechtsdrehenden Kraftmoment M ¼ Fl 1 ¼ 3000 N 0, m ¼ 600 Nm rechtsherum drehen würde. Gleichgewicht bringt erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment M b ¼ Fl 1 ¼ 600 Nm (SM ðspþ ¼ 0). Damit liegen auch die Beanspruchungsarten fest. SF x ¼ 0 ¼ F F q F q ¼ F ¼ 3000 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ Fl 1 þ M b M b ¼ Fl 1 ¼ 600 Nm Inneres Kräftesystem am Teilstück I Beanspruchungsarten im Schnitt x x: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q ¼ F ¼ 3000 N mit Abscherspannung t a ¼ F q =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b ¼ Fl 1 ¼ 600 Nm mit Biegespannung s b ¼ M b =W. b) Schnitt y y Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil II muss man im Schnitt die innere Normalkraft F N ¼ F ¼ 3000 N anbringen (SF x ¼ 0). Auch hier hat man dann ein Kräftepaar mit dem Kraftmoment Fl, dem man mit dem eingezeichneten Biegemoment M b ¼ Fl rechtsdrehend entgegenwirken muss (SM ðspþ ¼ 0). Damit liegen auch für diesen Schnitt die Beanspruchungsarten fest. SF x ¼ 0 ¼ FþF N F N ¼ F ¼ 3000 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ Fl M b M b ¼ Fl ¼ 900 Nm Inneres Kräftesystem am Teilstück II Beanspruchungsarten im Schnitt y y: Zugbeanspruchung durch die Normalkraft F N ¼ F ¼ 3000 N mit Zugspannung s z ¼ F N =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b ¼ Fl ¼ 900 Nm mit Biegespannung s b ¼ M b =W.

298 74 5 Festigkeitslehre 4. Ûbung: Nun zu einer recht schwierigen Aufgabe: Für die drei eingezeichneten Schnittstellen I, II, III einer Handkurbel sollen das innere Kräftesystem und die Beanspruchungsarten bestimmt werden. Gleiche oder ähnliche Probleme sind in der Praxis häufig. z. B. bei Kurbelwellen, bei Getriebewellen, überall dort, wo eine äußere Kraft drehend auf einen Körper wirkt. a) Schnittstelle I (Bolzen) Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen wieder herzustellen, muss man zunächst die innere Querkraft F q ¼ F ¼ 00 N anbringen (SF y ¼ 0). Dadurch entsteht das aus F q und F bestehende (rechtsdrehende) Kräftepaar. In gleicher Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment M b ¼ 00 N 0,10 m ¼ 4 Nm. Es ergibt sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung um den Schnittflächenschwerpunkt SP (SM ðspþ ¼ 0). Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle I SF y ¼ 0 ¼ FþF q F q ¼ F ¼ 00 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ Fl 1 þ M b M b ¼ Fl 1 ¼ 00 N 0,1 m ¼ 4 Nm Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, hier Abscherspannung t a und Biegespannung s b, erhält man durch Vergleich mit den Angaben im Abschnitt 5.1.5, Seite 67. Beanspruchungsarten im Schnitt I: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q ¼ F ¼ 00 N mit Abscherspannung t a ¼ F q =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b ¼ Fl 1 ¼ 4 Nm mit Biegespannung s b ¼ M b =W.

299 5.1 Grundbegriffe 75 b) Schnittstelle II (Kurbel) Bevor das innere Kräftesystem im Schnitt II des Kurbelarms bestimmt werden kann, muss man wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, werden nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) im Kurbelarmpunkt A zwei gleich große gegensinnige Kräfte F angebracht. Man erkennt, dass die Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen aber noch das dem Kräftepaar (zweifach gestrichene Kräfte) entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M ¼ Fl 0 1 ¼ 6 Nm. Mit diesem in A wirkenden Kräftesystem kann nun weitergearbeitet werden. Kurbelarm mit Handkraft F und äußerem Kräftesystem in Punkt A Die in A angreifende Einzelkraft F ¼ 00 N und das um A drehende Drehmoment M ¼ 6 Nm sind dasjenige äußere Kräftesystem, dem man in der Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres Kräftesystem entgegensetzen muss. Der Kurbelarm soll sich weder verschieben noch soll er sich um seine Längsachse z z verdrehen. Die Verschiebung kann ausgeschlossen werden, indem man im Schnitt die Querkraft F q ¼ F ¼ 00 N anbringt (SF y ¼ 0). Dadurch entsteht ein Kräftepaar (aus F und F q Þ, dem man im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen muss. Das kann nur das um die x-achse drehende Biegemoment M b ¼ Fl ¼ 40 Nm sein (SM ðspþ ¼ 0). Nun würde aber das äußere Drehmoment M ¼ 6 Nm den Kurbelarm um die z-achse rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt noch das linksdrehende und in der Fläche liegende Torsionsmoment M T ¼ 6 Nm zu übertragen. Statt SM ðspþ ¼ 0 müsste man hier exakter SM ðz-achseþ ¼ 0 sagen. Die Beanspruchungsarten mit der zugehörigen Spannung erhält man wie gewohnt nach Abschnitt Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle II SF y ¼ 0 ¼ FþF q F q ¼ F ¼ 00 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ Fl þ M b M b ¼ Fl ¼ 00 N 0, m ¼ 40 Nm SM ðspþ ¼ 0 ¼ MþM T M T ¼ M ¼ 6 Nm Beanspruchungsarten im Schnitt II: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q ¼ F ¼ 00 N mit Abscherspannung t a ¼ F q =A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b ¼ Fl ¼ 40 Nm mit Biegespannung s b ¼ M b =W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment M T ¼ 6 Nm mit der Torsionsspannung t t ¼ M T =W p.

300 76 5 Festigkeitslehre c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) Auch hier muss erst einmal festgestellt werden, welche Wirkung die Handkraft F auf den zu untersuchenden Körper ausübt. Dazu wird die Achse x x der Welle bis zum Schnittpunkt B verlängert. Dort bringt man die beiden gleich großen gegensinnigen Kräfte F an. Man erhält in Bezug auf die x-achse die äußere Kraft F ¼ 00 N und das dem gestrichenen Kräftepaar entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M ¼ Fr ¼ 50 Nm. Mit diesem in Punkt B wirkenden Kräftesystem kann man weiterarbeiten. Schritt für Schritt wird nun der abgeschnittene Körper ins Gleichgewicht zurückversetzt: Zuerst bringt man eine nach oben gerichtete Querkraft F q im Schnittflächenschwerpunkt an. Damit wird das Gleichgewicht in der x, y-ebene wieder hergestellt (SF y ¼ 0). Nun ist aber das Kräftepaar F, F q entstanden, das die Welle in der x, y-ebene rechtsdrehend belastet. Folglich muss man als nächstes ein in gleicher Ebene wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das linksdrehende Biegemoment M b ¼ Fl 4 ¼ 5 Nm (SM ðspþ ¼ 0). Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in der x, y-ebene weder verschiebt noch dreht. Sie würde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes M um die x-achse drehen (gegenüber dem Restteil der Welle). Das verhindert das in der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment M T ¼ 50 Nm. Handkurbel mit Handkraft F und äußerem Kräftesystem in Punkt B Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle III SF y ¼ 0 ¼ FþF q F q ¼ F ¼ 00 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ Fl 4 þ M b M b ¼ Fl 4 ¼ 00 N 0,6 m ¼ 5 Nm SM ðspþ ¼ 0 ¼ MþM T M T ¼ M ¼ 50 Nm Wie üblich erhält man die Beanspruchungsarten und die Spannungen nach Abschnitt Beanspruchungsarten im Schnitt III: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q ¼ 00 N mit Abscherspannung t a ¼ F q =A, Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b ¼ 5 Nm mit Biegespannung s b ¼ M b =W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment M T ¼ 50 Nm mit der Torsionsspannung t t ¼ M T =W p.

301 5. Beanspruchung auf Zug Beanspruchung auf Zug 5..1 Spannung Ein Stab von beliebiger, gleich bleibender Querschnittsfläche A wird durch die äußere Kraft F auf Zug beansprucht. Man legt einen Schnitt x x quer (rechtwinklig) zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil wird hergestellt durch die im Schnittflächenschwerpunkt SP angreifende innere Kraft F N normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung SF x ¼ 0 ergibt F N ¼ F. F F x F x F N SP Querschnittsfläche A Zugbeanspruchter Stab Angenommen jedes Flächenteilchen des Querschnitts ist gleich stark an der Aufnahme der inneren Kraft beteiligt. Dann erhält man die Zugspannung s z einfach als Quotienten aus der Normalkraft F N und dem Flächeninhalt A der Querschnittsfläche. Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, die für jede gerade vorliegende Aufgabe umgestellt werden kann. Zugspannung s z ¼ Normalkraft F N Querschnittsfläche A s z ¼ F N A Zug-Hauptgleichung s z F N A N mm N mm Je nach vorliegender Aufgabe wird die Zug- Hauptgleichung umgestellt: Ist der Querschnitt längs der Stabachse gleichbleibend, herrscht auch in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei (allmählichen) Querschnittsänderungen gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten gefährdeten Querschnitt herrschende Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungswert nicht überschreiten. Gefährdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt mit der kleinsten Fläche. A erf ¼ F N s zzul s z vorh ¼ F N A s zzul F N max ¼ A s zzul erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung 5.. Erkennen des gefährdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen Eine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelöst werden, wenn das zu untersuchende Bauteil richtig freigemacht und der gefährdete Querschnitt A gef richtig erkannt wird. Zur Ûbung wird das Aufsuchen des gefährdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen häufig vorkommenden Bauteilen erläutert.

302 78 5 Festigkeitslehre Profilstäbe mit Querbohrung In ungeschwächten Profilstäben (Kreis-, Kreisring, Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss in jedem Querschnitt längs der Zugachse die gleiche Spannung herrschen, weil die Querschnittsfläche überall gleich groß ist. Querbohrungen oder Querschnittsminderungen anderer Art führen an dieser Stelle zur Spannungserhöhung. Dort liegt also auch der gefährdete Querschnitt A gef ; für den man mit den gewählten Bezeichnungen für die geometrischen Größen (Durchmesser d, Breite b, Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. für den gefährdeten Querschnitt eines Flachstahls in der Form A gef ¼ bs ds ¼ sðb dþ. Falsch wäre etwa A gef ¼ bs sd p=4. A gef A gef d 1 s d d b A gef ¼ A x ¼ p 4 d dd 1 A gef ¼ A x ¼ sðb dþ 5... Zuglaschen Øndern sich bei Zugstäben Querschnittsform oder Flächeninhalt längs der Zugachse, so legt man einen Schnitt nach jeder Querschnittsänderung; in der skizzierten Zuglasche beispielsweise die Schnitte x x und y y. Erst der Vergleich der Flächeninhalte A x, A y lässt den gefährdeten Querschnitt erkennen; er liegt dort, wo der Flächeninhalt am kleinsten ist, denn nach s z ¼ F N =A gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt. D d s s A = A oder A gef x y b A x ¼ sðd dþ A y ¼ bs Zugschrauben Auch für Schrauben gilt, dass der gefährdete Querschnitt dort liegt, wo sich der kleinste Flächeninhalt ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund eines Spitzgewindes an, dann endet dieser Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, und die Form des Querschnitts weicht etwas von der Kreisform ab. Der so entstandene gefährdete Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt A S. Er ist für alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet worden. Man kann ihn in mm den Tabellen entnehmen (siehe Formelsammlung). A gef d A gef ¼ A x ¼ A S A S Spannungsquerschnitt Hinweis: Als gefährdeten Querschnitt bei Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) nimmt man immer den Kernquerschnitt.

303 5. Beanspruchung auf Zug Herabhängende Stäbe oder Seile Man denkt sich einen frei herabhängenden Stab der von unten nach oben fortschreitend durch die Schnitte x 1 x 1, x x usw. zerlegt ist, dann hat der jeweils höher liegende Schnitt eine größere Teilgewichtskraft F Gx aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am größten ist. Dort liegt der gefährdete Querschnitt. Da die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Trägt der Stab am unteren Ende noch die Last F, dann beträgt die Gesamtbelastung F ges ¼ F þ F G. Damit ist die maximale Spannung s max zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft F G ¼ mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem Volumen V, der Dichte r des Stoffes und der Fallbeschleunigung g. A gef ¼ A x s max ¼ F þ F G A x A x Querschnitt an der Einspannstelle F G ¼ Vrg F G ¼ mg F G V r m g N ¼ kg m m 3 kg s m 3 kg m s Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsächlichen komplizierteren Beanspruchungsverhältnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsächliche größte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der behördlich vorgeschriebenen zulässigen Zugspannung. Bei den Rechnungen wird häufig vergessen, dass der Schnitt x x zwei Rundstahlquerschnitte trifft. A gef d A gef ¼ p 4 d ¼ p d Aufgaben Nr Elastische Formänderung (Hooke sches Gesetz) Bei Belastung verändert ein Werkstück seine Form. Man unterscheidet elastische und plastische Formänderung. Hier wird nur auf die elastische Formänderung eingegangen, bei der das Werkstück nach Entlastung seine ursprüngliche Form wieder annimmt. Das von Robert Hooke (engl. Physiker, ) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz für jede elastische Verformung fester Körper. Im Physik-Lehrbuch 1) wird ein Versuch zum Hooke schen Gesetz beschrieben. 1) A. Böge, J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen. ViewegþTeubner, 008

304 80 5 Festigkeitslehre Verlängerung D l und Dehnung e Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l 0, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l 0. Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger Länge l 0 verlängere sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 0 mm verlängern. Je nach größerer oder kleinerer Ursprungslänge l 0 wird also die Verlängerung Dl trotz gleicher Spannung größer oder kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge l 0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge l 0 heißt Dehnung e. In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden. Dl ¼ l l 0 Stab ungespannt und gespannt Verlängerung Dl Dehnung e ¼ Ursprungslänge l 0 e ¼ Dl l 0 ¼ l l 0 l 0 Beachte: Als Verhältnis zweier Längen (Verlängerung Dl und Ursprungslänge l 0 ) ist die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der Einheit Eins. Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert sich bei einer bestimmten Belastung um 10 mm. Dann beträgt die Dehnung e ¼ Dl 10 mm ¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ l mm e Dl, l 0, l 1 mm Querdehnung e q An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch nicht mit bloßem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung e die Querdehnung e q definiert, und zwar als Verhältnis von Dickenänderung Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d 0 (entsprechend l 0 ). Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung e q die Einheit Eins erhalten. Querdehnung des Stabes Dickenänderung Dd Querdehnung e q ¼ ursprüngliche Dicke d 0 e q ¼ Dd d 0 ¼ d 0 d d 0 e q Dd, d 0, d 1 mm

305 5. Beanspruchung auf Zug Poisson-Zahl m Für bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es bequem, mit dem Verhältnis von Querdehnung e q und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verhältnis bezeichnet man als Poisson-Zahl m. Für Stahl wurde die Poisson-Zahl m ¼ 0,3 ermittelt; für Gusseisen ist m ¼ 0,5; für Gummi ist m ¼ 0,5. Poisson-Zahl m ¼ Querdehnung e q Längsdehnung e m ¼ e q e Das Hooke sche Gesetz Für viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Spannung s und der zugehörigen Dehnung e zu erkennen. Beim Ziehen eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender Spannung s auch die Dehnung e (Verlängerung Dl) ansteigt. Versuche mit Probestäben (siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung e mit der Spannung s im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Bei doppelter Spannung s zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung e. Man kann auch sagen: Das Verhältnis von Spannung s und Dehnung e ist für jeden Werkstoff ein bestimmter, in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen gleich bleibender Wert, der Elastizitätsmodul E. Elastizitätsmodul E ¼ Spannung s Dehnung e Umgestellt und für e ¼ Dl=l 0 eingesetzt, ergibt sich die übliche Form: s ¼ ee ¼ Dl l 0 E Hooke sches Gesetz s, E Dl, l 0 e N mm 1 mm Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten Stäben zeigen die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie bei Zugbeanspruchung: Das Hooke sche Gesetz gilt für Zug- und Druckbeanspruchung. Statt s z und s d schreibt man daher hier nur s. Der Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) ist eine Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch ist ein solcher Versuch ausführlich beschrieben. Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 384) enthalten den E-Modul für die wichtigsten Werkstoffe. Dem Elastizitätsmodul E entspricht für Schubspannungen (Abscher- und Torsionsspannung) dem Schubmodul G (5.6., Seite 96). Beispiele: E Stahl ¼ N N ¼,1 105 mm mm E AlCuMg ¼ 0, N mm E GG6 ¼ 1, 10 5 N mm Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe nur deshalb schwierig, weil man vergisst, dass der E-Modul schon bekannt ist (Tabelle 5.8).

306 8 Nach dem Hooke schen Gesetz s ¼ ee muss der E-Modul die Einheit der Spannung haben (N/mm ), denn die Dehnung e hat die Einheit Eins. Ûber das Hooke sche Gesetz E ¼ s=e kann man den E-Modul auch als diejenige Spannung ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten würde. Allerdings muss dabei beachtet werden, dass sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge verlängern lassen und dass das Hooke sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt (Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 374) Wärmespannung Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße l 0 zusammen. Die Verlängerung Dl (Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge l 0, von der Temperaturdifferenz DT ¼ J J 1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung) und vom Längenausdehnungskoeffizienten a l (siehe Physik-Lehrbuch). Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen an der Längenänderung gehindert, dann müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie können mit Hilfe des Hooke schen Gesetzes berechnet werden. Diese Normalspannungen heißen Wärmespannung s J, weil die Temperatur allgemein mit dem griechischen Buchstaben Theta bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 384, den Längenausdehnungskoeffizienten a l dem Handbuch Maschinenbau Formänderungsarbeit W f Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem Weg Dl (Verlängerung) eine mechanische Arbeit, die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper federt. Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende Fläche entspricht der mechanischen Arbeit. Beispiel: Angenommen, ein Probestab verlängert sich bei der Spannung s z ¼ 1000 N=mm auf das Doppelte seiner Ursprungslänge. Dann wäre seine Dehnung e ¼ Dl=l 0 ¼ 1 und damit E ¼ s z e ¼ 1000 N 1 mm ¼ 1000 N mm ¼ s z Dl ¼ l 0 a l DT Hinweis: Für Stahl ist a l St ¼ =K, das heißt, ein Stahlstab von 1 m Länge verändert sich bei Erwärmung um 1 K ¼ 1 Cum m ¼ 0,01 mm. s J ¼ ee ¼ Dl l 0 E Hooke sches Gesetz in allgemeiner Form Für die Verlängerung (Verkürzung) wird Dl ¼ l 0 a l DT eingesetzt: s J ¼ l 0 a l DT E l 0 s J, E a l DT s J ¼ a l DTE Wärmespannung N 1 mm K K Beachte: Die Wärmespannung s J ist unabhängig von den Abmessungen des Stabs. l 0 Kraft Δl Δl W = f 5 Festigkeitslehre Dl, l 0 a l DT F mm F F Δl Verlängerung Kraft-Verlängerung-Schaubild eines elastisch verlängerten Stabs. Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche ein Dreieck. 1 K K

307 5. Beanspruchung auf Zug 83 Mit Hilfe des Hooke schen Gesetzes s ¼ ee ¼ DlE=l 0 schreibt man für die Verlängerung Dl ¼ s l 0 E : Für die Zugkraft F schreibt man mit der Zug- Hauptgleichung F ¼ s A. Dann ergibt sich mit Al 0 ¼ Volumen V die übliche Form für W f. Die Formänderungsarbeit W f wird auch als Federarbeit bezeichnet. Als Einheit erhält man das Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J ¼ Nm dividiert man den Betrag durch 1000 (1 mm ¼ 1/1000 m ¼10 3 m). Kraft F Verlängerung Dl W f ¼ W f ¼ F Dl W f ¼ s A s l 0 E W f ¼ F Dl ¼ s V E Formänderungsarbeit W f F Dl s, E V Nmm ¼ 10 3 J N mm N mm mm Reißlänge Die Belastung frei hängender Seile z. B. in Förderanlagen setzt sich aus der Nutzlast und der Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit zunehmender Seillänge wird man infolge der ansteigenden Gewichtskraft F G des Seiles immer weniger Nutzlast anhängen dürfen, bis der gefährdete Querschnitt (Aufhängequerschnitt) nur noch die Seilgewichtskraft F G tragen kann. Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft verusachte Zugspannung s z linear mit der Länge an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung (siehe 5...4, Seite 79). In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F durch die Gewichtskraft F G ¼ mg ersetzt. Die Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt aus Dichte r und dem Volumen V, letzteres wieder durch das Produkt aus Querschnittsfläche A und Seillänge l. Nach der Gleichung s z ¼ rlgist die Zugspannung im Seil nicht vom Seildurchmesser abhängig. Wird in s z ¼ rlg statt der Zugspannung s z die Zugfestigkeit R m für den Seilwerkstoff eingesetzt, so erhält man eine Gleichung für die so genannte Reißlänge l r, bei der das frei hängende Seil unter seiner Eigengewichtskraft reißt. s z ¼ F G A s z ¼ ralg A ¼ rlg s z ¼ rlg F G ¼ mg ¼ rvg¼ ralg Hinweis: Die Gleichung für s z zeigt, dass die Zugspannung gleichmäßig mit der Seillänge l nach oben hin ansteigt. s z ¼ rlg; s z ¼ R m ; l ¼ l r l r ¼ R m rg Reißlänge R m Zugfestigkeit (Seite 374) r Dichte g Fallbeschleunigung

308 84 5 Festigkeitslehre Setzt man in die Größengleichung für die Reißlänge die Zugfestigkeit R m in N/mm ein, die Dichte r in kg/m 3 und die Fallbeschleunigung g in m/s, dann muss bei der Ausrechnung die Flächeneinheit mm in m umgewandelt werden. Hierfür gilt 1mm ¼ð10 3 mþ ¼ 10 6 m : N ðl r Þ¼ ðr mþ ðrþðgþ ¼ mm N m 3 s kg m 3 m ¼ mm kg m s kgm s ðl r Þ¼ m 3 s 10 6 m kg m ¼ kg m 4 s 10 6 m kg m s ðl r Þ¼10 6 m ¼ 10 3 km Damit kann auch eine auf die Längeneinheit km zugeschnittene Zahlenwertgleichung entwickelt werden. Auch nach der Zahlenwertgleichung ist die Reißlänge eines Seils nicht vom Seildurchmesser oder vom Querschnitt A abhängig. Aufgaben Nr l r ¼ 10 3 R m rg Zahlenwertgleichung l r R m r g km N mm kg m 3 R m siehe Seite 384 m s 5.3 Beanspruchung auf Druck Die äußeren Kräfte wirken hier entgegengesetzt wie bei der Zugbeanspruchung. Man kann sagen: Zug- und Druckbeanspruchung liegen spiegelbildlich zueinander, und die Gesetzmäßigkeiten sind von gleicher Art. Das gilt sowohl für die Spannungsart (Normalspannung) als auch für die Spannungsverteilung. Daher hat die Druck-Hauptgleichung die gleiche Form wie die Zug-Hauptgleichung. Grundsätzlich gilt auch für die Druckbeanspruchung: Bei gleich bleibendem Querschnitt herrscht in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei Querschnittsänderungen tritt im kleineren Querschnitt die größere Spannung auf und umgekehrt. Die im gefährdeten Querschnitt vorhandene Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungsbetrag nicht überschreiten. Gefährdet ist der Querschnitt mit dem kleinsten Flächeninhalt (siehe auch Seite 77). Für die Formänderungsarbeit W f gelten die Beziehungen von Seite 8. F F SP x x FN A F Druckbeanspruchter Stab Druckspannung s d ¼ Normalkraft F N Querschnittsfläche A s d ¼ F N A Druck-Hauptgleichung Je nach vorliegender Aufgabe wird die Druck-Hauptgleichung umgestellt: A erf ¼ F N s d zul s d vorh ¼ F N A s dzul F N max ¼ As d zul s d F N A N N mm mm erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

309 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen vorgeführt. Der Studierende wird vor allem lernen, welche Form seine Rechnungen haben müssen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte. Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch Aufgabensammlung Technische Mechanik zusammengestellt wurden. Die Lösungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte. 1. Ûbung: Ein Stahldraht aus 0MnCr5 von 1 mm Durchmesser und m Länge wird durch Zugbelastung um 4 mm verlängert. Zu bestimmen sind a) die Dehnung des Drahtes, b) die vorhandene Zugspannung, c) die Zugkraft. d) Es soll nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich das Hooke sche Gesetz tatsächlich noch gilt. Lösung: a) Da Ursprungslänge l 0 und Verlängerung Dl gegeben sind, lässt sich die Dehnung e sofort berechnen (als Dezimalzahl und in %). b) Ist eine Formänderung im Spiel, hier die gegebene Verlängerung Dl, dann ist sicher, dass das Hooke sche Gesetz gebraucht wird (s z ¼ ee oder auch in der Form s z ¼ Dl E=l 0 Þ. Daher hat man unter Gegeben auch sofort den E-Modul aufgeschrieben. c) Die Zugkraft F lässt sich nun über die Zug- Hauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung berechnen. Allerdings: Das Ergebnis dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn s z vorh fehlerfrei bestimmt wurde. Auch für Teilrechnungen sollte man daher immer versuchen, eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier Zugkraft F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen nur die gegebenen Ausgangsgrößen stehen. In diesem Sinn wäre auch die hier vorgeführte Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil statt pd =4 der schon berechnete Wert für den Querschnitt A ¼ 0,785 mm eingesetzt wurde. Gegeben: A ¼ p 4 d ¼ p 4 ð1mmþ ¼ 0,785 mm l 0 ¼ m¼ 10 3 mm ; Dl ¼ 4mm E Stahl ¼, N mm Gesucht: a) e b) s z vorh c) F d) Spannungsnachweis für Hooke e ¼ Dl ¼ 4mm l mm ¼ 10 3 ¼ 0,00 e ¼ % ¼ 10 1 % ¼ 0, % s z vorh ¼ F N A ¼ F ) führt nicht weiter. A s z vorh ¼ ee ¼ 10 3, N mm s z vorh ¼ 4, N mm ¼ 40 N mm N F ¼ s z vorh A ¼ 40 0,785 mm mm F ¼ 39,7 N Kontrolle: s z ¼ Dl E s z ¼ F l 0 A eingesetzt: F A ¼ Dl E ) nach F aufgelöst: l 0 F ¼ DlEA l 0 4mm, N 0,785 mm mm F ¼ 10 3 mm F ¼ 39,7 N ðwie obenþ

310 86 5 Festigkeitslehre d) Nach Tabelle 5.8, Seite 384, beträgt die R p0, Dehngrenze für 0 MnCr5 850 N/mm,d.h.bei dieser Spannung würde sich der Probestab um 0, % bleibend gedehnt haben. Da die hier vorhandene Spannung (40 N/mm ) weit unter dieser Dehngrenze 850 N/mm liegt, durfte tatsächlich mit dem Hooke schen Gesetz gerechnet werden.. Ûbung: Ein Gummipuffer mit Kreisquerschnitt soll durch eine Druckkraft F ¼ 500 N von 30 mm auf 5 mm elastisch zusammengedrückt werden. Der E-Modul der verwendeten Gummisorte ist mit 5 N/mm angegeben. Zu bestimmen sind a) die Druckspannung im Gummipuffer, b) der erforderliche Pufferdurchmesser, c) die vom Puffer aufgenommene Formänderungsarbeit. R p0, ¼ 850 s z vorh ¼ 40 Gegeben: F ¼ 500 N l 0 ¼ 30 mm E ¼ 5 N mm N mm N mm < R p0, 10Dl ¼ 5mm Gesucht: a) s d vorh b) d erf c) W f Lösung: a) Man sollte sich künftig die Erkenntnisse aus der vorigen Aufgabe zunutze machen und grundsätzlich die entsprechende Hauptgleichung und das Hooke sche Gesetz aufschreiben. Entweder führt dann eine der beiden Gleichungen direkt zum Ziel oder beide werden zu einer Gleichung für die gesuchte Größe entwickelt. b) Aus der Druck-Hauptgleichung und dem Hooke schen Gesetz wird eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier d erf ) entwickelt. Nur so erhält man eine rechnergemäße Beziehung, die es ermöglicht, die gegenseitigen Abhängigkeiten aller Größen zu diskutieren. Beispielsweise ist zu erkennen, dass bei größerem E-Modul der erforderliche Durchmesser kleiner wird, denn E steht im Nenner der Funktionsgleichung d ¼ f ðf, l 0, Dl, EÞ. s d vorh ¼ F A ¼ ee s d vorh ¼ ee ¼ Dl l 0 s d vorh ¼ 0,83 N mm E ¼ 5mm 30 mm 5 N mm s d vorh ¼ F A ¼ Dl l 0 E ; A ¼ p 4 d A ¼ p 4 d ¼ Fl 0 und daraus Dl E rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4Fl N 30 mm d erf ¼ ¼ u pdle t N p 5mm5 mm d erf ¼ 7,6 mm c) Die aufgenommene Federarbeit W f erhält man direkt aus den gegebenen Größen F und Dl (siehe Seite 83). W f ¼ F Dl 500 N 5mm ¼ ¼ 150 Nmm W f ¼ 1,5 Nm ¼ 1,5 J

311 5.5 Flächenpressung Flächenpressung Begriff und Hauptgleichung Unter Flächenpressung p (auch: Pressung) versteht man die Beanspruchung in den Berührungsflächen (Oberflächen) zweier gegeneinander gedrückter Bauteile. Ursache jeder Flächenpressung ist eine Normalkraft F N, die häufig erst aus der beliebig gerichteten Kraft F bestimmt werden muss. Werden zwei ebene Flächen gegeneinander gepresst, dann gilt: Flächenpressung ebener Flächen Flächenpressung p ¼ Normalkraft F N Berührungsfläche A Die Flächenpressung p ist der Quotient aus der Normalkraft F N und dem Flächeninhalt A der Berührungsfläche. p ¼ F N A Flächenpressungs- Hauptgleichung p F N A N N mm mm Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die Flächenpressungs-Hauptgleichung um. A erf ¼ F N p zul erforderliche Berührungsfläche p vorh ¼ F N A p zul vorhandene Flächenpressung F N max ¼ Ap zul maximale Normalkraft 5.5. Flächenpressung an geneigten Flächen Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik stellt sich häufig die Aufgabe, die Flächenpressung auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen, wie beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer Prismenführung. Der herausgeschnittene Teil der Gleitführung zeigt, dass das Prisma neben der Belastung F ¼ 800 N die Normalkräfte F N1 und F N aufzunehmen hat. Das zugehörige Krafteck bildet ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem die Gleichungen für F N1 und F N abgelesen werden können. Sind die Flächeninhalte A 1 und A der Gleitflächen bekannt, kann die Flächenpressung p 1 und p berechnet werden. p 1 ¼ F N1 A 1 p ¼ F N A F ¼ A 1 cos a ¼ 0,46 N mm ¼ F tan a N ¼ 0,46 A mm

312 88 5 Festigkeitslehre Die Flächenpressung p 1 auf der geneigten Gleitfläche A 1 lässt sich bequemer nach folgender Ûberlegung berechnen: Im Nenner der Gleichung p 1 ¼ F=ðA 1 cos aþ steht der Ausdruck A 1 cos a. Das ist die Projektion der Berührungsfläche A 1 auf die zur Wirklinie von F rechtwinklige Ebene. Daraus folgt: Man kann ohne den Umweg über die Normalkraft mit der Kraft F und der so genannten projizierten Berührungsfläche A proj die Flächenpressung p berechnen. p ¼ F A proj p F A proj N N mm mm In Zweifelsfällen führt der Weg über das exakte Freimachen und das Bestimmen der Normalkräfte F N immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen Fällen einfacher, mit der projizierte Fläche zu rechnen. Typische technische Beispiele zeigen die folgenden Bilder. Beachte: A proj ist die Projektion der Berührungsfläche auf eine Ebene, die rechtwinklig zur Wirklinie der Belastung F steht. Beispielsweise ist beim Kegelzapfen A proj eine Kreisringfläche, wie das folgende Bild zeigt. Typische techische Beispiele für die Verwendung der Gleichung p ¼ F=A proj

313 5.5 Flächenpressung Flächenpressung am Gewinde Der Verschleiß an den Gewindegängen einer Schraubenverbindung ist von der Flächenpressung zwischen Mutter- und Bolzengewinde abhängig. Vor allem bei so genannten Bewegungsschrauben (Spindeln in Pressen, Leitspindeln in Drehmaschinen usw.) muss die Mutterhöhe m so groß gemacht werden, dass die zulässige Flächenpressung im Gewinde nicht überschritten wird. Für Bewegungsschrauben benutzt man hauptsächlich metrisches ISO-Trapezgewinde, seltener metrisches ISO-Gewinde. Für beide Formen gelten die im Bild eingetragenen Bezeichnungen. Bezeichnungen am Trapezgewinde Zur Herleitung einer Gleichung für die erforderliche Mutterhöhe m geht man von der projizierten Fläche eines Gewindeganges aus (DA proj ). Diese projizierte Fläche DA proj ist eine Kreisringfläche mit der Tragtiefe H 1 als Ringbreite (siehe auch Bilder Seite 88). DA proj ¼ pd H 1 Die Anzahl der tragenden Gewindegänge i erhält man, wenn die Mutterhöhe m durch die Gewindesteigung P dividiert wird. i ¼ Mutterhöhe m Gewindesteigung P Die gesamte projizierte Berührungsfläche A proj zwischen Gewindebolzen und Mutter muss das Produkt aus DA proj und i sein. Damit erhält man eine Gleichung zur Berechnung der Flächenpressung p im Gewinde. Bei dieser Berechnung wird vorausgesetzt, dass alle beteiligten Gewindegänge gleichmäßig tragen. Tatsächlich werden die ersten Gänge stärker beansprucht. Zum Schluss wird die Flächepressungsgleichung zur Berechnung der erforderlichen Mutterhöhe m erf umgestellt. A proj ¼ DA proj i ¼ pd H 1 i ¼ pd H 1 m P p ¼ F ¼ FP A proj pd H 1 m p zul Flächenpressungsgleichung für Gewinde FP m erf ¼ pd H 1 p zul m, P, d, H 1 F p erforderliche Mutterhöhe mm N N mm

314 90 5 Festigkeitslehre Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen Schwieriger als bei ebenen Flächen sind die Pressungsverhältnisse an der Oberfläche eines Lagerzapfens, eines Bolzens oder eines Nietes. Die Flächenpressung ist in Belastungsrichtung am größten (p max ) und nimmt nach den Seiten hin bis auf null ab. Der Maximalwert p max müsste eingesetzt werden, wenn z. B. für ein Gleitlager die erforderliche Lagerlänge l bestimmt werden soll. Beziehungen zur Berechnung von p max hat Hertz aufgestellt (Hertz sche Gleichungen, siehe Seite 91). Diese Gleichungen sind nicht einfach aufgebaut. Deshalb arbeitet man bei der Berechnung von Gleitlagerabmessungen sowie bei Niet- oder Bolzenverbindungen nicht mit den Hertz schen Gleichungen, sondern rechnet mit einem Mittelwert p der Flächenpressung. Dazu denkt man sich die Kraft F gleichmäßig über die projizierte Fläche A proj des Zapfens (Bolzen, Niet) verteilt. Der Fehler bei dieser Betrachtung wird dadurch ausgeglichen, dass man die zulässige Flächenpressung entsprechend niedriger festlegt, so dass die tatsächlich auftretende Pressung p max von den verwendeten Werkstoffen vertragen wird. p ¼ F ¼ F A proj dl p zul Flächenpressungsgleichung für Gleitlager und Bolzenverbindungen p F d, l N N mm mm Die Flächenpressung am Nietschaft wird Lochleibungsdruck s l genannt. Er ist abhängig von der aufzunehmenden Kraft F, von der Anzahl n der Niete und von der projizierten Schaltfläche A proj ¼ d 1 s eines Nietes. s l ¼ F ¼ F na proj nd 1 s s l zul Flächenpressungsgleichung für Nietverbindungen Bei einschnittigen Nietverbindungen muss man für s die kleinere der beiden Blechdicken einsetzen, weil hier der größere Lochleibungsdruck auftritt. Ist die Verbindung mehrschnittig, dann ist s die kleinere der beiden Bleckdickensummen in einer Kraftrichtung. Im skizzierten Beispiel (vierschnittig) müsste man also s ¼ 10,5 mm in die Gleichung für den Lochleibungsdruck s l einsetzen.

315 5.5 Flächenpressung Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz sche Gleichungen) Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter (gewölbter) Oberfläche lässt sich mit den von Hertz aufgestellten Gleichungen berechnen. Diese Beanspruchungsart tritt beispielsweise zwischen den Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Rollen, Nadeln) und Laufringen von Wälzlagern auf (Kugellager, Kegelrollenlager, usw.). Die Hertz schen Gleichungen gelten unter folgenden Voraussetzungen: a) Die Körper verhalten sich vollkommen elastisch (keine bleibende Formänderung). b) Es gilt das Hook sche Gesetz s ¼ ee. c) Die elastische Verformung ist klein gegenüber den Abmessungen des Körpers. d) In der Berührungsfläche beider Körper treten nur Normalspannungen s auf, keine Schubspannungen t. Bedeutung der Formelzeichen: a Radius der kreisförmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfläche in mm F Druckkraft in N m Poisson-Zahl, Verhältnisgröße mit der Einheit 1, siehe Seite 81 r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders in mm; bei Krümmung beider Körper ist die Summe beider Krümmungen einzusetzen, also 1=r ¼ 1=r 1 þ 1=r. Für die ebene Platte ist 1=r ¼ 0, für die Hohlkugel ist 1=r negativ einzusetzen. E Elastizitätsmodul in N/mm ; bei unterschiedlichen E-Moduln ist E ¼ E 1 E =ðe 1 þ E Þ einzusetzen. l Länge des Zylinders in mm p Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r in N/mm p 0 ¼ p max Druck in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm r veränderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche in mm d Gesamtabplattung in mm, d. h. die gesamte Näherung der beiden Körper Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi 3 1,5ð1 m a ¼ Þ Fr 3 Fr ¼ 1,11 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E E a p ¼ p r 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a p 0 ¼ 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1,5 FE 3 FE p r ð1 m Þ ¼ 0,388 ¼ 1,5 F r pa sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ a r ¼ 3,5ð1 m Þ F 3 F E ¼ 1,3 r E r Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffi 8ð1 m a ¼ Þ Fr Fr ¼ 1,5 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pel El a p ¼ p r 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a rffiffiffiffiffiffi FE FE p 0 ¼ prlð1 m ¼ 0,418 ¼ F Þ rl pal

316 9 5 Festigkeitslehre Ûbungen zur Flächenpressung 1. Ûbung: Eine Zugspindel soll über die Mutter in Längsrichtung 0 kn übertragen. Die Zugspannung in der Spindel darf 80 N/mm nicht überschreiten, die Flächenpressung im Gewinde soll höchstens 15 N/mm betragen. Zu bestimmen sind das erforderliche Trapezgewinde, die erforderliche Mutterhöhe. Lösung: Der Kernquerschnitt der Zugspindel muss bei s z zul ¼ 80 N=mm die Zugkraft F ¼ N übertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (Seite 77) findet man für A erf ¼ 50 mm Kernquerschnitt. Aus der Formelsammlung wird dasjenige Trapezgewinde gewählt, das den nächstgrößeren Kernquerschnitt A 3 ¼ 69 mm besitzt. Zur Berechnung der Mutterhöhe m setzt man in die Gleichung nach Seite 89 die gegebenen und die aus der Gewindetafel (Formelsammlung) entnommenen Größen ein. Als Normmaß wird m ¼ 40 mm gewählt. Gegeben: Zugkraft F ¼ 0 kn ¼ N s zzul ¼ 80 N mm p zul ¼ 15 N mm Gesucht: Trapezgewinde Mutterhöhe m s z ¼ F A (Zug-Hauptgleichung) A erf ¼ F ¼ s zzul N 80 N ¼ 50 mm mm Gewählt wird Tr 4 5 mit A 3 ¼ 69 mm, Steigung P ¼ 5 mm, Flankendurchmesser d ¼ 1,5 mm, Tragtiefe H 1 ¼,5 mm. FP m erf ¼ pd H 1 p zul N 5mm m erf ¼ p 1,5 mm,5 mm 15 N mm m erf ¼ 39,48 mm; m ¼ 40 mm gewählt. Ûbung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft F r ¼ N und eine Axialkraft F a ¼ 6000 N aufzunehmen. Das Bauverhältnis soll l=d ¼ 1,, die zulässige Flächenpressung 5 N/mm betragen. Zu bestimmen sind die Maße d, D, l. Lösung: In die Flächenpressungsgleichung für Gleitlager, Seite 90, wird aus dem vorgegebenen Bauverhältnis l=d ¼ 1, entweder d ¼ l=1, oder für l ¼ 1, d eingesetzt. Hier entscheidet man sich für die zweite Möglichkeit und erhält damit eine Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen Wellendurchmessers d. Im anderen Fall hätte sich eine Gleichung zur Berechnung der Lagerlänge l ergeben. Aus dem Bauverhältnis l=d ¼ 1, ergibt sich die Lagerungslänge l. p ¼ F r A proj ¼ F r dl F r F r l ¼ 1, ) l ¼ 1,d d p ¼ d 1,d ¼ 1,d sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r N d erf ¼ ¼ u t 1,p zul 1, 5 N mm d erf ¼ 50 mm l ¼ 1,d ¼ 1, 50 mm ¼ 60 mm

317 5.5 Flächenpressung 93 Man setzt die Beziehung für den Kreisringquerschnitt A in die Flächenpressungs-Hauptgleichung p ¼ F N =A ¼ F a =A ein und entwickelt eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Bunddurchmessers D ¼ f (F a, p zul, d), aus der D berechnet werden kann. Gewählt wird D ¼ 65 mm als nächsthöheres Normmaß. 3. Ûbung: Für die Festigkeitsüberprüfung (Spannungsnachweis) der Abmessungen eines Zahnrades, insbesondere des gewählten Modus, ist die Flächenpressung p C im Wälzpunkt C der beiden Zahnflanken von besonderer Bedeutung. p C darf nicht größer sein als ein Grenzwert p zul, der in Versuchen ermittelt wurde. Die Krümmungsradien r 1 und r für die skizzierte Nullstellung beider Räder lassen sich berechnen; hier ist r 1 ¼ 60 mm, r ¼ 40 mm. Für b ¼ 50 mm Zahnradbreite und p zul ¼ 50 N/mm soll die maximale Normalkraft F N max bestimmt werden, die zwischen den beiden Zahnflanken auftreten darf. Lösung: Die Berührung zweier Zahnflanken im Wälzpunkt C entspricht der Pressung zwischen zwei Zylindern nach , Seite 91. Da beide Körper gekrümmt sind, muss der Krümmungsradius r aus 1=r ¼ 1=r 1 þ 1=r berechnet werden. Diese Gleichung kann man in eine zweckmäßigere Form bringen und daraus dann r berechnen. Die Ausgangsgleichung wird nach F Nmax umgestellt, wobei man auch noch p C ¼ p zul setzt. Wegen der Wurzel muss die Gleichung zuerst quadriert werden. Das Elastizitätsmodul für Stahl beträgt wie üblich, N/mm. Man erhält als Ergebnis für die größte Normalkraft F N max ¼ 9187 N. Damit kann der Konstrukteur das maximal zulässige Drehmoment und die entsprechende Getriebeleistung festlegen. Aufgaben Nr F a p ¼ F N A ¼ p 4 ðd d Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4F a D erf ¼ þ d pp zul D erf ¼ 63,47 mm rffiffiffiffiffiffiffi FE p 0 ¼ 0,418 rl p 0 ¼ p C F ¼ F N l ¼ b 1 r ¼ 1 r 1 þ 1 r ¼ r þ r 1 r 1 r D ¼ f ðf a, p zul, dþ D ¼ 65 mm gewählt Hertz sche Gleichung r ¼ r 1r ð60 40Þ mm ¼ ¼ 4 mm r 1 þ r ð60 þ 40Þ mm r ffiffiffiffiffiffiffiffiffi! p C ¼ 0,418 F N E rb p C ¼ 0,418 F NE rb F N max ¼ p zul rb 0,418 E N 530 mm F N max ¼ 4 mm 50 mm 0,418, N mm F N max ¼ 9187 N

318 94 5 Festigkeitslehre 5.6 Beanspruchung auf Abscheren Spannung Die Beanspruchungsart Abscheren tritt immer dann auf, wenn die Belastung F rechtwinklig (quer) zur Achse des Bauteils wirkt. Praktisches Beispiel für das Auftreten von Abscherspannungen ist das Scherschneiden. Die äußeren Schnittkräfte F bilden ein Kräftepaar mit dem (kleinen) Wirkabstand u (Schneidspalt). Das entsprechend kleine Kraftmoment M ¼ Fu wird bei dieser Untersuchung venachlässigt. W F = F q u F F F s A A = Querschnittsfläche F l F In der Schnittfläche des Werkstücks W wird das Kräftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft F q (Querkraft) ¼ F wieder hergestellt. F q wirkt tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung ist also die Schubspannung t (Tangentialspannung). Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart nennt man sie Abscherspannung t a. Scherschneiden (Parallelschnitt) A ¼ ls Querschnittsfläche, W Werkstück, F Schnittkraft, u Schneidspalt Die Abscherfestigkeit t ab von Stahl und Gusseisen kann aus der Zugfestigkeit R m bestimmt werden: Querkraft F q Abscherspannung t a ¼ Querschnittsfläche A t a ¼ F q A Vereinfachend wird zunächst angenommen, dass jedes Flächenteilchen gleichmäßig an der Ûbertragung der inneren Kraft F q beteiligt ist. Dann erhält die Abscher-Hauptgleichung die gleiche Form wie die schon bekannten Zug/Druck-Hauptgleichungen. Abscher- Hauptgleichung t a F q A N mm N mm für Flussstahl ist t ab ¼ 0,85 R m für Gusseisen ist t ab ¼ 1,1 R m Je nach vorliegender Aufgabe wird die Abscher-Hauptgleichung umgestellt: Die Abscherfestigkeit t ab wird für Aufgaben aus der Stanzereitechnik gebraucht (siehe z. B. Aufgabe 741 aus der Aufgabensammlung). Zur richtigen Festlegung des gefährdeten Querschnitts in Abscheraufgaben geben die nachstehenden Lehrbeispiele Anregungen. A erf ¼ F q t azul t a vorh ¼ F q A t azul F q max ¼ At azul erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

319 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 95 Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen wie Niete und Bolzen tritt außer der Querkraft noch ein Biegemoment auf. Allein deshalb ist eine einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt nicht zu erwarten. In warm eingezogenen Nieten tritt keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische Untersuchungen am Rechteckquerschnitt zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung mit t ¼ 0 in der Randfaser und t ¼ t max in der mittleren Faserschicht. Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten Rechteckquerschnitt Mit dem Mittelwert t mittel ¼ t a ¼ F q =A ergibt die Rechnung für den Rechteckquerschnitt t max ¼ð3=Þt a, d. h. die maximale Schubspannung ist um 50 % größer als die rechnerische Abscherspannung t a ¼ F q =A. Für die folgenden Querschnittsformen gilt: Rechteckquerschnitt t max ¼ð3=Þt a Kreisquerschnitt t max ¼ð4=3Þt a Rohrquerschnitt t max ca. t a Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung berechnet, obwohl in der Schnittfläche noch ein Biegemoment übertragen werden muss. Berücksichtigt wird dies durch eine geringere zulässige Spannung t a zul. Bei längeren Bolzen sollte die Biegespannung überprüft werden. Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen im Stahlhoch- und Kranbau sind vorgeschrieben (siehe Tabellen 5.5 und 5.6, Seite 363). Schnittuntersuchung am Niet

320 96 5 Festigkeitslehre 5.6. Elastische Formänderung (Hooke sches Gesetz für Schub) Am Beispiel einer würfelförmigen Schubfeder kann die Formänderung bei Schub erläutert werden: Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1 und parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenflächen des Würfels um den Winkel g neigen. Für kleine Winkel g darf angenommen werden, dass der Abstand l 0 der beiden Schnittufer während der elastischen Formänderung erhalten bleibt. Dann ist der Tangens des Winkels g ungefähr gleich dem Winkel in der Einheit rad, also tan g ¼ Dl=l 0 g. Der Winkel g wird als Schiebung bezeichnet. Verschiebung Dl Schiebung g ¼ Schnittuferabstand l 0 tan g g ¼ Dl l 0 g Dl, l 0 rad mm Man versteht die Zusammenhänge besser und erhält zusätzlich eine gute Gedächtnisstütze, wenn man die Formänderung bei Schub und bei Zug (5..3.4, Seite 81) einander gegenüberstellt. Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung t wächst mit der Schiebung g verhältnisgleich: Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte Spannung ein. Bei Zug ist die Dehnung e das Verhältnis von Verlängerung Dl und Ursprungslänge l 0, bei Schub ist die Schiebung g das Verhältnis von Verschiebung Dl und Schnittuferabstand l 0. Bei Zug wächst die Dehnung e proportional mit der Normalspannung s (siehe Seite 8), bei Schub wächst die Schiebung g proportional mit der Schubspannung t. Wie bei der Zugbeanspruchung (Seite 81) ist auch hier das Verhältnis von Spannung t und Schiebung g ein bestimmter und bei elastischer Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN 1304 heißt er Schubmodul G. Wird die Gleichung für den Schubmodul G umgestellt, erhält man das Hooke sche Gesetz für Schub mit dem gleichen Aufbau wie bei Zugbeanspruchung. Die Definitionsgleichung für den Schubmodul G ¼ t=g gibt zu erkennen, dass G die Einheit der Spannung besitzt (vgl. mit , Seite 81). Ebenso wie das Elastizitätsmodul E ist auch der Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den Tabellen auf Seite 384 entnommen werden können. Schubmodul G ¼ Schubspannung t Schiebung g t ¼ gg ¼ Dl l 0 G Hook sches Gesetz für Schub N ðgþ ¼ ðtþ ðgþ ¼ mm rad ¼ N mm Beispiel: G Stahl ¼ t, G l, l 0 g N mm mm 1 ¼ rad N mm ¼ 8 N 104 mm Aufgaben Nr

321 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 97 Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlhochbau Aufgabenstellung: An einen L soll ein Flachstahl genietet werden. Zugkraft F ¼ 70 kn. Nietung und Flachstahlprofil sind zu berechnen, wenn das Breitenverhältnis für den Flachstahl Breite b ¼ 10 gewählt wird Dicke s Niete aus USt 36-1; Stab aus S35JR (St 37); Lastfall H (Hauptlasten, siehe Tabelle 5.5, Seite 363) F = 70 kn 00 s 100 Lösung: a) Stabprofil: Beanspruchung auf Zug, gefährdeter Querschnitt im Schnitt quer zur Stabachse durch ein Nietloch. Die Schwächung des Stabprofils durch die Nietlöcher wird durch das Verschwächungsverhältnis v ¼ A n A ¼ Nutzquerschnitt ungeschwächter Querschnitt berücksichtigt: Man wählt v 0,8. Die zulässige Spannung wird der Tabelle 5.5, Seite 363, entnommen. Für Bauteile aus S35JR s zzul ¼ 160 N mm A erf ¼ F s z zul v A erf ¼ N 160 N mm 0,8 ¼ 547 mm ¼ bs ¼ 10 s s ¼ 10 s rffiffiffiffiffiffiffiffiffi A erf p A erf ¼ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 54, 7 mm 10 ¼ 7,4 mm s ¼ 8mm b¼ 10 s ¼ 80 mm gewählt: 80 8 b) Nietdurchmesser d 1 : Der Nietdurchmesser wird nach der Erfahrungsformel gewählt: d 1 s þ 10 mm d 1 ¼ 8mmþ 10 mm ¼ 18 mm s kleinste Blechdicke (d max ¼ 8 mm nach DIN 997) d 1 Durchmesser des geschlagenen Nietes gewählt: d 1 ¼ 17 mm A 1 ¼ 7 mm Rohnietdurchmesser d ¼ 16 mm

322 98 5 Festigkeitslehre c) Nietanzahl n: Beanspruchung der Niete auf Abscheren. (Einschnittige Verbindung: m ¼ 1) F N n erf ¼ t azul ¼ 140 t a zul A 1 m mm n erf ¼ N 140 N mm 7 mm 1 ¼, (für Nietverbindungen mit Bauteilen aus S35JR und Nietwerkstoff USt 36-1 nach Tabelle 5.5) gewählt: n ¼ 3 Niete d) Nachprüfung des Lochleibungsdruckes s l : Der Lochleibungsdruck kann unzulässig hohe Werte erreichen, auch wenn der Niet auf Abscheren sicher bestimmt wurde. s l vorh ¼ F s lzul ¼ 80 N nach Tabelle 5:5 d 1 sn mm s N l vorh ¼ 17 mm 8mm3 ¼ 17 N mm s kleinste Blechdicke s ¼ 8mm N s l vorh ¼ 17 mm < s N lzul ¼ 80 mm 3 Niete zulässig mit d ¼ 16 mm Rohnietdurchmesser e) Spannungsnachweis für Stabprofil im Schnitt I II: s z vorh ¼ F A n I mmdick II N s z vorh ¼ 80 mm 8mm 17 mm 8mm ¼ 139 N mm s z vorh ¼ 139 N mm < s N zzul ¼ 160 mm f) Nietbild: Das Nietbild wird mit den Maßen für Nietabstand a und Randabstand e entwickelt. e=35 a=45 a=45 e=35 e = Nietabstand: a,5d 1 ¼,5 17 mm ¼ 4, 5 mm a 45 mm Randabstand: e ¼ d 1 ¼ 17 mm ¼ 34 mm e 35 mm seitlicher Randabstand: e 0 1, 5 d 1 ¼ 1, 5 17 mm ¼ 5, 5 mm für 80 8 wird: e 0 40 mm

323 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 99 Lehrbeispiel: Nietverbindung im Stahlbau Aufgabenstellung: Für eine Laufbühne sollen Konsolbleche an Stützen genietet werden. Belch S35JR; Niete USt Zulässige Spannungen nach Tabelle 5.5, Seite 363. Es sind die Abmessungen des Blechs (s und h) und die Vernietung zu berechnen. Lastfall H. h l = 600 mm F = 1 kn s Lösung: a) Konsolblech Beanspruchung auf Biegung; gefährdeter Querschnitt in der Nietreihe. W erf ¼ M b max N s b zul ¼ 160 s b zul mm W erf ¼ Fl N 600 mm ¼ ¼ mm 3 s b zul N 160 mm bei ungeschwächtem Querschnitt. Die Schwächung des Querschnitts wird durch das Verschwächungsverhältnis v ¼ 0,8 berücksichtigt: W erf ¼ mm 3 0,8 ¼ 56, mm 3 W ¼ sh 6 Daraus kann (bei s ¼ 8 mm (gewählt)) die Konsolblechhöhe h berechnet werden: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6W erf 6 56, 5 10 h erf ¼ ¼ 3 mm 3 ¼ 05 mm s 8mm gewählt: h ¼ 10 mm b) Nietdurchmesser d 1 d 1 s þ 10 mm d 1 Durchmesser des geschlagenen Nietes: d 1 ¼ 8mmþ10 mm ¼ 18 mm gewählt: d 1 ¼ 19 mm A 1 ¼ 84 mm Rohnietdurchmesser d ¼ 18 mm c) Nietanzahl Es werden zunächst n ¼ 4 Niete gewählt, weil diese gut in der Höhe verteilt werden können (a ¼,5 d ¼,5 18 mm ¼ 50 mm). Das Nietsystem muss sowohl das äußere Biegemoment M b ¼ Fl als auch die Querkraft übertragen. Dabei werden die äußeren Niete am stärksten beansprucht. Die Abscherspannung und der Lochleibungsdruck sind nachzuprüfen.

324 300 5 Festigkeitslehre F q = F l F Aus der Skizze des freigemachten Konsolblechs entnimmt man: SM ðsp Þ ¼ 0 F 1 F 1 3 a þ F a Fl ¼ 0 3a F Das Belastungsbild zeigt die Proportion: F a SP = Schwerpunkt des Nietsystems 3 a F 1 ¼ ¼ 3 F a 1 daraus : F 1 Konsolblech freigemacht (Kräfte bezogen auf Blech- Lochquerschnitt) F ¼ F 1 3 eingesetz in SM ðsp Þ ¼ 0 F 1 3 a þ F 1 3 a Fl ¼ 0 F 1 3a þ a ¼ Fl ¼ 1 kn 600 mm ¼ 7, 10 6 Nmm 3 F 1 ¼ 7, 106 Nmm 3 50 mm þ 50 3 mm ¼ N F max F 1 F F 4 F 4 F 4 F 4 F F max F 1 Kräfte bezogen auf den einzelnen Niet (Reaktionskräfte aus obiger Skizze) Die maximale Nietbelastung wird: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F max ¼ F 1 þ ¼ ð43, NÞ þð NÞ F max ¼ N Die zusätzliche Belastung der Niete druch die Querkraft F/4 hätte man hier nicht zu berücksichtigen brauchen. Abscherspannung t a : t a ¼ F max A N ¼ 84 mm ¼ 15,46 N mm > t azul ¼ 140 Die zulässige Abscherspannung ist also überschritten. Neue Abmessungen geschätzt und nachgeprüft: 4 Niete mit d 1 ¼ 1 mm ; A 1 ¼ 346 mm Blechhöhe h¼ 10 mm N mm Nachprüfung für 4 Niete mit d 1 ¼ 1 mm: Abscherspannung t a : t a ¼ F max A N ¼ 346 mm ¼ 15 N mm < t azul ¼ 140 N mm Lochleibungsdruck s l : s l ¼ F max d 1 s ¼ N 1 mm 8mm ¼ 58 N mm < s N l zul ¼ 80 mm 4 Niete mit d ¼ 0 mm Rohnietdruchmesser zulässig.

325 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301 Lehrbeispiel: Zugbolzen Aufgabenstellung Für den skizzierten Zugbolzen, der von einer Kraft F ¼ 10 4 N ruhend belastet wird, sind zu bestimmen: a) Der erforderliche Bolzendurchmesser d, wenn s zzul ¼ 60 N mm ist. b) Der Kopfdurchmesser D, wenn die Flächenpressung an der Berührungsstelle N p zul ¼ 15 nicht überschreiten soll. mm c) Die Kopfhöhe h bei einer zulässigen Abscherspannung N t a zul ¼ 30 mm h D d+3mm d Lösung: a) Bolzendurchmesser d: s z ¼ F A A erf ¼ F N ¼ s zzul 60 N ¼ 333 mm mm d erf ¼ 0,6 mm gewählt: d ¼ mm b) Kopfdurchmesser D: p ¼ F A A erf ¼ F N ¼ ¼ mm ðringflächeþ p zul N 15 mm A ¼ p 4 ðd d Þ D ¼ 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p A þ d 4 D erf ¼ p A erf þ d Bohrung angefast: Für d hier mm þ 3mm¼5 mm sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 D erf ¼ 1333 þ 5 mm p ¼ 48, mm gewählt: D ¼ 50 mm c) Kopfhöheh: t a ¼ F A h S = Zylindermantel F A erf ¼ F N ¼ t azul 30 N ¼ 667 mm mm A ¼ pdh h erf ¼ S erf 667 mm ¼ ¼ 9,66 mm pd p mm gewählt: h ¼ 10 mm

326 30 5 Festigkeitslehre 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Es bleibt selbstverständlich dem Lehrer überlassen, an welcher Stelle er im Stoffplan die Flächenmomente. Grades und die Widerstandsmomente behandelt. Mancher Lehrer wird diesen Abschnitt erst einmal auslassen, um mit der Torsionsbeanspruchung und der Herleitung der Torsions-Hauptgleichung (5.8., Seite 31) einen engeren Bezug zu den Flächenmomenten herzustellen. Einige Lehrer sind der Meinung, man sollte auch noch die Biege-Hauptgleichung (5.9.4, Seite 39) vor diesen Abschnitt ziehen. Zum leichteren Einstieg für den Studierenden wurde der Stoff in Teilschritte zerlegt, und die Teilprobleme werden so eingehend behandelt, dass auch das Selbststudium zum Ziel führt. Die Aufgabenstellungen in den Ûbungen des Abschnitts 5.7.4, Seite 305 und 5.7.7, Seite 315, können den Gruppen zur selbstständigen Lösung vorgelegt werden Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung) Zum Verständnis der Beanspruchungsarten Torsion, Biegung und Knickung muss man eine geometrische Betrachtung vorausschicken. Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle nach dem gleichen Schema aufgebaut: Im Zähler des Bruchs steht in allen Fällen die Kraft F als statische Größe, im Nenner die Querschnittsfläche A als geometrische Größe, weil bei diesen vier Beanspruchungsarten jedes Flächenteilchen den gleichen Spannungsbetrag zu übertragen hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung) ist gleichmäßig über dem Querschnitt verteilt. s z, d ¼ F N A Zug/Druck- Hauptgleichung p ¼ F N A t a ¼ F q A Abscher- Hauptgleichung s l ¼ F 1 A proj Flächenpressungs-Hauptgleichungen Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und Biegung anders. Hier haben die Randfasern des Querschnitts die größte Spannung zu übertragen. (t max bei Torsion und s max bei Biegung). Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neutralen Faser hin, sinkt die Spannung gleichmäßig bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen Spannungsverteilung, im Gegensatz zur gleichmäßigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren und Flächenpressung. Aussagebegrenzung: Alle Erläuterungen zur Torsionsbeanspruchung gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte. Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung (lineare Spannungsverteilung)

327 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Definition der Flächenmomente. Grades Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung wird verständlich, dass die Hauptgleichungen für Biegung und Torsion nicht ganz so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher bekannten Hauptgleichungen. Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser Gleichungen (5.8., Seite 31 und 5.9.4, Seite 39) nicht mehr die Querschnittsfläche als geometrische Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck, der als Flächenmoment. Grades I bezeichnet wird. Beachte: Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug, Druck, Abscheren und Flächenpressung. Lineare Spannungsverteilung bei Biegung und Torsion. s b ¼ M b I e t t ¼ M T I p Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch nicht endgültiger Form (siehe Seite 3 und 330). r Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales, das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt (Wellen) heißt polares Flächenmoment. Grades. Da beide Flächenmomente aus der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, gilt die folgende Definition: Multipliziert man jedes Flächenteilchen DA einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse (r, x, y), dann ergibt die Summe dieser Produkte das Flächenmoment zweiten Grades I dieser Fläche. I x ¼ DA 1 y 1 þ DA y þ DA 3 y 3 þ...þ DA n y n I y ¼ DA 1 x 1 þ DA x þ DA 3 x 3 þ...þ DA n x n I x ¼ SDAy I y ¼ SDAx Definitionsgleichung axiales Flächenmoment. Grades (für Biegung und Knickung erforderlich) I p ¼ DA 1 r 1 þ DA r þ DA 3 r 3 þ...þ DA n r n I p ¼ SDA r Definitionsgleichung polares Flächenmoment. Grades (für Torsion von Stäben mit Kreisoder Kreisringquerschnitt erforderlich) Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht wird (x x, y y oder 0). Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit mm 4 (Fläche mal Abstandsquadrat). ðiþ ¼ðAÞðx, y, rþ ¼ mm mm ¼ mm 4 ðiþ ¼mm 4 Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit mm aus, weil im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt werden (cm 4,m 4 ).

328 304 5 Festigkeitslehre In den Herleitungen der Abschnitte 5.8. (Seite 31) und (Seite 39) erscheint außer dem Summenausdruck der Quotient I p /r (bei Torsion) und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die Randfaserabstände, d. h. die Abstände vom Bezugspunkt oder von der Bezugsachse bis zur Randfaser. Dieser Quotient heißt Randfaserabstand e und r Widerstandsmoment W ¼ Flächenmoment I Randfaserabstand r ðoder eþ W ¼ I e W p ¼ I p r W, W p I, I p e, r mm 3 mm 4 mm Am häufigsten werden die Widerstandsmomente in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfläche liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet. Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich für die verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen entwickeln; die wichtigsten sind in den Tabellen 5.1 (Seite 308) und 5. (Seite 310) zusammengestellt. Für genormte Profile (Winkel-, I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete Werte für Flächenmomente I und Widerstandsmomente W. W x ¼ I x e x W y ¼ I y e y W p ¼ I p r axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die x-achse axiales Widerstandsmoment in Bezug auf die y-achse polares Widerstandsmoment in Bezug auf die Verdrehachse 0 (gilt nur für Kreisoder Kreisringquerschnitt) Herleitungsübung Um das Verständnis für das Flächenmoment zu vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung für das Flächenmoment I x eines Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu entwickeln. Bezugsachse soll also die waagerecht im Rechteckquerschnitt liegende x-achse sein. Was bei dieser Untersuchung herauskommen muss, kann aus Tabelle 5.1, Seite 308, abgelesen werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete waagerechte Achse muss I ¼ bh 3 =1 sein. Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt in Flächenstreifen DA parallel zur x-achse.

329 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W 305 Lösung: Die Rechteckfläche von der Breite b und der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe zerlegt, deren Flächeninhalt dann DA ¼ bh=8 beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte aus Flächenteilchen DA und zugehörigem Abstandsquadrat. DA 1 y 1 ¼ bh h DA y ¼ bh h DA 3 y 3 ¼ bh h DA 4 y 4 ¼ bh h Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß I x ¼ SDAy summiert man die Produkte aus Flächenteilchen DA und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus: I x ¼ SDAy ¼ðDA 1 y 1 þ DA y þ DA 3 y 3 þ DA 4 y 4 Þ Ausgerechnet ergibt das: I x ¼ bh h þ bh h þ bh h þ bh h I x ¼ bh 8 h bh3 ð1 þ 9 þ 5 þ 49Þ ¼ 56 1, Beachte: Jedes Flächenteilchen DA 1, DA, DA 3, DA 4 ist oberhalb und unterhalb der x-achse vorhanden, erscheint also zweimal in der Rechnung. Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1, Seite 308 (I x ¼ bh 3 =1) zeigt, dass schon die grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (1, statt 1). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5. genügend genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 1. Ûbung: Für eine Welle von 60 mm Durchmesser sollen die axialen und polaren Flächen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 5.1 und 5. ab Seite 308. Gegeben: Wellendurchmesser d ¼ 60 mm Gesucht: I x, W x, I y, W y, I p, W p Lösung: Wegen der Querschnittssymmetrie sind die axialen Flächenmomente I x, I y und die zugehörigen Widerstandsmomente W x, W y, jeweils gleich groß. Die axialen Widerstandsmomente W x und W y können auch einfacher aus den vorher berechneten Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man sich daran erinnert, dass allgemein W ¼ I=e ist (e Randfaserabstand). I x ¼ I y ¼ pd4 64 ¼ 63,6 104 mm 4 W x ¼ W y ¼ pd3 3 ¼ 1, 103 mm 3 I x W x ¼ I x e ¼ ðd=þ ¼ 1, 103 mm 3 W y ¼ I y e wie vorher

330 306 5 Festigkeitslehre Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen aus den Tabellen 5.1 und 5. zeigt: Die polaren Flächen- und Widerstandsmomente (I p, W p ) sind beim Kreisquerschnitt und beim Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die axialen Widerstandsmomente (I, W ).. Ûbung: Für eine Hohlwelle von 60 mm Außenund 40 mm Innendurchmesser sollen wie in der ersten Ûbung die axialen und polaren Flächenund Widerstandsmomente bestimmt werden. Lösung: Die axialen Flächen- und Widerstandsmomente sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie für jede Schwerachse jeweils gleich groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen kann. I p ¼ pd 4 3 ¼ p 3 ð60 mmþ4 ¼ 17, 10 4 mm 4 W p ¼ pd3 16 ¼ p 16 ð60 mmþ3 ¼ 4, mm 3 oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: W p ¼ I p r ¼ 17, 104 mm 4 ¼ 4, mm 3 30 mm Gegeben: D ¼ d a ¼ 60 mm, d ¼ d i ¼ 40 mm Gesucht: I x, I y, I p, W x, W y, W p I ¼ p 64 ðd4 d 4 Þ¼ p 64 ð Þ mm 4 I ¼ 51, mm 4 W ¼ I ðd=þ ¼ 51,1 104 mm 4 ¼ mm 3 30 mm Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren Flächenmomente doppelt so groß sind wie die axialen, so dass I p und W p noch einfacher hätte berechnet werden können (I p ¼ I und W p ¼ W). I p ¼ p 3 ðd a 4 d 4 i Þ¼ p 3 ð Þ mm 4 I p ¼ 10, mm 4 I p W p ¼ ðd a =Þ ¼ 10,1 104 mm 4 ¼ mm 3 30 mm 3. Ûbung: Für einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt von 180 mm Höhe und 90 mm Breite sollen die axialen Flächenmomente. Grades bestimmt werden. Wird nichts anderes gesagt, gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Hauptachsen (x- und y-achse). Lösung: Die axialen Flächenmomente sind ein Maß für die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegung oder Knickung. Der Balken ist hochkant schwerer zu biegen (I x ¼ 43, mm 4 ) als flachkant (I y ¼ 10, mm 4 ). Bei Knickbeanspruchung würde er nach der Seite mit dem geringsten I ausknicken, also flachkant (um die y-achse), weil I y < I x ist. Gegeben: Rechteckquerschnitt mit h ¼ 180 mm, b ¼ 90 mm Gesucht: I x, W x, I y, W y I x ¼ bh3 1 ¼ 43, mm 4 W x ¼ I x e ¼ 48,6 104 mm 3 I y ¼ hb3 1 ¼ 10, mm 4 W y ¼ I y e ¼ 4,3 104 mm 3

331 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Ûbung: Für den skizzierten Querschnitt (H-Profil) sollen die axialen Flächenmomente um die x- und y-achse berechnet werden, damit festgelegt werden kann, um welche Achse ein Balken mit diesem Querschnitt die größere Biege- und Knicksteifigkeit besitzt. Lösung: Man benutzt die Gleichungen aus Tabelle 5.1 von Seite 309 zur Bestimmung von I x und I y und erkennt aus den Ergebnissen: Die größere Steifigkeit gegen Biegung und Knickung besitzt ein Balken dieses Querschnitts um die y-achse (I y > I x ). Bei Knickung würde er um die x-achse ausknicken, weil I x < I y ist. I x ¼ BH3 þ bh 3 1 I x ¼ 17, mm 4 ¼ 60 mm ð150 mmþ3 þ 140 mm ð30 mmþ 3 1 W x ¼ I x e ¼ 17, mm 4 ¼, mm 3 75 mm I y ¼ BH3 bh 3 1 I y ¼ 7, mm 4 ¼ 150 mm ð00 mmþ3 10 mm ð140 mmþ 3 1 W y ¼ I y e ¼ 7, mm 4 ¼ 7, mm mm Beachte: Flächenmomente I (nicht Widerstandsmomente W)von Teilflächen dürfen dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sich die Schwerachsen der Teilflächen mit der Bezugsachse des Querschnitts decken. Das lässt sich hier sowohl für I x als auch für I y durch eine entsprechende Zerlegung der Gesamtfläche erreichen. Das Vorgehen wird im folgenden Abschnitt auf Seite 311 erläutert. 5. Ûbung: Zur Ûbung im Auswerten von Tabellen sollen die Flächenmomente. Grades gegen Biegung und Knickung und die Widerstandsmomente aus den Profilstahltabellen herausgesucht werden (siehe Formelsammlung). Lösung: IPE 100 A¼ 1030 mm I x ¼ mm 4 W x ¼ 34, 10 3 mm 3 I y ¼ 15, mm 4 W y ¼ 5, mm 3 größter Widerstand gegen Biegung und Knickung also um die x-achse. U 100 A¼ 1350 mm I x ¼ mm 4 W x ¼ 41, 10 3 mm 3 I y ¼ 9, mm 4 W y1 ¼ 18, mm 3 W y ¼ 8, mm 3 L 60 6 A¼ 691 mm I x ¼, mm 4 W x1 ¼ 13, mm 3 W x ¼ 5, mm 3

332 308 5 Festigkeitslehre Tabelle 5.1 Axiale Flächenmomente. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung I x ¼ bh3 1 W x ¼ bh 6 i x ¼ 0,89 h I y ¼ hb3 1 W y ¼ hb 6 i y ¼ 0,89 b I ¼ 5 pffiffi 3 16 s4 ¼ 0,5413s 4 W ¼ 0,5413s 3 i ¼ 0,456s I x ¼ I y ¼ I D ¼ h4 1 W x ¼ W y ¼ h3 6 i ¼ 0,89 h p WD ¼ ffiffi h 3 1 I ¼ 5 pffiffi 3 16 s4 ¼ 0,5413s 4 W ¼ 5 8 s 3 ¼ 0,65s 3 i ¼ 0,456s I ¼ 6b þ 6bb 1 þ b 1 36 ðb þ b 1 Þ W ¼ 6b þ 6bb 1 þ b 1 1 ð3b þ b 1 Þ e ¼ 1 3b þ b 1 h 3 b þ b 1 h 3 h I ¼ ah3 36 W ¼ ah 4 e ¼ 3 h i ¼ 0,36 h I ¼ pd 4 64 d 4 0 W ¼ pd3 3 d3 10 i ¼ d 4 I x ¼ pa3 b 4 W x ¼ pa b 4 i x ¼ a I y ¼ pb3 a 4 W y ¼ pb a 4 i y ¼ b I ¼ p 64 ðd4 d 4 Þ W ¼ p 3 D4 d 4 D pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i ¼ 0,5 D þ d I x ¼ p 4 ða3 b a 1 3 b 1 Þ I x p 4 a d ða þ 3bÞ W ¼ I x a p 4 ad ða þ 3bÞ I x ¼ 0,0068d 4 W x1 ¼ 0,038d 3 W y ¼ 0,049d 3 I y ¼ 0,045d 4 W x ¼ 0,033d 3 i x ¼ 0,13d e 1 ¼ 4r 3p ¼ 0,444r I x ¼ 0,1098 ðr 4 r 4 Þ 0,83R r R r R þ r I y ¼ p R 4 r 4 8 W y ¼ p ðr 4 r 4 Þ 8R W x1 ¼ I x e 1 W x ¼ I x e e 1 ¼ ðd 3 d 3 Þ 3p ðd d Þ

333 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W 309 Fortsetzung Tabelle 5.1 I x ¼ b 1 ðh3 h 3 Þ W x ¼ b 6H ðh3 h 3 Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi H i x ¼ 3 h 3 1 ðh hþ I y ¼ b 3 ðh hþ 1 W y ¼ b ðh hþ 6 i y ¼ 0,89b I ¼ bðh3 h 1 3 Þþb 1 ðh 1 3 h 3 Þ 1 W ¼ bðh3 h 1 3 Þþb 1 ðh 1 3 h 3 Þ 6h I ¼ BH3 þ bh 3 1 W ¼ BH3 þ bh 3 6H I ¼ BH3 bh 3 1 W ¼ BH3 bh 3 6H I ¼ 1 3 ðbe 1 3 bh 3 þ ae 3 Þ e 1 ¼ 1 ah þ bd ah þ bd e ¼ H e 1 I ¼ 1 3 ðbe 1 3 bh 3 þ B 1 e 3 b 1 h 1 3 Þ e 1 ¼ 1 ah þ bd þ b 1 d 1 ðh d 1 Þ ah þ bd þ b 1 d 1 e ¼ H e 1

334 310 5 Festigkeitslehre Tabelle 5. Polare Flächenmomente. Grades I p und Widerstandsmomente W p für Torsion 1) Querschnitt Widerstandsmoment W p Flächenmoment I p Bemerkung W p ¼ p 16 d3 d3 5 I p ¼ p 3 d 4 d4 10 größte Spannung in allen Punkten des Umfanges W p ¼ p 16 d a 4 d i 4 d a I p ¼ p 3 ðd a 4 d 4 i Þ größte Spannung in allen Punkten des Umfanges in den Endpunkten der kleinen Achse: W t ¼ p 16 nb3 h b ¼ n > 1 I t ¼ p 16 n 3 b 4 n þ 1 t tmax ¼ M T W t in den Endpunkten der großen Achse: t t ¼ t tmax n h a ¼ h i ¼ n > 1 b a b i h i ¼ b i ¼ a < 1 h a b a W t ¼ p 16 nb a 3 ð1 a 4 Þ I t ¼ p 16 n 3 n þ 1 b 4 a ð1 a 4 Þ in den Endpunkten der kleinen Achse: t tmax in den Endpunkten der großen Achse: t t ¼ t tmax n W t ¼ 0,08a 3 I t ¼ 0,14a 4 ¼ a4 7,1 in der Mitte der Seite: t tmax in den Ecken: t t ¼ 0 W t ¼ 0,05b 3 ¼ h 3 pffiffi 7,5 3 W t ¼ h 3 13 ¼ I t h h4 I t ¼ pffiffiffi 15 3 I t ¼ b4 46, in der Mitte der Seite: t tmax in den Ecken: t t ¼ 0 1) Der Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte liegen andere schwierigere Gleichungen zugrunde als beim Kreis- oder Kreisringquerschnitt. Zur klaren Unterscheidung werden benannt: I t Torsionsflächenmoment, W t Torsionswiderstandsmoment. Es gelten die Gleichungen: Torsionsspannung t tmax ¼ M T =W t ; Verdrehwinkel j ¼ M T l=ðgi t Þ.

335 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Axiale Flächenmomente. Grades symmetrischer Querschnitte Lassen sich Querschnitte derart in Teilflächen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen, dann kann das Flächenmoment. Grades des Gesamtquerschnitts aus der Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden. Anders ausgedrückt: Flächenmomente. Grades dürfen addiert und subtrahiert werden, wenn Teil- und Gesamtschwerachse zusammenfallen. Widerstandsmomete dürfen keinesfalls addiert oder subtrahiert werden. Man kann sich am Beispiel eines H-Profils klarmachen, wie vorzugehen ist. Das Profil lässt sich in drei Teilflächen zerlegen, deren Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse x x zusammenfallen. Gesamtflächenmoment. Grades als Summe von Teilflächenmomenten Nun wird das Gesamtflächenmoment einfach aus der Summe der Teilflächenmomente berechnet. Die Teilflächen sind Rechtecke, für die I ¼ bh 3 =1 gilt (Tabelle 5.1, Seite 308): 30 mm ð150 mmþ3 140 mm ð30 mmþ3 I x ¼ I 1 þ I ¼ þ ¼ 17, mm W x ¼ I x e ¼ 17, mm 4 ¼, mm 3 75 mm Auch das axiale Flächenmoment des Querschnitts für die y-achse lässt sich so bestimmen. Zur besseren Ûbersicht dreht man für die Rechnung den Querschnitt um 90. Gesamtflächenmoment. Grades als Differenz von Teilflächenmomenten

336 31 5 Festigkeitslehre Wie vorher wird der Rechengang aus dem Bild der Teilflächen abgelesen, das heißt, man subtrahiert vom Teilflächenmoment I 1 das doppelte Teilflächenmoment I : I y ¼ I 1 I ¼ 150 mm ð00 mmþ mm ð140 mmþ3 ¼ 7, mm 4 1 W y ¼ I y e ¼ 7, mm 4 ¼ 7, mm mm In der folgenden Bildtafel sind andere symmetrische Querschnitte so zerlegt, dass die Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen. Das Gesamtflächenmoment. Grades kann dann als Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden Axiale Flächenmomente. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner scher Verschiebesatz) Zerlegt man die skizzierten unsymmetrischen Querschnitte in die Teilflächen A 1 und A, dann fällt auf, dass die Schwerachsen der Teilflächen (x 1 x 1 und x x ) nicht mit der Gesamtschwerachse x x zusammenfallen. Beim Winkelprofil gilt das auch für die Achse y y. Die Schwerachsen aller Teilflächen sind gegenüber den Gesamtschwerachsen um die Längen l parallel verschoben. Daher dürfen hier die Teilflächenmomente. Grades nicht einfach addiert werden, wie bei den Querschnitten in Abschnitt auf Seite 311. Die Vorgehensweise in solchen Fällen kann am Beispiel des T-Profils gelernt werden. Dabei soll man aus dem speziellen Beispiel eine allgemein gültige Beziehung entwickeln. Profile mit gleichen Gesamt- und Teilschwerachsen Teil- und Gesamtschwerachsen unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitte

337 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Erste Herleitung des Steiner schen Satzes 1) Für ein T-Profil soll das axiale Flächenmoment I x für die Gesamtschwerachse x x ermittelt werden. Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilfläche A 1 betrachtet wird. Deren Teilschwerachse x 1 x 1 liegt um die Länge l 1 gegenüber der Gesamtschwerachse parallel verschoben. Erinnerung: Das Flächenmomet I x1 der Teilfläche A 1 in Bezug auf die Teilschwerachse x 1 x 1 ist bekannt; mit I x1 ¼ bh 3 =1 könnte man es sofort berechnen. Es wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Flächenmoment der Teilfläche A 1 auf die Gesamtschwerachse x x bezogen ist. Das erreicht man mit dem folgenden Kunstgriff. Es wird ein zur Achse x x symmetrisches Profil gebildet, indem man die obere Teilfläche A 1 noch einmal unterhalb der x-achse ansetzt. Dann kann man nach Abschnitt 5.7.5, Seite 311, vorgehen und das Gesamtflächenmomemt in Bezug auf die x-achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen. Man subtrahiert vom Flächenmoment der aus bh gebildeten Rechteckfläche das Flächenmoment der Rechteckfläche bðh hþ; (beide Schwerachsen decken sich). Dieses Flächenmoment muss doppelt so groß sein wie das von nur einer Teilfläche A 1 gebildete Flächenmoment I x, da die beiden Teilflächen A 1 symmetrisch zur x-achse liegen. Es kann also I x ges ¼ I x gesetzt werden. Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des Flächenmomentes von Rechteckquerschnitten findet man die Ausgangsbeziehung, in die man für die Höhe H die Beziehung H ¼ l 1 þ h einführt (siehe Skizze). Die Differenz der Potenzausdrücke ðl 1 þ hþ 3 ðl 1 hþ 3 wird gesondert berechnet und das Ergebnis eingesetzt. I xges ¼ I x ¼ bh3 bðh hþ3 1 1 I x ¼ bðl 1 þ hþ 3 b ðl 1 þ h hþ I x ¼ b½ðl 1 þ hþ 3 ðl 1 hþ 3 Š 1 ðl 1 þ hþ 3 ðl 1 hþ 3 ¼ 4hl 1 þ h 3 1) Jakob Steiner, Schweizer Mathematiker,

338 314 5 Festigkeitslehre Nach der Ausrechnung erhält man rechts vom Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit bh ¼ A 1 vereinfacht werden. Darüber hinaus ist bekannt, dass bh 3 =1 das axiale Flächenmoment I x1 der Teilfläche A 1 in Bezug auf die eigene Schwerachse x 1 x 1 ist. Damit wurde der Verschiebesatz von Steiner gefunden: Das axiale Flächenmoment. Grades I x einer Teilfläche A 1 in Bezug auf eine zur Schwerachse um den Abstand l 1 parallel verschobene Achse ist gleich dem Flächenmoment I x1 der Teilfläche in Bezug auf deren Schwerachse, vemehrt um das Produkt aus der Teilfläche A 1 und dem Abstandsquadrat l 1. Häufig muss mit mehreren Teilflächen A 1, A... gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Abstände l 1, l... von der Bezugsachse haben. Dazu schreibt man den Steiner schen Satz in allgemeiner Form. I 1, I... sind die Flächenmomente. Grades der Teilflächen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse. Sie werden mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 308, berechnet. I x ¼ bð4hl 1 þ h 3 Þ ¼ 4bhl 1 þ bh I x ¼ bhl 1 þ bh3 1 I x ¼ A 1 l 1 þ I x1 I x ¼ I x1 þ A 1 l 1 Verschiebesatz von Steiner I x Flächenmoment für parallele Achse x x I x1 Flächenmoment der Teilfläche in Bezug auf die eigene Schwerachse x 1 x 1 A 1 Flächeninhalt der Teilfläche Abstand der parallelen Achsen l 1 I ¼ I 1 þ A 1 l 1 þ I þ A l þ...þ I n þ A n l n Verschiebesatz von Steiner Beachte: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachse zusammen, dann sind die Abstände l 1, l...gleich null, und es wird I ¼ I 1 þ I þ...þ I n, d. h. die Teilflächenmomente. Grades werden einfach addiert (siehe Tabelle 5.7.5, Seite 311) Zweite Herleitung des Steiner schen Satzes Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung des Flächenmomentes. Grades I x einer Teilfläche A 1 in Bezug auf eine zur Teilschwerachse x 1 x 1 parallel um den Abstand l 1 verschobene Achse x x. Das Flächenmoment I x1 der Teilfläche wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1, Seite 308). Man beginnt die Entwicklung mit der für alle Achsen gültigen allgemeinen Definitionsgleichung: Als Abstandsquadrat wird hier ðl 1 þ yþ eingesetzt. Nach der Ausrechnung erhält man eine Summe von drei Gliedern. Die konstanten Größen werden vor das Summenzeichen geschrieben. Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem Abstandsquadrat und der Teilfläche, weil SDA ¼ A 1 ist. I x ¼ SDA ðl 1 þ yþ I x ¼ SDA ðl 1 þ l 1 y þ y Þ I x ¼ SDAl 1 þ SDAl 1 y þ SDAy I x ¼ l 1 SDA þ l 1 SDAyþ SDAy l 1 SDA ¼ l 1 A 1 Lösungsskizze

339 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W 315 Das zweite Glied ist gleich null, denn der Faktor SDA y stellt die Summe der Flächenmomente 1. Grades aller Flächenteilchen DA in Bezug auf die Achse x 1 x 1 dar. Da das die Schwerachse der Fläche A 1 ist, wird y 0 ¼ 0 und damit auch das Produkt A 1 y 0. l 1 SDAy ¼ l 1 A 1 y 0 ¼ 0 Beachte: Das Produkt aus einer Fläche A und ihrem Schwerpunktsabstand x oder y von einer Bezugsachse heißt Flächenmoment 1. Grades (siehe Schwerpunktslehre..1, ab Seite 76). Das dritte Glied ist das axiale Flächenmoment I x1 der Teilfläche A 1, bezogen auf die Teilschwerachse x 1 x 1. Damit erhält man zum Schluss die gleiche Form für den Steiner schen Satz wie in der ersten Herleitung über den speziellen Fall auf Seite 313. SDAy ¼ I x1 I x ¼ I x1 þ A 1 l 1 Verschiebesatz von Steiner Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente. Grades Querschnitt in Teilflächen A 1, A... zerlegen und deren Flächenschwerpunkte S 1, S...bestimmen. Abstände l 1, l...der Teilschwerachsen von der Bezugsachse für das Flächenmoment festlegen. Flächenmomente I 1, I...der Teilflächen A 1, A...nach Tabelle 5.1 (Seite 308) berechnen. Flächeninhalte der Teilflächen und die Quadrate der Abstände (l 1, l...) berechnen. Steiner schen Satz aufstellen und ausrechnen. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt Ûbungen mit Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 1. Ûbung: Für das skizzierte Winkelprofil soll das axiale Flächenmoment. Grades für die Profilschwerachse x x bestimmt werden. Nach dem Lösungsplan zerlegt man den Querschnitt in die Teilflächen A 1 und A. Die Lage der Teilschwerpunkte ergibt sich aus den gegebenen Längenmaßen, ebenso die Abstände l 1, l.

340 316 Lösung: I x ¼ I 1 þ A 1 l 1 þ I þ A l I x ¼ð0,75 þ 144 þ 9 þ 87,5Þ10 4 mm 4 I x ¼ 461, mm 4 5 Festigkeitslehre Nebenrechnung: I 1 ¼ bh3 90 mm ð10 mmþ3 ¼ ¼ 1 1 ¼ 0, mm 4 A 1 ¼ bh ¼ 900 mm ; l 1 ¼ 40 mm I ¼ bh3 10 mm ð140 mmþ3 ¼ ¼ 1 1 ¼ mm 4 A ¼ bh ¼ 1400 mm ; l ¼ 5 mm Aus dem Flächenmoment I x erhält man die beiden axialen Widerstandsmomente W x1 und W x. W x1 ¼ I x ¼ 461,5 104 mm 4 ¼ e 1 45 mm ¼ 10, mm 3 W x ¼ I x ¼ 461,5 104 mm 4 ¼ e 95 mm ¼ 4, mm 3. Ûbung: Da der Steiner sche Satz für beliebige parallele Achsen gilt, kann das axiale Flächenmoment des Winkelprofils aus der 1. Ûbung auch für die Achse N N bestimmt werden. Die Schwerpunkte SP 1 und SP der Teilflächen sind festgelegt, ebenso die Abstände der Teilschwerachsen von der Bezugsachse N N mit l 1 ¼ 5mmundl ¼ 70 mm. Lösung: I N ¼ I 1 þ A 1 l 1 þ I þ A l I N ¼ð0,75 þ 9 0,5 þ 9 þ 14 49Þ10 4 mm 4 I N ¼ mm 4 Nebenrechnung: I 1 ¼ bh3 1 ¼ 0, mm 4 A 1 ¼ bh ¼ 9 10 mm l 1 ¼ð5mmÞ ¼ 0,5 10 mm I ¼ bh3 1 ¼ mm 4 A ¼ bh ¼ mm l ¼ð70 mmþ ¼ mm

341 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Ûbung: Zu bestimmen sind das axiale Flächenmoment I x und die Widerstandsmomente W x1, W x für den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt. Lösung: Es werden Fehler vermieden, wenn man sich eine kleine Ûbersicht zusammenstellt, etwa in der Form: Teilfläche A in mm e in mm l in mm l in mm I in mm , , , Gesamt 304,7 10 Die Teilschwerpunkte SP 1 und SP liegen im Abstand e 1 und e von der unteren Kante (¼ Bezugsachse für die Schwerpunktsbestimmung) entfernt. Die Lage des Gesamtschwerpunktes SP berechnet man nach..3.1, Seite 76. Als Bezugsachse wird die Unterkante des Querschnitts benutzt. Mit e 0 kann man die Abstände der Teilschwerachsen von der Bezugskante x x bestimmen. Nun lassen sich die Flächenmomente I 1 und I der Teilflächen in Bezug auf ihre Schwerachsen berechnen. Zur Berechnung von I 1 wird nach 5.7.5, ab Seite 311, vorgegangen. Es sind nun alle Größen vorhanden, die zur Berechnung des Flächenmomentes I x gebraucht werden. Damit stellt man wieder den Steiner schen Satz auf. Zum Schluss werden die beiden axialen Widerstandsmomente W x1 und W x berechnet. Der äußere Randfaserabstand für W x1 ist die Länge e 0 ¼ 70 mm, für W x dagegen 45 mm e 0 ¼ 155 mm. 400 mm e 1 ¼ ¼ 00 mm e ¼ð400 þ 1,5Þ mm ¼ 41,5 mm e 0 ¼ A 1e 1 þ A e ¼ 70 mm A 1 þ A l 1 ¼ e 0 e 1 ¼ 70 mm ; l 1 ¼ mm l ¼ e e 0 ¼ 14,5 mm ; l ¼ mm 300 mm ð400 mmþ3 143 mm ð348 mmþ3 I 1 ¼ 1 1 I 1 ¼ mm mm ð5 mmþ3 I ¼ ¼ mm 4 1 I x ¼ I 1 þ A 1 l 1 þ I þ A l I x ¼ð59 556þ04,7 49þ5þ100 03Þ10 4 mm 4 I x ¼ mm mm 4 W x1 ¼ I x ¼ mm 4 ¼ mm 3 e 0 70 mm I x W x ¼ ¼ mm 3 45 mm e 0

342 318 5 Festigkeitslehre 4. Ûbung: Für den skizzierten unsymmetrischen Querschnitt sollen die Flächen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Lösung für die x-achse: Man denkt sich den Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckfläche (00 300) mm abzüglich der Hohlraumfläche ( ) mm, also A ¼ A 1 A.Mit dieser Ûberlegung berechnet man sowohl die Schwerpunktslage (e 0 ) als auch die Flächenmomente. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung begonnen: Unsymmetrischer Querschnitt mit Hohlraum Ae 0 ¼ A mm A 175 mm ðmomentensatz für Flächen nach ::3:1, Seite 80Þ A 1 ¼ð00 300Þ mm ¼ mm ; A ¼ð Þ mm ¼ mm A ¼ A 1 A ¼ð600 40Þ10 mm ¼ mm e 0 ¼ mm 1,510 mm 4010 mm 1,7510 mm mm ¼ ¼ mm mm 3 3, mm e 0 ¼ 133 mm l 1 ¼ 150 mm e 0 ¼ 17mm ; l 1 ¼,8910 mm ; l ¼ 175mm e 0 ¼ 4mm l ¼ 17,610 mm 00 mm ð300 mmþ3 I 1 ¼ ¼ mm mm ð150 mmþ3 ; I ¼ ¼ mm I x ¼ I 1 þ A 1 l 1 ði þ A l Þ¼ð þ 600, ,6Þ10 4 mm 4 I x ¼ 3, mm 4 W x1 ¼ I x ¼ 3,8 108 mm 4 e mm ¼, mm 3 I x W x ¼ ¼ 3,8 108 mm mm e mm ¼,8 106 mm 3 Lösung für die y-achse: Die Berechnung der Flächen- und Widerstandsmomente für die y-achse ist einfacher als für die x-achse, weil jetzt Teilschwerachsen und Gesamtschwerachse zusammenfallen: 300 mm ð00 mmþ3 150 mm ð160 mmþ3 I y ¼ I 1 I ¼ 1 1 I y ¼ 1, mm 4 W y1 ¼ W y ¼ I y e ¼ 1, mm 4 ¼ 1, mm mm

343 5.7 Flächenmomente. Grades I und Widerstandsmomente W Ûbung: Ein Träger hat den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt aus genormten L-Stählen und Blechen. Mit Hilfe der Profilstahltabelle aus der Formelsammlung ist zu berechnen: a) das Flächenmoment der oberen und unteren Gurtplatte, b) das Flächenmoment des Stegblechs, c) das Flächenmoment der L-Profile, d) das Gesamtflächenmoment in Bezug auf die Gesamtschwerachse 0 0. e) das Widerstandsmoment. Lösung: 00 mm ð10 mmþ3 aþ I 1 ¼ I ¼ ¼ 1, mm 4 1 ¼ mm 4 bþ I 3 ¼ cþ I 4 ¼ I 5 ¼ I 6 ¼ I 7 ¼ 5, mm 4 ðformelsammlungþ dþ I ges ¼ ði 1 þ A 1 l 1 ÞþðI 3 þ A 3 l 3 Þþ4ðI 4 þ A 4 l 4 Þ 10 mm ð300 mmþ3 1 Zwischenrechnung: A 1 ¼ mm ¼ 0 10 mm ; l 1 ¼ 155 mm l 1 ¼ mm A 3 ¼ mm ¼ mm ; l 3 ¼ 0 ; l 3 ¼ 0 A 4 ¼ 11,9 10 mm ðformelsammlungþ l 4 ¼ð150 0,5Þ mm ¼ 19,5 mm ; l 4 ¼ 167,7 10 mm 9603 zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ I ges ¼½ð1,67 þ 0 40Þ þð50 þ 30 0Þþ4ð5,6 þ 11,9 167,7ÞŠ 10 4 mm 4 ¼ ¼ 10 8 mm 4 e) W ¼ I ges e ¼ 108 mm 4 1,6 10 mm ¼ 1,5 106 mm 3 Obwohl die Einzelflächenmomente I 1 und I der Gurtplatten nur je 1, mm 4 betragen, tragen sie doch den größten Anteil ( mm mm 4 ) zum I ges bei, einfach deshalb, weil sie am weitesten von der Bezugsachse 0 0 entfernt liegen. Daraus erkennt man: Es kommt beim Flächenmoment. Grades eines Querschnitts nicht auf den Flächeninhalt, sondern auf die Flächenform an, d. h. es muss möglichst viel Werkstoff möglichst weit von der Bezugsachse entfernt liegen, wenn der Querschnitt ein großes Flächenmoment haben soll. Weiter kann man sagen: Bohrungen in Schwerpunktsnähe haben nur geringen Einfluss; sie mindern das Flächenmoment. Grades nur geringfügig. Aufgaben Nr ¼

344 30 5 Festigkeitslehre 5.8 Beanspruchung auf Torsion Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten für rotationssymmetrische Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Für andere Querschnitte siehe Tabelle 5., Seite Spannungsverteilung Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine Schraubenlinie über. Man legt einen Schnitt rechtwinklig zur Stabachse und stellt durch das innere Torsionsmoment M T ¼ M das Gleichgewicht am Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden demnach drehend gegeneinander verschoben. Es entsteht eine in der Fläche wirkende Schubspannung. Sie heißt Torsionsspannung t t. Im Gegensatz zur Zug-, Druck- und Abscherbeanspruchung werden die Werkstoffteilchen bei der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt. Dementsprechend wird sich auch eine andere Spannungsverteilung über dem Querschnitt einstellen müssen. Verformungs- und Spannungsbild geben darüber Aufschluss. Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander verschoben werden, je weiter sie von der Wellenachse entfernt liegen. Man sieht, dass Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert ist, d. h. die stärkste Verdrehung stellt sich am Querschnittsumfang ein. Im Abstand r von der Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer (B 0 wandert auf Db nach C 0 ). Die Wellenachse 0 selbst ist unverformt. Im elastischen Bereich ist die Verformung der Spannung proportional (siehe Hooke sches Gesetz, , Seite 81), d. h. die Spannung muss im Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung. Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung: Die Wellenachse ist unverformt, also spannungsfrei. Die Spannung wächst mit r bis zum Höchstwert t max am Querschnittsumfang (Randspannung). Mit dieser Randspannung müssen die Festigkeitsrechnungen erfolgen. Torsionsbeanspruchte Welle Verformungsbild Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faser: Db b ¼ r r Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional: Db b ¼ t t und folglich ¼ r t max r t max Daraus ergibt sich die Spannung t an einer beliebigen Stelle: t ¼ t max r r Spannungsbild

345 5.8 Beanspruchung auf Torsion 31 Bei Torsion erhalten die Randfasern die stärkste Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungslos. Daher kann die Wellenachse auch zentrisch ausgebohrt werden. Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird der Konstrukteur Hohlwellen vorsehen (Leichtbau) Herleitung der Torsions-Hauptgleichung Das Flächenteilchen DA im Abstand r von der Wellenachse (Spannungsbild) überträgt die im Querschnitt liegende Teilkraft DF. Unter der Annahme, daß die Spannung t über dem (sehr klein gedachten) Flächenteilchen DA gleichmäßig verteilt ist (wie beim Abscheren), kann man DF ¼ DAt schreiben. DF ¼ DAt Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die Wellenachse drehend am Hebelarm r. Sie erzeugt also ein kleines Torsionsmoment DM T ¼ DFr. DM T ¼ DFr ¼ DAtr Mit der Spannung t kann man nichts anfangen; dagegen wird die Randfaserspannung t max gebraucht, denn durch sie wird der Werkstoff am stärksten beansprucht. Man ersetzt daher t durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung t ¼ t max r=r und erhält damit eine erweiterte Gleichung für das Torsionsmoment DM T. DM T ¼ DAtr ¼ DAt max r r r DM T ¼ t max r DAr Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment M T. M T ¼ SDM T M T ¼ SDM T ¼ S t max r DAr Die gleich bleibenden Größen t max und r können vor das Summenzeichen gesetzt werden. M T ¼ t max r SDAr Der Summenausdruck SDAr ist das schon bekannte polare Flächenmoment. Grades I p ;der Ausdruck I p =r ist das polare Widerstandsmoment W p. Nur wegen der einfachen Schreibweise wird t max ¼ t t eingesetzt. t t ist also ab jetzt immer die Randfaserspannung, die größte Spannung im Querschnitt. SDAr ¼ I p (siehe 5.7., Seite 304) I p r ¼ W p M T ¼ t t I p r ¼ t tw p

346 3 5 Festigkeitslehre Torsionsmoment M T Torsionsspannung t t ¼ polares Widerstandsmoment W p t t ¼ M T W p Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung auf und erhält so die gesuchte Torsions-Hauptgleichung. Torsions- Hauptgleichung t t M T W p N mm Nmm mm 3 Am häufigsten werden Kreisring- und Kreisquerschnitte zu berechnen sein. Wird aus Torsionsmoment M T und zulässiger Torsionsspannung t t zul das erforderliche Widerstandsmoment W p erf ermittelt, dann lassen sich mit den Gleichungen in Tabelle 5., Seite 310, die erforderlichen Durchmesser (d, d a, d i ) berechnen. Ob dabei mit den genauen Gleichungen oder mit den abgerundeten Beziehungen gerechnet wird, ist gleichgültig. Statt zuerst W perf und daraus erst den Durchmesser zu bestimmen, kann man auch sofort eine Gleichung für den erforderlichen Durchmesser entwickeln. Das wird in den folgenden Lehrbeispielen vorgeführt. Je nach vorliegender Aufgabe wird die Torsions-Hauptgleichung umgestellt: W p erf ¼ M T t tzul t t vorh ¼ M T W p t t zul M Tmax ¼ W p t t zul erforderliches Widerstandsmoment vorhandene Spannung maximales Torsionsmoment Das die Welle beanspruchende Torsionsmoment M T ist gleich dem von der Welle zu übertragenden Drehmoment M. Das Drehmoment M wird entweder mit der Größengleichung P ¼ Mw oder mit der im Maschinenbau gebräuchlichen Zahlenwertgleichung bestimmt. Dann sind die im Einheitenraster angegebenen Einheiten zu benutzen. Bei der Größengleichung ist man von dieser Bedingung frei. Die Zahlenwertgleichung ist hier zugeschnitten auf die Einheit Nm für das Drehmoment M, wenn die Leistung P in kw und die Drehzahl n in min 1 eingesetzt werden. M T ¼ M M ¼ P w w ¼ pn Größengleichung zwischen Drehmoment M, Leistung P und Winkelgeschwindigkeit w M ¼ 9550 P n M P n Nm kw min 1 Zahlenwertgleichung mit P in kw und n in U/min ¼ 1/min ¼ min 1

347 5.8 Beanspruchung auf Torsion Formänderung bei Torsion Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht. Bringt man vor der Verformung auf der Welle mit der Wellenlänge l den Kreidestrich AB an, dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie AC. Zugleich dreht sich der Radius OB um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC, das heißt, die beiden Stirnflächen der Welle haben sich um den Verdrehwinkel j gegeneinander verdreht. Die stärkste Verformung zeigt die Randfaser: Das Stoffteilchen in B durchläuft die Formänderung b (Bogen BC _ ). Im Bereich der elastischen Formänderung gilt auch bei Torsion das Hooke sche Gesetz, in das die entsprechenden Größen der Torsionsbeanspruchung eingesetzt werden. Man setzt für Zugspannung s ) Torsionsspannung t t Formänderung Dl ) Formänderung b Stablänge l 0 ) Wellenlänge l Stoffkonstante E ) Stoffkonstante G (Elastizitätsmodul) (Schubmodul) Das Bogenstück BC _ ¼ b ist vom Radius r abhängig. Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel j in Grad zu rechnen. Zwischen b und j besteht eine Beziehung, die man aus der Skizze für die Formänderung (oben) ablesen kann. Es wird nun in die Gleichung j ¼ b 180 =pr der Wert b ¼ t t l=g nach dem Hooke schen Gesetz eingesetzt. Für t t kann man auch t t ¼ M T =W p und für W p r ¼ I p einsetzen und damit drei Formänderungsgleichungen für Torsionsbeanspruchung entwickeln. Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen der Verdrehwinkel j unabhängig von der Werkstoffgüte ist, denn der Schubmodul G ist für alle Stahlsorten gleich groß (siehe Tabelle 5.8, Seite 384). t t ¼ b l G Hooke sches Gesetz für Torsion, s ¼ Dl l 0 Formänderung bei Torsionsbeanspruchung E Hooke sches Gesetz für Zug/Druck Beachte: Der Schubmodul G entspricht dem Elastizitätsmodul (siehe Tabelle 5.8, Seite 384) und Abschnitt 5.6., Seite 96): G Stahl ¼ N/mm E Stahl ¼ N/mm b pr ¼ j 360 j ¼ b 360 pr j ¼ b r 180 p j ¼ t tl Gr 180 p j ¼ t t l Gr 180 p j ¼ M T l W p rg 180 p j ¼ M T l I p G 180 p ¼ b r 180 p j t t, G l, r M T N mm mm Nmm W p I p mm 3 mm 4

348 34 5 Festigkeitslehre Formänderungsarbeit W f Bei der Beanspruchung einer Welle auf Torsion steigt das Torsionsmoment M T von null bis zu einem Höchstwert proportional zum Verdrehwinkel an. Dabei wird in der Welle eine Formänderungsarbeit W f gespeichert. Die Gleichung dafür liest man wieder aus dem Arbeitsdiagramm als Fläche unter der Belastungskurve ab. Das Arbeitsdiagramm oder Federungsdiagramm entsteht, wenn über dem Verdrehwinkel j das Torsionsmoment M T aufgetragen wird. Torsionsmoment 0 Belastungslinie = Federkennlinie a Dreieckfläche = T f W f = M Verdrehwinkel f M T Arbeitsdiagramm für Torsionsstabfedern im Gültigkeitsbereich des Hooke schen Gesetzes (M T j) Geht die Belastung von null aus, dann ist die Fläche unter der Federkennlinie ein Dreieck und es gilt W f ¼ M T j=. Bei vorbelasteter Feder ergibt sich eine Trapezfläche mit entsprechender Flächenformel. Die Neigung der Federkennlinie ist ein Maß für die Härte oder Weichheit der Feder. Eine Feder ist umso weicher, je flacher die Kennlinie verläuft oder, rechnerisch ausgedrückt, je kleiner die Federrate R ist. Sie entspricht dem Tangens des Neigungswinkels a (siehe Arbeitsdiagramm). W f ¼ M T j Formänderungsarbeit (Federarbeit) R ¼ M T j ¼ tan a Federrate W f M T j R J Nm rad ¼ 1 Nm rad Für Torsionsstabfedern von kreisförmigem Querschnitt kann man wie für die Zugfedern auf Seite 83 die Gleichung für die Formänderungsarbeit weiter entwickeln, indem für M T ¼ t t W p (Torsions-Hauptgleichung) und für W p ¼ pd 3 =16 (Tabelle 5.. Seite 310) eingesetzt wird. M T ¼ t t W p j ¼ t t l G d W f ¼ M T j ¼ t t A d 4 W p ¼ pd3 16 ¼ pd 4 pd 4 l ¼ Volumen V t t l G d ¼ t t V 4G d 4 Mit der Formänderungsgleichung für den Verdrehwinkel j erhält man die endgültige Form der gesuchten Beziehung für W f. V j W f ¼ M T ¼ t t 4G Formänderungsarbeit (Federarbeit), vergleiche mit Seite 83 Solange die Torsionsbeanspruchung im elastischen Bereich liegt, wird die im Werkstoff gespeicherte Arbeit bei Entlastung wieder vollständig frei. Torsions- oder Drehstabfedern verwendet man z. B. als Wagenfeder oder Drehstab-Stabilisator im Kraftfahrzeugbau, für Drehmomentenschlüssel zum Anziehen von Schrauben und Muttern oder im Messgerätebau. Aufgaben Nr

349 f 5.8 Beanspruchung auf Torsion 35 Lehrbeispiel: Torsionsstabfeder Aufgabenstellung: Eine Torsionsstabfeder soll für folgende Einbaugrößen berechnet werden: l 1 ¼ 400 mm l ¼ 600 mm F ¼ 500 N Werkstoff mit t tzul ¼ 30 N G ¼ N mm mm Es sind zu berechnen: a) Federdurchmesser d bei Vollprofil b) Federweg f c) Außendurchmesser D und Innendurchmesser d für Rohrquerschnitt der Feder mit D d ¼ 10 8 d) Federweg f für Rohrquerschnitt. Lösung: a) Federdurchmesser d: M T ¼ Fl 1 ¼ 500 N 400 mm ¼ 10 6 Nmm l 1 lf Feder Stellung bei ungespannter Feder t t ¼ M t W p W p ¼ pd3 16 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 16M T d erf ¼ ¼ 6 Nmm u p t 3 tzul p 30 N ¼ 5, mm t mm gewählt: d ¼ 5 mm b) Federweg f: I p ¼ pd4 3 ¼ p 54 mm 4 ¼ 3, mm 4 3 j ¼ M T l I p G j ¼ 106 Nmm 0, mm ¼ 0,196 rad 3, mm N mm f ¼ jl 1 ¼ 0, mm ¼ 78,4 mm c) Rohrquerschnitt: W p erf ¼ M T ¼ 106 Nmm t tzul 30 N ¼ 3, mm 3 d ¼ 0,8 D mm W p ¼ p 16 D4 d 4 D W p erf ¼ p 16 D4 d 4 ¼ p D 16 D4 ð0,8dþ 4 D sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3,15 10 D erf ¼ 3 mm 3 ¼ 9,98 mm 0,116 ¼ p 16 D4 ð1 0,8 4 Þ ¼ 0,116 D 3 D gewählt: D ¼ 30 mm d ¼ 0,8 D ¼ 4 mm d) Federweg f : I p ¼ pðd4 d 4 Þ ¼ pð Þ mm 4 ¼ 4, mm I p ¼ p 3 ðd4 d 4 Þ j ¼ M T l I p G ¼ 10 6 Nmm 0, mm ¼ 0,16 rad 4, mm N mm f 0 ¼ jl 1 ¼ 0, mm ¼ 64 mm

350 36 5 Festigkeitslehre Lehrbeispiel: Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) Aufgabenstellung Ein Torsionsstab-Messgerät soll bei einem Torsionsmoment von M T ¼ 8 Nm einen Verdrehwinkel von j ¼ 35 anzeigen. Werkstoff 4CrMo4 mit t t zul ¼ 400 N/mm. Bestimme: a) Stabdurchmesser d b) Stablänge l Lösung: a) Stabdurchmesser d: t t ¼ M T W p W p erf ¼ M T ¼ Nmm t t zul 400 N ¼ 0 mm 3 mm rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi W p ¼ pd W perf mm d erf ¼ ¼ 3 16 p p d erf ¼ 4,67 mm gewählt: d ¼ 4,8 mm b) Stablänge l aus der Verdrehwinkel-Gleichung: j ¼ M T l GI p 180 p G ¼ N mm l ¼ pjgi p 180 M T ¼ I p ¼ pd4 3 ¼ p 4,8 4 mm 4 ¼ 5 mm 4 3 N 5 mm4 mm ¼ 317,65 mm Nmm p

351 5.9 Beanspruchung auf Biegung Beanspruchung auf Biegung Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung beansprucht. Die vor der Belastung gerade Stabachse verformt sich zur Biegelinie. Auf Biegung beanspruchte gerade stabförmige Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man Träger oder auch Balken. A l =4m l 1 =3m l =1m F = 000 N -Stelle Biegelinie f max x = (l - l )/3 =,3 m m B An einer beliebigen Stelle der Trägerlänge l legt man den Schnitt x x rechtwinklig zur Stabachse und bringt im Schnittflächenschwerpunkt dasjenige innere Kräftesystem an (F q und M b ), das den Restteil I ins Gleichgewicht setzt. F A x = 1, m x x x m F F B Nach der Berechnung der Stützkräfte F A ¼ 500 N und F B ¼ 1500 N ergibt die Untersuchung des Kräftegleichgewichts für Trägerteil I: SF y ¼ 0 ¼þF A F q F q ¼ F A ¼ 500 N SM ðspþ ¼ 0 ¼ F A x þ M b M b ¼ F A x ¼ 500 N 1, m ¼ 600 Nm F A M b M b SP SP F N F q Fq F N Inneres Kräftesystem bei Biegung Der Querschnitt hat demnach wegen SF y ¼ 0 die in der Fläche liegende Querkraft F q ¼ F A ¼ 500 N zu übertragen. Die Querkraft F q ruft die Schubspannung t hervor. Aus SM ðspþ ¼ 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt noch das rechtwinklig zur Fläche wirkende Biegemoment M b ¼ F A x ¼ 600 Nm zu übertragen hat. Die Lage der größten Durchbiegung f max wird durch die Länge x m bestimmt: p x m ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðl l Þ=3 ¼,3 m Bei Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft F q und ein Biegemoment M b übertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am stärksten; es erzeugt Biegespannungen s b : Hinweis: Das Biegemoment M b ruft im Querschnitt die Normalspannung s hervor, weil es dem in Normalenrichtung auf der Fläche stehenden Kräftepaar F N entspricht. Diese Normalspannung heißt Biegespannung s b und besteht aus Zug- und Druckspannungen, entsprechend den beiden Normalkräften F N (Zug- und Druckkraft). Hinweis: Bei langen Stäben ist der Einfluss der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung t kann daher meist vernachlässigt werden. Bei kurzen, dicken Stäben ist zu prüfen, ob der Wert zulässig ist.

352 38 5 Festigkeitslehre 5.9. Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen Das Biegemoment M b für eine beliebige Stelle längs des Biegeträgers erhält man als Momentensumme für die Schnittstelle am linken oder rechten Trägerteil; ebenso erhält man die Querkraft F q als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt für Schritt nach folgendem Arbeitsplan vorgegangen: Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung: Freimachen des Biegeträgers. Bestimmung der Stützkräfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen (SF x ¼ 0, SF y ¼ 0, SM ¼ 0). Momentensumme für die gewählte Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort vorhandene Biegemoment M b. Kraftsumme für die gewählte Schnittstelle bilden (nur Querkräfte nehmen). Damit ergibt sich die dort vorhandene Querkraft F q. 1. Schritt.Schritt 3. Schritt 4. Schritt Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis ist das im Querschnitt wirkende Biegemoment M b : Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Querkräfte. Das Ergebnis ist die im Querschnitt wirkende Querkraft F q. Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht den dritten und vierten Schritt im Arbeitsplan. Da sich Biegemoment und Querkraft längs des Trägers ändern, müssen mehrere Schnittstellen untersucht werden. Zweckmäßig legt man die Schnitte in die Wirklinien der Belastungskräfte Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung Die äußere Kraft F biegt den Träger nach unten durch. Die vorher gerade Trägerachse wird eine gekrümmte Linie, auch Biegelinie oder elastische Linie genannt. Zwei vorher parallele Schnitte ab; cd stellen sich bei Biegebelastung schräg gegeneinander: a 0 b 0, c 0 d 0. Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern verkürzt (Stauchung e), die unteren dagegen verlängert (Dehnung þe), so wie es das Verformungsbild auf der folgenden Seite zeigt. Biegebeanspruchter Träger (Biegeträger)

353 5.9 Beanspruchung auf Biegung 39 Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren (gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht liegen, die sich weder verkürzt noch verlängert, die ihre Länge also beibehält. Das ist die neutrale Faserschicht, bei der e ¼ 0 ist. Sie geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittfläche. Verformungsbild Nach dem Hooke schen Gesetz sind im elastischen Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die Formänderungen. Wie die Längenänderung wächst auch die Spannung von der neutralen Faserschicht (Nulllinie) nach oben und unten gleichmäßig. Die Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht ist unverformt, also auch spannungslos. Die Spannung wächst mit dem Abstand y von der neutralen Faser bis zum Höchstwert þs max (Zugspannung) und s max (Druckspannung). Genau wie bei der Torsion muss man also auch bei der Biegung mit der Randspannung s max rechnen, wobei die Unterscheidung zwischen þs max als größter Zugspannung und s max als größter Druckspannung nur bei solchen Werkstoffen notwendig ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren, z. B. Gusseisen. Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional, also wachsen auch die Spannungen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild zeigt, ist s s max ¼ y e Daraus ergibt sich für die Spannung s an einer beliebigen Stelle: s ¼ s max y e Bei Biegung erhalten die Randfasern die stärkste Beanspruchung, die neutrale Faserschicht ist spannungslos, Bohrungen in Schwerpunktsnähe schaden daher nicht. Biegespannungen sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen). Sie sind linear über dem Querschnitt verteilt. Spannungsbild Herleitung der Biege-Hauptgleichung Das Flächenteilchen DA im Abstand y von der x-achse (Schwerachse) überträgt die rechtwinklig auf dem Querschnitt stehende Teilkraft DF. Unter der Annahme, dass die Spannung s gleichmäßig über dem Flächenteilchen DA verteilt ist (wie bei Zugbeanspruchung), kann man für DF ¼ DA s schreiben.

354 330 5 Festigkeitslehre Die Teilkraft DF wirkt in Bezug auf die x-achse drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein kleines Innenmoment DM i ¼ DFy. Die Spannung s ändert ihren Betrag mit dem Abstand y. Für die Hauptgleichung braucht man die Randfaserspannung s max, weil sie den Werkstoff am stärksten beansprucht. Es wird daher s durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung s ¼ s max y=e ersetzt. DM i ¼ DFy ¼ DAs y DM i ¼ DAs y ¼ DAs max y e y DM i ¼ s max e DAy Die Summe der kleinen Innenmomente DM i hält dem einwirkenden Biegemoment M b das Gleichgewicht. Die gleichbleibenden Größen s max und Randfaserabstand e können vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der Summenausdruck SDAy ist das schon bekannte axiale Flächenmoment. Grades I, der Ausdruck I=e ist das axiale Widerstandsmoment W. Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung auf und erhält so die gesuchte Biege-Hauptgleichung. M b ¼ SDM i ¼ S s max e M b ¼ s max e SDAy DAy I M b ¼ s b e ¼ s bw Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise wird s b, statt s max geschrieben. s b ist also immer die Randfaserspannung, die größte Spannung im Querschnitt. Biegemoment M b Biegespannung s b ¼ axialeswiderstandsmoment W s b ¼ M b W Biege-Hauptgleichung s b M b W N Nmm mm 3 mm Hat man aus Biegemoment und zulässiger Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment W erf berechnet, können mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 308, die Querschnittsmaße festgelegt werden. Bei Trägern mit konstantem Querschnitt, z. B. bei allen Profilstählen, reicht die Bestimmung des maximalen Biegemomentes aus. Dagegen ist es bei abgesetzten Bauteilen nötig, das Biegemoment für sämtliche Ûbergangsstellen zu ermitteln und zu garantieren, dass s b vorh s bzul ist. Je nach vorliegender Aufgabe wird die Biege- Hauptgleichung umgestellt: W erf ¼ M b max s bzul s b vorh ¼ M b max W M b max ¼ Ws bzul erforderliches Widerstandsmoment s bzul vorhandene Spannung maximales Biegemoment

355 5.9 Beanspruchung auf Biegung Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt Das skizzierte T-Profil (z. B. nach DIN EN 1005) ist zur y-achse symmetrisch, zur x-achse jedoch unsymmetrisch. Es gibt dann zwei verschieden große Randfaserabstände e 1 6¼ e und damit auch die beiden unterschiedlichen Widerstandsmomente W 1 und W. Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt Aus der Beziehung I x =e 1 ¼ W 1 erhält man im Beispiel des T-Profils die größte Zugspannung, die kleiner sein muss als s zzul. Aus der Beziehung I x =e ¼ W erhält man die größte Druckspannung, die kleiner sein muss als s d zul. s z max ¼ M bx e 1 I x s dmax ¼ M bx e I x ¼ M b W 1 ¼ M b W größte Zugspannung größte Druckspannung Ûbung: Aus der Profilstahltabelle für das T-Profil T80 ist abzulesen: I x ¼ 73, mm 4, Randfaserabstand e 1 ¼, mm, damit wird e ¼ ð80,þ mm ¼ 57,8 mm. Für das zu übertragende Biegemoment M bx ¼ 50 Nm sind die beiden Randfaserspannungen (s b1, s b ) zu berechnen. Lösung: s b1 ¼ M bx e 1 ¼ Nmm, mm I x 73, mm 4 s b1 ¼ 15,7 N mm s b ¼ M bx e ¼ Nmm 57,8 mm I x 73, mm 4 s b ¼ 40,8 N mm Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung Die Biegehauptgleichung s b ¼ M b =W gilt unter folgenden Voraussetzungen: 1. Die Stabachse ist gerade, also nicht gekrümmt wie z. B. beim Kranhaken.. Die Belastungen F liegen in einer Ebene, die durch die Stabachse geht. Das ist gleichzeitig die Ebene, in der die Biegemomente wirken. 3. Die Querschnitte bleiben bei der Beanspruchung eben. 4. Für den Werkstoff gilt das Hooke sche Gesetz. 5. Der Elastizitätsmodul ist für Zug- und Druckbeanspruchung gleich groß (wie bei Stahl). 6. Die Spannungen bleiben unter der Proportionalitätsgrenze s P (siehe Seite 374). Rechteckträger, biegebeansprucht

356 33 5 Festigkeitslehre Ûbungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen Man unterscheidet Freiträger und Stützträger. Ein typischer Freiträger ist z. B. das angeschweißte Konsolblech. Stützträger sind z. B. alle zwei- oder mehrfach an den Trägerenden gelagerte Achsen oder Wellen. Ein Stützträger wird als Kragträger bezeichnet, wenn er mit einem oder mit beiden Enden über die Lagerstelle hinausragt. Trägerarten: Freiträger, Stützträger, Kragträger Freiträger mit Einzellast Eine Blattfeder wird nach Skizze im Abstand l ¼ 10 mm von der Einspannstelle B durch die Federkraft F ¼ 100 N biegend und abscherend belastet. Es wird der Biegemomenten- und Querkraftverlauf (M b - und F q -Linie) gesucht. Dazu lässt man eine Schnittebene x x von A nach B wandern und ermittelt von dort aus Biegemoment M b und Querkraft F q nach dem Arbeitsplan Seite 38 (3. und 4. Schritt). Für die eingezeichnete Schnittebene x x im Abstand x vom Kraftangriffspunkt A erhält man die Funktionsgleichung für a) das Biegemoment M bðxþ ¼ Fx und für b) die Querkraft F qðxþ ¼ F In einem M b, x-diagramm ist M bðxþ ¼ Fxdie Gleichung einer mit zunehmendem Abstand x ansteigenden Geraden. Das Biegemoment M bðxþ wächst also proportional von null bis zum Größtwert M b max an der Einspannstelle B. Dort beträgt bei x ¼ l ¼ 10 mm das Biegemoment M b max ¼ Fl¼ 100 N 10 mm ¼ Nmm ¼ ¼ 1 Nm. Lageskizze einer Blattfeder als Freiträger mit Einzellast Für den Freiträger mit Einzellast gelten die Funktionsgleichungen: M bðxþ ¼ Fx ¼ F F qðxþ M b, x-diagramm M b max ¼ Fl Maximales Biegemoment

357 5.9 Beanspruchung auf Biegung 333 Die Querkraft F q ist an jeder Trägerstelle gleich groß: F q ¼ F ¼ 100 N. Daher hat die Querkraftfläche im F q, x-diagramm Rechteckform mit dem Flächeninhalt A q ¼b Fl. Das ist exakt die Gleichung für das im Einspannquerschnitt zu übertragende maximale Biegemoment. Gleiches gilt für das Biegemoment M bðxþ an der Schnittstelle x x: A qðxþ ¼b M bðxþ ¼ Fx. Von links nach rechts fortschreitend (A! B) lässt sich für jeden Trägerquerschnitt die Gleichung für das Biegemoment M b aus der Flächenformel für die Querkraftfläche A q ablesen (Querkraftsatz). F q, x-diagramm A q ¼b M b max M bmax ¼ Fl Maximales Biegemoment Beachte: Dieser Satz von der Querkraftfläche gilt für alle Trägerarten und Belastungen. Vielfach genügt es den Querkraftverlauf annähernd maßstäblich aufzuzeichnen Freiträger mit mehreren Einzellasten Der skizzierte Freiträger wird durch drei Einzelkräfte F 1, F, F 3 belastet. Gesucht werden die Biegemomente M b1, M b,und M b3 für die Kraftangriffsstellen, das maximale Biegemoment M b max in der Einspannstelle B und die Querkraftfläche A q. Die Biegemomente werden nach dem Arbeitsplan (3. Schritt) berechnet: M b1 ¼ 0 an der Kraftangriffsstelle von F 1. M b ¼ F 1 ðl 1 l Þ an der Kraftangriffsstelle von F : M b ¼ 30 knm. M b3 ¼ F 1 ðl 1 l 3 ÞþF ðl l 3 Þ: M b3 ¼ 100 knm M bðbþ ¼ M bmax ¼ F 1 l 1 þ F l þ F 3 l 3 : M b max ¼ 190 knm Diese Berechnungen lassen sich auch aus dem F q -Diagramm ablesen. Das maximale Biegemoment M b max entspricht dem Flächeninhalt A q ges der gesamten Querkraftfläche. Trägt man die berechneten M b -Werte als Ordinaten in ein M b, x-diagramm ein, ergibt sich die Biegelinie. Danach steigt das Biegemoment linear von M b1 ¼ 0 auf M bmax an. Lageskizze des Freiträgers mit Einzellasten F q, x-diagramm M bmax ¼ F 1 l 1 þ F l þ F 3 l 3 M bmax ¼b A qges Maximales Biegemoment M b, x-diagramm

358 334 5 Festigkeitslehre Freiträger mit konstanter Streckenlast (gleichmäßig verteilte Streckenlast) In einer Stahlbaukonstruktion wird ein Profilstahlträger IPE 360 nach DIN 105 verwendet. Der 360 mm hohe Freiträger hat eine Eigengewichtskraft von F 0 ¼ 560 N/m (siehe Formelsammlung). Das ist der typische Fall einer konstanten Streckenlast F 0. Beim Profilstahlträger wird sie in Newton pro Meter (N/m) angegeben. Gesucht werden wieder das maximale Biegemoment M b max in der Einspannstelle B und die Querkraftfläche A q. Lageskizze des Freiträgers mit konstanter Streckenlast Zur Darstellung der Querkraftfläche A q verwendet man die Teilkräfte F 0 und erhält einen stufenförmigen Querkraftverlauf. Bei feinerer Unterteilung der Streckenlast, z. B. in acht Teilstrecken, ergibt sich eine immer feinere Stufung, bis die Querkraftfläche A q eine Dreieckfläche wird. F q, x-diagramm Mit der Erkenntnis, dass der gesamte Flächeninhalt A q dem maximalen Biegemoment an der Einspannstelle entspricht, erhält man die Gleichung für M bmax ¼ Fl= ¼ F 0 l =. M b max ¼ F 0 l M b max ¼b A q Maximales Biegemoment Wie bei der Gesamtfläche erhält man auch mit der Teilfläche A qðxþ das im Schnitt x x wirksame Biegemoment M bðxþ. Die entsprechende Gleichung M bðxþ ¼ F 0 x =ist die Funktionsgleichung zum Aufzeichnen des M b, x-diagramms. Sie ist die Gleichung einer Parabel, wie die M b -Linie im skizzierten M b, x-diagramm zeigt. M b 0 A x M = F b(x) M b(x) M,x b -Diagramm x Mb-Linie M b max B x

359 5.9 Beanspruchung auf Biegung Freiträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Bei Mischlast haben Biegeträger Strecken- und Einzellasten zu tragen. Diesen Fall zeigt der skizzierte Freiträger. Maße und Streckenlast F 0 ¼ 560 N/m sind dieselben wie bei der vorangegangenen Ûbung in Zusätzlich wird der Träger durch die Einzelkraft F 1 ¼ 1500 N belastet. Sie wirkt im Abstand l 1 ¼ 3 m vom Einspannpunkt B unter dem Winkel a ¼ 60 zur Trägerachse. Biegend wirkt aber nur die rechtwinklig zur Trägerachse stehende Komponente F 1 sin a. Die waagerechte Komponente F 1 cos a muss die Einspannung in B aufnehmen (F Bx ¼ F 1 cos a). Lageskizze des Freiträgers mit Mischlast Gesucht werden wieder eine Gleichung für das maximale Biegemoment M b max an der Einspannstelle B des Trägers und die Querkraftfläche A q. Mit den Angaben aus der Lageskizze wird das F q, x-diagramm gezeichnet. Vom Punkt A an nach rechts fortschreitend setzt man an die erste Streckenlast F 0 ¼ 560 N/m die Kraftkomponente F 1 sin a ¼ 199 N an. Danach folgen auf ihren Wirklinien die restlichen drei Streckenlasten und zum Abschluss die im Einspannquerschnitt B wirkende Gleichgewichtskraft F By ¼ F 0 l þ F 1 sin a. Die gesamte Querkraftfläche A q setzt sich aus der Dreieckfläche A q1 ¼b F 0 l = und der Parallelogrammfläche F 1 sin a l 1 zusammen. M bmax an der Einspannstelle B entspricht dem Inhalt dieser beiden Teilflächen. Es kann also die Berechnungsgleichung sofort aufgeschrieben werden. Die Gleichung für M bmax kann auch auf anderem Weg gewonnen werden: Man zeichnet die Querkraftfläche nacheinander für den Träger mit konstanter Streckenlast F 0 und für die Einzelkraft F 1 sin a. Der Grundgedanke dazu: Der Träger wird erst allein mit der Streckenlast und danach allein mit der Einzelkraft belastet (Ûberlagerungsprinzip). F q, x-diagramm A q ¼ A q1 þ A q ¼b M bmax M bmax ¼ F 0 l þ F 1 sin al 1 Maximales Biegemoment Hinweis: Das Verfahren, Belastungen schrittweise aufzusetzen, heißt Ûberlagerungsverfahren (auch: Ûberlagerungsprinzip oder Superpositionsprinzip).

360 336 5 Festigkeitslehre Zum Aufzeichnen des M b, x-diagramms berechnet man einige M bðxþ -Werte oder entwickelt die Funktionsgleichung für den Graphen. Für Querschnitte von x ¼ 0 bis zur Lastangriffsstelle von F 1 gilt: M bðxþ ¼ F 0 x x ¼ F 0 x An der Einspannstelle B gilt: M bðxþ ¼ F 0 x þf 1 sin a½x ðl l 1 ÞŠ Der Ausdruck F 0 x = weist auf einen parabolischen Kurvenverlauf hin. Aufgaben Nr M b, x-diagramm Beispiel für das maximale Biegemoment: Mit x ¼ l wird M bðx¼lþ ¼ F 0 l þ F 1 sin a l 1 ¼ M b max M bmax ¼ 560 N m 4 m þ1500 Nsin 60 3m M bmax ¼ 8377 Nm Stützträger mit Einzellast Wie bei Freiträgern lassen sich auch für Stützträger für jeden Querschnitt x Biegemoment M bðxþ und Querkraft F qðxþ berechnen (Arbeitsplan in 5.9.). Der skizzierte Stützträger wird mit der Einzelkraft F ¼ 6000 N biegend belastet. Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen SF y ¼ 0 und SM ðbþ ¼ 0 werden die Stützkräfte F A ¼ 4000 N und F B ¼ 000 N berechnet. Für die eingezeichneten Schnittstellen 1, und 3 berechnet man die Biegemomente M b1, M b und M b3.für jeden Schnitt zwischen dem Lagerpunkt A und der Kraftangriffsstelle ist das Biegemoment M bðxþ ¼ F A x. Das ist im M b, x-diagramm der Graph einer Geraden ðy ¼ mx mit m ¼ konstant). Lageskizze des frei gemachten Stützträgers mit Einzellast F ¼ 6000 N M b1 ¼ F A x 1 ¼ 4000 N 1m¼ 4000 Nm M b ¼ F A x ¼ 4000 N m¼ 8000 Nm M b3 ¼ F A x 3 þ Fðx 3 x Þ M b3 ¼ 4000 N 4mþ 6000 N m M b3 ¼ 4000 Nm M b, x-diagramm

361 5.9 Beanspruchung auf Biegung 337 Das Querkraftdiagramm wird aufgezeichnet: Von A nach B fortschreitend trägt man die aus dem Lageplan erkennbaren Kräfte aneinander. Es ergeben sich zwei gleich große Rechteckflächen über und unter der Nulllinie: Das Biegemoment M bðxþ in jedem Trägerquerschnitt entspricht der Fläche links oder rechts vom Schnitt. Das größte Biegemoment M bmax liegt dort, wo die Querkraftlinie durch die Nulllinie geht. Geht die Querkraftlinie mehrfach durch null, muss für alle Nulldurchgänge das Biegemoment berechnet und so M b max bestimmt werden. Greift die Einzelkraft in der Mitte des Trägers an, dann wird mit F A ¼ F B ¼ F= und l 1 ¼ l= das maximale Biegemoment M b max ¼ðF=Þðl=Þ¼ Fl=4. F q, x-diagramm M b max ¼b A q M bmax ¼ F A l 1 F B ðl l 1 Þ F A ¼ 4000 N F B ¼ 000 N Maximales Biegemoment M b max ¼ F A l 1 ¼ 4000 N m¼ 8000 Nm M b max ¼ F B ðl l 1 Þ¼000N4m¼8000Nm Beachte: Beim Stützträger mit Einzellast wirkt M bmax dort, wo die Einzelkraft angreift. Berechnet wird M b max aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten Die Querkraftfläche im F q, x-diagramm zeigt zwei Nulldurchgänge (1 und ). Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen das maximale Biegemoment M bmax zu übertragen hat, führt man eine Vergleichsrechnung durch (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen). Nulldurchgang 1: M b1 ¼b A q1 ¼b F A l 1 M b1 ¼ 9,583 kn,5 m M b1 ¼ 3,958 knm

362 338 5 Festigkeitslehre Das Biegemoment M b1 erhält man am einfachsten über die Rechteckfläche links vom Nulldurchgang 1. Zur M b -Berechnung wird die Fläche rechts vom Nulldurchgang genommen. Nulldurchgang : M b ¼b A q ¼b F 3 l M b ¼ 0 kn m M b ¼ 40 knm Die Rechnung zeigt: Das größte Biegemoment tritt im Nulldurchgang auf. M b ¼ 40 knm > M b1 ¼ 3,958 knm. Damit hat man die M bmax -Stelle und den Betrag des maximalen Biegemoments gefunden. M b max ¼ M b ¼ F 3 l M b max ¼ 40 knm Zur Kontrolle kann die Fläche links vom Nulldurchgang berechnet werden. Die algebraische Summe der Flächeninhalte A q1 und A q3 muss gleich dem Flächeninhalt A q sein. Begründung: Das Biegemoment M b im linken Schnittufer des Querschnitts muss gleich dem Biegemoment im rechten Schnittufer sein. M b ¼ F A l 1 ðf 1 F A Þðl l 1 Þ F l 3 ¼ð9,583,5 ð5 9,583Þ3,5 10 1Þ knm M b ¼ 40 knm Die beiden Beträge haben entgegengesetztes Vorzeichen ( 40 knm, þ40 knm), weil für den Schwerpunkt des Querschnitts SM ¼ 0 erfüllt sein muss. M b, x-diagramm M b þ M b ¼ 0 M b ¼ M b Zum Aufzeichnen des M b, x-diagramms werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen berechnet: Für x ¼ l 1 ist: M bðxþ ¼ F A l 1 ¼ 9,583 kn,5 m ¼ 3,958 knm Für x ¼ l l 3 ist: M bðxþ ¼ F 4 ðl l 3 ÞþF 1 ðl l 3 l 1 Þ M bðxþ ¼ 9,583 kn 5mþ5 kn,5 m M bðxþ ¼ 14,585 knm Für x ¼ l ist: M b ¼ F A l þ F 1 ðl l 1 ÞþF l 3 M b ¼ 9,583 kn 6mþ 5 kn 3,5 m þ 10 kn 1m M b ¼ 40 knm ¼ M bmax Die Trägerstelle mit M bðxþ ¼ 0 liegt zwischen den Lagerpunkten A und B. Für diese Schnittstelle muss die Summe der Querkraftflächen A q1 und A qðxþ gleich null sein. A q1 ¼ A qðxþ F A l 1 ¼ðx l 1 ÞðF 1 F A Þ x ¼ F Al 1 9,583 kn,5 m þ l 1 ¼ F 1 F A 5 kn 9,583 kn þ,5 m x ¼ 4,059 m

363 5.9 Beanspruchung auf Biegung Stützträger (Kragträger) mit konstanter Streckenlast Die Querkraftfläche zeigt auch hier zwei Nulldurchgänge (1 und ) wie beim vorhergehenden Träger. Nur an einem der beiden kann M bmax auftreten. Auch hier lässt sich nicht sofort erkennen, welche der beiden Querkraftflächen größer ist, A q1 oder A q. Daher müssen beide berechnet werden. Beachte: Das Biegemoment M b1 im Nulldurchgang 1 berechnet man mit Blickrichtung von 1 nach links und sieht A q1.für den Querschnitt blickt man vom Lagerpunkt B aus nach rechts und sieht A q. Eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks der Querkraftfläche A q1 hat die Länge x. Sie kann abgemessen oder berechnet werden. Zur Rechnung benutzt man hier die Tatsache, dass beim Nulldurchgang, von links nach rechts gesehen, die Querkraft gleich null geworden ist. Vom Nulldurchgang 1 aus nach links gesehen ergibt: F A F 0 x ¼ 0 x ¼ F A F 0 ¼ 400 N 000 N ¼,1 m m x ¼,1 m Nun lassen sich beide Querkraftflächen auswerten und damit das maximale Biegemoment und dessen Lage bestimmen. Die Vergleichsrechnung zeigt, dass das maximale Biegemoment M bmax von 4410 Nm im linken Nulldurchgang 1 auftritt. M b1 ¼b A q1 ¼ F Ax 400 N,1 m ¼ M b1 ¼ 4410 Nm M b ¼b A q ¼ F 0 l 1 l 1 ¼ F 0 l 1 M b ¼ 000 N m 4m ¼ 4000 Nm < M b1 M b max ¼ M b1 ¼ 4410 Nm

364 340 5 Festigkeitslehre M b, x-diagramm Im Gegensatz zum Freiträger ( ) sind hier wegen des Stützlagers B zwei Funktionsgleichungen zum Aufzeichnen des M b, x-diagramms erforderlich. Für die M b -Werte zwischen 0 und B gilt mit Blick nach links in Richtung A in der Lageskizze: M b1 ¼ F 0 x F A x Für die M b -Werte rechts von B gilt mit Blick nach rechts: M b ¼ F 0 x In beiden Gleichungen erscheint der mathematische Ausdruck F 0 x =. Die entsprechenden Kurvenzüge müssen daher parabolischen Verlauf haben (siehe M b, x-diagramm). Für die beiden Nulldurchgänge im F q, x-diagramm sollen die Biegemomente berechnet werden. Für die Schnittstelle 1 wurde x ¼,1 m ermittelt. Das Biegemoment in der Lagerstelle B wird mit x ¼ l 1 ¼ m berechnet. Ein Verlgeich zeigt, dass im Trägerquerschnitt 1 das größte Biegemoment auftritt: M b1 > M b. M b1 ¼ F 0 x F A x 000 N ð,1 mþ M b1 ¼ m 400 N,1 m M b1 ¼ 4410 Nm N M b ¼ F 0 x 000 ¼ m ðmþ M b ¼ 4000 Nm Zur Ermittlung der Schnittstelle für den Nulldurchgang der M b, x-kurve ist M b ¼ 0 in die Gleichung für die Schnittstelle 1 einzusetzen. Die Rechnung zeigt, dass im Trägerquerschnitt bei x ¼ 4, m das Biegemoment gleich null ist. M b1 ¼ F 0 x F Ax ¼ 0 F 0 x F A x ¼ 0;x x F 0 F A ¼ 0;x 6¼ 0 x ¼ F A F 0 ¼ 400 N 000 N ¼ 4, m m Aufgaben Nr

365 5.9 Beanspruchung auf Biegung Stützträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Lageskizze mit F q, x-diagramm M b, x-diagramm Zum Aufzeichnen des M b, x-diagramms genügt es, die M b -Werte für die Querschnitte unter dem Lastangriff von F und an den beiden Begrenzungen der Streckenlast F 0 zu berechnen: M bðfþ ¼ F A l 1 ¼ 3300 Nm M bðlinksþ ¼ F A l l l 3 þ þ F l l l 3 þ l 1 ¼ 475 Nm M bðrechtsþ ¼ F B l l 3 ¼ 65 Nm Der M b -Verlauf zwischen den Endpunkten der Ordinatenwerte und den Nullpunkten A und B muss liniear sein (siehe und ). Dazwischen liegt der parabolische Kurvenzug für den M b -Verlauf infolge der Streckenlast F 0 (siehe ). Dieser Fall zeigt besonders deutlich, wie einfach sich Lage und Betrag von M bmax mit Hilfe der Querkraftfläche bestimmen lassen. Nachdem die Stützkräfte berechnet wurden, kann der Querkraftverlauf aufgezeichnet werden. Bei nur einem Nulldurchgang liegt die M bmax -Stelle sofort fest. Das Maß x wird abgemessen oder berechnet. Damit lässt sich dann aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang M b max berechnen. Aufgaben Nr

366 34 5 Festigkeitslehre Träger gleicher Biegespannung Allgemeine Anformungsgleichung Hat ein Biegeträger durchgehend gleichen Querschnitt (W ¼ konstant), dann hat im Normalfall jeder Querschnitt eine andere Biegespannung s b. Die Maximalspannung s bmax tritt nur in dem Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment zu übertragen hat. Durch die so genannte Anformung erreicht man, dass jeder Querschnitt gerade so groß wird, wie es zur Aufnahme der zulässigen Biegespannung s bzul erforderlich ist. Man hat dann einen Träger gestaltet, der in allen Querschnitten die gleiche Biegespannung aufweist. Für jeden beliebigen Querschnitt x gilt die Biege- Hauptgleichung s bx ¼ M bx =W x, mit Biegemoment M bx und dem Widerstandsmoment W x. Gleiche Biegespannung s bx ¼ s b zul werden dann erreicht, wenn dafür gesorgt wird, dass überall der Quotient M bx =W x gleich groß ist. Diese Bedingung führt zur Anformungsgleichung in der allgemeinen Form Achsen und Wellen Am Beispiel einer Radachse von kreisförmigem Querschnitt wird die Anformung von Achsen und Wellen erläutert: Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment M b max ¼ Fl zu übertragen und der (beliebige) Querschnitt x x das Biegemoment M bx ¼ Fl x. Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus Biegemoment M b und Widerstandsmoment W in allen Querschnitten gleich groß bleibt. Für die M b max -Stelle gilt M b max =W max ¼ s bzul,für jede beliebige Stelle M bx =W x ¼ s bzul, so dass man beide Quotienten gleichsetzen kann. Beim Kreisquerschnitt gilt für das axiale Widerstandsmoment W ¼ 0,1d 3. Wird dieser Ausdruck in die Ausgangsgleichung eingesetzt und außerdem die beiden Biegemomente durch Fl und Fl x ersetzt, dann erhält man die gesuchte Anformungsgleichung für Achsen und Wellen mit kreisförmigem Querschnitt. s bx ¼ M bx W x ¼ s b zul ¼ konstant M bx1 W x1 ¼ M bx W x ¼...¼ konstant Anformungsgleichung, allgemeine Form M b max W max ¼ M bx ) M b max ¼ W max W x M bx W x Fl Fl x ¼ 0,1d 3 max 0,1d x 3 rffiffiffi 3 l x d x ¼ d max l l l x ¼ d 3 max d x 3 Anformungsgleichung für Achsen und Wellen

367 5.9 Beanspruchung auf Biegung 343 Mit der Anformungsgleichung können nun die Durchmesser d x für mehrere Trägerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: Wertetabelle Lastentfernung l x ¼ Wurzelfaktor ¼ 1 l 3 4 l 1 l 1 4 l 1 8 l rffiffiffiffi rffiffiffiffi rffiffiffiffi rffiffiffiffi ,9 0,8 0,63 0, Durchmesser d x ¼ d max d 1 ¼ 0,9 d max d ¼ 0,8 d max d 3 ¼ 0,63 d max d 4 ¼ 0,5 d max Die Durchmesser nehmen vom Höchstwert d max an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach einer kubischen Parabel ab. Als praktische Ausführung der Anformung dient die Kegelform. Der Kegelstumpfmantel muss den Parabelkörper einhüllen. Mit der Anformungsgleichung lässt sich die Anformung als Graph gut auf dem Rechner darstellen. Anformung einer Radachse Biegefeder mit Rechteckquerschnitt Der Rechteckquerschnitt von Biegeträgern lässt sich in der Breite b oder in der Höhe h anformen. Als Beispiel kann man die Biegefeder als Biegeträger ansehen und sie in der Breite b anformen, also die Höhe (Dicke) h konstant halten. Dazu wird in gleicher Weise vorgegangen wie unter bei der angeformten Achse. Statt W ¼ 0,1 d 3 muss man hier W ¼ bh =6 einsetzen (Tabelle 5.1, Seite 308). Die Anformung der Höhe h bei konstanter Breite b wird im Anschluss unter behandelt. Die Anformungsgleichung zeigt, dass die Breite von b max an der Einspannstelle bis zum Trägerende gleichmäßig abnimmt. Es entsteht eine Dreieckblattfeder von gleichbleibender Dicke h. Wird der Wert b max zu groß, teilt man die Blattfeder in gleich breite Streifen auf und schichtet diese aufeinander zur Mehrschichtfeder. Bei z ¼ Blattzahl ist b max ¼ zb 0, wobei b 0 die Blattbreite ist. M b max M bx ¼ W max W x Fl ¼ b max h 6 Fl x b x h 6 b x ¼ b max l x l l l x ¼ b max b x Anformungsgleichung für Blattfedern Anformung einer Biegefeder

368 344 5 Festigkeitslehre Konsolträger mit Einzellast Das Belastungsschema ist beim Konsolträger das gleiche wie bei der Blattfeder, nur wird man beim Konsolträger nicht die Breite b, sondern die Höhe h anformen. Wird auch hier wieder vom Rechteckquerschnitt ausgegangen, also W ¼ bh =6, dann kürzt sich in der Gleichung unter anderem die Breite b heraus. Man erhält die Anformungsgleichung für die Höheh x. Mit der Anformungsgleichung kann die Höhe h x für mehrere Trägerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: Wertetabelle Lastentfernung l x ¼ l 3l 4 l M b max M bx ¼ W max W x Fl ¼ bh max 6 Fl x bh x 6 rffiffiffi l x h x ¼ h max l l 4 l ¼ h max l x h x Anformungsgleichung für Konsolträger l 8 Trägerhöhe h x ¼ h max h 1 ¼ 0,866 h max h ¼ 0,707 h max h 3 ¼ 0,5 h max h 4 ¼ 0,354 h max Die Höhen h 1, h...nehmen vom Höchstwert h max an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach einer quadratischen Parabel ab. Auch hier ist eine Graphik auf dem Rechner leicht zu erstellen Konsolträger mit Streckenlast Angeformter Konsolträger mit Einzellast Auch bei gleichmäßig verteilter Last wird man einen Konsolträger nach der Höhe h anformen. Im Gegensatz zum Konsolträger mit Einzellast hat man hier in die allgemeine Anformungsgleichung für die Biegemomente einzusetzen: M b max ¼ F 0 l = und M bx ¼ F 0 l x =. Dann wird in gewohnter Weise die Anformungsgleichung entwickelt. Sie ist ebenso aufgebaut wie die Gleichung in : Die Höhe h x wächst proportional mit l x. Die Querschnittshöhe nimmt vom Höchstwert h max an der Einspannstelle bis zum Trägerende gleichmäßig ab. Es entsteht ein Träger in Hochdreieckform (Keilform). M b max M bx ¼ W max W x F 0 l = F 0 l x = ¼ bh max 6 bh x 6 h x ¼ h max l x l l l ¼ h max x h x Anformungsgleichung für Freiträger mit Streckenlast Angeformter Konsolträger mit Streckenlast

369 5.9 Beanspruchung auf Biegung Formänderung bei Biegung 1) Wird ein Stab elastisch gebogen, dann behält nur die neutrale Faserschicht ihre ursprüngliche Länge bei, alle anderen Schichten verlängern oder verkürzen sich. Die in der neutralen Faserschicht liegende und vor dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbiegung f. Die Endtangente t der Biegelinie liegt unter dem Neigungswinkel a. Beide Größen sind für die Konstruktion von Biegeträgern aller Art von Bedeutung, z. B. für Getriebewellen. Es sollen deshalb Berechnungsgleichungen für Durchbiegung und Neigung der Biegelinie entwickelt werden. Dabei geht man immer von einem Träger mit gleichbleibendem Querschnitt aus (Achse, -Träger). Geometrische Verhältnisse am einseitig eingespannten Biegeträger (Freiträger) mit Einzellast; Krümmung stark übertrieben gezeichnet Krümmungsradius, Krümmung Die beiden dicht beieinander liegenden Schnittufer 1 und, die vor der Verformung parallel zueinander lagen, stehen nun unter dem Winkel j zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt 0 und ergeben den Krümmungsradius r x an der untersuchten Trägerstelle x. Gegenüber dem kleinen Bogenstück s der Biegelinie hat sich die äußere Zugfaser um Ds verlängert. Mit dem Øhnlichkeitssatz erhält man die Proportion Ds=s ¼ e=r x. s þ Ds ¼ r x þ e ðähnlichkeitssatzþ s r x 1 þ Ds s ¼ 1 þ e r x ) Ds s ¼ e r x 1) Formeln zur Berechnung der Stützkräfte, Momente und Durchbiegungungen bei Biegeträgern siehe A. Böge: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg.

370 f Festigkeitslehre Mit dem Hooke schen Gesetz, hier also mit s x ¼ ee, ergibt sich aus der Ausgangsproportion Ds=s ¼ e=r x eine Beziehung für den Krümmungsradius r x an der untersuchten Trägerstelle x. Darin ist s x die zwischen den Schnittufern herrschende Biegespannung. Schreibt man die Biegehauptgleichung in der Form s b ¼ M b e=i nach (Seite 331), dann lassen sich Biegespannung s x und Randfaserabstand e durch die Größen Biegemoment M x und axiales Flächenmoment. Grades I ersetzen. Ds ¼ Dehnung e ðsiehe 5::3:1; Seite 80Þ s e ¼ s x E Hooke0 sches Gesetz nach 5::3:4Þ Ds s ¼ e ¼ s x und daraus r x E r r x ¼ ee s x r x ¼ EI M x Krümmungsradius x ¼ ee s x s x ¼ M x e ) e ¼ I I s x M x r x E I M x mm N mm mm 4 Nmm Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als Krümmung k x bezeichnet. k x ¼ 1 r x ¼ M x EI Krümmung Allgemeine Durchbiegungsgleichung Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Trägerende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und an die Biegelinie die Tangenten angelegt, so schließen sie ebenso wie die Krümmungsradien r x den Winkel j ein. Die Tangenten schneiden auf der Vertikalen am Trägerende (Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung f das stark übertrieben gezeichnete Stück D f ab. Es ist also f ¼ SDf : r x 1 ϕ r x s s ϕ x Biegelinie F f α Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke an der Biegelinie ergibt sich die Proportion s=r x ¼ D f =x. Für den Krümmungsradius r x kann die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. Werden noch die Teillängen D f summiert, dann findet man die gesuchte Gleichung für die gesamte Durchbiegung f. Elastizitätsmodul E und Flächenmoment. Grades I sind Konstante, sie können also vor das Summenzeichen S gezogen werden. Beachte: Nur im Grenzfall sind die beiden schraffierten Dreiecke ähnlich. s ¼ D f r x x ) D f ¼ sx r x D f ¼ sxm x EI ¼ 1 EI M x sx f ¼ SDf ¼ S 1 EI M x sx f ¼ 1 EI SM x sx

371 5.9 Beanspruchung auf Biegung 347 Das Produkt M x s (Biegemoment mal Teillänge s an der Trägerstelle x) ist im Bild der Momentenfläche das Teilstück DA M der gesamten Momentenfläche A M. Aus der Schwerpunktslehre (., Seite 76) ist bekannt, dass die Summe der Momente der Teilflächen gleich dem Moment der Gesamtfläche ist. Mit x 0 als Schwerpunktsabstand der gesamten Momentenfläche (hier Dreieckfläche) ergibt sich abschließend die allgemeine Durchbiegungsgleichung. Die Momentenfläche DA M ist das Produkt aus dem Biegemoment M x und der Teillänge s; folglich hat A M die Einheit Nmm mm ¼ Nmm. SM x sx ¼ SDA M x ¼ A M x 0 f ¼ 1 EI A Mx 0 Allgemeine Durchbiegungsgleichung f E I A M x 0 mm N mm mm 4 Nmm mm Neigungswinkel der Biegelinie Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten an die Biegelinie den Winkel j einschließen. Der Neigungswinkel a der Endtangente ist also die Summe aller Winkel j. Die Gleichung j ¼ s=r ist die Definitionsgleichung für den Winkel j. Das Produkt M x s ist gleich dem Flächeninhalt der Teilfläche DA M ; außerdem ist SDA M ¼ A M. Bogenstück s j ¼ Krümmungsradius r a ¼ Sj ¼ P s r ¼ EI eingesetzt r M x a ¼ P s P sm x ¼ EI EI ¼ 1 EI SM x s M x a ¼ 1 EI SDA M ¼ 1 EI A M Es ist bekannt, dass für kleine Winkel mit der Einheit rad auch der Tangens des Winkels eingesetzt werden kann. Damit ist die Endform für die Gleichung des Neigungswinkels a gefunden. In der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend der allgemeinen Durchbiegungsgleichung A M =EI ¼ f =x 0 einzusetzen. a ¼ arc a ¼ tan a tan a ¼ 1 EI A M tan a ¼ f x 0 Neigung der Endtangente an die Biegelinie

372 348 5 Festigkeitslehre Ûbungen zur Durchbiegungsgleichung 1. Ûbung: Freiträger mit Einzellast Für den skizzierten Freiträger mit Einzellast hat die Momentenfläche die Form eines Dreiecks. Mit der Balkenlänge l und der Dreieckshöhe M b max ¼ Fl lässt sich der Flächeninhalt A M ausdrücken. Der Schwerpunktsabstand der Dreieckfläche beträgt x 0 ¼ l=3. Mit den Beziehungen für M b max, A M und x 0 erhält man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a für die Endtangente. f ¼ 1 EI A M x 0 ; A M ¼ M b max f ¼ 1 EI Fl 3 l f ¼ Fl3 3EI tan a ¼ f x 0 ¼ Fl EI l ¼ Fl l ¼ Fl. Ûbung: Freiträger mit konstanter Streckenlast Die Momentenfläche beim Freiträger mit konstanter Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt (siehe , Seite 334). Der Flächeninhalt A M ist gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfläche: A M ¼ M b max l=3. Der Schwerpunktsabstand beträgt x 0 ¼ 3l=4 (Formelsammlung). Das maximale Biegemoment ist hier halb so groß wie beim Freiträger mit Einzellast, also M bmax ¼ Fl=, mit der Resultierenden aus der Streckenlast F ¼ F 0 l. Damit erhält man wie in der 1. Ûbung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung für den Neigungswinkel a der Endtangente an die Biegelinie. f ¼ 1 EI A M x 0 ; A M ¼ 1 3 M bmax l ¼ 1 3 Fl l f ¼ 1 EI Fl l f ¼ Fl3 8EI tan a ¼ f x 0 ¼ Fl 6EI 3. Ûbung: Stützträger mit Einzellast in Trägermitte Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung gerechnet werden. Das ist zugleich die M b max -Stelle, mit M b max ¼ðF=Þðl=Þ ¼Fl=4 (siehe , Seite 336). Der Schwerpunktsabstand der Momentenfläche A M (Dreieckfläche) beträgt x 0 ¼ l=3.

373 5.9 Beanspruchung auf Biegung 349 Mit dem Ausdruck für x 0 und mit der Beziehung für den Flächeninhalt der Momentenfläche A M ¼ Fl =16 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels a für die Endtangente. f ¼ 1 EI A M x 0 l A M ¼ M b max 4 ¼ Fl 4 l 4 ¼ Fl 16 f ¼ 1 EI Fl 16 l 3 f ¼ Fl3 48EI tan a ¼ f x 0 ¼ Fl 16EI 4. Ûbung: Stützträger mit konstanter Streckenlast Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale Durchbiegung f in Trägermitte darf nur mit der Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung gerechnet werden (siehe 3. Ûbung). Das ist hier zugleich die M b max -Stelle, mit M b max ¼ Fl=8. Der Flächeninhalt A M der Parabelfläche beträgt zwei Drittel der umschriebenen Rechteckfläche (siehe. Ûbung). Der Schwerpunktsabstand beträgt 5l=16 (siehe auch Handbuch Maschinenbau, Flächenschwerpunkt). Wie in der. Ûbung wird die Resultierende der Streckenlast mit F ¼ F 0 l berechnet. f ¼ 1 EI A M x 0 A M ¼ 3 M l b max ¼ 3 Fl 8 ¼ l f ¼ 1 EI Fl l Wie in den vorhergehenden Ûbungen geht man von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, um die speziellen Gleichungen für f und tan a zu bekommen. f ¼ Fl3 EI tan a ¼ f x 0 ¼ Fl 4EI 5. Ûbung: Biegeträger mit mehreren Belastungen (Ûberlagerungsprinzip) In praktischen Aufgaben wirken häufig mehrere Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. eine Einzelkraft neben der gleichmäßig über dem Träger verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen löst man nach dem Ûberlagerungsprinzip. Es besteht darin, dass man sich die Belastungen einzeln auf den Träger aufgesetzt vorstellt, deren Einzeldurchbiegungen f 1, f, f 3... mit den bekannten Gleichungen bestimmt und zum Schluss diese Beträge addiert. Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen für f 1 (3. Ûbung) und f (4. Ûbung) bekannt und es kann damit eine Gleichung für f ges ¼ f 1 þ f erstellt werden. f ges ¼ f 1 þ f ¼ Fl3 EI f ges ¼ 0,034 Fl3 EI 1 48 þ 5 384

374 l l l l Festigkeitslehre 5.10 Beanspruchung auf Knickung Grundbegriffe Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. ist die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß, so besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung s d noch unter der Proportionalitätsgrenze s dp liegt. Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher Querschnittsfläche A und gleicher Druckkraft F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender Länge l. Beispiele knickgefährdeter Bauteile aus dem Maschinenbau: Pleuelstangen, Kolbenstangen, Stößel, Spindeln von Pressen, Bremsgestänge zunehmende Länge bedeutet zunehmende Knickgefahr A F A F A F A F Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt. Knickkraft F K ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividiert man die Knickkraft F K durch die Querschnittsfläche A, erhält man eine Spannung, die als Knickspannung s K bezeichnet wird. Entsprechend der Definition von F K herrscht die Knickspannung s K dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. Neue Größen sind: Knickkraft F K, Knickspannung s K,Trägheitsradius i, Schlankheitsgrad l (Lambda) Knickkraft F K Knickspannung s K ¼ Querschnittsfläche A s K ¼ F K A s K F K A N mm N mm Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft F, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft F K. Das gleiche gilt dann auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung s d vorh und für die Knickspannung s K. Immer muss s d vorh < s K sein. Knickkraft F K und Knickspannung s K sind also Größen, die niemals erreicht werden dürfen. Sicherheit gegen Knicken ðknicksicherheit vþ v ¼ F K F ¼ s K s d vorh v ¼ Knickkraft F K Druckkraft F v im Maschinenbau

375 5.10 Beanspruchung auf Knickung 351 Die Knickkraft F K (Knickspannung s K ) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung. Beispiel: Für die Kolbenstange einer Kolbenpumpe sei die Knickkraft F K ¼ N. Mit Knicksicherheit v ¼ 8 darf die vorhandene Druckkraft höchstens F ¼ F K =v ¼ N=8 ¼ 500 N betragen Elastische Knickung (Eulerfall) Für den Fall, dass die Knickspannung s K noch unterhalb der Proportionalitätsgrenze s dp des Werkstoffs liegt, hat Euler 1) eine Gleichung für die Knickkraft F K entwickelt. Mit einem Lineal kann man sich klarmachen, dass ein Stab immer um diejenige Achse knickt, für die das axiale Flächenmoment. Grades den kleinsten Wert hat (I min ). Die Knickkraft F K, also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen würde, kann allein durch die Führungsverhältnisse verändert werden, unter denen sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft F während des Zusammendrückens exakt in der Stabachse wirkt, desto größer kann die Knickkraft F K angesetzt werden. Mit Ausnahme der Einspannung mit freiem Ende (Fall 1) sollte immer nach dem Grundfall (Fall ) gearbeitet werden, das heißt, man setzt nicht s ¼ 0,707l (Fall 3) oder s ¼ 0,5l (Fall 4), sondern s ¼ l in die Eulergleichung ein. Die Eulergleichung wird nun so geschrieben, wie sie für das Lösen von praktischen Aufgaben gebraucht wird. Dazu sollte man sich der Beziehung zwischen Knickkraft F K und vorhandener Druckkraft F über die Knicksicherheit v ¼ F K =F erinnern. Statt I min wird I erf geschrieben, in Anlehnung an die Arbeitsgleichungen der vorangegangenen Beanspruchungsarten. Ist das erforderliche axiale Flächenmoment. Grades I erf berechnet, können mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, Seite 308, die Querschnittsmaße festgelegt werden. 1) Leonhard Euler, Mathematiker, F K ¼ EI minp s E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 384) I min kleinstes axiales Flächenmoment. Grades des Querschnitts (Tabelle 5.1, Seite 308) s freie Knicklänge F K ¼ Fv ¼ EI min p I erf ¼ vfs E p s F K E I s N N mm mm 4 mm I erf v F E mm 4 1 N N mm v Knicksicherheit (Einheit Eins) F vorhandene Druckkraft s ¼ l Einspannlänge E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 384)

376 35 5 Festigkeitslehre Die nach I erf aufgelöste Eulergleichung garantiert nicht, dass der vorliegende Fall tatsächlich im Gültigkeitsbereich dieser Gleichung liegt, also im Gültigkeitsbereich des Hooke schen Gesetzes. Nur in diesem Bereich ist der E-Modul eine Konstante, und nur für diesen Fall kann die Eulergleichung gelten. Um zu wissen, ob und wann man im Einzelfall mit der Eulergleichung rechnen darf, wird eine Gleichung für die Knickspannung s K entwickelt. Dazu benutzt man die Beziehung s K ¼ F K =A. ZurVereinfachung wird statt I min nur I geschrieben. Mit dem Ziel, eine möglichst einfach aufgebaute Gleichung für s K zu erhalten, hat man zwei neue Größen eingeführt, den Trägheitsradius i und den Schlankheitsgrad l: Zunächst bieten sich die beiden geometrischen Größen I und A zur Vereinfachung an. Man setzt das axiale Flächenmoment I ¼ i A und bezeichnet i als den Trägheitsradius des Querschnitts. Beachte: Die Eulergleichung gilt nur dann, wenn die Knickspannung s K gleich oder kleiner ist als die Proportionalitätsgrenze s dp des Werkstoffs. Zur Proportionalitätsgrenze siehe Abschnitt 5.1.1, Seite 374. s K ¼ F K A ¼ EIp s A s K ¼ E p I A 1 s s K ¼ E p ði=aþ s ¼ E p i s ¼ rffiffiffiffi I Trägheitsradius i ¼ A E p ðs =i Þ i ¼ I A (Gleichungen für i in Tabelle 5.1, Seite 308) Für den Kreisquerschnitt ist nach Tabelle 5.1, Seite 308, das axiale Flächenmoment I ¼ pd 4 =64; die Kreisfläche berechnet sich aus A ¼ pd =4. Damit erhält man eine sehr einfache Beziehung für den Trägheitsradius eines Kreisquerschnitts. I ¼ pd 4 A ¼ pd 64 4 rffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi I pd i ¼ ¼ 4 A 64 4 pd i ¼ d 4 Trägheitsradius für Kreisquerschnitt Nach der Einführung des Trägheitsradius erscheint bei entsprechender Schreibweise in der Eulergleichung für die Knickspannung nun der Quotient s =i (siehe oben). Die Wurzel daraus heißt Schlankheitsgrad l. freie Knicklänge s Schlankheitsgrad l ¼ Trägheitsradius i l ¼ s i Damit ist die einfachste Form für die Eulergleichung gefunden. Sie zeigt, dass Stäbe von gleichem Schlankheitsgrad (geometrisch ähnliche Stäbe) die gleiche Knickspannung s K haben und dass s K außer von l nur vom Elastizitätsmodul E abhängig ist. s K ¼ E p l Knickspannung s K, E l s, i N mm 1 mm

377 5.10 Beanspruchung auf Knickung 353 Trägt man entsprechend der Eulergleichung die Knickspannung s K über dem Schlankheitsgrad l auf, so ergibt sich eine Hyperbel dritten Grades. Es wird mit dem Elastizitätsmodul für Stahl gerechnet: E ¼ N=mm ¼, N=mm : Bekannt ist, dass die Eulergleichung nur gilt, solange die Knickspannung s K s dp (Proportionalitätsgrenze) ist. Mit diesem Wert für s dp (für S35JR etwa 190 N/mm ) kann mit einer Waagerechten im Diagramm die obere und linke Grenze des Gültigkeitsbereichs für die Eulergleichung festgelegt werden (elastischer Bereich). Lotet man vom Schnittpunkt der Waagerechten mit der Euler- Hyperbel auf die l-achse, dann wird als einfaches Kriterium für alle Rechnungen der Grenzschlankheitsgrad l 0 gefunden. Nur mit Schlankheitsgraden l rechts vom Grenzschlankheitsgrad l 0 ist die Gültigkeit der Eulergleichung gewahrt (siehe Arbeitsplan , Seite 355). Euler-Hyperbel mit Grenzschlankheitsgrad l 0 für S35JR Beachte: Bei allen Rechnungen nach Euler muss garantiert sein, dass der vorhandene Schlankheitsgrad l vorh größer ist als der Grenzschlankheitsgrad l 0 : l vorh > l 0 Eulerbedingung Ûber die Eulergleichung für die Knickspannung kann man den Grenzschlankheitsgrad l 0 für verschiedene Werkstoffe in Abhängigkeit von der Proportionalitätsgrenze s dp berechnen. Da l 0 immer der untere Grenzwert ist, für den die Eulergleichung gerade noch gilt, wird l 0 ¼ l min geschrieben. rffiffiffiffiffiffiffi E l 0 ¼ l min ¼ p s dp Grenzschlankheitsgrad Je höher die Proportionalitätsgrenze s dp des Werkstoffs liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad l 0, das heißt, umso größer wird der Bereich, für den die Eulergleichung gilt. Für die wichtigsten Werkstoffe gibt Tabelle 5.3 die Grenzschlankheitsgrade zur Euler schen Knickberechnung an. Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad l gleich oder größer ist als der in Tabelle 5.3 angegebene Grenzschlankheitsgrad l 0.Gültigkeitsbereich der Eulergleichung: s=i ¼ l vorh l 0. Beispiel: Für den Werkstoff Stahl mit E ¼, N=mm und einer Proportionalitätsgrenze s dp ¼ 190 N=mm (S35JR) wird der Grenzschlankheitsgrad: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi,1 10 E 5 N mm l 0 ¼ p ¼ pu s dp t N 190 mm l 0 ¼ 104,44

378 354 5 Festigkeitslehre Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l 0 für Euler sche Knickung und Tetmajergleichungen Werkstoff E-Modul in N mm Grenzschlankheitsgrad l 0 Tetmajergleichungen für s K in N mm Nadelholz Gusseisen S35JR E95 und E335 Al Cu Mg Al Mg s K ¼ 9,3 0,194 l s K ¼ l þ 0,053 l s K ¼ 310 1,14 l s K ¼ 335 0,6 l Beachte: Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwergleichungen mit s K in N/mm Unelastische Knickung (Tetmajerfall) Es wird nun die Frage geklärt, was zu tun ist, wenn sich bei der Nachrechnung des Schlankheitsgrades l mit den gegebenen Abmessungen zeigt, dass der Grenzschlankheitsgrad l 0 (Tabelle 5.3) unterschritten worden ist (l vorh < l 0 ). In diesem Fall können die Eulergleichungen nicht mehr gelten. Man hätte dann mit einer Knickspannung s K gerechnet, die größer ist als die Proportionalitätsgrenze s dp. In diesem Spannungsbereich gilt das Hooke sche Gesetz, das Euler seiner Gleichung zugrunde gelegt hat, nicht mehr. Das wird daran erkannt, dass in den Eulergleichungen für die Knickkraft F K und Knickspannung s K der Elastizitätsmodul E erscheint. Tetmajer und andere Forscher haben für die Fälle l vorh < l 0 aus vielen Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt. Weil diesen Versuchen Knickspannungen s K zugrunde liegen, die größer sind als die Proportionalitätsgrenze s dp, spricht man von unelastischer Knickung. Mit den Tetmajergleichungen ist eine unmittelbare Berechnung der Querschnittsabmessungen im Gegensatz zum Eulerfall nicht möglich. Bei allen Knickaufgaben mit unbekannten Querschnittsabmessungen, also auch unbekanntem Schlankheitsgrad l, berechnet man daher zunächst das erforderliche axiale Flächenmoment. Grades aus der Eulergleichung und bestimmt nach Tabelle 5.1, Seite 308, die Querschnittsabmessungen (im Beispiel den Durchmesser d) und den Trägheitsradius i. Beispiel: Für einen knickbeanspruchten Stab aus S35JR stellt sich heraus: l vorh ¼ s 100 mm ¼ i mm ¼ 50 < l 0 ðs35jrþ ¼ 105 Für l vorh ¼ 50 und E ¼, N=mm wird s K ¼ E p l ¼, N mm p N ¼ mm Die Proportionalitätsgrenze für S35JR liegt dagegen bei etwa 190 N/mm (siehe auch Euler-Hyperbel Seite 353). Beispiel: Nach Tabelle 5.3 ergibt sich mit l ¼ 50 aus der Tetmajergleichung für S35JR s K ¼ 310 1,14 l N s K ¼ð310 1,14 50Þ mm ¼ 53 N mm Beispiel: Für einen Stab aus S35JR (Kreisquerschnitt) wird bei s ¼ l ¼ 300 mm, F ¼ N und 10-facher Knicksicherheit (v ¼ 10): I erf ¼ vfl E p ¼ N mm, N mm p I erf ¼ 434 mm 4 p d erf ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 0 I erf ¼ 17, mm i ¼ d ¼ 4,3 mm 4

379 5.10 Beanspruchung auf Knickung 355 Jetzt lässt sich der vorhandene Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad (Tabelle 5.3, Seite 354) vergleichen. Ist l vorh größer als l 0, dann war die Rechnung nach Euler zulässig. Die Aufgabe wäre also gelöst. Im anderen Fall berechnet man l vorh mit etwas vergrößerten Abmessungen und bestimmt damit nach Tetmajer die Knickspannung s K. Zur Ûberprüfung der Knicksicherheit v muss die vorhandene Druckspannung ermittelt werden. Ist v vorh kleiner als die geforderte Knicksicherheit v erf, sind die Querschnittsabmessungen noch ein oder mehrere Male zu vergrößern, bis endlich v erf erreicht wird. l vorh ¼ s i ¼ 300 mm 4,3 mm ¼ 69,8 < l 0 ¼ 105 Also war die Rechnung nach Euler nicht zulässig (l vorh < l 0 ), daher mit etwas vergrößertem d ¼ 0 mm nach Tetmajer: l vorh ¼ l d=4 ¼ 4l mm ¼ d 0 mm ¼ 60 s K ¼ 310 1,14 l vorh ¼ 41,6 N mm s d vorh ¼ F A ¼ 104 N 314 mm ¼ 31,85 N mm v vorh ¼ s K 41,6 N=mm ¼ s d vorh 31,85 N=mm ¼ 7,586 v vorh ¼ 7,586 < v erf ¼ Arbeitsplan für Knickungsaufgaben Knickkraft F K aus Sicherheit v und Belastung F berechnen. Erforderliches Flächenmoment. Grades I erf nach der Eulergleichung berechnen. Durchmesser oder andere Querschnittsabmessungen mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1 (Seite 308) festlegen Trägheitsradius i nach Tabelle 5.1 berechnen. Schlankheitsradius l vorh berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad l 0 nach Tabelle 5.3 vergleichen. Ist l vorh l 0, ist die Rechnung beendet. Bei l vorh kleiner als l 0 wird mit den Tetmajer-Formeln aus Tabelle 5.3 die Knickspannung s K berechnet. Dabei l vorh (eventuell neu mit vergößertem Querschnitt), nicht etwa l 0 einsetzen. Vorhandene Druckspannung s d vorh ¼ F=A berechnen Mit s K und s d vorh die vorhandene Sicherheit v berechnen und mit der geforderten Sicherheit vergleichen. Bei zu kleiner Sicherheit v müssen die Querschnittsabmessungen weiter vergrößert werden. Die Rechnung ist vom 5. Schritt an zu wiederholen. Eventuell muss noch die auftretende Druckspannung s d vorh mit der zulässigen Druckspannung s dzul verglichen werden. 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt 8. Schritt 9. Schritt 10. Schritt Aufgaben Nr

380 356 5 Festigkeitslehre Lehrbeispiel: Knickung im elastischen Bereich Aufgabenstellung: Die Kolbenstange einer Wasserpumpe hat einen kreisförmigen Querschnitt. Werkstoff: E95 mit einer zulässigen Druckspannung von 98 N mm F d l = 1400 mm F Gegebene Größen: F ¼ 80 kn; Sicherheit gegen Knicken n ¼ 3,5 Gesucht: Kolbenstangendurchmesser d Lösung: a) Kolbenstangendurchmesser d: F K ¼ EIp s I erf ¼ F K s Ep Knickkraft F K ¼ Fn s ¼ l (Grundfall) I erf ¼ Fnl Ep ¼ N 3,5 ð1, mmþ ¼ 6, mm 4 N, mm p rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 64 I erf p I o pd4 64 ) d 4 4 erf ¼ ¼ p gewählt: d ¼ 50 mm (Normalmaß nach DIN 3) 64 6, mm 4 ¼ 48, mm b) Nachprüfung des Schlankheitsgrades l: l ¼ s ¼ l rffiffiffiffiffiffi I o i o ¼ ¼ d i i A o 4 (s ¼ l) 1400 mm 4 l ¼ 50 mm ¼ 11 > l 0 ð 89Þ Also war die Rechnung nach Euler richtig. c) Spannungsnachweis für die Druckspannung s d : s d vorh ¼ F A ¼ N 4 50 mm p ¼ 40,7 N mm < s N d zul ¼ 98 mm Die zulässige Spannung wurde eingehalten.

381 5.10 Beanspruchung auf Knickung 357 Lehrbeispiel: Knickung im unelastischen Bereich Aufgabenstellung: Ein Hydraulikarbeitszylinder soll eine Kraft F ¼ 100 kn aufbringen. Die freie Knicklänge beträgts ¼ l ¼ 350 mm. Es ist der Durchmesser der Kolbenstange mit kreisförmigem Querschnitt zu bestimmen. Sicherheit gegen Knicken n ¼ 5. Werkstoff E95. Lösung: l d F F K ¼ EIp s I ¼ pd4 64 Die Knickkraft F K, die der Stab gerade noch aushält, soll sein: F K ¼ Fn ¼ 100 kn 5 ¼ 500 kn I erf ¼ F K s Ep ¼ N 3, mm ¼, mm 4, N mm p rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 64 I erf 4 64, d erf ¼ ¼ 4 mm 4 ¼ 7,85 mm p p l ¼ s i ¼ l i gewählt: d ¼ 30 mm Nachprüfung des Schlankheitsgrades: l ¼ 4s mm ¼ d 30 mm ¼ 46,7 < l 0 ¼ 89 Die Rechnung nach Euler ist also unzulässig. Nachrechnung nach Tetmajer: Da l ¼ 47 sehr weit im Tetmajer-Bereich liegt, wird der Durchmesser erhöht auf d ¼ 35 mm. Dadurch wird mm l ¼ 35 mm ¼ 40 N s K ¼ 335 0,6l s K ¼ 335 0,6 40 ¼ 310, mm Die vorhandene Druckspannung s d vorh ist: s d vorh ¼ F A ¼ N 4 35 mm p ¼ 103,94 N mm N n vorh ¼ s 310, K ¼ mm ¼,98 < n s d vorh N erf ¼ 5 103,94 mm mm Neuer Schlankheitsgrad l ¼ 45 mm ¼ 31,1 s K ¼ 335 0,6 31,1 ¼ 315,7 N mm d neu gewählt: d ¼ 45 mm s d vorh ¼ N 4 45 mm p ¼ 6,88 N mm N n vorh ¼ s 315,7 K ¼ mm ¼ 5,0 Die verlangte Sicherheit ist vorhanden: s d vorh N 6,88 mm

382 358 5 Festigkeitslehre Knickung im Stahlbau Vorschriften Die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Knickungsgleichungen gelten nicht für die Druckstäbe im Stahlbau. Hier sind die Berechnungsverfahren und die dabei verwendeten Gleichungen in Normen vorgeschrieben Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstäben Nach DIN , Teil, muss die so genannte Tragsicherheit nachgewiesen werden. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabquerschnitts bei mittiger Druckbelastung die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung erfüllt ist. Die dazu erforderlichen Berechnungen enthält der Arbeitsplan (AP) in Herleitung einer Entwurfsformel (Zugeschnittene Größengleichung) Der Tragsicherheitsnachweis nach DIN ist nur möglich, wenn die geometrischen Größen des Knickstabs bekannt sind (Querschnittsfläche A und axiales Flächenmoment I). Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt (Profil) an oder verwendet die folgende Entwurfsformel zur Profilermittlung. Sie wird hier aus der für elastische Knickung gültigen Eulergleichung entwickelt. Bis zum Erscheinen einer Europäischen Norm (EN) gilt für die Ausbildung von Druckstäben die Norm DIN vom Nov Diese ersetzt die DIN 4114 von 1953, in der für die Knickungsberechnung das so genannte Omegaverfahren vorgeschrieben war. F jf pl 1 F F pl j N N 1 Tragsicherheits-Hauptgleichung F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse F pl Normalkraft im vollplastischen Zustand nach AP Nr. 8 j Abminderungsfaktor nach AP Nr. 6 Im Abschnitt wird die Eulergleichung entwickelt: I erf ¼ vfs K I erf v F s K E E p mm 4 1 N mm N/mm I erf erforderliches axiales Flächenmoment v Knicksicherheit F vorhandene Druckkraft (Normalkraft) s K Knicklänge E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8, Seite 384) Für die überschlägige Querschnittsbestimmung nimmt man eine Sicherheit an, z. B. v ¼ 3. Mit dem Elastizitätsmodul für Baustahl E ¼ N/mm und 10 3 N ¼ 1 kn fasst man die Konstanten zusammen und erhält die Entwurfsformel. I erf ¼ 3 Fs K p I erf 1, Fs K Entwurfsformel I F s K mm 4 kn mm Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstäben Sind sowohl die Belastung F des Knickstabs als auch das Stabprofil bekannt, bestimmt man der Reihe nach die folgenden Größen: Gegeben: Stabprofil (z. B. IPE 00), Werkstoff (z. B. S35JR), Belastung F des Druckstabs (z. B. F ¼ 50 kn). Gesucht: Tragsicherheit

383 5.10 Beanspruchung auf Knickung Knicklänge s K Die Knicklänge s K entspricht der freien Knicklänge s in Abschnitt (Seite 351) (Eulerfall) und es gilt auch das Bild für die Führungsverhältnisse mit den Fällen 1 bis 4 (siehe Seite 351). s K ¼ bl s K b l mm 1 mm b Knicklängenbeiwert nach Bild in Danach ist einzusetzen für Fall 1 Fall Fall 3 Fall 4 b ¼ b ¼ 1 b ¼ 0,7 b ¼ 0,5 Die Druckstäbe in Fachwerken können in der Fachwerkebene oder rechtwinklig dazu ausweichen (ausknicken). Für das Ausweichen in der Fachwerkebene ist die Systemlänge l der geschätzte Abstand der beiden Anschlussverbindungen an den Stabenden. Für das Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene ist die Systemlänge l der Abstand der Netzlinien. Ausweichen in der Fachwerkebene Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerkebene. Schlankheitsgrad l K und Trägheitsradius i Der Schlankheitsgrad l K wird wie bei der Euler schen Knickung in (Seite 35) aus der Knicklänge s K und dem Trägheitsradius i berechnet. Der Trägheitsradius i ist die Wurzel aus dem Flächenmoment. Grades I und der Querschnittsfläche A des Knickstabprofils. Die Beträge für das Flächenmoment I und die entsprechende Querschnittsfläche A werden den Profilstahltabellen entnommen. 1) l K ¼ s K i rffiffiffiffi I i ¼ A l K s K i 1 mm mm i I A mm mm 4 mm 3. Bezogener Schlankheitsgrad l K Der bezogene Schlankheitsgrad l K ist der Quotient aus dem Schlankheitsgrad l K und dem Bezugsschlankheitsgrad l a, der von den Festigkeitswerten E (Elastizitätsmodul) und R e (Streckgrenze) des Profilwerkstoffs abhängt. l K ¼ l K l a l K l K l a ) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner, 1. Auflage

384 360 5 Festigkeitslehre 4. Bezugsschlankheitsgrad l a Der Elastizitätsmodul für Stahl beträgt E ¼ N=mm, die Streckgrenze R e ist abhängig vom verwendeten Werkstoff des Knickstabs. Für die im Stahlbau häufig verwendeten Werkstoffe ergibt sich damit: Bei S35JR (RSt 37-) mit R e ¼ 35 N=mm und einer Erzeugnisdicke t 40 mm zu l a ¼ 93,9, bei S355JG3 (St 5-3) mit R e ¼ 355 N=mm und einer Erzeugnisdicke t 40 mm zu l a ¼ 76,4. In Klammern stehen die früher gültigen Bezeichnungen für Baustahl. rffiffiffiffiffi E l a ¼ p R e l a E R e l a ¼ 93,9 für S35JR und t 40 mm l a ¼ 76,4 für S355JG3 und t 40 mm 1 N mm N mm 5. Ermittlung der Knickspannungslinien Den im Stahlbau verwendeten verschiedenen Querschnittsformen (z. B. U-, L-, T-Profile) sind so genannte Knickspannungslinien a, b, c, d zugeordnet. Sie werden Tabelle 5.4 entnommen. Ausführlichere Hinweise in DIN , Teil, Tabelle 5. Beispiel: Einem Doppel-T-Profil mit den Werten h=b > 1, und Erzeugnisdicke t 40 mm ist nach Tabelle 5.4 die Knickspannungslinie b zugeordnet, wenn das Ausknicken rechtwinklig zur y-achse erfolgt. Die Werte für t (Steg- oder Flanschdicke) stehen in den Profilstahltabellen. 1) 1) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Verlag Vieweg,. Auflage

385 5.10 Beanspruchung auf Knickung Abminderungsfaktor j Bereich l K 0, Bereich l K > 0, Bereich l K > 3,0 j ¼ 1 1 j ¼ p k þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k l K 1 j ¼ l K ðl K þ aþ mit k ¼ 0,5 ½1 þ a ð l K 0,Þþ l K Š 7. Parameter a zur Berechnung des Abminderungsfaktors j Knickspannungslinie a b c d a 0,1 0,34 0,49 0,76 8. Normalkraft F pl F pl ist diejenige Normalkraft, bei der im Werkstoff des Stabes vom Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße wird die Streckgrenze R e oder die obere Streckgrenze R eh eingesetzt. F pl ¼ R e A F pl R e A N N mm mm R e Streckgrenze, siehe Tabelle 5.8 (Seite 384) A Querschnittsfläche, siehe Tabellen ) Zusammengesetzte Knickstäbe Die Berechnungsgleichungen im obigen Arbeitsplan gelten für mittig belastete einteilige Knickstäbe. Dazu gehören auch die aus mehreren Walzprofilen zusammengesetzten Knickstäbe, wenn die Einzelprofile durch Nieten oder Schweißen (nicht Schrauben) so verbunden sind, dass sie als einzelnes Bauglied angesehen werden können. Die Gleichungen gelten nicht für Knickstäbe, deren Querschnitt eine stofffreie Achse y y hat. 1) Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Vieweg þ Teubner,. Auflage

386 36 5 Festigkeitslehre Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Stab-Querschnittsformen Ausknicken rechtwinklig zur Achse Knickspannungslinie Hohlprofile warm gefertigt x x y y a d D=10 kalt gefertigt x x y y b geschweißte Kastenquerschnitte x x y y b dicke Schweißnaht und h x =t x < 30 h y =t y < 30 x x y y c gewalzte I-Profile h=b > 1, t 40 mm x x y y a b h=b > 1, h=b < 1, 40 < t 80 mm t 80 mm x x y y b c t > 80 mm x x y y d geschweißte I-Querschnitte (t n ¼ t, t 1, t ) t n 40 mm x x y y t n > 40 mm x x y y b c c d gewalzte Profile und Vollquerschnitte x x y y c

387 5.10 Beanspruchung auf Knickung 363 Tabelle 5.5 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau a) Zulässige Spannungen in N/mm für Bauteile Spannungsart Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN erforderlich ist Werkstoff S35 S355 E360 Lastfall 1) H HZ H HZ H HZ Schub b) Zulässige Spannungen in N/mm für Verbindungsmittel Niete (DIN 14 und DIN 30) Passschrauben (DIN 7986) Spannungsart Ust 36-1 für Bauteile aus S35 RSt 44- für Bauteile aus S für Bauteile aus S für Bauteile aus S355 Lastfall 1) H HZ H HZ H HZ H HZ Abscheren t azul Lochleibungsdruck s l zul Zug s zzul Tabelle 5.6 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel a) Zulässige Spannungen in N/mm für Bauteile Werkstoff Spannungsart S35 S355 Lastfall 1) H HZ H HZ Zug- und Vergleichsspannung Druckspannung, Nachweis auf Knicken Schubspannung Außer dem allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist für Krane mit mehr als 0000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen für die Lastfälle H zu führen. Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt. b) Zulässige Spannungen in N/mm für Verbindungsmittel Abscheren Lochleibungsdruck Zug Spannungsart einschnittig zweischnittig einschnittig zweischnittig einschnittig zweischnittig Passschrauben (DIN 7986) Rohe Schrauben (DIN 7900) Niete 4.6 für Bautiele aus S für Bauteile aus S für Bauteile aus S für Bauteile aus S355 (DIN 14) für Bauteile aus S35 Lastfall 1) H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ ) Einteilung nach DIN in Hauptlasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Hauptlasten (H) sind alle planmäßigen äußeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie ständige Last, planmäßige Verkehrslast, Schneelast, sonstige Massenkräfte. Zusatzlasten (Z) sind alle übrigen bei der planmäßigen Nutzung auftretenden Lasten und Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, Seitenstoßlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkräfte, Wärmewirkung. Sonderlasten (S) sind nicht planmäßige mögliche Lasten und Einwirkungen aus möglichen Baugrundbewegungen.

388 364 5 Festigkeitslehre 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung Zug und Biegung Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge kann man sich Klarheit über das innere Kräfte- und Spannungssystem verschaffen und die Spannungsgleichungen herleiten. Wie gewohnt, wird ein Schnitt x x an eine zweckmäßige Querschnittsstelle gelegt und dort dasjenige innere Kräftesystem angebracht, durch das der Restkörper wieder ins Gleichgewicht gesetzt wird. Schraubzwinge Inneres Kräftesystem Aus der Kraft-Gleichgewichtsbedingung SF y ¼ 0 ergibt sich als innere Kraft die Zugkraft F N und aus der Momentengleichgewichtsbedingung das Biegemoment M b. Die innere Kraft F N (Normalkraft) ruft im Querschnitt x x die gleichmäßig verteilte Zugspannung s z ¼ F N =A hervor (Zug-Hauptgleichung). Durch das innere Biegemoment M b entsteht im Querschnitt x x das bekannte System der Biegespannung, aufgebaut aus den linear verteilten Zug- und Druckspannungen (Biege-Hauptgleichung). Im symmetrischen Querschnitt sind die Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß, also s bz ¼ s bd ¼ s b ¼ M b =W. SF y ¼ 0 ¼ F N F ) F N ¼ F SM ðspþ ¼ 0 ¼ M b Fl) M b ¼ Fl Gleichmäßig verteilte Zugspannung s z ¼ F N A s b ¼ M b W Linear verteilte Biegespannung Sowohl Zug- als auch Biegebeanspruchung ergeben Normalspannungen s (rechtwinklig auf der Schnittfläche stehend), die wie parallele Kräfte addiert und subtrahiert werden können. Trägt man an die Spitzen der Biegespannung die Zugspannung richtungsgemäß an, erhält man das Bild der Gesamtspannung (resultierende Spannung). Aus dem Bild der Gesamtspannung lassen sich nun leicht die Beziehungen für die resultierende Zug- und Druckspannung ablesen. Beide müssen gleich oder kleiner als die zugehörige zulässige Spannung sein. s res Zug ¼ s bz þ s z s zzul s res Druck ¼ s bd s z s d zul Bild der resultierenden Spannung

389 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 365 Manchmal ist es zweckmäßiger, die Biegespannungen s bz und s bd nicht mit dem Widerstandsmoment W, sondern mit dem axialen Flächenmoment. Grades I zu bestimmen. Das gilt vor allem bei unsymmetrischen Querschnitten mit unterschiedlichen Randfaserabständen e (siehe 5.9.5, Seite 33). In beide Gleichungen wurde für das Biegemoment M b ¼ Fleingesetzt. s bz ¼ M b e 1 I s bd ¼ M b e I ¼ Fle 1 I ¼ Fle I s res Zug ¼ Fle 1 þ F I A s zzul s res Druck ¼ Fle F I A s d zul Wie das Bild der resultierenden Spannung zeigt, ist die spannungsfreie Faserschicht um den Betrag a nach links verschoben. Aus der Øhnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhält man eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebungsgröße a weiterentwickelt werden kann. a ¼ e ) a ¼ s z e s z s bz s bz s z ¼ F A und s bz ¼ M b W ¼ Fle eingesetzt: I a ¼ Fl AFle e ¼ I=A ¼ i l l Aus dem Spannungsbild erkennen man weiter, dass die Verschiebungsgröße a ein Kriterium für die Spannungsverteilung ist. a > e bedeutet, dass nur Zugspannungen auftreten a < e bedeutet, dass sowohl Zug- als auch Druckspannungen auftreten Druck und Biegung Grundsätzlich unterscheidet sich diese Beanspruchung von der vorangegangenen nur dadurch, dass sich hier der Biegespannung s b nicht eine Zugspannung s z, sondern die Druckspannung s d überlagert. Wieder erhält man das Bild der resultierenden Spannung, indem an die Spitzen der Biegespannung richtungsgemäß die über dem Querschnitt konstante Druckspannung angetragen wird. Bild der resultierenden Spannung Die resultierende Druckspannung s res Druck ergibt sich ebenso wie die resultierende Zugspannung s res Zug nach dem Spannungsbild wieder als Summe oder Differenz der beiden Normalspannungen. s res Druck ¼ s bd þ s d s d zul s res Zug ¼ s bz s d s z zul Ist die Stablänge eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils groß im Verhältnis zum Querschnitt (schlanker Stab), dann muss auf Knickung nachgerechnet werden. s res Druck ¼ Fle þ F I A s res Zug ¼ Fle F I A

390 366 5 Festigkeitslehre Ûbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen An einem Träger aus IPE 160 ist ein 1 mm dickes Knotenblech angeschweißt, das die Zugkraft F in den Träger einleitet. Wie groß darf diese Zugkraft im Hinblick auf den Querschnitt A B des Trägers höchstens werden, wenn s zzul ¼ s d zul ¼ 10 N/mm nicht überschritten werden darf? Lösung: Wie gewohnt wird der abgeschnittene Restkörper durch das innere Kräftesystem wieder ins Gleichgewicht gesetzt. Als inneres Kräftesystem erscheint die Zugkraft F N ¼ F und das Biegemoment M b ¼ Fl. Mit der Vorstellung vom inneren Kräftesystem ist es leicht, das Bild der resultierenden Spannung zu skizzieren, wenn man zuerst den Verlauf der Biegespannung zeichnet und darauf die konstante Zugspannung aufsetzt. Allerdings weiss man noch nicht, ob die Verschiebungsgröße a tatsächlich kleiner ist als der Randfaserabstand e. Das wird erst die Rechnung erweisen. In der Formstahltabelle finden sich alle für die weitere Rechnung nötigen Größen, wobei vor allem darauf geachtet werden muss, dass das richtige Flächenmoment. Grades abgelesen wird, hier also I x. Die Frage, ob die Verschiebungsgröße a größer oder kleiner als der Randfaserabstand e ist, wird durch die Rechnung a ¼ i =l schnell geklärt. Da hier tatsächlich a < e ist, muss neben s res Zug noch s res Druck auftreten. Die resultierende Zugspannung s res Zug ist größer als die resultierende Druckspannung s res Druck. Folglich geht man von der Beziehung s res Zug ¼ s z þ s bz s z zul aus, schreibt sie in der erweiterten Form und entwickelt daraus eine gleich-kleiner-beziehung für die Zugkraft F. Das Ergebnis sagt aus, das die Zugkraft F immer unter N bleiben muss, wenn s z zul nicht überschritten werden soll. Inneres Kräftesystem Bild der resultierenden Spannung I x ¼ 869 cm 4 ¼ mm 4 A ¼ 0,1 cm ¼ 0,1 10 mm Trägheitsradius i ¼ 6,58 cm ¼ 65,8 mm Randfaserabstand e ¼ 80 mm a ¼ i ¼ i ð65,8 mmþ l e þ s ¼ 86 mm a ¼ 50,3 mm < e ¼ 80 mm F A þ Fle s zzul I F 1 A þ le s zzul I F s zzul 1 A þ le I 10 N mm F ¼ N 1 86 mm 80 mm þ 010 mm mm 4

391 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 367 Zuerst wird die Zugspannung s z, dann die Biegespannung s bz ¼ s bd ¼ s b berechnet. Beide setzt man zur resultierenden Spannung zusammen und vergleicht diese Beträge mit der angegebenen zulässigen Spannung. Für die Zugseite ist das zugleich eine Kontrolle der Kraftberechnung, denn nur bei richtiger Rechnung kann sich s res Zug ¼ s z zul ¼ 10 N/mm ergeben. Die resultierende Druckspannung s res Druck erhält man nach dem Spannungsbild als Differenz von Biege- und Zugspannung (s res Druck ¼ s bd s z ). Aufgaben Nr s z ¼ F N ¼ A 010 mm ¼ 46,3 N mm s bz ¼ s bd ¼ s b ¼ Fle I N 86 mm 80 mm s b ¼ mm 4 s bz ¼ s bd ¼ 73,7 N mm N s res Zug ¼ s z þ s bz ¼ð46,3 þ 73,7Þ mm s res Zug ¼ 10 N mm ¼ s zzul N s res Druck ¼ s bd s z ¼ð73,7 46,3Þ mm s res Druck ¼ 7,4 N mm < s d zul ¼ 10 N mm Biegung und Torsion Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung s v Wellen sollen Drehmomente übertragen, z. B. vom Elektromotor über ein Zahnradpaar auf eine zweite Getriebewelle. Neben der dadurch hervorgerufenen Torsionsbeanspruchung tritt aber auch noch Biegung auf. Der Querschnitt einer Welle hat demnach sowohl Normalspannungen (Biegespannung s b ) als auch Schubspannungen (Torsionsspannung t t ) aufzunehmen. Während die Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt steht, liegt die Schubspannung im Querschnitt. Eine einfache Addition beider Spannungen wie bei Biegung und Zug/Druck ist hier nicht möglich. Da beide Spannungsarten rechtwinklig aufeinander stehen, könnte man auf den Gedanken kommen, sie wie zwei Kräfte geometrisch p zu einer resultierenden Spannung s res ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s þ t zusammenzusetzen. So einfach geht das schon deshalb nicht, weil der Werkstoff gegenüber einer Schubspannung anders reagiert als gegenüber einer Normalspannung (vergleiche Schub- und Elastizitätsmodul, Seite 384). Kräfte und Momente in Bezug auf die obere Getriebewelle

392 368 5 Festigkeitslehre Alle Festigkeitshypothesen zur Lösung dieses Problems laufen darauf hinaus, mit Hilfe einer so genannten Vergleichsspannung s v die gemeinsame Wirkung der beiden ungleichartigen Spannungen zu erfassen. Die Vergleichsspannung wird auch ideelle Spannung genannt. Hier wird mit der Vergleichsspannung nach der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie gearbeitet, weil sie mit Versuchsergebnissen gut übereinstimmt. Die geometrische Addition beider Spannungen nach der vorherigen Ûberlegung ist noch erkennbar. Der bei t t stehende Faktor a 0 heißt Anstrengungsverhältnis. Es ist abhängig von den Grenzfestigkeitswerten für den betreffenden Werkstoff. Hinweis: Bekannt geworden sind vor allem die Dehnungshypothese, die Schubspannungshypothese und die Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s v ¼ s b þ 3ða 0 t t Þ s b zul s b Grenz a 0 ¼ Anstrengungsverhältnis 1,73t Grenz Für Wellen aus Stahl ist das Verhältnis der zulässigen Spannungen in Abhängigkeit vom jeweiligen Belastungsfall annähernd bekannt, so dass man die angegebenen Werte für a 0 einsetzen kann. Der Begriff Belastungsfall wird im Abschnitt (Seite 375) erläutert. a 0 ¼ 1 a 0 ¼ 0,7 wenn s b und t t im gleichen Belastungsfall wirken wenn s b wechselnd (III) und t t schwellend (II) wirkt (Hauptfall bei Wellen, weil die Randfasern während jeder Wellenumdrehung einmal unter þs b und einmal unter s b stehen Vergleichsmoment M v Für Wellen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt lässt sich die Gleichung für die Vergleichsspannung weiter entwickeln. Dazu werden für die Spannungen s b und t t entsprechend den zugehörigen Hauptgleichungen, die Quotienten aus dem Kraftmoment und dem Widerstandsmoment eingesetzt. Die Gleichungen für axiales und polares Widerstandsmoment bei Kreis- und Kreisringquerschnitten zeigen, dass das polare Widerstandsmoment W p doppelt so groß ist wie das axiale Widerstandsmoment WðW p ¼ WÞ, so dass im Nenner der Torsions-Hauptgleichung W p durch W ersetzt werden kann. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s v ¼ s b þ 3ða 0 t t Þ s b ¼ M b t t ¼ M T ¼ M T W W p W eingesetzt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M b M T s v ¼ þ3 a 0 W W Beispiel: Für den Kreisquerschnitt ist W ¼ pd 3 und 3 W p ¼ pd 3 also auch 16 W p ¼ pd3 3 ¼ W

393 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 369 Das Quadrat des Widerstandsmoments lässt sich unter der Wurzel ausklammern und dann als 1/W vor die Wurzel schreiben. Bringt man das Widerstandsmoment W nun noch auf die linke Seite der Gleichung, dann erhält man dort das Produkt s v W. In Anlehnung an die Bezeichnung in der Biege-Hauptgleichung (Biegemoment M b ¼ s b W) wird hier das entsprechende Produkt als Vergleichsmoment M v bezeichnet. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M b s v ¼ W þ 3a 0 M T 4W s v ¼ 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M b þ 3 W 4 ða 0 M T Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s v W ¼ M b þ 0,75ða 0 M T Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M v ¼ M b þ 0,75ða 0 M T Þ Vergleichsmoment Das Vergleichsmoment M v lässt sich auch zeichnerisch bestimmen (rechtwinkliges Dreieck, Lehrsatz des Pythagoras), wenn man beachtet, dass 0,866 a 0 M T ¼ 0,75 (a 0 M T ) ist. Entsprechend der Biege-Hauptgleichung schreibt man s v ¼ M v =W s bzul und entwickelt daraus mit W ¼ 0,1d 3 eine Gleichung für den erforderlichen Durchmesser einer Welle mit Kreisquerschnitt. Ebenso kann man bei Kreisquerschnitt verfahren und W erf ¼ M v =s b zul ¼ 0,1d 3 erf ð1 q4 Þ schreiben, wenn man q ¼ d i =d setzt. Auf diese Weise erhält man auch für den Kreisringquerschnitt eine Gleichung für den erforderlichen Aussendurchmesser d. Zeichnerische Bestimmung des Vergleichsmoments M v rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d erf M v s b zul 3 M v d erf ¼ 0,1s bzul N mm Nmm mm gilt für Kreisquerschnitt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d erf ¼ 3 M v 0,1s bzul ð1 q 4 Þ gilt für Kreisquerschnitt mit: q ¼ Innendurchmesser d i Außendurchmesser d Ûbung zu Biegung und Torsion Der gefährdete Querschnitt einer Getriebewelle (Kreisquerschnitt) wird durch ein Biegemoment und ein Torsionsmoment beansprucht. Daraus sollen Vergleichsmoment und Wellendurchmesser bestimmt werden. Für das Anstrengungsverhältnis wird a 0 ¼ 0,7 eingesetzt (siehe Seite 368). q M v ¼ Lösung: Die Lösung macht keine Schwierigkeiten, weil hier nur mit den entwickelten Gleichungen zu arbeiten ist. Aufgaben Nr Gegeben: M b ¼ 416 Nm M T ¼ 00 Nm s bzul ¼ 60 N=mm,gewählt a 0 ¼ 0,7 Gesucht: M v und d ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M b þ 0,75ða 0 M T Þ q M v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð NmmÞ þ 0,75ð0, NmmÞ M v ¼ 43, Nmm rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M 3 v d erf ¼ ¼ u Nmm t3 0,1s b zul 0,1 60 N mm d erf ¼ 41,6 mm d ausgeführt ¼ 4 mm ðnormmaßþ

394 370 5 Festigkeitslehre Lehrbeispiel: Berechnung einer Getriebewelle Aufgabenstellung: Ein Getriebe mit Geradzahn-Stirnrädern (Eingriffswinkel a ¼ 0 ) soll eine Gesamtübersetzung P=8kW n = 960 min 1 Rad 1 Rad 3 Welle I i 1 70 i ges ¼ n 1 n 4 ¼ 960 min 1 ¼ min durch zwei Zahnradpaare ermöglichen. Die Entwurfsberechnung ergab die Teilkreisdurchmesser: d 1 ¼ 48 mm d ¼ 40 mm i 1 ¼ 5 d 3 ¼ 7 mm i ¼ 4 d 4 ¼ 88 mm Rad Rad Getriebeskizze i II III Es wird die Aufgabe gestellt, den Durchmesser für die Getriebewelle II festzulegen, für die Werkstoff E335 verwendet werden soll. Da der Wirkungsgrad h für Zahnradgetriebe sehr gut ist (hier etwa h 0,96), kann er bei Festigkeitsrechnungen unberücksichtigt bleiben. Lösung: Die zu übertragenden Drehmomente können aus gegebener Antriebsleistung P ¼ 8 kw und Antriebsdrehzahl n ¼ 960 min 1 berechnet werden. M ¼ 9550 P n F u M M ¼ F u d d d M I ¼ 9550 P n ¼ Nm ¼ 79,583 Nm 960 M II ¼ M I i 1 ¼ 79,583 Nm 5 ¼ 397,915 Nm M III ¼ M II i ¼ 397,915 Nm 4 ¼ 1591,66 Nm Aus den errechneten Drehmomenten ergeben sich die Umfangskräfte am Teilkreisumfang: F u ¼ M II d F u3 ¼ M II d 3 ¼ 397, Nmm ¼ 3316 N 40 mm ¼ 397, Nmm ¼ N 7 mm F 3 F u F I Rad 1 Wälzpunkt C 1 Rad Rad 3 II Die Umfangskräfte F u und F u3 sind Komponenten der in Eingriffsrichtung auf die Zähne wirkenden Zahnkräfte F und F 3. Der Eingriffswinkel beträgta ¼ 0. Beginn des Eingriffs F u3 Wälzpunkt C 3 F u3 F 3 = cos III Rad 4 F u3 C 3 Eingriffslinie Wälzvorgang in C 3 vergrößert Ende des Eingriffs

395 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 371 Beachte: F 3 ist die von Rad 4 auf Rad 3 ausgeübte Kraft. Die Kraftrichtungen nach dem Gefühlprüfen: Zahnrad muss von Rad 1 nach unten, Rad 3 dagegen von Rad 4 nach oben gedrückt werden. F ¼ F u cos a ¼ 3316 N cos 0 ¼ 359 N F 3 ¼ F u3 cos a N ¼ cos 0 ¼ N Diese Zähnekräfte F und F 3 beanspruchen die Welle II auf Verdrehung und Biegung: Man bringt in den Radmittelpunkten je zwei Kräfte F bzw. F 3 an (zweite und vierte statische Grundoperation), dann ergibt sich je ein Kräftepaar (Drehmoment M II ) und eine Einzelkraft (Biegekraft F und F 3 ). F Rad 1 F x 40 Kräftepaar erzeugt + M II F II Biegekraft F3 F 3 F 3x 0 II F 3y Rad 3 Biegekraft F F y Rad Rad 4 Kräftepaar erzeugt M II F 3 III Die Kräftepaare ergeben Momente, die gleich groß sind und sich entgegenwirken: þm II M II ¼ 0; Welle II wird davon auf Verdrehung beansprucht. Die Komponenten F x und F y der Biegekräfte F und F 3 sind aus dem Krafteck abzulesen: F y ¼ F sin 40 ¼ 359 N sin 40 ¼ 68 N F x ¼ F cos 40 ¼ 359 N cos 40 ¼ 703 N F 3y ¼ F 3 sin 0 ¼ N sin 0 ¼ 403 N F 3x ¼ F 3 cos 0 ¼ N cos 0 ¼ N Die perspektivische Belastungsskizze gibt Aufschluss über die Weiterentwicklung der Rechnung: Lager A Rad F Ax F Ay Welle II F 3y Rad 3 F x F y F By 10 F 3x F Bx Lager B

396 M res 37 5 Festigkeitslehre Man bestimmt nun die Stützkraft-Komponenten F Ax,F Ay,F Bx,F By mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen (aus Platzgründen kann hier SM ¼ 0 nicht ausgeschrieben werden): waagerechte Ebene senkrechte Ebene SM ðaþ ¼ 0 ¼... SM ðaþ ¼ 0 ¼... F Bx ¼ F x 80 mm þ F 3x 00 mm 80 mm F Bx ¼ 8667 N F By ¼ F 3y 00 mm þ F y 80 mm 80 mm F By ¼ 6 N SF x ¼ 0 ¼þF Ax F x F 3x þ F Bx F Ax ¼ 5089 N SF y ¼ 0 ¼þF Ay F y þ F 3y F By F Ay ¼ 471 N Die Komponenten werden geometrisch addiert: F A ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F Ax þ F Ay ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5089 N þ 471 N ¼ 5111 N F B ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F Bx þ F By ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8667 N þ 6 N ¼ 8948 N Zur Ermittlung der größten Biegebeanspruchung werden für die beiden Ebenen die Momentenflächen gekennzeichnet und zu einer resultierenden Momentenfläche geometrisch addiert. waagerechte Ebene geometrische Addition F Ax F x F 3x F Bx M x =F 80mm = 40,7 10 Nmm Ax 4 Mres3 M3x =F 80mm =69,3 10 Nmm Bx 4 senkrechte Ebene M y = F Ay 80 mm = 3, Nmm M 3y = F By 80 mm = 17,8 104 Nmm F y FBy F Ay F 3y resultierende Momentenfläche M res M res3 Die größte Biegebeanspruchung ist bei Rad 3 vorhanden. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M bmax ¼ M res 3 ¼ M 3x þ M 3y qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M bmax ¼ ð69, NmmÞ þð17, NmmÞ M bmax ¼ 71, Nmm

397 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 373 Die Welle II wird beim Rad 3 beansprucht durch das Biegemoment M bmax ¼ 71, Nmm und das Torsionsmoment M T ¼ 39, Nmm. Weil das Torsionsmoment M T ¼ M II in der Welle II von Rad bis Rad 3 konstant ist, ergibt sich der gefährdete Querschnitt im Punkt der größten Biegebeanspruchung, also bei Rad 3. Das resultierende Moment M v aus Biege- und Torsionsbeanspruchung (¼ Vergleichsmoment) beträgt: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M v ¼ M b þ 0,75ða 0 M T Þ Bei gleichbleibender Drehrichtung liegt wechselnde Biege- und schwellende Torsionsbeanspruchung vor, also a 0 ¼ 0,7 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M v ¼ ð71, NmmÞ þ 0,75ð0,7 39, NmmÞ M v ¼ 75, Nmm Nach Abschnitt (Seite 368) lässt sich das Vergleichsmoment M v auch zeichnerisch bestimmen. Beachte: 0,866 a 0 M T ¼ 0,866 0,7 M T ¼ 0,606 M T. Momentenmaßstab M M ¼ Nmm cm (1 cm ¼b Nmm) 0,606 M T M v M bmax Ergebnis: M v ¼ 5cm Nmm cm ¼ Nmm Mit dem Vergleichsmoment M v und der zulässigen Biegespannung kann der Wellendurchmesser bestimmt werden: s v ¼ M v W s bzul W ¼ 0,1d 3 für den Kreisquerschnitt eingesetzt und nach d aufgelöst : sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 M v N d erf ¼ s b zul ¼ 80 0,1s bzul mm gewählt vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 75,51 10 d erf ¼ 4 Nmm u3 t 0,1 80 N mm d erf ¼ 45,53 mm d ¼ 46 mm gewählt ðnormmaßþ

398 374 5 Festigkeitslehre 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm Beim Zugversuch nach DIN EN 1000 wird eine Zugprobe allmählich verlängert und die dabei von der Zugprüfmaschine angezeigte Zugkraft F ermittelt. Aus der Zugkraft F wird die auf den Ausgangsquerschnitt A 0 bezogene Zugspannung s z ¼ F=A 0 berechnet. Ebenso aus der Längenänderung Dl die auf die Messlänge l 0 bezogene Dehnung e. Zu jeder berechneten Spannung gehört ein bestimmter Dehnungswert. Trägt man die Spannung s über der Dehnung e in ein rechwinkliges Achsenkreuz ein, dann erhält man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Bis zum Punkt E verhält sich Stahl elastisch. Der zugehörige Festigkeitswert ist die Elastizitätsgrenze s E. Bei anschließender Entlastung ist keine bleibende Dehnung festzustellen. Bis zum Punkt P ist der Spannungsanstieg geradlinig, also gilt bis zur Proportionalitätsgrenze s P das Hooke sche Gesetz s ¼ ee. Der Elastizitätsmodul E erscheint im schraffierten Dreieck als Tangens des Neigungswinkels der Spannungslinie (tan j ¼b E). Die den Punkten P und E entsprechenden Festigkeitswerte (Proportionalitäts- und Elastizitätsgrenze) sind nicht leicht zu bestimmen. Anders dagegen ist es mit Punkt S (Streckgrenze R e ). Er ist durch einen plötzlichen Spannungsabfall deutlich markiert (jedenfalls bei weichem Stahl) und erscheint in allen Festigkeitsangaben. Die Streckgrenze ist der wichtigste Festigkeitswert bei statischer (ruhender) Belastung. Den eigentümlichen Zustand des Spannungsabfalls bei fortschreitender Verlängerung des Stabes nennt man Fließen des Werkstoffes. Es gibt Werkstoffe ohne erkennbare Streckgrenze (z. B. legierte Stähle). Als gleichwertigen Ersatz ermittelt man für diese Werkstoffe die 0, %- Dehngrenze und nennt die dort wirkende Spannung R p0,. Verlängerung Dl Dehnung e ¼ Ursprungslänge l 0 e ¼ Dl l 0 ¼ l l 0 l 0 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl (schematisch) Zusammenfassung der Festigkeitswerte für Zugbeanspruchung (Tabelle 5.8, Seite 384): s E s P Elastizitätsgrenze Proportionalitätsgrenze von geringerer Bedeutung R e Streckgrenze, wichtigster Kennwert, für S35JR z. B. R e ¼ 35 N/mm R m Zugfestigkeit für S35JR z. B. R m 360 N/mm R p0, e Dl, l, l 0 1 mm 0, %-Dehngrenze ist die Spannung, bei der nach Entlastung der Zugprobe eine bleibende Dehnung e ¼ 0, % zurückbleibt.

399 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit Einflüsse auf die Festigkeit des Bauteils Beanspruchungsart und Festigkeit Die verschiedenen Beanspruchungsarten (Zug, Abscheren, Biegung usw.) rufen in den Bauteilen Spannungen verschiedener Richtung (Normal- und Schubspannungen) hervor. Auch die Spannungsverteilung über dem Querschnitt ist z. B. bei Zug und Biegung verschieden, so dass es einleuchtet, dass die Festigkeitswerte für die einzelnen Beanspruchungsarten zum Teil recht unterschiedlich sind. Den erheblichen Unterschied zwischen Zug- und Druckfestigkeit bei Gusseisen erklärt der Gefügeaufbau: Die zwischen den Korngrenzen liegenden Graphitteilchen vermindern bei Zugbeanspruchung den Zusammenhang der Körner, während sie bei Druck mittragen. Stahl hält im Gegensatz zu Gusseisen bei Zugund Druckbeanspruchung gleich viel aus. Andere Festigkeitswerte werden von der Art der Beanspruchung beeinflusst. So ändert sich beispielsweise die Streckgrenze bei E95 in folgender Weise: R e bei Zug ¼ 80 N/mm R e bei Biegung ¼ 350 N/mm R e bei Verdrehung ¼ 190 N/mm Beispiel: Die Zugfestigkeit R m von GJL-00 bei Raumtemperatur beträgt (siehe Tabelle 5.9, Seite 384): Zugfestigkeit R m ¼ 00 N/mm Druckfestigkeit s db ¼ 70 N/mm Biegefestigkeit s bb ¼ 90 N/mm s db 4 R m (gilt nur für GJL) Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion) zu berücksichtigen Temperatur und Festigkeit Bei höherer Temperatur als 0 ºC wird die Festigkeit des Werkstoffs vermindert. Zum Vergleich die Streckgrenzwerte für GJMW-400-5: R e bei 0 ºC ¼ 0 N/mm R e bei 00 ºC ¼ 180 N/mm R e bei 300 ºC ¼ 140 N/mm Beachte: Bei der Auswahl der Festigkeitswerte ist die Temperatur zu berücksichtigen Belastungsart und Festigkeit Die Festigkeit eines Bauteils ist nicht nur von der Beanspruchungsart wie Zug, Verdrehung usw. abhängig; sie wird außerdem sehr stark beeinflusst durch die Belastungsart, d. h. durch den zeitlichen Verlauf der jeweils vorliegenden Spannung. Beachte: Man unterscheidet drei idealisierte Belastungsfälle: ruhende, schwellende und wechselnde Belastung (Fall I, II und III).

400 376 5 Festigkeitslehre a) Ruhende (statische) Belastung Wird ein Blechband nach Skizze im Schraubstock in eine Richtung gebogen und dort festgehalten, liegt festigkeitstechnisch statische oder ruhende Belastung vor. Die Spannung s steigt dabei von null auf einen Höchstwert an und bleibt dann gleich groß. Diese Belastungsart wird als Belastungsfall I bezeichnet. Er kann bei jeder Beanspruchungsart auftreten (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Man unterscheidet in der Zustandsbeschreibung zwischen Belastung und Beanspruchung. Für Festigkeitsrechnungen maßgebend ist die im Zugversuch nach DIN ermittelte Streckgrenze R e oder die für festere Stahlsorten entsprechende 0, %-Dehngrenze R p0, (siehe 5.1.1) und Tabelle 5.8 (Seite 384). b) Schwellende (dynamische) Belastung Wird das Blechband fortwährend in eine Richtung gebogen und von dort in die Ausgangsstellung zurückgeführt, ist das schwellende Belastung. Die Spannung s schwillt dabei zwischen null und einem Höchstwert an und ab. Die Zeitdauer einer solchen Schwingung ist festigkeitstechnisch ohne Einfluss. Diese Belastungsart ist als Belastungsfall II bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten. Für Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch nach DIN ermittelte Schwellfestigkeit s Sch oder t Sch maßgebend (Werte in Tabelle 5.8). c) Wechselnde (dynamische) Belastung Wird das Blechband fortwährend in entgegengesetzte Richtungen gebogen, ist das wechselnde Belastung. Ebenso wie die Belastung F wechselt die Spannung s ihre Richtung zwischen gleich großen Plus- und Minuswerten. Auch hier ist die Schwingungsfrequenz festigkeitstechnisch ohne Einfluss. Diese Belastungsart ist als Belastungsfall III bekannt. Er kann ebenfalls bei jeder Beanspruchungsart auftreten. Belastungsart ruhend Belastungsart schwellend Die Schwellfestigkeit ist diejenige Spannung, die ein schwellend belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd erträgt, ohne zu brechen. Balastungsart wechselnd

401 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 377 Für Festigkeitsrechnungen an Bauteilen, die in dieser Weise belastet werden, ist die im Dauerschwingversuch nach DIN ermittelte Wechselfestigkeit s W oder t W maßgebend (Werte in Tabelle 5.8). Wie Tabelle 5.8 zeigt, ist die Wechselfestigkeit immer kleiner als die entsprechende Schwellfestigkeit: Ein wiederholt hin- und her gebogenes Bauteil bricht nach einer geringeren Anzahl Lastwechsel als ein schwellend belastetes Teil. Die Wechselfestigkeit ist diejenige Spannung, die ein wechselnd belasteter, glatter, polierter Probestab dauernd erträgt, ohne zu brechen Gestalt und Dauerfestigkeit Die Festigkeitswerte s Sch, t Sch, s W, t W aus dem Dauerschwingversuch nach DIN werden mit dem Sammelbegriff Dauerfestigkeit s D, t D bezeichnet. Man ermittelt sie an glatten, polierten Stäben mit einem Durchmesser von 7 bis 15 mm, am häufigsten als Biegewechselfestigkeit s bw. Sollen die an Probestäben gemessenen Festigkeitswerte auf Bauteile anderer Größe, Form und Oberfläche übertragen werden, dann ist noch zu beachten: a) Größe und Dauerfestigkeit Die Dauerfestigkeitswerte nehmen vor allem bei Biegebeanspruchung mit steigendem Durchmesser ab. Bei Großteilen muss also mit kleineren Werten gerechnet werden. b) Form und Dauerfestigkeit Die meisten Bauteile weichen von der Form des Probestabs ab, hauptsächlich durch Kerben jeder Form. Im erweiterten Sinn ist jede schroffe Querschnittsänderung eine Kerbe. Die Kerbe ruft im Querschnitt örtliche Spannungsspitzen hervor. Messungen zeigen, dass die Spannungsspitze im Kerbgrund ein Mehrfaches der rechnerischen Spannung betragen kann. Die rechnerische Spannung heißt Nennspannung s n. Die Spannungsspitze wird umso größer, je spitzer die Kerbe ist; jedoch tritt nicht bei allen Werkstoffen die Spannungserhöhung in gleichem Maß auf. Hochlegierte und gehärtete Stähle sind am kerbempfindlichsten, Gusseisen und viele Leichtmetalllegierungen sind wenig kerbempfindlich. Beispiele (siehe Tabelle 5.8, Seite 384): s bsch, E335 ¼ 435 N/mm t t Sch, E95 ¼ 160 N/mm s zw, E360 ¼ 310 N/mm t tw, S35JR ¼ 105 N/mm Beachte: Die Beanspruchungsart wird mit kleinem, die Belastungsart mit großem Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele: 10 % weniger bei 0 mm Durchmesser 0 % weniger bei 30 mm Durchmesser 30 % weniger bei 50 mm Durchmesser 40 % weniger bei 100 mm Durchmesser Beispiele für Kerben: Wellenabsätze, Keilnuten, Bohrungen, Naben. Spannungsverlauf im Kerbquerschnitt (Belastungsart wechselnd, Beanspruchungsart Zug/Druck).

402 378 5 Festigkeitslehre Die tatsächliche örtliche Spannungsspitze s max ist die Kerbspannung, die aus Nennspannung s n und 1) so genannter Kerbwirkungszahl b k berechnet wird. Jede Kerbe verringert demnach die Dauerfestigkeit des Bauteiles mehr oder weniger, wie man am Beispiel eines wechselnd auf Biegung beanspruchten Probestabs erkennen kann. s bwk ist die Kerb- Wechselfestigkeit. Der festigkeitsmindernde Einfluss der Kerbe wird bei hochfesten Stählen besonders deutlich. Die Dauerfestigkeitswerte s Sch, s W, t Sch, t W kennzeichnen diejenige Spannung, die ein glatter, polierter Probestab im Dauerschwingversuch (DIN 50100) dauernd erträgt, ohne zu brechen. Die Kerb-Dauerfestigkeitswerte s Sch K, s WK, t Sch K, t WK geben diejenigen Spannungen an, die ein gekerbter Probestab im Dauerschwingversuch dauernd erträgt, ohne zu brechen. Mit bekannter Kerbwirkungszahl b k und Dauerfestigkeit kann die Kerb-Dauerfestigkeit berechnet werden. Angenommen, die Kerbwirkungszahl b k einer mit Lagerzapfen abgesetzten Welle aus E95 sei bekannt (b k ¼ 1,8). Die Welle wird wechselnd auf Biegung beansprucht. Dann kann mit dem Festigkeitswert aus Tabelle 5.8 (Seite 384), die Kerbwechselfestigkeit s bwk berechnet werden. c) Oberfläche und Dauerfestigkeit Die Probestäbe sind poliert und geläppt. Eine andere Oberflächengüte setzt die Dauerfestigkeit des Bauteils herab. Oberflächendrücken, Härten und Ziehen kann dagegen die Dauerfestigkeit deutlich erhöhen. s max ¼ s n b k Beispiel: Biege-Wechselfestigkeit des glatten, polierten und des gekerbten (Index K) Stabes aus E95. s bw, glatt ¼ 45 N=mm ðtabelle 5:8; Seite 384Þ s bwk ¼ 136,1 N=mm Beispiel: Für Federstahl beträgt: s bw ¼ 560 N=mm ðwechselfestigkeitþ s bwk ¼ 70 N=mm ðkerb-wechselfestigkeit) Das Verhältnis von Dauerfestigkeit zur Kerb- Dauerfestigkeit nennt man die Kerbwirkungszahl b k ¼ Dauerfestigkeit Kerb- Dauerfestigkeit b k ¼ s D s DK Kerbwirkungszahl (Tabelle 5.7, Seite 384) Die Kerbwirkungszahl b K ist abhängig vom Werkstoff, von der Kerbform und von der Beanspruchungsart des gekerbten Stabes. s DK ¼ s D b k Kerb-Dauerfestigkeit Beispiel: s bw, E95 ¼ 45 N=mm (Tabelle 5.8) s bwk ¼ s bw b k N 45 ¼ mm 1,8 ¼ 136,1 N mm Hinweis: Man rechnet mit einem Abzug von 10% bei geschliffener Oberfläche, von 0% bei geschlichteter Oberfläche und von 30% bei Walz-, Glüh- oder Gusshaut. 1) Beachte: Zu den Rechnungen nach der FKM-Richtlinie (siehe ) wird mit der Kerbwirkungszahl K f gearbeitet.

403 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit Spannungsbegriffe Nennspannung Berechnet man die Normal- oder Schubspannung (s, t) mit den klassischen Gleichungen der Festigkeitslehre (wie im Buch), z. B. die Normalspannung s z ¼ F=A in einem Zugstab, wird die Zuspannung als Zug-Nennspannung s z, n bezeichnet. Vereinbart gelten die Bedingungen: a) gleichmäßig verteilter Kraftfluss über dem belasteten Querschnitt, b) es treten nur elastische Verformungen auf, c) die Schnittflächen bleiben dabei eben Úrtliche Spannung Bei den praktisch verwendeten Bauteilen treten die obigen Bedingungen selten zusammen auf. Die Bauteile weichen von der idealisierten Form des glatten, polierten Probestabs im genormten Zugversuch ab, z. B. durch Kerben aller Art (Rundkerbe, Spitzkerbe), durch Absätze mit unterschiedlichen Abrundungsradien, durch Querbohrungen und Wanddurchbrüche. Dadurch ändern sich Verlauf und Dichte der Kraftflusslinien, sie werden an Querschnittsübergängen zusammengedrängt und die auftretende Spannung wird um eine Formzahl größer als die berechnete Nennspannung s z, n ¼ F=A. Diese Spannung nennt man örtliche Spannung oder Kerbspannung Zulässige Spannung Die zulässige Spannung wird zur Bestimmung geometrischer Größen am Bauteil gebraucht. Beispielsweise soll der erforderliche Querschnitt A erf (Durchmesser d) eines Zugankers aus Stahl S35JR bei gegebener maximaler Zugkraft F max ¼ 50 MN ermittelt werden. Es liegt schwellende Belastung vor. Für die Zugbeanspruchung gilt die Nennspannungsgleichung s z, n ¼ F=A oder A erf ¼ F max =s zzul. Zur Wahl der zulässigen Spannung s zzul wird der Werkstoffkennwert K w des Werkstoffs zugrunde gelegt. Bei ruhender Belastung wäre dies die Streckgrenze R e des Werkstoffs: K w ¼ R e ¼ 35 N/mm (Tabelle 5.8, Seite 384 für S35JR). In festigkeitstechnische Entwurfsberechnungen führt man den Ausnutzungsgrad n < 1 ein und setzt s z zul ¼ s z Entwurf ¼ n K w ¼ n R e. Bei dynamischer Belastung wird als Werkstoffkennwert K w die Schwell- oder Wechselfestigkeit (Tabelle 5.8) eingesetzt (K w ¼ s zsch oder s z, dw ). Mit s z Sch, S35JR ¼ 158 N=mm und Ausnutzungsgrad n ¼ 0,8 für schwellende Belastung und geschmiedetes Bauteil erhält man den gesuchten erforderlichen Durchmesser d erf ¼,5 mm. Weitere Rechnungen werden mit dem nächst höheren Normmaß d Norm ¼ 5 mm durchgeführt. Spannungs-Dehnungs-Diagramm (schematisch) sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4F max d erf ¼ ¼ p n s z; Sch sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 N mm ¼,5 mm p 0,8 158 N d Norm ¼ 0

404 380 5 Festigkeitslehre Berechnungen im Buch Aufgaben zur Festigkeitslehre werden im Lehrbuch (Beispiele, Ûbungen) und im Lösungsbuch zur Aufgabensammlung 1) auf folgenden Wegen gelöst: a) Gestalt und Bemaßung des Bauteils sind in einer Konstruktionsskizze dargestellt: Mit den Gesetzen der Statik werden die von außen auf das Bauteil einwirkenden Kräfte F (Normal- und Querkräfte) und Momente M (Dreh-, Biege- und Torsionsmomente) ermittelt. Mit diesen Größen lassen sich die inneren Kräfte und Momente bestimmen (siehe 5.1.7, Seite 70). Daraus können die auftretenden Nennspannungen s vorh und t vorh und die Formänderungen (z. B. Längenänderungen Dl) am vorhandenen Bauteil berechnet werden. b) Vom geplanten Bauteil sind die Hauptmaße für eine Entwurfsskizze zu berechnen: Die Hauptabmessungen wie Kantenlängen l oder Durchmesser d am Entwurf werden mit einer zulässigen Spannung s zul und t zul ermittelt. Man nennt diese Entwurfsberechnung das Dimensionieren des Bauteils. Dazu ist eine zulässige Spannung vorzugeben (s zul ¼ s Entwurf ), die aus Tabellen entnommen oder aus Erfahrungswerten festgelegt werden kann. Für die Festigkeitsrechnungen im Lehrbuch und für die entsprechenden Aufgaben in der Aufgabensammlung werden die Bezeichnungen s zul ¼ s Entwurf methodisch gleichwertig verwendet Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau Ziel aller Festigkeitsrechnungen ist die Ermittlung der vorhandenen Spannung und der Nachweis, dass ein konstruiertes Bauteil mit Sicherheit hält. So muss seine geforderte oder erwartete Tragfähigkeit unter allen denkbaren Umständen gewährleistet sein, es darf z. B. auch bei Dauerbelastung in der vorgeschriebenen Lebensdauer nicht brechen oder seine Form bleibend so verändern, dass es seine Funktion nicht mehr ausreichend erfüllt. Das gilt für den Maschinen- und Gerätebau ebenso wie für den Stahlbau- und Stahlhochbau (Brücken- und Gebäudebau), den Schiffs- und Flugzeugbau. Am Ende dieser Berechnungen steht der Zahlenwert für die Sicherheit S geforderter Mindestsicherheit S min. Die Festigkeitsrechnung beginnt mit dem Festlegen der Entwurfs- oder Dimensionierungsspannung s Entwurf s zul. Damit werden die Hauptmaße der Konstruktion berechnet, z. B. der Durchmesser einer Welle an einer bestimmten Stelle, dem sog. gefährdeten Querschnitt. Mit der Wahl des Werkstoffs liegen die Festigkeitsgrößen vor, z. B. die Zug-, Druck-, Biegeund Torsions-Wechselfestigkeit (s zw, s dw, s bw, t tw ) oder die entsprechenden 0,%-Dehngrenzen (R p 0, ). Diese aus Tabellen greifbaren Werte sind an genormten (glatten, polierten) Probestäben ermittelt worden (also nicht am Maschinenbauteil selbst) oder an Bauteilen mit anderer Oberflächenbeschaffenheit, anderer Form usw. Zur Ermittlung der sog. Gestaltfestigkeit werden Faktoren K in die Berechnung der Sicherheit S D gegen Dauerbruch (Dauerhaltbarkeit) oder gegen bleibende Verformung (Fließgrenze) eingeführt, z. B. der Rauheitsfaktor K Fs oder die Kerbwirkungszahl K f, die aus der Kerbformzahl K t berechnet werden kann. Auf diese Weise wird z. B. die Biegewechselfestigkeit des Probestabs s bw in die Biegewechselfestigkeit s bwk des gekerbten Stabs umgerechnet. 1) Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik, Böge/Schlemmer, 15. Auflage 011, Vieweg þ Teubner

405 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 381 Die dazu erforderlichen Rechnungsgänge, Methoden und Tabellen liegen unter anderem vor in: FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile, 5. erweiterte Ausgabe 003, VDMAVerlag; DIN 743 Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen, Oktober 000; VDI-Richtlinie, VDI 30: Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen Dauerbruchsicherheit Sicherheit S D bei ruhender Belastung Ruhende Belastung ist im Maschinenbau selten. Der zugehörige Festigkeitswert ist für Baustahl die Streckgrenze R e des verwendeten Werkstoffs und der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0, %-Dehngrenze R p 0, (siehe 5.1.1). Eine Ûbersicht gibt Tabelle 5.8. Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit R m und die Bruchfestigkeiten s db, s bb aus Tabelle 5.9 verwendet. S D ¼ R e s n ¼ R p0; s n S min ¼ 1,5 (gilt für Stahl; s n Nennspannung) S D ¼ R m s n S min ¼,0 (gilt für Gusseisen) Kerbwirkungen sind beim Belastungsfall I (ruhend) nicht zu berücksichtigen. Die Bruchgefahr wird bei Ruhelast durch Kerben nicht erhöht, sondern durch Stützwirkung weniger belasteter Stoffteilchen eher vermindert. Bei GJL (Lamellengusseisen) ist die Kerbwirkung durch das schon von Graphitteilchen vorgekerbte Gefüge selbst bei dynamischer Belastung (schwellend, wechselnd) kaum spürbar (Kerbwirkungszahl b k ¼ 1) Sicherheit S D bei dynamischer Belastung Schwellende und wechselnde Belastung tritt im Maschinenbau am häufigsten auf. Der zugehörige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit s D des verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug=Druck, Biegung, Torsion). S D ¼ s D b 1 b b k s n S min ¼ 1, (für Bauteile mit Kerbwirkung) s n Nennspannung, b 1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm, b Größenbeiwert, siehe Diagramm, b k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7 (Seite 384).

406 38 5 Festigkeitslehre Die Dauerfestigkeit s D des Probestabs wird durch die Faktoren b 1, b, b k verringert, sie erhalten in der neueren Literatur 1) zum Teil andere Bezeichnungen z. B. K f, b statt b k, b für die Kerbwirkungszahl bei Biegebeanspruchung. Die vorhandene Sicherheit v vorh lässt sich mit der Dauerfestigkeit, der Nennspannung s n und den beiden Beiwerten für Oberflächen- und Größeneinfluss sowie der Kerbwirkungszahl b k bestimmen. Die Nennspannung s n ist die Spannung, die mit Hilfe der bekannten Hauptgleichungen berechnet wurde. Der Oberflächenbeiwert b 1 berücksichtigt das Zurückgehen der Dauerfestigkeit durch Oberflächenrauigkeiten (Schleif- oder Drehriefen, Poren, Walznarben). v vorh ¼ s Db 1 b s n ¼ mindestens 1, bei Bauteilen ohne Kerbwirkung v vorh ¼ s Db 1 b s n b k ¼ mindestens 1, bei Bauteilen mit Kerbwirkung, b k bekannt Der Größenbeiwert b berücksichtigt das Zurückgehen der Dauerfestigkeit mit zunehmender Baugröße. b kann nur für Wellen angegeben werden Ûbungen zur Dauerfestigkeit 1. Ûbung: Ein Bauteil aus S35JR wird durch F ¼ 6000 N schwellend auf Zug beansprucht. Gefährdeter Querschnitt A ¼ 100 mm Kerbwirkungszahl b k ¼ 3,1. Die vorhandene Sicherheit und die maximale Spannung sollen berechnet werden. Lösung: Die Nennspannung s n wird immer aus den bekannten Hauptgleichungen berechnet, hier also aus der Zug-Hauptgleichung. Gegeben: Werkstoff S35JR Zugkraft F ¼ 6000 N Belastungsfall II (schwellend) Querschnitt A ¼ 100 mm Kerbwirkungszahl b k ¼ 3,1 Gesucht: Vorhandene Sicherheit S D; vorh Spannungsspitze s max s n ¼ F A ¼ 6000 N 100 mm ¼ 60 N mm 1) z. B. FKM-Richtlinie für den rechnerischen Festigkeitsnachweis, siehe Seite 381

407 5.1 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit 383 Aus Tabelle 5.8 wird die Zug-Schwellfestigkeit des Werkstoffs S35JR entnommen (s z Sch ¼ 158 N=mm ) und bestimmt damit die vorhandene Sicherheit. Die Spannungsspitze ist das Produkt aus Nennspannung und Kerbwirkungszahl. Die Rechnung zeigt, dass s max > s z Sch ist. Abschließend bestimmt man noch die Festigkeit des gekerbten Bauteils, die Kerb-Dauerfestigkeit s DK. Sie soll größer sein als die geforderte Mindestsicherheit S min ¼ 1,.. Ûbung: Für eine auf Biegung schwellend beanspruchte Achse aus S75JO ist die vorhandene Sicherheit S vorh zu ermitteln. Der Querschnitt ist durch eine Sicherungsring- Kerbe geschwächt. Lösung: Aus Tabelle 5.8 wird die Schwellfestigkeit s b Sch ¼ 30 N=mm entnommen, aus Tabelle 5.7 die Kerbwirkungszahl b k 3für Sicherungskerben. Die vorhandene Nennspannung beträgt mit d ¼ 50 mm s n ¼ 5,5 N/mm. Mit dem Oberflächenwert b 1 ¼ 0,85 (geschlichtet) und mit dem Größenbeiwert b ¼ 0,7 (für mm) kann die Sicherhet S D gegen Dauerbruch berechnet werden. Die vorhandene Sicherheit ist größer als die Mindestsicherheit: S D vorh ¼,5 > S min ¼ 1,. 3. Ûbung: Der gefährdete Querschnitt des skizzierten Flachstabs wird mit einer Zugspannung (Nennspannung) s z, n ¼ 60 N/mm schwellend beansprucht. Zu ermitteln ist die Sicherheit S D gegen Dauerbruch. Lösung: Mit s z Sch ¼ 158 N=mm aus Tabelle 5.8 und b k ¼ 1,8 aus Tabelle 5.7 für Flachstäbe mit Querbohrung sowie b 1 ¼ 0,8 (geschruppt) und b ¼ 1 (geschätzt) ist die Sicherheit S D vorh ¼ 1,17 < S min ¼ 1,. v vorh ¼ s zsch ¼ s n b k s max ¼ s n b k ¼ 60 s DK ¼ s z Sch K ¼ s z Sch b k 158 N mm 60 N mm 3,1 Gegeben: Werkstoff S75JO Belastungsfall II Biegebeanspruchung Durchmesser d ¼ 50 mm Gesucht: Sicherheit gegen Dauerbruch S D ¼ s D b 1 b b k s n 30 ¼ ¼ 0,85 N 3,1 ¼ 186 N mm mm N 158 mm ¼ 3,1 N mm ¼ 51 N mm 0,85 0,7 ¼,5 > S min 3 5,5 N mm s n Nennspannung, b 1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm, b Größenbeiwert, siehe Diagramm, b k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 5.7. Gegeben: Werkstoff S35JR Belastungsfall II Zugbeanspruchung Nennspannung 60 N/mm Gesucht: Sicherheit S D S D ¼ s D b 1 b b k s n ¼ 158 N 0,8 1,0 mm 1,8 60 N mm ¼ 1,17

408 384 5 Festigkeitslehre Tabelle 5.7 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl b k Kerbform Beanspruchung Werkstoff b k Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung für Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Querbohrung in Achse (Schmierloch) Bohrung in Flachstab Bohrung in Flachstab Welle an Ûbergangsstelle zu festsitzender Nabe Biegung Verdrehung Biegung und Verdrehung Biegung Verdrehung Biegung Biegung Verdrehung Verdrehung Biegung und Verdrehung Zug Biegung Biegung und Verdrehung fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} S35JR-E335 CrNiSt S35JR-E335 CrNiSt S35JR-E335 1,5..., 1,3...1, ,5...,0 1,3...1,8 1,5 1,8,3,8 1,4...1,7 1,6...1,8 1,3...1,5 Tabelle 5.8 Festigkeitswerte für Stähle (alle Werte in N/mm ) Werkstoff R m R e, R p0, s zd Sch s zd W s bsch 5Þ s bw t t Sch 6Þ t tw Elastizitätsmodul E Schubmodul G S35JR S75JO E95 S355JO E335 E CrMo4 ) 0 MnCr5 3) 34 CrAlNi7 4) ) 5) Richtwerte für d B < 16 mm, ) Vergütungsstahl, 3) Einsatzstahl, 4) Nitrierstahl, berechnet mit 1,5 s bw, 6) berechnet mit 1,1 t tw Tabelle 5.9 Festigkeitswerte für Gusseisen (alle Werte in N/mm ) Werkstoff R m R e, R p0, s db s bb s zdw s bw t tw Elastizitätsmodul E Schubmodul G GJL-150 GJL-00 GJL-50 GJL-300 GJL-350 GJMW GJMB Diese Werte gelten für mm Wanddicke; für 8 15 mm 10% höher, für > 30 mm 10% niedriger; Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 0 % Abzug.

409 385 6 Fluidmechanik Formelzeichen und Einheiten 1) F, F I,F D N Kraft, Impulskraft, Druckkraft I_ N Impulsstrom m kg Masse _m kg/s Massenstrom p N/m ¼ Pa Druck R e 1 Reynolds sche Zahl (Re-Zahl) t s Zeit V m 3 Volumen V_ m 3 /s Volumenstrom v m/s Strömungsgeschwindigkeit a 1 Durchflusszahl bei Blenden z 1 Widerstandszahl eines einzelnen Hindernisses in Rohrleitungen h kg/m s 1 ¼ Pa s dynamische Viskosität l 1 Widerstandszahl für Rohrleitungen m 1 Ausflusszahl n m /s kinematische Viskosität; n ¼ h=r r kg/m 3 Dichte j 1 Geschwindigkeitszahl 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) Eigenschaften der Flüssigkeiten Flüssigkeiten unterscheiden sich von festen Körpern durch leichte Verschiebbarkeit der Teilchen. Während bei festen Körpern vielfach erhebliche Kräfte nötig sind, um ihre Form zu ändern, ist die Formänderung einer Flüssigkeit ohne Krafteinwirkung möglich, wenn nur hinreichend Zeit zur Verfügung steht. Bei raschem Formwechsel ist auch bei Flüssigkeiten ein Widerstand spürbar; er hat seine Ursache in der Zähigkeit (Viskosität) und der Massenträgheit. In Ruhezuständen oder bei sehr langsamen Bewegungen darf der Widerstand gegen Formänderung gleich null gesetzt werden. Hinweis: Fluid ist die übergeordnete Bezeichung für Flüssigkeiten, Gase und Dämpfe. Das Wort Hydraulik kommt aus dem Griechischen: hydro ¼ Wasser. Im übertragenen Sinn spricht man von Hydraulik auch bei Verwendung anderer Flüssigkeiten, wie z. B. Úl (Úlhydraulik). Die Hydraulik behandelt alle Vorgänge, bei denen Kräfte und Bewegungen durch eine Flüssigkeit übertragen werden. Die Flüssigkeit ist der Energieträger, z. B. im hydraulischen Getriebe, bestehend aus den hydraulischen Elementen Pumpe, Motor und Leitung. Der widerstandslosen Formänderung der Flüssigkeiten steht ihr großer Widerstand bei Volumenänderunggegenüber. Beispielsweise wird es nicht gelingen, 1 Liter Wasser in ein Gefäß von 1/ Liter hineinzupressen. Ebensowenig ist es möglich, 1/ Liter Wasser auf ein Volumen von einem Liter auszudehnen. Erst bei sehr hohen Drücken ist eine kleine Volumenänderung messbar, z. B. in Einspritzleitungen von Dieselmotoren. Wasser drückt sich bei einem Druck von p ¼ 100 MPa (¼ 1000 bar) um ca. 5% zusammen. Stöße und Drücke werden daher in unvermindeter Stärke übertragen, z. B. Wasserschläge in Rohrleitungen und Drücke in hydraulischen Pressen. 1) siehe Fußnote Seite 1 A. Böge, Technische Mechanik, DOI / _6, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

410 386 6 Fluidmechanik 6.1. Hydrostatischer Druck (Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung) In der Festigkeitslehre nennt man die im Inneren eines festen Körpers je Flächeneinheit aufzunehmende Kraft die Spannung. Die Spannung in einer ruhenden Flüssigkeit heißt hydrostatischer Druck oder kurz Druck p. Beachte: Der Druck p steht immer rechtwinklig auf der betrachteten Fläche. Der hydrostatische Druck ist die je Flächeneinheit von außen (oder in ihrem Inneren) auf eine Flüssigkeit wirkende Kraft. p ¼ Kraft F Fläche A hydrostatischer Druck p F A N N m m Die Einheit des Druckes ergibt sich aus der Definitionsgleichung p ¼ F=A: Sie ist der Quotient aus einer Krafteinheit und einer Flächeneinheit. ðpþ ¼ ðfþ ðaþ ¼ N m ¼ Nm ¼ Pascal ðpaþ Die gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) des Druckes p ist das Newton je Quadratmeter. Einheitenname: Pascal mit dem Kurzzeichen Pa: Hinweis: 1 MPa (Megapascal) ¼ 10 6 Pa ¼ 10 6 N m Einheitenname nach Blaise Pascal, N m ¼ 1Pa Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz Jede Flüssigkeit hat eine Masse und folglich auch eine Schwerkraft, die Gewichtskraft F G. In vielen Fällen, z. B. bei hohen Drücken, braucht man sie nicht zu berücksichtigen. Man stellt sich im Inneren einer Flüssigkeit einen flachliegenden Flüssigkeitsquader vor, auf den die Gesetze der Statik fester Körper angewendet werden können.

411 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 387 Es soll das Gleichgewicht gegen Verschieben längs der Prismenachse betrachtet werden wobei man zunächst annimmt, dass die Drücke auf die Stirnseiten (p 1 und p ) verschieden groß sind. Da die Druckkräfte auf den Seitenflächen immer rechtwinklig auf diese Flächen wirken, tragen sie zu den Kräften F 1 und F auf die Stirnflächen nichts bei. Da der Quader in der Flüssigkeit ruht, muss für die auf die Stirnflächen wirkenden Kräfte F 1 und F die Gleichgewichtsbedingung S F ¼ 0 erfüllt sein. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der Druck an beiden Stirnseiten gleich ist. Dasselbe muss auch für die anderen einander gegenüberliegenden Flächen gelten. Daraus ergibt sich das von Pascal aufgestellte Druck-Ausbreitungsgesetz: Der Druck, der auf irgendeinen Teil einer abgesperrten Flüssigkeit ausgeübt wird, breitet sich nach allen Richtungen hin gleichmäßig aus. Beachte: Weil p ¼ F=A ist, ist auch F ¼ pa, also F 1 ¼ p 1 A und F ¼ p A. SF ¼ 0 ¼ F 1 F ¼ p 1 A p A p 1 A ¼ p A! p 1 ¼ p d. h. es herrscht Druckgleichheit: p 1 ¼ p ¼ p 3 ¼... Beachte: Das Druck-Ausbreitungsgesetz, also Druckgleichheit an jeder Stelle der Flüssigkeit, gilt nur ohne Berücksichtigung der Schwerkraft der Flüssigkeit Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes Hydraulischer Hebebock An das vollständig mit Wasser gefüllte Gefäß eines Wasserdruckhebebocks sind zwei Zylinder angeschlossen, in denen Kolben gleiten. Die Kolbenflächen sind A 1 und A. Auf den Kolben mit der Fläche A 1 wirkt die Triebkraft F 1. Es sollen die Beziehungen zwischen den Kolbenkräften, Kolbenflächen und Kolbenwegen untersucht werden. Der Druck in der abgeschlossenen Flüssigkeit ist überall gleich groß. Man kann ihn aus Triebkraft F 1 und Triebkolbenfläche A 1 oder aus der Last F und der Lastkolbenfläche A berechnen. Hat der Triebkolben einen kleineren Durchmesser als der Lastkolben, kann man mit kleiner Triebkraft größere Lasten heben. Hydraulischer Hebebock p ¼ F 1 A 1 ¼ F A ¼...¼ F n A n F 1 F ¼ A 1 A Die Kolbenkräfte verhalten sich zueinander wie die Kolbenflächen.

412 388 6 Fluidmechanik Bewegt sich der Triebkolben um die Strecke s 1 nach unten, so verdrängt er das Volumen V ¼ A 1 s 1. Das vom Triebkolben verdrängte Volumen muss gleich dem vom Lastkolben freigegebenen Raum V ¼ A s sein. V ¼ A 1 s 1 ¼ A s s 1 s ¼ A A 1 Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Kolbenflächen. Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der Ûberlegung, dass die Triebarbeit W ¼ F 1 s 1 gleich der Lastarbeit W ¼ F s sein muss, wenn die Reibung unberücksichtigt bleibt. Für F ¼ pa eingesetzt ergibt sich für das Verhältnis der Kolbenwege s 1 =s ¼ A =A 1. Wird in die zuletzt gefundene Gleichung schließlich für die Fläche A 1 ¼ pd 1 =4 und für die Fläche A ¼ pd =4 eingesetzt, dann erhält man die Beziehung zwischen Kolbenwegen und Kolbendurchmessern. W ¼ F 1 s 1 ¼ F s pa 1 s 1 ¼ pa s s 1 ¼ A s A 1 s 1 ¼ A ¼ pd =4 s A 1 pd 1 =4 s 1 s ¼ d d 1 Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser. Ûbung: Mit einem hydraulischen Hebebock soll am Lastkolben eine Kraft von 80 kn erzeugt werden. Mit einer entsprechenden Hebelübersetzung wird auf den Triebkolben eine Triebkraft von 1, kn ausgeübt. Der hydrostatische Druck im Behälter soll Pa betragen. Ohne Berücksichtigung der Reibung sind die Durchmesser der beiden Zylinder zu bestimmen. Außerdem ist die erforderliche Hebelübersetzung für eine Handkraft von 150 N zu berechnen. Gegeben: Hubkraft F ¼ 80 kn ¼ N Triebkraft F 1 ¼ 1, kn ¼ 1; 10 3 N Druck p ¼ N/m Handkraft F ¼ 150 N Gesucht: Triebkolbendurchmesser d 1 Lastkolbendurchmesser d Hebelübersetzung i Lösung: Aus dem hydrostatischen Druck p, der Triebkraft F 1 und der Hubkraft F können mit Hilfe der Druckgleichung die Kolbenflächen A 1 und A und daraus die Zylinderdurchmesser d 1 und d berechnet werden. Man setzt für 1kN¼ 10 3 N und 10 5 Pa ¼ 10 5 N m in die Gleichungen ein und erhält die Kolbenflächen in der Einheit m. Mit 10 6 m ¼ 1mm kann dann umrechnet werden. Die erforderliche Hebelübersetzung i drückt man durch das Verhältnis der Triebkraft F 1 zur Handkraft F aus. p ¼ F 1 daraus erhält man A 1 A 1 ¼ F 1 p ¼ 1, 103 N N=m ¼, m A 1 ¼ 67 mm d 1 ¼ 18,4 mm p ¼ F daraus erhält man A A ¼ F p ¼ N N=m ¼ 1, m A ¼ mm i ¼ F 1 F ¼ 100 N 150 N ¼ 8 : 1 d ¼ 150,5 mm

413 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) Druckkraft auf gewölbte Böden Der zylindrische Kessel wird in Richtung seiner Längsachse durch die beiden Kräfte F 1 und F belastet. Beide Kräfte sind gleich groß und werden aus dem inneren Ûberdruck p und der kreisförmigen Querschnittsfläche berechnet. Die Querschnittsfläche ist die Projektion der gewölbten Böden auf eine Ebene rechtwinklig zur Kraftrichtung. Im technischen Anwendungsbereich sind die Drücke meist in Pa und die Durchmesser in mm oder cm gegeben. Man sollte diese Größen wie in der vorangegangenen Ûbung vor der Rechnung in die kohärenten Einheiten umrechnen. F 1 ¼ F ¼ p p 4 d F 1, F p d N Pa ¼ N m m Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht Die Kraft F, die einen Kessel oder ein Rohr in radialer Richtung auseinanderzureißen versucht, wird in ähnlicher Weise berechnet wie die Axialkraft auf gewölbte Böden. Die projezierte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen d (lichter Durchmesser) und l (Kessel- oder Rohrlänge). Aus der Beziehung p ¼ F=A ergibt sich die Gleichung für die Kraft F. p ¼ F A ¼ F dl F ¼ pdl F p d, l N Pa ¼ N m m Ist s die Wanddicke des Kessels oder Rohrs, dann erzeugt die Radialkraft F in zwei einander gegenüberliegenden Längsnähten die Zugspannung s ¼ F=A ¼ F= sl. Wird in diese Gleichung für F ¼ pdl eingesetzt, dann erhält man schließlich eine Gleichung für die erforderliche Wanddicke s bei gegebener zulässiger Spannung s zul. s ¼ F A s ¼ pdl sl s erf ¼ Wanddicke pd s zul A Bruchfläche beim Auseinanderreißen; es entstehen zwei Bruchflächen A ¼ sl. Daraus folgt die erforderliche Wanddicke: s p d s zul m Pa ¼ N m m N m

414 390 6 Fluidmechanik Hydraulische Presse Die hydraulische Presse arbeitet wie der hydraulische Hebebock in Auch hier gilt das Druck-Ausbreitungsgesetz. Beim Hebebock wurde die Reibung an den Dichtungsstellen vernachlässigt. Bei der hydraulischen Presse wird die Reibung berücksichtigt. Bei reibungsfreiem Betrieb verhalten sich die Kräfte zueinander wie die Kolbenflächen. Daraus erhält man eine Gleichung für die Presskraft F. p F 1 ¼ A 1 4 d 1 ¼ F A p 4 d F ¼ F 1 d d 1 Presskraft bei reibungsfreiem Betrieb Soll die Reibung berücksichtigt werden, dann muss man sich klar darüber sein, dass die Reibungskräfte an den Dichtungsstellen den Kolbenkräften entgegen wirken. Die Lippendichtungen werden mit dem Druck p an die Kolben auf einer Ringfläche angepresst, die sich aus dem Kolbenumfang pd und der Dichtungshöhe h ergibt. Um in der Flüssigkeit den Druck p zu erzeugen, muss die tatsächliche Triebkraft F 0 1 um die Reibungskraft F R1 größer sein als bei reibungsfreiem Betrieb. Die Presskraft F 0 dagegen ist um die Reibungskraft F R kleiner. Wird das Verhältnis F 0 1 =F 0 ¼ðF 1 þ F R1 Þ=ðF F R Þ gebildet, dann kann man daraus eine Gleichung zur Berechnung der tatsächlichen Presskraft F 0 in Abhängigkeit von der tatsächlichen Triebkraft F 0 1, den Zylinderdurchmessern d 1 und d und der Reibungszahl m zwischen Dichtung und Kolben entwickeln. F R1 ¼ F N1 m ¼ ppd 1 h 1 m F R ¼ F N m ¼ ppd h m F 0 1 ¼ p p 4 d 1 þ ppd 1 h 1 m ¼ p p 4 d 1 1 þ 4m h 1 F 0 ¼ p p 4 d ppd h m ¼ p p 4 d 1 4m h d Beide Gleichungen durcheinander dividiert: F 0 1 F 0 p p 4 d 1 1 þ 4m h 1 h 1 d ¼ 1 p p 4 d 1 4m h ¼ d 1 1 þ 4m d d 1 1 4m h d d h F 0 ¼ F 0 1 4m d 1 d d 1 1 þ 4m h 1 d 1 d 1 Den letzten Faktor in der Gleichung für die Presskraft bezeichnet man als Wirkungsgrad h der hydraulischen Presse. Presskraft bei Berücksichtigung der Reibung 1 4m h d h ¼ 1 þ 4m h 1 d 1 Wirkungsgrad Man erkennt, dass dieser Faktor von der Reibungszahl, den Kolbendurchmessern und den Höhen der Kolbendichtungen abhängt. F 0 ¼ F 0 1 d d 1 h Presskraft bei Berücksichtigung der Reibung

415 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 391 Ûbung: Der Lastkolben einer hydraulischen Presse hat 500 mm Durchmesser, der Triebkolben hat 40 mm Durchmesser. Die Höhen der Lederdichtungen betragen h ¼ 100 mm und h 1 ¼ 16 mm. Die Reibungszahl beträgt m ¼ 0,1. a) Wie groß ist der Wirkungsgrad h? b) Wie groß ist die Presskraft F 0, wenn die Triebkraft F 0 1 ¼ 1000 N wirkt? c) Wie groß ist das Hubverhältnis der Kolben? Lösung: a) Der Wirkungsgrad wird mit der bekannten Gleichung aus den Kolbendurchmessern d 1, d, den Dichtungshöhen h 1, h und der Reibungszahl m bestimmt. b) Da der Wirkungsgrad bekannt ist, verwendet man die letzte Presskraftgleichung und berechnet F 0 aus der Triebkraft F 0 1, den Kolbendurchmessern d 1, d und dem Wirkungsgrad. c) Unter dem Hubverhältnis versteht man das Verhältnis der Kolbenwege s =s 1. Gegeben: Lastkolbendurchmesser d ¼ 500 mm Triebkolbendurchmesser d 1 ¼ 40 mm Dichtungshöhe h ¼ 100 mm Dichtungshöhe h 1 ¼ 16 mm Triebkraft F 0 1 ¼ 1000 N Reibungszahl m ¼ 0,1 Gesucht: Wirkungsgrad h, Presskraft F 0, Hubverhältnis s =s 1 1 4m h d h ¼ 1 þ 4m h ¼ 1 d 1 F 0 ¼ F0 1 F 0 s s 1 ¼ d 1 10 cm 1 4 0,1 50 cm 1 þ 4 0,1 1,6 cm 4cm ¼ 0,79 d ð500 mmþ h ¼ 1kN d 1 ð40 mmþ 0,79 ¼ 13,4 kn d ¼ ð40 mmþ ð500 mmþ ¼ 1 156,5 Aufgaben Nr Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Schwerkraft Im Abschnitt (Seite 386) wurde gezeigt, dass der Druck in jeder waagerechten Ebene innerhalb einer Flüssigkeit konstant ist. Anders ausgedrückt: Der Druck an allen Stellen gleicher Flüssigkeitshöhe ist gleich groß. Es soll nun festgestellt werden, welche Beziehungen zwischen verschiedenen horizontalen Ebenen bestehen. Dazu wird das Gleichgewicht eines Flüssigkeitsquaders, dessen Längsachse vertikal steht, untersucht. Die Gewichtskraft F G (Schwerkraft) muss man jetzt in die Gleichgewichtsbetrachtung in Richtung der Längsachse mit einbeziehen.

416 39 6 Fluidmechanik Nach den Gesetzen der Statik müssen die Druckkräfte F 1 und F die auf die Stirnseiten des Quaders einwirken und die Gewichtskraft F G die Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Wird die Ansatzgleichung weiter entwickelt, dann ergibt sich eine Beziehung zwischen beiden Drücken p 1, p und der Druckwirkung der Schwerkraft (rgh). Legt man die obere Stirnfläche des Quaders in die Flüssigkeitsoberfläche, so ist dort der Druck p 1 ¼ 0. Auf seine untere Stirnfläche wirkt dann allein der Druck p ð¼ p Þ, der durch die Schwerkraft in der Tiefe h verursacht wird. Der hydrostatische Druck ist an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Die Funktionsgleichung p ¼ f ðr, hþ zeigt, dass der hydrostatische Druck proportional mit der Flüssigkeitsdichte und der Tiefe zunimmt. Die Einheitenrechnung kann bei dieser Gleichung Schwierigkeiten bereiten. Man muss die Einheit kg/s m mit 1 ¼ m/m erweitern, um die Druckeinheit Pa zu erhalten. SF y ¼ 0 ¼ F F 1 F G F ¼ F 1 þ F G für F 1 ¼ p 1 A, F ¼ p A und F G ¼ rgv ¼ rgah gesetzt, ergibt p A ¼ p 1 A þ rgah. p ¼ p 1 þ rgh p ¼ rgh Druck infolge der Schwerkraft p r g h Pa ¼ N m kg m 3 m s Die Flüssigkeitshöhe h, die den Druck p hervorruft, heißt Druckhöhe oder auch Pressungshöhe. ðpþ ¼ðrÞðgÞðhÞ ¼ kg m 3 m s m ¼ kg s m kg m kg m=s s ¼ m m ¼ N m ¼ Pa m Die Erkenntnis über den hydrostatischen Druck von Flüssigkeiten infolge ihrer Schwerkraft verwendet man unter anderem zum Messen von Drücken, besonders des Luftdrucks. Den Luftdruckunterschied zwischen zwei voneinander abgeschlossenen Räumen (oder Gefäßen) kann man z. B. mit einem beiderseits offenen U-Rohr messen, das teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllt ist (siehe Skizze). Der Druck auf die Flüssigkeit an der Stelle E des U-Rohrs ist gleich dem absoluten Luftdruck im abgeschlossenen Raum (z. B. in einem Kesselraum). Der Druck in waagerechten Ebenen einer zusammenhängenden Flüssigkeit ist konstant. Folglich herrscht an der Stelle E 1 des U-Rohrs der gleiche Druck p wie bei E. Der Druck p ist die Summe aus dem Flüssigkeitsdruck der Säule von der Höhe h und dem Atmosphärendruck (äußeren Luftdruck) p 1. Beispiel: Der Kesselraum eines Schiffs wird durch ein Gebläse unter Ûberdruck p ü gesetzt. Das mit Wasser gefüllte U-Rohr-Manometer zeigt einen Höhenunterschied von 00 mm an. Der äußere Luftdruck beträgt 1, Pa ¼ 10,7 kpa. Zu berechnen ist der Ûberdruck p ü und der absolute Druck p im Kesselraum. Lösung: Den Ûberdruck p ü berechnet man aus der Flüssigkeitshöhe h ¼ 00 mm. pü ¼ rgh ¼ 10 3 kg m 3 9,81 m 0, m ¼ 196 Pa s p ¼ p 1 þ pü ¼ 10,7 kpa þ 196 Pa p ¼ 104,7 kpa

417 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) Kommunizierende Röhren Kommunizierende Röhren sind oben offene, unten miteinander verbundene Röhren (vgl. U-Rohr). Enthält dieses Röhrengefäß nur eine Flüssigkeit, so steht sie in den beiden Schenkeln gleich hoch, unabhängig von der Form und Größe der Schenkel. Die Flüssigkeitsspiegel stehen immer waagerecht. Enthält das Gefäß zwei Flüssigkeiten von verschiedener Dichte, so steht bei Gleichgewicht die leichtere Flüssigkeit in dem einen Schenkel höher als die schwerere in dem anderen Schenkel. Sind r 1 und r die Flüssigkeitsdichten und h 1 und h ihre Flüssigkeitshöhen über der Trennebene A B, so sind in dieser Ebene die Drücke in beiden Schenkeln gleich groß: p 1 ¼ p ¼ p. Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass sich die Flüssigkeitshöhen über der Trennebene umgekehrt zueinander verhalten wie die Flüssigkeitsdichten. p ¼ p 1 ¼ p ¼ r 1 gh 1 ¼ r gh h 1 h ¼ r r 1 Beispiel: Wie groß ist die Dichte eines Úls, das einer 500 mm hohen Wassersäule mit einer Höhe von 545 mm das Gleichgewicht hält? Lösung: h 1 ¼ r und daraus h r 1 r ¼ h 1 r 1 h 500 mm 1000 kg ¼ m 3 ¼ 917 kg 545 mm m Bodenkraft Auf den waagerechten Boden eines Flüssigkeitsbehälters wirkt der hydrostatische Druck p ¼ rgh (h Flüssigkeitshöhe über dem Boden). Die Bodenfläche A wird dann mit der Bodenkraft F b ¼ pa ¼ rgha belastet. Die Belastung des Bodens ist also abhängig von der Flüssigkeitshöhe h über dem Boden, von der Bodenfläche A und von der Dichte der Flüssigkeit. Sie ist dagegen unabhängig von der Form des Gefäßes. Das zeigt auch die Versuchsanordnung zur Messung der Bodenkraft. Die vier Behälter haben die gleiche Bodenfläche A, die über einen Hebel gegen die Bodenöffung gepresst wird. Füllt man die Gefäße nacheinander mit Wasser, so wird man feststellen, dass sich die Bodenklappe bei allen Gefäßen bei der gleichen Füllhöhe h öffnet. Die Bodenkraft ist in allen vier Fällen gleich groß. F b ¼ pa ¼ rgha Bodenkraft F b p r g h A N Pa ¼ N m kg m 3 m s m m

418 394 6 Fluidmechanik Seitenkraft Da sich der Druck in einer Flüssigkeit nach allen Seiten hin gleichmäßig ausbreitet, wird nicht nur der Boden eines Gefäßes belastet, sondern auch seine Seitenwände. Teilt man die rechteckige Seitenwand eines Gefäßes in eine Anzahl schmaler Flächenstreifen D A von gleichem Flächeninhalt, so wird z. B. das Flächenteilchen DA unter der Höhe h 1 mit F 1 ¼ rgh 1 DA, dasjenige unter der Höhe h mit F ¼ rgh DA belastet. Die Belastung nimmt proportional mit der Höhe nach dem Flüssigkeitsspiegel hin ab. Das Belastungsbild veranschaulicht diese Tatsache. Die Gesamtbelastung der Seitenfläche, die Seitenkraft F s, ist die Summe aller Teilkräfte F. Der Klammerwert ist, bezogen auf den Flüssigkeitsspiegel, die Summe aller Flächenmomente der Teilflächen D A. Diese Summe muss gleich dem Flächenmoment der gesamten Fläche A sein (siehe..1, Seite 76 Flächenschwerpunkt). Für die Seitenkraft F s ergibt sich daraus eine Funktionsgleichung der Form F s ¼ f ða, y 0, rþ. Daraus geht hervor, dass die Seitenkraft vom Betrag der Seitenfläche A, von ihrem Schwerpunktsabstand y 0,d.h. also ihrer Form, und von der Dichte r der Flüssigkeit abhängt. Der Angriffspunkt der Seitenkraft F s heißt Druckmittelpunkt D, er liegt immer tiefer als der Schwerpunkt der gedrückten Fläche. Ist z. B. die gedrückte Fläche ein Rechteck, so ist das Belastungsbild ein Dreieck. Die Resultierende F s aller Teilkräfte F muss durch den Schwerpunkt D des Dreiecks gehen, der h=3 von der Basis bzw. h=3 vom Flüssigkeitsspiegel entfernt liegt. Ist e der Abstand des Druckmittelpunkts D vom Flächenschwerpunkt, so gilt allgemein: F s ¼ SF ¼ rg DAh 1 þ rg DAh þ...rg DAh n F s ¼ rgðdah 1 þ DAh þ...dah n Þ¼rgAy 0 y 0 F s ¼ rgay 0 Seitenkraft Schwerpunktsabstand der belasteten Seitenfläche vom Flüssigkeitsspiegel Beachte: Diese Momente der Flächen (DAh, Ay 0 ) heißen nach DIN 1304 Flächenmomente 1. Grades. e ¼ I Ay 0 Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt y ¼ y 0 þ e Abstand des Druckmittelpunkts vom Flüssigkeitsspiegel e I A y 0 m m 4 m m Flächenmoment. Grades der gedrückten Fläche bezogen auf die waagerechte Flächenschwerachse e ¼ Flächenmoment 1. Grades der gedrückten Fläche bezogen auf den Flüssigkeitsspiegel

419 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 395 Die Gleichungen für Seitenkraft und Abstände gelten nicht nur für die ganze Seitenwand und Rechteckflächen, sondern auch für Teile oder Ausschnitte der Wand von beliebiger Form. Beispiel: Für die im Bild dargestellte Rechteckfläche wird bh 3 e ¼ I ¼ 1 Ay 0 bh h ¼ h 6 y ¼ y 0 þ e ¼ h þ h 6 ¼ 3 h d. h. der Druckmittelpunkt D liegt um h=3 unter dem Flüssigkeitsspiegel. 1. Ûbung: Eine Ufermauer wird einseitig durch den Druck des Wassers belastet, das 6 m über der Sohle steht. a) Wie groß ist die Seitenkraft F s für b ¼ 1m Mauerlänge? b) Wie tief liegt der Druckmittelpunkt unter dem Wasserspiegel? c) Wie groß ist das Kippmoment je Meter Länge, bezogen auf die Kippkante A? Lösung: a) Die gedrückte Fläche ist ein Rechteck mit Breite b ¼ 1 m und Höhe h ¼ 6 m. Ihr Schwerpunkt liegt in halber Höhe: y 0 ¼ h= ¼ 3m. Die Kraft F s wird mit der Seitenkraft-Gleichung berechnet. b) Das Flächenmoment. Grades der Rechteckfläche ist I ¼ bh 3 =1, ihr Flächeninhalt A ¼ bh und ihr Schwerpunktsabstand y 0 ¼ h=. Mit diesen Größen entwickelt man eine Gleichung für den Druckmittelpunktsabstand e. c) Das Kippmoment ist das Produkt aus der Seitenkraft F s und ihrem Wirkabstand l von der Kippkante A. Gegeben: h ¼ 6m b ¼ 1m r ¼ 1000 kg=m 3 Gesucht: Seitenkraft F s Abstand y Kippmoment M k F s ¼ rgay 0 ¼ 10 3 kg m 9,81 m 1m6m3m 3 s F s ¼ 17, kg m s ¼ 176,6 kn e ¼ I ¼ h Ay 0 6 ¼ 6m 6 ¼ 1m (Entwicklung der Gleichung füre siehe oben) y ¼ y 0 þ e ¼ 3mþ 1m¼ 4m M k ¼ F s l ¼ 176,6 kn ð6m 4mÞ M k ¼ 35, knm. Ûbung: In einem Wehr befindet sich 1 m unter dem höchsten Wasserspiegel eine rechteckige Úffnung von 400 mm Breite und 600 mm Höhe. Die Úffnung ist mit einer drehbaren Klappe verschlossen, die sich öffnen soll, falls die Höhe des Wasserspiegels 1,80 m übersteigt.

420 396 6 Fluidmechanik Mit welcher Gewichtskraft F G muss der Klappenhebel belastet werden, wenn der Klappendrehpunkt 950 mm unter dem höchsten Wasserspiegel liegt und die Hebelausladung 800 mm beträgt? Lösung: Um die Momentenverhältnisse an der Klappe untersuchen zu können, muss man die Seitenkraft F s kennen, mit der die Klappe durch den Wasserdruck belastet wird. Dafür wird zuerst der Schwerpunktsabstand der Klappenfläche (Rechteck) vom höchsten Flüssigkeitsspiegel bestimmt: y 0 ¼ l 1 þ h=. Außerdem muss der Angriffspunkt der Seitenkraft bekannt sein. Man ermittelt hierfür den Druckmittelpunkts-Abstand e und daraus den Abstand y der Seitenkraft vom Wasserspiegel. Die Klappe muss im Momentengleichgewicht sein. Man ermittelt den Wirklinienabstand l 4 der Kraft F s vom Klappendrehpunkt A und setzt dann die Momentengleichgewichtsbedingung für den Drehpunkt A an Auftriebskraft Taucht ein Körper in eine Flüssigkeit ein, so wird seine Oberfläche allseitig durch den Flüssigkeitsdruck belastet. Die horizontalen Druckkräfte F 3 heben sich auf, aber in vertikaler Richtung ist die nach oben gerichtete Kraft F größer als die nach unten gerichtete Kraft F 1. Die Resultierende dieser beiden Kräfte ist nach oben gerichtet. Sie heißt Auftriebskraft F a ¼ F F 1. Wird die Gleichung F a ¼ F F 1 weiter entwickelt, dann erkennt man, dass die Auftriebskraft F a genauso groß ist wie die Gewichtskraft F G der von dem eingetauchten Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. Ihr Angriffspunkt muss demzufolge im Schwerpunkt F der verdrängten Flüssigkeitsmenge liegen (Verdrängungsschwerpunkt, Formschwerpunkt). Das gilt auch für teilweise eingetauchte, also schwimmende Körper. Gegeben: Úffnungsabstand l 1 ¼ 1m Úffnungshöhe h ¼ 0,6 m Úffnungsbreite b ¼ 0,4 m Drehpunktsabstand l ¼ 0,95 m Hebelausladung l 3 ¼ 0,8 m Dichte r ¼ 10 3 kg/m 3 Gesucht: Gewichtskraft F G y 0 ¼ l 1 þ h ¼ 1mþ0,3 m ¼ 1,3 m Dann ist die Seitenkraft F s ¼ rgay 0 ¼ 10 3 kg m 3 9,81 m s 0,4 m 1,3 m F s ¼ 3, N ¼ 3060 N e ¼ I ¼ bh3 ¼ h ¼ 0,03 m Ay 0 1bhy 0 1y 0 y ¼ y 0 þ e ¼ 1,3 m þ 0,03 m ¼ 1,33 m l 4 ¼ y l ¼ 1,33m 0,95m ¼ 0,373m SM ðaþ ¼ 0 ¼ F s l 4 F G l 3 l 4 F G ¼ F s ¼ 3060 N 0,373 m l 3 0,8 m ¼ 147 N Vollständig eingetauchter Körper: Verdrägungsschwerpunkt F fällt mit Körperschwerpunkt K zusammen Es ist F 1 ¼ rgh 1 A und F ¼ rgh A und F a ¼ F F 1 ¼ rgaðh h 1 Þ Hierin ist Aðh h 1 Þ¼V das Volumen, raðh h 1 Þ¼rV ¼ m die Masse und raðh h 1 Þ g ¼ mg die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge. F a V r g F a ¼ Vrg Auftriebskraft N m 3 kg m 3 m s

421 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 397 Auftriebskraft und Gewichtskraft des eingetauchten Körpers sind entgegengerichtete Kräfte. Daraus folgt: Die Gewichtskraft eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers verringert sich (scheinbar) um die Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge. Ûbung: Ein Körper mit der Masse m k ¼ 50 g hängt ganz in Wasser eingetaucht an einer Waage. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie mit einem Wägestück von 00 g Masse belastet ist. Wie groß sind Volumen V und Dichte r k des Körpers? Lösung: Die Auftriebskraft F a am Körper ist die Differenz der Gewichtskräfte des Körpers F Gk und des Wägestücks F G. In die Auftriebsgleichung setzt man für die Kräfte die Produkte aus Masse und Fallbeschleunigung ein und erkennt, dass die Masse m w des verdrängten Wassers gleich der Differenz zwischen Körpermasse m k und Wägestückmasse m ist. Aus der Beziehung m w ¼ Vr w wird das Verdrängungsvolumen V bestimmt, das gleich dem Körpervolumen V sein muss. Die Körpermasse m k ist das Produkt aus dem Volumen V und der Körperdichte r k. Aus dieser Beziehung kann die Dichte r k des eingetauchten Körpers bestimmt werden. Aufgaben Nr Schwimmender Körper: Verdrängungsschwerpunkt F liegt unter dem Körperschwerpunkt K. Beachte: Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. Sie greift im Formschwerpunkt F (Verdrängungsschwerpunkt) der verdrängten Flüssigkeitsmenge an. Gegeben: Masse des Körpers m k ¼ 50 g Masse des Wägestücks m ¼ 00 g Dichte des Wassers r w ¼ 10 3 kg=m 3 Gesucht: Volumen V und Dichte r k des Körpers F a ¼ F Gk F G m w g ¼ m k g mg Daraus ergibt sich: m w ¼ m k m (m w Masse des verdrängten Wassers) m w ¼ Vr w, folglich ist V ¼ m w ¼ m k m ¼ kg r w r w 10 3 kg m 3 V ¼ m 3 ¼ 50 cm 3 m k ¼ Vr k folglich ist r k ¼ m k V ¼ kg kg ¼ m3 m Schwimmen Wirken nur die Gewichtskraft F G und die Auftriebskraft F a auf einen Körper, so richtet sich sein Verhalten in einer Flüssigkeit danach, wie groß die Auftriebskraft ist. Beispiel: Wie tief taucht ein Würfel aus Gusseisen mit a ¼ 10 cm Kantenlänge und der Dichte r 1 ¼ 7500 kg/m 3 in ein Quecksilberbad mit der Dichte r ¼ kg/m 3 ein?

422 398 6 Fluidmechanik Ist die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft des Körpers, so sinkt er. Ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft, so bleibt der Körper an jeder beliebigen Stelle innerhalb der Flüssigkeit, er schwebt. Ist die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft, schwimmt der Körper an der Oberfläche. Er ist im Gleichgewicht, wenn er so weit auftaucht, dass die Auftriebskraft (¼ Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit) gleich der Gewichtskraft des schwimmenden Körpers ist. Dann ist auch die Masse der verdrängten Flüssigkeit gleich der Masse des Körpers Gleichgewichtslagen schwimmender Körper Lösung: Die Masse des Würfels ist m 1 ¼ V 1 r 1 ¼ a 3 r 1 ¼ 10 3 m 3 7, m 1 ¼ 7,5 kg Bei Schwimmen ist die Masse m des verdrängten Quecksilbers gleich der Masse m 1 des Würfels. Das verdrängte Quecksilbervolumen hat die Form eines quadratischen Prismas mit der Höhe h: V ¼ a h: kg m 3 Folglich ist: m ¼ V r ¼ a hr ¼ m 1 h ¼ m 1 7,5 kg a ¼ r 10 m 13, kg ¼ 5,51 cm m 3 Man unterscheidet bei schwimmenden Körpern stabile und labile Gleichgewichtslagen. Das Bild zeigt den Fall einer stabilen Schwimmlage. Zwei Kräfte wirken auf den schwimmenden Körper: Die im Körperschwerpunkt K angreifende, nach unten gerichtete Schwerkraft F G (Gewichtskraft) und die im Verdrängungsschwerpunkt F angreifende Auftriebskraft F a. In der Gleichgewichtslage wirken die beiden gleich großen Kräfte F a und F G längs der gemeinsamen Wirklinie W der Körpermittellinie in entgegengesetzter Richtung. Dreht man nun den Körper in der Zeichenebene nach links (Schräglage), so wird die vorher vertikale Mittellinie W um den Winkel j geneigt. Dabei bleibt zwar die Lage des Körperschwerpunkts K erhalten, jedoch bringt jede Neigungsänderung den Verdrängungsschwerpunkt F an eine andere Stelle. Das heißt aber auch: Die Parallelkräfte F a und F G bekommen einen mehr oder weniger großen Wirkabstand h, sie bilden ein rechtsdrehendes Kräftepaar. Das Drehmoment von Auftriebskraft F a und Gewichtskraft F G wirkt der Drehung des Körpers entgegen: Der Körper hat also eine stabile Schwimmlage. Das Wiederaufrichtungsmoment die Stabilität hängt vom Wirkabstand h ab. Er heißt deshalb auch: Hebelarm der statischen Stabilität. Stabile Schwimmlage F a Auftriebskraft, in F angreifend F G Gewichtskraft, in K angreifend W Mittellinie des Körpers (Schwimmachse) F Verdrängungsschwerpunkt ¼ Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit K Schwerpunkt des Körpers M Metazentrum ¼ Schnittpunkt der Mittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft h ¼ MK sin j Hebelarm der statischen Stabilität j Neigungswinkel MK metazentrische Höhe

423 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik) 399 Jeder andere Neigungswinkel j bringt eine andere Lage des Verdrängungsschwerpunktes F und damit auch einen anderen Hebelarm h. Kennzeichnend und entscheidend für das Verhalten eines schwimmenden Körpers bei Störungen des Gleichgewichts ist das so genannte Metazentrum M, der Schnittpunkt der Körpermittellinie W mit der Wirklinie der Auftriebskraft: Liegt Müber dem Körperschwerpunkt K, so schwimmt der Körper stabil. Das Drehmoment von Auftriebskraft und Gewichtskraft hat dann eine aufrichtende Wirkung. Die Strecke MK heißt metazentrische Höhe. Die labile Schwimmlage erkennt man sofort daran, dass das Metazentrum M unterhalb des Körperschwerpunkts K liegt. Der nach links gedrehte Körper richtet sich nicht wieder auf. Das linksdrehende Kräftepaar aus Auftriebskraft und Gewichtskraft unterstützt die Drehung des Körpers noch, bis er in die stabile Schwimmlage kommt. Labile Schwimmlage Stabilität eines Schiffes Das Bild zeigt ein Schiff von bestimmtem Ausrüstungszustand geneigt um zwei verschiedene Neigungswinkel j 1 und j. Während bei allen Neigungen die Lage des Schiffsschwerpunkts K unverändert bleibt, bekommt der Verdrängungsschwerpunkt F jeweils eine andere Lage (hier von F 1 nach F ). Damit ändert sich auch die Lage des Metazentrums M (hier von M 1 nach M ), es wandert je nach Neigung auf der Schiffsmittellinie auf- oder abwärts, die metazentrische Höhe MK wird größer oder kleiner. Ebenso verändert sich der Hebelarm h, dessen Größe die Stabilität des Schiffes, d. h. sein Wiederaufrichtungsvermögen bestimmt. Ist h klein, so ist auch das Drehmoment von Schiffsgewichtskraft F G und Auftriebskraft F a klein.

424 400 6 Fluidmechanik Durch Auftragen der Größe h in Abhängigkeit vom Neigungswinkel j erhält man die Stabilitätskurve. Sie vermittelt eine Vorstellung von den Stabilitätseigenschaften des Schiffes. Je steiler die Hebelarmkurve gleich im Anfang ansteigt, d. h. je rascher die Hebelarme h zunehmen, desto stabiler (steifer) ist das Schiff. Die aufrichtenden Drehmomente sind dann schon bei Neigungsbeginn verhältnismäßig groß. Je flacher dagegen die Hebelarmkurve verläuft, desto weicher (ranker) ist das Schiff. Das größte Aufrichtungsvermögen wird gekennzeichnet durch den höchsten Punkt der Kurve, d. h. durch den maximalen Hebelarm h. Er liegt im Beispiel bei 35. Bei einem guten Schiff liegt er zwischen 30 und bis 15 sind schon unzulässig schlechte Werte. Stabilitätskurve Neigt sich das Schiff über den Nulldurchgang der Hebelarmkurve hinaus (hier bei 75 ), so kehrt sich die Momentendrehrichtung um und unterstützt die Neigung des Schiffs; es würde kentern. Dieser Punkt wird deshalb auch Kenterpunkt genannt. Der Bereich von 0 bis zum Kenterpunkt heißt Umfang der Stabilität. Der Kenterpunkt (hier 75 ) gilt jedoch nur dann, wenn das Schiff z. B. im Seegang bis auf diesen Winkel aufgeschaukelt würde, ohne dass ein kontinuierlich wirkendes krängendes Moment, z. B. durch einseitige Beladung, Trossenzug, Winddruck oder Zentrifugalkraft im Drehkreis verursacht wird. Neigt sich dagegen das Schiff druch ein solches, anhaltend wirkendes Moment bis zu dem Winkel, bei dem die Hebelarmkurve ihr Maximum besitzt (hier 35 ), so kentert es bereits bei dieser Schräglage, nicht erst beim eigentlichen Kenterpunkt. Hinweis: 1. Sehr stabile (steife) Schiffe haben unangenehme, im Verhältnis zur Größe rasche Schlingerbewegungen. Im Fall der Resonanz mit den Wellenbewegungen, die bei diesen Schiffen leichter eintritt, werden die Ausschläge groß.. Wenig stabile, ranke (weiche) Schiffe haben angenehme, im Verhältnis zur Größe langsame, meist kleine Schlingerbewegungen. 3. Bei einem guten, seetüchtigen Schiff liegen die Eigenschaften dazwischen. Treten ein kontinuierlich wirkendes, jedoch zum Kentern allein nicht ausreichendes krängendes Moment und Schlingerbewegungen gleichzeitig auf, so liegt der Kenterwinkel zwischen Kurvenmaximum und Nulldurchgang (hier zwischen 35 und 75 ). Das Schiff schlingert dann um diejenige Neigung als Mittellage, die dem krängenden Moment entspricht.

425 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 6..1 Ûbersicht Fluide (von lat. fluidus, fließend, strömend) ist der Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also Stoffe, die sich ohne größeren Zwang ausbreiten. Die beim Strömen dieser Fluide in Leitungen (Rohre, Rinnen) auftretenden physikalischen Zustände und Vorgänge werden beschrieben in der Fluidmechanik. Andere gleichwertige Bezeichnungen sind Strömungsmechanik, Strömungslehre, Hydrodynamik. Für Gase allein gibt es die Gasdynamik. Strömende Fluide wie Wasser, Úl oder Gase und Dämpfe (bei Strömungsgeschwindigkeiten unter 100 m/s) üben auf das Leitungssystem Kräfte und Kraftmomente aus. Zum Leitungssystem gehören Kanäle, Rohrleitungen mit Formstücken wie Krümmern und Düsen, auf die Druckkräfte, Schwerkraft und Zentrifugalkräfte einwirken. Deutlich spürbar ist das beim Austritt von Wasser aus den Spritzdüsen der Feuerwehrschläuche. Bei großen Austrittsdurchmessern müssen die Düsen dann fest montiert sein, wie beispielsweise bei der Bewässerung von Feldern in der Landwirtschaft. Zur rechnerischen Erfassung des Strömungsvorgangs sind die physikalischen Größen eingebunden in ein Gleichungssystem, das aus den drei sogenannten Erhaltungssätzen hergeleitet wird. Es sind dies: der Massenerhaltungssatz, der Energieerhaltungssatz (Bernoulligleichung) und der Impulserhaltungssatz. Reibungsvorgänge im Fluid und um das Fluid herum werden dabei zunächst nicht einbezogen. Ebenso wird die Dichte r als unveränderlich angesehen (r ¼ konstant). Von stationärer, eindimensionaler und inkompressibler Strömung spricht man unter der Annahme, dass bei konstanter Dichte r alle Fluidteilchen eines Strömungsquerschnitts A eine gemeinsame Strömungsrichtung und mittlere Geschwindigkeit v haben. Zur rechnerischen Vereinfachung verwendet man bei Stömungsvorgängen statt der Masse m den Massenstrom _m und anstelle des Volumens V den Volumenstrom V _ (Sprechweise: m Punkt und V Punkt). Der Massenstrom _m gibt die Masse m in kg an, die pro Sekunde durch einen Strömungsquerschnitt A fließt (Masse m in kg dividiert durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, z.b. in Sekunden s). Ebenso gibt der Volumenstrom V_ das Volumen V in m 3 an, das pro Sekunde durch einen Strömungsquerschnitt A fließt. Massenstrom Volumenstrom _m ¼ m Dt in V_ ¼ V in Dt V_ ¼ A Ds Dt kg s m 3 s ¼ A v

426 40 Sind Volumenstrom V_ und Strömungsquerschnitt A gegeben, lässt sich die auftretende mittlere Strömungsgeschwindigkeit v berechnen. Für glatte Kreisrohre kann daraus eine Gleichung für den erforderlichen Rohrdurchmesser d aufgestellt werden. Ûbung: Durch eine Rohrleitung werden pro Minute 800 Liter Wasser geleitet. Die zulässige Strömungsgeschwindigkeit beträgt v max ¼ 1,5 m=s; Dichte r ¼ 1000 kg m 3 Lösung: a) Der Volumenstrom V_ gibt das Wasservolumen beispielsweise in m 3 pro Sekunde an. Strömungsgeschwindigkeit v ¼ _ V A Beachte: Der Punkt über einem Formelzeichen kennzeichnet bei physikalischen Vorgängen die erste Ableitung nach der Zeit t (siehe DIN 130 Nr. 10.4). Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit v die erste Ableitung des Weges s nach der Zeit t ðv ¼ ds=dtþ. sffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 V_ Rohrdurchmesser d erf ¼ p v 6 Fluidmechanik Gegeben: Wasservolumen V ¼ 800 Liter Strömungsgeschwindigkeit v max ¼ 1,5 m/s Dichte r ¼ 1000 kg m 3 Gesucht: a) Volumenstrom V_ b) Massenstrom _m c) erforderlicher Rohrinnendurchmesser d erf V_ ¼ 800 l 1 min ¼ m 3 ¼ 0,013 m3 60 s s b) Der Massenstrom _m ist das Produkt aus Volumenstrom V_ und Dichte r. c) Der erforderliche Rohrinnendurchmesser d erf wird mit den beiden Größen Volumenstrom V_ und Strömungsgeschwindigkeit v max berechnet. _m ¼ V_ r ¼ 0,013 m3 kg kg 1000 ¼ 13,33 s m3 s sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 V_ 4 0,013 m d erf ¼ ¼ 3 s p v max s p 1,5 m d erf ¼ 0,105 m ¼ 105 mm 6.. Erhaltungssätze der Strömung Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) Ist ein Fluid inkompressibel (z. B. Wasser), muss durch die verschieden großen Querschnitte A 1, A einer Rohrleitung in jeder Sekunde das gleiche Volumen V fließen, d. h. auch der Volumenstrom V_ bleibt konstant, z. B. V_ ¼ 1,5 m 3 =s ¼ konstant:

427 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 403 Der Volumenstrom V_ ist das Produkt aus dem Strömungsquerschnitt A und der Strömungsgeschwindigkeit v. Das ist die Kontinuitätsgleichung, geschrieben mit dem Volumenstrom V. _ Multipliziert man die Gleichung mit der Dichte r, erhält man wegen V_ r ¼ _m die Kontinuitätsgleichung in der Form mit dem Massenstrom _m (Massenerhaltungssatz). Am einfachsten merkt man sich: Der Volumenstrom V_ ist beim Eingang A 1 und Ausgang A gleich groß. Gleiches gilt für den Massenstrom _m. _ V ¼ A v m 3 s Volumenstrom V_ V_ ¼ V_ 1 ¼ V_ ¼ konstant V_ ¼ A 1 v 1 ¼ A v ¼ konstant _m ¼ _m 1 ¼ _m ¼ konstant Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) _ V Eingang ¼ _ V Ausgang _ V A v m m s _m Eingang ¼ _m Ausgang Ûbung: Der Querschnitt A einer Wasserleitung verringert sich von A 1 ¼ 314 mm auf A ¼ 177 mm. Die Rohrleitung führt einen Volumenstrom von 7 l/min (Liter je Minute). Wie viel Kilogramm Wasser strömen in jeder Sekunde durch Eingangs- und Ausgangsquerschnitt (Index 1 und ) und wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit im Ein- und Ausgangsquerschnitt? Lösung: Der Massenstrom _m ist das Produkt aus Volumenstrom V_ und Fluiddichte r. Der Volumenstrom V_ ist das Produkt aus Strömungsquerschnitt A und Strömungsgeschwindigkeit v. Daraus lassen sich die Geschwindigkeiten v 1 im Eintrittsquerschnitt A 1 und v im Ausgangsquerschnitt A berechnen. Gegeben: Volumenstrom V_ ¼ 7 l/min Strömungsquerschnitte A 1 ¼ 314 mm A ¼ 177 mm Gesucht: Massenstrom _m Strömungsgeschwindigkeiten v 1, v _m ¼ V_ 3 m3 kg r ¼ s m 3 ¼ 1, kg s V_ ¼ A v ¼ A 1 v 1 ¼ A v V v 1 ¼ _ 1, 10 3 m3 ¼ s A m ¼ 3,8 m s V v ¼ _ 1, 10 3 m3 ¼ s A m ¼ 6,779 m s Nach der Kontinuitätsgleichung sind die Strömungsgeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu den Strömungsquerschnitten. Damit kann die Rechnung überprüft werden: A 1 A ¼ v v mm 6, mm ¼ m s 3,8 m s 1,774 ¼ 1,774

428 404 6 Fluidmechanik 6... Energieerhaltungssatz (Bernoulli sche Gleichung) Horizontale Strömung (Strömung ohne Höhenunterschied) In einer horizontalen Leitung mit veränderlichem Querschnitt strömt ein Fluid. Im Querschnitt A hat es die kinetische Energie E kin 1 ¼ mv 1 /, im Querschnitt E die kinetische Energie E kin ¼ mv / (siehe 4.7.3, Seite 19). Da der Leitungsquerschnitt A > A 1 ist, muss nach der Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit v < v 1 sein. Die Drücke p 1, p heißen statische Drücke. An einer beliebigen Stelle, z. B. bei A, wird dem Fluid über einen Kolben durch die Kraft F 1 längs des Weges s 1 die Arbeit W 1 ¼ F 1 s 1 zugeführt. Bei E wird gegen die Kraft F die Arbeit W ¼ F s abgeführt. Nach dem Energieerhaltungssatz (siehe 4.7.5, Seite 0) ist die Energie E E am Ende dieses Vorgangs gleich der Energie E A am Anfang, vermehrt um die zugeführte Arbeit W zu und vermindert um die abgeführte Arbeit W ab : Wird in den Quotienten für die kinetische Energie für die Masse m das Produkt Volumen V multipliziert mit der Dichte r eingesetzt, dann erhält man den Energieerhaltungssatz in einer neuen Form. Auch die Ausdrücke F 1 s 1 und F s können weiterentwickelt werden, indem man für die Kräfte F ¼ paund fürasdas Volumen V setzt. Der Energieerhaltungssatz erhält dann eine Form, in der die Quotienten rv V= die kinetische Energie des Fluids und die Produkte pv seine Druckenergie darstellen. Dividiert man den Energieerhaltungssatz noch durch das Volumen V, dann erhält man die Bernoulli sche Druckgleichung für horizontal strömende Fluide. Die einzelnen Glieder der Bernoulligleichung sind also nichts anderes, als die Energien je Volumeneinheit. Aus der Druckgleichung erkennt man: Bei horizontaler Strömung ist die Summe aus statischem Druck p und kinetischem Druck q ¼ rv = konstant. W 1 ¼ F 1 s 1 W ¼ F s zugeführte Arbeit abgeführte Arbeit E E ¼ E A þ W zu W ab E kin ¼ E kin 1 þ W 1 W mv mv 1 ¼ mv 1 þ F 1 s 1 F s ¼ rv 1 V F 1 s 1 ¼ p 1 A 1 s 1 ¼ p 1 V F s ¼ p A s ¼ p V mv ¼ rv r v V ¼ r v 1 V þ p 1 V p V Energieerhaltungssatz für horizontale Strömung p 1 þ r v 1 ¼ p þ r v Bernoulli sche Druckgleichung für horizontale Strömung p r v V Pa ¼ N m kg m 3 m s m 3 Beachte: Der kinetische Druck q ¼ rv = wird auch Geschwindigkeitsdruck oder Staudruck genannt. V

429 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) Nichthorizontale Strömung (Strömung mit Höhenunterschied) Der einzige Unterschied gegenüber der horizontalen Strömung besteht darin, dass die Fluidteilchen im Verlauf der Strömung ihre Höhenlage gegenüber einer beliebig gewählten horizontalen Bezugsebene ändern. Dadurch erhalten sie verschieden große potenzielle Energie (Lageenergie). Im Energieerhaltungssatz muss also noch die potenzielle Energie E pot ¼ mgh im Anfangs- und Endzustand hinzugefügt werden, hier bezogen auf die gekennzeichnete Bezugsebene. E E ¼ E A þ W zu W ab mv þ mgh ¼ mv 1 þ mgh 1 þ F 1 s 1 F s Wird dann wieder m ¼ Vr und F s ¼ pv gesetzt, erhält man den Energieerhaltungssatz für die nichthorizontale Strömung. r v V þ rgh V ¼ r v 1 V þ rgh 1 V þ p 1 V p V Energieerhaltungssatz für nichthorizontale Strömung Die Division durch das Volumen V ergibt wieder die Energien je Volumeneinheit und damit die Bernoulli sche Druckgleichung für nichthorizontal strömende Fluide. Man erkennt: In einem Fluid ist die Summe aus statischem Druck p, kinetischem Druck q ¼ rv = und geodätischem Druck rgh konstant. In der Praxis wird die Bernoulligleichung oft in einer anderen Form angewendet. Wird die Druckgleichung durch rg dividiert, dann ergeben sich für die einzelnen Glieder Ausdrücke, die Höhen darstellen. Die auf diese Weise gewonnene Gleichung nennt man die Bernoulli sche Druckhöhengleichung für nichthorizontal strömende Fluide. p 1 þ rgh 1 þ r v 1 ¼ p þ rgh þ r v Bernoulli sche Druckgleichung für nichthorizontale Strömung Beachte: p statischer Druck q ¼ r v kinetischer Druck (Geschwindigkeitsdruck, Staudruck) rgh geodätischer Druck Die Summe der drei Drücke ist der Gesamtdruck p ges. Er ist an allen Stellen der Leitung gleich groß. p 1 rg þ h 1 þ v 1 g ¼ p rg þ h þ v g Bernoulli sche Druckhöhengleichung für nichthorizontale Strömung p r g h v V Pa ¼ N m kg m 3 m s m m s m 3

430 406 6 Fluidmechanik Man erkennt: Bei nichthorizontaler Strömung ist die Summe aus statischer Druckhöhe, kinetischer Druckhöhe und geodätischer Druckhöhe konstant. Die drei Gleichungen dieses Abschnitts sind auch für die horizontale Strömung anwendbar. Dann ist h 1 ¼ h und die Glieder, die die Höhenlage berücksichtigen, fallen aus den Gleichungen heraus. Beachte: p statische Druckhöhe rg v g kinetische Druckhöhe h geodätische Druckhöhe Die Summe der drei Höhen ist die Gesamthöhe H. Sie ist für alle Stellen der Leitung gleich groß Anwendung der Bernoulligleichung Druck in einer Leitung In einer Leitung herrscht im Querschnitt 1 der Druck p ¼ 1, 10 5 Pa. Das Fluid hat eine Geschwindigkeit v 1 ¼ 5 m/s. Es soll sich im ersten Fall um Wasser (r w ¼ 1000 kg/m 3 ), im zweiten Fall um Luft von 0 C(r l ¼ 1,4 kg/m 3 ) handeln. Der Atmosphärendruck beträgt in beiden Fällen p 0 ¼ 1, Pa. In beiden Fällen sollen für den Querschnitt der Druck p und der Unterdruck p u gegenüber dem Atmosphärendruck p 0 ermittelt werden. Gegeben: Druck p 1 ¼ 1, 10 5 Pa Geschwindigkeit v 1 ¼ 5 m/s Dichte des Wassers r w ¼ 1000 kg/m 3 Dichte der Luft r l ¼ 1,4 kg/m 3 Atmosphärendruck p 0 ¼ 1, Pa Gesucht: Druck p Unterdruck p u Es wird zunächst nach der Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit v im Querschnitt berechnet. A 1 v 1 ¼ A v v ¼ A mm v 1 ¼ A 54 mm 5 m s ¼ 13,9 m s Dann entwickelt man aus der Bernoulli schen Druckgleichung für die horizontale Strömung eine Gleichung für den Druck p. Für den Fall des strömenden Wassers setzt man in diese Gleichung neben den anderen Größen die Dichte des Wassers r w ¼ 1000 kg/m 3 ein. p 1 þ r v 1 ¼ p þ r v p ¼ p 1 þ r v 1 r v ¼ p 1 þ r ðv 1 v Þ p ¼ 1, 10 5 N m þ 103 kg ð5 13,9 Þ m m 3 s p ¼ 1, 10 5 Pa 0, Pa p ¼ 0, Pa

431 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 407 Der Unterdruck wird aus dem Atmosphärendruck p 0 und dem Druck p in der Leitung berechnet. Für den Fall der strömenden Luft verfährt man genauso, jetzt mit r ¼ 1,4 kg/m 3. Dabei wird voraus gesetzt, dass auch bei einem strömenden Gas die Dichte r l konstant bleibt. Die Rechnung ergibt im Querschnitt einen größeren Druck als in der Atmosphäre. Es herrscht also kein Unterdruck, sondern Ûberdruck. Aufgaben Nr p u ¼ p 0 p ¼ 1, Pa 0, Pa p u ¼ 0, Pa p ¼ p 1 þ r ðv 1 v Þ p ¼ 1, 10 5 Pa þ 0,7 kg m ð5 194Þ m3 s p ¼ 1, 10 5 Pa 118 Pa ¼ 1, Pa pü ¼ p p 0 ¼ 1, Pa 1, Pa pü ¼ 0, Pa Ausfluss aus einem Gefäß Angenommen, die Fluidspiegelfläche B eines Gefäßes sei groß gegenüber der Ausflussöffnung A. Dann sinken die Fluidteilchen bei B sehr langsam ab, und man kann das Quadrat ihrer Geschwindigkeit gegen das der Geschwindigkeit bei A vernachlässigen. Da das Gefäß bei A und B offen ist, ist der statische Druck an beiden Stellen gleich dem Atmosphärendruck p 0 ¼ p A ¼ p B. Die Ausflussgeschwindigkeit wird mit der Bernoulli schen Druckhöhengleichung ermittelt. Die Entwicklung führt zu der Gleichung für p die theoretische Ausflussgeschwindigkeit v A ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi gh. Ein Vergleich mit den Gleichungen für den freien Fall in Tabelle 4.1, Seite 153, zeigt p die Ûbereinstimmung mit der Gleichung v t ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g Ds (mit Ds ¼ hþ für die Endgeschwindigkeit v t eines Körpers nach dem freien Fall um die Fallhöhe h. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit v A ist demnach ebenso groß wie die Endgeschwindigkeit v t eines um die Höhe h frei fallenden Flüssigkeitteilchens. Die Höhe h, die dem Fluid die Geschwindigkeit v erteilt, nennt man die Geschwindigkeitshöhe. Nach der gleichen Ûberlegung, die zur Kontinuitätsgleichung führte, strömt aus einer Úffnung mit dem Querschnitt A in jeder Sekunde der Volumenstrom V_ ¼ Av aus. Bernoulli sche Druckhöhengleichung: p 0 þ h B þ v B r g g ¼ p 0 rg þ h A þ v A g Die statische Druckhöhe p 0 =rg fällt auf beiden Seiten heraus, die Geschwindigkeitshöhe v B =g kann vernachlässigt werden und es bleibt: v A g ¼ h B h A ¼ h p v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi gh h ¼ v g pffiffiffiffiffiffiffiffi V_ ¼ Av ¼ A gh theoretische Ausflussgeschwindigkeit Geschwindigkeitshöhe theoretischer Volumenstrom

432 408 6 Fluidmechanik Der wirkliche Volumenstrom ist kleiner als der theoretische, weil die Ausflussgeschwindigkeit v e infolge der inneren Reibung und der Reibung an den Gefäßwänden p nicht ganz den theoretischen Wert v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi gh erreicht. Dieser Einfluss wird durch die Geschwindigkeitszahl j < 1 berücksichtigt. Von noch größerem Einfluss auf die Verringerung des Volumenstroms ist die Einschnürung (so genannte Kontraktion) des Fluidstrahls: Die Stromfäden im Inneren des Gefäßes laufen radial auf die Úffnung zu und können nicht plötzlich in Strahlrichtung umlenken. Der wirkliche Strahlquerschnitt ist dann nicht A sondern aa. a ist die Kontraktionszahl; sie ist immer kleiner als eins. Das Produkt aj heißt Ausflusszahl m. Der wirkliche Volumenstrom V_ e ist das Produkt aus Ausflusszahl m und theoretischem Volumenstrom V. _ Die Ausflusszahl m ist abhängig von der Form der Ausflussöffnung. Drei Hauptformen mit den zugehörigen Ausflusszahlen für Wasser zeigt das nebenstehende Bild. p v e ¼ jv ¼ j ffiffiffiffiffiffiffiffi gh wirkliche Ausflussgeschwindigkeit j ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids und beträgt für Wasser 0,97...0,99. Strahlkontraktion V_ e ¼ m V_ ¼ ma p ffiffiffiffiffiffiffiffi gh wirklicher Volumenstrom Ausflusszahlen für Wasser Ûbung: Ein Wasserbehälter hat eine Bodenöffnung von 65 mm Durchmesser. Sie liegt 5 m unter dem unveränderlich gedachten Wasserspiegel. Die Ausflusszahl beträgt 0,8. In welcher Zeit fließen V e ¼,5 m 3 Wasser aus der Bodenöffnung? Gegeben: Úffnungsdurchmesser d ¼ 65 mm Geschwindigkeitshöhe h ¼ 5m Ausflusszahl m ¼ 0,8 wirkliches Ausflussvolumen V e ¼,5 m 3 Gesucht: Ausflusszeit t Lösung: Zunächst wird die Querschnittsfläche A der Bodenöffnung berechnet. Um festzustellen, wieviel Wasser in einer Sekunde ausströmt, berechnt man den Volumenstrom V_ e. Demnach kann aus dem Ausflussvolumen V e und dem sekundlichen Ausflussvolumen ¼ Volumenstrom V_ e die Ausflusszeit t berechnet werden. A ¼ p 4 d ¼ p 4 ð0,065 mþ ¼ 0,0033 m pffiffiffiffiffiffiffiffi V_ e ¼ ma gh rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ e ¼ 0,8 0,0033 m 9,81 m s 5m V_ e ¼ 0,063 m3 s t ¼ V e _ V e ¼,5 m3 0,063 m3 s ¼ 95 s

433 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 409 Ausfluss unter dem Fluidspiegel Verbindet eine Ausflussöffnung zwei benachbarte Gefäße unterhalb ihrer Fluidspiegel, so strömt das Fluid aus dem Gefäß 1 in das Gefäß über, solange noch eine Höhendifferenz h ¼ h 1 h vorhanden ist. Die theoretische Ausflussgeschwindigkeit v ist von dieser Druckhöhendifferenz abhängig, ebenso der wirkliche Volumenstrom V_ e. Ausfluss bei Ûberdruck im Gefäß Auf dem Fluidspiegel B eines Gefäßes lastet der Druck p 1,während an der Ausflussöffnung A der Atmosphärendruck p 0 herrscht. Man nimmt wieder an, dass die Geschwindigkeit der Fluidteilchen bei B vernachlässigbar klein ist. Die Ausflussgeschwindigkeit ermittelt man mit Hilfe der Bernoulli schen Druckhöhengleichung. Darin ist v B =g vernachlässigbar, also gleich null. Statt der beiden geodätischen Höhen h A und h B wird die geodätische Höhendifferenz h ¼ h B h A eingesetzt. Damit erhält man eine Gleichung für die theoretische Ausflussgeschwindigkeit v A ¼ v. Den wirklichen Volumenstrom bekommt man mit dieser Geschwindigkeit, der Úffnungsfläche A und der Ausflusszahl m mit Hilfe der bekannten Gleichung. Wird nun noch der Ûberdruck pü im Behälter gegenüber dem äußeren Luftdruck für die Druckdifferenz p 1 p 0 gesetzt, dann vereinfacht sich die Gleichung. Ûbung: In einem Dampfkessel lastet auf der Wasseroberfläche ein Ûberdruck von 3, Pa. Das Ablassrohr liegt,3 m unter dem Wasserspiegel und hat eine lichte Weite von 50 mm. Die Ausflusszahl beträgt 0,8. Wieviel Wasser strömt in jeder Sekunde durch das Rohr? p v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g ðh 1 h Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ e ¼ ma g ðh 1 h Þ p 1 rg þ h B þ v B g ¼ p 0 rg þ h A þ v A g theoretische Ausflussgeschwindigkeit wirklicher Volumenstrom v A g ¼ p 1 rg p 0 rg þ h B h A ¼ p 1 p 0 rg sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ g hþ p 1 p 0 rg þ h theoretische Ausflussgeschwindigkeit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ e ¼ mav ¼ ma g hþ p 1 p 0 rg sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi _ V e ¼ ma g hþ p ü rg wirklicher Volumenstrom V_ e m A g h p 1, p 0, pü r m 3 s 1 m m s m Pa ¼ N m kg m 3 Gegeben: Ûberdruck pü ¼ 3, Pa geodätische Druckhöhendifferenz h ¼,3 m Rohrdurchmesser d ¼ 50 mm Ausflusszahl m ¼ 0,8 Gesucht: wirklicher Volumenstrom _ V e

434 410 6 Fluidmechanik Lösung: Zunächst wird die Querschnittsfläche A des Ablassrohrs berechnet. Dann bestimmt man mit Hilfe der bekannten Gleichung den Volumenstrom V_ e. Dabei muss beachtet werden, dass der Ûberdruck pü mit der Einheit Pa ¼ N=m eingesetzt wird. A ¼ p 4 d ¼ p m ¼ 19, m sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ e ¼ ma g hþ p ü ¼ 0,049 m rg s Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel Bei den bisherigen Betrachtungen wurde die geodätische Druckhöhe h des Fluidspiegels gegenüber der Ausflussöffnung als konstant angenommen. Damit war auch die Ausflussgeschwindigkeit konstant. Soll ein Gefäß aber ganz oder teilweise entleert werden, dann muss man den absinkenden Fluidspiegel berücksichtigen. Mit sinkendem Fluidspiegel nimmt die Ausflussgeschwindigkeit v und natürlich auch der Volumenstrom V_ e ab. Die Ausflussgeschwindigkeit p folgt dem Gesetz des freien Falls: v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi gh. Weil hier die Höhe aber nicht zu- sondern abnimmt, handelt es sich um einen gleichmäßig verzögerten Geschwindigkeitsverlauf. Man rechnt deshalb in diesem Fall mit der mittleren Ausflussgeschwindigkeit v m und erhält daraus den mittleren Volumenstrom V_ em. Das wirklich ausfließende Volumen V e ist das Produkt aus dem mittleren Volumenstrom V_ em und der Ausflusszeit t: V e ¼ V_ em t. Aus dieser Beziehung kann schließlich auch die Ausflusszeit t ¼ V e = V_ em ermittelt werden. Soll das Gefäß völlig entleert werden, verringert sich die Ausflussgeschwindigkeit vom Anfangswert v 1 bis auf v ¼ 0, weil die Höhe h am Ende der Entleerung gleich null ist. Damit vereinfachen sich die Gleichungen durch den Fortfall des letzten Zähler- oder Nennerglieds. Bei teilweiser Entleerung sind die Ausflussgeschwindigkeiten p v 1 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p gh 1 und v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gh v m ¼ v 1 þ v pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p gh 1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gh ¼ mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit _ V em ¼ ma pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p gh 1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gh mittlerer wirklicher Volumenstrom t ¼ V e ¼ V_ em wirkliche Ausflusszeit V e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ma ð gh 1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gh Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mittlere theoretische gh 1 v m ¼ Ausflussgeschwindigkeit bei völliger Entleerung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mittlerer V_ gh 1 em ¼ ma wirklicher Volumenstrom V e t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ma gh 1 wirkliche Ausflusszeit

435 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 411 Ûbung: Ein zylindrischer Wasserbehälter von 8 m Durchmesser hat in seinem Boden eine Ausflussöffnung von 400 mm Durchmesser. Das Wasser steht im Behälter 6 m hoch. Die Ausflusszahl beträgt 0,65. In welcher Zeit fließen 10 m 3 Wasser aus? Lösung: Da nicht bekannt ist, ob der Behälter nach der Entnahme von 10 m 3 Wasser teilweise oder völlig entleert ist, wird zunächst die Wasserspiegelhöhe h nach der Entnahme bestimmt. Gegeben: Behälterdurchmesser d ¼ 8mm Úffnungsdurchmesser d 1 ¼ 0,4 m Wasserspiegelhöhe h 1 ¼ 6m Ausflusszahl m ¼ 0,65 wirkliches Ausflussvolumen V e ¼ 10 m 3 Gesucht: Ausflusszeit t V e ¼ p 4 d ðh 1 h Þ h ¼ h 1 4V e 4 10 m3 ¼ 6m pd p ð8mþ ¼ 3,61 m Dann berechnet man die Ausflusszeit mit der Gleichung für teilweise Entleerung. Aufgaben Nr Der Behälter wird nur teilweise entleert. V e t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ma ð gh 1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gh Þ ¼ 15,5 s Impulserhaltungssatz Strömende Fluide üben Kräfte F auf das Leitungssystem (Rohrleitungen mit Krümmern, Düsen) aus. Man berechnet sie wie bei bewegten festen Körpern mit dem Impulssatz I ¼ mv (siehe Kapitel 4.4.9, Seite 01). Die Kraftbeträge sind abhängig von der Strömungsgeschwindigkeit v, vom Strömungsquerschnitt A, von der Fluiddichte r, vom Druck p und von der Höhendifferenz Dh zwischen Zuund Ableitungen. Zur Ermittlung der Strömungsgrößen in der skizzierten horizontal liegenden Wasserleitung wird, wie in der Statik, ein markantes Teilstück freigemacht. Zweckmäßig werden die Schnittebenen 1 und durch Anfang und Ende von Querschnittsänderungen gelegt wie in dem skizzierten düsenförmigen Leitungsstück. Die Eingangsgrößen werden mit dem Index 1 (F 1, A 1,...), die Ausgangsgrößen mit dem Index gekennzeichnet. Die Schnitte 1 und begrenzen das so genannte Kontrollvolumen KV. Bei den späteren Kräftebetrachtungen wird das Kontrollvolumen als fester Körper angesehen. d 1 Eingang F I1 m= r V 1 F I = FI1 Kontrollvolumen KV v 1 m= r V v y 1 Ausgang d Der Impuls I eines bewegten Körpers ist das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v. Die dazu in Kapitel entwickelten Gleichungen gelten auch für strömende Fluide. I ¼ m v Impuls x I m v kg m s kg m s

436 41 6 Fluidmechanik Bei Strömungsvorgängen wird nicht mit der Masse m, sondern mit dem Massenstrom _m ¼ m Dt gerechnet (siehe Kapitel 6..1, Ûbersicht). Das Produkt aus Massenstrom _m und Geschwindigkeit v ist der Impulsstrom I_ ¼ _m v. I_ ¼ _m v ¼ r V_ v Impulsstrom I m v r V_ N kg s m s kg m 3 m 3 s Wie für die Energie E gilt auch für den Impuls I ein Erhaltungssatz: Der Impuls I am Ende eines physikalischen Vorgangs (Zustand ) ist gleich dem Impuls I 1 am Anfang des Vorgangs (Zustand 1). Für strömende Fluide gilt der Impulserhaltungssatz in gleicher Form, wenn man statt der Masse m mit dem Massenstrom _m ¼ m Dt rechnet. m v ¼ m 1 v 1 I ¼ I 1 ¼ I Impulserhaltungssatz für feste Körper (siehe Kapitel 4.4.9, Seite 01) _m v ¼ _m 1 v 1 I_ ¼ I_ 1 ¼ I_ I, I 1, I m 1, m v 1, v N kg m s I, _ I_ 1, I m 1, _m v 1, v N kg s m s Impulserhaltungssatz für Fluide Die Impulsströme I_ 1 und I_ im Impulserhaltungssatz für Fluide haben die Wirkung einer Kraft F auf das Rohrleitungssystem. Deshalb nennt man sie Impulskräfte F I1 und F I. Die Impulskräfte wirken immer rechtwinklig zur Querschnittsebene. ð I_ 1,Þ ¼ð_m 1,ÞðvÞ ¼ kg s m s ¼ kg m s ¼ N Einheitengleichung Impulsströme F I ¼ I_ ¼ _m v F I ¼ r V_ v F I ¼ r A v Impulskraft F I, _ I _m v r _ V N kg s m s kg m 3 m 3 s A m Zusätzlich zur Impulskraft F I wirkt die hydrostatische Druckkraft F D. Sie ist das Produkt aus statischem Druck p und Querschnittsfläche A. F D ¼ p A F D p A N Pa ¼ N m m Hydrostatische Druckkraft Die Gesamtdruckkraft F ist die Summe aus Impulskraft F I und Druckkraft F D. Die Kräfte F 1 und F sind Druckkräfte auf das Kontrollvolumen, sie stehen rechtwinklig auf den Querschnitten A 1 und A. Die Richtungen der Kräfte F 1 und F auf das Kontrollvolumen ergeben sich nach den Regeln des Freimachens in der Statik. Das Kontrollvolumen ist im Gleichgewicht, wenn F 1 in positiver und F in negativer Richtung wirken. Die Kräfte F 1 und F wirken immer als Druckkräfte auf das Kontrollvolumen. F ¼ F I þ F D Gesamtdruckkraft F ¼ F I1 þ F D ¼ F 1 F ¼ r A 1 v 1 þ p 1 A 1 fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} fflfflffl{zfflfflffl} dynamischer statischer Kraftanteil Kraftanteil

437 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) Ûbung: Eine Rohrleitung mit 100 mm Innendurchmesser d wird unter einem Druck von 300 kpa stündlich von Litern Wasser durchströmt. Ermittelt werden sollen die Impulskraft F I ¼ I, _ die hydrostatische Druckkraft F D und die Gesamtdruckkraft F. Gegeben: Rohrdurchmesser d ¼ 100 mm Volumenstrom V_ ¼ 100 m3 h Dichte r ¼ 1000 kg Druck m 3 p ¼ 300 kpa Gesucht: Impulskraft F I hydrostatische Druckkraft F D Gesamtdruckkraft F Lösung: Die Impulskraft F I entspricht dem Impulsstrom I, _ also dem Produkt aus Massenstrom _m und Geschwindigkeit v des Fluids. F I ¼ _ I ¼ _m v Nach Kapitel 6..1 ist der Massenstrom _m das Produkt aus Volumenstrom V_ und Dichte r. Für den Volumenstrom V_ kann das Produkt aus Querschnittsfläche A und Geschwindigkeit v des Fluids eingesetzt werden. Damit ergibt sich die übliche Form der Gleichung für die Impulskraft F I oder den Impulsstrom I. _ Strömungsgeschwindigkeit v F I ¼ _ I ¼ _ V r v _ V ¼ A v F I ¼ _ I ¼ A v r v ¼ r A v V v ¼ _ A ¼ 100 m s p 0,1 m 4 ¼ 3,537 m s F I ; _ I A v r N m m s kg m 3 Der Betrag von 98 N ist die in der Strömung auftretende Impulskraft F I. Die hydrostatische Druckkraft F D ist das Produkt aus statischem Druck p und Querschnittsfläche A. Die Gesamtdruckkraft F ist die Summe aus dynamischem und statischem Kraftanteil. F I ¼ I_ ¼ 1000 kg m 3 p 0,1 m 3,537 m 4 s F I ¼ 98 N F D ¼ p A ¼ N m p 0,1 m 4 F D ¼ 356 N F ¼ F I þ F D ¼ 98 N þ 356 N F ¼ 454 N

438 414 6 Fluidmechanik. Ûbung: Der waagerecht liegende Rohrbogen einer Wasserleitung führt den Volumenstrom V_ ¼ 0,3 m3 bei einem Druck p ¼ 300 kpa. Der s Innendurchmesser des Rohres beträgt d ¼ 0,4 m. Dichte r ¼ 1000 kg, Krümmungswinkel des m3 Rohrbogens a ¼ 60 : 1 F Eingang a F Ausgang Gegeben: Volumenstrom V_ ¼ 0,3 m3 s p ¼ 300 kpa Druck Rohrdurchmesser d ¼ 0,4 m Dichte r ¼ 1000 kg m 3 Krümmungswinkel a ¼ 60 Gesucht: a) Massenstrom _m b) Strömungsgeschwindigkeit v c) Impulsstrom I_ d) Druckkraft F D e) Gesamtdruckkraft F f) Resultierende F r der beiden Gesamtkräfte F F r F F Lösung: a) Der Massenstrom _m ist das Produkt aus Volumenstrom V_ und Dichte r. b) Die Strömungsgeschwindigkeit v ist der Quotient aus Volumenstrom V_ und Querschnittsfläche A des Rohres. c) Der Impulsstrom I_ ist das Produkt aus Massenstrom _m und Strömungsgeschwindigkeit v. Der Impulsstrom I_ ist gleich der Impulskraft F I. d) Die hydrostatische Druckkraft F D ist das Produkt aus statischem Druck p und Querschnittsfläche A. e) Die Gesamtdruckkraft F ist die Summe aus hydrodynamischer und hydrostatischer Druckkraft. _m ¼ V_ r ¼ 0,3 m3 s V v ¼ _ A ¼ 4 V_ p d ¼ kg kg 1000 ¼ 300 m3 s 4 0,3 m3 s p ð0,4 mþ ¼,39 m s I_ ¼ _m v ¼ r A v I_ ¼ 1000 kg m 3 p 4 ð0,4 mþ,39 m s I_ ¼ 717,8 N F I ¼ I_ ¼ 717,8 N (hydrodynamische Druckkraft) F D ¼ p p 4 d ¼ N m p ð0,4 mþ 4 F D ¼ ,1 N (hydrostatische Druckkraft) F ¼ F I þ F D ¼ ,9 N

439 6. Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik) 415 f) Die beiden Gesamtdruckkräfte F am Anfang und Ende des Rohrbogens bilden die resultierende Kraft F r. Sie kann analytisch oder trigonometrisch berechnet werden. F r F b Analytische Berechnung der Resultierenden F r : F y Fsina Fr y F ry Fr a b F b Fcosa x F rx x Anhand der Lageskizze werden die beiden Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Kraftkomponenten F rx und F ry entwickelt. Die Resultierende F r wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Der Richtungswinkel b ergibt sich aus F rx ¼ S F x ¼ F cos a ¼ ,9 N 0,5 F rx ¼ 1908,5 N F ry ¼ S F y ¼ F sin a ¼ ,9 N 0,866 F ry ¼ N qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r ¼ Frx þ F ry qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F r ¼ ð19 08,5 NÞ þð33 69 NÞ F r ¼ N b ¼ arctan F ry N ¼ F rx 19 08,5 N ¼ Strömung in Rohrleitungen Fließt ein Fluid durch eine Rohrleitung, so muss es dabei Reibungswiderstände an den Rohrwänden überwinden. Die Folge ist ein Druckabfall Dp (Druckverlust), der von der Fluiddichte r, der Strömungsgeschwindigkeit v, dem Verhältnis zwischen Rohrlänge l und Rohrdurchmesser d und der Rohrreibungszahl l abhängt. Die Reibungszahl l (auch Widerstandszahl genannt) ist abhängig von der Reynolds schen Zahl Re und von der Rauigkeit der Rohrwandung. 1. Ûbung: Durch eine gerade, 600 m lange Rohrleitung von 400 mm Durchmesser fließen 1 m 3 Wasser in der Minute. Die Widerstandszahl beträgt 0,03. Es soll die Ausflussgeschwindigkeit v und der Druckabfall Dp in der Rohrleitung berechnet werden. Dp ¼ l l d r v Druckabfall Dp l l, d r v Pa ¼ N m 1 m kg m 3 Gegeben: Rohrlänge l ¼ 600 m Rohrdurchmesser d ¼ 0,4 m Volumenstrom V_ ¼ 1 m 3 /min ¼ 0, m 3 /s Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 Gesucht: Ausflussgeschwindigkeit v, Druckabfall Dp m s

440 416 6 Fluidmechanik Lösung: Aus der Rohrleitung fließt der Volumenstrom V_ ¼ Av aus. Daraus berechnet man die Ausflussgeschwindigkeit v ¼ Strömungsgeschwindigkeit. Mit den bekannten Größen wird der Druckabfall Dp ermittelt.. Ûbung: Durch eine Rohrleitung von 100 NW und 60 m Länge sollen 10 m 3 Wasser je Stunde gedrückt werden. Welcher Druckunterschied ist zwischen den beiden Leitungsenden erforderlich, wenn die Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 beträgt? Lösung: Hier führen dieselben Gedanken wie in der ersten Ûbung zum Ergebnis. Aufgaben Nr V_ ¼ Av V v ¼ _ A ¼ 0, m3 =s p=4 ð0,4 mþ ¼ 1,59 m s kg Dp ¼ llrv 0, m 103 d ¼ m 3 0,4 m Dp ¼ N=m ¼ Pa 1,59 m s Gegeben: Rohrdurchmesser d ¼ 100 mm ¼ 0,1 m Rohrlänge l ¼ 60 m Volumenstrom V_ ¼ 10 m 3 =h ¼ 0,0583 m 3 =s Rohrreibungszahl l ¼ 0,03 Gesucht: Druckabfall Dp V v ¼ _ m 3 0,0583 A ¼ s p ¼ 7,43 ð0,1 mþ 4 Dp ¼ llrv d ¼ 4, Pa m s

441 Sachwortverzeichnis 417 Sachwortverzeichnis A a, t-diagramm 146, 149, 151 abgeleitete Größen 143 Abminderungsfaktor 361 Abscher-Hauptgleichung 94 Abscherbeanspruchung 68, 70 Abscherfestigkeit 94 Abscherspannung 94 Abscheren 94 absoluter Druck 39 Abtriebsdrehzahl 180 Abtriebsmoment 15 Achsen 34 actio gleich reactio 191 Additionstheoreme 101, 106, 01 Øhnlichkeitssatz 345 Allgemeine Durchbiegungsgleichung 346 allgemeines Kräftesystem 1, 38 Amboss 30 Amplitude 45, 48 Amplituden-Frequenz-Diagramm 60 Analogie 39 Analogieschluss 181 Analogieverfahren 1 Analogien bei Schwingungen 57 analytische Lösung 100, 10, 105 analytische Methode, 36 Anfangsenergie 0 Anfangsgeschwindigkeit 145, 153 Anfangswinkelgeschwindigkeit 186 Anformungsgleichung 34 Anlaufreibung 115 Anstrengungsverhältnis 368 Anströmquerschnitt 156 Antriebsdrehzahl 180 Antriebsleistung 10 Antriebsmoment 15 Anzugsmoment 10, 1 A proj 88 Arbeit 0, 1, 44 Arbeit einer veränderlichen Kraft 04 Arbeit, Ûbungen 05, 11, 15 Arbeit, zeichnerische Darstellung 03 Arbeitsdiagramm 13, 34 Arbeitsfähigkeit 17, 39 Atmosphärendruck 39, 406 Auflagereibmoment 10 Auflagerkräfte Auftriebskraft 396, 399 Ausflussgeschwindigkeit 406, 408, 410 Ausflussöffnung 407 Ausflussvolumen 408 Ausflusszahl Ausfluss aus einem Gefäß 407 bei sinkendem Fluidspiegel 410 bei Ûberdruck im Gefäß 409 unter dem Fluidspiegel 409 Ausflusszahl 385 Ausflusszeit 410 Ausknicken 68, 350 Auslaufversuch 40 Auslenkung 45, 48 Auslenkung-Zeit-Gesetz 46 Auslenkung-Zeit-Linie 47 Ausrollweg 1 äußere Kräfte 64 axiale Flächenmomente 30 Herleitung 303 Tabelle 308 symmetrischer Querschnitte 311 unsymmetrischer Querschnitte 31 Ûbungen 305 axiale Widerstandsmomente 30 Ûbungen 305 Tabelle 308 Axialkraft 64 B Backenbremse 94, 17f. Bandbremse 131 Bandreibung 131 Bärmasse 7 Basiseinheiten 143, 148, 151 Basisgrößen 143 Baugrößen 179 Bauverhältnis 9 Beanspruchung 65, 377 auf Abscheren 94 auf Biegung 37 auf Druck 84 auf Knickung 350 A. Böge, Technische Mechanik, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011

442 418 Sachwortverzeichnis auf Torsion 30 auf Zug 77, zusammengesetzte 69, 364 Beanspruchungsart 67, 69, 70 Befestigungsgewinde 78 Befestigungsschraube 1 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 10 Beharrungsgesetz 187 Beharrungsvermögen 187 Belastungsart und Festigkeit 375 ruhend 376 schwellend 376 wechselnd 376 Belastungsbild, Konsolblech 300 Belastungsfall 376 I 376 II 376 III 376 Belastungskräfte Bemaßung eines Bauteils 380 Berechnung axialer Flächenmomente. Grades, Ûbungen 315 Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs, Ûbungen 33 Bernoulligleichung 401, 404, Anwendungen 406 Bernoulli sche Druckgleichung 404 Druckhöhengleichung 405, 407, 409 Gleichung 404 Berührungsflächen 13, 88 Beschleunigung 143, 151, 153, 181, 44 beschleunigte Bewegung, Formeln 153 Beschleunigung-Zeit-Diagramm 146, 149, 151 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 46 Beschleunigung-Zeit-Linie 47 Beschleunigungs-Linie 149, 151 Beschleunigungsarbeit 19, 39 Beschleunigungsbegriff 149 Beschleunigungskraft 44 Beschleunigungsmoment 44 Bestimmung des Flächenschwerpunkts 78 Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten 71 Betrag einer Kraft 3 Betragszeichen 4 Bewegungsänderung 188 Bewegungsaufgaben, Arbeitsplan 15 Bewegungsbahn 144 Bewegungsenergie 17 Bewegungsgröße 01, 3 Bewegungslehre 143 Bewegungsprobe 15, 18f. Bewegungsschraube 89 mit Flachgewinde 118 mit Spitz- oder Trapezgewinde 119 Bewegungszustand 7, 144, 178, 188, 3 Bewegung des Kolbens 150 Bewegung in Getrieben 179 bezogener Schlankheitsgrad 359 Bezugsachse 35 Bezugsebene 18, 0 Bezugsschlankheitsgrad 360 Biege-Hauptgleichung 330, 34, 364, Gültigkeitsbedingungen 331, Herleitung 39 Biegebeanspruchung 68, 70, 7 Biegefeder 343 Biegefestigkeit 375 Biegelinie 37, 345, 347 Biegemoment, 70, 37, 330, 33 34, 346, 364 Biegemoment und Kräftepaar 7 Biegemomenten- und Querkraftbestimmung, Arbeitsplan 38 Biegemomentenverlauf 33 Biegepresse 6 Biegespannung 37, 330, 34, 364 Biegeträger 38 mit mehreren Belastungen 349 Biegewechselfestigkeit 378, 379 Biegung 68, 37 und Torsion 367, Ûbung 369 Blattfeder 33, 343 Bodenfläche 393 Bodenklappe 393 Bodenkraft 393 Bogen 77 Bogenhöhe 78 Bogenlänge 77, 83 Bogenmaß 13, 158, 347 Bohrmaschinentisch 114 Bolzenverbindungen 90 Bremsbacke 94, 17 Bremsen 17 Bremshebel 94, 17, 19, 131 Bremshebeldrehpunkt 17, 131 Bremsklotz 94 Bremskraft 17, 19, 13, 193, 0 Bremsmoment 94, 17, 19, 131, 38 Bremsscheibe 94, 96, 17, 131 Bremsversuch 38 Bremsverzögerung 155, 159 Bremsweg 159, 197 Bruchfestigkeit 381

443 Sachwortverzeichnis 419 C Culmann sche Gerade 50 5 D d Alembert 194 d Alembert sches Prinzip 194 Dachbinder 68 Dachpfanne 174 Dachtraufe 174 Dämpfung einer Schwingung 57 Dauerbruchsicherheit 381 Dauerfestigkeit 377, 38 Dauerfestigkeitswerte 377 Dauerschwingversuch 376 Definitionsgleichung, Beispiele 181, 19, 0, 1, 96, 303, 305 Dehngrenze 374, 376 Dehnung 80, 374 Dehnungshypothese 368 Diagramme der gleichförmigen Bewegung 147 Dichte 188, 190, 393, Einheit 190, Luft 156 Dichtungshöhe 390 Dichtungsstellen 390 Dickenänderung 80 Differenzbremse 131 Doppelbackenbremse 19 Drall 38 Dreharbeit 13, 44 Drehbewegung 175, 31, 40, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 1, gleichmäßig beschleunigte 181 Drehimpuls 38 Drehleistung 1, 14, 44 Drehmoment, 4, 5, 16, 11, 16, 1, 3, 38, 3 Drehmomentschlüssel 1, 36 Drehsinn des Drehmoments 4 Drehstab-Stabilisator 34 Drehstabfedern 34 Drehung 6, 7 Drehweg 13 Drehwinkel 178, 181, 185, 1, 44 Drehwinkelgleichungen 184 Drehwirkung 4, 6 Drehzahl 175, 179, 14 Dreieck 77 Dreieckblattfeder 343 Dreieckfläche 77 Dreiecksumfang 83 Dreiecksverband 68 Dreikräfteverfahren 48, 95, Arbeitsplan 50 dreiwertige Lager 17 Druck 68, 385, 386, 39, 405, 411 Druck-Ausbreitungsgesetz 386 Druck-Hauptgleichung 84 Druck- und Zugbeanspruchung, Ûbungen 85 Druckabfall 415 Druckbeanspruchung 68, 70, 84 Druckdifferenz 409 Druckeinheit 386, 39 Druckenergie 404 Druckgleichung 404, 405 Druckhöhe 39, 406, 410 Druckhöhendifferenz 409 Druckkraft 350, 385, 406, 41 auf gewölbte Böden 389, hydrodynamische 414, hydrostatische 41, 414 Druckmittelpunkt 394 Druckspannung 84 Druckstäbe im Stahlbau 358 Druckverlust 415 Druckverteilung in einer Flüssigkeit 386, 391 Druck in einer Leitung 406 Druck und Biegung 365 Durchbiegung 345, 349 Durchbiegungsgleichung , Ûbungen 348 Durchschnittsgeschwindigkeit 147, 176 Dynamik 14, 143 der Drehbewegung 31 der Fluide 401 der geradlinigen Bewegung 187 dynamische Belastung 376 Dynamisches Grundgesetz 191, 19, 31, 38 für Drehung 3, Ûbungen 19, 38 E E-Modul 81 Ebenenwinkel 91, 10 Eigenfrequenz 60 Eigenschwingungen 59 Einbahnverkehr 33, 37 Einbahnverkehrsregel 33, 35, 49, 5 Eingriffslinie 180 Eingriffspunkt 65 Eingriffswinkel 180, 370 Einheit der Arbeit 0 der Beschleunigung 151 der Dichte 190

444 40 Sachwortverzeichnis des Drucks 386 der Kraft 1,, 19, 39 der Leistung 08 der Masse 189 Eins 148, 80 Einheiten, Dynamik 14, Festigkeitslehre 61, Hydraulik 385, Statik 1, Umrechnungen Einheitskreis 179, Geschwindigkeit 148 Einheitengleichung, Impulsströme 41 Einscheibenbremse 13 einschnittige Nietverbindung 90 Einschnürung 408 Einspannlänge 351 Einspannmoment 17 Einspannpunkt 335 Einspannstelle 33, 335, 34 Einspannung 351 Eintreiben von Keilen 7 einwertige Lager 15 Einzellast 336 Einzelübersetzung 181 Einzelwirkungsgrad 10 elastische Knickung 351 elastische Formänderung 79, 96, 33 elastischer Bereich 353 elastischer Stoß 4 Elastizitätsgrenze 374 Elastizitätsmodul 81, 33, 374, 384 elektrische Arbeit 03 Elongation 48 Endenergie 0 Endgeschwindigkeit 145, 153 Endtangente 345, 347, 349 Endwinkelgeschwindigkeit 185 Energie 17, Einheit 17 Energieaustausch 4 Energiebilanz 0, 30 Energieerhaltungssatz 18, 0, 5, 40, 401, 404, 405 Energieerhaltungssatz der Strömung 404, Ûbungen 1 Energieumwandlung 17 Energieverluste 18, 6, 8, 30 Entwurfsformel 358 Entwurfsberechnungen 379 erforderliche Berührungsfläche 87 erforderlicher Querschnitt 77, 84 erforderliches Widerstandsmoment 3, 330 Ermittlung der Resultierenden, rechnerisch, 38 der Resultierenden, zeichnerisch 6, 40 unbekannter Kräfte, Arbeitsplan 45 unbekannter Kräfte, rechnerisch 8, 44 unbekannter Kräfte, zeichnerisch 3, 48 Ersatzkraft 3, 8, 90, 9, 94, 101, 103 Erregerfrequenz 60 erzwungene Schwingung 45, 59 Euler 13, 351, 355, 357 Euler-Hyperbel 353 Eulerfall 351 Eulergleichung Eulergleichung, Gültigkeitsbereich 353 Euler sche Gleichung 13, 16 Knickung 351 Zahl 13 exzentrischer Stoß 3 Eytelwein 13 F F, s-diagramm 03, 1 Fachwerke 68 Fachwerkträger 68 Fadenpendel 55 Fahrbahnneigung 4 Fahrrad 5 Fahrwerkbremse 18 Fahrwiderstand , 193, 1, Ûbungen 134 Fahrwiderstandszahl 133 Fallbeschleunigung 145, 156, 189 Fallhammer 17, 9 Fallhöhe Federarbeit 04, 19, 83, 86, 34 Federdiagramm 04, 06 Federdurchmesser 35 Federkennlinie 04, 07, 34 Federkraft 04, 06 Federrate 04, 06, 51, 34 Federreihenschaltung 5 Federparallelschaltung 5 Federungsdiagramm 34 Federwaage 89 Federweg 04, 35 Feldkräfte 11 Feste Rolle 137 Festigkeit 374 Festigkeitslehre 61 Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau 380 Festigkeitsrechnung

445 Sachwortverzeichnis 41 Festigkeitswerte 374, 381, 384 Festlager, 15, 16, 53 Festlagerkraft 60, 63 Festlagerpunkt 53, 54, 56 Flächen- und Widerstandsmomente zusammengesetzter Querschnitte, Ûbungen 315 Flächenmoment Herleitungsübung 304 Flächenmomente 303, 394 Flächenmomente. Grades 30, 307, 311, 318, 395, Ûbungen 305 Flächenpressung 68, 87, 90 am Gewinde 89 an geneigten Flächen 87 an gewölbten Flächen 91 an Nieten 90 an Schrauben 89 in Gleitlagern 90, Ûbungen 9 Flächenpressungs-Hauptgleichung 87 Flächenpressungsgleichungen 90 Flächenschwerpunkt 76, 85, Ûbung 80 Flachführung 114 Flachgewinde 119 Flachriemengetriebe 16 Flankendurchmesser 11 Flankenradius 118 Flankenumfang 118 Flankenwinkel 119 Flasche 140 Fliehkraft 41, 44, Ûbungen 4 Fließen des Werkstoffes 374 Fluid 401, 41, strömendes 41 Fluiddichte 411 Fluidmechanik 385, 401 Flüssigkeiten, Eigenschaften 385 Flüssigkeitsbehälter 393 Flüssigkeitsdichten 393 Flüssigkeitsdruck 386, 39 Flüssigkeitshöhe 391 Flüssigkeitsmenge 396 Flüssigkeitsoberfläche 39 Flüssigkeitsquader 386 Flüssigkeitsreibung 115 Flüssigkeitssäule, Schwingung 56 Form und Dauerfestigkeit 379 Formänderung 33 bei Biegung 345 bei Schub 96 bei Torsion 33 Formänderungsarbeit 04, 17, 19, 4, 8 bei Torsion 34 Formänderungsgleichungen 33 Formelzeichen und Einheiten, Dynamik 14, Festigkeitslehre 61, Hydraulik 385, Statik 1 F q, x-diagramm Freier Fall 144, 156 mit Luftwiderstand 157 ohne Luftwiderstand 156 freie Knicklänge 351 freie Schwingung 45 freigemachtes Konsolblech 300 Freiheitsgrade 6 Freimachen 11 17, 94, Arbeitsplan 17, Ûbungen 18 0 Freischneiden 1 Freiträger 17, 33, 335 mit Einzellast 33, 348 mit konstanter Streckenlast 334, 348 mit mehreren Einzellasten 333 mit Mischlast 335 mit Streckenlast 344 Frequenz 48 Führungsbuchse 115 Führungslänge 115 Führungsverhältnisse 351 Funktionsgleichung 97, 10, 39, 394, Beispiele 167, 184, 196, 199, 85, 33 Fußkreisdurchmesser 180 G Galilei 187 gedämpfte Schwingung 45 gefährdeter Querschnitt 77, 84 Gelenke 13 Gelenkpunkte 13, 68 Gelenkviereck 69 geodätische Druckhöhe 406 geodätischer Druck 405 geometrische Addition 164, 37 Gesamtenergie 9 Gesamtflächenmoment 319. Grades 311 Gesamtmoment 55, 61 Gesamtresultierende 40 Gesamtschwerpunkt 79, 84 Gesamtspannung 364 Gesamtübersetzung 181 Gesamtwirkungsgrad 10 geschlossenes Krafteck 33

446 4 Sachwortverzeichnis Geschwindigkeit 143, 147, 156, 181, 411 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-diagramm) 144, 148 Geschwindigkeitsänderung 150 Geschwindigkeitsbegriff 147 Geschwindigkeitsdruck 404 Geschwindigkeitseinheit 147 Geschwindigkeits-Umrechnungsbeziehung 148 Geschwindigkeitshöhe 407 Geschwindigkeits-Linie 149 Geschwindigkeitszahl 385, 408 Geschwindigkeitszunahme 145, 150 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 46 Geschwindigkeit-Zeit-Linie 47 Gesetz der Dynamik 191 Gestalt und Dauerfestigkeit 377 Getriebe 179, 370 Getriebewelle, 16, 64, 63, 33, 367, 370 Getriebezwischenwelle 64, 67 Gewichtskraft 11, 1, 188 der verdrängten Flüssigkeit 398 Gewinde 88 Gewindeflankendurchmesser 11 Gewindegänge 89 Gewindelinie 118 Gewindereibmoment Gewindesteigung 118, 89 gleichförmige Bewegung 144, 147 Gleichgewicht, 6, 9, 188, indifferentes 86, labiles 86, stabiles 86 Gleichgewichtsbedingungen 7, 16, rechnerische 9, 44, zeichnerische 33, 48 Gleichgewichtslagen 86 schwimmender Körper 398 Gleichgewichtszustände 188 gleichmäßig beschleunigte Bewegung 144 gleichmäßig beschleunigte und verzögerte Bewegung, Ûbungen 159 Gleichung der Wurfbahn 167 Gleichungssysteme 53 Gleitfläche 89, 90 Gleitführung 87 Gleitlager 15, 9 Gleitreibung 89, 90 Gramm 189 Grauguss (Gusseisen) 375 Grenzschlankheitsgrad 353, 355, Tabelle 354 Größe und Dauerfestigkeit 377 Größenbeiwert 38 Größengleichung 177, 179, 3 Grundaufgaben der Statik, 38 Grundbeanspruchungsarten 67 Grundgleichung 15 der gleichförmigen Bewegung 147 Grundkreisdurchmesser 180 Guldin sche Oberflächenregel 85 Regeln 85, Ûbungen 86 Volumenregel 85 Gummipuffer 86 Gurte 67 Gurtplatten 319 Gusseisen (Grauguss) 375, 377, 384 H Haftreibkraft 91, 00 Haftreibung 89, 90 Haftreibwinkel 91 Haftreibzahl 91 Halbkreisbogen 83 Halbkreisfläche 77 Halslager 16, 19, 44, 48 Halslagerkraft 44, 48 Haltekraftgleichung 105, 108 Haltekraft 118, 10 Handkraft 10, 75 Handkurbel 74, 76 Handraddurchmesser 11 Handwinde 16 Hangabtriebskomponente 05 Hangabtriebskraft 133, 136 harmonische Schwingung 45 Hauptaufgaben der Statik 1 Hauptgleichung, Druck 84, Flächenpressung 87, Zug 77 Hebebock 390 Hebelarm der Rollreibung 133, 135 der statischen Stabilität 398, 400 Hebeldrehpunkt 18, 131 Hebelübersetzung 388 Herleitung des Steiner schen Satzes 313 Hertz sche Gleichungen 91, 93 Höhendifferenz 411 Höhenenergie 17 Hohlwellen 31 Hohlzylinder 34, 37 Hooke 79

447 Sachwortverzeichnis 43 Hooke sches Gesetz 79, 81, 96, 346 für Schub 96 für Torsion 33 Horizontalbewegung 166, 169 horizontale Strömung 404 Hubarbeit 119, 138, 05, 09, 15, 17, Hubgeschwindigkeit 11 Hubhöhe 06 Hubleistung 09 Hubverhältnis 391 Hubweg 138 Hubwerksbremse 17 Hydraulik 385 Hydraulikkolben 6 Hydraulikzylinder 13, 357 hydraulische Elemente 385 hydraulische Presse 390 hydraulische Pressung 386 hydraulischer Hebebock 387 Hydrodynamik 401 Hydrostatik 385 hydrostatischer Druck 386, 388, 39 Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie 368 I ideelle Spannung 368 Impuls 01, 3, 411 Impulserhaltungssatz 01, 3, 39, 44, 401, 411 für Drehung 38 für Fluide 41 Impulskraft 385, 41 Impulssatz 411 Impulsstrom 385, 41 innere Kräfte 64 inneres Kräftesystem 64, 70, 364, 366 bei Biegeträgern 37, Ûbungen 71 Internationales Einheitensystem 1 J Joule 0, 18 K Kantenpressung 64 Kegel 86 Kegelbremse 13 Kegelkupplung 88 Kegelstumpf 343 Kegelzapfen 88 Keilnut 113 Keilreibungskraft 113 Keilreibungszahl 113 Keilriemen 113 Keilwinkel 113 Kentern 400 Kenterpunkt 400 Kenterwinkel 400 Kerb-Dauerfestigkeit 378 Kerbformen 384 Kerbquerschnitt 377 Kerbwechselfestigkeit 378 Kerbwirkung 378, 381 Kerbwirkungszahl 384 Kernquerschnitt 9 Kesselnaht 389 Ketten 1, 79 Kilogramm 189 Kilowatt 14 Kinematik 143 kinetische Druckhöhe 406 kinetische Energie 17, 19, 1, 39, 44, 404 kinetischer Druck 404 Kippen 87 Kippkante 87, 135, 395 Kippmoment 87, 43, 395 Klappendrehpunkt 396 Klapptisch 6 Klemmbedingung 114, 115 Klemmen 114 Klotzbremsen 17 Knickkraft 350, 351 Knickung im Stahlbau 358 Knicksicherheit 350, 355 Knickspannung Knickspannungslinien 360, 36 Knickstäbe 359, 361 Knickung 68, 350, elastische 351, unelastische 354 Knickungsaufgaben, Arbeitsplan 355 Knoten 68 Knotenblech 68 Knotenschnittverfahren 71, 7 Kolbendichtungen 390 Kolbendurchmesser 388, 390 Kolbenflächen 387, 390 Kolbengeschwindigkeit 175 Kolbenkräfte 387 Kolbenpumpe 351 Kolbenstange 356, 357 Kolbenwege 388 kommunizierende Röhren 393 Konsolblech 99, 33, freigemacht 300

448 44 Sachwortverzeichnis Konsolträger mit Einzellast 344 mit Streckenlast 344 konstante Streckenlast 335 Kontinuitätsgleichung 403, 406 Kontraktion 408 Kontraktionszahl 408 Kontrollvolumen 411 Koordinaten 6 des Festlagerpunktes 54 Loslagerpunktes 54 Koordinatenbedingung 54, 55, 60 Koordinatendifferenz 54 Kopfdurchmesser 301 Kopfhöhe 301 Kopfkreisdurchmesser 180 Kosinussatz 37, 165 Kraft, 3, Einheit, 19, 385 -Verlängerung-Schaubild 8 -Weg-Diagramm 03 Krafteck 8 Kräftedreiecke 8 kräftefreies System 5 Kräftegleichgewicht 37 Kräftegleichgewichtsbedingung 50, 57, 58, 66 Kräftemaßstab 3 Kräftepaar 4, 69, 7, 371 Kräfteparallelogramm 8 Kräfteplan 7, 31, 33, 41 Kräftereduktion 8,, 6, 38, 40, 190 Kräftesystem 1 Kraftmoment, 4, Einheit Kraftstoß 01, 3 Kraftzerlegung 9 Kragträger 33, 337 Krängungswinkel 400 Kran 05, 08, 11 Kranhaken 1, 19 Kreisabschnitt 78 Kreisausschnitt 77 Kreisbahn 176, 188 Kreisbewegung 144, 175, 181, 1, Arbeitsplan 183, Formeln 185 Kreisbogen 83 Kreisfrequenz 48 Kreisgröße 181, 183, 1, Gegenüberstellung 1 Kreiskegel 34 Kreiskegelstumpf 34 Kreisringstück 77 Kreiszylinder 34, 37 krummlinige Bewegung 144 Krümmung 345 Krümmungsmittelpunkt 345 Krümmungsradius 93, kubische Parabel 343 Kugel 86, 34 Kugellager 15 Kupplung 89, 38 Kupplungsbelag 88 Kurbel 13 Kurbelarm 75 Kurbelgetriebe 175 Kurbelwelle 175, 13 Kurvenradius 4 L labile Schwimmlage 399 Lageenergie 405 Lageplan 3, 7 Lager 19, 115 Lagerreibkraft 116 Lagerungslänge 9 Lagerverluste 10 Lagerzapfen 115, 384 Lageskizze 18, 19 Längenausdehnungskoeffizient 8 Längsdehnung 80 Längsvorschub 163, 164 Lambda 350 Lastarbeit 388 Lastfälle 363 Lastheben 138 Lastkahn 14 Lastkolben 387, 391 Lasttrum 16 Laufkatze 165 Laufkran 165 Leertrum 16 Lehrbeispiele: Berechnung einer Getriebewelle 370 Knickung im elastischen Bereich 356 Knickung im unelastischen Bereich 357 Nietverbindung im Stahlbau 99 Nietverbindung im Stahlhochbau 97 Prinzip von d Alembert 197 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems 30 Reibung in Ruhe und Bewegung 93 Seileckverfahren, Zusammensetzung zweier Parallelkräfte 43 Torsionsstabfeder 35 Verdrehwinkel (Drehmomentschlüssel) 36

449 Sachwortverzeichnis 45 v, t-diagramm 155 Wirkungsgrad 16 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r eines zentralen Kräftesystems 31 Zugbolzen 301 Leistung 08, 1, 44, 3, Ûbungen 11, 15 Leistungsgleichung 08, 14 Leiter 18 Leiteraufgabe 97 Lichtgeschwindigkeit 190 lineare Spannungsverteilung 30, 30 lineares Kraftgesetz 49 Linienmomente 8 Linienschwerpunkt 8, 85 Linienzüge 83 Lochleibungsdruck 90, 98, 363 lose Rolle 138 Loslager, 15, 46, 53 Loslagerkraft 47, 60, 63 Fehlerwarnung 57 Loslagerpunkt 53, 56 Lösungsmethoden der Statik Lückenweite 180 Luftdichte 156 Luftdruck 39, 409 Lüften der Bremse 13 Luftwiderstand 144, 156 Luftwiderstandsbeiwert 156 M M, j-diagramm 1 Magnetfeld 11 Mantelfläche 85 Masse 188, 37, 385 Masseneinheit 189 Massenerhaltungssatz 401 Massenmoment 31 Massenschwerpunkt 41 Massenstrom 385, 401, 41 maximale Belastung 77, 84 maximale Normalkraft 87 maximales Biegemoment 330, maximales Torsionsmoment 3 M b, x-diagramm mechanische Arbeit 0, 8 mechanische Energiearten 17 mechanische Schwingungen 45 Megapascal 386 Mehrfachübersetzung 181 Mehrscheibenbremsen 13 Mehrschichtfeder 343 mehrschnittige Nietverbindung 90 metazentrische Höhe 398 Metazentrum 398 Mischlast 335 Mischreibung 115 Mittelpunktsgeschwindigkeit 177 mittlere Geschwindigkeit 150, 151 mittlere Leistung 08 mittlere Winkelgeschwindigkeit 18 Mobilkran 88 Modul 180 Momentangeschwindigkeit 150, 157, 171 Momentanwegstrecke 158 Momentenbedingung 60 Momentenbezugspunkt 45, 78, 81, 84 Momentendrehpunkt 54, 139 Momentendrehsinn 4, 79, 81 Momentenfläche 347 Momentengleichgewichtsbedingung 46, 56, 65, 95, 17, 19, 130, 133, 396 Momentensatz 38, 76, 79, 81, 84, Arbeitsplan 39 für Flächen 76, 78, 318 für Linien 8, 84 Momentenstoß 38 Momentensumme 85 Momentenverhältnis 87 Motordrehmoment 16 Mutterhöhe 89, 9 N Neigungswinkel 345, 347, 400 Nennspannung 379 neutrale Faser 30 neutrale Faserschicht 39 Newton, 187, 190 Newtonmeter, 0 Newton sches Axiom 191, erstes 187, zweites 190 Nietabstand 98 Nietanzahl 98 Nietbild 98 Nietdurchmesser 99 Niete 363 Nieten 6 Nietverbindung 97 Normalkeilriemen 113 Normalkraft 13, 15, 16, 89, 67, 70 Normalspannung 66, 67, 7 Normfallbeschleunigung 156, 189, 191 Normgewichtskraft 189, 191

450 46 Sachwortverzeichnis Nulldurchgang Nulllinie 39 Nutzarbeit 119, 138, 10 Nutzleistung 10 Nutzquerschnitt 97 O w, t-diagramm 181, 185 Oberfläche 85 Oberfläche und Dauerfestigkeit 378 Oberflächenbeiwert 38 Oberflächenberechnung 85 Oberflächenkräfte 11 Obergurt 67 örtliche Spannung 379 Ortsvektor 164 Ortsveränderung 143, 164 Oszillator 59 P Parabel 166, 334, 343 Parabelfläche 349 Parallelogramm 77 Parallelogrammfläche 77 Parallelogrammkonstruktion, wiederholte 40 Parallelogrammsatz 8, 164 Parallelogrammumfang 83 Parallelschaltung von Federn 5 Pascal 386 Passfedernut 384 Passschrauben 363 Pendelstütze 13 Periode (Schwingung) 48 Periodendauer 175, 48 physikalische Größe Planvorschub 163, 164 Platin-Iridiumzylinder 189 Poisson-Zahl 81 Pol 41 Polstrahl 41 polare Flächenmomente 306, Tabelle 310 polare Widerstandsmomente, Tabelle 310 polares Flächenmoment. Grades 303 polares Widerstandsmoment 304, 3 Polstrahlen 41 Polygon-Fachwerkträger 68 Polynomdivision 140 potentielle Energie 17, 1, 405 Pressenstößel 114 Presskraft 390 Presskraftgleichung 390 Pressung 91 Pressungshöhe 39 Prinzip von d Alembert 194, Arbeitsplan 196, Ûbungen 196 prismatische Nut 35 Prismenführung 113, 87 Probestab 380 Profilfläche 85, 86 Profillinie 85, 86 Profilstäbe 78 Profilstahlträger 334 Programmablaufplan 61 Programmschleife 61 Programmverzweigung 61 Projektionsfläche 157 projizierte Berührungsfläche 88, technische Beispiele 88 projizierte Fläche 88, 90, 389 Proportionalitätsgrenze 353, 374 Pythagoras 58, 67, 165, 168, 369 Q Quadranten, 53 quadratische Gleichung 17, Beispiele 15, 163, 171 Querbohrung 78, 384 Querdehnung 80 Querkraft 67, 70, 38 Querkraftfläche Querkraftlinie 334, 336 Querkraftsatz 333 Querkraftschaubild 336 Querkraftverlauf 33, 339 Querlager 115, 117 Querschnittsfläche 64, 350 Querschnittsformen 304 R Radachse 343 Radialkraft 14, 0, 64, 367 Radiant (rad) 13, 178 Rammen 7 Randabstand 98 Randfaser 33 Randfaserabstand 304, 331, 365, 366 Randfaserspannung 31, 330, 331 Randspannung 30 Rauigkeit 415 räumliches Kräftesystem 64 Reaktionszeit 161 rechnerische Ermittlung der Resultierenden, Arbeitsplan 6 rechnerische Gleichgewichtsbedingungen 8, 44, 46

451 Sachwortverzeichnis 47 Rechnerprogramm 53, 55, 58, 61 Rechteck 34 reduzierte Masse 37 Reibungsarbeit 07, 09, 0, 40, Diskussion der Formel 08 Reibungskraft 13, 89, 94 Reibungsleistung 116, 09 Reibungsmoment Reibungsradgetriebe 180 reibungsschlüssige Schraubenverbindung 1 Reibung 13, 89 am Spurzapfen 116 am Tragzapfen 115 an Maschinenteilen 113 auf der schiefen Ebene 99 auf der schiefen Ebene, Ûbungen 11 Reibungsaufgaben 94 Reibungskegel 9, 114 Reibungswinkel 90, 91 Reibungszahl 90, 91, Ermittlung 91, Wertetafel 91 Reißlänge 83 Reihenschaltung von Federn 51 Relativgeschwindigkeit 5 Relativitätstheorie 190 Resonator 59 Resonanz 59 Resultierende 3, 8,, 6, 01 resultierende Druckspannung 365 Federrate 51 Kraft 188, 190, 19, 3 Momentenfläche 37 Spannung 364, 367 Zugspannug 366 resultierendes Moment 60, 373 Drehmoment 39 Reynolds sche Zahl 385, 415 Richtgröße 49 Richtungsannahme 33 Richtungsregel 8 Richtungssinn 3 Richtungswinkel 3, 10,, 8, 33, 59, 61, 168, 171 der Loslagerkraft 54 Riemen 1 Riemengetriebe 16, 179 Riemenkräfte 16 Riemenscheibe 16 Riemenvorspannkraft 16 Riemenvorspannung 16 Ring 34 Ringfläche 85 Ringspurlager 117 Ringspurzapfen 116 Ringvolumen 85 Ritter sches Schnittverfahren 73, Arbeitsplan 74 Rohnietdurchmesser 97 Rohrlängsnaht 389 Rohrreibungszahl 415, 416 Rollbedingung 134 Rolle 14, 137 Rollendrehpunkt 137 Rollenradius 137 Rollenzug 137, 140, Ûbung 141 Rollkörper 14, 133 Rollkraft 133, 135 Rollmoment 134 Rollradius 133 Rollreibung 134 Rollwiderstand 13, 90, 133 Rotation 31 Rotationsarbeit 13 Rotationsenergie 39, 44 Rotationskörper 85 Rotationsleistung 14 Rückprallgeschwindigkeit 8 Rückstellmoment 53 ruhende Belastung 376 Ruhezustand 188 Rundkerbe 384 Rutschbeginn 97 Rutsche 11 Rutschen 197 S s, h-diagramm 169 s, t-diagramm 148, 158 Sackrutsche 1 Schabotte 7, 9 Schabottemasse 9 Schallgeschwindigkeit 16 Schallzeit 16 Scheibenbremsen 13 Scheibenkupplung 38 Scheitelhöhe 170 Schiebung 96 schiefe Ebene 91, 99, 101, 187, 198 schiefer Stoß 3 Schiffsmittellinie 399 Schiffsschwerpunkt 399 Schlagwirkungsgrad 7, 30

452 48 Sachwortverzeichnis Schlankheitsgrad 35, 355, 359 Schleifendurchlauf 61 Schleifscheibe 177, 40 Schlingerbewegungen 400 Schlupf 179 Schlüsselradius 10 Schmieden 6 Schmiedevorgang 7 Schmierloch 384 Schnittfläche 65, 364 Schnittgeschwindigkeit 177, 11 Schnittkraft 11 Schnittkraftmessgerät 11 Schnittmethode 65 Schnittufer 65, 69, 96, 338, 346 Schnittuntersuchung am Niet 95 Schnittverfahren 64, 69, Ûbungen 71 Schrägaufzug 0 Schräger Wurf 169 Schräglage 398 Schrägstirnradgetriebe 67 Schraube 118, 10, Ûbungen 11 Schrauben 78, 363 Schraubenfederpendel 50 Schraubenlängskraft 118, 10, 11 Schraubgetriebe 10, 118 Schraubverbindung 10, 1 Schraubzwinge 73, 364 Schubfeder 96 Schubkraftgleichung Schubmodul 96, 33, 36, 384 Schubspannung 67, 7, 95, 30, 37 Schubspannungshypothese 368 Schubspannungsverteilung 95 Schubverformung 96 schwellende Belastung 376 Schwellfestigkeit 376 Schwenkarm 19 Schwerachse 35 Schwerebene 75 Schwerefeld 11 Schwerependel 55 Schwerkraft 75 Schwerlinie 75, 80, 81 Schwerpunkt 75, 8 zusammengesetzter Flächen 78 Schwerpunktsabstand 77, 80, 8, 394 Schwerpunktsberechung 318 Schwerpunktsbestimmung 8 für Flächen, Arbeitsplan 79 für Liniengebilde, Arbeitsplan 84 Schwerpunktslage 8 Schwerpunktslehre 75, 85 Schwerpunktsweg 86 Schwimmen 397 Schwimmlage 398 Schwingung 175 Schwingung, erzwungene 59 Schwingungen, Analogien 57 Schwingungsdauer 48 Schwingungsweite 48 Sechstelkreisbogen 83 Sechstelkreisfläche 77 Sehnenlänge 77, 83 Seil 1 Seileck 4 Seileckverfahren 41, 75, Arbeitsplan 4 Seilgewichtskraft 83 Seilkraft 13 Seilreibungskraft 13, 16 Seilreibung 13, 131, Ûbungen 14 Seilstrahlen 4 Seilzugkraft 13, 15 Seitenhalbierende 77 Seitenkraft 394, 396 -Gleichung 395 selbsterregte Schwingung 45 Selbsthemmung 118, 17, 131, 08 Selbsthemmungsbedingung 9, 107, 17 Selbsthemmungsbereich 9 Selbsthemmungsgrenze 119 Sicherheit 355 gegen Dauerbruch 381 gegen Knicken 350 Sicherheitsgrad gegen Kippen 87 Sicherungsring 384 Sicherungsring-Kerbe 383 SI-Einheiten 1 Sinkgeschwindigkeit 157 Sinussatz 37, 101, 166, 00 Skalar 3, 0, 08 Spannrolle 16 Spannschienen 16 Spannung 65, 77, 379 Spannungart 67 Spannungsbegriffe 379 Spannungsbild 30, 30, 39, 365 Spannungsenergie 17, 19, 4 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 374 Spannungshypothese 368 Spannungsnachweis 85, 98, 367, 381 Spannungsquerschnitt 77

453 Sachwortverzeichnis 49 Spannungsspitze 377 Spannungsverlauf 377 Spannungsverteilung 30 imträgerquerschnitt bei Biegung 38 im unsymmetrischen Querschnitt 331 Spannwellenbetrieb 16 Spillanlage 15 Spillkopf 14 Spindelkopf 11 Spindelpresse 10 Spurlager 16, 19, 44, 49 Spurlagerkraft 44, 49 Spurzapfen 116 Spurzapfenreibzahl 116 stabile Schwimmlage 398 eines Schiffes 399 Stabilitätsproblem 350 Stabilitätskurve 400 Stahlbau 68 Standfläche 87 Standmoment 87 Standsicherheit 86, 87, Ûbungen 88 Standsicherheitsgleichung 87 Statik 1, der Flüssigkeiten 385 statische Belastung 376 statische Bestimmtheit 69, 70 statische Druckhöhe 406 statischer Druck 404 Staudruck 404 s, t-diagramm 148, 158 Steigungswinkel 118, 11, 169 Steigzeit 170 Steiner scher Verschiebesatz 35, Strebe 68 stofffreie Biegeachse 361 Stoß 01, 3, Sonderfälle 5, Ûbungen 9, wirklicher 7 Stoßabschnitt 4, 6, 8 Stoßbegriff 3 Stößel 150 Stößelbewegung 146 Stoßnormale 3, 5 Stoßzahlen 8 Stoßzahlgleichung 8 Strahlquerschnitt 408 Strahlungsenergie 17 Strecke 8 Streckenlast 334, 339 Streckgrenze 374, 381, 384 Stromfäden 408 Strömung , eindimensionale 401, horizontale 404, inkompressible 401, nichthorizontale 405, stationäre 401 in Rohrleitungen 415 mit Höhenunterschied 405 ohne Höhenunterschied 404 Strömungsgeschwindigkeit 165, 385, 404, 406, 411, 415 Strömungsgrößen 401, 411 Strömungsmechanik 401 Strömungsquerschnitt 401, 403, 411 Stützbalken 7 Stützflächen 13 Stützhaken 16 Stützkraftberechung 53, 6, Programmablaufplan 61 Stützkraftermittlung beim räumlichen Kräftesystem 64 Stützkräfte, 11, 16, 53, 64, 7 Stützkraftkomponenten 64 Stützträger 7, 33, 336 mit Einzellast 336, 348 mit konstanter Streckenlast 339, 348 mit mehreren Einzellasten 337 mit Mischlast 339 Summenbremse 131 Summenformeln 01 Symmetrieebene 75, 80, 83 systemanalytisch 53 systemanalytisches Lösungsverfahren 6 zur Stützkraftberechnung 53 Systemgleichungen, Zusammenstellung 60 T Tangensfunktion 4, 135 Tangentialbeschleunigung 185, 185, 31 Tangentialgröße 176, 183 Tangentialkraft 13, 0, 64, 89, 13, 31 Tangentialverzögerung 186 Teilkreisdurchmesser 180 Teilschwerpunkt 78 Teilung 180 Temperaturdifferenz Temperatur und Festigkeit 375 Tetmajer 354, 357 Tetmajergleichungen 354 Tonne 189 Torsion 69, 30, Formänderung 33

454 430 Sachwortverzeichnis Torsionsbeanspruchung 69 Torsions-Hauptgleichung 3, Herleitung 31 Torsionsmoment, 69, 30, 34, 36 Torsionspendel 53 Torsionsspannung 69, 30, 3 Torsionsstabfeder 13, 34, 35 Torsionsstab-Messgerät 35 Totpunkt 150 Trag- und Spurzapfenreibung, Ûbungen 117 Träger 15 gleicher Biegespannung 34 Trägerbelastung 334 Tragsicherheit 358 Tragsicherheitsnachweis 358 Trägheit 187 Trägheitsgesetz 7, 176, 187, 190, 41 Trägheitskraft 157, 195, 00, 44 Trägheitsmoment 31, 35, 44, 54, Ûbung 33 Trägheitsmomente, Gleichungen 34 Trägheitsradius 3, 37, 308, 350, 366 Tragtiefe 89 Tragzapfen 115 Tragzapfenreibzahl 115 Translation 6, 187 translatorische und rotatorische Größen, Gegenüberstellung 44 Transportband 199 Trapez 77 Trapezgewinde 119, 11, 78, 9, Bezeichnungen 89 Tretkurbel 5 Triebarbeit 388 Triebkolben 387, 391 Triebkraft 188, 387, 390 trigonometrische Lösung 101, 103, 106 Auswertung 37 Methode 37 Trum 16 U U-Rohr 39 U-Rohrmanometer 39 Ûberdruck 39, 407, 409, 410 Ûberlagerung 163 von beschleunigter Bewegung 166 von gleichförmig geradlinigen Bewegungen 165 Ûberlagerungsprinzip 164, 335, 349 Ûbersetzung 180, 15, Ûbungen 15 Ûbersetzungsverhältnis 180 Ufermauer 395 Umdrehung 175, 178 Umdrehungsfrequenz 14 Umfahrungssinn 37 Umfangsgeschwindigkeit 116, 176, 11, 14 Umfangskraft 16, 118, 367, 370 Umkehrpunkt 150 Umlaufzeit 175 Umlenkrolle 137 Umrechnungsbeziehung 148 (Grad in rad) 13 Umschlingungswinkel 13, 15 unelastische Knickung 354 unelastischer Stoß 6 ungleichförmige Bewegung 144 unsymmetrische Querschnitte 31, 318 Unterdruck 406 Untergurt 68 Ursprungslänge 80, 8, 374 V v, t-diagramm 143, 146, 151, 155, 181 des freien Falls 145 eines Stößelhubes 146 für senkrechten Wurf 145, Ûbungen 145 v-linie 145, 151 Vektor 3, 8, 151, 5 verdrängte Flüssigkeitsmenge 396 Verdrängungsschwerpunkt Verdrehung 69, 30 Verdrehwinkel 33, 34, 36 Verformungsarbeit 17, 30 Verformungsbild 30, 39 Verformungsenergie 17 Vergleichsmoment 368, 373, zeichnerische Bestimmung 369 Vergleichsspannung 367 Verhältnisgröße 80 Verkürzung 8 Verlängerung 80, 8, 374 Versatzwinkel 64 Verschiebegeschwindigkeit 09, 1 Verschiebekraft 14, 06, 09, 1 Verschiebesatz (Steiner sche) 35, Verschiebeweg 06, 1, 44 Verschiebung 6 Verschiebungsgröße 365 Verschwächungsverhältnis 97 Vertikalbewegung 166, 169 verzögerte Bewegung, Formeln 154

455 Sachwortverzeichnis 431 Verzögerung 143, 146, 154 Vierkräfteverfahren 50, Arbeitsplan 5 Viertelkreisbogen 83 Viertelkreisfläche 77 Viskosität 385, dynamische 385, kinematische 385 Vollspurzapfen 116 Volumen 190 Volumenänderung 385 Volumenberechnung 85 Volumenkräfte 11 Volumenstrom 385, 401, vorhandene Flächenpressung 87 vorhandene Spannung 77, 84, 3, 330 Vorschubbewegung 144 Vorspannkraft 118, 06 W Waagerecht-Stoßmaschine 146 Waagerechter Wurf 164, 166 Walze 35 Wälzpunkt 370 Wanddicke eines Kessels 389 Wanddrehkran 19, 44, 48 Wärme Wärmekapazität Wärmemenge 03, Wärmespannung 8 Wasserdruckhebebock 387 Wassersäule 393 Watt 08 Wattsekunde 0 Wechselfestigkeit 376, 378 wechselnde Belastung 376 Wechselwirkungsgesetz 191, 3 Weg-Linie 148 Weg-Zeit-Diagramm 148 Wegabschnitt 143, 147, 153, 181 Wegeinheit 147 Weggleichung 15, 166 für Rollenzüge 140 Wehr 395 Wellen 34 Wellenachse 31 Wellendrehmoment 115 Werkzeugträger 147 Widerstandsmoment 30, 304, 308, 311, 318, 310, 3, 365, Ûbungen 305 Widerstandszahl 385, 415 Winkelbeschleunigung 181, 185, 31, 44 Winkelgeschwindigkeit 117, 178, 1, 14, 44, 3 Winkelgeschwindigkeitsänderung 18 Winkelhebel 46, 53 Winkelprofil 315 Winkelverzögerung 186, 3 Wirkabstand, 13 der Auflagereibkraft 10 wirklicher Stoß 7 Wirklinie 3 Wirkungsgrad 0, 09, 15, 9 der festen Rolle 138 der hydraulischen Presse 390 der losen Rolle 139 m r des Rollenzuges 141 für Schraubgetriebe 119, Ûbungen 11, 15, Beispiele 10 Wirkungsgradgleichung 138, 8 Wirkungsgradtabelle 141 Wurfbahn 169 beim waagerechten Wurf 167 Wurfhöhe 169 Wurfparabel 167, 17 Wurfweite 167, 169, 173 Wurfzeit 170, 17 Z Zähigkeit 385, 408 Zahlenwertgleichung 177, 179, 14, 84, 3, 354, 389 Zahndicke 180 Zahneingriff 64 Zähnezahlen 180 Zahnflanken 93 Zahnfußhöhe 180 Zahnkopfhöhe 180 Zahnkraft 65 Zahnkraftkomponente 16, 64 Zahnrad 93 Zahnradgetriebe 179 Zahnradkraft 16 Zapfenradius 137 Zapfenreibzahl 115, 117 zeichnerische Ermittlung der Resultierenden, Arbeitsplan 8 unbekannter Kräfte, Arbeitsplan 34 Zeitabschnitt 143, 147, 153, 181, 185 Zeiteinheit 147 Zeitkonstante 157 zentrales Kräftesystem 1, Zentrifugalkraft 4

456 43 Sachwortverzeichnis Zentripetalbeschleunigung 41, 46 Zentripetalkraft 41, 49 Zerlegung einer Kraft 9 Ziehschlitten 114 Zug 67, 77 Zug- und Druckbeanspruchung, Ûbungen 85 Zug und Biegung 364 Zugbeanspruchung 67, 70, 77 Zugbolzen 301 Zug-Hauptgleichung 77, 364 Zughaken 0, 136 Zugkraft 1, 136 an der festen Rolle 137 beim Lastheben 139 Zugkraftgleichung 100, 10 für Rollenzüge 140 Zugfestigkeit 83, 374 Zuglaschen 78 Zugschrauben 78 Zugspannung 77 Zugversuch 374 zulässige Spannung 379, Begriff 379 für Bauteile 363 für Verbindungsmittel 363 Spannungen im Stahlhochbau 363 zusammengesetzter Querschnitt 319 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 164 Zweigelenkstäbe 13, 68 zweischnittig 363 zweiwertige Lager 15 Zwischenresultierende 40 Zylinderführung 114 Zylinderführungsbuchse 114 Zylindermantel 34