Lineare Algebra I, WiSe 2015

Transkript

1 Lineare Algebra I, WiSe 25 (Prof Dr O Bogopolski) Dieses Skript basiert teilweise auf dem Skript von Prof Dr Fritz Grunewald Wir betrachten ein breiteres Spektrum von Themen Definitionen, Beispiele und Beweise werden meistens in einer anderen Weise präsentiert Beweise werden in diesem Skript nicht aufgeschrieben Vorlesung Mengen Sei M eine Menge und x ein Objekt x M bedeutet, dass x ein Element von M ist und x / M bedeutet, dass x kein Element von M ist Beispiele: ) Die leere Menge 2) { } Die Menge, die die leere Menge als einziges Element enthält 3) {, { }, {, { }}} Die Elemente dieser Menge sind, { }, {, { }} 4) {, 2, a, ein Tisch, eine Katze} 5) N = {, 2, 3, 4, 5, } Die Menge der natürlichen Zahlen 6) Z = {, 3, 2,,,, 2, 3, } Die Menge der ganzen Zahlen Zwei Arten eine Menge zu beschreiben: (a) durch Aufzählen ihrer Elemente, so wie in )-6) (b) durch eine Eigenschaft, die ihre Elemente erfüllen, so wie in 7)-) 7) {x x hat die Eigenschaft A} 8) {x x ist eine natürliche Zahl mit x 5} = {, 2, 3, 4, 5} 9) {x x ist eine natürliche Zahl und x = a+b mit a {6, 7}, b {, 2}} = {7, 8, 9} ) {x x ist ein Tiger und befindet sich im Hörsaal 5D} Bezeichnungen = und : Zwei Mengen A und B heißen gleich (und man schreibt A = B), wenn A und B die gleichen Elemente haben Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B (und man schreibt A B), wenn jedes Element von A auch in B liegt Es gilt A = B genau dann, wenn A B und B A ist Es gilt B für jede Menge B Die Ordnung der Elemente in einer Menge ist unwichtig So ist {, 2, 3} = {2,, 3}

2 Operationen mit Mengen: (a) Vereinigung: (b) Schnitt: (c) Differenz: A B := {x x ist ein Element von A oder von B} A B := {x x ist ein Element von A und von B} Beispiele: {, 2, 3} {2, 3, 4} = {, 2, 3, 4}, {, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3}, {, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {} A \ B := {x x ist ein Element von A aber nicht von B} Satz Sind A, B, C Mengen, dann gilt: A (B C) = (A B) (A C) Bezeichnung: Sei A eine endliche Menge Dann bezeichnet A die Anzahl der Elemente von A Beispiele: =, { } =, {, 2} = {2, 3} = {3, 4} = 2, {, { }, {, { }}} = 3 Satz 2 Sind A, B, C endliche Mengen, dann gilt: A B = A + B A B Definition 3 Sei A eine Menge Die Menge heißt die Potenzmenge von A P(A) := {X X A} Beispiele: P( ) = { }, P({ }) = {, { }}, P({, 2}) = {, {}, {2}, {, 2}}, P({, 2, 3}) = {, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, {, 2, 3}} Definition 4 Sei A eine Menge und k N {} Die Menge P k (A) := {X X A und X = k} heißt die Menge der k-elementigen Teilmengen von A 2

3 Beispiele: P ({, 2, 3}) = { }, P ({, 2, 3}) = {{}, {2}, {3}}, P 2 ({, 2, 3}) = {{, 2}, {, 3}, {2, 3}}, P 3 ({, 2, 3}) = {{, 2, 3}}, P 4 ({, 2, 3}) = Definition 5 Seien A und B Mengen Die Menge der Paare heißt das direkte Produkt von A und B A B := {(a, b) a A, b B} Beispiele: Sei A = {, a} und B = {, b} Dann ist A B = {(, ), (, b), (a, ), (a, b)} Sei A = {, 2} und B = {, 2, 3} Dann ist A B = {(, ), (, 2), (, 3), (2, ), (2, 2), (2, 3)} Satz 6 Sind A, B endliche Mengen, dann ist das direkte Produkt A B endlich und es gilt: A B = A B Definition 7 Sei n eine natürliche Zahl und seien A, A 2,, A n Mengen Eine Sequenz (a, a 2,, a n ) mit a A, a 2 A 2,, a n A n heißt ein n-tupel Die Menge A A 2 A n := {(a, a 2,, a n ) a A, a 2 A 2,, a n A n } heißt das direkte Produkt von A, A 2,, A n Satz 6 Sei n eine natürliche Zahl Sind A, A 2,, A n endliche Mengen, dann ist das direkte Produkt A A 2 A n endlich und es gilt: A A 2 A n = A A 2 A n Bezeichnung Sei n eine natürliche Zahl und sei A eine Menge Die Menge heißt n-te Potenz der Menge A A n := A A }{{} n mal 3

4 2 Vorlesung 2 Natürliche Zahlen und Induktion Axiome 2 (Peano Axiome) Die natürlichen Zahlen können durch die folgenden Axiome charakterisiert werden: ) ist eine natürliche Zahl 2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n, der ebenfalls eine natürliche Zahl ist (Es ist gemeint, dass n = n + ist) 3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger ist 4) Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl 5) Ist S eine Teilmenge von N und gelten (a) S und (b) ist n S, dann gilt auch n S, so folgt S = N Satz 22 Für jede endliche Menge M gilt Satz 23 Für alle n N gilt P(M) = 2 M n = n(n + ) 2 Satz 24 Für alle n N gilt n 2 = n(n + )(2n + ) 6 22 Binomialkoeffizienten Definition 22 Für n, k Z mit k n definieren wir den Binomialkoeffizient ( n k) als ( ) n := P k (M), k wobei M eine beliebige n-elementige Menge ist Mit anderen Wörtern ist ( n k) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge M 4

5 Beispiele: ) ( ) 5 = 3 Um das zu beweisen, schreiben wir die alle 3-elementige Teilmengen der Menge M = {, 2, 3, 4, 5} auf: P 3 (M) = {{, 2, 3}, {, 2, 4}, {, 2, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}} 2) ( ) 5 = 2 Um das zu beweisen, schreiben wir alle 2-elementigen Teilmengen der Menge M = {, 2, 3, 4, 5} auf: P 2 (M) = {{, 2}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} Bezeichnung Für n N heißt die Zahl n-fakultät Zusätzlich definiert man! = Es gilt 7! = = 54 n! = 2 n Satz 222 Es gelten: ) ( ) =, ( ) ( ) n n =, =, n ( ) n = n, ( ) n = n, n 2) ( ) n = k n! k!(n k)!, 3) ( ) ( ) n n =, k n k 4) ( ) n = 2 n(n ), 2 ( ) n = 3 n(n )(n 2), 6 5) Für k < n: ( ) ( ) n + n = + k + k + ( ) n k 5

6 Beweis zu 2) Schritt Als einführenden Beispiel stellen wir fest, dass es 3! Varianten gibt, um a, a 2, a 3 zu ordnen: (a, a 2, a 3 ), (a, a 3, a 2 ), (a 2, a, a 3 ), (a 2, a 3, a ), (a 3, a, a 2 ), (a 3, a 2, a ) Im Allgemein gilt: es gibt k! Varianten, um k Symbole a,, a k zu ordnen Tatsächlich, gibt es k Varianten, um die erste Stelle aus k Symbolen zu wählen Für jede Wahl der ersten Stelle haben wir (k ) Varianten, um die zweite Stelle zu wählen Sobald die erste und die zweite Stelle gewählt sind, haben wir (k 2) Möglichkeiten für die Wahl der dritten Stelle usw Insgesamt haben wir k (k ) (k 2) = k! Varianten Schritt 2 Nach Definition 22 ist ( n k ) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge {a,, a n } Um eine solche Teilmenge zu bilden, wählen wir zuerst ein Element aus {a,, a n } (dafür gibt es n Varianten), dann wählen wir das zweite Element (dafür gibt es (n ) Varianten), usw Schließlich wählen wir das k-en Element (dafür gibt es (n (k )) Varianten) Insgesamt gibt es n (n ) (n k + ) Varianten, um so eine geordnete Sequenz von k Elementen zu wählen Verschiedene geordnete Sequenzen können als Mengen gleich sein Zum Beispiel, {a, a 2, a 3 } = {a, a 3, a 2 } = {a 2, a, a 3 } = {a 2, a 3, a } = {a 3, a, a 2 } = {a 3, a 2, a } Wir interessieren uns aber um Mengen, für die die Ordnung der Elemente keine Rolle spielt Deswegen ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge {a,, a n } gleich n (n ) (n k + ) k! Diese Zahl gleich der folgenden Zahl ist: n (n ) (n k + ) k! (n k)(n k ) (n k)(n k ) = n! k!(n k)! Beweis zu 5) Wir beweisen diese Formel mit Hilfe der Formel aus 2) ( ) ( ) ( ) n + n n = + k + k + k (n + )! (k + )!(n k)! n + (k + )!(n k)! n + (n k)! (n)! = (k + )!(n k )! = (k + )!(n k )! = (n k )! n! k!(n k)! k!(n k)! (k + ) (n k)! n + = (n k) + (k + ) 6 (Dividiere durch n!) (Multipliziere mit (k+)!) (Multipliziere mit (n-k)!)

7 Pascalsches Dreieck: ( ) ( )( ) ( 2 )( 2 )( 2 2) ( 3 )( 3 )( 3 )( 3 2 3) ( 4 )( 4 )( 4 )( 4 )( ) ( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )( ) 2 = Satz 223 (Binomischer Lehrsatz) Seien x, y R und n N Es gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n (x + y) n = x y n + x y n + x 2 y n x n y + 2 n ( ) n x n y n Aufgabe : Tutorium (a) Aus dem karierten 4 4 Quadrat hat man die obere linke Zelle entfernt Zeigen Sie, dass sich der Rest in Eckchen aus drei Zellen zerschneiden lässt (b) Zeigen Sie die zu (a) analoge Aussage für 2 n 2 n Quadrate (n 2), wobei wieder die obere linke Zelle entfernt ist Aufgabe 2: Sei n eine natürliche Zahl Zeigen Sie, dass 2 (3n) + durch 3 n+ teilbar ist 3 Vorlesung 3 Abbildungen Definition 3 Eine Abbildung f von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein Element y Y zuordnet Man schreibt f : X Y, x f(x) Beispiele: () f : N N, x x 2 (2) g : {, 2, 3} {, 2, 4},

8 (3) h : {, 2, 3} {, 2, 4}, Definition 32 Sei A X Dann heißt f(a) = {f(x) x A} das Bild von A Sei B Y Dann heißt f (B) = {x X f(x) B} das Urbild von B Im Beispiel (2) oben: Das Bild von {} ist {2}; das Urbild von {2} ist aber {, 2} Definition 33 ) Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, wenn für alle x, x 2 X mit x x 2 gilt: f(x ) f(x 2 ) 2) Eine Abbildung f : X Y heißt surjektiv, wenn es zu jedem y Y mindestens ein x X mit f(x) = y gibt 3) Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist Im Beispiele oben: f ist injektiv, aber nicht surjektiv; g ist nicht injektiv und nicht surjektiv; h ist bijektiv Definition 34 Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen Die Verknüpfung g f ist die wie folgt definierte Abbildung: g f : X Z, x (g(f(x)) Beispiel: f : {a, b, c} {, 2, 3}, a 2 b 3 c 3 g : {, 2, 3} {u, v}, u 2 v 3 v g f : {a, b, c} {u, v}, a v b v c v Satz 35 Sei X eine endliche Menge und f : X X eine Abbildung Dann sind äquivalent: (a) f ist injektiv (b) f ist surjektiv (c) f ist bijektiv 8

9 Bemerkung: Für unendliche Mengen ist diese Äquivalenz im allgemeinen falsch Beispielsweise ist die Abbildung f : N N, x x 2 zwar injektiv, aber nicht surjektiv Definition 36 Sei X eine Menge Die Abbildung f : X X, x x, heißt Identität auf X Man bezeichnet sie mit id X Satz 37 Sei f : X Y eine Abbildung Dann sind äquivalent: (a) f ist bijektiv (b) Es existiert eine Abbildung g : Y X, so dass folgende Formeln gelten: g f = id X, f g = id Y Behauptung Seien f : X Y, g : Y Z und h : Z T drei Abbildungen Dann gilt: h (g f) = (h g) f 4 Vorlesung 4 Gruppen Satz 4 Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit einer Abbildung : G G G (wir werden a b anstatt (a, b) schreiben), so dass die folgende drei Axiome erfüllt sind: () für alle a, b, c G gilt: a (b c) = (a b) c, (2) es existiert ein e G, so dass für alle a G gilt: a e = e a = a, (3) für alle a G existiert b G, so dass a b = b a = e gilt Behauptung: In jeder Gruppe gibt es nur ein Element, welches das zweite Axiom erfüllt Außerdem existiert für jedes a G genau ein Element b, für welches Axiom (3) erfüllt ist Das Element e heißt neutrales Element von G und b heißt inverses zu a 9

10 Beispiele von Gruppen ) Z mit der Addition + 2) Q \ {} mit der Multiplication 3) Sei E eine Ebene und d(x, y) der Abstand zwischen den Punkten x, y E Eine Bewegung von E ist eine Abbildung f : E E, so dass d(x, y) = d(f(x), f(y)) für alle x, y E gilt Beispiele von Bewegungen sind Rotationen und Spiegelungen Die Komposition von zwei Bewegungen ist wider eine Bewegung Sei ABC ein gleichseitiges Dreieck in E und sei O seine Mitte Die Menge aller Bewegungen von E, die das Dreieck auf sich abbilden ist G = {r, r 2, r 24, l A, l B, l C }, wobei r α die Rotation von E um O um α Grad im Gegen-Uhrzeigersinn und l X die Spiegelung an der Achse (XO) ist: r : r 2 : r 24 : l A : l B : C C C C C l C : C A A A B B C C B A A B B C C A B A A C B A C B B A A A B C C B B A A C B B C A B A A B B A C C B Diese Menge G zusammen mit der Komposition von Bewegungen ist eine Gruppe Diese Gruppe heißt Symmetriegruppe des Dreiecks ABC Beispiel: Wir berechnen die Komposition l A l B in den Punkten A, B, C: Es gilt also l A l B = r 2 l A l B (A) = l A (l B (A)) = l A (C) = B l A l B (B) = l A (l B (B)) = l A (B) = C l A l B (C) = l A (l B (C)) = l A (A) = A 9

11 4) Wir betrachten die Menge S 3 aller bijektiven Abbildungen von {, 2, 3} in {, 2, 3} Jede solche Abbildung f : {, 2, 3} {, 2, 3} werden wir in der Form f = ( 2 3 ) f() f(2) f(3) aufschreiben Dann ist ( ) ( ) ( ) {id =, α =, β =, S 3 = ( ) ( ) ( ) γ =, γ =, γ = } 2 3 In der folgenden Tabelle sind die Kompositionen der Elemente aus S 3 angegeben: id α β γ γ 2 γ 3 id id α β γ γ 2 γ 3 α α β id γ 3 γ γ 2 β β id α γ 2 γ 3 γ γ γ γ 2 γ 3 id α β γ 2 γ 2 γ 3 γ β id α γ 3 γ 3 γ γ 2 α β id Die Menge S 3 zusammen mit der Komposition ist eine Gruppe: (a) Die Behaputung nach Satz 37 besagt, dass die Assoziativität gilt (b) id ist das neutrale Element (c) Die inversen Elemente sind in der folgenden Tabelle angegeben: a id α β γ γ 2 γ 3 a id β α γ γ 2 γ 3 Definition 42 Für jedes n N definieren wir S n als die Menge aller biektiven Abbildungen von {, 2,, n} in {, 2,, n} Die Gruppe (S n, ) heißt Permutationsgruppe der Menge {, 2,, n} Definition 43 Sei X eine nicht-leere Menge und sei S(X) die Menge aller biektiven Abbildungen von X in X Die Gruppe (S(X), ) heißt Permutationsgruppe der Menge X Bemerkung Es ist klar, dass S n gleich S({, 2,, n}) ist Satz 44 Die Permutationsgruppe (S(X), ) ist genau dann kommutativ, wenn X = oder X = 2

12 5 Vorlesung Bezeichnung Sei (G, ) eine Gruppe mit dem neutralen Element e Für a G schreiben wir für n N a = e, a = a, a 2 = a a, a 2 = a a, a n = } a a {{ a}, a n = } a a {{ a } n mal n mal Definition 5 Sei G eine Gruppe mit dem neutralen Element e und sei a G Die Ordnung von a ist die kleinste natürliche Zahl n, für die a n = e gilt Gibt es keine solche Zahl, so sagt man, dass a unendliche Ordnung hat Die Ordnung von a wird als Ord(a) bezeichnet Also ist Ord(a) N { } Beispiele () In der Gruppe S 3 haben wir mit den Bezeichnungen aus dem ersten Beispiel dieser Vorlesung: a id α β γ γ 2 γ 3 Ord(a) (2) In der Gruppe (Z, +) ist Ord(z) = für alle z und Ord() = Satz 52 Sei a G mit Ord(a) < und sei m N Dann gilt a m = e genau dann, wenn Ord(a) ein Teiler von m ist Definition 53 Die Ordnung einer Gruppe G ist die Anzahl von Elementen in G und wird mit G bezeichnet Definition 54 Sei (G, ) eine Gruppe Eine nicht-leere Teilmenge U von G heißt Untergruppe von G, wenn () für alle a, b U gilt a b U, (2) für alle a U gilt a U Bemerkung Eine Untergruppe U einer Gruppe (G, ) ist selber eine Gruppe bezüglich Beispiel Sei n eine natürliche Zahl Als nz bezeichnen wir die Menge aller ganzen Zahlen, die durch n teilbar sind: Dann ist nz eine Untergruppe von Z nz = {, 2n, n,, n, 2n, } 2

13 Satz 55 Alle von {} verschiedenen Untergruppen von Z haben die Gestalt nz für ein n N Definition 56 Sei (G, ) eine Gruppe und M eine nicht-leere Teilmenge von G Man sagt, dass G von M erzeugt ist, wenn jedes Element g G in der Form g = m m 2 m k geschrieben werden kann, wobei m i M oder m i disem Fall schreibt man M = G M für i k und k N ist In Beispiel Z = = 37, 7 6 Vorlesung Bezeichnung Sei m Z und sei n N Wir teilen m durch n und erhalten ein q Z und einen Rest r N {}, so dass m = qn + r, r < n gilt Den Rest r bezeichnen wir mit Rest n (m) Beispiel Rest 7 (37) = 2, weil 37 = und 2 < 7 ist Definition 6 Sei n N Wir betrachten die Menge Z n definieren auf Z n eine Verknüpfung + n durch: = {,,, n } Wir i + n j = Rest n (i + j) Satz 62 (Z n, + n ) ist eine Gruppe Definition 63 Die Gruppe (Z n, + n ) heißt Restklassengruppe modulo n Beispiel Für die Gruppe (Z 4, + 4 ) ergibt sich die folgende Verknüpfungstabelle: Beispiel Alle Untergruppen von Z 2 sind: {}, {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, }, {, 2, 4, 6, 8, }, {, 3, 6, 9}, {, 4, 8}, {, 6} 3

14 Definition 64 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen Eine Abbildung ϕ : G G 2 heißt Homomorphismus, wenn für alle x, y G gilt ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) Behauptung Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen mit neutralen Elementen e, e 2 und sei ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Dann gilt: ) ϕ(e ) = e 2, 2) ϕ(a ) = (ϕ(a)) für alle a G, Beispiele (a) Folgende Abbildungen sind Homomorphismen: ) ϕ : Z Z, x 2x 2) ϕ : { Z 2 Z 4 2 3) ϕ : Z 4 Z (b) Folgende Abbildung ist kein Homomorphismus: ϕ : { Z 2 Z 4 3 Definition 65 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen Eine Abbildung ϕ : G G 2 heißt Isomorphismus, wenn ) ϕ eine Bijektion ist, 2) ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) für alle x, y G gilt Satz 66 Wenn ϕ : G G 2 ein Isomorphismus ist, dann ist die inverse Abbildung ϕ : G 2 G auch ein Isomorphismus Definition 67 Zwei Gruppen (G, ) und (G 2, ) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus ϕ : G G 2 existiert Beispiele ) Die Gruppe (Z, +) und ihre Untergruppe (2Z, +) sind isomorph 2) Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks und die Permutationsgruppe S 3 sind isomorph 4

15 7 Vorlesung Definition 7 Eine Gruppe (G, ) heißt zyklisch, wenn ein Element g G existiert, so dass G = g ist Mit anderen Wörtern ist G = {g i i Z} Beispiele ) (Z, +) ist eine zyklische Gruppe, weil Z = ist 2) (Z n, + n ) ist eine zyklische Gruppe für alle n N, weil Z n = ist Satz 72 ) Jede unendliche zyklische Gruppe ist zu (Z, +) isomorph 2) Jede endliche zyklische Gruppe mit n Elementen ist zu (Z n, + n ) isomorph Definition 73 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen mit neutralen Elementen e und e 2 Sei ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Der Kern von ϕ ist die Menge ker(ϕ) = {x G ϕ(x) = e 2 } Das Bild von ϕ ist die Menge im(ϕ) = {ϕ(x) x G } Satz 74 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen und ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Dann ist äquivalent: (a) ϕ ist injektiv (b) ker(ϕ) = {e }, wobei e das neutrale Element von G ist Satz 75 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen mit neutralen Elementen e, e 2 und sei ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Dann gilt: ) ker(ϕ) ist eine Untergruppe von G, im(ϕ) ist eine Untergruppe von G 2, 2) wenn a G eine endliche Ordnung hat, dann ist Ord(ϕ(a)) ein Teiler von Ord(a), 3) wenn ϕ ein Isomorphismus ist, dann gilt: Ord(ϕ(a)) = Ord(a) für alle a G Definition 76 Sei (G, ) eine Gruppe, H eine Untergruppe und g G Die Menge gh = {g h h H} heißt die linke Nebenklasse von H in G bzgl g Die Menge {gh g G} ist die Menge aller linken Nebenlassen von H in G Beispiel Sei G = S 3 = {id, α, β, γ, γ 2, γ 3 } (siehe erstes Beispiel von Vorlesung 5) und H = {id, γ } Wir schreiben alle linken Nebenlassen von H in G auf: idh = {id, γ } = N, γ H = {γ, id} = N, αh = {α, γ 3 } = N 2, γ 2 H = {γ 2, β} = N 3, βh = {β, γ 2 } = N 3, γ 3 H = {γ 3, α} = N 2 5

16 Definition 77 Sei H eine Untergruppe einer Gruppe G Die Anzahl der linken Nebenklassen von H in G heißt der Index von H in G und wird mit G : H bezeichnet Satz 78 (Lagrange) Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G Dann ist H ein Teiler von G Genauer gilt G = H G : H Folgerung 79 Sei a ein Element einer endlichen Gruppe G Dann ist die Ordnung von a ein Teiler der Ordnung von G 6

17 Aufgabe : Tutorium 2 Sei Y die Menge aller unendlichen Sequenzen der Form Zeiegen Sie: (a, a 2, a 3, ), mit a i {, } für alle i N (a) Es gibt eine injektive Abbildung N Y (b) Es gibt keine bijektive Abbildung N Y Aufgabe 2: Kleine Gruppen Zeigen Sie, dass für eine Gruppe (G, ), bis auf Umbenennung der Elemente, gilt: (a) G = G = {e}, (b) G = 2 G = {e, a} mit (c) G = 3 G = {e, a, b} mit e a e e a a a e e a b e e a b a a b e b b e a Definition: Zwei Gruppen (G, ) und (G 2, ) heißen isomorph, wenn eine Abbildung ϕ : G G 2 existiert, so dass () ϕ ist eine Bijektion (2) ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) für alle x, y G Beispiel: Sei (G, ) : und sei (G 2, ): e a e e a a a e Dann ist ϕ : G G 2, e, 2 a eine Abbildung mit den Eigenschaften () und (2), also sind G und G 2 isomorph 7

18 8 Vorlesung Definition 8 Eine Permutation σ S n heißt k-zyklus, wenn verschiedene Zahlen i, i 2,, i k {,, n} existieren, so dass σ(i j ) = i j+ für j < k, σ(i k ) = i und σ(x) = x für alle x {, 2,, n} \ {i, i 2,, i k } Schreibweise: σ = (i i 2 i k ) Die Zahl k heißt die Länge von σ Bemerkung Es ist klar, dass (i i 2 i k ) = (i 2 i 3 i k i ) = = (i k i i 2 i k ) ist Definition 82 Zwei Zyklen (i i 2 i k ) und (j j 2 j l ) heißen unabhängig, wenn {i, i 2,, i k } {j, j 2,, j l } = Bemerking Zwei unabhängige Zyklen σ, τ kommutieren, dh στ = τ σ Satz 83 Jede Permutation σ S n kann als Produkt (Komposition) σ = σ σ 2 σ k, geschrieben werden, so dass σ, σ 2,, σ k unabhängige Zyklen sind Dieses Produkt ist bis auf eine Permutation der σ,, σ k eindeutig ( ) Beispiele ) (62475) (93) = ( ) ) = (293) (46) (57) Definition 84 Eine Transposition in S n {, 2,, n} mit i j ist ein Zyklus der Form (i, j) für i, j Satz 85 Die symmetrische Gruppe S n ist von allen ihren Transpositionen erzeugt: S n = {(ij) i < j n} Definition 86 Sei σ S n und σ = σ σ 2 σ k, wobei σ, σ 2,, σ k unabhängige Zyklen sind Wir defineren eine Zahl (Signum von σ): wobei ist Zusätzlich setzen wir sign(id) = sign(σ) = ( ) L(σ), L(σ) = (Länge(σ ) ) + + (Länge(σ k ) ) 8

19 Lemma 87 Sei σ S n und sei (ij) eine Transposition aus S n Dann gilt Satz 88 Sei σ, τ S n Dann gilt sign(σ (ij)) = sign(σ) sign(σ τ) = sign(σ) sign(τ) Folgerung 89 Die Abblildung sign : S n {, } ist ein Homomorphismus Hier ist die Gruppe {, } bezüglich Multiplikation betrachtet und sie ist zu der Gruppe Z 2 bezüglich Addition isomorph Definition 8 Eine Permutation σ S n heißt gerade, wenn sign(σ) = ist und sie heißt ungerade, wenn sign(σ) = ist Bemerkung Alle gerade Permutationen in S n bilden eine Untergruppe Diese Untergruppe heißt alternierende Gruppe des Grades n und wird als A n bezeichnet Es ist klar, dass A n = ker (sign) Satz 8 Sei n 2 Dann hat die Untergruppe A n Index 2 in S n S n = A n (2) An ist die Zerlegung von S n in zwei Nebenklassen von A n Die Nebenklasse (2) A n entsteht aus allen ungeraden Permutationen 9

20 Aufgabe Tutorium 4 Zeigen Sie den folgenden Satz Satz: Wenn τ ein k-zyklus aus S n ist, dann ist στσ für beliebige σ S n ebenfalls ein k-zyklus Genauer gilt für einen k-zyklus τ = (i i 2 i k ) und σ S n : στσ = (σ(i ) σ(i 2 ) σ(i k )) Aufgabe 2 Beweisen Sie, dass S n = ( 2 n), ( 2) gilt Aufgabe 3 Zeigen Sie den folgenden Satz Satz (Polya): Sei M eine beliebige Menge von Transpositionen aus der symmetrischen Gruppe S n Dann gilt die folgende Äquvialenz: M = S n Γ M ist zusammenhängend Dabei ist Γ M der Graph mit {, 2,, n} als Menge der Eckpunkte bei dem zwei Eckpunkte i, j genau dann durch eine Kanten verbunden sind, wenn (i j) M Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Eckpunkte durch einen Weg verbunden werden können Aufgabe 4 (Quaternionen) Wir definieren auf der Menge Quat = {, i, j, k,, i, j, k} eine Verknüpfung durch die folgenden Bedingungen: ist neutrales Element, - wird mit den Elementen aus Quat auf die natürliche Weise multipliziert, i 2 = j 2 = k 2 =, ij = k, ji = k, jk = i, kj = i, ki = j, ik = j Diese Verknüpfung macht Quat zu einer Gruppe Geben Sie alle Untergruppen dieser Gruppe an 2

21 9 Vorlesung Definition 9 Eine nicht-leere Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind: A a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c K A2 Es gibt ein Element K mit + a = a + = a für alle a K A3 Für jedes a K existiert ein b K, so dass a + b = b + a = gilt (Das Element b wird als a bezeichnet) A4 a + b = b + a für alle a, b K M (a b) c = a (b c) für alle a, b, c K (Assoziativität) D c (a + b) = c a + c b für alle a, b, c K (linkes Distributivgesetz) D2 (a + b) c = a c + b c für alle a, b, c K (rechtes Distributivgesetz) Definition 92 Ein Ring K heißt kommutativ, wenn a b = b a für alle a, b K Ein Element e K heißt Einselement des Ringes K, wenn e a = a e = a für alle a K Bemerkung Wenn der Ring (K, +, ) ein Einselement hat, dann ist dieses eindeutig bestimmt und wird mit bezeichnet Beispiele ) (Z, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 2) (nz, +, ) ist ein kommutativer Ring und hat für n > kein Einselement 3) (Q, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 4) (R, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 5) Wir betrachten die Menge K der Funktionen von R nach R Für f, g K definieren wir die Funktionen f + g und f g durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) für alle x R, (f g)(x) := f(x) g(x) für alle x R Mit diesen Verknüpfungen wird K zu einem kommutativen Ring mit der Funktion R : R R, x als Einselement 6) Sei n eine natürliche Zahl Die Menge Z n = {,,, n} wird zusammen mit der Verknüpfung + n als Addition und der durch x n y := Rest n (i j) definierten Verknüpfung als Multiplikation zu einem kommutativen Ring mit Einselement Der Ring (Z n, + n, n ) heißt Restklassenring modulo n Die Verknüpfungstabellen für n = 4 sind: + n n

22 7) Sei (K, +, ) ein Ring Wir definieren auf der Menge {( ) } a b M(2, K) := a, b, c, d K c d der 2 2-Matrizen die Verknüpfungen + und durch ( ) ( ) ( ) a b a2 b + 2 a + a = 2 b + b 2, c d c 2 d 2 c + c 2 d + d ( ) ( ) ( 2 a b a2 b 2 a a = 2 + b c 2 a b 2 + b d 2 c d c 2 d 2 c a 2 + d c 2 c b 2 + d d 2 ) Man kann beweisen, ( ) dass M(2, K) ein Ring ist Falls K ein Einselement besitzt, so ist die Matrix das Einselemet von M(2, K) Definition 93 Sei (K, +, ) ein Ring Eine nicht-leere Teilmenge U K heißt Unterring, wenn folgende Axiome erfüllt sind U Aus a, b U folgt a + b U U2 Aus a U folgt a U U3 Aus a, b U folgt a b U Bemerkung Es ist klar, dass U und U2 implizieren U Mit den Verknüpfungen +, ist U ein Ring Definition 94 Sei (K, +, ) ein kommutativer Ring Eine nichtleere Teilmenge I von K heißt Ideal, wenn ) Aus a, b I folgt a b I 2) Aus a I und b K folgt a b I (Achtung: b K) Bemerkung {} und K sind Ideale in dem Ring K Satz 95 Für jede natürliche Zahl n ist nz ein Ideal in dem Ring Z Jedes Ideal I {} in dem Ring Z hat die Form nz für eine natürliche Zahl n 22

23 Vorlesung Definition Seien a, b Z Die Zahl b heißt Teiler von a, wenn eine Zahl c Z existiert, so dass a = b c gilt Schreibweise: b a Definition 2 Seien a, b Z\{} Eine Zahl c N heißt größter gemeinsamer Teiler (kurz ggt(a, b)) von a und b, wenn folgendes gilt: ) c a und c b, 2) wenn d Z ist und d a und d b, dann gilt d c Satz 3 ( Euklidischer Algorithmus) Seien a, a N In dem weiteren Prozess sind alle q i und a i in N {} Wir teilen a durch a mit dem Rest a 2 Danach teilen a durch a 2 mit dem Rest a 3 usw bis wir den Rest bekommen: a = q a + a 2, a 2 < a a = q 2 a 2 + a 3, a 3 < a 2 a i = q i a i + a i+, a i+ < a i a n = q n a n + a n+, a n+ < a n a n = q n+ a n+ + Dann ist der letzte von Null verschiedene Rest a n+ gleich ggt(a, b) Satz 4 Seien a, b Z \ {} Dann existiert ggt(a, b) und ist eindeutig bestimmt Außerdem existiern x, y Z, so dass gilt: ax + by = ggt(a, b) Beispiel Wir wenden den euklidischen Algorithmus auf die Zahlen 22 und 38 an: 22 = = = = = 2 + Es gilt also ggt(22, 38) = 2 Nun bestimmen wir ganze Zahlen x, y mit 2 = x 22+y 38, indem wir obige Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge benutzen: 2 = = 46 2 (68 46) = = ( ) = = ( ) = }{{} }{{} =x =y Definition 5 Seien K, K 2 zwei Ringe Eine Abbildung ϕ : K K 2 heißt Homomorphismus, wenn gilt: ) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), 2) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) 23

24 Beispiel ) Die Abbildung Rest n : Z Z n, x Rest n (x) ist ein Ringhomomorphismus 2) Sei F der Ring der Funktionen von R nach R Dann ist die Abbildung ϕ : F R, f f(), ein Homomorphismus Satz 6 Sei ϕ : K K 2 ein Ringhomomorphismus Dann gilt: ) Das Bild von ϕ im (ϕ) = {ϕ(x) x K } ist ein Unterring in K 2 2) Der Kern von ϕ ker (ϕ) = {x K ϕ(x) = } ist ein Unterring in K Der Kern ist sogar ein Ideal in K Satz 7 Sei ϕ : K K 2 ein Ringhomomorphismus Dann gilt: ) ϕ() =, 2) ϕ ist injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) = {} Definition 8 Seien K, K 2 zwei Ringe Eine Abbildung ϕ : K K 2 heißt Isomorphismus, wenn ϕ ein bijektiver Ringhomomorphismus ist Beispiele ) Der Kern des Homomorphismus Rest n : Z Z n ist nz 2) Der Kern des Homomorphismus Z 9 Z 3, x Rest 3 (x), ist das Ideal {, 3, 6} des Ringes Z 9 Dieser Kern ist zu dem Ring Z 3 nicht isomorph Vorlesung Definition Eine nichtleere Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Körper, wenn ) (K, +) eine kommutative Gruppe ist, 2) (K \ {}, ) eine kommutative Gruppe ist, 3) die Distributivgesetze gelten Etwas ausführlicher: A) für alle a, b, c K gilt: a + (b + c) = (a + b) + c, A2) es existiert ein Element K, so dass für alle a K gilt: a + = + a = a, A3) für alle a K existiert ein b K mit a + b = b + a =, A4) für alle a, b K gilt: a + b = b + a, B) für alle a, b, c K \ {} gilt: a (b c) = (a b) c, B2) es existiert ein Element K\{}, so dass für alle a K\{} gilt: a = a = a, B3) für alle a K \ {} existiert ein b K \ {} mit a b = b a =, B4) für alle a, b K \ {} gilt: a b = b a, D) für alle a, b, c K gilt: a (b + c) = a b + a c, D2) für alle a, b, c K gilt: (a + b) c = a c + b c 24

25 Beispiele ) (Q, +, ), 2) (R, +, ), 3) (Z 2, + 2, 2 ) Satz 2 Der Restklassenring (Z n, + n, + ) ist ein Körper genau dann, wenn n eine Primzahl ist Definition 3 Wir definieren + und auf der Menge C = {(a, b) a, b R} durch (a, b ) + (a 2, b 2 ) = (a + a 2, b + b 2 ), (a, b ) (a 2, b 2 ) = (a a 2 b b 2, a b 2 + b a 2 ) Satz 4 (C, +, ) ist ein Körper Sein Nullelement ist (,) und sein Einselement ist (, ) Sei (a, b) (, ) ein von null verschiedenes Element Dann ist das inverse Element zu (a, b) ( a a 2 + b, b ) 2 a 2 + b 2 Definition 5 Der Körper (C, +, ) heißt Körper der komplexen Zahlen Algebraische Form der komplexen Zahlen Die Abbildung R C r (r, ) ist injektiv Deshalb identifizieren wir mit (, ) und allgemeiner r R mit (r, ) C Das Paar (, ) wird mit i bezeichnet Dann gilt i 2 = und (a, b) = (a, ) + (, b) = a + ib a + ib heißt die algebraische Form der komplexen Zahl (a, b) Für z = a + ib heißt a der reelle Teil von z, und b der imaginäre Teil von z Man schreibt a = Re z und b = Im z Es gilt z = Re z + i Im z Für die algebraische Form haben wir die folgenden Gesetze: (a + ib ) + (a 2 + ib 2 ) = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ), (a + ib ) (a 2 + ib 2 ) = (a a 2 b b 2 ) + i(a b 2 + b a 2 ) Trigonometrische Form der komplexen Zahlen Sei z = a + ib eine von null verschiedene komplexe Zahl in der algebraischen Form Mit der Bezeichnungen r = a 2 + b 2, x = a a und y = b 2 +b 2 a haben wir 2 +b 2 z = r(x + iy) 25

26 Da x 2 +y 2 = ist, existiert ein Winkel ϕ [, 2π), so dass x = cos ϕ und y = sin ϕ gelten Dann gilt: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) Das ist die trigonometrische Form der komplexen Zahl z Die reelle Zahl r heißt Absolutbetrag von z und wird mit z bezeichnet Die Zahl ϕ heißt Argument von z und wird mit arg(z) bezeichnet Es gilt: z = z (cos(arg(z)) + i sin(arg(z))) Für z = setzen wir z = und arg(z) = Beispiele ) 2) 2 i3 4 i5 = (2 i3) (4 + i5) (4 5i) (4 + i5) + i 3 = 2 ( 2 + i 3 2 = 23 i2 4 = 23 4 i 2 4 ) = 2 (cos π 3 + i sin π 3 ) Satz 6 Seien z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) und z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) zwei komplexe Zahlen in der trigonometrischen Form Dann gilt: z z 2 = r r 2 (cos(ϕ + ϕ 2 ) + i sin(ϕ + ϕ 2 )) Also werden, bei der Multiplikation von z und z 2, die Absolutbetäge multipliziert und ihre Argumente addiert (modulo 2π) Definition 7 Sei z = a+ib eine komplexe Zahl in der algebraischen Form Die Zahl z = a ib heißt komplex Konjugierte zu z Behauptung Es gelten die folgenden Formeln: z = z, z z 2 = z z 2, z + z 2 = z + z 2, z = z, arg(z) = 2π arg(z) für z / R, z z = z 2 Eine Konstruktion eines Körper der Ordnung 4 Wir betrachten die folgende Menge von Polynomen mit Koeffizienten in Z 2 : Auf dieser Menge wird durch K := {ax + b a, b Z 2 } = {,, x, x + } (ax + b) (cx + d) := Rest 2 (a + c)x + Rest 2 (b + d) 26

27 eine Addition definiert Eine Multiplikation definieren wir in drei Schritten: Schritt (Polynommultiplikation): Berechne p = (ax + b) (cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd Schritt 2 (Reduktion von p zu einem Polynom ohne quadratischen Term): Subtrahiere von p das Polynom ac(x 2 + x + ) und erhalte ein Polynom p 2 = (ad + bc ac)x + (bd ac) Schritt 3 (Reduktion der Koeffizienten von p 2 modulo 2): Setze (ax + b) (cx + d) := Rest 2 (ad + bc ac)x + Rest 2 (bd ac) Mit den Verknüpfungen und wird K zu einem Körper, welcher 4 Elemente enthält Dabei ist x + das Nullelement und x + das Einselement 27

28 Tutorium 5 Aufgabe (Chamäleons) Auf einer Insel leben 45 Chamäleons, von denen 3 blau, 5 grün und 7 gelb sind Treffen sich zwei Chamäleons verschiedener Farbe, so wechseln sie ihre Farbe in die dritte Farbe Zeigen Sie, dass es hierdurch nicht möglich ist, dass irgendwann alle Chamäleons der Insel gelb sind Aufgabe 2 (Chinesischer Restklassensatz) Finden Sie mit dem folgenden Satz eine ganze Zahl x, die die Kongruenzen x 2 (mod 3) x 3 (mod 4) x 2 (mod 5) erfüllt Satz: Seien m, m 2,, m s paarweise teilerfremde ganze Zahlen Dann existiert für jedes Tupel (x, x 2,, x s ) Z s eine ganze Zahl x, so dass die folgenden Kongruenzen erfüllt sind: x x (mod m ), x x 2 (mod m 2 ), x x s (mod m s ) Setzen wir m = m m 2 m s Ist x eine beliebige Lösung, so ist die Menge aller ganzzahligen Lösungen gleich {x + km k Z} Dabei kann eine solche Lösung mit der Formel x := s i= c i m m i x i bestimmt werden, wobei c i invers (bzgl Multiplikation) zu m/m i im Ring Z mi ist Aufgabe 3 (Restklassenring modulo n) Sei n N, n 2 Zeigen Sie, dass in Z n die folgende zwei Aussagen äquivalent sind: () Jedes von verschiedene Element hat bzgl ein Inverses (2) n ist eine Primzahl Beispiele: In Z 5 : x x In Z 4 : x 2 3 x 3 28

29 2 Vorlesung Definition 2 Sei (K, +, ) ein Körper Eine nicht-leere Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen + : V V V (Vektoraddition), : K V V (Skalarmultiplikation) heißt ein Vektorraum über K (oder K-Vektorraum), wenn folgende Axiome erfüllt sind: (VA) (u + v) + w = u + (v + w) für alle u, v, w V, (VA2) Es gibt ein V V mit V + v = v + V = v für alle v V, (VA3) Zu jedem v V gibt es ein v V mit v + ( v) = V, (VA4) u + v = v + u für alle u, v V, (VS) (λ µ) v = λ (µ v) für alle λ, µ K und v V, (VS2) K v = v für alle v V (VS3) (λ + µ) v = λ v + µ v für alle λ, µ K und v V, (VS4) λ (u + v) = λ u + λ v für alle λ K und u, v V Beispiele Sei K ein Körper ) V = K n = x x 2 x n x, x 2,, x n K mit den Verknüpfungen x x 2 x n + y y 2 y n = x + y x 2 + y 2 x n + y n und λ x x 2 x n 2) Sei M eine beliebige nicht-leere Menge Wir setzen V = {f : M R f ist eine Abbildung} Für f, g V wird die Funktion f + g definiert durch = λx λx 2 λx n (f + g)(m) = f(m) + g(m) für alle m M Für f V und λ K wird die Funktion λ f definiert durch (λ f)(m) := λf(m) für alle m M 3) K[x] = {a n x n + a n x n + + a a n,, a K, n N {}} Die übliche Addition von zwei Polynomen und die Multiplikation eines Polynome mit einem Element aus K machen K [x] zu einem Vektorraum 29

30 Satz 22 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum Dann gelten: (a) K v = V für alle v V, (b) λ V = V für alle λ K, (c) λ v = V gilt genau dann, wenn λ = K oder v = V, (d) ( ) v = v für alle v V Definition 23 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum Eine nicht-leere Teilmenge U V heißt Untervektorraum von V, falls (UV) u + v U für alle u, v U, (UV2) u U für alle u U, (UV3) λ u U für allle λ K und u U Bemerkung Aus den Axiomen (UV) und (UV2) folgt V U Ein Untervektorraum eines Vektorraums über K ist ein Vektorraum über K Beispiel Sei K ein Körper und seien λ, λ 2 K Dann ist U (λ,λ 2 ) = ein Untervektorraum von K 2 Satz 24 Für λ λ 2 { x x 2 K 2 λ x + λ 2 x 2 = V } gilt U (λ,λ 2 ) = {k Satz 25 Die Untervektorräume von V = K 2 sind () { K 2}, (2) K 2, (3) U (λ,λ 2 ) für λ λ 2 λ 2 k K} λ Beweis: Sei { V } U K 2 ein Untervektorraum in K 2 Wir wählen a U b Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir b voraussetzen (Fall a lässt sich analog betrachten) Mit der Bezeichnung a = a ist a b b = a U Wir beweisen b nun, dass alle Vektoren U a 2 b 2 a 2 b 2 U die Form k b 2 a = a für ein k K haben Es gilt a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 = a 2 b 2 a Wenn a 2 b 2 a = ist, dann setze k := b 2 Wir werden nun zeigen dass a 2 b 2 a nicht möglich ist In diesem Fall wäre nämlich U a 2 b 2 a a 2 b 2 a 3 =

31 Da a U würde zusätzlich folgen: = a a U, also, U und damit K 2 = U, ein Widerspruch Satz 26 Seien λ, λ 2, µ, µ 2 K mit λ λ 2 und µ µ 2 Dann sind die folgenden zwei Aussagen äquivalent: (a) U (λ,λ 2 ) = U (µ,µ 2 ) (b) Es existiert ein c K \ {} mit c λ λ 2 = µ µ 2 Definition 27 Sei V ein K-Vektorraum und M = {v,, v n } V eine endliche Menge von Vektoren aus V Die lineare Hülle von M ist L(M) := {λ v + + λ n v n λ,, λ n K} V Wir setzen auch L( ) = { V } Satz 28 (a) Für jede endliche Menge M ist L(M) ein Untervektorraum von V (b) L(M) ist der kleinste Untervektorraum, der M enthält (c) Es gilt: L(M) = U ist ein UVR von V M U U 3 Vorlesung Definition 3 Sei V ein K-Vektorraum Eine endliche Teilmenge M V heißt Erzeugendensystem von V, falls L(M) = V Ein K-Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Teilmenge M V gibt, so dass L(M) = V Beispiele ) V = K n ist endlich erzeugt Ein Erzeugendensystem ist M =,,, 2) V = K [x] ist nicht endlich erzeugt 3) Die Vektoren 2 3, 6, bilden ein Erzeugendensystem von R 2 3

32 Definition 32 Eine endliche Menge M = {v,, v n } von Vektoren aus dem K- Vektorraum V heißt linear unabhängig, falls aus λ v + +λ n v n = V mit λ,, λ n K folgt, dass λ = = λ n = K Außerdem ist M = linear unabhängig Nicht linear unabhängig wird auch linear abhängig genannt Beispiele { } ) In V = K 2 ist M =, linear unabhängig Analog für K n { } 2) In V = K 2 ist die Menge M =,, 3 linear abhängig 2 Bemerkung Ist M V linear unabhängig, dann gilt dies auch für jede Teilmenge von M Definition 33 Eine endliche Menge M V heißt Basis von V, falls ) M ist ein Erzeugendensystem von V, 2) M ist linear unabhängig Der Vektorraum V = { V } hat die Basis B = Bemerkung ) K n hat eine Basis für jedes n N 2) Ist M = {v,, v n } eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor v V in eindeutiger Weise als Linearkombination der v,, v n schreiben: v = λ v + + λ n v n Satz 34 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und sei M ein endliches Erzeugendensystem von V Dann existiert eine Teilmenge B von M, so dass B eine Basis von V ist Folgerung 35 (Basisexistenzsatz) Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis Satz 36 (Austauschsatz von Steinnitz) Sei {v,, v k } linear unabhängig in V und sei B = {u,, u n } eine Basis von V Dann ist n k und es existieren u i,, u ik B, so dass B = B \ {u i,, u ik } {v,, v k } auch eine Basis von V ist Satz 37 Seien B und B 2 zwei Basen in einem endlich erzeugten Vektorraum V Dann gilt B = B 2 Definition 38 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über einem Körper K Die Anzahl von Elementen in einer Basis von V heißt Dimension von V über K und wird als dim K (V ) bezeichnet 32

33 4 Vorlesung Satz 4 (Ergänzungssatz) Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und L V eine endliche, linear unabhängige Teilmenge Dann gibt es eine Basis B von V mit L B Insbesondere ist L dim K V Folgerung 42 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum Dann ist U auch endlich erzeugt und es gilt: dim K (U) dim K (V ) Die Gleichheit dim K (U) = dim K (V ) gilt genau dann, wenn U = V ist Definition 43 Seien U, U 2 Untervektorräume von V Dann ist U + U 2 := {u + u 2 u U, u 2 U 2 } ebenfalls ein Untervektorraum, genannt die Summe von U und U 2 Eine solche Summe heißt direkte Summe (in Zeichen U U 2 ), wenn einer der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: ) U U 2 = { V } 2) Jedes u U + U 2 wird eindeutig als u = u + u 2 mit u U, u 2 U 2 geschrieben Beispiele ) L(v,, v n ) + L(u,, u m ) = L(v,, v n, u,, u m ) 2) Seien U = L(v, v 2 ), U 2 = L(u, u 2 ) Untervektorräume in R 3, wobei v =, v 2 = 2 2 2, u = 2, u 2 = 3 2 ist Dann ist U + U 2 = R 3 und diese Summe nicht direkt, weil der Vekrtor liegt 3) Seien U = L(v), U 2 = L(u) Untervektorräume in R 3, wobei v =, u = 2 ist Dann ist die Summe von U und U 2 direkt: U + U 2 = U U in U U 2 Satz 44 (Dimensionsformel) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und U, U 2 Untervektorräume von V Dann gilt dim(u + U 2 ) = dim(u ) + dim(u 2 ) dim(u U 2 ) 33

34 Tutorium 6 Aufgabe : In R 3 sei v = Schnittes von, v 2 =, u =, u 2 = 2 Bestimmen Sie eine Basis des 3 L(v, v 2 ) = {α v + α 2 v 2 α, α 2 R} und L(u, u 2 ) = {β u + β 2 u 2 β, β 2 R} Lösung: Der Vektor β u + β 2 u 2 L(u, u 2 ) liegt genau dann in L(v, v 2 ) und somit im Schniit, wenn es α, α 2 R gibt, mit α v + α 2 v 2 = β u + β 2 u 2 Die letzte Gleichung ist äquivalent zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = α β 3β 2 = und durch Addition der ersten zur letzen Gleichung äquivalent zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = α 2 2β 5β 2 = und durch Addition des ( )-fachen der zweiten Gleichung zur dritten zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = 3β 6β 2 = Das letzte Gleichungssystem besitzt nun genau dann eine Lösung, wenn 3β 6β 2 =, also β = 2β 2 gilt In diesem Fall kann man nämlich α 2 so wählen, dass die zweite Gleichung erfüllt ist und anschließend α so, dass auch die erste Gleichung erfüllt ist Die Vektoren im Schnitt sind also genau die Vektoren β u + β 2 u 2 für die β = 2β 2 gilt, dh der Schnitt ist gleich { 2β 2 u + β 2 u 2 β 2 R} = {β 2 ( 2u + u 2 ) β 2 R} = β 2 β 2 R = L( ) }{{} =:b und {b} ist eine Basis des Schnittes Aufgabe 2: Seien f(x) = x 3 + x + 2, g(x) = 2x 2 x 3 zwei Polynome in Z[x] Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algrithmus für Polynome den ggt von f(x) und g(x) 34

35 5 Vorlesung Sei K ein assoziativer, kommutativer Ring mit, zb ein Körper, Z oder Z[X] Definition 5 Seien m, n N Eine m n-matrix mit Einträgen in K ist eine Tabelle: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn mit a ij K Die Matrix A hat m Zeilen und n Spalten Bezeichnung: M(m, n, K) = {A A ist eine m n-matrix mit Einträgen in K} Schreibweise: A = (a ij ) Die Matrizen E n := und O n := aus M(n, n, K) heißen Einheits- und Nullmatrix Die Matrix E ij (α), deren Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gleich α ist und deren anderen Einträge wie in E n sind, heißt Elementarmatrix Die Matrix D aus M(n, n, K) mit D ij = für alle i j heißt Diagonalmatrix Also ist d d 2 D = für einige d, d 2,, d n aus K d n Beispiel Für n = 3 ist E 23 (α) = α Definition 52 Addition von Matrizen und Skalarmultiplikation: Sei λ K und (a ij ), (b ij ) M(n, m, K) Dann definiere (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) und λ (a ij ) = (λ a ij ) 2 Multiplikation von Matrizen: Seien m, n, k N Sei A eine m n- und B eine n k-matrix über K Dann ist das Produkt A B definiert und ergibt die folgende m k-matrix über K: a a n a m a mn b b k b n b nk = c c k c m c mk wobei c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj für i m, j k ( i-te Zeile von A mal j-te Spalte von B ) 35,

36 Beispiele: = , = ( 3) ( 3) = ( 5) = ( 5) Satz 53 (Eigenschaften des Matrixproduktes) Für B, B, B 2 M(m, n, K), A, A, A 2 M(n, k, K) und λ K gelten () B (A + A 2 ) = B A + B A 2, (2) (B + B 2 ) A = B A + B 2 A, (3) (λ B) A = λ (B A) = B (λ A) Satz 54 (Assoziativität des Matrizenprodukts) Seien A M(m, n, K), B M(n, k, K) und C M(k, l, K) Dann gilt (A B) C = A (B C) Satz 55 Die Menge M(n, n, K) mit der Matrizenaddition und Multiplikation ist ein Ring mit der Nullmatrix O n und der Einheitsmatrix E n als Null- und als Einselement Definition 56 Eine quadratische Matrix A M(n, n, K) heißt invertierbar, falls es eine Matrix B M(n, n, K) gibt, so dass A B = B A = E n Wir definieren GL(n, K) := {A M(n, n, K) A ist invertierbar} Bemerkung Nach dem Satz 54 ist GL(n, K) eine Gruppe Beipsiele: () Für A = 2 M(2, 2, R) ist A = 3 4 (2) A = ist nicht invertierbar (3) In M(2, 2, Z 5 ) ist = Satz 57 Eine Matrix A = a b M(2, 2, K) ist genau dann invertierbar, wenn c d ad bc In diesem Fall ist A = d b ad bc c a 36

37 Behauptung 58 Sei A M(n, m, K) (a) Sei E ij (α) M(n, n, K) mit i j Dann ist E ij (α)a wohldefiniert und (die i-te Zeile von E ij (α) A) = (die i-te Zeile von A)+α (die j-te Zeile von A) Alle anderen Zeilen von A bleiben unverändert (b) Sei E ij (α) M(m, m, K) mit i j Dann ist A E ij (α) wohldefiniert und (die j-te Spalte von A E ij (α)) = (die j-te Spalte von A)+α (die i-te Spalte von A) Alle anderen Spalten von A bleiben unverändert Beispiel = = Satz 59 Jede Matrix A M(n, n, K) kann als Produkt A = B s B 2 B D C C 2 C t dargestellt werden, wobei B,, B s, C,, C t Elementarmatrizen aus M(n, n, K) und D eine Diagonalmatrix aus M(n, n, K) ist 2 3 ( Beispiel A = 2 = E 2 ( ) E 32 (2) 2 E ) E3 (3) E 2 (2)

38 6 Vorlesung (Eliminationsverfahren von Gauß) Wir betrachten das Gleichungssystem a x + + a n x n = b a m x + + a mn x n = b m Hierzu heißt A = a a n a m a mn Vektor der rechten Seiten heißt A B = die erweiterte Koeffizientenmatrix die Koeffizientenmatrix und mit B = a a n b a m a mn b m Elementare Zeilenumformungen: (T) Multiplikation der i-ten Gleichung mit λ b b m als (T2) Addition des λ-fachen der i-ten Gleichung zur k-ten Gleichung mit i k (T3) Vertauschung zweier Gleichungen Das Ziel ist es, das System mit Hilfe der elementaren Zeilenumformungen (T)-(T3) in die Zeilenstufenform zu brignen: In dieser Form wird die Anzahl der links stehenden Nullen innerhalb der linken Seite von Zeile zu Zeile größer Die Nullzeile darf am Ende öfter auftauchen etwas b b r Nullen b r+ b m Dabei sind Elemente ungleich Behauptung 6 Wenn eine der Zahlen b r+,, b m ungleich ist, dann hat das System keine Lösung, sonst gibt es Lösungen und man kann alle Lösungen leicht aufschreiben Beispiel Wir lösen das folgende Gleichungssystem: x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = 2x + 4x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 8 4x + 8x 2 + 6x 3 x 4 + 3x 5 = Durch Addition des ( 2)-fachen der ersten Gleichung zur zweiten und des ( 4)-fachen der ersten Gleichungen zur dritten erhält man: x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 38

39 Dies ist noch keine Zeilenstufenform Diese erhält man aber durch Addition des (-)-fachen der zweiten Zeile zur dritten: { x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = () 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 Die Unbekannten, die in der Zeilenstufenform nicht am Anfang einer Zeile stehen, heißen Parameter-Unbekannten Sie dürfen beliebige Werte annehmen: x 2 := λ 2, x 4 := λ 4 x 5 := λ 5 Alle anderen Unbekannten lassen sich nun leicht aus diesen Werten berechnen Dazu werden nacheinander die Gleichungen aus () in umgekehrter Reihenfolge benutzt: x 3 = 6 3x 4 9x 5 6 = 6 3λ 4 9λ 5 6 = + 2 λ λ 5 x = x 5 + x 4 3x 3 2x 2 = λ 5 + λ 4 3 ( + 2 λ λ 5) 2λ2 = 4 2λ 2 2 λ 4 2 λ 5 Die Menge der Lösungen ist also 4 2λ 2 λ 2 4 λ 2 5 λ λ 4 + 3λ 2 5 λ 4 R5 λ 2, λ 4, λ 5 R λ 5 7 Vorlesung (Determinanten) Ist A M(n, n, K), so bezeichnen wir mit a,, a n die Zeilenvektoren von A: a A = a n mit a i = (a i a in ) Definition 7 Eine Abbildung det : M(n, n, K) K, A det A heißt Determinante, falls folgendes gilt: (D) det ist linear in jeder Zeile, dh für jeden Index i n und alle λ K gilt a a i (a) det a i + a i = det a i+ a n a a i a i a i+ a n + det a a i a i a i+ a n und 39

40 a a i (b) det λ a i = λ det a i+ a n a a i a i a i+ a n (D2) det ist alternierend, dh hat A zwei gleiche Zeilen, so ist det A = (D3) det ist normiert, dh det E n = Eine andere Schreibweise für die Determinante ist a a n a a n = det a n a nn a n a nn Satz 72 Eine Determinante det: M(n, n, K) K hat die folgenden weiteren Eigenschaften: (D4) Für jedes λ K gilt det(λ A) = λ n det(a) (D5) Ist eine Zeile von A gleich, so ist det A = (D6) Ist λ K und entsteht B aus A durch Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile mit i j, so ist det B = det A (D7) Entsteht B aus A durch eine Zeilenvertauschung, so ist det B = det A λ (D8) Ist A = eine obere Dreiecksmatrix, so ist det A = λ λ n λ n (D9) Sei n 2 und A M(n, n, K) von der Gestalt ( ) A C A =, A 2 wobei A, A 2 quadratische Matrizen sind, dann gilt det A = det A det A 2 Lemma 73 Seien A, E i,j (α), D eine Matrix, eine elementare Matrix und eine Diagonalmatrix aus M(n, n, K) entsprechend Dann gelten: det(e i,j (α) A) = det A und det(d A) = det D det A Satz 74 Für A, B M(n, n, K) gilt det(a B) = det A det B Definition 75 Sei A eine Matrix aus M(n, m, K) Eine Matrix B aus M(m, n, K) heißt transponierte zu A, falls B ij = A ji für alle i n und j m ist Die transponierte zu A Matrix wird als A T bezeichnet Lemma 76 (XY ) T = Y T X T Satz 77 Für A M(n, n, K) gilt det A = det A T 4

41 8 Vorlesung Satz 8 (Leibniz-Formel) Ist n, so gibt es genau eine Determinante und zwar ist für A = (a ij ) M(n, n, K): det : M(n, n, K) K det A = σ S n sign(σ) a σ() a nσ(n) Beispiele ( ) a a det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 a a 2 a 3 det a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = sign (Id) a a 22 a 33 + sign (( 2 3)) a 2 a 23 a 3 + sign (( 3 2)) a 3 a 2 a 32 +sign (( 3)) a 3 a 22 a 3 + sign (( 2)) a 2 a 2 a 33 + sign ((2 3)) a a 23 a 32 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 Bezeichnung Sei A M(n, n, K) Wir bezeichnen mit A ij M(n, n, K) die Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhält Wir nennen diese Matrix die Komplementare Matrix zur Stelle i, j Satz 82 (Erster Entwichklungssatz von Laplace) Ist n 2 und A M(n, n, K), so gilt für jedes i {,, n} det A = n ( ) i+j a ij det A ij j= (Entwicklung nach der i-ten Zeile) und für jedes j {,, n} det A = n ( ) i+j a ij det A ij i= (Entwicklung nach der j-ten Spalte) Dabei bezeichnet A ij ij-streichungsmatrix jeweils die oben definierte Beispiele () Entwicklung nach der ersten Zeile: = = = 5 4

42 (2) Entwicklung nach der zweiten Zeile: = ( ) = 4 3+ ( 3) ( ) ( 3) = 5 (3) Entwicklung nach der zweiten Spalte: = = 2 4 ( 3) = 5 9 Vorlesung Satz 9 (Zweiter Entwichklungssatz von Laplace) Sei n 2, A M(n, n, K) (a) Seien i, k {,, n} zwei verschiedene Indizes Dann gilt: n ( ) i+j a ij det A kj = (b) Seien j, k {,, n} zwei verschiedene Indizes Dann gilt: j= n ( ) i+j a ij det A ik = 2 3 Beispiel Für A = 4 gilt nach 9(a) für i = 2, k = 3: 2 3 i= ( ) ( ) ( )2+3 ( ) 2 4 = Satz 92 (Anwendung zur Berechnung der inversen Matrix) Sei A M(n, n, K) Dann hat A genau dann eine Inverse, wenn det A In diesem Fall gilt: A = det A ( ) + det(a ) ( ) +n det(a n) ( ) n+ det(a n) ( ) n+n det(a nn) Elementare Zeilentransformationen einer Matrix: (Z) Multiplikation der i-ten Zeile mit λ (Z2) Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile mit i k 42

43 Satz 93 (Ein praktisches Verfahren für die Berechnung von A falls det A ) Sei A M(n, n, K) mit det A Forme die Matrix (A E n ) M(n, 2n, K) durch elementare Zeilenumtransformationen so um, dass im linken Teil die Einheitsmatrix steht Dann steht im rechten Teil die Matrix A Beispiel Um die Inverse von ( ) 2 zu berechnen, starten wir mit: 3 4 ( ) Addition des ( 3)-fachen der ersten Zeile zur Zweiten: ( 2 ) 2 3 Addition der zweiten Zeile zu Ersten: ( 2 ) 2 3 Multiplikation der zweiten Zeile mit /2: ( ) ( 2 Also ist die inverse Matrix Satz 94 (Cramersche Regel) Wir betrachten das System ) a x + + a n x n = b a n x + + a nn x n = b n Dieses schreiben wir kurz als A X = B mit a a n x b A = = (a () a (2) a (n) ), X =, B =, a n a nn wobei a (),, a (n) die Spalten der Matrix A sind Wenn det A, dann gilt für jedes i {,, n}: x i = det ( a () a (i ) B a (i+) a (n)) det A Die Matrix im Zähler ist die Matrix A, bei der die i-te Spalte durch B ersetzt wurde 43 x n b n

44 { x + 2x Beispiel Für 2 = 7 3x + 5x 2 = x = 2 = Vorlesung ist = und x 2 = = = 3 Definition 2 Sei K ein Körper und U, V zwei K-Vektorräume Eine Abbildung ϕ : U V heißt lineare Abbildung, falls () ϕ(u + u 2 ) = ϕ(u ) + ϕ(u 2 ) für alle u, u 2 U, (2) ϕ(λ u) = λ ϕ(u) für alle λ K und u U Bemerkung Die Bedingungen ()-(2) sind dem volgenden Bedingung äquivalent: Für alle u, u 2 U und λ, λ 2 K gilt ϕ(λ u + λ 2 u 2 ) = λ ϕ(u ) + λ 2 ϕ(u 2 ) Beispiele ) Wir betrachten K als Vektorraum über K Sei a K und ϕ a : K K definiert durch ϕ a (x) = a x für alle x K Dann ist ϕ a linear 2) Sei V ein K-Vektorraum und M = {v,, v n } V eine endliche Menge von Vektoren Wir definieren ϕ M : K n V durch Dann ist ϕ M linear 3) Sei V = R 2 und M = linear k k 2 k 3 k {, 2 k k n, 3 + k 2 2 k v + + k n v n 4 R } 2 Dann ist ϕ M : R 3 R 2, 5 + k 3 3 = Behauptung Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Es gelten () ϕ( U ) = V, (2) ϕ( u) = ϕ(u) für alle u U 4 5 k k 2 + 4k 3, 2k + 3k 2 + 5k 3 Definition 22 Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Wir definieren das Bild von ϕ: Im(ϕ) = {v V u U mit ϕ(u) = v} und den Kern von ϕ: Ker(ϕ) = {u U ϕ(u) = V } 44

45 Satz 23 Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Dann gelten: () Im(ϕ) V und Ker(ϕ) U sind Untervektorräume (2) ϕ ist genau dann surjektiv, wenn Im(ϕ) = V ist (3) ϕ ist genau dann injektiv, wenn Ker(ϕ) = V ist Satz 24 (Im-Ker-Formel) Sei U ein endlich erzeugter und V ein beliebiger K-Vektorraum Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Dann sind Im(ϕ) und Ker(ϕ) endlich erzeugt und es gilt: dim K (U) = dim K (Ker(ϕ)) + dim K (Im(ϕ)) Satz 25 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen) Sei U ein K-Vektorraum mit Basis {u,, u n } Weiter sei V ein K-Vektorraum und v,, v n beliebige Elemente aus V Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ϕ : U V mit ϕ(u ) = v,, ϕ(u n ) = v n Satz 26 Sei ϕ : U V eine bijektive lineare Abbildung Dann ist auch ϕ linear Definition 27 Seien U und V zwei K-Vektorräume Eine Abbildung ϕ : U V heißt Isomorphismus, falls () ϕ ist bijektiv und (2) ϕ ist eine lineare Abbildung U und V heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus ϕ : U V gibt Satz 28 Zwei endlich erzeugte K-Vektorräume U, V sind genau dann isomorph, wenn dim U=dim V 2 Vorlesung Definition 2 Sei A M(n, m, K) Der Zeilenrang von A, bezeichnet als ZRang(A), ist die maximale Anzahl an linear unabhhängigen Zeilen von A Zum Beispiel ist ZRang = 2 Analog wird der Spaltenrang von A definiert und mit SRang(A) abgekürzt Mit anderen a Worten: Sei A = A sind Dann ist a n = (b b m ), wobei a i die i-te Zeile und b j die j-te Spalte von ZRang(A) = dim L(a,, a n ) und SRang(A) = dim L(b,, b m ) 45

46 Satz 22 Die elementaren Zeilenumformungen (Z), (Z2) verändern den Zeilenrang von A nicht: a a a i a i + λa j (Z) Für λ K und i j gilt ZRang = ZRang a j a j a n a n (Z2) Für λ gilt ZRang a i = ZRang λa i a n a n a Methode: Um den Zeilenrang einer Matrix A zu bestimmmen formt man diese zunächst durch elementare Zeilentransformationen zu einer Matrix A in Zeilenstufenform um Hat A dann r Nicht-Nullzeilen, so gilt: Satz 23 a ZRang(A) = ZRang(A ) = r (a) Zeilentransformationen verändern weder Zeilen noch Spaltenrang (b) Spaltentransformationen verändern weder Zeilenrang noch Spaltenrang Satz und Definition 24 Es gilt ZRang(A) = SRang(A) Diese Zahl heißt Rang von A und wird als Rang(A) bezeichnet Folgerung 25 (a) Rang(A)=Rang(A T ) (b) Sei A M(n, m, K) Dann ist Rang(A) min(n, m) Satz 26 Sei A M(n, n, K) Dann ist det A Rang(A) = n Satz 27 Sei A M(m, n, K), B M(n, k, K) Dann ist Rang(A B) Rang(A), Rang(B) Satz 28 Sei A M(m, n, K), B M(n, n, K), C M(m, m, K) und sei det B, det C Dann gilt: (a) Rang(A B) =Rang(A), (b) Rang(C A) =Rang(A) 46

47 Definition 29 Sei A M(n, m, K) und sei k min {n, m} Wählen wir k Zeilen und k Spalten von A Die Einträge, die auf dem Schnitt dieser Zeilen und Spalten stehen, bilden eine k k-teilmatrix von A Die Determinante einer solchen Teilmatrix heißt k-minor von A a a 2 a 3 a 4 Beispiel Die Anzahl der 2-Minoren der Matrix A = a 2 a 22 a 23 a 24 ist 8 Einer a 3 a 32 a 33 a 34 von diesen ist ( ) a22 a det 24 = a a 32 a 22 a 34 a 24 a Bemerkung Für A M(n, m, K) ist die Anzahl der k k-teilmatrizen gleich ( n k) ( m k ) Satz 2 Für A M(n, m, K) \ {} gilt: Rang(A) = max {k N A besitzt einen von verschiedenen k-minor} 22 Vorlesung Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem über K a x + + a n x n = b a m x + + a mn x n = b m, kurz A X = B Die Menge aller Lösungen dieses Systems bezeichnen wir als Lös(AX = B) Satz 22 Das System A X = B ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A B) ist Satz 222 Sei X () eine Lösung des Systems AX = B Dann ist Lös(AX = B) = X () + Lös(AX = ) Satz 223 Wir betrachten ein homogenes lineares Gleichungssystem über K a x + + a n x n = a m x + + a mn x n =, kurz A X = Dann ist die Menge aller Lösungen: Lös(AX = ) = {x K n Ax = } ein Untervektorraum von K n Dieser hat die Dimension n r, wobei r = Rang(A) ist 47

48 Definition 224 Sei AX = ein homogenes lineares Gleichungssystem über K Eine Basis von dem Vektorraum Lös(AX = ) heißt Fundamentalsystem von Lösungen des Systems AX = Vorgehensweise (zur Berechnung eines Fundamentalsystems): Im ersten Schritt bringen wir das homogene lineare Gleichungssystem AX = auf Zeilenstufenform Hier gibt es r = Rang(A) führende Unbekannte und (n r) Parameterunbekannte Wir erstellen nun eine Tabelle mit n r Zeilen und n Spalten, wobei die j-te Spalte für die Unbekannte x j steht In der i-ten Zeile wird der i-te Parameterunbekannte als und alle weiteren Parameterunbekannten als gewählt Mit Hilfe des Gleichungssystems berechnen sich hieraus die führenden Unbekannten In den Zeilen dieser Tabelle steht nun ein Fundamentalsystem von Lösungen Beispiel Wir berechnen ein Fundamentalsystem von Lösungen für das reelle Gleichungssystem { x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2x + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 + 6x 5 = Dieses brignen wir in Zeilenstufenform: { x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2x 3 + 4x 5 = Nun sind x, x 3 die führenden Unbekannten und x 2, x 4, x 5 die Parameterunbekannten x x 2 x 3 x 4 x 5 2 Ein Fundamentalsystem ist also:,, 2 48

49 23 Vorlesung Eigenwerte und Eigenvektoren Definition 23 (Eigenwerte und Eigenvektoren für Matrizen) Sei A M(n, n, K) Ein λ K heißt Eigenwert von A, wenn es ein v = v gibt, so dass folgendes gilt: A v = λ v Jedes v K n \ { K n} mit A v = λ v heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ v v n K n mit Beispiele ( ) ( ) ( ) 5 (a) Für A = ist v = ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 und ein 3 3 Eigenvektor zum Eigenwert (b) Für A = 2 3 sind und Eigenvektoren zum Eigenwert und 2 3 ist Eigenvektor zum Eigenwert 6 Bemerkung Sei A M(n, n, K) Wir definieren eine Abbildung ϕ : K n K n durch ϕ(x) = A X für X K n Dann ist diese Abbildung linear Definition 232 Sei V ein K-Vektorraum und sei ϕ : V V eine lineare Abbildung Ein λ K heißt Eigenwert von ϕ, wenn ein v V \ {} existiert, so dass ϕ(v) = λ v Jedes v V \ {} mit ϕ(v) = λ v heißt Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ Bemerkung Wenn v ein Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ ist, dann auch k v (für alle k K \ {}) Geometrische Interpretation: Sei v ein Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ Dann ist die Gerade L(v) = {k v k K} ϕ-invariant, dh ϕ(l(v)) L(v) Lemma 233 Sei B M(n, n, K) Dann hat die Gleichung BX = genau dann eine nichttriviale Lösung (dh ), wenn det(b) = gilt 49

50 Definition 234 Sei A M(n, n, K) Das charakteristisches Polynom von A ist das Polynom a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n χ A (λ) = det(a λ E n ) = a n a n2 a nn λ 2 λ 2 Beispiel Für A = 3 4 ist A λ E n = 3 λ 4 und λ det(a λ E 3 ) = ( λ)( λ)(5 λ) ( λ) 2 3 (5 λ) 4 ( λ) = ( λ 3 + 5λ 2 + λ 5) (4 + 4λ) (4 4λ) = λ 3 + 5λ 2 + 9λ + Bemerkung χ A (λ) = a n λ n + a n λ n + + a, wobei a n = ( ) n a n = ( ) n (a + + a nn ) a n 2 = ( ) n 2 (Summe aller 2-Hauptminoren von A) a = det A Dabei ist ein k-hauptminor von A die Determinante einer k k-teilmatrix, bei der die gewählten Spalten und Zeilenindices übereinstimmen (vgl Def 29) Satz 235 Sei α K Dann ist α genau dann ein Eigenwert von A, wenn α eine Nullstelle von χ A (λ) ist Satz 236 Jedes Polynom f(x) = a n x n +a n x n + +a mit Koeffizienten in einem Körper K und a n hat nicht mehr als n Nullstellen in K Ist K = C, dann gilt f(x) = a n (x λ ) k (x λ 2 ) k 2 (x λ s ) ks, wobei λ, λ 2,, λ s C alle verschiedene Nullstellen von f(x) sind, k, k 2,, k s N und s n ist Die Zahl k i heißt Vielfaches der Nullstelle λ i Wenn wir jede Nullstelle λ i nicht einmahl, sondern k i mal zählen, dann ist die gesammte Anzahl von Nullstellen n Wie sucht man Eigenwerte und Eigenvektoren von A? () Eigenwerte sind die Nullstellen von χ A (λ) Seien λ,, λ k diese Nullstellen (2) Für jedes λ i ist das System AX = λ i X zu lösen Dieses ist äquivalent zu (A λ i E n )X = Man finde ein Fundamentalsystem v,, v p von Lösungen dieses Systems Dann sind die Eigenvektoren zum Eigenwert λ i die nichttrivialen Linearkombinationen dieser Vektoren, also die Vektoren in L(v,, v p ) \ {} 5

51 Definition 237 Zwei Matrizen A, B M(n, n, K) heißen ähnlich, falls eine invertierbare Matrize T M(n, n, K) mit B = T AT existiert Satz 238 Wenn A und B ähnliche Matrizen sind, dann gilt χ A (λ) = χ B (λ) Satz 239 Sei A M(n, n, K) Dann gilt χ A (A) = O n 24 Vorlesung Definition 24 Seien ϕ : V V eine lineare Abbildung und λ ein Eigenwert von ϕ Die Menge Eig(ϕ, λ) := {v V ϕ(v) = λv} heißt Eigenraum von ϕ bezüglich λ Bemerkung Eig(ϕ, λ) ist ein Untervektorraum von V Satz 242 Sei ϕ : V V eine lineare Abbildung und seien v,, v k Eigenvektoren von ϕ mit den zugehörigen Eigenwerten λ,, λ k Sind die Eigenwerte λ,, λ k verschieden, dann sind die Vektoren v,, v k linear unabhängig Definition 243 Seien V, V 2,, V k Untervektorräume von V Dann heißt die Summe W = V + + V k direkt, falls jeder Vektor v W eindeutig in der Form v = v + + v k mit v i V i, i =,, k, geschrieben werden kann Wenn die Summe direkt ist, bezeichnen wir sie als V V k oder k V i i= Satz 244 Seien V, V 2,, V k Untervektorräume von V Die folgenden Aussagen sind gleichwertig: () Die Summe V + + V k ist direkt (2) Aus v + + v k = mit v V,, v k V k folgt v = = v k = (3) Für alle i =,, k gilt V i j iv j = {} (4) dim(v + + V k ) = dim V + + dim V k Satz 245 Seien λ,, λ k verschiedene Eigenwerte von ϕ Dann ist die Summe Eig(ϕ, λ ) + + Eig(ϕ, λ k ) direkt Folgerung 246 Es gilt k dim Eig(ϕ, λ i ) n i= Definition 247 Eine Matrix A M(n, n, K) heißt diagonalisierbar, wenn eine invertierbare Matrix T M(n, n, K) existiert, so dass λ T A T = D = λ n 5

52 Satz 248 Sei A M(n, n, K) Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: (a) A ist diagonalisierbar (b) Es existieren n Eigenvektoren von A, die eine Basis von K n bilden (c) dim Eig(A, λ) = n (d) λ EW(A) λ EW(A) Eig(A, λ) = K n Bemerkung: Falls (b) gilt und t (),, t (n) K n eine Basis aus Eigenvektoren von A ist, dann gilt λ T A T =, wobei T = ( t () t (n)) λ n die Matrix mit den Spalten t (),, t (n) ist und λ,, λ n die zugehörigen Eigenwerte sind 25 Vorlesung Definition 25 Seien {e,, e n } und {e,, e n} zwei Basen eines Vektorraumes V über K Sei e = t e + + t n e n e n = t n e + + t nn e n t t n Die Matrix T = t n t nn heißt Übergangsmatrix von e zu e Satz 252 Seien {e,, e n } und {e,, e n} zwei Basen eines Vektorraumes V über K Ist T die Übergangsmatrix von e zu e, dann ist T invertierbar und die Übergangsmatrix von e zu e ist gleich T Definition 253 Sei V ein K-Vektorraum, sei ϕ : V V eine lineare Abbildung und sei e = {e,, e n } eine Basis von V Wir stellen ϕ(e ),, ϕ(e n ) in der Basis {e,, e n } dar: ϕ(e ) = a e + + a n e n ϕ(e n ) = a n e + + a nn e n a a n Die Matrix [ϕ] e e = heißt die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der a n a nn Basis e Merkregel: In der i-ten Spalte der Darstellungsmatrix [ϕ] e e stehen die Koeffizienten von ϕ(e i ) bzgl der Basis e 52

53 Beispiele () Für ϕ : R 2 R 2, (2) Für ϕ : R 2 R 2, ( x x 2 ( x x 2 ) ( ) x + 2x 2 und e = 3x + 4x 2 ( ) [ϕ] e 2 e = 3 4 ) ( ) x + 2x 2 und e 3x + 4x = 2 ( ) 2 4 [ϕ] e e = 3 7 {( ), {( ), ( )} ist ( )} ist Satz 254 Sei ϕ : V V eine lineare Abbildung und seien e = {e,, e n } und e = {e,, e n} zwei Basen von V Dann gilt: [ϕ] e e = T [ϕ] e e T, wobei T die Übergangsmatrix von e zu e ist Satz 255 In der Situation von Definition 25 sei Dann gilt für die Koordinatenvektoren v = x e + + x n e n = x e + + x ne n V x x n = T x x n Definition 256 Seien U, V zwei K-Vektorräume, dim K (U) = n und dim K (V ) = m Sei B = {u,, u n } eine Basis von U und B 2 = {v,, v m } eine Basis von V Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Wir stellen ϕ(u ),, ϕ(u n ) in der Basis {v,, v m } dar: ϕ(u ) = a v + + a m v m ϕ(u n ) = a n v + + a nm v m a a n Die Matrix [ϕ] B 2 B = a m a nm Basen B U, B 2 V Merkregel: In der i-ten Spalte der Darstellungsmatrix [ϕ] B 2 B von ϕ(i-ter Vektor von B ) bzgl der Basis B 2 heißt die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der stehen die Koeffizienten Satz 257 Seien U, V, W drei Vektorräume über K mit den Basen B = {u,, u n }, B 2 = {v,, v m }, B 3 = {w,, w k } und seien ϕ : U V, ψ : V W zwei lineare Abbildungen Für die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung ψ ϕ bezüglich der Basen B und B 3 gilt dann [ψ ϕ] B 3 B = [ψ] B 3 B 2 [ϕ] B 2 B 53

54 26 Vorlesung Euklidische und unitäre Räume In folgenden sei K gleich R oder C 26 Euklidische Räume Definition 26 Sei V ein R-Vektorraum Ein Skalarprodukt in V ist eine Abbildung, : V V R, welche die folgenden Eigenschaften für alle u, v, w, z V und λ R besitzt: () u + v, w = u, w + v, w, u, w + z = u, w + u, z, λv, u = λ v, u, v, λu = λ v, u, (Linearität) (2) v, u = u, v, (Symmetrie) (3) v, v > für alle v (positive Definitheit) (Aus () folgt, = ) Ein R-Vektorraum V zusammen mit einem Skalarprodukt heißt Euklidischer Raum Beispiel 262 (a) Standardskalarprodukt in R n x Für die Vektoren x = so definiert: (b) Für x = ( x x 2 ) und y = x n und y = ( y y 2 y y n x, y = ) aus R 2 sei aus R n wird das Standardskalarprodukt n x i y i i= x, y := x y + 5x y 2 + 5x 2 y + 27x 2 y 2 Dann ist, ein Skalarprodukt in R 2 Das ist aber kein Standardskalarprodukt (c) Sei [a, b] R ein Intervall und sei C([a, b]) die Menge aller stetigen Funktionen f : [a, b] R Für f, g C([a, b]) setzen wir f, g = b a f(x)g(x) dx Dann ist C([a, b]) mit, ein Euklidischer Raum Der Raum ist -dimensional 54

55 262 Unitäre Räume Definition 262 Sei V ein C-Vektorraum Ein Skalarprodukt in V ist eine Abbildung, : V V C, welche die folgenden Eigenschaften für alle u, v, w, z V und λ C besitzt: () u + v, w = u, w + v, w, u, w + z = u, w + u, z, λv, u = λ v, u, v, λu = λ v, u, (Linearität im ersten Argument) (2) v, u = u, v, (Das Skalarprodukt ist hermetisch) (3) v, v > für alle v (positive Definitheit) (Aus () folgt, = ) Ein C-Vektorraum V zusammen mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Raum Beispiel 2622 (a) Standardskalarprodukt in C n x Für die Vektoren x = so definiert: (b) Für x = ( x x 2 ) und y = x n und y = ( y y 2 y y n x, y = ) aus C 2 sei aus C n wird das Standardskalarprodukt n x i y i i= x, y := x y + 5x y 2 + 5x 2 y + 27x 2 y 2 Dann ist, ein Skalarprodukt in R 2 Das ist aber kein Standardskalarprodukt (c) Sei [a, b] R ein Intervall und sei C([a, b], C) die Menge aller stetigen Funktionen f : [a, b] C Für f, g C([a, b], C) setzen wir f, g = b a f(x)g(x) dx Dann ist C([a, b], C) mit, ein unitärer Raum Der Raum ist -dimensional 55

56 263 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Satz 263 (Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung) Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, Dann gilt für alle x, y V x, y 2 x, x y, y Gleichheit tritt genau dann ein, wenn {x, y} linear abhängig ist Bemerkung: In der nächsten Folgerung benutzen wir, dass zz = z 2 für z C gilt Folgerung 2632 x (a) Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für das Standardskalarprodukt im R n : Für x = x n und y = y y n aus R n gilt ( n ) 2 x i y i i= n x 2 i i= n yi 2 i= (b) Im Falle von C([a, b], C), den stetigen Funktionen von [a, b] nach C, lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: b f(x)g(x) dx 2 b b f(x) 2 dx g(x) 2 dx 264 Norm eines Vektors a Definition 264 Sei V ein K-Vektorraum Eine Funktion : V R heißt Norm, wenn für alle x, y V und λ K die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: a () x und x = genau dann, wenn x = ist, (Positive Definitheit) (2) λx = λ x, (Homogenität) (3) x + y x + y (Dreiecksungleichung) Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum Satz 2642 Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt, Dann wird durch x := x, x auf V eine Norm definiert und es gilt x, y x y Definition 2643 Sei (V, ) ein normierter Raum Wir sagen, dass diese Norm von einem Skalarprodukt auf V induziert ist, wenn ein Skalarprodukt, auf V mit der Eigenschaft x = x, x existiert Satz 2644 Sei (V, ) ein normierter Raum Wenn die Norm von einem Skalarprodukt auf V induziert ist, dann gilt für alle x, y V die Parallelogrammidentität: x y 2 + x + y = 2( x 2 + y 2 ) Beispiel Die Abbildung : R 2 R, (x, x 2 ) := x + x 2 ist eine Norm, die von keinem Skalarprodukt auf R 2 induziert ist 56 a

57 265 Winkel und Orthogonalität Definition 265 (a) Sei V ein Euklidischer Raum mit Skalarprodukt, und seien a, c V \ {} Dann heißt ϕ [, π] der Winkel zwischen a und c, wenn gilt cos ϕ = a, c a c (b) Sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt Dann heißen a, c V zueinander orthogonal, wenn a, c = Man schreibt in diesem Fall auch a c Bemerkung Die Definition der Winkel in (a) ist sinvoll, denn nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt für alle a, c und somit a c a, c a c a, c a c Da die Kosinusfunktion das Intervall [, π] auf [, ] bijektiv und stetig abbildet, gibt es einen eindeutig bestimmten Winkel ϕ zwischen a und c Der Begriff der Orthogonalität, das heißt der Winkel ist π/2 und cos ϕ =, hat auch in unitären Räumen Sinn und auch für Vektoren, die gleich Null sind Beispiel (a) Wir betrachten den Euklidischen Raum R 2 mit dem Standardskalarprodukt Dann ist der Winkel zwischen den Vektoren a = (2, ) und c = (, 3) gleich π/3 (b) Wir betrachten den unitären Raum V = C([, 2π], C) der komplexwertigen, stetigen Funktionen auf [, 2π], mit dem Skalarprodukt f, g = 2π f(x)g(x) dx Die Vektoren cos und sin sind orthogonal in V Definition 2652 Sei I eine nichtleere Menge Für i, j I wird das Kronekersymbol so definiert: {, wenn i = j ist, δ i,j =, wenn i j ist Definition 2653 Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und sei C = (c i ) i I nichtleeres System von Vektoren von V ein (a) C heißt Orthogonalsystem, abgekürzt OS, wenn für alle i, j I mit i j gilt c i, c j = (b) C heißt Orthonormalsystem, abgekürzt ONS, wenn für alle i, j I gilt c i, c j = δ i,j (c) C heißt Orthonormalbasis, abgekürzt ONB, wenn C ein Orthonormalsystem ist und gleichzeitig eine Basis in V 57

58 Bemerkung Sei C eine orthogonale Familie im Skalarproduktraum V, die nicht den Nullvektor enthält Dann kann man C in eine orthonormale Familie C überführen, indem man die einzelnen Vektoren normiert Man setzt c i = c i c i, i I Beispiel (a) Im R 3 mit Standardprodukt sind,, orthogonal Das zugehörige Orthonormalsystem ist 2, 2, (b) Im C([, 2π]) mit dem Skalarprodukt aus Beispiel 262 (c) ist das System orthogonal, aber nicht orthonormal {, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, } Lemma 2654 (Pythagoras) Sei {c,, c n } ein Orthogonalsystem in V Dann gilt c + + c n 2 = c c n 2 Lemma 2655 Jede orthogonale Menge, die den Nullvektor nicht enthält, ist linear unabhängig Satz 2656 Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt sei B = {b,, b n } eine Orthonormalbasis von V Dann gelten für alle x, y V die Formeln: (a) (b) (c) x = n x, b i b i i= x, y = n x, b i b i, y i= x 2 = n x, b i 2 i= Bemerkung Der Satz 2656 spielt in der Theorie der Fourierreihen eine wichtige Rolle: die rechte Seite von (a) heißt im unendlich-dimensionalen Fall Fourierreihe von x und x, b i, i N, sind die Fourierkoeffizienten Satz 2657 Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und sei C = {c,, c n } ein linear unabhängiges System in V Dann gibt ein Orthonormalsystem E = {e,, e n } in V mit L({c,, c k }) = L({e,, e k }) für alle k =,, n 58

59 Beweis Die Basis E wird rekursiv definiert: e : = c c e i+ : = f i+, wobei f f i+ i+ = c i+ i c i+, e k e k ist k= Satz 2658 Jeder endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine Orthonormalbasis 266 Orthogonale und unitäre Endomorphisme Definition 266 Sei V ein Vektorraum über K (a) Eine lineare Abbildung ϕ : V V heißt Endomorphismus von V Die Menge aller Endomorphismen wird mit End(V ) bezeichnet (b) Die Menge aller bijektiven Endomorphismen (mit anderen Worten Isomorphismen) von V wird mit GL(V ) bezeichnet Definition 2662 (a) Ein Endomorphismus ϕ : V V eines Euklidischen Raums V heißt orthogonal, wenn ϕ(x), ϕ(y) = x, y für alle x, y V gilt Die Menge aller orthogonalen Endomorphismen eines Euklidischen Raums V wird mit O(V ) bezeichnet (b) Ein Endomorphismus ϕ : V V eines unitären Raums heißt unitär, wenn ϕ(x), ϕ(y) = x, y für alle x, y V gilt Die Menge aller unitären Endomorphismen eines unitären Raums V wird mit U(V ) bezeichnet Satz 2663 Sei V ein Euklidischer (ein unitärer) Raum Sei ϕ : V V ein orthogonaler (ein unitärer) Endomorphismus Dann gilt für alle x, y V : (a) ϕ(x) = x (b) x y impliziert ϕ(x) ϕ(y) (c) O(V ) (bzw U(V )) ist eine Untergruppe von GL(V ), wenn V endlichdimensional ist (d) Ist λ C ein Eigenwert von ϕ, dann gilt λ = (e) Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten von ϕ gehören, sind orthogonal: dh wenn λ λ 2 ist und ϕ(x ) = λ x und ϕ(x ) = λ 2 x 2 ist, dann gilt x, x 2 = 59

60 Satz 2664 Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Raum und ϕ : V V ein unitärer Emdomorphismus Dann existiert eine Orthonormalbasis e von V, so dass [ϕ] e e eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von ϕ auf der Diagonale ist Satz 2665 Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer Raum und ϕ : V V ein orthogonaler Endomorphismus Dann existiert eine Orthonormalbasis e von V, so dass [ϕ] e e eine Block-Diagonalmatrix ist, wobei diese Blöcke die Größe oder 2 2 haben Die Blöcke der Größe sind () oder ( ) Die Blöcke der Größe 2 2 haben die Form ( ) cos θ sin θ sin θ cos θ 6