Inhalt. Verzeichnis der Bilder...3 Verzeichnis der Tabellen...3 Verzeichnis der Diagramme...3 Liste benutzter Symbole...4

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1 Inhalt Verzeichnis der Bilder...3 Verzeichnis der Tabellen...3 Verzeichnis der Diagramme...3 Liste benutzter Symbole Aufgabenstellung Grundlagen Berechnung des Staudruckes q Der Potentialwirbel Entstehung des Auftriebes Magnus Effekt Widerstand Versuchsbeschreibung Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Darstellung der Ergebnisse Zirkulationsgeschwindigkeit im Strömungsfeld Abhängigkeit des Auftriebs zur Drehzahl Abhängigkeit des Auftriebs zur Drehzahl kurze Zusammenfassung Literaturverzeichnis...18

2 2 Verzeichnis der Bilder Abbildung 1-1 : Meßaufbau in Konfiguration ohne Endscheiben...4 Abbildung 2-1 : Umströmung...8 Abbildung 2-2 : Auftrieb...10 Abbildung 2-3 : Wirbelschleppen/Randwirbel...11 Abbildung 3-1 : Windkanal...12 Abbildung 3-2 : Antrieb des Zylinders...12 Abbildung 3-3 : rotierender Zylinder auf der Komponentenwaage am Windkanalaustritt...13 Abbildung 3-4 : Messkonfiguration mit Endscheiben...14 Verzeichnis der Tabellen Tabelle 2-2 : Geschwindigkeit zu Abstand von der Oberfläche Fehler! Textmarke nicht definiert. Verzeichnis der Diagramme Diagramm 4-1 : Zirkulationsgeschwindigkeit zu Entfernung der Oberfläche...15 Diagramm 4-2 : Auftrieb zu Drehzahl...16 Diagramm 4-3 : Widerstand zu Drehzahl

3 3 Liste der Symbole! p Differenzdruck! h Differenzhöhe A Querschnittsfläche D, d Durchmesser g Erdbeschleunigung h Höhe l Länge m Öffnungsverhältnis p Druck Re Reynoldszahl t Zeit! Geschwindigkeit V Volumen Indizes 1,2 Bereich a außen i innen g gesamt 3

4 4 1. Aufgabenstellung Mit einem Anemometer soll die Geschwindigkeit v(x) in der Umgebung eines rotierenden Kreiszylinders ohne Anströmung (v =0) gemessen werden. Im Freistrahl des 1,0m Windkanals ist mit der Windkanalwaage der Auftrieb A und der Widerstand W an einem rotierenden Kreiszylinder bei verschiedenen Strahlgeschwindigkeiten v und Drehzahlen n zu messen. Der Einfluss von Endscheiben auf die Kräfte am Kreiszylinder soll untersucht werden. Abbildung 1-1: Meßaufbau in Konfiguration ohne Endscheiben 4

5 5 2. Grundlagen 2.1 Berechnung des Staudruckes q Die Berechnung des Staudruckes q (m/s) aus dem am Betz-Manometer abgelesenen Wert (mmws) soll als Erstes erfolgen: q q # = $ Wasser #! g! " h N = 9,80665! " h mm! m? 1mmWS = ˆ 9,80665 Pa 0,5 mmws = ˆ 4,90332 Pa 2,5 mmws = ˆ 24,5166 Pa Nun kann die Anströmgeschwindigkeit (m/s) unter Berücksichtigung des Umgebungsdruckes und der Umgebungstemperatur berechnet werden: v! " R " T " q! = 2 mit : p m? RLuft = 287 K! s? TAnfang + TEnde T = 2 q = Staudruck " p = Umgebungsdruck Für 0.5mmWS ergibt sich ein v : m? 2! 278! 294,45K! 4,90332Pa v s?! K ", 0.5mmWS = = 2, Pa m s Für 2.5mmWS ergibt sich ein v : m? 2! 278! 294,45K! 24,5166Pa v s?! K ", 2.5mmWS = = 6, Pa m s 5

6 6 2.2 Der Potentialwirbel Für eine reine Zirkulation gilt nach der Potentialtheorie des Wirbels folgender Zusammenhang: Die y-komponente v y der Zirkulationsgeschwindigkeit an der Koordinate x beträgt: " x v y =! 2!# r? In der Ebene gilt: r² = x² + y² Bei einer Bewegung, die nur in x-richtung erfolgt (y=0), gilt demnach: r = x und somit: " x " 1 v y =! v y =! 2!# r? mit r = x 2!# x Die Koordinate x ist der Abstand zwischen der Mess-Sonde und dem Zentrum des Potentialwirbels. Im Versuch wird mit der Koordinate x der Abstand zwischen der Oberfläche des Zylinders und der Mess-Sonde bezeichnet. Um mit der Potentialtheorie die Geschwindigkeit an der Koordinate x bestimmen zu können, muß der Radius R addiert werden. Die Koordinate x geht deshalb in die Koordinate ξ = x + R über: v " 1 " 1 =! =! y 2!# î 2!# x + R D R = 5mm 2 = 63, Dabei entspricht R dem Radius des Kreiszylinders. Für die Umfangsgeschwindigkeit an der Oberfläche des Kreiszylinders gilt: v 1min 1 = R!# = R! 2!"! n ; n = Drehzahl in 60s min 0! Weiter kann man nun die Geschwindigkeitskomponente (y-richtung) an der Zylinderoberfläche mit der Potentialtheorie und mit dem obigen Zusammenhang bestimmen. Somit hängt die Zirkulation nur noch von der Drehzahl und dem Radius ab. Wird Diese in die Gleichung des Potentialwirbels eingesetzt, ergibt sich: v " 1 " 1 4!#?! R?! n 1min 2!#! R?! n 1min =! =! =! =! y 2!# î 2!# x + R 2!#! ( x + R) 60s ( x + R) 60 s 6

7 7 Für unsere gemachten Messungen ergeben sich dann folgende Werte: x [mm] v y [m/s] 0 13,2994 4,5 12, , , , , , , , , , , , , ,3233 7

8 8 2.3 Entstehung des Auftriebes Magnus Effekt 1 Bei einem rotierenden Zylinder entsteht eine Auftriebskraft senkrecht zur Anströmrichtung. Diese Erkenntnis hat zum ersten Mal der Physiker Heinrich Gustav Magnus niedergeschrieben. Der Effekt hat den Namen von seinem Entdecker bekommen : Magnus-Effekt. Der Auftrieb, als Folge des Effektes, kann wie folgt beschreiben werden: Ein sich drehender Zylinder ruft durch Wandreibung eine Zirkulationsströmung hervor. Für einen ruhenden Kreiszylinder, der einer Anströmung ausgesetzt wird, können die Stromlinien nach der Potentialtheorie durch Überlagerung konstruiert werden. Wird nun eine weitere Zirkulationsgeschwindigkeit über den Potentialwirbel und der Translationsströmung überlagert, ist ein deutlich verändertes Bild zu erkennen: Abbildung 2-1 : Umströmung Die Strömung verläuft nun nicht mehr horizontal, da sich auf der Oberseite die Anströmgeschwindigkeit und die Zirkulationsgeschwindigkeit addieren. Die Strömung wird also beschleunigt. Auf der Gegenseite bewirkt dieses eine Verringerung der Strömung. Durch die unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten entsteht zwischen Ober- und Unterseite des Kreiszylinders ein Differenzdruck, welcher einen Auftrieb zur Folge hat. Die Berechnung kann nun nach Kutta-Joukowsky erfolgen : A = $ " b " v# "! Zusammen mit der Formel für die Zirkulation kann nun der Auftrieb bestimmt werden : A = $! b! v"! v! 2!#! R 0 1 Magnus-Effekt Der Magnus-Effekt wurde 1852 von dem deutschen Physiker und Chemiker Heinrich Gustav Magnus ( ) entdeckt. Seine Auswirkungen spielen z.b. in der Ballistik eine wichtige Rolle. Durch den Magnus-Effekt kommt es zu Flugbahnabweichungen von rotierenden Geschossen (Geschossdrall bei Kanonenkugeln). 8

9 9 Der Auftriebsbeiwert ergibt sich als Auftrieb bezogen auf Fläche : v = 2 "# " v c a 0! 9

10 Widerstand Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich aus verschiedenen Komponenten zusammen. Gesamtwiderstand = Profilwiderstand + induzierter Widerstand Gesamtwiderstand = (Reibungswiderstand +Druckwiderstand) + induzierter Widerstand Abbildung 2-2 : Auftrieb Für den Widerstandsbeiwert gilt also: Widerstandsbeiwert = Profilwiderstandsbeiwert + Beiwert des induzierten Widerstandes Induzierter Widerstand Der sich drehende Kreiszylinder kann mit einer Flügelspitze verglichen werden. Auf der O- berseite des Flügels herrscht Duck und auf der Unterseite Überdruck. Durch die Druckdifferenz wird eine Ausgleichsströmung an den Flügelenden stattfinden, da im Gegensatz zur Potentialtheorie aus Platzgründen in Wirklichkeit keine unendlich langen Flügel verwendet werden können. Die Randströmung überlagert sich der Anströmung in der Weise, dass Stromlinien im Außenbereich des Flügels wie folgt abgelenkt werden : an der Unterseite zur Flügelspitze hin nach außen an der Oberseite von der Flügelspitze weg nach innen. Es entsteht ein Wirbel am Rand des Flügels, der Randwirbel. 10

11 11 Abbildung 2-3 : Wirbelschleppen/Randwirbel Weitere Wirbel bilden sich auch an dem Übergang vom Rumpf zum Flügel. Mit fortwährender Wirbelbildung ist ein Energieverlust von Bewegungsenergie in Wärme und somit ein induzierter Widerstand verbunden. Für den zugehörigen Widerstandsbeiwert gilt folgender Zusammenhang : c w, j c w, j A? = e!%! " für den Widerstand : W i A? = $ e!%!! v 2 #?! b? In der Praxis beeinflusst man diese Effekte, indem man Winglets an die Flügelspitzen montiert, diese werden in unserem Versuch durch die Endscheiben dargestellt. Folgende Auswirkungen auf dem Flügel ergeben sich somit : Der Druckausgleich wird abgemildert. Der Auftrieb über den gesamten Flügel wird erhöht. Der Profilwiderstand steigt an. Der Gesamtwiderstand sinkt! (=> Der Spritverbrauch sinkt) 11

12 12 3. Versuchsbeschreibung 3.1 Versuchsaufbau Der Versuch wurde mit dem 1,0m-Eiffel-Windkanal der HAW Berliner Tor durchgeführt. Daten des Windkanals: Antriebsleistung Meßstrecke Windgeschwindigkeit 32kW 1,0 m im Durchmesser 30 m/s Abbildung 3-1: Windkanal Daten des Zylinders: Drehzahl Breite Durchmesser Endscheibe Max /min 800 mm 127 mm 254 mm Abbildung 3-2: Als Antrieb des Zylinders dient ein LKW-Motor. Der Aufbau ist im nebenstehenden Bild gezeigt. Markierungen an der Stirnseite des Zylinders ermöglichen mit Hilfe der Stroboskoplampe eine ausreichend genaue Steuerung der Drehzahl. 12

13 13 Weitere verwendete Messgeräte und Hilfsmittel: 1 Thermometer 2 Drehzahlmesser 3 Stroboskoplampe mit Frequenzanzeige 4 Betz-Manometer 5 6-Komponenten Waage zur Widerstands- und Auftriebsmessung 6 Anemometer mit Geschwindigkeitsanzeige 7 Digitalmessuhr (für Abstand Anemometer und Zylinder) Abbildung 3-3 : rotierender Zylinder auf der Komponentenwaage am Windkanalaustritt 13

14 Versuchsdurchführung a) Messung der Zirkulationsgeschwindigkeit Zunächst werden die Umgebungstemperatur und der Luftdruck mit Thermometer und Barometer vor dem Beginn des Versuches gemessen. Danach erfolgt die erste Messung ohne Anströmung durch den Windkanal. Der Zylinder wird in Rotation versetzt und durch eine Stroboskoplampe mit der Frequenz von 2000Hz angeblitzt. Nun wird die Drehzahl solange verändert, bis die Markierung an der Stirnseite zu stehen scheint. Ist dieses erreicht, dann hat der Zylinder die Drehzahl von /min und wir können den ersten Messpunkt anfahren. Dieser liegt bei 4,5mm, da die Messsonde 7mm breit ist (Außenradius 3,5mm) und wir einen Sicherheitsabstand von 1 mm einhalten wollen. Das Anemometer wird nun schrittweise von der Oberfläche wegbewegt. Es werden so weitere 13 Meßpunkte aufgenommen. b) Messung des Auftriebes und des Widerstandes Es werden insgesamt vier Messkonfigurationen aufgenommen, je eine Messung mit und ohne Endscheiben bei 0,5 mmws, sowie je eine Messung mit und ohne Endscheiben bei 2,5 mmws. Bei jeder Konfiguration werden alle 200 1/min ein Messpunkt aufgezeichnet. Es ergibt sich eine Reihe 0; 200; 400; ; Am Ende aller Messungen werden die Raumtemperatur und der Umgebungsdruck gemessen. Abbildung 3-4: Messkonfiguration mit Endscheiben 14

15 15 4. Darstellung der Ergebnisse 4.1 Zirkulationsgeschwindigkeit im Strömungsfeld 3,00 2,50 2,00 Zirkulationsgeschwindigkeit v m/s [ m/s ] 1,50 1,00 0,50 0,00 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0 350,0 [ mm ] Diagramm 4-1 : Zirkulationsgeschwindigkeit zu Entfernung der Oberfläche Die realen Vorgänge können durch das Modell qualitativ richtig beschrieben werden. Dieses ist durch einen Vergleich des obigen Diagramms mit Literaturwerten ersichtlich. Die Geschwindigkeit nimmt mit der Funktion einer Hyperbel ab. Da wir mit einem Modell arbeiten, ergeben sich quantitative Unterschiede zur Potentialtheorie. Die Zirkulation des Potentialwirbels kann aus der Drehzahl des Kreiszylinders berechnet werden. Er besitzt an der Zylinder-Oberfläche seinen maximalen Wert. Je weiter sich die Messsonde von der Oberfläche entfernt, desto mehr gleichen sich die gemessenen Werte den theoretisch Errechneten an. Als Erklärung dafür lassen sich folgende Punkte nennen: In der Potentialtheorie wird reibungsfrei Strömung verwendet. Dagegen haben wir in der Realität reibungsbehaftete Strömung. Unser Meßmodell hatte eine endliche Breite, in der Theorie geht man von einer unendlichen Breite aus. 15

16 Abhängigkeit des Auftriebs zur Drehzahl Magnus - Effekt qu = 0,5 mmws 4,00 Ages [N] ohne Endscheiben 0,5 Ages [N] mit Endscheiben 0,5 3,50 3,00 Ages [ N ] 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0, n [1/min] Diagramm 4-2 : Auftrieb zu Drehzahl Folgende Kenntnisse lassen sich aus dem Diagramm ableiten : Bei kleiner Drehzahl ist der Effekt noch gering, da sich der Magnus Effekt erst aufbauen muss. Der Auftrieb nimmt danach in einen Bereich (A ges = 1-2/3) gleichmäßig zu. In diesem Bereich gilt v/v. Im letzten Bereich nähert sich dann der Auftrieb einem Grenzwert (A ges = 2/3,5). Dieses lässt sich durch die beiden Staupunkte erklären, die nicht weiter auseinanderlaufen können. Der Auftrieb lässt sich durch den Einsatz der Endscheiben stark vergrößern. 16

17 Abhängigkeit des Auftriebs zur Drehzahl Magnus - Effekt qu = 0,5 mmws 2,50 Wges [N] mit Endscheiben 0,5 Wges [N] ohne Endscheiben 0,5 2,00 1,50 1,00 0,50 0, n[1/min] Diagramm 4-3 : Widerstand zu Drehzahl Folgende Kenntnisse lassen sich aus dem Diagramm ableiten : Der Widerstand setzt sich zuerst nur aus dem Profilwiderstand zusammen. Der induzierte Widerstand beeinflusst den Gesamtwiderstand immer stärker. Der Widerstand ist proportional zum Quadrat des Auftriebs. Endscheiben erhöhen den Gesamtwiderstand, da sie den Auftrieb und damit auch den induzierten Widerstand erhöhen. 4.4 kurze Zusammenfassung Alle Ergebnisse zusammengefasst : Der Magnus-Effekt entsteht durch einer Überlagerung von Strömungen. Je näher die Staupunkte beieinander liegen, desto stärker ist der Effekt. Potentialtheorie liefert Aussagen zum Auftrieb, nicht zum Widerstand am Kreiszylinder. In der Theorie wird von unendlicher Breite und reibungsfreier Strömung ausgegangen. Dieses ergibt Unterschiede zur Realität. Endscheiben (Winglets) erhöhen Auftrieb und Widerstand. Dieser ist aber nicht proportional. Es ergibt sich bei gleichem Auftrieb ein wesentlich kleinerer Widerstand. 17

18 18 5. Literaturverzeichnis Tietjens (1960) Gersten 1991 Zingel 2002 Tietjens, O: Strömungslehre, Band 1, Hydro- und Aerostatik Berlin, 1960 Gersten, Klaus: Einführung in die Strömungsmechanik Braunschweig, Wiesbaden; Vieweg 1991 Zingel, H: Strömungsmechanik. (Vorlesungsskript) Hamburg, HAW-Hamburg, Fachbereich Fahrzeugtechnik,2002 Weitere Informationen wurden dem Internet entnommen: (sehr gut) 18