Messung und Einheitensystem. Institut für Experimentalphysik

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1 Messung und Einheitensystem 1

2 Beobachtung eines physikalischen Vorgangs in quantitativer Form Definition von rößen notwendig (ursprünglich an Sinneswahrnehmungen angelehnt) Zusammenhänge durch leichungen erfaßbar (soferne geeignete rößen definiert wurden) Wechselspiel aus Theorie Experiment

3 Messen heißt, zwei rößen miteinander vergleichen der gefundene Wert wird mit der Einheit der röße verglichen Festlegung der Einheit: nach Zweckmäßigkeit viele Messungen: bloße Längen-, Winkel-, Spannungs-, Strom-, Temperatur-, Zeitmessungen, etc. 3

4 esuchte physikalische röße: Oft direkt nicht, oder nur schwierig meßbar über phys. Beziehungen (Formeln) wird die gesuchte röße ermittelt. Fehler können den Meßvorgang beeinflussen (Messunsicherheit, siehe später) 4

5 Schwierigkeiten im Mikrokosmos: Testteilchen und zu testendes Teilchen oft bezüglich Masse und Ladung in derselben rößenordnung (z.b. Elementarteilchen) 5

6 SI - Internationales Einheitensystem Normale bzw. Standards Einheiten festgelegt nach techn. Bedürfnissen, müssen mit Normalen/Standards verglichen werden können (Eichung) Eichämter: NIST (NBS, USA), PTB (D), Arsenal (A),... 6

7 SI - Internationales Einheitensystem Forderungen an Normal muß mit genügender enauigkeit mit der zu messenden röße verglichen werden können muß immer mit der geforderten enauigkeit reproduzierbar sein die Herstellung und die Aufbewahrung des Normals und die Reproduzierbarkeit der Vergleichsmessungen müssen unter technisch vertretbarem Aufwand möglich sein 7

8 SI - Internationales Einheitensystem Frage: Wie viele Basisgrößen sind notwendig? Alle natürlichen Vorgänge laufen in Raum und Zeit ab Längen- u. Zeiteinheiten, Masse Länge, Zeit, Masse Man kann zeigen, daß alle physikalischen rößen auf die drei Basisgrößen für Länge, Zeit und Masse zurückführbar sind! 8

9 SI - Internationales Einheitensystem Aus Zweckmäßigkeitsgründen* noch weitere Basisgrößen: elektr. Stromstärke, Temperatur, Lichtstärke, Stoffmenge *So können viele abgeleitete rößen einfacher geschrieben werden 9

10 SI - Internationales Einheitensystem Basisgröße Länge (L) Masse (M) Zeit (T) Elektrische Stromstärke (I) Thermodyn. Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Basiseinheit Meter (m) Kilogramm (kg) Sekunde (s) Ampere (A) Kelvin (K) Mol (mol) Candela (cd) 10

11 SI - Internationales Einheitensystem Definition: Meter (m) 1 m ist die Länge, die das Licht im Vakuum während des Zeitintervalls (1/ ) s durchläuft äquivalent zur Festlegung der Lichtgeschwindigkeit mit c x 10 8 m/s 11

12 SI - Internationales Einheitensystem Definition davor: 1 Meter sind Wellenlängen eines best. atomaren Übergangs im 86 Kr-Isotop Historisch: 1/ eines Erdquadranten 1

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14 SI - Internationales Einheitensystem Sekunde (s) Definition: Eine Sekunde ist das Zeitintervall, während dessen die Cäsiumuhr Schwingungen ausführt. 14

15 Cäsiumuhr ν ν!!! 133 Cs-Atom Frequenzstabilität: ν ν 10 14!!! 15

16 SI - Internationales Einheitensystem Historisch: 1 Sekunde ist 1/86400 eines mittleren Sonnentages* *Periodendauer der Erdrotation ändert und verringert sich (aufgrund der ezeitenbewegung) kontinuierlich Einheit würde sich ändern 16

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18 SI - Internationales Einheitensystem Definition: Kilogramm (kg) 1 kg ist die Masse eines Platin-Iridium- Zylinders, der als Massennormal in Paris aufbewahrt wird. Absicht ursprünglich: Sollte die Masse von 1dm 3 (1 Liter) Wasser bei 4 0 C sein (Differenz zu oben 0,08 g) 18

19 SI - Internationales Einheitensystem Definition über atomare rößen: Masse des 1 C-Isotops: x 10-6 kg 1 kg ist die Masse von 1/ x x C-Atomen 1 atomare Masseneinheit (atomic mass unit, amu): 1/1 der Masse eines 1 C-Atoms 19

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21 SI - Internationales Einheitensystem Ampere (A) Definition: 1 A ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete unendlich lange, dünne Leiter fließt und zwischen diesen Leitern eine Kraft von x 10-7 N je m Leitungslänge hervorruft. 1

22 Warum nicht Ladung (Coulomb) als Basisgröße? Einfachere Realisierung des Ampere als Standard Die Ladung 1 Coulomb ist jene Elektrizitätsmenge, die in einer Sekunde durch einen Leiter fließt, wenn der Strom 1 A beträgt.

23 SI - Internationales Einheitensystem Definition: Kelvin (K) 1 Kelvin ist der 73,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser Wertetripel für p,v,t TP Koexistenz aller drei Phasen (im thermodyn. leichgewicht) 3

24 SI - Internationales Einheitensystem Mol (mol) Definition: Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,01 kg des Kohlenstoffnuklids 1 C enthalten sind. N A x 10 3 Teilchen Avogadro sche Zahl 4

25 SI - Internationales Einheitensystem Relative Atommasse A rel : Ist die absolute Atommasse geteilt durch 1/1 der Masse der 1 C-Atoms Vorteil dieser Definition: In A rel ramm einer Atomsorte ( Molmasse ) sind immer N A Atome enthalten (vereinfacht Betrachtungen in Thermodynamik und Chemie) 5

26 SI - Internationales Einheitensystem Definition: Candela (cd) Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 x 10 1 Hz aussendet und deren Strahlstärke in diese Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt. 6

27 SI - Internationales Einheitensystem In alten Definitionen der photometrischen Basiseinheit wurde einem Primärnormal ein bestimmter Lichtstärkewert zugeordnet. Dies war bis 1979 ein Hohlraumstrahler ( Schwarzer Strahler ) bei der Temperatur des erstarrenden Platins (046 K), dessen Leuchtdichte durch die Angabe einer bestimmten Fläche (1 cm ) in eine Lichtstärke umgewandelt wurde (60 cd). 7

28 Abgeleitete Einheiten Potenzprodukte von Basiseinheiten g k a α b β c γ K v a F s t v t m a [] v [] a ms ms 1 eschwindigkeit Beschleunigung [ ] F kg ms Kraft (N) 8

29 Auswertung von Messungen - Meßunsicherheit ausreichende Kenntnis der phys. Zusammenhänge, adäquate Meßtechnik für Qualität der Abschätzung maßgebend Meßwert weicht i.a. vom wahren Wert ab Schätzwert und dessen Unsicherheit zu bestimmen Meßabweichungen: systematischer und zufälliger Natur 9

30 Bedeutung der Fehlerabschätzung Zur Einschätzung des Ergebnisses Wichtig für Konzeption von Experimenten: welche rößen sind kritisch (genaue Messung notwendig apparativer Aufwand) 30

31 Systematische Meßabweichungen Experimentelle Erfahrung und meßtechnische Kompetenz essentiell! Charakteristikum: Abweichung in immer dieselbe Richtung 31

32 Beispiele für syst. Meßabweichungen Eichfehler, Nullpunktfehler Konstruktive Ungenauigkeiten der Meßinstrumente Ungeeignete Meßverfahren Unexakte physikalische Beziehungen (Theorien ungenau) Änderungen in äußeren Bedingungen während längerer Meßserien, etc. Allg. Regeln zur Identifikation syst. Meßabweichungen schwer zu definieren Kritische Analyse notwendig ( kriminalistische Vorgangsweise) Jedenfalls: bloße Diskussion statistischer Meßunsicherheiten unzureichend! 3

33 Zufällige (statist.) Meßabweichungen Empfindliches Meßverfahren Streuung der einzelnen Meßwerte Tritt auch auf, falls syst. Abweichungen völlig auszuschließen wären 33

34 Auswertung direkter Messungen z.b. Messung einer Fallzeit mittels Stoppuhr, einer Länge mit Maßband, einer Spannung mit Voltmeter, etc. Messung in Praxis nicht unendlich oft wiederholbar n Werte, bilden Stichprobe Häufigkeitsverteilung (darstellbar mit Häufigkeitsfunktion) endliche Stichprobe, wahrer Wert µ unbekannt bester Schätzwert + Maß für die Unsicherheit 34

35 Bester Schätzwert bester Schätzwert: x 1 n n i 1 x i mit: n i 1 x i x n i 1 x i 35

36 Standardabweichung (Varianz s ) s ( 1 + x i i n 1 n x) stellt Maß für die Streuung der Meßwerte um den Mittelwert dar 36

37 Standardabweichung des Mittelwertes m (Varianz m ) m s ( ) 1 + x x i i n n( n 1) n Maß, wie sicher der Mittelwert ist 37

38 Meßergebnis direkter Messungen ( Einzelmessungen ) Angabe der um eine bekannte systematische Abweichung (Korrektion K) korrigierten Mittelwerte Angabe der Meßunsicherheit x u E u u x x r x K z E + u s ± u ± ( u / x) ± ( m + u s ) Korrektion Meßunsicherheit Ergebnis rel. Meßunsicherheit 38

39 Auswertung indirekter Messungen Fortpflanzung der Meßunsicherheit in die zu bestimmende röße z.b.: (x,y,z,...) Inwieweit beeinflussen Einzelunsicherheiten ( Einzelfehler ) die enauigkeit des Endergebnisses der röße? 39

40 Wie sensitiv ist die zusammengesetzte röße auf Abweichungen der Einzelmessungen? d x dx Taylorreihe, d abgebrochen nach erstem lied ( x) 40

41 ( x, y, z,...) x x + y y + z z +K, rößte Meßunsicherheit (früher: rößtfehler ) 41

42 4 100 [%] + + z z y y x x rel Mittlere absolute und relative Meßabweichung (bei teilweiser Kompensation der Fehler)

43 43 ln-methode [ ] % !, ln ln ln 1 ln ln z z c y y b x x a d z dz c y dy b x dx a d d d dz z c d dy y b d dx x a Kettenregel d d z c y b x a z y x z y x rel c b a c b a

44 44 Punktmethode L M K K K K z y x z y x z z y x f z y y x f z y x x f Schätzwertes des Berechnung z y x f ),,, ( ),,, ( ),,, ( ),,, (

45 Angabe der Fehler? z.b. Längenmessung: l 13,5 mm ± 0, mm bzw. l (13,5 ± 0,) mm bzw. l 13,5 mm ± 1,5% 45

46 Unsinnige Angaben: l 13, mm ± 0, oder l 13,5 mm ± 1,48153 % mm 46

47 Beispiel einer Fehlerbetrachtung Messung der Fallbeschleunigung mit mathematischem Pendel ( Fadenpendel ) T π l g l und T werden gemessen g 4π l T g g( l, T ) Messung ergibt : l 1,5 m ± 1% T,5 s ± 0,5% 47

48 48 Schätzwert für g: % / 9,75 % 100 0,0 0,005 0,01,, ln ln ln 4 ln! ln? / 9,5,5 1,5 4 4 ± s m g g g g g g T T l l g g d dg dg dt T dg dl l g dg d T l g t vorteilhaf Methode Hier rheit Meßunsiche s m T l g rel π π π

49 49 Alternativ: absolute Meßunsicherheit ) ln.,. ( , 3 3 Methode wie s o T T l l T l T T l l T g g T T l l T g T l g T T g l l g g π π π π π π