Mathematik Grundkurs des Herder-Gymnasiums

Transkript

1 Mathematik im Grundkurs des Herder-Gymnasiums Stand: Aug. 2013

2 Grundkurs ma-1 (45 Stunden) Lernabschnitte Richtzeiten Seite 1 Ableitungsregeln, Funktionsuntersuchungen 18 Stunden 3 2 Trigonometrische Funktionen 12 Stunden 4 3 Integralrechnung 15 Stunden 5 Grundkurs ma-2 (45 Stunden) Lernabschnitte Richtzeiten Seite 1 Exponential- und Logarithmusfunktionen 24 Stunden 6 2 Stochastik 21 Stunden 7 Grundkurs ma-3 (45 Stunden) Lernabschnitt Richtzeiten Seite Analytische Geometrie und Lineare Algebra 45 Stunden 8 Grundkurs ma-4 (30 Stunden) Lernabschnitte Richtzeiten Seite 1 Stochastik 12 Stunden 10 2 Analysis 9 Stunden 10 3 Analytische Geometrie 9 Stunden

3 ma-1: Ableitungsregeln, Funktionsuntersuchungen (18 Stunden) Die zur Ableitung ganzrationaler Funktionen notwendigen Ableitungsregeln kennen und damit ganzrationale Funktionen ableiten Die Definition von (lokalen) Extrempunkten und von Wendepunkten kennen. Für (lokale) Extrempunkte und für Wendepunkte notwendige Bedingungen und hinreichende Bedingungen kennen. Charakteristische Punkte von Graphen ganzrationaler Funktionen bestimmen und damit den Funktionsgraphen skizzieren Extremwertprobleme, die auf ganzrationale Zielfunktionen führen, lösen Aus allgemeinen Funktionstermen ganzrationaler Funktionen und ihrer Ableitungsfunktionen bei vorgegebenen markanten Punkten spezielle Funktionsterme ermitteln Weitere Ableitungsregeln herleiten und anwenden Potenzregel, Summenregel, Konstantenregel der Ableitung. Charakteristische Punkte von Funktionsgraphen. Notwendig für ein relatives Extremum einer Funktion f an der Stelle x 0 ist f N(x 0 )=0; hinreichend ist z.b. f N(x 0 )=0 und f O(x 0 )=/0. Wendepunkte als lokale Extrempunkte der 1. Ableitungsfunktion. Untersuchung ganzrationaler Funktionen mittels Funktionsgleichungen: Bestimmen von Achsenschnittpunkten, Hoch-, Tief- und Wendepunkten; gegebenenfalls Symmetrie. einige Extremwertaufgaben; dabei exemplarisch auch Untersuchung von Zielfunktionen am Rande ihrer Definitionsmengen (absoluter Extremwert). Konstruktion von Funktionstermen aus vorgegebenen Bedingungen durch Lösen eines linearen Gleichungssystems. Kettenregel, Produktregel Hier ist an die Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Klasse 10) anzuknüpfen, an einen Neustart ist natürlich nicht gedacht. saubere fachsprachliche Trennung von Funktionswert (z. B. relatives Maximum) und Punkt (z.b. lokaler Hochpunkt) Es ist unbedingt an einem Beispiel zu verdeutlichen, dass f O(x 0 )=/0 allein nicht hinreichend für ein relatives Extremum von f an der Stelle x 0 ist! Auch die entsprechenden Vorzeichenwechselkriterien können und sollten betrachtet werden. Anknüpfung an Klasse 10, hier aber durch Lösen von Gleichungen Die Anzahl der Aufgaben ist geeignet zu beschränken, da mit Einführung weiterer Funktionsklassen immer wieder Elemente der Kurvendiskussion auftreten werden. Hier werden nur notwendige Bedingungen verwendet. Ggf. ist zu überprüfen, ob die ermitteltete Funktion tatsächlich die vorgegebenen Eigenschaften hat. Diese Regeln können bereits hier betrachtet werden, z. B. f(x)=(x²+5)³, oder im nächsten Abschnitt

4 ma-1: Trigonometrische Funktionen (12 Stunden) Wissen und begründen können, dass sinn(x) = cos (x) und cosn(x) =!sin (x) gilt. Ableitungsregeln verständig anwenden. Die Quotientenregel kennen und anwenden Ableitung der Sinus-und Kosinusfunktion. Ableitungsübungen zur Kettenregel, z.b. fx2sin 4x1, fxcos x 2 und zur Produktregel, Beispiele nicht schwieriger als 1 2 cosx f x sin x sin x, f x ausgewählte Fragestellungen zur Funktionsuntersuchung, Extremwertaufgaben Quotientenregel Ableitung der Tangensfunktion Eine Vermutung kann jeweils durch graphisches Differenzieren gewonnen werden. Für den Nachweis können die benötigten Grenzwerte lim sin h 1 und lim cos h 1 0 h0 h h0 durch Testeinsetzungen plausibel gemacht werden. Eine der Ableitungen kann auch mit Hilfe der Kettenregel aus der anderen gewonnen werden. Der Abschnitt dient der Festigung der Ableitungsregeln. An vollständige Kurvendiskussionen ist nicht gedacht. Hier bieten sich als Beispiele auch gebrochenrationale Funktionen an. Eine umfassende Behandlung dieser Funktionenklasse ist aber nicht vorgesehen. h - 4 -

5 ma-1: Integralrechnung (15 Stunden) Für monotone Funktionen bei äquidistanter Intervallzerlegung Ober- und Untersummen angeben und graphisch veranschaulichen Flächeninhalte unter Graphen einfacher monotoner Funktionen berechnen Eine Definition des bestimmten Integrals kennen. Bestimmte Integrale graphisch deuten Bestimmte Integrale ganzrationaler Funktionen auf konkreten Intervallen berechnen Den Begriff der Stammfunktion kennen und in konkreten Fällen überprüfen Wissen und begründen können, dass sich verschiedene Stammfunktionen einer gegebenen Funktion nur durch einen konstanten Summanden (Verschiebung längs der y-achse) unterscheiden. Den Zusammenhang von Integralfunktion und Stammfunktion an konkreten Beispielen erläutern b Die Formel fxdx Fb Fa a kennen und anwenden Flächeninhalte berechnen Bestimmte Integrale (z. B. Flächeninhalte) für einfache trigonometrische Funktionen berechnen Approximation von Flächen unter Funktionsgraphen mit Hilfe von Rechtecken, Ober- und Untersummen Einschachtelung von Flächeninhalten durch Ober- und Untersummen, Flächeninhalt als innere Zahl einer Intervallschachtelung das bestimmte Integral als Grenzwert von Ober- und Untersummen Rechenregeln für bestimmte Integrale: Linearität, Intervalladditivität Unterschied zwischen bestimmtem Integral und Flächeninhalt Stammfunktionen von ganzrationalen Funktionen Hauptsatz der Analysis: Integralfunktionen (Flächeninhaltsfunktionen) von (stetigen) Funktionen als Stammfunktionen das Integral als Differenz von Funktionswerten einer Stammfunktion Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen Flächeninhalte, auch für Flächen zwischen Funktionsgraphen Integration vom sin und cos Integrale für Funktionen wie z.b. fx2sin x, fx2xcos 2x 4 Es bietet sich an, Bezüge zu Inhalten aus Klasse 9 herzustellen (Kreisfläche, Intervallschachtelung). Mit geeigneten Computerprogrammen kann die Einschachtelung veranschaulicht und können Näherungswerte berechnet werden. Den Nachweis einer Intervallschachtelung ersetzen sie aber nicht. Hier ist zunächst ein Grundverständnis ohne Bezug zur Differenzialrechnung intendiert. Konkrete Berechnungen sind mit Blick auf die zur Verfügung stehende Zeit zu beschränken. Hier bieten sich Anwendungsbezüge an, z.b. zur Physik. Die Integrationsregeln ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Ableitungsregeln. Der Bezug zum graphischen Differenzieren kann hergestellt werden. Beweislücken wegen des fehlenden Begriffs Stetigkeit sind ggf. bewusst zu machen. Es kann auch sinnvoll sein, sich mit dem Entdecken des Zusammenhangs an konkreten Beispielen zu begnügen. Hier finden auch Anwendungsbezüge wie die Rekonstruktion eines Bestandes aus vorgegebenen Änderungsraten u.a. ihren Platz. Hier ist nicht an Integration durch Substitution gedacht. Eine Stammfunktion ergibt sich jeweils unmittelbar durch die Kettenregel

6 ma-2: Exponential- und Logarithmusfunktionen (24 Stunden) Eigenschaften von Exponentialfunktionen kennen und anwenden Exponentialfunktionen zu beliebigen Basen ableiten Graphen von Umkehrfunktionen zeichnen Eigenschaften von Logarithmusfunktionen kennen. Die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion kennen. Wissen, dass ln x gilt. 1 x Anwendungsaufgaben modellieren und lösen Funktionsuntersuchungen im Zusammenhang mit Exponential- und Logarithmusfunktionen durchführen Integrale mit Exponential-und Logarithmusfunktionen berechnen Exponentialfunktionen x, a>0, a 1 exp : a x a Definitions- und Wertemenge, graphische Darstellung in Abhängigkeit von der Basis, Monotonie Ableitung von Exponentialfunktionen, die Zahl e als ausgezeichnete Basis Umkehrfunktion Logarithmus- und Exponentialfunktionen als gegenseitige Umkehrfunktionen ln als ausgezeichnete Logarithmusfunktion Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung von ln Wachstum und Zerfall, u.a. - Funktionsterme aus vorgegebenen Wertetabellen gewinnen - Darstellung mit der Basis e - Halbwertszeit Kurvendiskussion, Beispiele wie x lnx fx xe, fx x und nicht komplexer als 1 x 2 2, fx x e fx. ln x x 2 2 Flächenberechnungen bei leicht bestimmbaren Stammfunktionen ohne Integrationsmethoden. Anknüpfung an Inhalte aus Klasse 10, sowie ggf. Aufarbeitung und Vertiefung Die benötigten Grenzwerte h 1 exp 0 lim a h 0 a h können zunächst näherungsweise mit dem Taschenrechner ermittelt werden. Hier ist wieder an Inhalte aus Klasse 10 anzuknüpfen. Ein Neueinstieg ohne Bezug zu vorhandenem Vorwissen ist zu vermeiden. Die hier gewählte Reihenfolge von Lerninhalten stellt nur eine Möglichkeit dar. Alternative Zugänge sind zulässig. Das Verhalten an Rändern des Definitionsbereichs ist durch Testeinsetzungen numerisch plausibel zu machen. An die Regeln von DE L HOSPITAL oder unbegründete Aussagen zu stärkerer Konvergenz ist nicht gedacht. Für einzelne komplexere Funktionsterme sollte auch eine Stammfunktion vorgegeben und durch Ableiten bestätigt werden

7 ma-2: Stochastik (21 Stunden) Die Definition eines bedingten Wahrscheinlichkeitsmaßes kennen. Vierfeldertafel und Baumdiagramme zur Bestimmung bedingter Wahrscheinlichkeiten nutzen Ereignisse auf Unabhängigkeit prüfen Ein mehrstufiges Zufallsexperiment gegebenenfalls als BERNOULLIkette erkennen Die Binomialverteilung kennen und verständig anwenden Die strukturierende Wirkung einer Zufallsfunktion auf die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments erläutern Die Definitionen für den Erwartungswert und die Standardabweichung einer Zufallsfunktion kennen und diese Parameter berechnen Graphische Darstellungen von Binomialverteilungen anfertigen Durch Experimentieren und Beobachten graphische Darstellungen von Binomialverteilungen interpretieren Bedingte Wahrscheinlichkeit: Anwendungsaufgaben unter Verwendung von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln Produktregel P AB P A PA B P B PB A stochastische Unabhängigkeit BERNOULLIkette als n-malige unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperiments mit zwei Ergebnissen Binomialverteilung: k ; ; p p 1 PX k Bnpk n k nk kumulierte Wahrscheinlichkeitsmaße P(X#k) unter Verwendung von Tabellen. Zufallsfunktionen (Zufallsgrößen), z.b. - Reingewinn bei einem Glücksspiel - Augensumme beim Würfeln - Anzahl der Erfolge in einer BERNOULLIkette Erwartungswert : und Standardabweichung F einer Zufallsgröße Zusammenhang mit empirischen Kenngrößen x und s, speziell np und np1 p bei einer Binomialverteilung.. Graphische Darstellung von Binomialverteilungen Gestalt der Binomialverteilung in Abhängigkeit von n (Länge der Kette) und p (Trefferwahrscheinlichkeit) Erwartungswert : als Lageparameter und Standardabweichung F als Streuungsparameter. Grundlegende Begriffe können in diesem Abschnitt integrierend wiederholt werden. Durch zahlreiche Beispiele und Gegenbeispiele soll Verständnis für die charakteristischen Merkmale dieses Modells erzielt werden. Die Formel kann aus den Pfadregeln und kombinatorischen Überlegungen zu den Binomialkoeffizienten gewonnen werden. Als Beispiel kann der Einsatz für ein faires Spiel ermittelt werden. Die Formeln können durch Verallgemeinern von Beispielen gewonnen werden. An dieser Stelle sollte möglichst ein Tabellenkalkulationsprogramm eingesetzt werden. Bemerkung: In kurzen Sommerhalbjahren kann der Abschnitt über Zufallsfunktionen auch im 4. Semester unterrichtet werden. Dann entfallen die dort vorgesehenen Abschnitte zur Statistik

8 ma-3: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (45 Stunden) Das Rechnen mit Vektoren zur Beantwortung geometrischer Fragestellungen nutzen. Mit Vektoren sicher rechnen. Vektorielle Geradengleichungen analysieren und bestimmen. Rechnerisch überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt auf einer Geraden liegt. Geometrische Fragestellungen modellieren und lösen. Vektorielle Ebenengleichungen analysieren und bestimmen. Rechnerisch überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt in einer Ebene liegt. Eine Definition der linearen Unabhängigkeit kennen. Zusammenhang zwischen Punkten und Verschiebungen (Vektoren) ausgezeichneter Punkt (Ursprung), Koordinatensystem im ú² und ú³, Abstand zweier Punkte Einheitsverschiebungen längs der Achsen, Vektoren in Spaltendarstellung, Ortsvektor, Betrag eines Vektors Darstellung von Vektoren als Pfeile, Unterschied von Vektor (Verschiebung) und Pfeil (Repräsentant); Schrägbilder von Figuren und Körpern im Koordinatensystem Rechnen mit Vektoren S Addition, Nullvektor S Gegenvektor, Subtraktion S S-Multiplikation Anwendungen, z.b. Koordinaten S der Eckpunkte eines Parallelogramms S des Mittelpunktes einer Strecke S des Schwerpunktes eines Dreiecks. Gleichungen einer Geraden in Parameterform im ú² und ú³ relative Lage von Geraden zueinander im ú² und ú³ S eindeutiger Schnittpunkt S Parallelität und Identität S windschiefe Geraden im ú³ Anwendungen, z.b. S Gleichung einer Strecke durch Einschränkung der Definitionsmenge des Parameters, Teilverhältnis von Strecken S Diagonale in einer Raute und Winkelhalbierende. Gleichungen einer Ebene in Parameterform relative Lage einer Geraden und einer Ebene bzw. zweier Ebenen lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren im ú³ - Punktepaar 6Verschiebung - Punkt und Verschiebung 6 Bildpunkt - Addition von Verschiebungen Anknüpfung an Koordinatengeometrie aus der Mittelstufe An strukturelle Betrachtungen zum Vektorraum ist nicht gedacht. Die Übungen sollten hier keinesfalls umfangreich sein. Das Ziel des sicheren Rechnens wird im Laufe der gesamten Unterrichtseinheit erreicht. Im Falle des ú² bietet sich ein Vergleich mit der Funktionsgleichung einer linearen Funktion an (Steigung). Bei der Untersuchung sind Lineare Gleichungssysteme zu lösen. Auch hier kann im Falle des ú² ein Bezug zu bekannten Unterrichtsinhalten hergestellt werden. Bei der Untersuchung sind lineare Gleichungssysteme von 3 Gleichungen in 2, 3 oder 4 Variablen zu lösen. Es empfiehlt sich die Verwendung des GAUß-Algorithmus

9 Eine Definition für das Skalarprodukt zweier Vektoren im ú³ kennen. Winkelmaße berechnen. Rechengesetze für das Skalarprodukt anwenden. Wissen, dass alle Ortsvektoren, deren Pfeile die gleiche Projektion in einer vorgegebenen Richtung besitzen, mit dieser Projektion das gleiche Skalarprodukt ergeben. Normalenformen von Ebenengleichungen kennen und ineinander umwandeln Wissen, dass die (positive) Konstante in der HESSEschen Normalenform den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung angibt. Für sich schneidende Ebenen eine Gleichung der Schnittgeraden und das Maß des Schnittwinkels ermitteln. Für eine Gerade und eine Ebene, die sich in einem Punkt schneiden, die Koordinaten des Schnittpunktes und das Maß des Schnittwinkels ermitteln. Geometrische Fragestellungen modellieren und lösen. Die relative Lage von Kugeln, Geraden und Ebenen untersuchen. Orthogonalität und Skalarprodukt im ú² und ú³ Das Skalarprodukt in den Formen und ; Winkel zwischen S Richtungen S Geraden Eigenschaften des Skalarprodukts S Rechengesetze S Projektion auf eine vorgegebene Richtung. Normalenformen einer Ebenengleichung S allgemeine Normalenform S HESSEsche Normalenform S Koordinatenform Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung, Abstand paralleler Ebenen, Abstand eines Punktes von einer Ebene Umwandlung einer Ebenengleichung von einer Parameterform in eine Normalenform und umgekehrt Abstand windschiefer Geraden. Relative Lage von Ebenen zueinander, insbesondere: Existenz einer Schnittgeraden, Schnittwinkel zweier Ebenen; Relative Lage von Gerade und Ebene, Schnittwinkel von Gerade und Ebene. Anwendungen, z.b. S Spiegeln eines Punktes an einer Ebene S Abstand eines Punktes von einer Geraden S Flächeninhalt eines Dreiecks S Volumen einer Pyramide. Gleichung einer Kugel in der Form ; Relative Lage von Kugel und Gerade, Schnittpunkte Relative Lage von Kugel und Ebene, Tangentialebenen. Die Anknüpfung an für orthogonale Geraden im ú² wird empfohlen. Die Äquivalenz kann über den Kosinussatz nachgewiesen werden. Es ist der jeweilige geometrische Sachverhalt zu berücksichtigen, keine kritiklose Verwendung von Formeln. Ein Normalenvektor kann über die Lösung eines LGS ermittelt werden. Für die Ermittlung einer Gleichung der Schnittgeraden empfiehlt es sich, dass eine Ebenengleichung in Normalenform, die andere in Parameterform gegeben ist. Hier kann z. B. eine Gleichung der Lotgeraden zu einer Ebene bzw. der Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt ermittelt werden. Andere Verfahren sind natürlich möglich. An die Bestimmung von Gleichungen für Schnittkreise ist nicht gedacht

10 ma-4: Stochastik (12 Stunden) Wahrscheinlichkeiten für Streuungsintervalle um den Erwartungswert einer Binomialverteilung experimentell ermitteln. Vorhersagen für die Anzahl der Erfolge bei großem n und bekanntem p treffen. k@f-intervalle um den Erwartungswert : einer Binomialverteilung, k=1, 2, 3 Sicherheitswahrscheinlichkeiten 68%, 95,5%, 99,7% für große n Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe, signifikante Abweichungen Anwendungen, z.b. S Güte von Wahlumfragen S voraussichtliche Anzahl stornierter Buchungen. Komplexe Übungsaufgaben aus größeren Zusammenhängen. Die Sicherheitswahrscheinlichkeiten ergeben sich unter der LAPLACE- Faustregel als Erfahrungstatsachen aus Beispielen. Das 2F-Intervall liefert ein Signifikanzniveau von etwa 5%. Hier ist insbesondere auch das Textverständnis zu beachten. Bemerkung: Der im Plan des 2. Semesters beschriebene Abschnitt über Zufallsfunktionen kann bei Zeitmangel auch hier unterrichtet werden. Dann entfallen die Abschnitte zur Statistik. ma-4: Analysis (9 Stunden) Problemstellungen in Anwendungssituationen modellieren und lösen. Untersuchung zusammengesetzter und verketteter Funktionen unter Berücksichtigung von S ganzrationalen Funktionen S trigonometrischen Funktionen S Exponentialfunktionen Wachstums- und Zerfallsprozesse mit linearen Funktionen, Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen. Komplexe Übungsaufgaben aus größeren Zusammenhängen. ma-4: Analytische Geometrie (9 Stunden) Komplexe Übungsaufgaben aus größeren Zusammenhängen in Anwendungssituationen