Einführung in die Astronomie. Jürgen Schmitt Hamburger Sternwarte

Transkript

1 Einführung in die Astronomie Jürgen Schmitt Hamburger Sternwarte

2 Stellarastrophysik (VI) Was wird behandelt? Energetik von Sternen, Virialsatz Kernfusion in Sternen Physik der stellaren Kernfusion CNO-Zyklus, pp-kette Maxwell-Verteilungen

3 Probleme beim Sternaufbau: 1. Thermodynamischer Zustand der Materie im Sterninnern. Wie wird die Energie im Sterninnern erzeugt? 3. Wie gelangt die Energie aus dem Sterninnern nach außen?

4 Virialsatz (I) Betrachte die gravitative (potentielle) Energie Ω eines Sterns; betrachte speziell die potentielle Energie einer infinitesimalen Massenschale dm, die dem Stern im Abstand r (aus dem Unendlichen) hinzugefügt wird: m(r) dm dω = G r M Ω = dω = G dm dp dm = dp dr m(r) r dr dm = Gmρ r 1 4πρr = Gm 4πr 4 dm Masse der Massenschale Potentielle Energie des Gesamten Sterns hydrostatisches Gleichgewicht dω = Gmdm r = GmdP r dm dp = GmdP r 4πr 4 Gm = 4πr3 dp = 3V(r)dP = dω Nun gilt: P(R ) dp V (r) = PV R dv P P() V

5 Virialsatz (II) und man erhält für die potentielle Energie Ω eines Sterns: Ω = G M dm m r = 3 V dv P = 3 dm ρ P Ideale Gasgleichung : P = ρ µm H k T M Ω = M dm 3kT µm H Virialsatz (I) Innere Energie pro Teilchen: U = 3 k T U 1 = Ω Virialsatz (II)

6 Virialsatz (III) Die potentielle Energie Ω eines Sterns kann im allgemeinen in der folgenden Form geschrieben werden: Ω = G M dm m r = α G M R Die dimensionslose Konstante α hängt von der Dichteverteilung im Sterninnern ab. Für homogene Kugel gilt: α = 3 5 für homogenen Stern 3G 5 M R = Ω 3 ktm =U 1 U = Ω µm H T = µm H 3 km U = µm H 3kM Ω = Gµm H 5k M R

7 Virialsatz (IV) Anwendung: Sonne, Erde Sonne: T c = K µ=.63 Erde: T c = 3 K µ= Vorsicht!!!

8 Virialsatz (V) Anwendung: Kollaps eines Neutronsterns Betrachte Stern von 1 Sonnenmasse, der von R=7 km auf R=1 km kollabiert. Ω = 3G 5 M R ΔΩ = 3GM 5 $ & % 1 1 R start R end ' ) =16 foe ( 1 foe 1 51 erg Fifty One Erg 1.6 foe werden von der Sonne in 1 Milliarden Jahren abgestrahlt!

9 Gesamtenergie eines Sterns (I) Betrachte ein festes Massenelement dm. Betrachte Änderungen in den Zustandsgrößen von dm während eines kleinen Zeitintervalls δt: Sei u die innere Energie pro Masse: (udm) = dm u = Q + W = # Q P dv = Q P dvdm & % ( = Q Pdm ( 1 $ dm ' ρ ) δq bezeichnet die Änderung des Wärmeinhalt des Volumenelements dv. Es gilt nun Q = q nuc dm t + L(m) t L(m + dm) t = (q nuc dl dm )dm t

10 Gesamtenergie eines Sterns (II) Im Limit t folgt: dm u = (q nuc dl dm )dm t Pdm ( 1 ρ ) u + P ( 1 ρ ) = (q nuc dl dm ) t u + P ( 1 ) = (qnuc dl ρ dm ) Stationäre Lösung (thermisches Gleichgewicht): M M q nuc = dl dm dm q nuc = dl = L(M ) L() = L(M ) = L nuclear d.h. im thermischen Gleichgewicht ist die gesamte Leuchtkraft durch Kernreaktionen im Innern gegeben.

11 Gesamtenergie eines Sterns (III) Integration der Energiegleichung über Stern: M M dm u + dm P 1 " % $ ' # ρ & M = dm Erster Term auf der linken Seite: M M d d dm u = dm u = U = U dt dt Zweiter Term auf der linken Seite: (q nuc dl dm ) = L nuclear L Betrachte Änderungen der potentiellen Energie des Sterns:

12 Gesamtenergie eines Sterns (IV) Ω = d dt $ & % M dmg m r ' M ) = dm ( M M Gm 4πr rdm = dp 4πr 4 dm M = P d M V dm = P 1 $ ' & ) dm % ρ ( dm r Gm r = Vdm + P V M = und damit findet man: U + Ω = L nuclear L

13 Gesamtenergie eines Sterns (V) Offensichtlich bezeichnet der Term auf der linken Seite die Ableitung der gesamten stellaren Energie E: U + Ω = E E = L nuclear L Thermisches Gleichgewicht: E = 1 Virialsatz: U = Ω E = U + Ω = U U = U < Gesamtenergie negativ und U = Ω =

14 Zusammenfassung: dm ( r) = 4π r ρ ( r) d r d p( r) G M ( r) ρ ( r) = d r r 1 U = Ω Massenerhaltung Hydrostatisches Gleichgewicht (Virialsatz ) p c > 1 GM 4 8π R Zentraldruck T = α Gµm H 3k E = L M R nuclear L Zentraltemperatur Energieverlust

15 Energieerzeugung der Sonne (I) Gesamte thermische Energie der Sonne: E the = 3/ kt N Teilchen = 3/ kt M/m H 1 48 erg = 1 41 J τ life = E the /L Jahre Allgemeiner: Kelvin-Helmholtz-Zeitskala: τ KH = ½ Ω/L G M Jahre R L Dilemma der Astrophysik am Ende des 19. Jahrhunderts: Physik: Sonnenalter < Jahre Geologie: Erdalter sehr hoch Lang anhaltende Energiequelle benötigt!

16 Energieerzeugung in der Sonne (II) Heizwert von Kohle: ca. 3 kj/kg ( = ε ) Lebensdauer: M ε τ = = 5 Jahre L Sonnenalter >>> 5 Jahre! Keine chemische Energie!

17 Energieerzeugung in der Sonne (III) Radioaktivität? Heizwert von Uran: ca. 1 1 kj/kg ( = ε ) Lebensdauer: τ = M ε L = Jahre Grundsätzlich möglich, ABER Uran ist ein sehr seltenes Element! M Uran,Sonne = 4 1 kg

18 Energieerzeugung in der Sonne (IV) Albert Einstein: E = m c Frage: Konvertiert die Natur tatsächlich Masse in Energie?

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21 Energieerzeugung in der Sonne (V) Eddington: 4 p He 4 m p 3.97 m p Freigesetzte Energie: E =.3 m p c Heizwert: kj/kg!!!! Effizienz der Energieerzeugung: 3 % der Ruhemasse Energiereservoir der Sonne: J Lebensdauer der Sonne: 45 Milliarden Jahre!!

22 Energieerzeugung in der Sonne (VI) Frage: Wie können sich vier Protonen in einen Heliumkern umwandeln? Wie kann sich ein Proton in ein Neutron umwandeln?

23 Kernfusion (I) Fundamentale Teilchenarten: Baryonen (z.b. Proton, Neutron) Leptonen (z.b. Elektron, Positron) Gemeinsamkeiten zwischen Baryonen und Leptonen: Spin (Eigendrehimpuls), Ladung Unterschiede zwischen Baryonen und Leptonen: Lepton elementar (punktförmig), Baryonen strukturiert (aus Quarks aufgebaut, nicht fundamental) Leptonenzahl -- Baryonenzahl Es ist unmöglich, Leptonen in Baryonen (oder umgekehrt) zu verwandeln!

24 Kernfusion (II) Leptonenfamilie: 6 Leptonen in 3 Paaren Elektron + e-neutrino, Muon + µ-neutrino, Tau-Lepton+τ- Neutrino Quarkfamilie: 6 Quarks in 3 Paaren Up + Down Quark, Strange + Charmed Quark, Top und Bottom Quark Astrophysik benötigt (praktisch) nur Up + Down Quark und Elektron + Neutrino! Teilchen Spin Ladung Baryonenzahl Up Quark 1/ +/3 +1/3 Down Quark 1/ -1/3 +1/3

25 Kernfusion (III) Proton und Neutron sind aus 3 Quarks aufgebaut: Teilchen Spin Ladung Baryonenzahl Neutron (udd) 1/ +1 Proton (uud) 1/ Im Atomkern gebundene Protonen und Neutronen wechselwirken durch Austausch von Mesonen; Mesonen bestehen aus gebunden Quark-Antiquark Paaren. Der Austausch von Mesonen bewirkt die sog. Starke Kraft. Starke Kraft: Proton und Neutron identisch Schwache Kraft: Sensitiv auf unterschiedlichen Quarkaufbau Elektromagnetische Kraft: Sensitiv auf Ladung

26 Schwache Kraft: Kernfusion (IV) Umwandlung von Neutronen in Protonen und umgekehrt 1. Neutronenzerfall n p + e - + ν Möglich da Neutron energetischer als Proton (m n m p =.14 m p ) Halbwertszeit: 1 min. Elektroneneinfang p + e - n + ν

27 Kernfusion (V) Atomkerne sind aus Baryonen (p,n) aufgebaut. Entscheidend für die Eigenschaft eines Kerns sind die gesamte Ladung Z (=Anzahl der Protonen) und die gesamte Teilchenanzahl A. Für den Kern eines bestimmten Elementes E schreibt man A Z E, verschiedene Ausführungen eines Kerns (gleiches Z, unterschiedliches A) bezeichnet man als Isotope. Wasserstoff (H): 1 1 H, 1 H (Deuterium), 3 1H (Tritium, instabil) Helium (He): 4 He, 3 He Die Anzahl von Protonen und Neutronen sind in den (leichteren) Kernen ungefähr gleich. Die schwache Wechselwirkung sorgt für eine Angleichung der Protonen- und Neutronenzahl. Die gesamte Energie eines Kerns ist kleiner als die Gesamtenergie der konstituierenden Teilchen (Massendefekt, Bindungsenergie)

28 Kernfusion (VI) Bethe-Weizsäcker-Zyklus ( CNO-cycle ): 1 6 C H 13 7 N + γ 13 7 N 13 6 C + e + + ν 13 6 C H 14 7 N + γ 14 7 N H 15 8 O + γ 15 8 O 15 7 N + e + + ν 15 7 N H 1 6 C + 4 He Nettoresultat: H 4 He + Energie Freigesetzte Energie: 6.73 MeV pro He Kern +.6 MeV Neutrino-Verluste

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31 Hans Bethe 197-5

32 Kernfusion (VII) Proton-Proton-Kette: 1 1 H H 1 H + e + + ν 1 1 H + 1 H 3 He + γ 3 He + 3 He 4 He H H Nettoresultat: H 4 He + Energie Freigesetzte Energie: 6.73 MeV pro He Kern.6 MeV Neutrino-Verluste

33 Kernfusion (VIII)

34 Maxwell-Verteilung (I) Anwendung: Klassisches System mit geringer Teilchendichte Annahme: Verteilung der Teilchen-Impulse (in jeder Raumrichtung) ist eine Gauss-Verteilung N( p x x ) dp y x z = n x ' % & 3 Raumrichtungen: N( p, p, p ) dp dp y m π kt dp z = n $ " # 1/ e m π kt px mkt $ " # 3/ e p dp x + p y x mkt N(p x, ) wird als Phasenraumdichte bezeichnet ' % & + p z dp x dp y dp z

35 N( p) Maxwell-Verteilung (II) Anzahl der Teilchen mit Gesamtimpuls p (unter der Annahme von isotropen Impuls/Geschwindigkeits- Verteilungen): oder dp = N( p) = n F(v) = n 3/ p ( m % mkt n & e 4π π kt # ' $ 3/ p ( m % mkt & # e 4 & ' π kt # $ π 3/ mv ( m % kt & # e 4π v & ' π kt # $ p p dp

36 Maxwell-Verteilung (III) Wahrscheinlichste Geschwindigkeit: F!( v) = Mittlere Geschwindigkeit: & kt # v w = $! % m " 1/ < v >= 1 dvv n F(v)= # % 8 π $ & ( ' 1/ # % $ kt m & ( ' 1/ Integralbeziehungen: 4 αx 1 π α 1 αx 1 π dx e = x dx x e = dx x e = 3 α α α

37 Maxwell-Verteilung (IV) Beispiel: & kt # v w = $! % m " 1/ T = 1 4 K T = 1 7 K Elektron 551 km/sec 174 km/sec Proton 1.9 km/sec 47 km/sec C-Atom 3.7 km/sec 117 km/sec Fe-Atom 1.7 km/sec 54 km/sec

38 Maxwell-Verteilung (V)

39 Maxwell-Verteilung (VI) Betrachte Zusammenstoß zweier positiv geladener Teilchen: Allgemein: Zweikörperproblem zweier sich abstoßender Teilchen; keine gebundenen Zustände! Energieerhaltung: Im unendlichen: & 1 $ % 4π ε o mv = ' 1 $ % " & 4π ε o # #! " Z 1 Etot ez r e + mv Head-on collision; kürzeste Entfernung: = Etot = r Z = E tot 1eZ e mv

40 Maxwell-Verteilung (VII) & 1 $ % 4π ε o #! " Z1eZ mv e = r min Mit: & kt # v = vw = $! % m " 1/ & 1 $ % 4π ε o #! " Z1eZ kt e = r min Beispiel: p-p T = K: Typischer Protonradius: rmin r proton 13 cm cm!!!!!! Ein normales (thermisches) Proton nähert sich seinem Partner nur bis auf einige 1 Protonenradien! Tunneleffekt!

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42 Kernfusion (IX) Grundlegende Reaktion der Proton-Proton-Kette: 1 1 H H 1 H + e + + ν Erforderlich: p n + e + + ν Reaktion endotherm: m p = g, m n = g E = MeV Aber Bindungsenergie Deuterium:.45 MeV Wirkungsquerschnitt: σ 1-47 cm (at 1 MeV)

43 Kernfusion (X) Die Reaktionsrate (Anzahl der Reaktionen pro Volumen pro Zeit) zwischen Teilchensorte a und b (a b) ist gegeben durch R = n( a) n( b) < σv > ab ab < σv > ab Bezeichnet hier eine Mittelung über den Wechselwirkungsquerschnitt σ und die relative Geschwindigkeiten der Teilchen a und b.

44 Kernfusion (XI) Wirkungsquerschnitt für die Reaktion C 1 (p,γ)n 13

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47 Helium-Brennen: Die Synthese der Elemente schwerer als Helium erfolgt über den sogenannten triple-α Prozeß bei Temperaturen von 1 8 K: Energiefreisetzung: Q( 3α) = MeV

48 Energieerzeugungsraten: ε pp # $ ergcm 3 / g s% & ρx 4 T 6 ε CNO # $ ergcm 3 / g s% & ρx 19.9 H X CNO T 6 Zusätzliche Strukturgleichung: dl dr = ε nucρ4πr