(3) Kummer hat den folgenden Satz bewiesen: Hat die Gleichung x'+21`+z'=0 (1)

Transkript

1 R U -t=x/y,y/x,z/x,x/z,y/z,z/y(mod/) In der vorliegenden Arbeit bedienen wir uns durchgend der folgenden Bezeichn - ungen : eine ungerade Primzahl, eine primitive 1-te Einheitswurzel, k der Kreiskorper von, P ein Primideal vom ersten Grade in k, Teiler einer Primzahl p=1+lh, ( /p)= indpa der l-te Potenzrestcharakter in k, die Einheit in k, (3) Kummer hat den folgenden Satz bewiesen: Hat die Gleichung x'+21`+z'=0 (1) eine Losurng in ganzen, durch /nicht teilbaren, relativ primen Zahlen x, y,z,so musseu die sechs Verhaltnisse den Kongruenzen (1) Der Primidealteiler von a ist Primideal vom ersten Grade. (2) r ist eine primitive Wurzel modulo l und =l-1/2. (3) Abh d. Berl Akad. d. Wissenschaftern, 1857.

2 Genuge leisten,wo fe(t)= 452 T. MORISHIA. [Ser. 3, Vol. 14 (1) Ich will nun diese Ergebnisse verallgemeinern. Es seien =l-1/2,p=1+lh eine rationale Primzabl, g eine primitive Wurzel (mod p) und i-1=i -1-2 (mod l) der kleinste positive Rest von i l-2.(2) Herr Vandiver hat gezeigt, dab das Produkt einem Hauptideal ( ( )) gleich ist und dab wobei ind. in bezug auf p und g genommen ist. Ferner ist nach ummer(3) K (mod nach l) (4) wo r eine primitive Wurzel modulo l ist. Ist a'=( p) (6) ein Hauptideal ( ) und =a (rationale Zahl) (mod (1- )2), dann ist nach und (4) (3) (1) Morishima, Proc. of the Imperial Academy, VIII (1932), No. 3, S. 67. (2) Annals of Math., 21, (1919). (3) Crelles Journ., 44, S. 103.

3 da =p ist,folglich Oct., 1932] UBER DIE FERMATSCHE VERMUTUNG,IX 453 Aus (7) folgt da =a (mod (1- )2) ist. Nun ist nach dem Rezi rozitatsgesetz(1) da (mod 1) fur s 1, 2, 4,.., l-3 sind. Nach (3) nd (6) ist u nach (9), (10) und (5) wobei a* (ganze rationale Zahl) (mod l), fur alle zu primen Primideale p vom ersten Grade (1) Hasse, Jahresber. d. D. M. V., Erganzungsband VI (1930). (2) a (ganze rationale Zahl) (mod (1 )2),.'. [1( )=0 (mod l).

4 wo a (mod l),und aus (12) 454 T. MORISIIIMA. [Ser. 3, Vol. 14 wobei (1)Folglich ist und each (6) Hilfssatz 1. Es sci a'=(llp)l ein Hauptideal, dann ist auch auptideal. Aus (1) folgt cin H und aus (8) fur und aus (11) Satz 1 Wenn ist,so ist Nun ist auch und n ach (12) und (14) (1) Takagi, Journ. of the College of Science, Imperial University of Tokyo, XLI, 9 (1920), S. 16.

5 Oct., 1932] UBER DIE FERMATSCHE VERMUTUNG, IX. 455 und nach (13) Aus (16) folgt da die Determinante 0 (mod 1) ist. In analoger Weise ergibt sich Folglich ist fur (2) Hieraus folgt der Satz : Satz 2(2) Hat die Gleichung (1) eine Losnng in ganzcn, durch l haltnissc (2) den Kongrucnzen nicht teilbaren, relativ primen Zah * leisten, wo( ")= und a'= ein Hanptideal ist. eine reelle Einheit ist, fn(t)-*-n( ) 0 (mod l), folglich f *(t)*-n( ") 0 (mod 1).

6 ware 4.56 T. MORISHIMA. [Ser. 3, Vol. 14 Nun ist fur n=3, 5, 7, 9 uach Satz 2 Satz 3. Ist die Gleichung (1) 1oshar und a*=(llp)* ria Havptideal ist, so ist Bemerkung : (I) Wenn a ein Hauptideal ( "') und nach Satz 2 Setzt man nun so ist (1) Morishima, Proc. of the Imperial Academy, VIII (1932.), No. 3, S (2) Vandiver, Ann. Math., 18, S (3) Der Primidealteiler von (1- m) ist Primideal p vom ersten Grade.

7 Oct., 1932] UREB DIE FERMATSCHE VERMUTUNG.IX 457 was unmoglich ist. Aus (17) folgt was das sogenannte Kummersche Kriterium ist. (II) Es ist wohei a (gauze rationale Zahl)(1) (mod 1), we eine Einheit ist, folglich Setzt man nun so ist fur und nach (14) folglich (1) Landau, Vorlesungen uber Zahlentheorie, B. 3, S. 281, 292.

8 d.h T. MORISHIMA. [Ser. 3, Vol. 14 da die Determinants 0 (mod 1) ist. Nack (18) and (19) ist n=2n1-1 fur Wenn B 0 (mod 1) ist, so ist nach (20) fur alle zu * primen Primideale p, folglich Satz 4. Wenn (x+ y)=b' und Bn 0 (mod l) ist,so ist Hilfssatz 2. Ist eine reelle Einheit,dann ist fur eine geeigndte Beweis : Es ist wo 1, 2,...., -1 ein System von Grundeinheiten und (r=1, 2,..., µ-1)(2) ist, und daraus folgt, dab ausgedehnt uber alle Werte des Index r aus der Reihe 1, 2..., µ-1, r welche (mod l)ist. Setzt man fur diese Zahl r (1) (mod l) (2) Pollaczek, Math. Zeits., 21. S. 9 (1924). fu

9 Oct, 1932] UBER DIE FERMATSCHE VERMUTNG, IX 459 und so ist nach (21) Nun ist nach (11) each Hilfssatz 2 Wird gesetzt so ist folglich fur s= ij

10 460 T. MORISHIMA. [Ser. 3, Vol. 14 nach (22) und (23) da die Determinainte 0 (mod 1) ist. Aus (25) folgt fur n=2m Wenn 0 (mod l) ist, so ist nach (24) fur alle zu primen Primideale p, nach (23) foiglich nach (6) Hilfssatz 3 Ist ein Hauptideal und B 0 (mod 1), dann ist Als umnittelbare Folge dieses Satzes ergibt sich Sitz 5. Wenn (x+ y)= bl und B 0 (mod 1) ist, so ist

11 Oct., 1932] UBE DIE FERMATSCHE VERMUTNG, IX. 461 Nun ist und nach Hilfssatz 3 wean B 0 (mod 1) ist. Nach Satz 4 ist da B 0 (mod 1) ist, und nach (13) Aus (26) folgt da (mod l)ist daher da die Determinante (mod l) ist. In analoger Weise ergibt sich (1) r (mod 1), 0<r-1,<l

12 462 T. MORISHIMA. [Ser. 3, Vol. 14 Folglich ist fur (2) wean B 0 (mod l) ist. Hieraus folgt Satz 6. Hat die Gleichug (1) cine Losung in ganzen, durch l cht teilbaren,relativ princn Zahlen x,y,z,so mussen dic scchs VERhaltnisse ni (2) den Kongruenzen (ftii2iq lr'7 ti n, Yve-iii, BN-,n*0 ('moil 1) ftt, iiobe'i (a )=~a(r) 2/gild r=1 st, so ist Bemerkung : Wenn a ein Hauptideal ( ) and = fr) r=1 i ~~ Setzt man speziell so ist folglich mach Satz 6 was das Kummersche Kriterium ist.(1) Aus (18) folgt nun fur (1) Vgl. Bemerkung (I).

13 Oct., 1932] USER DIE FERMATSCHE VERMUTUNG, IX. 463 nach (15) da (mod 1)(2) ist. Folglich ist da die Determinante 0 (mod l) ist. Nun ist rnach (27) fur alle zu lz primen Primideale p folglich (1) F (2) Vandiver, Ann. Math., 18, S. 114.

14 464 T. MORISHIMA Satz 7. Wenn (x+ y)= ist, so ist Wenn Bn=0 (mod l) ist, so ist nach Satz 7 a1so entweder oder wo 2 die h Klassenzahl von k0 (k0: der reelle Unterkorper vom -ten Grade von k) ist. Hieraus folgt (Einoegangen am 10. Sept. 1933) Furitu Kotogakko, TokyO. (1) Vandiver, Proc. Nat. Acad. Sci., 16, No. 11, (1930), S. 743.