Bemessung von schlanken Bauteilen Stabilitätsnachweis

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1 Bemessung von schlanken Bauteilen Stabilitätsnachweis Ulrich Quast Die Regelungen in DIN 1045 (alt) und in DIN : werden gegenübergestellt und kommentiert. Der Stabilitätsnachweis kann für eine Vielzahl schlanker Stützen mit dem Modellstützenverfahren in eine Querschnittsbemessung überführt werden. Dem Modellstützenverfahren liegt die Modellstütze, die frei auskragende Stütze, zugrunde. Die für sie getroffenen Annahmen lassen sich auf andere Stützensysteme übertragen und erweitern. Die Anwendung wird in zwei Beispielen gezeigt. 1 Vorwort Die Regelungen in, Abschnitt 8.6, Stabförmige Bauteile und Wände unter Längsdruck (Theorie II. Ordnung) unterscheiden sich nur in Kleinigkeiten von den entsprechenden Regelungen in ENV (06.92), Eurocode 2. Zur Anwendung von Eurocode 2 sind in den letzten Jahren die erforderlichen Rechenprogramme entstanden. Die Bemessungshilfsmittel enthält Heft 425 DAfStb (1992). Es existieren zahlreiche Bücher, und zu Einzelthemen gibt es viele Aufsätze in Fachzeitschriften. In den Ausgaben 1993, 95, 96, 98 und 99 des Betonkalenders ist die Anwendung der Stützenbemessung nach Eurocode 2 von Kordina und Quast abgehandelt. Angesichts dieser Ausgangslage soll mit diesem Beitrag nicht versucht werden, auf alle Einzelheiten der Stützenbemessung nach DIN 1045 (neu) einzugehen. Vielmehr soll die Betonung auf einigen Neuerungen gegenüber DIN 1045 (alt) liegen. Insbesondere soll aber auch auf folgende Fragen eingegangen werden: Auf welchen Grundlagen beruht das Modellstützenverfahren, das die Stützenbemessung in eine Querschnittsbemessung überführt? Wie kann die berüchtigte aber zu Unrecht gefürchtete Kombination der Einwirkungen nach dem semiprobabilistischen Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten gezielt und mit vertretbarem Rechenaufwand durchgeführt werden? Reichen übliche N/M-Diagramme zur Querschnittsbemessung aus oder sind besondere Bemessungsdiagramme 1 erforderlich oder vorteilhaft, deren Eingangswerte die auf die Bewehrungsfasern bezogenen Biegemomente sind? Kann die Querschnittsbemessung für den häufig vorliegenden Rechteckquerschnitt mit Bewehrung an zwei Seiten auch ohne N/M-Diagramme mit einfachen Formeln erfolgen? Auf welche Art können Erweiterungen des Modellstützenverfahrens in Einzelfällen vorgenommen werden? Ist ein vereinfachter Nachweis des betreffenden Systems nach Theorie 2. Ordnung aufwendiger als die Bemessung des zugehörigen Ersatzstabes, dessen Ersatzlänge als Knicklänge nach Maßgabe gleicher Knicklast bestimmt wird? Antworten zu den obigen Fragen werden mit zwei Beispielen gegeben. Die Durchrechnung des zweiten Beispiels erfolgte mit dem Mathematik-Programm Euler 2. Soweit es sich nicht um besondere Funktionen zur Berechnung der N/M-Linien oder zur grafischen Darstellung von Ergebnissen handelt, ist der ausgeführte Formelapparat angegeben. Er könnte ebenso gut von Hand, mit Tabellenkalkulations-Programmen oder in anderer programmierter Form ausgeführt werden. Die allgemeinen Grundlagen für eine nichtlineare Berechnung nach Theorie 2. Ordnung und ihre Besonderheiten werden hier nicht behandelt. Hinsichtlich des Stabilitätsversagens infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme vor Erreichen der Querschnittstragfähigkeit wird auf die ausführliche Erläuterung im Betonkalender-Aufsatz verwiesen 3. 1 Beispielsweise Bemessungsdiagramm nach Grünberg / Klaus auf Seite 22 in: Grünberg, J, FRILO Magazin 1/2000, Euler for Windows95(1.57), (C) René Grothmann, 3 Abschnitt 3.1 in: Kordina, K. ; Quast, U., Bemessung von schlanken Bauteilen für den durch Tragwerksverformungen beeinflussten Grenzzustand der Tragfähigkeit - Stabilitätsnachweis. Beton Kalender 1, , FRILO-Magazin 1

2 2 Gegenüberstellung wesentlicher Grundlagen für Nachweise des durch Tragwerksverformungen beeinflussten Grenzzustandes der Tagfähigkeit, Stabilitätsnachweis Bezeichnungen Aufgabe besonderer Stabilitätsnachweise ist es, die schlankheitsbedingte bzw. verformungsbedingte Tragfähigkeitsminderung von Druckgliedern zu berücksichtigen, wenn die Bauteil- oder Stützentragfähigkeit wesentlich kleiner als die Querschnittstragfähigkeit ist. Knicksicherheitsnachweise mindern die aufnehmbare Traglast in Abhängigkeit der Schlankheit ab. Nachweise nach Theorie 2. Ordnung berücksichtigen einwirkende Momente, die den Verformungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit entsprechend vergrößert sind. Werden Nachweise nach Theorie 2. Ordnung in eine Querschnittsbemessung überführt, dann müssen die zu berücksichtigenden Zusatzmomente so groß sein, dass mit ihnen ausreichende Stützentragfähigkeiten abgesichert werden. Wird die Tragfähigkeit der Stütze durch das Stabilitätsversagen infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme vor Erreichen des Fließens erreicht, dann muss die Querschnittsbemessung mit einem Zusatzmoment erfolgen, welches deutlich größer als das Zusatzmoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit sein kann. Eine sehr zutreffende Bezeichnung für diese besondere Art der Beanspruchung, die in ähnlicher Form auch im Eurocode 2 (1992) verwendet wurde, ist: Durch Tragwerksverformungen beeinflusste Grenzzustände der Tragfähigkeit. Sie wurde deshalb als Überschrift für das Gesamtkapitel gewählt Nachweis der Knicksicherheit Die gewählte Bezeichnung entspricht nicht der Art des geforderten Nachweises, der grundsätzlich nach (1) als Nachweis der Tragfähigkeit unter Berücksichtigung der Stabauslenkung zu führen ist. Allerdings wird in Klammern Nachweis der Knicksicherheit nach Theorie II. Ordnung ergänzt. Diese Bezeichnung kann als ein Kompromiss verstanden werden; einerseits die bis dahin gewohnte aber unzutreffende Bezeichnung Knicken, andererseits ein zutreffender Hinweis zur Art des Nachweises, nämlich nach Theorie 2. Ordnung. 8.6 Stabförmige Bauteile und Wände unter Längsdruck (Theorie II. Ordnung) Es werden Grundlagen zur Schnittgrößenermittlung nach Theorie 2. Ordnung behandelt. Vereinfachte Verfahren werden für Stützen, unbewehrte Wände und schlanke Träger angegeben. Der unzutreffende Begriff Knicken wird nicht mehr verwendet. Grundlagen, Sicherheitskonzept Für den Grenzzustand der Tragfähigkeit wird nach DIN (neu) in (2) und (4) der Nachweis gefordert, dass für die ungünstigste Einwirkungskombinationen und mit Berücksichtigung der Auswirkung von Tragwerksverformungen und Imperfektionen die Querschnittstragfähigkeit nicht überschritten wird und das statische Gleichgewicht örtlich und für das Gesamttragwerk gesichert ist. Die Tragwerksverformungen sind nach nichtlinearen Verfahren zu ermitteln. Im Prinzip bestehen in diesem Punkt keine Unterschiede gegenüber DIN 1045 (alt). Es wird nach (1) nur ein einziger Sicherheitsbeiwert γ = 1.75 für Lasten angesetzt, wobei er auch stets in gleicher Größe für Längskräfte und Biegemomente angesetzt wird. Bei Zugversagen der Querschnitte führt dies wegen der im Zugbruchbereich günstigen Wirkung von Druckkräften zu einer mehr oder weniger großen Verminderung der Sicherheit. Dass Längskräfte bei Stützen aus nicht zugfestem Baustoff, beispielsweise aus Mauerwerk, Beton oder Stahlbeton, auch in Nachweisen nach Theorie 2. Ordnung günstig wirken können, ist ein typischer Unterschied zum klassischen Knicken. Ein Konzept mit Teilsicherheitsbeiwerten wirkt sich gegenüber einem Konzept mit einem einzigen Globalbeiwert beispielsweise nur dann bedeutend aus, wenn es wie bei Nachweisen nach Theorie 2. Ordnung insbesondere auf die absolute Größe der Verformung ankommt. In statisch unbestimmten Systemen kommt es dagegen bezüglich der Schnittgrößenverteilung nach Theorie 1. Ordnung in der Regel nur auf die relative Größe der Verformungen oder die relative Steifigkeit EI c / EI oder EI c,eff / EI eff unterschiedlicher Abschnitte zueinander an. Aus diesem Grunde ist es konsequent, dass anstelle des einheitlichen Globalbeiwertes γ R = 1.3, der nach. 5.2 (2) b) und (4) allgemein für nichtlineare Verfahren gilt, für nichtlineare Nachweise nach 2 FRILO-Magazin

3 Theorie 2. Ordnung nach (7) mit den Teilsicherheitsbeiwerten γ c = 1.5 für Beton und γ s = 1.15 für Betonstahl nach 5.2 (2) a) gerechnet werden darf. Für ständige Einwirkungen ist der Teilsicherheitsbeiwert nach (1) γ G = 1.0 oder 1.35, je nachdem, ob sie insgesamt günstig oder ungünstig wirken. In unbewehrten Bauteilen darf die klaffende Fuge nach 17.9 (1) höchstens bis zum Schwerpunkt des Gesamtquerschnitts reichen. Auf diese Weise wird mit gleichem Sicherheitsbeiwert γ F für Längskräfte und Biegemomente ausreichende Sicherheit gegen Kippen um den Druckrand gewährleistet. Für den Grenzzustand der Tragfähigkeit erfordert das Konzept geteilter Sicherheitsbeiwerte mit Unterscheidung günstiger und ungünstiger Wirkungen keine Begrenzung der klaffenden Fuge. Nach (4) darf die klaffende Fuge bei der Ermittlung der aufnehmbaren Längsdruckkraft von Stützen und Wänden aus unbewehrtem Beton unter der seltenen Einwirkungskombination nur bis zum Schwerpunkt des Querschnitts angenommen werden. Es ist nicht gesagt, ob die aufnehmbare Längsdruckkraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit oder im Grenzzustand der Tragfähigkeit gemeint ist. Klassifizierungen der Bauteile Ähnlich wie in DIN 1045 (alt) bzw. Heft 220 DAfStb werden in DIN (neu) ausgesteifte und unausgesteifte Tragwerke oder Bauteile unterschieden, je nachdem, ob aussteifende Bauteile vorgesehen sind oder nicht 4. Je nachdem, ob bei Tragwerken die Auswirkungen nach Theorie 2. Ordnung zu berücksichtigen sind oder nicht, oder ob bei Einzelbauteilen die gegenseitige Verschiebung der Stabenden von Bedeutung ist oder nicht, werden sie als unverschieblich oder als verschieblich bezeichnet. Das Kriterium für die Seitensteifigkeit, Gl. (3) in DIN 1045 (alt), wurde in ähnlicher Form als Gl. (25) übernommen und hinsichtlich der Verdrehsteifigkeit durch die Gl. (26) erweitert. Wenn es erfüllt ist, dürfen ausgesteifte Tragwerke als unverschieblich angesehen werden. Zusätzliche ungewollte Lastausmitte, Imperfektionen Die Auswirkungen struktureller und geometrischer Imperfektionen sind um so bedeutender, je mittiger das Druckglied nach Theorie 1. Ordnung beansprucht ist und je schlanker es ist. Strukturelle und geometrische Imperfektionen werden vereinfacht zusammen als geometrische Ersatzimperfektion in Form einer ungewollten oder zusätzlichen Schiefstellung oder als zusätzliche ungewollte Lastausmitte festgelegt. In Nachweisen nach Theorie 2. Ordnung ist es zweckmäßig, die Auswirkung der Schiefstellung α durch Ansetzen einer zusätzlichen Lastkomponente α F quer zur Längsbelastung F, also quer zur Längsrichtung des Druckgliedes, anzusetzen. Das Ersatzstabverfahren kann zu geringe Imperfektionen beinhalten, wenn sie in Abhängigkeit der Ersatzstablänge bestimmt werden und nicht entsprechend den einzelnen Bauteillängen des Stützensystems. Der zweite Absatz (1) weist hierauf hin. Mit der Ersatzstablänge sollen die Auswirkungen von Verformungen gleichwertig berücksichtigt werden. Weil Verformungen dem Quadrat der Länge proportional sind, ist beispielsweise die Ersatzstablänge zur Berücksichtigung vierfacher Verformungsauswirkungen nur doppelt so groß wie die Bauteillänge. Die zusätzliche ungewollte Lastausmitte ist aber nur der Quadratwurzel der Ersatzstablänge proportional und kann sich deshalb zu klein ergeben. Imperfektionen sind bei eingeschossigen Tragwerken als ungewollte Lastausmitte e V = s K / 300 oder als Schiefstellung α V = 1 / 150 anzusetzen und bei mehrgeschossigen Tragwerken als Schiefstellung α V = 1 / 200. Sie stellen auch ein zusätzliches Element zur Erzielung ausreichender Sicherheit in Zusammenhang mit dem konstanten Sicherheitsbeiwert γ = 1.75 beim Stabilitätsnachweis gegenüber dem dehnungsabhängigen Sicherheitsbeiwert der Querschnittsbemessung von 1.75 γ 2.10 dar. Deshalb sind die vorzusehenden Imperfektionen deutlich größer als tatsächlich auftretende Ausführungsabweichungen. Die auf die Bauteillänge bezogene Schiefstellung wird der Wirklichkeit entsprechend mit zunehmender Länge kleiner. Sie darf bei der Schnittgrößenermittlung am Tragwerk als Ganzem nach Gl. (4) zu α a 1 1 = 100 hges berücksichtigt werden und darf für n gemeinsam wirkende 4 Siehe Übersicht am Ende dieses Abschnittes FRILO-Magazin 3

4 Druckglieder nach Gl. (5) mit ( ) n an = 1+ 1/ 2 bis auf 70 abgemindert werden. Für Einzelstützen darf die Imperfektion nach Gl. (33) als zusätzliche ungewollte Lastausmitte e a = α a1 l 0 / 2 angesetzt werden. Grenzschlankheiten, Abgrenzungskriterien Die Werte der Grenzschlankheiten, bei deren Unterschreiten kein Nachweis nach Theorie 2. Ordnung zu führen ist, unterscheiden sich trotz der abweichenden Formeln nur unwesentlich voneinander. Mit abnehmender bezogener Längskraft, ν Sd < 0.36, wächst λ max nach DIN (neu), (2), Gl. (27), an. In DIN 1045 (alt) ist diese Regelung mit dem erlaubten Entfallen des Knicksicherheitsnachweises nach (3) bei großen bezogenen Lastausmitten vergleichbar. λ lim = 45 25M / M 1 2 λ ( e / d) lim = max 3. 50, Einzeldruckglieder: λmax max 25, 16 / νsd = ( ) Definition Druckglied nach 3.1 (19): Lastausmitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit e d / h < 3.5 Für Einzeldruckglieder in unverschieblichen Tragwerken gilt nach Gl. (30) unabhängig von der Schlankheit nach Gl. (27) außerdem: λ crit = 25 (2 e 01 / e 02 ). Zulässige Schlankheiten Weil die Schlankheit des abstrakten Ersatzstabes bei Anwendung des Ersatzstabverfahrens auf Stützensysteme erheblich größer als die Schlankheit einzelner konkreter Druckglieder des Stützensystems sein kann, ist die Begrenzung der Schlankheit mitunter nicht unproblematisch. Schlankheiten λ > 200 sind für bewehrte Druckglieder nach (3) unzulässig. Für bewehrte Stützen wird keine zulässige Schlankheit vorgeschrieben. Für Druckglieder aus unbewehrtem Beton wird nach 17.9 (2) mit Verweis auf (1) eigentlich keine obere Schlankheitsgrenze festgelegt. Für bewehrte Stützen wird keine zulässige Schlankheit vorgeschrieben. Nach (2) sollte die Schlankheit am Einbauort betonierter unbewehrter Wände oder Einzeldruckglieder i.a. den Wert λ = 85 nicht überschreiten. Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für Beton Verformungen und Tragfähigkeiten sind mit ein und derselben Spannungs-Dehnungs-Beziehung in Form des Parabel- Rechteck-Diagramms nachzuweisen. Die Bauteilsteifigkeiten und mit ihnen die verformungen ergeben sich deshalb häufig wenig wirklichkeitsnah. Die Verformungen dürfen nach (7) in Verbindung mit (3) wirklichkeitsnäher mit Spannungs-Dehnungs-Beziehungen 5 berechnet werden, die an den Elastizitätsmodul des Betons angepasst sind. Der Dauerfestigkeitsbeiwert α = 0.85 entfällt. Die versteifende Mitwirkung des Betons in der gerissenen Zugzone darf berücksichtigt werden. Der Rechenwert der Betonfestigkeit β R wird nach Tabelle 12 für die Betonfestigkeitsklassen B 35 bis B 55 zunehmend um bis zu 22 gegenüber dem für Betonfestigkeitsklassen bis B 25 abgemindert. Der Rechenwert der Betonfestigkeit f cd = α f ck / γ c wird für alle Betonfestigkeitsklassen bis C 50/60 einheitlich festgelegt. Entsprechend ergeben sich für höhere Betonfestigkeitsklassen gegenüber DIN 1045 (alt) größere Querschnittstragfähigkeiten. 4 FRILO-Magazin 5 Siehe grafische Darstellung im Beispiel 6.2.

5 Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Betonstahl Die Grenzdehnung ist für Betonstahl auf 5 mm/m begrenzt. Der Rechenwert der Betonstahlspannung β s ist im plastischen Bereich konstant und gleich der Festigkeit bei Erreichen der Streckgrenze. Zur Berechnung der Querschnittstragfähigkeit ist die Grenzdehnung für Betonstahl auf ε su = 25 mm/m begrenzt. Der Rechenwert der Betonstahlspannung wächst nach Tabelle 12 für üblichen Betonstahl im plastischen Bereich von f yd um 5 auf f td = 1.05 f yd an, was für die Querschnittstragfähigkeit nach (2) vereinfachend vernachlässigt werden darf. Das Anwachsen der Betonstahlspannung vergrößert die Querschnittstragfähigkeit nur für kleine bezogene Biegemomente. Für Nachweise nach Theorie 2. Ordnung kann das Anwachsen nicht genutzt werden, weil die Stabilität in der Regel mit Erreichen des plastischen Zustandes verlorengeht. Vereinfachtes Näherungsverfahren An die Stelle des f-verfahrens nach DIN 1045 (alt) mit den Gl. (10) bis (12) tritt in DIN (neu) das Modellstützenverfahren nach Mit den Vereinfachungen nach überführt es die Nachweise nach Theorie 2. Ordnung in eine Querschnittsbemessung. Es entspricht im Prinzip den Ansätzen von Kordina und Quast (1978) im Betonkalender S. 842, Gl. (21). Die Bauteilverformung wird zugehörig zur Verkrümmung bei Erreichen der Streckgrenze in den Bewehrungen angesetzt. Im Bereich des Druckversagens, ν Sd > 0.5, darf die Verkrümmung mit zunehmender bezogener Längskraft ν Sd linear abgemindert werden, bis auf Null bei mittigem Druck. Weil die bei mittigem Druck aufnehmbare Längskraft von der zunächst nicht bekannten Bewehrung, mechanisches Bewehrungsverhältnis ω = A s f yd / (A c f cd ), abhängt, führt dies im Druckbruchbereich zu einer iterativen Bemessung der Bewehrung. Im Zugbruchbereich, ν Sd 0.5, ist K 2 (ν Sd, ω) = 1. Die Bemessung erfordert deshalb im Zugbruchbereich keine Iteration. Das Modellstützenverfahren gilt nach (1) nur für Druckglieder mit rechteckigem oder rundem Querschnitt. Es ist nach (2) aber auch für andere Querschnittsformen zulässig. Anzumerken ist, dass es für alle typischen Querschnittsformen von Stützen gleichermaßen brauchbar ist, wenn die Zugbewehrung A s1 und die Druckbewehrung A s2 annähernd gleich groß sind. Anwendungsbereich bis λ = 70. Zusatzausmitte f einschließlich ungewollter Lastausmitte. λ 20 f = d e / d 0 für 0 e / d 0. 3, λ 20 f = d für 0.3 e/d < 2. 5, λ 20 f = d ( e d) / 0 für 2. 5 e / d. 5. Anwendungsbereich hinsichtlich λ nicht begrenzt. Zusätzliche Lastausmitte aus Verformungen nach Theorie 2. Ordnung e 2 für üblichen Betonstahl BSt 500 mit ε yd = 2.5 / 1.15 mm/m und ohne zusätzliche ungewollte Lastausmitte e a e K l l = K ( νsd, ω) 2070d 2070d ω νsd = min, ω Getrennte Nachweise in Richtung der Hauptachsen Die aus DIN 1045 (07.88) bekannten Regeln wurden übernommen. Für das seitliche Ausweichen ist die in Rechnung zu stellende Breite gegebenenfalls auf die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Seitliches Ausweichen schlanker Träger Ein rechnerischer Nachweis gegen seitliches Ausweichen, bzw. Kippen, wurde nicht ausdrücklich verlangt. Üblicherweise wurde er für schlanke Träger aber wohl immer als Kippsicherheitsnachweis geführt. Die Sicherheit gegen seitliches Ausweichen ist nach (1) nachzuweisen. Es wird mit Gl. (46) eine Mindestbreite angegeben, für die die Sicherheit als ausreichend angenommen werden darf. b 4 l 0 3 t h 50 Sofern keine genaueren Angaben vorliegen, ist die Auflagerkonstruktion nach Gl. (47) mindestens für das Torsionsmoment T Sd = V Sd l eff / 300 zu bemessen. FRILO-Magazin 5

6 Mindestabmessungen DIN (neu) enthält in 3.1 (22) die zu DIN 1045 (alt) vergleichbare Regel zur Unterscheidung zwischen Stützen (b 4 d) und Wänden. Die geringste zulässige Seitenlänge eines Stützenquerschnitts ist nach (1) wie bisher 200 mm für am Ort senkrecht betonierte Stützen. Für waagerecht betonierte Fertigteilstützen gilt 120 mm gegenüber 140 mm in DIN 1045 (alt). Übersicht zur Einteilung der Tragwerke und Bauteile, und (1) Einteilung der Tragwerke und Bauteile T r a g w e r k e (1) aussteifende Bauteile vorhanden ja ausgesteift (5) Steifigkeit (1) Gl. (25) und ggfs. (26) erfüllt nein unausgesteift 1 Ecm Ic 1 h F min 0. 6, m ges Sd ( ) R d II < 0.9 R d I ja nein ja nein unverschieblich verschieblich verschieblich unverschieblich Auswirkungen nach Theorie 2. Ordnung zu berücksichtigen (1) Einteilung der Tragwerke und Bauteile (3) (2), Gl. (27), (28) 1) E i n z e l d r u c k g l i e d e r einzelne Druckglieder als Einzeldruckglieder betrachtete Teile eines Tragwerks λmax max 25, 16 νsd > ( ) (1) ja verschieblich ja schlank Gegenseitige Verschiebung der Stabenden von Bedeutung nein unverschieblich (4), Gl. (30) nein nicht schlank 1) Wegen unterschiedlich großer bezogener Längskräfte ν Sd in unterschiedlichen Lastfällen kann ein Einzeldruckglied nach diesem Kriterium sowohl schlank als auch nicht schlank sein. ja Auswirkungen nach Theorie 2. Ordnung zu berücksichtigen Modellstützenverfahren e 2 = l 2 0 / (2070 d) e λ > λ crit = 25 2 e nein 6 FRILO-Magazin

7 Mindestlängsbewehrung Nach (1) muss die Längsbewehrung im Gesamtquerschnitt mindestens 0.8 des statisch erforderlichen Querschnitts sein. Die Bezugnahme auf den statisch erforderlichen Querschnitt ist für Nachweise nach Theorie 2. Ordnung nicht ganz unproblematisch: Gilt der statisch erforderliche Querschnitt nur für die Querschnittsbemessung oder auch für die Verformung der Stütze nach Theorie 2. Ordnung? Nach Gl. (156) ist die Mindestbewehrung A s,min 015. N = max fyd Sd, Ac. Die von der Mindestbewehrung aufnehmbare Last entspricht mindestens 15 des Bemessungswertes der Längskraft N Sd. Der Bezug auf den statisch erforderlichen Querschnitt wird durch diese Regelung entbehrlich. 3 Grundlagen des Modellstützenverfahrens Die Prinzipien und Anwendungsregeln in DIN können unmittelbar als Grundlage zur Formulierung allgemeiner Bemessungsverfahren verwendet werden, deren Anwendung heutzutage zweckmäßigerweise in programmierter Form erfolgt. Daraus folgt, dass heutzutage grundsätzlich weniger Bedarf an vereinfachten Bemessungsformeln oder vereinfachten Bemessungsverfahren zur Durchführung der eigentlichen Bemessung besteht. Bei dieser Gegebenheit kommt allerdings als neues Problem hinzu, dass die unvermeidbaren Abweichungen vereinfachter Bemessungsverfahren gegenüber allgemeinen Bemessungsverfahren immer wieder deutlich sichtbar werden, wenn in der Baupraxis gleichzeitig sowohl allgemeine Bemessungsverfahren als auch vereinfachte Bemessungsverfahren angewendet werden. Dies kann dann immer wieder dadurch Irritationen auslösen, dass die grundsätzlich unvermeidbaren Abweichungen als unerwartet groß empfunden werden. Andererseits werden einfach zu handhabende Bemessungsverfahren aber auch weiterhin benötigt, sei es zur Überprüfung der Ergebnisse programmierter Berechnungen, sei es zur unmittelbaren Anwendung für die eigentliche Bemessung, wenn die Abweichungen nicht als störend empfunden werden, sei es zum grundsätzlichen Verständnis, um geeignete Modelle in Sonderfällen zu entwickeln. Die Mehrzahl der Stützenbemessungen kann in befriedigender Weise mit einem vereinfachten Bemessungsverfahren, dem Modellstützenverfahren für Einzeldruckglieder nach DIN , Abschnitt durchgeführt werden. Das Modellstützenverfahren benutzt vereinfachte Ansätze für die Berechnung der für den verformungsbeeinflussten Grenzzustand der Stützentragfähigkeit anzusetzenden Stützenverformung. Ihm liegt die auskragende Stütze entsprechend Bild 1 zugrunde. Diese für die Fertigteilbauweise typische Stützenform ist wohl die am ehesten durch Tragswerks- oder Bauteilverformungen in ihrer Tragfähigkeit beeinflusste Stützenform. Es wäre ohne weiteres möglich, für sie die angegebenen Ansätze mit der Stützenlänge l und nicht mit der Ersatzlänge l 0 = 2 l zu schreiben. Die Verwendung von l 0 wurde aber letztlich der noch vorherrschenden Meinung entsprechend für angebrachter angesehen, um die Anwendung des Modellstützenverfahrens auch auf andere Formen von Einzelstützen zu übertragen. Die planmäßige Lastausmitte e 0 ist immer um die zusätzliche ungewollte Lastausmitte e a nach DIN , (1), Gl. (33), zur Berücksichtigung der Auswirkungen von Imperfektionen zur Lastausmitte e 1 = e 0 + e a zu vergrößern, die noch keine Auswirkungen von Verformungen beinhaltet. Im verformten Zustand stellt sich ein zunächst unbekannter Verkrümmungsverlauf (1/r)(x) nach Maßgabe des Verlaufs des Gesamtmoments nach Theorie 2. Ordnung, M tot = M 1 + M 2 = M 1 + N e 2 ein. Die Verformung bzw. die zusätzliche Lastausmitte aus Verformungen nach Theorie 2. Ordnung e 2 lässt sich nach dem Prinzip der virtuellen Kräfte als e 2 = M (1/r)(x) dx berechnen. Mit den Annahmen der klassischen Elastizitätstheorie (1/r)(x) = M tot / EI würde der Verkrümmungsverlauf (1/r)(x) dem Momentenverlauf M tot (x) proportional sein. Dies gilt für bewehrten Beton nur im ungerissenen Zustand I. Im gerissenen Zustand II vergrößern sich die Verkrümmungen erheblich. FRILO-Magazin 7

8 Die Berechnung der Integrale M( x) ( 1/ r)( x) dx = M( x) M( x) / EI dx erfolgt bei Handrechnung üblicherweise mit Hilfe der sogenannten Integraltafeln, die eine Reihe von Grundfällen für die Verläufe von M(x) und M(x) beinhalten. Der Wert des Integrals kann meistens als Produkt aus den Größtwerten M und M sowie eines vom Verlauf beider Größen abhängenden Beiwertes K ermittelt werden. Der Verlauf von (1/r)(x) hat bei Stahlbetonstützen in der Regel keinen einfachen Verlauf. Es können lediglich Grenzfälle für die Größe der möglichen Beiwerte angegeben werden. Es kommen ein rechteckförmiger und ein dreieckförmiger Verlauf als Grenzfälle in Frage. Das Gesamtmoment M tot nach Theorie 2. Ordnung wird mit den im Bild 1 angegebenen Zusammenhängen für Stützen mit kleinen bezogenen Längskräften, ν Sd 0.5, M tot = M 0 + M a + M 2 = M 1 + M 2 = M 1 + N e 2 = M 1 + N l 0 2 / (2070 d). Auf die Darstellung des Gleichgewichtszustandes in Moment/Verkrümmungslinien und auf das besondere Stabilitätsversagen infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme vor Erreichen der Querschnittstragfähigkeit wird hier nicht weiter eingegangen. Es wird auf die obige Fußnote 3 verwiesen. Bei hinreichend großer Lastausmitte versagen schlanke Stützen bei Erreichen des Fließzustandes, sei es in der Zugoder in der Druckbewehrung. Als Bemessungszustand wird deshalb das Erreichen des Fließzustandes unterstellt. Die ausnutzbare Verkrümmung ist deshalb 1/r 2 ε yd / (0.9 d), wie sich unmittelbar aus den ähnlichen Dreiecken im Bild 1 b) ablesen lässt. Für größere Verkrümmungen bzw. Dehnungen würde der Querschnittswiderstand nach Erreichen der größten aufnehmbaren Zug- oder Druckkraft nicht mehr anwachsen. Bei größeren Verkrümmungen würde aber die Beanspruchung nach Theorie 2. Ordnung anwachsen, ohne dass sie durch den nicht mehr anwachsenden Querschnittswiderstand im Gleichgewicht gehalten werden kann. Bild 1 Angaben zum Modellstützenverfahren, ν Sd 0.5 Der Verkrümmungsverlauf wird um so mehr rechteckförmig sein, je kleiner die H-Last und je kleiner die bezogene Zusatzausmitte e 2 /h ist. Sie wird um so mehr dreieckförmig sein, je größer die H-Last ist und sie wird schließlich um so mehr parabelförmig sein, je größer die bezogene Lastausmitte e 2 /h ist. Bei gestaffelter Bewehrungsanordnung wird die Querschnittstragfähigkeit nicht nur an der Einspannstelle der Modellstütze ausgenutzt, sondern auch an den Stellen der Bewehrungsabstaffelung in einem gewissen Bereich der Stütze, so dass näherungsweise auch in diesem Fall von einem mehr rechteckförmigen Verlauf der Verkrümmung auszugehen ist. Große Zusatzausmitten ergeben sich für große Schlankheiten l 0 / h. Um diesen wichtigen Fall gut anzunähern, wird für die vereinfachte Ermittlung der zusätzlichen Lastausmitte nach DIN (38) ein annähernd parabelförmiger Verkrümmungsverlauf unterstellt, für den sich der Beiwert K = 5/48 1/10 ergibt. Bei Druckversagen ν Sd > 0.5 = ν bal darf die maßgebende Verkrümmung entsprechend DIN , Gl. (40) mit dem Beiwert K 2 = min[(1+ω ν Sd ) / (0.5+ω), 1] abgemindert werden. Die erforderliche Bewehrung der Stütze kann durch eine Bemessung des Einspannquerschnitts für die Gesamtlastausmitte e tot = e 0 + e a + e 2 = e 1 + e 2 bzw. für das Gesamtmoment M tot = M 0 + M a + M 2 = M 1 + M 2 = M 1 + N e 2 nach DIN , Abschn. 10.2, ermittelt werden. Es ist also nach diesem vereinfachten Verfahren zulässig, die Verformung im Grenzzustand der Stützentragfähigkeit aus der Dehnung ε yd bei Erreichen des Bemessungswertes der Streckgrenze zu errechnen und der anschließenden Querschnittsbemessung aber größere Dehnungen als nur ε yd zu Grunde zu legen. Durch Vergleichsberechnungen wurde die Zulässigkeit dieser Vereinfachung für das Modellstützenverfahren abgesichert. 8 FRILO-Magazin

9 Ausdrücklich hinzuweisen ist darauf, dass es sich bei der Zusatzausmitte e 2 des Modellstützenverfahrens nicht um die im Grenzzustand der Tragfäghigkeit auch tatsächlich auftretende Stützenverformung handelt. Diese ist beispielsweise bei einem Stabilitätsversagen infolge beanspruchungsbedingter Steifigkeitsabnahme deutlich kleiner, weil der Grenzzustand der Stützentragfähigkeit vor Erreichen des Fließzustandes und somit bei kleineren Verformungen und kleineren Gesamtmomenten eintritt. Dies ist beispielsweise bei Vergleichen mit nicht vereinfachten Computerberechnungen zu bedenken. Sinn des Modellstützenverfahrens ist es, die Gesamtbeanspruchung des maßgebenden Querschnitts ersatzweise so festzulegen, dass die Querschnittsbemessung eine ausreichende Stützentragfähigkeit ergibt. Im Eurocode 2 wurde dies auch durch die Zwischenüberschrift Überführung des Nachweises nach Theorie II. Ordnung in eine Querschnittsbemessung zum Ausdruck gebracht. Weil verformungsbedingte Traglastminderungen nach DIN , Abschn. 7.1 (5) und (1) erst dann berücksichtigt werden müssen, wenn sie größer als 10 sind, besteht wegen dieser Festlegung kein kontinuierlicher Übergang zwischen der Querschnittstragfähigkeit einerseits und der Stützentragfähigkeit andererseits. Um dennoch Unstetigkeiten teilweise zu vermeiden, wurde in Gl. (38) der Beiwert K 1 eingefügt, der einen Übergang zwischen der bis λ = 25 ausnutzbaren Querschnittstragfähigkeit und der ab λ = 35 maßgebenden kleineren Stützentragfähigkeit schafft. Die Unstetigkeiten können deshalb nur teilweise vermieden werden, weil die Querschnittstragfähigkeit nach (2) ohne die zusätzliche ungewollte Lastausmitte e a und die Stützentragfähigkeit, aber mit der zusätzlichen ungewollten Lastausmitte e a bestimmt wird. Der im Druckbruchbereich für die maßgebende Verkrümmung nach Gl. (40) ansetzbare Abminderungsbeiwert K 2 = min[(1+ω ν Sd ) / (0.5+ω), 1] ist von dem erst zu ermittelnden Bewehrungsquerschnitt A s,erf bzw. von dem erst zu ermittelnden mechanischen Bewehrungsverhältnis ω erf abhängig. Hieraus folgt, dass die Bemessung bei unmittelbarer Anwendung der für das Modellstützenverfahren angegebenen Gl. (38), (39) und (40) im Druckbruchbereich nur iterativ erfolgen kann. 4 Modellstützenbeiwerte Die Grundidee des Modellstützenverfahrens lässt sich auch auf andere Stützensysteme und nicht nur auf Einzelstützen anwenden. Die Stützenbemessung nach Theorie 2. Ordnung wird in eine Querschnittsbemessung überführt, wobei ein geeigneter Verlauf der Verkrümmungen gewählt wird und der Größtwert der Verkrümmungen aus dem Fließzustand abgeleitet wird. Sinngemäß der Knicklängenermittlung für den Ersatzstab nach Maßgabe gleicher Knicklast N K von Ersatzstab und wirklichem Stützensystem lassen sich für Stützensysteme Bild 2 Zweigeschossiges Stützensystem mit auszusteifenden Stützen FRILO-Magazin 9

10 mit gleichen Längskräften gleichwertige Modellstützen nach Maßgabe gleicher Verformungen e 2 nach Theorie 2. Ordnung im Grenzzustand der Tragfähigkeit bilden. Hinsichtlich weiterer Einzelheiten wird auf den Aufsatz im Betonkalender verwiesen, siehe Fußnote 3. Bild 2 zeigt eine zweigeschossige Aussteifungsstütze mit auszusteifenden Stützen im oberen Geschoss. Querschnitt b ist offensichtlich für die Bemessung der aussteifenden Stütze maßgebend. Zur Ermittlung der Auswirkungen nach Theorie 2. Ordnung wird die Kopfverschiebung an der Stelle a benötigt, die gleich der zusätzlichen Lastausmitte e 2 infolge Verformung nach Theorie 2. Ordnung ist. Sie errechnet sich nach dem Prinzip virtueller Arbeit aus dem Größtwert des virtuellen Moments M und dem Größtwert der Verkrümmung (1/r) an der Stelle b, wie im Bild angegeben. Um die zusätzliche Lastausmitte e 2 in gleicher Größe an der frei auskragenden Modellstütze zu berechnen, muss die Verformung aus dem Größtwert der Verkrümmung an der Stelle b mit dem Beiwert K M vergrößert werden. Aus der im Bild angegebenen Beziehung lässt sich dieser als Modellstützenbeiwert bezeichnete Wert für diesen Fall zu K M = [l u + l] / l angeben. Die zusätzliche Lastmitte e 2 kann auch nach Vergrößerung der Modellstützenlänge l mit der Quadratwurzel aus K M zur Ersatzlänge l 0 aus (1/r) an der Stelle b und mit der Ersatzlänge l 0 berechnet werden. Die Vertikallasten V g1 bis V gn auf den gekoppelten auszusteifenden Stützen verursachen im Schnitt b der aussteifenden Stütze zusätzliche Momente infolge der ungewollten Schiefstellung α a und infolge der Verformung e 2. Infolge der ungewollten Schiefstellung α a entsteht M a (V g1, n ) = α a V g1, n und infolge e 2 entsteht M 2 (V g1, n ) = e 2 V g1, n. Das zusätzliche Moment infolge e 2 ist insgesamt M 2 = e 2 (V + V g1, n ) = e 2 V (1 + V g1, n / V) = e 2 V K Mg Bild 3 Zur Vereinfachung des N/M-Diagramms Dieser Beiwert K Mg zur Berücksichtigung der Auswirkung von Vertikallasten auf gekoppelten auszusteifenden Stützen kann wieder als Modellstützenbeiwert zur Vergrößerung der Lastausmitte e 2 infolge der Verkrümmung (1/r) aufgefasst werden oder auch zur Bestimmung der Ersatzlänge l 0. Weder die Bestimmung eines Modellstützenbeiwertes noch die Bestimmung der Ersatzlänge sind erforderlich, wenn die Auswirkungen infolge der zusätzlichen ungewollten Schiefstellung α a und infolge der zusätzlichen Lastausmitte e 2 entsprechend den obigen Ansätzen unmittelbar am vorliegenden Stützensystem abgeleitet werden. Dies wird im zweiten Beispiel im Abschnitt 6 für ein Stützensystem entsprechend dem obigen Bild gezeigt. Im Beispiel 6.2 greift eine weitere Vertikallast in halber Höhe der aussteifenden Stütze an. Nach (1), 2. Absatz, kann die Ersatzlänge l 0 bei bestimmten Stützensystemen zu geringe Imperfektionen ergeben. In solchen Fällen muss die Auswirkung der Imperfektion am Stützensystem betrachtet werden. Das Vorgehen unterscheidet sich nur unwesentlich von der unmittelbaren Berechnung des Stützensystems nach Theorie 2. Ordnung mit vereinfachten Annahmen für den Verlauf der Verkrümmung. Weitere Einzelheiten sind im Beispiel 6.2 zu entnehmen. 5 Vereinfachtes N/M- Diagramm Für symmetrisch bewehrte Rechteckquerschnitte R2 mit zwei Bewehrungslagen, A s1 = A s2 = A s / 2, je eine am Zug- und Druckrand, kann der Verlauf der N/M-Linien im Zugbruchbereich, N N oc / 2, hinreichend genau entsprechend Bild 3 vereinfacht werden. Im Grenzzustand der Tragfähigkeit wird in beiden Bewehrungen jeweils die größte Betonstahlkraft nach Erreichen des Fließzustandes angesetzt. Es gilt dann F s1 = F s2 = A s1 f yd. Es folgt weiter, dass die aus der Betondruckzone resultierende Kraft N c wegen F s1 + F s2 = 0 der einwirkenden Längskraft N gleich ist. Die Resultanten der Betondruckzone ergeben sich hinreichend genau, wenn die Betondruckspannungen im Bereich x B blockförmig angesetzt werden. Mit dem Hebelarm (h/2 x B /2) = (h/2) (1 N / N 0c ) für F c ergibt sich der im Bild für den Betonanteil M c angegebene Ausdruck M N h N c = N 1 2 0c Dieser Ausdruck beschreibt eine quadratische Parabel. Der Betonstahlanteil am aufnehmbaren Moment ist M s = F s1 z s1 + F s2 z s2 = A s z s1 f yd. Er kann im Zugbruchbereich, N N oc / 2, hinreichend genau konstant ange- 10 FRILO-Magazin

11 nommen werden, woraus dann der angegebene Ausdruck für die N/M-Beziehung M(N) = M c (N) + M s (A s ) folgt. Die erforderliche Bewehrung A s,erf kann ohne weitere Bemessungshilfen aus der erforderlichen Größe für M s bestimmt werden: M Mc As, erf = z f s1 yd Mit diesen Gleichungen ist eine Bemessung in den meisten Fällen hinreichend genau. Die Anwendungsgrenze für den Randabstand der Bewehrung d 1 / h 0.15 muss jedoch beachtet werden. Vorteilhaft ist bei Anwendung dieser Gleichungen auch, dass unmittelbar mit den vorhandenen Schnittgrößen gerechnet werden kann und eine Umrechnung in dimensionslose Schnittgrößen entfällt. Dass die vereinfachte N/M-Beziehung nur für den Zugbruchbereich gilt, muss nicht als sehr nachteilig angesehen werden. Zu bedenken ist, dass der Zugbruchbereich um so mehr maßgebend wird, je schlanker die Stützen sind. Charakteristische Werte der Einwirkungen und Lastausmitten: Einwirkung G, ständig Q, veränderlich Kombinationswerte ψ 0 Schnee Wind DIN , Tabelle A N k kn M k,0 knm M ka = α a1 N k l knm M k,1 = M k,0 + M k,a knm M k,2 = 0.4 N k l 2 / (2070 d) knm M k,tot = M k,1 + M k,2 knm e tot = M k,tot / N k m Aus den Größen der Ausmitten e tot ergibt sich, dass alle Einwirkungen außerhalb des Querschnitts angreifen. Sie drehen im Uhrzeigersinn um den Angriffspunkt der Druckresultanten F c und wirken deshalb auch in Bezug auf die erforderliche Zugbewehrung für F t ungünstig (siehe Bild 1). Wind ist offensichtlich die vorherrschende veränderliche Einwirkung. Weil alle Einwirkungen außerhalb des Querschnitts angreifen, ist nur eine Lastkombination zu betrachten. 6 Beispiel 6.1 Eingespannte Hallenstütze Dieses Beispiel wurde von Grünberg im Abschn. 3.2 auf den Seiten 20 bis 23 seines Beitrages DIN , Grundlagen der Tragwerksplanung: Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln im FRILO-Magazin 1/2000, Seite gezeigt. Hier erfolgt die Bemessung nach dem Modellstützenverfahren ohne grafische Bemessungshilfen. Der Kombinationsbeiwert für die Einwirkung Schnee wird abweichend von DIN : , Tabelle A.2 wegen der Vergleichsmöglichkeit wie im Beispiel mit 0.6 angesetzt. In einem Blockfundament eingespannte Fertigteilstütze, Stützenlänge l = 7.20 m, Rechteckquerschnitt b/h/d/d1 = 30/50/45/5 cm, Betonfestigkeitsklasse C 20/25, Bewehrung an zwei Rändern, BSt 500, Schiefstellung, Gl. (4): α a1 = 0.01 / l 0.5 = 1 / 268.3, Schlankheit λ = / 0.50 = 100, es handelt sich um eine schlanke, verschiebliche Stütze. Bemessungswerte, Kombination der Einwirkungen nach DIN , Gl. (14): N Sd = ( ) = kn M Sd = ( ) = knm Aufnehmbares Moment M Rd,c des Betonquerschnitts, siehe Bild 3 N 0c = b h f cd = /1.5 = 1700 kn M Rd,c = N Sd h/2 (N Sd /N 0c 1) = ( /1700 1) = knm Erforderliche Gesamtbewehrung für f yd = 50/1.15 = 43.5 kn/cm 2 A s = (M Sd M Rd,c ) / (z s1 43.5) = ( ) / ( ) = 23.9 cm 2 Im Beispiel von Grünberg ist nur das mechanische Bewehrungsverhältnis ω = 0.52 angegeben. Bei Beachtung der damaligen Definition f cd = f ck / γ c anstelle von jetzt f cd = 0.85 f ck / γ c ergibt sich die erforderliche Bewehrung ebenfalls zu A s = (20/1.5) / (500/1.15) = 23.9 cm 2. FRILO-Magazin 11

12 6.2 Zweigeschossige Stütze mit auszusteifenden Stützen Die aussteifende Stütze des Stützensystems entsprechend Bild 2 wird als auskragende Stütze berechnet, wobei die Auswirkung der Verformung des unteren Teils als Fußverdrehung angesetzt wird. Erläuterungen zu den Ausdrucken des verwendeten Mathematik-Programms: >QErl; Erläuterungen zum Mathematik-Programm EULER, (C) René Grothmann hhtp://mathsrv.ku-eichstaett.de/mgf/grothmann/euler.html : Kommentare > : Befehle, endend mit oder, : mit Ergebnisausgabe ; : ohne Ergebnisausgabe.. : Unterbrechung im Befehl oder Kommentar in der Befehlszeile Variablen können Einzelwerte, Vektoren oder Matrizen sein Aufgabenwerte Beispiel: Seminar Stützenlänge, Querschnittsabmessungen, Grunddimensionen: kn, m > l=3.6; lu=3.7; QTyp= R2 ; b=0.3; h=0.5; d1=0.045; d=h-d1; Charakteristische Werte der Beton- und der Betonstahlfestigkeit > fck=30e3; hold off; alfa=1; QepsTab10(1); Qfd; Die Spannung/Dehnungs-Linien werden nur zur Information gezeigt. Für die Anwendung des Modellstützenverfahrens werden sie nicht benötigt. Verformungsberechnung: Qsigmac1 QalfaR1 Qka1 Parameterwerte der Spannung/Dehnungs-Linien, in MPa = 1000 kn/m2, mm/m gam.c alfa f.ck eps.c1 eps.cu n.par phi gam.s E.s/1e3 f.yk eps.yk eps.su f.tk minrho Versteifende Mitwirkung eps.ct eps.sh eps.vmw exp.vmw Bemessungswerte, in MPa = 1000 kn/m2, mm/m f.cd f.yd eps.yd f.td >hold on; alfa=0.85; epsct=0; QepsTab10(2); Qfd; Querschnittsbemessung: Qsigmac2 QalfaR2 Qka2 Parameterwerte der Spannung/Dehnungs-Linien, in MPa = 1000 kn/m2, mm/m gam.c alfa f.ck eps.c1 eps.cu n.par phi FRILO-Magazin

13 gam.s E.s/1e3 f.yk eps.yk eps.su f.tk minrho Bemessungswerte, in MPa = 1000 kn/m2, mm/m f.cd f.yd eps.yd f.td Aufgabenwerte E I N W I R K U N G E N, Ort, charakteristische Werte > x =[ l, 1.8, l, l ]; n =1;.. gemeinsam wirkend > Nk =[ -550, -200, 0, -80 ]; phi2=2;.. Kriechzahl > Nkg =[ -400, 0, 0, -160 ];.. gelenkig gekoppelte Stützen > Hk =[ 0, 0, 22, 0 ]; > Mk =[ 0, 0, 0, 0 ]; Mk0=Mk+Hk*x; > psi = [ 0.7, 0.6, 0.5 ]; > TQ =[ascii( Nutzlast ), ascii( Wind ), ascii( Schnee )]; Modellstützenbeiwert K.M, hier zur Berücksichtigung eines mehr dreieckförmigen Verlaufs der Verkrümmung anstelle eines parabelförmigen Verlaufs > KM =10/ Anfangswerte, Anzahl und Indizes der Einwirkungen G und Q, Grafik > {G,Q, ig,iq}=qaufgabe(fd=1, lh=1);..qfd(aus=1); FRILO-Magazin 13

14 Charakteristische Werte der Einwirkungen Imperfektionen, Schiefstellung, DIN , Gl.(4), (5), (33) (4): alfa.a1 = 0.01/sqrt(l), (5): alfa.n = sqrt((1+1/n)/2); > alfaa1=0.01/sqrt(l); alfan=sqrt((1+1/n)/2); alfaa=alfaa1*alfan; > alfan 1/alfaa1 1/alfaa Auswirkungen von Imperfektionen (beachten: M.a vergrößert M.0 für ±N) > Mka =alfaa*abs(nk+nkg) * x Momente nach Theorie 1. Ordnung > Mk1 =Mk0 + Mka Zusatzmomente nach Theorie 2. Ordnung, konstanter Beiwert, aus e.2 = 1/10 * l.0**2 / r = 1/10 * l.0**2 * (2 epsyd)/(0.9 d) = x**2 / (xbeiwert*d) > xbeiwert = (4/10 * 2e-3*epsyd / 0.9) **-1,..xBeiwert*d 1/(xBeiwert*d) M.2 = K.2(A.s, N) * K.c * M.2,Z0, im Zugbruchbereich: K.2(A.s, N)=1 M.2,Z0 : Zusatzmoment im Zugbruchbereich ohne Kriechauswirkung mit K.c=1 Verschiebung alfa.2 * x aus Fußverdrehung alfa.2 = l.unten / (xbeiwert*d) > alfa2 =KM*lu/(xBeiwert*d), > e2 =alfa2*x + KM*x**2/(xBeiwert*d),.. + x**2*(1-(x/l)**2)/4/(nenner*d) > Mk2Z0 =(-Nk-Nkg) * e Charakteristische Werte der Gesamtmomente > Mktot =Mk1+Mk2Z Die ausführlichen Erläuterungen zur Entscheidung über günstige und ungünstige Wirkung sind im Einzelfall entbehrlich ========================================================================= Ungünstigste Momente um maßgebende Querschnittsfasern Entscheidung über günstige oder ungünstige Wirkung > QKombiText; Bei Stützen ist zu betrachten, wie sich Einwirkungen bezüglich der Zug- und Druckzonenkraft im maßgebenden Querschnitt auswirken. (1) Zu betrachten sind die Momente M.G,k,z und (1-psi) M.Q,k,z in Bezug auf die maßgebenden Fasern z, d.h. auf die Wirkungslinie der jeweils anderen der beiden resultierenden Kräfte im maßgebenden Querschnitt; also auf die Wirkungslinie z.rt oder z.rc der Zug- oder Druckzonenkraft R.t oder R.c, um so über die günstige oder ungünstige Wirkung der Einwirkungen auf die Druck- oder Zugzonenkraft zu entscheiden. 14 FRILO-Magazin

15 (2) Weil die z-fasern der Zug- und Druckzonenkraft vorab i.a. unbekannt sind, werden die z-fasern im ganzen Bereich der statischen Nutzhöhe d betrachtet, wobei es ausreicht, gezielt die Fasern zu betrachten, an denen die Momente das Vorzeichen wechseln (z = M / N) oder an denen die Größtwerte (1-psi) M.Q,k,z von zwei veränderlichen Einwirkungen gleich groß sind. (3) Für alle ständigen Einwirkungen ist in der Regel ein einheitlicher Sicherheitsbeiwert anzusetzen. Ständige Einwirkungen sind in Bezug auf die maßgebende Faser z insgesamt ungünstig, wenn die Summe der Momente M.G,k,z bei üblicher Vorzeichenregel positiv ist; ist sie negativ, wirken ständige Einwirkungen insgesamt günstig. (4) Die vorherrschende Einwirkung ist die Einwirkung mit dem größtem Anteil (1-psi) M.Q,k,z, weil der größte Anteil (1-psi) M.Q,k,z der ungünstigste Anteil ist, der nicht entfallen darf. Die übrigen veränderlichen Einwirkungen mit positiven Werten (1-psi) M.Q,k,z haben auch positive Werte psi M.Q,k,z und wirken ungünstig. Sie sind mit repräsentativem Wert psi Q.k zu berücksichtigen. (5) Es wirkt sich auf die Entscheidung, ob Einwirkungen günstig oder ungünstig wirken, nicht aus, wenn sie ohne den zunächst unbekannten Abminderungsbeiwert K.2 für die Zusatzausmitte e.2 bei Druckversagen und ohne den Vergrößerungsbeiwert K.c zur Berücksichtigung des Kriechens getroffen wird. Bei Druckversagen ist die Wirkungslinie der Zugzonenkraft maßgebend und alle Einwirkungen wirken deshalb ungünstig. (6) Nur in sehr seltenen Fällen kann sich die Berücksichtigung der Beiwerte K.2 und K.c auf die Entscheidung über die vorherrschende veränderliche Einwirkung auswirken. Auch wenn die Auswirkung eher unerheblich sein wird, muss dies in Zweifelsfällen beachtet werden. Die Anzahl der zu untersuchenden Kombinationen hängt von der Anzahl der im Querschnitt angreifenden Einwirkungen ab. Die mathematisierte Behandlung des an sich einfachen Problems sieht vergleichsweise aufwendig aus. > e=sum(mktot[ig])/sum(nk[ig]) Mktot[iQ]/(Nk[iQ]-1e-9), zl=h/2-d1; zr=-h/2; e Die Anzahl der zu betrachtenden Kombinationen ist mindestens um eins größer als die Anzahl der im Bereich der statischen Nutzhöhe d zwischen z.s1 und z.c2 liegenden Lastausmitten e. z-fasern, um die die Momente der Einwirkungen betrachtet werden. > {z,i}=qsort(-[zl e[(zl>e)*(e>zr)*(1:g+q)] zr]); z=-z-1e-5, S.ungünstig und S.günstig folgen aus M.S,z = M.S - N.S*z und S.vorherrschend aus (1-psi)*M.S,z > Mkz = (Mktot - Nk*z ) * [ones(1,g), (1-psi)]; Mkz, FRILO-Magazin 15

16 Grafik > UU= Einwirkungen bezüglich unterschiedlicher Querschnittsfasern ; > shrinkwindow; clg; nz=length(z); Z=round(-1e3*z,0); > XY=xplot(Z,0*Z_max(0, round(mkz,1)),0,0); > xgrid(z,xt=-z); ygrid(xy[3:4]); > Qtitle(, M.Gk,tot,z und (1 - psi) M.Qk,tot,z in knm, z in mm,uu); > Qbutton( G,3,[0,Mktot[1]]); Qbutton( G,3,[0,Mktot[min(G,2)]]); > i=min(1, Q); Qbutton(char(TQ[i]),3,[0,(1-psi[i])*Mktot[G+i]]); > i=min(2, Q); Qbutton(char(TQ[i]),3,[0,(1-psi[i])*Mktot[G+i]]); > i=min(3, Q); Qbutton(char(TQ[i]),3,[0,(1-psi[i])*Mktot[G+i]]); > i=min(4, Q); Qbutton(char(TQ[i]),3,[0,(1-psi[i])*Mktot[G+i]]); Aus der Grafik ergibt sich, dass Wind die vorherrschende Einwirkung ist. Die nachfolgenden Untersuchungen wären nur erforderlich, wenn die vorherrschende Einwirkung wechseln würde; sie sind hier entbehrlich. Q.vorherrschend bezogen auf die z-fasern > E=extrema(Mkz[:,iQ]);E[:,4], v1=e[1,4];vn=e[nz,4];i1=iq[v1];in=iq[vn]; Bei ungleichen Indizes ist die z-faser des Wechsels ermitteln > z[nz]= z[1]-1e-5 +((v1==vn) + Mkz[1,in]-Mkz[1,i1])*(z[nz]-z[1]).. > / ((v1==vn) + Mkz[nz,i1]-Mkz[1,i1]-Mkz[nz,in]+Mkz[1,in]) Ggfs. aufsteigend sortieren > {z, ik}=qsort(-(z)); z=-z, Z=round(-1e3*z,0); xgrid(z, xt=-z); > Mkz=(Mktot-Nk*z )*[ones(1,g) (1-psi)]; Mkz, ikomb=1:nz-(v1==vn), FRILO-Magazin

17 Kombinationen: Maßgebende Werte gamma.g und gamma.q*psi.0,i > gpg =(1 + (sum(mkz[ikomb,ig])>0)*(gamg-1)) * ones(1,g).. > (Mkz[iKomb,iQ]>0)*gamQ * (psi+(1-psi)*([1:q]==e[[ikomb],4])); gpg > QKombiTab; Aus der nachfolgenden grafikartigen Darstellung ist erkennbar, dass die Kombinationen an den Wirkungslinien (bzw. Ausmitten) einzelner Einwirkungen wechseln Ggfs. Sicherheitsbeiwerte verändern oder z.b. zusätzlich vereinfachte Kombinationen nach Eurocode 2 >.. gpg =gpg_matrix(2,g, 1.35) ([1:Q]==vorh[1])*1.5_matrix(1,Q, 1.35) >.. gpg =gpg_matrix(2,g, 1 ) ([1:Q]==vorh[1])*1.5_matrix(1,Q, 1.35) ========================================================================= B E M E S S U N G S W E R T E der Einwirkungen, s.a.: ERGEBNIS > gpg.(nk_mktot), NSd=gpg.Nk ; MSd1=gpg.Mk1 ; MSd2Z0=gpg.Mk2Z0 ; >.. gpg.(nk_mk0_mka_(mk0+mka)_mk2z0_mktot),.. Einzelwerte Auswirkung des Kriechens, hier nur G kriecherzeugend K.c = 1 + M.Gd0 / M.G+Q,d,0+a = 1 + M.Gd0 / M.Sd,1 > Kc =1+phi2/max(1e-2,phi2) * gpg[:,ig].mk0[:,ig] /MSd1, Querschnittsdaten für den Stufenquerschnitt > QTyp= R2 ; As=0; {c,s,ac,as1vh}=qstufque(qtyp,aus=0);querschnitt(mhor=0); B e m e s s u n g >{eps1, eps2, K2, totmsd, As} = QAs (NSd, MSd1, Kc*MSd2Z0);goodformat(7,3); FRILO-Magazin 17

18 E R G E B N I S eps1=eps.s1 > NSd MSd1 K2 Kc MSd2Z0 totmsd 1e4*As eps1 eps G R A F I K > rho =[0:3] ; shrinkwindow; goodformat(9,3); Ausschnittsvergrößerung, Rechteck XY berechnen oder definieren > XY=10*ceil([0,0.115*max(totMSd ), 0,max((-NSd ) 0.34*Ac*fcd)/7.5]); > QNMLin(rho, XY); QErgebnis(NML=1, vek=1, XY=XY); Vektorielle Addition der Einwirkungen in der Reihenfolge abnehmender Lastausmitte mit 0.35 S(G) als weiterer veränderliche Einwirkung > vherrsch=2; color(max(1,vherrsch)); QSdAdd(1*vherrsch,folge=1*[2,3,4,1]); 18 FRILO-Magazin