Moderne Methoden der Regelungstechnik

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1 Moderne Methoden der Regelungstechnik Professor Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek Professur für Steuer und Regelungstechnik Fakultät für Luft und Raumfahrttechnik Universität der Bundeswehr München

2 Vorwort Diese Arbeitsblätter beschreiben den wesentlichen Stoffinhalt des Moduls MODERNE METHODEN DER REGELUNGSTECHNIK für Studentinnen und Studenten der Luft und Raumfahrttechnik im Masterstudium an der Universität der Bundeswehr München ab dem HT Die Lehrveranstaltung umfaßt Vorlesung und Übung im 3. Trimester (V 2, SÜ 2) und liefert eine Einführung in die Beschreibung, Analyse und Synthese von linearen Mehrgrößensystemen. Mit dieser als Studienbegleittext zu Vorlesung und Übung verfaßten Schrift soll einmal die für die Fachprüfung verlangte Stoffauswahl abgegrenzt und zum anderen den Studentinnen und Studenten die Mitschrift erleichtert werden. Diese Studienhilfe ersetzt kein Lehrbuch, das zum Selbststudium geeignet wäre, vielmehr sind zum Verständnis des Stoffes Erläuterungen und Beispiele der Vorlesungsveranstaltungen sowie die aktive Mitarbeit bei den Übungen notwendig. Für die Nacharbeit und die Prüfungsvorbereitung sind die in der Literaturzusammenstellung genannten Bücher geeignet. Allen Mitarbeitern des Instituts für Steuer und Regelungstechnik, die bei den Lehrveranstaltungen mitwirken, möchte ich für die Unterstützung herzlich danken. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. Ing. K. D. Otto für die vielfältigen anregenden Diskussionen und die Übernahme dieser Lehrveranstaltung in den vergangenen beiden Jahren. Neubiberg, im Oktober 2011 F. Svaricek

3 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Literatur Formelzeichen IV VI 1 Einführung 1 2 Beschreibung und Analyse von Mehrgrößensystemen Beschreibung von Mehrgrößensystemen Beschreibung mit Hilfe der Rosenbrock-Systemmatrix Beschreibung mit Hilfe der Übertragungsmatrix Steuer- und Beobachtbarkeit Steuerbarkeitskriterium von Kalman Steuerbarkeitskriterium von Hautus Stabilisierbarkeit Steuerbarkeitsindizes Steuerbarkeitsmaße Beobachtbarkeit linearer Regelungssysteme Dualitätsprinzip Kriterien der Beobachtbarkeit Normalformen für Mehrgrößensysteme Diagonalform Regelungsnormalform Standardform nicht steuerbarer Systeme Pole und Nullstellen linearer Mehrgrößensysteme Pole und Nullstellen der Übertragungsmatrix Nullstellen der Rosenbrock Systemmatrix Eigenschaften der Nullstellen von Mehrgrößensystemen Anzahl der Nullstellen eines Mehrgrößensystems Physikalische Interpretation der Pole und Nullstellen Zusammenfassung Realisierung von Mehrgrößensystemen Entwurf von Mehrgrößenregelungen Polvorgabe für Eingrößensysteme Polvorgabe für Mehrgrößensysteme Robuste Polzuweisung Entwurf von Entkopplungsregelungen Optimale Zustandsregelung Lösung des Optimierungsproblems Eigenschaften des optimalen Regelkreises Kriterien zur Wahl der Gewichtungsmatrizen Svaricek, 2011 II

4 INHALTSVERZEICHNIS Zusammenfassung des Entwurfsverfahrens Abschließende Anmerkungen PI Mehrgrößenregelung A Mathematische Grundlagen 60 A.1 Normalrang von Polynom- und rationalen Matrizen A.2 Smithsche Normalform einer Polynommatrix A.3 Smith McMillan Normalform einer rationalen Matrix A.4 Determinantensätze B Beispiel: Blockierung der Signalübertragung 66 Svaricek, 2011 III

5 Literatur Literatur Ackermann, J Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum. Regelungstechnik Benninger, N.F Analyse und Synthese linearer Systeme mit Hilfe neuer Strukturmaße. Dissertation Karlsruhe und VDI Fortschrittberichte. Reihe 8. Nr Düsseldorf: VDI Verlag. Benninger, N.F. und J. Rivoir Ein neues konsistentes Maß zur Beurteilung der Steuerbarkeit in linearen, zeitinvarianten Systemen. Automatisierungstechnik Descusse, J. und J.M. Dion On the Structure at Infinity of Linear Square Decoupled Systems. IEEE Trans. Automat. Control Falb, P.L. und W.A. Wolovich Decoupling in the Design and Synthesis of Multivariable Control Systems. IEEE Trans. Automat. Control Gantmacher, F.R Matrizentheorie. Berlin: Springer. Kalman, R.E On the General Theory of Control Systems. Proc. of the 1st IFAC Congress. Moskau Kalman, R.E., Y.C. Ho und K.S. Narendra Controllability of Linear Dynamical Systems. Contributions to Differential Equations Luenberger, D.G Observing the State of Linear Systems. IEEE Trans. Mil. Electron Lunze, J Regelungstechnik 2. Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. Berlin: Springer Verlag. (3. Auflage). MacFarlane, A.G.J Relationships Between Recent Developments in Linear Control Theory and Classical Design Techniques. Measurement and Control , , , , MacFarlane, A.G.J. und N. Karcanias Poles and Zeros of Linear Multivariable Systems: A Survey of the Algebraic, Geometric and Complex Variable Theory. Int. J. Control Morgan, B.S The Synthesis of Linear Multivariable Systems by State Feedback. Proc. of the Joint Automatic Control Conf Nour Eldin, H.A Minimalrealisierung der Matrix Übertragungsfunktion. Regelungstechnik Svaricek, 2011 IV

6 Literatur Paige, C.C Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability. IEEE Trans. Automat. Control Patel, R.V Computation of Minimal Order State Space Realizations and Observability Indices Using Orthogonal Transformations. Int. J. Control Rosenbrock, H.H State Space and Multivariable Theory. London: Nelson. Schulz, G Regelungstechnik. Mehrgrößenregelung Digitale Regelungstechnik Fuzzy-Regelung. München: Oldenbourg Verlag. Schwarz, H Nichtlineare Regelungssysteme: Systemtheoretische Grundlagen. München: Oldenbourg Verlag. Svaricek, F Zuverlässige numerische Analyse linearer Regelungssysteme. Stuttgart: B.G. Teubner. Unbehauen, H Regelungstechnik. Band II. Braunschweig: Vieweg und Sohn (8. Auflage). Van Dooren, P The Generalized Eigenstructure Problem in Linear System Theory. IEEE Trans. Automat. Control Voigt, C. und J. Adamy Formelsammlung der Matrizenrechnung. München: Oldenbourg Verlag. Wonham, W Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. Berlin: Springer. Zurmühl, R. und S. Falk Matrizen und ihre Anwendungen. Teil 1: Grundlagen. Berlin: Springer. Svaricek, 2011 V

7 Formelzeichen Wichtige Formelzeichen und Abkürzungen Abkürzungen EN AEN EEN EAEN IN SP ÜN ÜP Entkopplungsnullstellen Ausgangs Entkopplungsnullstellen Eingangs Entkopplungsnullstellen Ein /Ausgangsentkopplungsnullstellen Invariante Nullstellen Systempole Übertragungsnullstellen Übertragungspole Formelzeichen A A A R a i b i B B R b i C(s) C C R c T j d d i d i (s) D D e e(t) f(t) g(t) F F(s) F(s) G(s) G(s) G ij (s) Fläche n n Systemmatrix n n Systemmatrix der Regelungsnormalform Polynomkoeffizienten (insbesondere Nennerpolynome) Polynomkoeffizienten (insbesondere Zählerpolynome) n m Eingangsmatrix n m Eingangsmatrix der Regelungsnormalform i te Spalte der Eingangsmatrix charakteristisches Polynom m n Ausgangsmatrix m n Ausgangsmatrix der Regelungsnormalform j te Zeile der Ausgangsmatrix Dämpfungskonstante, Differenzengrad, Rangdefekt einer Matrix Entkopplungsindizes Determinantenteiler einer Polynommatrix Dämpfungsgrad m m Durchgangsmatrix Basis der natürlichen Logarithmen Regelabweichung, Regelfehler allgemeine Zeitfunktion Gewichtsfunktion Systemmatrix des Beobachters rationale Funktion rationale Matrix Übertragungsfunktion Übertragungsmatrix Elemente der Übertragungsmatrix G(s) Svaricek, 2011 VI

8 Formelzeichen G 0 (s) Übertragungsfunktion des offenen Systems G w (s) Führungsübertragungsfunktion G z (s) Störübertragungsfunktion h(t) Übergangsfunktion (Einheitssprungantwort) h(s) Hauptnennerpolynom i, j Indizes i k (s) Elementarpolynome (Invariantenteiler) I Trägheitsmoment I Einheitsmatrix j = 1, imaginäre Einheit K m n Rückführmatrix K S Systemverstärkung m Grad des Zählerpolynoms der Üfkt., Anzahl der Ein- bzw. Ausgänge mb i Beeinflußbarkeitsmaße ms i Steuerbarkeitsmaße M(s) = M{( )} Smith McMillan Normalform von ( ) M 1 inverse Matrix zu M M + Pseudoinverse der Matrix M M H konjugiert komplexe, transponierte Matrix zu M M T transponierte Matrix zu M M adj adjungierte Matrix zu M n Grad des charakteristischen Polynoms, Systemordnung n i Nullstellen der Übertragungsfunktion n B Dimension des beobachtbaren Unterraums n EEN Anzahl der Eingangs Entkopplungsnullstellen n IN Anzahl der Invarianten Nullstellen n S Dimension der steuerbaren Unterraums N(s) Nennerpolynom der Übertragungsfunktion N i (s) Nennerpolynome der Smith McMillan Form von G(s) p i Pole der Übertragungsfunktion p i (s) Invariante Polynome (Elementarpolynome) der Rosenbrock Systemmatrix P Lösung der Matrix Riccatigleichung P(s) Rosenbrock Systemmatrix der Dimension (n + m) (n + m) Q Gewichtungsmatrix Q B Beobachtbarkeitsmatrix Q G Gramsche Steuerbarkeitsmatrix Q S Steuerbarkeitsmatrix r Beobachterrückführung R Gewichtungsmatrix, m m Rückführmatrix S(s) = S{( )} Smithsche Normalform von ( ) s Laplacevariable Svaricek, 2011 VII

9 Formelzeichen t Zeit (allgemein) t 0 Anfangszeit T Zeitkonstante T reguläre Transformationsmatrix u(t) Eingangsvektor der Dimension m U(s) Laplacetransformierte des Eingangsvektors V m m Vorfiltermatrix, n n Eigenvektormatrix w(t) Führungsvektor W(s) Laplacetransformierte der Führungsgröße x(t) Zustandsvektor der Dimension n X(s) Laplacetransformierte des Zustandsvektors y(t) Ausgangsvektor der Dimension m Y(s) Laplacetransformierte der Ausgangsgröße z(t) Störgröße Z(s) Laplacetransformierte der Störgröße; Zählerpolynom δ(t) Dirac scher Deltaimpuls, Stoßfunktion κ i Steuerbarkeitsindizes κ S Steuerbarkeitsindex λ Eigenwert ρ Normalrang von G(s) τ laufende Zeit; Verzögerungszeit ω Kreisfrequenz (allgemein) ω o Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers 1(t) Einheitssprungfunktion L{ } Symbol für Laplacetransformierte von... C n n dimensionaler Vektorraum der komplexen Zahlen R n n dimensionaler Vektorraum der rellen Zahlen Svaricek, 2011 VIII

10 1 Einführung 1 Einführung In den bisherigen Vorlesungen zur Steuer und Regelungstechnik wurden Probleme betrachtet, bei denen eine Regelgröße mit Hilfe einer Stellgröße einer Führungsgröße unter Einfluß von Störungen nachgeführt werden soll. Man spricht hier von einer Eingrößenregelung. Beispiele hierfür sind eine Raumheizung (Stellgröße: Heizleistung und Regelgröße: Temperatur), ein Gleichstrommotor (Stellgröße: Spannung und Regelgröße: Drehzahl) oder eine Füllstandsregelung (Stellgröße: Zufluß pro Zeiteinheit und Regelgröße: Füllstand). In der Vorlesung Moderne Methoden der Regelungstechnik werden Regelstrecken behandelt, bei denen mehrere Regelgrößen gleichzeitig auf vorgegebenen Sollwerten zu halten oder entlang von Solltrajektorien zu führen sind. Solche Mehrgrößenregelungssysteme sind in der Mechatronik, der Fahrzeug und Flugregelung aber auch in der Verfahrenstechnik zunehmend anzutreffen. Die Regel- und Stellgrößen sind dabei häufig stark verkoppelt (Bild 1.1), so daß die dynamischen Zusammenhänge wesentlich komplexer sind und einer gesonderten und eingehenderen Betrachtung bedürfen. Bild 1.1: Mehrgrößensystem mit internen Kopplungen Nur wenn die Kopplungen schwach sind, kann man eine Mehrgrößenregelung in separate Eingrößenregelungen zerlegen, bei denen die Kopplungen vernachlässigt bzw. als externe Störgrößen aufgefasst werden (Bild 1.2). Dann kann man jedes Entwurfsverfahren für Eingrößenregelkreise einsetzen. Bild 1.2: Entkoppeltes Mehrgrößensystem Beispiele für technische Systeme mit starken Wechselwirkungen zwischen den Regelgrößen sind folgende: Svaricek,

11 1 Einführung Dampferzeuger: Regelgrößen Druck und Temperatur. Klimaanlage: Temperatur und Luftfeuchtigkeit. Längsbewegung eines Flugzeuges: Flughöhe und Geschwindigkeit. Wie in den bisherigen Vorlesungen wird vorausgesetzt, daß auch diese Mehrgrößensysteme durch lineare, zeitinvariante Modelle hinreichend genau beschrieben werden können. Dann können Mehrgrößensysteme genauso wie Eingrößensysteme sowohl im Zeitbereich durch lineare Differentialgleichungen und Zustandsraummodelle als auch im Frequenzbereich durch Übertragungsfunktionen beschrieben werden. Der Schwerpunkt wird auf die Anwendung der von Kalman in den 50er und 60er Jahren entwickelten Zustandsraumbeschreibung gelegt. Ohne die Entwicklung dieser sogenannten Zustandsraummethoden wären viele technische Fortschritte in den letzten Jahrzehnten, speziell im Bereich der Luft- und Raumfahrttechnik, kaum möglich gewesen. Svaricek,

12 2 Beschreibung und Analyse von Mehrgrößensystemen Mehrgrößensysteme können wie Eingrößensysteme sowohl im Zeitbereich durch Differentialgleichungen als auch im Frequenzbereich durch Übertragungsfunktionen beschrieben werden. Innerhalb der Mehrgrößensysteme können folgende Systemklassen unterschieden werden: Systeme mit mehreren Ein und Ausgangsgrößen (MIMO, Multiple Input Multiple Output Systeme). Systeme mit einer Eingangsgröße und mehreren Ausgangsgrößen (SIMO, Single Input Multiple Output Systeme). Systeme mit mehreren Eingangsgrößen und einer Ausgangsgröße (MISO, Multiple Input Single Output Systeme). Im weiteren werden Mehrgrößensysteme mit einer gleichen Anzahl von Ein und Ausgangsgrößen betrachtet. 2.1 Beschreibung von Mehrgrößensystemen Der Übergang von den Zustandsgleichungen für Eingrößensysteme (Gleichung 4.1 in Skript SRT) zu den Zustandsgleichungen für Mehrgrößensysteme ist formal sehr einfach. Ein Mehrgrößensystem mit einer gleichen Anzahl von Ein und Ausgangsgrößen kann mit Hilfe der linearen, zeitinvarianten Zustandsgleichungen ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.1) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.2) mit dem Zustandsvektor x(t) R n, dem Eingangs(größen)vektor u(t) R m und dem Ausgangs(größen)vektor y(t) R m beschrieben werden (Bild 2.1). Die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B, die Ausgangsmatrix C und die Durchgangsmatrix D haben die Dimensionen (n n),(n m),(m n) und (m m). H D u(t) _x(t) y(t) R x(t) H H h H H A B A A H C H h H Bild 2.1: Blockschaltbild der Zustandsraumbeschreibung eines Mehrgrößensystems Im weiteren wird vorausgesetzt, daß B und C den Rang m besitzen, das heißt tatsächlich m linear unabhängige Meß und m unabhängige Stellgrößen existieren. Svaricek,

13 Hätte beispielsweise die Matrix C einen kleineren Rang als m, so könnte mindestens eine Ausgangsgröße aus den anderen Ausgangsgrößen berechnet werden und wäre somit überflüssig. Bei realen technischen Regelstrecken wirken die Eingangssignale u(t) meist nicht direkt auf den Ausgangsvektor y(t) ein, so daß, wenn nichts anderes gesagt ist, D = 0 vorausgesetzt wird Beschreibung mit Hilfe der Rosenbrock-Systemmatrix Nach Anwendung der Laplace Transformation 1 auf die Zustandsgleichungen (2.1, 2.2) können diese für D = 0 und einen Anfangszustand x(t 0 ) = x 0 (2.3) in der Form [ x0 Y(s) ] = [ si A B C 0 ] [ X(s) U(s) ] (2.4) dargestellt werden. In dieser Darstellung wird die (n+m) (n+m) Polynommatrix [ ] si A B P(s) = (2.5) C 0 als Systemmatrix nach Rosenbrock bezeichnet. Diese Rosenbrock Systemmatrix ist eine Polynommatrix und beschreibt, genauso wie ein Zustandsraummodell, auch die innere Struktur eines Systems. Dies wird an der Tatsache deutlich, daß die Eigenbewegung des Systems mit Hilfe der Gl. (2.4) berechnet werden kann. Hierzu ersetzt man in der zweiten Gleichung Y(s) = CX(s) (2.6) den laplacetransformierten Zustandsvektor X(s) mit Hilfe der ersten Gleichung (U(s) = 0) durch X(s) = (si A) 1 x 0 (2.7) dann erhält man Y(s) = C(sI A) 1 x 0. (2.8) Mit C = I und bei gegebenen x 0 kann man dann mit Hilfe von (2.8) die Eigenbewegung des Systems berechnen. 1 Die Laplace-Transformierte einer Zeitfunktion wird im weiteren mit dem entsprechenden Großbuchstaben bezeichnet. Svaricek,

14 2.1.2 Beschreibung mit Hilfe der Übertragungsmatrix Setzt man in Gl. (2.4) den Anfangszustand x 0 = 0 (2.9) ein und eliminiert dann den Zustandsvektor X(s), so gelangt man zur Beziehung Y(s) = G(s)U(s) (2.10) mit der m m Übertragungsmatrix G(s) = C(sI A) 1 B. (2.11) Für ein System mit m Ein und Ausgangsgrößen ist G(s) eine(m m) Matrix. Ausführlich geschrieben erhält man für die Frequenzbereichsdarstellung (2.11) eines Mehrgrößensystems: Y 1 (s) G 11 (s) G 12 (s) G 1m (s) U 1 (s) Y 2 (s) G 21 (s) G 22 (s) G 2m (s) U 2 (s). Y m (s) =... G m1 (s) G m2 (s) G mm (s). U m (s). (2.12) Die Übertragungsmatrix G(s) ist eine Matrix, deren Elemente echt gebrochen rationale Funktionen in s sind, und beschreibt im Gegensatz zur Rosenbrock Systemmatrix (2.5) lediglich das Ein /Ausgangsverhalten des Systems (Bild 2.2). U(s) G(s) Y(s) Bild 2.2: Ein /Ausgangsdarstellung eines linearen Mehrgrößensystems Dabei gibt das Element G ij (s) der Übertragungsmatrix G(s) an, wie der j te Eingang U j (s) auf den i ten Ausgang Y i (s) einwirkt. Aus der Gl. (2.11) folgt, daß diese Elemente wie folgt berechnet werden können: G ij (s) = c T i (si A) 1 b j (2.13) = ct i (si A) adj b j det(si A). (2.14) Offensichtlich erscheint die Determinate von (si A) im Nenner jedes Elementes G ij (s). Allerdings haben bei einem System n ter Ordnung häufig nicht alle Elemente G ij (s) den größtmöglichen Nennergrad n, da sich einige Linearfaktoren von det(si A) gegen entsprechende Linearfaktoren im Zähler kürzen lassen. Die Systemordnung n muß daher nicht mit dem größten Nennergrad der Elemente G ij (s) übereinstimmen. Das bedeutet, daß die Systemordnung n größer sein kann als der größte Nennergrad der Elemente von G(s). Svaricek,

15 2.2 Steuer- und Beobachtbarkeit Die Regelungstechnik kann man als die Wissenschaft von der gezielten Beeinflussung dynamischer Prozesse und von der Anwendung der hierzu entwickelten Methoden zur Systembeschreibung und untersuchung bezeichnen. Eine der grundlegenden Fragen der Regelungstechnik ist daher, ob sich ein vorgegebener dynamischer Prozeß überhaupt gezielt beeinflussen, d.h. steuern läßt. Die Begriffe Steuer und Beobachtbarkeit sind auch in der von Kalman im Jahre 1960 eingeführten Zustandsraummethodik von grundlegender Bedeutung. Im Gegensatz zu einigen früheren Zustandsraumansätzen, die als reine Reinterpretationen klassischer Frequenzbereichskonzepte angesehen werden können, geht erst der Ansatz von Kalman mit dem Begriffspaar der Steuer und Beobachtbarkeit deutlich über den Frequenzbereichsansatz hinaus. Die Steuerbarkeit eines linearen Systems ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) kann dabei wie folgt definiert werden: Definition 2.1 Ein dynamisches System (A, B) heißt vollständig zustandssteuerbar, wenn der Zustandsvektor x(t) durch einen geeigneten Steuervektor u(t) in einer endlichen Zeit T von jedem beliebigen Anfangszustand x(0) = x 0 in den Nullzustand x(t) = 0 überführt werden kann. Diese Eigenschaft der Steuerbarkeit ist eine notwendige Voraussetzung für viele Reglerentwurfsverfahren und somit auch bei praktischen Aufgabenstellungen von entscheidender Bedeutung. Eng verwandt mit der Steuerbarkeit ist der Begriff der Erreichbarkeit: Definition 2.2 Ein dynamisches System (A, B) heißt vollständig erreichbar, wenn der Zustandsvektor x(t) durch einen geeigneten Steuervektor u(t) in einer endlichen Zeit T aus dem Nullzustand x(0) = 0 in jeden gewünschten Endzustand x(t) überführt werden kann. Im Vergleich zur Steuerbarkeit stellt die Erreichbarkeit höhere Anforderungen an die Eigenschaften eines dynamischen Systems, da jedes stabile, nicht gestörte System nach einer entsprechenden Zeit immer von selbst in den Nullzustand zurückkehrt. So sind die Erreichbarkeit und die Steuerbarkeit auch nur bei der in dieser Vorlesung betrachteten Klasse der linearen, kontinuierlichen, zeitinvarianten Systeme äquivalente Eigenschaften. Bereits bei linearen Systemen die zeitvariabel oder zeitdiskret sind, muß zwischen der Erreichbarkeit und der Steuerbarkeit unterschieden werden. Dies gilt natürlich erst recht bei allen nichtlinearen Systemen. Da es in der Literatur zur linearen Systemtheorie üblich ist, die für lineare, zeitinvariante Systeme äquivalenten Eigenschaften Steuer und Erreichbarkeit unter dem Oberbegriff Steuerbarkeit zusammenzufassen, wird im weiteren auch nur noch die Steuerbarkeit betrachtet. In der Praxis stellt allerdings häufig nicht die Erreichung eines bestimmten Systemzustandes das primäre Ziel der Regelungsaufgabe dar. Vielmehr ist es erwünscht, nur den Svaricek,

16 Systemausgängen vorgegebene Werte (oder Funktionen) zu erteilen. In diesem Zusammenhang spricht man dann von Ausgangssteuerbarkeit und es gilt analog zur Zustandssteuerbarkeit: Definition 2.3 Ein dynamisches System ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t) heißt vollständig ausgangssteuerbar, wenn der Ausgangsvektor y(t) durch einen geeigneten Steuervektor u(t) in einer endlichen Zeit T von einem beliebigen Anfangswert y(0) = y 0 in irgendeinen Endwert y(t) überführt werden kann. Zur Überprüfung der Steuerbarkeit stehen in der Praxis eine Reihe verschiedener Kriterien zur Verfügung, die für eine zuverlässige numerische Analyse allerdings unterschiedlich gut geeignet sind. Auch mit Hilfe der numerisch stabil umsetzbaren Kriterien kann nicht eindeutig festgestellt werden, wann ein System nicht vollständig steuerbar ist. Aufgrund der beschränkten Genauigkeit der Rechner wird bestenfalls ermittelt, daß ein System (A,B) sehr nahe an einem nicht steuerbaren System (A+δA,B+δB) liegt Steuerbarkeitskriterium von Kalman Neben dem Begriff der Steuerbarkeit geht auch das erste und bekannteste Kriterium zu ihrer Überprüfung auf Kalman (1960) zurück. Satz 2.1 Ein dynamisches System (A, B) ist genau dann vollständig zustandssteuerbar, wenn für die Steuerbarkeitsmatrix Q S gilt: Rang Q S = Rang [B,AB,...,A n 1 B] = n. (2.15) Für nicht vollständig steuerbare Systeme, d.h. Rang Q S < n, gibt der Rang der Steuerbarkeitsmatrix die Dimension n S des vollständig steuerbaren Unterraumes an. Man beachte, mit Hilfe dieses Kriteriums kann lediglich eine Ja/Nein Aussage über die Steuerbarkeit eines Systems getroffen werden. Darüber hinaus liefert es keine weiteren Informationen bezüglich der Frage, welche der Eigenbewegungen des Systems (Eigenwerte der Matrix A) gegebenenfalls nicht steuerbar sind Steuerbarkeitskriterium von Hautus Nach Hautus ist ein steuerbarer Eigenwert wie folgt definiert: Definition 2.4 Ein Eigenwert λ der Systemmatrix A wird steuerbarer Eigenwert genannt, wenn gilt. Rang [λi A,B] = n (2.16) Svaricek,

17 Mit Hilfe dieses Konzeptes ergibt sich das folgende einfache Kriterium zur Überprüfung der Steuerbarkeit eines Systems (A, B): Satz 2.2 Ein dynamisches System (A, B) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn Rang [λ i I A,B] = n (2.17) für alle Eigenwerte λ i, i = 1,...,n der Matrix A gilt. Dieses zum Kalmankriterium äquivalente Kriterium oftmals auch als Hautus Kriterium bezeichnet erfordert bei Kenntnis der Eigenwerte der Systemmatrix A eine n malige Ranguntersuchung (für durchweg verschiedene Eigenwerte) der Matrix [ λi A, B]. Eine Verletzung der Bedingung (2.17) signalisiert dann, daß der entsprechnde Eigenwert nicht steuerbar ist und somit auch das ganze System nicht vollständig steuerbar ist. Bei durchweg verschiedenen Eigenwerten kann die Dimension des steuerbaren Unterraumes nach Beendigung der Ranguntersuchungen leicht angegeben werden. Die Dimension des steuerbaren Unterraumes ist dann identisch mit der Anzahl der steuerbaren Eigenwerte, d.h. der Anzahl der Eigenwerte, die die Bedingung (2.17) erfüllen. Für Systeme mit mehrfachen Eigenwerten liefert das Hautus Kriterium allerdings keine zuverlässigen Aussagen über die Dimension dieses Unterraumes. Zur Verdeutlichung dieser Problematik dient das folgende Beispiel. Beispiel 2.1 Gegebensei dasfolgende System (A,b) mit einem dreifachen Eigenwert bei λ = 1: A = , b = Gesucht wird die Dimension des steuerbaren Unterraumes. Die Anwendung des Hautus Kriteriums (Satz 2.2) liefert: Rang [λi A,b] λ= 1 = Rang 1 1 α α = 2 < n α. Dieses Ergebnis könnte zu dem Schluß verleiten, daß das System unabhängig von α immer nur einen nicht steuerbaren Eigenwert besitzt. Die Auswertung der Kalman Bedingung (2.15) Rang Q S = Rang [b,ab,a 2 b] = Rang (1+α) 1+α+α α α α Svaricek,

18 liefert allerdings, daß der Rang der Steuerbarkeitsmatrix nicht von α unabhängig ist. Für beliebige α Werte sind die 1. und die 3. Zeile linear abhängig, und der Rangvon Q S ergibt sich zu 2. Ein zusätzlicher Rangdefekt tritt offensichtlich für α = 0 auf (alle 3 Zeilen sind dann linear abhängig). Aus Rang Q S = 1 folgt dann, daß zwei Eigenwerte nicht steuerbar sind und die Dimension des steuerbaren Unterraumes sich somit auf n S = 1 reduziert hat Stabilisierbarkeit Wenn ein lineares System (A,B) vollständig steuerbar ist, dann können die Eigenwerte der Systemmatrix A durch eine proportionale Zustandsrückführung beliebig verändert werden (vgl. Abschnitt 3). Ist ein Eigenwert nicht steuerbar, so kann dieser Eigenwert durch eine Zustandsrückführung nicht mehr beeinflußt werden. Das bedeutet, daß ein instabiles System durch einen Zustandsregler nur dann stabilisiert werden kann, wenn alle instabilen Eigenwerte steuerbar sind. Bei Systemen, die nicht vollständig steuerbar sind, ist daher die Frage von Interesse Ob zumindest alle instabile Eigenwerte steuerbar sind? Dies führt auf den Begriff der Stabilisierbarkeit: Definition 2.5 Ein nicht vollständig steuerbares System (A,B) nennt man stabilisierbar, wenn die Realteile der nicht steuerbaren Eigenwerte kleiner als Null sind, wenn diese Eigenwerte also asymptotisch stabil sind und daher in der linken λ Ebene liegen. Mit Hilfe des Hautus Kriteriums kann die Stabilisierbarkeit leicht überprüft werden: Satz 2.3 Ein lineares System(A, B) ist genau dann stabilisierbar, wenn das Hautus-Kriterium Rang [λ i I A B] = n (2.18) für alle instabilen Eigenwerte der Systemmatrix A (Re{λ i } 0) erfüllt ist. Eine Regelstrecke ist also stabilisierbar, wenn sie entweder bereits asymptotisch stabil oder vollständig steuerbar ist, oder wenn zumindest alle instabilen Eigenwerte steuerbar sind. Die bisher besprochenen Kriterien zur Überprüfung der Steuerbarkeit ermöglichen nur qualitative Aussagen (Ja/Nein Entscheidung), ob ein System oder eine entsprechende Eigenbewegung steuerbar ist oder nicht. Für praktische Anwendungen ist allerdings auch die Frage nach der Güte der Steuerbarkeit von Interesse Steuerbarkeitsindizes Als ein Maß für den Regelbarkeitsaufwand kann bei vollständig steuerbaren Systemen der Steuerbarkeitsindex angesehen werden: Svaricek,

19 Definition 2.6 Der Steuerbarkeitsindex κ S eines dynamischen Systems ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) ist die kleinste Zahl κ S, für die gilt. Rang Q S = Rang [B, AB,..., A κ S 1 B] = n (2.19) Je größer dieser Index ist, um so komplizierter müssen Regler aufgebaut sein, wenn das Systemverhalten beliebig verändert werden soll. Beispielsweise kann für ein vollständig steuer und beobachtbares System (A, B, C) immer ein dynamischer Regler einer Ordnung kleiner oder gleich κ S 1 gefunden werden (Wonham 1974), der die Pole des geschlossenen Systems gewünscht plaziert. Der Steuerbarkeitsindex κ S ist dabei der größte einer Menge sogenannter Steuerbarkeitsindizes {κ 1,κ 2,...,κ m }, die man erhält, wenn die Steuerungsanforderungen möglichst gleichmäßig auf alle m Eingänge eines Systems aufgeteilt werden. Hierzu muß man bedenken, daß ein System (A,B) mit mehr als einem Eingang eine Steuerbarkeitsmatrix Q S = [B, AB,..., A n 1 B] (2.20) besitzt, die mehr Spalten als Zeilen hat. Von diesen n mspalten A i b j, (i = 0,1,2,...,n 1; j = 1, 2,..., m) werden zur Erfüllung der Steuerbarkeitsbedingung Rang Q S = n (2.21) nur n linear unabhängige Spalten benötigt, so daß eine gewisse Freiheit bei der Auswahl dieser n Spalten gegeben ist. Eine mögliche Strategie zur Auswahl der n Spalten ist die folgende: Seien b 1,b 2,...,b m die Spalten der Eingangsmatrix B, so kanndie Matrix (2.20) in der Form Q S = [b 1,...,b m, Ab 1,...,Ab m,..., A n 1 b 1,...,A n 1 b m ] (2.22) geschrieben werden. Sucht man von links beginnend die ersten n linear unabhängigen Vektoren heraus, so erhält man m Vektorketten b 1,Ab 1,...,A κ 1 1 b 1 ; b 2,Ab 2,..., A κ 2 1 b 2 ;... ; b m,ab m,...,a κm 1 b m. Die einzelnen Vektorketten b i,ab i,...,a κ i 1 b i sind dabei lückenlos, da, sobald ein Vektor A k b i von seinen Vorgängern linear abhängig ist, d.h. ein Vektor q existiert, der A k b i = [B, AB,..., A k 1 B, A k b 1,...,A k b i 1 ]q (2.23) erfüllt, alle weiteren Spalten A k+1 b i,a k+2 b i,... ebenfalls von ihren Vorgängern linear abhängig sind. Multipliziert man die Gleichung (2.23) von links mit der Matrix A A k+1 b i = [AB, A 2 B,..., A k B, A k+1 b 1,...,A k+1 b i 1 ]q, (2.24) so sieht man, daß diese Aussage richtig ist. Die bei diesem Auswahlvorgang entstehenden Längen κ i der Vektorketten sind die Steuerbarkeitsindizes eines Systems (A,B): Svaricek,

20 Definition 2.7 Der Steuerbarkeitsindex der Spalte b i in B = [b 1,b 2,...,b m ] ist die kleinste ganze Zahl κ i, so daß A κ i b i von seinen Vorgängern in [B, AB,...] linear abhängig ist. Ist ein System (A, B) nicht vollständig steuerbar, so gibt die Summe der Steuerbarkeitsindizes die Dimension n S des steuerbaren Unterraumes an: n S = m κ i. i=1 (2.25) Die Reihenfolge der Steuerbarkeitsindizes ist gegenüber einer Änderung der Numerierung der Eingangsgrößen nicht invariant. Betrachtet man jedoch die geordnete Liste 2 κ i1 κ i2 κ im (2.26) so ist diese sowohl gegenüber regulären Transformationen des Eingangs und Zustandsvektors (A, B) (A, BV) (2.27) (A, B) (T 1 AT, T 1 B) (2.28) als auch gegenüber einer Zustandsrückführung (A, B) (A BK, B) (2.29) invariant. Die in diesen Eigenschaften auftretenden Transformationen illustriert das Bild 2.3. Die Matrix K kann hierbei im Gegensatz zu den Matrizen V und T, die als regulär vorausgesetzt werden, beliebig sein. w u _x H V H h H B H h H A A T H R H T 1 x A H K H Bild 2.3: Invarianzeigenschaften der Kroneckerindizes Die Elemente der geordneten Liste der Steuerbarkeitsindizes bezeichnet man auch als Kroneckerindizes. 2 Eine Liste kann im Gegensatz zu einer Menge mehrere gleiche Elemente enthalten. Svaricek,

21 2.2.5 Steuerbarkeitsmaße Bereits 1963 beschäftigten sich Kalman, Ho und Narendra mit der Fragestellung: Wie hoch ist der Energieaufwand, um ein System von einem Punkt im Zustandsraum in einen anderen zu überführen? Dazu wurden von einer Reihe von Autoren Maße zur quantitativen Beurteilung der Steuerbarkeit eines Systems vorgeschlagen. Deren konkrete Formulierung in der Form von Kennzahlen liefert z.b. Informationen über die Bedeutung der einzelnen Stellgrößen und ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn die Struktur des zu regelnden Systems nicht fest vorgegeben ist, z.b. bei flexiblen Raumfahrtstrukturen oder bei chemischen Prozessen. Einige dieser Steuerbarkeitsmaße wurden mit Hilfe der Mindestenergie W m (t 1,t 0,x 0 ) = t 1 t 0 u T m(τ)u m (τ)dτ (2.30) definiert, die notwendig ist, um den Zustand x(t 0 ) = x 0 in den Ursprung x(t 1 ) = 0 zu überführen. Ist das System vollständig steuerbar, so läßt sich für diese kleinstmögliche Energie folgende Beziehung angeben: W m (t 1,t 0,x 0 ) = x T 0Q 1 G (t 1,t 0 )x 0, (2.31) mit der Gramschen Steuerbarkeitsmatrix Q G (t 1,t 0 ) = t 1 t 0 e A(t 0 τ) BB T e AT (t 0 τ) dτ. (2.32) Diese Gramsche Steuerbarkeitsmatrix ist für eine beliebige Endzeit t 1 > t 0 genau dann positiv definit und somit regulär, wenn das Kalmankriterium (2.15) erfüllt ist. In den letzten 30 Jahren wurden eine Vielzahl von Vorschlägen für Steuerbarkeitsmaße gemacht. Von besonderer Bedeutung sind Maßzahlen, die konsistent mit dem Kalmanschen Steuerbarkeitsbegriff sind. Definition 2.8 Ein Steuerbarkeitsmaß heißt konsistent mit dem von Kalman eingeführten Steuerbarkeitsbegriff, wenn gilt: Ist das System (A, B) vollständig steuerbar, dann müssen die Maßzahlen für sämtliche Systemvariablen größer Null sein. Ist das System nicht vollständig steuerbar, so muß die Steuerbarkeitsmaßzahl für zumindest eine Systemvariable den Wert Null annehmen. Erfüllt ist diese Konsistenzbedingung bei dem von Benninger und Rivoir (1986) vorgestellten Steuerbarkeitsmaß, das quantitative Aussagen über die Steuerbarkeit der einzelnen physikalischen Systemvariablen ermöglicht und leicht physikalisch interpretiert werden kann. Svaricek,

22 Um die Steuerenergie als Vergleichsgrundlage heranziehen zu können, wird für die Definition eines Steuerbarkeitsmaßes die Mindestenergie W m (2.30) betrachtet, die zur Überführung eines gegebenen Anfangszustandes x 0 nach 0 erforderlich ist. Zur Festlegung von konkreten Zahlenwerten zur Beurteilung der Steuerbarkeit einer Zustandsvariablen wird eine Energie W m = 1 vorgegeben und die zugehörigen Auslenkungen der Zustandsgrößen untersucht. Gute Steuerbarkeit einer Zustandsvariablen bedeutet dann, daß zu einer vorgegebenen Steuerenergie eine große Auslenkung gehört. Sei (Q G ) ff das f te Hauptdiagonalelement von Q G, dann kann ein konsistentes Steuerbarkeitsmaß ms f für die f te Zustandsvariable mit Hilfe der Beziehung ms f = [(Q 1 G ) ff] 1 2 (2.33) berechnet werden. Das Steuerbarkeitsmaß ms f gibt dann die größtmögliche Auslenkung auf der x f Achse an. Bedingt durch die Tatsache, daß die Gramsche Steuerbarkeitsmatrix (2.32) für nicht steuerbare Systeme singulär (det Q G = 0) wird und somit nicht invertierbar ist, muß für nicht steuerbare Systeme eine weitergehende Betrachtung durchgeführt werden. Im Gegensatz zur Inversen einer Matrix, die nur für reguläre Matrizen definiert ist, existiert die sogenannte Pseudoinverse (Voigt und Adamy 2007) sowohl für rechteckige als auch für quadratische Matrizen mit verschwindender Determinante. Wenn die Pseudoinverse Q + G der Gramschen Steuerbarkeitsmatrix (2.32) nun die Bedingung Q G Q + G e f = e f (2.34) erfüllt, wobei e f der f te Einheitsvektor ist, dann wird für die Zustandsvariable x f als Maßzahl ms f = [(Q + G ) ff] 1 2 (2.35) definiert. IstdieBedingung(2.34)nichterfüllt, sowirdms f zunullgesetzt. DieseBerechnungsvorschrift gilt dabei sowohl für vollständig steuerbare, als auch für nicht vollständig steuerbare Systeme, da die Pseudoinverse einer invertierbaren Matrix mit deren Inversen identisch ist, so daß Gl. (2.34) für beliebige Einheitsvektoren immer erfüllt ist. Ein freier Parameter bei der Berechnung dieser Maßzahl ist die Steuerzeit T = t 1 t 0. Durch die Wahl von T können die Dynamikanteile eines Systems verschieden gewichtet werden, da offensichtlich schnelle stabile Anteile eine Überführung von x 0 nach x 1 = 0 begünstigen. Die Untersuchungen von Benninger (1987) haben ergeben, daß die maßgebliche Zeitkonstante des Systems für T eine sinnvolle Wahl darstellt. Svaricek,

23 2.3 Beobachtbarkeit linearer Regelungssysteme Zusammen mit der Steuerbarkeit führte Kalman 1960 auch den Begriff Beobachtbarkeit ein, der mit dem im Abschnitt 2.2 ausführlich behandelten Steuerbarkeitsbegriff eng verknüpft ist. Soll ein Zustandsvektor x 0 in endlicher Zeit in einen gewünschten Endzustand überführt werden, so wird der entsprechende Steuervektor u(t) sicherlich vom jeweiligen Anfangszustand x 0 abhängen. Das bedeutet, im konkreten Fall muß x 0 bekannt sein, um u(t) generieren zu können. Nur in seltenen Fällen werden mit vertretbarem Aufwand allerdings alle Zustände einer Messung zugänglich sein. Vielmehr ist man meist darauf angewiesen, den Anfangszustand x 0 in endlicher Zeit aus den Meßsignalen y(t) zu rekonstruieren. Ist dies mit Hilfe entsprechender dynamischer Systeme (Beobachter) möglich, so nennt man ein System beobachtbar: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) (2.36) Definition 2.9 Ein dynamisches System (2.36) heißt vollständig beobachtbar, wenn für jeden Anfangszustand x(0) = x 0 eine endliche Zeit T so existiert, daß der Zustandsvektor x 0 eindeutig aus der Kenntnis der Eingangsgrößen u(t) und der Ausgangsgrößen y(t) im Zeitintervall T ermittelt werden kann. Der Gegenstand des folgenden Abschnittes ist für die Beobachtbarkeitsanalyse im allgemeinen und in stärkerem Maße noch für deren numerische Umsetzung von elementarer Bedeutung Dualitätsprinzip Ein dynamisches System x(t) = A T x(t)+c T ũ(t) ỹ(t) = B T x(t) (2.37) ist das zu (2.36) duale System. Die Bedeutung des dualen Systems (A T,C T,B T ) für die Systemanalyse wird anhand des folgenden Satzes deutlich. Satz 2.4 Ein dynamisches System (2.36) ist vollständig zustandssteuerbar (beobachtbar), wenn sein duales System (2.37) vollständig beobachtbar (zustandssteuerbar) ist. Das bedeutet: Sind Verfahren, Algorithmen und Rechnerprogramme zur Steuerbarkeitsprüfung vorhanden, so kann mit diesen sofort auch die Beobachtbarkeit überprüft werden, indem man lediglich A := A T und B := C T setzt. Der Vollständigkeit halber werden daher im folgenden Abschnitt die speziellen Beobachtbarkeitskriterien nur kurz zusammengestellt. Svaricek,

24 2.3.2 Kriterien der Beobachtbarkeit Das älteste und bekannteste Kriterium zur Überprüfung der Beobachtbarkeit ist wieder das von Kalman: Satz 2.5 Ein dynamisches System (2.36) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn für die Beobachtbarkeitsmatrix Q B gilt: Rang Q B = Rang [C T,(CA) T,...,(CA n 1 ) T ] = n. (2.38) Ist das betrachtete System nicht vollständig beobachtbar, so gibt der Rang n B von Q B die Dimension des vollständig beobachtbaren Unterraumes an. Wenn nicht nur eine reine Ja/Nein Aussage von Interesse ist, können mit Hilfe des entsprechenden Hautus Kriteriums die nicht beobachtbaren Eigenwerte der Matrix A ermittelt werden. Satz 2.6 Ein dynamisches System (2.36) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn Rang [ λi A C ] = n (2.39) für alle Eigenwerte λ der Matrix A erfüllt ist. Die nicht beobachtbaren Eigenwerte der Matrix A kürzen sich dann bei der Bildung der Übertragungsmatrix G(s) = C(sI A) 1 B gegen Nullstellen heraus. Eine genaue Verfolgung der auftretenden Kürzungen bei der Bildung der Übertragungsmatrix liefert bei einer Berechnung von Hand eine weitere Möglichkeit, um auch bei mehrfachen Eigenwerten genaue Aussagen über die Anzahl der nicht steuer und/oder beobachtbaren Eigenwerte zu erhalten. Ein System (A,B) ist dann und nur dann vollständig steuerbar, wenn bei der Bildung der rationalen Matrix G S (s) = (si A) 1 B = (si A) adj det (si A) B (2.40) keine Pol /Nullstellenkürzungen auftreten. Analog hierzu gilt, daß ein System(2.36) dann und nur dann vollständig beobachtbar ist, wenn die Pole und Nullstellen der rationalen Matrix G B (s) = C(sI A) 1 = C (si A) adj det (si A) sich nicht kürzen. Ein einfaches Beispiel wird diese Zusammenhänge verdeutlichen. (2.41) Svaricek,

25 Beispiel 2.2 Betrachtet wird ein Eingrößensystem mit folgenden Systemmatrizen: A = , b = , c = Die Eigenwerte λ i, i = 1,2,3,4 können an der Dreiecksform der Systemmatrix A sofort zu {λ} = { 1, 1, 1, 1} abgelesen werden. Das System besitzt also einen doppelten Eigenwert bei λ = +1 und bei λ = 1. Nach der Bildung der Adjungierten von (si A) ergibt sich G S (s) zu: G S (s) = 1 det (si A) (si A) adjb = 1 (s+1) 2 (s 1) 2 = 1 (s+1) 2 (s 1) 2 = 1 (s+1)(s 1) (s+1)(s 1) (s+1) 2 (s 1) (s+1) 2 (s 1) 0 (s+1)(s 1) (s+1)(s 1) 2 (s+1)(s 1) 2 (s+1) 2 (s 1) (s+1) 2 (s 1) (s+1)(s 1) (s 1) (s+1) (s+1). 1 Da sich sowohl ein Pol bei s = +1 als auch einer bei s = 1 gegen eine Nullstelle herausgekürzt hat, sind die entsprechenden beiden Eigenbewegungen der Matrix A nicht steuerbar Svaricek,

26 Die Bildung von G B (s) = 1 det (si A) ct (si A) adj = 1 (s+1) 2 (s 1) 2 [ (s+1)(s 1) 2 (s+1) 2 (s 1) = 1 (s+1)(s 1) 2(s+1)(s 1) 2(s+1)(s 1) 2] [ ] (s 1) (s+1) 2 2(s 1) liefert, daß aufgrund der Kürzungen auch jeweils ein Eigenwert bei λ = +1 und λ = 1 nicht beobachtbar ist. Die Frage, ob dieses System überhaupt steuer und beobachtbare Eigenwerte besitzt, muß nach der Bestimmung der Übertragungsfunktion G(s) = c T (si A) 1 b = G B (s)b = 1 (s+1)(s 1) = (s+1)+(s 1) 2 (s+1)(s 1) = [ ] (s 1) (s+1) 2 2(s 1) 2(s 1) (s+1)(s 1) = 2 s+1 mit Ja beantwortet werden, da die Übertragungsfunktion G(s) einen Pol bei s = 1 hat. Der andere Pol (s = +1) von G B (s), der zu einem beobachtbaren Eigenwert bei λ = +1 korrespondiert, hat sich bei der Bestimmung der Übertragungsfunktion herausgekürzt, so daß dieser beobachtbare Eigenwert nicht steuerbar ist. Die vorhergehende Berechnung von G S (s) hatte gezeigt, daß noch ein weiterer Eigenwert bei λ = 1 nicht steuerbar ist. Dieser Eigenwert der Matrix A war offenbar bereits bei der Bildung von G B (s) herausgefallen und ist daher sowohl nicht steuer als auch nicht beobachtbar. Zusammengefaßt bedeutet dies: Das betrachtete Eingrößensystem 4 ter Ordnung besitzt einen Eigenwert bei λ = 1, der sowohl steuer als auch beobachtbar ist, einen Eigenwert bei λ = 1, der weder steuer noch beobachtbar ist, einen Eigenwert bei λ = +1, der steuer aber nicht beobachtbar ist und einen Eigenwert bei λ = +1, der nicht steuer aber beobachtbar ist Svaricek,

27 2.4 Normalformen für Mehrgrößensysteme Diagonalform Bei durchweg verschiedenen Eigenwerten kann jedes Zustandsraummodell (A, B, C) auf eine Diagonalform mit einer diagonalen Systemmatrix transformiert werden. Hierzu transformiert man den Zustandsvektor x(t) mit einer regulären (n n) Matrix V x(t) = V 1 x(t), (2.42) die man aus den n Eigenvektoren v i der Systemmatrix A bildet: V = (v 1 v 2... v n ) mit Av i = λ i v i. (2.43) Die transformierten Systemgleichungen (2.36) lauten dann λ 1 0 b T 1 λ 2 x(t) =... x(t)+.. u(t), 0 λ n wobei y(t) = [ c 1 c c n ] x(t). b T n (2.44) diag λ i = V 1 AV (2.45) B = V 1 B (2.46) C = CV (2.47) x 0 = V 1 x 0 (2.48) gilt. Ein solches System ist dann vollständig steuerbar, wenn λ i λ j für i,j = 1,2,...,n und alle b i 0 und vollständig beobachtbar, wenn mit λ i λ j alle c i 0 sind Regelungsnormalform Mit Hilfe der Steuerbarkeitsindizes κ 1,κ 2,...,κ m kann für vollständig steuerbare Mehrgrößensysteme eine Regelungsnormalform angegeben werden, die 1967 erstmalig von Luenberger beschrieben wurde und als eine Verallgemeinerung der SISO Regelungsnormalform angesehen werden kann. Hierzu bildet man die folgende n n Matrix: Q S = [b 1, Ab 1,...,A κ 1 1 b 1,..., b m, Ab m,...,a κm 1 b m ]. (2.49) Svaricek,

28 Aus der Inversen dieser Matrix wählt man nun m Zeilen wie folgt aus: q 1 S 1 = [0} 0 {{ } ] Q S κ 1 q S 2 = [ ] q S m }{{} κ 1 +κ 2. = [ ] Q 1 S Q 1 S Aus diesen Vektoren wird dann folgende Transformationsmatrix gebildet: T R = q S 1 q S 1 A. q S 1 A κ 1 1. q S m q S m A. q S m A κm 1. (2.50) (2.51) Bei Verwendung dieser Transformationsmatrix T R nehmen die Matrizen A R = T R AT 1 R und B R = T R B die folgende Struktur an: A R = A R11. A R1m.... und B R = B R1. (2.52) A Rm1 A Rmm B Rm Dabei sind die Matrizen A Rii auf der Diagonalen in Frobenius kanonischer Form A Rii = und haben die Dimension κ i κ i, i = 1,...,m. Die anderen Matrizen A Rij haben die Form A Rij = (2.53) (2.54) Svaricek,

29 und die Dimension κ i κ j, i,j = 1,...,m,i j. Die Matrizen B Ri in B R haben die Dimension κ i m und die spezielle Form B Ri = , (2.55) wobei die 1 in der letzten Zeile in der i ten Spalte steht. Die Matrix C R = CT R des transformierten Systems ẋ(t) = A R x(t)+b R u(t) y(t) = C R x(t) (2.56) hat keine spezielle Form Standardform nicht steuerbarer Systeme Wenn ein System (A,B) nicht vollständig steuerbar ist, dann kann es mit Hilfe einer geeigneten Ähnlichkeitstransformationen immer in einen vollständig steuerbaren und einen nicht vollständig steuerbaren Teil zerlegt werden: Satz 2.7 Wenn ein dynamisches System (A, B) nicht vollständig steuerbar ist, dann existiert eine Transformationsmatrix T, so daß die transformierten Matrizen à = T 1 AT und B = T 1 B (2.57) diese Gestalt besitzen: [ Ã11 à 12 ] [ B1 ] à = 0 à 22 und B = 0, (2.58) wobei die Matrix Ã22 eine quadratische Matrix der Dimension (n ρ) mit (n ρ) > 0 und die Matrix B 1 eine ρ m Matrix ist. Das Teilsystem (Ã11, B1 ) ist dann vollständig steuerbar und das transformierte System (Ã, B) ist dann in der Standardform für nicht steuerbare Systeme. Die (n ρ) Eigenwerte der Matrix Ã22 sind dann gerade die nicht steuerbaren Eigenwerte und die ρ Eigenwerte von Ã11 genau die steuerbaren Eigenwerte von (A,B). Svaricek,

30 Eine einfache Methode zur Bestimmung einer geeigneten Transformationsmatrix geht wie folgt: Sei ρ der Rang der Steuerbarkeitsmatrix (2.15). Dann muß diese Matrix ρ linear unabhängige Spaltenvektoren q 1,q 2,...,q ρ enthalten. Mit Hilfe dieser Vektoren wird folgende Transformationsmatrix gebildet: T = [q 1, q 2,..., q ρ, T n ρ ], (2.59) wobei die n (n ρ) Matrix T n ρ so gewählt werden muß, daß T regulär ist. Diese Methode kann allerdings sehr schlecht konditionierte Transformationsmatrizen liefern, so daß die Bestimmung der Standardform (2.58) mit Hilfe dieser Transformation nicht numerisch stabil realisiert werden kann. Numerisch stabile Verfahren zur Berechnung solcher Zerlegungen, die sich durch eine Verwendung von orthogonalen Transformationen (z.b. Householder Transformationen) auszeichnen, wurden unabhängig voneinander von Nour Eldin (1977), Van Dooren (1981), Paige (1981) und Patel (1981) entwickelt. Die Standardform (2.58) kann auch mit der Matlab-Funktion ctrbf berechnet werden. Im Englischen wird diese Standardform auch Controllability Staircase Form genannt. 2.5 Pole und Nullstellen linearer Mehrgrößensysteme Für Eingrößensysteme sind die Pole und Nullstellen bekanntlich anhand der das Ein /Ausgangsverhalten beschreibenden Übertragungsfunktion G(s) definiert. Im allgemeinen ist G(s) dabei eine gebrochen rationale Funktion mit einem Zählerpolynom Z(s) und einem Nennerpolynom N(s). Die Pole sind dann die Nullstellen des Nennerpolynoms N(s), und die Nullstellen sind die Nullstellen des Zählerpolynoms Z(s). Diese für Eingrößensysteme naheliegende Definition kann auf Mehrgrößensysteme nicht unmittelbar übertragen werden. Die Pole eines Mehrgrößensystems können anhand einer besonderen Normalform, der Smith McMillan Form, der Übertragungsmatrix G(s) definiert werden. Anfang der siebziger Jahre befaßte sich Rosenbrock mit diesem Problemkreis und prägte Begriffe wie System, Übertragungs und Entkopplungsnullstellen. Eine erste umfassende Darstellung des Begriffs Nullstellen von Mehrgrößensystemen wurde 1976 von MacFarlane und Karcanias veröffentlicht, die dort auch die Definition der Invarianten Nullstellen vorstellten. Diese Definition ist für eine Reihe von regelungstechnischen Problemstellungen von besonderem Interesse Pole und Nullstellen der Übertragungsmatrix Der Unterschied zwischen Ein und Mehrgrößensystemen wird beim Versuch der Definition der Pole und Nullstellen eines Mehrgrößensystems besonders deutlich. Das dynamische Verhalten eines Eingrößensystems läßt sich durch eine gebrochen rationale Übertragungsfunktion G(s) = Z(s) N(s) (2.60) Svaricek,

31 beschreiben, wobei komplexe Zahlen s p, für die der Nenner verschwindet (N(s p ) = 0), die Pole und komplexe Zahlen s n, für die der Zähler Z(s) zu Null wird (Z(s n ) = 0), die Nullstellen des Systems sind. Im Gegensatz dazu wird ein Mehrgrößensystem durch eine Matrix von Übertragungsfunktionen G 11 (s) G 1m (s) G(s) =.. (2.61) G m1 (s) G mm (s) beschrieben, wobei m die Anzahl der Ein und Ausgänge angibt. Jedes Matrixelement charakterisiert dabei das Übertragungsverhalten zwischen genau einem der m Ein und einem der m Ausgänge und ist für technische Regelstrecken in der Regel eine echt gebrochen rationale Funktion in s. Alle m m Übertragungsfunktionen besitzen also ihre eigenen Pole und Nullstellen, und es stellt sich die Frage: Welche dieser Pole und Nullstellen sollen als Pole und Nullstellen des Mehrgrößensystems angesehen werden? Bezüglich der Pole ist die Gesamtheit der Pole aller einzelnen Übertragungsfunktionen in der Matrix (2.61) eine zunächst naheliegende Definition, da für jeden Pol zumindest eine der Übertragungsfunktionen unendlich wird und die Matrix G(s) dann ebenfalls nicht mehr endlich ist. Hierzu äquivalent ist, wenn die Nullstellen des Hauptnenners aller Einzelübertragungsfunktionen als Pole des Systems definiert werden. Ist für eine Regelstrecke ein Zustandsmodell (A,B,C) gegeben, so bestimmt sich die zugehörige Übertragungsmatrix zu G(s) = C(sI A) adjb det (si A), (2.62) wobei sich die Einzelübertragungsfunktionen aus G ij (s) = ct i (si A) adjb j det (si A) (2.63) ergeben. Dabei ist c T i die i te Zeile von C und b j die j te Spalte von B. Das charakteristische Polynom C(s) = det (si A) ist damit offensichtlich ein Hauptnennerpolynom der Übertragungsmatrix. Aufgrund von möglichen Kürzungen zwischen den Zähler und Nennerpolynomen in den Ausdrücken G ij (s) werden allerdings die Pole der Übertragungsmatrix im allgemeinen nicht alle Eigenwerte der Systemmatrix A enthalten. Versucht man nun, die Definition der Nullstellen eines Eingrößensystems auf Mehrgrößensysteme zu verallgemeinern, so ist es wenig sinnvoll, wie zuvor die Gesamtheit der Nullstellen der einzelnen Übertragungsfunktionen als Nullstellen des Systems zu definieren, da z.b. die Matrix (2.61) nicht zu Null werden muß, wenn eine der Übertragungsfunktionen G ij (s) für eine Nullstelle verschwindet. Darüber hinaus läßt sich zeigen, daß den Nullstellen der Einzelübertragungsfunktionen eine weitere charakteristische Eigenschaft der NullstelleneinesEingrößensystemsfehlt,undzwarderenInvarianz 3 gegenüberrückführungen. 3 Durch eine Rückführung hervorgerufene Pol /Nullstellenkürzungen werden hierbei nicht betrachtet. Svaricek,