2 Mathematische Grundlagen

Transkript

1 8 Mathmatisch Gunlagn Mathmatisch Gunlagn. Vktoalgba Ein Vkto ist in gichtt Göß (. B. Gschwinigkit, Bschlunigung, Kaft, lktisch un magntisch Flstäk usw.). Im Ggnsat au wi j uch in Zahlnangab bstimmt Göß als Skala bichnt (. B. Tmpatu, bit, lktisch Spannung usw.). Bil. Zlgung ins Vktos, t in katsischn Komponntn In Bil. ist in Vkto usammn mit n Pojktionn auf i i chsn ins chtshänign, katsischn Kooinatnsstms agstllt. Fü i Nomnklatu glt:, t Vkto mit katsischn Komponntn,,, katsischs Kooinatnsstm (Rchtssstm),,, Einhitsvkton in Richtung, bw. un ufpunktsvkto. D Vkto, t hängt im llgminn vom Ot un von Zit t ab. Mit Hilf Einhitsvkton kann in Komponntn lgt wn: Komponntnastllung, Einhitsvkton Läng ins un Vktoläng. Nbn ition un Subtaktion bilt i Multiplikation in wichtigstn Vknüpfungn wischn wi Vkton. Bi m Poukt wi Vkton kann as Egbnis wi in Vkto ann spicht man vom Vktopoukt as Egbnis kann ab auch in Skala. Sping Fachmin Wisban GmbH 07 K.W. Kak, ntnnn un Stahlungsfl, DOI 0.007/ _

2 . Vktoalgba 9.. Skalapoukt Wi btachtn unächst as Skalapoukt wi Vkton un B, as als Summ Poukt glichatign Komponntn finit wi [Spi77]: B B cos B B B B B B cos mit 0. (.) ls ingschlossn Winkl wi abi klin wischn un B lignn Winkl bichnt (Bil.). Bil. Eingschlossn Winkl bim Skalapoukt un Pojktion von B auf Das Skalapoukt (.) wi positiv, wnn ingschlossn Winkl spit ist; in stumpf Winkl füht u inm ngativn Zahlnwt. Das Skalapoukt vschwint, wnn i Vkton un B snkcht aufinan sthn,. h. wnn ingschlossn Winkl ga btägt. Insbson gltn fü i katsischn Einhitsvkton folgn wichtig Bihungn: (.) un 0. (.3) Übung.: Skalapoukt Bwisn Si mit Hilf s Skalapoukts n Koussat fü bn Dick: C B B cos. (.4) Bil.3 Schifwinkligs Dick, ssn Sitn als Vkton agstllt wn Lösung: Wn i Sitn s Dicks wi in Bil.3 als Vkton, B un C finit un bilt man mit C C as Skalapoukt B B C CC, (.5) so gilt nach witn binomischn Foml un wgn B B : C B BB, (.6)

3 0 Mathmatisch Gunlagn woaus sofot i Bhauptung folgt: C B cos B. (.7).. Vktopoukt Das Vktopoukt wi Vkton un B ist in Vkto, auf von un B aufgspanntn Ebn snkcht stht un inn Btag glich m Flächninhalt s von un B gbiltn Paalllogamms bsitt. Das Vktopoukt B igt in i Richtung, in sich in chtsgängig Schaub bwgt, wnn man n stn Vkto auf m küstn Wg in i Richtung s witn Vktos ht. Dah ist as Vktopoukt nicht kommutativ,. h. s gilt: B B. (.8) Dn Btag s Vktopoukts haltn wi aus Bil.4. Bil.4 Zu Bchnung s Btags bim Vktopoukt Es gilt: B B B B mit 0. (.9) Das Vktopoukt wi vschinatig Einhitsvkton gibt n ittn Einhitsvkto:. (.0) Das ichtig Voichn hält man aus klischn Vtauschungsgl. Entspicht i Rihnfolg im Vktopoukt in Bil.5 agstlltn Umlaufichtung, so wi as Vktopoukt positiv im umgkhtn Fall ngativ. Bil.5 Zklisch Vtauschungsgl u Fstlgung s Voichns bim Vktopoukt Das Vktopoukt wi paalll Vkton ist stts null; insbson gilt: 0 0. (.) nstll s Nullvktos (fttguckt) schibt man ugunstn in infachn Notation häufig in skala Null. Mit Hilf is Bihungn gibt sich folgn Komponntnastllung s Vktopoukts:

4 . Vktoalgba B B B B B B B B B B. Das Egbnis kann als Mkhilf in Dtminantnfom gschibn wn: (.) B. (.3) B B B Vtauscht man in in Dtminant i Rihnfolg wi Ziln, so änt is ih Voichn; amit wi i Bihung B B sofot kla. Übung.: Vkto- un Skalapoukt Bchnn Si n usuck Lösung: us B B C. (.4) B B B folgt sofot: (.5) C B B, (.6). h. s gilt: B B cos C (.7) mit als Winkl wischn un B. Mit cos wi schlißlich: B B B. (.8)..3 Spatpoukt Nbn m Skala- un m Vktopoukt ttn in n nwnungn auch mhfach Poukt wischn Vkton auf, wobi auf nvoll Kombinationn u achtn ist so. B. usück Fom B C o B C nicht ulässig, wil jwils Klammausuck kin Vkto mh ist. D Skala B C stllt allings in nvoll Vknüpfung i Vkton a un wi Spatpoukt i Vkton, B un C gnannt. Das Egbnis s Spatpoukts ist in Skala, ssn Btag n Rauminhalt V sjnign Pismas angibt, as von n i Vkton, B un C aufgspannt wi (Bil.6): V B C. (.9)

5 Mathmatisch Gunlagn Bil.6 Pisma, ssn Volumn uch n Btag s Spatpoukts i Kantnvkton ggbn ist In Dtminantnfom hält man: B C B B B. (.0) C Bi klisch Vtauschung Vkton gilt: C C B C BC C B, (.) a as Volumn ins Pismas auf i vschin tn bchnt wn kann: Gunfläch Höh Sitnfläch Bit Stinfläch Tif. (.) Fü as Voichn s Spatpoukts (.0) könnn wi folgn Rgl aufstlln: Das Poukt B C ist ann positiv, wnn i i Vkton, B un C uinan wi i chsn ins chtshänign Kooinatnsstms ointit. Das Hintinanausfühn wi Vktopoukt kann man mit Hilf s Gaßmannschn Entwicklungssats ( baccab Rgl) als Diffn wi infach Vkton ausückn: B C B C C B BC. (.3) Fn gltn fü mhfach Poukt folgn Fomln Vktoalgba (Lagang - Intitätn) BC D CB D D B C (.4) B C D B D C B C D. D Votil is Umfomungn bstht ain, ass sich i nahl u bchnnn Vktopoukt uit, i natülich aufwänig u bchnn wän als infach Skalapoukt. Hmann Günth Gaßmann ( ): t. Mathmatik, Phsik un Philolog (Bgün Vkto- un Tnsochnung) Josph Louis Lagang (736-83): it.-f. Mathmatik, Phsik un stonom (Vaiationschnung, Diffnialglichungn, Wahschinlichkitschnung)

6 . Vktoanalsis 3. Vktoanalsis Di Vktoanalsis, n Uspung in Mitt s nunhntn Jahhunts ligt, ist hut u inm wsntlichn mathmatischn Wkug in n Ingniu- un Natuwissnschaftn gwon. Di mathmatisch Fomuliung von Gstn lktomagntisch wi auch an Vktofl wi uch vktoanaltisch Hilfsmittl infach un pägnant. Insbson i Diffniation un Intgation von Vktofln wi uns in ism infühnn Kapitl noch näh bschäftign [Spi77, Sta03, Sch09]... Diffniation von skalan Fln Ist in skala Göß,. B. in Tmpatu o in Potnial, als Funktion s Ots ggbn, so spchn wi von inm skalan Fl. n inm bstimmtn Punkt hab is skala Otsfunktion n Wt,,, fü n wi mit m Otsvkto abgküt schibn wolln. Bim Fotschitn um in infinitsimal klin Wgstck stllt sich in nu Wt in. Di Änung ntwickln wi in in Taloih bis um linan Gli:. (.5) Wi haltn auch as so gnannt total Diffnial 3 Wt könnn wi fomal uch in Skalapoukt ausückn: Di Göß Otsfunktion. Dssn. (.6) ga (.7) ist in Vkto un wi Gaint skalan Otsfunktion fü as total Diffnial (.6) auch schibn: gnannt. Damit könnn wi ga. (.8) D Btag s Gaintnvktos ist: ga. (.9) D Vkto ga stht stts snkcht auf n Nivau- o Äquipotnialflächn const. un igt ah in Richtung s lokal stilstn nstigs Otsfunktion. E wist kinsfalls imm sonn nu an manchn Otn in Richtung ins lokaln o globaln Maimums (Bil.7). 3 Das total Diffnial muss um n Tm t t vom Ot als auch von Zit t abhängt. gänt wn, falls i Funktion,t sowohl

7 4 Mathmatisch Gunlagn Bil.7 Potnialgbig, mit Höhnlinin un i Gaintnichtungn Di Vktoopation Gaint hat iffninn Chaakt auf i chts ikt anbn sthn skala Otsfunktion. Dm tagn wi uch Einfühung ins vktoilln Diffnialopatos (.30) Rchnung. Di fomal Rchngöß wi nach Hamilton 4 Nabla-Opato gnannt. Si hat nu Sinn als Rchnvoschift, iffnin angwant auf n unmittlba chts sthnn usuck. D Nabla-Opato ist in Vkto Vktopfil üb m wi mist wgglassn. ls Diffnialopato hat allin noch kin phsikalisch Butung. Est in Vbinung mit in u iffninn Funktion chts von ihm ntstht in nvoll phsikalisch Göß. ngwant auf in skala Otsfunktion gibt sich n Gaint: 3 ga i. (.3) h i i i In ann als katsischn Kooinatnsstmn hat Nabla-Opato watungsgmäß in kompliit Gstalt; in Tabll. i wichtigstn i usammngstllt [St07]. Tabll. D - Opato in vschinn Kooinatnsstmn mit n Mtikkoffiintn h i katsisch linisch sphäisch h h h3 h, h, h3 h, h, h3 4 Si William Rowan Hamilton ( ): iisch Mathmatik, Phsik un stonom (Wllnthoi s Lichts, gomtisch Optik, analtisch Mchanik)

8 . Vktoanalsis 5 Übung.3: Elktostatischs Potnialfl Das Potnial in uhnn lktischn Punktlaung q ist [Blu8]: Dabi ist q. (.3) 4 aial bstan von Punktlaung, wnn sich i Punktlaung im Kooinatnuspung bfint. Bstimmn Si mit Hilf Voschift E ga (.33) as i Punktlaung umgbn lktostatisch Fl. Lösung: Di Bchnung wü wgn Kuglsmmti wckmäßig in sphäischn Kooinatn folgn, och wolln wi aus iaktischn Günn mit katsischn Kooinatn witchnn: q,,. (.34) 4 Mit n patilln blitungn nach, un 3 bw. 3 3 un 3 könnn wi as lktisch Fl sofot bstimmn. us (.33) wi: (.35) (.36) q E (.37) 4 un amit folgt: Mit q 3 q E. (.38) haltn wi schlißlich as bkannt Egbnis: q E. (.39) 4 Di quaatisch bhängigkit (.39) wu bits 785 als Coulombschs Gst pimntll ntckt. ls nütlich Bihung wolln wi uns mkn:. (.40) 3

9 6 Mathmatisch Gunlagn.. Diffniation von Vktofln Wi könnn auß Gaintnbilung in skalan Otsfunktion noch an algbaisch Opationn mit m Vktoopato ausfühn. Di Kombination mit inm chts sthnn Vkto kann nach t ins Skalapoukts o ins Vktopoukts folgn. Untsuchn wi unächst i Opation, so finn wi i Komponntnastllung:, (.4) fü i wi sofot schibn könnn:. Bispilswis gilt 3. (.4) Dis skala Göß wi Divgn s Vktos gnannt [Mo6b]: iv. (.43) Di Divgn ins Vktofls an inm Flpunkt P hat goß phsikalisch Butung. Si ist in Maß fü i Egibigkit iss Vktofls un gibt an, wi vil Fluss po Volumninhit in in infinitsimaln Umgbung s Flpunkts P ntstht o vschwint. Vschwint in inm Vktofl innhalb ins Bichs i Divgn, so lign ot w Qulln noch Snkn vo. Das Vktofl ist in ism Bich qullnfi, annfalls ist s in Qullnfl. Bi Qullnfihit habn i Fllinin w nfang noch En; si vlaufn ann in sich gschlossn o si ttn unvänt uch as btachtt Volumn hinuch. In inm Qullnfl ntspingn aggn an n Qulln nu Fllinin, i an n Snkn wi münn. Das stationä Magntfl ins Glichstoms I ist in qullnfis Vktofl; Magntfllinin biln im llgminn gschlossn Kuvn (Bil.8). Das lktostatisch Fl in uhnn Punktlaung q ist aggn in Qullnfl. Elktisch Fllinin ntspingn finitionsgmäß an positivn Laungn un nn an ngativn (Bil.8). Ist i Divgn an inm gwissn Punkt s Raums positiv, so bfint sich ot in Qull s bginnn Fllinin. Ist aggn i Divgn ngativ, so ist btachtt Punkt in Snk s nn ot Fllinin. Bil.8 Wiblfl ins Glichstoms I un Qullnfl in Punktlaung q

10 . Vktoanalsis 7 Übung.4: Divgn in Zlinkooinatn Ein Glichstom I fliß galinig in -Richtung ins linischn Kooinatnsstms (Bil.8). Das magntisch Fl in Umgbung ist bkanntmaßn uch I B( ) B ( ) (.44) ggbn mit als aialm bstan von -chs. Bchnn Si i Divgn Lösung: iv B. Dn Nabla-Opato in linischn Kooinatn ntnhmn wi Tabll.. Damit wi i Divgn ins in Zlinkooinatn ggbnn Vktofls B (,, ) : iv B B B B B ( ) ( ). (.45) Bvo i Skalapoukt ausgfüht wn könnn, müssn ust i patilln blitungn bchnt wn. Wgn Otsabhängigkit s aialn Einhitsvktos () un s aimutaln Einhitsvktos (), i in Bil.9 näh läutt wi, müssn i Diffniationn nach Pouktgl vognommn wn, woaus unächst folgt: B B B B B iv B B B B B B B. (.46) Bil.9 Otsabhängig Einhitsvkton ( ) un ( ) in linischn Kooinatn us (.46) haltn wi unt Bachtung Bihungn von Bil.9 B B B B B B iv B ( B ), (.47) was man mit Hilf Mtikkoffiintn aus Tabll. noch lgant schibn kann: 3 hhh 3 iv B B i. (.48) hhh 3 i i h i Da B ( ) aus (.44) nu von ab nicht von abhängt, wi hi sofot iv B 0, wswgn i magntisch Flussicht in Umgbung ins von Glichstom uchflossnn Dahts qullnfi ist. B-Linin schlißn sich ah im llgminn in sich slbst.

11 8 Mathmatisch Gunlagn Fü i Divgn s Gaintn in skalan Otsfunktion hält man unt Einfühung s Nabla-Opatos un bi Vtauschung Rihnfolg Klammn: iv ga. (.49) Das Skalapoukt s Nabla-Opatos mit sich slbst wi als Laplac-Opato 5 bichnt un mit inm goßn Dlta abgküt [Schw90]. D Laplac-Opato ist in skala Diffnialopato wit Onung. In katsischn Kooinatn gilt:. (.50) Fü an Kooinatnsstm finn wi n Laplac-Opato in Tabll. bw. mit 3 hh h3. (.5) 3 i i h i i hh h Tabll. D skala - Opato in vschinn Kooinatnsstmn katsisch linisch sphäisch D Laplac-Opato iv ga wi in is Fom nu auf skala Otsfunktionn angwant, also in folgn Wis: iv ga. (.5) Di bnfalls nütlich Opation, (.53) also i nwnung auf in Vktofl, soll st nach Einfühung s Bgiffs Rotation bspochn wn. 5 Pi Simon Maquis Laplac (749-87): f. Mathmatik, Phsik un stonom (Himmlsmchanik, Diffnialglichungn, Wahschinlichkitschnung)

12 . Vktoanalsis 9 ls wit nvoll Vknüpfung s Nabla-Opatos mit inm chts avon sthnn Vkto untsuchn wi nun as Vktopoukt, (.54) fü as wi in katsischn Komponntn haltn:. (.55) D Vkto hat watungsgmäß in kompliit Dastllung als Skala. Wi bi Vktopouktn üblich, kann man sich auch hi as Egbnis (.55) in Fom in Dtminant mkn:. (.56) Dis vktoill Göß wi Rotation s Vktos gnannt [Sta03]: ot ; (.57) an Bichnungn fü i Rotation auch Roto o Wiblicht. In nglischspachig Litatu ist auch i Notation ot cul gbäuchlich. In kummlinign othogonaln Kooinatnsstmn kann (.55) vallgmint wn (sih nhang.): ot 3 ( h ) ( ) k h k j j i hi, (.58) hh h3 i j k wobi i Inis i, j un k klisch vtauscht,. h. s gilt: ijk 3, 3 o 3. Di Rotation gibt i punktwis Vtilung von Wibln in inm Vktofl an. Ist i Rotation im gsamtn btachttn Gbit null, so wi as Fl wiblfi gnannt ann muss s sich um in Qullnfl hanln. Übung.5: Rotation Bstimmn Si mit Hilf s Entwicklungssats (.3) fü wifach Vktopoukt inn infachn usuck fü as Vktofl ot ot H. Lösung: Mit Hilf s Nabla-Opatos schibn wi: ot ot H H. (.59) Um n Entwicklungssat (.3) anuwnn, stn wi un B uch n Opato un stn C H. Offnba gilt: B C B C C B H H H. (.60) Das Egbnis muss noch twas umgfomt wn, nn m Diffnialopato fhlt auf chtn Sit u iffnin Tm.

13 0 Mathmatisch Gunlagn Bi an Schibwis s Entwicklungssats umghn wi i Poblmatik. Mit B C B C BC (.6) haltn wi so as kokt inig nvoll Egbnis: H H H. (.6) Inm wi i Schibwis mit m Nabla-Opato schlißlich intptin, folgt ot ot H ga iv H H. (.63) Di in Übung.5 abglitt Glichung (.63) lift in Voschift afü, wi Laplac- Opato auf inn Vkto anuwnn ist (sih auch nhang.): ga iv ot ot. (.64) Dis Foml vknüpft all wsntlichn Opationn Vktoanalsis un hat ah gunlgn Butung fü i Flthoi. Di nah lign Vmutung, ass man bchnn kann, inm man n skalan Laplac-Opato auf i inlnn Vktokomponntn von anwnt, gilt nu fü katsisch Komponntn ann wi nämlich:, (.65) wil wi i otsunabhängign Einhitsvkton, un nicht iffnin müssn. In kummlinign Kooinatnsstmn (. B. mit linischn o sphäischn Komponntn) ist aggn Vosicht gbotn! Dot müssn i ann otsabhängign Einhitsvkton (twa ( ) cos, sih Übung.4) mit iffnit wn. Da is umstänlich ist, bchnt man n usuck in solchn Fälln am sichstn üb i Voschift (.64) un hält amit fü Zlin- bw. Kuglkooinatn [Mo53, Som98, Lh06]: (.66) ( ) cos cos. (.67)..3 Rchnn mit m Nabla-Opato Di Vwnung s Nabla-Opatos ist von Votil, wnn kompliit vktoanaltisch usück ausuwtn. Dabi ist u bachtn, ass Nabla-Opato sowohl iffnin wikt als auch Vktochaakt hat. Zu Vutlichung btachtn wi in Bispil. Übung.6: Nabla-Opato Bchnn Si mit ( ) un ( ) n usuck iv.

14 . Vktoanalsis Lösung: Mit Hilf s Nabla-Opatos haltn wi unächst iv. Nach Pouktgl fü Diffniationn, bi jwils in bin Fakton konstant ghaltn wi, schibn wi fomal:, (.68) wobi In am Nabla-Opato nach Fnman 6 anign soll, auf wlchn bin Fakton o iffnin inwikt. Di abi jwils konstant ghaltn Göß kann vo i Diffniation gogn wn, allings unt stng Bachtung Rgln Vktoalgba. So folgt aus (.68):, (.69) wobi auf ulässig Vktoopationn un insbson auf i nvoll nonung s Punkts im Skalapoukt u achtn ist. D Nabla-Opato kann nämlich auf n Skala nu in Fom s Gaintn inwikn bi Diffniation s Vktos kann hi nu i Divgn gmint. Nach Rintptation haltnn Gößn hält man: ga iv iv. (.70) Di allgmin Voghnswis fassn wi noch inmal usammn: Man wnt unächst i Pouktgl fü Diffniationn fomal an. Dabi wi Nabla- Opato unächst nu als Vkto bhanlt. Dann sotit man unt Bachtung Rgln Vktoalgba i haltnn Egbniss solang um, bis i inig nvoll Vknüpfung unt Bachtung iffninn Eignschaft s Nabla-Opatos gfunn wu. Schlißlich füht man wi i bkanntn Opaton ot, ga un iv in. Zu Vutlichung btachtn wi in wits Bispil. Übung.7: Nabla-Opato Bchnn Si mit ( ) un B ( ) n usuck iv B. Lösung: Mit Hilf s Nabla-Opatos schibn wi: iv B B B B B. (.7) Di bin Spatpoukt könnn wi nach (.) klisch vtauschn: B B (.7) B B B B B B, wobi auf i Rihnfolg Fakton un i Nichtkommutativität s Vktopoukts bsons u achtn ist. Damit folgt schlißlich: iv B B ot ot B. (.73) 6 Richa Phillips Fnman (98-988): amik. Phsik (Quantnlktonamik, Elmntatilchn, Noblpistäg fü Phsik 965)

15 Mathmatisch Gunlagn Einig wichtig Rchngln fü usammngstt usück Vktoanalsis un wit nütlich Bihungn in Tabll.3 usammngstllt. Tabll.3 Umfomung usammngstt usück un wit Bihungn Vktoanalsis 7 ga ga ga iv iv iv ot ot ot ga ga ga ga B B B ot B B ot B iv iv B iv ga B B ot ot B B ot ot B ot ga B iv B B iv B B ot ( ga ) ot ( ga ) (ga ) (ga ) iv ga ga iv ot ot iv ga ga ga ga ot ga iv ot 0 0 (Qullnfl wiblfi!) (Wiblfl qullnfi!) Duch wimaligs Hintinanausfühn Opationn ga, iv un ot haltn wi in Tabll.4 im Pinip nun möglich Vknüpfungn als Diffnialopaton wit Onung, von nn allings nu fünf inn Sinn gbn. Di Einschänkungn folgn aus Tatsach, ass i Opation Gaint nu auf Skala angwnt wn af, wähn Rotation un Divgn nu fü Vkton finit. Di nwnung von wi fünf nvolln Opaton füht stts u inm Egbnis vom Wt null. Man kann nämlich allgmin ign, ass Gaint ins Potnialfls nimals Wibl aufwist. Ebnso schlißn sich i Fllinin ins Wiblfls stts in sich slbst un iss Fl ist ah qullnfi. Tabll.4 Zulässig Diffnialopaton wit Onung nach [Zin95] ga ga iv ot iv iv 0 iv iv cot ot 0 ot ot 0 ot ( ) ga iv ga iv iv ga iv ot 0 ot ot ga 0 ot ot 7 Ein usuck Fom B ist wi B ausuwtn.

16 . Vktoanalsis 3..4 Intgalsät Vktoanalsis Einig Intgalbihungn Vktoanalsis fü paktisch Umfomungn oft cht hilfich un wn hi ku usammngstllt. Lininintgal in Vktofunktion Duch n usuck (.33) E ga (.74) wi j skalan Otsfunktion E mit n Komponntn, i sttig un iffniba muss, in Vktofl E E E (.75) E ugont. Umgkht lässt sich u inm ggbnn Vktofl E nu ann in ughöig Potnialfunktion bstimmn, wnn i Intgabilitätsbingungn E E E E 0, E 0, E 0 (.76) füllt. Dis Bingungn ann un nu ann füllt, wnn as Vktofl E wiblfi ist. Das knnt man sofot aus Intität ot E ot ga 0. (.77) In ism Fall wi E als konsvativs Vktofl bichnt un s gilt Zusammnhang: 0 ga s. (.78) 0 0 C Es ga s Di Intgationsgn 0 ist in willkülich, ab fst nfangspunkt. Das Lininintgal längs Kontu C ist unabhängig von ih spilln Fom un wi ah wgunabhängig gnannt (Bil.0). Es stllt i Umkhfunktion Gaintnbilung a. Bichnt C in in sich slbst gschlossn Kuv, so gilt stts: ga s 0. (.79) C Bil.0 Wgunabhängigs Lininintgal ntlang Kontu C in inm konsvativn Vktofl

17 4 Mathmatisch Gunlagn Sat von Stoks 8 Das Umlaufintgal ins Vktos H üb in gschlossn Kuv C ist glich m Obflächnintgal von ot H üb in blibig von C bant Fläch [Wun89]: Hs ot H. (.80) C D Flächnvkto, stts in Richtung lokaln Flächnnomaln n wist, un Umlaufn Rankuv C, agstllt uch as Lininlmnt s, inan im Sinn in Rchtsschaub ugont. Bil. Flächnintgal un Lininintgal üb n Ran Fläch im Sat von Stoks Lässt man i btachtt Intgationsfläch infinitsimal klin wn, so hält man aus m Stoksschn Sat (.80) i kooinatnfi Dastllung Rotation: Hs not H lim C. (.8) 0 Damit ist i Rotation i Wiblstäk (Zikulation) po Fläch, i um in infinitsimals Flächnlmnt ntlang s Rans auftitt. Übung.8: Sat von Stoks Das Duchflutungsgst im stationän Stömungsfl lautt in Intgalfom: Hs I, (.8) C wobi I gsamt uch i Kontu C ingschlossn lktisch Glichstom butt un H ijnig magntisch Flstäk ist, i uch I anggt wi. Schibn Si mit Hilf s Stoksschn Sats as Duchflutungsgst in iffnill Fom. Lösung: Mit Hs ot H un m Gsamtstom I J folgt unmittlba C ot H J. (.83) Mit J wi abi i Stomicht innhalb Quschnittsfläch bichnt. 8 Si Gog Gabil Stoks (89-903): bitisch Phsik un Mathmatik (Diffnial- un Intgalglichungn, Honamik, Optik)

18 . Vktoanalsis 5 Im itlich konstantn stationän Stömungsfl 9 gilt also nach Übung.8 Hs J. (.84) C Di Zikulation magntischn Flstäk längs Banung C in Fläch ist glich m von Kontu umfasstn lktischn Gsamtstom, uch i Fläch hinuch flißt. Wi wolln is Gstmäßigkit bnutn, um i magntisch Flstäk auf in koaialn Litung u bchnn [Lu05]. In Übung 6. wn wi iss Egbnis wi aufgifn. Übung.9: Magntfl in Koaiallitung Ein Koaiallitung w mit Glichstom btibn. Di Stöm I im Innnlit un im ußnlit vom Btag h glich un ntggngstt ointit. Bchnn Si as Magntfl H im Innnlit, im Dilktikum un im ußnlit. Lösung: Bil. Koaiallitung Bi Zlinsmmti hat as Magntfl H H ( ) nu in pola Komponnt, i vom Winkl unabhängig ist. Wi intgin as gsucht Magntfl ntlang in kisfömign Fllini bi blibigm Raius 0 : Hs H( )( ) H( ). (.85) C 0 Mit (.84) haltn wi im Innnlit mit 0 R : I H ( ) ( ) R R I, (.86) R R 0 R 0 im Dilktikum mit R R: H ( ) I (.87) un im ußnlit mit R R3, in m Stom ntggngstt flißt: I R3 3( ) ( ) ( R 0 3 R) R R R 3 R. (.88) H I RR I D ußnaum s Kabls mit R3 ist natülich flfi, nn ot gilt H 4 ( ) 0. Stomfühn o glan gschlossn Obflächn ugn in ihm Innn kin Fl. Das ist in Folg s Hugnsschn Pinips, as wi in bschnitt 9.6. noch ausfühlich bhanln wn. Daum spilt fü i Eugung s Magntfls im Bich 0 R Stom im ußnlit kin Roll. 9 Zu Ewitung von (.84) auf i nichtstationän Fl Elktonamik sih Übung 3..

19 6 Mathmatisch Gunlagn Gaußsch Sat 0 D Gaußsch Sat ist in wichtigstn Umchnungsbihungn Vktoanalsis, i s laubt, Flächnintgal in Volumnintgal umuwanln [Wun89]: D iv DV. (.89) V Das Hüllintgal s Vktos D üb in gschlossn Obfläch ist glich m Volumnintgal von iv D üb as von Obfläch ingschlossn Volumn V. Lässt man in (.89) i btachtt Intgationsvolumn V infinitsimal klin wn, so hält man aus m Gaußschn Sat i kooinatnfi Dastllung Divgn: D iv D lim V 0 V. (.90) Damit ist i Divgn Fluss po Volumn, aus inm infinitsimaln Volumnlmnt ausstömt. Übung.0: Gaußsch Sat Ggbn si in Vktofl in katsischn Kooinatn: D 4. (.9) Bstimmn Si as Hüllintgal von D üb Obfläch s Einhitswüfls, uch i Kooinatn 0, 0 sowi 0 bgnt wi. Lösung: nstll s kompliitn Obflächnintgals üb i schs Tilflächn s Wüfls bstimmn wi nach m Gaußschn Sat bss in infachs Volumnintgal. Dau bchnn wi unächst i Divgn: 4 4 iv D 4 Das Intgal üb as Volumn s Einhitswüfls wi amit: V iv D V Das gsucht Obflächnintgal ist nach (.89) bnfalls: (.9) (.93) D 3. (.94) 0 Cal Fiich Gauß ( ): t. Mathmatik, Phsik un stonom (Zahlnthoi, usglichschnung, Diffnialgomti, Elktomagntismus, Mchanik)

20 . Vktoanalsis 7..5 Hlmholtschs Thom Ein Vktofl, as im gann Raum w Qulln noch Wibl aufwist, kann nu as tivial Nullfl. Dshalb muss js nichtvschwinn Vktofl Qulln- o Wiblchaakt aufwisn o auch bis. Im llgminn kann in Vktofl somit aus Üblagung ins Qulln- un ins Wiblfls bsthn: Q W. (.95) Qullnfl wiblfi! Daum gilt: ot Q. (.96) 0 Wiblfl qullnfi! Daum gilt: iv W. (.97) 0 Fü as supponit Gsamtfl folgt swgn: iv iv Q s (.98) un ot C ot W. (.99) Das Hlmholtsch Thom bsagt nun [Lh06]: Ein Vktofl wi vollstänig bstimmt (bis auf in aitiv Konstant) uch i C im gsamtn Raum. ngab Qulln s un Wibl Bi offnn Gbitn solln abi all Qulln un Wibl im Unnlichn vschwinn, wähn in äumlich bgntn Gbitn i Nomalkomponnt von auf bgnnn Obfläch usätlich ggbn muss, um Einutigkit u iln. Ein Vglich mit Honamik macht as Gan twas anschaulich: In inm Volumn blibig ushnung soll sich in unächst uhn Flüssigkit bfinn. Duch Qulln fügt man nun wit Flüssigkit hinu bw. vmint n Füllstan mit Hilf von Snkn (ngativn Qulln). ußm lassn sich licht Wibl ugn. Das Zusammnwikn von Qulln un Wibln lgt gminsam mit n an Obfläch hschnn Ranbingungn as sich instlln Stömungsfl inutig fst. In n Mawllschn Glichungn u Bschibung von lktomagntischn Fln mit nn wi uns in Kapitl 3 inghn bschäftign wn füht tatsächlich i Vogab von Qulln, Wibln un Ranbingungn jwils u in inutign Lösung. Hmann Luwig Finan von Hlmholt (8-894): t. Phsik un Phsiolog (Nvnlitung, Optik, kustik, onamik, Honamik, Thmonamik, Elktiitätslh)

21 8 Mathmatisch Gunlagn.3 Kooinatnsstm In n mistn nwnungn kommt man mit n i infachstn Kooinatnsstmn aus. Di gomtischn un vktoanaltischn Gunlagn fü katsisch, kislinisch un sphäisch Kooinatn wn in n Tablln.5 un.6 ku usammngfasst. Stt man in Tabll.5 an Stll Einhitsvkton i jwilign Vktokomponntn in also. B. fü usw. so hält man n Zusammnhang wischn n Vktokomponntn in n vschinn Kooinatnsstmn. Tabll.5 Katsisch, kislinisch un sphäisch Kooinatn [Wol68] sowi ih Einhitsvkton Rchtssstm 0 kats. Kooinatn Zlinkooinatn Kuglkooinatn cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos actan cos cos cos cos cos 0 0 actan actan actan cos cos cos cos cos cos cos cos Rné Dscats ( ), lat. Rnatus Catsius: f. Philosoph, Mathmatik un Natuwissnschaftl (Bgün nun Philosophi un analtischn Gomti)

22 .3 Kooinatnsstm 9 Tabll.6 Vktoanaltisch usück in vschinn Kooinatnsstmn [Pi77] kats. Kooinatn Zlinkooinatn Kuglkooinatn ga iv ot sih Gl. (.65) sih Gl. (.66) sih Gl. (.67) s V

23 30 Mathmatisch Gunlagn.4 Übungn.4. Zign Si, ass gilt: ( B C) B ( C ) C ( B) Lösn Si folgns Glichungssstm nach auf: a b c. Vwnn Si u Lösung n Gaßmannschn Entwicklungssat. Es glt a b Wlchn Wt hat i Divgn s Vktofls 5 an Stll?.4.4 Wlchn Wt hat i Divgn s Vktofls an Stll (,, )?.4.5 Wlchn Wt hat i Rotation s Vktofls an Stll (,, )?.4.6 Wlchn Wt hat i Rotation s Vktofls cos( a ) ( ) am Kooinatnuspung (0, 0, 0)?.4.7 Bchnn Si n usuck ot ot 3 ( ). fü as Vktofl Lösungn:.4. a c b ab.4.3 iv iv ot ot.4.7 ot ot 6 (6 )

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