Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Modul: Quantenchemie und chemische Bindung

Transkript

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2 Günt Bs E-Ln- un Lhmium: Quntnchmi un Chmi fbig Stoff Moul: Quntnchmi un chmisch Binung Koktot: Din Bs, Bn Illusttionn: Chistoph Fi, Bn. Auflg All Rcht vobhltn Copyight Pägogisch Hochschul PHBn

3 Inhlt Inhltsvzichnis Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms 5. Lnzil 5. D Gunzustn; i s-wllnfunktion 5.. Di ψs-wllnfunktion (Amplitunfunktion) 5.. Di Engin s Wssstoff-Atoms im Gunzustn 8.. Di Elktonnicht ψ s; i Aufnthltswhschinlichkit ψ sv..4 Di il Elktonnicht ψ s; i il Aufnthltswhschinlichkit ψ s..5 Aufnthltsum (Lungswolk, Elktonnwolk) s Elktons im Gunzustn s Wssstoff-Atoms 5..6 Zusmmnfssung s Gunzustns ψs s Wssstoff-Atoms 6. D st nggt Engizustn s Wssstoff-Atoms (. Engizustn); i ψs Wllnfunktion 7.. Di Wllnfunktion ψs 7.. Di Engi s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Engizustn ψs.. Di Elktonnicht ψ s; i Aufnthltswhschinlichkit ψ sv..4 Di il Elktonnicht ψ s; i il Aufnthltswhschinlichkit ψ s..5 Zusmmnfssung s stn nggtn Zustns ψs 4.4 D st nggt Engizustn s Wssstoff-Atoms (. Engizustn); i p-wllnfunktionn 5.4. Dstllung von Rumpunktn in Polkoointn 5.4. Di Wllnfunktionn ψp x, ψp y un ψp z 7.4. Di Engi s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Zustn (i i ψp-wllnfunktionn).4.4 Di Elktonnichtn ψ p; i Aufnthltswhschinlichkitn ψ pv.4.5 Di iln Elktonnichtn ψ p; i iln Aufnthltswhschinlichkitn ψ p Zusmmnfssung s stn nggtn Zustns ψp s Wssstoff- Atoms 8.5 Di höhn Engizustän 9

4 Inhlt.6 Di Wllnfunktionn im Übblick 4.7 Übungn mit Lösungn zum Kpitl 44 Di Atombinung im Wssstoff-Molkül 5. Lnzil 5. D binn Zustn 5. D ntibinn Zustn 5.4 Ds Obitlngischm 54.5 Übungn mit Lösungn zum Kpitl 55 Mhlktonnsystm 59. Lnzil 59. Di Wllnfunktionn in höhn Atomn: Atomobitl 59. Von Atom- zu Molkülobitln; σ- un π-binungn 6.4 Molkül Elmnt. Pio Ds Li -Molkül Ds B -Molkül Di B -, C - un N -Molkül Di O -, F - un N -Molkül Di CO- un NO-Molkül 7.5 Übungn mit Lösungn zum Kpitl 7 4 Anhng Konstntn, Zichn, Einhitn un Fomln Hlitung Wllnfunktion ψs; Bchnung kintischn, potntilln un Gsmtngi s Wssstoff-Atoms im Gunzustn 8 4. Di Einhit fü ψ m Bispil Wllnfunktion ψs Bchnung Whschinlichkit, s Elkton ins Wssstoff-Atoms im Innn in Kugl mit vschinn Rin nzutffn 9 4

5 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms. Lnzil. Si knnn i Wllnfunktionn stn bin Engizustän s Wssstoff- Atoms.. Si wissn qulittiv, wi hoch i Whschinlichkit ist, in Elkton in inm bstimmtn Abstn vom Atomkn nzutffn.. Si sin in Lg, inn Übblick üb möglich Engizustän s Wssstoff-Atoms zu gbn.. D Gunzustn s Wssstoff-Atoms Im Gunzustn bsitzt s Wssstoff-Atom in miniml Gsmtngi. Sin Elkton lässt sich, gmäss m Wll-Tilchn-Dulismus, ls iimnsionl sthn Wll bschibn. Um i potntill, kintisch un Gsmtngi s Systms zu hltn, muss mn m Wssstoff-Elkton in Wllnfunktion zuonn, us mn nn mithilf Schöing-Glichung i gsuchtn Wt hält... Di ψs-wllnfunktion (Amplitunfunktion) Di Wllnfunktion ψs Funktionn fü Elktonn-Mtiwlln stlln inn Zusmmnhng zwischn Amplitu ψ (psi) un m Elktonnbstn zum Atomkn h. Gmäss Aussg von Mx Bon (88-97) ist s Qut Wllnmplitu ψ in Mss fü i Whschinlichkit, in Elkton in inm bstimmtn Rumbich nzutffn (Elktonnicht; Moul Wlln, Licht un Elktonn, Abschnitt.). ψ W (ψ: Amplitu Mtiwll; W: Whschinlichkit; V: Rumvolumn) V Ist lso i Wllnfunktion ψ bknnt, so muss i Antffwhschinlichkit fü s Elkton im Abstn bis n Wt nnhmn. Aufgun Coulomb-Käft (lktosttisch Anzihungskäft zwischn Elkton un Atomkn) ist ussm i Antffwh- 5

6 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms schinlichkit umso klin, j wit s Elkton vom Kn ntfnt ist. Dis bin Ttschn sowi i miniml Engi sin i Vousstzungn fü, i Wllnfunktion ψs fü s Wssstoff-Atom im Gunzustn zu finn (Abschnitt 4.). Dbi hnlt s sich um in bklingn Exponntilfunktion, i i Abhängigkit Amplitu ψ vom Abstn Elkton-Atomkn bschibt. Nh m Kn icht i Amplitu in Mximum, wi nn mit zunhmnn Abstn klin un ght im Unnlichn ggn null. Di Funktion bsitzt w in Nullstll noch ngtiv Wt fü ψ. Wllnfunktion fü s Elkton im Wssstoff-Atom (Gunzustn): ψ s π :,5 - m (Bohsch Rius) : Eulsch Zhl,78... : Abstn s Elktons vom Atomkn ψ: Amplitu Mtiwll Abb.. Gfisch Dstllung Wllnfunktion ψs D i Wllnfunktion ψs nu von Vibln bhängt, ist Vluf Kuv nch lln Rumichtungn glich. Somit lässt sich i Funktion uf infch Wis äumlich stlln. Dbi knnzichnt mn n Abstn ins bstimmtn Funktionswts (z.b. ψ,) vom Atomkn un ht s Koointnsystm in Zichnbn um n Uspung (in Abb..5 um jwils,5 ). ligt nun uf inm Kis (Abb..). Wi i Dhung nch lln Rumichtungn vognommn, so hält mn in Kuglobfläch,.h. n gomtischn Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ, (Abb..4). Fü jn Wt Wllnfunktion ψs xistit in solch Kuglobfläch. J klin Wt ψ ist, sto wit ist i Kuglobfläch vom Koointnnullpunkt, m Atomkn, ntfnt. 6

7 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Dmit lässt sich s Symbol ψs folgnmssn intptin: Di butt n. Engizustn s Elktons im Wssstoff-Atom (Gunzustn); s: gomtisch Ot ll Punkt mit m glichn Funktionswt ψ ist in Kuglobfläch. Abb.. Dstllung s Funktionswts ψ, mit m Abstn vom Atomkn Abb.. Dstllung s Funktionswts ψ, im Abstn in Zichnbn uch Dhung s Koointnsystms (schmtisch) Abb..4 Gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ, im Abstn vom Atomkn (äumlich Dstllung 7

8 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..5 Dstllung s Funktionswts ψs, im Abstn vom Atomkn in Zichnbn uch Dhung -Achs um jwils,5 Dn Funktionswtn (n Amplitun) ψ Elktonnmtiwll kommt kinli physiklisch Butung zu. Si lssn sich nicht bobchtn un mit uch nicht mssn: si sin nicht obsvbl. Hinggn knn mn mit Wllnfunktion ψs i kintisch, potntill un Gsmtngi s Wssstoff-Atoms im Gunzustn bchnn (Abschnitt 4.)... Di Engin s Wssstoff-Atoms im Gunzustn Duch Einstzn Funktion ψs in i Schöing-Glichung (Abschnitt 4.) hält mn i Gsmtngi, i potntill un i kintisch Engi s Elktons im H-Atom fü n Gunzustn [in Quntnthoi ist s Zichn fü i kintisch Engi T un fü i potntill Engi V. D s Elkton un in Bwgung ist (Tilchnmoll!), hnlt s sich bi um i mittl kintisch bzw. potntill Engi ( T ; V )]: 8

9 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Wllnfunktion fü n s-zustn: ψs π Kintisch Engi s Elktons: Ts ε Potntill Engi s Elktons: Gsmtngi s H-Atoms: V E s s ε ε + ε ε Fü h ε m un,5 m [,5Å] h 6,66-4 Js (Plnckschs Wikungsquntum) ε o 8,854 C J m (Dilktizitätskonstnt) 9 9,6 C,6 As (Elktonnlung) hält mn: Gsmtngi: E,79 J [,586 V] s ε 9 Mittl kintisch Engi: T s,79 J [ V] ε ε 9 9 Mittl potntill Engi: V s,79 J [ 7,7 V] Mittl Gschwinigkit s Elktons (bchnt us kintischn Engi s Elktons): v T 6 m, m s Di uf is Wis bchnt Gsmtngi (-,586 V) ntspicht Ionisiungsngi s Elktons, wnn iss vom Atom bgspltn wi (vgl. Tbll mit n Ionisiungsngin in inm Chmilhbuch). Um Poton un Elkton ins Wssstoff-Atoms voninn zu tnnn, ist lso in Engiufwn von,79-9 J nötig, i umgkht fi wn, wnn sich i bin Tilchn (Tilchnmoll s H-Elktons!) zu inm Wssstoff-Atom vbinn. Dbi ght mn von Engi glich null us, wnn Poton un Elkton inn unnlich gossn Abstn voninn ufwisn un in Ruh sin. J 9

10 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms näh si sich kommn, sto göss wi i kintisch Engi s Elktons (Tilchnmoll) un umso ging i potntill Engi. Di Zunhm kintischn Engi ist bi ging ls i Abnhm potntilln Engi. Intssnt ist i Ttsch, ss i mittl potntill Engi V s H-Atoms im Gunzustn btgsmässig Summ von kintisch un Gsmtngi ntspicht, o, ns fomulit, ss i kintisch Engi (wium btgsmässig) glich Gsmtngi ist. Dis Zusmmnhng wi ls Viilthom bzichnt (Abb..5; s Viilthom ist uch fü Molkül gültig, wnn si in miniml Engi ufwisn): Viilthom: E T V T T + E Abb..6 Gsmtngi E, potntill Engi V un kintisch Engi T fü s Wssstoff-Atom im Gunzustn.. Di Elktonnicht ψ s; i Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Ds Qut Wllnmplitu ψs ist in Mss fü i Whschinlichkit, s Elkton ins Wssstoff-Atoms in inm minimln Rumbich V nzutffn (Moul, Abschnitt.). D s sich um i Antffwhschinlichkit po Volumnlmnt hnlt, spicht mn von Elktonnicht. Mit is Göss lässt sich i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons im Volumnlmnt V mit untschilichm Abstn vom Kn bchnn.

11 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..7 Di Volumnlmnt V in untschilichn Rumichtungn un Abstänn vom Atomkn - Elktonnicht: Aufnthltswhschinlichkit s Elktons im Gunzustn ins H- Atoms in Bzug zum Volumnlmnt V: ψ W s V π (W: Aufnthltswhschinlichkit; V: Volumnlmnt) - Aufnthltswhschinlichkit: Whschinlichkit, s Elkton in inm Volumnlmnt V im Abstn vom Atomkn nzutffn: ψ s V W π V Abb..8 Gfisch Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Di Whschinlichkit, ss sich in Elkton in Näh s Kns in inm Rumlmnt V ufhält, ist sh goss. Aufgun nzihnn Käft zwischn Elkton un Poton w is uch zu wtn. Mit zunhmnm Abstn nimmt i Aufnthltswhschinlichkit nch lln Rumichtungn sch b un ght im Unnlichn ggn null. Dis ntspicht in kuglsymmtischn Elktonnicht.

12 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..9 Computstllung Elktonnicht ψ s Di Visulisiung Elktonnicht folgt oft uch i sognnnt Wolknstllung. Dbi btchtt mn s Elkton ls Tilchn (Tilchnmoll), von m vil Momntufnhmn übinn pojizit wun. Abb.. Wolknstllung Elktonnicht ψ s Di Elktonnicht vglicht i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in glichn Volumntiln V, wnn is vschin Abstän vom Atomkn ufwisn...4 Di il Elktonnicht ψ s; i il Aufnthltswhschinlichkit ψ s Di Elktonnicht in inm bstimmtn Abstn vom Atomkn ist in lln Rumichtungn glich goss. Di Aition Volumnlmnt V mit ism Abstn gibt in Kuglschl mit m Duchmss, in i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons übll glich goss ist. In ism Fll hnlt s sich um i il Elktonnicht, i in Aussg üb i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in Bzug uf s Volumn in Kuglschl ( ; Abstn Kuglschl zum Atomkn) mcht. Dus wium lässt sich i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in in Kuglschl mit blibigm Abstn vom Atomkn bchnn (il Elktonnicht).

13 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms - Ril Elktonnicht: Aufnthltswhschinlichkit s Elktons ins Wssstoff- Atoms in in Kuglschl mit m Duchmss in Bzug uf s Volumn in Kuglschl V in untschilichn Abstänn vom Atomkn: W ψ s π o W: Aufnthltswhschinlichkit; : Abstn Kn-Kuglschl; : Duchmss Kuglschl; : Volumn in Kuglschl mit m Duchmss - Ril Aufnthltswhschinlichkit: Whschinlichkit, s Elkton im Gunzustn ins H-Atoms in in Kuglschl mit m Duchmss im Abstn vom Atomkn nzutffn: W π Abb.. Schnitt uch zwi Kuglschln mit m Duchmss im Abstn bzw. vom Atomkn Abb.. Gfisch Dstllung iln Aufnthltswhschinlichkit ψ s s Elktons im Gunzustn ins Wssstoff-Atoms Di Funktion fü i il Aufnthltswhschinlichkit stzt sich us n bin Til- funktionn π un zusmmn. Bi klinn Zhln fü nimmt Wt von π 4 sch zu (Pblfunktion) ls jnig fü bnimmt (bklingn Ex- π ponntilfunktion). Wi Abstn icht, ist s g umgkht.

14 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms D im Atomkn ist, gibt s ot kin Kuglschl. Di Aufnthltswhschinlichkit ist null. Si stigt nn bis zum Mximum bi, nimmt schlisslich sttig b un ght im Unnlichn ggn null. Mithilf Infinitsimlchnung lässt sich bchnn (. Ablitung Funktion W ψ s π ; Aufgb.). Ds Wssstoff-Atom, wi uch ll nn Elktonnsystm, ht kin Gnzn! Obwohl s Elkton s H-Atoms n vschinn Otn nzutffn ist, hält s sich mit gösst Whschinlichkit in in Kuglschl mit m Duchmss im Abstn vom Kn uf. Dis Kuglschl ntspicht K-Schl s Wssstoff-Atoms. Ein Elktonnschl ist in Kuglschl, in i il Aufnthltswhschinlichkit in Mximum icht. D Vluf iln Aufnthltswhschinlichkit lässt sich vnschulichn, inm mn üb i Wolknstllung Elktonnicht inml Quschnitt von Volumnlmntn V un in nml Quschnitt von Kuglschln lgt (Abb.. un.4). Di Whschinlichkit, s Elkton in inm Volumnlmnt V nzutffn, nimmt mit zunhmnm Abstn zum Atomkn b, i Elktonnicht klin wi. Ans ist s, wi bits wähnt, bi iln Elktonnicht. Si nimmt zw nch ussn hin b, i Volumin Kuglschln nhmn hinggn zu. Dmit gibt sich in Mximum im Abstn. Abb.. Wolknstllung Elktonnicht mit üb glgtn Quschnittn von Volumnlmntn V 4

15 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Anzhl Punkt: Innst Ring: c. 58 Mittl Ring: c. 66 Äussst Ring: c. 4 Abb..4 Wolknstllung Elktonnicht mit üb glgtn Quschnittn von Kuglschln mit glichm Duchmss..5 Aufnthltsum (Lungswolk, Elktonnwolk) s Elktons im Gunzustn s Wssstoff-Atoms Von Elktonnicht litn sich i in chmischn Fchlittu vwntn B giff Elktonnwolk, Lungswolk un Aufnthltsum h. All i Ausück wn im glichn Sinn un, z.b. bi Vtilung Aussnlktonn ins Atoms, uf infch un opplt bstzt Elktonnwolkn vwnt. Dbi hnlt s sich um inn Rum, in m in Elkton mit in gwissn Whschinlichkit (z.b. 95%) nzutffn ist, ohn ss mn uf i tillit Elktonnichtvtilung in ism Rum inght (zu Bchnung Göss is Räum vgl. Abschnitt 4.4). Di Abbilung Wllnfunktion ψs fü inn bstimmtn Funktionswt im Abstn (in Kuglobfläch) lässt sich somit umutn ls i Bgnzung in Kugl, in sich s Elkton mit in bstimmtn Whschinlichkit ufhält. Abb..5 Elktonnwolk (Lungswolk, Aufnthltsum), in sich s Elkton s Wssstoff-Atoms mit in bstimmtn Whschinlichkit (z.b. 95%) ufhält 5

16 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms..6 Zusmmnfssung s Gunzustns ψs s Wssstoff-Atoms Gfisch Dstllung Wllnfunktion ψs Gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ, Wolknstllung Elktonnicht Gfisch Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Gfisch Dstllung iln Aufnthltswhschinlichkit ψ s s Elktons Elktonnwolk (Lungswolk, Aufnthltsum), in sich s Elkton s Wssstoff-Atoms mit in bstimmtn Whschinlichkit (z.b. 95%) ufhält 6

17 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms. D st nggt Engizustn s Wssstoff-Atoms (. Engizustn); i ψs-wllnfunktion Engizufuh bwikt n Übgng ins Wssstoff-Atoms in n stn nggtn Zustn, in m s Elkton mit vi Wllnfunktionn bschibn wi: - Ein s Wllnfunktion (ψs), bi Punkt mit m glichn Funktionswt wi bi ψs uf Kuglobflächn lign (ψs: fü n zwitn Engizustn un s fü Kuglobflächn ls gomtisch Öt). - Di p Wllnfunktionn (ψp x, ψp y, ψp z ), bi nn Punkt mit glichn Funktionswtn im Bich i Koointnchsn lign (ψp x,y,z : fü n zwitn Engizustn; p fü hntlfömig gomtisch Öt un x, y, z fü i Koointnchsn; Abschnitt.4). Dis vi Wllnfunktionn bschibn glichzitig (!) s in Elkton im. Engizustn ins Wssstoff-Atoms. Dus sultit insgsmt in kuglsymmtisch, homogn Vtilung ngtivn Lung... Di Wllnfunktion ψs Di vollstänig Wllnfunktion fü s Elkton im zwitn Engizustn s Wssstoff-Atoms ht folgn Fom: ψs.5 - m (Bohsch Rius) : Eulsch Zhl,78... : Abstn s Elktons vom Atomkn ψ: Amplitu Mtiwll Im Ggnstz zu Wllnfunktion ψs bsitzt ψs in Nullstll wnn, mit. Klmmusuck null wi: : fü us folgt: un mit ψs Auch bi n uf in F mit inm Exznt zugtn sthnn Wlln bobchtt mn im. Schwingungszustn inn Knotn zwischn n bin Aufhängvoichtungn F (Moul Wlln, Licht un Elktonn, Abb..). Ans ls im Gunzustn s Wssstoff-Atoms nhmn i Funktionswt von ψs ngtiv Wt n, wnn >, nn. Klmmusuck ngtiv wi. 7

18 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..6 Gfisch Dstllung Wllnfunktion ψs Di Wt (i Amplitun) Funktion ψs sin in Näh s Atomkns hoch, sinkn nn uf null b, wn ngtiv, ichn in Minimum, stign nn wi n un ghn im Unnlichn ggn null. D i Wllnfunktion ψs, bnso wi ψs, nu vom Abstn (Kn-Elkton) bhängt, ist ih Vluf nch lln Rumichtungn glich. Ih äumlich Dstllung ist mit uch in ism Fll sh infch. Mn knnzichnt wium n Abstn ins bstimmtn Funktionswts ψ (z.b.,) vom Atomkn un ht s Koointnsystm in Ebn um n Uspung (Abb..7 un.8; in Abb..8 um jwils,5 ). Dhung in ll Rumichtungn füht zu Kuglobflächn, n gomtischn Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ,. D Wt, in i vschinn Entfnungn vom Atomkn uftitt, gbn sich us i Kuglobflächn, uf nn i Amplitu n Wt ±, bsitzt, uf innstn mit positivm un uf n bin äussstn mit ngtivn Wtn (Abb..9). Ein Kuglobfläch, uf ll Punkt n Funktionswt ψ ufwisn, wi ls Knotnfläch bzichnt. Dis ist im Abstn Fll (Abb..). Abb..7 Dstllung s Funktionswts ψ s ±, in n Abstänn, un in Zichnbn uch Dhung s Koointnsystms 8

19 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..8 Dstllung s Funktionswts ψ s ±, in n Abstänn, un vom Atomkn in Zichnbn uch Dhung s Koointnsystms um jwils,5 Abb..9 Gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ s ±, in n Abstänn, un vom Atomkn (äumlich Dstllung) Di Dstllung in Abb..9 ist so gwählt, ss ll i Kuglobflächn sichtb sin, wobi i zwit von untn h gshn wn muss. Di Fbn gbn i Vozichn Funktionswt n: ot butt positiv un blu ngtiv. Di ot Kuglobfläch ntspicht m positivn, i uf folgn m ngtivn Wt,. Dzwischn fint Vozichnwchsl üb i hi nicht gzichnt Knotnfläch (ψs ; Abb..) sttt. Di 9

20 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms äussst Kuglobfläch, i m witstn vom Kn ntfnt ist, ist bnflls gomtisch Ot ll Punkt fü ψ -,. Abb.. Knotnfläch ψs-wllnfunktion ls Kuglobfläch.. Di Engi s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Engizustn ψs Mithilf Schöing-Glichung lässt sich, wi im Gunzustn, i Engi s stn nggtn Zustns bchnn: Gsmtngi E s s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Zustn: E s ε 4 E s : Engi s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Zustn,5 - m (Bohsch Rius) ε o 8,854 C J m (Dilktizitätskonstnt),6-9 (Elktonnlung) Ein Vglich mit Gsmtngi E s zigt, ss i Engi ¼ ml so goss ist wi i Engi im Gunzustn s Wssstoff-Atoms. D Zhlnwt in ngtivs Vozichn ufwist, ist i Engi s Systms ntspchn höh. E s ε 9,79 J [,586 V] Gsmtngi im Gunzustn: E s -,79-9 J [-,586 V] Gsmtngi im stn nggtn Zustn: E s -5,45-9 J [-,4 V]

21 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.. Di Elktonnicht ψ s; i Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Um in Mss fü i Whschinlichkit zu hltn, s Elkton s Wssstoff-Atoms im. nggtn Zustn im Rumbich V nzutffn (Abschnitt..), muss mn i Wllnfunktion ψs quin. Aus bi hltnn Elktonnicht lässt sich, wi bi ψ s, i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons im Volumnlmnt V bchnn: - Qut Wllnfunktion ψs: ψ s 4 - Elktonnicht: Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in Bzug zum Volumnlmnt V: ψ W s V 4 - Aufnthltswhschinlichkit: Whschinlichkit, s Elkton in inm Volumnlmnt V im Abstn vom Atomkn nzutffn: ψ s V W 4 V Abb.. Computstllung Elktonnicht W ψ s V

22 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb.. Wolknstllung Elktonnicht W ψ s V Abb.. Gfisch Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Di Whschinlichkit, s Elkton in inm Volumnlmnt V in Näh s Kns nzutffn, ist sh goss. Mit zunhmnm Abstn Elkton-Kn ght i Aufnthltswhschinlichkit uf null zuück, icht nschlissn in klins Mximum, um im Unnlichn ggn null zu ghn...4 Di il Elktonnicht ψ s; i il Aufnthltswhschinlichkit ψ s Di il Elktonnicht mcht in Aussg üb i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in Kuglschln mit m Duchmss im Abstn vom Atomkn (Abschnitt..4). - Ril Elktonnicht: Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in Bzug uf in Kuglschl mit m Duchmss un m Volumn V. ψ W s 4 : Abstn Kn-Kuglschl; : Duchmss Kuglschl

23 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms - Ril Aufnthltswhschinlichkit: Whschinlichkit, s Elkton in in Kuglschl mit m Duchmss im Abstn vom Atomkn nzutffn. ψ s W 4 4 π : Volumn in Kuglschl mit m Duchmss im Abstn vom Atomkn Abb..4 Gfisch Dstllung iln Aufnthltswhschinlichkit ψ s s Elktons im stn nggtn Zustn ins Wssstoff-Atoms Di Whschinlichkit, s Elkton im Atomkn nzutffn ist glich null ( ). Si stigt nn uf in klins Mximum un icht nschlissn wium n Wt null. Mit wit zunhmnm Abstn wi i Aufnthltswhschinlichkit mximl, um im Unnlichn ggn null zu ghn. Im stn nggtn Zustn s s Wssstoff-Atoms knn sich s Elkton n blibign Otn mit untschilichn Whschinlichkitn ufhltn. Ein Ausnhm bilt i Kuglschl, in i Aufnthltswhschinlichkit null ist ( ). Di bin Mxim ntspchn n Elktonnschln un, wobi sich s Elkton häufig in. Schl ufhält, ntspchn m stn nggtn Zustn bzw. m zwitn Engizustn.

24 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms..5 Zusmmnfssung s stn nggtn Zustns ψs Gfisch Dstllung Wllnfunktion ψs Gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψ s ±, Wolknstllung Elktonnicht Gfisch Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ sv Gfisch Dstllung iln Aufnthltswhschinlichkit ψ s 4

25 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.4 D st nggt Engizustn s Wssstoff-Atoms (. Engizustn); i p-wllnfunktionn Di Funktionswt i Wllnfunktionn (ψp x, ψp y, ψp z ), mit nn s Elkton im. Engizustn bschibn wn knn, sin nicht nu vom Abstn vom Atomkn, sonn uch von Distnz zu n jwilign Koointnchsn bhängig. Aus ism Gun ist s infch, Punkt im Rum mit Polkoointn sttt mit inm chtwinklign ktsischn Koointnsystm zustlln..4. Dstllung von Rumpunktn in Polkoointn Mit n Wtn i Koointn x, y un z lssn sich Punkt im Rum inutig fstlgn. Ih Lg knn b uch bstimmt wn, inm mn n Abstn vom Koointnuspung un i Winkl zu n Koointnchsn vwnt (Polkoointn). Dzu sin i Winklfunktionn Sinus un Kosinus nötig, i sich nhn s Einhitskiss ( ) licht vstänlich stlln lssn. Abb..5 Dstllung Winklfunktionn Sinus un Kosinus mit m Einhitskis Di Winklfunktion Sinus ist finit ls Ggnktht uch Hypotnus in inm chtwinklign Dick, Kosinus ls Anktht uch Hypotnus. D Wt von Sinus ist bi α, nimmt mit göss wnm Winkl zu un icht s Mximum bi 9, um wi uf bi 8 bzusinkn. Fü 7 bzw. 6 ist Sinus im Einhitskis - bzw.. Di Funktion Kosinus bginnt mit m Wt bi α. 5

26 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Tbll. Funktionswt fü Sinus un Kosinus bi vschinn Winkln α im Einhitskis Winkl α sin cos Abb..6 Vozichn Winklfunktionn Sinus un Kosinus in n vi Winklfln Abb..7 zigt inn Punkt P, ssn Lg uch i ktsischn Koointn x, y un z sowi n Polkoointn, ϕ un θ wiggbn wi. Bi hnlt s sich, wi bits wähnt, um n Abstn s Zntums vom Punkt P. D Winkl ϕ (phi) bschibt i Dhung (im Ggnuhzigsinn) in zy-ebn, usghn von positivn x-achs, Winkl θ (tht) n Abstn von z-achs. Abb..7 Angb Lg ins Punkts P uch ktsisch sowi Polkoointn 6

27 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms D Vollstänigkit hlb sin n is Stll i Fomln zu Umchnung von ktsischn in Polkoointn nggbn. Tbll. Umchnung von ktsischn in Polkoointn Winklfunktion Umchnung z cos θ z cosθ Q sin θ Q sin θ y y sin φ Q sin θ y sin θ sin φ cosφ x Q x sin θ x sin θ cosφ x + y + z θ π φ π.4. Di Wllnfunktionn ψp x, ψp y un ψp z Di Wllnfunktionn ψp hbn folgn Fomn: ψp ψp x y sin θ cosφ sin θ sin φ ψp z cosθ Auffällig n isn i Wllnfunktionn ist i Ttsch, ss, wi bi ψs-funktion, nbn Nullstll im Atomkn ( ) i Funktionswt ψ uch ngtiv Vozichn hbn könnn. Dis hängt mit zusmmn, ss i Winklfunktionn im III. un IV. (sin) bzw. im II. un III. (cos) Winklfl ngtiv sin (Abb..6). Di sich us äumlichn Dstllung ψp-wllnfunktionn gbnn Knotnflächn sin in yz- (ψp x ), xz- (ψp y ) un xy- (ψp z ) Ebn unnlich usghnt (Abb..8). 7

28 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..8 Unnlich usghnt Knotnbn ψp x -Wllnfunktion Wnn mn i Funktionswt ntlng n Koointnchsn btchtt, so gilt Folgns: - x-achs: Di x-achs ligt in xy-ebn, lso 9 von z-achs ntfnt (θ 9 ). Positiv un ngtiv Til x-achs biln inn Winkl von 8, womit fü n Winkl ϕ i Wt bzw. 8 gltn. Dmit vinfcht sich i Winklfunktion ψp x, Sinus von 9 + un Kosinus von bzw. 8 jwils ± btägt. ψpx ()( ± ) - y-achs: Di y-achs ligt bnflls in xy-ebn (θ 9 ). D positiv Achsnbschnitt bilt mit positivn x-achs inn Winkl von 9, ngtiv Til inn von 7. Dmit sin i Wt fü ϕ 9 bzw. 7. D Sinus is bin Winkl btägt ±. Folglich gilt fü i Winklfunktion ψp y uf y-achs: ψp y ()( ± ) - z-achs: Fü i z-achs ist nu Winkl θ mssgbn, bzw. 8 btägt. Folglich müssn fü n Ausuck sin bzw. sin8 i Wt ± ingstzt wn: ψp z ( ± ) 8

29 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..9 Gfisch Dstllung Wllnfunktionn ψp x, ψp y un ψp z ntlng n Koointnchsn Wnt mn vom Nullpunkt us n i Achsn ntlng, so nimmt Wt fü ψ von null usghn jwils in bin Richtungn uf in Mximum bzw. Minimum (ngtiv Achsnbschnitt) zu. E wi nn klin un ght im Unnlichn ggn null. Di Wt ψ ll i Wllnfunktionn wn mit zunhmnm Abstn von n Achsn imm klin. Fü ψp x un ψp y ist Winkl θ imm 9 un mit Sinus, wähn mit wchsnn Winkln ϕ i Amplitun ψ bnhmn (cos ϕ fü i x- un sin ϕ fü i y-achs). Entfnt mn sich von z-achs, so nhmn mit stignm Winkl θ i Gössn Amplitun ψp z -Wllnfunktion ntspchn Winklfunktion cosθ b, bis in xy-ebn i Wt null icht sin. In n folgnn i Abbilungn ist Vluf Funktion ψp z fü i Winkl θ bzw. 8, θ bzw. un θ 6 bzw. 4 gstllt. Fü θ bzw. 8 gilt (cos ; cos 8 -): ψp z ( ± ) Abb.. Vluf Funktionswt ψp z uf z-achs in Abhängigkit von un n Winkln θ un θ 8 9

30 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Ght nun Winkl θ von ggn 9, so wn i Funktionswt ntspchn m cosθ imm klin un bi 9 schlisslich null. Zwischn 9 un 8 stign i Wt fü ψp z wium n. Am Bispil Winkl bzw. un 6 bzw. 4 si s ntspchn Voghn läutt. Fü θ bzw. gilt (cos,8; cos -,8): ψp z ( ±,8) Abb.. Vluf Funktionswt ψp z, bzw. von z-achs ntfnt un mit in Abhängigkit von un n Winkln θ un θ Fü θ 6 bzw. 4 gilt (cos 6,5; cos 4 -,5): ψp z ( ±,5) Abb.. Vluf Funktionswt ψp z, 6 bzw. 4 von z-achs ntfnt un mit in Abhängigkit von un n Winkln θ 6 un θ 4

31 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Di in n i Abbilungn ingtgnn Abstän fü i Wt ψp z ±, (j vi po Abbilung) wun in Abb.. übinn pojizit un mitinn vbunn. Ds Egbnis ist gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψp z ±,. Lässt mn i Kuvn um i z-achs otin, hält mn i äumlich Dstllung iss gomtischn Ots (Abb..4). Entspchns Voghn fü ψp x un ψp y füht zu n glichn hntlfömign Figun. Auf n Obfläch ist in lln Punktn Funktionswt ψp ±,. Abb.. Dstllung s gomtischn Ots ll Punkt mit m Funktionswt ψp z ±, in Zichnbn.4 Räumlich Dstllung gomtischn Öt ll Punkt mit m Funktionswt ψp ±, Ds obn skizzit Vfhn in Ebn ist nochmls in Abb..5 gstllt, wobi jwils um inn Winkl von,5 ght wu. Abb..6 zigt i gomtischn Öt vschin Wt ψ fü ψp z.

32 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..5 Dstllung s Funktionswts ψp ±, uch Dhung s Koointnsystms um jwils,5 Abb..6 Linin glich Amplitun in ψp x -Wllnfunktion (i ψp y - un ψp z -Wllnfunktionn zign n glichn Vluf).4. Di Engi s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Zustn (i i ψp Wllnfunktionn) Di Engi s Wssstoff-Atoms fü i i ψp-wllnfunktionn lässt sich mit Schöing-Glichung bchnn. Ds Egbnis stimmt mit mjnign Wllnfunktion ψs übin. Di ψs- sowi i i ψp-wllnfunktionn sin nttt, si bsitzn islb Engi. Gsmtngi E p s Wssstoff-Atoms im stn nggtn Zustn: E p ε 4

33 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms E p : Engi s Wssstoff-Atoms im. nggtn Zustn p; : Bohsch Rius; ε : Dilktizitätskonstnt; : Elktonnlung.4.4 Di Elktonnichtn ψ p; i Aufnthltswhschinlichkitn ψ pv Ds Qut Wllnfunktionn ψp mcht in Aussg üb i Whschinlichkit, s Wssstoff-Elkton in inm Rumvolumn V im Abstn vom Atomkn nzutffn. Aus mit hltnn Elktonnicht bchnt sich i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in inm Rumvolumn V. Qut Wllnfunktionn ψp: φ cos θ sin x p ψ φ sin θ sin y p ψ θ cos z p ψ Elktonnicht Wllnfunktionn ψp: φ cos θ sin x V W p ψ φ sin θ sin y V W p ψ θ cos z V W p ψ Aufnthltswhschinlichkit s Elktons im Rumvolumn V: V W V p ψ x φ cos θ sin V W V p ψ y φ sin θ sin V W V p ψ z θ cos

34 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Di Aufnthltswhschinlichkit vläuft ntlng n Koointnchsn (x: θ 9, ϕ bzw. 8 ; y: θ 9, ϕ 9 bzw. 7 ; z: θ bzw. 8 ) in bin Richtungn glich (kin ngtivn Wt, i Funktionn quit wun). Im Atomkn ist i Aufnthltswhschinlichkit null, stigt nschlissn uf in Mximum un ght nn im Unnlichn ggn null (Abb..8 fü i z-achs). Mit zunhmnn Winkln θ un ϕ vingn sich i Wt un wn in n ntspchnn Koointnbnn null. Am Bispil ψp z -Funktion (nu von inm Winkl bhängig), lässt sich is Schvhlt infch zign (Abb..7 bis.9): Abb..7 Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ p z V uf z-achs fü θ bzw. 8 cos Abb..8 Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ p z V, von z-achs ntfnt fü θ bzw. 5 cos,75 4

35 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..9 Dstllung Aufnthltswhschinlichkit ψ p z V, 6 von z-achs ntfnt fü θ 6 bzw. cos,5 Wi bits glgt, ist i Aufnthltswhschinlichkit im Atomkn null ( ), stigt mit zunhmnm Abstn vom Kn uf in Mximum n un ght im Unnlichn ggn null. Mit zunhmnn Winkln θ un ϕ wn i Wt klin, bis si in n ntspchnn Koointnbnn null sin (Knotnflächn: xy-ebn fü ψ p z ; yz-ebn fü ψ p x ; xz-ebn fü ψ p y ). Abb..4 zigt i Wolknstllungn Aufnthltswhschinlichkitn s Elktons fü i Wllnfunktionn ψp. Abb..4 Wolknstllung Aufnthltswhschinlichkitn ψ p x V, ψ p z V un ψ p z V 5

36 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms 6 Abb..4 Computstllung Aufnthltswhschinlichkit fü ψ pv.4.5 Di iln Elktonnichtn ψ p; i iln Aufnthltswhschin- lichkitn ψ p Di il Elktonnicht ψ p mcht in Aussg üb i Whschinlichkit, s Wssstoff-Elkton po Volumn in Kuglschl im Abstn vom Atomkn nzutffn. Dus lässt sich i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in in Kuglschl bchnn. Ril Elktonnichtn: φ cos θ sin x W p ψ φ sin θ sin y W p ψ θ cos z W p ψ Ril Aufnthltswhschinlichkitn: W p ψ x φ cos θ sin W p ψ y φ sin θ sin W p ψ z θ cos

37 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..4 Wolknstllung Elktonnicht ψ p mit m Quschnitt zwi Kuglschln s Duchmsss Abb..4 Gfisch Dstllung iln Aufnthltswhschinlichkit ψ p Di Whschinlichkit, s Elkton in in Kuglschl mit m Duchmss im Abstn vom Atomkn nzutffn, ist im Kn glich null, stigt nn uf in Mximum, wi ging un ght im Unnlichn ggn null. 7

38 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.4.6 Zusmmnfssung s stn nggtn Zustns ψp s Wssstoff- Atoms Vluf Wllnfunktionn ψp x, ψp y un ψp z ntlng n Koointnchsn Gomtisch Ot ll Punkt mit m Funktionswt ψp ±, Wolknstllung Elktonnichtn ψ p x, ψ p z un ψ p z Ril Aufnthltswhschinlichkit ψ p Unnlich usghnt Knotnbn ψp x -Wllnfunktion 8

39 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.5 Di höhn Engizustän Nbn m Gunzustn un m stn nggtn Zustn ins Wssstoff-Atoms gibt s noch wit, höh Enginivus. Gnz llgmin wn is, usghn vom Gunzustn, mit n Zhln,, uchnummit. Mn bzichnt si ls Huptquntnzhln (Huptnginivus), i n Elktonnschln K, L, M ntspchn. Mit zunhmn Huptquntnzhl höht sich uch i Anzhl Wllnfunktionn, mit nn s Elkton bschibn wn knn. Innhlb ins Huptnginivus untschit mn n vschin Funktionn mit jwils n- Knotnflächn. Wi bits wähnt, sin i Engiwt ins bstimmtn Huptnginivus intisch, si sin nttt. Nbn n s- (shp) un p- (pincipl) Funktionn gibt s wit sognnnt - (iffus) un f- (funmntl) Funktionn. In n folgnn Abbilungn sin i Wllnfunktionn bis zum 4. Huptnginivu schmtisch ufgzichnt (Abb..44), i Gfn un iln Aufnthltswhschinlichkitn inig Funktionn skizzit (Abb..45) sowi Funktionswt ψ ±, fü ψs bis ψ äumlich gstllt (Abb..46). Abb..44 Huptquntnzhln, Anzhl Funktionn un Knotnflächn fü s Wssstoff- Atom 9

40 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..45 Gfisch Dstllung Wllnfunktionn ψs, ψs, ψs, ψp sowi i von bglittn iln Aufnthltswhschinlichkitn 4

41 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms Abb..46 Räumlich Dstllung Wllnfunktionn ψs, ψp, ψs, ψp, ψ fü n Funktionswt ψ ±,. J Punkt uf Obfläch Figun bsitzt n glichn Funktionswt ψ. Rot stht fü positiv, blu fü ngtiv Funktionswt 4

42 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.6 Di Wllnfunktionn im Übblick s-wllnfunktionn Di Gössn Amplitun s-wllnfunktionn sin nu vom Abstn zum Atomkn bhängig. Ab m. Engizustn wisn i Funktionn Nullstlln (Knotnflächn) un mit uch ngtiv Wt uf. Glich Funktionswt lign uf Obflächn von Kugln (gomtisch Öt) mit m Atomkn ls Zntum. In Abb..46 z.b. ist gomtisch Ot ll Punkt Funktion ψs fü n Wt ψ ±, gstllt. Dis xistit uf 5 Kuglobflächn mit n Vozichn plus, minus, minus, plus, plus. D zwimlig Wchsl s Vozichns utt uf i bin Knotnflächn hin (vgl. uch Abb..47). ) b) Abb..47 ) Kuglobfläch ls Knotnfläch ψs-wllnfunktion; b) zwi Kuglobflächn ls Knotnflächn ψs-funktion p-wllnfunktionn Nbn n Abstänn zum Atomkn ist i Göss Amplitun von p-wllnfunktionn uch uch i Winkl θ un ϕ bstimmt. All p-funktionn hbn positiv un ngtiv Wt sowi in Nullstll (Knotnfläch) uch n Atomkn, zu nn wit Nullstlln bi n höhn Huptquntnzhln hinzukommn. p-funktionn gibt s st b m. Engizustn. D gomtisch Ot ll Punkt mit m glichn Funktionswt ψ ist i Obfläch von hntlfömign Köpn, i sich symmtisch um in Koointnchs usichtn. 4

43 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms ) b) Abb..48 ) Ein (unnlich usghnt) Knotnbn ψp x -Wllnfunktion; b) zwi Knotnflächn in ψp x -Wllnfunktion: in Kuglobfläch un in (unnlich usghnt) Knotnbn -Wllnfunktionn Di -Wllnfunktionn, i st b m. Engizustn s Elkton im Wssstoff- Atom bschibn, bsitzn zwi un mh Knotnflächn sowi positiv un ngtiv Wt. Di gomtischn Öt ll Punkt mit m glichn Funktionswt ψ sin Obflächn komplizit gomtisch Fomn (Abb..46). Si onn sich im. Huptnginivu zwischn n Koointnchsn (ψ xy : zwischn x- un y-achs; ψ xz : zwischn x- un z-achs; ψ yz : zwischn y- un z-achs), ntlng n Achsn (ψ x-y : uf x- un y-achs) o ntlng z-achs un in xy-ebn (ψ z ). ) b) Abb..49 ) Zwi (unnlich usghnt) Knotnbnn ψ xy -Funktion; b) zwi (unnlich usghnt) Knotnflächn ls zwi Kglobflächn ψ z -Funktion 4

44 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms.7 Übungn mit Lösungn zum Kpitl Übungn A. Bi wlchm Wt ist i Elktonnicht im Gunzustn s Wssstoff- Atoms uf / s Mximlwts bgsunkn? Hinwis: s Mximum ist bi. Mthmtik: (wi löst mn in Funktion nch x uf, wnn iss im Exponnt in Potnz stht?) x ln y y ln y x ln x ln ln A. Wnn fü Si s Diffnzin kin Poblm ist, bchnn Si n Abstn Kuglschl, in m i il Aufnthltswhschinlichkit s Elktons im Gunzustn in Mximum ist (vgl. Abb..). Mthmtisch Hinwis: Ein Funktion y f(x) ht n Stll x xo in Extmum, wnn ih Ablitung f '(x) ist (Stigung Tngnt ). y x y ' x y x y ' y uv y ' uv' + vu' A. Wnn Ihnn s Intgin kin Poblm bitt, so lösn Si folgn Aufgb: Wi goss ist i Whschinlichkit, s Elkton ins Wssstoff-Atoms im Gunzustn in in Kugl mit m Rius. Å nzutffn? (Di Whschinlichkit W bchnt sich us Summ Whschinlichkitn, s Elkton in Kuglschln Dick im Abstn bis nzutffn.) A.4 Wlch Gminsmkitn wist s Elkton im Wssstoff-Atom mit in sthnn mchnischn Wll uf? A.5 ) Skizzin Si n Gphn Funktion ψ -b. b) Wi lutt i ntspchn Foml fü ψ? Wi intptin Si ψ? A.6 Woin ligt Untschi zwischn Elktonnicht un iln Elktonnicht? A.7 Zichnn Si i Wolknstllung fü n nggtn Zustn s s Wssstoff- Atoms. 44

45 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms A.8 ) Skizzin un intptin Si n Gphn Wllnfunktion ψs. Zichnn Si fü isn Zustn n Vluf Whschinlichkit uf, in Elkton in Kuglschln in vschinn Abstänn vom Atomkn nzutffn! b) Intptin Si i folgnn Abbilungn: A.9 ) Ws vstht mn unt Wolknstllung Elktonnicht? b) Wlch Infomtionn lssn sich us n äumlichn Dstllungn Wllnfunktionn ψp gwinnn? c) Ws butt Ausuck nggt Zustn? Gbn Si minstns zwi nggt Zustän s Wssstoff-Atoms n. A. ) Wi untschin sich i i Zustän ψp x, ψp y, un ψp z ngtisch? b) Wi vil Wllnfunktionn sin fü n zwitn nggtn Zustn s Wssstoff-Atoms möglich? c) Ws ist wsntlich Untschi zwischn n Funktionn ψs un ψp bzüglich ih äumlichn Dstllung? Lösungn A. ψ s Ds Mximum Funktion ψ s ligt bi. π fü gilt: ψ s π π π 45

46 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms 46 ln m,8 ln ln ln. π ψs W s ψ W π - 8π π π + W (Bohsch Rius;,5 - m) A. - - π π s ψ ψs,59 m,59 ε m h Å W π Substitution: u u u u u u W u u u u u u π ( ) [ ] W u u 4 u u u u Fü, Å 4, 989,,59, 4,59,,59, + + W A.4 Ein sthn, mchnisch Wll ist n Rnbingungn gbunn. Si knn nu bstimmt (iskt) Schwingungszustän nnhmn. Ds Elkton stllt mn sich ls iimnsionl sthn Wll vo. Auch si knn im Coulomb-Potntil s Atomkns nu bstimmt Schwingungszustän bsitzn.

47 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms A.5 ) b) ψ A.6 A.7 b.wi i Wllnfunktion ψ quit, so gibt sich us i Elktonnicht (Whschinlichkitsicht, Lungsicht). Mit is Göss lässt sich i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in inm bstimmtn Volumnlmnt V bchnn. Di Elktonnicht vglicht i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in glichn Volumntiln V, wnn is vschin Abstän vom Atomkn ufwisn. Di il Elktonnicht vglicht i Aufnthltswhschinlichkit s Elktons in Kuglschln glich Dick, wnn is vschin Abstän vom Atomkn ufwisn. 47

48 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms A.8 ) Di Amplitu Mtiwll ht in Näh s Atomkns hoh Wt. J göss Abstn Elkton-Poton ist, sto klin wi i Amplitu. Im Unnlichn stbn i Wt von ψs ggn null. D Wt fü W ist im Atomkn null. Di Kuv uchläuft nn in Mximum, insits - mit zunhmnm Rius xponntill bnimmt un nsits s Volumn Kuglschl qutisch zunimmt. J wit mn sich vom Atom ntfnt, umso unwhschinlich wi s, in Elkton in in Kuglschl bi is Entfnung nzutffn. Di Funktion ght ggn null. b) Di st Abbilung zigt n Vluf Amplitu Wllnfunktion ψp x ntlng x-achs. Mn knnt, ss fü vschin Wt glich Funktionswt ψ möglich sin. Di zwit Abbilung symbolisit n gomtischn Ot ll Punkt mit m glichn Funktionswt ψp x A.9 ) Di Elktonnicht knn mn mit Wolknstllung nschulich stlln. Dis ntspäch in Übinnpojktion vil Momntufnhmn s Elktons. Hibi ligt i Vostllung s Elktons ls Punktlung (Tilchn) im Vogun. b) Di äumlich Dstllung Wllnfunktionn ψp stllt n gomtischn Ot ll Punkt, wlch n glichn Funktionswt ψ bsitzn. Mn knnt, ss glich Funktionswt bi vschinn Abstänn vom Atomkn ufttn. Ds ist möglich, wil i Funktion ψp uch inn winklbhängign Til ufwist. c) Ein Atom lässt sich uch Engizufuh (z. B. Wäm, Licht ) in Zustän höh Engi übfühn. Solch Zustän nnnt mn nggt. Fü i vschinn Engizustän s Wssstoff-Atoms xistin bstimmt Wllnfunktionn. Anggt Zustän sin z.b. ψp x un ψs. 48

49 Di Wllnfunktionn s Wssstoff-Atoms A. ) Di Engiwt innhlb ins bstimmtn Enginivus sin intisch; mn spicht in inm tign Fll von ntttn Engizustänn. b) Di Engizustän bzichnt mn mit klinn gnzn Zhln, n Huptquntnzhln. Si ntspchn n Elktonnschln (Huptnginivus). D zwit nggt Zustn ht i Huptquntnzhl n. Fü i Engizustän s Wssstoff-Atoms lifn i Bchnungn fü i Quntnzhl n jwils n Wllnfunktionn, wlch i Schöing-Glichung fülln. Fü n xistin lso 9 Wllnfunktionn. c) ψs: Glich Funktionswt lign uf Obfläch von Kugln (gomtisch Öt) mit m Atomkn ls Zntum. ψp: Nbn n Abstänn zum Atomkn ist i Göss Amplitun uch uch i Winkl θ un ϕ bstimmt. D gomtisch Ot ll Punkt mit m glichn Funktionswt ist i Obfläch von hntlfömign Köpn. 49