3. Wellenleiter Allgemeines Schichtwellenleiter

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Paula Walter
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1 . Wllnlit.. Allgmins Bi Wllnlitn hanlt s sich um ilktisch Stuktun, i aufgun ih Bchungsinvtilung in Lag sin, Licht (thotisch) vlustfi üb goss Distanzn zu fühn. Abb... zigt inn solchn Wllnlit. Abbilung..: Bispil fü inn Wllnlit. Ein Matial mit hohm Bchungsin n ist von inm Matial mit klinm Bchungsin n umgbn. Das Licht bitt sich ntlang z-achs aus. In y Ebn bsitzt Wllnlit in Bchungsinvtilung n(,, n kann abi auch kompl sin, wnn absobin o vstäkn Matialin vwnt wn. Das im Wllnlit gfüht Licht ist uch in Flvtilung E (, im Quschnitt s Wllnlits un in in Richtung s Wllnlits hamonisch Ausbitung gknnzichnt. E (, y, z) = E i( βz ωt) (, (..) β bzichnt abi i Ausbitungskonstant s Lichts. Di Flvtilung E (, ist nicht blibig, sonn hängt von Bchungsinvtilung n(, un Ausbitungskonstantn β ab. Di Bstimmung Flvtilung un azughöign Ausbitungskonstantn ist in Eignwtpoblm. Diss ist nu fü infach Stuktun analytisch lösba (z.b. fü n im Folgnn bspochnn Schichtwllnlit o fü zylinisch Wllnlit wi Glasfasn)... Schichtwllnlit D infachst Schichtwllnlit bstht aus i Schichtn mit untschilichn Bchungsinics n, n un n. D Bchungsin s Wllnlitkns (ngl. co) muss abi göss als i Bchungsinics Mantlschichtn (ngl. claing) sin. Im Folgnn stzn wi n < n < n voaus. Di Ausbitung gfühtn Wll kann man sich anschaulich als Folg von Totalflktionn an n Gnzflächn zum Matial mit klinm Bchungsin vostlln (Abb...). In ism infachn Bil gibt s fü n Winkl, unt m as Licht auf i Gnzfläch auftifft, kin Einschänkung ( muss nu üb m Totalflktionswinkl lign),.h. s istit in Vilzahl von gfühtn Mon

2 im Wllnlit. Dis ist allings nicht ichtig, a i Wllnnatu s Lichts völlig vnachlässigt wi. Abbilung..: Einfachs Moll Wllnfühung in inm Schichtwllnlit. Das Licht wi an n Gnzflächn total flktit. Ein gnau Btachtung fot in Lösung Mawllglichungn. Das Fl hängt nicht von -Kooinat ab, wi wähln ah als Ansatz fü i gfüht Mo im Wllnlit: E ( y, z) = E i( βz ωt) ( (..) Disn Ansatz stzn wi in i Wllnglichung..4 in un haltn i zitunabhängig Hlmholtzglichung: E( + ( kn( ) ) E( = (..) y π k ist i Wllnzahl im Vakuum, k =. λ Glichung.. ist mathmatisch intisch mit Schöingglichung: h Ψ + VΨ = ΕΨ m Ψ m => + ( E V ) Ψ = h (..) D Schichtwllnlit ist amit äquivalnt zum nlichn D Potntialtopf Quantnmchanik. Wi könnn ah n Lösungsansatz un i Stuktu Lösung übnhmn. Bim Wllnlit ist allings noch i Polaisation s Lichts zu bachtn. Bim Schichtwllnlit gibt s Lösungn fü TE polaisits Licht ( E paalll zu n Gnzflächn) un TM polaisits Licht ( E snkcht zu n Gnzflächn). Abb... zigt i bin möglichn Polaisationn. TE Polaisation TM Polaisation Abbilung..: Ointiung s lktischn Flvktos fü TE un TM polaisit Mon ins Schichtwllnlit. Di hllgau Schicht ist Wllnlitkn, i unklgaun Schichtn i Mantlschichtn

3 J nach Polaisation gbn sich an n Gnzflächn untschilich Ranbingungn. So ist bi TE Polaisation as lktisch Fl E an n Gnzflächn sttig, bi TM Polaisation ist i ilktisch Vschibung D sttig. Im Folgnn bschänkn wi uns auf TE polaisits Licht. Fü i i Bich s Wllnlits gbn sich i folgnn Glichungn: (I) + k ( n ) = E y y (II) + k ( n ) = E y y (..4) (III) + k ( n ) = E y y Als Ansatz wn abschnittswis finit Funktionn vwnt: py (I) E ( = A (II) E ( = A cos( q + A sin( q (..5) y (III) ( y = A E ) 4 Abb... zigt schmatisch n Flvlauf in gfühtn Mo in inm Schichtwllnlit Dick. Als Ranbingung stzt man an, ass i Fl bi goßm Abstan vom Wllnlitkn ggn Null ghn, was uch i Wahl s Vozichns im Eponntn Funktion gwählistt wi (p un sin positiv). Abbilung..: Flvlauf in gfühtn Mo in inm Schichtwllnlit. Das Fl klingt in n Mantlschichtn (I) un (III) ponntill ab

4 Einstzn von..5 in i Diffntialglichungn lift: (I) (II) (III) p = n k q = nk (..6) = n k Wi bschänkn uns nun auf symmtisch Wllnlit (n = n ). In ism Fall ist =p=γ, within stzt man k =q. Di möglichn Lösungn könnn in zwi Katgoin ingtilt wn: symmtisch (ga) un antisymmtisch (unga) Lösungn: γy (I) E ( = A (II) E( = A cos( k symmtisch Lösungn (..7) γy (III) E ( y = A ) γy (I) E ( = A (II) E( = A sin( k antisymmtisch Lösungn (..8) γy (III) E ( y = A ) Fü ga Lösungn gbn sich aus n Sttigkitsbingungn Flstäk un Ablitung Flstäk an n Gnzflächn (y=- un y=) folgn Zusammnhäng: λ / E / ) = E ( / ) => A = A cos( k / ) ( y= y= E E = y y => γ / γ A sin( / ) = k A k (..9) Fü unga Lösungn hält man: λ / E / ) = E ( / ) => A = A sin( k / ) ( y= y= E E = y y => γ / γ A cos( / ) = k A k (..) Division bin Glichungn..9 bzw... uchinan un Multiplikation mit lift: γ = ( k ) tan( k / ) fü ga Lösungn γ = ( k )cot( k / ) fü unga Lösungn (..) mit γ π cot( α) = tan + α könnn bi Glichungn zu in zusammngfüht wn: k π = k tan + m mit m=,,, (..)

5 Bi Bschänkung von k auf n Bich zwischn un π könnn amit i Lösungn uchnummit wn. m=,, 4,.. ntspicht n gan, m=,, 5, n ungan Lösungn. Wi bnötign zu Bstimmung von k un γ noch in zwit Glichung. Dazu subtahin wi i bin stn Glichungn von..6 voninan un multiplizin mit. Man hält: ( γ ) + ( k ) = ( n n )( k ) (..) Bi Glichungn müssn simultan füllt wn. Ein analytisch Lösung ist nicht möglich ist, i Lösungn lassn joch licht gaphisch bstimmn. Dazu tägt man wi in Abb...4 gzigt γ ggn k auf. Glichung.. lift in Scha von tan Funktionn mit inm Abstan von π/, Glichung.. finit inn (Vitl-) Kis mit m Raius u = k n n. Di Lösungn gbn sich aus n Schnittpunktn ntspchnn Kuvn (gau Punkt in Abb...4). m = m = m = m = u = 8 u = 8 γ 6 u = 6 4 u = 4 u = k Abbilung..4: Gaphisch Lösung Glichungn zu Bstimmung von γ un k. Man knnt, ass s imm inn Schnittpunkt zwischn m Vitlkis un stn tan Kuv (m=) gibt. D Wllnlit bsitzt also minstns in gfüht Mo, i sognannt Funamntalmo s Wllnlits. Bi Vgößung s Bchungsinkontasts zwischn Kn un Mantlschicht, bi Vgößung Wllnlitick

6 o bi klinn Wllnlängn wi u göß. In ism Fall könnn wit Schnittpunkt un amit wit Lösungn hinzukommn. Di Zahl m gibt abi i Zahl Knotn in Flvtilung an. Di Funamntalmo hat kin Knotn (m=), i höhn Mon bsitztn in zunhmn Anzahl von Knotn. Abb...5 zigt n Flvlauf Mon fü i vschin Wt von m. Abbilung..5: Flvtilung Funamntalmo (m=) un zwi höh Mon (m=,) in inm Schichtwllnlit.. Dispsion un ffktiv Bchungsin Duch Einstzn von γ bzw. k in..6 kann man i Ausbitungskonstant β bchnn. Tägt man i Fqunz ω ggn i Ausbitungskonstant β auf, so hält man i Dispsionslation s Wllnlits. Fü in homogns Matial mit konstantm Bchungsin ist i Dispsion uch in infach Ga ggbn (sih Abschnitt.): cβ ω = (..) n Di Dispsion Wllnlitmon ligt zwischn n Dispsionslinin von Wllnlitkn un Claing. In Abb... ist i Dispsion fü inn Wllnlit mit inm Halblitkn (n=) un inm Claing aus Luft (n=) agstllt. Di Funamntalmo istit bis zu blibig klinn Fqunzn un Ausbitungskonstantn, i höhn Mon wn st ab bstimmtn Fqunzn gfüht. Bi klinn Ausbitungskonstantn (goßn Wllnlängn) icht i Funamntalmo wit in i Claingschichtn hinin un i Dispsion Mo ligt ng an Dispsion s Claingmatials. Fü göß Ausbitungskonstantn (klin Wllnlängn) ziht sich i Mo mh un mh in n Kn s Wllnlits zuück un ih Dispsion näht sich s Knmatials an. Das glich Vhaltn zign auch i höhn Mon

7 Abbilung..: Dispsion un Flvtilung von i Mon ins Schichtwllnlits. Di schwazn Punkt am Bginn Dispsionskuvn fü m= un m= makin n Bich, ab m i Mo gfüht ist. Übhalb Dispsion fü n= lign i sognanntn Lckmon. Bi Lckmon fällt as Fl nicht ponntill in n Claingschichtn ab, sonn zigt auch hi in oszillins Vhaltn. In Quantnmchnik ntspchn Lckmo Zustänn, i in Engi obhalb Bai s nlichn Potntialtopfs bsitztn un amit nicht lokalisit sin. Analog zu Foml.. kann man nun j Mo inn ffktivn Bchungsin zuonn: cβ n ff = (..) ω Fü homogn Matialin ist n ff = n. Abb... zigt n Vlauf s ffktiv Bchungsin fü i Mon ins Schichtwllnlits. Abbilung..: Effktiv Bchungsin fü i Mon ins symmtischn Schichtwllnlits. Bi klinn Ausbitungskonstantn ligt ffktiv Bchungsin nah an m Claingschicht (n ), fü göß Ausbitungskonstantn näht sich imm mh m s Wllnlitkns (n ) an

8 .4. Asymmtisch Schichtwllnlit Bim asymmtischn Schichtwllnlit mit Bchungsinics n < n < n kann man i Lösungn nicht mh in ga un unga Lösungn unttiln, a Wllnlit kin Symmtibn mh bsitzt. Ein infach Möglichkit zu Bstimmung s ffktivn Bchungsin (un amit Flvtilung) ist in gaphischs Vfahn, bi m Wt aus inm Diagamm abglsn wi. Dazu bchnt man zunächst i nomit Fqunz u = k n n n n un n Asymmtipaamt a = (n = n zu Null). n n nff n Aus Abb..4. kann man ann n Ausbitungspaamt b = ablsn, aus m n n ffktiv Bchungsin bstimmt wn kann. Abbilung.4.: Diagamm zu Bstimmung s Ausbitungspaamts b ins asymmtischn Schichtwllnlits - 9 -

9 .5 Füllfakto D Füllfakto s Wllnlits ist finit als Antil Intnsität, im Kn s Wllnlits gfüht wi. Di Intnsität hängt quaatisch von Flstäk ab (sih Foml..). Damit gibt sich: Γ = / / I( y I( y = / / ε ε ( E( ε ε ( E( y y / / E( E( y y (.5.) Fü i ltzt Nähung nimmt man an, ass sich i Bchungsinics (un amit i lativn Dilktizitätskonstantn) im Wllnlit nicht stak untschin un ah als konstant angnommn wn könnn. Fü inn symmtischn Wllnlit kann Füllfakto analytisch ausgückt wn: + γ / u Γ = (.5.) + γ Mit u = k n un γ = k nff n n Fü klin Bchungsinuntschi gilt folgn Nähung: u Γ = (.5.) + u In is Nähungsfoml ghn üb u nu ikt bkannt Gößn in i Glichung in, vwnt man Glichung.5. so muss zunächst noch ffktiv Bchungsin n ff bstimmt wn. Abb.5. zigt n Füllfakto ins Schichtwllnlit fü vschin Paamt. Abbilung.5.: Füllfakto ins symmtischn Schichtwllnlits mit n =.6 un n =n = Di gstichlt Lini ist i Nähung

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