MA 440 Geometrie 2. Johanna Schönenberger-Deuel, Dirk Zeindler

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1 MA 440 Geometrie 2 Johanna Schönenberger-Deuel, Dirk Zeindler 19. Mai 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Goldener Schnitt Was ist der Goldene Schnitt? Konstruktionen des Goldenen Schnitts und Eigenschaften Goldene Rechtecke und Dreiecke Weitere Konstruktionen mit dem Goldenen Schnitt Reguläre Polygone Definitionen und Berechnungen Reguläres n-eck Konstruktionen regulärer n-ecke mit Zirkel und Lineal Zwei Näherungskonstruktionen des regulären Siebeneck Glaser Konstruktion Schreiner Konstruktion Symmetrien Gruppen Die Gruppe der Permutationen Die Gruppe der Isometrien Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen regelmässige Vielecke Bandornamente Flächenornamente (Parkette) Euklidische und Nichteuklidische Geometrien Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie Modelle nichteuklidischer Geometrien Beispiel einer elliptischen Geometrie Kleinsches Modell einer hyperbolischen Geometrie Poincaré- Modell einer hyperbolischen Geometrie Künstlerischer Abschluss Graphen und Algorithmen Einführung i

3 5.2 Grundbegriffe Über Grade von Ecken Bäume Minimal aufspannendebäume (Minimal Spanning Tree) Kürzeste Wege in Graphen Eulersche Graphen Hamiltonsche Graphen Index 90

4 Kapitel 1 Goldener Schnitt Die Geometrie birgt zwei grosse Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere ist der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen., Johannes Kepler, Der Goldene Schnitt ist das wohl berühmteste Zahlenverhältnis. Abbildung 1.1: Pentagram Das Pentagramm kommt nicht nur in der Geometrie vor, es ist ein wichtiges Zeichen in der Magie (Drudenfuss: Schutzzeichen fr Hexen und Druden). In der Antike ist das Pentagramm ein Symbol für dunkle, unergründliche Zusammenhänge. Es war das Erkennungszeichen des pythagoräischen Geheimbundes. Beim pythagoräischen Weltbild beruhen alle Harmonien auf ganzzahligen Verhältnissen. 1

5 1.1 Was ist der Goldene Schnitt? Aufgabe Untersuchen Sie das regelmässige Fünfeck. Zeichnen Sie die Diagonalen. Welches ist das Verhältnis von Diagonale zu Seite? 2

6 Hippasos von Metapont hat aber schon um 450 v. Chr. entdeckt, dass gerade im Pentagramm das Verhältnis von Diagonale zu Seite kein gemeinsames Mass enthält, d.h. sie sind kein ganzzahliges Vielfaches einer geeigneten Strecke c. Mit anderen Worten: Das Seite Verhältnis ist irrational. Dies haben Sie in der obigen Aufgabe herausgefunden. Diagonale Wir setzen Definition Es sei ein regelmässiges Fünfeck gegeben mit Seitenlänge s und Diagonale d gegeben. Wir definieren dann σ := Seite Diagonale = s d τ := Diagonale Seite = d s (1.1) Die Verhältnisse σ und τ sind irrationale Zahlen. In der Geometrie kommen diese Verhältnisse auch in anderen Zusammenhängen vor. Definition Der Punkt T teilt die Strecke AB stetig oder im goldenen Schnitt, wenn gilt: Die ganze Strecke d verhält sich zum längeren Abschnitt s, wie der längere Abschnitt s zum kürzeren d s. In Formeln bedeuted dies d s = s. d s Abbildung 1.2: stetige Teilung Der länger Abschnitt heisst Major, der kürzere Minor. Satz In einem regulären Fünfeck teilen die Schnittpunkte der Diagonalen die Diagonalen stetig. Weiter gilt τ = σ = (1.2) 3

7 Beweis. Behauptung: (DAE) = (CAD) = (BAC) = 36 Abbildung 1.3: reguläres Fünfeck - Pentagramm Wir wissen, dass (DEA) = 108. Da das Dreieck gleichschenklig ist, folgt (DAE) = = 36. Aus Symmetrie folgt dann auch (BAC) = 36. Weiter gilt (CAD) = 108 (DAE) (BAC) = 36. Dies beweist die Behauptung. Aus der Behauptung folgt nun, dass die Dreiecke ABD und BT A ähnlich sind. τ = 1 τ 1 τ = 1 σ = σ 1 σ AD AB = AB d AT s = s d s τ 2 τ 1 = 0 τ = σ 2 + σ 1 = 0 σ = 2 (1.3) (1.4) (1.5) 4

8 1.2 Konstruktionen des Goldenen Schnitts und Eigenschaften Die Strecke d = 10 cm soll im Goldenen Schnitt geteilt werden. Warum besitzen d und s kein gemeinsames Mass m? Abbildung 1.4: gemeinsames Mass? Bis jetzt haben noch nicht beweisen, dass d und s kein gemeinsames Mass m haben. Wir geben hier zuerst einen algebraischen Beweis und gehen dann kurz auf einige historische Beweisideen ein. Satz Es gilt τ = d s / Q und σ = s d / Q. Beweis. Wir machen die Annahme, dass τ Q und führen dies auf einen Widerspruch. Falls also τ Q, dann gibt es p, q N mit τ = p. Wir können annehmen, dass ggt (p, q) = q 1, insbesondere also das q minimal gewählt ist. Aus der Gleichung τ = d = s folgt nun τ = p = q. Dies ist aber ein Widerspruch zur s d s q p q Minimalität von q, da τ = (> 1) und auch p q < q. q p q 5

9 Beweisidee von Hippasos Hippasos von Metapont (ca. 450 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus dem Kreis der Pythagoräer. Nach den Überlieferungen hat Hippasos zur glänzenden antiken Musiktheorie wesentliches beigetragen. Er entwickelte Tonleitertheorien und Ähnliches. Abbildung 1.5: Hippasos Auch wird heute angenommen, dass er es war, der die berühmte Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Fünfeck (Pentagramm), dem pythagoräischen Ordenssymbol, fand. Versucht man nämlich durch Wechselwegnahme zwischen Seite und Diagonale eine kleinste gemeinsame Teilstrecke zu finden, so stösst man auf ein kleineres Pentagramm, in dem die Streckenverhältnisse wieder der Ausgangssituation gleich sind und so weiter. Es gibt die Legende, dass die Pythagoräer Hippasos im Meer ertränkt haben sollen, weil er diesen berühmten Beweis veröffentlicht hat. Eine andere Beweisidee Fügt man Fünfecke so aneinander, dass die Seite s n des n-ten Fünfecks die Diagonale d n+1 des d n+1 -ten Fünfecks wird, so gilt für jedes n: d n+1 = s n d n s n = s n s n+1 = d n+1 s n+1 τ = d n s n = d n+1 s n+1 = (1.6) Hätten d n und s n ein gemeinsames Mass m, dann hätten es auch d n+1 und s n+1. Nun werden aber die Fünfecke mit wachsendem n immer kleiner, also kleiner als jedes Mass 6

10 Abbildung 1.6: Hippasos m. Das ist nicht möglich, also gibt es kein gemeinsames Mass m. Der Name Goldener Schnitt ist im 19. Jahrhundert entstanden, wahrscheinlich aus sectio divina (Kepler) undregula aurea (goldene Regel). Der Goldene Schnitt spielt in der Kunst eine grosse Rolle. Warum der Name stetige Teilung? Satz Trägt man bei einer stetig geteilten Strecke a den Minor (die kürzere Strecke) auf dem Major s (längere Strecke) ab, so wird der Major wieder im Goldenen Schnitt geteilt. Aufgabe: machen Sie eine Skizze zu Satz und beweisen Sie den Satz. 7

11 Weitere Beziehungen von τ und σ Da τ > 0 und τ 2 = 1 + τ, erhalten wir für τ die Wurzelfolge τ = 1 + τ = τ = τ = Für σ gilt 1 = σ 2 + σ = σ(σ + 1), also σ = 1 Kettenbruch σ = σ = σ = 1+σ σ (1.7) und damit erhalten wir für σ den Man kann auch Näherungswerte für σ berechnen: σ 7 = ist ein guter Näherungswert für σ = (1.8) Vergleichen Sie das Rechteck R mit den Seitenlängen 13 und 21 und das Goldene Rechteck mit den Seitenlängen 13 und 13τ (= )! Vergleichen Sie auch die Zahlenfolge der Zähler sowie diejenige der Nenner! Sie erkennen bestimmtdie Fibonacci-Folge. 8

12 1.3 Goldene Rechtecke und Dreiecke Definition Ein Rechteck mit Seitenverhältnis d s = τ heisst Goldenes Rechteck. Abbildung 1.7: Goldenes Rechteck Goldene Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke mit Seitenverhältnis d s = τ. Somit gibt es spitzwinklige oder stumpfwinklige Goldene Dreiecke. Abbildung 1.8: Goldene Dreiecke Aufgabe Zeichnen Sie im regulären Fünfeck die beiden Arten Goldener Dreiecke ein. Abbildung 1.9: reguläres Fünfeck Die Rechtecke R n mit den Seiten d n und s n sind Goldene Rechtecke. Die kürzere Seite des grösseren Rechtecks R n ist immer die längere Seite des nachfolgenden kleineren Rechtecks R n 1. 9

13 Abbildung 1.10: Goldene Rechtecke Bemerkung: Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggt zweier natürlicher Zahlen kann man schön zeigen, dass für Goldene Rechtecke kein gemeinsames Mass der beiden Seiten existiert. Euklidischen Algorithmus Die Idee des Euklidischen Algorithmus basiert auf folgender Beobachtung: ggt (a, b) = ggt (b, a b) für a > b und a, b N (1.9) denn aus ggt (a, b) = m, folgt a = pm und b = qm fürp, q N, also a b = m(p q). z.b. ggt (15, 9) = ggt (9, 6) = ggt (6, 3) = ggt (3, 3) = 3. Zeichnen Sie dazu ein Rechteck mit Seitenlängen 15 und 9. Von diesem Rechteck nimmt man solange ein Quadrat (Seitenlänge = kleinere Rechteckseite) weg, bis ein Quadrat übrig bleibt. Mit diesem Quadrat lässt sich das gegebene Rechteck auspflastern, seine Seite ist das grösste gemeinsame Mass der Rechteckseiten. 10

14 Folgerung: Erscheint beim Verfahren des Euklidischen Algorithmus ein Rechteck, das zum gegebenen ähnlich ist, so kann nie ein Quadrat übrig bleiben, es gibt also kein gemeinsames Mass der Rechteckseiten. Beispiele 1. In Rechtecken des DIN-Formats ist das Verhältnis der Seiten 2 Vergleichen Sie die beiden Rechtecke! Abbildung 1.11: DIN-Rechteck und Näherung 2. Vergleichen Sie das Goldene Rechteck mit dem Seitenverhältnis τ und ein Rechteck mit Seitenverhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen. Abbildung 1.12: Goldenes Rechteck und Näherung 11

15 3. Die Vorderfront des Parthenon (Athen, 432 v. Chr.) passt fast exakt in ein Goldenes Rechteck. Abbildung 1.13: Parthenon 12

16 1.4 Weitere Konstruktionen mit dem Goldenen Schnitt 1. Goldenes Rechteck mit gegebener Breite b 2. Reguläres 5- Eck mit gegebener Seite s 3. Reguläres 5- Eck und 10-Eck mit gegebenem Umkreis r 13

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18 Kapitel 2 Reguläre Polygone Abbildung 2.1: Max Bill 2.1 Definitionen und Berechnungen Definition Ein Polygon ist ein Streckenzug. Dieser kann geschlossen oder offen sein. (Wir betrachten nur ebene Polygone.) Die Ecken werden aufeinander folgend nummeriert: A 0, A 1,..., A n. 15

19 Gilt A 0 = A n, so ist das Polygon geschlossen. Abbildung 2.2: Polygone 2. Ein geschlossenes ebenes Polygon heisst konvex, wenn mit je zwei Punkten im Innern des Polygons auch deren Verbindungsstrecke im Innern liegt. Abbildung 2.3: Polygone 3. Ein geschlossenes Polygon heisst regulär, wenn alle Seite gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross sind. Satz Zu jedem n 3 gibt es ein konvexes reguläres n-eck. Für festes n sind je zwei konvexe reguläre n-ecke ähnlich. 16

20 Aufgabe Konstruieren Sie ein reguläres Sechseck und ein reguläres Sternsechseck mit Hilfe der Kreisteilung. 17

21 2.1.1 Reguläres n-eck Bezeichnungen am regulären n-eck: s n = Seite r n = Umkreisradius ρ n = Inkreisradius α n = Zentriwinkel θ n = Innenwinkel Abbildung 2.4: Kreisteilung Welche Zusammenhänge bestehen zwischen s n, r n, ρ n, α n, θ n? Berechnen Sie die Innenwinkel des regulären n-ecks. Welches ist der Flächeninhalt? 18

22 2.2 Konstruktionen regulärer n-ecke mit Zirkel und Lineal Euklid schränkte die für die Konstruktion zulässigen Hilfsmittel ein auf Zirkel und Lineal. In seinem Standardwerk Elemente (um 300 v. C.) gibt er Konstruktionen für das gleichseitige Dreieck, das Quadrat, das regelmässige Fünf- und Fünfzehneck an. Durch fortgesetzte Winkelhalbierung können also die folgenden n-ecke konstruiert werden. n = 3, 6, 12, 24,... n = 4, 8, 16, 32,... n = 5, 10, 20, 40,... n = 15, 30, 60, 120,... Welche weiteren regulären n-ecke können mit Euklids Hilfsmittel konstruiert werden? Carl Friedrich Gauss ( ) hat diese Frage mit 19 Jahren beantwortet. Satz (Satz von Gauss). Ein reguläres n-eck kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn in der Primfaktorzerlegung von n jeder ungerade Primfaktor eine Fermat-Primahl F k ist und nur in erster Potenz vorkommt. Die k-te Fermat-Zahl ist definiert durch Also gilt F k = 2 (2k ) + 1 (2.1) reguläres n-eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar n = 2 i F l F m (2.2) Fermat-Zahlen F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = keine Primzahl (Fermat hielt diese Zahl fälschlicherweise für prim.) Auch für die nächsten 11 Werte k = 6, 7,... 15, 16 ist die Fermat-Zahl keine Primzahl. Kleines Fermat-Problem Es ist eine offene Frage, ob es ausser F 0,, F 4 noch weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim 19

23 UZH Geometrie 2 FS10 sind.! Nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind also die folgenden regula ren n-ecke: n = 7, 9 (= 32 ), 11, 13, 18 (= 2 32 ), 19, 114(= ),... (2.3) H.W. Richmond fand 1893 eine einfache Konstruktion des regula res 17-Ecks. Gauss hat nur bewiesen, dass das Eck konstruierbar ist. Johann Gustav Hermes hat dieses Polygon konstruiert. Man kann dies nachlesen in U ber die Teilung des Kreises in gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Math.-Phys.Klasse, Bd. 1894, Heft 3, S Hermes war Mathematiklehrer in Lingen, arbeitete 10 Jahre am regula ren Eck und deponierte das Manuskript in einem grossen, flachen Handkoffer im mathematischen Institut der Universita t Go ttingen. Dieses Diarium der Kreisteilung entha lt auf 191 Bla ttern vom Format 47cm 55 cm Konstruktionen und riesige Tabellen. Felix Klein hat Hermes fu r diese Fleissarbeit den Doktortitel der Universita t Go ttingen verliehen. Die Richtigkeit der Konstruktion hat wohl nie jemand nachgepru ft. Abbildung 2.5: Konstruktion des Ecks 20

24 2.3 Zwei Näherungskonstruktionen des regulären Siebeneck Abbildung 2.6: Dobrodaner Ornament: reguläres 7-Eck Aus dem Satz von Gauss wissen wir, dass es nicht möglich ist ein beliebiges n Eck exakt zu konstruieren. Anstelle davon verwendet man eine Näherungskonstruktionen. Wie der Name schon sagt, ist das Resultat einer solchen Konstruktion nur ungefähr ein reguläres n Eck, selbst wenn man 100% genau konstruieren könnte. Wir geben hier zwei Beispiele. 21

25 2.3.1 Glaser Konstruktion 1. Gegeben ist der Umkreis mit Mittelpunkt M und Radius r. 2. AE sei ein Durchmesser, M EM die Mitte von EM. 3. Die Senkrechte h zu AE durch M EM schneidet den Kreis in B und C. Wie gross ist der absolute Fehler? s 7 BM EM = s 3 2 (2.4) Abbildung 2.7: Glaser Konstruktion 22

26 2.3.2 Schreiner Konstruktion Gegeben ist wieder der Umkreis k mit Mittelpunkt M und Radius r. 1. Einen Durchmesser AA konstruieren 2. Senkrechte h zu AA durch M geschnitten mit k ergibt den Punkt B. 3. Durchmesser in n gleiche Teile teilen. 4. Strecken MA und MB um je ein Teilstück des Durchmessers verlängern E, D. 5. Strecke ED schneidet den Kreis k in F und G (mit AF < AG ) 6. C ist von A aus der 3. Teilpunkt des Durchmessers Wie gross ist hier der absolute Fehler? s 7 CF (2.5) Bemerkung: Im Gegensatz zur Glaserkonstruktion kann man mit der Schreinerkonstruktion neben dem 7 Eck auch das 9, 11, 13 Eck näherungsweise konstruieren. C bleibt immer der 3. Teilpunkt. Abbildung 2.8: Schreiner Konstruktion mit n = 9 23

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28 Kapitel 3 Symmetrien 3.1 Gruppen Geometrische und algebraische Untersuchungen werden vergleichbar wegen ihrer Strukturen. Definition Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung, die zwei Elementen von M wieder ein Element von M zuordnet. Die Verknüpfung heisst assoziativ, falls gilt: Beispiel assoziative Verknüpfungen : M M M, (x, y) x y M. (3.1) x (y z) = (x y) z (3.2) 1. M = Menge aller Abbildungen ϕ einer Menge A auf sich. Die Verknüpfung sei definiert als Hintereinanderschachtelung von Abbildungen. ) (ϕ 1 ϕ 2 )(x) = ϕ 1 (ϕ 2 (x) (3.3) Dann ist sie assoziativ, denn ( ( ) ( ( ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) )(x) = ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 )(x) = ϕ 1 ϕ 2 ϕ3 (x) )) ) ( ( ( ((ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 (x) = (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 (x) )= ϕ 1 ϕ 2 ϕ3 (x) )). (3.4a) (3.4b) 2. (N, +) : Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung + : N N N, (x, y) x + y (3.5) 25

29 3. (N, ) : Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung : N N N, (x, y) x y (3.6) Definition Eine Gruppe (G, ) besteht aus einer Menge G und einer assoziativen Verknüpfung, so dass gilt: : G G G, (x, y) x y G. (3.7) (i) Es gibt ein Element e, das Neutralelement von G, mit der Eigenschaft: a e = e a = a a G. (3.8) (ii) Zu jedem Element a G gibt es ein inverse Element a 1 mit der Eigenschaft: a G a 1 G : a a 1 = a 1 a = e. (3.9) Eine Gruppe heisst abelsch, falls die Verknüpfung kommutativ ist, d.h. Beispiel Gruppen a b = b a a, b G. (3.10) 1. (Z, +) : Die Menge aller ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung ist eine abelsche Gruppe. + : Z Z Z, (x, y) x + y (3.11) Das neutrale Element ist 0, das zu x inverse Element ist x. 2. (Q \ {0}, ) : Die Menge aller von 0 verschiedenen rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung ist eine abelsche Gruppe. : Q Q Q, (x, y) x y (3.12) Das Neutralelement ist 1, das zu x inverse Element ist x 1 = 1 x. Satz Eigenschaften von Gruppen Ist (G, ) eine Gruppe, so ist das Neutralelement e eindeutig bestimmt. Ist (G, ) eine Gruppe, so ist das inverse Element jedes Elemente eindeutig bestimmt. 26

30 Definition Zwei ebene Figuren F 1 und F 2 heissen kongruent, wenn es eine Isometrie ϕ gibt, so dass gilt: Man schreibt: F 1 = F2. ϕ(f 1 ) = F 2 (3.13) Satz Die Kongruenz von Figuren ist eine Äquivalenzrelation. Es gilt: 1. Reflexivität: F 1 = F1 2. Symmetrie: F 1 = F2 F 2 = F1 3. Transitivität: F 1 = F2 und F 2 = F3 = F 1 = F3 27

31 3.2 Die Gruppe der Permutationen Alle Gruppen die wir bisher betrachtet haben sind abelsch. Dies ist jedoch im allgemeinen nicht der Fall. Wir geben hier ein Beispiel einer nicht abelschen Gruppe. Definition Es sei n N fix. Eine Permutation von n ist eine bijektive Abbildung Wir setzen und τ σ(m) := τ(σ(m)) σ : {1,, n} {1,, n}. (3.14) S n := {σ; σ Permutation von n} (3.15) Eine mehr anschauliche Interpretation ist die folgende: Es seien n Stühle gegeben, nummeriert von 1 bis n, besetzt von n Personen. Eine Permutation von n ist ein Platzanweiser, welcher die Personen nach einem fixen Muster umsetzt. Ein Möglickeit ist zum Beispiel die Personen auf den Stühlen 1 und 2 zu vertauschen. Der Platzanweiser unterliegt allerdings auch Einschränkungen. Ihm ist es nicht erlaubt mehr als eine Person auf einen Stuhl zu setzten oder jemanden raus zu werfen. S n ist dann die Menge aller möglichen Platzanweiser. Die Verknüpfung τ σ kann man auch ganz einfach interpretieren: Erst setzt der Platzanweiser σ die Personen um und anschliessend der Platzanweiser τ. Satz (S n, ) ist eine Gruppe mit Neutralelement e = id. Eine Element von S n lässt sich folgendermassen schreiben: ( ) n σ = σ(1) σ(2) σ(3) σ(n) Die Gruppe S n ist nicht abelsch. Um dies zu sehen, wählen wir ( ) ( ) σ = τ = (3.16) (3.17) Es folgt τ σ = ( ) σ τ = ( ) (3.18) 28

32 3.3 Die Gruppe der Isometrien Die Isometrien der Ebene sind spezielle Abbildungen der Ebene. Definition Iso = Menge aller Isometrien der Ebene (bzw. des Raumes) Satz (Iso, ) ist eine Gruppe mit ( ϕ 2 ϕ 1 ) (x) := ϕ2 (ϕ 1 (x)). Das Neutralelement ist die identische Abbildung id mit id(x) = x. Die Gruppe ist nicht abelsch. Die Gruppe (Iso, ) wird als die Isometrie-(Kongruenz-)gruppe der Ebene (bzw. des Raumes) auf sich bezeichnet. Sie heisst auch die Bewegungsgruppe der Ebene (bzw. des Raumes). Definition Ist M eine Teilmenge der Ebene (bzw. des Raumes), dann bezeichnet Iso(M) die Menge aller Isometrien von M auf sich selbst, also die Symmetrien von M. M kann auch die ganze Ebene (bzw. der ganze Raum) sein: Iso. Struktur von Iso(M) - Sind ϕ, ψ Iso(M), dann auch ϕ ψ Iso(M). - Jedes ϕ Iso(M) ist bijektiv und ϕ 1 Iso(M). Definition Sei (G, ) eine Gruppe. Eine Teilmenge H von G heisst Untergruppe von (G, ), wenn folgendes gilt: e H, (3.19) g h H g, h H, (3.20) g 1 H g H. (3.21) Satz (Iso(M), ) ist eine Untergruppe von (Iso, ). Iso(M) nennt man auch die volle Symmetriegruppe von M. Beispiel Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks. G = {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ψ 1, ψ 2, id} Die 3 Abbildungen ϕ i sind die Spiegelungen an den Seitenhalbierenden; die ψ i sind die Rotationen um 120 bzw. um 240. Welche Teilmengen von G bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe? 29

33 3.4 Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen Satz Die Menge der Ähnlichkeitsabbildungen mit der Verknüpfung von Abbildungen bildet eine Gruppe. Satz Untergruppen der Ähnlichkeitsabbildungsgruppe sind: 1. die Menge der gleichsinnigen Ähnlichkeitsabbildungen Dagegen bildet die Menge der ungleichsinnigen Ähnlichkeitsabbildungen keine Untergruppe. 2. die Menge Dilatationen (wegen der Sätze 16 und 17) 3. die Menge der Translationen, sogar eine kommutative Untergruppe der Gruppe der Dilatationen. 4. die Menge der zentrischen Streckungen mit gleichem Zentrum, eine kommutative Gruppe. Das gilt nicht für zentrischen Streckungen mit verschiedenen Zentren. 5. die Menge aller Drehstreckungen mit gleichem Zentrum, eine kommutative Gruppe. 6. die Menge aller Drehstreckungen und Klappstreckungen mit einem gemeinsamen Fixpunkt S, eine nicht kommutative Gruppe. 30

34 3.5 regelmässige Vielecke Definition Eine Figur F heisst symmetrisch, wenn es mindestens eine Isometrie ϕ( id) gibt, die F auf F abbildet. 2. Gilt ϕ(f ) = F, dann heisst ϕ eine Symmetrie von F. Eine ebene Figur F kann folgende Symmetrien aufweisen: - achsensymmetrisch - punktsymmetrisch - rotationssymmetrisch - translationssymmetrisch - schubspiegelsymmetrisch Satz Die Menge der Symmetrien einer Figur bildet bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe. Satz Jedes reguläre n-eck besitzt 2n Symmetrien, nämlich - n Rotationen (Sie bilden die Drehgruppe des n -Ecks) - n Achsenspiegelungen Definition Die Symmetriegruppe des regulären n-ecks heisst Diedergruppe D n. (Dieder heisst Zweiflächner, Polyeder Mehrflächner) D 1 = Abbildungsgruppe eines gleichschenkligen Dreiecks (oder eines Drachenvierecks) D 1 = {id, s a } (3.22) 31

35 D 2 = Diedergruppe des Zweiecks, Abbildungsgruppe eines Rechtecks D 2 = {id, s a, s b, s M } (Kleinsche Vierergruppe) (3.23) D 3 =Diedergruppe des gleichseitigen Dreiecks D 3 = {id, s a, s b, s c, R S,120, R S,240 } (3.24) R 3 = {id, R S,120, R S,240 } (3.25) R 3 = ist die Drehgruppe des gleichseitigen Dreiecks; sie ist eine zyklische Untergruppe von D 3, wobei R S,120 die Untergruppe R 3 erzeugt. 32

36 D 4 = Diedergruppe des Quadrates (und ihre Untergruppen, Haus der Vierecke) 33

37 3.6 Bandornamente Bis jetzt untersuchten wir die Symmetriegruppen von Vielecken. Diese bestehen immer aus endlich vielen Geradenspiegelungen, Punktspiegelungen und Rotationen. Nimmt man noch die Translationen dazu, kann man Parkettierungen und Bänder untersuchen. Ein Bandornament ist ein Bandmuster mit fester Höhe, das sich auf beide Seiten unendlich fortsetzt und (mindestens) Translationssymmetrie aufweist. Welche Symmetrien weisen die obigen Bänder auf? Suchen Sie noch weitere Bandornamente mit anderen Symmetrien. Wie viele verschiedene Klassen finden Sie? 34

38 Die 7 Symmetrieklassen der Bandornamente Die einfachste Symmetrieklasse besitzt nur Translationssymmetrie. Die weiteren Symmetrieklassen können Achsensymmetrien an vertikalen Achsen und an der Mittelparallelen oder auch Punktsymmetrien und Schubspiegelungen aufweisen. (Die folgenden Beispiele für die Symmetrieklassen sind einem Skript von Hans Walser von der Uni Basel entnommen.) Abbildung 3.1: Symmetrieklasse F 1 : nur Translation Abbildung 3.2: Symmetrieklasse F 2 : Translationen, Punktspiegelungen Abbildung 3.3: Symmetrieklasse F 3 : Translationen, Spiegelung an horizontaler Achse Abbildung 3.4: Symmetrieklasse F 4 : Translationen, Spiegelungen an vertikalen Achsen 35

39 Abbildung 3.5: Symmetrieklasse F 5 : Translationen, Punktspiegelungen, Spiegelung an horizontaler Achse, Spiegelungen an vertikalen Achsen Abbildung 3.6: Symmetrieklasse F 6 : Translationen, Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen Abbildung 3.7: Symmetrieklasse F 7 : Translationen, Schubspiegelung 3.7 Flächenornamente (Parkette) Ein Flächenornament ist eine Figur der Ebene, die zwei Translationssymmetrien besitzt, und zwar in 2 Richtungen. Die beiden Translationen werden durch zwei linear unabhängige Vektoren u und v bestimmt, so dass jede Translation um den Vektor w = λ u + µ v (λ, µ Z) die Figur auf sich selbst abbildet. Wählt man die beiden Vektoren u und v mit möglichst kleiner Länge, so heisst das von aufgespannte Parallelogramm ein Elementarbereich des Flächenornaments. Alle Elementarbereiche haben aber den gleichen Flächeninhalt. Die 17 Symmetrieklassen der Flächenornamente Auch bei zweidimensionalen Flächenornamente gibt es nur endlich viele Symmetrieklassen. Der Kristallograph E. S. Fedorov hat 1891 gezeigt, dass es 17 Symmetrieklassen gibt. 36

40 Abbildung 3.8: c 1949 M:C: Escher Foundation - Baarn - Holland. All rights reserved Diese wurden 1924 von George Polya ( , ETH Zürich und Stanford) und Paul Niggli ( , ETH und UNI Zürich) wiederentdeckt. 37

41 Abbildung 3.9: aus L Tarassow. Symmetrie, Symmetrie, Spektrum Verlag, Heidelberg, Berlin,

42 Kapitel 4 Euklidische und Nichteuklidische Geometrien 4.1 Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie Euklids Elemente bestehen aus 13 Büchern. Sie haben kein Vorwort, keine Einleitung. Es werden keine Ziele formuliert, keine Motivation, kein Kommentar. Das Werk beginnt abrupt mit 23 Definitionen. Definition Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Abbildung 4.1: Wo ist der Punkt? Wie gross ist ein Punkt? Euklids Elemente unterscheiden sich von den heutigen axiomatischen Theorien wesentlich. Euklid definiert auch die Grundbegriffe: Punkte, Geraden, Ebenen. 39

43 Heute verzichtet man meist auf solch exakte Definitionen der Grundbegriffe. Seit David Hilbert( ) werden in Axiomensystemen die Grundbegriffe nicht näher definiert, erhalten also keine inhaltliche Bedeutung. Dafür werden Eigenschaften gewisser Relationen zwischen den Grundbegriffen postuliert. Euklids Modell hat sich über mehr als 2000 Jahre bewährt in Naturwissenschaft, Technik und Kultur. Es wurde auch für andere Wissenschaften zum Vorbild wissenschaftlicher Darstellung von Theorien. Die sogenannte Euklidische Geometrie kann als die abstrakte Beschreibung unserer ebenen und räumlichen Erfahrung aufgefasst werden. Der Abdruck eines Axiomensystems ist dem folgenden Buch entnommen. H: Scheid, W. Schwarz: Elemente der Geometrie, Elsevier Spektrum akademischer Verlag, 4. Auflage, 2007, p

44 4.2 Modelle nichteuklidischer Geometrien Der Anstoss zur weiteren Entwicklung der Geometrie hat das Parallelenaxiom gegeben, das besagt, dass es zu jeder Geraden durch jeden Punkt genau eine Parallele gibt. Man hat lange geglaubt, dass dieses Axiom aus den ersten vier hergeleitet werden kann. Erst als man Ende des 18. Jahrhunderts die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms nachweisen konnte, war der Weg frei zu anderen Geometrien, den sogenannten nichteuklidischen Geometrien. Als erster erkannte Carl Friedrich Gauss ( ), dass eine in sich widerspruchsfreie Geometrie entsteht, wenn man annimmt, dass zu einer Geraden durch einen nicht auf ihr gelegenen Punkt mehrere Parallelen gezogen werden knnen. Das war die Geburt der nichteuklidischen Geometrie. Aus Furcht vor dem Geschrei engstirniger Philosophen hat Gauss seine berlegungen nicht verffentlicht. Gauss, dann aber auch Janos Bolyai ( ) und Nicolai Lobatschewsky ( ) begründeten mit diesen neuen Gedanken die erste nichteuklidische Geometrie. Felix Klein ( ) kreierte dafür den Namen hyperbolische Geometrie. (hyperbole heisst griechisch der Überschuss: in der neuen Geometrie gibt es einen Überschuss an parallelen zu einer Gerade durch einen Punkt!). Eine Geometrie ohne Parallelen heisst elliptisch und die Euklidische Geometrie parabolisch. 41

45 4.2.1 Beispiel einer elliptischen Geometrie Definieren wir auf der Kugeloberfläche die Grundbegriffe folgendermassen: Definition PUNKT: Paar diametral entgegengesetzter Punkte GERADE: Grosskreis auf der Kugel Damit bestimmen 2 PUNKTE genau eine GERADE und 2 GERADEN genau einen PUNKT. Zu einer gegebenen Gerade gibt es durch einen PUNKT ausserhalb der GERADEN keine Parallele! Dies ist ein Beispiel einer Geometrie ohne Parallelen. Bemerkung Eine elliptische Geometrie ist auf einer Fläche mit positiver Krümmung lokalisiert (z.b. Kugeloberfläche). Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1916) gilt in einer elliptischen Geometrie. Die Geometrie des Universums ist elliptisch, da dem Weltraum wegen der Verteilung der Massen im Gravitationsfeld eine positive Krümmung zugeschrieben wird. Nach Einstein ist der Krümmungsradius mindestens Lichtjahre. Die euklidische Geometrie als parabolische Geometrie hat die Krümmung null. Eine hyperbolische Geometrie ist auf einer Fläche mit negativer Krümmung lokalisiert (z.b. auf einer Pseudosphäre). 42

46 4.2.2 Kleinsches Modell einer hyperbolischen Geometrie Das Kleinsche Modell einer hyperbolischen Geometrie heisst auch Bierdeckelgeometrie. Definition Unter einer Ebene versteht man das Innere eines Kreises. Eine Gerade ist jede durch den Rand des Kreises begrenzte Strecke. Ein Punkt ist ein euklidischer Punkt im Kreisinnern. Dann ist jede Gerade, die nicht durch das Innere des Winkels AP B geht, eine Parallele zu g durch P. Die Bewegungen sind Spiegelungen, die durch Polarenspiegelungen definiert sind. (gewöhnliche Geradenspiegelung, falls g durch den Kreismittelpunkt geht.) Die Spiegelung ist involutorisch, d.h. S g S g = id. Die Axiome (13) bis (16) gelten. Die Verknüpfungen von Spiegelungen sind invertierbar, damit ist Axiom (13) erfüllt, d.h. die Bewegungen bilden eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung. Auch Axiom (14) ist erfüllt: Die Abbildung einer Strecke ist die Strecke der abgebildeten Endpunkte. (Axiome 15 und 16 nicht erklärt) Bemerkung Die Länge einer Strecke ABim Kleinschen Modell wird folgendermassen definiert: Zuerst betrachtet man die Gerade (Sehne), auf der die beiden Punkte liegen. Diese Gerade hat die euklidischen Endpunkte U, V. Die Länge l der Strecke AB im Kleinschen Modell wird definiert durch die Gleichung ( l = l(ab) = AU ln BU : AV BV ) Dabei wird der natürliche Logarithmus genommen und AU (usw) sind die euklidischen Längen der entsprechenden Strecken. Ist dies eine vernünftige Längendefinition? 1. l(aa) = 0, denn ln 1 = 0 2. l(ab) = l(ba) 3. Nähert sich A dem (euklidischen) Punkt U, so wird lim A U l(ab) = 4. l(ab) = l(ac) + l(cb) für einen Punkt C auf AB. 43

47 5. Bei einer Spiegelung ändert sich die Länge nicht. Was heisst wohl orthogonal in diesem Modell? Der Mittelpunkt des die Kleinsche Ebene definierenden Kreises sei M. Warum ist die Menge der Punkte X in der Kleinschen Ebene mit der Eigenschaft l(xm = c, c > 0 ein euklidischer Kreis? 44

48 4.2.3 Poincaré- Modell einer hyperbolischen Geometrie Henri Poincaré ( ) war ein berühmter französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, der wesentliche Beiträge zur Himmelsmechanik, Thermodynamik, Elektrizitätslehre und Optik veröffentlichte. Henri Poincaré und Felix Klein haben beide die wesentlichen Theorien, die im 19. und anfangs 20. Jahrhundert entstanden, zu einem krönenden Abschluss gebracht und sich in ihren späten Jahren mit allgemeinen Fragen beschäftigt, Poincaré mit philosophischen, Klein mit ädagogischen. Im Poincaré-Modell einer hyperbolische Geometrie ist die Ebene eine sehr grosse Kreisfläche oder eine Halbebene. Ebene Inneres C eines sehr Halbebene Σ, durch euklidische grossen Kreises k Gerade s begrenzt Punkt Euklidischer Punkt Euklidischer Punkt Gerade Kreisdurchmesser zu s orthogonale Halbgeraden Kreisteile, die k orthogonal schneiden auf s orthogonale Halbkreise Spiegelung gewöhnliche Geradenspiegelung, gewöhnliche Geradenspiegelung, an g wenn g Kreisdurchmesser wenn g zu s orthogonale Halbgerade Inversion am Kreis, Inversion am Kreis, wenn g Kreisteil wenn g Halbkreis Dieses Modell kann auch in Form einer Geschichte erzählt werden. Dadurch kann man technische Schwierigkeiten vertuschen und erhält trotzdem eine Idee einer nichteuklidischer Geometrie. Die folgende Geschichte stammt aus dem Buch von Trudeau (siehe Literaturliste) 45

49 4.2.4 Künstlerischer Abschluss Das Poincaré-Modell einer hyperbolischen Geometrie ist im Buch von H.S.M. Coxeter ( ) illustriert. M. C. Escher ( ), der bekannte niederländische Künstler, hat darin neue Möglichkeiten für seine Annäherungen an die Unendlichkeit gefunden. 46

50 Zum Abschluss noch etwas Poetisches von Christian Morgenstern ( ) Die zwei Parallelen Es gingen zwei Parallelen ins Endlose hinaus, zwei kerzengerade Seelen und aus solidem Haus. Sie wollten sich nicht scheiden bis an ihr seliges Grab; das war nun einmal der beiden geheimer Stolz und Stab. Doch als sie zehn Lichtjahre gewandert neben sich hin, da wards dem einsamen Paare nicht irdisch mehr zu Sinn. Warn sie noch Parallelen? Sie wusstens selber nicht, sie flossen wie zwei Seelen zusammen durch ewiges Licht. Das ewige Licht durchdrang sie, da wurden sie eins in ihm; die Ewigkeit verschlang sie, als zwei Seraphim. 47

51 48

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53 50

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59 Abbildung 4.2: Coxeter: Poincaré-Modell Abbildung 4.3: Escher: Kreislimit I,

60 Abbildung 4.4: Escher: Kreislimit I,

61 58

62 Kapitel 5 Graphen und Algorithmen 5.1 Einführung Das klassische Einführunsproblem der Graphentheorie ist Das Königsberger Brücken Problem Die Abbildung zeigt die Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert. Die beiden Arme des Flusses Pregel umfliessen die Insel, den Kneiphof. Es gibt insgesamt 7 Brücken ber den Fluss. Abbildung 5.1: Königsberg Ist es möglich, von der Insel aus einen Rundgang durch die Stadt zu unternehmen, 59

63 währenddessen man jede Brücke genau einmal überquert und am Schluss zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Leonhard Euler (1707 Basel 1783 St.Petersburg) beantwortete 1736 diese Frage mit einer Methode, welche die moderne Graphentheorie begründete. Abbildung 5.2: Leonhard Euler Anwendungen: Optimierungsprobleme auf Graphen Gütertransport von Produzenten zu Verbrauchern soll kostenminimal werden Kostengünstiges Netz von Versorgungsleitungen und kostenminimaler oder grösster Durchfluss durch das Netz Kürzeste Wege in Verkehrsnetzen Tourenplanung: schnellst mögliche Belieferung von Kunden Terminplanung von Projekten Oft lassen sich sehr grosse Probleme (z.b. Verkehrsnetze mit Hunderten von Strassen) mit graphentheoretischen Methoden mit relativ geringem, d.h. polynomialem Rechenaufwand lösen. Aber es gibt auch sehr schwere Probleme, die wahrscheinlich nur mit exponentiellem Rechenaufwand zu lösen sind. Viele Probleme sind in populärer Form sehr bekannt und wirken eher wie eine Knobelaufgabe. Ihre Anwendungsmöglichkeiten sind heute mit den schnellen Computern aber 60

64 enorm. Aufgabe: Brunnenproblem Vor langer Zeit in einem fernen Königreich standen drei Häuser in einem Tal und es gab in der Nähe drei Brunnen und das Wasser war rein und klar. Es war ein friedliches Tal, solange bis Zwietracht dort einkehrte. Die drei Höfe fielen in Feindschaft und der Streit wollte kein Ende nehmen. An Versöhnung war nicht zu denken. Die Menschen in den drei Höfen bestanden darauf, drei direkte Pfade zu den drei Brunnen zu haben. Die Pfade sollten aber die der Nachbarn nicht kreuzen. Wenn es von jedem Hof aus diese Wege gäbe, wären alle zufrieden und im Tal könnte Frieden einkehren. Doch bis heute herrscht dort Streit. Kann es jemals Frieden geben? Mit zwei Brunnen ist das Problem einfach! Aber mit drei Brunnen ist es hoffnungslos! Skizzieren Sie das Problem mit 2 und 3 Brunnen. Im Kern handelt dieses Problem vom Zeichnen von Figuren in der Ebene ohne mit dem Stift abzusetzen. Sie kennen wohl aus ihrer Kindheit das Zeichnen der Laterne (auch Haus des Nikolaus genannt) Abbildung 5.3: Haus des Nikolaus Ein praktisches Beispiel dazu ist das Postbotenproblem.: Ein Briefträger muss in seinem Dorf allen Leuten die Post verteilen. Dazu muss er alle Strassen mindestens einmal durchlaufen. Welcher Weg ist der kürzeste? Kann man diesen Weg in vertretbarer Zeit berechnen? Ein weiteres Problem ist die Routenplanung, zum Beispiel im GPS. 61

65 Abbildung 5.4: GPS Abbildung 5.5: Verkehrsplan Ein anderes Beispiel handelt vom Design von Computerchips: Stehen in einem Schaltkreis die Positionen der einzelnen Komponenten auf der Platine schon fest, können dann die Verbindungen auf der Oberfläche ohne Kreuzungen verlaufen? Oder eine andere Frage: Welche Position der Komponenten und der Verdrahtung auf der Platine beansprucht den geringsten Platz? 62

66 Abbildung 5.6: Computerchips Solche angewandten Probleme gehren zusammen mit dem Design effizienter Algorithmen allesamt zur Graphentheorie. 63

67 5.2 Grundbegriffe Eine einfache Struktur auf einer Menge wird erzeugt durch eine binäre Relation. Zwei Elemente stehen in einer vorgegebenen Beziehung oder eben nicht. Das sind genau die Graphen. Sie sind die fundamentale Datenstruktur der diskreten Mathematik. Definition Ein Graph G(V, E) besteht aus einer endlichen Menge V und einer Menge E V V. Die Elemente von V heissen Ecken (Knoten, vertices) und die Elemente von Eheissen Kanten (edges). Beispiele 1. V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {{1, 2}, {1, 4}, {1, 56}, {2, 3}, {2, 4}, {4, 5}} 2. Graph zum Königsberger Brückenproblem Abbildung 5.7: Königsberger Brückenproblem 64

68 Definitionen 1. Ein Graph kann parallele Kanten (Mehrfachkanten) haben. 2. Eine Ecke kann mit sich selbst verbunden sein, eine solche Kante heisst Schlinge. 3. Eine Ecke, von der aus keine Kanten gehen, heisst isolierte Ecke. 4. Ein Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schlingen heisst einfach. 5. Ein Graph kann zusammenhängend oder nicht zusammenhängend sein (dann besteht er aus mehreren Teilen. 6. Zwei Ecken heissen benachbart (adjazent), wenn sie durch eine Kante miteinander verbunden sind. 7. Zwei Kanten heissen inzident, wenn sie eine Ecke gemeinsam haben. 8. Die Ordnung eines Graphen ist V = Anzahl Ecken. 9. Die Grösse des Graphen ist E = Anzahl Kanten. 65

69 10. Der Grad einer Ecke A ist die Anzahl Kanten, die von dieser Ecke ausgehen; er wird mit d(a) (degree) bezeichnet. Ist d(a) = 0, so ist A eine isolierte Ecke. Abbildung 5.8: Grad einer Ecke 11. Unter einem vollständigen Graphen K n mit n Ecken versteht man einen Graphen, bei dem jede Ecke mit jeder durch eine Kante verbunden ist. Abbildung 5.9: vollständige Graphen Wie viele Kanten hat ein vollständiger Graph mit n Ecken? 66

70 5.3 Über Grade von Ecken Beispiel: Tennisturniere Bei einem Tennisturnier spielt jeder gegen jeden einmal. Nach einer gewissen Zeit sind folgenden Spiele gespielt: Der Graph ist einfach, denn jeder spielt gegen jeden genau einmal und keiner spielt gegen sich selbst. Beim jetzigen Spielstand zählen wir nur die gespielten Spiele und nicht die Ergebnisse. Es gibt Leute, welche die gleiche Anzahl Spiele gespielt haben. Ist das bei jedem Turnier so? Welches sind die möglichen Spielstände bei n Personen? Abbildung 5.10: mögliche Spielstände Fr n = 2, 3 gibt es jedes Mal mindestens 2 Personen mit der gleichen Anzahl Spiele; also 67

71 mindestens 2 Ecken mit demselben Grad. Das gilt sicher nicht, wenn der Graph nicht einfach ist, wie das folgende Beispiel zeigt. Abbildung 5.11: mögliche Spielstände Satz In jedem einfachen Graph gibt es mindestens 2 Ecken mit demselben Grad. Beweis. Der Graph habe n Ecken (n = V ) 0 Eckgrad n 1 i) Eine Ecke a 1 habe den Grad n 1. Dann ist a 1 mit allen anderen Ecken verbunden und keine Ecke hat den Grad 0. Auf die n 1 verbleibenden Ecken müssen die Eckgrade 1, 2,..., n1 verteilt werden. Also muss eine Zahl zweimal vorkommen. ii) Keine Ecke hat den Grad n 1. Also müssen die Zahlen 0, 1, 2,..., n 2 auf n Ecken verteilt werden. Damit muss eine Zahl zweimal vorkommen. Satz In jedem Graph ist die Summe der Grade der Ecken gleich der doppelten Anzahl Kanten. d(a i ) = 2 E a i V Beweis. Jede Kante verbindet 2 Ecken. Gibt es q Kanten, so hat es 2q Enden. Damit ist die Summe der Eckgrade gleich 2q. Bemerkungen 1. Dieser Satz gilt auch für nicht einfache Graphen, also Graphen mit Schlingen und Mehrfachkanten. 2. Der zweite Satz ist auch als handshaking lemma bekannt: In einer Gruppe von Menschen begrüssen sich einige per Handschlag andere nicht. Notiert man bei jedem, wie viele Hände er geschüttelt hat und addiert die Zahlen, so erhält man stets eine gerade Zahl. Aus dem zweiten Satz folgt sofort der nächste. 68

72 Abbildung 5.12: Beweis dritter Satz Satz In jedem Graph ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade. Beweis. Ist die Summe von ungeraden Zahlen gerade, so ist die Anzahl Summanden gerade. Definition Zwei Graphen heissen isomorph, wenn der eine durch kontinuierliche Verformung aus dem anderen hervorgeht. Mathematisch heisst dies: Zwei Graphen sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V gilt: V gibt, so dass {x, y} E {f(x), f(y)} E Beispiele 1. Sind die beiden Graphen isomorph? 2. Skizzieren Sie einen Graphen, dessen Ecken die Grade 1, 2, 3, 4 haben. Gibt es einen einfachen solchen Graph? 3. Wie viele Kanten besitzt ein Graph mit n Ecken, wenn alle Ecken denselben Grad g haben? 4. Beschreiben Sie den Isomorphismus für die beiden Graphen. 69

73 Abbildung 5.13: Beispiel 4 Definition Eine Folge aufeinander folgender Kanten (e 1, e 2,..., e n ) mit e i = (v i 1, v i ) ist ein Kantenzug. Die Ecken v i (i = 0,..., n) müssen nicht notwendigerweise verschieden sein. 2. Ein Kantenzug heisst geschlossen, wenn v 0 = v n. 3. Ein Weg oder eine Kette ist ein Kantenzug, der jede Ecke höchstens einmal enthält. 4. Ein Kreis ist ein geschlossener Weg v 0 = v n. 5.4 Bäume Die Theorie der Bäume stammt ursprünglich aus der Chemie, entwickelt aus dem Studium der Kohlenwasserstoffverbindungen und anderer Isomere. Abbildung 5.14: Bäume in der Chemie Bäume sind die fundamentalen Bausteine der Graphen. Sie ergeben auch die geeignete Datenstruktur fr viele diskrete Probleme, vor allem fr Such- und Sortierprobleme. Definition

74 Abbildung 5.15: Bäume mit höchstens 5 Ecken 1. Ein Graph heisst ein Baum, wenn er zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Ein Graph, dessen Komponenten Bäume sind, heisst ein Wald. 2. G(V, E) sei ein zusammenhängender Graph. Ein Untergraph T von G heisst ein aufspannender Baum (spanning tree), wenn T ein Baum der Ordnung n = V ist. Jeder zusammenhängende Graph besitzt aufspannende Bäume: Entweder ist G schon ein Baum oder G besitzt einen Kreis. Entfernt man von diesem Kreis eine Kante, so ist G immer noch zusammenhängend. Entweder haben wir jetzt schon einen aufspannenden Baum oder wir müssen noch eine Kante eines Kreises entfernen. Auf alle Fälle sind wir in endlich vielen Schritten fertig. Satz Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. G(V, E) ein Baum. 2. Je zwei Ecken in G sind durch genau einen Weg verbunden. 71

75 3. G ist zusammenhängend und es gilt: E = V 1. in Worten: Ein Baum hat eine Ecke mehr als Kanten. Weiter gilt für einen Baum T der Ordnung n 2 und der Gradfolge der Ecken (d 1, d 2,..., d n ) der folgende Satz. Satz In einem Baum ist die Summe der Grade der Ecken gleich der doppelten Kantenzahl. n d k = 2(n 1) k=1 Frage: Wie viele aufspannende Bäume besitzt ein Graph? Schwierigeres Problem Satz Satz von Cayley Der vollständige Graph K n auf {1, 2,..., n} mit n 2 besitzt n n 2 aufspannende Bäume. Frage: Wie findet man in einem Graphen einen aufspannenden Baum oder einen aufspannenden Wald? Wie erkennt man, ob ein Graph zusammenhängend ist? EIn Algorithmus zur Konstruktion eines aufspannenden Baums ist der folgende. BREADTH-FIRST-SEARCH (Breitensuche) 1. Wähle beliebige Ecke und gib ihr die Nummer 1: aktuelle Ecke 2. Aktuelle Ecke habe Nummer iund die Nummern 1,..., r seien vergeben. Falls r = n: STOP Sonst: Gib den nicht nummerierten Nachbarn von i die Nummern r + 1, r + 2,... und füge Kanten ein: i(r + 1), i(r + 2),... Falls i + 1 nicht existiert: STOP Beispiele Sonst: Gehe zur Eckei + 1, das ist die neue aktuelle Ecke, und iteriere Suchen Sie einen aufspannenden Baum mit dem Breath-First-Search-Algorithmus 2. G ist durch folgende Nachbarschaftslisten gegeben. Wenden Sie den Breath-First- Search-Algorithmus an und beantworten Sie damit die Frage, ob G zusammenhängend ist. 72

76 5.5 Minimal aufspannendebäume (Minimal Spanning Tree) Gegeben sei der Plan eines Kommunikationsnetzes mit Kosten fr den Leitungsbau. Die Schaltelemente sind die Ecken, die Verbindungen zwischen den Schaltelementen die Kanten. Die Zahlen ber den Kanten sind die Kosten. Gesucht ist ein Schaltplan, sodass jedes Element mit jedem kommunizieren kann und die Kosten fr den Leitungsbau minimal werden. Modellierung durch einen gewichteten Graphen. Gegeben ist ein zusammenhängender GraphG(V, E) und eine Gewichtfunktion w. Gesucht ist ein aufspannender Baum T mit minimalem Gewicht. w(t ) = e E(T )w(e) Beispiel: Mit Breath-First-Search kann ein aufspannender Baum konstruiert werden. Dieser muss noch nicht optimal sein. Greedy-Strategy (gierige Strategie) Arbeite nach folgender Maxime: Erledige immer als nächstes den noch nicht bearbeiteten fettesten (optimalen) Teilbrocken. Die folgenden beiden Algorithmen arbeiten nach der Greedy-Strategie. 1. Kruskal-Algorithmus Beim Kruskal-Algorithmus wird immer die Kante mit minimalem Gewicht gewählt, aber so, dass keine Kreise entstehen. 73

77 Abbildung 5.16: Beispiel mit Kruskal-Algorithmus 2. Algorithmus von Prim Sei G(V, E) ein gewichteter zusammenhngender Graph mit n Ecken. (Jeder minimal aufspannende Baum hat also n 1 Kanten.) (a) Wähle eine Kante minimalen Gewichts aus (samt den dadurch gegebenen Ecken). Diese Kanten stellen samt ihren Ecken den Anfangsbaum T dar, der im folgenden systematisch zu einem minimal aufspannenden Baum ausgebaut wird. (b) Solange der aufzubauende Baum T weniger als n 1 Kanten hat, führe folgendes aus: Suche unter denjenigen Kanten mit einer Ecke in T und einer Ecke ausserhalb T eine Kante mit minimalem Gewicht aus, sodass kein Kreis entsteht und füge sie zu T dazu (samt des dadurch bestimmten Knotens). Der mit Hilfe von Prims Algorithmus konstruierte Teilgraph T ist ein minimal aufspannender Baum des ursprünglichen Graphen G. Bemerkungen zum Beweis: Da der Graph endlich ist und bei jedem Teilschritt eine neue Kante dazu kommt, bricht der Algorithmus nach endlich vielen Schritten ab. Nach Abbruch des Algorithmus sind n 1 Kanten konstruiert, also alle n Ecken 74

78 benützt. Mit Induktion könnte man jetzt zeigen, dass der konstruierte aufspannende Baum T minimal ist. Die Konstruktion ist nicht eindeutig. Abbildung 5.17: Beispiel mit Algorithmus von Prim Abbildung 5.18: Beispiel zu beiden Algorithmen 75

79 5.6 Kürzeste Wege in Graphen Optimierungsprobleme auf gewichteten Graphen: Strassenplan: in möglichst kurzer Zeit oder mit möglichst wenig Kilometern von A nach B gelangen Verkehrsnetz: Schienennetz, Gewichtung der Kanten können die Fahrkosten, die Reisezeit, die Entfernung sein. Die Bahnverbindung vona nach B soll möglichst billig, möglichst kurz sein. Kommunikationsnetz: Übertragungskosten oder Übertragungszeit als Gewicht der Kanten. Gesucht ist der kostengünstigste Weg eines Datenpakets von einem Knoten zu einem anderen. Meistens wird vorausgesetzt, dass der Ausgangsknoten den Graphen vollständig kennt. Im Schienenverkehr oder im Strassenverkehr kennt man gewöhnlich den ganzen Graphen. Im Internet ist das nicht immer der Fall: Knotenausfall Überlastung von Kanten. Kürzeste Wege Problem: Der kürzeste Weg zwischen zwei Knoten. Die kürzesten Wege zwischen einem Knoten und zu allen anderen Knoten. Der kürzeste Weg in einem Graphen, bei dem alle Knoten (ev. genau einmal) besucht werden. Abbildung 5.19: Welcher Weg ist der kürzeste? Gegeben ist ein zusammenhängender Graph G und eine Gewichtsfunktion w : E R + = {x 0} Sei u V gegeben. Für einen Weg P = P (u, v) von u nach v ist die gewichtete Länge von P : l(p ) = E(P )w(e) e 76

80 Gesucht ist ein kürzester Weg von u nach v, d.h. l(p ) soll minimal werden. Die Länge eines kürzesten Weges bezeichnet man als den Abstand d(u, v). Der berühmte Algorithmus von Dijkstra konstruiert, ausgehend von einer fest gewählten Ecke u, einen aufspannenden Baum, dessen Weg von u nach v stets ein kürzester ist für alle Ecken v des Graphen. Wir erläutern den Algorithmus hier an einem Beispiel. Abbildung 5.20: Edsger Wybe Dijkstra, , holländischer Mathematiker, Algorithmus 1959 Beispiel zum Dijkstra Algorithmus 1. Startknoten grün 2. Alle Nachbarknoten blau, Abstand vom Startknoten anschreiben 3. Wähle als neuen Startknoten denjenigen mir kürzestem Abstand zum Start: grün (samt Kante zum vorherigen Startknoten) 4. zurück zu 1. (verbotene Kanten: rot) 77

81 Abbildung 5.21: Beispiel zum Dijkstra-Algorithmus Beispiel zum Dijkstra Algorithmus Abbildung 5.22: Tabelle zum Beispiel Noch ein Beispiel: Vom Knoten a aus alle kürzesten Wege berechnen. Abbildung 5.23: noch ein Beispiel 78

82 5.7 Eulersche Graphen Beim Königsberger Brückenproblem sucht man einen speziellen Kantenzug. Dieser sollte die folgenden Eigenschaften besitzen. 1. Der Kantenzug enthlt keine Kante doppelt. 2. Der Kantenzug enthlt alle Kanten des Graphen. 3. Anfang und Ende des Kantenzugs stimmen berein. Definition Eine Tour ist ein Kantenzug nur mit der 1. Eigenschaft; er enthält also keine Kante doppelt. Eine Eulertour ist ein Kantenzug mit allen 3 obigen Eigenschaften. Jede Kante des Graphen wird also genau einmal durchlaufen und der Kantenzug ist geschlossen. Ein Graph mit einer Eulertour heisst auch Eulerscher Graph. Gibt es beim Königsberger Brückenproblem eine Eulertour? Abbildung 5.24: Königsberg Beispiel Suchen sie in den untenstehenden Graphen geschlossenen Touren und Eulertouren. Welche Grade der Ecken kommen in den Graphen vor? Gibt es Touren mit der Eigenschaft 2, also Kantenzüge, die jede Kante genau einmal enthalten? Ergänzen Sie den letzten Graph, so dass eine Eulertour möglich ist. 79

83 (a) (b) (c) Satz Ein zusammenhängender Graph ist genau dann eulersch (d.h. es gibt eine Eulertour), wenn der Grad jeder Ecke gerade ist. Beweis. A) Ist der Graph G eulersch, dann ist der Grad jeder Ecke gerade, denn man verlässt jede Ecke genau so oft wie man wie man hereinkommt! B) Die andere Richtung lässt sich algorithmisch beweisen. Es handelt sich um den Algorithmus von Hierholzer, Voraussetzung: Sei G(V, E) ein zusammenhängender Graph, dessen Knoten alle geraden Grad aufweisen. (a) Wähle eine Ecke A, beginne einen Pfad und markiere jede durchlaufene Kante. Jede so erreichte Ecke kann wieder verlassen werden bis sich der Kantenzug schliesst, da die Gradzahl jeder Ecke gerade ist. So entsteht ein Kreis. (b) Vernachlässige nun alle Kanten dieses Unterkreises. (c) Hat es noch unmarkierte Kanten, so beginnt eine in einer bereits traversierten Ecke B. Von B aus kann wieder ein Kreis konstruiert werden, der dann in den zuerst konstruierten eingebaut werden kann. (d) Konstruiere nun weiter solche Kreise, bis alle Kanten aufgebraucht sind. Das Resultat ist eine Eulertour. Bemerkung: Die Komplexität dieses Algorithmus ist linear in der Anzahl Kanten. Satz Es sei G(V, E) ein zusammenhängender Graph mit k Knoten ungeraden Grades. Dann gilt folgendes. 1. Ist k = 0, so gibt es auf G eine Eulertour. 2. Ist k = 2, so gibt es auf G eine Tour, die alle Kanten des Graphen enthält. Man kann den Graph in einem Zug zeichnen, ohne eine Kante doppelt zu zeichnen. 80

84 Abbildung 5.25: Algorithmus von Hierholzer 3. Ist k > 2, so gibt es auf G keine Tour, die alle Kanten enthält. zum Beweis: 1. Dies wurde im letzten Satz mitdem Algorithmus von Hierholzer bewiesen. 2. Verbinde die beiden Ecken ungeraden Grades durch eine zusätzliche Kante. Konstruiere jetzt mit (1) eine Eulertour. Lösche nun die eingefügte Kante. Abbildung 5.26: zum Beweis (2) 3. klar wegen (1) und (2). Was passiert, wenn man jede Kante zweimal durchläuft?. Satz In jedem zusammenhängenden Graph gibt es einen Kantenzug, der jede Kante genau zweimal durchläuft. Beweis: Man zeichnet einfach zu jeder Kante eine zweite parallele Kante. So erhält jede Ecke einen geraden Grad. Wegen des vorherigen Satzes gibt es eine Eulertour. Nun verschmelzt man die neuen Kanten wieder mit den ursprünglichen und erhält so einen Kantenzug, der jede Kante genau zweimal durchläuft. 81

85 Beispiel Bildergalerie Meistens sind die Bilder längs Gängen aufgehängt. Auf einem Rundgang durch die Ausstellung möchte man alle Bilder sehen, ohne aber zweimal an denselben Bildern vorbeizukommen. Am Ende mchte man wieder beim Eingang ankommen, der zugleich Ausgang ist. Ist ein solcher Rundgang überhaupt möglich? Abbildung 5.27: Ausstellungsraum 82

86 5.8 Hamiltonsche Graphen Europareise Eine Gruppe Jugendlicher möchte von Berlin aus mit der BAhnalle eingezeichneten Städte genau einmal besuchen und am Schluss wieder nach Berlin zurückkehren. Ist das möglich? Abbildung 5.28: Eisenbahn-Netzplan Bei dieser Reise soll jede Stadt genau einmal besucht werde. Es ist aber egal, ob jede Eisenbahnstrecke benützt wird oder nicht. Es ist also keine Eulersche Tour gesucht. Definition Ein Hamiltonscher Kreis ist ein geschlossener Kantenzug, der jede Ecke des Graphen genau einmal enthlt. Ein Graph, der einen Hamiltonschen Kreis enthält, heisst ein Hamiltonscher Graph. (a) Hamiltonscher Graph (b) kein Hamiltonscher Graph 83

87 Abbildung 5.29: W.R.Hamilton ( ) Beispiel Der Netzplan des Dodekaeders besitzt einen Hamiltonzyklus. Suchen Sie 84

88 einen solchen Kreis! Im Spiel von Hamilton Around the World soll man solche Touren finden, die jede Stadt (Ecken) des Dodekaederplans genau einmal besucht. Abbildung 5.30: Netzplan des Dodekaeders Beispiel Billige Reise Jetzt soll die Reise eine Rundfahrt durch die 4 Städte St. Gallen, Zürich, Basel und Bern sein. Die Kosten sollen minimal werden. Wie viele Hamiltonsche Kreise gibt es? Welche Reise ist die billigste? Abbildung 5.31: Billige Reise Bemerkung Der obige Graph ist vollständig, d.h. von jeder Ecke gibt es zu jeder Ecke eine Kante. Hat ein vollständiger Graph n Ecken, so kann man von einer beliebigen Ecke aus die Hamiltonsche Reise beginnen, man hat noch n 1 Ecken zur Auswahl. Bei der nächsten 85

89 Ecke sind es noch n 2 usw. Im Ganzen hat man also (n 1)(n 2) 2 1 = (n 1)! Möglichkeiten. Ist uns die Richtung, wie der Hamiltonsche Kreis durchlaufen wird egal, so erhält man nur die Hälfte der Möglichkeiten. Also gilt Satz In einem vollständigen Graph mit n Ecken gibt es (n 1)! 2 Hamiltonsche Kreise. In der obigen Reise mit 4 Städten gibt es nur 3 Hamiltonsche Kreise. Unter diesen möchte man den billigsten finden. Zahlenbeispiel Bei 6 Städten gibt es schon 5! = 60 Hamiltonsche Kreise. 2 Aber bei 20 Städte sind es etwa 60 Billiarden Hamiltonsche Kreise. Mit 1 Million Rechenoperationen pro Minute braucht man etwa Jahre. Wer interessiert sich dann noch für dieses Problem! Das ist das berühmte Traveling Salesman Problem. Ein Handelsreisender hat Kunden in n Städten{S 1, S 2,..., S n }. Es gebe Strassen von jeder Stadt zu jeder anderen mit vorgegebenen Längen d(s i, S j ), der Distanz längs der Kante SiSj. Welche Route soll er wählen, wenn er jede Stadt genau einmal besuchen will, der Weg möglichst kurz sein soll und unser Reisender am Schluss zum Anfangspunkt zurückkehren soll? Gesucht ist also ein Hamiltonscher Kreis minimaler Länge. Bemerkung Im Allgemeinen ist es schwierig zu entscheiden, ob ein Graph einen Hamiltonschen Kreis enthlt. Bis heute ist kein Algorithmus bekannt, der in polynomialer Zeit einen Hamiltonschen Kreis findet oder ausschliesst. In polynomialer Zeit bedeutet, dass die Anzahl erforderlicher Rechenschritte h öchstens mit einer festen Potenz der Anzahl Knoten und Kanten wächst. Ebenso ist nicht bekannt, ob ein Algorithmus existiert, der in polynomialer Zeit den kürzesten Weg findet. Man hält es auch für unwahrscheinlich, dass überhaupt ein solcher Algorithmus existiert. 86

90 Das Travelling-Salesman-Problem (TSP), bei dem man durch jeden Knoten genau einmal geht, ist nicht zu verwechseln mit dem Chinesischen Postbotenproblem, bei dem jede Kante mindestens einmal durchlaufen wird und der Weg minimale Länge haben soll. Zu diesen beiden Standardproblemen gibt es tausende von Anwendungen, die alle unter dem Titel Routenplanung bezeichnet werden können: Das TSP tritt auf in der Routenplanung von Speditionen, der Mllabfuhr, von Lieferungen, Car-Pooling, beim automatischen Bohren, Lten, Schweissen von Leiterplatten, usw. Interessante Informationen zum TSP finden Sie im Internet, z.b. unter: 87

91 Abbildung 5.32: TSP 88

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