MA 440 GEOMETRIE 2 HS 07

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David Beutel
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1 MA 440 GEOMETRIE 2 HS 07 Zielsetzung Die Stuierenen lernen, ass geometrische Ieen vielfach verwenet weren. Sie erweitern Ihr Wissen er Eukliischen Geometrie. Sie lernen, ass geometrisches Denken weitere Zweige er Mathematik eröffnet. Sie erwerben Fachwissen für en Geometrie-Unterricht er Sekunarstufe I Inhalt Golener Schnitt Kreiswinkelsätze Reguläre Polygone Symmetrien Eukliische un Nichteukliische Geometrie Graphen un Algorithmen Vorlesung mit Übungen Donnerstag, , UZI Hörsaal Y27 H 25 Jee 2. Woche finet von eine Übungsstune in Gruppen statt. Ganze Gruppe A Z im Raum??5 bei Christoph Schwarz, schwarz_ch@bluewin.ch Währen er Übungsstune können Sie Fragen zur laufenen Übungsserie stellen. Es gibt 6 Übungsserien, wobei Sie je etwa 20 Punkte erreichen können. Die gelösten Aufgaben geben Sie eine Woche später ab. Die korrigierten Aufgaben erhalten Sie in er nächsten Übungsstune zurück. Leistungsnachweis Der Leistungsnachweis, bzw. ie Testatbeingung ist erfüllt, wenn Sie minestens zwei Drittel aller möglichen Punkte, also 80 oer mehr Punkte, erreicht haben. Schriftliche Prüfung Sobal sie ie rei Mathematikmoule (Geometrie 2 un 3 un Zahlentheorie) besucht haben, weren alle rei Moule zusammen schriftlich geprüft. Die Prüfungsaufgaben sin im Stil er Übungsaufgaben. Die Prüfung finet meistens in er ersten Woche eines neuen Semesters statt. Bei ungenügener Leistung kann iese Prüfung einmal wieerholt weren. Das Prüfungsergebnis fliesst in ie Diplomnote ein. Denken Sie aran, ass Mathematik nur verstanen weren kann, wenn man selber Aufgaben zur präsentierten Theorie löst. Die Übungsserien bilen aher einen wichtigen Bestanteil jees Mathematikmouls. Johanna Schönenberger-Deuel Dr. sc. math Institut für Mathematik, Uni Zürich

2 2. Golener Schnitt Die Geometrie birgt zwei grosse Schätze: er eine ist er Satz von Pythagoras, er anere ist er Golene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gol vergleichen, en zweiten ürfen wir ein kostbares Juwel nennen. Johannes Kepler, Der Golene Schnitt ist as wohl berühmteste Zahlenverhältnis. Das Pentagramm kommt nicht nur in er Geometrie vor, es ist ein wichtiges Zeichen in er Magie (Druenfuss: Schutzzeichen für Hexen un Druen). In er Antike ist as Pentagramm ein Symbol für unkle, unergrünliche Zusammenhänge. Es war as Erkennungszeichen es pythagoräischen Geheimbunes. Beim pythagoräischen Weltbil beruhen alle Harmonien auf ganzzahligen Verhältnissen.

3 3 Aufgabe: Untersuchen Sie as regelmässige Fünfeck. Zeichnen Sie ie Diagonalen. Welches ist as Verhältnis von Diagonale zu Seite?

4 Hippasos von Metapont hat aber schon um 450 v. Chr. enteckt, ass gerae im Pentagramm as Verhältnis von Diagonale zu Seite kein gemeinsames Mass enthält, as Verhältnis ist also irrational.

4 4 Hippasos von Metapont hat aber schon um 450 v. Chr. enteckt, ass gerae im Pentagramm as Verhältnis von Diagonale zu Seite kein gemeinsames Mass enthält, as Verhältnis ist also irrational. Das haben Sie in er obigen Aufgabe herausgefunen.! = Seite Diagonale = s " = Diagonale Seite = s =! Die Verhältnisse σ un τ sin irrationale Zahlen. In er Geometrie kommen iese Verhältnisse auch in aneren Zusammenhängen vor. Definition: Der Punkt T teilt ie Strecke AB stetig oer im Golenen Schnitt, wenn gilt: Die ganze Strecke verhält sich zum längeren Abschnitt s, wie er längere Abschnitt s zum kürzeren - s. - s s A T B Der länger Abschnitt heisst Major, er kürzere Minor.

5 5 Ähnliche Dreiecke: ΔABD ~ ΔBTA! AD AB = AB BT! s = s " s! # = # "! # 2 " # " = 0! = s = 5 + =.68 2 " = s = 5 # =

6 6 Konstruktionen es Golenen Schnitts Die Strecke = 0 cm soll im Golenen Schnitt geteilt weren. Warum besitzen un s kein gemeinsames Mass m? Hätten un s ein gemeinsames Mass m, ann gäbe es natürliche Zahlen p un q, so ass = p. m un s = q. m. Dann wäre s = p q!!.

7 7 Beweisiee von Hippasos Hippasos von Metapont (ca. 450 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus em Kreis er Pythagoreer. Nach en Überlieferungen hat Hippasos zur glänzenen antiken Musiktheorie Wesentliches beigetragen. Er entwickelte Tonleitertheorien un Ähnliches. Auch wir heute angenommen, ass er es war, er ie berühmte Inkommensurabilität von Seite un Diagonale im Fünfeck (Pentagramm), em pythagoräischen Orenssymbol, fan. Versucht man nämlich urch Wechselwegnahme zwischen Seite un Diagonale eine kleinste gemeinsame Teilstrecke zu finen, so stößt man auf ein kleineres Pentagramm, in em ie Streckenverhältnisse wieer er Ausgangssituation gleich sin un so weiter. Es gibt ie Legene, ass ie Pythagoräer Hippasos im Meer ertränkt haben sollen, weil er iesen berühmten Beweis veröffentlicht hat. oer Fügt man Fünfecke so aneinaner, ass ie Seite s n es n-ten Fünfecks ie Diagonale n+ es (n+)-ten Fünfecks wir. Also gilt ann: n+ = s n! n s n = s n s n+ = n+ s n+ für jees n! " = n = n+ = s n s n+

8 Hätten n un s n ein gemeinsames Mass m, ann hätten es auch n+ un s n+. Nun weren aber ie Fünfecke mit wachsenem n immer kleiner, also kleiner als jees Mass m. Das ist nicht möglich, also gibt es kein gemeinsames Mass m. 8 Der Name Golener Schnitt ist im 9. Jahrhunert entstanen, wahrscheinlich aus sectio ivina (Kepler) un regula aurea (golene Regel). Der Golene Schnitt spielt in er Kunst eine grosse Rolle. Warum er Name stetige Teilung? - Trägt man bei einer stetig geteilten Strecke a en Minor (ie kleinere Strecke) auf em Major s (längere Strecke) ab, so wir iese wieer im Golenen Schnitt geteilt. (Beweis?)

9 9 Weitere Beziehungen von σ un τ! = =.68 " =! = 5 # 2 = 0.68 Da τ > 0 un τ 2 = + τ, erhalten wir für τ ie Wurzelfolge! = +! = + +! = + + +! = Für σ gilt = σ 2 + σ = σ(σ + ), also! = Kettenbruch! = +! = + +! = + +! un amit erhalten wir für σ en + +! = Näherungswerte für σ berechnen:! = =! 2 =! 3 = +! = 2 +! 2 = 2 3! 4 = 3 5,! 5 = 5 8,! 6 = 8 3,! 7 = 3 2,... σ 7 = ist ein guter Näherungswert für σ = Vergleichen Sie as Rechteck R mit en Seitenlängen 3 un 2 un as Golene Rechteck mit en Seitenlängen 3 un 3τ (= 2.034). Vergleichen Sie ie Zahlenfolge er Zähler sowie iejenige er Nenner. Kennen Sie ie Folge? Fibonacci-Folge.

10 0 Definition: Ein Rechteck mit Seitenverhältnis heisst Golenes Rechteck. Länge : Breite = : s =! = s Golene Dreiecke sin gleichschenklige Dreiecke mit Seitenverhältnis Schenkel : Basis = : s =! oer Schenkel : Basis = s : = " Somit gibt es spitzwinklige oer stumpfwinklige Golene Dreiecke. s s s Aufgabe: Zeichnen Sie im regulären Fünfeck ie beien Arten Golener Dreiecke ein.

11 Die Rechtecke R n mit en Seiten n un s n sin Golene Rechtecke. Die kürzere Seite es grösseren Rechtecks R n ist immer ie längere Seite es nachfolgenen kleineren Rechtecks R n-. Bemerkung: Mit Hilfe es Eukliischen Algorithmus zur Bestimmung es ggt zweier natürlicher Zahlen kann man schön zeigen, ass für Golene Rechtecke kein gemeinsames Mass er beien Seiten existiert. Eukliischen Algorithmus zur Bestimmung es ggt von a un b (a > b): ggt(a, b) = ggt(b, a - b) =... [enn aus ggt(a, b) = m, folgt a = pm un b = qm für p, q natürliche Zahlen, also a - b = m(p - q)] z.b. ggt(5, 9) = ggt(9, 6) = ggt(6, 3) = ggt(3, 3) = 3. Zeichnen Sie azu ein Rechteck mit Seitenlängen 5 un 9. Von iesem Rechteck nimmt man solange ein Quarat (Seitenlänge = kleinere Rechteckseite) weg, bis ein Quarat übrig bleibt. Mit iesem Quarat lässt sich as gegebene Rechteck auspflastern, seine Seite ist as grösste gemeinsame Mass er Rechteckseiten. Folgerung: Erscheint beim Verfahren es Eukliischen Algorithmus ein Rechteck, as zum gegebenen ähnlich ist, so kann nie ein Quarat übrig bleiben, es gibt also kein gemeinsames Mass er Rechteckseiten.

12 2 Die Vorerfront es Parthenon (Athen, 432 v. Chr.) passt fast exakt in ein Golenes Rechteck. Konstruktionen. Golenes Rechteck mit gegebener Breite b

13 3 2. Reguläres 5- Eck mit gegebener Seite s 3. Reguläres 5- Eck un 0-Eck mit gegebenem Umkreis r

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