3.3 Hydro- und Aerostatik

Transkript

1 Vorlesung Exerientalhysik I a und J. Ihringer. Hydro- und erostatik Die statischen Eigenschaften von und Gasen und üssigkeiten betreffen die oression und die Druck- und uftriebskräfte. I Gegensatz zur Statik der festen örern setzen üssigkeiten und Gase Scherungen keine rückstellenden räfte entgegen... Der Druck Durch räfte können auch üssigkeiten und Gase echanisch verändert werden. Wirkt die raft aber unktförig, wie etwa a Hebel, dann geht sie buchstäblich ins Leere, weil das Mediu wegen seiner Forinstabilität ausweicht. Deshalb uß das Mediu in irgendeiner For it definierte Voluen gefaßt sein. Die raft wirkt, analog der raft bei der Dehnung fester örer, senkrecht auf eine äche der For. Mit dieser Vereinbarung wird die raft i folgenden nur als Betrag angegeben. Der Quotient aus raft und dazu senkrecht stehender äche heißt Druck, er entsricht der Sannung bei der Dehnung. Wird der Druck verändert, dann verschieben sich zur Einstellung des statischen Gleichgewichts die Teilchen des Gases oder der üssigkeit solange, bis überall der gleiche Druck herrscht. raft F äche Druck Voluenänderung V bbildung Messung des Drucks und der oressibilität einer üssigkeit Einheit F N Definition des Druckes als Quotient = Pa (Pascal) = aus raft und äche und SI Einheit dazu 5 bar = Pa Weitere gesetzliche Druckeinheit 5 at Pa lte Einheit: toshäre Tabelle Definition des Drucks

2 .. oression von üssigkeiten Wird auf eine üssigkeit it eine Steel ein Druck ausgeübt, dann verringert sie ihr Voluen von V auf V dv. Der oressionsodul ist ein Maß für den Widerstand gegen die Voluenänderung. V V Einheit = Die relative Voluenänderung V V ist zu Druck roortional Pa oressionsodul Tabelle Definition des Drucks und des oressionsoduls Stoff [ Pa] Wasser 9 Benzol 9 ufer,4 Versuch Schuß in eine iste. a) Leere iste b) Mit Wasser gefüllte iste. Bei Schuß in die it Wasser gefüllte iste ( V = c ) erhöht das Voluen der ugel (, c ) den Druck auf : V V 7 9 = = Pa = bar Druck nach Erhöhung des Voluens V u V.. Steeldruck, hydraulische Presse Läßt an in einen Zylinder it bewegliche Steel eine üssigkeit it vorgegebene Druck einströen, dann kann an bei Wahl einer genügend großen Steel äche hohe räfte erzielen. Bei Verschiebung des Steels u das Voluen V bei Druck wird rbeit geleistet: dw Tabelle Druckarbeit dw = dv F = ds = F ds Druckarbeit bei Verschiebung des olbens u V Überführung der Druckarbeit in die For raft al Weg : Der Steel it äche verschiebt sich unter der raft F u den Weg ds Versuch In einer nlage wie in bb. wird it Hilfe des Wasserdrucks aus der Leitung ein Holzstück gesrengt.

3 raft F äche Gleiche Voluenänderung in beiden Steeln Voluenänderung V Druck raft F äche bbildung Hydraulische Presse, auf ein eingesanntes Holz wirkend. In der hydraulischen Presse wird it einer kleinen raft F an einer kleinen äche eine große raft F an der großen äche erzeugt. Überall in der Presse herrscht der gleiche Druck, deshalb gilt: Tabelle 4 F = F = Gleicher Druck in beiden Steeln F = Verhältnis der raftverstärkung: F Wird die Last links u den Weg ds gehoben, dann uß der Steel rechts u ds gesenkt werden. Die Wege stellen sich so ein, daß auf beiden Seiten die gleiche rbeit dw = dv verrichtet wird: dv = ds ds = ds ds = Verhältnis der Wegverkürzung: dw dw = F ds = F ds = F ds = ds = dv uf beiden Seiten wird die gleiche rbeit dw = dv verrichtet Tabelle 5 rbeit bei der hydraulischen Presse. Bezeichnungen nach der bbildung.

4 4..4 Schweredruck Durch die nziehungskraft der Erde übt eine üssigkeit auf eine äche in tieferen Schichten (Tiefe h) einen Druck aus, der nur von der Höhe der üssigkeit darüber abhängt: F = g = V g = h g F = = h g raft auf eine äche in Tiefe h in einer üssigkeit it Dichte Druck in Tiefe h : Er ist von der Gestalt des Gefäßes unabhängig. Tabelle 6 Schweredruck oder hydrostatischer Druck, g ist die Fallbeschleunigung. Versuch Der Wasserdruck in der Tiefe hält eine außen a Boden eines Rohres aufliegende Verschlußlatte auf de Rohr. Füllt an Wasser in das Rohr bis zur Höhe des Wassers außen, dann fällt die Platte ab: Das Gewicht der Wassersäule ist gleich der Druckkraft in der Tiefe. Wassersiegel außen Verschlußlatte bbildung Zu Versuch : Die Druckkraft in der Tiefe entsricht de Gewicht der Wassersäule Versuch 4 Druck über einer Wassersäule. Ein Manoeter wird it eine Steel auf eine Luftolster auf einen Druck von Pa geeicht. Mit de Manoeter wird dann in Wasser die lineare Zunahe des Druckes it der Tiefe gezeigt...4. ounizierende Röhren Miteinander verbundene Gefäße nennt an kounizierende Röhren. bgesehen von Effekten der aillarwirkung stellt sich in allen die gleiche Höhe des üssigkeitssiegels ein, weil nur dann in Höhe ihrer Verbindung der Druck gleich ist. h bbildung 4 In jeder dieser kounizierende Röhren hängt der Druck nur von der Höhe der Wassersäule ab, unabhängig von For und Durchesser. Versuch 5 ounizierende Röhren. Die üssigkeit steht in allen Gefäßen gleich hoch.

5 5..4. uftrieb Taucht ein örer in eine i Schwerefeld der Erde befindliche üssigkeit, dann wirken auf ihn an allen Seiten die der Tiefe entsrechenden Druckkräfte. Die räfte aus den Drucken auf die Seitenflächen heben sich gegeneinander auf, es bleibt aber eine Differenz zwischen den räften an der Grund- und an der Deckfläche. Die resultierende raft wird als uftrieb bezeichnet. Dabei gilt das rchiedische Prinzi: Der uftrieb eines örers ist gleich de Gewicht der von ih verdrängten üssigkeit. (rchiedes, v. Chr.). üssigkeit der Dichte F = g h h h F = g h bbildung 5 uftrieb eines örers, Boden und Decke habe jeweils die äche F = g h Druckkraft auf die Decke in Tiefe h F = g h Druckkraft auf den Boden in Tiefe h F ( h h ) = V g = F F = g uftriebskraft=gewicht der üssigkeit, die de Voluen V des eingetauchten örers entsricht Tabelle 7 räfte durch den Druck der üssigkeit auf einen örer und uftriebskraft Versuch 6 Ein Steel wird nur auf seiner berseite von der üssigkeit belastet: Er erfährt keinen uftrieb. (Beisiel: Holzstösel in Brunnentrögen, eretuu obile it orkschnur) Versuch 7 Das rchiedische Prinzi wird unittelbar nachgewiesen: uf einer Waage i Gleichgewicht wird ein Gegenstand, der auf der Waagschale links befestigt ist, in das Wasser auf der Waagschale rechts getaucht. Links wird zunächst u den uftrieb leichter, weil der Wassersiegel ansteigt. Man läßt das Wasser aber bis zu Pegel vor de Eintauchen abfließen und saelt es auf der linken Schale: Die Waage kot ins Gleichgewicht. Das Gewicht der verdrängten üssigkeit ist gleich der uftriebskraft.

6 6 bbildung 6 Die Waage zeigt das rchiedische Prinzi: Das Gewicht der verdrängten üssigkeit gleicht der uftriebskraft b ein örer schwit, schwebt oder sinkt hängt vo Verhältnis der Dichten von örer und üssigkeit ab: Schwien: = V Masse des örers it Voluen V, Dichte verdrängt = Vverdrängt Masse der verdrängten üssigkeit, Dichte < = V = V = V verdrängt Schweben, sinken: = verdrängt V Verdrängt Wenn die Dichte des örers kleiner ist als die der verdrängten üssigkeit, dann schwit der örer. Er sinkt soweit ein, bis die Masse der verdrängten üssigkeit seiner Masse entsricht. Der örer schwebt ( = ) oder sinkt ( ) Fällen gilt V = V verdrängt >, in beiden Tabelle 8 Schwien, schweben, sinken als Funktion des Verhältnisses der Dichten von örer und üssigkeit Versuch 8 Schwien und Sinken wird a ugelodell gezeigt: In eine üssigkeitsodell aus Plastikkugeln steigt, wenn an gut schüttelt, eine Holzkugel auf, eine Stahlkugel sinkt ab. Taucht an einen örer it bekannte Gewicht in eine üssigkeit bekannter Dichte, dann kann an aus seiner Gewichtsabnahe seine Dichte bestien: Gewichtsabnahe=uftriebskraft: Gewicht der Verdrängten üssigkeit F = g V Gewicht des örers an Luft Dichte des örers: Folgt aus de Quotienten aus uftriebskraft (geessen als Gewichtsabnahe in der üssig- F = F keit) und Gewicht, ultiliziert it. Tabelle 9 Bestiung der Dichte eines untergetauchten örers durch Wägung außerhalb und innerhalb einer üssigkeit von bekannter Dichte.

7 7 Schwit der örer, dann kann an bei enntnis seines Gewichts die Dichte der üssigkeit bestien: V = = Dichte der üssigkeit, folgt aus F = F Vverdrängt Vverdrängt Tabelle Bestiung der Dichte einer üssigkeit it eine Schwier bekannter Dichte und bekannten Voluens (z. B. eines räoeters) Versuch 9 Mit eine räoeter wird die Dichte eines lkohols bestit: Er taucht i lkohol weniger tief ein. uf einer Skala a räoeter liest an in Höhe der Wasserlinie die Dichte ab..5 Der Druck bei Gasen..5. Das Boyle-Mariottesche Gesetz Ist ein Gas in eine Voluen eingeschlossen, dann wirkt auch ohne Schwerkraft auf die Begrenzungsfläche ein Druck. Die Teilchen eines Gases fliegen it unterschiedlichen, durch die Teeratur vorgegebenen Geschwindigkeiten in alle Richtungen auseinander, bis sie an den Gefäßwänden reflektiert werden. Die dabei durch den Iulsübertrag auf die Wand ausgeübte raft erzeugt den Druck. I idealen Gas sind Druck und Voluen ugekehrt roortional zueinander. Das ist die ussage des Boyle-Mariotteschen Gesetztes: zeichen Einheit V = c Liter Bar Boyle-Mariottesches Gesetz V Liter Voluen Bar Druck c =, 4 Liter Bar Bei Teeratur von 7 ( Celsius) M kg Masse des Gases M kg Tabelle Das Boyle-Mariottesche Gesetz Masse eines Mols, das ist die Masse von 6, Teilchen Versuch Zu Boyle-Mariotteschen Gesetz: Mit einer Wassersäule in und 5 Höhe wird ein Luftvoluen auf / reduziert:

8 8 V V = V = Boyle-Mariottesches Gesetz V = V,5 Das Voluen unter Druck von,5 bar ist / dessen bei bar Tabelle nwendung des Boyle-Mariotteschen Gesetzes i Versuch..5. Die baroetrische Höhenforel Der Luftdruck in unserer Ugebung entsteht durch das Gewicht der Gashülle der Erdatoshäre. Den Verlauf des Luftdrucks in bhängigkeit von der Höhe über der Erdoberfläche beschreibt die baroetrische Höhenforel. In üssigkeiten oder feste örern it konstanter Dichte nit der Druck it der Höhe linear zu. In Gasen hängt das Voluen einer bestiten Teilchenzahl nach de Boyle- Mariotteschen Gesetz vo Druck ab. Der Quotient aus der Masse der Teilchen und ihre Voluen ist aber die Dichte: Infolge der hohen oressibilität ist die Dichte in Gasen druckabhängig. Das ist der entscheidende Unterschied zu den anderen ggregatzuständen und die Grundlage der baroetrischen Höhenforel: g h ( h) = e Die Baroetrische Höhenforel kg =,9 Dichte der Luft auf Meereshöhe = 5 Pa Noraldruck 8 Luftdruck Pa Höhe über NN in bbildung 7 Luftdruck in bhängigkeit von der Höhe über de Meeressiegel nach der baroetrischen Höhenforel

9 9 V = V Boyle-Mariottesches Gesetz für Druck und Voluen = ( ) = Nach Division durch die Masse: Druckabhängigkeit der Dichte = ( ) g h d = g dh Druckzunahe durch das Gewicht einer Luftsäule der Höhe dh und Querschnitt, die vo Druck abhängige Dichte ( ) eingesetzt d = g dh Differentialgleichung für d, dh g h ( h) = e Ergebnis der Integration: Die Baroetrische Höhenforel Tabelle Herleitung der baroetrischen Höhenforel (h) ( h) + dh (h) h bbildung 8 Zur Herleitung der baroetrischen Höhenforel. Die Säule des Gases habe den Querschnitt. Versuch Messung der bnahe des Luftdrucks in 5 Höhe i Hörsaal. Ein Glasgefäß it Manoeter wird in 5 Höhe belüftet, dort wird das Gefäß - it ausgeglichene Manoeter, eine Wasser gefüllten U-Rohr - geschlossen. Wieder a Grund zeigt das Manoeter einen Unterdruck i Gefäß von 6,5 Wassersäule.

10 = ( ) g h =,9 9,8 5 = 6 Pa Druckänderung durch das Gewicht einer Luftsäule der Höhe h =5 und Querschnitt, it Luft der Dichte ( ) =,9 kg = g Der Druckunterschied entsricht der Höhe einer Wassersäule Wasser h Wasser h Wasser h Wasser ( ) = = Wasser,9 h 5 =,65 Eine 6,5 hohe Wassersäule koensiert den Unterschied i Luftdruck in 5 Höhe Tabelle 4 Berechnung der Höhe einer Wassersäule, die der bnahe des Luftdrucks in 5 Höhe entsricht. Versuch Messung des Gewichts von 575 c Luft it Herrn Gugels Waage Meisterstück : Die Luft sollte in Meereshöhe 74,75 g ( = V ) wiegen, abzüglich 6, % ( vgl. Tab. ) zur Berücksichtigung von 5 Höhe: 69 g. Zur genauen ngabe uß die Dichte noch auf den aktuellen, vo Wetter abhängigen Luftdruck korrigiert werden. Versuch Der Bereich des Toricellischen Vakuus ist a Hg-Manoeter sichtbar Versuch 4 Die Magdeburger Halbkugeln werden vo Luftdruck zusaengehalten, an ihnen hängen 5 kg.

11 ..5. Der uftrieb an Luft Jeder in der toshäre befindliche örer erfährt einen uftrieb, der de Gewicht der vo örer verdrängten Luft entsricht. Man uß aber auch hier beachten, daß die Dichte der Luft vo Druck abhängt: Mit zunehender Höhe nit der uftrieb ab- i Gegensatz zu uftrieb in üssigkeiten, der in allen Tiefen (nahezu) konstant ist. Versuch 5 Deonstration des uftriebs in Luft. Die Ugebung einer ugel auf einer Waage wird evakuiert, die Waage zeigt, daß die ugel schwerer wird. Evakuierbares Gefäß bbildung 9 n eine evakuierbaren Gefäß it Waage wird der uftrieb an einer ugel in Luft gezeigt. Der uftrieb des usgleichsgewichts rechts ist vernachlässigbar klein: Das Voluen des Gewichts ist klein, weil seine Dichte hoch ist..4 berflächenerscheinungen Die Teilchen an der berfläche einer üssigkeit können sich ohne Energieaufwand verschieben, bis jedes i Gleichgewicht der räfte ist. Die räfte zu Nachbarn sind, abhängig von seiner rt und seine bstand, anziehend oder abstoßend. I Schwerefeld wirkt zusätzlich die Schwerkraft. Jede Verschiebung der Teilchen aus ihrer Gleichgewichtslage erfordert E- nergie, deshalb zeigt die berfläche die Gestalt geringster Energie. n der Berührungsstelle unterschiedlicher Materialien bilden sich sezielle Foren, weil auf ein an der Grenze liegendes Teilchen unterschiedliche räfte wirken..4. berflächensannung, berflächenenergie Größenordnung und Richtung der räfte können a Modell der ugelackung veranschaulicht werden. I Innern der üssigkeit ist jedes Teilchen von Nachbarn ugeben. Bei Teilchen an der berfläche fallen dieser Nachbarn weg. Wird die berfläche vergrößert, dann werden ehr Teilchen an die berfläche gebracht, jedes von ihnen uß sich von der Bindung an Nachbarn lösen. Zur Vergrößerung der berfläche uß deshalb die Energie zur Lösung der Bindungen aufgebracht werden. uf atoarer Ebene ist denach die berflächenvergrößerung it de Sieden verwandt, wo die Energie zur Lösung aller Bindungen aufgebracht werden uß.

12 I Inneren der üssigkeit Neu entstandene berfläche bbildung Verschiebung der Teilchen bei der Vergrößerung der berfläche: ugelackungen aus de Inneren der üssigkeit werden unter Energieaufwand aufgebrochen. Das Teilchen in der Mitte der Packung uß sich von Bindungen lösen. berflächen sind also ier Minialflächen. Wirken keine äußeren räfte, dann hat die ugel die kleinste berfläche für ein gegebenes Voluen. Versuch 6 Minialflächen werden aus Laellen hergestellt. Versuch 7 Unterschiedliche Materialien werden auf einer Wasseroberfläche beobachtet: afer, eine Nadel, Quecksilber Versuch 8 Öl- und Quecksilbertröfchen in Wasser. Der uftrieb koensiert die Schwerkraft, es gibt keine äußeren räfte: Es bilden sich ugeln. Bei gegebene Voluen ist die berfläche einer großen ugel günstiger als die vieler kleiner: Deshalb verschelzen sich treffende Quecksilbertröfchen (sehr hohe berflächensannung) zu eine größeren. Versuch 9 Mit eine Sülittel wird auf einer Seite eines schwienden Gegenstands die berflächensannung abgesenkt: Die berfläche auf der anderen Seite bildet sich zurück und zieht dabei den Gegenstand it. Mit eine beweglichen Bügel kann an die Energie zur Vergrößerung der berfläche akroskoisch essen. Verschiebbarer Bügel raft x Neugebildete äche l bbildung Vergrößerung der berfläche einer Laelle aus einer Lösung durch einen verschiebbaren Bügel

13 Die berflächensannung vergrößert werden kann: σ ist als die rbeit definiert, it der die berfläche u c Einheit W = σ rbeit zur Vergrößerung der berfläche u J die äche σ ächenzunahe J N = berflächensannung, sezifische berflächenenergie N Material σ Hg,47 Wasser,7 Benzol,9 Ethylether,7 Tabelle 5 Definition der berflächensannung und Zahlenwerte für einige üssigkeiten Die raft auf den Bügel folgt aus der rbeit. Bei der Laelle wird die berfläche auf beiden Seiten vergrößert, deshalb wird die doelte geoetrische Vergrößerung für eingesetzt: W = σ = x F rbeit zur berflächenvergrößerung als raft auf den Bügel al Weg = x l Vergrößerung der berfläche σ x l = x F durch l x ersetzt F = l σ raft auf den Bügel Tabelle 6 raft auf den Bügel bei Vergrößerung der berfläche nach der bbildung oben und i nachfolgenden Versuch Versuch In eine Versuchsaufbau nach der bbildung oben wird it eine Bügel eine Laelle einer Seifenlösung vergrößert. Man erkennt, daß die raft auf den Bügel von der Größe der äche unabhängig ist. Versuch Mit der Waage Meisterstück wir die raft auf den Bügel quantitativ bestit. Wasser N Man findet = F σ l =, Der ohäsionsdruck: Überdruck in der Seifenblase In kugelförigen Voluina ist der durch die berflächensannung ausgeübte Druck ier zu Mittelunkt gerichtet. Man nennt diesen Druck den ohäsionsdruck. U ihn zu berechnen bestit an zunächst die echanische Druckarbeit dv zur Vergrößerung des Radius u ein kleines Stück dr. Diese rbeit dient ausschließlich zur Vergrößerung der berflä-

14 4 che u ein Stück d. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen Radius, Druck und berflächensannung. = 4 σ r d dv Der Druck ist de Radius ugekehrt roortional, in kleinen ugeln ist der Druck größer als in großen. Wenn sich zwei ugeln treffen, dann bläst die kleinere die große auf und verschwindet in dieser. Die Hälfte des Werts für den ohäsionsdruck in der Seifenblase beschreibt den Druck für eine äche, z. B. für die gewölbte berfläche in einer dünnen aillare. berflächensannung σ bbildung Überdruck in der Seifenblase. Die berflächenvergrößerung d bei Voluenzuwachs dv ist sybolisch als kleine äche eingesetzt. Sie verteilt sich auf die ganze berfläche. dw = dv = 4 π r 4 V = π r dv = 4 π r dr dr dw = σ d = 6 σ π r dr ( 4 ) = π r ( 8 r ) d = π dr rbeit zu Vergrößerung des Voluens u dv, dv ist durch dr gegeben: Herleitung von dv als Funktion von dr aus dv der bleitung des Voluens V nach r dr rbeit zur Vergrößerung der berflächen innen und außen u d, d ist durch dr gegeben: Herleitung von d als Funktion von dr aus d der bleitung der berfläche nach r. dr dw dv = σ d Beide rbeiten gleichgesetzt = 4 π r dr = 6 σ π r dr = 4 σ r Daraus folgt: ohäsionsdruck für zwei berflächen als Funktion des Radius. Die Hälfte des Werts gilt für eine äche, z. B. für die gewölbte berfläche einer üssigkeit in einer dünnen aillare. Tabelle 7 Herleitung des ohäsionsdrucks. Das ist z. B. der Überdruck in der Seifenblase.

15 5.4. aillarität, ohäsion und dhäsion n der Wand des Gefäßes nit die berfläche sezielle Foren an. uf die an der Wand anliegenden Teilchen der üssigkeit wirken räfte von den Teilchen der Wand, die sich i llgeeinen von den räften zwischen den Teilchen der üssigkeit unterscheiden. Dazu kot noch die Schwerkraft. Die qualitative For der berfläche hängt dann davon ab, welche Wechselwirkung die größere ist. Zur Beschreibung gibt es einige sezielle Begriffe: Begriff dhäsion ohäsion aillarkoression aillarderession Erläuterung räfte zwischen den Molekülen der Wand und denen der üssigkeit räfte zwischen den Molekülen der üssigkeit Die üssigkeit steigt an der Wand hoch, sie benetzt. Die dhäsion ist größer als die ohäsion. Die üssigkeit wird von der Wand abgestoßen, sie benetzt nicht. Die ohäsion ist größer als die dhäsion. Tabelle 8 dhäsion und ohäsion Die üssigkeitssäule in einer aillare steigt oder sinkt gegenüber der Höhe in kounizierenden Röhren, bis ihr Schweredruck gleich de ohäsionsdruck ist. Daraus folgt die Steighöhe: Erläuterung σ = o ohäsionsdruck für eine kugelige berfläche r von Radius r und berflächensannung σ = g h Schweredruck der üssigkeitssäule der Höhe h it Dichte σ Steighöhe für benetzende, Tiefe der bsenkung für nicht benetzende üssigkeiten (z. B. h = r g Quecksilber i Glas) Tabelle 9 Steighöhe bei aillaren. Der Querschnitt sollte so klein sein, daß die berfläche einer Halbkugel ähnlich sieht, sonst ist der nsatz für den ohäsionsdruck nicht gerechtfertigt. Beginnt an bei kleinen aillardurchessern, dann zeigt die berfläche unter der Wirkung des ohäsionsdrucks die For einer Halbkugel. Die Höhe der Säule stellt sich so ein, daß die berfläche i Gleichgewicht von Schwere- und ohäsionsdruck ist. Wird der Querschnitt vergrößert, dann wächst auch der Radius der Halbkugel, dait nit der ohäsionsdruck ab. Die Säule steigt also weniger hoch. Bei weiterer Vergrößerung des Querschnitts wird der ohäsionsdruck zu klein, u die üssigkeit bis zur For einer Halbkugel an der Wand hochzuziehen, weil der Schweredruck der weit nach oben gezogenen üssigkeit viel zu hoch wäre: Man findet nur noch einen kleinen, höher oder tiefer liegenden Rand a Gefäß neben einer sonst ebenen berfläche.