0. Übung Elemente der Geometrie WS2013/14

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1 0. Übung Elemente der Geometrie WS2013/14 1. Gegeben seien in der Anschauungsebene eine Gerade g und 2 Punkte P und Q, deren Verbindungsstrecke mit g keinen Punkt gemeinsam hat. Sei P der Spiegelpunkt von P an g und S der Schnittpunkt der Strecke von P nach Q mit g. Zeigen Sie: Unter allen Streckenzügen von P nach Q über einen Punkt T g ist der Streckenzug von P nach Q über S der kürzeste. Was passiert im Fall P = Q? 2. Gegeben seien in der Anschauungsebene die beiden verschiedenen Geraden g und h und die beiden Punkte P und Q, deren Verbindungsstrecke weder mit g noch mit h einen Punkt gemeinsam hat. Ein Strahl, ausgehend von P, werde zuerst an g und danach an h reflektiert. Wie muss er laufen, damit der sich ergebende Streckenzug durch Q geht? Suchen Sie nach Antworten mit Hilfe von geobra. Wie stehen der Anfangsstrahl durch P und der Endstrahl durch Q zueinander, wenn g und h parallel oder senkrecht zueinander sind? 3. Sei n IN, n 3. Ein ebenes n-eck heißt regulär, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. (a) Wie groß ist ein Innenwinkel und die Summe aller Innenwinkel? (b) Geben Sie für n = 3,4,5,6,7,8,9 an, wie man ein reguläres n-eck nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren kann! 4. Eine Menge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten der Menge auch ihre Verbindungsstrecke vollständig in der Menge enthalten ist. Ein beschränkter Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen des Anschauungsraums heißt konvexes Polytop. SeinRandbesteht ausebenenflächen,den Seiten. Diesewerden vonstrecken berandet, den Kanten, und die Endpunkte der Kanten heißen Ecken des Polytops. Sind nun bei einem konvexen Polytop alle Kanten gleich lang, haben alle Seiten gleich viele Ecken und gleichgroße Innenwinkel, stoßen an jeder Ecke gleich viele Seiten zusammen und sind die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten jeweils gleich groß, dann heißt das Polytop regulär. Überlegen Sie, wie viele Typen regulärer konvexer Polytope es geben kann!

2 1. Übung Elemente der Geometrie WS2013/14 1. Gegeben sei die Ebene Γ := {A,B,C} mit den Geraden g 1 = {A,B}, g 2 = {B,C}, g 3 = {A,C}. Zeigen Sie, (a) daß die Verknüpfungsaxiome gelten, (b) daß es kein Modell einer Geometrie mit weniger Punkten oder weniger Geraden gibt, in der die Verknüpfungsaxiome gelten. 2. Geben Sie ein Modell einer Geometrie mit Punkten, Geraden in der Ebene an, das den Verknüpfungsaxiomen (V1) und (V3) genügt, aber nicht (V2). 3. Der Club der Schildkröten, aus A Survey of Geometry von Howard Eves: Definitionen: Der Club der Schildkröten ist eine Versammlung einer oder mehrerer Personen. Eine Person im Club der Schildkröten heißt Schildkröte. Die Ausschüsse sind bestimmte Versammlungen einer oder mehrerer Schildkröten. Eine Schildkröte in einem Ausschuss heißt Mitglied des Ausschusses. Zwei Ausschüsse sind gleich, wenn jedes Mitglied des ersten Ausschusses auch Mitglied des zweiten Ausschusses ist und wenn jedes Mitglied des zweiten Ausschusses auch Mitglied des ersten Ausschusses ist. Zwei Ausschüsse, die keine gemeinsamen Mitglieder haben, heißen disjunkte Ausschüsse. Axiome: (1) Jede Schildkröte ist Mitglied in mindestens einem Ausschuss. (2) Zu jedem Paar von Schildkröten gibt es einen und nur einen Ausschuss, so dass beide Schildkröten Mitglieder des Ausschusses sind. (3) Zu jedem Ausschuss gibt es einen und nur einen disjunkten Ausschuss. Beweisen Sie Satz 1: Jede Schildkröte ist Mitglied in mindestens zwei Ausschüssen. Satz 2: Jeder Ausschuss hat mindestens zwei Mitglieder. Satz 3: Jede Schildkröte ist sogar Mitglied in mindestens drei Ausschüssen. Welches ist die kleinstmögliche Zahl von Schildkröten? Scheinbedingungen: 1. Es wird eine Reihe von besonders gekennzeichneten Übungsblättern mit zu bearbeitenden Aufgaben ins Netz gestellt. Die von Ihnen gefundenen Lösungen sind abzugeben und werden korrigiert. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Im Semester müssen mindestens 40% der bei den abzugebenden Übungsaufgaben erreichbaren Punkte erzielt werden.

3 2. Es werden 2 Klausurtermine stattfinden: Die erste am 7.Februar 2014 und die zweite wahrscheinlich kurz nach Vorlesungsbeginn SS 14. Jede Klausur beinhaltet Aufgaben mit insgesamt 16 Punkten. 3. Einen kleinen Schein (4 KP für Gym, 6 KP für HR) erhält man, wenn Bedingung (1) erfüllt ist und man in einer der Klausuren mindestens 5 Punkte erzielt hat. Einen Leistungsnachweis ( großer Schein) (6 KP für Gym, 8 KP für HR) erhält man, wenn Bedingung (1) erfüllt ist und man aus einer der Klausuren mindestens 8 Punkte erzielt hat.

4 2. Übung Elemente der Geometrie WS2013/14 4. Gegeben sei die Ebene (a) Γ = {A,B,C,D,E,F} mit den Geraden g 1 = {A,B,C}, g 2 = {A,B,E,F}, g 3 = {C,D}, g 4 = {D,E,F}. (b) Γ = {A,B,C,D,E} mit den Geraden g 1 = {A,B,E}, g 2 = {A,C}, g 3 = {A,D}, g 4 = {B,C}, g 5 = {B,D}, g 6 = {C,D,E}. Welche der Axiome (V1) (V3), (Pa) sind erfüllt und welche nicht? Begründen Sie Ihre Antwort! Geben Sie alle Parallelenscharen der Geometrien an! 5. Gegeben sei folgendes System von Inzidenzaxiomen des Raums Γ mit speziellen Teilmengen, den Geraden, und anderen speziellen Teilmengen, den Ebenen: (V1) Zu je zwei verschiedenen Punkten P,Q Γ gibt es stets genau eine Gerade g, die diese Punkte enthält. (V2) Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte. (V3) Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte, die nicht in ein und derselben Geraden enthalten sind. (V4) Zu je drei nicht kollinearen Punkten P,Q,R Γ gibt es stets genau eine Ebene E, die diese Punkte enthält. Jede Ebene enthält mindestens einen Punkt. (V5) Liegen zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E, dann gilt g E. (V6) Haben zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt, dann mindestens einen weiteren. (V7) Es gibt mindestens vier verschiedene Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene enthalten sind (sie sind nicht komplanar). (a) Geben Sie ein Modell mit 4 Punkten an, das diesen Axiomen genügt. (b) Sei E eine Ebene, g eine Gerade mit g E. Zeigen Sie: E und g haben höchstens einen gemeinsamen Punkt. (c) Gegeben seien 4 nicht komplanare Punkte. Zeigen Sie: Je drei sind nicht kollinear. (d) Zeigen Sie: Es gibt mindestens 6 verschiedene Geraden. 6. Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome und die Aussage von Satz Zeigen Sie, daß es dann zu jeder Geraden g und jedem Punkt P g höchstens eine Parallele zu g durch P geben kann!

5 3. Übung Elemente der Geometrie WS2013/14 7. Sei Γ eine Ebene mit genau n Punkten, und es gelten die Verknüpfungsaxiome und das Parallelenaxiom. Zeigen Sie: n 3 und n 5. (4 Punkte) 8. Es seien die Axiome (V1), (V2), (V3), (A1), (A2) erfüllt. Zeigen Sie: Durch jeden Punkt der Ebene gehen unendlich viele Geraden. (2 Punkte) 9. Zeigen Sie, daß es in dem Beispiel zu jeder Geraden g und zu jedem Punkt P g eine Parallele zu g gibt, es aber auch mehrere geben kann. (5 Punkte) 10. Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome, das Parallelenaxiom und die Anordnungsaxiome (A1) (A3). Seien weiter A, B, C drei nicht kollineare Punkte der Ebene, D AB mit A B D, E BC, E B, E C. Zeigen Sie: Die Gerade DE trifft die offene Strecke AC \{A,C} in einem Punkt. 11. In Γ := {(x,y); x,y IR} (= IR 2 ) sei als Abstand die Maximumsmetrik d(x,y) = d ( (x 1,x 2 ),(y 1,y 2 ) ) := max{ x 1 y 1, x 2 y 2 } (3 Punkte) definiert. Bestimmen Sie die Menge der Punkte, die von A(0,0) und B(1,0) den gleichen Abstandhaben(d.h. die Mittelsenkrechte von AB bezüglich dieser Abstandsdefinition). (3 Punkte) Abgabe der Aufgaben bis spätestens vor der Vorlesung. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.

6 4. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome, das Parallelenaxiom und die Anordnungsaxiome (A1) (A3). Seien A,B Γ mit A B und g := AB. Weiter seien X,Y Γ mit X,Y g und X und Y liegen auf verschiedenen Seiten von g. Zeigen Sie: Es gilt AX BY =. (3 Punkte) 13. Sei K ein Kreis, P ein Punkt außerhalb des Kreises. Konstruieren Sie Punkte Q 1,Q 2 auf dem Kreis so, daß die Strecke PQ 1 maximale und PQ 2 minimale Längevon allen Strecken PQ mit Q auf K hat. Geben Sie analoge Konstruktionen für einen Punkt P innerhalb des Kreises an! Begründen Sie Ihre Antworten! (4 Punkte) 14. Sei g eine beliebige Gerade, s g die zugehörige Spiegelung, M Γ und r > 0 beliebig. Zeigen Sie: Das Bild des Kreises um M mit Radius r unter der Spiegelung s g ist wieder ein Kreis. Geben Sie Mittelpunkt und Radius des Bildkreises an! 15. Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es (mindestens) zwei gleichlange Seiten hat, und gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind. Sei g eine beliebige Gerade, s g die zugehörige Spiegelung. Zeigen Sie: (a) Das Bild eines gleichschenkligen Dreiecks unter der Abbildung s g ist wieder gleichschenklig. (b) Ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck hat genau eine Symmetrieachse (c) Ein gleichseitiges Dreieck hat genau 3 Symmetrieachsen. (5 Punkte) 16. Sei g eine Gerade, A und B zwei verschiedene Punkte mit A,B g, und s g sei die Spiegelung an g. Konstruieren Sie, wenn möglich, einen Punkt C g mit s g (AC) = BC. Begründen Sie die Richtigkeit Ihrer Konstruktion. (2 Punkte) Abgabe der Aufgaben 12, 13, 15, 16 bis spätestens vor der Vorlesung. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.

7 5. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ Seig einebeliebigegerade,s g diezugehörigespiegelung,hundk Geradenundh := s g (h), k := s g (k). Zeigen Sie: (a) Ist h parallel zu g, dann ist auch h parallel zu g. (b) Ist h nicht parallel zu g und h g, dann schneiden sich h, h und g in einem gemeinsamen Punkt. (c) Ist k parallel zu h, dann sind h und k parallel. 18. Seien g, h zwei parallele Geraden, i und k zwei beliebige verschiedene Senkrechte zu g, P, Q, R, S Punkte mit {P} = g i, {Q} = h i, {R} = g k, {S} = h k. Zeigen Sie, daß dann PQ = RS gilt. ( PQ heißt Abstand der Parallelen g und h.) 19. Geben Sie alle Symmetrieachsen (a) eines Kreises, (b) eines Quadrats, (c) einer Strecke an. Begründen Sie Ihre Antwort! 20. Sei F eine geometrische Figur mit zwei Symmetrieachsen g und h, die weder gleich sind noch sich rechtwinklig schneiden. Dann gibt es mindestens eine weitere Symmetrieachse von F. 21. Gegeben sei der (nicht gestreckte) Winkel <)(AOB) und es gelte OA = OB. Weiter sei P AB. Zeigen Sie: Die Gerade OP ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <)(AOB), wenn P Mittelpunkt der Strecke AB ist.

8 6. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ Vorausgesetzt werde: Die Innenwinkel eines Dreiecks sind jeweils kongruent zu drei Winkeln, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben. Zeigen Sie: Durch sukzessives Abtragen des Radius eines Kreises als Sehne auf dem Kreis entsteht ein regelmäßiges Sechseck. 23. SeigeineGerade,P g einpunkt,hdiesenkrechte zug durchp undqderschnittpunkt von g und h. Dann heißt PQ der Abstand von P zu g. (a) Seien g, h zwei Geraden mit Schnittpunkt A. Zeigen Sie: Liegt P auf der Winkelhalbierenden von g und h, dann hat P von g und h denselben Abstand. (b) Vorausgesetzt werde, daß auch die Umkehrung von (a) gilt, d.h. wenn ein Punkt P zu zwei sich schneidenden Geraden g und h denselben Abstand hat, dann liegt P auf der Winkelhalbierenden zu g und h. Zeigen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen drei Seiten denselben Abstand hat, d.h. die Dreiecksseiten sind Tangenten an einen Kreis um diesen Punkt, den Inkreis des Dreiecks. 24. Zeigen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt. 25. Sei M Γ beliebig, b M die Punktspiegelung an M, g eine Gerade mit M g. Beschreiben Sie die Abbildung, die durch Verknüpfung der Geradenspiegelung s g an g mit der Punktspiegelung b M entsteht. Wie ändert sich das Ergebnis bei Vertauschung von Geraden- und Punktspiegelung? 26. Zeigen Sie: (a) Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Hinweis: Spiegeln Sie das Dreieck an jedem seiner Seitenmittelpunkte und untersuchen Sie die dann entstandene Figur. (b) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Anleitung: Sei M c der Mittelpunkt von AB, S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden zu AB und BC. Spiegeln Sie diese Figur an M c. 27. Geben Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Beweisen Sie sie oder geben Sie Gegenbeispiele an: Ein Viereck ist eine Parallelogramm genau dann, wenn (a) die Gegenseiten gleich lang sind, (b) ein Paar Gegenseiten gleich lang und parallel ist, (c) die Gegenwinkel paarweise kongruent sind, (d) sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.

9 7. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ (a) Zeigen Sie: Sind bei zwei Dreiecken jeweils 2 Seiten und der Winkel, der der längeren Seite von beiden gegenüberliegt, kongruent, dann sind die beiden Dreiecke kongruent. (4 Punkte) (b) Kann man in (a) die Einschränkung bezüglich des Winkels weglassen? Begründung! (1 Punkt) (c) Gegeben sind zwei Strecken und ein Winkel. Geben Sie an, ob und wieviel Kongruenzklassen von Dreiecke es gibt, bei denen 2 Seiten kongruent zu je einer der Strecken und ein Innenwinkel kongruent zu dem vorgegebenen Winkel ist. 29. Sei g eine Gerade, P ein beliebiger Punkt mit P g, Q der Fußpunkt des Lotes von P auf g. Zeigen Sie: (a) Der Kreis um P mit Radius PQ schneidet g in genau einem Punkt, d.h. g ist Tangente an den Kreis. Anleitung: Spiegelung an P Q. (3 Punkte) (b) Jeder Punkt der Geraden außer Q hat zu P einen größeren Abstand als PQ. 30. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r und g eine Tangente an den Kreis, d.h. eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt Q schneidet. Zeigen Sie: MQ ist senkrecht zu g. (2 Punkte) 31. In einem Viereck ABCD seien P, Q, R und S die Seitenmittelpunkte der Seiten AB, BC, CD bzw. DA. Welche Eigenschaften hat das Viereck P QRS? Beweis? (3 Punkte) 32. Von einem Parallelogramm sei die Ecke A und der Diagonalenschnittpunkt S gegeben. Weiter sei ein Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius r gegeben, und A und S liegen im Innern des Kreises. Konstruieren Sie die fehlenden Ecken B, C und D des Parallelogramms so, daß mindestens zwei der Ecken auf dem Kreis liegen. M S A (4 Punkte) Abgabe der Aufgaben 28a,b, 29a, 30, 31, 32 bis spätestens vor der Vorlesung. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.

10 8. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ Zeigen Sie: Ein regelmäßiges Fünfeck in der Ebene (d.h. mit gleichlangen Seiten und kongruenten Innenwinkeln) hat einen Umkreis (d.h. es gibt einen Kreis, auf dem alle Ecken liegen). 34. Sei ABC ein beliebiges Dreieck. Behauptung: Das Dreieck ist gleichschenklig. Prüfen Sie, ob der Beweis richtig ist: Sei w die Winkelhalbierende des Innenwinkels γ in C, C der Mittelpunkt von AB und O der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten g von AB mit w, d.h. w = OC und g = OC. Weiter seien B und A die Fußpunkteder LotevonO auf AC bzw. BC. Dann gilt: A C B A (1) O liegt auf der Mittelsenkrechten von AB, d.h. es gilt AO = BO. (2) Die Dreiecke OCB und OA C sind kongruent (sww), da w Winkelhalbierende, d.h. CB = CA und OB = OA. (3) Die Dreiecke OB A und OBA sind kongruent (Ssw), d.h. es gilt AB = A B. (4) Wegen AC = AB + B C und BC = BA + A C folgt AC = BC, d.h. das Dreieck ist gleichschenklig. 35. Gegeben sei eine Gerade g und zwei Punkte A,B mit AB g =. Konstruieren Sie eine Gerade h durch B, die zu A denselben Abstand hat wie g. Untersuchen Sie, ob es immer eine solche Gerade h gibt, und beweisen Sie, daß Ihre Konstruktion korrekt ist. 36. Gegeben seien der Punkt A und die zwei Geraden g und h. Der Schnittwinkel von g und h sei nicht 60 und A g h. Konstruieren Sie, wenn möglich, ein gleichseitiges Dreieck ABC mit B g und C h. 37. Seien g und h beliebige verschiedene Geraden, s g bzw. s h die zugehörigen Spiegelungen. Zeigen Sie: (a) Ist g h und k eine Parallele zu h oder k = h oder ist {D} = g h und k eine Gerade durch D, dann gilt s g s h s k = s k s h s g. (b) Zeigen Sie: Für alle anderen Lagen von k gilt die Gleichung aus (a) nicht. Ein schönes Weihnachtsfest, ein gutes und erfolgreiches Jahr 2014 und viel Spaß beim Knobeln!! O C B

11 9. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ Gegeben seien die Geraden g und h, die sich im Punkt S schneiden. Weiter sei P ein Punkt im Innern eines von g und h erzeugten Winkelfeldes (mit Scheitel S). Konstruieren Sie eine Gerade k durch P, die g in A und h in B schneidet, so daß P Mittelpunkt der Strecke AB ist. (3 Punkte) 39. Gegeben sei das Viereck mit Ecken A, B, C und D und Seiten AB, AD, BC und CD. Weiter sei AB = AD = BC = DC. (a) Wieviele Symmetriebewegungen gibt es zu dem Viereck? Begründen Sie Ihre Antwort! (b) Zeigen Sie: Die Diagonalen AC und BD halbieren sich gegenseitig und schneiden sich rechtwinklig. (c) Hat das Viereck einen Inkreis, d.h. einen Kreis, der von allen Seiten berührt wird? Hat das Viereck einen Umkreis, d.h. einen Kreis, auf dem alle Ecken liegen? Begründung? (6 Punkte) 40. Sei s g eine Geradenspiegelung (an der Geraden g), t eine Translation (mit Verschiebungsvektor v), b M eine Punktspiegelung (am Punkt M) und f eine Schubspiegelung. Beschreiben Sie genau, welche Abbildungen durch s g f, f s g, t f, s g b M, t b M gegeben werden. (4 Punkte)

12 41. Gegeben seien die beiden kongruenten Dreiecke ABC und A B C. Konstruieren und beschreiben Sie die Bewegungen, die das Dreieck ABC auf das Dreieck A B C abbilden. C (a) A B B C (b) A C B A C B A C (c) C A B A C B B (d) A B C A (6 Punkte) Abgabe der Aufgaben bis spätestens vor der Vorlesung. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.

13 Querschnittsübung 1 zu Elemente der Geometrie WS 13/14 1. Gegeben sei eine Gerade g in der euklidischen Ebene Γ, eine der beiden zugehörigen offenen Halbebenen H und folgendes Modell einer Geometrie mit Punkten, Geraden in der Ebene Γ : Die Punkte von Γ seien die Punkte von Γ innerhalb H, die Geraden seien die Durchschnitte der Kreise in Γ mit Mittelpunkt auf g mit der Halbebene H. Geben Sie an, welche der Axiome (V1) (V3), (Pa), (A1) (A2) gelten und welche nicht. Begründung ist erforderlich! Gegenbeispiele können durch Zeichnung dargestellt werden. 2. Gegeben seien die Geraden g und h, die sich im Punkt S schneiden. Weiter sei P ein Punkt im Innern eines von g und h erzeugten Winkelfeldes (mit Scheitel S). Konstruieren Sie eine Gerade k durch P, die g in A und h in B schneidet, so daß P Mittelpunkt der Strecke AB ist. 3. Geben Sie alle Symmetrieachsen eines regelmäßigen Siebenecks an! Zeigen Sie, daß die angegebenen Geraden Symmetrieachsen sind und es keine weiteren gibt. 4. Zeigen Sie: In einem gleichschenkligen Dreieck gibt es zwei gleich lange Seitenhalbierende. Gilt auch die Umkehrung? 5. Sei Γ die euklidische Ebene, M Γ, b M die Punktspiegelung an M und t die Translation mit Verschiebungsvektor v. Geben Sie die Art der Bewegungen t b M und b M t an und vergleichen Sie beide.

14 Querschnittsübung 2 zu Elemente der Geometrie WS 13/14 1. Gegeben seien ein Quadrat Q 1 in der euklidischen Ebene Γ, ein weiteres vollständig im Innern von Q 1 liegendes Quadrat Q 2, und folgendes Modell einer Geometrie mit Punkten, Geraden in der Ebene Γ : Die Punkte von Γ seien die Punkte von Γ, die gleichzeitig innerhalb von Q 1 und außerhalb von Q 2 liegen, und die Geraden von Γ seien die Durchschnitte der offenen Strecken innerhalb Q 1, mit Γ. Geben Sie an, welche der Axiome (V1) (V3), (Pa), (A1) (A3), (D1) (D2) gelten und welche nicht. Begründung ist erforderlich! 2. (a) SeiM einegeometrischefigurmitzweiparallelensymmetrieachsen g 1 undg 2.Zeigen Sie: Dann gibt es unendlich viele weitere Symmetrieachsen von M. (b) Ist h eine weitere Symmetrieachse, die g 1 im Winkel 60 schneidet. Skizzieren Sie alle daraus resultierenden Symmetrieachsen von M. 3. Zeigen Sie: Werden von einem Punkt P außerhalb eines Kreises die Tangenten an den Kreis gezogen, dann sind die Strecken von P zu den Berührpunkten gleich lang. 4. Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B und C. Weiter sei g := AB, h := BC, k := AC unds g,s h,s k diespiegelungenandiesengeraden.gebensiean,welcheartvonbewegung durch f := s g s h s k s g s h s k gegeben wird. 5. Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel in C. Konstruieren Sie Punkte X AC, Y BC und Z AB, so daß das Viereck XZYC ein Quadrat ist. 6. Gegeben sei das Viereck mit Ecken A, B, C und D und den parallelen Seiten AB und CD mit AB > CD. (a) Geben Sie alle besonderen Eigenschaften der Innenwinkel dieses Vierecks an und beweisen Sie sie. (b) Sei g die Parallele zu AB durch den Mittelpunkt E von AD, F der Schnittpunkt von g mit BC. Zeigen Sie: F ist Mittelpunkt von BC und EF ist das arithmetische Mittel von AB und CD, d.h. es gilt EF = 1 2 ( ) AB + CD. (c) Geben Sie an, unter welchen Bedingungen das Viereck Symmetrieachsen besitzt, die keine der Ecken enthalten, und geben Sie diese alle an. Zeigen Sie, daß es keine weiteren derartigen geben kann.

15 7. Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r > 0, eine Sehne PQ mit M PQ und zwei Kreispunkte A und B, die in verschiedenen Halbebenen bezüglich P Q liegen. Zeigen Sie: <)(PAQ)+ <)(PBQ) = Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B und C. Weiter seien A, B und C Punkte außerhalb des Dreiecks, so daß die Dreiecke ABC, AB C, A BC gleichseitig sind, F der Schnittpunkt von AA und CC und d die Drehung um B mit Drehwinkel 60. Beweisen Sie: (a) AA = CC. (b) AA und CC schneiden sich im Winkel von 60. (c) Ist F := d(f), dann ist das Dreieck BFF gleichseitig. 9. Gegeben seien der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r und ein diesem Kreis einbeschriebenes gleichseitiges Sechseck mit den Ecken A 1,...,A 6 (Numerierung gegen den Uhrzeigersinn). Geben Sie alle Bewegungen an, die das Sechseck auf sich abbilden. Begründung ist erforderlich. 10. Zeigen Sie: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden. Ist z.b. w c die Winkelhalbierende durch C, D der Schnittpunkt von w c mit AB, dann gilt AD DB = AC BC. Anleitung: Spiegeln Sie das Dreieck an der Winkelhalbierenden. Strahlensatz. 11. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M, AB eine Sehne des Kreises, die nicht Durchmesser ist, P 0 X Mittelsenkrechte von AB mit P 0,X k und M,P 0 auf derselben Seite von AB. Zeigen Sie: Ist P k ein beliebiger Punkt des Kreises, der auf derselben Seite von AB liegt wie M, dann ist PX Winkelhalbierende des Winkels <)(APB). Hilfe: Betrachten Sie den Spezialfall P = P 0. P 0 P M A B X

16 12. Von einem Parallelogramm ABCD mit Diagonalenschnittpunkt M seien die Längen der Strecken AB = 9cm, BD = 8cm sowie der Diagonalenschnittwinkel <)(BMC) = 30 gegeben. Geben Sie eine Beschreibung zur Konstruktion eines solchen Vierecks nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal an und begründen Sie Ihre Konstruktion! Ist das Viereck (bis auf Kongruenz) eindeutig bestimmt? 13. Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Winkelhalbierenden w A des Innenwinkels bei A, w B des Außenwinkels bei B und w C des Außenwinkels bei C. Zeigen Sie: (a) w B und w C sind nicht parallel. (b) Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt M und M ist Mittelpunkt eines Kreises, der die Geraden AB, BC und AC berührt.

17 10. Übung Elemente der Geometrie WS2013/ (a) Formulieren Sie Umkehrung der Aussagen von Katheten- und Höhensatz. (b) Beweisen Sie sie, wenn möglich. 45. Für a,b IR, a,b > 0, heißt a+b 2 arithmetisches Mittel, a b geometrisches Mittel. Stellen Sie beide Mittel geometrisch dar und zeigen Sie geometrisch, daß das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist. Wann gilt Gleichheit? 46. Gegeben sei das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit Höhe CD, D AB. (a) Zeigen Sie, daß die Dreiecke ABC, ADC und BCD ähnlich sind (b) Beweisen Sie mit Hilfe von (a) den Katheten- und Höhensatz. 47. Zeigen Sie den Satz von Pappos: Sind g,h verschiedene Geraden, P 1,P 2,P 3 g, Q 1,Q 2,Q 3 h mit dann gilt P 1 Q 1 P 3 Q 3. P 1 Q 2 P 2 Q 3 und P 2 Q 1 P 3 Q 2, 48. Zeigen Sie den Satz von Desargues: Sind g, h, k verschiedene Geraden mit gemeinsamem Schnittpunkt S, P 1,P 2 g, Q 1,Q 2 h, R 1,R 2 k mit dann gilt P 1 R 1 P 2 R 2. P 1 Q 1 P 2 Q 2 und Q 1 R 1 Q 2 R 2, 49. Zeigen Sie den Satz von Menelaos: Sind A,B,C Γ nicht kollineare Punkte, g eine beliebige Gerade, die die Geraden AB, BC bzw. AC in D, E bzw. F mit D,E,F {A,B,C} schneidet. Dann gilt AD DB BE EC AF FC = Sei ABC ein nicht gleichseitiges Dreieck mit Schwerpunkt S, f die Dilatation mit Fixpunkt S und Faktor 1. Zeigen Sie: 2 (a) f bildet den Höhenschnittpunkt H auf den Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC ab. (b) M,S,H sind kollinear und S teilt die Strecke HM im Verhältnis 2:1. (Die Gerade durch M, S, H heißt Eulersche Gerade.)