R. Brinkmann Seite

Transkript

1 R. rinkmann Seite Lösungen edingte Wahrscheinlichkeit II en: 1 ufgabe Es soll die eliebtheit einer Fernsehsendung überprüft werden. Eine litzumfrage hatte folgendes Ergebnis: 30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und jünger. Von diesen hatten 50% und von den übrigen Zuschauern (über 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung. a) Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4 Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen): : Der Zuschauer ist 25 Jahre alt und jünger. : Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung. b) Zeichnen Sie das aumdiagramm und den inversen aum. estimmen Sie alle fadwahrscheinlichkeiten. c) Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie eine positive Meinung über die Sendung hatten, waren älter als 25 Jahre? d) Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie älter als 25 Jahre sind, hatten keine positive Meinung über die Sendung? e) Überprüfen Sie durch Rechnung ob das Ereignis unabhängig vom Ereignis ist. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 1 von 8

2 R. rinkmann Seite a) : Zuschauer ist 25 Jahre alt : Zuschauer ist > 25 Jahre alt : Zuschauer hat eine positive Meinung von der Sendung : Zuschauer hat eine negative Meinung von der Sendung 30% der Zuschauer sind 25 Jahre alt = 0,3 70% der Zuschauer sind > 25 Jahre alt = 0,7 Von den Zuschauern 25 hatten 50% eine positive Meinung. ( ) = 0,5 0,3 = 0,15 Von den Zuschauern 25 hatten 50% eine negative Meinung. = 0,5 0,3 = 0,15 Von den Zuschauern = 0,8 0,7 = 0,56 > 25 hatten 80% eine positive Meinung. Die restlichen Werte der 4 Feldtafel lassen sich aus den bisher bekannten Werten berechnen: = 0,15 + 0,56 = 0,71 = 1 0,71= 0,29 = 0,29 0,15 = 0,14 Die 4 Feldtafel : ( ) ( > ) (Meinung positiv) (Meinung negativ) 25 0,15 0,15 0,3 25 0,56 0,14 0,7 0,71 0, b) Das aumdiagramm: ( ) = 0,3 ( ) = 0,5 = 0,5 ( ) = 0,15 ( ) = 0,15 ( ) = 0,7 ( ) = 0,8 ( ) = 0,2 ( ) = 0,56 ( ) = 0,14 Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 2 von 8

3 R. rinkmann Seite b) erechnung aller für den aum relevanten Wahrscheinlichkeiten. ( ) ( ) 0,15 0,15 ( ) = = = 0,5 = = = 0,5 0,3 0,3 ( ) 0,56 0,14 ( ) = = = 0,8 = = = 0,2 0,7 0,7 1 b) Der inverse aum: = 0,71 ( ) 0,211 ( ) 0,789 ( ) = 0,15 ( ) = 0,56 = 0,29 ( ) 0,517 ( ) 0,483 ( ) = 0,15 ( ) = 0, b) erechnung aller für den aum relevanten Wahrscheinlichkeiten. ( ) 0,15 0,56 ( ) = = 0,211 = = 0,789 0,71 0,71 0,15 0,14 ( ) = = 0,517 = = 0,483 0,29 0,29 c) Von allen Zuschauern, von den man weiß, das sie eine ( ) 0,789 positive Meinung über die Sendung hatten, waren 78,9% älter als 25 Jahre. d) Von allen Zuschauern, von den man weiß, das sie älter als ( ) = 0,2 25 sind, hatten 20% eine negative Meinung über die Sendung. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 3 von 8

4 R. rinkmann Seite ist unabhängig von, falls gilt: = e) 0,211 = 0,3 keine Unabhängigkeit Das Ereignis ist abhängig vom Ereignis. Das bedeutet, die positive Meinung über die Fernsehsendung ist vom lter der Zuschauer abhängig. ufgabe In einem Land der Dritten Welt leiden 1% der Menschen an einer bestimmten Infektionskrankheit. Ein est zeigt die rankheit bei den tatsächlich erkrankten zu 98% korrekt an. Leider zeigt der est auch 3% der Gesunden als erkrankt an. a) Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4 Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen): : Die getestete erson ist krank. : estergebnis ist positiv (erson wurde als krank getestet). b) Zeichnen Sie das aumdiagramm und den inversen aum. estimmen Sie alle fadwahrscheinlichkeiten. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der est bei einer zufällig ausgewählten erson ein positives Ergebnis? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als positiv getestete erson auch tatsächlich krank? ommentieren Sie das Ergebnis. e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als negativ getestete erson gesund? ommentieren Sie das Ergebnis. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 4 von 8

5 R. rinkmann Seite a) : Die getestete erson ist krank : Die getestete erson ist gesund : Das estergebnis ist positiv (erson wurde als krank getestet) : Das estergebnis ist negativ (erson wurde als gesund getestet) 1 = % der Menschen sind krank 0,01 99% der Menschen sind gesund = 0,99 Der est zeigt die rankheit bei den tatsächlich erkrankten zu 98% korrekt an ( ) = 0,98 0,01= 0,0098 Der est zeigt auch 3% der gesunden als krank an = 0,03 0,99 = 0,0297 Die restlichen Werte der 4 Feldtafel lassen sich aus den bisher bekannten Werten berechnen: = 0, ,0297 = 0,0395 = 0,01 0,0098 = 0,0002 = 0,99 0,0297 = 0,9603 = 1 0,0395 = 0,9605 Die 4 Feldtafel : (positiv) (negativ) (krank) 0,0098 0,0002 0,01 (gesund) 0,0297 0,9603 0,99 0,0395 0, b) aumdiagramm: = 0,01 ( ) = 0,98 = 0,02 ( ) = 0,0098 ( ) = 0,0002 = 0,99 ( ) = 0,03 = 0,97 ( ) = 0,0297 ( ) = 0,9603 Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 5 von 8

6 R. rinkmann Seite b) erechnung aller für den aum relevanten Wahrscheinlichkeiten. ( ) 0,0098 0,0002 ( ) = = = 0,98 = = = 0,02 0,01 0,01 0,0297 0,9603 ( ) = = = 0,03 = = = 0,97 0,99 0,99 b) Der inverse aum: ( ) = 0,0395 ( ) 0,2481 ( ) 0,7519 ( ) = 0,0098 ( ) = 0,0297 ( ) = 0,9605 ( ) 0, ( ) 0, ( ) = 0,0002 ( ) = 0,9603 b) erechnung aller für den aum relevanten Wahrscheinlichkeiten. ( ) 0,0098 ( ) = = 0,2481 0,0395 0,0297 ( ) = = 0,7519 0,0395 ( ) ( ) 0,0002 ( ) = = 0, ,9605 0,9603 ( ) = = 0, ,9605 c) ( ) = 0,0395 ei einer zufällig ausgewählten erson zeigt der est mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0395 ein positives Ergebnis an. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 6 von 8

7 R. rinkmann Seite d) Eine erson, von der man weiß, dass sie positiv getestet wurde, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2481 auch tatsächlich krank ommentar: ( ) 0,2481 Das Ergebnis von ca. 25% ist nicht zufriedenstellend. Nur 25% aller positiv getesteten sind tatsächlich erkrankt. Das bedeutet, dass ca. 75% der positiv getesteten gesund sind. Es wäre wünschenswert, dass der est verbessert wird. e) 0, Eine erson, von der man weiß, dass sie negativ getestet wurde, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, auch tatsächlich gesund. ommentar: In diesem Fall ist das Ergebnis von ca. 99,98% sehr zufriedenstellend. Nur ca. 0,02% der als negativ getesteten ersonen sind tatsächlich krank. ufgabe n einem erufskolleg werden alle 674 Schüler/innen befragt ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der efragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Schüler (männlich) gaben an zu rauchen. 250 Schülerinnen gaben an, nicht zu rauchen. a) Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4 Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen): : Die erson ist männlich. : Die erson ist Raucher b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte erson weiblich und Nichtraucherin? c) Der Schulleiter sieht eine Schülerin im ufenthaltsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Schülerin Nichtraucherin? d) Untersuchen Sie, ob das Ereignis männlich und das Ereignis Raucher voneinander abhängige Ereignisse sind. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 7 von 8

8 R. rinkmann Seite a) : Die erson ist männlich : Die erson ist weiblich : Die erson ist Raucher : Die erson ist Nichtraucher Die 4 Feldtafel : (männlich) (weiblich) (Raucher) (Nichtraucher) = 3 3 b) 250 ( ) = 0, c) 250 ( ) 250 ( 674 ) = = = 0,656 ( ) Eine zufällig ausgewählte erson ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,371 weiblich und raucht nicht. Eine erson, von der man weiß, das sie weiblich ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,656 Nichtraucherin. 3 Wenn gilt: hängt von ab. d) 82 ( ) 82 ( ) = = 674 = 0,28 ( ) ( ) ( ) = 0, Die Ereignisse : Mann und : Raucher sind voneinander abhängig. Erstellt von R. rinkmann p9_stoch_052_e.doc :51 Seite 8 von 8