Klausur Nr. 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) Klausur Nr. 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)

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1 Aufgabe : Eine Versicherung veröffentlicht das folgende Datenmaterial über die durch die bei ihnen versicherten ersonen verursachten Unfälle: Autofahrer Jünger als und und 60 Älter als 60 Summe Weibliche Fahrer Männliche Fahrer Summe Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Unfallverursacher Aufgabe : In einem Linienbus befinden sich 2 ersonen, als ein Kontrolleur einsteigt. Zwei assagiere sind Schwarzfahrer ohne Fahrschein. Der Kontrolleur kann aus Zeitgründen nur drei von diesen Fahrgästen kontrollieren. a) Fertigen Sie ein vollständiges Baumdiagramm für diese Situation an. b) alle Schwarzfahrer (S) erwischt werden? c) alle Kontrollierten einen Fahrschein (F) besitzen? d) mindestens einer der Schwarzfahrer (S) erwischt wird? a) weiblich? c) zwischen 25 und 40 Jahren alt? e) genau einer der Kontrollierten einen Fahrschein (F) besitzt? b) männlich und älter als 60? d) mindestens 25 Jahre alt? Aufgabe 2: In einer Region in Afrika sind % der Bevölkerung mit HIV (Aids) infiziert (A+). Ein harmaunternehmen bietet einen neuen Schnelltest an, der bei 8 % der Erkrankten die Erkrankung korrekt anzeigt (T+). Leider zeigt der Test aber auch bei % der Gesunden, nicht infizierten Menschen (A--) eine Erkrankung - also (T+) - an. a) Fertigen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation an. (Geben Sie die Ergebnisse bei Bedarf - auf 4 Stellen nach dem Komma genau an.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, b) dass eine erson bei dem Test als gesund (T--) getestet wird? c) eine erson zu treffen die infiziert ist (A+) und als gesund (T--) getestet wurde? d) dass jemanden der als infiziert getestet wurde (T+), tatsächlich infiziert ist (A+)? e) dass jemanden der als gesund getestet wurde (T--), tatsächlich gesund ist (A--) f) Nehmen Sie Stellung zu Ihren Ergebnissen aus d) und e). Aufgabe 4: In den nachfolgenden Vierfeldertafeln sind die Ergebnisse einer repräsentativen Umfrage dargestellt, die der Fernsehsender ABC zu einer neuen Fernsehserie durchführen ließ. Weiblich (w) Männlich (m) 2,4 %,6 % 44 % 4,6 % 4,4 % 56 % 6 % 64 % 0 % Bis 0 Jahre Älter als 0 26,04 % 5,6 % 62 % 5,6 %,04 % 8 % 42 % 58 % 0 % Der Sender ABC möchte nun wissen, ob es vom Geschlecht und/oder vom Alter der Befragten abhängt, ob ihnen die. a) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse S+: und W: weiblicht stochastisch unabhängig sind. b) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse S+: und und <0: jünger als 0 stochastisch unabhängig sind. c) Nehmen Sie Stellung zu Ihren Ergebnissen. Bei welcher Zuschauergruppe sollte die der Sender ABC verstärkt werben?

2 Aufgabe 5: 70 % der Mitglieder einer Krankenkasse wohnen auf dem Land, die anderen in der Stadt. Im Jahr 200 nahmen 46 % der Kassenmitglieder die Leistungen der Kasse in Anspruch, darunter waren 8 % Landbewohner. Ein Sachbearbeiter überprüft in zufälligen Stichproben die Akten von verschiedenen Versicherten einer Zweigstelle. (Dabei sollen die obigen Angaben auch für diese Zweigstelle gelten.) a) Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und legen Sie eine Vierfeldertafel zu diesem Experiment an. (Geben Sie die Ergebnisse bei Bedarf - auf 4 Stellen nach dem Komma genau an.) Benutzen Sie dabei die folgenden Bezeichnungen: L Landbewohner A+ Leistungen beansprucht S Stadtbewohner A keine Leistungen beansprucht b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überprüft er die Akte eines Landbewohners, der auch LÖSUNG Aufgabe : Eine Versicherung veröffentlicht das folgende Datenmaterial über die durch die bei ihnen versicherten ersonen verursachten Unfälle: Autofahrer Jünger als und und 60 Älter als 60 Summe Weibliche Fahrer Männliche Fahrer Summe Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Unfallverursacher e) weiblich? g) zwischen 25 und 40 Jahren alt? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überprüft er die Akte eines Städters, der keine d) Er hat die Akte eines Städters in der Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser Leistungen von der Kasse beansprucht? e) Er hat die Akte eines Landbewohners in der Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser keine Leistungen von der Kasse beansprucht? f) Er hat die Akte eines Versicherten überprüft, der keine Leistungen von der Kasse beansprucht hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Landbewohner? g) Er hat die Akte eines Versicherten überprüft, der Leistungen von der Kasse beansprucht hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Städter? f) männlich und älter als 60? 848 a) (a) b) 450 (b) c) 88 (c) 2 05 h) mindestens 25 Jahre alt? h) Sind die Ereignisse L Landbewohner und A+ Leistungen beansprucht stochastisch unabhängig? d) (d ) i) Was wäre für die Kasse günstiger: Mehr Landbewohner oder mehr Stadtbewohner versichern? Oder ist der Wohnort egal? Was würden Sie der Kasse, anhand Ihrer Ergebnisse, raten?

3 Aufgabe 2: In einer Region in Afrika sind % der Bevölkerung mit HIV (Aids) infiziert (A+). Ein harmaunternehmen bietet einen neuen Schnelltest an, der bei 8 % der Erkrankten die Erkrankung korrekt anzeigt (T+). Leider zeigt der Test aber auch bei % der Gesunden, nicht infizierten Menschen (A--) eine Erkrankung also (T+) an. a) Fertigen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation an. A+ mit HIV (Aids) infiziert T+ Test zeigt infiziert A nicht mit HIV (Aids) infiziert T Test zeigt nicht infiziert 0 A + A d) dass jemanden der als infiziert getestet wurde (T+), tatsächlich infiziert ist (A+)? T + ( A + ) ( + A + ) T (T + ) e) dass jemanden der als gesund getestet wurde (T--), tatsächlich gesund ist (A--) T ( A ) ( A ) T (T ) f) Nehmen Sie Stellung zu Ihren Ergebnissen aus d) und e). Bei dem Testergebnis gesund (also nicht infiziert) zeigt sich der Test sehr zuverlässig (,8% der Testergebnisse treffen zu). Was die Ergebnisse bei einem Testergebnis, das eine Infizierung anzeigt (T+), ergibt sich jedoch ein deutlich geringerer Wert. Nur ca. 25 % der ositiv getesteten ist auch tatsächlich mit Aids infiziert. Das heißt im Umkehrschluss. Dass ca. 75 % der positiv getesteten ersonen gar nicht erkrankt ist. Der Test sollte also in Bezug auf diese Gruppe unbedingt verbessert werden (der Wert % der Gesunden ist zu hoch). T+ T-- T+ T A + A-- T T b) dass eine erson bei dem Test als gesund (T--) getestet wird? ( T ) 605 c) eine erson zu treffen die infiziert ist (A+) und als gesund (T--) getestet wurde? Aufgabe : In einem Linienbus befinden sich 2 ersonen, als ein Kontrolleur einsteigt. Zwei assagiere sind Schwarzfahrer ohne Fahrschein. Der Kontrolleur kann aus Zeitgründen nur drei von diesen Fahrgästen kontrollieren. a) Fertigen Sie ein vollständiges Baumdiagramm für diese Situation an. f) alle Schwarzfahrer (S) erwischt werden? g) alle Kontrollierten einen Fahrschein (F) besitzen? h) mindestens einer der Schwarzfahrer (S) erwischt wird? i) genau einer der Kontrollierten einen Fahrschein (F) besitzt? ( A + T ) 0002

4 5. Kontrolle Kontrolle F S 2 F S F S 2 5 F S F S F S F S 6 0 b) (b) (FSS) + (SFS) + (SSF ) d.h. 4,55 % 6 c) (c) (FFF ) 545 d.h. 55,5 % 6 5 d) (c ) (FFF ) 455 d.h. 45,5 % e) (e) (b) 0455 d.h. 4,55 % 0 Aufgabe : In den nachfolgenden Vierfeldertafeln sind die Ergebnisse einer repräsentativen Umfrage dargestellt, die der Fernsehsender ABC zu einer neuen Fernsehserie durchführen ließ. Weiblich (w) Männlich (m) 2,4 %,6 % 44 % 4,6 % 4,4 % 56 % 6 % 64 % 0 % Bis 0 Jahre Älter als 0 26,04 % 5,6 % 62 % 5,6 %,04 % 8 % 42 % 58 % 0 % Der Sender ABC möchte nun wissen, ob es vom Geschlecht und/oder vom Alter der Befragten abhängt, ob ihnen die. a) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse S+: und W: weiblicht stochastisch unabhängig sind. ( w S + ) 24 S + 5 und ( S + ) 44 ( w) 6 w Die beiden Ergebnisse sind identisch. Die beiden Ereignisse sind somit stochastisch unabhängig, sie beeinflussen sich nicht. b) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse A+: und und <0: jünger als 0 stochastisch unabhängig sind. ( < 0 S + ) 2604 < 0 S + 62 und ( S + ) 62 ( < 0) 42 Die beiden Ergebnisse sind identisch. Die beiden Ereignisse sind somit stochastisch unabhängig, sie beeinflussen sich nicht. c) Nehmen Sie Stellung zu Ihren Ergebnissen. Bei welcher Zuschauergruppe sollte die der Sender ABC verstärkt werben? Das Ergebnis aus a) zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die bei den weiblichen Zuschauern größer ist als bei der Gesamtgruppe (nicht stochastisch unabhängig ) Das Ergebnis von b) zeigt jedoch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die nicht vom Alter der Befragten abhängt. ( stochastisch unabhängig,) Somit könnte es sich auszahlen, wenn der Sender sich verstärkt um die weiblichen Zuschauer kümmert.

5 Aufgabe 5: 70 % der Mitglieder einer Krankenkasse wohnen auf dem Land, die anderen in der Stadt. Im Jahr 200 nahmen 46 % der Kassenmitglieder die Leistungen der Kasse in Anspruch, darunter waren 8 % Landbewohner. Ein Sachbearbeiter überprüft in zufälligen Stichproben die Akten von verschiedenen Versicherten einer Zweigstelle. (Dabei sollen die obigen Angaben auch für diese Zweigstelle gelten.) a) Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und legen Sie eine Vierfeldertafel zu diesem Experiment an. Benutzen Sie dabei die folgenden Bezeichnungen: L Landbewohner A+ Leistungen beansprucht S Stadtbewohner A keine Leistungen beansprucht A + A L S L S A + A-- L S b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überprüft er die Akte eines Landbewohners, der auch ( L A + ) 0, 748 7, % ˆ 48 c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überprüft er die Akte eines Städters, der keine ( S A ) 0, 048, % ˆ 48 d) Er hat die Akte eines Städters in der Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser Leistungen von der Kasse beansprucht? ( S A + ) ( S) 2852 S ( A + ) 5 ˆ 5% e) Er hat die Akte eines Landbewohners in der Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser keine Leistungen von der Kasse beansprucht? ( L A ) ( L) 5252 L ( A ) 75 ˆ 75% 7 f) Er hat die Akte eines Versicherten überprüft, der keine Leistungen von der Kasse beansprucht hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Landbewohner? ( A L) ( A ) 5252 A ( L) 725 ˆ 7, 25% 54 g) Er hat die Akte eines Versicherten überprüft, der Leistungen von der Kasse beansprucht hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Städter? ( A + S) ( A + ) 2852 A + ( S) 62 ˆ 62% 46 h) Sind die Ereignisse L Landbewohner und A+ Leistungen beansprucht stochastisch unabhängig? ( L A + ) 748 A und ( A + ) 46 ( L) 7 L Somit gilt: ( A ) ( A) L +. Die beiden Ereignisse sind damit nicht stochastisch unabhängig. i) Was wäre für die Kasse günstiger: Mehr Landbewohner oder mehr Stadtbewohner versichern? Oder ist der Wohnort egal? Was würden Sie der Kasse, anhand Ihrer Ergebnisse, raten? Der Wohnort und die Inanspruchnahme von Leistungen sind nach Aufgabe 6c) nicht stochastisch unabhängig und somit für die Kasse relevant. 6f) kann man entnehmen, dass 7,25% derjenigen, die keine Leistungen in Anspruch nahmen auf dem Land wohnten (nach 6e) nahmen 75 % der Landbewohner keine Leistungen in Anspruch). Zudem haben nach 6d) 5 % der Städter Leistungen der Kasse in Anspruch genommen. Daher sollte es für die Kasse günstiger sein möglichst viele Landbewohner unter Vertrag zu nehmen, da sie dann wahrscheinlich weniger Leistungen auszahlen müssen.