UTB. Uni-Taschenhiicher 520. Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage

Transkript

1 Uni-Taschenhiicher 520 UTB Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Birkhauser Verlag Basel und Stuttgart Wilhelm Fink Verlag Miinchen Gustav Fischer Verlag Stuttgart Francke Verlag Miinchen Paul Haupt Verlag Bern und Stuttgart Dr. Alfred Hiithig Verlag Heidelberg J. C. B. Mohr (Paul Siebeck) Tiibingen QueUe & Meyer Heidelberg Ernst Reinhardt Verlag Miinchen und Basel F. K. Schattauer Verlag Stuttgart - New York Ferdinand SchOningh Verlag Paderborn Dr. Dietrich Steinkopff Verlag, Darmstadt Eugen Ulmer Verlag Stuttgart Vandenhoeck & Ruprecht in Gottingen undziirich Verlag Dokumentation Miinchen-Pullach Westdeutscher Verlag / Leske Verlag Opladen

2 Klaus-Dieter Drews Lineare Gleichungssysteme und lineare Optiluierungsaufgaben Mit 14 Ahhildungen und 28 Tahellen Dr. Dietrich Steinkopff Verlag. Darmstadt

3 Dr. KLAUS-DIETER DREWS, geboren 1938 in Rostock, studierte Mathematik an der Universitat Rostock. Mathematik-Diplom 1961, Promotion zum Dr. paed Wissenschaftlicher Assistent an der Universitat Rostock ( am damaligen Mathematischen Institut, am Rechenzentrum). Seit 1971 Lektor an der Sektion Mathematik der Universitat Rostock. Hauptarbeitsgebiete: Problemanalyse und Programmierung; Forschung auf dem Gebiet der Aufbereitung mathematischer (insbesondere numerischer) Methoden fiir die Schulmathematik bzw. fiir Grundvorlesungen. ISBN -13: e-isbn-13: DOl: / Lizenzausgabe 1976 des VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 by VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin AHe Rechte vorbehalten. J ede Art der Vervielfaltigung ohne Genehmigung des Originalverlages ist unzulassig. Einbandgestaltung: Alfred Krugmann, Stuttgart Gebunden bei der GroBbuchbinderei Sigloch, Stuttgart

4 Vorwort Themen dieses Buches sind die Bestimmung der Losungen von linearen Gleichungssystemen, die Matrizenrechnung sowie die Bestimmung der Losungen von linearen Optimierungsaufgaben. Dabei stehen sowohl die Herleitung der wesentlichen theoretischen Aussagen als auch die Bereitstellung von algorithmisch aufbereiteten Rechenverfahren im Vordergrund, und zwar erfolgt die Entwicklung der Theorie unmittelbar in Verbindung mit den Losungsalgorithmen. Diese wurden unter den in der Praxis ublichen Verfahren ausgewiihlt und erhalten Formulierungen, die dem Leser das ubersichtliche Durchrechnen von Beispielen ermoglichen, aber au~h eine Verwendbarkeit in modernen programmgesteuerten Rechenautomat en erkennen lassen; die hierfiir angegebenen FluBbilder machen mit einer wichtigen Technik zur Darstellung von AIgorithmen bekannt. Der Stoff ist so abgefabt, dab er schon fiir SchUler der Abiturstufe verstiindlich wird. Ein umfangreicher Aufgabenteil dient der Festigung, regt aber auch zu gewissen vveiterfuhrungen an. Weil die mathematische Theorie mit den wesentlichsten Begriffen des Themenkreises, aber auf numerische Losungsverfahren orientiert, entwickelt wird und bezuglich dieses Vorhabens ohne Lucken dargestellt ist, hoffe ich, dab das Buch ebenso in Studienrichtungen, die die Mathematik anwenden, genutzt werden kann. Die EinfUhrung in die Matrizenrechnung und in die Theorie der linearen Gleichungssysteme geschieht hier aus Grunden der methodischen Vereinfachung und handlicheren Verwendbarkeit in den Losungsalgorithmen zuniichst ohne die Begriffe der linearen Unabhiingigkeit und des Ranges im wesentlichen mit dem GauBschen Algorithmus und der Aquivalenz von Gleichungssystemen. Erst nachdem die Struktur der allgemeinen Losungen bestimmt wurde, 1*

5 4 Vorwort erfolgt eine abgerundete Zusammenfassung der Theorie durch Aussagen iiber die lineare Unabhangigkeit von Vektoren und den Rang einer Matrix sowie durch eine Formulierung der Hauptsatze iiber lineare Gleichungssysteme mittels dieser Begriffe; damit ist auch der unmittelbar.e AnschluB fur ein weitergehendes Studium der Vektorraume gegeben. Determinanten werden nicht verwendet. Unabhangig davon gehen die Dberlegungen noch in zwei Richtungen weiter: Das GauB-Seidelsche Verfahren fiihrt ein in die haufig auftretenden iterativen Losungsverfahren, und schlieblich werden die in praktischen Anwendungen sehr bedeutsame Simplexmethode und eine Losungsmethode fiir Transportprobleme behandelt, wobei die theoretische Rechtfertigung auf dem vorher entwickelten Matrizenkalkiil beruht. Mein Dank gilt dem Herausgeber dieser Reihe, Herrn Professor Dr. H. KARL, der durch kritische Bemerkungen wesentliche Verbesserungen am Manuskript veranlabte, und dem VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften fiir die Aufnahme des Bandes. In besonderem MaBe danke ich jedoch Herrn Professor Dr. W. ENGEL dafiir, dab er die Entstehung des Manuskriptes von Anfang ah in jeder Hinsicht gefordert hat. KLAUS-DIETER DREWS Rostock, Juli 1974

6 Inhalt I. Lineare Gleichungssysteme - spezielle FaIle. 1. Grundsatzliches zur Problematik 2. Der GauBsche Algorithmus Das skalare Produkt, FluBbilder. 4. Der verkettete Algorithmus.. 5. Zusammenfassung Aquivalente Gleichungssysteme. 7. Gleichungssysteme von n Gleichungen mit n Variablen Aufgaben. II. Matrizen. 1. Multiplikation und Addition von Matrizen 2. Regulare und singulare Matrizen Die inverse Matrix einer regularen Matrix. Aufgaben , III. Lineare Gleichungssysteme - allgemeiner Fall 1. Allgemeine Liisungen von (gestaffelten) Gleichungssystemen Beliebige Gleichungssysteme Der Rang einer Matrix, Hauptsatze iiber lineare Gleichungssysteme 72 Aufgaben IV. Das GauB-Seidelsche iterative Verfahren Grundsatzliches zur Problematik Beschreibung des Verfahrens Konvergenzbeweis Fehlerabschatzung. 94 Aufgaben

7 6 Inhalt V. Lineare Optimierungsaufgaben, Simplexmethode. 1. Festlegungen zur Aufgabenform 2. Einfiihrungsbeispiel Der Simplexschritt Struktur der Simplextabellen, optimale Tabellen 5. Sonderfalle Gleichheitszeichen und ~-Zeichen in den Restriktionen. Aufgaben.... VI. Eine Losungsmethode fiir Transportprobleme 1. Ausgangstabelle, Diagonalmethode, Turmziige 2. Transporttabellen, Austauschschritte Bemerkungen zur Durchfiihrbarkeit der Methode Aufgaben.... Losungen zu den Aufgaben Literaturhinweise Sachverzeichnis