GAMS (General Algebraic Modeling System)

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1 GAMS (General Algebraic Modeling System) Crash-Kurs Dortmund, Januar 1999 Prof. Dr. Heinz-Michael Winkels, Fachbereich Wirtschaft FH Dortmund Emil-Figge-Str. 44, D44227-Dortmund, TEL.: (0231) , FAX: (0231)

2 Inhalt Seite Charakterisierung 3 Betriebssysteme 4 Installation unter DOS 5 Die Modell-Library 6 Ablauf einer GAMS-Sitzung 7 Beispiel: Das klassische Transportsystem 8 Struktur eines GAMS-Programmes 11 2

3 Charakterisierung von GAMS GAMS (General Algebraic Modeling System) ist eine Programmiersprache zur Formulierung eines Problems innerhalb algebraischer Formeln mit integrierter Schnittstelle zur Lösung dieses Problems über einen Optimierungsalgorithmus. Mathematische Modellierung realer (ökonomischer oder technischer) Probleme Ermittlung einer optimalen Lösung innerhalb der definierten Restriktionen und Zielvorstellungen Die wichtigsten Modelltypen LP Lineare Programmierung: keine nichtlinearen Terme und keine diskreten Variablen NLP Nichtlineare Programmierung: differenzierbare Funktionen aber keine diskreten Variablen MIP Mixed Integer Programming: lineare Terme und diskrete Variablen (ganzzahlig oder binär) MCP Mixed Complementary Problems: lineare Terme und logische (Komplemetär-) Bedingungungen 3

4 GAMS unter verschiedenen Betriebssystemen GAMS besitzt unterschiedliche Betriebssystem-Plattformen: Windows Eine freie Studentenversion (eingeschränkte Modellgrösse) steht unter o:\seminare\winkels\dvlut\gams\win zum Herunterladen bereit. DOS Eine freie Studentenversion (eingeschränkte Modellgrösse) steht unter o:\seminare\winkels\dvlut\gams\dos zum Herunterladen bereit. UNIX Telnet unter Exceed aufrufen Terminal auf Wyse 60 einstellen Rechnerverbindung: fb9aix02 ( ) User: log01...log13 1. Password: gams Password ändern: logistik keine eingeschränkte Modellgrösse Standard Optimierer: OSL von IBM 4

5 Installation der DOS-Version Disketten ins Zielverzeichnis kopieren Wechsel in MS-DOS >C: >md gams225 >cd gams225 >copy a:*.* oder welches Laufwerk Sie wünschen oder eine andere Bezeichnung oder entsprechend für jede Diskette! gamsinst ausführen! Testen: >gamslib trnsport >gams trnsport >print trnsport.lst 5

6 Die Modell-Library GAMS besitzt eine Library von klassischen Programm-Beispielen gamslib index erzeugt das Gesamtverzeichnis index.gms gamslib <name> gamslib <nr> erzeugt die GAMS-Datei <name>.gms erzeugt die GAMS-Datei prob<nr>.gms Beispiel: $Title GAMS Model Library (INDEX,SEQ=0) $stitle Sorted by Name $ontext Two views of the 160 models in the GAMS Model Library. For more details, see 'GAMS: A User's Guide', Chapter 19 First, sorted by name: Name Seq Title ABEL 64 Linear Quadratic Control Problem AGRESTE 88 Agricultural Farm Level Model of NE Brazil AIRCRAFT 8 Aircraft Allocation Under Uncertain Demand AJAX 60 Ajax Paper Company Production Schedule ALAN 124 A Quadratic Programming Model for Portfolio Analysis ALUM 31 World Aluminum Model AMPL 74 AMPL Sample Problem ANDEAN 44 Andean Fertilizer Model BATCHDES 119 Optimal Design for Chemical Batch Processing BID 19 Bid Evaluation BLEND 2 Blending Problem I 6

7 Ablauf ein GAMS-Sitzung Schritt1: Editieren der Quell-Datei z.b. vi trnsport.gms Schritt 2: Aufrufen von GAMS z.b. gams trnsport Schritt 3: Listen des Ergebnisses z.b. Ausdrucken von trnsport.lst cat trnsport.lst lp z.b. Ansehen von trnsport.lst vi trnsport.lst Schritt 4: Eventuelle Veränderung ----> Schritt1 7

8 Beispiel: Das (klassische) Transportproblem Problembeschreibung: Ein bestimmtes Gut wird in m verschieden Fabriken hergestellt und soll auf n verschiedene Märkte transportiert werden. Die Angebote der Fabriken ai sowie der Bedarf der Märkte bj ist bekannt. Pro Einheit des Gutes sind die Transportkosten cij von jeder Fabrik zu jedem Markt gegeben. Wieviel Einheiten xij sollen von Fabrik i zum Markt j transportiert werden, sodass der gesamte Bedarf der Märkte gedeckt wird und die Transportkosten minimal sind? Angebot a1 a2 a2 Bedarf b1 b2 b3 b4 Fabriken Märkte 8

9 ... Beispiel: Das (klassische) Transportproblem Mathematische Problembeschreibung Indices: i = Fabriken j = Märkte Gegebene Daten: a i = Angebot des Gutes durch Fabrik i b j = Nachfrage des Gutes durch Markt j c ij = Transportkosten pro Einheit des Gutes von Fabrik i zum Markt j Entscheidungsvariable: x ij = Menge des Gutes, die von Fabrik i zum Markt j transportiert werden soll where x 0, for all i, j Restriktionen: Beachte das Angebotslimit der Fabrik i: x j ij a i, für alle i Zielfunktion: Erfülle die Nachfrage des Marktes j: x i ij b j, für alle j Minimiere i c x j ij ij 9

10 ... Beispiel: Das (klassische) Transportproblem Konkrete Zahlenbeschreibung Transport-Entfernungen Angebote Märkte Fabriken New York Chicago Topeka Seattle San Diego Nachfrage Die Distanz ist in 1000 Meilen angegeben. Pro 1000 Meilen werden $90,00 als Transportkosten pro Einheit angenommen. 10

11 Struktur eines GAMS-Programms: Übersicht Inputs Sets Deklaration Zuordnung der Elemente Data (Parameters, Tables, Scalar) Deklaration Wertzuweisungen Output Echo Print Reference Maps Equation Listings Status Reports Results Variables Deklaration Typzuweisung Zuordnung von Bounds und/oder Anfangswerten (optional) Equations Deklaration Definition Model und Solve statements Display statement (optional) 11

12 ... Struktur eines GAMS-Programms Allgemeine Konventionen: GAMS ist eine Sammlung von Statements. Eine Entität (Begriff, Menge, Skalar, Tabelle, Parameter, etc.) kann erst dann benutzt werden, wenn sie vorher definiert ist. Gross- und Kleinschreibung: Keine Unterscheidung Formatierung: ASCII-Text frei formatierbar: Freie Zeilen und Blanks nach Belieben Kommentare: Jede Zeile mit * in Spalte 1 ist eine Kommentarzeile Es können aber auch Kommentare in Statements eingefügt werden, siehe dort! Jedes Statement sollte (vorsichtshalber) mit einem Semicolon beendet werden! 12

13 ... Struktur eines GAMS-Programms: Sets Das Set-Statement (Mengendeklaration) Beispiel 1: SETS I canning plants / SEATTLE, SAN-DIEGO / J markets / NEW-YORK, CHICAGO, TOPEKA / ; Beispiel 2: SET SET I canning plants / SEATTLE, SAN-DIEGO /; J markets / NEW-YORK, CHICAGO, TOPEKA / ; Beispiel 3: Set t time periods /1991*2000/ ; Set m machines /mach1*mach24/ ; bedeutet: t = {1991,1992,1993,...,2000} m = { mach 1, mach 2,...mach 24 }, 13

14 ... Struktur eines GAMS-Programms: Sets Das Set-Statement (Mengendeklaration) (Forts.) Set oder Sets Kommentare nach der Mengendeklaration möglich. Das ALIAS-Statement: Alias (t,tp) ; Die Menge tp ist gleich der Menge t Notwendig und hilfreich bei der Angabe von Formeln, wenn die gleiche Indexmenge mehrfach genutzt wird. 14

15 ... Struktur eines GAMS-Programms: DATA Parameter-Statement (Daten-Format durch Listen): Beispiel 1: Parameters a(i) capacity of plant i in cases / Seattle 350 San-Diego 600 / b(j) demand at market j in cases / New-York 325 Beispiel2: Chicago 300 Topeka 275 /; Parameter a(i) capacity of plant i in cases / Seattle 350 San-Diego 600 / ; Parameter b(j) demand at market j in cases / New-York 325, Chicago 300, Topeka 275 / ; 15

16 ... Struktur eines GAMS-Programms: DATA Parameter-Statement (Daten-Format durch Listen) (Forts.): Elementepaare (Index, Wert) müssen durch Kommata oder durch separate Zeilen getrennt sein. Der Index muss genauso geschrieben werden, wie in der Mengendeklaration. Es reicht, nur die Nicht-Null-Elemente zu deklarieren. Scalar-Statement: Beispiel: Scalar f freight in dollars per case per thousand miles /90/ ; Ein Skalar ist nicht unter einem Set-Statement deklariert und besitzt nur einen einzigen Wert. 16

17 ... Struktur eines GAMS-Programms: DATA Das Table-Format Beispiel: Table d(i,j) distance in thousands of miles New-York Chicago Topeka Seattle San-Diego ; Ein Index entspricht den Zeilen, der andere den Spalten. Blanks werden als 0 interpretiert. 17

18 ... Struktur eines GAMS-Programms: DATA Das Assignment-Statement Beispiel 1: Wichtig! Parameter c(i,j) transport cost in 1000s of dollars per case ; c(i,j) = f*d(i,j)/1000 ; Beispiel 2: c('seattle','new-york') = 0.40 ; Definierende Variablen müssen vorher definiert sein! Jede Zuordnung überschreibt vorangegangene Zuordnungen. 18

19 ... Struktur eines GAMS-Programms: Variablen Die Variablendeklaration Beispiel: Variables x(i,j) shipment quantities in cases z total transportation costs in 1000s of dollars ; Zulässige Varablentypen Variablen-Typ Free Positive Negative Binary Integer Zulässiger Bereich der Variablen - to + 0 to + - to 0 0 or 1 0,1,...,

20 ... Struktur eines GAMS-Programms: Variablen Die Bereichsdeklaration für Variable Beispiel: Positive variable x ; Beachte: Die Bereiche der Variablen werden bei der Bereichsdefinition nicht aufgeführt, aso NICHT etwa: positive variable x(i); Nicht deklarierte Variablen sind vom Typ FREE Zu optimierende Variablen müssen vom Typ FREE sein. 20

21 ... Struktur eines GAMS-Programms: Restriktionen Die Deklaration von Restriktionen ( Gleichungen ) Beispiel Equations cost define objective function supply(i) observe supply limit at plant i demand(j) satisfy demand at market j ; Summationen SUM( Index der Summation, Summand ) Relationale Operatoren: =L= =G= =E= kleiner oder gleich grösser oder gleich gleich 21

22 ... Struktur eines GAMS-Programms: Restriktionen Die Definition von Restriktionen ( Gleichungen ) Aufbau: Der Name der definierten Restriktion/ Gleichung Der Wertebereich Einschränkungen des Wertebereiches (optional) Das Symbol '..' Ausdruck für die linke Formelseite Relationaler Operator: =l=, =e=, or =g= Ausdruck für die rechte Formelseite Beispiel cost.. z =e= sum((i,j), c(i,j)*x(i,j)) ; supply(i).. sum(j, x(i,j)) =l= a(i) ; demand(j).. sum(i, x(i,j)) =g= b(j) ; Beispiele für Formeln: SUM( J, X(I,J) ) entspricht: Σ j x ij. SUM( (I,J), X(I,J) ) entspricht: Σ i Σ j c ij x ij. 22

23 ... Struktur eines GAMS-Programms: MODEL Das Model-Statement Befehl für den fortgeschrittenen User, während einer GAMS-Sitzung mehrere Modelle durchzurechnen bzw. zu optimieren. Beispiel 1 (Standard): model transport /all/ ; Beispiel 2: model transport / cost, supply, demand / ; 23

24 ... Struktur eines GAMS-Programms: SOLVE Das SOLVE-Statement Aufbau: 1. Das keyword solve 2. Der Name des Models, das gelöst werden soll 3. Das keyword using 4. Eine verfügbare Optimierungs-Prozedur. Die vollständige Liste ist: lp nlp mip rmip minlp rminlp mcp cns für Linear Programming für Nonlinear Programming für Mixed Integer Programming für Relaxed Mixed Integer Programming für Mixed Integer Nonlinear Programming für Relaxed Mixed Integer Nonlinear Programming für Mixed Complementarity Problems für Constrained Nonlinear Systems 5. Das keyword minimizing odermaximizing 6. Der Name der zu optimierenden Variablen Beispiel: solve transport using lp minimizing z ; 24

25 ... Struktur eines GAMS-Programms: Variablen-Datenbank Zu jeder Variablen werden folgende Werte intern von GAMS verwaltet: <Variablenbezeichner>.LO <Variablenbezeichner>.L <Variablenbezeichner>.UP <Variablenbezeichner>.M Lower Bound Level oder primaler Wert Upper Bound Marginalwert oder Dualer Wert (Schattenkosten) Die obigen Werte können vom User als Startwerte vorbelegt werden. Beispiel: x.up(i,j) = capacity(i,j) ; x.lo(i,j) = 10.0 ; x.up('seattle','new-york') = 1.2*capacity(seattle','new-york') ; 25

26 ... Struktur eines GAMS-Programms: Display Jeder Parameter oder jede Variable kann im Lösungsdisplay gefordert werden: Display <Parameterbezeichner>; Display <Variablenbezeichner>.LO; <Variablenbezeichner>.L; <Variablenbezeichner>.UP; <Variablenbezeichner>.M ; Beispiel 1: display x.l, x.m ; Beispiel 2: parameter pctx(i,j) perc of market j s demand filled by plant i; pctx(i,j) = 100.0*x.l(i,j)/b(j) ; display pctx ; liefert: pctx percent of market j s demand filled by plant i new-york chicago topeka seattle san-diego

27 ... Struktur eines GAMS-Programms: Output Standard Output Echo print oder Echo print Error Messages Reference Maps Reference Maps Equation Listings Model Statistics Status Reports Solutions Reports Dollar-Print-Control-Statements Beispiele $title a transportation model $offuppper $TITLE druckt den nachstehenden Titel wird am Anfang jeder Seite aus. $OFFUPPER sorgt für gemischte Gross- und Kleinschreibung Print-Options Beispiele Option LIMROW Option LIMCOL = r = c 27