Als Instanz für das p-median Problem wählen wir das Netzwerk von Abbildung 1-1 des Buches auf Seite 6.

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1 Übung zum p-median Problem Prof. Dr. R. Vahrenkamp, Universität Kassel Als Instanz für das p-median Problem wählen wir das Netzwerk von Abbildung 1-1 des Buches auf Seite 6. Abbildung1 1: Ausschnitt aus dem Autobahnnetz Deutschlands Hannover 146 Magdeburg 153 Berlin Köln Dortmund Kassel Halle Leipzig 110 Dresden Erfurt Frankfurt Die folgende Matrix zeigt die Länge d(k,i) der kürzesten Wege zwischen den Städten von Abbildung 1-1. Berlin Dortmund Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Berlin Dortmund Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Tabelle 1: Entfernungstabelle zu Abbildung 1-1 (Buch S. 6)

2 Wir lösen zunächst das Medianproblem p = 1: Wir gehen von der Matrix der kürzesten Wege von Tabelle 1 aus Jede Zeile wird mit dem Vektor der Nachfrage multipliziert als Skalarprodukt. Da ein Skalarprodukt in Excel schwierig darstellbar ist, schreiben wir den Vektor der Nachfrage als horizontale Tabelle und multiplizieren mit den üblichen Excel-Methoden jeden Eintrag der ersten Zeile der Matrix der kürzesten Wege mit der zugehörigen Nachfrage. Stadt Berlin Dortmund Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Nachfrage Mit einem Kopiervorgang füllen wir die restlichen Zeilen der Matrix der kürzesten Wege aus: Berlin Dortmund Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Zeilensumme Berlin Dortmund Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Tabelle der Transportleistungen Jede der multiplizierten Zeilen besitzt dann die folgende Bedeutung: Wenn in der Stadt, die zu der Zeile gehört, ein Zentrallager eingerichtet würde, wären die Werte in der Zeile die Transportleistungen vom Zentrallager zu den übrigen Städten. Wir ziehen für jede Zeile die Zeilensumme, welche die gesamte Transportleistung anzeigt, die zu Versorgung der Städte aufzubringen wäre, wenn in der Stadt, die zu der Zeile gehört, ein Zentrallager eingerichtet würde. Die Zeile mit der niedrigsten Zeilensumme ist dann der Median, in diesem Falle: Magdeburg mit Mio. Tonnenkm. Frankfurt als Lagerstandort wäre am ungünstigsten mit Mio. Tonnenkm. Man erkennt, die Spannweite der Transportleistung erreicht bei alternativer Wahl der Zentrallagerstandorts fast 100%. Das p-median Problem ohne Fixkosten wird hier mit der Makrosprache MPL formuliert und mit dem Solver CPLEX für p = 2,3 und 4 gelöst. Eine Studentenversionen der Software MPL lässt sich herunterladen von den Internetseiten Die MPL-Software erscheint als ZIP-File der sich dann selbst entpackt und den Namen besitzt MPLWIN42Student.exe. MPL liefert zugleich den Solver von CPLEX als DLL mit. Um MLP freizuschalten, senden Sie bitte eine Mail an download@maximalsoftware.com mit der Bitte um einen activation code für MPLWIN42Student.exe. Wir nummerieren die Städte wie folgt von 1 bis 13 und ordnen jeder Stadt eine Nachfrage von 100 Tonnen je Einwohner zu. Die folgende Tabelle 2 gibt die Daten an: Stadt Nummer Nachfrage Berlin Dortmund 2 590

3 Dresden Erfurt Frankfurt Halle Hannover Kassel Köln Leipzig Magdeburg Tabelle 2 Zur Formulierung des p-median Problems im Code von MPL verwenden wir die binären Location Variablen Location[vonStadt] und die stetigen Allocation Variablen Allocation[vonStadt, nachstadt]. Die Indices vonstadt laufen von 1,,13 und kennzeichnen die potentiellen Lagerstandorte. Die Indices nachstadt laufen von 1,,13 und kennzeichnen die Nachfragestädte. Die Indices haben zwar den gleichen Bereich, müssen aber durch verschiedene Namen logisch getrennt werden. Im MPL Code sieht die Formulierung des p-median Problems ohne Fixkosten für p = 4 wie folgt aus, wobei die groß geschriebenen Überschriften Schlüsselworte der MPL-Sprache sind: { Median.mpl } { p-median Planung im Netzwerk von Abbildung 1-1 des Buches auf Seite 6 mit p = ZahlStandorte = 4 von Lagerhäusern} TITLE Median_Planung INDEX vonstadt := 1..11; nachstadt := 1..11; DATA Nachfrage[nachstadt] := DATAFILE(Demand.txt); Distanz[vonstadt,nachstadt] := DATAFILE(Kurzweg.txt); ZahlStandorte :=4; DECISION VARIABLES

4 Allocation[vonstadt,nachstadt]; BINARY VARIABLES Location[vonstadt]; MACRO TransportKosten := SUM( vonstadt,nachstadt: Distanz * Nachfrage * Allocation ); MODEL MIN TransportKosten; SUBJECT TO SUM(vonstadt: Location) < ZahlStandorte; Versorgung[nachstadt]: SUM(vonstadt: Allocation) = 1; Verknuepfung[vonstadt, nachstadt]: Location[vonstadt] > Allocation[vonstadt,nachstadt]; END Erläuterung: Das Array Nachfrage lädt die Nachfragedaten von einem Textfile Demand.txt, der die Nachfrage der Tabelle 2 enthält, wobei die Daten von einem Komma getrennt werden: 3387, 590, 477, 201, 644, 254, 515, 196, 929, 489, 235, In gleicher Weise enthält die Datei Kurzweg.txt die kürzesten Wege von Tabelle 1: 512, 0, 553, 354, 226, 535, 213, 163, 97, 493, 359, 297, 553, 0, 199, 585, 152, 390, 390, 650, 110, 244, 327, 354, 199, 0, 386, 182, 357, 191, 451, 140, 274, 660, 226, 585, 386, 0, 568, 361, 195, 187, 526, 507, 229, 535, 152, 182, 568, 0, 322, 373, 632, 42, 176, 299, 213, 390, 357, 361, 322, 0, 166, 310, 280, 146, 465, 163, 390, 191, 195, 373, 166, 0, 260, 331, 312, 609, 97, 650, 451, 187, 632, 310, 260, 0, 591, 456, 187, 493, 110, 140, 526, 42, 280, 331, 591, 0, 134, 153, 359, 244, 274, 507, 176, 146, 312, 456, 134, 0, Als (Entscheidungs-) Variable werden Allocation und Location definiert, wobei Location als BINARY festgelegt wird. Im MACRO wird die Zielfunktion festgelegt, die im MODEL minimiert wird.

5 Der Abschnitt SUBJECT TO enthält die Nebenbedingungen. Der Ausdruck SUM(vonstadt: Allocation) = 1 entspricht der Formel n (2) x = 1, i 1...n k= 1 ki = der Formulierung des p-median Problems im Buch auf S ( k entspricht vonstadt, i entspricht nachstadt). Um dem System die Bedingung i = 1 n mitzuteilen, ist (mit einem frei wählbaren Namen ) die Nebenbedingung SUM(vonstadt: Allocation) = 1 mit Versorgung[nachstadt]: zu bezeichnen. Analog wird für (3) y k x ki, k,i = 1,...,n die Nebenbedingung Location[vonstadt] > Allocation[vonstadt,nachstadt] mit der Verknuepfung[vonstadt, nachstadt]: bezeichnet. Die Oberfläche von MPL sieht wie folgt aus: Unter RUN kann mit Check Syntax geprüft werden, ob der Code korrekt ist. Mit Solve CPLEX300 kann die Lösung des Modells gestartet werden.

6 Unter View kann das Lösungsprotokoll dargestellt werden, das anzeigt, welche Location Variablen = 1 sind. Dort sind die Lagerstandorte identifiziert, welche die Zielfunktion der Transportleistung minimieren: VARIABLE Location[vonstadt] : vonstadt Activity Reduced Cost Also werden in den Städten (bei p = 4) 1, 7, 9, 10 Lagerstandorte eingerichtet. Für jeden Lagerstandort zeigen die Allocationvariablen an, welche Städte an den Lagerstandort angeschlossen werden. Hier der Auszug aus dem Protokoll: DECISION VARIABLES VARIABLE Allocation[vonstadt,nachstadt] : vonstadt nachstadt Activity Reduced Cost

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8 Aus dem Protokoll wird ersichtlich, dass z. B. der Lagerstandort 7 (Hannover) die Städte Hannover ( 7 ) und Kassel (8) versorgt. Im Folgenden werden die Lösungen des p-median Problems für p= 2, 3, 4 dargestellt: p = 2: Zuordnung der Städte zu den Lagern Standort Lager Versorgte Städte Nummer Nachfrage Länge des Weges vom Lager Transportleistung tkm Berlin Berlin Dresden Erfurt Halle Leipzig Magdeburg Summe: Dortmund Dortmund Frankfurt Hannover Kassel Köln

9 Summe: Gesamte Transportleistung

10 p = 3: Standort Lager Versorgte Städte Nummer Nachfrage Länge des Weges vom Lager Transportleistung tkm Berlin Berlin Summe Köln Köln Dortmund Frankfurt Kassel Summe Leipzig Leipzig Dresden Erfurt Halle Hannover Magdeburg Summe Gesamte Transportleistung

11 p = 4: Standort Lager Versorgte Städte Nummer Nachfrage Länge des Weges vom Lager Transportleistung tkm Berlin Berlin Summe: Hannover Hannover Kassel Summe: Köln Dortmund Frankfurt Köln Summe: Leipzig Dresden Erfurt Halle Leipzig Magdeburg Summe: Gesamte Transportleistung Diskussion: Man erkennt eine drastische Abnahme der Transportleistung bei Variation von p: p Transportleistung Abnahme in % , ,6 Nur für p = 2 kann Berlin als Lagerstandort mehrere Städte versorgen. Aufgrund seiner großen Nachfrage von 3387 bleibt Berlin für p = 3 oder p = 4 isoliert. Dann übernimmt Leipzig die Versorgung der Städte, die Berlin bei p = 2 versorgt hatte. Unter den Städten, die von einem Lagerstandort versorgt werde, übernimmt in diesem Beispiel stets die Stadt mit der größten Nachfrage den Lagerstandort, weil dann die in der Stadt anfallenden Transporte mit 0 gewichtet werden und so aus der Transportleistung herausfallen. Berlin bleibt auch bei einer bis auf 800 Tonnen abgesenkten Nachfrage für p = 3 und p = 4 isoliert. Wird die Nachfrage von Berlin von 3387 auf 600 gesenkt, so kann Berlin für p = 3 und p = 4 von Leipzig aus versorgt werden. Berlin bleibt dann kein Lagerstandort, obwohl es die größte Nachfrage besitzt unter den Städten, die Leipzig versorgt. Die Lösungen werden jetzt dargestellt:

12 Im Folgenden die Lösung für p = 3 mit Nachfrage Berlin = 600: SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MIN Z = MACROS Macro Name Values TransportKosten DECISION VARIABLES VARIABLE Allocation[vonstadt,nachstadt] : vonstadt nachstadt Activity Reduced Cost

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14 VARIABLE Location[vonstadt] : vonstadt Activity Reduced Cost Im Folgenden die Lösung für p = 4 mit Nachfrage Berlin = 600: SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MIN Z = MACROS Macro Name Values TransportKosten DECISION VARIABLES VARIABLE Allocation[vonstadt,nachstadt] : vonstadt nachstadt Activity Reduced Cost

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16 VARIABLE Location[vonstadt] : vonstadt Activity Reduced Cost

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