Operations Research für Logistik

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Rolf Kästner
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1 Operations Research für Logistik Lineare Optimierung ( ) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2012 Lehrstuhl Industrielogistik

2 Lineare Optimierung Inhalte: Einfacher Simplex Revidierter Simplex BEACHTE: Abweichungen bzw. Fehler in der Darstellung linearer Optimierungsprobleme in Matlab (aufgrund Software) zur Darstellung wie mathematisch üblich bzw. aus der Literatur bekannt. Näheres dazu in VO und UE. Lehrstuhl Industrielogistik 2

3 Der Simplex - Algorithmus in Matlab Der Simplex - Algorithmus in Matlab löst Probleme der Art: f, x, b, beq, lb, und ub sind Vektoren, A und Aeq sind Matrizen. Kann im Zuge des Befehls linprog() aufgerufen werden, welcher im Allgemeinen lineare Optimierungsprobleme löst. Lehrstuhl Industrielogistik 3

4 Erläuterung Linprog() - Syntax I Wie kann linprog() aufgerufen werden? x = linprog(f,a,b) x = linprog(f,a,b,aeq,beq) x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub) x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0) x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options) x = linprog(problem) [x,fval] = linprog(...) [x,fval,exitflag] = linprog(...) [x,fval,exitflag,output] tp t] = linprog(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...) Lehrstuhl Industrielogistik 4

5 Erläuterung Linprog() - Syntax II x = linprog(f,a,b) solves min f'*x such that A*x b. x = linprog(f,a,b,aeq,beq) solves the problem above while additionally satisfying i the equality constraints t Aeq*x = beq. Set A = [] and b = [] if no inequalities exist. x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, x, so thatt the solution isalways in the range lb x ub. Set Aeq = [] and beq = [] if no equalities exist. x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0) sets the starting point to x0. This option is only availableailable with the medium-scalem algorithm (the LargeScale option is set to 'off' using optimset). The default large-scale algorithm and the simplex algorithm ignore any starting point. x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options) Aeq beq lb options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options. Lehrstuhl Industrielogistik 5

6 Linprog() - Parameterbeschreibung I Wofür stehen die einzelnen Parameter? f: A: b: Aeq: Beq: Linear objective function vector f Matrix for linear inequality constraints Vector for linear inequality constraints Matrix for linear equality constraints Vector for linear equality constraints Lb: Vector of lower bounds Ub: Vector of upper bounds X0: Initial point for x (nicht wirksam bei Simplex) Options: Options structure created with optiset Lehrstuhl Industrielogistik 6

7 Linprog() - Parameterbeschreibung II x: Fval: Exitflag: Output: Lambda: Endwerte der Variablen Endergebnis der Zielfunktion Integerzahl, welche angibt, warum der Algorithmus abgebrochen wurde (z.b. 1 bedeutet, dass eine Lösung gefunden wurde) gibt die Anzahl der Iterationen an enthält detailierte Struktur der Lagrangemultiplikatoren Lehrstuhl Industrielogistik 7

8 Lineare Optimierung Beispiel 1) I Beispiel 1): Die altbekannte Schachtanlage: Eine Schachtanlage fördert eine bestimmte Kohlenart aus den Flözen A, B und C. Die Schachtkapazität beträgt 5800 t/d. Die Kohle aus den 3 Flözen enthält Feinkornanteile il (FKA) in folgenden Mengen (%): A B C FKA - fein FKA - grob Lehrstuhl Industrielogistik 8

9 Lineare Optimierung Beispiel 1) II Es werden höchstens 275 t FKA-fein und 630 t FKA-grob pro Tag akzeptiert. Der Deckungsbeitrag (DB) für die drei Flöze A, B und C ist 150, 140 und 160 Euro pro Tonne. Aufgabe: Wie ist die Förderung zu gestalten, damit der Gesamt - DB pro Tag maximal wird? zunächst das Problem in Form eines Gleichungssystems darstellen Lehrstuhl Industrielogistik 9

10 Lineare Optimierung Beispiel 1) III Es ist die Zielfunktion f = 150*x *x *x 3 zu maximieren. Unter den Nebenbedingungen: x 1 +x 2 +x 3 <= *x 1 +4*x 2 +5*x 3 <= *x 1 +16*x 2 +10*x 3 <= x 1,x 2,x 3 >= 0 Wie sieht die Eingabe in Matlab aus? Lehrstuhl Industrielogistik 10

11 Lineare Optimierung Beispiel 1) IV 1. Eingabe der Zielfunktion: BEACHTE: Wir wollen maximieren, d.h. wir müssen die Zielfunktion (und im Anschluß auch das Endergebnis mit (-1) mulitplizieren! Lehrstuhl Industrielogistik 11

12 Lineare Optimierung Beispiel 1) V 2. Eingabe der Parameter des Tableaus: Lehrstuhl Industrielogistik 12

13 Lineare Optimierung Beispiel 1) VI 3. Eingabe des Vektors b: (mal 100, da der FKA in Prozent angegeben war) Lehrstuhl Industrielogistik 13

14 Lineare Optimierung Beispiel 1) VII 4. Eingabe des Vektors lb: (Untergrenzen für die Variablen x 1, x 2 und x 3 ) Lehrstuhl Industrielogistik 14

15 Lineare Optimierung Beispiel 1) VIII 5. Damit der Simplex - Algorithmus mit linprog() verwendet werden kann, müssen bei den Optimierungseinstellungen (optimset) noch largescale auf off und Simplex auf on geschaltet werden. 6. Diese Einstellungen werden unter der Variable opt abgespeichert, um sie im nächsten Schritt verwenden zu können. Lehrstuhl Industrielogistik 15

16 Lineare Optimierung Beispiel 1) IX 7. Nun erfolgt der Aufruf des Simplexalgorithmus: x 1 = t x 2 = 700 t x 3 = t Gesamt-DB = Euro Lehrstuhl Industrielogistik 16

17 Lineare Optimierung Beispiel 1) X 1 bedeutet, dass eine Lösung gefunden wurde. Anzahl der Iterationsschritte Lehrstuhl Industrielogistik 17

18 Lineare Optimierung Beispiel 2) I Beispiel i 2) Es ist die Zielfunktion f(x) = -5*x 1-4*x 2-6*x 3 unter den folgenden Nebenbedingungen x 1 -x 2 +x 3 <= 20 3*x 1 +2*x 2 +4*x 3 <= 42 3*x 1 +2*x 2 <= 30 x 1,x 2,x 3 >= 0 zu minimieren. Lehrstuhl Industrielogistik 18

19 Lineare Optimierung Beispiel 2) II Befehle: f = [-5; -4; -6]; A = [1-1 1; 3 2 4; 3 2 0]; b = [20; 42; 30]; lb = zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,a,b,[],[],lb,[],[],opt); Lehrstuhl Industrielogistik 19

20 Lineare Optimierung Hausübungsbeispiel 1) Hausübungsbeispiel 1): Löse folgendes Beispiel mittels Matlab : (max) Zielfunktion: f(x)= 4*x 1 + 2*x 2 + 1*x 3 Nebenbedingungen: 2*x 1 + 1*x 2 + 0*x 3 <= 1 1*x 1x 1 + 0*x 0x 2 + 2*x 2x 3 <= 2 1*x 1 + 1*x 2 + 1*x 3 = 1 TIPP: Verwende die Matlab -Hilfe zu linprog(). Grenzwerte: 0 <= x 1 <= 1 0 <= x 2 <= 1 0 <= x 3 <= 2 Lehrstuhl Industrielogistik 20

21 Lineare Optimierung revidierter Simplex I Beispiel i 1) Maximiere die Zielfunktion f(x): 5*x 1 + 4*x 2 + 3*x 3 Nebenbedingungen: 2*x 1 + 3*x 2 + 1*x 3 <= *x 1 + 1*x 2 + 2*x 3 <= 11 3*x 3x 1 + 4*x 2 + 2*x 3 <= 8 x 1, x 2, x 3 >= 0 Lehrstuhl Industrielogistik 21

22 Lineare Optimierung revidierter Simplex II Beispiel i 2) Maximiere: 20*x *x 2 Nebenbedingungen: x 1 + 2*x 2 <= x 1 <= 60 x 2 <= 50 Lehrstuhl Industrielogistik 22

23 Lineare Optimierung Hausübungsbeispiel 2) Hausübungsbeispiel b i 2): Maximiere: 3*x 1 + 5*x 2 + 4*x 3 Nebenbedingungen: 2*x 1 + 2*x 2 + x 3 <= 3 x 1 + 2*x 2 + 4*x 3 <= x 1,x 2,x 3 >=0 Lehrstuhl Industrielogistik 23

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