Einführung in Verkehr und Logistik

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1 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 1 / 50 Einführung in Verkehr und Logistik (Bachelor) Tourenplanung - Spaltengenerierung Univ.-Prof. Dr. Knut Haase Institut für Verkehrswirtschaft Wintersemester 2013/2014, Dienstag 10:15-11:45 Uhr, Phil E WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 3 / 50 Übersicht I Spaltengenerierung -Column Generation- kann zur Lösung umfangreicher praktischer Optimierungsprobleme verwendet werden I Anwendungsbeispiel: Tourenplanungsproblem (Bachelorarbeit im WS/2011) I Optimierung des Tourenplanes eines Kurierdienstleisters für medizinische Probentransporte I Implementierung eines CG-Algorithmus in GAMS

2 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 5 / 50 Ein kleines lineares Optimierungsproblem 1 Ein Frachtführer bedient per LKW die Relation Hamburg-Kiel. Für eine Fahrt von Kiel nach Hamburg hat er noch Kapazität frei. So stehen noch 5 Palettenstellplätze zur Verfügung, wobei die maximale Zuladung nicht mehr als 9 Tonnen betragen darf. Über eine Frachtbörse erhält er zwei Auftragsangebote. Angebot 1 umfasst Paletten, die jeweils eine Tonne wiegen und 20 EUR an Erlösen erbringen. Auch bei Angebot 2 sind Paletten zu transportieren. Dabei wiegt eine Palette drei Tonnen und es werden 30 EUR pro Palette bezahlt. Beschränkungen hinsichtlich minimaler oder maximaler Abnahmemengen liegen nicht vor. Der Frachtführer möchte wissen, wie viele Paletten er zur Maximierung seiner Erlöse vom ersten und vom zweiten Angebot übernehmen soll. 1 Vgl. Vorlesung Quantitative Methoden, Sommersemester WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 6 / 50 (Entscheidungs-) Variablen x 1 Anzahl zu transportierender Paletten gemäß Angebot 1 x 2 Anzahl zu transportierender Paletten gemäß Angebot 2 F Umsatzerlöse in EUR

3 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 7 / 50 Lineares Optimierungsproblem: Zielfunktion Nebenbedingungen max F = 20x x 2 x 1 + x 2 5 x 1 + 3x 2 9 x 1 0; x 2 0 (Beschränkung der Anzahl an Paletten) (Gewichtsbeschränkung) (Nichtnegativitätsbedingungen) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 8 / 50 Überführung in ein Gleichungssystem 1x 1 + 1x 2 + 1y 1 = 5 1x 1 + 3x 2 + 1y 2 = 9 20x 1 30x 2 + 1F = 0 y 1 und y 2 sind dabei die Schlupfvariablen

4 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 9 / 50 BV x 1 x 2 y 1 y 2 b y y 2 1 [3] F y 1 [2/ 3] 0 1-1/ 3 2 x 2 1/ / 3 3 F x / 2-1/ 2 3 x / 2 1/ 2 2 F I 15-fache der ersten Gleichung wurde auf die Zielfunktion addiert I 5-fache der zweiten Gleichung wurde auf die Zielfunktion addiert ) F = = = 120: WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 10 / 50 k i Simplexmultiplikator der Zeile i nach der k-ten Iteration (k = 0; 1 : : :) F = I P Simplexmultiplikatoren des Beispiels i kb i i=1 b 1 = 5 b 2 = 9 k 1 k 2 k F k Die Simplexmultiplikatoren entsprechen den Dualvariablen!

5 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 11 / 50 set j Menge der Auftragsangebote /1, 2/ ; parameter e(j) Erloes des Auftrages j /1 20, 2 30/ ; parameter g(j) Ladegewicht des Auftrages j /1 1, 2 3/ ; scalar GG Gewichtskapazitaet /9/; scalar P Palettenstellplatzkapazität /5/ ; variable F Zielfunktionswert; positive variable x(j) Variable x_j ; equations zielfunktion, stellplaetze, gewicht; zielfunktion.. F =e= sum( j, e(j) * x(j) ) ; stellplaetze.. sum(j, x(j)) =l= P ; gewicht.. sum(j, g(j) * x(j)) =l= GG ; model LKW LKWBeladung /all/ ; solve LKW maximizing F using lp ; display stellplaetze.m, gewicht.m; WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 12 / 50 Optimal solution found. Objective : LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU zielfunkt~ EQU stellplae~ -INF EQU gewicht -INF LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR F -INF INF. F Zielfunktionswert ---- VAR x Variable x_j LOWER LEVEL UPPER MARGINAL INF INF EQUATION stellplaetze.m = EQUATION gewicht.m = 5.000

6 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 13 / 50 Reduzierte Kosten c j c j c j Zielfunktionskoeffizient der Variablen x j im Ausgangstableau aktueller Wert in der Zielfunktionszeile des Simplextableaus unter der Variablen x j reduzierte Kosten der Variablen x j c j = c j + c j = c j IX i=1 IX i=1 a ij i a ij i I Auf Index k für die jeweilige Iteration wurde verzichtet. I Für Basisvariablen gilt: c j = 0 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 14 / 50 Reduzierte Kosten einer zusätzlichen Alternative Maximierungsproblem I c j > 0 ) lohnende zusätzliche Alternative (da Zielfunktionsverbesserung durch Basistausch) I c j 0 ) keine lohnende zusätzliche Alternative Zusätzliches Angebot (x 3 ): c 3 = 24 (Erlös in Euro); a 13 = 1 (Stellplatz) ; a 23 = 2 (Gewicht in t) c 3 = = 1 ) keine lohnende Alternative bzw. unwirtschaftliches Angebot Preisuntergrenze: 25 Euro

7 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 15 / 50 Ablaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem) (Fiktive) Startlösung Hauptproblem LP-Relaxation des ganzzahligen Problems Simplexverfahren Dualvariablen (¼) Unterproblem(e) Spezialisiertes Verfahren Alternative mit minimalen reduzierten Kosten Alternative mit negativen reduzierten Kosten c¹ < 0 nein ja Ganzzahlige Lösung auf Basis generierter Alternativen oder durch Aufrundungsverfahren mit Spaltengenerierung nach jedem Aufrunden WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 17 / 50 Anwendungsbeispiel - Problemstellung I Praxispartner: Kurierdienstleister für medizinische Probentransporte I Kunden: Arztpraxen und Krankenhäuser in Hamburg I Leistung des Unternehmens: Transport von Laborproben von den Kunden zu einem zentralen Labor I mehrere Kunden werden zu einer Tour zusammengefasst I Abholung beim Kunden innerhalb eines Zeitfensters I separate Tourenplanung für jeden Wochentag Zielstellung der Arbeit I Ermittlung eines Tourenplans, bei dem jeder Kunde innerhalb seines Zeitfensters einmal besucht wird I Minimierung der Gesamtkosten: Fahrzeugeinsatz, Fahrzeit

8 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 19 / 50 Modellierung I Verwendung von Graphen zur Modellierung des Problems I Knoten: Kunden (Arztpraxen), zentrales Labor I Kanten: Fahrtverbindungen zwischen den Kunden bzw. zwischen Kunden und Zentrallabor - Bewertung mit Fahrtkosten I Fahrzeiten zwischen den Knoten!Fahrzeitenmatrix Bediengebiet 0 km Microsoft Corporation und/oder deren Lieferanten. Alle Rechte vorbehalten Tele Atlas. Alle Rechte vorbehalten. Data Source 2009 Tele Atlas N.V. Dieses Produkt beinhaltet Kartendaten lizenziert von Ordnance Survey mit Genehmigung des Controller of Her Majesty s Stationery Office. Crown Copyright und/oder Datenbankrechte Alle Rechte vorbehalten. Lizenznummer NAVTEQ. Alle Rechte vorbehalten. NAVTEQ ON BOARD ist eine eingetragene Marke von NAVTEQ. 14

9 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 22 / 50 Anwendungsbeispiel - Berücksichtigung von Zeitfenstern Kunde Montag Dienstag Praxis P1 07:00-07:30 07:00-09:00 11:00-12:00 11:00-13:00 15:00-15:30 15:00-17:00 Praxis P2 07:00-08:00 08:00-09:00 11:00-11:45 12:00-13:00 15:00-15:30 15:00-16:00 Praxis P3 07:00-08:00 07:00-09:00 10:30-11:00 11:00-13:00 15:00-15:30 15:00-17:00 Praxis P4 07:00-07:30 07:00-08:00 10:00-10:45 11:00-12:00 15:00-16:00 -.

10 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 23 / 50 I Erweiterung der Knotenmenge: jede Kombination aus Zeitfenster/Kundenstandort entspricht einem Knoten im Netzwerk I 1 Knoten korrespondiert zum Beginn einer Tour im Zentrallabor I 1 Knoten korrespondiert zum Ende einer Tour im Zentrallabor WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 24 / 50 Anwendungsbeispiel - Modellierung I Zerlegung des Tourenplanungsproblems in Haupt- und Unterproblem I Hauptproblem: Auswahl von Touren!Zusammenstellung des Tourenplans I Unterproblem: Ermitteln einer Tour, welche die aktuelle Lösung des Auswahlproblems am stärksten verbessern kann I schwierige Restriktionen (Einhaltung der Zeitfenster, Beginn und Ende jeder Tour im Depot) werden in das Unterproblem verlagert I Jede Tour entspricht einer Spalte im Gleichungssystem des Hauptproblems! Spaltengenerierung

11 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 25 / 50 Hauptproblem - Symbole Mengen und Indices N Menge Touren, Index: n K Menge der Kunden (Knoten im Netzwerk), Index k Parameter a k ;n c n Variablen y n Z 1, falls Kunde in der Tour enthalten ist (0, sonst) Kosten der Tour n 1, falls Tour n im Tourenplan enthalten ist (0, sonst) Gesamtkosten des Tourenplans (Zielfunktionswert) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 26 / 50 Hauptproblem - Modell X min Z = c n y n (1) n2n X unter den Nebenbedingungen n2n a k ;n y n = 1 8k 2 K (2) y n 2 f0; 1g 8n 2 N (3) Anmerkungen (1) minimiert die Summe der Tourkosten Z (2) erzwingt, dass jeder Kunde genau einmal besucht wird (3) definiert die Auswahlvariablen als Binärvariablen

12 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 27 / 50 LP-Relaxation I Hauptproblem ist ganzzahliges Optimierungsproblem I Spaltengenerierung i.a. Lösungsverfahren für lineare Probleme I daher Lösung der LP-Relaxation des Hauptproblems: Ersetze (3) durch y n 0 8n 2 N (4) I Ergebnis des Spaltengenerierungsprozesses: nicht-ganzzahlige Lösung (z.b. yˆn = 0:657 für eine bestimmte Tour ˆn) I Ganzzahlige Lösung durch Kombination von Spaltengenerierung mit Rundungsheuristik WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 28 / 50 Lösungsverfahren - Übersicht

13 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 29 / 50 LP-Relaxation - Lösung mit Spaltengenerierung I iteratives Lösungsverfahren I dabei Betrachtung eines eingeschränkten Hauptproblems (Restricted Master Problem, RMP) I Teilmenge aller praktisch möglichen Touren I z.b. Teilmenge Ñ,Index: ñ I pro Iteration Erweiterung um möglichst günstige Tour aus dem Unterproblem I iteratives Verfahren endet, wenn keine zusätzliche günstige Tour im Unterproblem ermittelt werden kann I Startlösung des RMP: Pendeltouren in der Tourenmenge Ñ mit hohen Strafkosten in (1) I für Startlösung gilt: jkj = jñ j I Startlösung ist ganzzahlig, das RMP (1),(2),(4) ist jedoch LP WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 30 / 50 Unterproblem - Symbole Mengen und Indices I K o d Menge der Knoten, Index i,j Menge der Kunden/Zeitfenster-Kombinationen (Untermenge von I), Index k Depotknoten, der zum Start einer Tour korrespondiert (Untermenge von I) Depotknoten, der zm Ende einer Tour korrespondiert (Untermenge von I)

14 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 31 / 50 Unterproblem - Symbole Parameter c ij i Kosten einer Fahrt von Knoten i zu Knoten j Wert der Dualvariable von Knoten i Preis der Bedienung von Knoten i im aktuellen RMP-Tourenplan - vgl. (2) g i Zeitverbrauch beim Knoten i (Abholung einer Probe bei Kunde i) f ij wi L wi U t U M Fahrzeit von Knoten i zu Knoten j frühester Ankunftszeitpunkt des Kuriers bei Knoten i spätester Ankunftszeitpunkt des Kuriers bei Knoten i maximale Länge einer Tour sehr große Zahl WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 32 / 50 Unterproblem - Symbole Variablen x ij w i F 1, wenn die Tour eine Fahrt von Knoten i zu Knoten j enthält (0,sonst) Ankunftszeitpunkt des Kuriers beim Knoten i gesamte reduzierte Kosten der Tour

15 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 33 / 50 Unterproblem - Modell X min F = (c i2ix ij j ) x ij (5) X iji6=j X j2i j6=i unter den Nebenbedingungen j2i j6=i x ij 1 8j 2 I (6) x ij X x ji = 0 8i 2 K (7) j2i j6=i w i + (g i + f ij ) x ij M (1 x ij ) w j 8(i; j); j 6= i (8) w d w o t U (9) wi L w i wi U 8i 2 I (10) x ij 2 f0; 1g 8i 2 I; j 2 I (11) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 34 / 50 Unterproblem - Anmerkungen (5) minimiert die gesamten reduzierten Kosten der einzufügenden Tour, (6) beschränkt den in einen Knoten eingehenden Fluss auf maximal 1 Einheit (entspr. 1 Fahrzeug), (7) garantieren einen zulässigen Netzwerkfluss vom Depotstartknoten o zum Depotzielknoten d, (8) stellen die Einhaltung der Zeitfenster sicher und verhindert Kurzzyklen, (9) beschränkt die maximale Dauer einer Tour, (10) stellen die Zeitfensterdefinitionen dar, (11) definiert die Flussvariable als Binärvariable.

16 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 35 / 50 Unterproblem - Zeitfenster w i + (g i + f ij ) x ij M (1 x ij ) w j w o + (g o + f o;1) 1 M (1 1) w 1 w 1 + g 1 + f 1;2 w 2 w 2 + g 2 + f 2;3 w 3 w 3 + g 3 + f 3;d w d Anmerkungen g i 0; f ij 0 8i; j 2 I Für eine Lösung, welche die Restriktionen (8) erfüllt, muss also gelten: w o w 1 w 2 w 3 w d WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 36 / 50 Unterproblem - Kurzzyklen Anmerkungen I für praktische Problemstellungen werden durch (8) gleichzeitig Kurzzyklen verhindert I Kurzzyklus hier: Tour zwischen den Kunden ohne Depotanbindung, z.b I wegen (8) gilt: w 1 w 2 w 3 w 1 Dies kann nur auftreten, wenn für alle Knoten i; j in der Lösung g i = 0; f ij = 0 gilt und die Zeitfensterbeschränkung (10) dies zulässt. Im Praxisproblem gilt: g k > 0 8k 2 K

17 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 38 / Übersicht 2. Grundlagen der Spaltengenerierung Beispiel eines Linearen Optimierungsproblems Lösung mit dem primalen Simplexalgorithmus Simplexmultiplikatoren Simplexmultiplikatoren einer GAMS-Lösung Reduzierte Kosten Reduzierte Kosten einer zusätzlichen Alternative Ablaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem) 3. Anwendungsbeispiel - Problemstellung 4. Modellierung 5. Lösungsverfahren LP-Relaxation Ganzzahlige Lösung

18 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 40 / 50 LP-Schranken In jeder Iteration des Verfahrens wird das Unterproblem gelöst und somit eine neue Tour generiert. I Abschätzung der Lösungsgüte in einer Iteration: Upper Bounds (UB), Lower Bounds (LB) I UB und LB beziehen sich auf die Lösung der LP-Relaxation des Hauptproblems (UB LP, LB LP ) I Upper Bound: Zielfunktionswert der optimalen LP-Lösung wird höchstens UB annehmen I Lower Bound: Zielfunktionswert der optimalen LP-Lösung wird mindestens LB annehmen I Differenz von UB und LB gibt in jeder Iteration Aufschluss über die Qualität der aktuellen Lösung ( solution gap ) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 41 / 50 LP-Schranken X UB LP = ZRMP LP = cñ yñ (12) ñ2n = jkj X n y n (13) LB LP = Z LP RMP + F (14) I F sind die minimalen reduzierten Kosten der generierten Tour aus dem Unterproblem I ist maximal mögliche Anzahl an Tourvariablen mit Wert = 1,!entspricht der Zahl der Variablen in der Startlösung I Z LP RMP kann daher höchstens um F reduziert werden I im Optimum gilt: F = 0, d.h. beide Schranken identisch, solution gap = 0

19 Tourenplanung 01/18/12, 10:33:05 objective values and bounds Variables Iteration ZF RMP (UBLP) LBLP (UB-LB)/LB ZF Sub art. fixed pos. posint E E E E E E E E E E E E E E E E E E % % % % % % % Start Rounding WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 43 / Übersicht 2. Grundlagen der Spaltengenerierung Beispiel eines Linearen Optimierungsproblems Lösung mit dem primalen Simplexalgorithmus Simplexmultiplikatoren Simplexmultiplikatoren einer GAMS-Lösung Reduzierte Kosten Reduzierte Kosten einer zusätzlichen Alternative Ablaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem) 3. Anwendungsbeispiel - Problemstellung 4. Modellierung 5. Lösungsverfahren LP-Relaxation Ganzzahlige Lösung

20 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 44 / 50 Ermittlung einer ganzzahligen Lösung I LP-Relaxation zufriedenstellend durch Spaltengenerierung gelöst (vgl. solution gap) I anschließend Ermittlung einer ganzzahligen Lösung, dazu: I Fixierung von Tourvariablen des RMP auf den Wert 1 I je Rundungs-Iteration Fixierung der Tour mit dem höchsten Variablenwert y n I vgl. Spalte fixed I Fortsetzen des CG-Verfahrens mit dem so modifizierten, lp-relaxierten RMP I Zurücksetzen der Schranken UB und LB, da modifiziertes Problem

21 Tourenplanung 01/18/12, 10:33:05 objective values and bounds Variables Iteration ZF RMP (UBLP) LBLP (UB-LB)/LB ZF Sub art. fixed pos. posint % % Start Rounding E % % % % E % % E E % % E % E % WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 47 / 50 Ermittlung einer ganzzahligen Lösung I enthält die LP-Relaxation des RMP nur noch ganzzahlige Variablen, so ist eine zulässige Lösung des Tourenplanungsproblems erreicht I ein solution gap von 0 weist darauf hin, dass das modifizierte LP optimal gelöst wurde I es kann keine Optimalität des ganzzahligen Hauptproblems nachgewiesen werden I Abschätzung der Lösungsgüte der ganzzahligen Lösung ist möglich Nachfolgend ein Ausschnitt aus der Lösung des Tourenplanungsproblems

22 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik Tourenplan Ergebnis Tour aus der Lösung 48 / 50

23 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 50 / 50 Literaturhinweise I Barnhart, C. und G. Laporte: Handbooks in Operations Research & Management Science-Transportation. Elsevier, Grünert, T. und S. Irnich: Optimierung im Transport, Band 2: Wege und Touren. Shaker, Hadley, G.: Linear programming, Band 4. Addison-Wesley Reading, Mass, Lasdon, L.: Optimization Theory for Large Systems. Dover Publication, Lübbecke, M.E. und J. Desrosiers: Selected topics in column generation. Operations Research, Seiten , 2005.